ในวิดีโอนี้ เราจะวิเคราะห์ทั้งชุด สมการเชิงเส้นซึ่งแก้ไขได้โดยใช้อัลกอริธึมเดียวกัน - ด้วยเหตุนี้จึงเรียกว่าวิธีที่ง่ายที่สุด

ก่อนอื่น เรามานิยามกันดีกว่า: สมการเชิงเส้นคืออะไร และอันไหนเรียกว่าง่ายที่สุด?

สมการเชิงเส้นคือสมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวและอยู่ที่ระดับแรกเท่านั้น

สมการที่ง่ายที่สุดหมายถึงการก่อสร้าง:

สมการเชิงเส้นอื่นๆ ทั้งหมดจะถูกลดขนาดให้เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดโดยใช้อัลกอริทึม:

1. ขยายวงเล็บ ถ้ามี
2. ย้ายพจน์ที่มีตัวแปรไปด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ และย้ายเทอมที่ไม่มีตัวแปรไปอีกด้านหนึ่ง
3. ตะกั่ว เงื่อนไขที่คล้ายกันไปทางซ้ายและขวาของเครื่องหมายเท่ากับ
4. หารสมการผลลัพธ์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร $x$

แน่นอนว่าอัลกอริทึมนี้ไม่ได้ช่วยเสมอไป ความจริงก็คือบางครั้งหลังจากการใช้เครื่องจักรทั้งหมดนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร $x$ จะเท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ เป็นไปได้สองทางเลือก:

1. สมการนี้ไม่มีคำตอบเลย ตัวอย่างเช่น เมื่อผลลัพธ์เช่น $0\cdot x=8$ ปรากฏออกมา นั่นคือ ทางซ้ายเป็นศูนย์ และทางขวาเป็นตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ ในวิดีโอด้านล่าง เราจะดูสาเหตุหลายประการที่ทำให้สถานการณ์นี้เป็นไปได้
2. ผลเฉลยคือตัวเลขทั้งหมด กรณีเดียวที่เป็นไปได้คือเมื่อสมการลดลงเหลือโครงสร้าง $0\cdot x=0$ มันค่อนข้างสมเหตุสมผลที่ไม่ว่าเราจะแทนที่ $x$ อะไรก็ตาม มันก็ยังกลายเป็น "ศูนย์เท่ากับศูนย์" เช่น ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง

ตอนนี้เรามาดูกันว่าทั้งหมดนี้ทำงานอย่างไรโดยใช้ตัวอย่างในชีวิตจริง

ตัวอย่างการแก้สมการ

วันนี้เรากำลังพูดถึงสมการเชิงเส้น และเฉพาะสมการที่ง่ายที่สุดเท่านั้น โดยทั่วไป สมการเชิงเส้นหมายถึงความเท่าเทียมกันใดๆ ที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวเท่านั้น และจะไปที่ระดับแรกเท่านั้น

โครงสร้างดังกล่าวได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกันโดยประมาณ:

1. ก่อนอื่น คุณต้องเปิดวงเล็บ (ถ้ามี) (เช่นในของเรา ตัวอย่างสุดท้าย);
2. จากนั้นจึงผสมให้เข้ากัน
3. สุดท้าย ให้แยกตัวแปรออก เช่น ย้ายทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร—เงื่อนไขที่มีตัวแปร—ไปด้านหนึ่ง และย้ายทุกสิ่งที่เหลือโดยไม่มีตัวแปรไปยังอีกด้านหนึ่ง

ตามกฎแล้วคุณจะต้องนำสิ่งที่คล้ายกันมาในแต่ละด้านของความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นและหลังจากนั้นสิ่งที่เหลืออยู่ก็คือหารด้วยสัมประสิทธิ์ของ "x" แล้วเราจะได้คำตอบสุดท้าย

ตามทฤษฎี สิ่งนี้ดูดีและเรียบง่าย แต่ในทางปฏิบัติ แม้แต่นักเรียนมัธยมปลายที่มีประสบการณ์ก็สามารถสร้างข้อผิดพลาดที่ไม่เหมาะสมในสมการเชิงเส้นที่ค่อนข้างง่ายได้ โดยทั่วไปแล้วข้อผิดพลาดจะเกิดขึ้นเมื่อเปิดวงเล็บหรือเมื่อคำนวณ "บวก" และ "ลบ"

นอกจากนั้น ยังเกิดขึ้นที่สมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบเลย หรือคำตอบคือเส้นจำนวนทั้งหมด กล่าวคือ หมายเลขใดก็ได้ เราจะดูรายละเอียดปลีกย่อยเหล่านี้ในบทเรียนของวันนี้ แต่เราจะเริ่มต้นตามที่คุณเข้าใจแล้วด้วยเหตุนี้ งานง่ายๆ.

โครงการแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่าย

ก่อนอื่น ให้ฉันเขียนโครงร่างทั้งหมดสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดอีกครั้ง:

1. ขยายวงเล็บออก ถ้ามี
2. เราแยกตัวแปรต่างๆ เช่น เราย้ายทุกอย่างที่มี "X's" ไปด้านหนึ่ง และทุกอย่างที่ไม่มี "X's" ไปอีกด้านหนึ่ง
3. เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน
4. เราหารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ของ "x"

แน่นอนว่าโครงการนี้ใช้ไม่ได้ผลเสมอไป มีรายละเอียดปลีกย่อยและลูกเล่นบางอย่างอยู่ และตอนนี้เราจะมาทำความรู้จักกับพวกเขา

การแก้ตัวอย่างจริงของสมการเชิงเส้นอย่างง่าย

ภารกิจที่ 1

ขั้นตอนแรกต้องการให้เราเปิดวงเล็บ แต่ไม่ได้อยู่ในตัวอย่างนี้ เราจึงข้ามขั้นตอนนี้ไป ในขั้นตอนที่ 2 เราต้องแยกตัวแปรต่างๆ ออก โปรดทราบ: เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับเงื่อนไขส่วนบุคคลเท่านั้น ลองเขียนมันลงไป:

เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันทางซ้ายและขวา แต่ได้ดำเนินการไปแล้วที่นี่ ดังนั้นเราจึงไปยังขั้นตอนที่สี่: หารด้วยสัมประสิทธิ์:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

ดังนั้นเราจึงได้คำตอบ

ภารกิจที่ 2

เราเห็นวงเล็บในปัญหานี้ ดังนั้นมาขยายกันดีกว่า:

ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาเราเห็นการออกแบบเดียวกันโดยประมาณ แต่ให้ดำเนินการตามอัลกอริทึมนั่นคือ การแยกตัวแปร:

นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:

งานนี้มีรากฐานมาจากอะไร? คำตอบ: สำหรับใด ๆ ดังนั้นเราจึงเขียนได้ว่า $x$ เป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้

ภารกิจที่ 3

สมการเชิงเส้นที่สามน่าสนใจกว่า:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

มีหลายวงเล็บแต่ไม่ได้คูณด้วยอะไรเลย แค่นำหน้าด้วย สัญญาณต่างๆ- มาทำลายพวกเขากัน:

เราทำขั้นตอนที่สองที่เรารู้อยู่แล้ว:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

มาทำคณิตศาสตร์กันเถอะ:

เราดำเนินการขั้นตอนสุดท้าย - หารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

สิ่งที่ต้องจำเมื่อแก้สมการเชิงเส้น

หากเราเพิกเฉยต่องานง่าย ๆ เกินไป ฉันอยากจะพูดดังต่อไปนี้:

• อย่างที่ผมบอกไปแล้ว ไม่ใช่ทุกสมการเชิงเส้นจะมีวิธีแก้ปัญหา บางครั้งมันก็ไม่มีรากเลย
• แม้ว่าจะมีราก แต่ก็อาจมีศูนย์อยู่ด้วย - ไม่มีอะไรผิดปกติ

ศูนย์เป็นตัวเลขเดียวกันกับตัวเลขอื่นๆ คุณไม่ควรเลือกปฏิบัติไม่ว่าในทางใดทางหนึ่ง หรือคิดว่าถ้าคุณได้ศูนย์ แสดงว่าคุณได้ทำสิ่งผิด

คุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งเกี่ยวข้องกับการเปิดวงเล็บ โปรดทราบ: เมื่อมี "ลบ" อยู่ข้างหน้า เราจะลบออก แต่ในวงเล็บเราเปลี่ยนเครื่องหมายเป็น ตรงข้าม- จากนั้นเราสามารถเปิดมันได้โดยใช้อัลกอริธึมมาตรฐาน: เราจะได้สิ่งที่เราเห็นในการคำนวณด้านบน

ทำความเข้าใจเรื่องนี้ ข้อเท็จจริงง่ายๆจะช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงการทำผิดพลาดที่โง่เขลาและน่ารังเกียจในโรงเรียนมัธยม เมื่อการกระทำดังกล่าวถูกละเลย

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน

เรามาดูกันดีกว่า สมการที่ซับซ้อน- ตอนนี้การก่อสร้างจะซับซ้อนมากขึ้นและเมื่อทำการแปลงต่าง ๆ ฟังก์ชันกำลังสองจะปรากฏขึ้น อย่างไรก็ตาม เราไม่ควรกลัวสิ่งนี้ เพราะถ้าตามแผนของผู้เขียน เรากำลังแก้สมการเชิงเส้น ในระหว่างกระบวนการแปลง monomials ทั้งหมดที่มีฟังก์ชันกำลังสองจะต้องถูกยกเลิก

ตัวอย่างหมายเลข 1

แน่นอนว่าขั้นตอนแรกคือการเปิดวงเล็บออก เรามาทำสิ่งนี้อย่างระมัดระวัง:

มาดูความเป็นส่วนตัวกันดีกว่า:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:

แน่นอนว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ ดังนั้นเราจะเขียนสิ่งนี้ไว้ในคำตอบ:

\[\varไม่มีอะไร\]

หรือไม่มีราก

ตัวอย่างหมายเลข 2

เราทำการกระทำแบบเดียวกัน ขั้นตอนแรก:

มาย้ายทุกอย่างด้วยตัวแปรไปทางซ้ายและไม่มีตัวแปรไปทางขวา:

นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:

แน่นอนว่าสมการเชิงเส้นนี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ดังนั้นเราจะเขียนมันแบบนี้:

\[\var ไม่มีอะไร\],

หรือไม่มีราก

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

สมการทั้งสองได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ จากการใช้สองนิพจน์นี้เป็นตัวอย่าง เรามั่นใจอีกครั้งว่าแม้ในสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด ทุกอย่างอาจไม่ง่ายนัก อาจมีรากเดียวหรือไม่มีก็ได้ หรือหลายรากอย่างไม่สิ้นสุด ในกรณีของเรา เราพิจารณาสมการสองสมการ ซึ่งทั้งสองสมการไม่มีรากเลย

แต่ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปยังข้อเท็จจริงอีกประการหนึ่ง: วิธีทำงานกับวงเล็บและวิธีเปิดหากมีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้า พิจารณาสำนวนนี้:

ก่อนที่จะเปิด คุณต้องคูณทุกอย่างด้วย "X" โปรดทราบ: ทวีคูณ แต่ละเทอม- ข้างในมีสองเทอม - ตามลำดับ, สองเทอมและคูณ

และหลังจากการเปลี่ยนแปลงที่ดูเหมือนขั้นพื้นฐาน แต่สำคัญมากและเป็นอันตรายเสร็จสิ้นแล้ว คุณสามารถเปิดวงเล็บได้จากมุมมองของข้อเท็จจริงที่ว่ามีเครื่องหมายลบอยู่หลังจากนั้น ใช่ ใช่: ตอนนี้เมื่อการแปลงเสร็จสิ้น เราจำได้ว่ามีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าทุกสิ่งด้านล่างเพียงเปลี่ยนเครื่องหมาย ในขณะเดียวกันวงเล็บก็หายไปและที่สำคัญที่สุดคือ "ลบ" ด้านหน้าก็หายไปเช่นกัน

เราทำเช่นเดียวกันกับสมการที่สอง:

ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันจะให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงเล็กๆ น้อยๆ ที่ดูเหมือนไม่มีนัยสำคัญเหล่านี้ เพราะการแก้สมการนั้นเป็นลำดับเสมอ การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นที่ไม่สามารถดำเนินการได้อย่างชัดเจนและมีประสิทธิภาพ ขั้นตอนง่ายๆนำไปสู่ความจริงที่ว่านักเรียนมัธยมปลายมาหาฉันและเรียนรู้ที่จะแก้สมการง่ายๆเช่นนี้อีกครั้ง

แน่นอนว่าวันนั้นจะมาถึงเมื่อคุณจะต้องฝึกฝนทักษะเหล่านี้จนเป็นไปโดยอัตโนมัติ คุณไม่จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงมากมายในแต่ละครั้งอีกต่อไป คุณจะเขียนทุกอย่างในบรรทัดเดียว แต่ในขณะที่คุณเพิ่งเรียนรู้ คุณต้องเขียนแต่ละการกระทำแยกกัน

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น

สิ่งที่เรากำลังจะแก้ไขตอนนี้แทบจะเรียกได้ว่าเป็นงานที่ง่ายที่สุด แต่ความหมายยังคงเหมือนเดิม

ภารกิจที่ 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

คูณองค์ประกอบทั้งหมดในส่วนแรก:

มาทำความเป็นส่วนตัวกันเถอะ:

นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:

มาทำขั้นตอนสุดท้ายให้เสร็จ:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

นี่คือคำตอบสุดท้ายของเรา และแม้ว่าในกระบวนการแก้เรามีสัมประสิทธิ์กับฟังก์ชันกำลังสอง พวกมันก็หักล้างกัน ซึ่งทำให้สมการเป็นเส้นตรงและไม่ใช่กำลังสอง

ภารกิจที่ 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

มาทำขั้นตอนแรกกันอย่างระมัดระวัง: คูณแต่ละองค์ประกอบจากวงเล็บแรกด้วยแต่ละองค์ประกอบจากวินาที ควรมีคำศัพท์ใหม่ทั้งหมดสี่คำหลังการเปลี่ยนแปลง:

ตอนนี้เรามาทำการคูณอย่างระมัดระวังในแต่ละเทอม:

ย้ายเงื่อนไขที่มี "X" ไปทางซ้ายและเงื่อนไขที่ไม่มี - ไปทางขวา:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:

เราได้รับคำตอบสุดท้ายอีกครั้ง

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

หมายเหตุที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับสมการทั้งสองนี้มีดังต่อไปนี้: ทันทีที่เราเริ่มคูณวงเล็บที่มีมากกว่าหนึ่งเทอม ก็จะเสร็จสิ้นตามกฎต่อไปนี้: เราใช้เทอมแรกจากเทอมแรกและคูณด้วยแต่ละองค์ประกอบจาก ที่สอง; จากนั้นเราก็นำองค์ประกอบที่สองจากองค์ประกอบแรกและคูณกับแต่ละองค์ประกอบจากวินาทีในทำนองเดียวกัน ผลก็คือเราจะมีเทอมสี่เทอม

เกี่ยวกับผลรวมพีชคณิต

ด้วยตัวอย่างสุดท้ายนี้ ฉันอยากจะเตือนนักเรียนว่าอะไร ผลรวมพีชคณิต- ในคณิตศาสตร์คลาสสิก 1-7$ เราหมายถึงโครงสร้างง่ายๆ คือ ลบ 7 จาก 1 ในพีชคณิตเราหมายถึงสิ่งต่อไปนี้: ไปที่ตัวเลข "หนึ่ง" เราจะบวกอีกจำนวนหนึ่งคือ "ลบเจ็ด" นี่คือสาเหตุที่ผลรวมพีชคณิตแตกต่างจากผลรวมเลขคณิตทั่วไป

ทันทีที่เมื่อทำการแปลงทั้งหมด การบวกและการคูณแต่ละครั้ง คุณเริ่มเห็นโครงสร้างที่คล้ายกับที่อธิบายไว้ข้างต้น คุณจะไม่มีปัญหาใดๆ ในพีชคณิตเมื่อทำงานกับพหุนามและสมการ

สุดท้ายนี้ เรามาดูตัวอย่างอีกสองสามตัวอย่างที่จะซับซ้อนกว่าตัวอย่างที่เราเพิ่งดูไป และเพื่อแก้ปัญหานี้ เราจะต้องขยายอัลกอริธึมมาตรฐานของเราเล็กน้อย

การแก้สมการด้วยเศษส่วน

เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว เราจะต้องเพิ่มอีกหนึ่งขั้นตอนให้กับอัลกอริทึมของเรา แต่ก่อนอื่น ฉันขอเตือนคุณเกี่ยวกับอัลกอริทึมของเรา:

1. เปิดวงเล็บ
2. แยกตัวแปร
3. เอาอันที่คล้ายกันมาด้วย
4. หารด้วยอัตราส่วน.

อนิจจา อัลกอริธึมที่ยอดเยี่ยมนี้ ดูเหมือนจะไม่เหมาะสมเลยเมื่อเรามีเศษส่วนอยู่ตรงหน้า ในแง่ของประสิทธิภาพทั้งหมด อัลกอริธึมที่ยอดเยี่ยมนี้ และสิ่งที่เราจะเห็นด้านล่างนี้ เรามีเศษส่วนทั้งทางซ้ายและขวาในสมการทั้งสอง

วิธีการทำงานในกรณีนี้? ใช่ มันง่ายมาก! ในการทำเช่นนี้คุณต้องเพิ่มขั้นตอนอีกขั้นตอนหนึ่งให้กับอัลกอริทึมซึ่งสามารถทำได้ทั้งก่อนและหลังการดำเนินการครั้งแรก ได้แก่ การกำจัดเศษส่วน ดังนั้นอัลกอริทึมจะเป็นดังนี้:

1. กำจัดเศษส่วน.
2. เปิดวงเล็บ
3. แยกตัวแปร
4. เอาอันที่คล้ายกันมาด้วย
5. หารด้วยอัตราส่วน.

“การกำจัดเศษส่วน” หมายความว่าอย่างไร? และเหตุใดจึงสามารถทำได้ทั้งหลังและก่อนขั้นตอนมาตรฐานแรก? ที่จริงแล้ว ในกรณีของเรา เศษส่วนทั้งหมดเป็นตัวส่วนเป็นตัวเลข เช่น ทุกที่ตัวส่วนเป็นเพียงตัวเลข. ดังนั้น ถ้าเราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนนี้ เราก็จะกำจัดเศษส่วนออกไป

ตัวอย่างหมายเลข 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

กำจัดเศษส่วนในสมการนี้:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

โปรดทราบ: ทุกอย่างคูณด้วย "สี่" หนึ่งครั้ง เช่น เพียงเพราะคุณมีวงเล็บสองอันไม่ได้หมายความว่าคุณต้องคูณแต่ละวงเล็บด้วย "สี่" มาเขียนกัน:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

ตอนนี้เรามาขยาย:

เราแยกตัวแปร:

เราดำเนินการลดข้อกำหนดที่คล้ายกัน:

\[-4x=-1\ซ้าย| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

เราได้รับ การตัดสินใจขั้นสุดท้ายมาดูสมการที่สองกันดีกว่า

ตัวอย่างหมายเลข 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

ที่นี่เราทำการกระทำเดียวกันทั้งหมด:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

นั่นคือทั้งหมดที่ฉันอยากจะบอกคุณในวันนี้

ประเด็นสำคัญ

ข้อค้นพบที่สำคัญคือ:

• รู้อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น
• ความสามารถในการเปิดวงเล็บ
• ไม่ต้องกังวลหากคุณเห็น ฟังก์ชันกำลังสองเป็นไปได้มากว่าในกระบวนการของการเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติมพวกเขาจะลดลง
• สมการเชิงเส้นมีรากอยู่สามประเภท แม้แต่รากที่ง่ายที่สุด: รากเดียว เส้นจำนวนทั้งหมดคือราก และไม่มีรากเลย

ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยให้คุณเชี่ยวชาญหัวข้อที่เรียบง่าย แต่สำคัญมากสำหรับการทำความเข้าใจคณิตศาสตร์ทั้งหมดเพิ่มเติม หากมีบางอย่างไม่ชัดเจน ให้ไปที่ไซต์และแก้ไขตัวอย่างที่นำเสนอที่นั่น คอยติดตามสิ่งที่น่าสนใจอีกมากมายรอคุณอยู่!

ด้วยโปรแกรมคณิตศาสตร์นี้ คุณสามารถแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการด้วยสองได้ วิธีการแปรผันวิธีการทดแทนและการบวก

โปรแกรมไม่เพียงให้คำตอบสำหรับปัญหาเท่านั้น แต่ยังให้อีกด้วย วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดโดยอธิบายขั้นตอนการแก้โจทย์ได้ 2 วิธี คือ วิธีทดแทน และวิธีการบวก

โปรแกรมนี้อาจเป็นประโยชน์สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายในการเตรียมความพร้อม การทดสอบและการสอบเมื่อทดสอบความรู้ก่อนการสอบ Unified State เพื่อให้ผู้ปกครองได้ควบคุมการแก้ปัญหาต่างๆในวิชาคณิตศาสตร์และพีชคณิต หรืออาจจะแพงเกินไปสำหรับคุณที่จะจ้างครูสอนพิเศษหรือซื้อตำราเรียนใหม่ หรือคุณเพียงต้องการที่จะทำให้มันเสร็จโดยเร็วที่สุด?การบ้าน

ในวิชาคณิตศาสตร์หรือพีชคณิต? ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้โปรแกรมของเราพร้อมวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดได้ ด้วยวิธีนี้คุณสามารถดำเนินการของคุณได้การฝึกอบรมของตัวเอง และ/หรือฝึกอบรมพวกเขาน้องชาย

หรือน้องสาวในขณะที่ระดับการศึกษาด้านปัญหาที่กำลังแก้ไขเพิ่มขึ้น

กฎสำหรับการป้อนสมการ
ตัวอักษรละตินใดๆ สามารถทำหน้าที่เป็นตัวแปรได้

ตัวอย่างเช่น: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) เป็นต้น เมื่อเข้าสู่สมการคุณสามารถใช้วงเล็บได้
- ในกรณีนี้ สมการจะถูกทำให้ง่ายขึ้นก่อน

สมการหลังจากการทำให้เข้าใจง่ายจะต้องเป็นแบบเชิงเส้น เช่น ของรูปแบบ ax+by+c=0 โดยมีความแม่นยำในการเรียงลำดับองค์ประกอบ ตัวอย่างเช่น: 6x+1 = 5(x+y)+2คุณไม่เพียงแต่ใช้จำนวนเต็มในสมการเท่านั้น แต่ยังใช้ได้ด้วย

ตัวเลขเศษส่วน
ในรูปทศนิยมและเศษส่วนสามัญ กฎสำหรับการป้อนเศษส่วนทศนิยมจำนวนเต็มและเศษส่วนใน
ตัวอย่างเช่น: 2.1n + 3.5m = 55

กฎการป้อนเศษส่วนสามัญ
มีเพียงจำนวนเต็มเท่านั้นที่สามารถทำหน้าที่เป็นทั้งเศษ ตัวส่วน และจำนวนเต็มของเศษส่วนได้
ตัวส่วนไม่สามารถเป็นลบได้
เมื่อเข้ามา เศษส่วนที่เป็นตัวเลขตัวเศษจะแยกออกจากตัวส่วนด้วยเครื่องหมายหาร: /
ทั้งส่วนแยกออกจากเศษส่วนด้วยเครื่องหมายแอมเพอร์แซนด์: &

ตัวอย่าง.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

แก้ระบบสมการ

พบว่าไม่ได้โหลดสคริปต์บางตัวที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ และโปรแกรมอาจไม่ทำงาน
คุณอาจเปิดใช้งาน AdBlock ไว้
ในกรณีนี้ ให้ปิดการใช้งานและรีเฟรชเพจ

JavaScript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณ
เพื่อให้วิธีแก้ปัญหาปรากฏขึ้น คุณต้องเปิดใช้งาน JavaScript
ต่อไปนี้เป็นคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีเปิดใช้งาน JavaScript ในเบราว์เซอร์ของคุณ

เพราะ มีคนจำนวนมากยินดีแก้ไขปัญหา คำขอของคุณอยู่ในคิวแล้ว
ภายในไม่กี่วินาทีวิธีแก้ปัญหาจะปรากฏขึ้นด้านล่าง
โปรดรอ วินาที...

ถ้าคุณ สังเกตเห็นข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาจากนั้นคุณสามารถเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในแบบฟอร์มคำติชม
อย่าลืม ระบุว่างานใดคุณตัดสินใจว่าอะไร เข้าไปในทุ่งนา.

เกม ปริศนา อีมูเลเตอร์ของเรา:

ทฤษฎีเล็กน้อย

การแก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีการทดแทน

ลำดับของการกระทำเมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีการทดแทน:
1) แสดงตัวแปรหนึ่งจากสมการของระบบในรูปของอีกสมการหนึ่ง
2) แทนที่นิพจน์ผลลัพธ์เป็นสมการอื่นของระบบแทนตัวแปรนี้

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

ลองเขียน y ในรูปของ x จากสมการแรก: y = 7-3x แทนที่นิพจน์ 7-3x ลงในสมการที่สองแทนที่จะเป็น y เราจะได้ระบบ:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

มันง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าระบบที่หนึ่งและสองมีวิธีแก้ปัญหาเหมือนกัน ในระบบที่สอง สมการที่สองมีเพียงตัวแปรเดียวเท่านั้น มาแก้สมการนี้กัน:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \ลูกศรขวา -5x+14-6x=3 \ลูกศรขวา -11x=-11 \ลูกศรขวา x=1 $$

เมื่อแทน 1 แทน x ลงในความเท่าเทียมกัน y=7-3x เราจะพบค่าที่สอดคล้องกันของ y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \ลูกศรขวา y=4 $$

คู่ (1;4) - วิธีแก้ปัญหาของระบบ

ระบบสมการของตัวแปรสองตัวที่มีคำตอบเหมือนกันเรียกว่า เทียบเท่า- ระบบที่ไม่มีวิธีแก้ปัญหาก็ถือว่าเทียบเท่ากันเช่นกัน

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยการบวก

ลองพิจารณาอีกวิธีหนึ่งในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น - วิธีการบวก เมื่อแก้ระบบด้วยวิธีนี้ เช่นเดียวกับเมื่อแก้ด้วยการแทนที่ เราจะย้ายจากระบบนี้ไปยังอีกระบบหนึ่งที่เทียบเท่ากัน โดยสมการหนึ่งมีตัวแปรเพียงตัวเดียว

ลำดับของการกระทำเมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีการบวก:
1) คูณสมการของเทอมของระบบทีละเทอม โดยเลือกปัจจัยเพื่อให้ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งกลายเป็น ตัวเลขตรงข้าม;
2) เพิ่มด้านซ้ายและด้านขวาของสมการของระบบทีละเทอม
3) แก้สมการผลลัพธ์ด้วยตัวแปรเดียว
4) ค้นหาค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปรตัวที่สอง

ตัวอย่าง. มาแก้ระบบสมการกัน:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

ในสมการของระบบนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ของ y เป็นจำนวนที่ตรงกันข้าม การเพิ่มด้านซ้ายและด้านขวาของสมการทีละเทอม เราจะได้สมการที่มีตัวแปร 3 ตัวคือ 3x=33 ลองแทนที่สมการหนึ่งของระบบ เช่น สมการแรก ด้วยสมการ 3x=33 มาวางระบบกันเถอะ
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

จากสมการ 3x=33 เราพบว่า x=11 เมื่อแทนค่า x นี้ลงในสมการ \(x-3y=38\) เราจะได้สมการที่มีตัวแปร y: \(11-3y=38\) มาแก้สมการนี้กัน:
\(-3y=27 \ลูกศรขวา y=-9 \)

ดังนั้นเราจึงพบคำตอบของระบบสมการโดยการบวก: \(x=11; y=-9\) หรือ \((11;-9)\)

ใช้ประโยชน์จากความจริงที่ว่าในสมการของระบบสัมประสิทธิ์สำหรับ y เป็นจำนวนตรงข้ามเราจึงลดคำตอบลงเป็นคำตอบ ระบบที่เทียบเท่า(โดยการรวมทั้งสองข้างของแต่ละสมการของสัญลักษณ์ดั้งเดิม) โดยสมการหนึ่งมีตัวแปรเพียงตัวเดียว

หนังสือ (หนังสือเรียน) บทคัดย่อของการสอบ Unified State และ Unified State Examination ทดสอบเกมออนไลน์ปริศนา พล็อตกราฟของฟังก์ชัน พจนานุกรมตัวสะกดของภาษารัสเซีย พจนานุกรมคำสแลงเยาวชน แคตตาล็อกของโรงเรียนรัสเซีย แคตตาล็อกของสถาบันการศึกษาระดับมัธยมศึกษาของรัสเซีย แคตตาล็อกของมหาวิทยาลัยในรัสเซีย รายชื่อ ของงาน

สมการเชิงเส้นเป็นหัวข้อที่ค่อนข้างไม่เป็นอันตรายและเข้าใจได้ คณิตศาสตร์ของโรงเรียน- แต่น่าแปลกที่จำนวนข้อผิดพลาดจากสีน้ำเงินเมื่อแก้สมการเชิงเส้นนั้นน้อยกว่าในหัวข้ออื่นเพียงเล็กน้อยเท่านั้น - สมการกำลังสอง, ลอการิทึม, ตรีโกณมิติ และอื่นๆ สาเหตุของข้อผิดพลาดส่วนใหญ่คือการแปลงสมการที่เหมือนกันซ้ำซาก ประการแรกนี่คือความสับสนในสัญญาณเมื่อถ่ายโอนคำศัพท์จากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งรวมถึงข้อผิดพลาดเมื่อทำงานกับเศษส่วนและ อัตราต่อรองแบบเศษส่วน- ใช่ ใช่! เศษส่วนก็ปรากฏในสมการเชิงเส้นด้วย! ทั่วๆไป ด้านล่างนี้เราจะวิเคราะห์สมการที่ชั่วร้ายดังกล่าวอย่างแน่นอน)

อย่าดึงหางแมวแล้วมาเริ่มคิดกันดีกว่าไหม? แล้วเราก็อ่านและเจาะลึกมัน)

สมการเชิงเส้นคืออะไร? ตัวอย่าง.

โดยทั่วไปสมการเชิงเส้นจะมีลักษณะดังนี้:

ขวาน + ข = 0,

โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขใดๆ ประเภทใดก็ได้: จำนวนเต็ม, เศษส่วน, ลบ, ไม่ลงตัว - มีก็ได้!

ตัวอย่างเช่น:

7x + 1 = 0 (ในที่นี้ a = 7, b = 1)

x – 3 = 0 (ในที่นี้ a = 1, b = -3)

x/2 – 1.1 = 0 (ในที่นี้ a = 1/2, b = -1.1)

ฉันหวังว่าโดยทั่วไปคุณเข้าใจ) ทุกอย่างเรียบง่ายเหมือนในเทพนิยาย สำหรับตอนนี้... และหากมองดูใกล้ๆ บันทึกทั่วไป ax+b=0 ลองมองดูใกล้ๆ และคิดสักนิด? ท้ายที่สุด a และ b เป็น ตัวเลขใดๆ- และถ้าเรามี a = 0 และ b = 0 (คุณสามารถใช้ตัวเลขอะไรก็ได้!) แล้วเราจะได้อะไร?

0 = 0

แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมดสนุก! จะเกิดอะไรขึ้นถ้า a = 0, b = -10? แล้วมันกลายเป็นเรื่องไร้สาระ:

0 = 10.

ซึ่งน่ารำคาญมากและบ่อนทำลายความไว้วางใจในวิชาคณิตศาสตร์ที่เราได้รับจากหยาดเหงื่อและเลือด... โดยเฉพาะระหว่างการสอบ แต่จากความเสมอภาคที่เข้าใจยากและแปลกประหลาดเหล่านี้คุณต้องค้นหา X ด้วย! ซึ่งไม่มีเลย! และที่นี่ แม้แต่นักเรียนที่เตรียมตัวมาอย่างดี บางครั้งอาจตกอยู่ในอาการมึนงงได้... แต่อย่ากังวล! ใน บทเรียนนี้เราจะพิจารณาความประหลาดใจทั้งหมดดังกล่าวด้วย และเราจะพบ X จากความเท่าเทียมกันอย่างแน่นอน) ยิ่งกว่านั้น X เดียวกันนี้สามารถพบได้ง่ายมาก ใช่ ใช่! แปลกใจแต่จริง)

โอเค เป็นที่เข้าใจได้ แต่รูปลักษณ์ของงานคุณจะบอกได้อย่างไรว่ามันคือสมการเชิงเส้นไม่ใช่สมการอื่น? น่าเสียดายที่ไม่สามารถจดจำประเภทของสมการเพียงแค่รูปลักษณ์ภายนอกได้เสมอไป ประเด็นก็คือ ไม่เพียงแต่สมการของรูปแบบ ax+b=0 เท่านั้นที่ถูกเรียกว่าเชิงเส้น แต่ยังรวมถึงสมการอื่นๆ ที่ถูกแปลงให้เหลือรูปแบบนี้ไม่ทางใดก็ทางหนึ่งด้วยการแปลงที่เหมือนกัน คุณจะรู้ได้อย่างไรว่ามันเพิ่มขึ้นหรือไม่? จนกว่าคุณจะแก้ตัวอย่างได้ยาก - แทบไม่ได้เลย นี่เป็นเรื่องที่น่าหงุดหงิด แต่สำหรับสมการบางประเภท คุณสามารถบอกได้ทันทีว่าเป็นสมการเชิงเส้นหรือไม่เพียงมองแวบเดียว

การทำเช่นนี้ให้เรากลับมาอีกครั้งเพื่อ โครงสร้างทั่วไปสมการเชิงเส้นใดๆ:

ขวาน + ข = 0

โปรดทราบ: ในสมการเชิงเส้น เสมอมีเฉพาะตัวแปร x เท่านั้น ในระดับแรกและตัวเลขบางส่วน! นั่นคือทั้งหมด! ไม่มีอะไรเพิ่มเติม ในเวลาเดียวกัน ไม่มี X อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ในลูกบาศก์ ใต้ราก ใต้ลอการิทึม และสิ่งแปลกปลอมอื่นๆ และ (ที่สำคัญที่สุด!) ไม่มีเศษส่วน โดยมี X เป็นตัวส่วน!แต่เศษส่วนที่มีตัวเลขเป็นตัวส่วนหรือตัวหาร ต่อหมายเลข- อย่างง่ายดาย!

ตัวอย่างเช่น:

นี่คือสมการเชิงเส้น สมการนี้มีเพียง X ของยกกำลังและตัวเลขแรกเท่านั้น และไม่มี X อีกต่อไป ระดับสูง- ทรงสี่เหลี่ยม ทรงลูกบาศก์ และอื่นๆ ใช่ มีเศษส่วนอยู่ที่นี่ แต่ในขณะเดียวกัน ตัวส่วนของเศษส่วนก็มีด้วย ตัวเลขเท่านั้นกล่าวคือ - สองและสาม กล่าวอีกนัยหนึ่งไม่มี หารด้วย x.

และนี่คือสมการ

ไม่สามารถเรียกว่าเชิงเส้นได้อีกต่อไป แม้ว่าในที่นี้จะมีเพียงตัวเลขและ X ยกกำลังแรกเท่านั้น เพราะเหนือสิ่งอื่นใดก็มีเศษส่วนด้วย โดยมี X เป็นตัวส่วน- และหลังจากการทำให้ง่ายและการแปลงสมการดังกล่าวสามารถเป็นอะไรก็ได้: เชิงเส้น, กำลังสอง - อะไรก็ได้

จะแก้สมการเชิงเส้นได้อย่างไร? ตัวอย่าง.

แล้วคุณจะแก้สมการเชิงเส้นได้อย่างไร? อ่านต่อแล้วต้องประหลาดใจ) การแก้สมการเชิงเส้นทั้งหมดขึ้นอยู่กับสองประเด็นหลักเท่านั้น มาแสดงรายการกัน

1) ชุดของการกระทำเบื้องต้นและกฎของคณิตศาสตร์

สิ่งเหล่านี้ได้แก่ การใช้วงเล็บ วงเล็บเปิด การทำงานกับเศษส่วน การทำงานกับจำนวนลบ ตารางสูตรคูณ และอื่นๆ ความรู้และทักษะนี้จำเป็นไม่เพียงแต่สำหรับการแก้สมการเชิงเส้นเท่านั้น แต่ยังจำเป็นสำหรับคณิตศาสตร์ทั้งหมดโดยทั่วไปด้วย และหากคุณมีปัญหากับเรื่องนี้ จำไว้ ชั้นเรียนจูเนียร์- ไม่เช่นนั้นคุณจะลำบาก...

2)

มีเพียงสองคนเท่านั้น ใช่ ใช่! ยิ่งไปกว่านั้น การแปลงเอกลักษณ์ขั้นพื้นฐานเหล่านี้รองรับการแก้สมการทางคณิตศาสตร์ไม่เพียงแค่เชิงเส้นเท่านั้น แต่ยังรวมถึงสมการทางคณิตศาสตร์ด้วย! กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ การแก้สมการอื่น ๆ เช่น สมการกำลังสอง, ลอการิทึม, ตรีโกณมิติ, อตรรกยะ ฯลฯ – ตามกฎแล้ว มันเริ่มต้นด้วยการเปลี่ยนแปลงขั้นพื้นฐานเหล่านี้ แต่ในความเป็นจริงแล้วการแก้สมการเชิงเส้นจบลงด้วยสมการเหล่านี้ (การแปลง) พร้อมตอบครับ) ฉะนั้นอย่าขี้เกียจเข้าไปดูในลิงค์นะครับ) นอกจากนั้นยังมีการวิเคราะห์สมการเชิงเส้นแบบละเอียดอีกด้วย

ฉันคิดว่าถึงเวลาที่จะเริ่มดูตัวอย่างแล้ว

เริ่มต้นด้วยการวอร์มอัพ มาดูสิ่งพื้นฐานบางอย่างกันดีกว่า โดยไม่มีเศษส่วนหรือเสียงระฆังและนกหวีดอื่นๆ ตัวอย่างเช่น สมการนี้:

x – 2 = 4 – 5x

นี่คือสมการเชิงเส้นแบบคลาสสิก X ทั้งหมดอยู่ในยกกำลังแรกมากที่สุด และไม่มีการหารด้วย X เลย รูปแบบการแก้สมการในสมการนั้นจะเหมือนเดิมและเรียบง่ายมาก โดยจะต้องรวบรวมคำศัพท์ทั้งหมดที่มีเครื่องหมาย X ทางด้านซ้าย และคำศัพท์ทั้งหมดที่ไม่มีเครื่องหมาย X (เช่น ตัวเลข) จะต้องรวบรวมไว้ทางด้านขวา เอาล่ะมาเริ่มสะสมกันเลย

เพื่อทำเช่นนี้ เราได้เปิดตัวการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ครั้งแรก เราต้องเลื่อน -5x ไปทางซ้าย และเลื่อน -2 ไปทางขวา พร้อมเปลี่ยนป้ายแน่นอน) ดังนั้นเราจึงโอน:

x + 5x = 4 + 2

เอาล่ะ. การต่อสู้เสร็จสิ้นไปแล้วครึ่งหนึ่ง: X's ถูกรวบรวมเป็นกอง และตัวเลขก็เช่นกัน ตอนนี้เรานำเสนอสิ่งที่คล้ายกันทางด้านซ้ายและเรานับพวกมันทางด้านขวา เราได้รับ:

6x = 6

เราต้องการอะไรตอนนี้? ความสุขที่สมบูรณ์- ใช่ เพื่อให้ X บริสุทธิ์ยังคงอยู่ทางด้านซ้าย! และทั้งหกคนก็ขวางทาง จะกำจัดมันได้อย่างไร? ตอนนี้เราทำการแปลงข้อมูลประจำตัวครั้งที่สอง - หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 และ - voila! คำตอบพร้อมแล้ว)

x = 1

แน่นอนว่าตัวอย่างนี้เป็นเพียงตัวอย่างดั้งเดิมเท่านั้น ถึง ความคิดทั่วไปจับ. เรามาตัดสินใจเรื่องที่สำคัญกว่านี้กันดีกว่า ตัวอย่างเช่น ลองดูที่สมการนี้:

มาดูรายละเอียดกันดีกว่า) นี่เป็นสมการเชิงเส้นด้วย แม้ว่าจะดูเหมือนมีเศษส่วนก็ตาม แต่ในเศษส่วนมีการหารด้วยสองและมีการหารด้วยสาม แต่ไม่มีการหารด้วยนิพจน์ที่มี X! ดังนั้นเรามาตัดสินใจกัน ใช้การแปลงที่เหมือนกันเหมือนกันใช่)

เราควรทำอย่างไรก่อน? ด้วย X - ไปทางซ้ายโดยไม่มี X - ไปทางขวา? โดยหลักการแล้วสิ่งนี้เป็นไปได้ บินไปโซชีผ่านวลาดิวอสต็อก) หรือคุณสามารถใช้เส้นทางที่สั้นที่สุดได้ทันทีโดยใช้วิธีการที่เป็นสากลและมีประสิทธิภาพ ถ้าคุณรู้การเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์แน่นอน)

เริ่มต้นด้วยฉันถาม คำถามสำคัญ: อะไรที่โดดเด่นและไม่ชอบมากที่สุดเกี่ยวกับสมการนี้ 99 จาก 100 คนจะพูดว่า: เศษส่วน!และพวกเขาจะถูกต้อง) ดังนั้นเรามากำจัดพวกมันก่อน ปลอดภัยต่อสมการนั่นเอง) ดังนั้นเรามาเริ่มกันที่ การเปลี่ยนแปลงตัวตนครั้งที่สอง- จากการคูณ เราควรคูณทางด้านซ้ายด้วยอะไรจึงจะลดตัวส่วนได้สำเร็จ? ถูกต้องสอง แล้วทางด้านขวาล่ะ? สำหรับสามคน! แต่... คณิตศาสตร์เป็นผู้หญิงที่ไม่แน่นอน เธอคงเห็นแล้วว่าต้องคูณทั้งสองข้างเท่านั้น เพื่อเลขเดียวกัน!การคูณแต่ละส่วนด้วยตัวเลขของมันเองไม่ได้ผล... จะทำอย่างไร? บางสิ่งบางอย่าง... มองหาการประนีประนอม เพื่อที่เราจะได้สนองความปรารถนาของเรา (กำจัดเศษส่วน) และไม่ทำให้คณิตศาสตร์ขุ่นเคือง) มาคูณทั้งสองส่วนด้วยหกกันเถอะ!) นั่นคือโดย ตัวส่วนร่วมเศษส่วนทั้งหมดที่รวมอยู่ในสมการ จากนั้นในคราวเดียว ทั้งทั้งสองและทั้งสามก็จะลดลง!)

ลองคูณกัน. ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาทั้งหมด! ดังนั้นเราจึงใช้วงเล็บ นี่คือลักษณะของขั้นตอน:

ตอนนี้เราเปิดวงเล็บเดียวกันนี้:

ทีนี้ เมื่อแทน 6 เป็น 6/1 ลองคูณ 6 ด้วยเศษส่วนแต่ละตัวทางซ้ายและขวากัน นี่คือการคูณเศษส่วนตามปกติ แต่อย่างไรก็ตาม ฉันจะอธิบายโดยละเอียด:

และที่นี่ - ความสนใจ! ฉันใส่ตัวเศษ (x-3) ไว้ในวงเล็บ! ที่เป็นเช่นนี้ก็เพราะเมื่อคูณเศษส่วน ตัวเศษก็จะถูกคูณทั้งหมด! และนิพจน์ x-3 ต้องทำงานเป็นโครงสร้างอินทิกรัลเดียว แต่ถ้าคุณเขียนตัวเศษดังนี้:

6x – 3,

แต่เรามีทุกอย่างถูกต้องแล้ว และเราต้องทำให้เสร็จ จะทำอย่างไรต่อไป? เปิดวงเล็บในตัวเศษทางด้านซ้ายหรือไม่? ไม่มีทาง! คุณและฉันคูณทั้งสองข้างด้วย 6 เพื่อกำจัดเศษส่วน และไม่ต้องกังวลเรื่องวงเล็บเปิด บน ในขั้นตอนนี้เราต้องการ ลดเศษส่วนของเราด้วยความรู้สึกพึงพอใจอย่างยิ่ง เราจึงลดตัวส่วนทั้งหมดและรับสมการที่ไม่มีเศษส่วนใดๆ ในไม้บรรทัด:

3(x-3) + 6x = 30 – 4x

และตอนนี้ก็สามารถเปิดวงเล็บที่เหลือได้แล้ว:

3x – 9 + 6x = 30 – 4x

สมการดีขึ้นเรื่อยๆ! ทีนี้มาจำกันอีกครั้งเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันครั้งแรก ด้วยใบหน้าตรงเราทำซ้ำคาถาจาก ชั้นเรียนจูเนียร์: ด้วย X - ไปทางซ้ายโดยไม่มี X - ไปทางขวา- และใช้การแปลงนี้:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

เรานำเสนอสิ่งที่คล้ายกันทางด้านซ้ายและนับทางด้านขวา:

13x = 39

ยังคงต้องหารทั้งสองส่วนด้วย 13 นั่นคือใช้การแปลงครั้งที่สองอีกครั้ง เราแบ่งและรับคำตอบ:

x = 3

งานเสร็จแล้ว อย่างที่คุณเห็นใน สมการที่กำหนดเราต้องใช้การแปลงครั้งแรกหนึ่งครั้ง (เงื่อนไขการโอน) และครั้งที่สองสองครั้ง: ที่จุดเริ่มต้นของการแก้ปัญหาเราใช้การคูณ (ด้วย 6) เพื่อกำจัดเศษส่วน และในตอนท้ายของการแก้ปัญหาเราใช้การหาร (โดย 13) เพื่อกำจัดค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่หน้า X และการแก้สมการเชิงเส้นใดๆ (ใช่ มีก็ได้!) ประกอบด้วยการแปลงที่เหมือนกันเหล่านี้มารวมกันในลำดับใดลำดับหนึ่ง จะเริ่มตรงไหนดีขึ้นอยู่กับสมการเฉพาะ ในบางสถานที่ การเริ่มต้นด้วยการโอนจะทำกำไรได้มากกว่า และบางแห่ง (ดังในตัวอย่างนี้) ด้วยการคูณ (หรือการหาร)

เราทำงานจากง่ายไปซับซ้อน ตอนนี้เรามาดูความโหดร้ายโดยสิ้นเชิง ด้วยเศษส่วนและวงเล็บจำนวนหนึ่ง และฉันจะบอกคุณว่าจะไม่ทำให้ตัวเองเครียดเกินไปได้อย่างไร)

ตัวอย่างเช่น นี่คือสมการ:

ดูสมการสักพัก ตกใจแต่ยังดึงสติมาได้! ปัญหาหลักคือจะเริ่มต้นที่ไหน? คุณสามารถเพิ่มเศษส่วนทางด้านขวาได้ คุณสามารถลบเศษส่วนในวงเล็บได้ คุณสามารถคูณทั้งสองส่วนด้วยอะไรสักอย่างได้ หรือแบ่ง... แล้วอะไรจะเป็นไปได้ล่ะ? คำตอบ: ทุกอย่างเป็นไปได้! คณิตศาสตร์ไม่ได้ห้ามการกระทำใด ๆ ที่ระบุไว้ และไม่ว่าคุณจะเลือกลำดับการกระทำและการเปลี่ยนแปลงใด คำตอบก็จะเหมือนเดิมเสมอ - คำตอบที่ถูกต้อง เว้นเสียแต่ว่าในบางขั้นตอนคุณได้ละเมิดอัตลักษณ์ของการเปลี่ยนแปลงของคุณและด้วยเหตุนี้จึงทำผิดพลาด...

และเพื่อไม่ให้เกิดข้อผิดพลาด การประเมินตัวอย่างจะมีประโยชน์มากที่สุดในตัวอย่างนี้เสมอ รูปร่างและคิดออกในใจ: สิ่งที่สามารถทำได้ในตัวอย่างนี้ สูงสุดลดความซับซ้อนในขั้นตอนเดียว?

ลองคิดดูกัน ทางด้านซ้ายมีหกในตัวส่วน โดยส่วนตัวแล้วฉันไม่ชอบมัน และมันลบง่ายมาก ขอผมคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 หน่อยสิ! จากนั้นการแยกทางด้านซ้ายจะลดลงได้สำเร็จเศษส่วนในวงเล็บจะไม่ไปไหนเลย ก็ไม่เป็นไร เราจะจัดการกับมันทีหลัง) แต่ทางขวา เรามีตัวส่วน 2 และ 3 ที่หักล้างกัน การกระทำนี้ (คูณด้วย 6) ทำให้เราลดความซับซ้อนสูงสุดได้ในขั้นตอนเดียว!

หลังจากการคูณ สมการชั่วร้ายทั้งหมดของเราจะเป็นดังนี้:

หากคุณไม่เข้าใจอย่างแน่ชัดว่าสมการนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร แสดงว่าคุณยังไม่เข้าใจการวิเคราะห์ตัวอย่างก่อนหน้านี้เป็นอย่างดี และฉันก็พยายามแล้ว...

ดังนั้นเรามาเปิดเผยกัน:

ขั้นตอนที่สมเหตุสมผลที่สุดคือการแยกเศษส่วนทางด้านซ้ายและส่ง 5x ไปทางด้านขวา ในขณะเดียวกันเราจะนำเสนอสิ่งที่คล้ายกันทางด้านขวา เราได้รับ:

ดีขึ้นมากแล้ว ตอนนี้ฝั่งซ้ายได้เตรียมตัวเองสำหรับการคูณแล้ว เราควรคูณทางด้านซ้ายด้วยอะไรถึงทั้งห้าและสี่ลดลงพร้อมกัน? วันที่ 20! แต่เราก็มีข้อเสียทั้งสองข้างของสมการเช่นกัน ดังนั้นจึงสะดวกที่สุดที่จะคูณทั้งสองข้างของสมการไม่ใช่ด้วย 20 แต่คูณด้วย -20 จากนั้นในคราวเดียวทั้ง minuses และเศษส่วนก็จะหายไป

ดังนั้นเราจึงคูณ:

ใครก็ตามที่ยังไม่เข้าใจขั้นตอนนี้ แสดงว่าปัญหาไม่อยู่ในสมการ ปัญหาอยู่ที่พื้นฐาน! เรามารำลึกกันอีกครั้ง กฎทองวงเล็บเปิด:

ถ้าตัวเลขถูกคูณด้วยนิพจน์บางตัวในวงเล็บ ตัวเลขนี้จะต้องคูณตามลำดับด้วยแต่ละเทอมของนิพจน์นี้ ยิ่งไปกว่านั้น หากตัวเลขเป็นบวก สัญญาณของนิพจน์จะยังคงอยู่หลังการขยาย ถ้าเป็นลบ ให้เปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม:

ก(ข+ค) = ab+เอซี

-a(b+c) = -ab-ac

ข้อเสียของเราหายไปหลังจากคูณทั้งสองข้างด้วย -20 และตอนนี้เราคูณวงเล็บกับเศษส่วนทางซ้ายด้วยค่าค่อนข้าง จำนวนบวก 20. ดังนั้น เมื่อเปิดวงเล็บเหล่านี้แล้ว ป้ายทั้งหมดที่อยู่ภายในก็จะยังคงอยู่ แต่ที่มาของวงเล็บในตัวเศษของเศษส่วน ฉันได้อธิบายโดยละเอียดแล้วในตัวอย่างที่แล้ว

ตอนนี้คุณสามารถลดเศษส่วนได้:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

เปิดวงเล็บที่เหลือ เราเปิดเผยมันอย่างถูกต้องอีกครั้ง วงเล็บแรกคูณด้วยจำนวนบวก 4 ดังนั้นสัญญาณทั้งหมดจะยังคงอยู่เมื่อเปิดออก แต่วงเล็บสองจะคูณด้วย เชิงลบตัวเลขคือ -5 ดังนั้น เครื่องหมายทั้งหมดจึงกลับรายการ:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

เหลือเพียงเรื่องเล็กๆ น้อยๆ เท่านั้น ด้วย X ไปทางซ้าย โดยไม่มี X ทางด้านขวา:

-20x – 15x = 20 – 10 – 12

-35x = -2

นั่นคือเกือบทั้งหมด ทางด้านซ้ายคุณต้องมี X บริสุทธิ์ แต่เลข -35 ขวางทางอยู่ เราก็หารทั้งสองข้างด้วย (-35) ฉันขอเตือนคุณว่าการแปลงเอกลักษณ์ครั้งที่สองช่วยให้เราคูณและหารทั้งสองข้างได้ อะไรก็ตามตัวเลข. รวมถึงอันที่เป็นลบด้วย) ตราบใดที่มันไม่เป็นศูนย์! อย่าลังเลที่จะแบ่งและรับคำตอบ:

X = 2/35

คราวนี้ X กลายเป็นเศษส่วน ไม่เป็นไร. ตัวอย่างดังกล่าว)

ดังที่เราเห็นหลักการของการแก้สมการเชิงเส้น (แม้แต่สมการที่ซับซ้อนที่สุด) นั้นค่อนข้างง่าย: เราใช้สมการดั้งเดิมและใช้การแปลงที่เหมือนกัน ค่อยๆ ลดความซับซ้อนของมันอย่างต่อเนื่องจนกว่าเราจะได้คำตอบ ด้วยพื้นฐานแน่นอน! ปัญหาหลักที่นี่คือความล้มเหลวในการปฏิบัติตามพื้นฐาน (เช่นมีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บและพวกเขาลืมเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อขยาย) รวมถึงเลขคณิตซ้ำ ๆ ดังนั้นอย่าละเลยพื้นฐาน! พวกมันคือรากฐานของคณิตศาสตร์อื่นๆ ทั้งหมด!

กิจกรรมสนุกๆ ที่ต้องทำเมื่อแก้สมการเชิงเส้น หรือโอกาสพิเศษต่างๆ

ทุกอย่างคงจะดี อย่างไรก็ตาม... ในบรรดาสมการเชิงเส้น ยังมีไข่มุกตลกๆ อยู่ด้วย ซึ่งในกระบวนการแก้ไขมันจะทำให้คุณมึนงงอย่างรุนแรงได้ ยังเป็นนักเรียนเก่งๆ อีกด้วย)

ตัวอย่างเช่น นี่คือสมการที่ดูไม่มีอันตราย:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

หาวอย่างกว้างขวางและเบื่อเล็กน้อย เรารวบรวม X ทั้งหมดทางด้านซ้ายและตัวเลขทั้งหมดทางด้านขวา:

7x-4x-3x = 5-2-3

เรานำเสนอสิ่งที่คล้ายกันนับและรับ:

0 = 0

แค่นั้นแหละ! ฉันยกตัวอย่างเคล็ดลับ! ความเท่าเทียมกันในตัวเองไม่ได้ทำให้เกิดข้อโต้แย้งใดๆ เลย เพราะศูนย์จริงๆ แล้วเท่ากับศูนย์ แต่ X หายไป! ไร้ร่องรอย! และเราต้องเขียนลงในคำตอบว่า ทำไม เท่ากับ x - ไม่งั้นไม่นับรวมการตัดสินใจครับ) จะทำอย่างไร?

อย่าตื่นตกใจ! ในกรณีที่ไม่ได้มาตรฐานดังกล่าวมากที่สุด แนวคิดทั่วไปและหลักคณิตศาสตร์ สมการคืออะไร? จะแก้สมการได้อย่างไร? การแก้สมการหมายความว่าอย่างไร?

การแก้สมการหมายถึงการค้นหา ทั้งหมดค่าของตัวแปร x ซึ่งเมื่อแทนค่าเข้าไปแล้ว ต้นฉบับสมการจะทำให้เรามีความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง (ตัวตน)!

แต่เรามีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง มันเกิดขึ้นแล้ว- 0 = 0 หรือค่อนข้างไม่มีเลย!) เราได้แค่เดาว่า x ใดที่เราได้รับความเท่าเทียมกันนี้ X ชนิดใดที่สามารถแทนที่ได้ ต้นฉบับสมการหากทดแทนทั้งหมด พวกเขาจะยังคงลดลงเหลือศูนย์หรือไม่?คุณยังคิดไม่ออกใช่ไหม?

แน่นอน! X ก็ใช้แทนกันได้ ใดๆ- ใดๆ อย่างแน่นอน ส่งสิ่งที่คุณต้องการ อย่างน้อย 1 อย่างน้อย -23 อย่างน้อย 2.7 - อะไรก็ได้! จะยังคงลดลงและผลก็คือความจริงอันบริสุทธิ์ยังคงอยู่ ลองทดแทนและดูด้วยตัวคุณเอง)

นี่คือคำตอบของคุณ:

x – ตัวเลขใดๆ.

ในสัญกรณ์ทางวิทยาศาสตร์ ความเท่าเทียมกันนี้เขียนได้ดังนี้:

รายการนี้อ่านดังนี้: "X คือจำนวนจริงใดๆ"

หรือในรูปแบบอื่นเป็นช่วง ๆ :

ออกแบบในแบบที่คุณชอบที่สุด นี่เป็นคำตอบที่ถูกต้องและครบถ้วนสมบูรณ์!

ทีนี้ ผมจะเปลี่ยนเลขตัวเดียวในสมการเดิม ตอนนี้เรามาแก้สมการนี้กัน:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x – 2

เราโอนเงื่อนไขอีกครั้ง นับและรับ:

7x – 4x – 3x = 5 – 2 – 2

0 = 1

และคุณคิดอย่างไรกับเรื่องตลกนี้? มีสมการเชิงเส้นธรรมดา แต่มันก็กลายเป็นความเท่าเทียมกันที่ไม่อาจเข้าใจได้

0 = 1…

การพูด ภาษาวิทยาศาสตร์เราได้รับ ความเท่าเทียมกันที่ผิดพลาดแต่ในรัสเซียสิ่งนี้ไม่เป็นความจริง ไร้สาระ ไร้สาระ) เพราะศูนย์ไม่มีทางเท่ากับหนึ่งได้เลย!

ทีนี้ เรามาดูกันอีกครั้งว่าเมื่อแทนที่ X ลงในสมการเดิมแล้วจะให้ค่าอะไรแก่เรา ความเท่าเทียมกันที่แท้จริง?ที่? แต่ไม่มีเลย! ไม่ว่าคุณจะเปลี่ยน X อะไร ทุกอย่างจะยังคงสั้นลงและทุกอย่างจะยังคงไร้สาระ)

นี่คือคำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา.

ในสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ คำตอบนี้เขียนได้ดังนี้:

มีข้อความว่า: “X เป็นของเซตว่าง”

คำตอบดังกล่าวเกิดขึ้นค่อนข้างบ่อยในวิชาคณิตศาสตร์ สมการใดๆ ไม่ได้มีรากฐานมาจากหลักการเสมอไป สมการบางสมการอาจไม่มีรากเลย เลย.

นี่คือความประหลาดใจสองประการ ฉันหวังว่าตอนนี้การหายไปอย่างกะทันหันของสมการของ X จะไม่ทำให้คุณงุนงงตลอดไป อันนี้ค่อนข้างคุ้นเคย)

แล้วฉันก็ได้ยินคำถามเชิงตรรกะ: พวกเขาจะอยู่ในการสอบ OGE หรือ Unified State หรือไม่ ในการตรวจสอบ Unified State นั้นเป็นงานของตัวเอง - ไม่ใช่ ง่ายเกินไป แต่ใน OGE หรือในปัญหาคำพูด - ง่าย ๆ ! ตอนนี้เรามาฝึกและตัดสินใจกันดีกว่า:

คำตอบ (ไม่เป็นระเบียบ): -2; -1; หมายเลขใด ๆ 2; ไม่มีวิธีแก้ปัญหา 7/13.

ทุกอย่างได้ผลหรือไม่? ยอดเยี่ยม! คุณมีโอกาสที่ดีในการสอบ

มีอะไรไม่เพิ่มขึ้นบ้างไหม? อืม... ความโศกเศร้าแน่นอน ซึ่งหมายความว่ายังคงมีช่องว่างอยู่ที่ไหนสักแห่ง ไม่ว่าจะเป็นพื้นฐานหรือ การเปลี่ยนแปลงตัวตน- หรือเป็นเพียงเรื่องของการไม่ตั้งใจง่ายๆ อ่านบทเรียนอีกครั้ง เพราะนี่ไม่ใช่หัวข้อที่จะแจกแจงได้ง่ายนักในวิชาคณิตศาสตร์...

ขอให้โชคดี! เธอจะยิ้มให้คุณแน่นอนเชื่อฉัน!)

สมการเชิงเส้นคือ สมการพีชคณิตระดับรวมของพหุนามมีค่าเท่ากับหนึ่ง การแก้สมการเชิงเส้น - ส่วนหนึ่ง หลักสูตรของโรงเรียนและไม่ใช่เรื่องยากที่สุด อย่างไรก็ตาม บางคนยังคงประสบปัญหาในการจบหัวข้อนี้ เราหวังว่าหลังจากอ่าน วัสดุนี้ความยากลำบากทั้งหมดสำหรับคุณจะกลายเป็นเรื่องในอดีต ลองคิดดูสิ วิธีแก้สมการเชิงเส้น

มุมมองทั่วไป

สมการเชิงเส้นแสดงเป็น:

• ax + b = 0 โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขใดๆ

แม้ว่า a และ b จะเป็นจำนวนเท่าใดก็ได้ แต่ค่าของพวกมันจะส่งผลต่อจำนวนคำตอบของสมการ มีวิธีแก้ไขพิเศษหลายกรณี:

• ถ้า a=b=0 สมการจะได้ ชุดอนันต์การตัดสินใจ;
• ถ้า a=0, b≠0 สมการนี้ไม่มีคำตอบ
• ถ้า a≠0, b=0 สมการจะมีคำตอบ: x = 0

ในกรณีที่ไม่มีทั้งสองหมายเลข ค่าศูนย์ต้องแก้สมการเพื่อให้ได้นิพจน์สุดท้ายของตัวแปร

จะตัดสินใจอย่างไร?

การแก้สมการเชิงเส้นหมายถึงการค้นหาว่าตัวแปรมีค่าเท่ากับเท่าใด วิธีการทำเช่นนี้? ใช่ มันง่ายมาก - ใช้การดำเนินการทางพีชคณิตอย่างง่ายและปฏิบัติตามกฎการโอน หากสมการปรากฏต่อหน้าคุณในรูปแบบทั่วไป คุณก็โชคดีแล้ว

1. ย้าย b ไปทางด้านขวาของสมการโดยไม่ลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย (กฎการโอน!) ดังนั้นจากการแสดงออกของรูปแบบ ax + b = 0 ควรได้รับการแสดงออกของแบบฟอร์ม: ax = -b
2. ใช้กฎ: เพื่อค้นหาปัจจัยตัวใดตัวหนึ่ง (x - ในกรณีของเรา) คุณต้องหารผลคูณ (-b ในกรณีของเรา) ด้วยปัจจัยอื่น (a - ในกรณีของเรา) ดังนั้น คุณควรได้นิพจน์ในรูปแบบ: x ​​= -b/a

แค่นั้นแหละ - พบวิธีแก้ปัญหาแล้ว!

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง:

1. 2x + 4 = 0 - ย้าย b เท่ากับ ในกรณีนี้ 4 ไปทางขวา
2. 2x = -4 - หาร b ด้วย a (อย่าลืมเครื่องหมายลบ)
3. x = -4/2 = -2

แค่นั้นแหละ! ผลเฉลยของเรา: x = -2

อย่างที่คุณเห็น การแก้สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตัวเดียวนั้นหาได้ค่อนข้างง่าย แต่ทุกอย่างก็ง่ายมากหากเราโชคดีพอที่จะเจอสมการในรูปแบบทั่วไปของมัน ในกรณีส่วนใหญ่ ก่อนที่จะแก้สมการในสองขั้นตอนที่อธิบายไว้ข้างต้น คุณยังคงต้องทำให้นิพจน์ที่มีอยู่อยู่ในรูปแบบทั่วไปก่อน อย่างไรก็ตาม นี่ก็ไม่ใช่งานที่ยากมากเช่นกัน ลองดูกรณีพิเศษบางกรณีโดยใช้ตัวอย่าง

การแก้ไขกรณีพิเศษ

ขั้นแรก มาดูกรณีต่างๆ ที่เราอธิบายไว้ตอนต้นบทความ และอธิบายว่าการมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนอนันต์และไม่มีวิธีแก้ปัญหาหมายความว่าอย่างไร

• ถ้า a=b=0 สมการจะมีลักษณะดังนี้: 0x + 0 = 0 เมื่อทำขั้นตอนแรก เราจะได้: 0x = 0 เรื่องไร้สาระนี้หมายความว่าอย่างไร คุณอุทาน! ท้ายที่สุดแล้ว ไม่ว่าคุณจะคูณเลขอะไรด้วยศูนย์ คุณก็จะได้ศูนย์เสมอ! ขวา! นั่นเป็นเหตุผลที่พวกเขาบอกว่าสมการนี้มีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด ไม่ว่าคุณจะเลือกจำนวนเท่าใด ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง 0x = 0 หรือ 0 = 0
• ถ้า a=0, b≠0 สมการจะมีลักษณะดังนี้: 0x + 3 = 0 ทำขั้นตอนแรก เราจะได้ 0x = -3 ไร้สาระอีกแล้ว! เห็นได้ชัดว่าความเท่าเทียมนี้ไม่มีวันเป็นจริง! นั่นเป็นสาเหตุที่พวกเขาบอกว่าสมการไม่มีคำตอบ
• ถ้า a≠0, b=0 สมการจะมีลักษณะดังนี้: 3x + 0 = 0 เมื่อทำขั้นตอนแรก เราจะได้: 3x = 0 วิธีแก้ปัญหาคืออะไร ง่ายมาก x = 0

หายไปในการแปล

กรณีพิเศษที่อธิบายไว้ไม่ใช่ทั้งหมดที่สมการเชิงเส้นจะทำให้เราประหลาดใจได้ บางครั้งสมการก็ยากที่จะระบุตั้งแต่แรกเห็น ลองดูตัวอย่าง:

• 12x - 14 = 2x + 6

นี่เป็นสมการเชิงเส้นหรือเปล่า? แล้วศูนย์ทางด้านขวาล่ะ? อย่าเพิ่งด่วนสรุป ลงมือทำเลย - โอนส่วนประกอบทั้งหมดของสมการของเราเข้าไป ด้านซ้าย- เราได้รับ:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

ตอนนี้ลบไลค์ออกจากไลค์เราจะได้:

• 10x - 20 = 0

คุณรู้หรือไม่? สมการเชิงเส้นที่สุดเท่าที่เคยมีมา! วิธีแก้คือ: x = 20/10 = 2

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเรามีตัวอย่างนี้:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

ใช่ นี่เป็นสมการเชิงเส้นด้วย เพียงแต่ต้องทำการแปลงเพิ่มเติมเท่านั้น ก่อนอื่นเรามาเปิดวงเล็บ:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - ตอนนี้เราทำการโอน:
4. 25x - 4 = 0 - ยังคงต้องหาวิธีแก้ปัญหาโดยใช้รูปแบบที่ทราบอยู่แล้ว:
5. 25x = 4,
6. x = 4/25 = 0.16

อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างสามารถแก้ไขได้ สิ่งสำคัญคือไม่ต้องกังวล แต่ต้องลงมือทำ โปรดจำไว้ว่า ถ้าสมการของคุณมีเพียงตัวแปรระดับแรกและตัวเลข คุณจะมีสมการเชิงเส้น ซึ่งไม่ว่าในตอนแรกจะดูเป็นอย่างไร ก็สามารถลดให้อยู่ในรูปทั่วไปและหาค่าได้ เราหวังว่าทุกอย่างจะออกมาดีสำหรับคุณ! ขอให้โชคดี!

ระบบสมการมีการใช้กันอย่างแพร่หลายใน ภาคเศรษฐกิจที่ การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ กระบวนการต่างๆ- เช่น ในการแก้ไขปัญหาการบริหารการผลิตและการวางแผนเส้นทางลอจิสติกส์ ( ปัญหาการขนส่ง) หรือการจัดวางอุปกรณ์

ระบบสมการไม่เพียงแต่ใช้ในคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังใช้ในฟิสิกส์ เคมี และชีววิทยาด้วย เมื่อแก้ปัญหาการหาขนาดประชากร

ระบบสมการเชิงเส้นคือสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปที่มีตัวแปรหลายตัวซึ่งจำเป็นต้องหาคำตอบร่วมกัน ลำดับตัวเลขที่สมการทั้งหมดกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงหรือพิสูจน์ว่าไม่มีลำดับดังกล่าว

สมการเชิงเส้น

สมการที่อยู่ในรูปแบบ ax+by=c เรียกว่าเชิงเส้น การกำหนด x, y คือสิ่งที่ไม่ทราบค่าซึ่งจะต้องพบ, b, a คือสัมประสิทธิ์ของตัวแปร, c คือเทอมอิสระของสมการ
การแก้สมการโดยพล็อตจะมีลักษณะเป็นเส้นตรง ซึ่งทุกจุดเป็นคำตอบของพหุนาม

ประเภทของระบบสมการเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดถือเป็นระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร X และ Y สองตัว

F1(x, y) = 0 และ F2(x, y) = 0 โดยที่ F1,2 เป็นฟังก์ชัน และ (x, y) เป็นตัวแปรฟังก์ชัน

แก้ระบบสมการ - นี่หมายถึงการค้นหาค่า (x, y) ที่ระบบเปลี่ยนเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงหรือการสร้างค่าที่เหมาะสมของ x และ y ไม่มีอยู่

คู่ของค่า (x, y) ซึ่งเขียนเป็นพิกัดของจุดเรียกว่าการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

หากระบบมีวิธีแก้ปัญหาร่วมกันเพียงวิธีเดียวหรือไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลย จะเรียกว่าเทียบเท่า

ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้นคือระบบ ด้านขวาซึ่งเท่ากับศูนย์ หากส่วนขวาหลังเครื่องหมายเท่ากับมีค่าหรือแสดงโดยฟังก์ชัน ระบบดังกล่าวจะไม่เหมือนกัน

จำนวนตัวแปรสามารถมีได้มากกว่าสองตัวแปร ดังนั้นเราควรพูดถึงตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสามตัวขึ้นไป

เมื่อต้องเผชิญกับระบบต่างๆ เด็กนักเรียนจะถือว่าจำนวนสมการต้องตรงกับจำนวนที่ไม่ทราบเสมอไป แต่ไม่ได้เป็นเช่นนั้น จำนวนสมการในระบบไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวแปร สามารถมีได้มากเท่าที่ต้องการ

วิธีการแก้ระบบสมการที่ง่ายและซับซ้อน

ไม่มีวิธีวิเคราะห์ทั่วไปในการแก้ปัญหา ระบบที่คล้ายกันวิธีการทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับ โซลูชั่นเชิงตัวเลข- ใน หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์ เช่น วิธีการเรียงสับเปลี่ยน การบวกพีชคณิต การแทนที่ ตลอดจนกราฟิกและ วิธีเมทริกซ์วิธีแก้ปัญหาโดยวิธีเกาส์เซียน

ภารกิจหลักในการสอนวิธีการแก้ปัญหาคือการสอนวิธีวิเคราะห์ระบบและค้นหาอย่างถูกต้อง อัลกอริธึมที่เหมาะสมที่สุดวิธีแก้ปัญหาสำหรับแต่ละตัวอย่าง สิ่งสำคัญคือไม่ต้องจดจำระบบกฎและการกระทำสำหรับแต่ละวิธี แต่ต้องเข้าใจหลักการของการใช้วิธีเฉพาะ

ตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นของหลักสูตรชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 โรงเรียนมัธยมศึกษาค่อนข้างง่ายและอธิบายได้ละเอียดมาก ในตำราคณิตศาสตร์เล่มใดก็ตาม ส่วนนี้ได้รับความสนใจเพียงพอ การแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์และแครมเมอร์ได้รับการศึกษาอย่างละเอียดในปีแรกของการศึกษาระดับอุดมศึกษา

การแก้ระบบโดยใช้วิธีทดแทน

การกระทำของวิธีการทดแทนมีวัตถุประสงค์เพื่อแสดงค่าของตัวแปรหนึ่งในรูปของตัวแปรที่สอง นิพจน์จะถูกแทนที่ลงในสมการที่เหลือ จากนั้นจึงลดลงเป็นรูปแบบที่มีตัวแปรเดียว การดำเนินการซ้ำขึ้นอยู่กับจำนวนสิ่งที่ไม่รู้จักในระบบ

ให้เราแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นของคลาส 7 โดยใช้วิธีการทดแทน:

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ตัวแปร x ถูกแสดงผ่าน F(X) = 7 + Y ผลลัพธ์ที่ได้ซึ่งถูกแทนที่ในสมการที่ 2 ของระบบแทน X ช่วยให้ได้ตัวแปร Y หนึ่งตัวในสมการที่ 2 . สารละลาย ตัวอย่างนี้ไม่ก่อให้เกิดปัญหาและช่วยให้คุณได้รับค่า Y ขั้นตอนสุดท้ายคือการตรวจสอบค่าที่ได้รับ

ไม่สามารถแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นด้วยการทดแทนได้เสมอไป สมการอาจซับซ้อนและการแสดงตัวแปรในรูปของค่าที่ไม่ทราบค่าที่สองนั้นยุ่งยากเกินไปสำหรับการคำนวณต่อไป เมื่อมีสิ่งแปลกปลอมมากกว่า 3 รายการในระบบ การแก้ไขด้วยการทดแทนก็ทำไม่ได้เช่นกัน

เฉลยตัวอย่างระบบสมการไม่เอกพันธ์เชิงเส้น:

วิธีแก้ปัญหาโดยใช้การบวกพีชคณิต

เมื่อค้นหาคำตอบของระบบโดยใช้วิธีการบวก พวกเขาจะทำการบวกทีละเทอมและการคูณสมการด้วย ตัวเลขที่แตกต่างกัน- เป้าหมายสูงสุดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์คือสมการในตัวแปรตัวเดียว

สำหรับการใช้งาน วิธีนี้จำเป็นต้องมีการฝึกฝนและการสังเกต การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีบวกเมื่อมีตัวแปร 3 ตัวขึ้นไปไม่ใช่เรื่องง่าย การบวกพีชคณิตใช้สะดวกเมื่อสมการประกอบด้วยเศษส่วนและทศนิยม

อัลกอริธึมโซลูชัน:

1. คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนที่กำหนด ส่งผลให้ การกระทำทางคณิตศาสตร์ค่าสัมประสิทธิ์หนึ่งของตัวแปรจะต้องเท่ากับ 1
2. เพิ่มผลลัพธ์ของนิพจน์ทีละเทอมและค้นหาหนึ่งในสิ่งที่ไม่รู้จัก
3. แทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการที่ 2 ของระบบเพื่อค้นหาตัวแปรที่เหลือ

วิธีการแก้ปัญหาโดยการแนะนำตัวแปรใหม่

ตัวแปรใหม่สามารถนำมาใช้ได้หากระบบต้องการคำตอบสำหรับสมการไม่เกินสองสมการ และจำนวนที่ไม่ทราบก็ไม่ควรเกินสองสมการด้วย

วิธีการนี้ใช้เพื่อทำให้สมการใดสมการหนึ่งง่ายขึ้นโดยการแนะนำตัวแปรใหม่ สมการใหม่ได้รับการแก้ไขสำหรับค่าที่ไม่รู้จักที่แนะนำ และใช้ค่าผลลัพธ์เพื่อกำหนดตัวแปรดั้งเดิม

ตัวอย่างแสดงให้เห็นว่าด้วยการแนะนำตัวแปรใหม่ t สามารถลดสมการที่ 1 ของระบบให้เป็นสมการมาตรฐานได้ ตรีโกณมิติกำลังสอง- คุณสามารถแก้โจทย์พหุนามได้โดยการหาค่าจำแนก

มีความจำเป็นต้องค้นหาค่าจำแนกตาม สูตรที่รู้จักกันดี: D = b2 - 4*a*c โดยที่ D คือตัวจำแนกที่ต้องการ b, a, c คือตัวประกอบของพหุนาม ใน ตัวอย่างที่ให้มา a=1, b=16, c=39 ดังนั้น D=100 ถ้าจะเลือกปฏิบัติ มากกว่าศูนย์แล้วมีวิธีแก้ไขสองวิธี: t = -b±√D / 2*a หากตัวจำแนกน้อยกว่าศูนย์ ก็มีวิธีแก้ไขวิธีหนึ่ง: x = -b / 2*a

วิธีแก้ไขสำหรับระบบผลลัพธ์จะพบได้โดยวิธีการบวก

วิธีการแก้ระบบด้วยภาพ

เหมาะสำหรับ 3 ระบบสมการ วิธีการคือการสร้างต่อ แกนพิกัดกราฟของแต่ละสมการที่รวมอยู่ในระบบ พิกัดของจุดตัดของเส้นโค้งและจะเป็น การตัดสินใจทั่วไประบบ

วิธีการแบบกราฟิกมีความแตกต่างหลายประการ ลองดูตัวอย่างต่างๆ ของการแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยภาพ

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่างสำหรับแต่ละบรรทัดมีการสร้างจุดสองจุดค่าของตัวแปร x จะถูกเลือกโดยพลการ: 0 และ 3 ขึ้นอยู่กับค่าของ x พบค่าสำหรับ y: 3 และ 0 จุดที่มีพิกัด (0, 3) และ (3, 0) ถูกทำเครื่องหมายบนกราฟและเชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรง

ต้องทำซ้ำขั้นตอนสำหรับสมการที่สอง จุดตัดกันของเส้นตรงคือคำตอบของระบบ

ตัวอย่างต่อไปนี้ต้องมีการค้นหา โซลูชันกราฟิกระบบสมการเชิงเส้น: 0.5x-y+2=0 และ 0.5x-y-1=0

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา เนื่องจากกราฟมีความขนานกันและไม่ตัดกันตลอดความยาวกราฟ

ระบบจากตัวอย่างที่ 2 และ 3 คล้ายกัน แต่เมื่อสร้างเสร็จแล้ว จะเห็นได้ชัดว่าวิธีแก้ปัญหาต่างกัน ควรจำไว้ว่าเป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะบอกว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาหรือไม่ จำเป็นต้องสร้างกราฟเสมอไป

เมทริกซ์และพันธุ์ของมัน

เมทริกซ์ใช้สำหรับ หมายเหตุสั้น ๆระบบสมการเชิงเส้น เมทริกซ์คือตาราง ชนิดพิเศษเต็มไปด้วยตัวเลข n*m มี n - แถวและ m - คอลัมน์

เมทริกซ์จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อจำนวนคอลัมน์และแถวเท่ากัน matrix-vector คือเมทริกซ์ของหนึ่งคอลัมน์ที่มีค่าอนันต์ หมายเลขที่เป็นไปได้เส้น เมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบอยู่ในเส้นทแยงมุมหนึ่งและมีองค์ประกอบที่เป็นศูนย์อื่นๆ เรียกว่าเอกลักษณ์

เมทริกซ์ผกผันคือเมทริกซ์เมื่อคูณด้วยเมทริกซ์ดั้งเดิมที่เปลี่ยนเป็นเมทริกซ์หน่วย

กฎสำหรับการแปลงระบบสมการให้เป็นเมทริกซ์

สัมพันธ์กับระบบสมการ ค่าสัมประสิทธิ์และเงื่อนไขอิสระของสมการจะเขียนเป็นตัวเลขเมทริกซ์ โดยสมการหนึ่งคือหนึ่งแถวของเมทริกซ์

แถวเมทริกซ์จะบอกว่าไม่เป็นศูนย์ ถ้าอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบของแถวไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น หากจำนวนตัวแปรแตกต่างกันในสมการใดๆ ก็จำเป็นต้องป้อนศูนย์แทนค่าที่ไม่รู้จักที่หายไป

คอลัมน์เมทริกซ์จะต้องสอดคล้องกับตัวแปรอย่างเคร่งครัด ซึ่งหมายความว่าค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x สามารถเขียนได้ในคอลัมน์เดียวเท่านั้น เช่น คอลัมน์แรก ค่าสัมประสิทธิ์ของ y ที่ไม่รู้จัก - เฉพาะในคอลัมน์ที่สองเท่านั้น

เมื่อคูณเมทริกซ์ องค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์จะคูณด้วยตัวเลขตามลำดับ

ตัวเลือกสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

สูตรในการค้นหาเมทริกซ์ผกผันนั้นค่อนข้างง่าย: K -1 = 1 / |K| โดยที่ K -1 - เมทริกซ์ผกผันและ |K| คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ |เค| ต้องไม่เท่ากับศูนย์แล้วระบบก็มีทางแก้

ดีเทอร์มิแนนต์คำนวณได้ง่ายสำหรับเมทริกซ์ขนาด 2 x 2 คุณเพียงแค่ต้องคูณองค์ประกอบในแนวทแยงเข้าด้วยกัน สำหรับตัวเลือก "สามคูณสาม" มีสูตร |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ก 3 ข 2 ค 1 . คุณสามารถใช้สูตรหรือจำไว้ว่าคุณต้องนำหนึ่งองค์ประกอบจากแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์เพื่อไม่ให้จำนวนคอลัมน์และแถวขององค์ประกอบซ้ำในการทำงาน

การแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์

วิธีเมทริกซ์ในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาช่วยให้คุณลดรายการที่ยุ่งยากเมื่อแก้ไขระบบด้วย จำนวนมากตัวแปรและสมการ

ในตัวอย่าง nm คือสัมประสิทธิ์ของสมการ เมทริกซ์คือเวกเตอร์ x n คือตัวแปร และ bn คือเทอมอิสระ

การแก้ระบบโดยใช้วิธีเกาส์เซียน

ใน คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นวิธีเกาส์เซียนได้รับการศึกษาร่วมกับวิธีแครมเมอร์ และกระบวนการค้นหาคำตอบของระบบเรียกว่าวิธีแก้เกาส์-แครเมอร์ วิธีการเหล่านี้ใช้ในการค้นหา ระบบตัวแปรด้วยสมการเชิงเส้นจำนวนมาก

วิธีการของเกาส์คล้ายกับวิธีแก้ปัญหาโดยใช้การทดแทนและ การบวกพีชคณิตแต่มีความเป็นระบบมากขึ้น ในหลักสูตรของโรงเรียน วิธีแก้แบบเกาส์เซียนจะใช้กับระบบสมการ 3 และ 4 วัตถุประสงค์ของวิธีนี้คือเพื่อลดระบบให้อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูกลับหัว โดยการแปลงพีชคณิตและการแทนที่ ค่าของตัวแปรหนึ่งจะพบได้ในสมการของระบบใดสมการหนึ่ง สมการที่สองคือนิพจน์ที่มีตัวแปร 2 ตัวที่ไม่รู้จัก ในขณะที่ 3 และ 4 เป็นนิพจน์ที่มีตัวแปร 3 และ 4 ตัวตามลำดับ

หลังจากนำระบบไปสู่รูปแบบที่อธิบายไว้แล้ว วิธีแก้ไขเพิ่มเติมจะลดลงเป็นการทดแทนตัวแปรที่ทราบตามลำดับลงในสมการของระบบ

ในหนังสือเรียนของโรงเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตัวอย่างของการแก้ปัญหาด้วยวิธีเกาส์มีดังต่อไปนี้:

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ในขั้นตอนที่ (3) จะได้สมการสองสมการ: 3x 3 -2x 4 =11 และ 3x 3 +2x 4 =7 การแก้สมการใดๆ จะทำให้คุณสามารถหาตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง x n ได้

ทฤษฎีบทที่ 5 ซึ่งกล่าวถึงในเนื้อหา ระบุว่าหากสมการใดสมการหนึ่งของระบบถูกแทนที่ด้วยสมการที่เทียบเท่ากัน ระบบผลลัพธ์ที่ได้ก็จะเทียบเท่ากับสมการเดิมด้วย

วิธีเกาส์เป็นเรื่องยากสำหรับนักเรียนที่จะเข้าใจ โรงเรียนมัธยมปลายแต่เป็นวิธีหนึ่งที่น่าสนใจที่สุดในการพัฒนาความฉลาดของเด็กที่เรียนภายใต้โครงการ การศึกษาเชิงลึกในชั้นเรียนคณิตศาสตร์และฟิสิกส์

เพื่อความสะดวกในการบันทึก มักจะคำนวณดังนี้:

ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการและพจน์อิสระเขียนในรูปแบบของเมทริกซ์ โดยที่แต่ละแถวของเมทริกซ์สอดคล้องกับหนึ่งในสมการของระบบ แยกด้านซ้ายของสมการออกจากด้านขวา เลขโรมันระบุจำนวนสมการในระบบ

ขั้นแรก เขียนเมทริกซ์ที่จะใช้ทำงาน จากนั้นจึงดำเนินการทั้งหมดกับแถวใดแถวหนึ่ง เมทริกซ์ผลลัพธ์จะถูกเขียนหลังเครื่องหมาย "ลูกศร" และการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตที่จำเป็นจะดำเนินต่อไปจนกระทั่งได้ผลลัพธ์

ผลลัพธ์ควรเป็นเมทริกซ์ที่หนึ่งในเส้นทแยงมุมเท่ากับ 1 และค่าสัมประสิทธิ์อื่น ๆ ทั้งหมดเท่ากับศูนย์นั่นคือเมทริกซ์จะลดลงเป็นรูปแบบหน่วย เราต้องไม่ลืมที่จะคำนวณด้วยตัวเลขทั้งสองข้างของสมการ

วิธีการบันทึกนี้ยุ่งยากน้อยกว่าและช่วยให้คุณไม่ต้องเสียสมาธิในการแสดงรายการสิ่งที่ไม่รู้จักมากมาย

การใช้วิธีการแก้ปัญหาใด ๆ ฟรีจะต้องได้รับการดูแลและประสบการณ์บางอย่าง ไม่ใช่ทุกวิธีจะมีลักษณะประยุกต์ วิธีการหาวิธีแก้ปัญหาบางอย่างนั้นเป็นที่นิยมมากกว่าในกิจกรรมเฉพาะของมนุษย์ในขณะที่วิธีอื่นนั้นมีไว้เพื่อวัตถุประสงค์ทางการศึกษา