สิ่งที่เรียกว่าคำตอบของสมการเชิงเส้น จะแก้สมการลูกบาศก์ได้อย่างไร? หลักการแก้สมการเชิงเส้น

เมื่อแก้สมการเชิงเส้น เราพยายามหารากซึ่งก็คือค่าของตัวแปรที่จะทำให้สมการมีความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

เพื่อค้นหารากของสมการที่คุณต้องการ การแปลงที่สมมูลกันจะนำสมการที่กำหนดให้มาสู่รูปแบบ

\(x=[จำนวน]\)

ตัวเลขนี้จะเป็นราก

นั่นคือ เราแปลงสมการ ทำให้แต่ละขั้นตอนง่ายขึ้น จนกว่าเราจะลดสมการดั้งเดิมโดยสมบูรณ์ "x = ตัวเลข" โดยที่รากชัดเจน ที่นิยมใช้ในการแก้ สมการเชิงเส้นเป็นการแปลงต่อไปนี้:

ตัวอย่างเช่น: เพิ่ม \(5\) ทั้งสองข้างของสมการ \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

โปรดทราบว่าเราสามารถได้ผลลัพธ์ที่เหมือนกันเร็วขึ้น เพียงแค่เขียนห้าที่อีกด้านหนึ่งของสมการและเปลี่ยนเครื่องหมายในกระบวนการ ที่จริงแล้วนี่คือวิธีการที่โรงเรียน "โอนผ่านเท่ากับโดยเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม"

2. การคูณหรือหารทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนหรือนิพจน์เดียวกัน

ตัวอย่างเช่น: หารสมการ \(-2x=8\) ด้วยลบสอง

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

โดยปกติ ขั้นตอนนี้จะถูกดำเนินการที่ส่วนท้ายสุด เมื่อสมการถูกลดขนาดให้อยู่ในรูป \(ax=b\) แล้ว และเราหารด้วย \(a\) เพื่อลบมันออกจากด้านซ้าย

3. การใช้คุณสมบัติและกฎของคณิตศาสตร์: การเปิดวงเล็บ การลดขนาด การลดเศษส่วน ฯลฯ

เพิ่ม \(2x\) ทางซ้ายและขวา

ลบ \(24\) จากทั้งสองข้างของสมการ

อีกครั้ง เรานำเสนอเงื่อนไขที่เหมือนกัน

ตอนนี้เราหารสมการด้วย \ (-3 \) โดยนำหน้า x ทางด้านซ้ายออก

ตอบ : \(7\)

พบคำตอบแล้ว อย่างไรก็ตาม ลองตรวจสอบกันดู หากเลขเจ็ดเป็นรากจริงๆ เมื่อแทน x ในสมการเดิม จะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง - ตัวเลขเดียวกันซ้ายและขวา. เราพยายาม.

การตรวจสอบ:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

เห็นด้วย ซึ่งหมายความว่าเจ็ดเป็นรากของสมการเชิงเส้นเดิม

อย่าขี้เกียจที่จะตรวจสอบคำตอบที่คุณพบโดยการแทนที่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากคุณกำลังแก้สมการในข้อสอบหรือข้อสอบ

คำถามยังคงอยู่ - จะทราบได้อย่างไรว่าจะทำอย่างไรกับสมการในขั้นตอนต่อไป จะแปลงได้อย่างไร? แบ่งปันบางอย่าง? หรือลบ? แล้วจะลบอะไรกันแน่? สิ่งที่จะแบ่งปัน?

คำตอบนั้นง่าย:

เป้าหมายของคุณคือทำให้สมการอยู่ในรูปแบบ \(x=[number]\) นั่นคือ ทางซ้าย x ไม่มีค่าสัมประสิทธิ์และตัวเลข และทางขวา - มีเพียงตัวเลขที่ไม่มีตัวแปร เพื่อดูว่ามีอะไรหยุดคุณและ ทำในสิ่งที่ตรงกันข้ามกับสิ่งที่องค์ประกอบรบกวนทำ

เพื่อให้เข้าใจได้ดีขึ้น เรามาหาคำตอบทีละขั้นตอนของสมการเชิงเส้น \(x+3=13-4x\)

ลองคิดดูว่า สมการที่กำหนดแตกต่างจาก \(x=[number]\) หรือไม่ อะไรหยุดเรา? มีอะไรผิดปกติ?

อย่างแรก เลขสามรบกวนกัน เนื่องจากควรจะมีเพียง X ตัวเดียวทางด้านซ้าย โดยไม่มีตัวเลข แล้วทั้งสามคนจะทำอย่างไร? เพิ่มถึง xx ดังนั้นเพื่อลบออก - ลบทั้งสามคนเหมือนกัน แต่ถ้าเราลบสามเท่าจากทางซ้ายเราต้องลบออกจากทางขวาเพื่อไม่ให้ละเมิดความเท่าเทียมกัน

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

ดี. ตอนนี้อะไรหยุดคุณ? \(4x\) ทางด้านขวา เนื่องจากควรมีเฉพาะตัวเลขเท่านั้น \(4x\) ลบออก- ลบ การเพิ่ม.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

ตอนนี้เราให้เงื่อนไขที่คล้ายกันทางซ้ายและขวา

ใกล้จะพร้อมแล้ว ยังคงต้องลบห้าตัวทางด้านซ้าย เธอกำลังทำอะไรอยู่"? คูณบน x ดังนั้นเราจึงลบออก แผนก.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

คำตอบเสร็จสมบูรณ์ รากของสมการคือสอง คุณสามารถตรวจสอบได้โดยการเปลี่ยนตัว

สังเกตว่า ส่วนใหญ่มักมีรากเดียวในสมการเชิงเส้น. อย่างไรก็ตาม อาจมีกรณีพิเศษเกิดขึ้นสองกรณี

กรณีพิเศษ 1 - ไม่มีรากในสมการเชิงเส้น

ตัวอย่าง . แก้สมการ \(3x-1=2(x+3)+x\)

วิธีการแก้ :

ตอบ : ไม่มีราก

ในความเป็นจริง ข้อเท็จจริงที่ว่าเราจะได้รับผลลัพธ์ดังกล่าวมีให้เห็นก่อนหน้านี้ แม้ว่าเราจะได้ \(3x-1=3x+6\) ลองคิดดูว่า \(3x\) จะเท่ากันได้อย่างไร โดยที่ \(1\) ถูกลบออก และ \(3x\) ซึ่งถูกบวกด้วย \(6\) แน่นอน ไม่มีทาง เพราะพวกเขาก็ทำแบบเดียวกัน การกระทำที่แตกต่างกัน! เป็นที่ชัดเจนว่าผลลัพธ์จะแตกต่างกันไป

กรณีพิเศษ 2 - สมการเชิงเส้นมีจำนวนรากไม่สิ้นสุด

ตัวอย่าง . แก้สมการเชิงเส้น \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

วิธีการแก้ :

ตอบ : เบอร์อะไรก็ได้

ยังไงก็ตาม สิ่งนี้สามารถสังเกตเห็นได้ตั้งแต่เนิ่นๆ ที่เวที: \(8x+12=8x+12\) แท้จริงแล้วซ้ายและขวาเป็นนิพจน์เดียวกัน อะไรก็ตามที่คุณแทน x ก็จะมีเลขเท่ากันทั้งตรงนั้นและตรงนั้น

สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อนมากขึ้น

สมการดั้งเดิมไม่ได้ดูเหมือนสมการเชิงเส้นในทันทีเสมอไป บางครั้งก็ "ปลอมแปลง" เหมือนสมการอื่นๆ มากกว่านั้น สมการที่ซับซ้อน. อย่างไรก็ตามในกระบวนการของการเปลี่ยนแปลง การกำบังจะลดลง

ตัวอย่าง . หารากของสมการ \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

วิธีการแก้ :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		ดูเหมือนว่าจะมี x กำลังสองอยู่ที่นี่ - นี่ไม่ใช่สมการเชิงเส้น! แต่อย่าเร่งรีบ มาสมัครกันเถอะ
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		เหตุใดผลลัพธ์ของการขยาย \((x-4)^(2)\) จึงอยู่ในวงเล็บ แต่ผลลัพธ์ของ \((3+x)^(2)\) ไม่ใช่ เนื่องจากมีเครื่องหมายลบอยู่หน้าช่องสี่เหลี่ยมแรก ซึ่งจะเปลี่ยนเครื่องหมายทั้งหมด และเพื่อไม่ให้ลืมเราจะนำผลลัพธ์มาไว้ในวงเล็บซึ่งตอนนี้เราเปิดแล้ว
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		เราให้เงื่อนไขเหมือนกัน
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		อีกครั้งนี่คือสิ่งที่คล้ายกัน
		แบบนี้. ปรากฎว่าสมการดั้งเดิมค่อนข้างเป็นเส้นตรง และ x กำลังสองก็ไม่มีอะไรมากไปกว่าหน้าจอที่จะทำให้เราสับสน :) เราแก้ปัญหาโดยการหารสมการด้วย \(2\) และเราได้คำตอบ

ตอบ : \(x=5\)

ตัวอย่าง . แก้สมการเชิงเส้น \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)( 6 )\)

วิธีการแก้ :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		สมการดูไม่เหมือนเส้นตรง เศษส่วนบางส่วน ... อย่างไรก็ตาม ลองกำจัดตัวส่วนออกโดยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย ตัวส่วนร่วมทั้งหก
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\)\(\cdot 6\)		วงเล็บเปิดทางด้านซ้าย
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		ตอนนี้เราลดส่วน
\(3(x+2)-2=9+7x\)		ตอนนี้ดูเหมือนเส้นตรงธรรมดา! มาแก้กัน
		โดยการโอนผ่านเท่ากับ เราจะรวบรวม x ทางด้านขวา และตัวเลขทางด้านซ้าย
		หารด้วย \ (-4 \) ส่วนขวาและซ้าย เราได้คำตอบ

ตอบ : \(x=-1.25\)

สมการเชิงเส้นเป็นสมการเชิงพีชคณิตที่มีดีกรีเต็มของพหุนามเท่ากับหนึ่ง การแก้สมการเชิงเส้น - ส่วน หลักสูตรของโรงเรียนและไม่ใช่เรื่องยากที่สุด อย่างไรก็ตาม บางคนยังคงประสบปัญหาในเนื้อเรื่องของหัวข้อนี้ เราหวังว่าจะได้อ่าน วัสดุที่กำหนดความยากลำบากทั้งหมดสำหรับคุณจะยังคงเป็นอดีต ลองคิดดูสิ วิธีแก้สมการเชิงเส้น

แบบฟอร์มทั่วไป

สมการเชิงเส้นแสดงเป็น:

• ax + b = 0 โดยที่ a และ b เป็นจำนวนใดๆ

แม้ว่า a และ b จะเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้ แต่ค่าของพวกมันจะส่งผลต่อจำนวนคำตอบของสมการ มีวิธีแก้ปัญหากรณีพิเศษหลายประการ:

• ถ้า a=b=0 สมการจะมี ชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดการตัดสินใจ;
• ถ้า a=0, b≠0 สมการจะไม่มีคำตอบ
• ถ้า a≠0, b=0 สมการจะมีคำตอบ: x = 0

ในกรณีที่ทั้งสองหมายเลขไม่มี ค่า Nullต้องแก้สมการเพื่อให้ได้นิพจน์สุดท้ายสำหรับตัวแปร

ตัดสินใจอย่างไร?

การแก้สมการเชิงเส้นหมายถึงการหาว่าตัวแปรใดมีค่าเท่ากับอะไร ทำอย่างไร? ใช่ มันง่ายมาก - ใช้การดำเนินการทางพีชคณิตอย่างง่ายและทำตามกฎของการถ่ายโอน หากสมการปรากฏต่อหน้าคุณในรูปแบบทั่วไป แสดงว่าคุณโชคดี สิ่งที่คุณต้องทำคือ:

1. เลื่อน b ไปทางด้านขวาของสมการโดยไม่ลืมที่จะเปลี่ยนเครื่องหมาย (กฎการโอน!) ดังนั้น จากนิพจน์ของแบบฟอร์ม ax + b = 0 ควรได้รับนิพจน์ของแบบฟอร์ม ax = -b
2. ใช้กฎ: เพื่อค้นหาหนึ่งในปัจจัย (x - ในกรณีของเรา) คุณต้องแบ่งผลิตภัณฑ์ (-b ในกรณีของเรา) ด้วยปัจจัยอื่น (a - ในกรณีของเรา) ดังนั้นควรได้รับนิพจน์ของแบบฟอร์ม: x \u003d -b / a

นั่นคือทั้งหมด - พบวิธีแก้ปัญหา!

ทีนี้มาดูตัวอย่างเฉพาะ:

1. 2x + 4 = 0 - โอน b เท่ากับ กรณีนี้ 4 ด้านขวา
2. 2x = -4 - หาร b ด้วย a (อย่าลืมเครื่องหมายลบ)
3. x=-4/2=-2

นั่นคือทั้งหมด! วิธีแก้ปัญหาของเรา: x = -2

อย่างที่คุณเห็น การหาคำตอบของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียวนั้นค่อนข้างง่าย แต่ทุกอย่างจะง่ายมากหากเราโชคดีที่พบสมการในรูปแบบทั่วไป ในกรณีส่วนใหญ่ ก่อนที่จะแก้สมการในสองขั้นตอนที่อธิบายไว้ข้างต้น จำเป็นต้องนำนิพจน์ที่มีอยู่ไปอยู่ในรูปทั่วไปด้วย อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่งานที่น่ากลัวเช่นกัน ลองดูกรณีพิเศษพร้อมตัวอย่าง

การแก้ปัญหากรณีพิเศษ

อันดับแรก มาดูกรณีที่เราอธิบายไว้ในตอนต้นของบทความและอธิบายว่าการมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนไม่สิ้นสุดและไม่มีวิธีแก้ปัญหาหมายความว่าอย่างไร

• ถ้า a=b=0 สมการจะมีลักษณะดังนี้: 0x + 0 = 0 ทำตามขั้นตอนแรก เราจะได้: 0x = 0 คุณอุทานว่าไร้สาระนี่หมายความว่าอย่างไร! ท้ายที่สุด ไม่ว่าคุณจะคูณเลขใดด้วยศูนย์ คุณก็จะได้ 0 เสมอ! ถูกต้อง! ดังนั้นพวกเขาจึงบอกว่าสมการมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด - ไม่ว่าคุณจะใช้เลขใด ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง 0x \u003d 0 หรือ 0 \u003d 0
• ถ้า a=0, b≠0 สมการจะมีลักษณะดังนี้: 0x + 3 = 0 เราทำขั้นตอนแรก เราจะได้ 0x = -3 ไร้สาระอีกแล้ว! เห็นได้ชัดว่าความเท่าเทียมกันนี้จะไม่มีวันเป็นจริง! นั่นคือเหตุผลที่พวกเขากล่าวว่าสมการไม่มีคำตอบ
• ถ้า a≠0, b=0 สมการจะมีลักษณะดังนี้: 3x + 0 = 0 ทำตามขั้นตอนแรก เราจะได้: 3x = 0 วิธีแก้ปัญหาคืออะไร? ง่ายมาก x = 0

ความยากลำบากในการแปล

กรณีเฉพาะที่อธิบายไว้ไม่ใช่ทั้งหมดที่สมการเชิงเส้นสามารถทำให้เราประหลาดใจได้ บางครั้งสมการโดยทั่วไปยากที่จะระบุได้อย่างรวดเร็วก่อน ลองมาตัวอย่าง:

• 12x - 14 = 2x + 6

นี่เป็นสมการเชิงเส้นหรือไม่? แต่ศูนย์ทางด้านขวาล่ะ? เราจะไม่รีบสรุป เราจะลงมือทำ - เราจะโอนส่วนประกอบทั้งหมดของสมการของเราไปให้ ด้านซ้าย. เราได้รับ:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

ตอนนี้ลบไลค์ออกจากไลค์ เราจะได้:

• 10x - 20 = 0

ได้เรียนรู้? สมการเชิงเส้นมากที่สุดเท่าที่เคยมีมา! วิธีแก้ปัญหา: x = 20/10 = 2

จะเป็นอย่างไรถ้าเรามีตัวอย่างนี้:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

ใช่ นี่เป็นสมการเชิงเส้นด้วย เพียงแต่ต้องทำการแปลงเพิ่มเติมเท่านั้น มาขยายวงเล็บกันก่อน:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - ตอนนี้ทำการถ่ายโอน:
4. 25x - 4 = 0 - ยังคงต้องหาทางออกตามรูปแบบที่ทราบแล้ว:
5. 25x=4
6. x = 4/25 = 0.16

อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างได้รับการแก้ไขสิ่งสำคัญคือไม่ต้องกังวล แต่ต้องลงมือทำ โปรดจำไว้ว่า ถ้าสมการของคุณมีเฉพาะตัวแปรของดีกรีแรกและตัวเลข นี่คือสมการเชิงเส้น ซึ่งไม่ว่าในตอนแรกจะดูเป็นอย่างไร ก็สามารถลดรูปลงเป็นรูปแบบทั่วไปและแก้ไขได้ เราหวังว่าทุกอย่างจะได้ผลสำหรับคุณ! ขอให้โชคดี!

• การเท่ากันกับตัวแปรเรียกว่าสมการ
• การแก้สมการหมายถึงการหาเซตของรากของมัน สมการสามารถมีรากหนึ่ง สอง หลายราก หรือไม่มีเลยก็ได้
• แต่ละค่าของตัวแปรที่สมการที่กำหนดเปลี่ยนเป็นความเท่าเทียมกันจริงเรียกว่ารากของสมการ
• สมการที่มีรากเดียวกันเรียกว่าสมการสมมูล
• เทอมใดๆ ของสมการสามารถย้ายจากส่วนหนึ่งของการเท่ากันไปยังอีกส่วนหนึ่งได้ ในขณะที่เปลี่ยนเครื่องหมายของเทอมเป็นตรงกันข้าม
• ถ้าทั้งสองข้างของสมการคูณหรือหารด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์เดียวกัน จะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการนี้

ตัวอย่าง. แก้สมการ

1. 1.5x+4 = 0.3x-2

1.5x-0.3x = -2-4. เรารวบรวมคำศัพท์ที่มีตัวแปรทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน และสมาชิกอิสระทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน มีการใช้คุณสมบัติต่อไปนี้:

1.2x = -6. เรานำเงื่อนไขที่คล้ายกันตามกฎ:

x = -6 : 1.2. ความเท่าเทียมกันทั้งสองส่วนถูกหารด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรตั้งแต่

x = -5. หารตามกฎการหารเศษส่วนทศนิยมด้วย ทศนิยม:

ในการหารตัวเลขด้วยทศนิยม คุณต้องย้ายเครื่องหมายจุลภาคในตัวหารและตัวหารไปทางขวาให้มากที่สุดเท่าที่จะอยู่หลังจุดทศนิยมในตัวหาร จากนั้นหารด้วยจำนวนธรรมชาติ:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

ตอบ: 5.

2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).

6x-27 = 4x-16. เราเปิดวงเล็บโดยใช้กฎการกระจายของการคูณเกี่ยวกับการลบ: (ก-ข) ∙ ค = ก ∙ ค-ข ∙ ค.

6x-4x = -16+27. เรารวบรวมคำศัพท์ที่มีตัวแปรทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน และสมาชิกอิสระทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน มีการใช้คุณสมบัติต่อไปนี้: เทอมใดๆ ของสมการสามารถย้ายจากส่วนหนึ่งของการเท่ากันไปยังอีกส่วนหนึ่งได้ ในขณะที่เปลี่ยนเครื่องหมายของเทอมเป็นตรงกันข้าม

2x \u003d 11. พวกเขานำเงื่อนไขที่เหมือนกันตามกฎ: หากต้องการนำคำที่คล้ายกัน คุณต้องบวกค่าสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนที่เป็นตัวอักษรทั่วไป (เช่น เพิ่มส่วนที่เป็นตัวอักษรทั่วไปในผลลัพธ์)

x = 11 : 2. ความเท่าเทียมกันทั้งสองส่วนถูกหารด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรตั้งแต่ ถ้าทั้งสองส่วนของสมการคูณหรือหารด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์เดียวกัน จะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการนี้

ตอบ: 5,5.

3. 7x-(3+2x)=x-9

7x-3-2x = x-9. เราเปิดวงเล็บตามกฎสำหรับการเปิดวงเล็บซึ่งนำหน้าด้วยเครื่องหมาย "-": หากมีเครื่องหมาย "-" อยู่หน้าวงเล็บ ให้ถอดวงเล็บเครื่องหมาย "-" ออก และเขียนเงื่อนไขในวงเล็บด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม

7x-2x-x \u003d -9 + 3 เรารวบรวมคำศัพท์ที่มีตัวแปรทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน และสมาชิกอิสระทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน มีการใช้คุณสมบัติต่อไปนี้: เทอมใดๆ ของสมการสามารถย้ายจากส่วนหนึ่งของการเท่ากันไปยังอีกส่วนหนึ่งได้ ในขณะที่เปลี่ยนเครื่องหมายของเทอมเป็นตรงกันข้าม

4x = -6. เรานำเงื่อนไขที่คล้ายกันตามกฎ: หากต้องการนำคำที่คล้ายกัน คุณต้องบวกค่าสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนที่เป็นตัวอักษรทั่วไป (เช่น เพิ่มส่วนที่เป็นตัวอักษรทั่วไปในผลลัพธ์)

x = -6 : 4. ความเท่าเทียมกันทั้งสองส่วนถูกหารด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรตั้งแต่ ถ้าทั้งสองส่วนของสมการคูณหรือหารด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์เดียวกัน จะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการนี้

ตอบ: -1,5.

3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 - ตัวหารร่วมที่ต่ำที่สุดสำหรับตัวส่วนของเศษส่วนเหล่านี้

3x-15 = 84-8x+44 เราเปิดวงเล็บโดยใช้กฎการกระจายของการคูณเกี่ยวกับการลบ: ในการคูณผลต่างของตัวเลขสองจำนวนด้วยจำนวนที่สาม คุณสามารถคูณจำนวนที่แยกจากกันและลบแยกกันด้วยจำนวนที่สาม แล้วลบผลลัพธ์ที่สองออกจากผลลัพธ์แรก เช่น(ก-ข) ∙ ค = ก ∙ ค-ข ∙ ค.

3x+8x = 84+44+15 เรารวบรวมคำศัพท์ที่มีตัวแปรทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน และสมาชิกอิสระทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน มีการใช้คุณสมบัติต่อไปนี้: เทอมใดๆ ของสมการสามารถย้ายจากส่วนหนึ่งของการเท่ากันไปยังอีกส่วนหนึ่งได้ ในขณะที่เปลี่ยนเครื่องหมายของเทอมเป็นตรงกันข้าม

ในบทความนี้เราจะพิจารณาหลักการของการแก้สมการเช่นสมการเชิงเส้น ให้เราเขียนคำจำกัดความของสมการเหล่านี้ เซต แบบฟอร์มทั่วไป. เราจะวิเคราะห์เงื่อนไขทั้งหมดเพื่อค้นหาคำตอบของสมการเชิงเส้นโดยใช้ตัวอย่างที่ใช้งานได้จริงเหนือสิ่งอื่นใด

โปรดทราบว่าเนื้อหาด้านล่างนี้มีข้อมูลเกี่ยวกับสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียว สมการเชิงเส้นที่มีสองตัวแปรจะพิจารณาในบทความแยกต่างหาก

Yandex.RTB R-A-339285-1

สมการเชิงเส้นคืออะไร

คำจำกัดความ 1

สมการเชิงเส้นเป็นสมการที่เขียนดังนี้
ก x = ข, ที่ไหน x- ตัวแปร, กและ ข- ตัวเลขบางอย่าง

สูตรนี้ใช้ในตำราพีชคณิต (เกรด 7) โดย Yu.N. Makarychev

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างของสมการเชิงเส้นจะเป็น:

3x=11(สมการตัวแปรเดียว xที่ เอ = 5และ ข = 10);

− 3 , 1 ย = 0 (สมการเชิงเส้นตัวแปร ย, ที่ไหน ก \u003d - 3, 1และ ข = 0);

x = -4และ - x = 5 , 37(สมการเชิงเส้น โดยที่จำนวน กเขียนอย่างชัดเจนและเท่ากับ 1 และ - 1 ตามลำดับ สำหรับสมการแรก ข = - 4 ;สำหรับวินาที - ข = 5, 37) เป็นต้น

ไม่แยแส สื่อการฝึกอบรมอาจเกิดขึ้นได้ คำจำกัดความที่แตกต่างกัน. ตัวอย่างเช่น Vilenkin N.Ya. เชิงเส้นยังรวมถึงสมการเหล่านั้นที่สามารถแปลงเป็นรูปแบบได้ ก x = ขโดยการโอนเงื่อนไขจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งด้วยการเปลี่ยนเครื่องหมายและการลด คำที่คล้ายกัน. หากเราตีความตามสมการนี้ 5 x = 2 x + 6 –เชิงเส้นอีกด้วย

และนี่คือตำราพีชคณิต (เกรด 7) Mordkovich A.G. ระบุคำอธิบายต่อไปนี้:

คำจำกัดความ 2

สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร x หนึ่งตัวเป็นสมการของรูปแบบ ก x + ข = 0, ที่ไหน กและ ขเป็นตัวเลขที่เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของสมการเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างของสมการเชิงเส้นประเภทนี้สามารถ:

3 x - 7 = 0 (a = 3 , ข = - 7) ;

1 , 8 y + 7 , 9 = 0 (a = 1 , 8 , b = 7 , 9) .

แต่ยังมีตัวอย่างสมการเชิงเส้นที่เราได้ใช้ไปแล้วข้างต้น: ก x = ข, ตัวอย่างเช่น, 6 x = 35.

เราจะเห็นด้วยทันทีว่าในบทความนี้ภายใต้สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียว เราจะเข้าใจสมการการเขียน ก x + ข = 0, ที่ไหน x- ตัวแปร; a , b คือสัมประสิทธิ์ เราเห็นว่าสมการเชิงเส้นรูปแบบนี้มีความสมเหตุสมผลมากที่สุด เนื่องจากสมการเชิงเส้นคือ สมการพีชคณิตระดับแรก และสมการอื่นๆ ข้างต้น และสมการที่ให้มา การแปลงที่เทียบเท่าในมุมมอง ก x + ข = 0เรากำหนดให้เป็นสมการลดเป็นสมการเชิงเส้น

ด้วยวิธีนี้ สมการ 5 x + 8 = 0 จะเป็นเส้นตรง และ 5 x = −8- สมการที่ลดลงเป็นเชิงเส้น

หลักการแก้สมการเชิงเส้น

พิจารณาวิธีพิจารณาว่าสมการเชิงเส้นที่กำหนดจะมีรากหรือไม่ ถ้ามี จะมีจำนวนเท่าใด และจะกำหนดได้อย่างไร

นิยาม 3

ข้อเท็จจริงของการมีอยู่ของรากของสมการเชิงเส้นถูกกำหนดโดยค่าสัมประสิทธิ์ กและ ข.ลองเขียนเงื่อนไขเหล่านี้:

• ที่ ≠ 0สมการเชิงเส้นมีรากเดียว x = - b a ;
• ที่ เอ = 0และ ข ≠ 0สมการเชิงเส้นไม่มีราก
• ที่ เอ = 0และ ข = 0สมการเชิงเส้นมีรากมากมายมหาศาล ในความเป็นจริง ในกรณีนี้ ตัวเลขใดๆ สามารถกลายเป็นรากของสมการเชิงเส้นได้

มาอธิบายกัน เรารู้ว่าในกระบวนการแก้สมการ เป็นไปได้ที่จะแปลงสมการที่กำหนดให้เป็นสมการที่สมมูลกัน ซึ่งหมายความว่าสมการนั้นมีรากเหมือนกับสมการเดิม หรือไม่มีรากด้วย เราสามารถทำการแปลงที่เทียบเท่าได้ดังต่อไปนี้:

• ย้ายคำศัพท์จากส่วนหนึ่งไปอีกส่วนหนึ่งเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม
• คูณหรือหารทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์เดียวกัน

ดังนั้นเราจึงแปลงสมการเชิงเส้น ก x + ข = 0, การย้ายคำศัพท์ ขจากซ้ายไป ด้านขวาพร้อมเปลี่ยนป้าย. เราได้รับ: ก · x = - ข .

ดังนั้นเราจึงหารทั้งสองส่วนของสมการด้วยตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ ก,ส่งผลให้ความเท่าเทียมกันของรูปแบบ x = - b a . นั่นคือเมื่อ ≠ 0สมการเดิม ก x + ข = 0เทียบเท่ากับความเท่าเทียมกัน x = - b a ซึ่งรูท - b a นั้นชัดเจน

โดยความขัดแย้ง มันเป็นไปได้ที่จะแสดงให้เห็นว่ารากที่พบเป็นเพียงหนึ่งเดียว เรากำหนดตำแหน่งของรูทที่พบ - b a เป็น x 1 .สมมติว่ามีอีกหนึ่งรากของสมการเชิงเส้นที่มีสัญกรณ์ x 2 .และแน่นอนว่า: x 2 ≠ x 1,และนี่ก็ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความ จำนวนเท่ากันผ่านความแตกต่างเทียบเท่ากับเงื่อนไข x 1 - x 2 ≠ 0จากมุมมองข้างต้น เราสามารถสร้างความเท่าเทียมกันต่อไปนี้โดยการแทนที่ราก:
ก x 1 + ข = 0และ a · x 2 + b = 0 .
คุณสมบัติของความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขทำให้สามารถทำการลบส่วนของความเท่าเทียมกันเป็นระยะ:

ก x 1 + ข - (ก x 2 + ข) = 0 - 0, จากที่นี่: ก (x 1 - x 2) + (ข - ข) = 0และอื่น ๆ ก (x 1 - x 2) = 0 .ความเท่าเทียมกัน ก (x 1 − x 2) = 0เป็นเท็จ เนื่องจากได้กำหนดเงื่อนไขไว้ก่อนหน้านี้แล้ว ≠ 0และ x 1 - x 2 ≠ 0ความขัดแย้งที่ได้รับทำหน้าที่เป็นข้อพิสูจน์ว่า ณ ≠ 0สมการเชิงเส้น ก x + ข = 0มีรากเดียวเท่านั้น

ให้เรายืนยันเงื่อนไขอีกสองข้อที่มี เอ = 0 .

เมื่อไร เอ = 0สมการเชิงเส้น ก x + ข = 0จะเขียนเป็น 0 x + ข = 0. คุณสมบัติของการคูณจำนวนด้วยศูนย์ทำให้เรามีสิทธิ์ที่จะยืนยันว่าไม่ว่าจะใช้จำนวนใด xแทนที่มันเป็นความเท่าเทียมกัน 0 x + ข = 0, เราได้รับ b = 0 . ความเท่าเทียมกันใช้ได้กับ b = 0; ในกรณีอื่นๆ เมื่อ ข ≠ 0ความเท่าเทียมกันกลายเป็นโมฆะ

ดังนั้น เมื่อ เอ = 0และ b = 0 , จำนวนใดๆ สามารถเป็นรากของสมการเชิงเส้นได้ ก x + ข = 0เนื่องจากภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ การแทนที่แทน xจำนวนใด ๆ เราจะได้ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง 0 = 0 . เมื่อไร เอ = 0และ ข ≠ 0สมการเชิงเส้น ก x + ข = 0จะไม่มีรูตเลยเนื่องจากภายใต้เงื่อนไขที่ระบุจะแทนที่แทน xจำนวนใด ๆ เราได้ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง ข = 0.

เหตุผลทั้งหมดข้างต้นทำให้เรามีโอกาสเขียนอัลกอริทึมที่ทำให้สามารถหาคำตอบของสมการเชิงเส้นได้:

• ตามประเภทของบันทึกเรากำหนดค่าของสัมประสิทธิ์ กและ ขและวิเคราะห์พวกเขา
• ที่ เอ = 0และ ข = 0สมการจะมีรากมากมายนับไม่ถ้วน เช่น จำนวนใด ๆ จะกลายเป็นรากของสมการที่กำหนด
• ที่ เอ = 0และ ข ≠ 0
• ที่ กแตกต่างจากศูนย์ เราเริ่มค้นหารากเดียวของสมการเชิงเส้นดั้งเดิม:

1. ค่าสัมประสิทธิ์การถ่ายโอน ขทางด้านขวาโดยเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม นำสมการเชิงเส้นมาอยู่ในแบบฟอร์ม ก x = −b;
2. หารทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นด้วยจำนวน กซึ่งจะทำให้เราได้รากที่ต้องการของสมการที่กำหนด: x = - b a .

ที่จริงแล้ว ลำดับการกระทำที่อธิบายไว้คือคำตอบของคำถามว่าจะหาคำตอบของสมการเชิงเส้นได้อย่างไร

สุดท้าย เราชี้แจงสมการของแบบฟอร์มนั้น ก x = ขได้รับการแก้ไขโดยอัลกอริทึมที่คล้ายกันโดยมีความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือตัวเลข ขในรายการดังกล่าวได้ถูกย้ายไปแล้ว ส่วนที่ต้องการสมการและ ≠ 0คุณสามารถหารส่วนต่างๆ ของสมการด้วยตัวเลขได้ทันที ก.

ดังนั้น เพื่อหาคำตอบของสมการ ก x = ข,เราใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้:

• ที่ เอ = 0และ ข = 0สมการจะมีรากมากมายนับไม่ถ้วน เช่น จำนวนใด ๆ สามารถเป็นรากของมันได้
• ที่ เอ = 0และ ข ≠ 0สมการที่กำหนดจะไม่มีราก
• ที่ กไม่เท่ากับศูนย์ ทั้งสองข้างของสมการหารด้วยจำนวนลงตัว กซึ่งทำให้สามารถค้นหารูทเดียวที่เท่ากับได้ ข ก.

ตัวอย่างการแก้สมการเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ 3

จำเป็นต้องแก้สมการเชิงเส้น 0 x - 0 = 0.

วิธีการแก้

โดยการเขียนสมการที่กำหนด เราจะเห็นว่า เอ = 0และ ข = -0(หรือ ข = 0ซึ่งเหมือนกัน) ดังนั้นสมการที่กำหนดสามารถมีรากจำนวนมากหรือจำนวนเท่าใดก็ได้

ตอบ: x- หมายเลขใดก็ได้

ตัวอย่างที่ 4

จำเป็นต้องตรวจสอบว่าสมการนั้นมีรากหรือไม่ 0 x + 2, 7 = 0.

วิธีการแก้

จากบันทึก เราพิจารณาว่า a \u003d 0, b \u003d 2, 7 ดังนั้นสมการที่กำหนดจะไม่มีราก

ตอบ:สมการเชิงเส้นเดิมไม่มีราก

ตัวอย่างที่ 5

กำหนดสมการเชิงเส้น 0 , 3 x − 0 , 027 = 0จำเป็นต้องได้รับการแก้ไข

วิธีการแก้

โดยการเขียนสมการ เรากำหนดว่า a \u003d 0, 3; b = - 0 , 027 ซึ่งทำให้เราสามารถยืนยันได้ว่าสมการที่กำหนดนั้นมีรากเดียว

ตามอัลกอริทึม เราย้าย b ไปทางด้านขวาของสมการ เปลี่ยนเครื่องหมาย เราได้รับ: 0.3 x = 0.027.ต่อไป เราแบ่งทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นด้วย a \u003d 0, 3 จากนั้น: x \u003d 0, 027 0, 3

มาแบ่งทศนิยมกันเถอะ:

0.027 0.3 = 27300 = 3 9 3 100 = 9 100 = 0.09

ผลลัพธ์ที่ได้คือรากของสมการที่กำหนด

เขียนวิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ ดังนี้:

0, 3 x - 0, 027 = 0, 0, 3 x = 0, 027, x = 0, 027 0, 3, x = 0, 09.

ตอบ: x = 0 , 09 .

เพื่อความชัดเจน เรานำเสนอคำตอบของสมการของเรกคอร์ด ก x = ข.

ตัวอย่าง N

สมการที่ได้รับ: 1) 0 x = 0 ; 2) 0 x = − 9 ; 3) - 3 8 x = - 3 3 4 . มีความจำเป็นต้องแก้ปัญหาเหล่านี้

วิธีการแก้

ทั้งหมด สมการที่กำหนดพบกับบันทึก ก x = ข. ลองพิจารณาในทางกลับกัน

ในสมการ 0 x = 0 , a = 0 และ ข = 0ซึ่งหมายความว่า จำนวนใดๆ สามารถเป็นรากของสมการนี้ได้

ในสมการที่สอง 0 x = − 9: a = 0 และ b = − 9 ,ดังนั้นสมการนี้จะไม่มีราก

ตามรูปแบบของสมการสุดท้าย - 3 8 x = - 3 3 4 เราเขียนค่าสัมประสิทธิ์: a = - 3 8 , b = - 3 3 4 , เช่น สมการมีรากเดียว มาหาเขากันเถอะ ลองหารทั้งสองข้างของสมการด้วย a เราจะได้ผลลัพธ์: x = - 3 3 4 - 3 8 . ลดรูปเศษส่วนโดยใช้กฎการหาร ตัวเลขติดลบตามด้วยการแปล จำนวนผสมใน เศษส่วนร่วมและการหารเศษส่วนสามัญ:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 8 3 = 15 8 4 3 = 10

เขียนวิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ ดังนี้:

3 8 x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 , x = 10

ตอบ: 1) x- จำนวนใดๆ 2) สมการไม่มีราก 3) x = 10 .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเน้นข้อความนั้นแล้วกด Ctrl+Enter