ความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่แน่นอนคืออะไร ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: มันคืออะไร

ผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ผลบวกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตเป็นเรื่องง่าย ทั้งในความหมายและในสูตร. แต่มีงานทุกประเภทในหัวข้อนี้ ตั้งแต่ระดับประถมจนถึงค่อนข้างแข็ง

ก่อนอื่นมาจัดการกับความหมายและสูตรของผลรวมกันก่อน แล้วเราจะตัดสินใจ เพื่อความสุขของคุณเอง) ความหมายของผลรวมนั้นง่ายเหมือนการลด ในการหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต คุณเพียงแค่ต้องเพิ่มสมาชิกทั้งหมดอย่างระมัดระวัง หากเงื่อนไขเหล่านี้มีน้อย คุณสามารถเพิ่มได้โดยไม่ต้องใช้สูตรใดๆ แต่ถ้ามีมากหรือมาก ... การเพิ่มก็น่ารำคาญ) ในกรณีนี้สูตรจะบันทึก

สูตรผลรวมนั้นง่าย:

มาดูกันว่าตัวอักษรชนิดใดที่รวมอยู่ในสูตร สิ่งนี้จะชัดเจนขึ้นมาก

เอส เอ็น เป็นผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ผลบวก ทั้งหมดสมาชิกด้วย อันดับแรกโดย ล่าสุด.มันเป็นสิ่งสำคัญ เพิ่มขึ้นอย่างแน่นอน ทั้งหมดสมาชิกในแถวโดยไม่มีช่องว่างและกระโดด และแน่นอนว่าเริ่มจาก อันดับแรก.ในปัญหาต่างๆ เช่น การหาผลรวมของพจน์ที่สามและแปด หรือผลรวมของพจน์ที่ห้าถึงยี่สิบ การใช้สูตรโดยตรงจะทำให้ผิดหวัง)

1 - อันดับแรกสมาชิกของความก้าวหน้า ทุกอย่างชัดเจนที่นี่มันง่าย อันดับแรกหมายเลขแถว

หนึ่ง- ล่าสุดสมาชิกของความก้าวหน้า หมายเลขสุดท้ายของแถว ชื่อไม่ค่อยคุ้นเท่าไหร่แต่พอใส่ปริมาณแล้วเหมาะมาก แล้วคุณจะเห็นเอง

น คือหมายเลขของสมาชิกตัวสุดท้าย สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าในสูตรตัวเลขนี้ ตรงกับจำนวนข้อที่เพิ่มเข้ามา

มากำหนดแนวคิดกันเถอะ ล่าสุดสมาชิก หนึ่ง. กรอกคำถาม: สมาชิกประเภทใดที่จะ ล่าสุด,ถ้าให้ ไม่มีที่สิ้นสุดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์?

สำหรับคำตอบที่มั่นใจ คุณต้องเข้าใจความหมายเบื้องต้นของความก้าวหน้าทางเลขคณิตและ ... อ่านการบ้านอย่างละเอียด!)

ในงานค้นหาผลบวกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต เทอมสุดท้ายจะปรากฏเสมอ (ทางตรงหรือทางอ้อม) ที่ควรจำกัดมิฉะนั้น จำนวนเฉพาะที่จำกัด ไม่มีอยู่จริงสำหรับวิธีแก้ปัญหา ไม่สำคัญว่าจะได้รับความก้าวหน้าแบบใด: ไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่มีที่สิ้นสุด ไม่สำคัญว่าจะได้รับอย่างไร: โดยชุดตัวเลขหรือสูตรของสมาชิกตัวที่ n

สิ่งที่สำคัญที่สุดคือต้องเข้าใจว่าสูตรทำงานตั้งแต่เทอมแรกของการก้าวหน้าไปจนถึงเทอมที่มีตัวเลข น.ที่จริงแล้ว ชื่อเต็มของสูตรมีลักษณะดังนี้: ผลรวมของพจน์ n แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตจำนวนสมาชิกแรกสุดเหล่านี้ เช่น นถูกกำหนดโดยงานเท่านั้น ในงาน ข้อมูลที่มีค่าทั้งหมดนี้มักถูกเข้ารหัส ใช่ ... แต่ไม่มีอะไร เราจะเปิดเผยความลับเหล่านี้ในตัวอย่างด้านล่าง)

ตัวอย่างของงานสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ก่อนอื่น ข้อมูลที่เป็นประโยชน์:

ความยากหลักในการทำงานสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือการกำหนดองค์ประกอบของสูตรที่ถูกต้อง

ผู้เขียนงานที่ได้รับมอบหมายเข้ารหัสองค์ประกอบเหล่านี้ด้วยจินตนาการที่ไร้ขอบเขต) สิ่งสำคัญที่นี่คือไม่ต้องกลัว การทำความเข้าใจแก่นแท้ขององค์ประกอบก็เพียงพอแล้วที่จะถอดรหัสพวกมัน ลองมาดูตัวอย่างโดยละเอียดกัน เริ่มจากงานตาม GIA จริง

1. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดตามเงื่อนไข: a n = 2n-3.5 หาผลบวกของ 10 พจน์แรก

ดีมาก ง้ายง่าย) การจะหาปริมาณตามสูตรต้องรู้อะไรบ้าง? สมาชิกคนแรก 1, ระยะสุดท้าย หนึ่ง, ใช่ จำนวนเทอมสุดท้าย น.

จะหาหมายเลขสมาชิกตัวสุดท้ายได้ที่ไหน น? ใช่อยู่ในสภาพ! มันบอกว่าหาผลรวม สมาชิก 10 ท่านแรกจะเป็นเลขอะไรนั้น ล่าสุด,สมาชิกคนที่สิบ?) คุณจะไม่เชื่อหมายเลขของเขาคือสิบ!) ดังนั้นแทนที่จะเป็น หนึ่งเราจะแทนลงในสูตร 10แต่แทนที่จะ น- สิบ อีกครั้ง หมายเลขของสมาชิกตัวสุดท้ายจะเหมือนกับจำนวนสมาชิก

มันยังคงถูกกำหนด 1และ 10. คำนวณได้ง่ายโดยใช้สูตรของเทอมที่ n ซึ่งให้ไว้ในคำชี้แจงปัญหา ไม่ทราบวิธีการทำ? ไปที่บทเรียนก่อนหน้าโดยไม่มีสิ่งนี้ - ไม่มีอะไร

1= 2 1 - 3.5 = -1.5

10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

เอส เอ็น = เอส 10.

เราพบความหมายขององค์ประกอบทั้งหมดของสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต มันยังคงแทนที่พวกเขาและนับ:

นั่นคือทั้งหมดที่มีไป คำตอบ: 75.

งานอื่นขึ้นอยู่กับ GIA ซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย:

2. ให้ความก้าวหน้าทางเลขคณิต (a n) ซึ่งความแตกต่างคือ 3.7; 1 \u003d 2.3 หาผลบวกของ 15 พจน์แรก

เราเขียนสูตรผลรวมทันที:

สูตรนี้ช่วยให้เราสามารถหาค่าของสมาชิกใดๆ ตามจำนวนของมัน เรากำลังมองหาสิ่งทดแทนง่ายๆ:

ก 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

มันยังคงแทนที่องค์ประกอบทั้งหมดในสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และคำนวณคำตอบ:

คำตอบ: 423

โดยวิธีการที่ถ้าในสูตรผลรวมแทน หนึ่งแค่แทนสูตรของเทอมที่ n เราก็จะได้:

เราให้สิ่งที่คล้ายกัน เราได้รับสูตรใหม่สำหรับผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต:

อย่างที่คุณเห็น เทอมที่ n ไม่จำเป็นที่นี่ หนึ่ง. ในบางงานสูตรนี้ช่วยได้มาก ใช่ ... คุณจำสูตรนี้ได้ และคุณสามารถถอนออกได้ในเวลาที่เหมาะสม ดังที่นี่ ท้ายที่สุดต้องจำสูตรสำหรับผลรวมและสูตรสำหรับเทอมที่ n ในทุกวิถีทาง)

ตอนนี้งานในรูปแบบของการเข้ารหัสสั้น ๆ ):

3. หาผลรวมของจำนวนบวกสองหลักที่ทวีคูณของสาม

ยังไง! ไม่มีสมาชิกคนแรก ไม่มีคนสุดท้าย ไม่มีความก้าวหน้าเลย... จะอยู่ยังไง!?

คุณจะต้องคิดด้วยหัวของคุณและดึงองค์ประกอบทั้งหมดของผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ออกจากเงื่อนไข ตัวเลขสองหลักคืออะไร - เรารู้ ประกอบด้วยตัวเลขสองตัว) ตัวเลขสองหลักจะเป็นอย่างไร อันดับแรก? 10 น่าจะเป็น.) สิ่งสุดท้ายเลขสองหลัก? 99 แน่นอน! เลขสามตัวจะตามเขามา...

ผลคูณของสาม... หืม... นี่คือตัวเลขที่หารด้วยสามลงตัวแล้วนี่! สิบหารสามไม่ลงตัว 11 หารไม่ลงตัว... 12... หารลงตัว! ดังนั้นจึงมีบางอย่างเกิดขึ้น คุณสามารถเขียนชุดตามเงื่อนไขของปัญหาได้แล้ว:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

ซีรีส์นี้จะเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หรือไม่? แน่นอน! แต่ละคำแตกต่างจากคำก่อนหน้าสามอย่างเคร่งครัด ถ้าเพิ่ม 2 หรือ 4 เข้าไปในพจน์ ให้พูดว่าผลลัพธ์ เช่น ตัวเลขใหม่จะไม่ถูกหารด้วย 3 อีกต่อไป คุณสามารถระบุความแตกต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิตไปยังฮีปได้ทันที: d = 3.มีประโยชน์!)

ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนพารามิเตอร์ความก้าวหน้าบางอย่างได้อย่างปลอดภัย:

จะเป็นเลขอะไร นสมาชิกคนสุดท้าย? ใครก็ตามที่คิดว่า 99 นั้นเข้าใจผิดอย่างร้ายแรง ... ตัวเลข - พวกเขามักจะติดต่อกันและสมาชิกของเราก็กระโดดข้ามสามอันดับแรก พวกเขาไม่ตรงกัน

มีสองวิธีแก้ปัญหาที่นี่ วิธีหนึ่งคือสำหรับผู้ที่ทำงานหนักมาก คุณสามารถวาดภาพความก้าวหน้า ตัวเลขทั้งชุด และนับจำนวนคำศัพท์ด้วยนิ้วของคุณ) วิธีที่สอง สำหรับคนช่างคิด คุณต้องจำสูตรสำหรับเทอมที่ n หากนำสูตรมาใช้กับโจทย์ของเรา เราจะได้ 99 เป็นสมาชิกตัวที่ 30 ของความก้าวหน้า เหล่านั้น. n = 30.

เราดูสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต:

เราดูและดีใจ) เราดึงทุกสิ่งที่จำเป็นสำหรับการคำนวณจำนวนเงินออกจากเงื่อนไขของปัญหา:

1= 12.

30= 99.

เอส เอ็น = เอส 30.

สิ่งที่เหลืออยู่คือเลขคณิตเบื้องต้น แทนตัวเลขในสูตรและคำนวณ:

คำตอบ: 1665

ปริศนายอดนิยมประเภทอื่น:

4. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะได้รับ:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

ค้นหาผลรวมของพจน์ตั้งแต่ 20 ถึง 34

เราดูสูตรผลรวมแล้ว ... เราอารมณ์เสีย) สูตรขอเตือนไว้คำนวณผลรวม จากครั้งแรกสมาชิก. และในปัญหาคุณต้องคำนวณผลรวม ตั้งแต่ยี่สิบ...สูตรจะไม่ทำงาน

แน่นอนคุณสามารถวาดความก้าวหน้าทั้งหมดติดต่อกันและใส่สมาชิกตั้งแต่ 20 ถึง 34 แต่ ... มันกลับกลายเป็นเรื่องโง่เขลาและเป็นเวลานานใช่ไหม)

มีวิธีแก้ปัญหาที่หรูหรากว่านั้น มาแบ่งซีรีส์ของเราออกเป็นสองส่วน ภาคแรกจะ ตั้งแต่เทอมที่หนึ่งถึงเทอมที่สิบเก้าส่วนที่สอง - ยี่สิบถึงสามสิบสี่เป็นที่ชัดเจนว่าหากเราคำนวณผลรวมของเงื่อนไขของส่วนแรก ส 1-19มาบวกเข้ากับผลรวมของสมาชิกในส่วนที่สองกัน ส20-34เราได้ผลรวมของความก้าวหน้าจากเทอมแรกถึงเทอมที่สามสิบสี่ ส1-34. แบบนี้:

ส 1-19 + ส20-34 = ส1-34

นี่แสดงให้เห็นว่าการหาผลรวม ส20-34สามารถทำได้โดยการลบอย่างง่าย

ส20-34 = ส1-34 - ส 1-19

พิจารณาผลรวมทั้งสองทางด้านขวา จากครั้งแรกสมาชิก เช่น สูตรผลรวมมาตรฐานค่อนข้างใช้ได้กับพวกเขา เรามาเริ่มต้นกันไหม?

เราแยกพารามิเตอร์ความคืบหน้าออกจากเงื่อนไขของงาน:

d = 1.5

1= -21,5.

ในการคำนวณผลรวมของพจน์ 19 แรกและ 34 พจน์แรก เราจำเป็นต้องมีพจน์ที่ 19 และ 34 เรานับตามสูตรของเทอมที่ n เช่นเดียวกับปัญหาที่ 2:

19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

ไม่มีอะไรเหลือ ลบผลรวมของ 19 เทอมออกจากผลรวม 34 เทอม:

ส 20-34 = ส 1-34 - ส 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

คำตอบ: 262.5

หมายเหตุสำคัญ! มีคุณสมบัติที่มีประโยชน์มากในการแก้ปัญหานี้ แทนการคำนวณโดยตรง สิ่งที่คุณต้องการ (S 20-34)เรานับ ดูเหมือนว่าจะไม่จำเป็น - S 1-19แล้วพวกเขาก็ตัดสินใจ ส20-34ละทิ้งสิ่งที่ไม่จำเป็นออกจากผลลัพธ์ทั้งหมด "หลอกหู" เช่นนี้มักจะช่วยไขปริศนาชั่วร้าย)

ในบทนี้ เราได้ตรวจสอบปัญหาซึ่งเพียงพอที่จะเข้าใจความหมายของผลบวกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต คุณต้องรู้สูตรสองสามสูตร)

คำแนะนำการปฏิบัติ:

เมื่อแก้ปัญหาใดๆ สำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ฉันขอแนะนำให้เขียนสูตรหลักสองสูตรจากหัวข้อนี้ทันที

สูตรของสมาชิกตัวที่ n:

สูตรเหล่านี้จะบอกคุณได้ทันทีว่าต้องมองหาอะไร คิดไปในทิศทางใดเพื่อแก้ปัญหา ช่วยให้

และตอนนี้งานสำหรับโซลูชันอิสระ

5. จงหาผลรวมของตัวเลขสองหลักที่หารด้วยสามไม่ลงตัว

เจ๋งไหม) คำใบ้ซ่อนอยู่ในหมายเหตุถึงปัญหา 4 ปัญหา 3 จะช่วยได้

6. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดตามเงื่อนไข: a 1 =-5.5; n+1 = n +0.5 จงหาผลรวมของพจน์ 24 พจน์แรก

ผิดปกติ?) นี่เป็นสูตรที่เกิดซ้ำ คุณสามารถอ่านเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ในบทเรียนก่อนหน้า อย่าเพิกเฉยต่อลิงค์ปริศนาดังกล่าวมักพบใน GIA

7. Vasya ประหยัดเงินสำหรับวันหยุด มากถึง 4,550 รูเบิล! และฉันตัดสินใจที่จะให้คนที่รักที่สุด (ตัวฉันเอง) สองสามวันแห่งความสุข) ใช้ชีวิตอย่างสวยงามโดยไม่ปฏิเสธสิ่งใด ใช้จ่าย 500 รูเบิลในวันแรก และใช้จ่าย 50 รูเบิลในแต่ละวันมากกว่าวันก่อนหน้า! จนกว่าเงินจะหมด Vasya มีความสุขกี่วัน?

ยากไหม) สูตรเพิ่มเติมจากงาน 2 จะช่วยได้

คำตอบ (ระส่ำระสาย): 7, 3240, 6.

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามไซต์สำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกฝนการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที เรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

ถ้าทุกจำนวนธรรมชาติ น จับคู่จำนวนจริง หนึ่ง แล้วพวกเขาบอกว่าให้ ลำดับหมายเลข :

ก 1 , ก 2 , ก 3 , . . . , หนึ่ง , . . . .

ดังนั้น ลำดับตัวเลขจึงเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติ

ตัวเลข ก 1 เรียกว่า สมาชิกตัวแรกของลำดับ , ตัวเลข ก 2 — สมาชิกตัวที่สองของลำดับ , ตัวเลข ก 3 — ที่สาม และอื่น ๆ ตัวเลข หนึ่ง เรียกว่า สมาชิกตัวที่ n ของลำดับ และจำนวนธรรมชาติ น — หมายเลขของเขา .

จากสองสมาชิกเพื่อนบ้าน หนึ่ง และ หนึ่ง +1 ลำดับสมาชิก หนึ่ง +1 เรียกว่า ภายหลัง (ต่อ หนึ่ง ), ก หนึ่ง — ก่อนหน้า (ต่อ หนึ่ง +1 ).

ในการระบุลำดับ คุณต้องระบุวิธีที่ช่วยให้คุณค้นหาสมาชิกลำดับด้วยตัวเลขใดๆ

มักจะได้รับลำดับด้วย สูตรเทอมที่ n นั่นคือ สูตรที่ให้คุณกำหนดสมาชิกลำดับด้วยหมายเลขของมัน

ตัวอย่างเช่น,

ลำดับของจำนวนคี่ที่เป็นบวกสามารถกำหนดได้ด้วยสูตร

หนึ่ง= 2n- 1,

และลำดับการสลับ 1 และ -1 - สูตร

ขน = (-1)น +1 . ◄

สามารถกำหนดลำดับได้ สูตรที่เกิดซ้ำ, นั่นคือ สูตรที่แสดงสมาชิกใดๆ ของลำดับ โดยเริ่มจากสมาชิกบางส่วน ไปจนถึงสมาชิกก่อนหน้า (หนึ่งหรือมากกว่า)

ตัวอย่างเช่น,

ถ้า ก 1 = 1 , ก หนึ่ง +1 = หนึ่ง + 5

ก 1 = 1,

ก 2 = ก 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ก 3 = ก 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ก 4 = ก 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ก 5 = ก 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

ถ้า 1= 1, 2 = 1, หนึ่ง +2 = หนึ่ง + หนึ่ง +1 , จากนั้นให้กำหนดสมาชิกเจ็ดตัวแรกของลำดับตัวเลขดังนี้

1 = 1,

2 = 1,

3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

ก 6 = ก 4 + ก 5 = 3 + 5 = 8,

ก 7 = ก 5 + ก 6 = 5 + 8 = 13. ◄

ลำดับได้ สุดท้าย และ ไม่มีที่สิ้นสุด .

ลำดับนั้นเรียกว่า สุดยอด ถ้ามีจำนวนสมาชิกจำกัด ลำดับนั้นเรียกว่า ไม่มีที่สิ้นสุด หากมีสมาชิกมากมายมหาศาล

ตัวอย่างเช่น,

ลำดับของจำนวนธรรมชาติสองหลัก:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

สุดท้าย.

ลำดับเลขเฉพาะ:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

ไม่มีที่สิ้นสุด ◄

ลำดับนั้นเรียกว่า เพิ่มขึ้น ถ้าสมาชิกแต่ละตัวเริ่มต้นจากตัวที่สองมากกว่าตัวก่อนหน้า

ลำดับนั้นเรียกว่า เสื่อมโทรม ถ้าสมาชิกแต่ละตัวเริ่มต้นจากตัวที่สองน้อยกว่าตัวก่อนหน้า

ตัวอย่างเช่น,

2, 4, 6, 8, . . . , 2น, . . . เป็นลำดับจากน้อยไปมาก

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /น, . . . เป็นลำดับถัดลงมา ◄

ลำดับที่องค์ประกอบไม่ลดลงตามจำนวนที่เพิ่มขึ้น หรือในทางกลับกัน ไม่เพิ่มขึ้น เรียกว่า ลำดับที่ซ้ำซากจำเจ .

โดยเฉพาะอย่างยิ่งลำดับโมโนโทนิกคือลำดับที่เพิ่มขึ้นและลำดับที่ลดลง

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ มีการเรียกลำดับซึ่งสมาชิกแต่ละตัวเริ่มต้นจากลำดับที่สองเท่ากับลำดับก่อนหน้าซึ่งเพิ่มหมายเลขเดียวกัน

ก 1 , ก 2 , ก 3 , . . . , หนึ่ง, . . .

เป็นความก้าวหน้าทางเลขคณิตสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ น ตรงตามเงื่อนไข:

หนึ่ง +1 = หนึ่ง + ง,

ที่ไหน ง - จำนวนหนึ่ง

ดังนั้น ความแตกต่างระหว่างสมาชิกถัดไปและสมาชิกก่อนหน้าของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดจะคงที่เสมอ:

2 - ก 1 = 3 - ก 2 = . . . = หนึ่ง +1 - หนึ่ง = ง.

ตัวเลข ง เรียกว่า ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิต.

ในการตั้งค่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ก็เพียงพอแล้วที่จะระบุพจน์แรกและผลต่าง

ตัวอย่างเช่น,

ถ้า ก 1 = 3, ง = 4 จากนั้นจะพบคำศัพท์ห้าคำแรกของลำดับดังต่อไปนี้:

1 =3,

2 = 1 + ง = 3 + 4 = 7,

3 = 2 + ง= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + ง= 11 + 4 = 15,

ก 5 = ก 4 + ง= 15 + 4 = 19. ◄

สำหรับความก้าวหน้าทางเลขคณิตกับเทอมแรก ก 1 และความแตกต่าง ง ของเธอ น

หนึ่ง = 1 + (น- 1)ง.

ตัวอย่างเช่น,

หาพจน์ที่ 30 ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, ง = 3,

30 = 1 + (30 - 1)ง= 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = 1 + (น- 2)ง,

หนึ่ง= 1 + (น- 1)ง,

หนึ่ง +1 = ก 1 + nd,

เห็นได้ชัดว่า

หนึ่ง=	n-1 + n+1
	2

สมาชิกแต่ละตัวของความก้าวหน้าทางเลขคณิต เริ่มจากตัวที่สอง เท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกตัวก่อนหน้าและตัวถัดไป

ตัวเลข a, b และ c เป็นสมาชิกต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ถ้าหนึ่งในนั้นมีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอีกสองตัว

ตัวอย่างเช่น,

หนึ่ง = 2น- 7 เป็นความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ลองใช้คำสั่งด้านบน เรามี:

หนึ่ง = 2น- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2น- 9,

n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2น- 5.

เพราะฉะนั้น,

n+1 + n-1	=	2น- 5 + 2น- 9	= 2น- 7 = หนึ่ง,
2		2

◄

โปรดทราบว่า น -th สมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้ไม่เพียงผ่าน ก 1 แต่ยังก่อนหน้านี้ ก

หนึ่ง = ก + (น- เค)ง.

ตัวอย่างเช่น,

สำหรับ ก 5 สามารถเขียนได้

5 = 1 + 4ง,

5 = 2 + 3ง,

5 = 3 + 2ง,

5 = 4 + ง. ◄

หนึ่ง = เอ็น-เค + เคดี,

หนึ่ง = n+k - เคดี,

เห็นได้ชัดว่า

หนึ่ง=	ก n-k + ก n+k
	2

สมาชิกใดๆ ของความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่เริ่มต้นจากลำดับที่ 2 จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลบวกของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตนี้โดยเว้นระยะห่างเท่าๆ กัน

นอกจากนี้ สำหรับความก้าวหน้าทางเลขคณิตใดๆ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

a m + a n = a k + a l,

ม. + n = k + ล.

ตัวอย่างเช่น,

ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต

1) ก 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ก 9 + ก 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7ง= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ก 7 + ก 13)/2;

4) ก 2 + ก 12 = ก 5 + ก 9, เพราะ

ก 2 + ก 12= 4 + 34 = 38,

ก 5 + ก 9 = 13 + 25 = 38. ◄

เอส เอ็น= ก 1 + ก 2 + ก 3 + . . .+ หนึ่ง,

อันดับแรก น สมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะเท่ากับผลคูณของผลบวกครึ่งหนึ่งของจำนวนเทอม:

โดยเฉพาะอย่างยิ่งจากนี้ จะตามมาว่าหากจำเป็นต้องสรุปเงื่อนไข

ก, ก +1 , . . . , หนึ่ง,

จากนั้นสูตรก่อนหน้าจะคงโครงสร้างไว้:

ตัวอย่างเช่น,

ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

ส 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ส 10 - ส 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

หากได้รับความก้าวหน้าทางเลขคณิต ปริมาณ ก 1 , หนึ่ง, ง, นและส น เชื่อมโยงด้วยสองสูตร:

ดังนั้นหากกำหนดค่าของสามปริมาณเหล่านี้ ค่าที่สอดคล้องกันของอีกสองปริมาณจะถูกกำหนดจากสูตรเหล่านี้รวมกันเป็นระบบสมการสองสมการที่มีสองค่าที่ไม่รู้จัก

ความก้าวหน้าทางเลขคณิตเป็นลำดับโมโนโทนิก ประเด็น:

ถ้า ง > 0 แล้วมันก็เพิ่มขึ้น;
ถ้า ง < 0 แล้วจะลดลง;
ถ้า ง = 0 จากนั้นลำดับจะอยู่นิ่ง

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลำดับเรียกว่าแต่ละเทอมซึ่งเริ่มต้นจากวินาทีเท่ากับลำดับก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนเดียวกัน

ข 1 , ข 2 , ข 3 , . . . , ข n, . . .

เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ น ตรงตามเงื่อนไข:

ข n +1 = ข n · ถาม,

ที่ไหน ถาม ≠ 0 - จำนวนหนึ่ง

ดังนั้น อัตราส่วนของพจน์ถัดไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้กับพจน์ก่อนหน้าจึงเป็นจำนวนคงที่:

ข 2 / ข 1 = ข 3 / ข 2 = . . . = ข n +1 / ข n = ถาม.

ตัวเลข ถาม เรียกว่า ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต.

ในการตั้งค่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ก็เพียงพอแล้วที่จะระบุพจน์แรกและตัวส่วน

ตัวอย่างเช่น,

ถ้า ข 1 = 1, ถาม = -3 จากนั้นจะพบคำศัพท์ห้าคำแรกของลำดับดังต่อไปนี้:

ข 1 = 1,

ข 2 = ข 1 · ถาม = 1 · (-3) = -3,

ข 3 = ข 2 · ถาม= -3 · (-3) = 9,

ข 4 = ข 3 · ถาม= 9 · (-3) = -27,

ข 5 = ข 4 · ถาม= -27 · (-3) = 81. ◄

ข 1 และตัวส่วน ถาม ของเธอ น เทอม -th สามารถพบได้โดยสูตร:

ข n = ข 1 · คิว เอ็น -1 .

ตัวอย่างเช่น,

หาพจน์ที่เจ็ดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 1, 2, 4, . . .

ข 1 = 1, ถาม = 2,

ข 7 = ข 1 · ถาม 6 = 1 2 6 = 64. ◄

พันล้าน-1 = ข 1 · คิว เอ็น -2 ,

ข n = ข 1 · คิว เอ็น -1 ,

ข n +1 = ข 1 · คิว เอ็น,

เห็นได้ชัดว่า

ข n 2 = ข n -1 · ข n +1 ,

สมาชิกแต่ละตัวของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เริ่มจากลำดับที่สอง เท่ากับค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต (ตามสัดส่วน) ของสมาชิกก่อนหน้าและสมาชิกที่ตามมา

เนื่องจากการสนทนาเป็นจริงเช่นกัน การยืนยันต่อไปนี้ถือ:

ตัวเลข a, b และ c เป็นสมาชิกต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ถ้ากำลังสองของหนึ่งในนั้นเท่ากับผลคูณของอีกสองตัว นั่นคือ ตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งเป็นค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของอีกสองตัว

ตัวอย่างเช่น,

ให้เราพิสูจน์ว่าลำดับที่กำหนดโดยสูตร ข n= -3 2 น เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลองใช้คำสั่งด้านบน เรามี:

ข n= -3 2 น,

ข n -1 = -3 2 น -1 ,

ข n +1 = -3 2 น +1 .

เพราะฉะนั้น,

ข n 2 = (-3 2 น) 2 = (-3 2 น -1 ) (-3 2 น +1 ) = ข n -1 · ข n +1 ,

ซึ่งพิสูจน์การยืนยันที่จำเป็น ◄

โปรดทราบว่า น เทอมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถพบได้ไม่เพียงผ่าน ข 1 แต่ยังรวมถึงคำศัพท์ก่อนหน้านี้ ข ซึ่งก็เพียงพอแล้วที่จะใช้สูตร

ข n = ข · คิว เอ็น - เค.

ตัวอย่างเช่น,

สำหรับ ข 5 สามารถเขียนได้

ข 5 = ข 1 · ถาม 4 ,

ข 5 = ข 2 · คำถามที่ 3,

ข 5 = ข 3 · ไตรมาสที่ 2,

ข 5 = ข 4 · ถาม. ◄

ข n = ข · คิว เอ็น - เค,

ข n = ข n - เค · คิวเค,

เห็นได้ชัดว่า

ข n 2 = ข n - เค· ข n + เค

กำลังสองของสมาชิกใดๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่เริ่มต้นจากวินาที เท่ากับผลคูณของสมาชิกของความก้าวหน้านี้ที่ห่างจากมันเท่ากัน

นอกจากนี้ สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใดๆ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

บีม· ข n= ข· ข,

ม+ น= เค+ ล.

ตัวอย่างเช่น,

ชี้แจง

1) ข 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ข 5 · ข 7 ;

2) 1024 = ข 11 = ข 6 · ถาม 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ข 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ข 4 · ข 8 ;

4) ข 2 · ข 7 = ข 4 · ข 5 , เพราะ

ข 2 · ข 7 = 2 · 64 = 128,

ข 4 · ข 5 = 8 · 16 = 128. ◄

เอส เอ็น= ข 1 + ข 2 + ข 3 + . . . + ข n

อันดับแรก น สมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน ถาม ≠ 0 คำนวณโดยสูตร:

และเมื่อ ถาม = 1 -ตามสูตร

เอส เอ็น= n.b. 1

โปรดทราบว่าหากเราต้องการรวมเงื่อนไข

ข, ข +1 , . . . , ข n,

จากนั้นใช้สูตร:

เอส เอ็น- เอสเค -1 = ข + ข +1 + . . . + ข n = ข ·	1 - คิว เอ็น - เค +1	.
	1 - ถาม

ตัวอย่างเช่น,

ชี้แจง 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

ส 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = ส 10 - ส 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

หากกำหนดความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ก็จะได้ปริมาณ ข 1 , ข n, ถาม, นและ เอส เอ็น เชื่อมโยงด้วยสองสูตร:

ดังนั้นหากมีการกำหนดค่าของสามปริมาณใด ๆ จากนั้นค่าที่สอดคล้องกันของอีกสองปริมาณจะถูกกำหนดจากสูตรเหล่านี้รวมกันเป็นระบบสมการสองสมการที่มีสองค่าที่ไม่รู้จัก

สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกับเทอมแรก ข 1 และตัวส่วน ถาม ต่อไปนี้เกิดขึ้น คุณสมบัติความเป็นเอกเทศ :

ความก้าวหน้าจะเพิ่มขึ้นหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

ข 1 > 0 และ ถาม> 1;

ข 1 < 0 และ 0 < ถาม< 1;

ความก้าวหน้าจะลดลงหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

ข 1 > 0 และ 0 < ถาม< 1;

ข 1 < 0 และ ถาม> 1.

ถ้า ถาม< 0 จากนั้นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะเป็นเครื่องหมายสลับกัน: พจน์ที่เป็นเลขคี่จะมีเครื่องหมายเหมือนกับพจน์แรก และพจน์ที่เป็นเลขคู่จะมีเครื่องหมายตรงกันข้าม เป็นที่ชัดเจนว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแบบสลับนั้นไม่ซ้ำซากจำเจ

สินค้าชิ้นแรก น เงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถคำนวณได้จากสูตร:

พี เอ็น= ข 1 · ข 2 · ข 3 · . . . · ข n = (ข 1 · ข n) น / 2 .

ตัวอย่างเช่น,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด เรียกว่าการก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ไม่สิ้นสุดซึ่งมีโมดูลัสของตัวส่วนน้อยกว่า 1 , นั่นคือ

|ถาม| < 1 .

โปรดทราบว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดอาจไม่ใช่ลำดับที่ลดลง เหมาะกับกรณีนี้

1 < ถาม< 0 .

ด้วยตัวส่วนดังกล่าว ลำดับจึงเป็นเครื่องหมายสลับกัน ตัวอย่างเช่น,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด ตั้งชื่อหมายเลขซึ่งเป็นผลรวมของรายการแรก น เงื่อนไขของความก้าวหน้าที่มีจำนวนเพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัด น . จำนวนนี้มีค่าจำกัดเสมอและแสดงโดยสูตร

ส= ข 1 + ข 2 + ข 3 + . . . =	ข 1	.
	1 - ถาม

ตัวอย่างเช่น,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

ความสัมพันธ์ระหว่างความก้าวหน้าทางเลขคณิตและทางเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเลขคณิตและเรขาคณิตมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด ลองพิจารณาเพียงสองตัวอย่าง

ก 1 , ก 2 , ก 3 , . . . ง , ที่

ข ก 1 , ข ก 2 , ข ก 3 , . . . ข d .

ตัวอย่างเช่น,

1, 3, 5, . . . - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่าง 2 และ

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน 7 2 . ◄

ข 1 , ข 2 , ข 3 , . . . เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน ถาม , ที่

บันทึก a b 1, บันทึก a b 2, บันทึก a b 3, . . . - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่าง เข้าสู่ระบบถาม .

ตัวอย่างเช่น,

2, 12, 72, . . . เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน 6 และ

แอลจี 2, แอลจี 12, แอลจี 72, . . . - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่าง แอลจี 6 . ◄

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในภาคพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก ... "
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

ความก้าวหน้าทางเลขคณิตคือชุดของตัวเลขที่แต่ละจำนวนมีค่ามากกว่า (หรือน้อยกว่า) ก่อนหน้าด้วยจำนวนที่เท่ากัน

หัวข้อนี้มักจะยากและเข้าใจยาก ดัชนีตัวอักษร, ระยะที่ n ของความก้าวหน้า, ความแตกต่างของความก้าวหน้า - ทั้งหมดนี้ค่อนข้างสับสนใช่ ... ลองหาความหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้วทุกอย่างจะออกมาทันที)

แนวคิดของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ความก้าวหน้าทางเลขคณิตเป็นแนวคิดที่เรียบง่ายและชัดเจน สงสัย? ไร้ประโยชน์) ดูด้วยตัวคุณเอง

ฉันจะเขียนชุดตัวเลขที่ยังไม่เสร็จ:

1, 2, 3, 4, 5, ...

คุณสามารถขยายสายนี้ได้หรือไม่? เลขอะไรจะไปต่อหลังจากห้าตัว? ทุกคน ... เอ่อ ... พูดสั้น ๆ ทุกคนจะเข้าใจว่าเลข 6, 7, 8, 9 ฯลฯ จะไปไกลกว่านั้น

มาทำให้งานซับซ้อนขึ้น ฉันให้ชุดตัวเลขที่ยังไม่เสร็จ:

2, 5, 8, 11, 14, ...

คุณสามารถจับรูปแบบ ขยายชุด และตั้งชื่อได้ ที่เจ็ดหมายเลขแถว?

หากคุณพบว่าหมายเลขนี้คือ 20 - ฉันขอแสดงความยินดีกับคุณ! คุณไม่เพียงรู้สึก ประเด็นสำคัญของความก้าวหน้าทางเลขคณิตแต่ยังใช้ในธุรกิจได้สำเร็จ! ถ้าไม่เข้าใจอ่านต่อ

ตอนนี้เรามาแปลประเด็นสำคัญจากความรู้สึกเป็นคณิตศาสตร์กัน)

ประเด็นสำคัญประการแรก

ความก้าวหน้าทางเลขคณิตเกี่ยวข้องกับชุดตัวเลขสิ่งนี้ทำให้เกิดความสับสนในตอนแรก เราคุ้นเคยกับการแก้สมการ สร้างกราฟ และอื่น ๆ ... จากนั้นขยายอนุกรม หาจำนวนของอนุกรม ...

ไม่เป็นไร. เป็นเพียงว่าความก้าวหน้าเป็นความคุ้นเคยครั้งแรกกับสาขาใหม่ของคณิตศาสตร์ ส่วนนี้เรียกว่า "ชุด" และทำงานร่วมกับชุดตัวเลขและนิพจน์ คุ้นเคยกันดี)

จุดสำคัญที่สอง

ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต ตัวเลขใดๆ จะแตกต่างจากตัวเลขก่อนหน้า ในจำนวนที่เท่ากัน

ในตัวอย่างแรก ความแตกต่างนี้คือหนึ่ง ไม่ว่าคุณจะเลือกเลขอะไร มันก็มากกว่าเลขก่อนหน้าหนึ่งตัว ในครั้งที่สอง - สาม จำนวนใดๆ มากกว่าจำนวนก่อนหน้าสามเท่า จริงๆแล้วจังหวะนี้เองที่เปิดโอกาสให้เราจับรูปแบบและคำนวณตัวเลขต่อไปได้

ประเด็นสำคัญประการที่สาม

ช่วงเวลานี้ไม่โดดเด่นใช่ ... แต่สำคัญมาก เขาอยู่ที่นี่: หมายเลขความคืบหน้าแต่ละรายการอยู่ในตำแหน่งนั้นมีหมายเลขแรก มีหมายเลขเจ็ด มีหมายเลขสี่สิบห้า และอื่น ๆ หากคุณสับสนโดยไม่ได้ตั้งใจรูปแบบจะหายไป ความก้าวหน้าทางเลขคณิตจะหายไปด้วย มันเป็นเพียงชุดของตัวเลข

นั่นคือประเด็นทั้งหมด

แน่นอนว่า คำศัพท์และสัญลักษณ์ใหม่จะปรากฏในหัวข้อใหม่ พวกเขาจำเป็นต้องรู้ มิฉะนั้น คุณจะไม่เข้าใจงาน ตัวอย่างเช่น คุณต้องตัดสินใจบางอย่างเช่น:

เขียนหกพจน์แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต (a n) ถ้า a 2 = 5, d = -2.5

เป็นแรงบันดาลใจหรือไม่) ตัวอักษร ดัชนีบางตัว... และงานก็ไม่ง่ายไปกว่านี้แล้ว คุณเพียงแค่ต้องเข้าใจความหมายของคำศัพท์และสัญกรณ์ ตอนนี้เราจะเชี่ยวชาญเรื่องนี้และกลับไปที่งาน

ข้อกำหนดและการกำหนด

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นชุดตัวเลขที่แต่ละหมายเลขแตกต่างจากชุดก่อนหน้า ในจำนวนที่เท่ากัน

ค่านี้เรียกว่า . มาจัดการกับแนวคิดนี้ในรายละเอียดเพิ่มเติม

ผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิตคือจำนวนเงินที่หมายเลขความก้าวหน้าใดๆ มากกว่าก่อนหน้านี้

จุดสำคัญประการหนึ่ง โปรดใส่ใจกับคำ "มากกว่า".ในทางคณิตศาสตร์ หมายความว่าจะได้หมายเลขความก้าวหน้าแต่ละรายการ การเพิ่มผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิตกับตัวเลขก่อนหน้า

ในการคำนวณสมมติว่า ที่สองจำนวนแถวก็จำเป็นต้อง อันดับแรกตัวเลข เพิ่มความแตกต่างอย่างมากของความก้าวหน้าทางเลขคณิต สำหรับการคำนวณ ประการที่ห้า- ความแตกต่างเป็นสิ่งจำเป็น เพิ่มถึง ประการที่สี่ดี ฯลฯ

ผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิตอาจจะ เชิงบวกจากนั้นตัวเลขแต่ละชุดจะกลายเป็นจริง มากกว่าครั้งก่อนความก้าวหน้านี้เรียกว่า เพิ่มขึ้นตัวอย่างเช่น:

8; 13; 18; 23; 28; .....

นี่คือแต่ละหมายเลข การเพิ่มจำนวนบวก +5 ถึงจำนวนก่อนหน้า

ความแตกต่างสามารถ เชิงลบแล้วแต่ละหมายเลขในชุดจะเป็น น้อยกว่าครั้งก่อนความก้าวหน้านี้เรียกว่า (คุณจะไม่เชื่อ!) ลดลง

ตัวอย่างเช่น:

8; 3; -2; -7; -12; .....

ที่นี่ได้รับทุกหมายเลขด้วย การเพิ่มไปที่จำนวนก่อนหน้า แต่เป็นลบ -5

โดยวิธีการที่เมื่อทำงานกับความคืบหน้าจะมีประโยชน์มากในการพิจารณาลักษณะของมันทันที - ไม่ว่าจะเพิ่มขึ้นหรือลดลง ช่วยได้มากในการค้นหาทิศทางในการตัดสินใจ ตรวจหาข้อผิดพลาดและแก้ไขก่อนที่จะสายเกินไป

ผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิตมักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษร ง.

วิธีการหา ง? ง่ายมาก. จำเป็นต้องลบออกจากจำนวนใด ๆ ของอนุกรม ก่อนหน้าตัวเลข. ลบ อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ของการลบเรียกว่า "ผลต่าง")

ลองกำหนดตัวอย่างเช่น งสำหรับความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่เพิ่มขึ้น:

2, 5, 8, 11, 14, ...

เรานำจำนวนแถวที่เราต้องการเช่น 11 ลบออกจากนั้น หมายเลขก่อนหน้าเหล่านั้น. 8:

นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง สำหรับความก้าวหน้าทางเลขคณิตนี้ ความแตกต่างคือสาม

คุณสามารถใช้เวลา ความก้าวหน้าจำนวนเท่าใดก็ได้เพราะ เพื่อความก้าวหน้าโดยเฉพาะ d-เหมือนกันเสมออย่างน้อยที่ต้นแถว ตรงกลาง อย่างน้อยก็ที่ใดก็ได้ คุณไม่สามารถรับเฉพาะหมายเลขแรกเท่านั้น เพียงเพราะหมายเลขแรกสุด ไม่มีก่อนหน้านี้)

โดยวิธีการที่รู้ว่า ง=3การค้นหาหมายเลขที่เจ็ดของความก้าวหน้านี้ทำได้ง่ายมาก เราเพิ่ม 3 เข้ากับหมายเลขที่ห้า - เราได้ที่หก มันจะเป็น 17 เราเพิ่มสามเข้ากับหมายเลขที่หก เราได้หมายเลขที่เจ็ด - ยี่สิบ

มากำหนดกันเถอะ งสำหรับความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่ลดลง:

8; 3; -2; -7; -12; .....

ฉันเตือนคุณว่าโดยไม่คำนึงถึงสัญญาณเพื่อตรวจสอบ งต้องการจากเลขใด เอาไปก่อนหน้านี้เราเลือกความก้าวหน้าเป็นจำนวนเท่าใดก็ได้ เช่น -7 หมายเลขก่อนหน้าของเขาคือ -2 แล้ว:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

ผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถเป็นจำนวนใดๆ ก็ได้: จำนวนเต็ม เศษส่วน จำนวนอตรรกยะ ใดๆ

ข้อกำหนดและการกำหนดอื่น ๆ

แต่ละหมายเลขในชุดจะถูกเรียก สมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้า มีเบอร์ของเขาตัวเลขเป็นไปตามลำดับอย่างเคร่งครัดโดยไม่มีเล่ห์เหลี่ยม ที่หนึ่ง ที่สอง สาม สี่ ฯลฯ ตัวอย่างเช่น ในความก้าวหน้า 2, 5, 8, 11, 14, ... สองคือสมาชิกตัวแรก ห้าคือตัวที่สอง สิบเอ็ดคือตัวที่สี่ คุณเข้าใจแล้ว ...) โปรดเข้าใจอย่างชัดเจน - ตัวเลขนั้นเองสามารถเป็นอะไรก็ได้ทั้งหมด เศษส่วน ลบ อะไรก็ตามแต่ เลข- เคร่งครัด!

จะเขียนความก้าวหน้าในรูปแบบทั่วไปได้อย่างไร? ไม่มีปัญหา! ตัวเลขแต่ละตัวในชุดเขียนเป็นตัวอักษร ตามกฎแล้วจะใช้ตัวอักษรเพื่อแสดงถึงความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ก. หมายเลขสมาชิกจะแสดงด้วยดัชนีที่ด้านล่างขวา สมาชิกจะถูกเขียนคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค (หรือเครื่องหมายอัฒภาค) ดังนี้:

ก 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , .....

1เป็นหมายเลขแรก 3- ที่สาม ฯลฯ ไม่มีอะไรยุ่งยาก คุณสามารถเขียนชุดนี้สั้น ๆ ดังนี้: (หนึ่ง).

มีความก้าวหน้า ไม่มีที่สิ้นสุดและไม่มีที่สิ้นสุด

สุดยอดความก้าวหน้ามีจำนวนสมาชิกจำกัด ห้า สามสิบแปด อะไรก็ได้ แต่มันเป็นจำนวนจำกัด

ไม่มีที่สิ้นสุดความก้าวหน้า - มีจำนวนสมาชิกไม่สิ้นสุดตามที่คุณคาดเดา)

คุณสามารถเขียนลำดับขั้นสุดท้ายเป็นลำดับดังนี้ สมาชิกทั้งหมดและจุดต่อท้าย:

ก 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .

หรือแบบนี้ถ้ามีสมาชิกหลายคน:

ก 1 , 2 , ... 14 , 15 .

ในรายการสั้น ๆ คุณจะต้องระบุจำนวนสมาชิกเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น (สำหรับสมาชิก 20 คน) ดังนี้

(และ n), n = 20

จุดไข่ปลาที่ส่วนท้ายของแถวสามารถรับรู้ความก้าวหน้าที่ไม่สิ้นสุดได้ ดังตัวอย่างในบทเรียนนี้

ตอนนี้คุณสามารถแก้ปัญหาได้แล้ว งานนั้นง่ายสำหรับการทำความเข้าใจความหมายของความก้าวหน้าทางเลขคณิตเท่านั้น

ตัวอย่างงานสำหรับความก้าวหน้าทางเลขคณิต

มาดูงานที่ด้านบนให้ละเอียดยิ่งขึ้น:

1. เขียนสมาชิกหกตัวแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ถ้า a 2 = 5, d = -2.5

เราแปลงานเป็นภาษาที่เข้าใจได้ ให้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ไม่สิ้นสุด ทราบหมายเลขที่สองของความก้าวหน้านี้: 2 = 5ความแตกต่างของความก้าวหน้าที่ทราบ: d = -2.5เราต้องหาสมาชิกลำดับที่หนึ่ง สาม สี่ ห้า และหกของความก้าวหน้านี้

เพื่อความชัดเจนผมจะเขียนเป็นชุดตามเงื่อนไขของปัญหา สมาชิกหกตัวแรก โดยที่สมาชิกตัวที่สองคือห้า:

ก 1 , 5 , ก 3 , ก 4 , ก 5 , ก 6 ,....

3 = 2 + ง

เราแทนที่ในนิพจน์ 2 = 5และ ง=-2.5. อย่าลืมลบ!

3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

เทอมที่สามมีค่าน้อยกว่าเทอมที่สอง ทุกอย่างมีเหตุผล หากมีจำนวนมากกว่าครั้งก่อน เชิงลบค่า ดังนั้นตัวเลขจะน้อยกว่าค่าก่อนหน้า ความก้าวหน้ากำลังลดลง เอาล่ะมาพิจารณากัน) เราพิจารณาสมาชิกคนที่สี่ของซีรี่ส์ของเรา:

4 = 3 + ง

4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = 4 + ง

5=0+(-2,5)= - 2,5

6 = 5 + ง

6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

ดังนั้นจึงมีการคำนวณเงื่อนไขตั้งแต่สามถึงหก ส่งผลให้ซีรีส์:

ก 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....

ยังคงต้องค้นหาเทอมแรก 1ตามวินาทีที่ทราบกันดี นี่คือขั้นตอนในทิศทางอื่นไปทางซ้าย) ดังนั้นผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิต งไม่ควรเพิ่ม 2, ก เอาไป:

1 = 2 - ง

1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

นั่นคือทั้งหมดที่มีไป การตอบสนองของงาน:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

ฉันทราบว่าเราได้แก้ไขงานนี้แล้ว กำเริบทาง. คำที่น่ากลัวนี้หมายถึงการค้นหาสมาชิกของความก้าวหน้าเท่านั้น ตามหมายเลขก่อนหน้า (ที่อยู่ติดกัน)วิธีอื่นๆ ในการทำงานกับความก้าวหน้าจะกล่าวถึงในภายหลัง

ข้อสรุปที่สำคัญประการหนึ่งสามารถสรุปได้จากงานง่าย ๆ นี้

จดจำ:

ถ้าเราทราบอย่างน้อยหนึ่งสมาชิกและความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เราสามารถหาสมาชิกใดๆ ของความก้าวหน้านี้ได้

จดจำ? ข้อสรุปง่ายๆ นี้ช่วยให้เราสามารถแก้ปัญหาส่วนใหญ่ของหลักสูตรของโรงเรียนในหัวข้อนี้ได้ งานทั้งหมดเกี่ยวข้องกับตัวแปรหลักสามประการ: สมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ผลต่างของความก้าวหน้า จำนวนสมาชิกของความก้าวหน้าทั้งหมด.

แน่นอนว่าพีชคณิตก่อนหน้าทั้งหมดไม่ได้ถูกยกเลิก) อสมการ สมการ และสิ่งอื่นๆ จะถูกแนบไปกับความก้าวหน้า แต่ ตามความก้าวหน้า- ทุกอย่างหมุนรอบสามพารามิเตอร์

ตัวอย่างเช่น พิจารณางานที่ได้รับความนิยมในหัวข้อนี้

2. เขียนความก้าวหน้าทางเลขคณิตขั้นสุดท้ายเป็นอนุกรม ถ้า n=5, d=0.4 และ a 1=3.6

ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ ทุกอย่างถูกกำหนดไว้แล้ว คุณต้องจำวิธีการคำนวณ นับ และจดบันทึกสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ไม่แนะนำให้ข้ามคำในเงื่อนไขงาน: "สุดท้าย" และ " n=5" เพื่อไม่ให้นับจนกว่าคุณจะหน้าเป็นสีน้ำเงินหมด) มีสมาชิกเพียง 5 (ห้า) คนในความก้าวหน้านี้:

2 \u003d 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

3 \u003d 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

4 = 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

5 = 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

มันยังคงเขียนคำตอบ:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

งานอื่น:

3. กำหนดว่าหมายเลข 7 จะเป็นสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตหรือไม่ (a n) ถ้า 1 \u003d 4.1; d = 1.2

อืม... ใครจะรู้? จะกำหนดบางสิ่งบางอย่างได้อย่างไร?

ฮาว-ฮาว ... ใช่ค่ะ จดความคืบหน้าเป็นซีรี่ย์แล้วลุ้นว่าจะมีเซเว่นหรือเปล่า! พวกเราเชื่อว่า:

2 \u003d 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

3 \u003d 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

4 = 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

ตอนนี้เห็นได้ชัดว่าเราอายุแค่เจ็ดขวบ เล็ดลอดผ่านระหว่าง 6.5 และ 7.7! เลขเจ็ดไม่ได้อยู่ในชุดตัวเลขของเรา ดังนั้น เลขเจ็ดจะไม่เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าที่กำหนด

คำตอบ: ไม่

และนี่คืองานตาม GIA เวอร์ชันจริง:

4. สมาชิกหลายลำดับของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เขียนออกมา:

... ; 15; X; 9; 6; ...

นี่คือซีรีส์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดและเริ่มต้น ไม่มีหมายเลขสมาชิก ไม่มีความแตกต่าง ง. ไม่เป็นไร. ในการแก้ปัญหา ก็เพียงพอที่จะเข้าใจความหมายของความก้าวหน้าทางเลขคณิต มาดูกันว่าเราสามารถทำอะไรได้บ้าง ที่จะรู้ว่าจากบรรทัดนี้? ตัวแปรหลักทั้งสามคืออะไร?

หมายเลขสมาชิก ? ที่นี่ไม่มีเลขตัวเดียว

แต่มีสามตัวเลขและ - ความสนใจ! - คำ "ติดต่อกัน"อยู่ในสภาพ. ซึ่งหมายความว่าตัวเลขจะเรียงตามลำดับอย่างเคร่งครัดโดยไม่มีช่องว่าง แถวนี้มีสองคนมั้ย? เพื่อนบ้านตัวเลขที่รู้จัก? ใช่ฉันมี! นี่คือ 9 และ 6 เราจึงสามารถคำนวณความแตกต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิตได้! เราลบออกจากหก ก่อนหน้าจำนวนเช่น เก้า:

มีที่ว่างเหลืออยู่ หมายเลขก่อนหน้าของ x คืออะไร สิบห้า ดังนั้นหา x ได้ง่ายโดยการบวกอย่างง่าย ถึง 15 เพิ่มความแตกต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิต:

นั่นคือทั้งหมด คำตอบ: x=12

เราแก้ปัญหาต่อไปนี้ด้วยตัวเอง หมายเหตุ: ปริศนาเหล่านี้ไม่ได้มีไว้สำหรับสูตร เพื่อการเข้าใจความหมายของความก้าวหน้าทางเลขคณิตเท่านั้น) เราแค่จดชุดตัวเลข-ตัวอักษร ดูและคิด

5. ค้นหาพจน์บวกแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ถ้า 5 = -3; d = 1.1

6. เป็นที่ทราบกันว่าหมายเลข 5.5 เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต (an n) โดยที่ 1 = 1.6; d = 1.3 กำหนดจำนวน n ของเทอมนี้

7. เป็นที่ทราบกันว่าในความก้าวหน้าทางเลขคณิต a 2 = 4; 5 \u003d 15.1 หา 3

8. สมาชิกหลายลำดับของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เขียนออกมา:

... ; 15.6; X; 3.4; ...

ค้นหาระยะของความก้าวหน้าซึ่งเขียนแทนด้วยตัวอักษร x

9. รถไฟเริ่มเคลื่อนที่ออกจากสถานี ค่อยๆ เพิ่มความเร็วทีละ 30 เมตรต่อนาที รถไฟจะมีความเร็วเท่าใดในห้านาที ให้คำตอบของคุณเป็นกม./ชม.

10. เป็นที่ทราบกันว่าในความก้าวหน้าทางเลขคณิต a 2 = 5; 6 = -5 ค้นหา 1.

คำตอบ (ระส่ำระสาย): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

ทุกอย่างเรียบร้อยดี? อัศจรรย์! คุณสามารถเรียนรู้ความก้าวหน้าทางเลขคณิตในระดับที่สูงขึ้นได้ในบทเรียนต่อไปนี้

ทุกอย่างไม่ได้ผลใช่ไหม ไม่มีปัญหา. ในส่วนพิเศษ 555 ปริศนาทั้งหมดเหล่านี้จะถูกแยกย่อยทีละชิ้น) และแน่นอนว่ามีการอธิบายเทคนิคการปฏิบัติง่ายๆ ที่เน้นวิธีแก้ปัญหาของงานดังกล่าวทันทีอย่างชัดเจนเหมือนอยู่ในมือคุณ!

โดยวิธีการในปริศนาเกี่ยวกับรถไฟมีสองปัญหาที่คนมักจะสะดุด หนึ่ง - ความก้าวหน้าล้วน ๆ และประการที่สอง - ทั่วไปสำหรับงานใด ๆ ในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ด้วย นี่คือการแปลมิติจากที่หนึ่งไปยังอีกที่หนึ่ง แสดงให้เห็นว่าปัญหาเหล่านี้ควรแก้ไขอย่างไร

ในบทเรียนนี้ เราตรวจสอบความหมายเบื้องต้นของความก้าวหน้าทางเลขคณิตและตัวแปรหลัก เพียงพอที่จะแก้ปัญหาเกือบทั้งหมดในหัวข้อนี้ เพิ่ม งเป็นตัวเลข เขียนเป็นชุด ทุกอย่างจะถูกตัดสิน

วิธีแก้ปัญหาด้วยนิ้วใช้ได้ดีกับส่วนที่สั้นมากๆ ของซีรีส์ ดังตัวอย่างในบทเรียนนี้ หากอนุกรมยาวขึ้น การคำนวณจะซับซ้อนมากขึ้น ตัวอย่างเช่น หากมีปัญหาข้อที่ 9 ให้แทนที่ "ห้านาที"บน "สามสิบห้านาที"ปัญหาจะยิ่งแย่ลงไปอีก)

และยังมีงานที่เรียบง่ายในสาระสำคัญ แต่ไร้สาระอย่างยิ่งในแง่ของการคำนวณ ตัวอย่างเช่น:

กำหนดความก้าวหน้าทางเลขคณิต (a n) หา 121 ถ้า a 1 =3 และ d=1/6

แล้วอะไรล่ะ เราจะบวก 1/6 หลายๆ ครั้ง?! เป็นไปได้ไหมที่จะฆ่าตัวตาย!?

คุณทำได้) หากคุณไม่ทราบสูตรง่าย ๆ ที่คุณสามารถแก้ไขงานดังกล่าวได้ภายในหนึ่งนาที สูตรนี้จะอยู่ในบทเรียนถัดไป และปัญหานั้นได้รับการแก้ไขที่นั่น ในหนึ่งนาที)

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามไซต์สำหรับคุณ)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตั้งชื่อลำดับของตัวเลข (สมาชิกของความก้าวหน้า)

ซึ่งแต่ละคำที่ตามมาแตกต่างจากคำก่อนหน้าด้วยคำเหล็กซึ่งเรียกอีกอย่างว่า ขั้นตอนหรือความแตกต่างของความก้าวหน้า.

ดังนั้น โดยการตั้งค่าขั้นตอนของความก้าวหน้าและระยะแรก คุณสามารถค้นหาองค์ประกอบใดๆ ของมันโดยใช้สูตร

คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

1) สมาชิกแต่ละตัวของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เริ่มต้นจากตัวเลขที่สองคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ก่อนหน้าและถัดไป

การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกที่อยู่ใกล้เคียงเลขคี่ (คู่) ของความก้าวหน้าเท่ากับสมาชิกที่อยู่ระหว่างพวกมัน ลำดับของตัวเลขนี้ก็คือความก้าวหน้าทางเลขคณิต จากการยืนยันนี้ทำให้ง่ายต่อการตรวจสอบลำดับใดๆ

ด้วยคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเลขคณิต สูตรข้างต้นสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้

สิ่งนี้ง่ายต่อการตรวจสอบหากเราเขียนเงื่อนไขทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ

มักใช้ในทางปฏิบัติเพื่อลดความซับซ้อนของการคำนวณในปัญหา

2) ผลรวมของสมาชิก n ตัวแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คำนวณโดยสูตร

จำสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิตได้ดี มันขาดไม่ได้ในการคำนวณและเป็นเรื่องปกติธรรมดาในสถานการณ์ชีวิตที่เรียบง่าย

3) หากคุณต้องการค้นหาผลรวมทั้งหมด แต่เป็นส่วนหนึ่งของลำดับที่เริ่มต้นจากสมาชิกลำดับที่ k สูตรผลรวมต่อไปนี้จะมีประโยชน์สำหรับคุณ

4) เป็นเรื่องที่น่าสนใจในทางปฏิบัติที่จะหาผลรวมของสมาชิก n ตัวของความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่เริ่มต้นจากเลข k ในการทำเช่นนี้ให้ใช้สูตร

นี่คือจุดสิ้นสุดของเนื้อหาทางทฤษฎีและเราไปสู่การแก้ปัญหาที่พบบ่อยในทางปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 1 หาพจน์ที่สี่สิบของการก้าวหน้าเลขคณิต 4;7;...

สารละลาย:

ตามสภาพเราก็มี

กำหนดขั้นตอนความก้าวหน้า

ตามสูตรที่รู้จักกันดี เราพบระยะที่สี่สิบของความก้าวหน้า

ตัวอย่างที่ 2 ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดโดยสมาชิกที่สามและเจ็ด ค้นหาพจน์แรกของความก้าวหน้าและผลรวมของสิบ

สารละลาย:

เราเขียนองค์ประกอบที่กำหนดของความก้าวหน้าตามสูตร

เราลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง ดังนั้น เราจึงพบขั้นตอนความก้าวหน้า

ค่าที่พบจะถูกแทนลงในสมการใดๆ เพื่อหาพจน์แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

คำนวณผลรวมของสิบเทอมแรกของความก้าวหน้า

เราพบค่าที่จำเป็นทั้งหมดโดยไม่ต้องใช้การคำนวณที่ซับซ้อน

ตัวอย่างที่ 3 ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยตัวส่วนและหนึ่งในสมาชิกของมัน ค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้า ผลรวมของ 50 เทอมที่เริ่มต้นจาก 50 และผลรวมของ 100 แรก

สารละลาย:

ลองเขียนสูตรสำหรับองค์ประกอบที่ร้อยของความก้าวหน้า