ข้อใดคือคำตอบของสมการเชิงกราฟิก คำตอบแบบกราฟิกของอสมการแบบผสม

การแก้สมการเชิงกราฟิก

เรามาสรุปความรู้ของเราเกี่ยวกับ กราฟฟังก์ชั่น เราได้เรียนรู้วิธีสร้างกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้:

y =b (เส้นตรงขนานกับแกน x);

y = kx (เส้นที่ผ่านจุดกำเนิด);

y - kx + m (เส้นตรง);

y = x 2 (พาราโบลา)

ความรู้เกี่ยวกับกราฟเหล่านี้จะช่วยให้เราแทนที่การวิเคราะห์ได้ หากจำเป็น แบบอย่างตัวอย่างเช่น เรขาคณิต (กราฟิก) แทนที่จะเป็นแบบจำลอง y = x 2 (ซึ่งแสดงถึงความเท่าเทียมกันด้วยตัวแปร x และ y สองตัว) ให้พิจารณาพาราโบลาใน ประสานงานเครื่องบิน- โดยเฉพาะอย่างยิ่งบางครั้งอาจมีประโยชน์ในการแก้สมการ เรามาหารือกันถึงวิธีการดำเนินการนี้โดยใช้ตัวอย่างต่างๆ

A. V. Pogorelov เรขาคณิตสำหรับเกรด 7-11 หนังสือเรียนสำหรับ สถาบันการศึกษา

เนื้อหาบทเรียน บันทึกบทเรียนสนับสนุนวิธีการเร่งความเร็วการนำเสนอบทเรียนแบบเฟรมเทคโนโลยีเชิงโต้ตอบ ฝึกฝน งานและแบบฝึกหัด การประชุมเชิงปฏิบัติการ การทดสอบตัวเอง การฝึกอบรม กรณี ภารกิจ การอภิปราย การบ้าน คำถาม คำถามเชิงวาทศิลป์จากนักเรียน ภาพประกอบ เสียง คลิปวิดีโอ และมัลติมีเดียภาพถ่าย รูปภาพ กราฟิก ตาราง แผนภาพ อารมณ์ขัน เกร็ดเล็กเกร็ดน้อย เรื่องตลก การ์ตูน อุปมา คำพูด ปริศนาอักษรไขว้ คำพูด ส่วนเสริม บทคัดย่อบทความ เคล็ดลับสำหรับเปล ตำราเรียนขั้นพื้นฐาน และพจนานุกรมคำศัพท์เพิ่มเติมอื่นๆ การปรับปรุงตำราเรียนและบทเรียนแก้ไขข้อผิดพลาดในตำราเรียนการอัปเดตส่วนในตำราเรียน องค์ประกอบของนวัตกรรมในบทเรียน การแทนที่ความรู้ที่ล้าสมัยด้วยความรู้ใหม่ สำหรับครูเท่านั้น บทเรียนที่สมบูรณ์แบบ แผนปฏิทินเป็นเวลาหนึ่งปี คำแนะนำด้านระเบียบวิธีโปรแกรมการอภิปราย บทเรียนบูรณาการ

ในระหว่างบทเรียน นักเรียนได้แสดงความรู้และทักษะของโปรแกรม:

– รู้จักประเภทของฟังก์ชัน สร้างกราฟ
– ฝึกทักษะในการสร้างฟังก์ชันกำลังสอง
- ได้ผล วิธีการกราฟิกการแก้สมการกำลังสองโดยใช้วิธีการสกัด สี่เหลี่ยมเต็ม.

ฉันต้องการที่จะให้ ความสนใจเป็นพิเศษการแก้ปัญหาด้วยพารามิเตอร์เนื่องจาก Unified State Examination ในวิชาคณิตศาสตร์มีงานประเภทนี้มากมาย

ตัวนักเรียนเองได้ให้โอกาสในการใช้งานประเภทนี้ในห้องเรียน เนื่องจากพวกเขามีฐานความรู้เพียงพอที่สามารถเจาะลึกและขยายออกไปได้

เทมเพลตที่นักเรียนเตรียมไว้ล่วงหน้าช่วยประหยัดเวลาเรียน ในระหว่างบทเรียน ฉันสามารถนำงานที่ตั้งไว้ตอนต้นบทเรียนไปใช้และได้รับผลลัพธ์ตามที่คาดหวัง

การใช้บทเรียนพลศึกษาช่วยหลีกเลี่ยงการทำงานหนักของนักเรียนและรักษาแรงจูงใจที่มีประสิทธิผลในการแสวงหาความรู้

โดยทั่วไปแล้ว ฉันพอใจกับผลลัพธ์ของบทเรียน แต่ฉันคิดว่ายังมีโอกาสสำรองอยู่: เครื่องมือทางเทคโนโลยีที่เป็นนวัตกรรมสมัยใหม่ ซึ่งโชคไม่ดีที่เราไม่มีโอกาสได้ใช้

ประเภทบทเรียน:การรวมเนื้อหาที่ศึกษา

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

การศึกษาทั่วไปและการสอน:
- พัฒนาวิธีคิดที่หลากหลายในนักเรียน
- พัฒนาความสามารถในการแก้ไขปัญหาอย่างอิสระ
- เพื่อปลูกฝังวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ของนักเรียน
- พัฒนาสัญชาตญาณและความสามารถในการใช้ความรู้ที่ได้รับของนักเรียน
เป้าหมายการเรียนรู้:
- สรุปข้อมูลที่ศึกษาก่อนหน้านี้ในหัวข้อ “การเฉลยกราฟิกของสมการกำลังสอง”;
- ทำซ้ำการสร้างกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง
- พัฒนาทักษะการใช้อัลกอริธึมในการแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีกราฟิก
ทางการศึกษา:
- ทำให้เกิดความสนใจใน กิจกรรมการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์;
- การก่อตัวของความอดทน (ความอดทน) ความสามารถในการทำงานเป็นทีม

ความก้าวหน้าของบทเรียน

ฉัน. ช่วงเวลาขององค์กร

– วันนี้ในบทเรียน เราจะสรุปและรวมคำตอบเชิงกราฟิกของสมการกำลังสองเข้าด้วยกัน ในรูปแบบต่างๆ.
ในอนาคตเราจะต้องมีทักษะเหล่านี้ในโรงเรียนมัธยมในบทเรียนคณิตศาสตร์เมื่อแก้สมการตรีโกณมิติและลอการิทึมการค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเช่นเดียวกับในบทเรียนฟิสิกส์

ครั้งที่สอง ตรวจการบ้าน

ลองดูหมายเลข 23.5(d) บนกระดาน

แก้สมการนี้โดยใช้พาราโบลาและเส้นตรง

สารละลาย:

x 2 + x – 6 = 0
มาแปลงสมการกัน: x 2 = 6 – x
ขอแนะนำฟังก์ชั่นต่างๆ:

ย = x 2; ฟังก์ชันกำลังสอง y = 6 – x เชิงเส้น
กำหนดเวลา yavl พาราโบลา, กราฟ ตรง,

เราสร้างกราฟของฟังก์ชันในระบบพิกัดเดียว (โดยใช้เทมเพลต)

เราได้จุดตัดกันสองจุด

โดยการตัดสินใจ สมการกำลังสองค่าขาดของจุดเหล่านี้คือ x 1 = – 3, x 2 = 2

คำตอบ: – 3; 2.

ที่สาม การสำรวจหน้าผาก

กราฟคืออะไร ฟังก์ชันกำลังสอง?
บอกอัลกอริทึมสำหรับสร้างกราฟของฟังก์ชันกำลังสองให้ฉันหน่อยสิ?
สมการกำลังสองคืออะไร?
ยกตัวอย่างสมการกำลังสอง?
เขียนตัวอย่างสมการกำลังสองของคุณไว้บนกระดาน ค่าสัมประสิทธิ์คืออะไร?
การแก้สมการหมายความว่าอย่างไร?
คุณรู้วิธีแก้สมการกำลังสองแบบกราฟิกได้กี่วิธี?
วิธีกราฟิกสำหรับการแก้สมการกำลังสองคืออะไร:

IV. การแก้ไขวัสดุ

บนกระดาน นักเรียนแก้โจทย์โดยใช้วิธีที่หนึ่ง สอง สาม

ชั้นตัดสินที่สี่

– x 2 + 6x – 5 = 0

ฉันแปลงสมการกำลังสองโดยแยกกำลังสองสมบูรณ์ของทวินาม:

– x 2 + 6x – 5 = – (x 2 – 6x + 5) = – (x 2 – 6x + 32 – 9 + 5) = – ((x – 3) 2 – 4) = – (x – 3) 2+4

เราได้สมการกำลังสอง:

– (x – 3) 2 + 4 = 0

ขอแนะนำฟังก์ชั่น:

y = – (x 2 – 3) 2 + 4

ฟังก์ชันกำลังสองของรูปแบบ y = a (x + L) 2 + m

กำหนดการก็คือ พาราโบลา กิ่งก้านชี้ลง พาราโบลาหลักเลื่อนไปตามแกนวัวไปทางขวา 3 หน่วย ขึ้นไปตามแกนออย 4 หน่วย ยอด (3; 4)

เราสร้างตามเทมเพลต

เราพบจุดตัดของพาราโบลากับแกนอ็อกซ์ จุดขาดของจุดเหล่านี้คือ การแก้สมการนี้ x = 1, x = 5

ลองดูโซลูชันกราฟิกอื่นๆ บนกระดาน แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับวิธีการแก้สมการกำลังสองของคุณ

นักเรียน 1 คน

สารละลาย:

– x 2 + 6x – 5 = 0

ขอแนะนำฟังก์ชัน y = – x + 6x – 5 ฟังก์ชันกำลังสอง กราฟเป็นรูปพาราโบลา กิ่งก้านชี้ลง ด้านบน

x 0 = – b/2a
x 0 = – 6/– 2 = 3
ปี 0 = – 3 2 + 18 = 9; จุด (3; 9)
แกนสมมาตร x = 3

เราสร้างตามเทมเพลต

เราได้จุดตัดกับแกน Ox แล้ว จุดหักเหของจุดเหล่านี้คือคำตอบของสมการกำลังสอง สองราก x 1 = 1, x 2 = 5

นักเรียน 2 คน

สารละลาย:

– x 2 + 6x – 5 = 0

มาแปลงกัน: – x 2 + 6x = 5

ขอแนะนำฟังก์ชันต่างๆ กัน: y1 = – x 2 + 6x, y2 = 5, ฟังก์ชันเชิงเส้น, ฟังก์ชันกำลังสอง, กราฟกราฟของปรากฏการณ์ เส้นตรงที่ || โอ้ ยอล. พาราโบลา กิ่งก้านชี้ลง บน x 0 = – b/2a
x 0 = – 6/– 2 = 3
ปี 0 = – 3 2 + 18 = 9;
(3; 9).
แกนสมมาตร x = 3
เราสร้างตามเทมเพลต
เราได้จุดตัดแล้ว
พาราโบลาและเส้นตรง สมการกำลังสองคือค่าเฉลยของสมการกำลังสอง สองราก x 1 = 1, x 2 = 5
ดังนั้นสมการเดียวกันสามารถแก้ได้หลายวิธี แต่คำตอบควรเหมือนกัน

V. นาทีพลศึกษา

วี. การแก้ปัญหาด้วยพารามิเตอร์

อยู่ที่ค่าไหน. รสมการ x 2 + 6x + 8 = p:
- ไม่มีรากเหรอ?
– มันมีหนึ่งรากหรือไม่?
– มีสองราก?
สมการนี้แตกต่างจากสมการก่อนหน้าอย่างไร
ถูกต้องด้วยจดหมาย!
ต่อไปนี้เราจะเรียกจดหมายนี้ว่า พารามิเตอร์พี.
จนถึงตอนนี้เธอไม่ได้บอกอะไรคุณเลย แต่ในอนาคตเราจะแก้ไขปัญหาต่าง ๆ ด้วยพารามิเตอร์
วันนี้เราจะแก้สมการกำลังสองด้วยพารามิเตอร์ วิธีการแบบกราฟิกโดยใช้วิธีที่ 3 โดยใช้พาราโบลาและเส้นตรงขนานกับแกน x
นักเรียนช่วยครูแก้โจทย์บนกระดานดำ
เราควรเริ่มตัดสินใจตรงไหน?

มาตั้งค่าฟังก์ชั่นกัน:

y 1 = x 2 + 6x + 8 y 2 = p ฟังก์ชันเชิงเส้น
ฟังก์ชันกำลังสอง กราฟเป็นเส้นตรง
กำหนดเวลา yavl พาราโบลา,
กิ่งก้านชี้ลงด้านบน

x 0 = – b/2a,
x 0 = – 6/2 = – 3
y 0 = (– 3) 2 + 6(– 3) + 8 = – 1
(– 3; – 1)

แกนสมมาตรคือ x = 3 ฉันจะไม่สร้างตาราง แต่ฉันจะใช้เทมเพลต y = x 2 แล้วนำไปใช้กับจุดยอดของพาราโบลา
พาราโบลาถูกสร้างขึ้นแล้ว! ตอนนี้เราต้องวาดเส้นตรง ย = พี.
– ฉันควรวาดเส้นตรงที่ไหน? รเพื่อให้ได้สองราก?
– ฉันควรวาดเส้นตรงที่ไหน? รเพื่อให้ได้หนึ่งรูท?
– ฉันควรวาดเส้นตรงที่ไหน? รจึงไม่มีราก?
– แล้วสมการของเรามีได้กี่ราก?
– คุณชอบงานนี้ไหม? ขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือของคุณ! คะแนน 5.

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว ทำงานอิสระตามตัวเลือก (5 นาที)

y = x 2 – 5x + 6 y = – x 2 + x – 6

แก้สมการกำลังสองแบบกราฟิก โดยเลือกวิธีที่สะดวกสำหรับคุณ หากมีคนอื่นทำงานเสร็จเร็วกว่าปกติ ให้ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของคุณด้วยวิธีอื่น จะมีการให้คะแนนเพิ่มเติมสำหรับสิ่งนี้

8. สรุปบทเรียน

– คุณเรียนรู้อะไรในบทเรียนวันนี้?
– วันนี้ในบทเรียน เราได้แก้สมการกำลังสองแบบกราฟิกโดยใช้วิธีการแก้ปัญหาต่างๆ และดูวิธีการแก้สมการกำลังสองด้วยพารามิเตอร์แบบกราฟิก!
- มาทำการบ้านกันดีกว่า

ทรงเครื่อง การบ้าน

1. โฮมเมด ทดสอบในหน้า 147 จากหนังสือปัญหาของ Mordkovich สำหรับตัวเลือก I และ II
2. ที่วงกลม ในวันพุธ เราจะแก้วิธีเส้นที่ 5 (ไฮเปอร์โบลาและเส้นตรง)

X. วรรณกรรม:

1. เอ.จี. มอร์ดโควิช- พีชคณิต-8 ส่วนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษา อ.: Mnemosyne, 2008.
2. เอ.จี. Mordkovich, L.A. Aleksandrova, T.N. มิชูสตินา, E.E. ทุลชินสกายา- พีชคณิต – 8 ตอนที่ 2 หนังสือปัญหาสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษา อ.: Mnemosyne, 2008.
3. เอ.จี. มอร์ดโควิช- พีชคณิต 7-9 คู่มือระเบียบวิธีสำหรับครู M.: Mnemosyne, 2004.
4. แอลเอ อเล็กซานโดรวา- พีชคณิต-8 งานอิสระสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษา./อ. เอ.จี. มอร์ดโควิช. อ.: Mnemosyne, 2009.

การแก้สมการเชิงกราฟิก

เฮ้เดย์, 2009

การแนะนำ

ความจำเป็นในการแก้สมการกำลังสองในสมัยโบราณมีสาเหตุมาจากความจำเป็นในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการหาพื้นที่ ที่ดินและด้วยกำแพงดินที่มีลักษณะทางการทหารตลอดจนการพัฒนาด้านดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์ด้วย ชาวบาบิโลนสามารถแก้สมการกำลังสองได้ประมาณ 2,000 ปีก่อนคริสตกาล กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้ที่กำหนดไว้ในตำราของชาวบาบิโลนนั้นโดยพื้นฐานแล้วเกิดขึ้นพร้อมกับสมการสมัยใหม่ แต่ไม่มีใครรู้ว่าชาวบาบิโลนมาถึงกฎนี้ได้อย่างไร

สูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสองในยุโรปมีการกำหนดไว้ครั้งแรกใน Book of Abacus ซึ่งเขียนขึ้นในปี 1202 โดย Leonardo Fibonacci นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี หนังสือของเขามีส่วนช่วยในการเผยแพร่ความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตไม่เพียงแต่ในอิตาลี แต่ยังในเยอรมนี ฝรั่งเศส และประเทศอื่นๆ ในยุโรปด้วย

แต่ กฎทั่วไปการแก้สมการกำลังสองสำหรับการรวมกันของสัมประสิทธิ์ b และ c ที่เป็นไปได้ทั้งหมดถูกกำหนดขึ้นในยุโรปในปี 1544 โดย M. Stiefel เท่านั้น

ในปี ค.ศ. 1591 ฟรองซัวส์ เวียต แนะนำสูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสอง

ใน บาบิโลนโบราณสามารถแก้สมการกำลังสองบางประเภทได้

ไดโอแฟนทัสแห่งอเล็กซานเดรีย และ ยุคลิด , อัล-คอวาริซมีและ โอมาร์ คัยยัมสมการแก้สมการโดยใช้วิธีเรขาคณิตและกราฟิก

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เราเรียนเรื่องฟังก์ชัน y = C, ย = เคเอ็กซ์ , ย = เคเอ็กซ์ + ม , ย = x 2 ,ย = – x 2 , ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 – ย = √ x , ย = |x |, ย = ขวาน 2 + บีเอ็กซ์ + ค , ย = เค / x- ในหนังสือเรียนพีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ฉันเห็นฟังก์ชันที่ยังไม่รู้จัก: ย = x 3 , ย = x 4 ,ย = x 2n, ย = x - 2n, ย = 3 √x , ( x – ก ) 2 + (คุณ – ข ) 2 = ร 2 และอื่น ๆ มีกฎสำหรับการสร้างกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้ ฉันสงสัยว่ามีหน้าที่อื่นที่ปฏิบัติตามกฎเหล่านี้หรือไม่

งานของฉันคือศึกษากราฟฟังก์ชันและแก้สมการแบบกราฟิก

1. มีหน้าที่อะไรบ้าง?

กราฟของฟังก์ชันคือเซตของจุดทุกจุดของระนาบพิกัด ซึ่งจุดหักล้างของฟังก์ชันจะเท่ากับค่าของอาร์กิวเมนต์ และพิกัดจะเท่ากับค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันเชิงเส้นกำหนดโดยสมการ ย = เคเอ็กซ์ + ข, ที่ไหน เคและ ข- ตัวเลขบางตัว กราฟของฟังก์ชันนี้เป็นเส้นตรง

การทำงาน สัดส่วนผกผัน ย = เค / xโดยที่ k¹ 0 กราฟของฟังก์ชันนี้เรียกว่าไฮเปอร์โบลา

การทำงาน ( x – ก ) 2 + (ย – ข ) 2 = ร 2 , ที่ไหน ก , ขและ ร- ตัวเลขบางตัว กราฟของฟังก์ชันนี้คือวงกลมรัศมี r โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด A ( ก , ข).

ฟังก์ชันกำลังสอง ย = ขวาน 2 + บีเอ็กซ์ + คที่ไหน เอ, ข , กับ– ตัวเลขบางส่วนและ ก¹ 0 กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลา

สมการ ปี 2 ( ก – x ) = x 2 ( ก + x ) - กราฟของสมการนี้จะเป็นเส้นโค้งที่เรียกว่าสโตรฟอยด์

สมการ ( x 2 + ย 2 ) 2 = ก ( x 2 – ย 2 ) - กราฟของสมการนี้เรียกว่าการเล็มนิสเคตของแบร์นูลลี

สมการ กราฟของสมการนี้เรียกว่าแอสรอยด์

เส้นโค้ง (x 2 ปี 2 – 2 a x) 2 =4 a 2 (x 2 + y 2)- เส้นโค้งนี้เรียกว่าคาร์ดิโอด์

ฟังก์ชั่น: ย = x 3 – ลูกบาศก์พาราโบลา ย = x 4 , ย = 1/ x 2 .

2. แนวคิดของสมการและการแก้สมการเชิงกราฟิก

สมการ– นิพจน์ที่มีตัวแปร

แก้สมการ- นี่หมายถึงการค้นหารากเหง้าทั้งหมดหรือการพิสูจน์ว่าไม่มีอยู่จริง

รากของสมการคือตัวเลขที่เมื่อแทนลงในสมการแล้วจะทำให้เกิดความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง

การแก้สมการแบบกราฟิกช่วยให้คุณค้นหาค่าที่แน่นอนหรือค่าโดยประมาณของราก ช่วยให้คุณสามารถค้นหาจำนวนรากของสมการได้

เมื่อสร้างกราฟและการแก้สมการ จะใช้คุณสมบัติของฟังก์ชัน ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมวิธีนี้จึงเรียกว่าฟังก์ชันเชิงกราฟิก

ในการแก้สมการ เราจะ "แบ่ง" มันออกเป็นสองส่วน แนะนำฟังก์ชันสองฟังก์ชัน สร้างกราฟ และค้นหาพิกัดของจุดตัดกันของกราฟ การขาดดุลของจุดเหล่านี้คือรากของสมการ

3. อัลกอริทึมสำหรับการพล็อตกราฟฟังก์ชัน

รู้จักกราฟของฟังก์ชัน ย = ฉ ( x ) คุณสามารถสร้างกราฟของฟังก์ชันได้ ย = ฉ ( x + ม ) ,ย = ฉ ( x )+ ลและ ย = ฉ ( x + ม )+ ล- กราฟทั้งหมดนี้ได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน ย = ฉ ( x ) ใช้การแปลงแบบดำเนินการแบบขนาน: ถึง │ ม │ หน่วยมาตราส่วนไปทางขวาหรือซ้ายตามแนวแกน x และบน │ ล │ หน่วยมาตราส่วนขึ้นหรือลงตามแนวแกน ย .

4. คำตอบกราฟิกของสมการกำลังสอง

เมื่อใช้ฟังก์ชันกำลังสองเป็นตัวอย่าง เราจะพิจารณาคำตอบกราฟิกของสมการกำลังสอง กราฟของฟังก์ชันกำลังสองคือพาราโบลา

ชาวกรีกโบราณรู้อะไรเกี่ยวกับพาราโบลา

สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่มีต้นกำเนิดในศตวรรษที่ 16

นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณไม่ได้ทำอย่างนั้น วิธีการประสานงานไม่มีแนวคิดเรื่องฟังก์ชัน อย่างไรก็ตาม พวกเขาได้ศึกษาคุณสมบัติของพาราโบลาอย่างละเอียด ความเฉลียวฉลาดของนักคณิตศาสตร์โบราณนั้นน่าทึ่งมาก - ท้ายที่สุดพวกเขาทำได้เพียงใช้ภาพวาดและ คำอธิบายด้วยวาจาการพึ่งพาอาศัยกัน

สำรวจพาราโบลา ไฮเปอร์โบลา และวงรีได้ครบถ้วนที่สุด อพอลโลเนียสแห่งเปอร์กาซึ่งอาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช เขาตั้งชื่อเส้นโค้งเหล่านี้และระบุเงื่อนไขที่จุดบนเส้นโค้งนี้ตรงตามเงื่อนไข (เพราะไม่มีสูตรใดๆ เลย!)

มีอัลกอริทึมสำหรับสร้างพาราโบลา:

ค้นหาพิกัดของจุดยอดของพาราโบลา A (x 0; y 0): x 0 =- ข /2 ก ;

Y 0 = ขวาน o 2 + ใน 0 + c;

ค้นหาแกนสมมาตรของพาราโบลา (เส้นตรง x = x 0)

เรารวบรวมตารางค่าสำหรับการสร้างจุดควบคุม

เราสร้างจุดผลลัพธ์และสร้างจุดที่สมมาตรสัมพันธ์กับแกนสมมาตร

1. ใช้อัลกอริทึม เราจะสร้างพาราโบลา ย = x 2 – 2 x – 3 - รอยแยกของจุดตัดกับแกน xและมีรากของสมการกำลังสอง x 2 – 2 x – 3 = 0.

มีห้าวิธีในการแก้สมการนี้แบบกราฟิก

2. แบ่งสมการออกเป็นสองฟังก์ชัน: ย = x 2 และ ย = 2 x + 3

3. แบ่งสมการออกเป็นสองฟังก์ชัน: ย = x 2 –3 และ ย =2 x- รากของสมการคือจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรง

4. แปลงสมการ x 2 – 2 x – 3 = 0 โดยการแยกกำลังสองที่สมบูรณ์ออกเป็นฟังก์ชัน: ย = ( x –1) 2 และ ย =4. รากของสมการคือจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรง

5. หารทั้งสองข้างของเทอมสมการด้วยเทอม x 2 – 2 x – 3 = 0 บน xเราได้รับ x – 2 – 3/ x = 0 ลองแบ่งสมการนี้ออกเป็นสองฟังก์ชัน: ย = x – 2, ย = 3/ x . รากของสมการคือจุดตัดของเส้นตรงและไฮเปอร์โบลา

5. คำตอบกราฟิกของสมการระดับ n

ตัวอย่างที่ 1แก้สมการ x 5 = 3 – 2 x .

ย = x 5 , ย = 3 – 2 x .

คำตอบ: x = 1

ตัวอย่างที่ 2แก้สมการ 3 √ x = 10 – x .

รากของสมการนี้คือค่า abscissa ของจุดตัดกันของกราฟของฟังก์ชันทั้งสอง: ย = 3 √ x , ย = 10 – x .

คำตอบ: x = 8.

บทสรุป

เมื่อดูกราฟของฟังก์ชันแล้ว: ย = ขวาน 2 + บีเอ็กซ์ + ค , ย = เค / x , คุณ = √ x , ย = |x |, ย = x 3 , ย = x 4 ,ย = 3 √x , ฉันสังเกตเห็นว่ากราฟทั้งหมดนี้ถูกสร้างขึ้นตามกฎของการแปลแบบขนานที่สัมพันธ์กับแกน xและ ย .

จากตัวอย่างการแก้สมการกำลังสอง เราสามารถสรุปได้ว่าวิธีกราฟิกยังใช้กับสมการระดับ n ได้ด้วย

วิธีการแก้สมการแบบกราฟิกนั้นสวยงามและเข้าใจได้ แต่ไม่ได้รับประกันว่าจะแก้สมการใดๆ ได้ 100% ฝีของจุดตัดของกราฟสามารถเป็นค่าประมาณได้

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 และมัธยมปลาย ฉันจะทำความคุ้นเคยกับหน้าที่อื่นๆ ต่อไป ฉันสนใจที่จะทราบว่าฟังก์ชันเหล่านั้นเป็นไปตามกฎการถ่ายโอนแบบขนานเมื่อสร้างกราฟหรือไม่

บน ปีหน้าฉันอยากจะพิจารณาประเด็นของการแก้ระบบสมการและอสมการแบบกราฟิกด้วย

วรรณกรรม

1. พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ส่วนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษา / A.G. มอร์ดโควิช. อ.: Mnemosyne, 2007.

2. พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ส่วนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษา / A.G. มอร์ดโควิช. อ.: Mnemosyne, 2007.

3. พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ส่วนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษา / A.G. มอร์ดโควิช. อ.: Mnemosyne, 2007.

4. เกลเซอร์ จี.ไอ. ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน เกรด VII-VIII – อ.: การศึกษา, 2525.

5. วารสารคณิตศาสตร์ ฉบับที่ 5 2552; ฉบับที่ 8 2550; ฉบับที่ 23 2551.

6. เว็บไซต์แก้สมการกราฟิกบนอินเทอร์เน็ต: Tol VIKI; กระตุ้น.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; หน้า 3–6.htm.

การแก้สมการเชิงกราฟิก

เฮ้เดย์, 2009

การแนะนำ

ความจำเป็นในการแก้สมการกำลังสองในสมัยโบราณมีสาเหตุมาจากความจำเป็นในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการหาพื้นที่และงานขุดค้นทางทหารตลอดจนการพัฒนาทางดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์ด้วย ชาวบาบิโลนสามารถแก้สมการกำลังสองได้ประมาณ 2,000 ปีก่อนคริสตกาล กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้ที่กำหนดไว้ในตำราของชาวบาบิโลนโดยพื้นฐานแล้วเกิดขึ้นพร้อมกับสมการสมัยใหม่ แต่ไม่มีใครรู้ว่าชาวบาบิโลนมาถึงกฎนี้ได้อย่างไร

แต่กฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่มีการรวมกันที่เป็นไปได้ของสัมประสิทธิ์ b และ c ได้รับการกำหนดขึ้นในยุโรปในปี 1544 โดย M. Stiefel เท่านั้น

ในปี ค.ศ. 1591 ฟรองซัวส์ เวียต แนะนำสูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสอง

ในบาบิโลนโบราณ พวกเขาสามารถแก้สมการกำลังสองบางประเภทได้

ไดโอแฟนทัสแห่งอเล็กซานเดรีย และ ยุคลิด, อัล-คอวาริซมีและ โอมาร์ คัยยัมสมการแก้สมการโดยใช้วิธีเรขาคณิตและกราฟิก

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เราเรียนเรื่องฟังก์ชัน y = C, ย =เคเอ็กซ์, ย =เคเอ็กซ์+ ม, ย =x 2,ย = –x 2, ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - ย = √x, ย =|x|, ย =ขวาน2 + บีเอ็กซ์+ ค, ย =เค/ x- ในหนังสือเรียนพีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ฉันเห็นฟังก์ชันที่ยังไม่รู้จัก: ย =x 3, ย =x 4,ย =x 2n, ย =x- 2n, ย = 3√x, (x– ก) 2 + (คุณ –ข) 2 = ร 2 และอื่น ๆ มีกฎสำหรับการสร้างกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้ ฉันสงสัยว่ามีหน้าที่อื่นที่ปฏิบัติตามกฎเหล่านี้หรือไม่

งานของฉันคือศึกษากราฟฟังก์ชันและแก้สมการแบบกราฟิก

1. มีหน้าที่อะไรบ้าง?

ฟังก์ชันเชิงเส้นได้มาจากสมการ ย =เคเอ็กซ์+ ข, ที่ไหน เคและ ข- ตัวเลขบางตัว กราฟของฟังก์ชันนี้เป็นเส้นตรง

ฟังก์ชันสัดส่วนผกผัน ย =เค/ xโดยที่ k ¹ 0 กราฟของฟังก์ชันนี้เรียกว่าไฮเปอร์โบลา

การทำงาน (x– ก) 2 + (ใช่ –ข) 2 = ร2 , ที่ไหน ก, ขและ ร- ตัวเลขบางตัว กราฟของฟังก์ชันนี้คือวงกลมรัศมี r โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด A ( ก, ข).

ฟังก์ชันกำลังสอง ย= ขวาน2 + บีเอ็กซ์+ คที่ไหน เอ,ข, กับ– ตัวเลขบางส่วนและ ก¹ 0 กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลา

สมการ ที่2 (ก– x) = x2 (ก+ x) - กราฟของสมการนี้จะเป็นเส้นโค้งที่เรียกว่าสโตรฟอยด์

/>สมการ (x2 + ย2 ) 2 = ก(x2 – ย2 ) - กราฟของสมการนี้เรียกว่าการเล็มนิสเคตของแบร์นูลลี

สมการ กราฟของสมการนี้เรียกว่าแอสรอยด์

เส้นโค้ง (x2 ย2 – 2 ขวาน)2 =4 ก2 (x2 + ย2 ) - เส้นโค้งนี้เรียกว่าคาร์ดิโอด์

ฟังก์ชั่น: ย =x 3 – ลูกบาศก์พาราโบลา ย =x 4, ย = 1/x 2.

2. แนวคิดของสมการและการแก้สมการเชิงกราฟิก

สมการ– นิพจน์ที่มีตัวแปร

3. อัลกอริทึมสำหรับการพล็อตกราฟฟังก์ชัน

รู้จักกราฟของฟังก์ชัน ย =ฉ(x) คุณสามารถสร้างกราฟของฟังก์ชันได้ ย =ฉ(x+ ม) ,ย =ฉ(x)+ ลและ ย =ฉ(x+ ม)+ ล- กราฟทั้งหมดนี้ได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน ย =ฉ(x) ใช้การแปลงแบบดำเนินการแบบขนาน: ถึง │ ม│ หน่วยมาตราส่วนไปทางขวาหรือซ้ายตามแนวแกน x และบน │ ล│ หน่วยมาตราส่วนขึ้นหรือลงตามแนวแกน ย.

4. คำตอบกราฟิกของสมการกำลังสอง

ชาวกรีกโบราณรู้อะไรเกี่ยวกับพาราโบลา

สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่มีต้นกำเนิดในศตวรรษที่ 16

นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณไม่มีทั้งวิธีการประสานงานและแนวคิดเรื่องฟังก์ชัน อย่างไรก็ตาม พวกเขาได้ศึกษาคุณสมบัติของพาราโบลาอย่างละเอียด ความเฉลียวฉลาดของนักคณิตศาสตร์โบราณนั้นน่าทึ่งมาก - ท้ายที่สุดแล้วพวกเขาทำได้เพียงใช้ภาพวาดและคำอธิบายทางวาจาของการพึ่งพาเท่านั้น

มีอัลกอริทึมสำหรับสร้างพาราโบลา:

ค้นหาพิกัดของจุดยอดของพาราโบลา A (x0; y0): เอ็กซ์=- ข/2 ก;

y0=แอกโซ2+ใน0+s;

ค้นหาแกนสมมาตรของพาราโบลา (เส้นตรง x=x0)

PAGE_BREAK--

เรารวบรวมตารางค่าสำหรับการสร้างจุดควบคุม

เราสร้างจุดผลลัพธ์และสร้างจุดที่สมมาตรสัมพันธ์กับแกนสมมาตร

1. ใช้อัลกอริทึม เราจะสร้างพาราโบลา ย= x2 – 2 x– 3 - รอยแยกของจุดตัดกับแกน xและมีรากของสมการกำลังสอง x2 – 2 x– 3 = 0.

มีห้าวิธีในการแก้สมการนี้แบบกราฟิก

2. แบ่งสมการออกเป็นสองฟังก์ชัน: ย= x2 และ ย= 2 x+ 3

3. แบ่งสมการออกเป็นสองฟังก์ชัน: ย= x2 –3 และ ย=2 x- รากของสมการคือจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรง

4. แปลงสมการ x2 – 2 x– 3 = 0 โดยการแยกกำลังสองที่สมบูรณ์ออกเป็นฟังก์ชัน: ย= (x–1) 2 และ ย=4. รากของสมการคือจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรง

5. หารทั้งสองข้างของเทอมสมการด้วยเทอม x2 – 2 x– 3 = 0 บน xเราได้รับ x– 2 – 3/ x= 0 ลองแบ่งสมการนี้ออกเป็นสองฟังก์ชัน: ย= x– 2, ย= 3/ x. รากของสมการคือจุดตัดของเส้นตรงและไฮเปอร์โบลา

5. คำตอบกราฟิกของสมการระดับn

ตัวอย่างที่ 1แก้สมการ x5 = 3 – 2 x.

ย= x5 , ย= 3 – 2 x.

คำตอบ: x = 1

ตัวอย่างที่ 2แก้สมการ 3 √ x= 10 – x.

คำตอบ: x = 8.

บทสรุป

เมื่อดูกราฟของฟังก์ชันแล้ว: ย =ขวาน2 + บีเอ็กซ์+ ค, ย =เค/ x, คุณ = √x, ย =|x|, ย =x 3, ย =x 4,ย = 3√x, ฉันสังเกตเห็นว่ากราฟทั้งหมดนี้ถูกสร้างขึ้นตามกฎของการแปลแบบขนานที่สัมพันธ์กับแกน xและ ย.

ปีหน้าฉันอยากจะพิจารณาประเด็นของการแก้ระบบสมการและอสมการแบบกราฟิกด้วย

วรรณกรรม

4. เกลเซอร์ จี.ไอ. ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน เกรด VII-VIII – อ.: การศึกษา, 2525.

5. วารสารคณิตศาสตร์ ฉบับที่ 5 2552; ฉบับที่ 8 2550; ฉบับที่ 23 2551.

คุณได้พบสมการกำลังสองในหลักสูตรพีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 แล้ว จำได้ว่าสมการกำลังสองคือสมการที่มีรูปแบบ ax 2 + bx + c = 0 โดยที่ a, b, c เป็นตัวเลขใดๆ (สัมประสิทธิ์) และ a ด้วยการใช้ความรู้ของเราเกี่ยวกับฟังก์ชันบางอย่างและกราฟของพวกมัน ตอนนี้เราสามารถแก้สมการกำลังสองบางรายการอย่างเป็นระบบโดยไม่ต้องรอการศึกษาหัวข้อ "สมการกำลังสอง" อย่างเป็นระบบ และด้วยวิธีต่างๆ กัน เราจะพิจารณาวิธีการเหล่านี้โดยใช้ตัวอย่างของสมการกำลังสองหนึ่งตัวอย่าง

ตัวอย่าง.แก้สมการ x 2 - 2x - 3 = 0
สารละลาย.
วิธีที่ 1 - มาสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 - 2x - 3 โดยใช้อัลกอริทึมจาก§ 13:

1) เรามี: a = 1, b = -2, x 0 = = 1, y 0 = f(1) = 1 2 - 2 - 3 = -4 ซึ่งหมายความว่าจุดยอดของพาราโบลาคือจุด (1; -4) และแกนของพาราโบลาคือเส้นตรง x = 1

2) หาจุดสองจุดบนแกน x ซึ่งสมมาตรรอบแกนของพาราโบลา เช่น จุด x = -1 และ x = 3

เรามี f(-1) = f(3) = 0 มาสร้างจุด (-1; 0) และ (3; 0) บนระนาบพิกัดกันดีกว่า

3) ผ่านจุด (-1; 0), (1; -4), (3; 0) เราวาดพาราโบลา (รูปที่ 68)

รากของสมการ x 2 - 2x - 3 = 0 คือจุดตัดของพาราโบลาที่มีแกน x ซึ่งหมายความว่ารากของสมการคือ: x 1 = - 1, x 2 - 3

วิธีที่สอง ลองแปลงสมการเป็นรูปแบบ x 2 = 2x + 3 ลองสร้างกราฟของฟังก์ชัน y - x 2 และ y = 2x + 3 ในระบบพิกัดเดียว (รูปที่ 69) ตัดกันที่จุดสองจุด A(- 1; 1) และ B(3; 9) รากของสมการคือจุดหักเหของจุด A และ B ซึ่งหมายถึง x 1 = - 1, x 2 - 3

วิธีการที่สาม - ลองแปลงสมการเป็นรูปแบบ x 2 - 3 = 2x ให้เราสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 - 3 และ y = 2x ในระบบพิกัดเดียว (รูปที่ 70) ตัดกันที่จุดสองจุด A (-1; - 2) และ B (3; 6) รากของสมการคือค่าขาดของจุด A และ B ดังนั้น x 1 = - 1, x 2 = 3

วิธี IV ลองแปลงสมการเป็นรูปแบบ x 2 -2x 4-1-4 = 0
และต่อไป
x 2 - 2x + 1 = 4 เช่น (x - IJ = 4
ให้เราสร้างพาราโบลา y = (x - 1) 2 และเส้นตรง y = 4 ในระบบพิกัดเดียว (รูปที่ 71) ตัดกันที่จุดสองจุด A(-1; 4) และ B(3; 4) รากของสมการคือค่าขาดของจุด A และ B ดังนั้น x 1 = -1, x 2 = 3

วิธีวี เราได้หารทั้งสองข้างของสมการด้วยเทอม x แล้ว

ให้เราสร้างไฮเปอร์โบลาและเส้นตรง y = x - 2 ในระบบพิกัดเดียว (รูปที่ 72)

ตัดกันที่จุดสองจุด A (-1; -3) และ B (3; 1) รากของสมการคือจุดตัดของจุด A และ B ดังนั้น x 1 = - 1, x 2 = 3

ดังนั้นเราจึงแก้สมการกำลังสอง x 2 - 2x - 3 = 0 แบบกราฟิกได้ห้าวิธี มาวิเคราะห์สาระสำคัญของวิธีการเหล่านี้กัน

วิธีที่ 1 สร้างกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดตัดกับแกน x

วิธีที่สอง แปลงสมการให้อยู่ในรูปแบบ ax 2 = -bx - c สร้างพาราโบลา y = ax 2 และเส้นตรง y = -bx - c หาจุดตัดกัน (รากของสมการคือจุดตัดของจุดตัด ถ้ามี)

วิธีการที่สาม แปลงสมการเป็นรูปแบบ ax 2 + c = - bx สร้างพาราโบลา y - ax 2 + c และเส้นตรง y = -bx (มันผ่านจุดกำเนิด) ค้นหาจุดตัดของพวกเขา

วิธี IV ใช้วิธีการแยกกำลังสองสมบูรณ์เพื่อแปลงสมการให้อยู่ในรูป

สร้างพาราโบลา y = a (x + I) 2 และเส้นตรง y = - m ขนานกับแกน x หาจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรง

วิธีวี แปลงสมการให้อยู่ในรูปแบบ

สร้างไฮเปอร์โบลา (นี่คือไฮเปอร์โบลาที่มีให้) และเส้นตรง y = - ax - b; ค้นหาจุดตัดของพวกเขา

โปรดทราบว่าสี่วิธีแรกใช้ได้กับสมการใดๆ ในรูปแบบ ax 2 + bx + c = 0 และวิธีที่ห้า - เฉพาะกับสมการที่มี c เท่านั้น ในทางปฏิบัติ คุณสามารถเลือกวิธีการที่เหมาะสมกับคุณที่สุดได้ สมการนี้หรืออันไหนที่คุณชอบดีกว่า (หรือเข้าใจง่ายกว่า)

ความคิดเห็น - แม้จะมีวิธีมากมายในการแก้สมการกำลังสองแบบกราฟิก แต่เรามั่นใจว่าสมการกำลังสองใดๆ ก็สามารถแก้ไขได้
เราแก้มันแบบกราฟิกได้ ไม่ ตัวอย่างเช่น สมมติว่าคุณต้องแก้สมการ x 2 - x - 3 = 0 (โดยเฉพาะเราจะใช้สมการที่คล้ายกับที่อยู่ในนั้น)
ถือเป็นตัวอย่าง) ลองแก้มันด้วยวิธีที่สอง: แปลงสมการเป็นรูปแบบ x 2 = x + 3 สร้างพาราโบลา y = x 2 และ
เส้นตรง y = x + 3 ตัดกันที่จุด A และ B (รูปที่ 73) ซึ่งหมายความว่าสมการมีสองราก แต่รากเหล่านี้เท่ากับอะไร เราด้วยความช่วยเหลือจากรูปวาด
เราไม่สามารถพูดได้ - จุด A และ B ไม่มีพิกัด "ดี" ดังตัวอย่างข้างต้น ตอนนี้ให้พิจารณาสมการ
x 2 - 16x - 95 = 0 ลองแก้มันด้วยวิธีที่สามกัน ลองแปลงสมการเป็นรูปแบบ x 2 - 95 = 16x ตรงนี้เราต้องสร้างพาราโบลา
y = x 2 - 95 และเส้นตรง y = 16x แต่แผ่นสมุดบันทึกที่มีขนาดจำกัดไม่อนุญาตให้ทำเช่นนี้ เนื่องจากพาราโบลา y = x 2 ต้องลดลง 95 เซลล์ลง

ดังนั้น วิธีการแก้สมการกำลังสองแบบกราฟิกจึงสวยงามและน่าพึงพอใจ แต่ไม่ได้รับประกันว่าจะแก้สมการกำลังสองใดๆ ได้ร้อยเปอร์เซ็นต์ เราจะคำนึงถึงเรื่องนี้ในอนาคต