คำตอบเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญโดยวิธีออยเลอร์ คำตอบเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

สมการอนุพันธ์สามัญเรียกว่าสมการดังกล่าวที่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ต้องการ y=y (x) ตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป สามารถเขียนได้ในรูป

โดยที่ x คือตัวแปรอิสระ

ลำดับสูงสุด n ของอนุพันธ์ในสมการเรียกว่า ลำดับของสมการอนุพันธ์

วิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญสามารถแบ่งออกเป็นกลุ่มต่างๆ ได้ดังนี้: กราฟ การวิเคราะห์ การประมาณ และตัวเลข

วิธีการแบบกราฟิกใช้โครงสร้างทางเรขาคณิต

วิธีการวิเคราะห์พบได้ในสมการเชิงอนุพันธ์ สำหรับสมการลำดับที่หนึ่ง (ด้วยตัวแปรที่แยกได้, เอกพันธ์, เชิงเส้น, ฯลฯ) เช่นเดียวกับสมการลำดับที่สูงกว่าบางประเภท (เช่น เชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่) เป็นไปได้ที่จะได้คำตอบในรูปแบบของสูตร โดยการแปลงเชิงวิเคราะห์

วิธีการโดยประมาณใช้การทำให้สมการง่ายขึ้นหลายแบบโดยการปฏิเสธเงื่อนไขบางคำที่มีอยู่ในนั้นอย่างสมเหตุสมผลรวมถึงการเลือกคลาสของฟังก์ชันที่ต้องการพิเศษ

วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ในปัจจุบันเป็นเครื่องมือหลักในการศึกษาปัญหาทางวิทยาศาสตร์และทางเทคนิคที่อธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์ ในขณะเดียวกัน ควรเน้นว่าวิธีการเหล่านี้มีประสิทธิภาพเป็นพิเศษเมื่อใช้ร่วมกับคอมพิวเตอร์สมัยใหม่

วิธีเชิงตัวเลขที่ง่ายที่สุดสำหรับการแก้ปัญหา Cauchy สำหรับ ODE คือวิธีออยเลอร์ พิจารณาสมการในบริเวณใกล้เคียงกับโหนด (i=1,2,3,…) และแทนที่อนุพันธ์ทางด้านซ้ายด้วยผลต่างที่ถูกต้อง ในกรณีนี้ ค่าของฟังก์ชันที่โหนดจะถูกแทนที่ด้วยค่าของฟังก์ชันกริด:

การประมาณค่า DE ที่ได้รับนั้นมาจากลำดับแรก เนื่องจากอนุญาตให้มีข้อผิดพลาดได้เมื่อแทนที่ด้วย .

สังเกตว่ามันตามมาจากสมการ

ดังนั้นจึงเป็นการหาค่าโดยประมาณของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งโดยใช้การขยายในอนุกรมเทย์เลอร์ โดยจะปฏิเสธเงื่อนไขของลำดับที่สองและลำดับที่สูงกว่า กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันจะถือว่าเท่ากับส่วนต่างของฟังก์ชัน

สมมติว่า i=0 โดยใช้ความสัมพันธ์ เราจะพบค่าของฟังก์ชันกริดที่:

ค่าที่ต้องการในที่นี้กำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้น กล่าวคือ

ในทำนองเดียวกัน ค่าของฟังก์ชันกริดที่โหนดอื่นสามารถพบได้:

อัลกอริทึมที่สร้างขึ้นเรียกว่าวิธีออยเลอร์

รูป - 19 วิธีออยเลอร์

การตีความทางเรขาคณิตของวิธีออยเลอร์แสดงไว้ในรูป สองขั้นตอนแรกจะแสดงคือ แสดงการคำนวณของฟังก์ชันกริดที่จุด เส้นโค้งปริพันธ์ 0,1,2 อธิบายคำตอบที่แน่นอนของสมการ ในกรณีนี้ เส้นโค้ง 0 สอดคล้องกับวิธีแก้ปัญหาที่แท้จริงของปัญหา Cauchy เนื่องจากมันผ่านจุดเริ่มต้น A (x 0, y 0) คะแนน B,C ได้มาจากผลลัพธ์ของการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของปัญหา Cauchy โดยวิธีออยเลอร์ ความเบี่ยงเบนจากเส้นโค้ง 0 แสดงถึงข้อผิดพลาดของวิธีการ เมื่อดำเนินการแต่ละขั้นตอน เราจะไปถึงเส้นโค้งอินทิกรัลอีกอันหนึ่ง เซ็กเมนต์ AB คือส่วนของเส้นสัมผัสถึงเส้นโค้ง 0 ที่จุด A ความชันของมันถูกกำหนดโดยค่าของอนุพันธ์ ข้อผิดพลาดปรากฏขึ้นเนื่องจากค่าที่เพิ่มขึ้นของฟังก์ชันระหว่างการเปลี่ยนจาก x 0 เป็น x 1 ถูกแทนที่ด้วยการเพิ่มขึ้นในลำดับของแทนเจนต์เป็นเส้นโค้ง 0 ที่จุด A แทนเจนต์ BC ถูกวาดไปยังเส้นโค้งปริพันธ์อื่น 1 แล้ว . ดังนั้น ข้อผิดพลาดของวิธีออยเลอร์จึงนำไปสู่ความจริงที่ว่าในแต่ละขั้นตอน การแก้ปัญหาโดยประมาณจะผ่านไปยังเส้นโค้งอินทิกรัลอีกเส้นหนึ่ง

คำตอบเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์

ปัญหาทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีหลายอย่างถูกลดทอนลงเพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ธรรมดา (ODE) ODE คือสมการดังกล่าวที่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ต้องการตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป โดยทั่วไป ODE สามารถเขียนได้ดังนี้:

โดยที่ x เป็นตัวแปรอิสระ คืออนุพันธ์อันดับที่ i ของฟังก์ชันที่ต้องการ n คือลำดับของสมการ คำตอบทั่วไปของ ODE ลำดับที่ n ประกอบด้วยค่าคงที่ตามอำเภอใจ n ค่า นั่นคือ วิธีแก้ปัญหาทั่วไปมีรูปแบบ

ในการเลือกโซลูชันเฉพาะ จำเป็นต้องตั้งค่าเงื่อนไขเพิ่มเติม n รายการ ขึ้นอยู่กับวิธีการระบุเงื่อนไขเพิ่มเติม มีปัญหาสองประเภทที่แตกต่างกัน: ปัญหา Cauchy และปัญหาค่าขอบเขต หากมีการระบุเงื่อนไขเพิ่มเติม ณ จุดหนึ่ง ปัญหาดังกล่าวจะเรียกว่าปัญหา Cauchy เงื่อนไขเพิ่มเติมในปัญหา Cauchy เรียกว่าเงื่อนไขเริ่มต้น หากระบุเงื่อนไขเพิ่มเติมมากกว่าหนึ่งจุด กล่าวคือ สำหรับค่าต่าง ๆ ของตัวแปรอิสระ ปัญหาดังกล่าวจะเรียกว่า ปัญหาขอบเขต เงื่อนไขเพิ่มเติมเองเรียกว่าเงื่อนไขขอบเขตหรือขอบเขต

เป็นที่ชัดเจนว่าสำหรับ n=1 เราสามารถพูดเกี่ยวกับปัญหาของ Cauchy เท่านั้น

ตัวอย่างการตั้งค่าปัญหา Cauchy:

ตัวอย่างปัญหาค่าขอบเขต:

เป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหาดังกล่าวในเชิงวิเคราะห์สำหรับสมการพิเศษบางประเภทเท่านั้น

วิธีการเชิงตัวเลขในการแก้ปัญหา Cauchy สำหรับ ODE ลำดับแรก

การกำหนดปัญหา. ค้นหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับการสั่งซื้อครั้งแรก ODE

ในส่วนภายใต้เงื่อนไข

เมื่อหาวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณ เราจะถือว่าการคำนวณดำเนินการด้วยขั้นตอนการคำนวณ โหนดการคำนวณเป็นจุดช่วง [ x 0 , x น ].

เป้าหมายคือการสร้างโต๊ะ

x ผม				x น
y ผม				y น

เหล่านั้น. ค้นหาค่าโดยประมาณของ y ที่โหนดกริด

การรวมสมการในช่วงเวลา เราได้รับ

วิธีที่ค่อนข้างเป็นธรรมชาติ (แต่ไม่ใช่วิธีเดียว) ในการหาคำตอบเชิงตัวเลขคือการแทนที่อินทิกรัลในนั้นด้วยสูตรการรวมเชิงตัวเลขเชิงตัวเลข หากเราใช้สูตรที่ง่ายที่สุดของสี่เหลี่ยมด้านซ้ายของลำดับแรก

,

แล้วเราจะได้ สูตรที่ชัดเจนของออยเลอร์:

ขั้นตอนการชำระบัญชี:

รู้ เราพบ แล้วเป็นต้น.

การตีความทางเรขาคณิตของวิธีออยเลอร์:

ใช้ประโยชน์จากสิ่งที่อยู่ในจุดนั้น x 0 รู้จักวิธีแก้ปัญหา y(x 0)=y 0 และค่าของอนุพันธ์ คุณสามารถเขียนสมการของแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชันที่ต้องการได้ที่จุด : ด้วยก้าวเล็กๆ ที่เพียงพอ ชม.พิกัดของแทนเจนต์นี้ ซึ่งได้จากการแทนที่ค่าทางด้านขวาของค่า ควรแตกต่างจากตัวกำหนดเล็กน้อย y(x 1) โซลูชั่น y(x) ของปัญหา Cauchy ดังนั้น จุดตัดของเส้นสัมผัสกับเส้น x = x 1 สามารถใช้เป็นจุดเริ่มต้นใหม่ได้โดยประมาณ ผ่านจุดนี้ เราวาดเส้นตรงอีกครั้ง ซึ่งสะท้อนพฤติกรรมของเส้นสัมผัสที่จุดนั้นโดยประมาณ แทนตรงนี้ (เช่น ทางแยกที่มีเส้น x = x 2) เราจะได้ค่าโดยประมาณ y(x) ณ จุดนั้น x 2: เป็นต้น เป็นผลให้สำหรับ ผมจุดที่เราได้รับสูตรออยเลอร์

วิธีการออยเลอร์ที่ชัดเจนมีความถูกต้องหรือการประมาณค่าลำดับแรก

หากเราใช้สูตรสี่เหลี่ยมมุมฉาก: ,แล้วเราก็มาถึงวิธีการ

วิธีนี้เรียกว่า วิธีการออยเลอร์โดยปริยายเนื่องจากในการคำนวณค่าที่ไม่รู้จักจากค่าที่ทราบ จำเป็นต้องแก้สมการ ในกรณีทั่วไปคือค่าที่ไม่เชิงเส้น

วิธีการโดยนัยของออยเลอร์มีความถูกต้องหรือการประมาณค่าลำดับแรก

ในวิธีนี้ การคำนวณประกอบด้วยสองขั้นตอน:

โครงร่างนี้เรียกอีกอย่างว่าเมธอดตัวทำนาย-ตัวแก้ไข ในระยะแรก ค่าโดยประมาณจะถูกคาดการณ์ด้วยความแม่นยำต่ำ (h) และในขั้นที่สอง การคาดคะเนนี้จะได้รับการแก้ไขเพื่อให้ค่าผลลัพธ์มีความแม่นยำลำดับที่สอง

วิธี Runge–Kutta:แนวคิดในการสร้างวิธี Runge–Kutta ที่ชัดเจน พีลำดับที่ - เพื่อให้ได้ค่าประมาณ y(x ผม+1) ตามสูตรของแบบฟอร์ม

…………………………………………….

ที่นี่ เอ น ,ข nj , พี นเป็นตัวเลขคงที่บางตัว (พารามิเตอร์)

เมื่อสร้างเมธอด Runge–Kutta พารามิเตอร์ของฟังก์ชัน ( เอ น ,ข nj , พี น) ถูกเลือกในลักษณะที่จะได้รับลำดับการประมาณที่ต้องการ

แบบแผน Runge–Kutta ของลำดับที่สี่ของความแม่นยำ:

ตัวอย่าง. แก้ปัญหา Cauchy:

พิจารณาสามวิธี: วิธีออยเลอร์ที่ชัดเจน, วิธีออยเลอร์ที่แก้ไข, วิธี Runge-Kutta

โซลูชันที่แน่นอน:

สูตรการคำนวณสำหรับวิธีออยเลอร์ที่ชัดเจนสำหรับตัวอย่างนี้:

สูตรการคำนวณของวิธีออยเลอร์ดัดแปลง:

สูตรการคำนวณสำหรับวิธี Runge-Kutta:

y1 คือเมธอดออยเลอร์ y2 คือเมธอดออยเลอร์ที่ดัดแปลง y3 คือเมธอด Runge Kutta

จะเห็นได้ว่าวิธี Runge-Kutta นั้นแม่นยำที่สุด

วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ระบบของ ODE ลำดับแรก

วิธีการที่พิจารณาแล้วยังสามารถใช้เพื่อแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่หนึ่งได้อีกด้วย

ให้เราแสดงสิ่งนี้สำหรับกรณีของระบบสมการอันดับหนึ่งสองสมการ:

วิธีการออยเลอร์ที่ชัดเจน:

วิธีการดัดแปลงออยเลอร์:

โครงการ Runge-Kutta ของลำดับที่สี่ของความแม่นยำ:

ปัญหา Cauchy สำหรับสมการที่มีลำดับสูงกว่าก็ลดลงไปจนถึงการแก้ระบบสมการ ODE ตัวอย่างเช่น พิจารณา ปัญหา Cauchy สำหรับสมการอันดับสอง

มาแนะนำฟังก์ชันที่ไม่รู้จักที่สองกัน จากนั้นปัญหา Cauchy จะถูกแทนที่ด้วยสิ่งต่อไปนี้:

เหล่านั้น. ในแง่ของปัญหาก่อนหน้า: .

ตัวอย่าง. ค้นหาวิธีแก้ปัญหา Cauchy:

เมื่อตัด

โซลูชันที่แน่นอน:

จริงๆ:

มาแก้ปัญหาด้วยวิธีการออยเลอร์ที่ชัดเจน ซึ่งแก้ไขโดยวิธีออยเลอร์และรันจ์-คุตตาด้วยขั้นตอน h=0.2

มาแนะนำฟังก์ชั่นกัน

จากนั้น เราได้รับปัญหา Cauchy ต่อไปนี้สำหรับระบบของ ODE ลำดับแรกสองรายการ:

วิธีการออยเลอร์ที่ชัดเจน:

วิธีการดัดแปลงออยเลอร์:

วิธีรุ่ง-คุตตะ:

โครงการออยเลอร์:

วิธีการดัดแปลงออยเลอร์:

โครงการ Runge - Kutta:

สูงสุด (ทฤษฎี y-y)=4*10 -5

วิธีความแตกต่างแบบจำกัดสำหรับการแก้ปัญหาค่าขอบเขตสำหรับ ODEs

การกำหนดปัญหา: หาคำตอบของสมการอนุพันธ์เชิงเส้น

เป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขต:. (2)

ทฤษฎีบท.อนุญาต . แล้วมีวิธีแก้ไขปัญหาเฉพาะ

ตัวอย่างเช่น ปัญหาในการพิจารณาการโก่งตัวของลำแสงซึ่งติดอยู่ที่ส่วนปลาย จะลดลงมาที่ปัญหานี้

ขั้นตอนหลักของวิธีความแตกต่างจำกัด:

1) ขอบเขตของการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องของอาร์กิวเมนต์ () ถูกแทนที่ด้วยชุดจุดที่ไม่ต่อเนื่องที่เรียกว่า nodes:

2) ฟังก์ชันที่ต้องการของอาร์กิวเมนต์ต่อเนื่อง x ถูกแทนที่โดยประมาณด้วยฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ที่ไม่ต่อเนื่องบนกริดที่กำหนด นั่นคือ . ฟังก์ชันนี้เรียกว่ากริด

3) สมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมถูกแทนที่ด้วยสมการผลต่างเทียบกับฟังก์ชันกริด การแทนที่ดังกล่าวเรียกว่าการประมาณความแตกต่าง

ดังนั้นการแก้สมการเชิงอนุพันธ์จึงลดลงเป็นการหาค่าของฟังก์ชันกริดที่โหนดของกริด ซึ่งหาได้จากการแก้สมการพีชคณิต

การประมาณอนุพันธ์

ในการประมาณ (แทนที่) อนุพันธ์อันดับแรก คุณสามารถใช้สูตร:

- อนุพันธ์ส่วนต่างขวา

- อนุพันธ์ส่วนต่างซ้าย

อนุพันธ์ของผลต่างส่วนกลาง

กล่าวคือ สามารถประมาณอนุพันธ์ได้หลายวิธี

คำจำกัดความทั้งหมดเหล่านี้ตามมาจากแนวคิดของอนุพันธ์เป็นลิมิต: .

ตามการประมาณผลต่างของอนุพันธ์อันดับแรก เราสามารถสร้างการประมาณผลต่างของอนุพันธ์อันดับสองได้:

ในทำนองเดียวกัน อนุพันธ์อันดับสูงกว่าสามารถประมาณได้

คำนิยาม.ข้อผิดพลาดในการประมาณของอนุพันธ์อันดับที่ n คือความแตกต่าง:

การขยายอนุกรมเทย์เลอร์ใช้เพื่อกำหนดลำดับการประมาณ

พิจารณาการประมาณความแตกต่างที่ถูกต้องของอนุพันธ์อันดับแรก:

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลต่างที่เหมาะสมมี ครั้งแรก โดย hลำดับการประมาณ

เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของผลต่างทางซ้ายก็เหมือนกัน

อนุพันธ์ของผลต่างส่วนกลางมี การประมาณลำดับที่สอง.

การประมาณอนุพันธ์อันดับสองตามสูตร (3) ก็มีลำดับที่สองของการประมาณเช่นกัน

ในการประมาณสมการอนุพันธ์ จำเป็นต้องแทนที่อนุพันธ์ทั้งหมดในนั้นด้วยการประมาณของพวกมัน พิจารณาปัญหา (1), (2) และแทนที่อนุพันธ์ใน (1):

เป็นผลให้เราได้รับ:

(4)

ลำดับการประมาณของปัญหาเดิมคือ 2 เพราะ อนุพันธ์อันดับสองและอันดับแรกจะถูกแทนที่ด้วยคำสั่ง 2 และส่วนที่เหลือก็เหมือนกัน

ดังนั้น แทนที่จะใช้สมการเชิงอนุพันธ์ (1), (2) ระบบได้ระบบสมการเชิงเส้นเพื่อกำหนดที่โหนดกริด

โครงการสามารถแสดงเป็น:

นั่นคือ เราได้ระบบสมการเชิงเส้นพร้อมเมทริกซ์:

เมทริกซ์นี้เป็นแบบสามมิติ นั่นคือ องค์ประกอบทั้งหมดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นทแยงมุมหลักและเส้นทแยงมุมสองเส้นที่อยู่ติดกันจะเท่ากับศูนย์

โดยการแก้ระบบผลลัพธ์ของสมการ เราจะได้คำตอบของปัญหาเดิม

บทนำ

เมื่อแก้ปัญหาทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม มักจะจำเป็นต้องอธิบายระบบไดนามิกทางคณิตศาสตร์ ทำได้ดีที่สุดในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์ ( ตู่) หรือระบบสมการเชิงอนุพันธ์ ส่วนใหญ่แล้ว ปัญหาดังกล่าวเกิดขึ้นเมื่อแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองจลนพลศาสตร์ของปฏิกิริยาเคมีและปรากฏการณ์การถ่ายโอนต่างๆ (ความร้อน มวล โมเมนตัม) - การถ่ายเทความร้อน การผสม การอบแห้ง การดูดซับ เมื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของมาโครและอนุภาคขนาดเล็ก

ในบางกรณี สมการเชิงอนุพันธ์สามารถแปลงเป็นรูปแบบที่แสดงอนุพันธ์สูงสุดได้อย่างชัดเจน รูปแบบการเขียนนี้เรียกว่า สมการที่แก้โดยเทียบกับอนุพันธ์สูงสุด (ในกรณีนี้ อนุพันธ์สูงสุดจะไม่อยู่ทางด้านขวาของสมการ):

คำตอบของสมการอนุพันธ์สามัญคือฟังก์ชัน y(x) ที่สำหรับ x ใดๆ สมการนี้จะมีช่วงจำกัดหรืออนันต์ที่แน่นอน กระบวนการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่า การรวมสมการเชิงอนุพันธ์

ในอดีต วิธีแรกและง่ายที่สุดในการแก้ปัญหา Cauchy เชิงตัวเลขสำหรับ ODE อันดับแรกคือวิธีออยเลอร์ มันขึ้นอยู่กับการประมาณของอนุพันธ์โดยอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นอย่าง จำกัด ของตัวแปรตาม (y) และอิสระ (x) ระหว่างโหนดของกริดแบบสม่ำเสมอ:

โดยที่ y i+1 คือค่าที่ต้องการของฟังก์ชันที่จุด x i+1

ความแม่นยำของวิธีออยเลอร์สามารถปรับปรุงได้หากเราใช้สูตรการรวมที่แม่นยำยิ่งขึ้นเพื่อประมาณค่าอินทิกรัล: สูตรสี่เหลี่ยมคางหมู.

สูตรนี้ปรากฏเป็นนัยเทียบกับ y i+1 (ค่านี้อยู่ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของนิพจน์) นั่นคือ เป็นสมการของ y i+1 ซึ่งแก้ได้ เช่น ในเชิงตัวเลขโดยใช้วิธีการวนซ้ำ (ในรูปแบบดังกล่าว ถือได้ว่าเป็นสูตรวนซ้ำของวิธีการวนซ้ำอย่างง่าย)

องค์ประกอบของงานหลักสูตร: งานหลักสูตรประกอบด้วยสามส่วน ในส่วนแรกเป็นคำอธิบายสั้น ๆ เกี่ยวกับวิธีการ ในส่วนที่สอง การกำหนดและการแก้ปัญหา ในส่วนที่สาม - การใช้งานซอฟต์แวร์ในภาษาคอมพิวเตอร์

วัตถุประสงค์ของหลักสูตร: เพื่อศึกษาวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สองวิธี - วิธีออยเลอร์-คอชีและวิธีออยเลอร์ที่ได้รับการปรับปรุง

1. ส่วนทฤษฎี

ความแตกต่างเชิงตัวเลข

สมการอนุพันธ์คือสมการที่มีอนุพันธ์ตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป สมการเชิงอนุพันธ์แบ่งออกเป็นสองประเภทขึ้นอยู่กับจำนวนของตัวแปรอิสระ

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODE)

สมการเชิงอนุพันธ์บางส่วน

สมการอนุพันธ์สามัญเรียกว่าสมการดังกล่าวที่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ต้องการตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป สามารถเขียนได้ในรูป

ตัวแปรอิสระ

ลำดับสูงสุดที่รวมอยู่ในสมการ (1) เรียกว่าลำดับของสมการอนุพันธ์

ODE ที่ง่ายที่สุด (เชิงเส้น) คือสมการ (1) ของคำสั่งที่แก้ไขตามอนุพันธ์

คำตอบของสมการอนุพันธ์ (1) คือฟังก์ชันใดๆ ที่หลังจากแทนค่าลงในสมการแล้ว จะเปลี่ยนให้เป็นค่าเอกลักษณ์

ปัญหาหลักที่เกี่ยวข้องกับ ODE เชิงเส้นเรียกว่าปัญหาคาชิ:

หาคำตอบของสมการ (2) ในรูปแบบของฟังก์ชันที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น (3)

ในเชิงเรขาคณิต นี่หมายความว่าจำเป็นต้องหาเส้นโค้งปริพันธ์ที่ลากผ่านจุด ) เมื่อได้รับความเท่าเทียมกัน (2)

ตัวเลขจากมุมมองของปัญหาคาชิหมายความว่า: จำเป็นต้องสร้างตารางค่าฟังก์ชันที่ตรงกับสมการ (2) และเงื่อนไขเริ่มต้น (3) ในส่วนที่มีขั้นตอนที่แน่นอน . โดยปกติแล้วจะถือว่า นั่นคือ เงื่อนไขเริ่มต้นจะได้รับที่ด้านซ้ายสุดของเซ็กเมนต์

วิธีเชิงตัวเลขที่ง่ายที่สุดในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์คือวิธีออยเลอร์ มันขึ้นอยู่กับแนวคิดของการสร้างวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ แต่วิธีนี้ยังให้วิธีการค้นหาฟังก์ชันที่ต้องการในรูปแบบตัวเลขหรือในตาราง

ให้สมการ (2) มีเงื่อนไขตั้งต้น นั่นคือ ปัญหาคาชิถูกตั้งค่า มาแก้ปัญหาต่อไปนี้กันก่อน หาค่าประมาณของสารละลายด้วยวิธีที่ง่ายที่สุด ณ จุดใดจุดหนึ่งซึ่งเป็นขั้นตอนเล็กๆ เพียงพอ สมการ (2) ร่วมกับเงื่อนไขเริ่มต้น (3) กำหนดทิศทางของแทนเจนต์ของเส้นโค้งปริพันธ์ที่ต้องการที่จุดด้วยพิกัด

สมการแทนเจนต์มีรูปแบบ

ไปตามแทนเจนต์นี้ เราจะได้ค่าโดยประมาณของการแก้ปัญหา ณ จุด :

มีวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณ ณ จุดหนึ่ง เราสามารถทำซ้ำขั้นตอนที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้: สร้างเส้นตรงที่ผ่านจุดนี้ด้วยความชัน และใช้เพื่อหาค่าประมาณของสารละลายที่จุดนั้น

. โปรดทราบว่าเส้นตรงนี้ไม่ได้สัมผัสกับเส้นโค้งอินทิกรัลจริง เนื่องจากไม่มีจุดให้บริการสำหรับเรา อย่างไรก็ตาม หากจุดนั้นมีขนาดเล็กพอ ค่าโดยประมาณที่ได้จะใกล้เคียงกับค่าที่แน่นอนของโซลูชัน

ต่อจากแนวคิดนี้ เราสร้างระบบที่มีระยะห่างเท่ากัน

รับตารางค่าของฟังก์ชันที่ต้องการ

ตามวิธีออยเลอร์ประกอบด้วยการใช้สูตรเป็นวัฏจักร

รูปที่ 1 การตีความแบบกราฟิกของวิธีออยเลอร์

วิธีการรวมเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์ซึ่งได้คำตอบจากโหนดหนึ่งไปยังโหนดอื่นเรียกว่าแบบขั้นตอน วิธีออยเลอร์เป็นตัวแทนที่ง่ายที่สุดของวิธีการทีละขั้นตอน คุณลักษณะของวิธีการทีละขั้นตอนใดๆ คือ เริ่มต้นจากขั้นตอนที่สอง ค่าเริ่มต้นในสูตร (5) เป็นค่าโดยประมาณ นั่นคือ ข้อผิดพลาดในแต่ละขั้นตอนถัดไปจะเพิ่มขึ้นอย่างเป็นระบบ วิธีที่ใช้มากที่สุดสำหรับการประมาณความถูกต้องของวิธีการทีละขั้นตอนสำหรับโซลูชันตัวเลขโดยประมาณของ ODE คือวิธีการส่งผ่านส่วนที่กำหนดสองครั้งด้วยขั้นตอนและขั้นตอน

1.1 ปรับปรุงวิธีออยเลอร์

แนวคิดหลักของวิธีนี้: ค่าถัดไปที่คำนวณโดยสูตร (5) จะแม่นยำยิ่งขึ้นหากค่าของอนุพันธ์ซึ่งก็คือความชันของเส้นตรงที่แทนที่เส้นโค้งปริพันธ์บนส่วนนั้นจะไม่ถูกคำนวณ ตามขอบด้านซ้าย (นั่นคือ ที่จุด ) แต่อยู่ตรงกลางของเซ็กเมนต์ แต่เนื่องจากค่าของอนุพันธ์ระหว่างจุดไม่ถูกคำนวณ เรามาดูส่วนคู่ของจุดศูนย์กลาง ซึ่งจุดนั้นอยู่ ในขณะที่สมการของเส้นตรงอยู่ในรูปแบบ:

และสูตร (5) ใช้รูปแบบ

สูตร (7) ใช้สำหรับเท่านั้นดังนั้นจึงไม่สามารถหาค่าได้ดังนั้นจึงพบโดยใช้วิธีออยเลอร์ในขณะที่เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้นพวกเขาทำเช่นนี้ตั้งแต่เริ่มต้นโดยใช้สูตร (5 ) หาค่า

(8)

ที่จุดแล้วพบโดยสูตร (7) ด้วยขั้นตอน

(9)

หลังจากพบการคำนวณเพิ่มเติมสำหรับ ผลิตโดยสูตร (7)

คำถามหลักที่กล่าวถึงในการบรรยาย:

1. คำชี้แจงปัญหา

2. วิธีออยเลอร์

3. วิธีรุ่ง-กุตตะ

4. วิธีการหลายขั้นตอน

5. การแก้ปัญหาค่าขอบเขตสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ 2

6. คำตอบเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

1. คำชี้แจงปัญหา

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่ง่ายที่สุด (ODE) คือสมการอันดับ 1 ที่แก้โดยเทียบกับอนุพันธ์: y " = f (x, y) (1) ปัญหาหลักที่เกี่ยวข้องกับสมการนี้เรียกว่าปัญหา Cauchy: ค้นหา a คำตอบของสมการ (1) ในรูปแบบของฟังก์ชัน y (x) ที่เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น: y (x0) = y0 (2)
ลำดับที่ n DE y (n) = f (x, y, y",:, y(n-1)) ซึ่งปัญหา Cauchy คือการหาทางแก้ไข y = y(x) ที่ตรงตามเงื่อนไขเบื้องต้น :
y (x0) = y0 , y" (x0) = y"0 , :, y(n-1)(x0) = y(n-1)0 , โดยที่ y0 , y"0 , :, y(n- 1)0 - ตัวเลขที่กำหนด สามารถลดเป็นระบบ DE อันดับแรกได้

· วิธีการออยเลอร์

วิธีออยเลอร์มีพื้นฐานมาจากแนวคิดในการสร้างวิธีแก้ปัญหาสมการเชิงอนุพันธ์แบบกราฟิก แต่วิธีการเดียวกันจะให้รูปแบบตัวเลขของฟังก์ชันที่ต้องการไปพร้อม ๆ กัน ให้สมการ (1) กับเงื่อนไขเริ่มต้น (2) ถูกกำหนด
การรับตารางค่าของฟังก์ชันที่ต้องการ y (x) โดยวิธีออยเลอร์ประกอบด้วยการใช้สูตรแบบวนรอบ: , i = 0, 1, :, n สำหรับการสร้างทางเรขาคณิตของเส้นออยเลอร์หัก (ดูรูป) เราเลือกเสา A(-1,0) และพล็อตส่วน PL=f(x0, y0) บนแกน y (จุด P คือจุดกำเนิดของ พิกัด). เห็นได้ชัดว่าความชันของรังสี AL จะเท่ากับ f(x0, y0) ดังนั้นเพื่อให้ได้ลิงค์แรกของเส้นออยเลอร์รูปหลายเหลี่ยม ก็เพียงพอที่จะลากเส้น MM1 จากจุด M ขนานกับรังสี AL จนถึง มันตัดกับเส้น x = x1 ที่จุดใดจุดหนึ่ง M1(x1, y1) นำจุด M1(x1, y1) เป็นจุดเริ่มต้น เราแยกส่วน PN = f (x1, y1) บนแกน Oy และลากเส้นตรงผ่านจุด M1 M1M2 | | AN จนถึงทางแยกที่จุด M2(x2, y2) กับเส้น x = x2 เป็นต้น

ข้อเสียของวิธีการ: ความแม่นยำต่ำ, การสะสมข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ

· วิธี Runge-Kutta

แนวคิดหลักของวิธีการ: แทนที่จะใช้อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชัน f (x, y) ในสูตรการทำงาน ให้ใช้เฉพาะฟังก์ชันนี้เท่านั้น แต่คำนวณค่าของมันในหลายจุดในแต่ละขั้นตอน ในการทำเช่นนี้ เราจะหาคำตอบของสมการ (1) ในรูปแบบ:


โดยการเปลี่ยน α, β, r, q เราจะได้เมธอด Runge-Kutta เวอร์ชันต่างๆ
สำหรับ q=1 เราได้สูตรออยเลอร์
สำหรับ q=2 และ r1=r2=½ เราจะได้ α, β= 1 และดังนั้นเราจึงมีสูตร: ซึ่งเรียกว่าวิธีออยเลอร์-คอชีที่ปรับปรุงแล้ว
ด้วย q=2 และ r1=0, r2=1 เราจะได้ α, β = ½ และด้วยเหตุนี้ เรามีสูตร: - วิธีออยเลอร์-คอชีที่ปรับปรุงวิธีที่สอง
สำหรับ q=3 และ q=4 ยังมีสูตร Runge-Kutta ทั้งตระกูล ในทางปฏิบัติมักใช้บ่อยที่สุดเพราะ อย่าเพิ่มข้อผิดพลาด
พิจารณาโครงร่างสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยวิธี Runge-Kutta ที่มีความแม่นยำ 4 ระดับ การคำนวณโดยใช้วิธีนี้ดำเนินการตามสูตร:

สะดวกในการป้อนในตารางต่อไปนี้:

x	y	y" = ฉ(x,y)	k=h f(x,y)	Δy
x0	y0	ฉ(x0,y0)	k1(0)	k1(0)
x0 + ½ h	y0 + ½ k1(0)	f(x0 + ½ h, y0 + ½ k1(0))	k2(0)	2k2(0)
x0 + ½ h	y0 + ½ k2(0)	f(x0 + ½ h, y0 + ½ k2(0))	k3(0)	2k3(0)
x0 + ชั่วโมง	y0 + k3(0)	f(x0 + h, y0 + k3(0))	k4(0)	k4(0)
				Δy0 = Σ / 6
x1	y1 = y0 + Δy0	ฉ(x1,y1)	k1(1)	k1(1)
x1 + ½ h	y1 + ½ k1(1)	f(x1 + ½ h, y1 + ½ k1(1))	k2(1)	2k2(1)
x1 + ½ h	y1 + ½ k2(1)	f(x1 + ½ h, y1 + ½ k2(1))	k3(1)	2k3(1)
x1 + h	y1 + k3(1)	f(x1 + h, y1 + k3(1))	k4(1)	k4(1)
				Δy1 = Σ / 6
x2	y2 = y1 + Δy1	เป็นต้น	จนครบตามต้องการ	ค่า y

· วิธีการหลายขั้นตอน

วิธีการที่กล่าวถึงข้างต้นเป็นวิธีที่เรียกว่าวิธีการรวมแบบขั้นตอนของสมการเชิงอนุพันธ์ มีลักษณะเฉพาะโดยหาค่าของโซลูชันในขั้นตอนต่อไปโดยใช้โซลูชันที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้าเพียงขั้นตอนเดียว นี่เป็นวิธีที่เรียกว่าขั้นตอนเดียว
แนวคิดหลักของวิธีการแบบหลายขั้นตอนคือการใช้ค่าการตัดสินใจก่อนหน้านี้หลายค่าในการคำนวณมูลค่าโซลูชันในขั้นตอนต่อไป นอกจากนี้วิธีการเหล่านี้เรียกว่า m-step ด้วยจำนวน m ที่ใช้ในการคำนวณค่าก่อนหน้าของโซลูชัน
ในกรณีทั่วไป ในการพิจารณาโซลูชันโดยประมาณ yi+1 แผนภาพความแตกต่างของขั้นตอน m จะถูกเขียนดังนี้ (m 1):
พิจารณาสูตรเฉพาะที่ใช้วิธีการของ Adams ที่ชัดเจนและโดยปริยายที่ง่ายที่สุด

อดัมส์ที่ชัดเจน ลำดับที่ 2 (2-Step Explicit Adams)

เรามี a0 = 0, m = 2
ดังนั้น - สูตรการคำนวณของวิธีอดัมส์ที่ชัดเจนของลำดับที่ 2
สำหรับ i = 1 เรามี y1 ที่ไม่รู้จัก ซึ่งเราจะพบโดยใช้วิธี Runge-Kutta สำหรับ q = 2 หรือ q = 4
สำหรับ i = 2, 3, : ทราบค่าที่จำเป็นทั้งหมด

วิธีโดยนัยของอดัมส์ ลำดับที่ 1

เรามี: a0 0, m = 1
ดังนั้น - สูตรการคำนวณของวิธีอดัมส์โดยนัยของลำดับที่ 1
ปัญหาหลักของรูปแบบโดยปริยายมีดังต่อไปนี้: yi+1 รวมอยู่ในทั้งด้านขวาและด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันที่นำเสนอ ดังนั้นเราจึงมีสมการในการหาค่าของ yi+1 สมการนี้ไม่เชิงเส้นและเขียนในรูปแบบที่เหมาะสมสำหรับการแก้ปัญหาแบบวนซ้ำ ดังนั้นเราจะใช้วิธีวนซ้ำอย่างง่ายเพื่อแก้สมการนี้:
หากเลือกขั้นตอน h ได้ดี กระบวนการวนซ้ำจะบรรจบกันอย่างรวดเร็ว
วิธีนี้ไม่ใช่การเริ่มต้นด้วยตนเอง ดังนั้นในการคำนวณ y1 คุณจำเป็นต้องรู้ y1(0) สามารถพบได้โดยใช้วิธีออยเลอร์

ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ จำเป็นต้องทราบค่าของตัวแปรตามและอนุพันธ์ของค่าบางค่าของตัวแปรอิสระ หากมีการระบุเงื่อนไขเพิ่มเติมสำหรับค่าใดค่าหนึ่งที่ไม่ทราบค่า นั่นคือ ตัวแปรอิสระ ดังนั้นปัญหาดังกล่าวจึงเรียกว่าปัญหาคอชี หากกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นที่ค่าตัวแปรอิสระตั้งแต่สองค่าขึ้นไป ปัญหาจะเรียกว่า ปัญหาขอบเขต เมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ประเภทต่าง ๆ ฟังก์ชันที่มีค่าที่คุณต้องการกำหนดจะถูกคำนวณในรูปแบบของตาราง

การจำแนกวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ความแตกต่าง ระดับ ประเภท

ปัญหา Cauchy เป็นขั้นตอนเดียว: วิธีออยเลอร์, วิธี Runge-Kutta; – หลายขั้นตอน: วิธีหลัก วิธีอดัมส์ ปัญหาค่าขอบเขตคือวิธีการลดปัญหาค่าขอบเขตให้เป็นปัญหาของ Cauchy – วิธีการของความแตกต่างจำกัด

เมื่อแก้ปัญหา Cauchy ต่างกัน คุณ. คำสั่ง n หรือความแตกต่างของระบบ คุณ. ของลำดับแรกจาก n สมการและ n เงื่อนไขเพิ่มเติมสำหรับคำตอบ ต้องระบุเงื่อนไขเพิ่มเติมสำหรับค่าเดียวกันของตัวแปรอิสระ เมื่อแก้ปัญหาขอบเขต เช่น ลำดับที่ n หรือระบบของสมการ n และ n เงื่อนไขเพิ่มเติมสำหรับค่าตัวแปรอิสระตั้งแต่สองค่าขึ้นไป เมื่อแก้ปัญหา Cauchy ฟังก์ชันที่ต้องการจะถูกกำหนดอย่างไม่ต่อเนื่องในรูปแบบของตารางที่มีขั้นตอนที่กำหนด  เมื่อกำหนดค่าถัดไปแต่ละค่า คุณสามารถใช้ข้อมูลเกี่ยวกับจุดก่อนหน้าหนึ่งจุด ในกรณีนี้ เมธอดนี้เรียกว่าเมธอดแบบขั้นตอนเดียว หรือคุณสามารถใช้ข้อมูลเกี่ยวกับจุดก่อนหน้าหลายๆ จุด - เมธอดแบบหลายขั้นตอน

ดิฟเฟอเรนเชียล ur ปัญหาจุกจิก. วิธีการขั้นตอนเดียว วิธีการออยเลอร์

ให้: g(x,y)y+h(x,y)=0, y=-h(x,y)/g(x,y)= f(x,y), x 0 , y( x 0)=y 0 . เป็นที่รู้จัก: f(x,y), x 0 , y 0 . กำหนดวิธีแก้ปัญหาแบบไม่ต่อเนื่อง: x i , y i , i=0,1,…,n. วิธีออยเลอร์ขึ้นอยู่กับการขยายตัวของฟังก์ชันในอนุกรมเทย์เลอร์รอบจุด x 0 พื้นที่ใกล้เคียงอธิบายโดยขั้นตอน h. y(x 0 +h)y(x 0)+hy(x 0)+…+ (1). วิธีออยเลอร์พิจารณาเพียงสองเทอมของอนุกรมเทย์เลอร์ เรามาแนะนำสัญกรณ์ สูตรของออยเลอร์จะอยู่ในรูปแบบ: y i+1 =y i +y i , y i =hy(x i)=hf(x i ,y i), y i+1 =y i +hf(x i ,y i) (2), ผม= 0,1,2…, x ผม+1 = x ผม + h

สูตร (2) คือสูตรของวิธีออยเลอร์อย่างง่าย

การตีความทางเรขาคณิตของสูตรออยเลอร์

เพื่อให้ได้คำตอบที่เป็นตัวเลข f-la ของแทนเจนต์ผ่านสมการ แทนเจนต์: y=y(x 0)+y(x 0)(x-x 0), x=x 1 ,

y 1 \u003d y (x 0) + f (x 0, y 0)  (x-x 0) เพราะ

x-x 0 \u003d h จากนั้น y 1 \u003d y 0 + hf (x 0, y 0), f (x 0, y 0) \u003d tg £

แก้ไขวิธีการออยเลอร์

ให้ไว้: y=f(x,y), y(x 0)=y 0 . เป็นที่รู้จัก: f(x,y), x 0 , y 0 . กำหนด: การพึ่งพาของ y บน x ในรูปแบบของฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องแบบตาราง: x i , y i , i=0,1,…,n.

การตีความทางเรขาคณิต

1) คำนวณแทนเจนต์มุมลาดที่จุดเริ่มต้น

tg £=y(x n ,y n)=f(x n ,y n)

2) คำนวณค่า  y n+1 on

เมื่อสิ้นสุดขั้นตอนตามสูตรออยเลอร์

 y n+1 \u003d y n + f (x n, y n) 3) คำนวณแทนเจนต์ของความชัน

แทนเจนต์ที่ n+1 จุด: tg £=y(x n+1 ,  y n+1)=f(x n+1 ,  y n+1) 4) คำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของมุม

ความชัน: tg £=½. 5) ใช้แทนเจนต์ของมุมความชัน เราคำนวณค่าของฟังก์ชันใหม่อีกครั้งที่ n+1 จุด: y n+1 =y n +htg £= y n +½h=y n +½h เป็นสูตรของวิธีออยเลอร์ที่แก้ไข . สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า f-la ที่ได้นั้นสอดคล้องกับการขยายตัวของ f-ii ในซีรีส์ Taylor รวมถึงเงื่อนไข (สูงถึง h 2) วิธี Eilnr ที่ได้รับการดัดแปลงนั้นตรงกันข้ามกับวิธีง่าย ๆ เป็นวิธีการลำดับที่สองของความแม่นยำตั้งแต่ ข้อผิดพลาดเป็นสัดส่วนกับ ชั่วโมง 2 .