ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ไม่คงที่คืออะไร คุณสมบัติของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ปัญหาความก้าวหน้าทางเลขคณิตมีมาตั้งแต่สมัยโบราณ พวกเขาปรากฏตัวและเรียกร้องวิธีแก้ปัญหาเพราะพวกเขามีความจำเป็นในทางปฏิบัติ

ดังนั้นในหนึ่งใน papyri อียิปต์โบราณซึ่งมีเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ - ต้นกก Rhind (ศตวรรษที่ XIX ก่อนคริสต์ศักราช) - มีงานต่อไปนี้: แบ่งขนมปังสิบขนาดออกเป็นสิบคนโดยมีเงื่อนไขว่าความแตกต่างระหว่างแต่ละอันคือหนึ่งในแปดของการวัด

และในงานคณิตศาสตร์ของชาวกรีกโบราณมีทฤษฎีบทที่สวยงามเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเลขคณิต ดังนั้น Gipsicles of Alexandria (ศตวรรษที่ 2 ซึ่งมีจำนวนมากมาย งานที่น่าสนใจและเพิ่มหนังสือเล่มที่สิบสี่ใน "หลักการ" ของ Euclid กำหนดแนวคิด: "ในความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่มี เลขคู่สมาชิก ผลรวมของสมาชิกในครึ่งหลังจะมากกว่าผลรวมของสมาชิกในครึ่งหลังที่ 1 ยกกำลังสอง 1/2 ของจำนวนสมาชิก

ลำดับ an แสดงแทน จำนวนของลำดับเรียกว่าสมาชิกและมักจะแสดงด้วยตัวอักษรพร้อมดัชนีที่ระบุ หมายเลขซีเรียลสมาชิกนี้ (a1, a2, a3 ... อ่าน: "ที่ 1", "ที่ 2", "ที่ 3" และอื่นๆ)

ลำดับสามารถเป็นอนันต์หรือไม่มีขอบเขต

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร? เป็นที่เข้าใจได้จากการเพิ่มคำก่อนหน้า (n) ด้วยหมายเลข d เดียวกัน ซึ่งเป็นผลต่างของความก้าวหน้า

ถ้า ง<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 ความก้าวหน้าดังกล่าวถือว่าเพิ่มขึ้น

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เรียกว่า finite หากคำนึงถึงเงื่อนไขแรกเพียงไม่กี่ข้อ ที่มาก ในจำนวนมากสมาชิกได้แล้ว ความก้าวหน้าที่ไม่มีที่สิ้นสุด.

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ถูกกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้:

an =kn+b ในขณะที่ b และ k เป็นตัวเลขบางตัว

ข้อความนี้เป็นจริงทุกประการ ซึ่งตรงกันข้าม: ถ้าลำดับถูกกำหนดโดย สูตรที่คล้ายกันนี่คือความก้าวหน้าทางเลขคณิตซึ่งมีคุณสมบัติ:

1. สมาชิกแต่ละตัวของความก้าวหน้าคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกก่อนหน้าและสมาชิกถัดไป
2. คำตรงข้าม: ถ้า เริ่มจากข้อ 2 แต่ละเทอมเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเทอมก่อนหน้าและเทอมถัดไป เช่น หากตรงตามเงื่อนไข ลำดับที่กำหนดจะเป็นความก้าวหน้าทางเลขคณิต ความเท่าเทียมกันนี้เป็นสัญญาณของความก้าวหน้าในเวลาเดียวกัน ดังนั้นจึงมักเรียกว่าคุณสมบัติเฉพาะของความก้าวหน้า
   ในทำนองเดียวกัน ทฤษฎีบทที่สะท้อนถึงคุณสมบัตินี้เป็นจริง: ลำดับคือความก้าวหน้าทางเลขคณิตก็ต่อเมื่อความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงสำหรับสมาชิกใดๆ ของลำดับ โดยเริ่มจากลำดับที่ 2

คุณสมบัติลักษณะเฉพาะสำหรับตัวเลขสี่ตัวใดๆ ของความก้าวหน้าทางเลขคณิตสามารถแสดงได้ด้วยสูตร an + am = ak + al ถ้า n + m = k + l (m, n, k คือตัวเลขของความก้าวหน้า)

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คำศัพท์ที่จำเป็น (Nth) ใดๆ สามารถพบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ตัวอย่างเช่น: เทอมแรก (a1) ในความก้าวหน้าทางเลขคณิตจะได้รับและเท่ากับสาม และผลต่าง (d) เท่ากับสี่ คุณต้องหาระยะที่สี่สิบห้าของความก้าวหน้านี้ ก45 = 1+4(45-1)=177

สูตร an = ak + d(n - k) ช่วยให้เราสามารถกำหนดได้ เทอมที่ nความก้าวหน้าทางเลขคณิตผ่านเทอม k-th ใดๆ ของมัน โดยมีเงื่อนไขว่าต้องรู้

ผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต (สมมติว่าสมาชิก n ตัวที่ 1 ความก้าวหน้าที่ จำกัด) คำนวณได้ดังนี้:

Sn = (a1+an) n/2.

หากทราบคำศัพท์ที่ 1 สูตรอื่นจะสะดวกสำหรับการคำนวณ:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*น.

ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มี n เทอมคำนวณดังนี้:

การเลือกสูตรสำหรับการคำนวณขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของงานและข้อมูลเริ่มต้น

อนุกรมธรรมชาติของจำนวนใดๆ เช่น 1,2,3,...,n,...- ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

นอกจากความก้าวหน้าทางเลขคณิตแล้ว ยังมีทางเรขาคณิตซึ่งมีคุณสมบัติและลักษณะเฉพาะของตัวเอง

ความก้าวหน้าทางเลขคณิตและเรขาคณิต

ข้อมูลเชิงทฤษฎี

ข้อมูลเชิงทฤษฎี

	ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์	ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
คำนิยาม	ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หนึ่งลำดับเรียกว่า สมาชิกแต่ละตัวที่เริ่มต้นจากลำดับที่สองเท่ากับสมาชิกก่อนหน้า เพิ่มด้วยหมายเลขเดียวกัน ง (ง- ความแตกต่างของความก้าวหน้า)	ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ข nลำดับของตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์เรียกว่าแต่ละเทอมซึ่งเริ่มจากวินาทีเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนเดียวกัน ถาม (ถาม- ส่วนของความก้าวหน้า)
สูตรที่เกิดซ้ำ	เพื่อความเป็นธรรมชาติ น n + 1 = n + d	เพื่อความเป็นธรรมชาติ น bn + 1 = bn ∙ q, bn ≠ 0
สูตรเทอมที่ n	n = a 1 + d (น - 1)	ข n \u003d ข 1 ∙ คิว n - 1, ข n ≠ 0
คุณสมบัติเฉพาะ
ผลรวมของ n พจน์แรก

ตัวอย่างของงานที่มีความคิดเห็น

แบบฝึกหัด 1

ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต ( หนึ่ง) 1 = -6, 2

ตามสูตรของเทอมที่ n:

22 = 1+ ง (22 - 1) = 1+21ด

ตามเงื่อนไข:

1= -6 ดังนั้น 22= -6 + 21ง.

จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า:

ง= ก 2 – ก 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

ตอบ : 22 = -48.

ภารกิจที่ 2

ค้นหาเทอมที่ห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต: -3; 6;....

วิธีที่ 1 (ใช้สูตร n-term)

ตามสูตรของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:

ข 5 \u003d ข 1 ∙ คิว 5 - 1 = ข 1 ∙ คิว 4.

เนื่องจาก ข 1 = -3,

วิธีที่ 2 (โดยใช้ สูตรที่เกิดซ้ำ)

เนื่องจากตัวส่วนของความก้าวหน้าคือ -2 (q = -2) ดังนั้น:

ข 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

ข 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ข 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

ตอบ : ข 5 = -48.

ภารกิจที่ 3

ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต ( น) ก 74 = 34; 76= 156 จงหาพจน์ที่เจ็ดสิบห้าของการก้าวหน้านี้

สำหรับความก้าวหน้าทางเลขคณิต คุณสมบัติเฉพาะมีแบบฟอร์ม .

ดังนั้น:

.

แทนที่ข้อมูลในสูตร:

คำตอบ: 95.

ภารกิจที่ 4

ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต ( น ) น= 3n - 4. หาผลบวกของพจน์สิบเจ็ดแรก

ในการหาผลบวกของพจน์ n แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต จะใช้สูตรสองสูตร:

.

อันไหนใน กรณีนี้ใช้สะดวกกว่า?

ตามเงื่อนไข ทราบสูตรของสมาชิกลำดับที่ n ของความก้าวหน้าดั้งเดิม ( หนึ่ง) หนึ่ง= 3n - 4. พบได้ทันทีและ 1, และ 16โดยไม่พบ ง. ดังนั้นเราจึงใช้สูตรแรก

คำตอบ: 368.

ภารกิจที่ 5

ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต หนึ่ง) 1 = -6; 2= -8. ค้นหาระยะที่ 22 ของความก้าวหน้า

ตามสูตรของเทอมที่ n:

ก 22 = ก 1 + ง (22 – 1) = 1+21ด.

โดยเงื่อนไขถ้า 1= -6 แล้ว 22= -6 + 21ง. จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า:

ง= ก 2 – ก 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

ตอบ : 22 = -48.

ภารกิจที่ 6

มีการบันทึกความก้าวหน้าทางเรขาคณิตติดต่อกันหลายเทอม:

ค้นหาระยะเวลาของความก้าวหน้าซึ่งเขียนแทนด้วยตัวอักษร x

เมื่อแก้ปัญหาเราใช้สูตรสำหรับเทอมที่ n b n \u003d b 1 ∙ คิว n - 1สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต สมาชิกคนแรกของความก้าวหน้า ในการหาตัวส่วนของความก้าวหน้า q คุณต้องใช้เงื่อนไขเหล่านี้ของความก้าวหน้าและหารด้วยเงื่อนไขก่อนหน้า ในตัวอย่างของเรา คุณสามารถใช้และหารด้วย เราได้ q \u003d 3 แทนที่จะใช้ n เราแทนที่ 3 ในสูตร เนื่องจากจำเป็นต้องหาพจน์ที่สามของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนด

แทนค่าที่พบในสูตร เราได้รับ:

.

ตอบ : .

ภารกิจที่ 7

จากความก้าวหน้าทางเลขคณิต กำหนดโดยสูตรเทอมที่ n เลือกเงื่อนไขที่ตรงตามเงื่อนไข 27 > 9:

เนื่องจากต้องเป็นไปตามเงื่อนไขที่ระบุสำหรับระยะที่ 27 ของความก้าวหน้า เราจึงแทน 27 แทน n ในแต่ละความก้าวหน้าทั้งสี่ ในความก้าวหน้าที่ 4 เราได้รับ:

.

คำตอบ: 4.

ภารกิจที่ 8

ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต 1= 3, d = -1.5. ระบุ ค่าสูงสุด n ซึ่งความไม่เท่าเทียมกัน หนึ่ง > -6.

หรือเลขคณิตเป็นประเภทของลำดับตัวเลขที่เรียงลำดับซึ่งคุณสมบัติของการศึกษาใน หลักสูตรของโรงเรียนพีชคณิต. บทความนี้กล่าวถึงรายละเอียดคำถามเกี่ยวกับวิธีหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ความก้าวหน้านี้คืออะไร?

ก่อนดำเนินการพิจารณาคำถาม (วิธีหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต) ควรทำความเข้าใจกับสิ่งที่จะกล่าวถึง

ลำดับใดก็ได้ จำนวนจริงซึ่งได้มาจากการเพิ่ม (ลบ) ค่าบางส่วนจากแต่ละค่า วันที่ก่อนหน้าเรียกว่าความก้าวหน้าทางพีชคณิต (เลขคณิต) คำนิยามนี้ซึ่งแปลเป็นภาษาคณิตศาสตร์จะอยู่ในรูปแบบ:

ในที่นี้ i คือเลขลำดับขององค์ประกอบของอนุกรม a i ดังนั้นเมื่อทราบหมายเลขเริ่มต้นเพียงหมายเลขเดียว คุณก็สามารถกู้คืนข้อมูลทั้งชุดได้อย่างง่ายดาย พารามิเตอร์ d ในสูตรเรียกว่าความแตกต่างของความก้าวหน้า

สามารถแสดงได้ง่ายว่าความเท่าเทียมกันต่อไปนี้ถือเป็นชุดของตัวเลขที่อยู่ระหว่างการพิจารณา:

n \u003d a 1 + d * (n - 1)

นั่นคือ หากต้องการหาค่าขององค์ประกอบที่ n ตามลำดับ ให้เพิ่มผลต่าง d ให้กับองค์ประกอบแรก a 1 n-1 คูณ

ผลบวกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตคืออะไร: สูตร

ก่อนที่จะให้สูตรสำหรับจำนวนที่ระบุ ควรพิจารณาง่ายๆ กรณีพิเศษ. ความก้าวหน้าของดาน่า จำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 10 คุณต้องหาผลรวมของมัน เนื่องจากมีคำศัพท์ไม่กี่คำในความคืบหน้า (10) จึงเป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหาโดยตรง นั่นคือรวมองค์ประกอบทั้งหมดตามลำดับ

ส 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55

มันคุ้มค่าที่จะพิจารณาสิ่งที่น่าสนใจอย่างหนึ่ง: เนื่องจากแต่ละคำแตกต่างจากคำถัดไปด้วยค่าเดียวกัน d \u003d 1 ดังนั้นผลรวมคู่ของคำแรกกับสิบ ที่สองกับเก้า และอื่น ๆ จะให้ผลลัพธ์เดียวกัน . จริงๆ:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

อย่างที่คุณเห็น มีเพียง 5 ผลรวมเหล่านี้ ซึ่งน้อยกว่าจำนวนองค์ประกอบในชุดถึงสองเท่า จากนั้นคูณจำนวนผลรวม (5) ด้วยผลลัพธ์ของแต่ละผลรวม (11) คุณจะได้ผลลัพธ์ที่ได้จากตัวอย่างแรก

หากเราสรุปการพิจารณาเหล่านี้ เราสามารถเขียน การแสดงออกต่อไปนี้:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

นิพจน์นี้แสดงให้เห็นว่าไม่จำเป็นเลยที่จะรวมองค์ประกอบทั้งหมดในแถว มันก็เพียงพอแล้วที่จะทราบค่าของอันแรก a 1 และอันสุดท้าย a n และ จำนวนทั้งหมดเงื่อนไข n.

มีความเชื่อกันว่า Gauss นึกถึงความเท่าเทียมกันนี้เป็นครั้งแรกเมื่อเขามองหาคำตอบของสมการที่กำหนด ครูโรงเรียนงาน: รวมจำนวนเต็ม 100 ตัวแรก

ผลรวมขององค์ประกอบจาก m ถึง n: สูตร

สูตรที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ตอบคำถามเกี่ยวกับวิธีหาผลบวกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต (ขององค์ประกอบแรก) แต่บ่อยครั้งในงาน จำเป็นต้องรวมชุดตัวเลขในช่วงกลางของความก้าวหน้า ทำอย่างไร?

วิธีที่ง่ายที่สุดในการตอบคำถามนี้คือการพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้: ให้จำเป็นต้องหาผลรวมของพจน์จากเดือนถึงอันดับที่ n ในการแก้ปัญหาควรนำเสนอ ส่วนที่กำหนดจาก m ถึง n ก้าวหน้าเหมือนใหม่ ชุดหมายเลข. ในการดังกล่าว ม.-ธเทอม a m จะเป็นเทอมแรก และ n จะเป็นเลข n-(m-1) ในกรณีนี้ เมื่อใช้สูตรมาตรฐานสำหรับผลรวม จะได้นิพจน์ต่อไปนี้:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

ตัวอย่างการใช้สูตร

การรู้วิธีหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต การพิจารณาตัวอย่างง่ายๆ ของการใช้สูตรข้างต้นเป็นสิ่งที่ควรค่าแก่การพิจารณา

ด้านล่างนี้เป็นลำดับตัวเลข คุณควรหาผลรวมของสมาชิก โดยเริ่มจากวันที่ 5 และลงท้ายด้วยวันที่ 12:

ตัวเลขที่ระบุระบุว่าผลต่าง d เท่ากับ 3 เมื่อใช้นิพจน์สำหรับองค์ประกอบที่ n คุณจะพบค่าของสมาชิกลำดับที่ 5 และ 12 ของความก้าวหน้า ปรากฎว่า:

5 \u003d 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;

12 \u003d 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29

รู้ค่าของตัวเลขในตอนท้ายของการพิจารณา ความก้าวหน้าทางพีชคณิตและยังรู้ว่าหมายเลขใดในแถวที่พวกเขาครอบครอง คุณสามารถใช้สูตรสำหรับจำนวนเงินที่ได้รับในย่อหน้าก่อนหน้า รับ:

ส 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

เป็นที่น่าสังเกตว่าค่านี้สามารถรับได้แตกต่างกัน: ขั้นแรกให้หาผลรวมของ 12 องค์ประกอบแรกด้วย สูตรมาตรฐานจากนั้นคำนวณผลรวมขององค์ประกอบ 4 ตัวแรกโดยใช้สูตรเดียวกัน จากนั้นลบองค์ประกอบที่สองออกจากผลรวมแรก

ก่อนที่เราจะเริ่มตัดสินใจ ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์พิจารณาว่าลำดับตัวเลขคืออะไร เนื่องจากความก้าวหน้าทางเลขคณิตเป็นกรณีพิเศษของลำดับตัวเลข

ลำดับหมายเลขคือ ชุดตัวเลขซึ่งแต่ละองค์ประกอบมีหมายเลขซีเรียลของตัวเอง. องค์ประกอบของเซตนี้เรียกว่า สมาชิกของลำดับ หมายเลขลำดับขององค์ประกอบลำดับจะแสดงโดยดัชนี:

องค์ประกอบแรกของลำดับ;

องค์ประกอบที่ห้าของลำดับ;

- องค์ประกอบ "nth" ของลำดับ เช่น องค์ประกอบ "ยืนอยู่ในคิว" ที่หมายเลข n

มีการพึ่งพาระหว่างค่าขององค์ประกอบลำดับและหมายเลขลำดับของมัน ดังนั้น เราสามารถพิจารณาลำดับเป็นฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นเลขลำดับขององค์ประกอบของลำดับ กล่าวอีกนัยหนึ่งอาจกล่าวได้ว่า ลำดับเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติ:

ลำดับสามารถระบุได้สามวิธี:

1 . สามารถระบุลำดับได้โดยใช้ตารางในกรณีนี้ เราเพียงแค่กำหนดค่าของสมาชิกแต่ละตัวในลำดับ

ตัวอย่างเช่น มีคนตัดสินใจจัดการเวลาส่วนตัวและเริ่มต้นด้วยการคำนวณเวลาที่เขาใช้ไปกับ VKontakte ในระหว่างสัปดาห์ เมื่อเขียนเวลาลงในตาราง เขาจะได้ลำดับที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเจ็ดอย่าง:

บรรทัดแรกของตารางประกอบด้วยจำนวนวันในสัปดาห์ บรรทัดที่สอง - เวลาเป็นนาที เราเห็นนั่นคือในวันจันทร์มีคนใช้เวลา 125 นาทีใน VKontakte นั่นคือในวันพฤหัสบดี - 248 นาทีและนั่นคือในวันศุกร์เพียง 15 นาที

2 . สามารถระบุลำดับได้โดยใช้สูตรสมาชิกลำดับที่ n

ในกรณีนี้ การพึ่งพาค่าขององค์ประกอบลำดับกับตัวเลขจะแสดงโดยตรงเป็นสูตร

ตัวอย่างเช่น ถ้า แล้ว

หากต้องการหาค่าขององค์ประกอบลำดับด้วยหมายเลขที่กำหนด เราจะแทนหมายเลของค์ประกอบลงในสูตรสำหรับสมาชิกตัวที่ n

เราทำเช่นเดียวกันหากต้องการค้นหาค่าของฟังก์ชันหากทราบค่าของอาร์กิวเมนต์ เราแทนค่าของอาร์กิวเมนต์ในสมการของฟังก์ชันแทน:

ตัวอย่างเช่น ถ้า , แล้ว

ฉันทราบอีกครั้งว่าในลำดับตรงกันข้ามกับโดยพลการ ฟังก์ชันตัวเลขอาร์กิวเมนต์ต้องเป็นจำนวนธรรมชาติเท่านั้น

3 . สามารถระบุลำดับได้โดยใช้สูตรที่แสดงการพึ่งพาค่าของสมาชิกของลำดับโดยมีหมายเลข n เป็นค่าของสมาชิกก่อนหน้า ในกรณีนี้ การรู้เฉพาะจำนวนของสมาชิกในลำดับนั้นไม่เพียงพอที่เราจะหาค่าของมันได้ เราจำเป็นต้องระบุสมาชิกตัวแรกหรือสมาชิกสองสามตัวแรกของลำดับ

ตัวอย่างเช่น พิจารณาลำดับ ,

เราสามารถหาค่าของสมาชิกในลำดับได้ ในลำดับเริ่มจากข้อที่สาม:

นั่นคือ ทุกครั้งที่ค้นหาค่าของสมาชิกตัวที่ n ของลำดับ เราจะกลับไปที่สองตัวก่อนหน้า วิธีการจัดลำดับนี้เรียกว่า กำเริบ, จาก คำภาษาละติน เกิดขึ้นอีก- กลับมา.

ตอนนี้เราสามารถกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้ ความก้าวหน้าทางเลขคณิตเป็นกรณีพิเศษง่ายๆ ของลำดับตัวเลข

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เรียกว่า ลำดับตัวเลข ซึ่งสมาชิกแต่ละตัวที่เริ่มต้นจากลำดับที่สองมีค่าเท่ากับลำดับก่อนหน้า บวกด้วยจำนวนเดียวกัน

เบอร์โทร ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิต. ผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิตอาจเป็นค่าบวก ลบ หรือศูนย์ก็ได้

ถ้า title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} เพิ่มขึ้น.

ตัวอย่างเช่น 2; ห้า; 8; สิบเอ็ด;...

ถ้า แล้วแต่ละพจน์ของความก้าวหน้าทางเลขคณิตน้อยกว่าพจน์ก่อนหน้า และความก้าวหน้าเท่ากับ เสื่อมโทรม.

ตัวอย่างเช่น 2; -1; - สี่; -7;...

ถ้า แล้วสมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้ามีค่าเท่ากับจำนวนเดียวกัน และความก้าวหน้าคือ เครื่องเขียน.

ตัวอย่างเช่น 2;2;2;2;...

คุณสมบัติหลักของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

ลองดูที่ภาพ

เราเห็นอย่างนั้น

และในเวลาเดียวกัน

การบวกความเท่าเทียมกันทั้งสองนี้ เราได้รับ:

.

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 2:

ดังนั้น สมาชิกแต่ละตัวของความก้าวหน้าทางเลขคณิต เริ่มจากตัวที่สอง จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสองตัวที่อยู่ใกล้เคียงกัน:

นอกจากนี้เนื่องจาก

และในเวลาเดียวกัน

, แล้ว

และด้วยเหตุนี้

สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เริ่มต้นด้วย title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

สูตรสมาชิก.

เราเห็นว่าสำหรับสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ถือ:

และในที่สุดก็

เราได้ สูตรของเทอมที่ n

สำคัญ!สมาชิกใดๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถแสดงในรูปของ และ เมื่อทราบพจน์แรกและความแตกต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิตแล้ว คุณสามารถค้นหาสมาชิกใดๆ ของพจน์นั้นได้

ผลรวมของสมาชิก n ตัวของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ในความก้าวหน้าทางเลขคณิตโดยพลการ ผลรวมของพจน์ที่เว้นระยะเท่าๆ กันจากพจน์สุดขั้วจะเท่ากัน:

พิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีสมาชิก n ตัว ให้ผลรวมของสมาชิก n ตัวของความก้าวหน้านี้เท่ากับ

จัดเรียงเงื่อนไขของความก้าวหน้าตามลำดับตัวเลขจากน้อยไปมาก จากนั้นจึงเรียงลำดับจากมากไปหาน้อย:

มาจับคู่กันเถอะ:

ผลรวมในแต่ละวงเล็บคือ จำนวนคู่คือ n

เราได้รับ:

ดังนั้น, ผลรวมของสมาชิก n ตัวของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้โดยใช้สูตร:

พิจารณา การแก้ปัญหาความก้าวหน้าทางเลขคณิต.

1 . ลำดับถูกกำหนดโดยสูตรของเทอมที่ n: . พิสูจน์ว่าลำดับนี้เป็นความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ให้เราพิสูจน์ว่าผลต่างระหว่างสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันของลำดับมีค่าเท่ากับจำนวนเดียวกัน

เราพบว่าผลต่างของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันของลำดับนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนของพวกมันและเป็นค่าคงที่ ดังนั้น ตามคำนิยาม ลำดับนี้คือความก้าวหน้าทางเลขคณิต

2 . กำหนดความก้าวหน้าทางเลขคณิต -31; -27;...

ก) ค้นหา 31 เงื่อนไขของความก้าวหน้า

b) กำหนดว่าหมายเลข 41 รวมอยู่ในความก้าวหน้านี้หรือไม่

ก)เราเห็นว่า ;

ลองเขียนสูตรสำหรับเทอมที่ n สำหรับการก้าวหน้าของเรา

โดยทั่วไป

ในกรณีของเรา , ดังนั้น

เมื่อเรียนพีชคณิตใน โรงเรียนศึกษาทั่วไป(ป.๖) หนึ่งใน หัวข้อสำคัญคือการศึกษา ลำดับหมายเลขซึ่งรวมถึงความก้าวหน้า - เรขาคณิตและเลขคณิต ในบทความนี้ เราจะพิจารณาความก้าวหน้าทางเลขคณิตและตัวอย่างพร้อมคำตอบ

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร?

เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ จำเป็นต้องให้คำนิยามของความก้าวหน้าภายใต้การพิจารณา รวมทั้งให้สูตรพื้นฐานที่จะใช้ในการแก้ปัญหาต่อไป

เป็นที่ทราบกันว่าในความก้าวหน้าทางพีชคณิตบางตัว เทอมที่ 1 เท่ากับ 6 และเทอมที่ 7 เท่ากับ 18 จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างและคืนค่าลำดับนี้เป็นเทอมที่ 7

ลองใช้สูตรเพื่อหาคำศัพท์ที่ไม่รู้จัก: a n = (n - 1) * d + a 1 เราแทนที่ข้อมูลที่ทราบจากเงื่อนไขลงไปนั่นคือตัวเลข 1 และ 7 เรามี: 18 \u003d 6 + 6 * d จากนิพจน์นี้ คุณสามารถคำนวณความแตกต่างได้อย่างง่ายดาย: d = (18 - 6) / 6 = 2 ดังนั้น ส่วนแรกของปัญหาจึงได้รับคำตอบ

ในการคืนค่าลำดับไปยังสมาชิกตัวที่ 7 คุณควรใช้นิยามของความก้าวหน้าทางพีชคณิต นั่นคือ a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d เป็นต้น เป็นผลให้เราคืนค่าลำดับทั้งหมด: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , 6 = 14 + 2 = 16 และ 7 = 18.

ตัวอย่าง #3: ความก้าวหน้า

มาทำให้มันยากขึ้นกันเถอะ สภาพแข็งแรงขึ้นงาน ตอนนี้คุณต้องตอบคำถามเกี่ยวกับวิธีค้นหาความก้าวหน้าทางเลขคณิต เราสามารถยกตัวอย่างต่อไปนี้: ให้ตัวเลขสองตัว เช่น 4 และ 5 จำเป็นต้องสร้างความก้าวหน้าทางพีชคณิตเพื่อให้มีคำศัพท์อีกสามคำที่เหมาะสมระหว่างค่าเหล่านี้

ก่อนที่จะเริ่มแก้ปัญหานี้ จำเป็นต้องเข้าใจว่าหมายเลขที่กำหนดจะอยู่ในตำแหน่งใดในอนาคต เนื่องจากจะมีคำศัพท์อีกสามคำระหว่างพวกเขา ดังนั้น 1 \u003d -4 และ 5 \u003d 5 เมื่อสร้างสิ่งนี้แล้ว เราจึงดำเนินการงานที่คล้ายกับก่อนหน้านี้ อีกครั้งสำหรับเทอมที่ n เราใช้สูตร เราได้: a 5 \u003d a 1 + 4 * d จาก: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25 ที่นี่เราไม่ได้รับค่าจำนวนเต็มของผลต่าง แต่เป็น จำนวนตรรกยะดังนั้นสูตรสำหรับความก้าวหน้าทางพีชคณิตจึงยังคงเหมือนเดิม

ตอนนี้เรามาเพิ่มผลต่างที่พบเป็น 1 และกู้คืนสมาชิกที่ขาดหายไปของความก้าวหน้า เราได้รับ: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u003d 5, ซึ่งสอดคล้องกับสภาพของปัญหา

ตัวอย่าง #4: สมาชิกตัวแรกของความก้าวหน้า

เรายังคงยกตัวอย่างความก้าวหน้าทางเลขคณิตพร้อมวิธีแก้ปัญหา ในปัญหาก่อนหน้านี้ทั้งหมด ทราบจำนวนแรกของความก้าวหน้าทางพีชคณิต ตอนนี้ให้พิจารณาปัญหาประเภทอื่น: ให้กำหนดตัวเลขสองตัวโดยที่ 15 = 50 และ 43 = 37 จำเป็นต้องค้นหาว่าลำดับนี้เริ่มต้นจากหมายเลขใด

สูตรที่ใช้มาจนถึงปัจจุบันถือว่ามีความรู้เกี่ยวกับ 1 และ d ไม่ทราบเกี่ยวกับตัวเลขเหล่านี้ในเงื่อนไขของปัญหา อย่างไรก็ตาม ลองเขียนนิพจน์สำหรับแต่ละคำที่เรามีข้อมูล: a 15 = a 1 + 14 * d และ a 43 = a 1 + 42 * d เราได้สมการสองสมการซึ่งมี 2 ปริมาณที่ไม่รู้จัก (a 1 และ d) ซึ่งหมายความว่าปัญหาจะลดลงเป็นการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

ระบบที่ระบุจะแก้ปัญหาได้ง่ายที่สุดหากคุณแสดง 1 ในแต่ละสมการ แล้วเปรียบเทียบนิพจน์ผลลัพธ์ สมการแรก: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; สมการที่สอง: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d เมื่อเทียบนิพจน์เหล่านี้เราจะได้รับ: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d ดังนั้นความแตกต่าง d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (กำหนดทศนิยม 3 ตำแหน่งเท่านั้น)

เมื่อรู้ d คุณสามารถใช้ 2 นิพจน์ด้านบนเป็น 1 ได้ ตัวอย่างเช่น อันดับแรก: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496

หากมีข้อสงสัยเกี่ยวกับผลลัพธ์ คุณสามารถตรวจสอบได้ เช่น กำหนดสมาชิกลำดับที่ 43 ของความก้าวหน้าซึ่งระบุไว้ในเงื่อนไข เราได้: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008 ข้อผิดพลาดเล็กน้อยเกิดจากการปัดเศษเป็นเศษส่วนในการคำนวณ

ตัวอย่าง #5: ผลรวม

ทีนี้มาดูตัวอย่างพร้อมคำตอบสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ให้มันได้รับ ความก้าวหน้าทางตัวเลข ชนิดต่อไปนี้: 1, 2, 3, 4, ....,. จะคำนวณผลรวมของ 100 ของตัวเลขเหล่านี้ได้อย่างไร?

ขอบคุณการพัฒนา เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์คุณสามารถแก้ปัญหานี้ได้ นั่นคือบวกตัวเลขทั้งหมดตามลำดับซึ่ง เครื่องคำนวณจะทำทันทีที่บุคคลนั้นกดปุ่ม Enter อย่างไรก็ตาม ปัญหาสามารถแก้ไขได้ทางจิตใจหากคุณใส่ใจว่าชุดตัวเลขที่นำเสนอนั้นเป็นความก้าวหน้าทางพีชคณิตและความแตกต่างของมันคือ 1 ใช้สูตรสำหรับผลรวม เราได้รับ: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

เป็นที่น่าสังเกตว่าปัญหานี้เรียกว่า "เสียน" เพราะใน ต้น XVIIIของศตวรรษ ผู้มีชื่อเสียงชาวเยอรมันในวัยเพียง 10 ขวบก็สามารถไขปมในใจได้ในเวลาไม่กี่วินาที เด็กชายไม่รู้สูตรหาผลรวมของความก้าวหน้าทางพีชคณิต แต่เขาสังเกตเห็นว่าถ้าคุณเพิ่มคู่ของตัวเลขที่อยู่ริมลำดับ คุณจะได้ผลลัพธ์เดียวกันเสมอ นั่นคือ 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... และเนื่องจากผลรวมเหล่านี้จะเท่ากับ 50 (100 / 2) ดังนั้นเพื่อให้ได้คำตอบที่ถูกต้อง ก็เพียงพอที่จะคูณ 50 ด้วย 101

ตัวอย่าง #6: ผลรวมของพจน์ตั้งแต่ n ถึง m

อื่น ตัวอย่างทั่วไปผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิตเป็นดังนี้: ให้ชุดตัวเลข: 3, 7, 11, 15, ... คุณต้องหาว่าผลรวมของสมาชิกตั้งแต่ 8 ถึง 14 จะเป็นเท่าใด

ปัญหาได้รับการแก้ไขในสองวิธี อันดับแรกเกี่ยวข้องกับการค้นหาคำศัพท์ที่ไม่รู้จักตั้งแต่ 8 ถึง 14 จากนั้นจึงสรุปตามลำดับ เนื่องจากมีคำศัพท์น้อย วิธีนี้จึงใช้ความพยายามไม่เพียงพอ อย่างไรก็ตามมีการเสนอให้แก้ปัญหานี้ด้วยวิธีที่สองซึ่งเป็นสากลมากขึ้น

แนวคิดคือการหาสูตรสำหรับผลบวกของความก้าวหน้าทางพีชคณิตระหว่างเทอม m และ n โดยที่ n > m เป็นจำนวนเต็ม สำหรับทั้งสองกรณี เราเขียนสองนิพจน์สำหรับผลรวม:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2

เนื่องจาก n > m เห็นได้ชัดว่าผลรวม 2 รวมค่าแรกด้วย ข้อสรุปสุดท้ายหมายความว่าถ้าเราใช้ผลต่างระหว่างผลรวมเหล่านี้และเพิ่มคำ a m เข้าไป (ในกรณีของผลต่างจะถูกลบออกจากผลรวม S n) จากนั้นเราจะได้คำตอบที่จำเป็นสำหรับปัญหา เรามี: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2) จำเป็นต้องแทนสูตรสำหรับ a n และ a m ในนิพจน์นี้ จากนั้นเราจะได้: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

สูตรผลลัพธ์ค่อนข้างยุ่งยาก อย่างไรก็ตาม ผลรวม S mn ขึ้นอยู่กับ n, m, a 1 และ d เท่านั้น ในกรณีของเรา a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8 เมื่อแทนจำนวนเหล่านี้แล้ว เราจะได้: S mn = 301

ดังที่เห็นได้จากวิธีแก้ปัญหาข้างต้น ปัญหาทั้งหมดขึ้นอยู่กับความรู้ของนิพจน์สำหรับเทอมที่ n และสูตรสำหรับผลรวมของเซตของเทอมแรก ก่อนที่คุณจะเริ่มแก้ปัญหาใดๆ เหล่านี้ ขอแนะนำให้คุณอ่านเงื่อนไขอย่างละเอียด เข้าใจอย่างชัดเจนว่าคุณต้องการค้นหาอะไร จากนั้นจึงดำเนินการแก้ไขปัญหาต่อไป

เคล็ดลับอีกประการหนึ่งคือการพยายามให้เรียบง่าย นั่นคือหากคุณสามารถตอบคำถามได้โดยไม่ต้องใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน คุณต้องทำเช่นนั้น เนื่องจากในกรณีนี้ความน่าจะเป็นที่จะผิดพลาดมีน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วยโซลูชันหมายเลข 6 เราสามารถหยุดที่สูตร S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m และแยก งานทั่วไปเป็นปัญหาย่อยแยกกัน (ในกรณีนี้ ให้หาเงื่อนไข a n และ a m ก่อน)

หากมีข้อสงสัยเกี่ยวกับผลลัพธ์ที่ได้ ขอแนะนำให้ตรวจสอบ ดังที่ได้ดำเนินการไปแล้วในตัวอย่างบางส่วนที่ให้มา ค้นพบความก้าวหน้าทางเลขคณิตได้อย่างไร เมื่อเข้าใจแล้วก็ไม่ยาก