สิ่งที่เรียกว่าลำดับของเมทริกซ์จตุรัส ปัจจัยกำหนดของเมทริกซ์จตุรัส

เมทริกซ์จตุรัสลำดับที่ 3 ซึ่งมีเมทริกซ์อยู่บนเส้นทแยงมุมหลักและองค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ จะถูกเรียกว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์และเขียนแทนด้วยหรือเพียงแค่ ชื่อ "เมทริกซ์หน่วย" มีความเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของเมทริกซ์ต่อไปนี้: สำหรับค่าใดๆ เมทริกซ์สี่เหลี่ยม

มีความเท่าเทียมกัน

.

อย่างชัดเจน,

อนุญาต เป็นเมทริกซ์จตุรัส. จากนั้นกำหนดระดับของเมทริกซ์ตามปกติ:

จากคุณสมบัติการรวมของการคูณเมทริกซ์จะได้ดังนี้:

ในที่นี้ เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบตามอำเภอใจ

พิจารณาพหุนาม (ฟังก์ชันตรรกยะทั้งหมด) ด้วยค่าสัมประสิทธิ์จากสนาม:

แล้วเราหมายถึงเมทริกซ์

นี่คือวิธีการกำหนดพหุนามในเมทริกซ์

ให้พหุนามเท่ากับผลคูณของพหุนามและ :

.

พหุนามได้มาจากและโดยการคูณและการลดลงทีละเทอมของพจน์ที่คล้ายคลึงกัน ในกรณีนี้จะใช้กฎการคูณกำลัง: . เนื่องจากการกระทำทั้งหมดนี้ใช้ได้เมื่อแทนที่ปริมาณสเกลาร์ด้วยเมทริกซ์ด้วย

ดังนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง

นั่นคือ พหุนามสองตัวจากเมทริกซ์เดียวกันจะสับเปลี่ยนกันเสมอ

ให้เราตกลงกันว่าเส้นเหนือเส้นทแยงมุมที่ 3 (เส้นทแยงมุม) ในเมทริกซ์สี่เหลี่ยมคือชุดขององค์ประกอบที่ (ตามลำดับ) ให้เราแสดงด้วยเมทริกซ์จตุรัสลำดับที่ 3 โดยที่องค์ประกอบของเส้นทแยงมุมแรกมีค่าเท่ากับ 1 และองค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ แล้ว

, ฯลฯ.;

โดยอาศัยความเท่าเทียมกันเหล่านี้ หาก:

พหุนามนั้นสัมพันธ์กัน

.

ในทำนองเดียวกัน ถ้า เป็นเมทริกซ์จตุรัสลำดับที่ 3 ซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดของเส้นทแยงมุมย่อยแรกมีค่าเท่ากับ 1 และส่วนที่เหลือทั้งหมดเท่ากับ 0 แล้ว

.

เราขอเชิญชวนผู้อ่านให้ตรวจสอบ คุณสมบัติดังต่อไปนี้เมทริกซ์และ:

1° จากผลของการคูณเมทริกซ์ทางซ้ายตามอำเภอใจด้วยเมทริกซ์ (เมทริกซ์) ของลำดับที่ 3 แถวทั้งหมดของเมทริกซ์จะถูกบดขยี้ (ลดระดับลง) ขึ้น (ลง) หนึ่งตำแหน่ง แถวแรก (สุดท้าย) ของเมทริกซ์ เมทริกซ์หายไป และแถวสุดท้าย (แรก) ของผลิตภัณฑ์จะเต็มไปด้วยศูนย์ ตัวอย่างเช่น

,

.

2° จากผลคูณเมทริกซ์ทางขวาด้วยเมทริกซ์ลำดับที่ 3 คอลัมน์ทั้งหมดของเมทริกซ์จะเลื่อนไปทางขวา (ซ้าย) ไปหนึ่งตำแหน่ง ในขณะที่คอลัมน์สุดท้าย (แรก) ของเมทริกซ์จะหายไป และคอลัมน์แรก (สุดท้าย) ของผลิตภัณฑ์จะเต็มไปด้วยศูนย์ ตัวอย่างเช่น

.

.

2. เราจะเรียกเมทริกซ์จตุรัสพิเศษว่า ถ้า . มิฉะนั้นเมทริกซ์จตุรัสจะเรียกว่าไม่เอกพจน์

อนุญาต เป็นเมทริกซ์ที่ไม่เอกพจน์ () ลองพิจารณาดู การแปลงเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์สัมประสิทธิ์

เมื่อพิจารณาความเท่าเทียมกัน (23) เป็นสมการสัมพัทธ์ และสังเกตว่าปัจจัยกำหนดของระบบสมการ (23) โดยเงื่อนไขแตกต่างจากศูนย์ เราสามารถแสดงค่าโดยไม่ซ้ำกันโดยใช้สูตรที่รู้จักได้โดยผ่าน:

. (24)

เราได้รับการแปลงแบบ "ผกผัน" สำหรับ (23) เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของการแปลงนี้

เราจะเรียกเมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์ จาก (24) จะเห็นได้ง่ายว่า

, (25)

ส่วนเสริมพีชคณิต (ส่วนเสริม) ขององค์ประกอบในตัวกำหนดอยู่ที่ไหน .

ตัวอย่างเช่น ถ้า

และ ,

.

การสร้างการแปลงแบบประกอบจากการแปลงนี้ (23) และค่าผกผัน (24) ในลำดับหนึ่งและอีกลำดับหนึ่ง ในทั้งสองกรณีเราได้รับ การเปลี่ยนแปลงตัวตน(พร้อมเมทริกซ์สัมประสิทธิ์หน่วย) นั่นเป็นเหตุผล

. (26)

ความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน (26) ยังสามารถตรวจสอบได้ด้วยการคูณเมทริกซ์และ แท้จริงด้วยอานิสงส์ของ (25)

.

เช่นเดียวกัน

.

จะเห็นว่าสมการเมทริกซ์นั้นง่าย

พวกเขาไม่มีวิธีแก้ปัญหาอื่นนอกจากวิธีแก้ปัญหา อันที่จริงการคูณทั้งสองข้างของสมการแรกทางซ้ายและสมการที่สองทางด้านขวาด้วยและใช้คุณสมบัติรวมกันของผลิตภัณฑ์ของเมทริกซ์ตลอดจนความเท่าเทียมกัน (26) ในทั้งสองกรณีเราได้รับ:

ในทำนองเดียวกันก็พิสูจน์ได้ว่าแต่ละสมการเมทริกซ์

โดยที่ และ คือ เมทริกซ์สี่เหลี่ยมที่มีขนาดเท่ากัน คือเมทริกซ์จตุรัสที่มีขนาดตรงกัน มีวิธีแก้ปัญหาเพียงวิธีเดียวเท่านั้น:

และตามนั้น (29)

เมทริกซ์ (29) เป็นเหมือนผลหาร "ซ้าย" และ "ขวา" ของ "การหาร" ของเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ จาก (28) และ (29) เป็นไปตามลำดับ (ดูหน้า 22) และ เช่น เมื่อเปรียบเทียบกับ (28) เรามี:

เมื่อเมทริกซ์สี่เหลี่ยมถูกคูณจากด้านซ้ายหรือขวาด้วยเมทริกซ์ที่ไม่ใช่เอกพจน์ อันดับของเมทริกซ์ดั้งเดิมจะไม่เปลี่ยนแปลง

ให้เราทราบด้วยว่าจาก (26) ดังต่อไปนี้คือ

สำหรับผลคูณของเมทริกซ์ที่ไม่เอกพจน์สองตัวเรามี:

. (30)

3. เมทริกซ์ลำดับที่ 3 ทั้งหมดประกอบกันเป็นวงแหวนที่มีองค์ประกอบเอกลักษณ์ เนื่องจากในวงแหวนนี้มีการกำหนดการดำเนินการของการคูณด้วยตัวเลขจากสนามและมีพื้นฐานของเมทริกซ์อิสระเชิงเส้นซึ่งเมทริกซ์ทั้งหมดของลำดับที่ th ถูกแสดงเป็นเส้นตรง ดังนั้นวงแหวนของเมทริกซ์ลำดับที่ th จึงเป็นพีชคณิต

เมทริกซ์จตุรัสทั้งหมดของลำดับที่ 3 จะสร้างกลุ่มสับเปลี่ยนที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการบวก เมทริกซ์ที่ไม่ใช่เอกพจน์ทั้งหมดในลำดับที่ 3 จะสร้างกลุ่ม (ไม่สลับสับเปลี่ยน) ที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการคูณ

เมทริกซ์จตุรัสเรียกว่าสามเหลี่ยมบน (สามเหลี่ยมล่าง) หากองค์ประกอบเมทริกซ์ทั้งหมดที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลัก (เหนือเส้นทแยงมุมหลัก) มีค่าเท่ากับศูนย์:

, .

เมทริกซ์แนวทแยงเป็นกรณีพิเศษของเมทริกซ์สามเหลี่ยมทั้งบนและล่าง

เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมเท่ากับผลคูณขององค์ประกอบในแนวทแยง เมทริกซ์รูปสามเหลี่ยม (และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในแนวทแยง) จึงไม่ใช่เอกพจน์ก็ต่อเมื่อองค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดไม่เป็นศูนย์

ง่ายต่อการตรวจสอบว่าผลรวมและผลคูณของเมทริกซ์แนวทแยงสองเส้น (สามเหลี่ยมบน สามเหลี่ยมล่าง) เป็นเมทริกซ์แนวทแยง (สามเหลี่ยมบน สามเหลี่ยมล่าง ตามลำดับ) และ เมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์เส้นทแยงมุมที่ไม่เป็นเอกพจน์ (สามเหลี่ยมบน, สามเหลี่ยมล่าง) จะเป็นเมทริกซ์ประเภทเดียวกัน นั่นเป็นเหตุผล

1° เส้นทแยงมุมทั้งหมด, สามเหลี่ยมบนทั้งหมด, ด้านล่างทั้งหมด เมทริกซ์สามเหลี่ยมลำดับที่ 3 เป็นกลุ่มการสับเปลี่ยนสามกลุ่มที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการของการบวก

2° เมทริกซ์แนวทแยงที่ไม่ใช่เอกพจน์ทั้งหมดประกอบกันเป็นหมู่สับเปลี่ยนภายใต้การคูณ

3° เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน (ล่าง) ที่ไม่ใช่เอกพจน์ทั้งหมดรวมกันเป็นกลุ่ม (ไม่สับเปลี่ยน) ภายใต้การคูณ

4. เพื่อสรุปส่วนนี้ ให้เราชี้ให้เห็นสองประการ การดำเนินงานที่สำคัญเหนือเมทริกซ์ - ย้ายเมทริกซ์แล้วไปที่เมทริกซ์คอนจูเกต จากนั้นจึงย้ายเมทริกซ์

หากเมทริกซ์จตุรัสเกิดขึ้นพร้อมกับทรานสโพส () เมทริกซ์ดังกล่าวจะเรียกว่าสมมาตร หากเมทริกซ์จตุรัสตรงกับคอนจูเกต () จะเรียกว่าเฮอร์มิเทียน ในเมทริกซ์สมมาตร องค์ประกอบที่อยู่ในตำแหน่งสมมาตรสัมพันธ์กับเส้นทแยงมุมหลักจะเท่ากัน แต่ในเมทริกซ์เฮอร์มิเทียน องค์ประกอบจะคอนจูเกตซึ่งกันและกันอย่างซับซ้อน องค์ประกอบในแนวทแยงของเมทริกซ์เฮอร์มิเทียนนั้นมีจริงเสมอ โปรดทราบว่าผลคูณของเมทริกซ์สมมาตร (เฮอร์มิเทียน) สองตัว โดยทั่วไปแล้ว ไม่ใช่เมทริกซ์สมมาตร (เฮอร์มิเทียน) โดยอาศัยอำนาจที่ 3° สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเฉพาะในกรณีที่เมทริกซ์สมมาตรหรือเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนสองตัวที่กำหนดสลับสับเปลี่ยนกัน

ส่งเสริมให้เกิดความเท่าเทียมกัน

หากเมทริกซ์จตุรัสแตกต่างด้วยปัจจัย -1 จากการทรานสโพส () เมทริกซ์ดังกล่าวจะเรียกว่าเอียงสมมาตร ในเมทริกซ์แบบเบ้สมมาตร องค์ประกอบทั้งสองใดๆ ที่อยู่ในตำแหน่งเชิงสมมาตรสัมพันธ์กับเส้นทแยงมุมหลักจะต่างกันด้วยปัจจัย -1 และองค์ประกอบในแนวทแยงจะเท่ากับศูนย์ จากมุม 3° ผลคูณของเมทริกซ์สมมาตรเอียงสองตัวที่สับเปลี่ยนกันคือเมทริกซ์สมมาตร

เมทริกซ์ในคณิตศาสตร์เป็นหนึ่งในวัตถุที่สำคัญที่สุด ค่าที่ใช้- บ่อยครั้งที่การท่องไปในทฤษฎีเมทริกซ์เริ่มต้นด้วยคำว่า: "เมทริกซ์คือตารางสี่เหลี่ยม ... " เราจะเริ่มต้นการท่องเที่ยวครั้งนี้จากทิศทางที่ต่างออกไปเล็กน้อย

สมุดโทรศัพท์ทุกขนาดและจำนวนข้อมูลสมาชิกนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าเมทริกซ์ เมทริกซ์ดังกล่าวมีลักษณะประมาณนี้:

เห็นได้ชัดว่าเราทุกคนใช้เมทริกซ์ดังกล่าวเกือบทุกวัน เมทริกซ์เหล่านี้มาพร้อมกับจำนวนแถวที่แตกต่างกัน (แตกต่างจากไดเร็กทอรีของบริษัทโทรศัพท์ ซึ่งอาจมีจำนวนบรรทัดนับพัน หลักแสน หรือแม้แต่หลายล้านบรรทัด และสมุดบันทึกใหม่ที่คุณเพิ่งเริ่มต้นซึ่งมีน้อยกว่าสิบบรรทัด) และคอลัมน์ ( ไดเรกทอรี เจ้าหน้าที่บางองค์กรที่อาจมีคอลัมน์ เช่น ตำแหน่งและหมายเลขสำนักงาน และสมุดที่อยู่เดียวกันของคุณ ซึ่งอาจไม่มีข้อมูลใด ๆ ยกเว้นชื่อ จึงมีเพียงสองคอลัมน์เท่านั้น - ชื่อและหมายเลขโทรศัพท์)

เมทริกซ์ทุกประเภทสามารถเพิ่มและคูณได้เช่นเดียวกับการดำเนินการอื่น ๆ ที่สามารถทำได้ แต่ไม่จำเป็นต้องเพิ่มและคูณไดเร็กทอรีโทรศัพท์ไม่มีประโยชน์ใด ๆ จากสิ่งนี้และนอกจากนี้คุณสามารถใช้ความคิดของคุณได้

แต่เมทริกซ์จำนวนมากสามารถและควรบวกและคูณได้ จึงช่วยแก้ปัญหาเร่งด่วนต่างๆ ได้ ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างของเมทริกซ์ดังกล่าว

เมทริกซ์ที่คอลัมน์คือการผลิตหน่วยของผลิตภัณฑ์ประเภทใดประเภทหนึ่ง และแถวคือปีที่มีการบันทึกการผลิตผลิตภัณฑ์นี้:

คุณสามารถเพิ่มเมทริกซ์ประเภทนี้ได้ ซึ่งจะคำนึงถึงผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์ที่คล้ายคลึงกันโดยองค์กรต่างๆ เพื่อรับข้อมูลสรุปสำหรับอุตสาหกรรม

หรือเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยคอลัมน์เดียว ซึ่งแถวต่างๆ เป็นต้นทุนเฉลี่ยของผลิตภัณฑ์ประเภทใดประเภทหนึ่ง:

เมทริกซ์ของทั้งสอง สายพันธุ์ใหม่ล่าสุดสามารถคูณได้ และผลลัพธ์ที่ได้คือเมทริกซ์แถวที่มีต้นทุนของผลิตภัณฑ์ทุกประเภทแยกตามปี

เมทริกซ์ คำจำกัดความพื้นฐาน

โต๊ะสี่เหลี่ยมประกอบด้วยตัวเลขเรียงกัน มเส้นและ nเรียกว่าคอลัมน์ mn-เมทริกซ์ (หรือเพียงแค่ เมทริกซ์ ) และเขียนดังนี้:

(1)

ในเมทริกซ์ (1) ตัวเลขต่างๆ เรียกว่าของมัน องค์ประกอบ (เช่นเดียวกับในตัวกำหนด ดัชนีแรกหมายถึงจำนวนของแถว คอลัมน์ที่สองคือคอลัมน์ที่จุดตัดขององค์ประกอบนั้น ฉัน = 1, 2, ..., ม; เจ = 1, 2, n).

เมทริกซ์เรียกว่า สี่เหลี่ยม , ถ้า .

ถ้า ม = nจากนั้นจึงเรียกเมทริกซ์ สี่เหลี่ยม และหมายเลข n คือหมายเลขของมัน ตามลำดับ .

ปัจจัยกำหนดของเมทริกซ์จตุรัส A เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์ซึ่งมีองค์ประกอบเป็นองค์ประกอบของเมทริกซ์ ก- โดยมีการระบุด้วยสัญลักษณ์ | ก|.

เรียกว่าเมทริกซ์จตุรัส ไม่พิเศษ (หรือ ไม่เสื่อม , ไม่ใช่เอกพจน์ ) ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ และ พิเศษ (หรือ เสื่อมโทรม , เอกพจน์ ) ถ้าดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์

เรียกว่าเมทริกซ์ เท่ากัน หากมีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากันและองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องทั้งหมดตรงกัน

เมทริกซ์เรียกว่า โมฆะ ถ้าองค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ เราจะแทนเมทริกซ์ศูนย์ด้วยสัญลักษณ์ 0 หรือ .

ตัวอย่างเช่น,

เมทริกซ์แถว (หรือ ตัวพิมพ์เล็ก ) เรียกว่า 1 n-เมทริกซ์และ เมทริกซ์คอลัมน์ (หรือ เรียงเป็นแนว ) – ม 1-เมทริกซ์.

เมทริกซ์ ก" ซึ่งได้มาจากเมทริกซ์ กเรียกว่าการสลับแถวและคอลัมน์ ย้าย สัมพันธ์กับเมทริกซ์ ก- ดังนั้น สำหรับเมทริกซ์ (1) เมทริกซ์ที่ถูกย้ายคือ

การดำเนินการเปลี่ยนผ่านเมทริกซ์ ก" ย้ายเทียบกับเมทริกซ์ กเรียกว่าการขนย้ายเมทริกซ์ ก- สำหรับ นาที-เมทริกซ์ที่ถูกย้ายคือ นาโนเมตร-เมทริกซ์

เมทริกซ์ทรานสชันเทียบกับเมทริกซ์คือ กนั่นคือ

(ก")" = ก .

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาเมทริกซ์ ก" , ย้ายด้วยความเคารพต่อเมทริกซ์

และค้นหาว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมและเมทริกซ์ทรานสโพสเท่ากันหรือไม่

เส้นทแยงมุมหลัก เมทริกซ์จตุรัสเป็นเส้นจินตนาการที่เชื่อมต่อองค์ประกอบต่างๆ ซึ่งดัชนีทั้งสองมีค่าเท่ากัน องค์ประกอบเหล่านี้เรียกว่า เส้นทแยงมุม .

เรียกว่าเมทริกซ์จตุรัสที่องค์ประกอบทั้งหมดนอกเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ เส้นทแยงมุม - องค์ประกอบในแนวทแยงของเมทริกซ์แนวทแยงไม่จำเป็นต้องไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด ในหมู่พวกเขาอาจมีค่าเท่ากับศูนย์

เมทริกซ์จตุรัสซึ่งมีองค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมหลักเท่ากับจำนวนเดียวกัน ไม่ใช่ศูนย์ และองค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ เรียกว่า เมทริกซ์สเกลาร์ .

เมทริกซ์เอกลักษณ์ เรียกว่าเมทริกซ์แนวทแยงซึ่งองค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่ง ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์เอกลักษณ์ลำดับที่สามคือเมทริกซ์

ตัวอย่างที่ 2เมทริกซ์ที่กำหนด:

สารละลาย. ให้เราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เหล่านี้ เราพบโดยใช้กฎสามเหลี่ยม

ดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์ บีมาคำนวณโดยใช้สูตรกัน

เราเข้าใจสิ่งนั้นได้อย่างง่ายดาย

ดังนั้นเมทริกซ์ กและไม่เป็นเอกพจน์ (ไม่เสื่อมสลาย ไม่เอกพจน์) และเป็นเมทริกซ์ บี– พิเศษ (เสื่อมถอยเอกพจน์)

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับใดๆ เห็นได้ชัด เท่ากับหนึ่ง.

แก้ปัญหาเมทริกซ์ด้วยตัวเอง แล้วดูวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 3กำหนดเมทริกซ์

,

,

พิจารณาว่าสิ่งใดที่ไม่เป็นเอกพจน์ (ไม่เสื่อมสลาย ไม่เอกพจน์)

การประยุกต์เมทริกซ์ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และเศรษฐศาสตร์

ข้อมูลที่มีโครงสร้างเกี่ยวกับวัตถุเฉพาะจะถูกบันทึกอย่างง่ายดายและสะดวกในรูปแบบของเมทริกซ์ โมเดลเมทริกซ์ถูกสร้างขึ้นไม่เพียงแต่เพื่อจัดเก็บข้อมูลที่มีโครงสร้างนี้เท่านั้น แต่ยังเพื่อแก้ปัญหาต่างๆ กับข้อมูลนี้โดยใช้พีชคณิตเชิงเส้นอีกด้วย

ดังนั้น แบบจำลองเมทริกซ์ของระบบเศรษฐกิจที่รู้จักกันดีคือแบบจำลองอินพุต-เอาท์พุต ซึ่งแนะนำโดยนักเศรษฐศาสตร์ชาวอเมริกันที่มีต้นกำเนิดจากรัสเซีย Vasily Leontiev แบบจำลองนี้ตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ว่าภาคการผลิตทั้งหมดของเศรษฐกิจแบ่งออกเป็น nอุตสาหกรรมที่สะอาด แต่ละอุตสาหกรรมผลิตผลิตภัณฑ์เพียงประเภทเดียว และอุตสาหกรรมที่แตกต่างกันผลิต ผลิตภัณฑ์ต่างๆ- เนื่องจากการแบ่งงานระหว่างอุตสาหกรรมในลักษณะนี้ จึงมีการเชื่อมต่อระหว่างอุตสาหกรรม ซึ่งหมายความว่าส่วนหนึ่งของการผลิตของแต่ละอุตสาหกรรมจะถูกโอนไปยังอุตสาหกรรมอื่นเพื่อเป็นทรัพยากรการผลิต

ปริมาณสินค้า ฉัน- อุตสาหกรรม (วัดโดยหน่วยวัดเฉพาะ) ซึ่งผลิตในช่วงระยะเวลารายงานแสดงโดยและเรียกว่าผลผลิตเต็ม ฉัน-อุตสาหกรรม. สามารถวางประเด็นต่างๆ ได้อย่างสะดวก n- แถวองค์ประกอบของเมทริกซ์

จำนวนหน่วย ฉัน-อุตสาหกรรมที่จำเป็นต้องใช้ เจ-อุตสาหกรรมสำหรับการผลิตหน่วยผลผลิตถูกกำหนดและเรียกว่าสัมประสิทธิ์ต้นทุนทางตรง

การดำเนินงานเกี่ยวกับเมทริกซ์และคุณสมบัติของเมทริกซ์

แนวคิดของดีเทอร์มิแนนต์ของลำดับที่สองและสามคุณสมบัติของปัจจัยกำหนดและการคำนวณ

3. คำอธิบายทั่วไปการมอบหมายงาน

4. ทำงานให้เสร็จสิ้น

5. จัดทำรายงานผลการปฏิบัติงานในห้องปฏิบัติการ

อภิธานศัพท์

เรียนรู้คำจำกัดความของสิ่งต่อไปนี้ เงื่อนไข:

มิติเมทริกซ์คือชุดของตัวเลขสองตัวซึ่งประกอบด้วยจำนวนแถว m และจำนวนคอลัมน์ n

ถ้า m=n แสดงว่าเมทริกซ์ถูกเรียก สี่เหลี่ยมเมทริกซ์ของลำดับ n

การดำเนินงานเกี่ยวกับเมทริกซ์: การย้ายเมทริกซ์ การคูณ (หาร) เมทริกซ์ด้วยตัวเลข การบวกและการลบ การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์

การเปลี่ยนจากเมทริกซ์ A ไปเป็นเมทริกซ์ A m แถวที่เป็นคอลัมน์และคอลัมน์เป็นแถวของเมทริกซ์ A เรียกว่า การขนย้ายเมทริกซ์ A

ตัวอย่าง: A = , A t = .

ถึง คูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขคุณต้องคูณแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ด้วยจำนวนนี้

ตัวอย่าง: 2A= 2· = .

ผลรวม (ส่วนต่าง)เมทริกซ์ A และ B ที่มีมิติเดียวกันเรียกว่าเมทริกซ์ C=A B ซึ่งมีองค์ประกอบเท่ากัน ด้วย ij = a ij b ijสำหรับทุกคน ฉันและ เจ.

ตัวอย่าง: ก = ; บี = . เอ+บี= = .

การทำงานเมทริกซ์ A m n ลงในเมทริกซ์ B n k เรียกว่าเมทริกซ์ C m k ซึ่งแต่ละองค์ประกอบคือ c ij เท่ากับผลรวมผลคูณขององค์ประกอบของแถวที่ i ของเมทริกซ์ A โดยองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของคอลัมน์ j-th ของเมทริกซ์ B:

ซี ไอ = a i1 · b 1j + a i2 ·b 2j +…+ a ใน ·b nj

เพื่อให้สามารถคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ได้ พวกมันจะต้องเป็น ตกลงกันเพื่อการคูณ กล่าวคือ จำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์แรกควรเท่ากับ จำนวนบรรทัดในเมทริกซ์ที่สอง

ตัวอย่าง: A= และ B=

А·В—เป็นไปไม่ได้ เพราะว่า พวกเขาไม่สอดคล้องกัน

วีเอ= . - = .

คุณสมบัติของการดำเนินการคูณเมทริกซ์.

1. ถ้าเมทริกซ์ A มีมิติ ไม่เป็นไรและเมทริกซ์ B คือมิติ ไม่เป็นไรแล้วมีผลิตภัณฑ์ A·B อยู่

ผลิตภัณฑ์ BA สามารถมีอยู่ได้ก็ต่อเมื่อ ม=เค

2. การคูณเมทริกซ์ไม่ใช่การสับเปลี่ยน เช่น A·B ไม่ได้เท่ากับ BA·A เสมอไป แม้ว่าจะมีการกำหนดผลิตภัณฑ์ทั้งสองไว้ก็ตาม อย่างไรก็ตาม ถ้าความสัมพันธ์ А·В=В·А เป็นที่พอใจแล้ว เมทริกซ์ A และ B จะถูกเรียก เปลี่ยนแปลงได้.

ตัวอย่าง- คำนวณ.

ส่วนน้อย element คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ลำดับ ซึ่งได้มาจากการลบแถวที่ th ของคอลัมน์ที่ th

ส่วนเสริมพีชคณิตองค์ประกอบที่เรียกว่า .

ทฤษฎีบทการขยายตัวของลาปลาซ:

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จตุรัสเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบของแถว (คอลัมน์) ใด ๆ โดยการเสริมพีชคณิต

ตัวอย่าง- คำนวณ.

สารละลาย. -

คุณสมบัติของปัจจัยกำหนดลำดับที่ n:

1) ค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากสลับแถวและคอลัมน์

2) หากดีเทอร์มิแนนต์มีแถว (คอลัมน์) ที่เป็นศูนย์เท่านั้น ก็จะเท่ากับศูนย์

3) เมื่อจัดเรียงสองแถวใหม่ (คอลัมน์) ดีเทอร์มิแนนต์จะเปลี่ยนเครื่องหมาย

4) ดีเทอร์มิแนนต์ที่มีแถวสองแถวเหมือนกัน (คอลัมน์) มีค่าเท่ากับศูนย์

5) ปัจจัยร่วมขององค์ประกอบของแถว (คอลัมน์) ใด ๆ สามารถนำมาใช้ได้นอกเหนือจากเครื่องหมายของดีเทอร์มิแนนต์

6) หากแต่ละองค์ประกอบของแถวใดแถวหนึ่ง (คอลัมน์) เป็นผลรวมของสองพจน์ ดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับผลรวมของดีเทอร์มิแนนต์สองตัว โดยในแต่ละแถว (คอลัมน์) ทั้งหมด ยกเว้นที่กล่าวถึง จะเหมือนกับ ในดีเทอร์มิแนนต์นี้และในแถวที่กล่าวถึง ( คอลัมน์) ของดีเทอร์มิแนนต์ตัวแรกประกอบด้วยเทอมแรกอันที่สอง - อันที่สอง

7) ถ้าสองแถว (คอลัมน์) ในดีเทอร์มิแนนต์เป็นสัดส่วน ก็จะเท่ากับศูนย์

8) ดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากมีการเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวอื่น (คอลัมน์) คูณด้วยตัวเลขเดียวกันในองค์ประกอบของแถวหนึ่ง (คอลัมน์)

9) ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์รูปสามเหลี่ยมและเส้นทแยงมุมมีค่าเท่ากับผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก

วิธีการสะสมศูนย์เพื่อคำนวณดีเทอร์มิแนนต์จะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

ตัวอย่าง- คำนวณ.

สารละลาย. ลบค่าส่วนที่สามออกจากแถวแรก จากนั้นใช้ทฤษฎีบทการขยายตัวในคอลัมน์แรก

~ .

คำถามเพื่อความปลอดภัย(ตกลง-1, ตกลง-2, ตกลง-11, PK-1) :

1. ปัจจัยกำหนดลำดับที่สองเรียกว่าอะไร?

2. อะไร คุณสมบัติพื้นฐานปัจจัยกำหนด?

3. ธาตุรองคืออะไร?

4. ส่วนเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบของดีเทอร์มิแนนต์เรียกว่าอะไร?

5. จะขยายดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สามเป็นองค์ประกอบของแถว (คอลัมน์) ได้อย่างไร?

6. ผลรวมผลคูณขององค์ประกอบของแถว (หรือคอลัมน์) ใดๆ ซึ่งเป็นปัจจัยกำหนดของ การบวกพีชคณิตองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวอื่น (หรือคอลัมน์)?

7. กฎของสามเหลี่ยมคืออะไร?

8. ปัจจัยกำหนดลำดับที่สูงกว่าคำนวณโดยใช้วิธีลดลำดับอย่างไร

10. เมทริกซ์ใดเรียกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัส? โมฆะ? เมทริกซ์แถว, เมทริกซ์คอลัมน์คืออะไร?

11. เมทริกซ์ใดเรียกว่าเท่ากัน?

12. ให้คำจำกัดความของการดำเนินการบวก การคูณเมทริกซ์ การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข

13. ขนาดของเมทริกซ์ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขใดในระหว่างการบวกและการคูณ?

14. คุณสมบัติของการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตมีอะไรบ้าง: การสับเปลี่ยน การเชื่อมโยง การแจกแจง? ข้อใดตรงกับเมทริกซ์ระหว่างการบวกและการคูณ และข้อใดไม่ใช่

15. เมทริกซ์ผกผันคืออะไร? มันกำหนดไว้สำหรับเมทริกซ์อะไร?

16. กำหนดทฤษฎีบทเกี่ยวกับการมีอยู่และเอกลักษณ์ของเมทริกซ์ผกผัน

17. กำหนดบทแทรกเกี่ยวกับการขนย้ายผลคูณของเมทริกซ์

งานภาคปฏิบัติทั่วไป(ตกลง-1, ตกลง-2, ตกลง-11, PK-1) :

ลำดับที่ 1. ค้นหาผลรวมและผลต่างของเมทริกซ์ A และ B :

ก)

ข)

วี)

ลำดับที่ 2. ทำตามขั้นตอนเหล่านี้ :

ค) Z= -11A+7B-4C+D

ถ้า

ลำดับที่ 3. ทำตามขั้นตอนเหล่านี้ :

วี)

ลำดับที่ 4. ใช้สี่วิธีในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จตุรัส ค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ต่อไปนี้ :

ลำดับที่ 5. ค้นหาปัจจัยกำหนดลำดับที่ n ตามองค์ประกอบของคอลัมน์ (แถว) :

ก) ข)

ลำดับที่ 6. ค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์โดยใช้คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์:

ก) ข)

คำจำกัดความของเมทริกซ์ ประเภทของเมทริกซ์

เมทริกซ์ขนาด ม× nเรียกว่าชุด นาทีตัวเลขเรียงกันเป็นตารางสี่เหลี่ยม มเส้นและ nคอลัมน์ ตารางนี้มักจะอยู่ในวงเล็บ ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์อาจมีลักษณะดังนี้:

เพื่อความกระชับ เมทริกซ์สามารถเขียนแทนด้วยหนึ่งได้ อักษรตัวใหญ่, ตัวอย่างเช่น, กหรือ ใน.

ใน มุมมองทั่วไปขนาดเมทริกซ์ ม× nเขียนแบบนี้

.

เรียกตัวเลขที่ประกอบเป็นเมทริกซ์ องค์ประกอบเมทริกซ์- สะดวกในการจัดเตรียมองค์ประกอบเมทริกซ์ที่มีสองดัชนี ไอจ: อันแรกระบุหมายเลขแถว และอันที่สองระบุหมายเลขคอลัมน์ ตัวอย่างเช่น, 23– องค์ประกอบอยู่ในแถวที่ 2 คอลัมน์ที่ 3

หากเมทริกซ์มีจำนวนแถวเท่ากันกับจำนวนคอลัมน์ เมทริกซ์นั้นจะถูกเรียก สี่เหลี่ยมและเรียกจำนวนแถวหรือคอลัมน์ ตามลำดับเมทริกซ์ ในตัวอย่างข้างต้น เมทริกซ์ตัวที่สองเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส - ลำดับคือ 3 และเมทริกซ์ตัวที่สี่คือลำดับ 1

เมทริกซ์ที่เรียกว่าจำนวนแถวไม่เท่ากับจำนวนคอลัมน์ สี่เหลี่ยม- ในตัวอย่าง นี่คือเมทริกซ์ตัวแรกและเมทริกซ์ตัวที่สาม

นอกจากนี้ยังมีเมทริกซ์ที่มีเพียงแถวเดียวหรือคอลัมน์เดียวด้วย

เรียกเมทริกซ์ที่มีแถวเดียวเท่านั้น เมทริกซ์ - แถว(หรือสตริง) และเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์เดียวเท่านั้น เมทริกซ์ - คอลัมน์.

เรียกว่าเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบเป็นศูนย์ทั้งหมด โมฆะและเขียนแทนด้วย (0) หรือเพียง 0 ตัวอย่างเช่น

.

เส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์จตุรัสเราเรียกว่าเส้นทแยงมุมที่เริ่มจากซ้ายบนไปมุมขวาล่าง

เรียกว่าเมทริกซ์จตุรัสซึ่งมีองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักเท่ากับศูนย์ สามเหลี่ยมเมทริกซ์

.

เรียกว่าเมทริกซ์จตุรัสที่องค์ประกอบทั้งหมด ยกเว้นองค์ประกอบที่อยู่ในเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ เรียกว่า เส้นทแยงมุมเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่นหรือ.

เรียกว่าเมทริกซ์แนวทแยงซึ่งองค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่งเรียกว่า เดี่ยวเมทริกซ์และเขียนแทนด้วยตัวอักษร E ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์เอกลักษณ์ลำดับที่ 3 มีรูปแบบ .

การดำเนินการกับเมทริกซ์

ความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์- เมทริกซ์สองตัว กและ บีเรียกว่าเท่ากันหากมีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากันและมีองค์ประกอบที่ตรงกันเท่ากัน ไอจ = บีจ- แล้วถ้า และ , ที่ ก=ข, ถ้า ก 11 = ข 11, 12 = ข 12, 21 = ข 21และ ก 22 = ข 22.

ย้าย- พิจารณาเมทริกซ์ตามอำเภอใจ กจาก มเส้นและ nคอลัมน์ สามารถเชื่อมโยงกับเมทริกซ์ต่อไปนี้ได้ บีจาก nเส้นและ มคอลัมน์ ซึ่งแต่ละแถวเป็นคอลัมน์เมทริกซ์ กด้วยจำนวนเดียวกัน (ดังนั้นแต่ละคอลัมน์จึงเป็นแถวของเมทริกซ์ กด้วยหมายเลขเดียวกัน) แล้วถ้า , ที่ .

เมทริกซ์นี้ บีเรียกว่า ย้ายเมทริกซ์ กและการเปลี่ยนผ่านจาก กถึง การขนย้ายบี.

ดังนั้นการขนย้ายจึงเป็นการกลับรายการบทบาทของแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ เมทริกซ์ถูกย้ายไปยังเมทริกซ์ กมักจะแสดงแทน ที่.

การสื่อสารระหว่างเมทริกซ์ กและทรานสโพสของมันสามารถเขียนได้ในรูป

ตัวอย่างเช่น.ค้นหาเมทริกซ์ที่ถูกย้ายของเมทริกซ์ที่กำหนด

การบวกเมทริกซ์ปล่อยให้เมทริกซ์ กและ บีประกอบด้วยจำนวนบรรทัดเท่ากันและ หมายเลขเดียวกันคอลัมน์เช่น มี ขนาดเดียวกัน- แล้วเพื่อที่จะบวกเมทริกซ์ กและ บีจำเป็นสำหรับองค์ประกอบเมทริกซ์ กเพิ่มองค์ประกอบเมทริกซ์ บียืนอยู่ในที่เดียวกัน ดังนั้นผลรวมของเมทริกซ์สองตัว กและ บีเรียกว่าเมทริกซ์ คซึ่งถูกกำหนดโดยกฎ เช่น

ตัวอย่าง.ค้นหาผลรวมของเมทริกซ์:

เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าการบวกเมทริกซ์เป็นไปตามกฎต่อไปนี้: การสับเปลี่ยน ก+บี=บี+เอและการเชื่อมโยง ( เอ+บี)+ค=ก+(บี+ซี).

การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขเพื่อคูณเมทริกซ์ กต่อหมายเลข เคจำเป็นต้องมีทุกองค์ประกอบของเมทริกซ์ กคูณด้วยจำนวนนี้ ดังนั้นผลคูณเมทริกซ์ กต่อหมายเลข เคมีเมทริกซ์ใหม่ซึ่งถูกกำหนดโดยกฎ หรือ .

สำหรับตัวเลขใดๆ กและ ขและเมทริกซ์ กและ บีมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

ตัวอย่าง.

การคูณเมทริกซ์การดำเนินการนี้ดำเนินการตามกฎหมายเฉพาะ ก่อนอื่น เราทราบว่าขนาดของเมทริกซ์ตัวประกอบจะต้องสอดคล้องกัน คุณสามารถคูณได้เฉพาะเมทริกซ์ที่จำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์แรกตรงกับจำนวนแถวของเมทริกซ์ที่สอง (นั่นคือ ความยาวของแถวแรกเท่ากับความสูงของคอลัมน์ที่สอง) การทำงานเมทริกซ์ กไม่ใช่เมทริกซ์ บีเรียกว่าเมทริกซ์ใหม่ ค=เอบีซึ่งมีองค์ประกอบดังนี้

ดังนั้น ตัวอย่างเช่น เพื่อให้ได้ผลิตภัณฑ์ (เช่น ในเมทริกซ์ ค) องค์ประกอบที่อยู่ในแถวที่ 1 และคอลัมน์ที่ 3 จาก 13คุณต้องใช้แถวที่ 1 ในเมทริกซ์ที่ 1 คอลัมน์ที่ 3 ในเมทริกซ์ที่ 2 จากนั้นคูณองค์ประกอบแถวด้วยองค์ประกอบคอลัมน์ที่เกี่ยวข้องและเพิ่มผลคูณที่ได้ และองค์ประกอบอื่นๆ ของเมทริกซ์ผลคูณได้มาจากผลคูณที่คล้ายกันของแถวของเมทริกซ์แรกและคอลัมน์ของเมทริกซ์ที่สอง

โดยทั่วไปหากเราคูณเมทริกซ์ A = (อาจ)ขนาด ม× nถึงเมทริกซ์ B = (บีจ)ขนาด n× พีแล้วเราจะได้เมทริกซ์ คขนาด ม× พีซึ่งมีองค์ประกอบคำนวณดังนี้: องค์ประกอบ ซีจได้มาจากผลคูณของธาตุ ฉันแถวที่หนึ่งของเมทริกซ์ กไปยังองค์ประกอบที่สอดคล้องกัน เจคอลัมน์เมทริกซ์ที่ บีและการเพิ่มเติมของพวกเขา

จากกฎนี้ คุณจะสามารถนำเมทริกซ์จตุรัสสองตัวที่มีลำดับเดียวกันมาคูณกันได้ตลอดเวลา และผลที่ได้คือเมทริกซ์จตุรัสที่มีลำดับเดียวกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมทริกซ์จตุรัสสามารถคูณด้วยตัวมันเองได้เสมอ เช่น กำลังสองมัน

อีกกรณีที่สำคัญคือการคูณเมทริกซ์แถวด้วยเมทริกซ์คอลัมน์ และความกว้างของเมทริกซ์แรกจะต้องเท่ากับความสูงของเมทริกซ์ที่สอง ส่งผลให้ได้เมทริกซ์ลำดับที่หนึ่ง (เช่น หนึ่งองค์ประกอบ) จริงหรือ,

.

ตัวอย่าง.

ดังนั้นสิ่งเหล่านี้ ตัวอย่างง่ายๆแสดงว่าเมทริกซ์โดยทั่วไปไม่สับเปลี่ยนซึ่งกันและกัน กล่าวคือ เอ·บี ≠ บี∙เอ - ดังนั้น เมื่อคูณเมทริกซ์ คุณต้องตรวจสอบลำดับของปัจจัยอย่างระมัดระวัง

สามารถตรวจสอบได้ว่าการคูณเมทริกซ์เป็นไปตามกฎการเชื่อมโยงและการแจกแจง เช่น (AB)C=A(BC)และ (A+B)C=เอซี+บีซี.

นอกจากนี้ยังง่ายต่อการตรวจสอบเมื่อคูณเมทริกซ์จตุรัส กไปจนถึงเมทริกซ์ประจำตัว อีในลำดับเดียวกันเราจะได้เมทริกซ์อีกครั้ง ก, และ AE=อีเอ=ก.

สามารถสังเกตข้อเท็จจริงที่น่าสนใจดังต่อไปนี้ ดังที่คุณทราบ ผลคูณของตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ 2 ตัวไม่เท่ากับ 0 สำหรับเมทริกซ์ อาจไม่เป็นเช่นนั้น กล่าวคือ ผลคูณของเมทริกซ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ 2 ตัวอาจกลายเป็นเมทริกซ์ศูนย์ได้

ตัวอย่างเช่น, ถ้า , ที่

.

แนวคิดของปัจจัยกำหนด

ให้เมทริกซ์ลำดับที่สองได้รับ - เมทริกซ์จัตุรัสประกอบด้วยสองแถวและสองคอลัมน์ .

ปัจจัยกำหนดลำดับที่สองซึ่งสอดคล้องกับเมทริกซ์นี้ คือจำนวนที่ได้รับดังนี้ 11 ถึง 22 – 12 ถึง 21.

ดีเทอร์มิแนนต์จะระบุด้วยสัญลักษณ์ .

ดังนั้น เพื่อที่จะหาดีเทอร์มีแนนต์ลำดับที่สอง คุณต้องลบผลคูณขององค์ประกอบตามเส้นทแยงมุมที่สองออกจากผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก

ตัวอย่าง.คำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่สอง

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิจารณาเมทริกซ์ลำดับที่สามและดีเทอร์มิแนนต์ที่เกี่ยวข้องได้

ปัจจัยกำหนดลำดับที่สามซึ่งสอดคล้องกับเมทริกซ์จตุรัสลำดับที่สามที่กำหนด คือตัวเลขที่แสดงและได้รับดังนี้

.

ดังนั้น สูตรนี้จึงให้ส่วนขยายของดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สามในแง่ขององค์ประกอบของแถวแรก 11, 12, 13และลดการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สามเป็นการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สอง

ตัวอย่าง.คำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่สาม

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถแนะนำแนวคิดเกี่ยวกับปัจจัยกำหนดที่สี่ ห้า ฯลฯ ได้ คำสั่ง ลดลำดับลงโดยขยายเข้าไปในองค์ประกอบของแถวที่ 1 โดยมีเครื่องหมาย “+” และ “–” ของคำศัพท์สลับกัน

ดังนั้น ไม่เหมือนกับเมทริกซ์ซึ่งเป็นตารางตัวเลข ดีเทอร์มิแนนต์คือตัวเลขที่กำหนดให้กับเมทริกซ์ในลักษณะใดลักษณะหนึ่ง

จุดในอวกาศสินค้า รถบ้านให้เวกเตอร์อีกตัวหนึ่งที่กำหนดตำแหน่งของจุดหลังการหมุน ถ้า โวลต์เป็นเวกเตอร์แถว สามารถใช้การแปลงแบบเดียวกันได้ วีอาร์ที, ที่ไหน ร T - ย้ายไปที่ รเมทริกซ์

YouTube สารานุกรม

1 / 5

C# - คอนโซล - โอลิมปิก - เกลียวสี่เหลี่ยม

เมทริกซ์: ความหมายและแนวคิดพื้นฐาน

จะหาความแข็งแกร่งและแรงบันดาลใจได้ที่ไหน การชาร์จเมทริกซ์ 4 ตารางวา

ผลรวมและผลต่างของเมทริกซ์ การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข

เมทริกซ์ทรานสโพส / เมทริกซ์ทรานสโพส

คำบรรยาย

เส้นทแยงมุมหลัก

องค์ประกอบ ก ครั้งที่สอง (ฉัน = 1, ..., n) สร้างเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์จตุรัส องค์ประกอบเหล่านี้วางอยู่บนเส้นตรงในจินตนาการจากด้านซ้าย มุมบนที่มุมขวาล่างของเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่น เส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์ 4x4 ในรูปประกอบด้วยองค์ประกอบต่างๆ ก 11 = 9, ก 22 = 11, ก 33 = 4, ก 44 = 10.

เส้นทแยงมุมของเมทริกซ์จตุรัสที่ผ่านมุมซ้ายล่างและมุมขวาบนเรียกว่า ด้านข้าง.

ชนิดพิเศษ

ชื่อ	ตัวอย่างด้วย n = 3
เมทริกซ์แนวทแยง	[ a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\0&a_(22)&0\\0&0&a_(33)\end(bmatrix)))
เมทริกซ์ สามเหลี่ยม ตอนล่าง	[ a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\a_(21)&a_(22)&0\\a_(31)&a_( 32)&a_(33)\end(บีเมทริกซ์)))
เมทริกซ์ด้านบน สามเหลี่ยม	[ a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&a_(12)&a_(13)\\0&a_(22)&a_(23)\\ 0&0&a_(33)\end(บีเมทริกซ์)))

เมทริกซ์แนวทแยงและสามเหลี่ยม

หากองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่นอกเส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ กเรียกว่าแนวทแยง หากองค์ประกอบทั้งหมดด้านบน (ด้านล่าง) เส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ กเรียกว่าเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง (บน)

เมทริกซ์เอกลักษณ์

ถาม(x) = xต ขวาน

ยอมรับเท่านั้น ค่าบวก(ตามลำดับ ค่าลบหรือทั้งสองอย่าง) ถ้า รูปแบบกำลังสองรับเฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบ (ตามลำดับเฉพาะที่ไม่ใช่บวก) เมทริกซ์สมมาตรเรียกว่า semidefinite เชิงบวก (ตามลำดับลบ semidefinite) เมทริกซ์จะไม่แน่นอนถ้ามันไม่เป็นกึ่งแน่นอนทั้งเชิงบวกและเชิงลบ

เมทริกซ์สมมาตรนั้นเป็นค่าบวกที่แน่นอนถ้าหากทั้งหมดนั้น ค่าลักษณะเฉพาะเป็นบวก ตารางทางขวาแสดงกรณีที่เป็นไปได้สองกรณีสำหรับเมทริกซ์ขนาด 2x2

หากเราใช้เวกเตอร์สองตัวที่แตกต่างกัน เราจะได้รูปแบบไบลิเนียร์ที่เกี่ยวข้อง ก:

บี ก (x, ย) = xต อ๋อ.

เมทริกซ์มุมฉาก

เมทริกซ์มุมฉากคือเมทริกซ์จตุรัสที่มีองค์ประกอบจริงซึ่งมีคอลัมน์และแถวเป็นเวกเตอร์หน่วยมุมฉาก (เช่น ออร์โธนอร์มอล) คุณยังสามารถกำหนดเมทริกซ์มุมฉากให้เป็นเมทริกซ์ที่มีค่าผกผันเท่ากับทรานสโพสได้:

A T = A − 1 , (\displaystyle A^(\mathrm (T) )=A^(-1),)

มันมาจากไหน

A T A = A A T = E (\displaystyle A^(T)A=AA^(T)=E),

เมทริกซ์มุมฉาก กย้อนกลับได้เสมอ ( ก −1 = ก T) รวม ( ก −1 = ก*) และปกติ ( ก*ก = เอเอ- ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ออร์โธนอร์มอลใดๆ จะเป็น +1 หรือ −1 ในการทำแผนที่เชิงเส้น เมทริกซ์ออร์โธนอร์มอลที่มีดีเทอร์มีแนนต์ +1 จะเป็นการหมุนอย่างง่าย ในขณะที่เมทริกซ์ออร์โธนอร์มอลที่มีดีเทอร์มีแนนต์ −1 จะเป็นภาพสะท้อนอย่างง่ายหรือเป็นองค์ประกอบของการสะท้อนและการหมุน

การดำเนินงาน

ติดตาม

ปัจจัยกำหนดเดต( ก) หรือ | ก- เมทริกซ์จตุรัส กคือตัวเลขที่กำหนดคุณสมบัติบางอย่างของเมทริกซ์ เมทริกซ์สามารถกลับด้านได้ก็ต่อเมื่อปัจจัยดีเทอร์มิแนนต์ของมันไม่มีค่าเป็นศูนย์