อะไรคือข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของปริมาณที่วัดได้ ข้อผิดพลาดที่แน่นอนและสัมพันธ์กัน

ข้อผิดพลาดในการวัดแบ่งตาม ประเภทต่อไปนี้:

สัมบูรณ์และสัมพันธ์กัน

บวกและลบ

คงที่และเป็นสัดส่วน

หยาบ สุ่ม และเป็นระบบ

ความผิดพลาดอย่างแน่นอนผลการวัดเดี่ยว (A ย) ถูกกำหนดให้เป็นผลต่างของค่าต่อไปนี้:

ก ย = ยฉัน - ยคือ - ยฉัน -` ย.

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ ผลการวัดเดี่ยว (V ย) คำนวณเป็นอัตราส่วนของปริมาณต่อไปนี้:

จากสูตรนี้ ขนาดของข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ไม่เพียงแต่ขึ้นอยู่กับขนาดของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์เท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับค่าของปริมาณที่วัดด้วย หากค่าที่วัดได้ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ( ย) ข้อผิดพลาดในการวัดสัมพัทธ์สามารถลดลงได้โดยการลดข้อผิดพลาดสัมบูรณ์เท่านั้น (A ย- หากข้อผิดพลาดในการวัดสัมบูรณ์คงที่ สามารถใช้เทคนิคการเพิ่มค่าของปริมาณที่วัดได้เพื่อลดข้อผิดพลาดในการวัดสัมพัทธ์

ตัวอย่าง.สมมติว่าในร้านค้า เครื่องชั่งเชิงพาณิชย์มีข้อผิดพลาดสัมบูรณ์คงที่ในการวัดมวล: A m = 10 กรัม หากคุณชั่งน้ำหนักขนม 100 กรัม (m 1) บนเครื่องชั่งดังกล่าว แสดงว่าเกิดข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ในการวัดมวลของขนม จะเป็น:

.

เมื่อชั่งน้ำหนักขนม 500 กรัม (m2) บนตาชั่งเดียวกัน ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์จะน้อยลงห้าเท่า:

.

ดังนั้นหากคุณชั่งน้ำหนักขนม 100 กรัมห้าครั้ง เนื่องจากข้อผิดพลาดในการวัดมวล คุณจะไม่ได้รับผลิตภัณฑ์ทั้งหมด 50 กรัมจาก 500 กรัม เมื่อชั่งน้ำหนักมวลที่มากขึ้น (500 กรัม) หนึ่งครั้ง คุณจะสูญเสียขนมเพียง 10 กรัมนั่นคือ น้อยกว่าห้าเท่า

เมื่อพิจารณาถึงข้างต้นแล้ว ประการแรกจำเป็นต้องพยายามลดข้อผิดพลาดในการวัดแบบสัมพัทธ์ ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สามารถคำนวณได้หลังจากกำหนดค่าเฉลี่ยแล้วเท่านั้น ค่าเลขคณิตผลการวัด

สัญญาณของข้อผิดพลาด (บวกหรือลบ) ถูกกำหนดโดยความแตกต่างระหว่างผลการวัดค่าเดี่ยวและค่าจริง:

ยฉัน -` ย > 0 (ข้อผิดพลาดเป็นบวก);

ยฉัน -` ย < 0 (ข้อผิดพลาดเป็นลบ).

หากข้อผิดพลาดในการวัดสัมบูรณ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าของปริมาณที่วัดได้ จะเรียกว่าข้อผิดพลาดดังกล่าว คงที่- มิฉะนั้นจะเกิดข้อผิดพลาด สัดส่วน- ลักษณะของข้อผิดพลาดในการวัด (คงที่หรือตามสัดส่วน) จะถูกกำหนดหลังจากการศึกษาพิเศษ

ความผิดพลาดครั้งใหญ่การวัด (พลาด) คือผลการวัดที่แตกต่างจากที่อื่นอย่างมีนัยสำคัญ ซึ่งมักเกิดขึ้นเมื่อละเมิดเทคนิคการวัด การมีอยู่ของข้อผิดพลาดในการวัดรวมในตัวอย่างนั้นกำหนดได้โดยวิธีการเท่านั้น สถิติทางคณิตศาสตร์(สำหรับ n>2) ทำความรู้จักกับวิธีการตรวจจับข้อผิดพลาดร้ายแรงด้วยตนเอง

การแบ่งข้อผิดพลาดเป็นการสุ่มและเป็นระบบนั้นค่อนข้างจะเป็นไปตามอำเภอใจ

ถึง ข้อผิดพลาดแบบสุ่มรวมถึงข้อผิดพลาดที่ไม่มี ค่าคงที่และสัญญาณ ข้อผิดพลาดดังกล่าวเกิดขึ้นเนื่องจาก ปัจจัยต่อไปนี้: ผู้วิจัยไม่รู้จัก; รู้จักแต่ไร้การควบคุม เปลี่ยนแปลงตลอดเวลา

ข้อผิดพลาดแบบสุ่มสามารถประเมินได้หลังจากทำการวัดแล้วเท่านั้น

การประมาณปริมาณของขนาดของข้อผิดพลาดในการวัดแบบสุ่มสามารถทำได้ พารามิเตอร์ต่อไปนี้: ฯลฯ

ข้อผิดพลาดในการวัดแบบสุ่มไม่สามารถกำจัดได้ แต่สามารถลดลงได้เท่านั้น วิธีหลักวิธีหนึ่งในการลดขนาดของข้อผิดพลาดในการวัดแบบสุ่มคือการเพิ่มจำนวนการวัดเดี่ยว (เพิ่มค่า n) สิ่งนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าขนาดของข้อผิดพลาดแบบสุ่มนั้นแปรผกผันกับค่าของ n ตัวอย่างเช่น:

ข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ- สิ่งเหล่านี้เป็นข้อผิดพลาดที่มีขนาดไม่เปลี่ยนแปลงและมีเครื่องหมายหรือเปลี่ยนแปลงตามกฎหมายที่ทราบ ข้อผิดพลาดเหล่านี้เกิดจากปัจจัยคงที่ ข้อผิดพลาดที่เป็นระบบสามารถวัดปริมาณ ลด และกำจัดได้

ข้อผิดพลาดที่เป็นระบบแบ่งออกเป็นข้อผิดพลาดประเภท I, II และ III

สู่ความเป็นระบบ ข้อผิดพลาดประเภท Iรวมถึงข้อผิดพลาด ต้นกำเนิดที่รู้จักซึ่งสามารถประมาณได้โดยการคำนวณก่อนการวัด ข้อผิดพลาดเหล่านี้สามารถกำจัดได้โดยการนำข้อผิดพลาดเหล่านี้ไปใช้ในผลการวัดในรูปแบบของการแก้ไข ตัวอย่างของข้อผิดพลาดประเภทนี้คือ ข้อผิดพลาดในการกำหนดไทไตรเมตริกของความเข้มข้นเชิงปริมาตรของสารละลาย หากเตรียมไทแทรนต์ไว้ที่อุณหภูมิหนึ่งและวัดความเข้มข้นไว้ที่อีกอุณหภูมิหนึ่ง เมื่อทราบถึงการพึ่งพาความหนาแน่นของไทแทรนต์กับอุณหภูมิ จึงเป็นไปได้ที่จะคำนวณก่อนการวัด การเปลี่ยนแปลงในความเข้มข้นของปริมาตรของไทแทรนต์ที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิ และความแตกต่างนี้สามารถนำมาพิจารณาเป็นการแก้ไขได้ ผลลัพธ์ของการวัด

อย่างเป็นระบบ ข้อผิดพลาดประเภท II- สิ่งเหล่านี้เป็นข้อผิดพลาดจากแหล่งกำเนิดที่ทราบซึ่งสามารถประเมินได้ในระหว่างการทดลองหรือจากการวิจัยพิเศษเท่านั้น ข้อผิดพลาดประเภทนี้รวมถึงข้อผิดพลาดด้านเครื่องมือ (เครื่องมือ) ปฏิกิริยา การอ้างอิง และข้อผิดพลาดอื่นๆ ทำความรู้จักกับคุณสมบัติของข้อผิดพลาดดังกล่าวด้วยตัวคุณเองใน .

เมื่อใช้อุปกรณ์ใดๆ ในขั้นตอนการวัด จะทำให้เกิดข้อผิดพลาดของอุปกรณ์ในผลการวัด นอกจากนี้ ข้อผิดพลาดบางส่วนอาจเป็นแบบสุ่ม และอีกส่วนหนึ่งเป็นระบบ ข้อผิดพลาดแบบสุ่มของเครื่องมือจะไม่ได้รับการประเมินแยกกัน โดยจะมีการประเมินทั้งหมดร่วมกับข้อผิดพลาดในการวัดแบบสุ่มอื่นๆ ทั้งหมด

แต่ละอินสแตนซ์ของอุปกรณ์ใด ๆ มีข้อผิดพลาดที่เป็นระบบส่วนบุคคลของตัวเอง เพื่อประเมินข้อผิดพลาดนี้จำเป็นต้องทำการศึกษาพิเศษ

วิธีที่น่าเชื่อถือที่สุดในการประเมินข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบของเครื่องมือประเภท II คือการตรวจสอบการทำงานของเครื่องมือตามมาตรฐาน สำหรับการวัดเครื่องแก้ว (ปิเปต บิวเรต กระบอกสูบ ฯลฯ) จะดำเนินการตามขั้นตอนพิเศษ - การสอบเทียบ

ในทางปฏิบัติ สิ่งที่จำเป็นต้องมีบ่อยที่สุดไม่ใช่การประมาณการ แต่เพื่อลดหรือขจัดข้อผิดพลาดที่เป็นระบบประเภท II วิธีการทั่วไปในการลดข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบคือ วิธีสัมพัทธภาพและการสุ่ม.ค้นพบวิธีการเหล่านี้ได้ด้วยตัวเองที่

ถึง ความผิดพลาด ประเภทที่สาม รวมถึงข้อผิดพลาดที่ไม่ทราบที่มา ข้อผิดพลาดเหล่านี้สามารถตรวจพบได้หลังจากกำจัดข้อผิดพลาดที่เป็นระบบทั้งหมดของประเภท I และ II เท่านั้น

ถึง ข้อผิดพลาดอื่น ๆให้เรารวมข้อผิดพลาดประเภทอื่นๆ ทั้งหมดที่ไม่ได้กล่าวถึงข้างต้น (อนุญาต เป็นไปได้ ข้อผิดพลาดเล็กน้อยฯลฯ) แนวคิดของข้อผิดพลาดจำกัดที่เป็นไปได้จะใช้ในกรณีใช้เครื่องมือวัด และถือว่าค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของข้อผิดพลาดในการวัดด้วยเครื่องมือ (ค่าจริงของข้อผิดพลาดอาจน้อยกว่าค่าของข้อผิดพลาดจำกัดที่เป็นไปได้)

เมื่อใช้เครื่องมือวัด คุณสามารถคำนวณขีดจำกัดสัมบูรณ์ที่เป็นไปได้ (P` ยฯลฯ) หรือญาติ (E` ยฯลฯ) ข้อผิดพลาดในการวัด ตัวอย่างเช่น ความคลาดเคลื่อนในการวัดสัมบูรณ์สูงสุดที่เป็นไปได้จะพบเป็นผลรวมของการสุ่มสูงสุดที่เป็นไปได้ (x ` ยสุ่ม ฯลฯ) และเป็นระบบที่ไม่แยกออก (d` ยฯลฯ) ข้อผิดพลาด:

ป ยเช่น= x ` ย, สุ่ม ฯลฯ + d` ย, ราคา

สำหรับตัวอย่างเล็กๆ (n £ 20) ไม่ทราบ ประชากร, ผู้ใต้บังคับบัญชา กฎหมายปกติการแจกแจง ข้อผิดพลาดในการวัดสูงสุดที่เป็นไปได้แบบสุ่มสามารถประมาณได้ดังนี้:

x` ย, สุ่ม ฯลฯ = D` ย=ส` ย½t P, n ½,
โดยที่ t P,n คือควอไทล์ของการแจกแจงของนักเรียน (เกณฑ์) สำหรับความน่าจะเป็น P และขนาดตัวอย่าง n ข้อผิดพลาดในการวัดสูงสุดที่เป็นไปได้สัมบูรณ์ในกรณีนี้จะเท่ากับ:

ป ย,เช่น.= ส ` ย½t P, n ½+ d` ย, ราคา

หากผลการวัดไม่เป็นไปตามกฎการกระจายแบบปกติ ข้อผิดพลาดจะถูกประเมินโดยใช้สูตรอื่น

การหาค่า d` ย,ปร. ขึ้นอยู่กับว่าเครื่องมือวัดมีระดับความแม่นยำหรือไม่ หากเครื่องมือวัดไม่มีระดับความแม่นยำ ดังนั้นสำหรับค่า d ` ย,ปร. สามารถเป็นที่ยอมรับได้ ราคาส่วนมาตราส่วนขั้นต่ำเครื่องมือวัด สำหรับเครื่องมือวัดที่มีระดับความแม่นยำที่ทราบสำหรับค่า d ` ยตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบที่อนุญาตสัมบูรณ์ของเครื่องมือวัดได้ (d ย, เพิ่มเติม):

ด` ยฯลฯ” -

ความคุ้มค่า ง ย, เพิ่ม. คำนวณตามสูตรที่กำหนดในตารางที่ 5

สำหรับเครื่องมือวัดหลายชนิด ระดับความแม่นยำจะระบุอยู่ในรูปของตัวเลข a×10 n โดยที่ a เท่ากับ 1; 1.5; 2; 2.5; 4; 5; 6 และ n คือ 1; 0; -1; -2 ฯลฯ ซึ่งแสดงค่าของข้อผิดพลาดที่เป็นระบบสูงสุดที่อนุญาตที่เป็นไปได้ (E ย, เพิ่มเติม) และเครื่องหมายพิเศษที่ระบุประเภทของมัน (สัมพัทธ์, ลดลง, คงที่, สัดส่วน)

ตารางที่ 5

ตัวอย่างการกำหนดคลาสความแม่นยำของเครื่องมือวัด

ข้อผิดพลาดในการวัดสัมบูรณ์คือปริมาณที่กำหนดโดยความแตกต่างระหว่างผลการวัด xและมูลค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้ x 0:

Δ x = |x - x 0 |.

ค่า δ เท่ากับอัตราส่วนของข้อผิดพลาดในการวัดสัมบูรณ์ต่อผลการวัด เรียกว่าข้อผิดพลาดสัมพัทธ์:

ตัวอย่างที่ 2.1ค่าโดยประมาณของ π คือ 3.14 จากนั้นข้อผิดพลาดคือ 0.00159 ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ถือได้ว่าเป็น 0.0016 และข้อผิดพลาดสัมพัทธ์เท่ากับ 0.0016/3.14 = 0.00051 = 0.051%

ตัวเลขที่สำคัญถ้าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ของค่า a ไม่เกินหนึ่งหน่วยของหลักสุดท้ายของตัวเลข a แสดงว่าตัวเลขนั้นมีเครื่องหมายที่ถูกต้องทั้งหมด ควรจดตัวเลขโดยประมาณไว้เท่านั้น สัญญาณที่แน่นอน- ตัวอย่างเช่น หากข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของตัวเลข 52400 คือ 100 ก็ควรเขียนตัวเลขนี้ เช่น 524·10 2 หรือ 0.524·10 5 คุณสามารถประมาณค่าความผิดพลาดของตัวเลขโดยประมาณได้โดยการระบุจำนวนหลักที่มีนัยสำคัญที่ถูกต้อง เมื่อนับเลขนัยสำคัญ จะไม่นับเลขศูนย์ทางด้านซ้ายของตัวเลข

ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 0.0283 มีตัวเลขนัยสำคัญที่ถูกต้อง 3 ตัว และ 2.5400 มีตัวเลขนัยสำคัญที่ถูกต้อง 5 ตัว

กฎการปัดเศษตัวเลข- หากตัวเลขโดยประมาณมีตัวเลขเกิน (หรือไม่ถูกต้อง) ก็ควรปัดเศษ เมื่อปัดเศษจะเกิดข้อผิดพลาดเพิ่มเติมซึ่งไม่เกินครึ่งหน่วยของตำแหน่งของเลขนัยสำคัญสุดท้าย ( ง) ตัวเลขปัดเศษ เมื่อปัดเศษจะคงเฉพาะตัวเลขที่ถูกต้องเท่านั้น อักขระพิเศษจะถูกละทิ้ง และหากหลักแรกที่ถูกละทิ้งมากกว่าหรือเท่ากับ ง/2 ดังนั้นตัวเลขสุดท้ายที่เก็บไว้จะเพิ่มขึ้นหนึ่ง

ตัวเลขส่วนเกินในจำนวนเต็มจะถูกแทนที่ด้วยศูนย์ และในรูปแบบทศนิยมจะถูกละทิ้ง (เช่นเดียวกับศูนย์พิเศษ) ตัวอย่างเช่น หากข้อผิดพลาดในการวัดคือ 0.001 มม. ผลลัพธ์ 1.07005 จะถูกปัดเศษเป็น 1.070 หากหลักแรกที่แก้ไขด้วยศูนย์และทิ้งน้อยกว่า 5 หลักที่เหลือจะไม่เปลี่ยน ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 148935 ที่มีความแม่นยำในการวัดเท่ากับ 50 มีค่าการปัดเศษเป็น 148900 หากตัวเลขตัวแรกที่แทนที่ด้วยศูนย์หรือถูกละทิ้งคือ 5 และไม่มีตัวเลขหรือศูนย์ตามมาด้วย ก็จะถูกปัดเศษให้เป็นค่าที่ใกล้ที่สุด เลขคู่ ตัวอย่างเช่น ปัดเศษตัวเลข 123.50 เป็น 124 หากเลขศูนย์หรือหลักหยดตัวแรกมากกว่า 5 หรือเท่ากับ 5 แต่ตามด้วยเลขนัยสำคัญ ตัวเลขสุดท้ายที่เหลือจะเพิ่มขึ้นทีละหนึ่ง เช่น ปัดเศษตัวเลข 6783.6 เป็น 6784

ตัวอย่างที่ 2.2 เมื่อปัดเศษ 1284 ถึง 1300 ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์คือ 1300 - 1284 = 16 และเมื่อปัดเศษเป็น 1280 ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์คือ 1280 - 1284 = 4

ตัวอย่างที่ 2.3 เมื่อปัดเศษตัวเลข 197 ถึง 200 ค่าคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์คือ 200 - 197 = 3 ค่าคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์คือ 3/197 data 0.01523 หรือประมาณ 3/200 data 1.5%

ตัวอย่างที่ 2.4 ผู้ขายชั่งน้ำหนักแตงโมบนตาชั่ง น้ำหนักน้อยที่สุดในชุดคือ 50 กรัม ชั่งได้ 3600 กรัม ตัวเลขนี้เป็นค่าโดยประมาณ ไม่ทราบน้ำหนักที่แน่นอนของแตงโม แต่ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ไม่เกิน 50 กรัม ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ไม่เกิน 50/3600 = 1.4%

ข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาเมื่อ พีซี

ข้อผิดพลาดสามประเภทมักถือเป็นสาเหตุหลักของข้อผิดพลาด สิ่งเหล่านี้เรียกว่าข้อผิดพลาดในการตัดทอน ข้อผิดพลาดในการปัดเศษ และข้อผิดพลาดในการเผยแพร่ เช่น เมื่อใช้ วิธีการวนซ้ำค้นหาราก สมการไม่เชิงเส้นผลลัพธ์เป็นการประมาณ ตรงกันข้ามกับวิธีการโดยตรงที่ให้วิธีแก้ปัญหาที่แน่นอน

ข้อผิดพลาดในการตัดทอน

ข้อผิดพลาดประเภทนี้เกี่ยวข้องกับข้อผิดพลาดที่มีอยู่ในตัวงานเอง อาจเนื่องมาจากความไม่ถูกต้องในการกำหนดแหล่งข้อมูล ตัวอย่างเช่น หากมีการระบุมิติใดๆ ไว้ในคำชี้แจงปัญหา ในทางปฏิบัติสำหรับวัตถุจริง มิติเหล่านี้จะทราบด้วยความแม่นยำอยู่เสมอ เช่นเดียวกับสิ่งอื่นใด พารามิเตอร์ทางกายภาพ- รวมถึงความไม่ถูกต้องด้วย สูตรการคำนวณและค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขที่รวมอยู่ในนั้น

ข้อผิดพลาดในการขยายพันธุ์

ข้อผิดพลาดประเภทนี้เกี่ยวข้องกับการใช้วิธีการแก้ไขปัญหาอย่างใดอย่างหนึ่ง ในระหว่างการคำนวณ การสะสมข้อผิดพลาดหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือการแพร่กระจายเกิดขึ้นอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ นอกจากข้อเท็จจริงที่ว่าข้อมูลต้นฉบับนั้นไม่ถูกต้องแล้ว ยังเกิดข้อผิดพลาดใหม่เมื่อมีการคูณ บวก ฯลฯ การสะสมของข้อผิดพลาดขึ้นอยู่กับลักษณะและจำนวนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการคำนวณ

ข้อผิดพลาดในการปัดเศษ

ข้อผิดพลาดประเภทนี้เกิดขึ้นเนื่องจากคอมพิวเตอร์ไม่ได้จัดเก็บค่าที่แท้จริงของตัวเลขอย่างถูกต้องเสมอไป เมื่อเก็บจำนวนจริงไว้ในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์ จำนวนจริงจะถูกเขียนเป็นแมนทิสซาและเลขชี้กำลังในลักษณะเดียวกับที่แสดงตัวเลขบนเครื่องคิดเลข

ในวิชาฟิสิกส์และวิทยาศาสตร์อื่นๆ เป็นเรื่องปกติมากที่จะวัดปริมาณต่างๆ (เช่น ความยาว มวล เวลา อุณหภูมิ ความต้านทานไฟฟ้าฯลฯ)

การวัด– กระบวนการหาค่าปริมาณทางกายภาพโดยใช้วิธีพิเศษ วิธีการทางเทคนิค– เครื่องมือวัด

เครื่องมือวัด เป็นอุปกรณ์ที่ใช้ในการเปรียบเทียบปริมาณที่วัดได้กับปริมาณทางกายภาพชนิดเดียวกันโดยถือเป็นหน่วยวัด

มีวิธีการวัดทั้งทางตรงและทางอ้อม

วิธีการวัดโดยตรง – วิธีการที่พบค่าของปริมาณที่กำหนดโดยการเปรียบเทียบโดยตรงกับวัตถุที่วัดได้กับหน่วยการวัด (มาตรฐาน) ตัวอย่างเช่น ความยาวของวัตถุที่วัดด้วยไม้บรรทัดเปรียบเทียบกับหน่วยความยาว - เมตร มวลของวัตถุที่วัดด้วยมาตราส่วนจะเปรียบเทียบกับหน่วยมวล - กิโลกรัม เป็นต้น ดังนั้น ผลที่ตามมาก็คือ การวัดโดยตรงจะได้ค่าที่กำหนดทันทีโดยตรง

วิธีการวัดทางอ้อม– วิธีการที่ค่าของปริมาณที่กำหนดคำนวณจากผลลัพธ์ของการวัดโดยตรงของปริมาณอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องด้วยความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่ทราบ ตัวอย่างเช่น การกำหนดเส้นรอบวงจากผลลัพธ์ของการวัดเส้นผ่านศูนย์กลาง หรือการกำหนดปริมาตรของวัตถุจากผลลัพธ์ของการวัดขนาดเชิงเส้น

เนื่องจากความไม่สมบูรณ์ของเครื่องมือวัด ความรู้สึกของเรา อิทธิพล อิทธิพลภายนอกบนอุปกรณ์วัดและวัตถุการวัดตลอดจนปัจจัยอื่น ๆ การวัดทั้งหมดสามารถทำได้ด้วยเท่านั้น ในระดับหนึ่งความแม่นยำ; ดังนั้นผลการวัดจึงไม่ให้ค่าที่แท้จริงของค่าที่วัดได้ แต่เป็นเพียงค่าประมาณเท่านั้น ตัวอย่างเช่น หากกำหนดน้ำหนักตัวด้วยความแม่นยำ 0.1 มก. หมายความว่าน้ำหนักที่พบแตกต่างจากน้ำหนักตัวจริงน้อยกว่า 0.1 มก.

ความแม่นยำในการวัด – คุณลักษณะของคุณภาพการวัด สะท้อนถึงความใกล้เคียงของผลการวัดกับค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้

ยิ่งข้อผิดพลาดในการวัดน้อยลง ความแม่นยำในการวัดก็จะยิ่งมากขึ้น ความแม่นยำของการวัดขึ้นอยู่กับเครื่องมือที่ใช้ในการวัดและใน วิธีการทั่วไปการวัด มันไม่มีประโยชน์เลยที่จะพยายามเกินขอบเขตความแม่นยำนี้เมื่อทำการวัดภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ มีความเป็นไปได้ที่จะลดผลกระทบของเหตุผลที่ลดความแม่นยำของการวัดให้เหลือน้อยที่สุด แต่เป็นไปไม่ได้ที่จะกำจัดสิ่งเหล่านี้ออกไปโดยสิ้นเชิงนั่นคือข้อผิดพลาด (ข้อผิดพลาด) ที่มีนัยสำคัญมากหรือน้อยมักเกิดขึ้นระหว่างการวัด เพื่อเพิ่มความแม่นยำ ผลลัพธ์สุดท้ายทุกสิ่ง มิติทางกายภาพจะต้องทำไม่ใช่ครั้งเดียว แต่หลายครั้งภายใต้เงื่อนไขการทดลองเดียวกัน

จากผลการวัด i-th (i – หมายเลขการวัด) ของค่า "X" จะได้ตัวเลขโดยประมาณ X i ซึ่งแตกต่างจาก ความหมายที่แท้จริง Hist ด้วยค่าที่แน่นอน ∆ Kh i = | X i – XX| ซึ่งเป็นข้อผิดพลาดที่ยอมรับได้หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือข้อผิดพลาด เราไม่ทราบข้อผิดพลาดที่แท้จริง เนื่องจากเราไม่ทราบมูลค่าที่แท้จริงของค่าที่วัดได้ มูลค่าที่แท้จริงของปริมาณทางกายภาพที่วัดได้จะอยู่ในช่วงเวลา

XI ผม – ∆X< Х i – ∆Х < Х i + ∆Х

โดยที่ X i คือค่าของ X ที่ได้รับระหว่างการวัด (นั่นคือค่าที่วัดได้) ∆X – ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ในการกำหนดค่าของ X

ความผิดพลาดอย่างแน่นอน (ข้อผิดพลาด) ของการวัด ∆ Raj คือค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างระหว่างค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้ Hist และผลการวัด X i: ∆ Kh = | แหล่งที่มา – X i |

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ (ข้อผิดพลาด) ของการวัด δ (การระบุลักษณะความแม่นยำของการวัด) มีค่าเท่ากับตัวเลขเท่ากับอัตราส่วนของข้อผิดพลาดในการวัดสัมบูรณ์ ∆X ต่อค่าจริงของค่าที่วัดได้ แหล่งกำเนิด X (มักแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์): δ = (∆X / แหล่งที่มา X) 100%

ข้อผิดพลาดหรือข้อผิดพลาดในการวัดสามารถแบ่งออกเป็นสามประเภท: เป็นระบบ สุ่ม และรวม (พลาด)

อย่างเป็นระบบพวกเขาเรียกข้อผิดพลาดที่คงที่หรือเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติ (ตามการพึ่งพาการทำงานบางอย่าง) ด้วยการวัดซ้ำในปริมาณเดียวกัน ข้อผิดพลาดดังกล่าวจึงเกิดขึ้น คุณสมบัติการออกแบบเครื่องมือวัด ข้อบกพร่องของวิธีการวัดที่นำมาใช้ การละเว้นใด ๆ ของผู้ทดลอง อิทธิพลของสภาวะภายนอก หรือข้อบกพร่องในวัตถุการวัดเอง

เครื่องมือวัดใด ๆ มีข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบอย่างใดอย่างหนึ่งซึ่งไม่สามารถกำจัดได้ แต่สามารถคำนึงถึงลำดับได้ ข้อผิดพลาดที่เป็นระบบอาจเพิ่มหรือลดผลการวัดนั่นคือข้อผิดพลาดเหล่านี้มีลักษณะเป็นสัญญาณคงที่ ตัวอย่างเช่น หากในระหว่างการชั่งน้ำหนักตุ้มน้ำหนักตัวใดตัวหนึ่งมีมวลมากกว่าที่ระบุไว้ 0.01 กรัม ค่ามวลกายที่พบจะถูกประเมินสูงเกินไปด้วยจำนวนนี้ ไม่ว่าจะทำการวัดกี่ครั้งก็ตาม บางครั้งข้อผิดพลาดที่เป็นระบบสามารถนำมาพิจารณาหรือกำจัดออกไปได้ แต่บางครั้งก็ไม่สามารถทำได้ ตัวอย่างเช่น ข้อผิดพลาดร้ายแรงรวมถึงข้อผิดพลาดเกี่ยวกับเครื่องมือ ซึ่งเราสามารถพูดได้เพียงว่าไม่เกินค่าที่กำหนด

ข้อผิดพลาดแบบสุ่ม เรียกว่าข้อผิดพลาดที่เปลี่ยนขนาดและลงชื่อเข้าใช้ด้วยวิธีที่คาดเดาไม่ได้จากการทดลองหนึ่งไปอีกการทดลองหนึ่ง การปรากฏตัวของข้อผิดพลาดแบบสุ่มนั้นเกิดจากสาเหตุหลายประการที่ไม่สามารถควบคุมได้

ตัวอย่างเช่น เมื่อชั่งน้ำหนักด้วยตาชั่ง สาเหตุเหล่านี้อาจเป็นการสั่นสะเทือนของอากาศ ฝุ่นละอองที่เกาะตัว การเสียดสีที่แตกต่างกันในระบบกันสะเทือนด้านซ้ายและขวาของถ้วย เป็นต้น ข้อผิดพลาดแบบสุ่มแสดงให้เห็นในข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อทำการวัดค่าเดียวกัน X ภายใต้ ในเงื่อนไขการทดลองเดียวกัน เราจะได้ค่าที่แตกต่างกันหลายค่า: X1, X2, X3,..., Xi,..., Xn โดยที่ Xi คือผลลัพธ์ของการวัดครั้งที่ i ไม่สามารถสร้างรูปแบบใดๆ ระหว่างผลลัพธ์ได้ ดังนั้นจึงพิจารณาผลลัพธ์ของการวัด X ที่ i ตัวแปรสุ่ม- ข้อผิดพลาดแบบสุ่มอาจมีผลกระทบ อิทธิพลบางอย่างสำหรับการวัดครั้งเดียว แต่ด้วยการวัดหลายครั้งพวกเขาก็เชื่อฟัง กฎหมายทางสถิติและอิทธิพลที่มีต่อผลการวัดสามารถนำมาพิจารณาหรือลดลงอย่างมีนัยสำคัญ

ข้อผิดพลาดและข้อผิดพลาดร้ายแรง– มากเกินไป ความผิดพลาดครั้งใหญ่บิดเบือนผลการวัดอย่างชัดเจน ข้อผิดพลาดระดับนี้มักเกิดจากการกระทำที่ไม่ถูกต้องของผู้ทดลอง (เช่น เนื่องจากการไม่ตั้งใจ แทนที่จะให้เครื่องมืออ่านว่า "212" จะมีการบันทึกตัวเลขที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง - "221") การวัดที่มีการพลาดและข้อผิดพลาดขั้นต้นควรละทิ้ง

การวัดสามารถทำได้ในแง่ของความแม่นยำโดยใช้วิธีการทางเทคนิคและในห้องปฏิบัติการ

เมื่อใช้วิธีการทางเทคนิค การวัดจะดำเนินการเพียงครั้งเดียว ในกรณีนี้พวกเขาพอใจกับความถูกต้องแม่นยำว่าข้อผิดพลาดไม่เกินที่กำหนดไว้ล่วงหน้า ตั้งค่ากำหนดโดยความผิดพลาดของอุปกรณ์วัดที่ใช้

ที่ วิธีการทางห้องปฏิบัติการจำเป็นต้องระบุค่าของปริมาณที่วัดได้แม่นยำมากกว่าการวัดเดี่ยวที่อนุญาต วิธีการทางเทคนิค- ในกรณีนี้มีการวัดหลายครั้งและคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่ได้รับซึ่งถือเป็นค่าที่น่าเชื่อถือ (จริง) ที่สุดของค่าที่วัดได้ จากนั้นประเมินความแม่นยำของผลการวัด (โดยคำนึงถึงข้อผิดพลาดแบบสุ่ม)

จากความเป็นไปได้ในการดำเนินการวัดโดยใช้สองวิธี มีสองวิธีในการประเมินความแม่นยำของการวัด: ทางเทคนิคและห้องปฏิบัติการ

หนึ่งในที่สุด ประเด็นสำคัญในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขคือคำถามที่ว่าข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นที่ตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่งระหว่างการคำนวณจะแพร่กระจายต่อไปได้อย่างไร กล่าวคือ ไม่ว่าอิทธิพลของมันจะใหญ่ขึ้นหรือเล็กลงเมื่อดำเนินการในภายหลัง กรณีที่รุนแรงที่สุดคือการลบเกือบสองตัว ตัวเลขเท่ากัน: แม้ว่าจะมีข้อผิดพลาดเล็กน้อยในตัวเลขทั้งสองนี้ แต่ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ในความแตกต่างอาจมีขนาดใหญ่มาก ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์นี้จะแพร่กระจายเพิ่มเติมในระหว่างการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ตามมาทั้งหมด

หนึ่งในแหล่งที่มาของข้อผิดพลาดในการคำนวณ (ข้อผิดพลาด) คือการแสดงโดยประมาณ ตัวเลขจริงในคอมพิวเตอร์ เนื่องจากความวิจิตรของกริดบิต แม้ว่าข้อมูลเริ่มต้นจะถูกนำเสนอในคอมพิวเตอร์ที่มีความแม่นยำสูง แต่การสะสมของข้อผิดพลาดในการปัดเศษในระหว่างกระบวนการคำนวณอาจทำให้เกิดข้อผิดพลาดที่ตามมาอย่างมีนัยสำคัญและอัลกอริธึมบางอย่างอาจไม่เหมาะสำหรับการคำนวณจริงบนคอมพิวเตอร์โดยสิ้นเชิง คุณสามารถหาข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแทนจำนวนจริงในคอมพิวเตอร์ได้

การแพร่กระจายของข้อผิดพลาด

ในขั้นตอนแรกในการพิจารณาปัญหาการแพร่กระจายของข้อผิดพลาด จำเป็นต้องค้นหานิพจน์สำหรับข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของผลลัพธ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งสี่รายการเป็นฟังก์ชันของปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการและข้อผิดพลาด

ความผิดพลาดอย่างแน่นอน

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป

มีการประมาณสองค่าและปริมาณสองค่า และ รวมถึงข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ที่สอดคล้องกัน และ แล้วผลจากการบวกเราก็ได้

.

ความคลาดเคลื่อนของผลรวมซึ่งเราแสดงด้วย จะเท่ากับ

.

การลบ

ในทำนองเดียวกันที่เราได้รับ

.

การคูณ

เมื่อคูณเรามี

.

เนื่องจากข้อผิดพลาดมักจะน้อยกว่าปริมาณมาก เราจึงละเลยผลคูณของข้อผิดพลาด:

.

ข้อผิดพลาดของผลิตภัณฑ์จะเท่ากับ

.

แผนก

.

ลองแปลงนิพจน์นี้ให้อยู่ในรูปแบบ

.

ตัวประกอบในวงเล็บสามารถขยายเป็นอนุกรมได้

.

การคูณและละเลยข้อกำหนดทั้งหมดที่มีผลจากข้อผิดพลาดหรือระดับของข้อผิดพลาดสูงกว่าข้อแรก เรามี

.

เพราะฉะนั้น,

.

จะต้องเข้าใจอย่างชัดเจนว่าสัญญาณข้อผิดพลาดเป็นที่รู้จักเฉพาะในกรณีที่หายากมากเท่านั้น ตัวอย่างเช่นมันไม่ใช่ข้อเท็จจริงที่ข้อผิดพลาดเพิ่มขึ้นเมื่อเพิ่มและลดลงเมื่อลบ เนื่องจากในสูตรสำหรับการบวกนั้นมีเครื่องหมายบวกและสำหรับการลบ - เครื่องหมายลบ เช่น ถ้าเกิดข้อผิดพลาดของตัวเลขสองตัวนั้น สัญญาณตรงกันข้ามจากนั้นสถานการณ์จะตรงกันข้ามนั่นคือข้อผิดพลาดจะลดลงเมื่อบวกและเพิ่มขึ้นเมื่อลบตัวเลขเหล่านี้

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์

เมื่อเราได้รับสูตรสำหรับการแพร่กระจายของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งสี่แล้ว มันค่อนข้างง่ายที่จะได้สูตรที่สอดคล้องกันสำหรับข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ สำหรับการบวกและการลบ สูตรต่างๆ จะถูกแปลงให้รวมค่าคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ของจำนวนเดิมแต่ละตัวไว้อย่างชัดเจน

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป

.

การลบ

.

การคูณ

.

แผนก

.

เราเริ่มการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ด้วยค่าประมาณสองค่าและมีข้อผิดพลาดที่สอดคล้องกัน และ ข้อผิดพลาดเหล่านี้อาจมีต้นกำเนิดจากสาเหตุใดก็ได้ ปริมาณและอาจเป็นผลการทดลองที่มีข้อผิดพลาด อาจเป็นผลจากการคำนวณล่วงหน้าตามกระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุด และอาจมีข้อผิดพลาดจากข้อจำกัด อาจเป็นผลลัพธ์ของการคำนวณทางคณิตศาสตร์ครั้งก่อนและอาจมีข้อผิดพลาดในการปัดเศษ โดยปกติแล้ว ข้อผิดพลาดเหล่านี้อาจมีข้อผิดพลาดทั้งสามประเภทรวมกันได้

สูตรข้างต้นเป็นนิพจน์สำหรับข้อผิดพลาดของผลลัพธ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งสี่รายการเป็นฟังก์ชันของ ; ข้อผิดพลาดในการปัดเศษในเรื่องนี้ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในเวลาเดียวกัน ไม่ได้นำมาพิจารณา- หากในอนาคตมีความจำเป็นต้องคำนวณว่าข้อผิดพลาดของผลลัพธ์นี้แพร่กระจายอย่างไรในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ตามมาก็จำเป็นต้องคำนวณข้อผิดพลาดของผลลัพธ์ที่คำนวณโดยใช้สูตรใดสูตรหนึ่งจากสี่สูตร เพิ่มข้อผิดพลาดในการปัดเศษแยกกัน.

กราฟกระบวนการคำนวณ

ตอนนี้ให้พิจารณาวิธีที่สะดวกในการคำนวณการแพร่กระจายของข้อผิดพลาดในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ ด้วยเหตุนี้เราจะอธิบายลำดับการดำเนินการในการคำนวณโดยใช้ กราฟและเราจะเขียนค่าสัมประสิทธิ์ใกล้กับลูกศรของกราฟซึ่งจะทำให้เราสามารถระบุข้อผิดพลาดทั่วไปของผลลัพธ์สุดท้ายได้ค่อนข้างง่าย วิธีนี้ยังสะดวกเนื่องจากช่วยให้คุณสามารถระบุการมีส่วนร่วมของข้อผิดพลาดใด ๆ ที่เกิดขึ้นระหว่างกระบวนการคำนวณกับข้อผิดพลาดโดยรวมได้อย่างง่ายดาย

รูปที่ 1- กราฟกระบวนการคำนวณ

บน รูปที่ 1แสดงกราฟของกระบวนการคำนวณ ควรอ่านกราฟจากล่างขึ้นบนตามลูกศร ขั้นแรก การดำเนินการในระดับแนวนอนบางส่วนจะดำเนินการ หลังจากนั้นการดำเนินการในระดับที่สูงกว่า ระดับสูงเป็นต้น จากรูปที่ 1 เป็นต้น จะเห็นว่า xและ ยบวกก่อนแล้วจึงคูณด้วย z- กราฟที่แสดงใน รูปที่ 1เป็นเพียงภาพกระบวนการคำนวณเท่านั้น ในการคำนวณข้อผิดพลาดรวมของผลลัพธ์ จำเป็นต้องเสริมกราฟนี้ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ซึ่งเขียนไว้ข้างลูกศรตามกฎต่อไปนี้

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป

ให้ลูกศรสองตัวที่เข้าสู่วงกลมบวกออกมาจากวงกลมสองวงที่มีค่าและ . ค่าเหล่านี้สามารถเป็นได้ทั้งค่าเริ่มต้นและผลลัพธ์ การคำนวณก่อนหน้า- จากนั้นลูกศรที่นำไปสู่เครื่องหมาย + ในวงกลมจะได้รับค่าสัมประสิทธิ์ ในขณะที่ลูกศรที่นำไปสู่เครื่องหมาย + ในวงกลมจะได้รับค่าสัมประสิทธิ์

การลบ

หากดำเนินการ ลูกศรที่เกี่ยวข้องจะได้รับค่าสัมประสิทธิ์ และ

การคูณ

ลูกศรทั้งสองที่รวมอยู่ในวงกลมการคูณจะได้รับค่าสัมประสิทธิ์เป็น +1

แผนก

ถ้าทำการหาร ลูกศรจากถึงเครื่องหมายทับในวงกลมจะได้รับค่าสัมประสิทธิ์เป็น +1 และลูกศรจากถึงเครื่องหมายทับในวงกลมจะได้รับค่าสัมประสิทธิ์เป็น −1

ความหมายของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดนี้มีดังนี้: ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของผลลัพธ์ของการดำเนินการใด ๆ (วงกลม) จะรวมอยู่ในผลลัพธ์ของการดำเนินการครั้งต่อไปคูณด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของลูกศรที่เชื่อมต่อการดำเนินการทั้งสองนี้.

ตัวอย่าง

รูปที่ 2- กราฟกระบวนการคำนวณสำหรับการบวก และ

ตอนนี้ให้เราใช้เทคนิคกราฟกับตัวอย่างและแสดงให้เห็นว่าการแพร่กระจายของข้อผิดพลาดหมายถึงอะไรในการคำนวณเชิงปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 1

พิจารณาปัญหาของการบวกสี่ ตัวเลขบวก:

, .

กราฟของกระบวนการนี้แสดงอยู่ใน รูปที่ 2- สมมติว่าปริมาณเริ่มต้นทั้งหมดระบุอย่างถูกต้องและไม่มีข้อผิดพลาด และให้ เป็นข้อผิดพลาดในการปัดเศษแบบสัมพัทธ์หลังจากการดำเนินการบวกแต่ละครั้งที่ตามมา การใช้กฎอย่างต่อเนื่องเพื่อคำนวณข้อผิดพลาดรวมของผลลัพธ์สุดท้ายจะนำไปสู่สูตร

.

เมื่อลดผลรวมในเทอมแรกแล้วคูณนิพจน์ทั้งหมดด้วย เราจะได้

.

เมื่อพิจารณาว่าข้อผิดพลาดในการปัดเศษคือ (ใน ในกรณีนี้สันนิษฐานว่า จำนวนจริงในคอมพิวเตอร์จะแสดงในรูปแบบ ทศนิยมกับ ทีในจำนวนที่มีนัยสำคัญ) ในที่สุดเราก็ได้

การวัดปริมาณเป็นการดำเนินการซึ่งเป็นผลมาจากการที่เราค้นหาว่าปริมาณที่วัดได้นั้นมากกว่า (หรือน้อยกว่า) กี่ครั้งกว่าค่าที่เกี่ยวข้องซึ่งใช้เป็นมาตรฐาน (หน่วยการวัด) การวัดทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภท: ทางตรงและทางอ้อม

DIRECT สิ่งเหล่านี้คือการวัดที่วัดความน่าสนใจโดยตรงของเรา ปริมาณทางกายภาพ(มวล ความยาว ช่วงเวลา การเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิ ฯลฯ)

ทางอ้อม สิ่งเหล่านี้คือการวัดที่กำหนดปริมาณความสนใจสำหรับเรา (คำนวณ) จากผลลัพธ์ของการวัดโดยตรงของปริมาณอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับมันโดยความสัมพันธ์เชิงหน้าที่บางอย่าง เช่น การกำหนดความเร็ว การเคลื่อนไหวสม่ำเสมอโดยการวัดระยะทางที่เดินทางในช่วงเวลาหนึ่ง, วัดความหนาแน่นของร่างกายโดยการวัดมวลและปริมาตรของร่างกาย เป็นต้น

คุณลักษณะทั่วไปของการวัดคือการไม่สามารถรับค่าที่แท้จริงของค่าที่วัดได้ ผลการวัดมักจะมีข้อผิดพลาดบางอย่าง (ความไม่ถูกต้อง) สิ่งนี้อธิบายได้จากความแม่นยำในการวัดที่จำกัดโดยพื้นฐานและโดยธรรมชาติของวัตถุที่วัดด้วย ดังนั้น เพื่อระบุว่าผลลัพธ์ที่ได้ใกล้เคียงกับค่าจริงเพียงใด ข้อผิดพลาดในการวัดจะถูกระบุพร้อมกับผลลัพธ์ที่ได้รับ

ตัวอย่างเช่น เราวัดทางยาวโฟกัสของเลนส์ f และเขียนไว้เช่นนั้น

ฉ = (256 ± 2) มม (1)

ซึ่งหมายความว่าทางยาวโฟกัสอยู่ระหว่าง 254 ถึง 258 มม- แต่ที่จริงแล้ว ความเท่าเทียมกันนี้ (1) มีความหมายที่น่าจะเป็น เราไม่สามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่าค่านั้นอยู่ภายในขีดจำกัดที่ระบุ มีเพียงความน่าจะเป็นที่แน่นอนเท่านั้น ดังนั้นความเท่าเทียมกัน (1) จึงต้องเสริมด้วยการบ่งชี้ความน่าจะเป็นที่ความสัมพันธ์นี้สมเหตุสมผล (เราจะกำหนดคำสั่งนี้ ด้านล่างอย่างแม่นยำยิ่งขึ้น)

การประเมินข้อผิดพลาดเป็นสิ่งที่จำเป็น เนื่องจากโดยไม่รู้ว่าข้อผิดพลาดคืออะไร จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะสรุปผลจากการทดลองได้

โดยทั่วไปแล้ว ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดสัมพัทธ์จะถูกคำนวณ ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ Δx คือความแตกต่างระหว่างค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้ μ และผลการวัด x กล่าวคือ ∆x = μ - x

อัตราส่วนของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ต่อค่าที่แท้จริงของค่าที่วัดได้ ε = (μ - x)/μ เรียกว่าข้อผิดพลาดสัมพัทธ์

ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์แสดงถึงข้อผิดพลาดของวิธีการที่เลือกสำหรับการวัด

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์บ่งบอกถึงคุณภาพของการวัด ความแม่นยำในการวัดเป็นผลกลับของข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ เช่น 1/ε.

§ 2. การจำแนกประเภทของข้อผิดพลาด

ข้อผิดพลาดในการวัดทั้งหมดแบ่งออกเป็นสามประเภท: ข้อผิดพลาดที่พลาด (ข้อผิดพลาดรวม) ข้อผิดพลาดที่เป็นระบบและข้อผิดพลาดแบบสุ่ม

MISS เกิดจากการฝ่าฝืนเงื่อนไขการวัดอย่างเฉียบพลันในระหว่างการสังเกตแต่ละครั้ง นี่เป็นข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับการกระแทกหรือการพังของอุปกรณ์ การคำนวณผิดอย่างร้ายแรงโดยผู้ทดลอง การแทรกแซงที่ไม่คาดคิด ฯลฯ ข้อผิดพลาดโดยรวมมักปรากฏในไม่เกินหนึ่งหรือสองมิติ และมีขนาดแตกต่างอย่างมากจากข้อผิดพลาดอื่นๆ การปรากฏตัวของผู้พลาดสามารถบิดเบือนผลลัพธ์ที่มีผู้พลาดได้อย่างมาก วิธีที่ง่ายที่สุดคือระบุสาเหตุของข้อผิดพลาดและกำจัดออกในระหว่างกระบวนการวัด หากข้อผิดพลาดไม่ได้รับการยกเว้นในระหว่างกระบวนการวัด ควรดำเนินการนี้เมื่อประมวลผลผลการวัดโดยใช้เกณฑ์พิเศษที่ทำให้สามารถระบุได้อย่างเป็นกลางในการสังเกตแต่ละชุดความผิดพลาดร้ายแรง

ถ้ามี ข้อผิดพลาดทางระบบเป็นองค์ประกอบของข้อผิดพลาดในการวัดที่คงที่และเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติด้วยการวัดซ้ำในปริมาณเท่ากัน ข้อผิดพลาดที่เป็นระบบเกิดขึ้นหากคุณไม่คำนึงถึงเช่นการขยายตัวทางความร้อน

เมื่อทำการวัดปริมาตรของของเหลวหรือก๊าซที่เกิดขึ้นที่อุณหภูมิที่เปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ หากเมื่อทำการวัดมวลไม่ได้คำนึงถึงผลกระทบของแรงลอยตัวของอากาศที่มีต่อร่างกายที่ชั่งน้ำหนักและต่อตุ้มน้ำหนัก ฯลฯ ข้อผิดพลาดที่เป็นระบบจะถูกสังเกตหากใช้สเกลไม้บรรทัดอย่างไม่ถูกต้อง (ไม่สม่ำเสมอ) เส้นเลือดฝอยของเทอร์โมมิเตอร์ในพื้นที่ต่าง ๆ จะมีหน้าตัดต่างกัน ในกรณีที่ไม่มีกระแสไฟฟ้า

ผ่านแอมป์มิเตอร์ เข็มเครื่องมือไม่อยู่ที่ศูนย์ ฯลฯ ดังที่เห็นได้จากตัวอย่างข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ

เกิดจากสาเหตุบางประการ ค่าของมันจึงคงที่ (การเลื่อนของสเกลเครื่องมือเป็นศูนย์ ความไม่สม่ำเสมอของสเกล) หรือการเปลี่ยนแปลงตามกฎบางอย่าง (บางครั้งค่อนข้างซับซ้อน) (ความไม่สม่ำเสมอของสเกล ความตัดขวางที่ไม่สม่ำเสมอของเส้นเลือดฝอยของเทอร์โมมิเตอร์ ฯลฯ)

เราสามารถพูดได้ว่าข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบเป็นสำนวนที่นุ่มนวลซึ่งมาแทนที่คำว่า “ข้อผิดพลาดของผู้ทดลอง”

1. ข้อผิดพลาดดังกล่าวเกิดขึ้นเนื่องจาก:
2. เครื่องมือวัดไม่ถูกต้อง
3. การติดตั้งจริงแตกต่างจากอุดมคติบางประการ

ทฤษฎีของปรากฏการณ์นี้ไม่ถูกต้องทั้งหมด เช่น ผลกระทบบางอย่างจะไม่ถูกนำมาพิจารณา เรารู้ว่าต้องทำอย่างไรในกรณีแรก จำเป็นต้องมีการสอบเทียบหรือสอบเทียบ ในอีกสองกรณีสูตรสำเร็จรูป ไม่มีอยู่จริง ยิ่งคุณรู้จักฟิสิกส์ดีเท่าไหร่ ยิ่งมีประสบการณ์มากขึ้นเท่านั้น โอกาสที่คุณจะค้นพบเอฟเฟกต์ดังกล่าวก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น และด้วยเหตุนี้จึงกำจัดพวกมันออกไปกฎทั่วไป

1. ข้อผิดพลาดที่เป็นระบบซึ่งคุณทราบถึงธรรมชาติและค่าที่สามารถพบได้จึงถูกกำจัดออกโดยแนะนำการแก้ไข ตัวอย่าง.การชั่งน้ำหนักบนตาชั่งที่มีแขนไม่เท่ากัน ให้ส่วนต่างของความยาวแขนเป็น 0.001 มม- ด้วยความยาวโยก 70 มมและน้ำหนักตัวที่ชั่งได้ 200 ชข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบจะเป็น 2.86 มก- ข้อผิดพลาดที่เป็นระบบในการวัดนี้สามารถกำจัดได้โดยใช้ วิธีการพิเศษการชั่งน้ำหนัก (วิธีเกาส์, วิธีเมนเดเลเยฟ ฯลฯ )
2. ข้อผิดพลาดที่เป็นระบบซึ่งทราบกันว่ามีน้อยกว่าจำนวนที่กำหนด ค่าที่แน่นอน- ในกรณีนี้เมื่อบันทึกคำตอบ ค่าสูงสุด. ตัวอย่าง.เอกสารข้อมูลที่ให้มาพร้อมกับไมโครมิเตอร์ระบุว่า: “ข้อผิดพลาดที่ยอมรับได้คือ ±0.004 มม- อุณหภูมิ +20 ± 4° C ซึ่งหมายความว่า การวัดขนาดของร่างกายใดๆ ด้วยไมโครมิเตอร์นี้ที่อุณหภูมิที่ระบุในหนังสือเดินทาง เราจะได้ ข้อผิดพลาดแน่นอนไม่เกิน ± 0.004 มมสำหรับผลการวัดใดๆ

   บ่อยครั้งที่ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์สูงสุดที่กำหนดโดยอุปกรณ์ที่กำหนดจะถูกระบุโดยใช้ระดับความแม่นยำของอุปกรณ์ซึ่งแสดงบนมาตราส่วนของอุปกรณ์ตามหมายเลขที่เกี่ยวข้อง ซึ่งส่วนใหญ่มักเป็นวงกลม

   ตัวเลขที่ระบุระดับความแม่นยำจะแสดงข้อผิดพลาดสัมบูรณ์สูงสุดของอุปกรณ์ โดยแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ มูลค่าสูงสุดเปิดค่าที่วัดได้ ขีด จำกัด บนตาชั่ง

   ให้ใช้โวลต์มิเตอร์ในการวัด โดยมีสเกลตั้งแต่ 0 ถึง 250 ในระดับความแม่นยำของมันคือ 1 ซึ่งหมายความว่าค่าความผิดพลาดสัมบูรณ์สูงสุดที่สามารถทำได้เมื่อวัดด้วยโวลต์มิเตอร์นี้จะไม่เกิน 1% ของค่าแรงดันไฟฟ้าสูงสุดที่สามารถวัดได้ในสเกลเครื่องมือนี้ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ:

   δ = ±0.01·250 ใน= ±2.5 ใน.

   ระดับความแม่นยำของเครื่องมือวัดทางไฟฟ้าจะกำหนดข้อผิดพลาดสูงสุด ซึ่งค่าจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเคลื่อนที่จากจุดเริ่มต้นไปยังจุดสิ้นสุดของเครื่องชั่ง ในกรณีนี้ ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์จะเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็ว เนื่องจากเครื่องมือให้ความแม่นยำที่ดีเมื่อเข็มเบี่ยงเบนไปเกือบทั้งสเกล และไม่ได้ให้ไว้เมื่อทำการวัดที่จุดเริ่มต้นของสเกล นี่คือคำแนะนำ: เลือกอุปกรณ์ (หรือสเกลของอุปกรณ์หลายช่วง) เพื่อให้ลูกศรของอุปกรณ์ไปเกินกึ่งกลางของสเกลในระหว่างการวัด

   หากไม่ได้ระบุระดับความแม่นยำของอุปกรณ์และไม่มีข้อมูลหนังสือเดินทาง ครึ่งหนึ่งของราคาของส่วนที่เล็กที่สุดของอุปกรณ์จะถือเป็นข้อผิดพลาดสูงสุดของอุปกรณ์

   คำไม่กี่คำเกี่ยวกับความถูกต้องของผู้ปกครอง ไม้บรรทัดโลหะมีความแม่นยำมาก: การแบ่งส่วนมิลลิเมตรมีข้อผิดพลาดไม่เกิน ± 0.05 มมและเซนติเมตรก็ไม่แย่ไปกว่าความแม่นยำ 0.1 มม- ข้อผิดพลาดของการวัดที่ทำขึ้นด้วยความแม่นยำของไม้บรรทัดนั้นเกือบจะเท่ากับข้อผิดพลาดในการอ่านด้วยตา (≤0.5 มม- เป็นการดีกว่าที่จะไม่ใช้ไม้บรรทัดไม้และพลาสติก

   ไมโครมิเตอร์ที่ใช้งานได้ให้ความแม่นยำ 0.01 มมและข้อผิดพลาดในการวัดด้วยคาลิปเปอร์จะถูกกำหนดโดยความแม่นยำในการอ่านค่าได้ เช่น ความแม่นยำของเวอร์เนียร์ (ปกติ 0.1 มมหรือ 0.05 มม).

3. ข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบที่เกิดจากคุณสมบัติของวัตถุที่วัดได้ ข้อผิดพลาดเหล่านี้มักจะลดลงเป็นโอกาส ตัวอย่าง.- พิจารณาค่าการนำไฟฟ้าของวัสดุบางชนิด หากการวัดดังกล่าวใช้ชิ้นส่วนของเส้นลวดที่มีข้อบกพร่องบางอย่าง (ความหนา, รอยแตก, ความไม่สม่ำเสมอ) แล้วจะเกิดข้อผิดพลาดในการพิจารณาค่าการนำไฟฟ้า การวัดซ้ำจะให้ค่าเดียวกันนั่นคือ มีข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบเกิดขึ้น
4. ลองวัดความต้านทานของเส้นลวดดังกล่าวหลายๆ ชิ้นแล้วค้นหาค่าเฉลี่ยของค่าการนำไฟฟ้าของวัสดุนี้ ซึ่งอาจมากกว่าหรือน้อยกว่าค่าการนำไฟฟ้าของการวัดแต่ละรายการ ดังนั้น ข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นในการวัดเหล่านี้จึงสามารถนำมาประกอบกับ ที่เรียกว่าข้อผิดพลาดแบบสุ่ม ตัวอย่าง.ข้อผิดพลาดที่เป็นระบบซึ่งไม่ทราบว่ามีอยู่

- กำหนดความหนาแน่นของโลหะใด ๆ อันดับแรก เราจะหาปริมาตรและมวลของตัวอย่าง มีช่องว่างภายในตัวอย่างที่เราไม่รู้อะไรเลย จะเกิดข้อผิดพลาดในการกำหนดความหนาแน่น ซึ่งจะเกิดซ้ำสำหรับการวัดจำนวนเท่าใดก็ได้ ตัวอย่างที่ให้มานั้นง่าย โดยสามารถระบุแหล่งที่มาของข้อผิดพลาดและขนาดได้โดยไม่ยาก ข้อผิดพลาดประเภทนี้สามารถระบุได้ด้วยความช่วยเหลือจากการวิจัยเพิ่มเติม โดยการวัดโดยใช้วิธีการที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงและภายใต้เงื่อนไขที่ต่างกัน

RANDOM เป็นองค์ประกอบของข้อผิดพลาดในการวัดที่เปลี่ยนแปลงแบบสุ่มระหว่างการวัดซ้ำในปริมาณเดียวกัน

เมื่อทำการวัดค่าคงที่เดียวกันซ้ำๆ ปริมาณที่ไม่เปลี่ยนแปลงจะดำเนินการด้วยความระมัดระวังเหมือนเดิม และภายใต้สภาวะเดียวกัน เราจะได้ผลลัพธ์การวัด - บางส่วนแตกต่างกัน และบางส่วนก็เหมือนกัน ความคลาดเคลื่อนในผลการวัดบ่งชี้ว่ามีองค์ประกอบข้อผิดพลาดแบบสุ่มอยู่ในนั้น

ข้อผิดพลาดแบบสุ่มอาจเกิดขึ้นกับค่าสัมบูรณ์ที่แตกต่างกัน ซึ่งไม่สามารถคาดการณ์ได้จากการวัดที่กำหนด ข้อผิดพลาดนี้อาจเป็นบวกหรือลบเท่ากัน ข้อผิดพลาดแบบสุ่มมักปรากฏอยู่ในการทดสอบเสมอ ในกรณีที่ไม่มีข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ จะทำให้เกิดการกระจายของการวัดซ้ำที่สัมพันธ์กับค่าจริง ( รูปที่ 14).

นอกจากนี้ หากเกิดข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ ผลการวัดจะกระจัดกระจายโดยสัมพันธ์กับค่าที่ไม่เป็นความจริง แต่เป็นค่าเอนเอียง ( รูปที่ 15).

ข้าว. รูปที่ 14 15

สมมติว่าคาบการแกว่งของลูกตุ้มวัดโดยใช้นาฬิกาจับเวลา และทำการวัดซ้ำหลายครั้ง ข้อผิดพลาดในการเริ่มและหยุดนาฬิกาจับเวลา ข้อผิดพลาดในค่าที่อ่านได้ ความไม่สม่ำเสมอเล็กน้อยในการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม ทั้งหมดนี้ทำให้เกิดการกระเจิงในผลลัพธ์ของการวัดซ้ำๆ ดังนั้นจึงจัดเป็นข้อผิดพลาดแบบสุ่มได้

หากไม่มีข้อผิดพลาดอื่นๆ ผลลัพธ์บางอย่างก็จะถูกประเมินสูงเกินไป ในขณะที่บางผลลัพธ์ก็จะถูกประเมินต่ำไปบ้าง แต่หากนอกเหนือจากนี้ นาฬิกายังช้าเกินไป ผลลัพธ์ทั้งหมดก็จะถูกประเมินต่ำไป นี่เป็นข้อผิดพลาดที่เป็นระบบอยู่แล้ว

ปัจจัยบางอย่างอาจทำให้เกิดข้อผิดพลาดทั้งที่เป็นระบบและแบบสุ่มในเวลาเดียวกัน ดังนั้น การเปิดและปิดนาฬิกาจับเวลาทำให้เราสามารถสร้างการแพร่กระจายที่ผิดปกติเล็กน้อยในเวลาเริ่มต้นและเวลาหยุดของนาฬิกาที่สัมพันธ์กับการเคลื่อนไหวของลูกตุ้ม และทำให้เกิดข้อผิดพลาดแบบสุ่ม แต่ถ้าเรารีบเปิดนาฬิกาจับเวลาทุกครั้งและปิดช้าไปบ้างก็จะทำให้เกิดข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ

ข้อผิดพลาดแบบสุ่มเกิดจากข้อผิดพลาดพารัลแลกซ์เมื่อนับการแบ่งขนาดของเครื่องมือ การสั่นของฐานรากของอาคาร อิทธิพลของการเคลื่อนที่ของอากาศเล็กน้อย เป็นต้น

แม้ว่าจะเป็นไปไม่ได้ที่จะกำจัดข้อผิดพลาดแบบสุ่มในการวัดแต่ละครั้ง แต่ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์สุ่มช่วยให้เราสามารถลดอิทธิพลของข้อผิดพลาดเหล่านี้ต่อผลการวัดขั้นสุดท้ายได้ จะแสดงด้านล่างว่าสำหรับสิ่งนี้ ไม่จำเป็นต้องทำการวัดเพียงครั้งเดียว แต่ทำการวัดหลายครั้ง และยิ่งค่าความผิดพลาดที่เราต้องการได้รับน้อยลง มิติข้อมูลมากขึ้นจำเป็นต้องดำเนินการ

โปรดทราบว่าหากข้อผิดพลาดแบบสุ่มที่ได้รับจากข้อมูลการวัดมีค่าน้อยกว่าข้อผิดพลาดที่กำหนดโดยความแม่นยำของอุปกรณ์อย่างมีนัยสำคัญ เห็นได้ชัดว่าไม่มีประเด็นใดที่จะพยายามลดค่าของ ข้อผิดพลาดแบบสุ่ม อย่างไรก็ตาม ผลการวัดจะไม่แม่นยำมากขึ้น

ในทางตรงกันข้าม หากข้อผิดพลาดแบบสุ่มมากกว่าข้อผิดพลาดด้านเครื่องมือ (อย่างเป็นระบบ) ควรทำการวัดหลายครั้งเพื่อลดค่าข้อผิดพลาดสำหรับชุดการวัดที่กำหนด และทำให้ข้อผิดพลาดนี้น้อยกว่าหรือเท่ากัน ลำดับความสำคัญเป็นข้อผิดพลาดของเครื่องมือ