ทฤษฎีบท: รูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานถ้า:

1. มุมตรงข้ามของมันมีค่าเท่ากัน
2. ด้านตรงข้ามของมันมีค่าเท่ากัน
3. เส้นทแยงมุมของมันถูกแบ่งครึ่งโดยจุดตัด
4. สองด้านตรงข้ามขนานกันและเท่ากัน

การพิสูจน์:

A. ให้มุม K และ M เท่ากันและเท่ากับ a ในรูปสี่เหลี่ยม KLMN ให้มุม L และ N เท่ากันและเท่ากับ p (รูป) เนื่องจากผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับ 360° เราจะได้ 2α + 2β = 360° หรือ α + β = 180° เมื่อพิจารณาว่ามุม K และ L เท่ากับอากาศตามลำดับ เป็นมุมด้านเดียวภายในที่เส้น KN และ LM ตัดกันโดยเส้น KL เราสรุปได้ว่าด้าน KN และ LM ขนานกัน เรายังสรุปจากมุม K และ N ที่ด้าน KL และ NM ขนานกัน จากนิยามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เรายืนยันว่า KLMN รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือสี่เหลี่ยมด้านขนาน

B. ให้ด้าน CD และ FE รวมทั้ง CF และ DE มีค่าเท่ากันใน CDEF รูปสี่เหลี่ยม (รูป) ลองวาดเส้นทแยงมุมหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยม เช่น CE สามเหลี่ยม CDE และ EFC มีสามด้านเท่ากัน ดังนั้นมุม DEC และ FCE จึงเท่ากัน เนื่องจากมุมเหล่านี้เป็นกากบาทภายในที่วางอยู่บนเส้น DE และ CF ที่ตัดกันโดยเส้น CE ด้าน DE และ CF จึงขนานกัน นอกจากนี้ จากความเท่าเทียมกันของมุม DCE และ FEC เราพบว่าด้าน CD และ FE ขนานกัน ทีนี้ โดยนิยามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เรายืนยันว่า CDEF รูปสี่เหลี่ยมเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

C. ให้จุดตัด B ของเส้นทแยงมุม IL และ KM ของ IKLM รูปสี่เหลี่ยมแบ่งเส้นทแยงมุมเหล่านี้ออกเป็นครึ่งหนึ่ง: IB = BL และ KB = VM (รูป) จากนั้นสามเหลี่ยม KBL และ MBI จะเท่ากันในสองด้านและมุมระหว่างกัน ซึ่งช่วยให้เราระบุว่ามุม 1MB และ LKB เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าด้าน IM และ KL ขนานกัน ในทำนองเดียวกัน จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม KBI และ MBL เราสรุปได้ว่าด้าน IK และ LM ขนานกัน จากนิยามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราสามารถยืนยันได้ว่า IKLM ของรูปสี่เหลี่ยมเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน บ่อยครั้งที่คุณจำเป็นต้องรู้สิ่งนี้เมื่อแก้ปัญหาโอลิมปิกที่โรงเรียนโอลิมปิก

ง. ให้ด้านตรงข้าม OP และ RQ ขนานกันและเท่ากันในรูปสี่เหลี่ยมจตุรัส OPQR (รูป) ลองวาด OQ ในแนวทแยงกัน มุมที่ได้คือ POQ และ RQO เท่ากัน เนื่องจากพวกมันอยู่ภายในแนวขวางที่วางอยู่บนเส้นคู่ขนาน OP และ RQ ที่ตัดกันโดยเส้น OQ ดังนั้น สามเหลี่ยม OPQ และ RQO จึงมีค่าเท่ากันในสองด้านและมุมระหว่างกัน ดังนั้นมุมตามลำดับของ PQO และ ROQ จึงเท่ากัน

และเนื่องจากเป็นมุมตัดขวางภายในที่เส้น PQ และ OR ตัดกันโดยเส้น OQ ดังนั้นด้านข้างของ PQ และ OR จึงขนานกัน เมื่อพิจารณาถึงความขนานของด้าน OP และ RQ โดยนิยามของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เรายืนยันว่า OPQR รูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

วันนี้เราจะมาพิจารณา รูปทรงเรขาคณิต- รูปสี่เหลี่ยม จากชื่อรูปนี้ เป็นที่แน่ชัดแล้วว่ารูปนี้มีสี่มุม แต่คุณสมบัติและคุณสมบัติที่เหลือของรูปนี้เราจะพิจารณาด้านล่าง

รูปสี่เหลี่ยมคืออะไร

รูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยจุดสี่จุด (จุดยอด) และสี่ส่วน (ด้าน) ที่เชื่อมจุดเหล่านี้เป็นคู่ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคือครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นทแยงมุมและมุมระหว่างพวกมัน

รูปสี่เหลี่ยมคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดสี่จุด โดยสามจุดไม่อยู่บนเส้นเดียวกัน

ประเภทของรูปสี่เหลี่ยม

• รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเรียกว่าสี่เหลี่ยมด้านขนาน
• รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามสองด้านขนานกันและอีกสองด้านไม่เรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมู
• รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมฉากทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• รูปสี่เหลี่ยมที่มีทุกด้านเท่ากันคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
• รูปสี่เหลี่ยมที่ทุกด้านเท่ากันและทุกมุมฉากเรียกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัส

รูปสี่เหลี่ยมสามารถ:

ตัดกันเอง

ไม่นูน

นูน

รูปสี่เหลี่ยมตัดกันตัวเองคือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านใดด้านหนึ่งมีจุดตัดกัน (ในรูปสีน้ำเงิน)

รูปสี่เหลี่ยมไม่นูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมซึ่งหนึ่งใน มุมภายในมากกว่า 180 องศา (เครื่องหมายสีส้มในรูป)

ผลรวมของมุมรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ที่ไม่ตัดกันจะเท่ากับ 360 องศาเสมอ

รูปสี่เหลี่ยมชนิดพิเศษ

รูปสี่เหลี่ยมสามารถมีคุณสมบัติเพิ่มเติม ทำให้เกิดรูปทรงเรขาคณิตชนิดพิเศษ:

• สี่เหลี่ยมด้านขนาน
• สี่เหลี่ยมผืนผ้า
• สี่เหลี่ยม
• ราวสำหรับออกกำลังกาย
• เดลทอยด์
• สี่เหลี่ยมด้านขนาน

รูปสี่เหลี่ยมและวงกลม

รูปสี่เหลี่ยมที่จารึกไว้รอบวงกลม (วงกลมที่จารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยม)

คุณสมบัติหลักของรูปสี่เหลี่ยมที่ล้อมรอบ:

รูปสี่เหลี่ยมสามารถล้อมรอบวงกลมได้ก็ต่อเมื่อผลรวมของความยาว ฝ่ายตรงข้ามมีค่าเท่ากัน

รูปสี่เหลี่ยมที่จารึกเป็นวงกลม (วงกลมที่จารึกไว้รอบ ๆ รูปสี่เหลี่ยม)

คุณสมบัติหลักของรูปสี่เหลี่ยมที่จารึกไว้:

รูปสี่เหลี่ยมสามารถเขียนเป็นวงกลมได้ก็ต่อเมื่อผลรวมของมุมตรงข้ามเท่ากับ 180 องศา

คุณสมบัติความยาวด้านสี่เหลี่ยม

โมดูลัสผลต่างของสองด้านใดๆ ของรูปสี่เหลี่ยมไม่เกินผลรวมของอีกสองด้านที่เหลือ

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| ≤ a + d

|b - d| ≤ a + b

|c - d| ≤ a + b

สำคัญ. ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับการรวมกันของด้านใดๆ ของรูปสี่เหลี่ยม ตัวเลขนี้จัดทำขึ้นเพื่อความสะดวกในการทำความเข้าใจเท่านั้น

ในรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ผลรวม สามความยาวด้านยาวไม่น้อยกว่าด้านที่สี่.

สำคัญ. เมื่อแก้ปัญหาภายใน หลักสูตรโรงเรียนเราสามารถใช้ความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Javascript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณ
ต้องเปิดใช้งานการควบคุม ActiveX เพื่อทำการคำนวณ!

รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านสองด้านขนานกันและอีกสองด้านไม่ขนานกันเรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมู ฐานของด้านบ่อ ด้านฉัน ด้านที่ฉัน มันคือฐาน ด้านขนานเรียกว่า ฐาน ด้านที่ไม่ขนานกันเรียกว่าด้าน

ประเภทของสี่เหลี่ยมคางหมู สี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านเท่ากันเรียกว่าหน้าจั่ว สี่เหลี่ยมคางหมูที่มีมุมฉากหนึ่งเรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมูมุมฉาก

รูปสี่เหลี่ยมใดในรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ตั้งชื่อฐานและด้านข้าง 1 B 2 C 110 R 0 S H T 70 0 A D M 3 A B K O C Q N R

เส้นมัธยฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู B M A C MN คือเส้นมัธยฐาน N ของสี่เหลี่ยมคางหมู D

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว 1 2 รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วมีมุมฐานเท่ากัน B C ในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว เส้นทแยงมุมจะเท่ากัน AC=BD A D

สัญญาณของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว 1 ถ้ามุมที่ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากัน แสดงว่าเป็นหน้าจั่ว 2 ถ้าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากัน แสดงว่าเป็นหน้าจั่ว

การแก้ปัญหา 1 B C D A 2 AD = 2 BC หามุมของสี่เหลี่ยมคางหมู. ใน C ABCD เป็นสี่เหลี่ยมคางหมู ค้นหา: มุม AOB O A D

3 B C D A B 4 C 75 A ABCD - สี่เหลี่ยมคางหมู ค้นหา: มุมของสี่เหลี่ยมคางหมู 40 E ABCD - สี่เหลี่ยมคางหมู พ.ศ.||ซีดี. หามุมของสี่เหลี่ยมคางหมู. ดี

ระดับเฉลี่ย

สี่เหลี่ยมด้านขนาน, สี่เหลี่ยมผืนผ้า, รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน, สี่เหลี่ยมจัตุรัส (2019)

1. สี่เหลี่ยมด้านขนาน

คำประสม "สี่เหลี่ยมด้านขนาน"? และด้านหลังเป็นรูปที่เรียบง่ายมาก

นั่นคือเราเอาเส้นขนานสองเส้น:

ข้ามไปอีกสองคน:

และข้างใน - สี่เหลี่ยมด้านขนาน!

สี่เหลี่ยมด้านขนานมีคุณสมบัติอย่างไร?

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมด้านขนาน

นั่นคือ สิ่งที่สามารถใช้ได้ถ้าให้สี่เหลี่ยมด้านขนานในปัญหา?

คำถามนี้ตอบโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ลองวาดทุกอย่างอย่างละเอียด

ทำอะไร จุดแรกของทฤษฎีบท? และความจริงที่ว่าถ้าคุณมีสี่เหลี่ยมด้านขนานก็โดยทั้งหมด

ย่อหน้าที่สองหมายความว่าหากมีสี่เหลี่ยมด้านขนานก็หมายความว่า:

และสุดท้าย จุดที่สามหมายความว่าถ้าคุณมีสี่เหลี่ยมด้านขนาน ต้องแน่ใจว่า:

ดูว่าความมั่งคั่งของทางเลือกคืออะไร? ใช้อะไรในงาน? พยายามจดจ่อกับคำถามของงานหรือลองทุกอย่างในทางกลับกัน - "กุญแจ" บางประเภทจะทำได้

และตอนนี้ลองถามตัวเองด้วยคำถามอื่น: วิธีการรับรู้สี่เหลี่ยมด้านขนาน "ในหน้า"? ต้องเกิดอะไรขึ้นกับรูปสี่เหลี่ยมเพื่อให้เรามีสิทธิที่จะให้มันเป็น "ชื่อเรื่อง" ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน?

คำถามนี้ตอบด้วยสัญญาณหลายด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ความสนใจ! เริ่ม.

สี่เหลี่ยมด้านขนาน.

ให้ความสนใจ: หากคุณพบสัญญาณอย่างน้อยหนึ่งสัญญาณในปัญหาของคุณ แสดงว่าคุณมีสี่เหลี่ยมด้านขนานพอดี และคุณสามารถใช้คุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมด้านขนานได้

2. สี่เหลี่ยมผืนผ้า

ฉันไม่คิดว่ามันจะเป็นข่าวสำหรับคุณเลย

คำถามแรกคือ: สี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือไม่?

แน่นอนมันเป็น! ท้ายที่สุดเขามี - จำสัญลักษณ์ของเรา 3?

และแน่นอน จากตรงนี้ สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า เช่นเดียวกับสี่เหลี่ยมด้านขนาน และเส้นทแยงมุมถูกหารด้วยจุดตัดกันครึ่งหนึ่ง

แต่มีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและคุณสมบัติพิเศษอย่างหนึ่ง

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมผืนผ้า

เหตุใดคุณสมบัตินี้จึงโดดเด่น เพราะไม่มีสี่เหลี่ยมด้านขนานอื่นใดมีเส้นทแยงมุมเท่ากัน มากำหนดรูปแบบให้ชัดเจนยิ่งขึ้น

ให้ความสนใจ: ในการที่จะกลายเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนต้องกลายเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานก่อน จากนั้นจึงนำเสนอความเท่าเทียมกันของเส้นทแยงมุม

3. ไดมอนด์

และอีกครั้งที่คำถามคือ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือไม่?

ด้วยขวาเต็ม - สี่เหลี่ยมด้านขนานเพราะมี และ (จำเครื่องหมายของเรา 2)

และอีกครั้ง เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มันจึงต้องมีคุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งหมายความว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีมุมตรงข้ามเท่ากัน ด้านตรงข้ามขนานกัน และเส้นทแยงมุมถูกผ่าครึ่งโดยจุดตัด

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ดูรูปนั่นสิ:

ในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณสมบัติเหล่านี้มีความโดดเด่น นั่นคือ สำหรับแต่ละคุณสมบัติเหล่านี้ เราสามารถสรุปได้ว่าเราไม่ได้มีเพียงสี่เหลี่ยมด้านขนาน แต่มีรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

สัญญาณของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

และให้ความสนใจอีกครั้ง: ไม่ควรมีเพียงสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเส้นทแยงมุมตั้งฉาก แต่เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ตรวจสอบให้แน่ใจ:

ไม่ แน่นอน ไม่ใช่ แม้ว่าจะเป็นเส้นทแยงมุมและตั้งฉาก และเส้นทแยงมุมคือเส้นแบ่งครึ่งของมุม u แต่ ... เส้นทแยงมุมไม่แบ่งจุดตัดครึ่งดังนั้น - ไม่ใช่สี่เหลี่ยมด้านขนานและดังนั้นจึงไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

นั่นคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนในเวลาเดียวกัน มาดูกันว่าจะได้อะไรจากเรื่องนี้

ชัดเจนไหมว่าทำไม? - รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน - แบ่งครึ่งของมุม A ซึ่งเท่ากับ ดังนั้นจึงแบ่ง (และ) ออกเป็นสองมุมตาม

มันค่อนข้างชัดเจน: เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากัน เส้นทแยงมุมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตั้งฉากและโดยทั่วไป - เส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมด้านขนานหารด้วยจุดตัดในครึ่ง

ระดับเฉลี่ย

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนาน

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ความสนใจ! คำ " คุณสมบัติสี่เหลี่ยมด้านขนาน» หมายความว่าถ้าคุณมีงาน มีสี่เหลี่ยมด้านขนาน จากนั้นสามารถใช้สิ่งต่อไปนี้ทั้งหมดได้

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานใดๆ:

มาดูกันว่าทำไมสิ่งนี้ถึงเป็นจริง เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบท.

แล้วทำไม 1) เป็นจริง?

เนื่องจากเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น:

• เหมือนนอนขวาง
• เหมือนนอนข้าม

ดังนั้น (บนพื้นฐาน II: และ - ทั่วไป)

ครั้งหนึ่งแล้ว - แค่นั้นแหละ! - พิสูจน์แล้ว

แต่เดี๋ยวก่อน! เรายังพิสูจน์ 2)!

ทำไม แต่หลังจากทั้งหมด (ดูรูป) นั่นคือเพราะ

เหลือ 3 ตัว)

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณยังต้องวาดเส้นทแยงมุมที่สอง

และตอนนี้เราเห็นแล้วว่า - ตามเครื่องหมาย II (มุมและด้าน "ระหว่าง" พวกเขา)

คุณสมบัติพิสูจน์แล้ว! มาต่อกันที่ป้าย

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมด้านขนาน

จำได้ว่าเครื่องหมายของสี่เหลี่ยมด้านขนานตอบคำถาม "จะทราบได้อย่างไร" ว่าตัวเลขนั้นเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ในไอคอนจะเป็นดังนี้:

ทำไม คงจะดีถ้าเข้าใจว่าทำไม - นั่นก็เพียงพอแล้ว แต่ดู:

เราก็หาได้ว่าทำไมเครื่องหมาย 1 ถึงเป็นจริง

ง่ายกว่านั้นอีก! ลองวาดเส้นทแยงมุมอีกครั้ง

ซึ่งหมายความว่า:

และเป็นเรื่องง่าย แต่… แตกต่าง!

วิธี, . ว้าว! แต่ยัง - ภายในด้านเดียวที่เซแคนท์!

ดังนั้นความจริงที่หมายความว่า

และถ้าคุณมองจากอีกด้าน แสดงว่าภายในเป็นซีแคนต์ด้านเดียว! และดังนั้นจึง.

แซ่บขนาดไหนมาดูกัน!

และอีกครั้งง่ายๆ:

เหมือนกันหมดและ.

ใส่ใจ:ถ้าคุณพบว่า อย่างน้อยหนึ่งสัญญาณของสี่เหลี่ยมด้านขนานในปัญหาของคุณ แล้วคุณมี อย่างแน่นอนสี่เหลี่ยมด้านขนานและคุณสามารถใช้ ทุกคนคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เพื่อความชัดเจน ดูแผนภาพ:

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมผืนผ้า.

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมผืนผ้า:

จุดที่ 1) ค่อนข้างชัดเจน - ท้ายที่สุดแล้ว เครื่องหมาย 3 () ถูกเติมเต็มแล้ว

และจุดที่ 2) - สำคัญมาก. มาพิสูจน์กัน

ดังนั้นในสองขา (และ - ทั่วไป)

เนื่องจากสามเหลี่ยมเท่ากัน ด้านตรงข้ามมุมฉากของพวกมันก็เท่ากัน

พิสูจน์แล้ว!

และลองนึกภาพ ความเท่าเทียมกันของเส้นทแยงมุมเป็นคุณสมบัติเด่นของสี่เหลี่ยมจัตุรัสในบรรดาสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมด นั่นคือข้อความต่อไปนี้เป็นจริง

มาดูกันว่าทำไม?

ดังนั้น (หมายถึงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน) แต่จำไว้อีกครั้งว่า - สี่เหลี่ยมด้านขนานและด้วยเหตุนี้

วิธี, . และแน่นอน จากนี้ไปแต่ละคน ท้ายที่สุดแล้วในจำนวนที่พวกเขาควรจะให้!

ที่นี่เราได้พิสูจน์แล้วว่าถ้า สี่เหลี่ยมด้านขนานทันใดนั้น (!) จะเป็นเส้นทแยงมุมเท่ากันจากนั้น ตรงสี่เหลี่ยม.

แต่! ใส่ใจ!มันเกี่ยวกับ สี่เหลี่ยมด้านขนาน! ไม่ใด ๆรูปสี่เหลี่ยมที่มีเส้นทแยงมุมเท่ากันคือสี่เหลี่ยมผืนผ้า และ เท่านั้นสี่เหลี่ยมด้านขนาน!

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

และอีกครั้งที่คำถามคือ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือไม่?

ด้วยขวาเต็ม - สี่เหลี่ยมด้านขนานเพราะมี และ (จำเครื่องหมายของเรา 2)

และอีกครั้ง เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มันจึงต้องมีคุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งหมายความว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีมุมตรงข้ามเท่ากัน ด้านตรงข้ามขนานกัน และเส้นทแยงมุมถูกผ่าครึ่งโดยจุดตัด

แต่ยังมีคุณสมบัติพิเศษ เรากำหนด

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ทำไม เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานดังนั้นเส้นทแยงมุมจึงถูกหารด้วยครึ่ง

ทำไม ใช่ นั่นเป็นเหตุผล!

กล่าวอีกนัยหนึ่งเส้นทแยงมุมและกลายเป็นแบ่งครึ่งของมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ในกรณีของสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณสมบัติเหล่านี้คือ โดดเด่นแต่ละคนก็เป็นสัญลักษณ์ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ป้ายรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ทำไมถึงเป็นอย่างนั้น? และมอง

ดังนั้นและ ทั้งสองสามเหลี่ยมเหล่านี้เป็นหน้าจั่ว

ในการเป็นสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนต้อง "กลายเป็น" สี่เหลี่ยมด้านขนานก่อน จากนั้นจึงแสดงคุณลักษณะ 1 หรือคุณลักษณะ 2 แล้ว

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยม

นั่นคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนในเวลาเดียวกัน มาดูกันว่าจะได้อะไรจากสิ่งนี้

ชัดเจนไหมว่าทำไม? สี่เหลี่ยมจัตุรัส - รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน - แบ่งครึ่งของมุมซึ่งเท่ากับ ดังนั้นจึงแบ่ง (และ) ออกเป็นสองมุมตาม

มันค่อนข้างชัดเจน: เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากัน เส้นทแยงมุมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตั้งฉากและโดยทั่วไป - เส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมด้านขนานหารด้วยจุดตัดในครึ่ง

ทำไม ก็แค่ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับ

สรุปและสูตรพื้นฐาน

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

1. ด้านตรงข้ามเท่ากัน: , .
2. มุมตรงข้ามคือ: , .
3. มุมที่ด้านใดด้านหนึ่งรวมกันเป็น: , .
4. เส้นทแยงมุมถูกหารด้วยจุดตัดครึ่ง: .

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมผืนผ้า:

1. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ: .
2. สี่เหลี่ยมผืนผ้าคือสี่เหลี่ยมด้านขนาน (คุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมด้านขนานถูกเติมเต็มสำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า)

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน:

1. เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตั้งฉาก: .
2. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นตัวแบ่งครึ่งของมุมของมัน: ; ; ; .
3. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (คุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมด้านขนานได้รับการเติมเต็มสำหรับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน)

คุณสมบัติสแควร์:

สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและสี่เหลี่ยมในเวลาเดียวกัน ดังนั้นสำหรับสี่เหลี่ยมจตุรัส คุณสมบัติทั้งหมดของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจึงสมบูรณ์ เช่นเดียวกับ:

เอาล่ะ หัวข้อจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถควบคุมบางสิ่งได้ด้วยตนเอง และถ้าคุณอ่านจนจบ คุณอยู่ใน 5%!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณได้คิดออกทฤษฎีในหัวข้อนี้ และขอย้ำอีกครั้งว่า ... มันสุดยอดมาก! คุณดีกว่าเพื่อนส่วนใหญ่ของคุณอยู่แล้ว

ปัญหาคือแค่นี้อาจไม่เพียงพอ ...

เพื่ออะไร?

สำหรับการผ่านการสอบที่ประสบความสำเร็จสำหรับการเข้าศึกษาในสถาบันด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใดฉันจะพูดสิ่งหนึ่ง ...

ผู้ที่ได้รับการศึกษาที่ดีจะได้รับมากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับการศึกษา นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาดังกล่าว) อาจเป็นเพราะมีโอกาสมากขึ้นต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเอง...

ต้องทำอย่างไรจึงจะเก่งกว่าคนอื่นในการสอบและในที่สุด ... มีความสุขมากขึ้น?

กรอกมือของคุณเพื่อแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

ในการสอบคุณจะไม่ถูกถามทฤษฎี

คุณจะต้องการ แก้ปัญหาตรงเวลา.

และถ้าคุณยังไม่ได้แก้ไข (จำนวนมาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ ที่ไหนสักแห่งหรือไม่สามารถทำมันได้ทันเวลา

เหมือนอยู่ในกีฬา - คุณต้องทำซ้ำหลายครั้งเพื่อชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันได้ทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นด้วยการแก้ปัญหาการวิเคราะห์รายละเอียดและตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และเราแนะนำพวกเขาอย่างแน่นอน

เพื่อที่จะได้รับความช่วยเหลือจากงานของเรา คุณต้องช่วยยืดอายุตำราเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ - 299 ถู
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมด 99 บทความของบทช่วยสอน - 999 ถู

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนและเข้าถึงงานทั้งหมดและเปิดอ่านข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

ในกรณีที่สอง เราจะให้คุณโปรแกรมจำลอง "6000 งานพร้อมคำตอบและคำตอบ สำหรับแต่ละหัวข้อ สำหรับทุกระดับของความซับซ้อน" เพียงพอที่จะแก้ไขปัญหาในหัวข้อใดก็ได้

อันที่จริง นี่เป็นมากกว่าแค่เครื่องจำลอง - เป็นโปรแกรมการฝึกอบรมทั้งหมด หากจำเป็น คุณยังสามารถใช้งานได้ฟรี

เข้าถึงข้อความและโปรแกรมทั้งหมดได้ตลอดอายุของเว็บไซต์

สรุปแล้ว...

หากคุณไม่ชอบงานของเรา หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจ” กับ “ฉันรู้วิธีแก้ปัญหา” เป็นทักษะที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

พบปัญหาและแก้ไข!

หนึ่งในสัญญาณของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือถ้าด้านสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากันและขนานกัน รูปสี่เหลี่ยมนั้นจะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน นั่นคือถ้ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีสองด้านเท่ากันและขนานกัน อีกสองด้านก็จะกลายเป็นเท่ากันและขนานกัน เนื่องจากข้อเท็จจริงนี้เป็นคำจำกัดความและสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ดังนั้นสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถกำหนดได้ด้วยสองด้านที่เท่ากันและขนานกันเท่านั้น

คุณลักษณะของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้สามารถกำหนดเป็นทฤษฎีบทและพิสูจน์ได้ ในกรณีนี้ เราจะได้รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันและขนานกัน จำเป็นต้องพิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยมดังกล่าวเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (นั่นคือ อีกสองด้านเท่ากันและขนานกัน)

ให้รูปสี่เหลี่ยม ABCD ที่กำหนด และด้าน AB || ซีดี และ AB=ซีดี

เราได้รับรูปสี่เหลี่ยม ไม่มีการกล่าวว่านูนหรือไม่ (แม้ว่าเฉพาะรูปสี่เหลี่ยมนูนเท่านั้นที่สามารถเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานได้) อย่างไรก็ตาม แม้จะอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมที่ไม่นูน ก็ยังมีเส้นทแยงมุมหนึ่งเส้นที่แบ่งเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเสมอ หากนี่คือ AC แนวทแยง เราก็จะได้สามเหลี่ยม ABC กับ ADC สองรูป หากเป็นเส้นทแยงมุม BD ก็จะมี ∆ABD และ ∆BCD

สมมติว่าเราได้สามเหลี่ยม ABC และ ADC พวกมันมีด้านร่วมหนึ่งด้าน (AC แนวทแยง) ด้าน AB ของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับด้าน CD ของอีกด้านหนึ่ง (ตามเงื่อนไข) มุม BAC เท่ากับมุม ACD (โดยนอนขวางระหว่างเส้นซีแคนต์และเส้นขนาน) . ดังนั้น ∆ABC = ∆ADC ทั้งสองข้างและมุมระหว่างพวกมัน

จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ด้านและมุมอื่นๆ จะเท่ากันตามลำดับ แต่ด้าน BC ของสามเหลี่ยม ABC ตรงกับด้าน AD ของสามเหลี่ยม ADC ดังนั้น BC = AD มุม B สอดคล้องกับมุม D ดังนั้น ∠B = ∠D มุมเหล่านี้มีค่าเท่ากันถ้า BC || AD (ตั้งแต่ AB || CD เส้นเหล่านี้สามารถรวมกันได้โดยการแปลแบบคู่ขนาน จากนั้น ∠B จะกลายเป็นการข้ามเส้น ∠D และความเท่าเทียมกันสามารถเป็นได้สำหรับ BC || AD เท่านั้น)

ตามคำจำกัดความ สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามเท่ากันและขนานกัน

ดังนั้น จึงได้รับการพิสูจน์แล้วว่าหากด้าน AB และ CD ของสี่เหลี่ยม ABCD เท่ากันและขนานกัน และ AC ในแนวทแยงแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูป จากนั้นด้านอีกคู่ของมันจะเท่ากันและขนานกัน

ถ้ารูปสี่เหลี่ยม ABCD ถูกแบ่งออกเป็นสองรูปสามเหลี่ยมด้วยเส้นทแยงมุมอีกเส้นหนึ่ง (BD) ก็จะพิจารณาสามเหลี่ยม ABD และ BCD ความเท่าเทียมกันของพวกเขาจะได้รับการพิสูจน์เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ ปรากฎว่า BC = AD และ ∠A = ∠C ซึ่งหมายความว่า BC || โฆษณา