ซึ่งให้ข้อพิสูจน์ของการคาดเดาของ Poincaré สมมติฐาน Poincaréและต้นกำเนิดของจักรวาล

การคาดเดาของ Poincareหยิบยกขึ้นเมื่อต้นศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสอองรี พอยน์แคร์. เพื่อกำหนดมันเราให้

คำนิยาม. พื้นที่ทอพอโลยี Xเรียกว่าเชื่อมต่ออย่างง่าย ๆ หากมีการเชื่อมต่อกับเส้นทางและการแมปต่อเนื่องใด ๆ
Xวงกลมไปในอวกาศ Xสามารถแสดงผลต่อเนื่องได้อย่างต่อเนื่อง
วงกลมทั้งวง
. มองเห็นได้ไม่ยากว่าทรงกลม เชื่อมต่อง่ายๆ ที่ น 2.

สมมติฐานของ Poincaré 3-manifold ที่ปิดและเชื่อมต่อง่าย ๆ ทุกอันจะเป็น homeomorphic ถึง 3-sphere

ความคล้ายคลึงของการคาดเดาของ Poincaré เกี่ยวกับท่อร่วมขนาด 4 หรือมากกว่าได้รับการพิสูจน์แล้ว นอกจากนี้ยังได้การจัดประเภทโทโพโลยีโดยทั่วไปของท่อร่วมสี่มิติที่เชื่อมต่อแบบปิดทั้งหมด

มันน่าสนใจ:เกือบ 100 ปีที่แล้ว Poincaré ยอมรับว่าทรงกลมสองมิติเชื่อมต่อกันอย่างเรียบง่ายและแนะนำว่าทรงกลมสามมิตินั้นเชื่อมต่อกันอย่างเรียบง่ายเช่นกัน

กล่าวอีกนัยหนึ่งการคาดเดาของPoincaréระบุว่า 3-manifold แบบปิดที่เชื่อมต่ออย่างง่าย ๆ นั้นเป็น homeomorphic ถึง 3-sphere การคาดเดานี้กำหนดขึ้นโดย Poincaré ในปี 1904 การคาดเดาแบบ Poincaré ทั่วๆ ไประบุว่าสำหรับสิ่งใดๆ นทุกมิติที่หลากหลาย n เป็นโฮโมโทปีเทียบเท่ากับทรงกลมของมิติ นถ้าหากมันเป็น homeomorphic กับมัน เพื่อความกระจ่างจะใช้รูปภาพต่อไปนี้: หากคุณพันแอปเปิ้ลด้วยหนังยางตามหลักการแล้วการดึงเทปเข้าด้วยกันคุณสามารถบีบแอปเปิ้ลให้เป็นจุด หากคุณพันโดนัทด้วยเทปเดียวกัน (พายที่มีรูตรงกลาง) คุณจะไม่สามารถบีบโดนัทหรือยางออกได้ ในบริบทนี้ แอปเปิ้ลถูกเรียกว่าร่างที่ "เชื่อมต่อโดยลำพัง" แต่โดนัทไม่ได้เชื่อมต่อกันง่ายๆ

Jules Henri Poincaré ค้นพบทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษในเวลาเดียวกับ Einstein (1905) และได้รับการยอมรับว่าเป็นหนึ่งใน นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดประวัติศาสตร์ของมนุษยชาติ

สมมติฐาน Poincaré ยังคงไม่ได้รับการพิสูจน์ตลอดศตวรรษที่ยี่สิบ ในโลกคณิตศาสตร์ ได้รับสถานะคล้ายกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

สำหรับข้อพิสูจน์ของการคาดเดาของPoincaré เคลย์ได้รับรางวัลหนึ่งล้านดอลลาร์ซึ่งอาจดูน่าประหลาดใจตั้งแต่ เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับข้อเท็จจริงที่เป็นส่วนตัวและไม่น่าสนใจ อันที่จริงแล้วสำหรับนักคณิตศาสตร์ คุณสมบัติของพื้นผิวสามมิตินั้นไม่มีความสำคัญมากนัก แต่การพิสูจน์เองนั้นยาก ในปัญหานี้ ในรูปแบบที่เข้มข้น สิ่งที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยความช่วยเหลือจากแนวคิดและวิธีการที่มีอยู่ก่อนหน้านี้ของเรขาคณิตและโทโพโลยีได้ถูกจัดทำขึ้น ช่วยให้คุณสามารถดูระดับที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นในชั้นของงานที่สามารถแก้ไขได้ด้วยความช่วยเหลือจากแนวคิดของ "คนรุ่นใหม่" เท่านั้น ในสถานการณ์กับทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ ปรากฎว่าการคาดเดาของ Poincare คือ กรณีพิเศษคำกล่าวทั่วไปเกี่ยวกับคุณสมบัติทางเรขาคณิตของพื้นผิวสามมิติตามอำเภอใจคือการคาดคะเนเรขาคณิตของ Thurston ดังนั้น ความพยายามของนักคณิตศาสตร์จึงถูกสั่งไม่ให้แก้ปัญหากรณีนี้โดยเฉพาะ

นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย Grigory Perelman พนักงานห้องปฏิบัติการเรขาคณิตและโทโพโลยีแห่งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก วีเอ Steklov อ้างว่าเขาพิสูจน์การคาดเดาของ Poincaré นั่นคือเขาแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยังไม่แก้ที่มีชื่อเสียงที่สุดปัญหาหนึ่งได้ ผิดปกติเป็นวิธีที่ Perelman เลือกที่จะเผยแพร่หลักฐานของเขา แทนที่จะเผยแพร่อย่างเป็นรูปธรรม วารสารวิทยาศาสตร์ซึ่งเป็นข้อกำหนดเบื้องต้นสำหรับการมอบรางวัลหนึ่งล้านดอลลาร์ Perelman โพสต์งานของเขาในหนึ่งในเอกสารทางอินเทอร์เน็ต แม้ว่าการพิสูจน์จะใช้เวลาเพียง 61 หน้า แต่ก็สร้างความตื่นเต้นให้กับโลกวิทยาศาสตร์

โลกวิทยาศาสตร์ปรบมือให้กับอัจฉริยะภูเขาทองคำและตำแหน่งกิตติมศักดิ์ที่มีแนวโน้ม American Clay Institute of Mathematics พร้อมที่จะให้รางวัลแก่เขา 1 ล้านเหรียญ ไม่มีใครสงสัยว่า World Congress of Mathematicians จะเรียก Perelman เป็นผู้ชนะ อย่างที่คุณรู้ นักคณิตศาสตร์ไม่ได้อยู่ในกลุ่มนักวิทยาศาสตร์ที่ได้รับรางวัล รางวัลโนเบล. ลิ้นที่ชั่วร้ายอ้างว่าข้อเท็จจริงนี้ไม่ได้ตั้งใจ อันที่จริงตามข่าวลือมันเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ไม่ชอบ Alfred Nobel ชาวสวีเดนผู้โด่งดังหลังจากเอาชนะหญิงสาวที่รักของเขาในวัยหนุ่ม ในขณะเดียวกัน อัจฉริยภาพชาวรัสเซียปฏิเสธคนนับล้าน โดยไม่เผยแพร่การค้นพบของเขาในสิ่งพิมพ์เฉพาะทาง และลาออกจากสถาบันคณิตศาสตร์ Steklov RAS เข้าสู่ความสันโดษและในพิธีมอบรางวัลซึ่งนำเสนอโดยกษัตริย์แห่งสเปน Juan Carlos I ไม่ปรากฏ เขาไม่ได้โต้ตอบในทางใด ๆ ต่อข้อความเกี่ยวกับรางวัลและคำเชิญให้รับรางวัล แต่อย่างที่คนรู้จักพูดว่า: อัจฉริยะ "เข้าไปในป่า" เพื่อเก็บเห็ดใกล้เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก

นักวิทยาศาสตร์เชื่อว่าอายุ 38 ปี นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย Grigory Perelman เสนอวิธีแก้ปัญหา Poincaré ที่ถูกต้อง Keith Devlin ศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ดประกาศเรื่องนี้ที่งาน Exeter Science Festival (บริเตนใหญ่)

ปัญหา (หรือที่เรียกว่าปัญหาหรือสมมติฐาน) ของPoincaréเป็นหนึ่งในเจ็ดที่สำคัญที่สุด ปัญหาทางคณิตศาสตร์, สำหรับการแก้ปัญหาแต่ละอย่าง สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์แต่งตั้งรางวัลหนึ่งล้านเหรียญ นี่คือสิ่งที่ดึงดูดความสนใจอย่างกว้างขวางต่อผลลัพธ์ที่ได้จาก Grigory Perelman พนักงานของห้องปฏิบัติการฟิสิกส์คณิตศาสตร์ สาขาเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กของสถาบันคณิตศาสตร์ Steklov.

นักวิทยาศาสตร์ทั่วโลกได้เรียนรู้เกี่ยวกับความสำเร็จของ Perelman จากงานพิมพ์สองฉบับ (บทความที่นำหน้าสิ่งพิมพ์ทางวิทยาศาสตร์ฉบับสมบูรณ์) โพสต์โดยผู้เขียน ในเดือนพฤศจิกายน 2002และ มีนาคม 2546บนเว็บไซต์ของที่เก็บถาวรของงานเบื้องต้น ห้องปฏิบัติการวิทยาศาสตร์ลอสอาลามอส.

ตามกฎของคณะกรรมการที่ปรึกษาทางวิทยาศาสตร์ของ Clay Institute สมมติฐานใหม่จะต้องได้รับการตีพิมพ์ในวารสารเฉพาะทางที่มี "ชื่อเสียงระดับนานาชาติ" นอกจากนี้ ตามกฎของสถาบัน การตัดสินใจจ่ายเงินรางวัลจะทำโดย "ชุมชนคณิตศาสตร์" ในที่สุด: หลักฐานจะต้องไม่ถูกหักล้างเป็นเวลาสองปีหลังจากการตีพิมพ์ การตรวจสอบหลักฐานแต่ละข้อทำโดยนักคณิตศาสตร์ใน ประเทศต่างๆสันติภาพ.

ปัญหา Poincare

ปัญหา Poincare อยู่ในสาขาที่เรียกว่าโทโพโลยีของท่อร่วม - ช่องว่างที่จัดเรียงในลักษณะพิเศษและมีขนาดแตกต่างกัน ท่อร่วมสองมิติสามารถมองเห็นได้ ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างของพื้นผิวของวัตถุสามมิติ - ทรงกลม (พื้นผิวของลูกบอล) หรือพรู (พื้นผิวของโดนัท)

มันง่ายที่จะจินตนาการว่าจะเกิดอะไรขึ้นกับลูกโป่งถ้ามันผิดรูป (งอ บิด ดึง บีบ บีบ กิ่ว หรือพองตัว) เป็นที่ชัดเจนว่าด้วยการเสียรูปทั้งหมดข้างต้น ลูกบอลจะเปลี่ยนรูปร่างไปในวงกว้าง อย่างไรก็ตาม เราไม่สามารถเปลี่ยนลูกบอลให้เป็นโดนัทได้ (หรือในทางกลับกัน) โดยไม่ทำลายความต่อเนื่องของพื้นผิว นั่นคือ โดยไม่ทำลายมัน ในกรณีนี้ นักทอพอโลยีกล่าวว่าทรงกลม (บอล) ไม่ใช่ชีวมอร์ฟิคกับทอรัส (โดนัท) ซึ่งหมายความว่าพื้นผิวเหล่านี้ไม่สามารถจับคู่กันได้ การพูด ภาษาธรรมดา, ทรงกลมและทอรัสต่างกันในคุณสมบัติทอพอโลยี และพื้นผิวของบอลลูนที่มีการเสียรูปต่างๆ นานา มีลักษณะโฮโมมอร์ฟิกกับทรงกลม เช่นเดียวกับพื้นผิวของห่วงชูชีพกับพรู กล่าวอีกนัยหนึ่ง พื้นผิวสองมิติปิดใดๆ ที่ไม่มีรูทะลุ มีคุณสมบัติเชิงทอพอโลยีเหมือนกันกับทรงกลมสองมิติ

ปัญหา Poincaré ระบุเช่นเดียวกันสำหรับท่อร่วมสามมิติ (สำหรับท่อร่วมสองมิติ เช่น ทรงกลม ข้อเสนอนี้ได้รับการพิสูจน์ตั้งแต่ช่วงต้นศตวรรษที่ 19) ดังที่นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสระบุไว้ คุณสมบัติที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของทรงกลมสองมิติก็คือวงปิดใดๆ (เช่น เชือก) ที่วางอยู่บนทรงกลมนั้นสามารถหดตัวถึงจุดหนึ่งโดยไม่ต้องออกจากพื้นผิว สำหรับทอรัส สิ่งนี้ไม่เป็นความจริงเสมอไป: ห่วงที่ลอดผ่านรูจะหดตัวจนถึงจุดที่ทอรัสขาด หรือเมื่อตัวลูปเองขาด ในปี ค.ศ. 1904 Poincaré คาดการณ์ว่าหากวงรอบสามารถหดตัวไปยังจุดบนพื้นผิวสามมิติที่ปิดได้ พื้นผิวดังกล่าวจะเป็นแบบโฮโมมอร์ฟิคเป็นทรงกลมสามมิติ การพิสูจน์การคาดเดานี้กลายเป็นงานที่ยากมาก

ให้เราชี้แจงทันที: การกำหนดปัญหาของ Poincare ที่เรากล่าวถึงไม่ได้พูดถึงลูกบอลสามมิติเลย ซึ่งเราสามารถจินตนาการได้โดยไม่ยาก แต่เกี่ยวกับทรงกลมสามมิติ นั่นคือ เกี่ยวกับพื้นผิวของ ลูกบอลสี่มิติซึ่งยากต่อการจินตนาการอยู่แล้ว แต่ในช่วงปลายทศวรรษ 1950 ทันใดนั้นก็เห็นได้ชัดว่าการทำงานกับท่อร่วมมิติสูงง่ายกว่าการทำงานสามมิติและสี่มิติมาก เห็นได้ชัดว่าการขาดการสร้างภาพข้อมูลยังห่างไกลจากปัญหาหลักที่นักคณิตศาสตร์ต้องเผชิญในการวิจัย

ปัญหาที่คล้ายกับPoincaréสำหรับมิติที่ 5 ขึ้นไปได้รับการแก้ไขในปี 1960 โดย Stephen Smale, John Stallings และ Andrew Wallace อย่างไรก็ตาม วิธีการที่นักวิทยาศาสตร์เหล่านี้ใช้ กลับกลายเป็นว่าใช้ไม่ได้กับท่อร่วมทางสี่มิติ สำหรับพวกเขา ปัญหา Poincaré ได้รับการพิสูจน์โดย Michael Freedman ในปี 1981 เท่านั้น กรณีสามมิติกลายเป็นสิ่งที่ยากที่สุด การตัดสินใจของเขาและเสนอให้ Grigory Perelman

ควรสังเกตว่า Perelman มีคู่แข่ง ในเดือนเมษายน พ.ศ. 2545 Martin Dunwoody ศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์ที่ British University of Southampton ได้เสนอวิธีการของตนเองในการแก้ปัญหา Poincaré และขณะนี้กำลังรอคำตัดสินจาก Clay Institute

ผู้เชี่ยวชาญเชื่อว่าการแก้ปัญหา Poincaré จะทำให้สามารถใช้ขั้นตอนที่สำคัญในคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ได้ กระบวนการทางกายภาพในวัตถุสามมิติที่ซับซ้อนและจะเป็นแรงผลักดันใหม่ในการพัฒนาโทโพโลยีคอมพิวเตอร์ วิธีการที่ Grigory Perelman เสนอจะนำไปสู่การค้นพบทิศทางใหม่ในเรขาคณิตและโทโพโลยี นักคณิตศาสตร์ในปีเตอร์สเบิร์กอาจมีสิทธิ์ได้รับรางวัล Fields Prize (อะนาล็อกของรางวัลโนเบลซึ่งไม่ได้รับรางวัลในสาขาคณิตศาสตร์)

ในขณะเดียวกัน บางคนพบว่าพฤติกรรมของ Grigory Perelman นั้นแปลก นี่คือสิ่งที่หนังสือพิมพ์อังกฤษ The Guardian เขียนว่า: “เป็นไปได้มากว่าแนวทางของ Perelman ในการแก้ปัญหา Poincaré นั้นถูกต้อง แต่ไม่ใช่ทุกอย่างจะง่ายนัก Perelman ไม่ได้ให้หลักฐานว่างานดังกล่าวได้รับการตีพิมพ์อย่างเต็มรูปแบบ สิ่งพิมพ์ทางวิทยาศาสตร์(ไม่นับพิมพ์ล่วงหน้า) และนี่เป็นสิ่งจำเป็นหากบุคคลต้องการรับรางวัลจากสถาบันเคลย์ นอกจากนี้ เขาไม่ได้แสดงความสนใจในเรื่องเงินเลย”

เห็นได้ชัดว่าสำหรับ Grigory Perelman สำหรับนักวิทยาศาสตร์ตัวจริง เงินไม่ใช่สิ่งสำคัญ สำหรับการแก้ปัญหาที่เรียกว่า "ปัญหาสหัสวรรษ" นักคณิตศาสตร์ตัวจริงจะขายวิญญาณของเขาให้กับมาร

นักคณิตศาสตร์ชาวจีนได้ตีพิมพ์หลักฐานที่สมบูรณ์ของการคาดเดาของ Poincaré ซึ่งกำหนดขึ้นในปี 1904 สำนักข่าวซินหัวรายงาน สมมติฐานเกี่ยวกับการจำแนกประเภทของพื้นผิวหลายมิติ (อย่างแม่นยำมากขึ้น manifolds) เป็นหนึ่งใน "ปัญหาแห่งสหัสวรรษ" สำหรับวิธีแก้ปัญหาซึ่ง American Clay Institute เสนอรางวัลล้านดอลลาร์

ตาม Poincaré "พื้นผิวที่ไม่มีรู" สามมิติที่ปิดใด ๆ (ท่อร่วมที่เชื่อมต่ออย่างง่าย) นั้นเทียบเท่ากับทรงกลมสามมิตินั่นคือพื้นผิวของลูกบอลสี่มิติ ตัว Poincare เอง ผู้เขียนเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีของ Einstein ได้เสนอเหตุผลข้อแรก แต่ภายหลังได้ค้นพบข้อผิดพลาดในการให้เหตุผลของเขาเอง สมมติฐานในสูตรนี้ได้รับการพิสูจน์ในปี 2546 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย Grigory Perelman ซึ่งงาน 70 หน้ายังอยู่ระหว่างการตรวจสอบโดยผู้เชี่ยวชาญ กรณีอื่นๆ (มิติที่สี่ขึ้นไป) ได้รับการพิจารณาก่อนหน้านี้

ตามที่ผู้เขียน บทความใหม่ 300 หน้าใน Asian Journal of Mathematics ไม่ได้เป็นอิสระและอาศัยผลลัพธ์ของ Perelman เป็นหลัก Zhu Xiping และ Cao Huaidong อ้างว่าตอนนี้พวกเขาได้ขจัดปัญหามากมาย วิธีที่จะเอาชนะ Perelman ได้เพียงแค่สรุป เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า Shing-Tun Yau ยังได้มีส่วนร่วมในงานการพิสูจน์ ซึ่งงานทอพอโลยี (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีของท่อร่วม Calabi-Yau) ถือเป็นกุญแจสำคัญสำหรับ ทฤษฎีสมัยใหม่สตริง ผู้เชี่ยวชาญกล่าวว่างานใหม่นี้จะต้องมีการตรวจสอบอีกครั้งเป็นเวลานาน

Aleksandrov A.D. , Netsvetaev N.Yu. เรขาคณิต. มอสโก: เนากา 1990

ภาคผนวกกับบทคัดย่อ 2:

สาระสำคัญของทฤษฎีบทPoincaréคืออะไร

1. โซเฟียพิสูจน์ให้ E และที่นี่ก็เป็นสีแดงด้วย ....
2. สิ่งสำคัญที่สุดคือจักรวาลไม่ใช่ทรงกลม แต่เป็นโดนัท
3. ความหมายของการคาดเดาของ Poincare ในสูตรดั้งเดิมคือสำหรับวัตถุสามมิติที่ไม่มีรู จะมีการเปลี่ยนแปลงที่จะทำให้มันกลายเป็นลูกบอลโดยไม่ต้องตัดและติดกาว หากสิ่งนี้ดูเหมือนชัดเจน จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพื้นที่นั้นไม่ใช่สามมิติ แต่มีสิบหรือสิบเอ็ดมิติ (นั่นคือ เรากำลังพูดถึงการกำหนดสมมติฐานทั่วไปของ Poincaré ซึ่ง Perelman พิสูจน์แล้ว)
4. บอกไม่ได้2คำ
5. ในปี 1900 Poincaré คาดการณ์ว่าท่อร่วมสามมิติที่มีกลุ่มที่คล้ายคลึงกันทั้งหมดเหมือนกับของทรงกลมนั้นมีลักษณะเหมือนทรงกลมเป็นทรงกลม ในปี ค.ศ. 1904 เขายังพบตัวอย่างที่ขัดแย้ง ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าทรงกลม Poincaré และกำหนดรูปแบบสุดท้ายของการคาดเดาของเขา ความพยายามที่จะพิสูจน์การคาดเดาของ Poincaré นำไปสู่ความก้าวหน้ามากมายในโทโพโลยีของท่อร่วมไอดี

   หลักฐานของการคาดเดา Poincaré ทั่วไปสำหรับ n #10878; 5 ได้รับในช่วงต้นทศวรรษ 1960-1970 เกือบจะพร้อมกันโดย Smale อย่างอิสระและโดยวิธีอื่นโดย Stallings (อังกฤษ) (สำหรับ n #10878; 7 หลักฐานของเขาขยายไปถึงกรณีที่ n = 5 และ 6 โดย Zeeman (อังกฤษ. )) . หลักฐานมีมากกว่านั้น เคสแข็ง n = 4 ได้รับเฉพาะในปี 1982 โดย Friedman ตามมาจากทฤษฎีบทของ Novikov เกี่ยวกับความแปรปรวนเชิงทอพอโลยีของคลาสลักษณะเฉพาะของ Pontryagin ที่มีขนาดที่เท่ากันของโฮโมโทปติกแต่ไม่มีความหลากหลายทางชีวมอร์ฟิคในมิติสูง

   ข้อพิสูจน์ของการคาดเดาแบบ Poincaré ดั้งเดิม (และการคาดเดาแบบทั่วไปของ Trston) ถูกค้นพบในปี 2002 โดย Grigory Perelman เท่านั้น ต่อจากนั้น หลักฐานของ Perelman ก็ได้รับการยืนยันและนำเสนอในรูปแบบที่บิดเบี้ยวโดยนักวิทยาศาสตร์อย่างน้อยสามกลุ่ม 1 หลักฐานใช้กระแส Ricci กับการผ่าตัดและส่วนใหญ่เป็นไปตามแผนที่กำหนดโดยแฮมิลตัน ซึ่งเป็นคนแรกที่ใช้กระแส Ricci

6. นี่คือใคร
7. ทฤษฎีบทของ Poincaré:
   ทฤษฎีบทสนามเวกเตอร์ของ Poincaré
   ทฤษฎีบท Poincaré ของ Bendixson
   ทฤษฎีบทของ Poincaré เกี่ยวกับการจำแนก homeomorphisms ของวงกลม
   การคาดเดาของ Poincaré บนทรงกลมโฮโมโทปี
   ทฤษฎีบทการเกิดซ้ำของ Poincaré

   คุณถามเกี่ยวกับอะไร

8. ในทางทฤษฎี ระบบไดนามิก, ทฤษฎีบท Poincaré ในการจำแนก homeomorphisms ของวงกลมอธิบายประเภทไดนามิกแบบพลิกกลับได้บนวงกลมที่เป็นไปได้ ขึ้นอยู่กับจำนวนการหมุน p(f) ของแผนที่แบบวนซ้ำ f กล่าวโดยคร่าว ๆ ปรากฎว่าไดนามิกของการวนซ้ำของการทำแผนที่อยู่ในระดับหนึ่งคล้ายกับไดนามิกของการหมุนผ่านมุมที่สอดคล้องกัน
   กล่าวคือ ให้ ชีวมอร์ฟิซึมของวงกลม f ถูกกำหนด แล้ว:
   1) จำนวนการหมุนจะมีเหตุผลก็ต่อเมื่อ f มีจุดเป็นระยะ ยิ่งกว่านั้น ตัวหารของจำนวนการหมุนคือคาบของจุดคาบใดๆ และลำดับวงกลมบนวงกลมของจุดของวงโคจรคาบใดๆ จะเหมือนกับของจุดของวงโคจรการหมุนบน p(f) นอกจากนี้ วิถีใด ๆ มีแนวโน้มที่จะเป็นระยะ ๆ ทั้งในเวลาไปข้างหน้าและข้างหลัง (a- และ -w จำกัด วิถีโคจรอาจแตกต่างกันในกรณีนี้)
   2) หากหมายเลขการหมุน f ไม่ลงตัว เป็นไปได้สองตัวเลือก:
   i) ทั้ง f มีวงโคจรหนาแน่น ซึ่งในกรณีนี้ homeomorphism f จะผันแปรเป็นการหมุนบน p(f) ในกรณีนี้ วงโคจรของ f ทั้งหมดจะหนาแน่น (เนื่องจากสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับการหมุนอย่างไม่มีเหตุผล)
   ii) f มีชุด Cantor คงที่ C ซึ่งเป็นชุดขั้นต่ำที่ไม่ซ้ำกันของระบบ ในกรณีนี้ วิถีทั้งหมดมีแนวโน้มที่จะ C ทั้งในเวลาเดินหน้าและถอยหลัง นอกจากนี้ การทำแผนที่ f ยังกึ่งติดกับการหมุนบน p(f): สำหรับการทำแผนที่ h ระดับ 1 p o f =R p (f) o h

   ยิ่งไปกว่านั้น เซต C คือเซตของจุดเติบโตของ h อย่างแน่นอน กล่าวคือ จากมุมมองทอพอโลยี h จะยุบช่วงคอมพลีเมนต์เป็น C

9. ปมของเรื่องคือ 1 ล้านเหรียญ
10. ความจริงที่ว่าไม่มีใครเข้าใจมันยกเว้น 1 คน
11. ใน นโยบายต่างประเทศฝรั่งเศส..
12. ที่นี่ Lka ตอบได้ดีที่สุด http://otvet.mail.ru/question/24963208/
13. นักคณิตศาสตร์ที่เก่งกาจ ศาสตราจารย์ Henri Poincaré ชาวปารีสได้ทำงานในสาขาต่างๆ ของวิทยาศาสตร์นี้ เป็นอิสระและเป็นอิสระจากงานของ Einstein ในปี 1905 เขาหยิบยกบทบัญญัติหลักของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ และเขาได้ตั้งสมมติฐานที่โด่งดังของเขาขึ้นในปี 1904 ดังนั้นจึงใช้เวลาประมาณหนึ่งศตวรรษในการแก้ไข

    Poincaréเป็นหนึ่งในผู้ก่อตั้งโทโพโลยีศาสตร์แห่งคุณสมบัติ รูปทรงเรขาคณิตซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเสียรูปที่เกิดขึ้นโดยไม่มีความไม่ต่อเนื่อง ตัวอย่างเช่น, บอลลูนสามารถแปลงเป็นรูปทรงต่างๆ ได้ง่าย เช่นเดียวกับที่ทำกับเด็กๆ ในสวนสาธารณะ แต่คุณต้องตัดลูกบอลเพื่อที่จะบิดโดนัท (หรือในเชิงเรขาคณิต ทอรัส) ออกจากมัน ไม่มีทางอื่น และในทางกลับกัน: นำโดนัทยางมาลองทำเป็นทรงกลม อย่างไรก็ตาม มันก็ยังใช้งานไม่ได้ ในแง่ของคุณสมบัติทอพอโลยี พื้นผิวของทรงกลมและทอรัสนั้นเข้ากันไม่ได้ หรือไม่ใช่โฮมีโอมอร์ฟิก ในทางกลับกัน พื้นผิวใดๆ ที่ไม่มีรู (พื้นผิวปิด) ตรงกันข้ามจะมีลักษณะโฮมีมอร์ฟิกและสามารถแปลงเป็นทรงกลมได้เมื่อเสียรูป

    หากทุกอย่างเกี่ยวกับพื้นผิวสองมิติของทรงกลมและทอรัสถูกตัดสินใจย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 19 สำหรับกรณีที่มีหลายมิติมากขึ้น ก็ต้องใช้เวลามากขึ้นมาก อันที่จริงนี่เป็นสาระสำคัญของการคาดเดาของ Poincare ซึ่งขยายความสม่ำเสมอไปสู่กรณีหลายมิติ ทำให้เข้าใจง่ายขึ้นเล็กน้อย การคาดเดาของ Poincaré กล่าวว่า: ทุกท่อร่วมมิติ n แบบปิดที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย ๆ จะเป็นโฮโมมอร์ฟิคกับทรงกลม n มิติ เป็นเรื่องตลกที่ตัวแปรที่มีพื้นผิวสามมิตินั้นยากที่สุด ในปี 1960 การคาดเดาได้รับการพิสูจน์สำหรับมิติที่ 5 ขึ้นไป ในปี 1981 สำหรับ n=4 สิ่งกีดขวางนั้นเป็นสามมิติอย่างแม่นยำ

    การพัฒนาแนวคิดของ William Tristen และ Richard Hamilton ที่เสนอโดยพวกเขาในปี 1980 Grigory Perelman นำไปใช้กับพื้นผิวสามมิติ สมการพิเศษวิวัฒนาการที่ราบรื่น และเขาก็สามารถแสดงให้เห็นว่าพื้นผิวสามมิติดั้งเดิม (หากไม่มีความไม่ต่อเนื่องในนั้น) จำเป็นต้องพัฒนาเป็นทรงกลมสามมิติ (นี่คือพื้นผิวของลูกบอลสี่มิติและมีอยู่ในสี่- พื้นที่มิติ) . ผู้เชี่ยวชาญหลายคนกล่าวว่านี่เป็นแนวคิดของคนรุ่นใหม่ ซึ่งวิธีการแก้ปัญหานี้เป็นการเปิดโลกทัศน์ใหม่สำหรับวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์

    เป็นที่น่าสนใจว่าด้วยเหตุผลบางอย่าง Perelman เองก็ไม่สนใจที่จะนำการตัดสินใจของเขาไปสู่ความฉลาดขั้นสุดท้าย หลังจากอธิบายวิธีแก้ปัญหาโดยรวมในการพิมพ์ล่วงหน้า สูตรเอนโทรปีสำหรับการไหลของ Ricci และการประยุกต์ใช้ทางเรขาคณิตในเดือนพฤศจิกายน 2545 เขาได้เสร็จสิ้นการพิสูจน์ในเดือนมีนาคม 2546 และนำเสนอใน preprint Ricci flow ด้วยการผ่าตัดสามท่อและยังรายงาน วิธีการบรรยายชุดที่เขาอ่านในปี 2546 ตามคำเชิญของมหาวิทยาลัยหลายแห่ง ไม่มีผู้ตรวจทานคนใดสามารถพบข้อผิดพลาดในเวอร์ชันที่เขาเสนอ แต่ Perelman ไม่ได้ออกสิ่งพิมพ์ในสิ่งตีพิมพ์ทางวิทยาศาสตร์ที่อ้างอิง (กล่าวคือ โดยเฉพาะอย่างยิ่งคือ เงื่อนไขที่จำเป็นได้รับรางวัล Clay Mathematical Institute Prize) แต่ในปี 2549 ตามวิธีการของเขา มีหลักฐานทั้งชุดซึ่งนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันและชาวจีนพิจารณาปัญหาอย่างละเอียดและครบถ้วน เสริมจุดที่ Perelman ละเว้น และให้หลักฐานสุดท้ายของการคาดเดาของ Poincaré

14. การคาดเดาของ Poincare ทั่วไประบุว่า:
    สำหรับ n ใดๆ ความหลากหลายของมิติ n จะเป็นโฮโมโทปีเทียบเท่ากับทรงกลมของมิติ n ถ้าหากว่ามันเป็นโฮโมมอร์ฟิคกับมัน
    การคาดเดา Poincare ดั้งเดิมเป็นกรณีพิเศษของการคาดเดาทั่วไปสำหรับ n = 3
    สำหรับคำอธิบาย - ไปที่ป่าเพื่อหาเห็ด Grigory Perelman ไปที่นั่น)
15. ทฤษฎีบทการเกิดซ้ำของ Poincare เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีตามหลักการยศาสตร์ สาระสำคัญของมันคือภายใต้การทำแผนที่พื้นที่บนตัวมันเองโดยรักษาการวัด เกือบทุกจุดจะกลับไปยังย่านเริ่มต้นของมัน ข้อความทั้งหมดของทฤษฎีบทมีดังนี้1:
    อนุญาต เป็นการแปลงรักษาการวัดของช่องว่างด้วยการวัดจำกัด และ อนุญาต เป็นเซตที่วัดได้ แล้วสำหรับธรรมชาติใดๆ
    .
    ทฤษฎีบทนี้มีผลที่ไม่คาดคิด: ปรากฎว่าถ้าในภาชนะที่แบ่งเป็นสองส่วนในภาชนะหนึ่งซึ่งเต็มไปด้วยก๊าซและอีกส่วนหนึ่งว่างเปล่าพาร์ติชันจะถูกลบออกหลังจากนั้นครู่หนึ่งโมเลกุลของก๊าซทั้งหมดจะ รวมตัวกันอีกครั้งในส่วนเดิมของเรือ กุญแจสู่ความขัดแย้งนี้คือบางครั้งเป็นเวลาหลายพันล้านปี
16. เขามีทฤษฎีเหมือนหมาตัดในเกาหลี ...

    จักรวาลเป็นทรงกลม... http://ru.wikipedia.org/wiki/Poincare, _Henri

    เมื่อวานนี้นักวิทยาศาสตร์ประกาศว่าจักรวาลเป็นสารแช่แข็ง ... และขอเงินจำนวนมากเพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ... อีกครั้ง Merikos จะเปิดแท่นพิมพ์ ... เพื่อความสุขของหัวไข่ ...

17. พยายามพิสูจน์ว่าส่วนบนและส่วนล่างอยู่ในสภาพไร้น้ำหนัก
18. เมื่อวานคือ หนังที่ดีมากเกี่ยวกับวัฒนธรรมซึ่งปัญหานี้ถูกอธิบายด้วยนิ้ว บางทีพวกเขายังคงมีอยู่?

    http://video.yandex.ru/#search?text=РРР СР Р РРРР СРРРที่ไหน=allfilmId=36766495-03-12
    ป้อน Yandex และเขียนภาพยนตร์เกี่ยวกับ Perelman และไปที่ภาพยนตร์

โดย หลักสูตรโรงเรียนทุกคนคุ้นเคยกับแนวคิดของทฤษฎีบทและสมมติฐาน ตามกฎแล้ว กฎที่เรียบง่ายและดั้งเดิมที่สุดในชีวิตได้รับผลกระทบ ในขณะที่นักคณิตศาสตร์ตั้งสมมติฐานที่ซับซ้อนมากและก่อให้เกิดปัญหาที่น่าสนใจ ห่างไกลจากทุกครั้ง พวกเขาสามารถหาทางแก้ไขและหลักฐานได้ และในบางกรณี ผู้ติดตามและเพื่อนร่วมงานของพวกเขาก็ประสบปัญหานี้มาหลายปีแล้ว

Clay Institute ในปี 2000 ได้รวบรวมรายการปัญหาที่เรียกว่า Millennium Problems 7 รายการ ซึ่งคล้ายกับรายการสมมติฐานที่รวบรวมในปี 1900 งานเหล่านั้นเกือบทั้งหมดได้รับการแก้ไขแล้ว โดยมีเพียงงานเดียวเท่านั้นที่ย้ายไปยังเวอร์ชันที่อัปเดต ตอนนี้รายการปัญหามีลักษณะดังนี้:

• สมมติฐานฮอดจ์;
• ความเท่าเทียมกันของคลาส P และ NP;
• สมมติฐาน Poincaré;
• ทฤษฎีหยางมิลส์;
• สมมติฐานรีมันน์;
• การมีอยู่และความราบรื่นของคำตอบของสมการเนเวียร์-สโตกส์
• สมมติฐานของเบิร์ช-สวินเนอร์ตัน-ไดเยอร์

ทั้งหมดเป็นของ สาขาวิชาต่างๆในวิชาคณิตศาสตร์และมีความจำเป็น ตัวอย่างเช่น สมการ Navier-Stokes เกี่ยวข้องกับอุทกพลศาสตร์ แต่ในทางปฏิบัติ พวกเขาสามารถอธิบายพฤติกรรมของสสารในหินหนืดบนบกหรือมีประโยชน์ในการพยากรณ์อากาศ แต่ปัญหาเหล่านี้ยังคงมองหาข้อพิสูจน์หรือข้อพิสูจน์ ยกเว้นหนึ่ง

ทฤษฎีบทของปัวคาเร

อธิบาย ในแง่ง่ายปัญหานี้คืออะไรค่อนข้างยาก แต่คุณสามารถลองได้ ลองนึกภาพทรงกลม เช่น ฟองสบู่ จุดบนพื้นผิวทั้งหมดอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน ซึ่งไม่ใช่จุดศูนย์กลางของมัน แต่นี่เป็นวัตถุสองมิติ และสมมติฐานก็พูดถึงวัตถุสามมิติ มันเป็นไปไม่ได้อยู่แล้วที่จะจินตนาการ แต่เรามีคณิตศาสตร์เชิงทฤษฎีสำหรับเรื่องนั้น ในกรณีนี้ ทุกจุดของร่างกายนี้จะถูกลบออกจากศูนย์กลางด้วย

ปัญหานี้เป็นของโทโพโลยี - ศาสตร์แห่งคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิต และหนึ่งใน ศัพท์พื้นฐานมันเป็น homeomorphic นั่นคือความคล้ายคลึงกันในระดับสูง ตัวอย่างเช่น เราสามารถจินตนาการถึงลูกบอลและพรู ไม่สามารถรับร่างหนึ่งจากรูปอื่นได้ แต่อย่างใดหลีกเลี่ยงช่องว่าง แต่รูปกรวยลูกบาศก์หรือทรงกระบอกจากรูปแรกจะกลายเป็นเรื่องง่ายมาก ที่นี่ สมมติฐานของ Poincare อุทิศให้กับการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้โดยมีข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียว - เรากำลังพูดถึงพื้นที่และวัตถุหลายมิติ

เรื่องราว

นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Henri Poincaré ทำงานในสาขาวิทยาศาสตร์ต่างๆ ความสำเร็จของเขาสามารถพูดได้ ตัวอย่างเช่น โดยข้อเท็จจริงที่ว่า ค่อนข้างเป็นอิสระจากอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ เขาได้เสนอบทบัญญัติหลักของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ในปีพ.ศ. 2447 เขาได้หยิบยกปัญหาในการพิสูจน์ว่าวัตถุสามมิติใดๆ ที่มีคุณสมบัติบางอย่างของทรงกลมนั้นเป็นรูปร่าง จนถึงการเสียรูป ต่อมาได้มีการขยายและสรุปให้กลายเป็นกรณีพิเศษของการคาดเดาของ Thurston ซึ่งกำหนดขึ้นในปี 1982

ถ้อยคำ

แต่เดิม Poincare ได้ให้คำยืนยันดังต่อไปนี้: ท่อร่วมสามมิติขนาดกะทัดรัดทุกอันที่เชื่อมต่อกันอย่างเรียบง่ายโดยไม่มีขอบเขตจะเป็นชีวมอร์ฟิคกับทรงกลมสามมิติ ต่อมาได้มีการขยายและขยายความ และเป็นเวลานาน ปัญหาเดิมที่ทำให้เกิดปัญหามากที่สุด และแก้ไขได้เพียง 100 ปีหลังจากการปรากฏตัวของมัน

การตีความและความหมาย

เราได้พูดคุยกันแล้วว่า Homeomorphism คืออะไร ตอนนี้มันคุ้มค่าที่จะพูดถึงความกะทัดรัดและความเชื่อมโยง ประการแรกหมายถึงเฉพาะท่อร่วมที่มีมิติ จำกัด ไม่สามารถขยายอย่างต่อเนื่องและไม่มีที่สิ้นสุด

เกี่ยวกับ single-linkedness เราสามารถลองยกตัวอย่างง่ายๆ ทรงกลมสองมิติ - แอปเปิ้ล - มีคุณสมบัติที่น่าสนใจอย่างหนึ่ง หากคุณนำแถบยางปิดธรรมดามาติดไว้กับพื้นผิว จากนั้น การเปลี่ยนรูปที่ราบรื่นก็จะลดลงเหลือจุดเดียว นี่เป็นคุณสมบัติของความเชื่อมโยงเพียงอย่างเดียว แต่เป็นการยากที่จะนำเสนอเกี่ยวกับพื้นที่สามมิติ

พูดง่ายๆ ก็คือ ปัญหาคือการพิสูจน์ว่าการเชื่อมต่อกันอย่างง่ายๆ เป็นคุณสมบัติเฉพาะของทรงกลม และถ้าค่อนข้างจะพูดการทดลองกับหนังยางจบลงด้วยผลเช่นนั้นร่างกายก็จะเป็น homeomorphic กับมัน สำหรับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีนี้กับชีวิต Poincaré เชื่อว่าจักรวาลเป็นทรงกลมสามมิติในบางแง่มุม

การพิสูจน์

ไม่ควรนึกถึงนักคณิตศาสตร์หลายสิบคนที่ทำงานทั่วโลก ไม่มีใครขยับประเด็นนี้แม้แต่น้อย ตรงกันข้าม มีความก้าวหน้า และในที่สุดก็นำไปสู่ผลลัพธ์ Poincare เองไม่มีเวลาทำงานให้เสร็จ แต่งานวิจัยของเขาได้พัฒนาโทโพโลยีทั้งหมดอย่างจริงจัง

ในช่วงทศวรรษที่ 1930 ความสนใจในสมมติฐานกลับมา ประการแรก ถ้อยคำได้ถูกขยายเป็น " พื้นที่ n มิติ" จากนั้น American Whitehead ก็รายงานการพิสูจน์ที่ประสบความสำเร็จ ต่อมาก็ละทิ้งมัน ในยุค 60-70 นักคณิตศาสตร์สองคนพร้อมกัน - Smale และ Stallings - เกือบจะพร้อมกัน แต่ วิธีทางที่แตกต่างพัฒนาวิธีแก้ปัญหาสำหรับ n ทั้งหมดมากกว่า 4

ในปีพ.ศ. 2525 มีการพบข้อพิสูจน์สำหรับ 4 ข้อเช่นกัน เหลือเพียง 3 ข้อ ในปีเดียวกันนั้น Thurston ได้กำหนดรูปแบบการคาดเดา geometrization โดยทฤษฎี Poincaré กลายเป็นกรณีเฉพาะ

เป็นเวลา 20 ปี ที่สมมติฐานของ Poincaré ดูเหมือนจะถูกลืมไปแล้ว ในปี 2545 นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย Grigory Perelman ได้นำเสนอวิธีแก้ปัญหาใน ในแง่ทั่วไปหลังจากหกเดือนทำการเพิ่มเติม ต่อมา หลักฐานนี้ได้รับการตรวจสอบและ "ฉายแสง" โดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอเมริกันและชาวจีน และดูเหมือนว่า Perelman เองก็หมดความสนใจในปัญหาไปหมดแล้ว แม้ว่าเขาจะตัดสินใจมากกว่านี้ก็ตาม งานทั่วไปเกี่ยวกับ geometrization ซึ่งการคาดเดาของ Poincare เป็นเพียงกรณีพิเศษเท่านั้น

การรับรู้และการให้คะแนน

แน่นอนว่าสิ่งนี้กลายเป็นความรู้สึกในทันทีเพราะวิธีแก้ปัญหามิลเลนเนียมอย่างใดอย่างหนึ่งไม่สามารถมองข้ามได้ สิ่งที่น่าประหลาดใจยิ่งกว่านั้นก็คือความจริงที่ว่า Grigory Perelman ปฏิเสธรางวัลและรางวัลทั้งหมดโดยบอกว่าเขามีชีวิตที่ดีอยู่แล้ว ในใจของชาวกรุง เขากลายเป็นตัวอย่างของอัจฉริยะที่บ้าพลังและสนใจแต่วิทยาศาสตร์ในทันที

ทั้งหมดนี้ทำให้เกิดการอภิปรายมากมายในสื่อและสื่อที่ความนิยมของนักคณิตศาสตร์เริ่มทำให้เขาตกต่ำ ในฤดูร้อนปี 2014 มีข้อมูลที่ Perelman ออกไปทำงานในสวีเดน แต่กลับกลายเป็นเพียงข่าวลือ เขายังคงใช้ชีวิตอย่างสุภาพในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก และแทบจะไม่สื่อสารกับใครเลย ในบรรดารางวัลที่มอบให้เขาไม่ใช่แค่รางวัล Clay Institute แต่ยังเป็นเหรียญ Fields อันทรงเกียรติ แต่เขาปฏิเสธทุกอย่าง อย่างไรก็ตาม แฮมิลตัน ซึ่งอ้างอิงจาก Perelman ไม่ได้มีส่วนสนับสนุนในการพิสูจน์น้อยลง แต่ก็ไม่ถูกลืมเช่นกัน ในปี 2552 และ 2554 เขายังได้รับรางวัลและรางวัลอันทรงเกียรติอีกด้วย

ภาพสะท้อนในวัฒนธรรม

ทั้งๆ ที่สำหรับ คนธรรมดาทั้งคำแถลงและวิธีแก้ปัญหานี้ไม่สมเหตุสมผลนัก การพิสูจน์จึงเป็นที่รู้จักอย่างรวดเร็ว ในปี 2008 ในโอกาสนี้ ผู้กำกับชาวญี่ปุ่น Masahito Kasuga ได้ถ่ายทำภาพยนตร์สารคดีเรื่อง "The Enchantment of the Poincaré Hypothesis" ซึ่งอุทิศให้กับความพยายามนับศตวรรษในการแก้ปัญหานี้

นักคณิตศาสตร์หลายคนที่เกี่ยวข้องกับปัญหานี้เข้ามามีส่วนร่วมในการถ่ายทำ แต่ตัวละครหลัก Grigory Perelman ไม่ต้องการทำเช่นนี้ คนรู้จักที่ใกล้ชิดของเขามากหรือน้อยก็มีส่วนร่วมในการถ่ายทำเช่นกัน สารคดีหลังจากปรากฏตัวบนหน้าจอหลังจากที่ประชาชนโวยวายเกี่ยวกับการปฏิเสธที่จะรับรางวัลของนักวิทยาศาสตร์ เขาได้รับชื่อเสียงในบางวงการและยังได้รับรางวัลหลายรางวัลอีกด้วย สำหรับวัฒนธรรมสมัยนิยมนั้น คนธรรมดาผู้คนยังคงสงสัยว่านักคณิตศาสตร์ของปีเตอร์สเบิร์กมีข้อโต้แย้งอย่างไรเมื่อเขาปฏิเสธที่จะรับเงินเมื่อเขาสามารถบริจาคได้เช่นเพื่อการกุศล

Henri Poincare (1854-1912) หนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในปี 1904 ได้กำหนดแนวคิดที่มีชื่อเสียงของทรงกลมสามมิติที่ผิดรูปและในรูปแบบของบันทึกย่อเล็กน้อยที่ท้ายบทความ 65 หน้าใน ปัญหาที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง ขีดเขียนการคาดเดาที่ค่อนข้างแปลกสองสามบรรทัดด้วยคำว่า "เอาละ คำถามนี้อาจพาเราไปไกลเกินไป" ...

มาร์คัส ดู โซตอย จาก มหาวิทยาลัยอ๊อกซฟอร์ดเชื่อว่า ทฤษฎีบทของปัวคาเร- "นี่คือ ปัญหาหลักของคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ พยายามที่จะเข้าใจ แบบฟอร์มอะไร อาจจะ จักรวาล มันยากมากที่จะเข้าใกล้เธอ”

สัปดาห์ละครั้ง Grigory Perelman เดินทางไปพรินซ์ตันเพื่อเข้าร่วมสัมมนาที่สถาบันเพื่อการศึกษาขั้นสูง ในการสัมมนานักคณิตศาสตร์คนหนึ่ง มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ดตอบคำถามของ Perelman: "ทฤษฎีของ William Thurston (1946-2012 นักคณิตศาสตร์ทำงานในด้าน "เรขาคณิตสามมิติและโทโพโลยี") เรียกว่าสมมติฐาน geometrization อธิบายพื้นผิวสามมิติที่เป็นไปได้ทั้งหมดและเป็นก้าวไปข้างหน้าเมื่อเปรียบเทียบ กับสมมติฐานของ Poincaré หากคุณพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของ William Thurston การคาดเดาของ Poincare จะเปิดประตูให้คุณและอีกมากมาย การแก้ปัญหาจะเปลี่ยนภูมิทัศน์ทอพอโลยีทั้งหมดของวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ ».

มหาวิทยาลัยชั้นนำของอเมริกาหกแห่งในเดือนมีนาคม พ.ศ. 2546 เชิญ Perelman ให้อ่านการบรรยายชุดหนึ่งที่อธิบายงานของเขา ในเดือนเมษายน พ.ศ. 2546 Perelman ได้ทำการทัศนศึกษาทางวิทยาศาสตร์ การบรรยายของเขากลายเป็นงานทางวิทยาศาสตร์ที่โดดเด่น จอห์น บอลล์ (ประธานสหพันธ์คณิตศาสตร์นานาชาติ), แอนดรูว์ ไวลส์ (นักคณิตศาสตร์, ทำงานด้านเลขคณิตของเส้นโค้งวงรี, พิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ในปี 1994), จอห์น แนช (นักคณิตศาสตร์ที่ทำงานด้านทฤษฎีเกมและเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์) พรินซ์ตันเล่าให้ฟัง

Grigory Perelman สามารถแก้ปัญหาหนึ่งในเจ็ดภารกิจของสหัสวรรษได้ และ อธิบายทางคณิตศาสตร์ ที่เรียกว่า สูตรของจักรวาล เพื่อพิสูจน์การคาดเดาของ Poincaré จิตใจที่ฉลาดที่สุดต่อสู้กับสมมติฐานนี้มานานกว่า 100 ปีและเพื่อพิสูจน์ว่าชุมชนคณิตศาสตร์โลก (Clay Mathematical Institute) สัญญา 1 ล้านเหรียญสหรัฐ นำเสนอเมื่อวันที่ 8 มิถุนายน 2010 Grigory Perelman ไม่ปรากฏบนนั้น และชุมชนคณิตศาสตร์โลก "กรามตก"

ในปี 2549 สำหรับการแก้ปัญหาการคาดเดาของ Poincaré นักคณิตศาสตร์ได้รับรางวัลทางคณิตศาสตร์สูงสุด - รางวัล Fields (เหรียญสนาม) จอห์น บอลล์ไปเยือนเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กเป็นการส่วนตัวเพื่อเกลี้ยกล่อมให้เขารับรางวัล เขาปฏิเสธที่จะยอมรับด้วยคำพูด: สังคมไม่น่าจะชื่นชมงานของฉันอย่างจริงจัง».

“รางวัล Fields Prize (และเหรียญรางวัล) จะมอบให้แก่นักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ (อายุต่ำกว่า 40 ปี) ทุกๆ 4 ปีในการประชุมทางคณิตศาสตร์ระดับนานาชาติทุกๆ 4 ปี ซึ่งมีส่วนสำคัญต่อการพัฒนาคณิตศาสตร์ นอกจากเหรียญรางวัลแล้ว ผู้ได้รับรางวัลยังได้รับรางวัล 15,000 ดอลลาร์แคนาดา (13,000 ดอลลาร์)”

ในสูตรดั้งเดิม การคาดเดาของ Poincaré อ่านได้ดังนี้: "ท่อร่วมสามมิติขนาดกะทัดรัดทุกอันที่เชื่อมต่อกันอย่างเรียบง่ายโดยไม่มีขอบเขต จะกลายเป็นรูปทรงกลมสามมิติแบบโฮมีมอร์ฟิก" ที่ แปลเป็นภาษากลางซึ่งหมายความว่าวัตถุสามมิติใดๆ เช่น แก้ว สามารถแปลงร่างเป็นลูกบอลได้ด้วยการเสียรูปเพียงอย่างเดียว กล่าวคือ ไม่จำเป็นต้องตัดหรือติดกาว กล่าวอีกนัยหนึ่ง Poincaré แนะนำว่า พื้นที่ไม่ได้เป็นสามมิติ แต่มีนัยสำคัญ มากกว่าการวัด และ Perelman 100 ปีต่อมา พิสูจน์แล้วทางคณิตศาสตร์ .

การแสดงออกของ Grigory Perelman เกี่ยวกับทฤษฎีบท Poincaré เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของสสารเป็นสถานะอื่น รูปแบบคล้ายกับความรู้ที่กำหนดไว้ในหนังสือ "Sensei IV" ของ Anastasia Novykh: เข็ม เช่นเดียวกับความสามารถในการควบคุมจักรวาลของวัสดุผ่านการแปลงที่ผู้สังเกตการณ์แนะนำจากมิติการควบคุมที่อยู่เหนือมิติที่หก (รวมตั้งแต่ 7 ถึง 72) (รายงาน "" หัวข้อ "Ezoosmic Grid")

Grigory Perelman โดดเด่นด้วยความเข้มงวดของชีวิต ความรุนแรงของข้อกำหนดทางจริยธรรมทั้งสำหรับตัวเขาเองและเพื่อผู้อื่น มองเขาแล้วรู้สึกว่าเขาเป็นคนเดียว ร่างกายอาศัยอยู่ เหมือนกันกับรุ่นอื่น ๆ ทั้งหมด ช่องว่าง , แ ในทางจิตวิญญาณในที่อื่นๆ บ้าง ที่ไหนแม้แต่ ในราคา 1 ล้านเหรียญ ไม่ได้ไปเพื่อ "ไร้เดียงสา" ที่สุด ประนีประนอมกับมโนธรรม . และนี่คือพื้นที่แบบไหนและเป็นไปได้ไหมที่จะมองจากหางตา ..

ยอดเยี่ยม ความสำคัญของสมมติฐาน, หยิบยกมาประมาณหนึ่งศตวรรษที่ผ่านมาโดยนักคณิตศาสตร์ Poincaréเกี่ยวข้องกับโครงสร้างสามมิติและเป็นองค์ประกอบสำคัญ การวิจัยร่วมสมัย รากฐานของจักรวาล . ผู้เชี่ยวชาญจาก Clay Institute กล่าวว่าปริศนานี้เป็นหนึ่งในเจ็ดที่สำคัญขั้นพื้นฐานสำหรับการพัฒนาคณิตศาสตร์แห่งอนาคต

Perelman ปฏิเสธเหรียญรางวัลและรางวัล ถามว่า: “ทำไมฉันถึงต้องการมัน? พวกเขาไม่มีประโยชน์กับฉันอย่างแน่นอน ทุกคนเข้าใจดีว่าหากการพิสูจน์ถูกต้อง ก็ไม่จำเป็นต้องมีการยอมรับอย่างอื่น จนกว่าฉันจะเกิดความสงสัย ฉันมีทางเลือกว่าจะพูดออกมาดังๆ เกี่ยวกับการล่มสลายของชุมชนคณิตศาสตร์โดยรวม เนื่องจากมีระดับศีลธรรมต่ำ หรือไม่พูดอะไรเลย และปล่อยให้ตัวเองถูกปฏิบัติเหมือนปศุสัตว์ ตอนนี้ เมื่อฉันกลายเป็นมากกว่าความสงสัย ฉันไม่สามารถเป็นวัวควายและนิ่งเงียบต่อไปได้ ฉันจึงทำได้เพียงจากไป

ในการทำคณิตศาสตร์สมัยใหม่ คุณต้องมีจิตใจที่บริสุทธิ์ โดยปราศจากส่วนผสมที่สลายไป ทำให้สับสน แทนที่ค่านิยม และการยอมรับรางวัลนี้หมายถึงการแสดงให้เห็นถึงความอ่อนแอ นักวิทยาศาสตร์ในอุดมคติทำงานเฉพาะในวิทยาศาสตร์เท่านั้น ไม่สนใจสิ่งอื่นใด (อำนาจและทุน) เขาต้องมีจิตใจที่บริสุทธิ์ และสำหรับ Perelman ไม่มีอะไรสำคัญไปกว่าการใช้ชีวิตตามอุดมคตินี้ แนวคิดทั้งหมดนี้มีประโยชน์นับล้านสำหรับคณิตศาสตร์หรือไม่ และนักวิทยาศาสตร์ตัวจริงต้องการสิ่งจูงใจเช่นนี้หรือไม่ และความปรารถนาในการซื้อทุนนี้เพื่อปราบทุกสิ่งในโลกนี้ไม่ได้ดูถูกเหยียดหยาม? หรือขายก็ได้ ความบริสุทธิ์ของมัน ล้าน? เงินมีเท่าไหร่ก็เท่ากัน ความจริงของจิตวิญญาณ ? ท้ายที่สุด เรากำลังเผชิญกับการประเมินปัญหาเบื้องต้นที่เงินไม่ควรทำใช่ไหม! การทำทั้งหมดนี้เป็นสิ่งที่เหมือนลอตเตอรีล้านหรือสิริหมายถึงการหลงระเริงในการสลายตัวของวิทยาศาสตร์และแน่นอน ชุมชนมนุษย์โดยรวม (ดูรายงานและ 50 หน้าสุดท้ายในหนังสือ AllatRa เกี่ยวกับวิธีการสร้างสังคมสร้างสรรค์) และเงิน (พลังงาน) ที่นักธุรกิจพร้อมจะมอบให้กับวิทยาศาสตร์ หากจำเป็นต้องใช้ ถูกต้อง หรืออะไรก็ตาม โดยไม่ละอายแก่ใจ จิตวิญญาณแห่งการบริการที่แท้จริง อะไรก็ตามที่ใครๆ ก็พูดได้ เทียบเท่าตัวเงินที่ประเมินค่าไม่ได้: “ เทียบกันเป็นล้าน คืออะไร , ด้วยความบริสุทธิ์ หรือ สมเด็จ เหล่านั้น ทรงกลม (สำหรับมิติของจักรวาลโลกและโลกฝ่ายวิญญาณ ดูหนังสือ "AllatRa" และรายงาน ) , ซึ่งใน เข้าไม่ได้ แม้แต่มนุษย์ จินตนาการ (ใจ) ?! ล้านคืออะไร ท้องฟ้าเต็มไปด้วยดวงดาวเพื่อเวลา?

ให้เราตีความเงื่อนไขที่เหลือซึ่งปรากฏในการกำหนดสมมติฐาน:

- โทโพโลยี- (จากภาษากรีก. topos - สถานที่และโลโก้ - การสอน) - สาขาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาคุณสมบัติทอพอโลยีของตัวเลขเช่น คุณสมบัติที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเสียรูปใดๆ ที่เกิดขึ้นโดยไม่มีความไม่ต่อเนื่องและการติดกาว (แม่นยำยิ่งขึ้นภายใต้การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งและแบบต่อเนื่อง) ตัวอย่างของคุณสมบัติทอพอโลยีของตัวเลข ได้แก่ มิติ จำนวนเส้นโค้งที่ผูกกับพื้นที่ที่กำหนด และอื่นๆ ดังนั้น วงกลม วงรี รูปทรงสี่เหลี่ยม มีคุณสมบัติทอพอโลยีเหมือนกัน ตั้งแต่ เส้นเหล่านี้สามารถเปลี่ยนรูปให้เป็นแบบอื่นได้ในลักษณะที่อธิบายไว้ข้างต้น ในเวลาเดียวกัน วงแหวนและวงกลมมีคุณสมบัติทอพอโลยีที่แตกต่างกัน: วงกลมล้อมรอบด้วยหนึ่งรูปร่าง และวงแหวนสองวง

- โฮมีมอร์ฟิซึม(กรีก ομοιο - คล้ายกัน μορφη - รูปร่าง) - การโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างช่องว่างทอพอโลยีสองช่อง ซึ่งการแมปผกผันระหว่างกันซึ่งกำหนดโดยการติดต่อนี้ต่อเนื่องกัน การแมปเหล่านี้เรียกว่าการแมปแบบโฮโมมอร์ฟิคหรือทอพอโลยี เช่นเดียวกับโฮโมมอร์ฟิซึม และช่องว่างถูกกล่าวว่าเป็นของทอพอโลยีประเภทเดียวกันเรียกว่าโฮโมมอร์ฟิคหรือเทียบเท่าทอพอโลยี

- 3-manifold ไม่มีขอบเขต. นี่คือวัตถุเรขาคณิต ซึ่งแต่ละจุดมีบริเวณใกล้เคียงในรูปแบบของลูกบอลสามมิติ ตัวอย่างของ 3-manifolds ได้แก่ ประการแรก พื้นที่สามมิติทั้งหมด แสดงด้วย R3 เช่นเดียวกับชุดจุดเปิดใดๆ ใน R3 ตัวอย่างเช่น ภายในของทอรัสที่เป็นของแข็ง (โดนัท) หากเราพิจารณาพรูทึบแบบปิด นั่นคือ เพิ่มจุดขอบเขตของมัน (พื้นผิวของทอรัส) จากนั้นเราจะได้ขอบเขตมากมาย - จุดขอบเขตไม่มีละแวกใกล้เคียงในรูปแบบของลูกบอล แต่อยู่ในรูปแบบของลูกบอลครึ่งหนึ่งเท่านั้น

- ทอรัสเต็ม (ทอรัสเต็ม) — ร่างกายเรขาคณิต, homeomorphic กับผลคูณของดิสก์สองมิติและวงกลม D 2 * S 1 . อย่างไม่เป็นทางการ พรูที่เป็นของแข็งคือโดนัท ในขณะที่พรูเป็นเพียงพื้นผิวของมัน (ช่องกลวงของวงล้อ)

- เกี่ยวโยงกัน. หมายความว่าเส้นโค้งปิดต่อเนื่องใดๆ ที่อยู่ภายในท่อร่วมที่กำหนดทั้งหมดสามารถหดตัวไปยังจุดหนึ่งได้อย่างราบรื่นโดยไม่ต้องออกจากท่อร่วมนี้ ตัวอย่างเช่น ทรงกลมสองมิติธรรมดาใน R3 นั้นเชื่อมต่อกันอย่างง่ายๆ (แถบยางยืดที่ใช้กับพื้นผิวของแอปเปิ้ลโดยพลการ สามารถหดตัวถึงจุดหนึ่งได้ด้วยการเสียรูปที่เรียบโดยไม่ต้องถอดแถบยางยืดออกจากแอปเปิ้ล) ในทางกลับกัน วงกลมกับพรูไม่ได้เชื่อมต่อกันง่ายๆ

- กะทัดรัดแมนิโฟลด์จะมีขนาดกระทัดรัดหากรูปภาพโฮมีมอร์ฟิกใดๆ มีขอบเขตจำกัด ตัวอย่างเช่น ช่วงเวลาที่เปิดบนเส้น (ทุกจุดของส่วนยกเว้นส่วนปลาย) นั้นไม่กะทัดรัด เนื่องจากสามารถขยายได้อย่างต่อเนื่องจนถึงเส้นอนันต์ แต่ส่วนที่ปิด (มีปลาย) เป็นท่อร่วมขนาดเล็กที่มีขอบเขต: สำหรับการเสียรูปต่อเนื่องใดๆ ปลายจะเข้าสู่บางส่วน บางจุดและส่วนทั้งหมดจะต้องผ่านเข้าไปในเส้นโค้งที่มีขอบเขตซึ่งเชื่อมจุดเหล่านี้

อิลนาซ บาชารอฟ

วรรณกรรม:

รายงาน "PrimORDIAL ALLATRA PHYSICS" ของกลุ่มนักวิทยาศาสตร์นานาชาติของ ALLATRA International Public Movement, ed. อนาสตาเซีย โนวีค, 2015;

ใหม่. A. "AllatRa", K.: AllatRa, 2013