ตัวเลขฟีโบนักชีในธรรมชาติและชีวิตมนุษย์ อัตราส่วนทองคำฟีโบนักชี

คุณเคยได้ยินไหมว่าคณิตศาสตร์เรียกว่า "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ทั้งหมด"? คุณเห็นด้วยกับข้อความนี้หรือไม่? ตราบใดที่คณิตศาสตร์ยังคงเป็นปริศนาในตำราเรียนที่น่าเบื่อสำหรับคุณ คุณแทบจะไม่รู้สึกถึงความงาม ความเก่งกาจ และแม้แต่อารมณ์ขันของวิทยาศาสตร์นี้

แต่มีหัวข้อทางคณิตศาสตร์ที่ช่วยในการสังเกตสิ่งต่าง ๆ และปรากฏการณ์ที่เหมือนกันกับเรา และแม้กระทั่งพยายามเจาะม่านความลึกลับของการสร้างจักรวาลของเรา มีรูปแบบที่น่าสงสัยในโลกที่สามารถอธิบายได้ด้วยความช่วยเหลือของคณิตศาสตร์

แนะนำเลขฟีโบนักชี

ตัวเลขฟีโบนักชีตั้งชื่อองค์ประกอบ ลำดับเลข. ในนั้นแต่ละหมายเลขถัดไปในซีรีย์นั้นได้มาจากการรวมสอง ตัวเลขก่อนหน้า.

ลำดับตัวอย่าง: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

คุณสามารถเขียนได้ดังนี้:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

คุณสามารถเริ่มชุดตัวเลขฟีโบนักชีด้วย ค่าลบ น. นอกจากนี้ ลำดับในกรณีนี้เป็นแบบสองด้าน (เช่น ครอบคลุมค่าลบและ ตัวเลขบวก) และมีแนวโน้มเป็นอนันต์ทั้งสองทิศทาง

ตัวอย่างของลำดับดังกล่าว: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

สูตรในกรณีนี้มีลักษณะดังนี้:

F n = F n+1 - F n+2หรือมิฉะนั้นคุณสามารถทำได้ดังนี้: Fn = (-1) n+1 Fn.

สิ่งที่เรารู้จักในชื่อ "ตัวเลขฟีโบนักชี" เป็นที่ทราบกันดีในหมู่นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียโบราณมานานก่อนจะถูกนำมาใช้ในยุโรป และด้วยชื่อนี้โดยทั่วไปแล้วหนึ่งของแข็ง เกร็ดประวัติศาสตร์. เริ่มจากความจริงที่ว่า Fibonacci เองไม่เคยเรียกตัวเองว่า Fibonacci ในช่วงชีวิตของเขา - ชื่อนี้เริ่มใช้กับ Leonardo of Pisa เพียงไม่กี่ศตวรรษหลังจากการตายของเขา แต่มาพูดถึงทุกอย่างตามลำดับ

เลโอนาร์โดแห่งปิซา หรือ ฟีโบนักชี

ลูกชายของพ่อค้าที่กลายเป็นนักคณิตศาสตร์ และต่อมาได้รับการยอมรับจากลูกหลานของเขาว่าเป็นนักคณิตศาสตร์รายใหญ่คนแรกของยุโรปในช่วงยุคกลาง ไม่อยู่ใน โค้งสุดท้ายขอบคุณตัวเลขฟีโบนักชี (ซึ่งตอนนั้นเราจำได้ว่ายังไม่ได้เรียกแบบนั้น) ที่เขาอยู่ใน ต้นสิบสามศตวรรษที่อธิบายไว้ในงานของเขา "Liber abaci" ("The Book of the Abacus", 1202)

เลโอนาร์โดเดินทางไปกับพ่อของเขาทางทิศตะวันออกศึกษาคณิตศาสตร์กับครูชาวอาหรับ (และในสมัยนั้นพวกเขาอยู่ในธุรกิจนี้และในสาขาวิทยาศาสตร์อื่น ๆ อีกมากมายหนึ่งในนั้น ผู้เชี่ยวชาญที่ดีที่สุด). ผลงานของนักคณิตศาสตร์ในสมัยโบราณและ อินเดียโบราณเขาอ่านคำแปลภาษาอาหรับ

หลังจากที่เข้าใจทุกอย่างที่เขาอ่านอย่างถูกต้องและเชื่อมโยงความคิดที่อยากรู้อยากเห็นของตัวเอง ฟีโบนักชีจึงเขียนบทความทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับคณิตศาสตร์หลายเรื่อง รวมถึง “หนังสือลูกคิด” ที่กล่าวถึงข้างต้น นอกจากเธอแล้ว พระองค์ทรงสร้าง:

"Practica geometriae" ("แนวปฏิบัติเกี่ยวกับเรขาคณิต", 1220);
"Flos" ("Flower", 1225 - การศึกษาสมการลูกบาศก์);
"Liber quadratorum" ("The Book of Squares", 1225 - ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองไม่แน่นอน)

เขาเป็นคนรักการแข่งขันทางคณิตศาสตร์อย่างมาก ดังนั้นในบทความของเขา เขาจึงให้ความสนใจอย่างมากกับการวิเคราะห์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ต่างๆ

ไม่ค่อยมีใครรู้เรื่องชีวิตของเลโอนาร์โด ข้อมูลชีวประวัติ. สำหรับชื่อฟีโบนักชีซึ่งเขาเข้าสู่ประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์นั้นถูกกำหนดให้กับเขาในศตวรรษที่ 19 เท่านั้น

ฟีโบนักชีและงานของเขา

หลังจากฟีโบนักชีจากไป จำนวนมากปัญหาที่เป็นที่นิยมมากในหมู่นักคณิตศาสตร์ในศตวรรษต่อ ๆ มา เราจะพิจารณาปัญหาของกระต่ายในการแก้ปัญหาซึ่งใช้ตัวเลขฟีโบนักชี

กระต่ายไม่ใช่แค่ขนที่มีคุณค่า

ฟีโบนักชีกำหนดเงื่อนไขดังต่อไปนี้: มีกระต่ายแรกเกิดคู่หนึ่ง (ตัวผู้และตัวเมีย) ของสายพันธุ์ที่น่าสนใจที่พวกเขาผลิตเป็นประจำ (เริ่มจากเดือนที่สอง) - หนึ่งตัวเสมอ คู่ใหม่กระต่าย อย่างที่คุณอาจเดาได้ทั้งชายและหญิง

กระต่ายที่มีเงื่อนไขเหล่านี้ถูกวางไว้ในพื้นที่ปิดและผสมพันธุ์อย่างกระตือรือร้น นอกจากนี้ยังกำหนดว่าไม่มีกระต่ายตายจากโรคกระต่ายลึกลับบางชนิด

เราจำเป็นต้องคำนวณว่าเราจะได้กระต่ายกี่ตัวในหนึ่งปี

เมื่อต้น 1 เดือน เรามีกระต่าย 1 คู่ เมื่อสิ้นเดือนพวกเขาจะผสมพันธุ์
เดือนที่สอง - เรามีกระต่าย 2 คู่แล้ว (คู่หนึ่งมีพ่อแม่ + 1 คู่ - ลูกของพวกมัน)
เดือนที่สาม: คู่แรกให้กำเนิดคู่ใหม่ คู่ที่สองคือคู่ครอง รวม - กระต่าย 3 คู่
เดือนที่สี่: คู่แรกให้กำเนิดคู่ใหม่ คู่ที่สองไม่เสียเวลา และยังให้กำเนิดคู่ใหม่ คู่ที่สามแค่ผสมพันธุ์ รวม - กระต่าย 5 คู่

จำนวนกระต่ายใน น- เดือนที่ = จำนวนคู่ของกระต่ายจากเดือนก่อน + จำนวนคู่แรกเกิด (ก่อนหน้านี้มีคู่กระต่ายจำนวนเท่ากันเมื่อ 2 เดือนก่อน) และทั้งหมดนี้อธิบายโดยสูตรที่เราได้ให้ไว้ข้างต้น: F n \u003d F n-1 + F n-2.

ดังนั้นเราจึงได้รับการกำเริบ (คำอธิบายของ การเรียกซ้ำ- ด้านล่าง) ลำดับตัวเลข โดยที่แต่ละหมายเลขถัดไปจะเท่ากับผลรวมของสองตัวก่อนหน้า:

1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55
55 + 34 = 89
89 + 55 = 144
144 + 89 = 233
233+ 144 = 377 <…>

คุณสามารถทำลำดับต่อไปได้นาน: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. แต่เนื่องจากเราได้กำหนดช่วงเวลาเฉพาะไว้ - ปี เราจึงสนใจผลลัพธ์ที่ได้จาก "การเคลื่อนไหว" ครั้งที่ 12 เหล่านั้น. สมาชิกคนที่ 13 ของซีเควนซ์: 377

คำตอบอยู่ในปัญหา: จะได้รับกระต่าย 377 ตัวหากตรงตามเงื่อนไขที่ระบุไว้ทั้งหมด

หนึ่งในคุณสมบัติของลำดับฟีโบนักชีนั้นน่าสนใจมาก ถ้าเราเอาสองคู่ติดต่อกันจากแถวแล้วหาร มากกว่าให้น้อยลงผลก็จะค่อยๆเข้าใกล้ อัตราส่วนทองคำ(คุณสามารถอ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ในภายหลังในบทความ)

ในภาษาของคณิตศาสตร์ "ขีดจำกัดความสัมพันธ์ n+1ถึง หนึ่งเท่ากับอัตราส่วนทองคำ.

ปัญหาเพิ่มเติมในทฤษฎีจำนวน

หาจำนวนที่หารด้วย 7 ได้ นอกจากนี้ ถ้าคุณหารด้วย 2, 3, 4, 5, 6 เศษที่เหลือจะเป็นหนึ่ง
หา เลขสี่เหลี่ยม. เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าถ้าคุณบวก 5 เข้าไปหรือลบ 5 คุณจะได้เลขกำลังสองอีกครั้ง

เราขอเชิญคุณค้นหาคำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้ด้วยตัวคุณเอง คุณสามารถทิ้งตัวเลือกของคุณในความคิดเห็นของบทความนี้ จากนั้นเราจะบอกคุณว่าการคำนวณของคุณถูกต้องหรือไม่

คำอธิบายเกี่ยวกับการเรียกซ้ำ

การเรียกซ้ำ- คำจำกัดความ คำอธิบาย ภาพของวัตถุหรือกระบวนการ ซึ่งประกอบด้วยวัตถุหรือกระบวนการนี้เอง อันที่จริงแล้ววัตถุหรือกระบวนการเป็นส่วนหนึ่งของตัวมันเอง

การเรียกซ้ำพบการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ แม้กระทั่งในศิลปะและวัฒนธรรมสมัยนิยม

ตัวเลขฟีโบนักชีถูกกำหนดโดยใช้ ความสัมพันธ์กำเริบ. สำหรับหมายเลข n>2 n-เลขอีคือ (n - 1) + (n - 2).

คำอธิบายของอัตราส่วนทองคำ

อัตราส่วนทองคำ - การแบ่งส่วนทั้งหมด (เช่น ส่วน) ออกเป็นส่วนที่มีความสัมพันธ์กันตาม ตามหลักการ: ส่วนใหญ่ของหมายถึงค่าที่น้อยกว่าในลักษณะเดียวกับค่าทั้งหมด (เช่น ผลรวมของสองส่วน) ไปยังส่วนที่ใหญ่กว่า

การกล่าวถึงอัตราส่วนทองคำครั้งแรกสามารถพบได้ในบทความเรื่อง "จุดเริ่มต้น" ของยุคลิด (ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล) ในบริบทของการสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าปกติ

คำศัพท์ที่เราคุ้นเคยในปี 1835 ได้รับการแนะนำโดย Martin Ohm นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน

หากคุณอธิบายอัตราส่วนทองคำโดยประมาณ มันจะเป็นการแบ่งสัดส่วนออกเป็นสองส่วนที่ไม่เท่ากัน: ประมาณ 62% และ 38% ที่ ในแง่ตัวเลขอัตราส่วนทองคำเป็นตัวเลข 1,6180339887 .

พบอัตราส่วนทองคำ การใช้งานจริงใน ศิลปกรรม(ภาพวาดโดยเลโอนาร์โด ดา วินชีและจิตรกรยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาคนอื่นๆ) สถาปัตยกรรม โรงภาพยนตร์ (The Battleship Potemkin โดย S. Ezenstein) และพื้นที่อื่นๆ เชื่อกันมานานแล้วว่าอัตราส่วนทองคำเป็นสัดส่วนที่สวยงามที่สุด มุมมองนี้ยังคงเป็นที่นิยมในปัจจุบัน แม้ว่าจากผลการวิจัยพบว่าคนส่วนใหญ่ไม่รับรู้สัดส่วนดังกล่าวว่าเป็นตัวเลือกที่ประสบความสำเร็จมากที่สุดและถือว่ายาวเกินไป (ไม่สมส่วน)

ตัดความยาว กับ = 1, เอ = 0,618, ข = 0,382.
ทัศนคติ กับถึง เอ = 1, 618.
ทัศนคติ กับถึง ข = 2,618

กลับไปที่ตัวเลขฟีโบนักชี ใช้คำศัพท์สองคำที่ต่อเนื่องกันจากลำดับของมัน หารจำนวนที่มากกว่าด้วยจำนวนที่น้อยกว่าและรับประมาณ 1.618 และตอนนี้ ลองใช้จำนวนที่มากกว่าเดิมและสมาชิกถัดไปของซีรีส์ (เช่น ตัวเลขที่มากกว่าเดิม) - อัตราส่วนของพวกมันคือช่วงต้น 0.618

นี่คือตัวอย่าง: 144, 233, 377

233/144 = 1.618 และ 233/377 = 0.618

อย่างไรก็ตาม หากคุณพยายามทำการทดสอบแบบเดียวกันกับตัวเลขตั้งแต่เริ่มต้นลำดับ (เช่น 2, 3, 5) จะไม่มีผลใดๆ เกือบ. กฎอัตราส่วนทองคำแทบจะไม่ได้รับการเคารพในตอนต้นของลำดับ แต่ในทางกลับกัน เมื่อคุณเคลื่อนที่ไปตามแถวและจำนวนเพิ่มขึ้น มันก็ใช้ได้ดี

และเพื่อที่จะคำนวณชุดตัวเลขฟีโบนักชีทั้งชุด ก็เพียงพอแล้วที่จะรู้สามสมาชิกของลำดับโดยเรียงตามกัน คุณสามารถดูด้วยตัวคุณเอง!

สี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำและเกลียวฟีโบนักชี

คู่ขนานที่น่าสงสัยอีกอย่างหนึ่งระหว่างตัวเลขฟีโบนักชีกับอัตราส่วนทองคำช่วยให้เราสามารถวาดสิ่งที่เรียกว่า "สี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำ" ได้: ด้านของมันสัมพันธ์กันในสัดส่วน 1.618 ต่อ 1 แต่เรารู้แล้วว่าตัวเลข 1.618 คืออะไร ใช่ไหม

ตัวอย่างเช่น ลองใช้อนุกรมฟีโบนักชีสองเทอมติดต่อกัน - 8 และ 13 - และสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วย พารามิเตอร์ต่อไปนี้: กว้าง = 8, ยาว = 13

แล้วเราก็แบ่งสี่เหลี่ยมใหญ่ให้เล็กลง เงื่อนไขบังคับ: ความยาวของด้านข้างของสี่เหลี่ยมต้องตรงกับตัวเลขฟีโบนักชี เหล่านั้น. ความยาวด้านของสี่เหลี่ยมที่ใหญ่กว่าควรเป็น เท่ากับผลรวมด้านของสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ สองอัน

วิธีการทำในรูปนี้ (เพื่อความสะดวก ตัวเลขจะถูกเซ็นชื่อด้วยตัวอักษรละติน)

อย่างไรก็ตาม คุณสามารถสร้างสี่เหลี่ยมใน กลับลำดับ. เหล่านั้น. เริ่มสร้างจากสี่เหลี่ยมที่มีด้าน 1 ซึ่งตามหลักการที่เปล่งออกมาข้างต้นแล้วร่างที่มีด้านข้างเสร็จสมบูรณ์ จำนวนเท่ากันฟีโบนักชี ในทางทฤษฎี มันสามารถดำเนินต่อไปได้ไม่มีกำหนด - ท้ายที่สุดแล้ว อนุกรมฟีโบนักชีนั้นไม่มีที่สิ้นสุดอย่างเป็นทางการ

หากเราเชื่อมต่อมุมของสี่เหลี่ยมที่ได้ในรูปด้วยเส้นเรียบเราจะได้เกลียวลอการิทึม แต่เธอ กรณีพิเศษ- เกลียวฟีโบนักชี มีลักษณะเฉพาะโดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากไม่มีขอบเขตและไม่เปลี่ยนรูปร่าง

เกลียวดังกล่าวมักพบในธรรมชาติ เปลือกหอยเป็นหนึ่งในที่สุด ตัวอย่างที่ชัดเจน. นอกจากนี้ ดาราจักรบางแห่งที่มองเห็นได้จากโลกยังมีรูปทรงเกลียว หากคุณให้ความสนใจกับการพยากรณ์อากาศทางทีวี คุณอาจสังเกตเห็นว่าพายุไซโคลนมีรูปร่างคล้ายเกลียวเมื่อถ่ายภาพจากดาวเทียม

เป็นเรื่องแปลกที่เกลียวของดีเอ็นเอยังปฏิบัติตามกฎส่วนสีทองด้วย - รูปแบบที่สอดคล้องกันสามารถเห็นได้ในช่วงเวลาของการโค้งงอของมัน

"เรื่องบังเอิญ" ที่น่าทึ่งเช่นนี้ไม่สามารถกระตุ้นจิตใจและก่อให้เกิดการพูดคุยเกี่ยวกับอัลกอริธึมเดียวที่ปรากฏการณ์ทั้งหมดในชีวิตของจักรวาลเชื่อฟัง ตอนนี้คุณเข้าใจแล้วว่าทำไมบทความนี้ถึงเรียกว่าอย่างนั้น? และประตูอะไร โลกมหัศจรรย์คณิตศาสตร์สามารถเปิดให้คุณ?

ตัวเลขฟีโบนักชีในธรรมชาติ

ความเชื่อมโยงระหว่างตัวเลขฟีโบนักชีกับอัตราส่วนทองคำแสดงให้เห็นรูปแบบที่น่าสงสัย น่าแปลกที่พยายามค้นหาลำดับที่คล้ายกับตัวเลขฟีโบนักชีในธรรมชาติและแม้กระทั่งในระหว่าง เหตุการณ์ทางประวัติศาสตร์. และธรรมชาติทำให้เกิดสมมติฐานดังกล่าว แต่ทุกอย่างในชีวิตของเราสามารถอธิบายและอธิบายได้ด้วยความช่วยเหลือของคณิตศาสตร์หรือไม่?

ตัวอย่างของสัตว์ป่าที่สามารถอธิบายได้โดยใช้ลำดับฟีโบนักชี:

ลำดับการจัดเรียงของใบ (และกิ่งก้าน) ในพืช - ระยะห่างระหว่างพวกมันสัมพันธ์กับตัวเลขฟีโบนักชี (phyllotaxis);

ตำแหน่งของเมล็ดทานตะวัน (เมล็ดถูกจัดเรียงเป็นเกลียวสองแถวบิดไปในทิศทางที่ต่างกัน: แถวหนึ่งตามเข็มนาฬิกาและอีกแถวเป็นทวนเข็มนาฬิกา);

ตำแหน่งของเกล็ดโคนต้นสน
กลีบดอกไม้
เซลล์สับปะรด
อัตราส่วนของความยาวของช่วงนิ้วบนมือมนุษย์ (โดยประมาณ) เป็นต้น

ปัญหาในเชิงผสมผสาน

ตัวเลขฟีโบนักชีใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้ปัญหาแบบผสมผสาน

คอมบิเนทอริกส์- เป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาการเลือกองค์ประกอบจำนวนหนึ่งจากเซตที่กำหนด การแจงนับ ฯลฯ

มาดูตัวอย่างปัญหาแบบผสมผสานที่คำนวณสำหรับระดับกันเถอะ มัธยม(ที่มา - http://www.problems.ru/)

งาน # 1:

Lesha ปีนบันได 10 ขั้น เขากระโดดขึ้นทีละก้าวหรือสองก้าว Lesha สามารถปีนบันไดได้กี่วิธี?

จำนวนวิธีที่ Lesha สามารถขึ้นบันไดจาก นขั้นตอน หมายถึง และน.ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น 1 = 1, 2= 2 (หลังจากทั้งหมด Lesha กระโดดหนึ่งหรือสองขั้นตอน)

ยังตกลงกันว่า Lesha กระโดดขึ้นบันไดจาก น > 2 ขั้นตอน สมมุติว่าเขากระโดดสองก้าวในครั้งแรก ตามสภาพของปัญหาเลยต้องโดดอีก น - 2ขั้นตอน จากนั้นจำนวนวิธีในการปีนให้เสร็จสมบูรณ์จะอธิบายเป็น n-2. และถ้าเราคิดว่าเป็นครั้งแรกที่ Lesha กระโดดเพียงก้าวเดียว เราจะอธิบายจำนวนวิธีในการปีนให้จบเป็น n-1.

จากที่นี่เราจะได้ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: n = n–1 + n–2(ดูคุ้นเคยใช่มั้ย)

ตั้งแต่เรารู้ 1และ 2และจำไว้ว่ามี 10 ขั้นตอนตามเงื่อนไขของปัญหาให้คำนวณตามลำดับทั้งหมด หนึ่ง: 3 = 3, 4 = 5, 5 = 8, 6 = 13, 7 = 21, 8 = 34, 9 = 55, 10 = 89.

คำตอบ: 89 วิธี

งาน #2:

จำเป็นต้องค้นหาจำนวนคำที่มีความยาว 10 ตัวอักษร ซึ่งประกอบด้วยตัวอักษร "a" และ "b" เท่านั้น และไม่ควรมีตัวอักษร "b" สองตัวติดต่อกัน

แสดงโดย หนึ่งจำนวนคำยาว นตัวอักษรที่ประกอบด้วยตัวอักษร "a" และ "b" เท่านั้น และไม่มีตัวอักษร "b" สองตัวติดต่อกัน วิธี, 1= 2, 2= 3.

ในลำดับ 1, 2, <…>, หนึ่งเราจะแสดงแต่ละเทอมถัดไปในแง่ของเทอมก่อนหน้า ดังนั้น จำนวนคำที่มีความยาว นตัวอักษรที่ไม่มีตัวอักษรสองตัว "b" และขึ้นต้นด้วยตัวอักษร "a" นี่ n-1. และถ้าคำนั้นยาว นตัวอักษรขึ้นต้นด้วยตัวอักษร "b" จึงเป็นตรรกะที่ตัวอักษรถัดไปในคำดังกล่าวคือ "a" (ท้ายที่สุดแล้วจะไม่มี "b" สองตัวตามเงื่อนไขของปัญหา) ดังนั้น จำนวนคำที่มีความยาว นตัวอักษรในกรณีนี้แสดงว่าเป็น n-2. ในทั้งกรณีที่หนึ่งและครั้งที่สอง คำใด ๆ (ของความยาว น - 1และ น - 2ตัวอักษรตามลำดับ) โดยไม่มี "b" สองเท่า

เราสามารถอธิบายได้ว่าทำไม n = n–1 + n–2.

มาคำนวณกันเถอะ 3= 2+ 1= 3 + 2 = 5, 4= 3+ 2= 5 + 3 = 8, <…>, 10= 9+ 8= 144 และเราได้ลำดับฟีโบนักชีที่คุ้นเคย

คำตอบ: 144.

งาน #3:

ลองนึกภาพว่ามีเทปที่แบ่งออกเป็นเซลล์ มันไปทางขวาและคงอยู่ตลอดไป วางตั๊กแตนบนเซลล์แรกของเทป ไม่ว่าเขาจะอยู่ในเซลล์ของเทปใดก็ตาม เขาสามารถย้ายไปทางขวาเท่านั้น: เซลล์หนึ่งหรือสองเซลล์ มีกี่วิธีที่ตั๊กแตนจะกระโดดจากจุดเริ่มต้นของริบบิ้นถึง นเซลล์ที่?

ให้เราระบุจำนวนวิธีที่ตั๊กแตนเคลื่อนที่ไปตามเทปจนถึง น th เซลล์ as หนึ่ง. ในกรณีนี้ 1 = 2= 1 นอกจากนี้ใน n + 1- เซลล์ที่ตั๊กแตนหาได้จาก นเซลล์หรือโดยการกระโดดข้ามมัน จากที่นี่ n + 1 = n – 1 + หนึ่ง. ที่ไหน หนึ่ง = F n – 1.

ตอบ: F n – 1.

คุณสามารถสร้างปัญหาที่คล้ายกันได้ด้วยตัวเองและพยายามแก้ปัญหาในบทเรียนคณิตศาสตร์กับเพื่อนร่วมชั้นของคุณ

ตัวเลขฟีโบนักชีในวัฒนธรรมสมัยนิยม

แน่นอน เช่น ปรากฏการณ์ไม่ปกติเช่นเดียวกับตัวเลขฟีโบนักชี ดึงดูดความสนใจไม่ได้ ยังมีบางสิ่งที่น่าดึงดูดและแม้แต่ลึกลับในรูปแบบที่ผ่านการตรวจสอบอย่างเข้มงวดนี้ ไม่น่าแปลกใจที่ลำดับฟีโบนักชี "สว่างขึ้น" ในงานสมัยใหม่หลายชิ้น วัฒนธรรมมวลชนหลากหลายประเภท

เราจะบอกคุณเกี่ยวกับบางส่วนของพวกเขา และคุณพยายามค้นหาตัวเองให้มากขึ้น หากคุณพบมัน แบ่งปันกับเราในความคิดเห็น - เราก็อยากรู้เช่นกัน!

มีการกล่าวถึงหมายเลขฟีโบนักชีในหนังสือขายดีของแดน บราวน์ The Da Vinci Code: ลำดับฟีโบนักชีทำหน้าที่เป็นรหัสที่ตัวละครหลักของหนังสือเปิดตู้เซฟ
ที่ ภาพยนตร์อเมริกัน 2552 "นายโนบอดี้" ในตอนหนึ่งที่อยู่ของบ้านเป็นส่วนหนึ่งของลำดับฟีโบนักชี - 12358 นอกจากนี้ในตอนอื่น ตัวละครหลักควรเรียก หมายเลขโทรศัพท์ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วจะเหมือนกัน แต่บิดเบี้ยวเล็กน้อย (หมายเลขพิเศษหลังหมายเลข 5): 123-581-1321
ในละครโทรทัศน์ปี 2012 เรื่อง The Connection ตัวละครหลักที่เป็นเด็กชายออทิสติก สามารถแยกแยะรูปแบบเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในโลกได้ รวมทั้งผ่านตัวเลขฟีโบนักชี และจัดการเหตุการณ์เหล่านี้ด้วยตัวเลข
ผู้พัฒนาเกม Java สำหรับ โทรศัพท์มือถือ Doom RPG วางประตูลับในระดับหนึ่ง รหัสที่เปิดขึ้นคือลำดับฟีโบนักชี
ในปี 2012 วงร็อครัสเซีย Splin ได้ออกอัลบั้มแนวคิดที่เรียกว่า Illusion เพลงที่แปดเรียกว่า "ฟีโบนักชี" ในโองการของหัวหน้ากลุ่ม Alexander Vasiliev ลำดับของตัวเลขฟีโบนักชีนั้นพ่ายแพ้ สำหรับสมาชิกเก้าคนติดต่อกันมีจำนวนแถวที่สอดคล้องกัน (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 เริ่มออกเดินทาง

1 คลิกหนึ่งข้อต่อ

1 แขนหนึ่งตัวสั่น

2 ทุกอย่างรับพนักงาน

ทุกอย่างรับพนักงาน

3 ขอน้ำเดือด

รถไฟไปแม่น้ำ

รถไฟไปไทกะ<…>.

ลิเมอร์ริค ( บทกวีสั้น บางรูปแบบ- โดยปกติห้าบรรทัดที่มีรูปแบบการคล้องจอง เป็นเนื้อหาในการ์ตูน ซึ่งบรรทัดแรกและบรรทัดสุดท้ายซ้ำกันหรือซ้ำกันเพียงบางส่วน) James Lyndon ยังใช้การอ้างอิงถึงลำดับฟีโบนักชีเป็นแรงจูงใจที่ตลกขบขัน:

อาหารที่แน่นแฟ้นของภรรยาฟีโบนักชี

มันเป็นเพียงเพื่อประโยชน์ของพวกเขาเท่านั้นไม่ใช่อย่างอื่น

ภรรยาชั่งน้ำหนักตามข่าวลือ

แต่ละคนก็เหมือนสองก่อนหน้านี้

สรุป

เราหวังว่าเราจะสามารถบอกคุณถึงสิ่งที่น่าสนใจและมีประโยชน์มากมายในวันนี้ ตัวอย่างเช่น ตอนนี้คุณสามารถมองหาเกลียวฟีโบนักชีในธรรมชาติรอบตัวคุณได้ ทันใดนั้น คุณเองเท่านั้นที่จะสามารถไข "ความลับของชีวิต จักรวาล และโดยทั่วไป"

ใช้สูตรสำหรับตัวเลขฟีโบนักชีในการแก้ปัญหาแบบผสมผสาน คุณสามารถสร้างจากตัวอย่างที่อธิบายไว้ในบทความนี้

เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

ตัวเลขฟีโบนักชีและอัตราส่วนทองคำเป็นพื้นฐานสำหรับการไขโลกรอบ ๆ สร้างรูปร่างและเหมาะสมที่สุด การรับรู้ภาพบุคคลด้วยความช่วยเหลือซึ่งเขาสามารถสัมผัสได้ถึงความสวยงามและความสามัคคี

หลักการกำหนดขนาดของส่วนสีทองรองรับความสมบูรณ์แบบของโลกทั้งใบและส่วนต่างๆ ในโครงสร้างและหน้าที่ การปรากฏให้เห็นได้ในธรรมชาติ ศิลปะ และเทคโนโลยี หลักคำสอนเรื่องอัตราส่วนทองคำเกิดขึ้นจากการวิจัยของนักวิทยาศาสตร์โบราณเกี่ยวกับธรรมชาติของตัวเลข

หลักฐานการใช้อัตราส่วนทองคำโดยนักคิดโบราณมีอยู่ในหนังสือ "จุดเริ่มต้น" ของยุคลิด ซึ่งเขียนย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 3 BC ที่ใช้กฎนี้เพื่อสร้าง 5 กอนปกติ ในบรรดาพีทาโกรัสตัวเลขนี้ถือว่าศักดิ์สิทธิ์เนื่องจากมีความสมมาตรและไม่สมมาตร รูปดาวห้าแฉกเป็นสัญลักษณ์ของชีวิตและสุขภาพ

ตัวเลขฟีโบนักชี

หนังสือที่มีชื่อเสียง Liber abaci โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Leonardo of Pisa ซึ่งต่อมากลายเป็นที่รู้จักในนาม Fibonacci ได้รับการตีพิมพ์ในปี 1202 ในนั้นนักวิทยาศาสตร์ได้ให้รูปแบบตัวเลขเป็นครั้งแรกในชุดของตัวเลขแต่ละตัวเป็นผลรวม ของ 2 หลักก่อนหน้า ลำดับของตัวเลขฟีโบนักชีมีดังนี้:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 เป็นต้น

นักวิทยาศาสตร์ยังได้อ้างถึงรูปแบบต่างๆ:

ตัวเลขใดๆ จากชุดข้อมูลหารด้วยตัวถัดไป จะเท่ากับค่าที่มีแนวโน้มเป็น 0.618 นอกจากนี้ ตัวเลขฟีโบนักชีแรกไม่ได้ให้ตัวเลขดังกล่าว แต่เมื่อคุณย้ายจากจุดเริ่มต้นของลำดับ อัตราส่วนนี้จะแม่นยำมากขึ้นเรื่อยๆ

หากคุณหารตัวเลขจากชุดข้อมูลด้วยชุดก่อนหน้า ผลลัพธ์จะมีแนวโน้มเป็น 1.618

ตัวเลขหนึ่งหารด้วยตัวถัดไปจะแสดงค่าที่พุ่งไปที่ 0.382

การประยุกต์ใช้การเชื่อมต่อและรูปแบบของส่วนสีทอง หมายเลขฟีโบนักชี (0.618) สามารถพบได้ไม่เฉพาะในวิชาคณิตศาสตร์ แต่ยังพบเห็นได้ในธรรมชาติ ในประวัติศาสตร์ สถาปัตยกรรมและการก่อสร้าง และในวิทยาศาสตร์อื่นๆ อีกมากมาย

สำหรับวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติ ค่าเหล่านี้จำกัดไว้ที่ค่าโดยประมาณที่ Φ = 1.618 หรือ Φ = 1.62 ในเปอร์เซ็นต์ที่ปัดเศษ อัตราส่วนทองคำคือการหารค่าใดๆ ที่สัมพันธ์กับ 62% และ 38%

ในอดีต การแบ่งส่วน AB โดยจุด C ออกเป็นสองส่วน (ส่วน AC ที่เล็กกว่าและส่วนที่ใหญ่กว่า BC) เดิมเรียกว่าส่วนสีทอง ดังนั้น AC / BC = BC / AB จะเป็นจริงสำหรับความยาวของส่วน การพูด พูดง่ายๆส่วนนั้นจะถูกแบ่งโดยส่วนสีทองออกเป็นสองส่วนที่ไม่เท่ากัน เพื่อให้ส่วนที่เล็กกว่าสัมพันธ์กับส่วนที่ใหญ่กว่า เนื่องจากส่วนที่ใหญ่กว่าคือส่วนทั้งหมด ต่อมาแนวคิดนี้ขยายไปสู่ปริมาณตามอำเภอใจ

หมายเลข Φ เรียกอีกอย่างว่าเบอร์ทอง.

อัตราส่วนทองคำมีคุณสมบัติที่ยอดเยี่ยมมากมาย แต่นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติที่สมมติขึ้นมากมาย

ตอนนี้รายละเอียด:

คำจำกัดความของ ZS คือการแบ่งส่วนของเซ็กเมนต์ออกเป็นสองส่วนในอัตราส่วนที่ส่วนที่ใหญ่กว่าเกี่ยวข้องกับส่วนที่เล็กกว่า เนื่องจากผลรวมของเซ็กเมนต์ (ทั้งเซกเมนต์) กับส่วนที่ใหญ่กว่า

นั่นคือถ้าเราเอาทั้งเซ็กเมนต์ c เป็น 1, เซ็กเมนต์ a จะเท่ากับ 0.618, เซ็กเมนต์ b - 0.382 ดังนั้น หากเราเอาสิ่งปลูกสร้าง เช่น วัดที่สร้างตามหลักการของ GS แล้วด้วยความสูง 10 เมตร ความสูงของดรัมพร้อมโดมจะเท่ากับ 3.82 ซม. และความสูงของฐาน ของอาคารจะสูง 6.18 ซม. (ตัวเลขที่ถ่ายมาเท่ากันเพื่อความชัดเจน)

และความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลข GL และ Fibonacci คืออะไร?

หมายเลขลำดับฟีโบนักชีคือ:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

รูปแบบของตัวเลขคือตัวเลขที่ตามมาแต่ละตัวมีค่าเท่ากับผลรวมของตัวเลขสองตัวก่อนหน้า
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 เป็นต้น

และอัตราส่วนของจำนวนที่อยู่ติดกันเข้าใกล้อัตราส่วนของ 3S
ดังนั้น 21:34 = 0.617 และ 34:55 = 0.618

นั่นคือ หัวใจของ ZS คือตัวเลขของลำดับฟีโบนักชี

เชื่อกันว่าคำว่า "Golden Ratio" ได้รับการแนะนำโดย Leonardo Da Vinci ผู้ซึ่งกล่าวว่า "อย่าให้ใครที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์กล้าอ่านผลงานของฉัน" และแสดงสัดส่วน ร่างกายมนุษย์ในภาพวาดที่มีชื่อเสียงของเขา "Vitruvian Man" “ถ้าเราผูกร่างมนุษย์ซึ่งเป็นการสร้างจักรวาลที่สมบูรณ์แบบที่สุดด้วยเข็มขัดแล้ววัดระยะห่างจากเข็มขัดถึงเท้า ค่านี้จะหมายถึงระยะห่างจากเข็มขัดเส้นเดียวกันถึงส่วนบนของศีรษะ เท่ากับความสูงทั้งหมดของบุคคลจนถึงความยาวจากเข็มขัดถึงเท้า”

ชุดของตัวเลขฟีโบนักชีถูกสร้างแบบจำลองทางสายตา (ทำให้เป็นรูปเป็นร่าง) ในรูปของเกลียว

และโดยธรรมชาติแล้ว เกลียว 3S จะมีลักษณะดังนี้:

ในขณะเดียวกันก็สังเกตเห็นเกลียวทุกที่ (ในธรรมชาติและไม่เพียงเท่านั้น):

เมล็ดในพืชส่วนใหญ่จะเรียงเป็นเกลียว
- แมงมุมสานใยเป็นเกลียว
- เกลียวคลื่นพายุเฮอริเคน
- ฝูงกวางเรนเดียร์ที่หวาดกลัวกระจัดกระจายเป็นเกลียว
- โมเลกุลดีเอ็นเอบิดเป็นเกลียวคู่ โมเลกุลดีเอ็นเอประกอบด้วยเกลียวสองเส้นพันกันในแนวตั้งยาว 34 อังสตรอมและกว้าง 21 อังสตรอม ตัวเลข 21 และ 34 อยู่ติดกันในลำดับฟีโบนักชี
- ตัวอ่อนพัฒนาเป็นเกลียว
- เกลียว "โคเคลียในหูชั้นใน"
- น้ำไหลลงท่อระบายน้ำเป็นเกลียว
- พลวัตของเกลียวแสดงการพัฒนาบุคลิกภาพของบุคคลและค่านิยมของเขาในวงก้นหอย
- และแน่นอน กาแล็กซี่เองก็มีรูปร่างเป็นเกลียว

ดังนั้นจึงเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ได้ว่าธรรมชาติสร้างขึ้นบนหลักการของมาตราทองคำ ซึ่งเป็นเหตุว่าทำไมสัดส่วนนี้จึงมองเห็นได้อย่างกลมกลืนมากขึ้นด้วยสายตามนุษย์ ไม่จำเป็นต้อง "แก้ไข" หรือเสริมภาพที่เป็นผลของโลก

ภาพยนตร์. หมายเลขพระเจ้า หลักฐานที่หักล้างไม่ได้ของพระเจ้า; จำนวนของพระเจ้า บทพิสูจน์ที่ไม่อาจโต้แย้งได้ของพระเจ้า

สัดส่วนทองคำในโครงสร้างของโมเลกุลดีเอ็นเอ

ข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับ คุณสมบัติทางสรีรวิทยาสิ่งมีชีวิตถูกเก็บไว้ในโมเลกุลดีเอ็นเอด้วยกล้องจุลทรรศน์ โครงสร้างซึ่งประกอบด้วยกฎของอัตราส่วนทองคำ โมเลกุลดีเอ็นเอประกอบด้วยเกลียวสองเส้นพันกันในแนวตั้ง เกลียวแต่ละอันมีความยาว 34 อังสตรอมและกว้าง 21 อังสตรอม (1 อังสตรอมเท่ากับหนึ่งร้อยล้านของเซนติเมตร)

21 และ 34 เป็นตัวเลขที่ตามมาในลำดับเลขฟีโบนักชี นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวและความกว้างของเกลียวลอการิทึมของโมเลกุล DNA มีสูตรส่วนสีทอง 1: 1.618

ส่วนสีทองในโครงสร้างของ microworlds

รูปทรงเรขาคณิตไม่ได้จำกัดแค่รูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ห้าหรือหกเหลี่ยม หากเราเชื่อมโยงตัวเลขเหล่านี้เข้าด้วยกันในรูปแบบต่างๆ เราก็จะได้สามมิติใหม่ ตัวเลขทางเรขาคณิต. ตัวอย่างของสิ่งนี้คือตัวเลข เช่น ลูกบาศก์หรือปิรามิด อย่างไรก็ตาม นอกจากพวกเขาแล้ว ยังมีหุ่นสามมิติอื่นๆ ที่เราไม่ต้องพบเจอใน ชีวิตประจำวันและชื่อที่เราได้ยิน อาจเป็นครั้งแรก ในบรรดาตัวเลขสามมิติดังกล่าว เราสามารถตั้งชื่อจัตุรมุข (รูปสี่ด้านปกติ), ทรงแปดหน้า, สิบสองหน้า, ไอโคซาเฮดรอน เป็นต้น สิบสองเหลี่ยมประกอบด้วยรูปห้าเหลี่ยม 13 รูป, รูปหลายเหลี่ยมที่มีรูปสามเหลี่ยม 20 รูป นักคณิตศาสตร์สังเกตว่าตัวเลขเหล่านี้แปลงได้ง่ายมากทางคณิตศาสตร์ และการแปลงนั้นเกิดขึ้นตามสูตรของเกลียวลอการิทึมของส่วนสีทอง

ในพิภพเล็ก รูปแบบลอการิทึมสามมิติที่สร้างขึ้นตามสัดส่วนสีทองนั้นมีอยู่ทั่วไปทุกหนทุกแห่ง ตัวอย่างเช่น ไวรัสจำนวนมากมีสามมิติ รูปทรงเรขาคณิตไอโคซาเฮดรอน บางทีไวรัสที่มีชื่อเสียงที่สุดคือไวรัส Adeno เปลือกโปรตีนของไวรัส Adeno เกิดขึ้นจากเซลล์โปรตีน 252 หน่วยที่จัดเรียงตามลำดับที่แน่นอน ในแต่ละมุมของ icosahedron มีเซลล์โปรตีน 12 หน่วยในรูปของปริซึมห้าเหลี่ยม และโครงสร้างที่มีลักษณะคล้ายหนามยื่นออกมาจากมุมเหล่านี้

อัตราส่วนทองคำในโครงสร้างของไวรัสถูกค้นพบครั้งแรกในปี 1950 นักวิทยาศาสตร์จาก Birkbeck College A.Klug และ D.Kaspar ในลอนดอน 13 ไวรัส Polyo เป็นคนแรกที่แสดงรูปแบบลอการิทึม พบว่ารูปแบบของไวรัสนี้คล้ายกับไวรัส Rhino 14

คำถามเกิดขึ้น ไวรัสสร้างรูปแบบสามมิติที่ซับซ้อนเช่นนี้ได้อย่างไร โครงสร้างที่มีส่วนสีทอง ซึ่งค่อนข้างยากที่จะสร้างขึ้นด้วยจิตใจของมนุษย์ ผู้ค้นพบไวรัสรูปแบบเหล่านี้นักไวรัสวิทยา A. Klug แสดงความคิดเห็นต่อไปนี้:

“ดร. แคสปาร์และฉันแสดงให้เห็นว่าสำหรับเปลือกทรงกลมของไวรัส รูปร่างที่เหมาะสมที่สุดคือสมมาตรเหมือนรูปร่างของหมวกปีกกว้าง ลำดับนี้ลดจำนวนขององค์ประกอบเชื่อมต่อ ... ลูกบาศก์ครึ่งซีก geodesic ส่วนใหญ่ของ Buckminster Fuller สร้างขึ้นในลักษณะเดียวกัน หลักการทางเรขาคณิต. 14 การติดตั้งคิวบ์ดังกล่าวต้องใช้รูปแบบคำอธิบายที่แม่นยำและมีรายละเอียดมาก ในขณะที่ไวรัสที่ไม่ได้สติสร้างเปลือกที่ซับซ้อนของหน่วยเซลล์โปรตีนที่ยืดหยุ่นและยืดหยุ่นได้

ตัวเลขฟีโบนักชี...ในธรรมชาติและชีวิต

Leonardo Fibonacci เป็นหนึ่งใน นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดวัยกลางคน. ในผลงานชิ้นหนึ่งของเขา The Book of Calculations ฟีโบนักชีอธิบายแคลคูลัสอินโด-อารบิกและข้อดีของการใช้แคลคูลัสแทนแคลคูลัสแบบโรมัน

คำนิยาม
ตัวเลขฟีโบนักชีหรือลำดับฟีโบนักชีเป็นลำดับตัวเลขที่มีคุณสมบัติหลายอย่าง ตัวอย่างเช่น ผลรวมของตัวเลขใกล้เคียงสองตัวในลำดับจะให้ค่าของตัวเลขถัดไป (เช่น 1+1=2; 2+3=5 เป็นต้น) ซึ่งยืนยันการมีอยู่ของสัมประสิทธิ์ฟีโบนักชีที่เรียกว่า , เช่น. อัตราส่วนคงที่

ลำดับฟีโบนักชีเริ่มต้นดังนี้: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...

คำจำกัดความที่สมบูรณ์ของตัวเลขฟีโบนักชี

3.

คุณสมบัติของลำดับฟีโบนักชี

1. อัตราส่วนของตัวเลขแต่ละตัวต่อกันมีแนวโน้มเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ที่ 0.618 เมื่อเพิ่มขึ้น หมายเลขซีเรียล. อัตราส่วนของแต่ละตัวเลขต่อตัวเลขก่อนหน้ามีแนวโน้มที่ 1.618 (ย้อนกลับเป็น 0.618) เรียกเลขหมาย 0.618 (FI)

2. เมื่อหารตัวเลขแต่ละตัวด้วยตัวถัดไป จะได้ตัวเลข 0.382 มาหารหนึ่ง ในทางกลับกัน - 2.618 ตามลำดับ

3. การเลือกอัตราส่วนด้วยวิธีนี้ เราได้รับชุดสัมประสิทธิ์ฟีโบนักชีหลัก: … 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236

5.

ความสัมพันธ์ระหว่างลำดับฟีโบนักชีกับ "ส่วนสีทอง"

ลำดับฟีโบนักชีแบบไม่แสดงเส้น (เข้าใกล้มากขึ้นเรื่อยๆ) มีแนวโน้มที่จะมีอัตราส่วนคงที่ อย่างไรก็ตาม อัตราส่วนนี้ไม่ลงตัว กล่าวคือ เป็นตัวเลขที่มีลำดับทศนิยมเป็นอนันต์และคาดเดาไม่ได้ในส่วนที่เป็นเศษส่วน ไม่สามารถแสดงออกได้อย่างแม่นยำ

หากสมาชิกของลำดับฟีโบนักชีตัวใดถูกหารด้วยตัวที่นำหน้า (เช่น 13:8) ผลลัพธ์จะเป็นค่าที่ผันผวนรอบค่าอตรรกยะ 1.61803398875 ... และหลังจากเวลาผ่านไปอาจเกินหรือไม่ถึง มัน. แต่ถึงแม้จะใช้เวลาชั่วนิรันดร์ไปกับมัน ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะทราบอัตราส่วนที่แน่นอน ต่อทศนิยมหลักสุดท้าย เพื่อความกระชับ เราจะให้มันอยู่ในรูปของ 1.618 ชื่อพิเศษสำหรับอัตราส่วนนี้เริ่มมีขึ้นก่อน Luca Pacioli (นักคณิตศาสตร์ยุคกลาง) เรียกมันว่า Divine Proportion ในบรรดาชื่อที่ทันสมัยเช่น Golden Ratio, Golden Mean และอัตราส่วนของสี่เหลี่ยมหมุน เคปเลอร์เรียกความสัมพันธ์นี้ว่าหนึ่งใน "ขุมทรัพย์แห่งเรขาคณิต" ในพีชคณิต มักเขียนแทนด้วยอักษรกรีก phi

ลองนึกภาพส่วนสีทองในตัวอย่างของส่วน

พิจารณาส่วนที่มีปลาย A และ B ให้จุด C แบ่งส่วน AB เพื่อให้

AC/CB = CB/AB หรือ

AB/CB = CB/AC

คุณสามารถจินตนาการได้ดังนี้: A-–C--–B

ส่วนสีทองเป็นการแบ่งสัดส่วนของส่วนออกเป็นส่วนที่ไม่เท่ากัน ซึ่งส่วนทั้งหมดเกี่ยวข้องกับส่วนที่ใหญ่กว่าในลักษณะเดียวกับส่วนที่ใหญ่กว่านั้นสัมพันธ์กับส่วนที่เล็กกว่า หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ส่วนที่เล็กกว่าเกี่ยวข้องกับส่วนที่ใหญ่กว่า เนื่องจากส่วนที่ใหญ่กว่านั้นเกี่ยวข้องกับทุกสิ่ง

ส่วนของอัตราส่วนทองคำแสดงเป็นเศษส่วนอนันต์ 0.618 ... หากนำ AB เป็นหนึ่ง AC = 0.382 .. ดังที่เราทราบแล้ว ตัวเลข 0.618 และ 0.382 เป็นสัมประสิทธิ์ของลำดับฟีโบนักชี

สัดส่วนฟีโบนักชีและอัตราส่วนทองคำในธรรมชาติและประวัติศาสตร์

10.

เป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบว่า Fibonacci เตือนมนุษยชาติถึงลำดับของเขา เป็นที่รู้จักของชาวกรีกโบราณและชาวอียิปต์ แท้จริงแล้ว ตั้งแต่นั้นมา รูปแบบที่อธิบายโดยสัมประสิทธิ์ฟีโบนักชีได้ค้นพบในธรรมชาติ สถาปัตยกรรม วิจิตรศิลป์ คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ ดาราศาสตร์ ชีววิทยา และอีกมากมาย เป็นเรื่องน่าทึ่งมากที่สามารถคำนวณค่าคงที่ได้โดยใช้ลำดับฟีโบนักชี และจำนวนพจน์ที่ปรากฏในชุดค่าผสมจำนวนมากนั้นน่าทึ่งมาก อย่างไรก็ตาม มันจะไม่เป็นการกล่าวเกินจริงที่จะบอกว่านี่ไม่ใช่แค่เกมตัวเลข แต่เป็นการแสดงออกทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุด ปรากฏการณ์ทางธรรมชาติของทั้งหมดที่เคยค้นพบ

11.

ตัวอย่างด้านล่างแสดงการใช้งานที่น่าสนใจของลำดับทางคณิตศาสตร์นี้

12.

1. เปลือกบิดเป็นเกลียว หากคลี่ออก คุณจะได้ความยาวที่น้อยกว่าความยาวของงูเล็กน้อย เปลือกขนาดเล็กสิบเซนติเมตรมีเกลียวยาว 35 ซม. รูปร่างของเปลือกม้วนเป็นเกลียวดึงดูดความสนใจของอาร์คิมิดีส ความจริงก็คืออัตราส่วนของการวัดก้นหอยของเปลือกมีค่าคงที่และเท่ากับ 1.618 อาร์คิมิดีสศึกษาเกลียวของเปลือกหอยและได้สมการของเกลียว เกลียวที่วาดโดยสมการนี้เรียกตามชื่อของเขา การเพิ่มขึ้นของขั้นตอนของเธอสม่ำเสมอเสมอ ปัจจุบันเกลียวของอาร์คิมิดีสมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านวิศวกรรม

2. พืชและสัตว์. แม้แต่เกอเธ่ยังเน้นย้ำถึงแนวโน้มของธรรมชาติไปสู่ความวนเวียน การเรียงตัวเป็นเกลียวและเกลียวของใบไม้บนกิ่งไม้นั้นสังเกตได้เมื่อนานมาแล้ว เห็นเป็นเกลียวในการจัดเรียงเมล็ดทานตะวัน โคนต้นสน สัปปะรด กระบองเพชร เป็นต้น การทำงานร่วมกันของนักพฤกษศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ทำให้กระจ่างเกี่ยวกับปรากฏการณ์ทางธรรมชาติที่น่าอัศจรรย์เหล่านี้ ปรากฎว่าในการจัดใบไม้บนกิ่งของเมล็ดทานตะวัน, โคนต้นสน, อนุกรมฟีโบนักชีปรากฏขึ้น, และด้วยเหตุนี้, กฎของส่วนสีทองปรากฏออกมา. แมงมุมหมุนใยเป็นเกลียว พายุเฮอริเคนกำลังหมุนวน ฝูงกวางเรนเดียร์ที่หวาดกลัวกระจัดกระจายเป็นเกลียว โมเลกุลดีเอ็นเอถูกบิดเป็นเกลียวคู่ เกอเธ่เรียกเกลียวว่า "เส้นโค้งแห่งชีวิต"

ท่ามกลางหญ้าริมถนนมีพืชที่ไม่ธรรมดาเติบโต - สีน้ำเงิน ลองมาดูกันดีกว่า เกิดกิ่งก้านขึ้นจากลำต้นหลัก นี่คือใบแรก กระบวนการนี้ทำให้การดีดออกอย่างรุนแรงในอวกาศ หยุด ปล่อยใบไม้ แต่สั้นกว่าครั้งแรกแล้ว ทำให้การดีดออกสู่อวกาศอีกครั้ง แต่ออกแรงน้อยกว่า ปล่อยใบไม้ที่มีขนาดที่เล็กกว่าและดีดออกอีกครั้ง หากค่าผิดปกติแรกเป็น 100 หน่วย ค่าที่สองเท่ากับ 62 หน่วย ค่าที่สามคือ 38 ค่าที่สี่คือ 24 เป็นต้น ความยาวของกลีบก็ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนทองคำ ในการเจริญเติบโตการพิชิตพื้นที่พืชยังคงสัดส่วนที่แน่นอน แรงกระตุ้นการเจริญเติบโตของมันค่อยๆ ลดลงตามสัดส่วนของอัตราส่วนทองคำ

จิ้งจกเป็นสัตว์ที่มีชีวิตชีวา เมื่อเห็นแวบแรกในจิ้งจกจะจับสัดส่วนที่ตาเราพอใจ - ความยาวของหางสัมพันธ์กับความยาวของส่วนที่เหลือของร่างกายเท่ากับ 62 ถึง 38

ทั้งในพืชและโลกของสัตว์ แนวโน้มการก่อตัวของธรรมชาติมักจะทะลุทะลวง - สมมาตรตามทิศทางของการเติบโตและการเคลื่อนไหว ที่นี่อัตราส่วนทองคำปรากฏในสัดส่วนของส่วนต่าง ๆ ในแนวตั้งฉากกับทิศทางของการเติบโต ธรรมชาติได้ดำเนินการแบ่งออกเป็นส่วนสมมาตรและสัดส่วนสีทอง ในส่วนที่ซ้ำกันของโครงสร้างทั้งหมดจะปรากฏขึ้น

ปิแอร์กูรีในตอนต้นของศตวรรษของเราได้กำหนดแนวความคิดที่ลึกซึ้งเกี่ยวกับความสมมาตรจำนวนหนึ่ง เขาแย้งว่าเราไม่สามารถพิจารณาความสมมาตรของร่างกายใด ๆ โดยไม่คำนึงถึงความสมมาตร สิ่งแวดล้อม. รูปแบบของสมมาตรสีทองปรากฏให้เห็นในการเปลี่ยนแปลงพลังงานของอนุภาคมูลฐาน ในโครงสร้างของสารประกอบเคมีบางชนิด ในระบบดาวเคราะห์และอวกาศ ในโครงสร้างยีนของสิ่งมีชีวิต รูปแบบเหล่านี้ ดังที่ระบุไว้ข้างต้น อยู่ในโครงสร้างของอวัยวะและร่างกายแต่ละส่วนของมนุษย์โดยรวม และยังปรากฏใน biorhythms และการทำงานของสมองและการรับรู้ทางสายตา

3. อวกาศ ทราบจากประวัติศาสตร์ดาราศาสตร์ว่า I. Titius นักดาราศาสตร์ชาวเยอรมันแห่งศตวรรษที่ 18 ใช้อนุกรมนี้ (Fibonacci) พบความสม่ำเสมอและเป็นระเบียบในระยะห่างระหว่างดาวเคราะห์ของระบบสุริยะ

อย่างไรก็ตาม มีกรณีหนึ่งที่ดูเหมือนจะขัดต่อกฎหมาย นั่นคือ ไม่มีดาวเคราะห์ระหว่างดาวอังคารกับดาวพฤหัสบดี การสังเกตพื้นที่บนท้องฟ้าอย่างเข้มข้นนี้นำไปสู่การค้นพบแถบดาวเคราะห์น้อย เรื่องนี้เกิดขึ้นหลังจากการสิ้นพระชนม์ของทิเชียสใน ต้นXIXใน.

อนุกรมฟีโบนักชีใช้กันอย่างแพร่หลาย: ใช้เพื่อเป็นตัวแทนของสถาปัตยกรรมและสิ่งมีชีวิต และ โครงสร้างที่มนุษย์สร้างขึ้นและโครงสร้างของดาราจักร ข้อเท็จจริงเหล่านี้เป็นหลักฐานของความเป็นอิสระ ชุดตัวเลขตามเงื่อนไขของการสำแดงซึ่งเป็นหนึ่งในสัญญาณของความเป็นสากล

4. ปิรามิด. หลายคนพยายามไขความลับของปิรามิดแห่งกิซ่า ไม่เหมือนกับปิรามิดอียิปต์อื่น ๆ นี่ไม่ใช่หลุมฝังศพ แต่เป็นปริศนาที่แก้ไม่ได้ของการรวมตัวเลข ความเฉลียวฉลาด ทักษะ เวลา และแรงงานอันน่าทึ่งของสถาปนิกแห่งพีระมิดซึ่งพวกเขาใช้ในการสร้างสัญลักษณ์นิรันดร์ บ่งบอกถึงความสำคัญอย่างยิ่งของข้อความที่พวกเขาต้องการสื่อถึงคนรุ่นต่อไปในอนาคต ยุคสมัยของพวกเขาเป็นยุคก่อนการรู้หนังสือ ยุคก่อนอักษรอียิปต์โบราณ และสัญลักษณ์เป็นเพียงวิธีเดียวในการบันทึกการค้นพบ กุญแจสู่ความลับเชิงเรขาคณิตและคณิตศาสตร์ของปิรามิดแห่งกิซ่าซึ่งเป็นความลึกลับสำหรับมนุษยชาติมาช้านาน แท้จริงแล้วพระสงฆ์ในวัดได้มอบให้แก่เฮโรโดตุสแก่เฮโรโดตุส ซึ่งแจ้งเขาว่าปิรามิดนั้นถูกสร้างขึ้นเพื่อให้พื้นที่ของแต่ละแห่ง ใบหน้าเท่ากับความสูงของสี่เหลี่ยมจัตุรัส

พื้นที่สามเหลี่ยม

356 x 440 / 2 = 78320

พื้นที่สี่เหลี่ยม

280 x 280 = 78400

ความยาวของขอบฐานของปิรามิดที่กิซ่าคือ 783.3 ฟุต (238.7 ม.) ความสูงของปิรามิดคือ 484.4 ฟุต (147.6 ม.) ความยาวของขอบฐานหารด้วยความสูงนำไปสู่อัตราส่วน Ф=1.618 ความสูง 484.4 ฟุตเท่ากับ 5813 นิ้ว (5-8-13) ซึ่งเป็นตัวเลขจากลำดับฟีโบนักชี ข้อสังเกตที่น่าสนใจเหล่านี้ชี้ให้เห็นว่าการสร้างปิรามิดขึ้นอยู่กับสัดส่วน Ф=1.618 นักวิชาการสมัยใหม่บางคนมักจะตีความว่าชาวอียิปต์โบราณสร้างมันขึ้นมาเพื่อจุดประสงค์เดียวในการถ่ายทอดความรู้ที่พวกเขาต้องการจะอนุรักษ์ไว้สำหรับคนรุ่นต่อไป การศึกษาปิรามิดอย่างเข้มข้นที่กิซ่าแสดงให้เห็นว่าความรู้ด้านคณิตศาสตร์และโหราศาสตร์เป็นอย่างไรในขณะนั้น ในสัดส่วนภายในและภายนอกทั้งหมดของปิรามิด ตัวเลข 1.618 มีบทบาทสำคัญ

ปิรามิดในเม็กซิโก ปิรามิดของอียิปต์ไม่เพียงสร้างขึ้นตามสัดส่วนที่สมบูรณ์แบบของอัตราส่วนทองคำเท่านั้น แต่ยังพบปรากฏการณ์เดียวกันนี้ในปิรามิดเม็กซิกันอีกด้วย แนวคิดนี้เกิดขึ้นว่าปิรามิดทั้งอียิปต์และเม็กซิกันถูกสร้างขึ้นในเวลาเดียวกันโดยผู้คนที่มีต้นกำเนิดร่วมกัน

ยังมีอีกมากมายในจักรวาล ความลึกลับที่ยังไม่คลี่คลายซึ่งนักวิทยาศาสตร์บางคนสามารถระบุและอธิบายได้แล้ว ตัวเลขฟีโบนักชีและอัตราส่วนทองคำเป็นพื้นฐานในการไขโลกรอบตัวเรา สร้างรูปร่างและการรับรู้ทางสายตาที่เหมาะสมที่สุดของบุคคล ด้วยความช่วยเหลือที่เขาสามารถสัมผัสได้ถึงความสวยงามและความกลมกลืน

อัตราส่วนทองคำ

มันขึ้นอยู่กับทฤษฎีของสัดส่วนและอัตราส่วนของการแบ่งส่วนซึ่งสร้างโดยปราชญ์โบราณและนักคณิตศาสตร์พีธากอรัส เขาพิสูจน์ว่าเมื่อแบ่งส่วนออกเป็นสองส่วน: X (เล็กกว่า) และ Y (ใหญ่กว่า) อัตราส่วนของส่วนที่ใหญ่กว่าไปหาส่วนที่เล็กกว่าจะเท่ากับอัตราส่วนของผลรวม (ของส่วนทั้งหมด):

ผลลัพธ์คือสมการ: x 2 - x - 1=0,ซึ่งแก้ได้เป็น x=(1±√5)/2.

หากเราพิจารณาอัตราส่วน 1/x มันจะเท่ากับ 1,618…

ตัวเลขฟีโบนักชี

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 เป็นต้น

นักวิทยาศาสตร์ยังได้อ้างถึงรูปแบบต่างๆ:

ตัวเลขใดๆ จากชุดข้อมูลหารด้วยตัวถัดไป จะเท่ากับค่าที่มีแนวโน้มเป็น 0.618 นอกจากนี้ ตัวเลขฟีโบนักชีแรกไม่ได้ให้ตัวเลขดังกล่าว แต่เมื่อคุณย้ายจากจุดเริ่มต้นของลำดับ อัตราส่วนนี้จะแม่นยำมากขึ้นเรื่อยๆ
หากคุณหารตัวเลขจากชุดข้อมูลด้วยชุดก่อนหน้า ผลลัพธ์จะมีแนวโน้มเป็น 1.618
ตัวเลขหนึ่งหารด้วยตัวถัดไปจะแสดงค่าที่พุ่งไปที่ 0.382

เกลียวของอาร์คิมิดีสและสี่เหลี่ยมสีทอง

อาร์คิมิดีสได้สำรวจเกลียวซึ่งพบเห็นได้ทั่วไปในธรรมชาติ ผู้ซึ่งได้สมการของเธอมาด้วยซ้ำ รูปร่างของเกลียวเป็นไปตามกฎของอัตราส่วนทองคำ เมื่อไม่บิดเบี้ยว จะได้ความยาวตามสัดส่วนและตัวเลขฟีโบนักชีได้ การเพิ่มขั้นจะเกิดขึ้นเท่าๆ กัน

ความขนานระหว่างตัวเลขฟีโบนักชีและอัตราส่วนทองคำยังสามารถเห็นได้โดยการสร้าง "สี่เหลี่ยมผืนผ้าสีทอง" ซึ่งมีด้านเป็นสัดส่วนเท่ากับ 1.618:1 มันถูกสร้างขึ้นโดยการย้ายจากสี่เหลี่ยมที่ใหญ่กว่าไปยังสี่เหลี่ยมที่เล็กกว่าเพื่อให้ความยาวของด้านเท่ากับตัวเลขจากแถว การก่อสร้างสามารถทำได้ในลำดับที่กลับกันโดยเริ่มจากสี่เหลี่ยม "1" เมื่อเชื่อมต่อมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้กับเส้นตรงกึ่งกลางของทางแยก จะได้ฟีโบนักชีหรือเกลียวลอการิทึม

ประวัติการใช้สัดส่วนทองคำ

อนุสาวรีย์สถาปัตยกรรมโบราณหลายแห่งของอียิปต์ถูกสร้างขึ้นโดยใช้สัดส่วนสีทอง: ปิรามิดที่มีชื่อเสียงของ Cheops และอื่น ๆ สถาปนิก กรีกโบราณใช้กันอย่างแพร่หลายในการก่อสร้าง วัตถุทางสถาปัตยกรรมเช่น วัด อัฒจันทร์ สนามกีฬา ตัวอย่างเช่น สัดส่วนดังกล่าวถูกใช้ในการก่อสร้างวิหารพาร์เธนอนโบราณ (เอเธนส์) และวัตถุอื่นๆ ที่กลายเป็นผลงานชิ้นเอกของสถาปัตยกรรมโบราณ ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความกลมกลืนบนพื้นฐานของความสม่ำเสมอทางคณิตศาสตร์

ในศตวรรษต่อมา ความสนใจในอัตราส่วนทองคำลดลง และรูปแบบต่างๆ ก็ถูกลืมไป แต่กลับมามีขึ้นอีกครั้งในยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา พร้อมกับหนังสือของพระนักบวชฟรานซิสกัน L. Pacioli di Borgo "สัดส่วนพระเจ้า" (1509) มีภาพประกอบโดยเลโอนาร์โด ดา วินชี ผู้ซึ่งแก้ไขชื่อใหม่ว่า "ส่วนสีทอง" นอกจากนี้ คุณสมบัติ 12 ประการของอัตราส่วนทองคำยังได้รับการพิสูจน์ทางวิทยาศาสตร์ และผู้เขียนได้พูดคุยเกี่ยวกับการปรากฎตัวในธรรมชาติ ในงานศิลปะ และเรียกมันว่า "หลักการสร้างโลกและธรรมชาติ"

มนุษย์วิทรูเวียน เลโอนาร์โด

ภาพวาดที่ Leonardo da Vinci แสดงหนังสือ Vitruvius ในปี 1492 แสดงให้เห็นร่างของชายคนหนึ่งใน 2 ตำแหน่งที่มีแขนยื่นออกไปด้านข้าง รูปถูกจารึกไว้ในวงกลมและสี่เหลี่ยม ภาพวาดนี้ถือเป็นสัดส่วนที่ยอมรับได้ของร่างกายมนุษย์ (ชาย) ซึ่ง Leonardo อธิบายโดยอิงจากการศึกษาในบทความของสถาปนิกชาวโรมัน Vitruvius

จุดศูนย์กลางของร่างกายเป็นจุดที่เท่ากันจากปลายแขนและขาคือสะดือ ความยาวของแขนเท่ากับความสูงของบุคคล ความกว้างสูงสุดของไหล่ = 1/8 ของความสูง ระยะห่างจากส่วนบนของหน้าอกถึงผม = 1/7 จากส่วนบนของหน้าอกถึงส่วนบนของศีรษะ = 1/6 เป็นต้น

ตั้งแต่นั้นมา ภาพวาดนี้ถูกใช้เป็นสัญลักษณ์แสดงความสมมาตรภายในของร่างกายมนุษย์

คำว่า "อัตราส่วนทองคำ" ถูกใช้โดยเลโอนาร์โดเพื่อแสดงความสัมพันธ์ตามสัดส่วนในร่างมนุษย์ ตัวอย่างเช่น ระยะห่างจากเอวถึงเท้าสัมพันธ์กับระยะห่างจากสะดือถึงยอดศีรษะเท่ากันกับความสูงถึงความยาวแรก (จากเอวลงไป) การคำนวณนี้ทำในลักษณะเดียวกันกับอัตราส่วนของเซ็กเมนต์เมื่อคำนวณอัตราส่วนทองคำและมีแนวโน้มที่ 1.618

ศิลปินมักใช้สัดส่วนที่กลมกลืนกันเหล่านี้เพื่อสร้างผลงานที่สวยงามและน่าประทับใจ

การศึกษาอัตราส่วนทองคำในศตวรรษที่ 16-19

โดยใช้อัตราส่วนทองคำและตัวเลขฟีโบนักชี งานวิจัยเกี่ยวกับสัดส่วนที่เกิดขึ้นมานานกว่าศตวรรษ ควบคู่ไปกับ Leonardo da Vinci ศิลปินชาวเยอรมัน Albrecht Dürerยังได้พัฒนาทฤษฎีเกี่ยวกับสัดส่วนที่ถูกต้องของร่างกายมนุษย์ ด้วยเหตุนี้เขาจึงสร้างเข็มทิศพิเศษขึ้นมา

ในศตวรรษที่ 16 คำถามเกี่ยวกับความเชื่อมโยงระหว่างเลขฟีโบนักชีกับส่วนสีทองนั้นอุทิศให้กับงานของนักดาราศาสตร์ I. Kepler ซึ่งใช้กฎเหล่านี้กับพฤกษศาสตร์เป็นครั้งแรก

"การค้นพบ" ใหม่กำลังรออัตราส่วนทองคำในศตวรรษที่ 19 ด้วยการตีพิมพ์ "Aesthetic Research" โดยศาสตราจารย์ Zeisig นักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมัน เขายกสัดส่วนเหล่านี้ขึ้นสู่ระดับสัมบูรณ์และประกาศว่าพวกมันเป็นสากลสำหรับปรากฏการณ์ทางธรรมชาติทั้งหมด พวกเขาได้ทำการวิจัย จำนวนมากคนหรือมากกว่าสัดส่วนร่างกายของพวกเขา (ประมาณ 2,000) ซึ่งเป็นผลมาจากการที่สรุปเกี่ยวกับรูปแบบที่ได้รับการยืนยันทางสถิติในอัตราส่วน ส่วนต่างๆร่างกาย: ความยาวของไหล่, ปลายแขน, มือ, นิ้ว ฯลฯ

วัตถุทางศิลปะ (แจกัน, โครงสร้างทางสถาปัตยกรรม), โทนเสียงดนตรีขนาดเมื่อเขียนบทกวี - Zeisig แสดงทั้งหมดนี้ผ่านความยาวของส่วนและตัวเลข เขายังแนะนำคำว่า "สุนทรียศาสตร์ทางคณิตศาสตร์" หลังจากได้รับผลปรากฎว่าได้ชุดฟีโบนักชี

ตัวเลขฟีโบนักชีและอัตราส่วนทองคำในธรรมชาติ

ในโลกของพืชและสัตว์มีแนวโน้มที่จะก่อตัวเป็นสมมาตรซึ่งสังเกตได้ในทิศทางของการเติบโตและการเคลื่อนไหว การแบ่งเป็นส่วนสมมาตรซึ่งสังเกตสัดส่วนสีทองเป็นรูปแบบที่มีอยู่ในพืชและสัตว์หลายชนิด

ธรรมชาติรอบตัวเราสามารถอธิบายได้โดยใช้ตัวเลขฟีโบนักชี เช่น

การจัดเรียงใบหรือกิ่งก้านของพืชใด ๆ รวมถึงระยะทางนั้นสัมพันธ์กับอนุกรมของหมายเลข 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 เป็นต้น
เมล็ดทานตะวัน (เกล็ดบนโคน, เซลล์สับปะรด) จัดเรียงเป็นสองแถวเป็นเกลียวบิดในทิศทางที่ต่างกัน
อัตราส่วนของความยาวของหางและลำตัวทั้งหมดของจิ้งจก
รูปร่างของไข่ถ้าคุณวาดเส้นตามเงื่อนไขในส่วนกว้าง
อัตราส่วนของขนาดนิ้วบนมือมนุษย์

และแน่นอนที่สุด รูปทรงที่น่าสนใจเป็นตัวแทนของหอยทากหมุนวน ลวดลายบนเว็บ การเคลื่อนที่ของลมภายในพายุเฮอริเคน เกลียวคู่ใน DNA และโครงสร้างของดาราจักร ล้วนมีลำดับเลขฟีโบนักชี

การใช้อัตราส่วนทองคำในงานศิลปะ

นักวิจัยมองหาตัวอย่างการใช้ส่วนสีทองในงานศิลปะตรวจสอบรายละเอียดของวัตถุทางสถาปัตยกรรมและภาพวาดต่างๆ งานประติมากรรมที่มีชื่อเสียงเป็นที่รู้จักผู้สร้างที่ยึดติดกับสัดส่วนทองคำ - รูปปั้นของ Olympian Zeus, Apollo Belvedere และ

หนึ่งในผลงานสร้างสรรค์ของ Leonardo da Vinci - "Portrait of Mona Lisa" - เป็นหัวข้อของการวิจัยโดยนักวิทยาศาสตร์มาหลายปีแล้ว พวกเขาพบว่าองค์ประกอบของงานทั้งหมดประกอบด้วย "สามเหลี่ยมทองคำ" ซึ่งรวมกันเป็นดาวห้าเหลี่ยมปกติ ผลงานทั้งหมดของดาวินชีเป็นเครื่องพิสูจน์ว่าความรู้ของเขาเกี่ยวกับโครงสร้างและสัดส่วนของร่างกายมนุษย์นั้นลึกซึ้งเพียงใด ต้องขอบคุณการที่เขาสามารถสัมผัสรอยยิ้มอันลึกลับของโมนาลิซ่าได้อย่างไม่น่าเชื่อ

อัตราส่วนทองคำในงานสถาปัตยกรรม

ตัวอย่างเช่น นักวิทยาศาสตร์ได้ศึกษาผลงานชิ้นเอกของสถาปัตยกรรมที่สร้างขึ้นตามกฎของ "ส่วนสีทอง": ปิรามิดแห่งอียิปต์, Pantheon, Parthenon, Notre Dame de Paris Cathedral, St. Basil's Cathedral เป็นต้น

วิหารพาร์เธนอน - หนึ่งในอาคารที่สวยที่สุดในกรีกโบราณ (ศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช) - มี 8 เสาและ17 ต่างฝ่ายอัตราส่วนความสูงต่อความยาวของด้านเท่ากับ 0.618 ส่วนที่ยื่นออกมาด้านหน้าทำขึ้นตาม "ส่วนสีทอง" (ภาพด้านล่าง)

หนึ่งในนักวิทยาศาสตร์ที่คิดค้นและประสบความสำเร็จในการปรับปรุงระบบโมดูลาร์ของสัดส่วนสำหรับวัตถุทางสถาปัตยกรรม (ที่เรียกว่า "โมดูลาร์") คือสถาปนิกชาวฝรั่งเศส Le Corbusier โมดูลนี้ขึ้นอยู่กับระบบการวัดที่เกี่ยวข้องกับการแบ่งตามเงื่อนไขเป็นส่วนต่างๆ ของร่างกายมนุษย์

สถาปนิกชาวรัสเซีย M. Kazakov ผู้สร้างอาคารที่พักอาศัยหลายแห่งในมอสโก เช่นเดียวกับอาคารของวุฒิสภาในเครมลินและโรงพยาบาล Golitsyn (ปัจจุบันเป็นคลินิกที่ 1 ตั้งชื่อตาม N.I. Pirogov) เป็นหนึ่งในสถาปนิกที่ใช้กฎหมายใน การออกแบบและก่อสร้างอัตราส่วนทองคำ

การใช้สัดส่วนในการออกแบบ

ในการออกแบบแฟชั่น นักออกแบบแฟชั่นทุกคนจะสร้างภาพและนางแบบใหม่ โดยคำนึงถึงสัดส่วนของร่างกายมนุษย์และกฎของอัตราส่วนทองคำ แม้ว่าโดยธรรมชาติแล้วไม่ใช่ทุกคนจะมีสัดส่วนในอุดมคติ

เมื่อวางแผน การออกแบบภูมิทัศน์และสร้างองค์ประกอบสวนขนาดใหญ่ด้วยความช่วยเหลือของพืช (ต้นไม้และพุ่มไม้) น้ำพุและวัตถุทางสถาปัตยกรรมขนาดเล็กกฎหมาย " สัดส่วนพระเจ้า". ท้ายที่สุด องค์ประกอบของอุทยานควรเน้นที่การสร้างความประทับใจให้กับผู้มาเยือน ซึ่งสามารถนำทางได้อย่างอิสระในอุทยานและค้นหาศูนย์กลางการจัดองค์ประกอบ

องค์ประกอบทั้งหมดของอุทยานอยู่ในสัดส่วนที่ด้วยความช่วยเหลือของโครงสร้างทางเรขาคณิต การจัดเรียงร่วมกัน การจัดแสงและแสง พวกมันให้ความรู้สึกถึงความกลมกลืนและความสมบูรณ์แบบของบุคคล

การประยุกต์ใช้ส่วนสีทองในไซเบอร์เนติกส์และเทคโนโลยี

กฎของส่วนสีทองและตัวเลขฟีโบนักชียังปรากฏอยู่ในการเปลี่ยนแปลงของพลังงานในกระบวนการที่เกิดขึ้นด้วย อนุภาคมูลฐาน,ประกอบเป็น สารประกอบทางเคมีในระบบอวกาศ ในโครงสร้างยีนของดีเอ็นเอ

กระบวนการที่คล้ายคลึงกันเกิดขึ้นในร่างกายมนุษย์ซึ่งแสดงออกใน biorhythms ของชีวิตในการทำงานของอวัยวะเช่นสมองหรือการมองเห็น

อัลกอริทึมและรูปแบบของสัดส่วนทองคำมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในไซเบอร์เนติกส์และสารสนเทศสมัยใหม่ งานง่าย ๆ อย่างหนึ่งที่โปรแกรมเมอร์มือใหม่ได้รับมอบหมายให้แก้ปัญหาคือ การเขียนสูตรและกำหนดผลรวมของตัวเลขฟีโบนักชีจนถึงจำนวนหนึ่งโดยใช้ภาษาโปรแกรม

การวิจัยสมัยใหม่เกี่ยวกับทฤษฎีอัตราส่วนทองคำ

ตั้งแต่กลางศตวรรษที่ 20 ความสนใจในปัญหาและอิทธิพลของกฎสัดส่วนทองคำต่อชีวิตมนุษย์เพิ่มขึ้นอย่างมาก และจากนักวิทยาศาสตร์หลายคนในวิชาชีพต่างๆ ได้แก่ นักคณิตศาสตร์ นักวิจัยชาติพันธุ์ นักชีววิทยา นักปรัชญา เจ้าหน้าที่ทางการแพทย์ นักเศรษฐศาสตร์ นักดนตรี ฯลฯ

ตั้งแต่ปี 1970 เป็นต้นมา The Fibonacci Quarterly ได้รับการตีพิมพ์ในสหรัฐอเมริกา ซึ่งมีการเผยแพร่ผลงานในหัวข้อนี้ ผลงานปรากฏในสื่อซึ่งใช้กฎทั่วไปของส่วนสีทองและชุดฟีโบนักชีในสาขาความรู้ต่างๆ ตัวอย่างเช่น ในการเข้ารหัสข้อมูล การวิจัยทางเคมี, ทางชีวภาพ เป็นต้น

ทั้งหมดนี้ยืนยันข้อสรุปของนักวิทยาศาสตร์ในสมัยโบราณและสมัยใหม่ว่าอัตราส่วนทองคำเชื่อมโยงพหุภาคีกับประเด็นพื้นฐานของวิทยาศาสตร์และปรากฏอยู่ในสมมาตรของการสร้างสรรค์และปรากฏการณ์มากมายของโลกรอบตัวเรา

เกี่ยวกับตัวเลขและสูตรที่พบในธรรมชาติ คำสองสามคำเกี่ยวกับตัวเลขและสูตรเดียวกันนี้

ตัวเลขและสูตรในธรรมชาติเป็นสิ่งกีดขวางระหว่างผู้ที่เชื่อในการสร้างจักรวาลโดยใครบางคนและผู้ที่เชื่อในการสร้างจักรวาลด้วยตัวเอง สำหรับคำถาม: “ถ้าเอกภพเกิดขึ้นโดยตัวมันเอง วัตถุที่มีชีวิตและไม่มีชีวิตจริงทั้งหมดจะไม่ถูกสร้างขึ้นตามแบบแผนเดียวกัน ตามสูตรเดียวกันหรือ”

สำหรับสิ่งนี้ คำถามเชิงปรัชญาเราจะไม่ตอบตรงนี้ (รูปแบบของเว็บไซต์ไม่เหมือนกัน 🙂) แต่เราจะประกาศสูตร เริ่มจากตัวเลขฟีโบนักชีและเกลียวทองกันก่อน

ดังนั้น ตัวเลขฟีโบนักชีเป็นองค์ประกอบของลำดับตัวเลข โดยที่แต่ละหมายเลขต่อมาจะเท่ากับผลรวมของตัวเลขสองตัวก่อนหน้า นั่นคือ 0 +1=1, 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5 และอื่นๆ

ทั้งหมดได้รับชุดข้อมูล: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946

อีกตัวอย่างหนึ่งของอนุกรมฟีโบนักชี: 0, 2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, 178 และอื่นๆ ทดลองเองได้ 🙂

ตัวเลขฟีโบนักชีปรากฏขึ้นอย่างไรในธรรมชาติ? ง่ายมาก:

การจัดเรียงใบในพืชอธิบายโดยลำดับฟีโบนักชี เมล็ดทานตะวัน โคนต้นสน กลีบดอกไม้ เซลล์สับปะรด ก็จัดเรียงตามลำดับฟีโบนักชีเช่นกัน
ความยาวของช่วงนิ้วคนใกล้เคียงกับตัวเลขฟีโบนักชี
โมเลกุลดีเอ็นเอประกอบด้วยเกลียวสองเส้นพันกันในแนวตั้งยาว 34 อังสตรอมและกว้าง 21 อังสตรอม ตัวเลข 21 และ 34 อยู่ติดกันในลำดับฟีโบนักชี

ด้วยความช่วยเหลือของตัวเลขฟีโบนักชี คุณสามารถสร้างเกลียวทองได้ ลองวาดสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ ที่มีด้านเป็น 1. ต่อไป จำโรงเรียน 1 2 ราคาเท่าไหร่คะ? นี่จะเท่ากับ 1 ลองวาดอีกช่องถัดจากอันแรก ปิด ถัดไป เลขฟีโบนักชีถัดไปคือ 2 (1+1) 2 2 คืออะไร ? นี่จะเท่ากับ 4 ลองวาดสี่เหลี่ยมอีกอันใกล้กับสองสี่เหลี่ยมแรก แต่ตอนนี้มีด้านเป็น 2 และพื้นที่ 4 หมายเลขถัดไปคือเลข 3 (1+2) สี่เหลี่ยมจัตุรัสของหมายเลข 3 คือ 9 วาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน 3 และพื้นที่ 9 ถัดจากส่วนที่วาดไปแล้ว ต่อไปเรามีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน 5 และพื้นที่ 25 สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน 8 และพื้นที่ 64 เป็นต้น ad infinitum

ถึงเวลาของเกลียวทอง มาเชื่อมต่อจุดชายแดนระหว่างสี่เหลี่ยมกับเส้นโค้งเรียบ และเราจะได้รับเกลียวทองคำแบบเดียวกันบนพื้นฐานของการสร้างวัตถุที่มีชีวิตและไม่มีชีวิตจำนวนมากในธรรมชาติ

และก่อนที่จะไปที่อัตราส่วนทองคำ ลองคิดดู ที่นี่ เราได้สร้างวงก้นหอยตามกำลังสองของลำดับฟีโบนักชี (ลำดับที่ 1, 1, 2, 3, 5, 8 และกำลังสอง 1, 1, 4, 9, 25, 64) แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราไม่ใช้กำลังสองของตัวเลข แต่เป็นลูกบาศก์ของพวกมัน? ลูกบาศก์จะมีลักษณะดังนี้จากตรงกลาง:

และด้านข้างแบบนี้:

เมื่อสร้างเกลียวปรากฎ เกลียวทองขนาดมหึมา:

นี่คือลักษณะที่เกลียวทองขนาดใหญ่นี้มองจากด้านข้าง:

แต่ถ้าเราไม่เอาเลขฟีโบนักชีกำลังสอง แต่ไปที่มิติที่สี่ล่ะ .. นี่เป็นปริศนาใช่ไหม?

อย่างไรก็ตาม ฉันไม่รู้ว่าอัตราส่วนทองคำเชิงปริมาตรแสดงออกมาอย่างไรในธรรมชาติโดยพิจารณาจากลูกบาศก์ของตัวเลขฟีโบนักชี และยิ่งกว่านั้นคือตัวเลขในระดับที่สี่ ดังนั้นเราจึงกลับไปที่ส่วนสีทองบนเครื่องบิน ลองดูที่สี่เหลี่ยมของเราอีกครั้ง ในทางคณิตศาสตร์ดูเหมือนว่านี้:

นั่นคือ เราได้อัตราส่วนทองคำ โดยที่ด้านหนึ่งแบ่งออกเป็นสองส่วนในอัตราส่วนที่ส่วนที่เล็กกว่าจะสัมพันธ์กับส่วนที่ใหญ่กว่า เนื่องจากส่วนที่ใหญ่กว่าคือค่าทั้งหมด

นั่นคือ a: b = b: c หรือ c: b = b: a

บนพื้นฐานของอัตราส่วนของขนาดดังกล่าว เหนือสิ่งอื่นใด รูปห้าเหลี่ยมปกติและรูปดาวห้าแฉกถูกสร้างขึ้น:

สำหรับการอ้างอิง: ในการสร้างรูปดาวห้าแฉก คุณต้องสร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติ วิธีการก่อสร้างได้รับการพัฒนาโดยจิตรกรชาวเยอรมันและศิลปินกราฟิก Albrecht Dürer (1471…1528) ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม A จุดบนวงกลม และ E เป็นจุดกึ่งกลางของส่วน OA ตั้งฉากกับรัศมี OA ยกขึ้นที่จุด O ตัดกับวงกลมที่จุด D ใช้เข็มทิศ ทำเครื่องหมายส่วน CE = ED บนเส้นผ่านศูนย์กลาง ความยาวของด้านของรูปห้าเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้ในวงกลมคือ DC เราแยกส่วน DC บนวงกลมและรับห้าคะแนนสำหรับการวาดรูปห้าเหลี่ยมปกติ เราเชื่อมต่อมุมของรูปห้าเหลี่ยมผ่านเส้นทแยงมุมหนึ่งเส้นแล้วได้รูปดาวห้าแฉก เส้นทแยงมุมทั้งหมดของรูปห้าเหลี่ยมแบ่งกันเป็นส่วน ๆ ที่เชื่อมต่อกันด้วยอัตราส่วนทองคำ

โดยทั่วไปแล้วสิ่งเหล่านี้คือรูปแบบ นอกจากนี้ยังมีรูปแบบที่หลากหลายกว่าที่ได้อธิบายไว้ และหลังจากตัวเลขที่น่าเบื่อเหล่านี้ - วิดีโอคลิปที่ทุกอย่างเรียบง่ายและชัดเจน:

อย่างที่คุณเห็น คณิตศาสตร์มีอยู่จริงในธรรมชาติ และไม่เพียงแต่ในออบเจ็กต์ที่แสดงในวิดีโอเท่านั้น แต่ยังรวมถึงในด้านอื่นๆ ด้วย ตัวอย่างเช่น เมื่อคลื่นกระทบฝั่งและบิดตัว คลื่นจะหมุนไปตามเกลียวทอง ก็ว่ากันไป 🙂