ชื่อพารามิเตอร์	ความหมาย
หัวข้อบทความ:	วิธีคอร์ด
รูบริก (หมวดหมู่เฉพาะเรื่อง)	คณิตศาสตร์

วิธีคอร์ด -หนึ่งในเรื่องทั่วไป วิธีการวนซ้ำ- มันก็เรียกว่า วิธีการประมาณค่าเชิงเส้น วิธีการส่วนตามสัดส่วน

แนวคิดของวิธีคอร์ดคือในส่วนโค้งของเส้นโค้งที่มีขนาดเล็กเพียงพอ ที่=f (x) ถูกแทนที่ด้วยคอร์ดและจุดตัดของคอร์ดกับแกน วัวเป็นค่าประมาณของราก

รูปที่ 2 - การตีความทางเรขาคณิตของวิธีของนิวตัน

ปล่อยให้เพื่อความแน่นอน ฉ" (x)> 0,ฉ""(เอ็กซ์)>0,ฉ(ก)<0,ฉ(ข)> 0 (รูปที่ 3, ก) ให้เราใช้เป็นค่าประมาณเริ่มต้นของรูตที่ต้องการ เอ็กซ์*ค่า x 0 =ก. ผ่านจุด 0 และ B เราวาดคอร์ดและสำหรับการประมาณรากครั้งแรก เอ็กซ์*นำ abscissa x 1 ของจุดตัดของคอร์ดกับแกน โอ้.ตอนนี้ได้ค่าประมาณแล้ว เอ็กซ์สามารถระบุ 1 รูทได้หากเราใช้วิธีคอร์ดกับเซกเมนต์ [x 1 - ข]. แอบซิสซา เอ็กซ์จุดตัด 2 จุดของคอร์ดA 1B จะเป็นค่าประมาณรากอีกจุดหนึ่ง ดำเนินกระบวนการนี้ต่อไปเราได้รับลำดับ x 0, x 1, x 2,..., x k,... ค่ารากโดยประมาณ เอ็กซ์*ของสมการนี้

ดังนั้น วิธีคอร์ดจึงสามารถเขียนได้ดังนี้

, k=0, 1.2, …, (8)

ใน กรณีทั่วไปจุดสิ้นสุดคงที่ของส่วนของรากที่แยกได้ซึ่งเป็นเครื่องหมายของฟังก์ชัน ฉ(x)เกิดขึ้นพร้อมกับเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง และสำหรับการประมาณเริ่มต้น x 0 เราสามารถใช้จุดของเซ็กเมนต์ [ ก; ข] โดยที่ f(x 0)×f"’(x 0)< 0.

เช่น เมื่อใด ฉ (ก)>0,ฉ (ข)<0,ฉ"(x)< 0,ฉ"(x)< 0 (รูปที่ 3, b) สิ้นสุด ขส่วน [ ก; ข] อยู่กับที่

ในกรณีที่ ฉ(ก)>0, ฉ(ข)< 0,ฉ"(เอ็กซ์)< 0,ฉ"( เอ็กซ์)>0 (รูปที่ 3, c) หรือ ฉ(ก)<0,ฉ(ข)>0,ฉ'(เอ็กซ์)>0,ฉ"'(เอ็กซ์)<0 (рис. 3,ก)จุด a คือจุดสิ้นสุดคงที่ของส่วน [ ก; ข].

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ให้เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการลู่เข้าของวิธีคอร์ด

รูปที่ 3 – การตีความทางเรขาคณิตของวิธีคอร์ด

ทฤษฎีบท.ให้ในส่วน [ ก; ข] การทำงาน ฉ (เอ็กซ์)มีความต่อเนื่องพร้อมกับอนุพันธ์อันดับสองรวมอยู่ด้วย และ f(a)×f(b)<0, а производные ฉ" (เอ็กซ์)และ ฉ" (เอ็กซ์)รักษาสัญญาณของพวกเขาไว้ [ ก; ข], จากนั้นก็มีวงกลมรูต เอ็กซ์*สมการ ฉ(เอ็กซ์)=0 ซึ่งสำหรับการประมาณเริ่มต้นใดๆ เอ็กซ์ 0 ของวงกลมนี้ ลำดับ (x k) คำนวณโดยใช้สูตร (8) มาบรรจบกันที่รูท เอ็กซ์*

วิธีคอร์ด - แนวคิดและประเภท การจำแนกประเภทและคุณสมบัติของหมวดหมู่ "วิธีคอร์ด" 2017, 2018.

- วิธีคอร์ด

ให้ 1) ฟังก์ชัน y=F(x) ถูกกำหนดและต่อเนื่องกันบนเซ็กเมนต์<0 Требуется найти корень на отрезке с точностью &... .

2) ฉ(ก)ฉ(ข)

เมื่อสร้างความแตกต่างด้วยวิธีนี้ จะมีเครื่องหมายหลายจุดบนเส้นโค้งที่วาดของกราฟของฟังก์ชันซึ่งเชื่อมต่อกันด้วยคอร์ดเช่น แทนที่เส้นโค้งที่กำหนดด้วยเส้นขาด (รูปที่ 2) มีการตั้งสมมติฐานดังต่อไปนี้: มุมเอียงของแทนเจนต์ที่จุดที่อยู่ตรงกลาง... .

- วิธีคอร์ด

ในบางกรณี วิธีคอร์ดมีความเร็วในการบรรจบกันที่สูงกว่าเล็กน้อย ซึ่งในขั้นตอนที่สอง เมื่อเลือกการประมาณถัดไปภายในเซ็กเมนต์ที่มีรูต ค่าของความคลาดเคลื่อนที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์จะถูกนำมาพิจารณาด้วย : จุดถูกเลือกใกล้กับจุดสิ้นสุดโดยที่... .

- วิธีคอร์ด

แนวคิดของวิธีการนี้แสดงไว้ในรูป มีการระบุช่วงเวลาซึ่ง f(x0)f(x1) &...

- วิธีคอร์ด

ในวิธีนี้ ไม่ได้เลือกจุดกึ่งกลางของเซ็กเมนต์เป็นการประมาณ แต่เป็นจุดตัดของคอร์ดกับแกนแอบซิสซา สมการของคอร์ด AB ที่เชื่อมส่วนปลายของเซกเมนต์: (1) จุดตัดกับแกนแอบซิสซามีพิกัด แทนที่ลงใน (1) แล้วหา (2)

เปรียบเทียบป้ายและ... .

- วิธีการรวมคอร์ดและแทนเจนต์

ถ้า และ เป็นค่าประมาณของรากในแง่ของการขาดและส่วนเกิน (1. หากเปิดอยู่พร้อมๆ กัน 2.หากเปิดอยู่พร้อมๆ กัน ตัวอย่าง. แยกรากด้วยการวิเคราะห์และปรับแต่งโดยใช้วิธีรวมคอร์ดและแทนเจนต์ด้วยความแม่นยำ 0.001 ดังนั้นสำหรับการคำนวณ...วิธีคอร์ดวิธีการเรียกอีกอย่างว่า.

วิธีการตัด ) หนึ่งในวิธีการแก้ปัญหาสมการไม่เชิงเส้น

และขึ้นอยู่กับการจำกัดช่วงตามลำดับให้แคบลงซึ่งมีรากของสมการเพียงตัวเดียว

- กระบวนการวนซ้ำจะดำเนินการจนกว่าจะได้ความแม่นยำตามที่ระบุ

ไม่เหมือนวิธีการ

แบ่งครึ่ง

สำหรับจุดตัดของเส้นตรงกับแกนแอบซิสซา สมการที่เขียนด้านบนจะถูกเขียนใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้

เป็นช่วงเวลาใหม่สำหรับการผ่านกระบวนการวนซ้ำเราเลือกหนึ่งในสอง หรือ ที่ส่วนท้ายของฟังก์ชันที่รับค่าของเครื่องหมายที่แตกต่างกัน เครื่องหมายตรงข้ามของค่าฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์สามารถกำหนดได้หลายวิธี หนึ่งในหลายวิธีเหล่านี้คือการคูณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและกำหนดเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์โดยการเปรียบเทียบผลลัพธ์ของการคูณกับศูนย์:

หรือ .

กระบวนการทำซ้ำของการปรับแต่งรูทจะสิ้นสุดลงเมื่อเงื่อนไขของความใกล้ชิดของการประมาณค่าที่ต่อเนื่องกันสองครั้งมีค่าน้อยกว่าความแม่นยำที่ระบุ กล่าวคือ

รูปที่ 2. คำอธิบายคำจำกัดความของข้อผิดพลาดในการคำนวณ

ควรสังเกตว่าการบรรจบกันของวิธีคอร์ดนั้นเป็นเส้นตรง แต่เร็วกว่าการบรรจบกันของวิธีคอร์ด

อัลกอริทึมในการค้นหารากของสมการไม่เชิงเส้นโดยใช้วิธีคอร์ด

1. ค้นหาช่วงความไม่แน่นอนเริ่มต้นโดยใช้วิธีแยกรากวิธีใดวิธีหนึ่ง ซีให้ข้อผิดพลาดในการคำนวณ (จำนวนบวกน้อย) และ ขั้นตอนการทำซ้ำเบื้องต้น () .

2. ค้นหาจุดตัดของคอร์ดกับแกนแอบซิสซา:

3. จำเป็นต้องค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุด และ . ถัดไป คุณต้องตรวจสอบเงื่อนไขสองประการ:

หากตรงตามเงื่อนไข จากนั้นรูทที่ต้องการจะอยู่ภายในส่วนด้านซ้ายที่ใส่ ;

หากตรงตามเงื่อนไข จากนั้นรูตที่ต้องการจะอยู่ภายในส่วนที่ถูกต้อง ยอมรับ ,

เป็นผลให้พบช่วงความไม่แน่นอนใหม่ซึ่งมีรากของสมการที่ต้องการอยู่:

4. เราตรวจสอบค่าประมาณของรากของสมการเพื่อความแม่นยำที่ระบุ ในกรณี:

หากความแตกต่างระหว่างการประมาณสองครั้งต่อเนื่องกันน้อยกว่าความแม่นยำที่ระบุ กระบวนการวนซ้ำจะสิ้นสุดลง ค่าโดยประมาณของรูตถูกกำหนดโดยสูตร:

หากความแตกต่างระหว่างการประมาณสองครั้งติดต่อกันไม่ถึงความแม่นยำที่ต้องการ ก็จำเป็นต้องดำเนินการวนซ้ำต่อไปและไปที่ขั้นตอนที่ 2 ของอัลกอริทึมที่กำลังพิจารณา

ตัวอย่างการแก้สมการโดยใช้วิธีคอร์ด

เป็นตัวอย่าง ลองแก้สมการไม่เชิงเส้นโดยใช้วิธีคอร์ด จะต้องค้นหารูทในช่วงที่พิจารณาด้วยความแม่นยำที่

ตัวเลือกสำหรับการแก้สมการไม่เชิงเส้นในชุดซอฟต์แวร์MathCAD.

ผลการคำนวณ ได้แก่ พลวัตของการเปลี่ยนแปลงในค่าโดยประมาณของรูตตลอดจนข้อผิดพลาดในการคำนวณขึ้นอยู่กับขั้นตอนการวนซ้ำจะแสดงในรูปแบบกราฟิก (ดูรูปที่ 1)

รูปที่ 1. ผลการคำนวณโดยใช้วิธีคอร์ด

เพื่อให้แน่ใจว่ามีความแม่นยำตามที่ระบุเมื่อค้นหาสมการในช่วง จำเป็นต้องทำซ้ำ 6 ครั้ง ในขั้นตอนการวนซ้ำครั้งสุดท้าย ค่าโดยประมาณของรากของสมการไม่เชิงเส้นจะถูกกำหนดโดยค่า:

บันทึก:

การปรับเปลี่ยนวิธีนี้ก็คือ วิธีตำแหน่งเท็จ(วิธีระบุตำแหน่งเท็จ) ซึ่งจะแตกต่างจากวิธีซีแคนต์เพียงแต่ว่าแต่ละครั้งไม่ได้นำ 2 จุดสุดท้ายมา แต่จุดเหล่านั้นจะอยู่รอบๆ ราก

ควรสังเกตว่าหากอนุพันธ์อันดับสองสามารถนำมาจากฟังก์ชันไม่เชิงเส้นได้ อัลกอริธึมการค้นหาก็จะสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ ให้เราสมมติว่าอนุพันธ์อันดับสองรักษาเครื่องหมายคงที่และพิจารณาสองกรณี:

กรณีที่ #1:

จากเงื่อนไขแรกปรากฎว่าด้านคงที่ของเซ็กเมนต์คือด้านข้างก.

กรณีที่ #2:

วิธีการวนซ้ำ

วิธีการวนซ้ำอย่างง่ายสำหรับสมการ ฉ(x) = 0 เป็นดังนี้:

1) สมการดั้งเดิมจะถูกแปลงเป็นรูปแบบที่สะดวกสำหรับการวนซ้ำ:

x = φ (เอ็กซ์). (2.2)

2) เลือกการประมาณเริ่มต้น เอ็กซ์ 0 และคำนวณการประมาณตามมาโดยใช้สูตรวนซ้ำ
เอ็กซ์เค = φ (เอ็กซ์เค -1), เค =1,2, ... (2.3)

หากมีขีดจำกัดของลำดับการวนซ้ำ ลำดับการวนซ้ำจะเป็นรากของสมการ ฉ(x) = 0 เช่น ฉ(ξ ) =0.

ย = φ (เอ็กซ์)

เอ็กซ์ 0 x 1 x 2 ξ ข

ข้าว. 2. กระบวนการวนซ้ำแบบมาบรรจบกัน

ในรูป รูปที่ 2 แสดงกระบวนการรับค่าประมาณถัดไปโดยใช้วิธีการวนซ้ำ ลำดับของการประมาณมาบรรจบกันที่ราก ξ .

พื้นฐานทางทฤษฎีสำหรับการใช้วิธีการวนซ้ำได้รับจากทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 2.3- ปล่อยให้ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1) รากของสมการ เอ็กซ์= φ(x)อยู่ในส่วน [ ก, ข];

2) ค่าฟังก์ชันทั้งหมด φ (เอ็กซ์) อยู่ในกลุ่ม [ ก, ข],ท. จ. ก ≤ φ (เอ็กซ์)≤ข;

3) มีจำนวนบวกเช่นนี้ ถาม< 1, อนุพันธ์คืออะไร φ "(x) ที่ทุกจุดของเซ็กเมนต์ [ ก, ข] ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน | φ "(x) | ≤ ถาม.

1) ลำดับการวนซ้ำ เอ็กซ์เอ็น= φ (เอ็กซ์พี- 1)(น= 1, 2, 3, ...) มาบรรจบกันสำหรับค่าใดๆ x 0 Î [ ก, ข];

2) ขีดจำกัดของลำดับการวนซ้ำคือรากของสมการ

x = φ(x) กล่าวคือ ถ้า เอ็กซ์เค= ξ จากนั้น ξ= φ (ξ);

3) ความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนดลักษณะของอัตราการบรรจบกันของลำดับการวนซ้ำนั้นเป็นจริง

| ξ -xk | ≤ (บี-เอ)×คิวเค(2.4)

แน่นอนว่าทฤษฎีบทนี้กำหนดเงื่อนไขที่ค่อนข้างเข้มงวดซึ่งจะต้องตรวจสอบก่อนที่จะใช้วิธีการวนซ้ำ ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน φ (x) มากกว่าค่าสัมบูรณ์ ดังนั้นกระบวนการวนซ้ำจะแยกออก (รูปที่ 3)

ย = φ (x) ย = x

ข้าว. 3. กระบวนการทำซ้ำที่แตกต่าง

เป็นเงื่อนไขสำหรับการบรรจบกันของวิธีการวนซ้ำความไม่เท่าเทียมกัน

|x k - x k - 1 | ≤ ε . (2.5)

วิธีคอร์ดคือการแทนที่เส้นโค้ง ที่ = ฉ(x) ส่วนของเส้นตรงที่ผ่านจุดต่างๆ ( ก, ฉ(ก)) และ ( ข, ฉ(ข)) ข้าว. 4) Abscissa ของจุดตัดของเส้นกับแกน โอ้ถือเป็นแนวทางต่อไป

เพื่อให้ได้สูตรการคำนวณสำหรับวิธีคอร์ด ให้เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดต่างๆ ( ก, ฉ(ก)) และ ( ข, ฉ(ข)) และการทำให้เท่าเทียมกัน ที่ถึงศูนย์ เราจะพบ เอ็กซ์:

Þ

อัลกอริธึมวิธีคอร์ด :

1) ปล่อย เค = 0;

2) คำนวณหมายเลขการวนซ้ำถัดไป: เค = เค + 1.

เรามาค้นหากันต่อไป เค-e การประมาณโดยใช้สูตร:

เอ็กซ์เค= ก- ฉ(ก)(ข - ก)/(ฉ(ข) - ฉ(ก)).

มาคำนวณกัน ฉ(เอ็กซ์เค);

3) ถ้า ฉ(เอ็กซ์เค)= 0 (พบรากแล้ว) จากนั้นไปที่ขั้นตอนที่ 5

ถ้า ฉ(เอ็กซ์เค) × ฉ(ข)>0 จากนั้น ข= เอ็กซ์เค, มิฉะนั้น ก = เอ็กซ์เค;

4) ถ้า |x ก – x เค -1 | > ε จากนั้นไปที่ขั้นตอนที่ 2;

5) แสดงค่าของรูท เอ็กซ์เค ;

ความคิดเห็น- การกระทำของวรรคสามนั้นคล้ายคลึงกับการกระทำของวิธีการแบ่งครึ่ง อย่างไรก็ตาม ในวิธีคอร์ด ในแต่ละขั้นตอนสามารถเปลี่ยนจุดสิ้นสุดเดียวกันของเซ็กเมนต์ (ขวาหรือซ้าย) ได้หากกราฟของฟังก์ชันในบริเวณใกล้เคียงของรูทนูนขึ้นด้านบน (รูปที่ 4, ก) หรือเว้าลง (รูปที่ 4, ข). ดังนั้น ความแตกต่างระหว่างการประมาณใกล้เคียงจึงถูกใช้ในเกณฑ์การลู่เข้า

ข้าว. 4. วิธีคอร์ด

4- วิธีการของนิวตัน(แทนเจนต์)

ให้หาค่าประมาณของรากของสมการได้ ฉ(x)= 0 และแสดงว่ามัน เอ็กซ์เอ็น. สูตรคำนวณ วิธีการของนิวตันเพื่อกำหนดแนวทางต่อไป เอ็กซ์เอ็น+1 สามารถรับได้สองวิธี

วิธีแรกแสดงออก ความหมายทางเรขาคณิต วิธีการของนิวตันและประกอบด้วยความจริงที่ว่าแทนที่จะเป็นจุดตัดของกราฟของฟังก์ชัน ที่= ฉ(x) พร้อมเพลา โอ้มองหาจุดตัดกับแกน โอ้แทนเจนต์ที่วาดไปยังกราฟของฟังก์ชันที่จุด ( เอ็กซ์เอ็น,ฉ(เอ็กซ์เอ็น)) ดังแสดงไว้ในรูปที่ 5. สมการแทนเจนต์มีรูปแบบ ย - ฉ(เอ็กซ์เอ็น)= ฉ"(เอ็กซ์เอ็น)(x- เอ็กซ์เอ็น).

ข้าว. 5. วิธีของนิวตัน (แทนเจนต์)

ณ จุดตัดกันของเส้นสัมผัสกันกับแกน โอ้ตัวแปร ที่= 0. การเท่ากัน ที่ถึงศูนย์เราแสดงออกมา เอ็กซ์และเราได้สูตร วิธีการแทนเจนต์ :

(2.6)

วิธีที่สอง: ขยายฟังก์ชัน ฉ(x) ให้เป็นอนุกรมของเทย์เลอร์ในบริเวณใกล้กับจุดหนึ่ง x = xn:

ให้เราจำกัดตัวเองให้อยู่ในเงื่อนไขเชิงเส้นด้วยความเคารพ ( เอ็กซ์- เอ็กซ์เอ็น) ตั้งค่าเป็นศูนย์ ฉ(x) และแสดงสิ่งที่ไม่ทราบจากสมการผลลัพธ์ เอ็กซ์แสดงถึงมันด้วย เอ็กซ์เอ็น+1 เราได้รับสูตร (2.6)

ให้กันเถอะ เงื่อนไขที่เพียงพอการบรรจบกันของวิธีของนิวตัน

ทฤษฎีบท 2.4- ให้ในส่วน [ ก, ข] ตรงตามเงื่อนไข:

1) ฟังก์ชั่น ฉ(x) และอนุพันธ์ของมัน ฉ"(เอ็กซ์)และ ฉ ""(x)ต่อเนื่อง;

2) อนุพันธ์ ฉ"(x)และ ฉ""(x) แตกต่างจากศูนย์และคงสัญญาณคงที่ไว้

3) ฉ(ก)×ฉ(ข) < 0 (ฟังก์ชัน ฉ(x) เปลี่ยนเครื่องหมายในส่วนนั้น)
จากนั้นก็มีส่วน [ α , β ] ซึ่งมีรากของสมการที่ต้องการ ฉ(x) = 0 ซึ่งลำดับการวนซ้ำ (2.6) มาบรรจบกัน ถ้าเป็นการประมาณเป็นศูนย์ เอ็กซ์ 0 เลือกจุดขอบเขตนั้น [ α , β ] ซึ่งเครื่องหมายของฟังก์ชันเกิดขึ้นพร้อมกับเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง

เหล่านั้น. ฉ(x 0)× ฉ"(x 0)>0 จากนั้นลำดับการวนซ้ำจะมาบรรจบกันแบบซ้ำซากจำเจ

ความคิดเห็น- โปรดทราบว่าวิธีคอร์ดมาจากทิศทางตรงกันข้าม และทั้งสองวิธีนี้สามารถเสริมซึ่งกันและกันได้ การรวมกันก็เป็นไปได้เช่นกัน วิธีคอร์ดแทนเจนต์

5. วิธีการตัด

วิธีตัดค่าหาได้จากวิธีของนิวตันโดยการแทนที่อนุพันธ์ด้วยนิพจน์โดยประมาณ - สูตรผลต่าง:

, ,

. (2.7)

สูตร (2.7) ใช้การประมาณสองค่าก่อนหน้านี้ เอ็กซ์เอ็นและ เอ็กซ์ เอ็น - 1. ดังนั้น สำหรับการประมาณเบื้องต้นที่กำหนด เอ็กซ์ต้องคำนวณ 0 การประมาณครั้งต่อไป x 1 , เช่น โดยวิธีของนิวตันด้วยการแทนที่อนุพันธ์โดยประมาณตามสูตร

,

อัลกอริทึมของวิธีซีแคนต์:

1) ให้ ค่าเริ่มต้น เอ็กซ์ 0 และข้อผิดพลาด ε - มาคำนวณกัน

;

2) สำหรับ น= 1, 2, ... ในขณะที่ตรงตามเงื่อนไข | เอ็กซ์เอ็น – เอ็กซ์เอ็น -1 | > ε , คำนวณ xn+ 1 ตามสูตร (2.7)