ตีเป็นเลขอะไร. พ.ศ

นิพจน์และงานทางคณิตศาสตร์ต้องการความรู้เพิ่มเติมมากมาย NOC เป็นหนึ่งในหัวข้อหลักโดยเฉพาะอย่างยิ่งมักใช้ในหัวข้อนี้ หัวข้อนี้ศึกษาในโรงเรียนมัธยมแม้ว่าจะไม่ยากที่จะเข้าใจเนื้อหา แต่จะไม่ยากสำหรับคนที่คุ้นเคยกับเลขยกกำลังและตารางสูตรคูณในการเลือก ตัวเลขที่จำเป็นและค้นหาผลลัพธ์

คำนิยาม

ตัวคูณร่วมคือจำนวนที่สามารถแบ่งออกเป็นสองจำนวนได้อย่างสมบูรณ์ในเวลาเดียวกัน (a และ b) บ่อยครั้งที่ตัวเลขนี้ได้มาจากการคูณตัวเลขดั้งเดิม a และ b จำนวนต้องหารด้วยจำนวนทั้งสองพร้อมกันโดยไม่มีการเบี่ยงเบน

NOC เป็นชื่อย่อซึ่งนำมาจากตัวอักษรตัวแรก

วิธีรับเบอร์

ในการค้นหา LCM วิธีการคูณตัวเลขนั้นไม่เหมาะสมเสมอไป แต่จะเหมาะกว่ามากสำหรับตัวเลขหนึ่งหลักหรือสองหลัก เป็นเรื่องปกติที่จะแบ่งออกเป็นปัจจัย ยิ่งจำนวนมาก ปัจจัยก็จะมีมากขึ้น

ตัวอย่าง #1

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด โรงเรียนมักจะใช้ตัวเลขง่ายๆ หนึ่งหลักหรือสองหลัก ตัวอย่างเช่น คุณต้องแก้ปัญหาต่อไปนี้ หาตัวคูณร่วมน้อยของเลข 7 และ 3 วิธีแก้ปัญหานั้นค่อนข้างง่าย แค่คูณพวกมัน เป็นผลให้มีหมายเลข 21 ไม่มีจำนวนที่น้อยกว่า

ตัวอย่าง #2

ตัวเลือกที่สองนั้นยากกว่ามาก จะได้รับหมายเลข 300 และ 1260 จำเป็นต้องค้นหา LCM ในการแก้ปัญหา การดำเนินการต่อไปนี้จะถือว่า:

การแจกแจงตัวเลขที่หนึ่งและสองให้เป็นปัจจัยที่ง่ายที่สุด 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7 ขั้นตอนแรกเสร็จสมบูรณ์แล้ว

ขั้นตอนที่สองเกี่ยวข้องกับการทำงานกับข้อมูลที่ได้รับแล้ว แต่ละหมายเลขที่ได้รับจะต้องเข้าร่วมในการคำนวณผลลัพธ์สุดท้าย สำหรับแต่ละปัจจัย จำนวนครั้งสูงสุดจะถูกนำมาจากจำนวนเดิม LCM เป็นจำนวนทั่วไป ดังนั้นตัวประกอบจากตัวเลขจะต้องซ้ำกับตัวสุดท้าย แม้ว่าจะมีอยู่ในตัวอย่างเดียวก็ตาม ตัวเลขเริ่มต้นทั้งสองมีองค์ประกอบเป็นตัวเลข 2, 3 และ 5 ในระดับที่แตกต่างกัน 7 เป็นเพียงในกรณีเดียวเท่านั้น

ในการคำนวณผลลัพธ์ขั้นสุดท้าย คุณต้องนำตัวเลขแต่ละตัวที่มีค่ามากที่สุดจากพลังที่แทนค่าได้มาใส่ในสมการ มันยังคงเป็นเพียงการคูณและรับคำตอบ ด้วยการเติมที่ถูกต้อง งานจะแบ่งออกเป็นสองขั้นตอนโดยไม่มีคำอธิบาย:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

นั่นคืองานทั้งหมด หากคุณพยายามคำนวณจำนวนที่ต้องการโดยการคูณ คำตอบจะไม่ถูกต้องอย่างแน่นอน เนื่องจาก 300 * 1260 = 378,000

การตรวจสอบ:

6300/300 = 21 - จริง;

6300/1260 = 5 ถูกต้อง

ความถูกต้องของผลลัพธ์ถูกกำหนดโดยการตรวจสอบ - หาร LCM ด้วยตัวเลขดั้งเดิมทั้งสอง หากตัวเลขเป็นจำนวนเต็มในทั้งสองกรณี แสดงว่าคำตอบนั้นถูกต้อง

NOC หมายถึงอะไรในวิชาคณิตศาสตร์

อย่างที่คุณทราบ ไม่มีฟังก์ชันใดที่ไร้ประโยชน์ในวิชาคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันนี้ก็ไม่มีข้อยกเว้น จุดประสงค์ทั่วไปของตัวเลขนี้คือการนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม ซึ่งมักจะเรียนในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5-6 นอกจากนี้ยังเป็นตัวหารร่วมสำหรับผลคูณทั้งหมด หากเงื่อนไขดังกล่าวอยู่ในปัญหา นิพจน์ดังกล่าวสามารถหาผลคูณได้ ไม่เพียงแต่จากตัวเลขสองตัวเท่านั้น แต่ยังหาจำนวนที่มากกว่าได้อีกด้วย - สาม ห้า และอื่น ๆ จำนวนที่มากขึ้น - การดำเนินการในงานมากขึ้น แต่ความซับซ้อนของสิ่งนี้จะไม่เพิ่มขึ้น

ตัวอย่างเช่น เมื่อพิจารณาจากตัวเลข 250, 600 และ 1500 คุณต้องหา LCM ทั้งหมด:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - ตัวอย่างนี้อธิบายการแยกตัวประกอบโดยละเอียดโดยไม่มีการลดลง

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

ในการเขียนนิพจน์จำเป็นต้องพูดถึงปัจจัยทั้งหมดซึ่งในกรณีนี้จะได้รับ 2, 5, 3 - สำหรับตัวเลขเหล่านี้จำเป็นต้องกำหนดระดับสูงสุด

ข้อควรสนใจ: ตัวคูณทั้งหมดต้องได้รับการทำให้เข้าใจง่ายโดยสมบูรณ์ ถ้าเป็นไปได้ ให้แยกย่อยให้เหลือระดับเลขหลักเดียว

การตรวจสอบ:

1) 3000/250 = 12 - จริง;

2) 3000/600 = 5 - จริง;

3) 3000/1500 = 2 ถูกต้อง

วิธีนี้ไม่ต้องการลูกเล่นหรือความสามารถระดับอัจฉริยะ ทุกอย่างทำได้ง่ายและชัดเจน

อีกวิธีหนึ่ง

ในวิชาคณิตศาสตร์ ล็อตเชื่อมโยงกัน ล็อตสามารถแก้ไขได้สองวิธีหรือมากกว่า เช่นเดียวกับการหาตัวคูณร่วมน้อย LCM วิธีการต่อไปนี้สามารถใช้ได้ในกรณีของตัวเลขสองหลักและหลักเดียวอย่างง่าย ตารางถูกรวบรวมโดยป้อนตัวคูณในแนวตั้ง ตัวคูณในแนวนอน และผลิตภัณฑ์จะถูกระบุในเซลล์ที่ตัดกันของคอลัมน์ คุณสามารถสะท้อนตารางโดยใช้เส้นตัวเลขและผลลัพธ์ของการคูณจำนวนนี้ด้วยจำนวนเต็มเขียนเป็นแถวตั้งแต่ 1 ถึงไม่มีที่สิ้นสุดบางครั้ง 3-5 คะแนนก็เพียงพอแล้ว สู่กระบวนการคำนวณเดียวกัน ทุกอย่างเกิดขึ้นจนกว่าจะพบตัวคูณร่วม

ด้วยตัวเลข 30, 35, 42 คุณต้องค้นหา LCM ที่เชื่อมต่อตัวเลขทั้งหมด:

1) ทวีคูณของ 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 เป็นต้น

2) ทวีคูณของ 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 เป็นต้น

3) ทวีคูณของ 42: 84, 126, 168, 210, 252 ฯลฯ

เป็นที่สังเกตได้ว่าตัวเลขทั้งหมดแตกต่างกันมาก ตัวเลขทั่วไปเพียงอย่างเดียวคือ 210 ดังนั้นจึงเป็น LCM ในกระบวนการที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณนี้ ยังมีตัวหารร่วมมาก ซึ่งคำนวณตามหลักการที่คล้ายคลึงกันและมักพบในปัญหาข้างเคียง ความแตกต่างเล็กน้อยแต่มีนัยสำคัญเพียงพอ LCM เกี่ยวข้องกับการคำนวณตัวเลขที่หารด้วยค่าเริ่มต้นที่กำหนดทั้งหมด และ GCD จะถือว่าการคำนวณค่าที่มากที่สุดโดยการนำตัวเลขเริ่มต้นมาหารกัน

เรามาอภิปรายกันต่อเกี่ยวกับตัวคูณร่วมน้อยที่เราเริ่มไว้ในส่วน LCM - ตัวคูณร่วมน้อย, คำจำกัดความ, ตัวอย่าง ในหัวข้อนี้ เราจะดูวิธีค้นหา LCM สำหรับตัวเลขสามตัวขึ้นไป เราจะวิเคราะห์คำถามเกี่ยวกับวิธีค้นหา LCM ของจำนวนลบ

Yandex.RTB R-A-339285-1

การคำนวณตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ผ่าน gcd

เราได้สร้างความสัมพันธ์ระหว่างตัวคูณร่วมน้อยกับตัวหารร่วมมากแล้ว ตอนนี้เรามาเรียนรู้วิธีกำหนด LCM ผ่าน GCD ก่อนอื่น มาดูกันว่าจะทำอย่างไรกับจำนวนบวก

คำจำกัดความ 1

คุณสามารถค้นหาตัวคูณร่วมน้อยผ่านตัวหารร่วมมากโดยใช้สูตร LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b)

ตัวอย่างที่ 1

จำเป็นต้องค้นหา LCM ของหมายเลข 126 และ 70

วิธีการแก้

ลอง a = 126 , b = 70 . แทนค่าในสูตรสำหรับการคำนวณตัวคูณร่วมน้อยผ่านตัวหารร่วมมาก LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

ค้นหา GCD ของตัวเลข 70 และ 126 สำหรับสิ่งนี้เราต้องการอัลกอริทึมยุคลิด: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 ดังนั้น gcd (126 , 70) = 14 .

ลองคำนวณ LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630

ตอบ: LCM (126, 70) = 630.

ตัวอย่างที่ 2

หาเลข 68 และ 34

วิธีการแก้

GCD ในกรณีนี้หาง่าย เนื่องจาก 68 หารด้วย 34 ลงตัว คำนวณตัวคูณร่วมน้อยโดยใช้สูตร: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68

ตอบ: LCM(68, 34) = 68.

ในตัวอย่างนี้ เราใช้กฎในการหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวก a และ b: ถ้าจำนวนแรกหารด้วยจำนวนที่สองลงตัว LCM ของจำนวนเหล่านี้จะเท่ากับจำนวนแรก

การหา LCM โดยการแยกตัวประกอบตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะ

ทีนี้มาดูวิธีหา LCM ซึ่งอาศัยการสลายตัวของตัวเลขให้เป็นปัจจัยสำคัญ

คำจำกัดความ 2

ในการหาตัวคูณร่วมน้อย เราต้องทำขั้นตอนง่ายๆ ดังนี้

เราสร้างผลคูณของปัจจัยเฉพาะของตัวเลขที่เราต้องการหา LCM
เราไม่รวมปัจจัยสำคัญทั้งหมดออกจากผลิตภัณฑ์ที่ได้รับ
ผลิตภัณฑ์ที่ได้รับหลังจากกำจัดปัจจัยสำคัญทั่วไปจะเท่ากับ LCM ของตัวเลขที่กำหนด

วิธีการหาตัวคูณร่วมน้อยนี้ขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกัน LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) หากคุณดูสูตรจะชัดเจน: ผลคูณของตัวเลข a และ b เท่ากับผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการขยายตัวเลขสองตัวนี้ ในกรณีนี้ GCD ของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลคูณของตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดที่มีอยู่พร้อมกันในการแยกตัวประกอบของตัวเลขสองตัวนี้

ตัวอย่างที่ 3

เรามีเลขสองตัว 75 และ 210 . เราสามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้: 75 = 3 5 5และ 210 = 2 3 5 7. หากคุณสร้างผลคูณของตัวประกอบทั้งหมดของตัวเลขดั้งเดิมสองตัว คุณจะได้: 2 3 3 5 5 5 7.

หากเราไม่รวมปัจจัยทั่วไปของทั้ง 3 และ 5 เราจะได้ผลิตภัณฑ์ในรูปแบบต่อไปนี้: 2 3 5 5 7 = 1,050. ผลิตภัณฑ์นี้จะเป็น LCM ของเราสำหรับหมายเลข 75 และ 210

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหา LCM ของตัวเลข 441 และ 700 , แยกตัวเลขทั้งสองออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ

วิธีการแก้

มาหาตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดของตัวเลขที่ระบุในเงื่อนไขกัน:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

เราได้ตัวเลขสองกลุ่ม: 441 = 3 3 7 7 และ 700 = 2 2 5 5 7 .

ผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่เข้าร่วมในการขยายตัวของตัวเลขเหล่านี้จะมีลักษณะดังนี้: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. มาหาปัจจัยร่วมกัน หมายเลขนี้คือ 7 เราแยกออกจากผลิตภัณฑ์ทั่วไป: 2 2 3 3 5 5 7 7. ปรากฎว่า คสช (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

ตอบ: LCM (441 , 700) = 44 100

ให้เรากำหนดวิธีการค้นหา LCM อีกหนึ่งวิธีโดยการแยกย่อยตัวเลขให้เป็นปัจจัยสำคัญ

นิยาม 3

ก่อนหน้านี้ เราแยกตัวประกอบร่วมของตัวเลขทั้งสองออกจากจำนวนรวมทั้งหมด ตอนนี้เราจะทำมันแตกต่างออกไป:

มาแยกย่อยตัวเลขทั้งสองให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ:
เพิ่มผลคูณของตัวประกอบเฉพาะของจำนวนแรกกับตัวประกอบที่ขาดหายไปของจำนวนที่สอง
เราได้ผลิตภัณฑ์ซึ่งจะเป็น LCM ที่ต้องการของตัวเลขสองตัว

ตัวอย่างที่ 5

กลับไปที่ตัวเลข 75 และ 210 ซึ่งเราได้มองหา LCM ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ มาแบ่งปัจจัยง่ายๆ กัน: 75 = 3 5 5และ 210 = 2 3 5 7. ต่อผลคูณของปัจจัย 3 , 5 และ 5 หมายเลข 75 บวกปัจจัยที่ขาด 2 และ 7 หมายเลข 210 . เราได้รับ: 2 3 5 5 7 .นี่คือ LCM ของหมายเลข 75 และ 210

ตัวอย่างที่ 6

จำเป็นต้องคำนวณ LCM ของตัวเลข 84 และ 648

วิธีการแก้

มาแยกย่อยตัวเลขจากเงื่อนไขเป็นปัจจัยสำคัญ: 84 = 2 2 3 7และ 648 = 2 2 2 3 3 3 3. บวกผลคูณของปัจจัย 2 , 2 , 3 และ 7 หมายเลข 84 ไม่มีตัวประกอบ 2 , 3 , 3 และ
3 หมายเลข 648 . เราได้รับสินค้า 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 .นี่คือตัวคูณร่วมน้อยของ 84 และ 648

ตอบ: LCM (84, 648) = 4536

การหา LCM ของตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไป

ไม่ว่าเราจะจัดการกับตัวเลขจำนวนเท่าใดก็ตาม อัลกอริทึมของการดำเนินการของเราจะเหมือนกันเสมอ เราจะหา LCM ของตัวเลขสองตัวอย่างสม่ำเสมอ มีทฤษฎีบทสำหรับกรณีนี้

ทฤษฎีบท 1

สมมติว่าเรามีจำนวนเต็ม ก 1 , ก 2 , … , ก. นอค มของตัวเลขเหล่านี้พบได้ในการคำนวณตามลำดับ m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k)

ทีนี้มาดูว่าทฤษฎีบทสามารถนำไปใช้กับปัญหาเฉพาะได้อย่างไร

ตัวอย่างที่ 7

คุณต้องคำนวณตัวคูณร่วมน้อยของสี่จำนวน 140 , 9 , 54 และ 250 .

วิธีการแก้

ขอแนะนำสัญกรณ์: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250

เริ่มจากการคำนวณ m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . ลองใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิดเพื่อคำนวณ GCD ของตัวเลข 140 และ 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . เราได้: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260 ดังนั้น ม.2 = 1 260 .

ทีนี้มาคำนวณตามอัลกอริทึมเดียวกัน m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . ในระหว่างการคำนวณเราได้ m 3 = 3 780

มันยังคงให้เราคำนวณ m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . เราดำเนินการตามอัลกอริทึมเดียวกัน เราได้ ม. 4 \u003d 94 500

LCM ของตัวเลขสี่ตัวจากเงื่อนไขตัวอย่างคือ 94500

ตอบ: LCM (140, 9, 54, 250) = 94,500.

อย่างที่คุณเห็น การคำนวณนั้นง่าย แต่ค่อนข้างลำบาก เพื่อประหยัดเวลา คุณสามารถไปทางอื่นได้

ความหมาย 4

เราเสนออัลกอริทึมการดำเนินการต่อไปนี้ให้คุณ:

แยกตัวเลขทั้งหมดออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ
ให้กับผลคูณของตัวประกอบของเลขตัวแรก ให้บวกตัวประกอบที่ขาดหายไปจากผลคูณของเลขตัวที่สอง
เพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไปของตัวเลขที่สามให้กับผลิตภัณฑ์ที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้า ฯลฯ
ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนทั้งหมดจากเงื่อนไข

ตัวอย่างที่ 8

จำเป็นต้องค้นหา LCM ของห้าหมายเลข 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

วิธีการแก้

มาแยกย่อยตัวเลขทั้งห้าเป็นตัวประกอบเฉพาะ: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 จำนวนเฉพาะซึ่งก็คือเลข 7 ไม่สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะได้ ตัวเลขดังกล่าวสอดคล้องกับการสลายตัวเป็นปัจจัยสำคัญ

ทีนี้ลองนำผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ 2, 2, 3 และ 7 ของจำนวน 84 มาบวกเข้ากับตัวประกอบที่ขาดหายไปของจำนวนที่สอง เราได้แยกย่อยหมายเลข 6 ออกเป็น 2 และ 3 ปัจจัยเหล่านี้อยู่ในผลคูณของจำนวนแรกแล้ว ดังนั้นเราจึงละเว้นพวกเขา

เรายังคงเพิ่มตัวคูณที่ขาดหายไป เราเปลี่ยนเป็นหมายเลข 48 จากผลคูณของตัวประกอบเฉพาะที่เรารับ 2 และ 2 จากนั้นเราเพิ่มตัวประกอบอย่างง่ายของ 7 จากจำนวนที่สี่และตัวประกอบของ 11 และ 13 ของตัวที่ห้า เราได้: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048 นี่คือตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนดั้งเดิมห้าจำนวน

ตอบ: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048

การหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนลบ

ในการหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนลบ อันดับแรกต้องแทนที่ตัวเลขเหล่านี้ด้วยตัวเลขที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม จากนั้นจึงคำนวณตามอัลกอริทึมข้างต้น

ตัวอย่างที่ 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) และ LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888)

การกระทำดังกล่าวเป็นที่อนุญาตเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าหากได้รับการยอมรับว่า กและ - ก- ตัวเลขตรงข้าม
จากนั้นชุดของผลคูณ กเกิดขึ้นพร้อมกับชุดของการคูณของจำนวน - ก.

ตัวอย่างที่ 10

จำเป็นต้องคำนวณ LCM ของจำนวนลบ − 145 และ − 45 .

วิธีการแก้

มาเปลี่ยนตัวเลขกันเถอะ − 145 และ − 45 เป็นเลขตรงข้ามกัน 145 และ 45 . ตอนนี้โดยใช้อัลกอริทึม เราคำนวณ LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 โดยก่อนหน้านี้กำหนด GCD โดยใช้อัลกอริทึม Euclid

เราได้รับ LCM ของตัวเลข - 145 และ − 45 เท่ากับ 1 305 .

ตอบ: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเน้นข้อความนั้นแล้วกด Ctrl+Enter

วิธีหา LCM (ตัวคูณร่วมน้อย)

ตัวคูณร่วมของจำนวนเต็มสองจำนวนคือจำนวนเต็มซึ่งหารด้วยจำนวนที่กำหนดทั้งสองจำนวนลงตัวโดยไม่เหลือเศษ

ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มสองจำนวนคือจำนวนเต็มน้อยที่สุดที่หารลงตัวได้ลงตัวและไม่มีเศษเหลือจากจำนวนทั้งสองที่กำหนดให้

วิธีที่ 1. คุณสามารถค้นหา LCM ตามลำดับสำหรับแต่ละตัวเลขที่กำหนดโดยเขียนตัวเลขทั้งหมดที่ได้รับจากการคูณด้วย 1, 2, 3, 4 ตามลำดับจากน้อยไปหามาก

ตัวอย่างสำหรับหมายเลข 6 และ 9
เราคูณเลข 6 ตามลำดับด้วย 1, 2, 3, 4, 5
เราได้: 6, 12, 18 , 24, 30
เราคูณเลข 9 ตามลำดับด้วย 1, 2, 3, 4, 5
เราได้: 9, 18 , 27, 36, 45
อย่างที่คุณเห็น LCM สำหรับหมายเลข 6 และ 9 จะเป็น 18

วิธีนี้สะดวกเมื่อตัวเลขทั้งสองมีขนาดเล็กและง่ายต่อการคูณด้วยลำดับของจำนวนเต็ม อย่างไรก็ตาม มีบางกรณีที่คุณจำเป็นต้องค้นหา LCM สำหรับตัวเลขสองหลักหรือสามหลัก และเมื่อมีจำนวนเริ่มต้นสามตัวหรือมากกว่านั้น

วิธีที่ 2. คุณสามารถค้นหา LCM ได้โดยการแยกย่อยตัวเลขดั้งเดิมออกเป็นปัจจัยเฉพาะ
หลังจากการสลายตัว จำเป็นต้องขีดฆ่าตัวเลขที่เหมือนกันออกจากชุดของปัจจัยเฉพาะที่เป็นผลลัพธ์ จำนวนที่เหลือของจำนวนแรกจะเป็นปัจจัยสำหรับจำนวนที่สอง และจำนวนที่เหลือของจำนวนที่สองจะเป็นปัจจัยสำหรับจำนวนแรก

ตัวอย่างสำหรับหมายเลข 75 และ 60
สามารถหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวน 75 และ 60 ได้โดยไม่ต้องเขียนตัวคูณของจำนวนเหล่านี้ติดต่อกัน ในการทำเช่นนี้ เราแยก 75 และ 60 ออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ:
75 = 3 * 5 * 5 และ
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
อย่างที่คุณเห็น ปัจจัย 3 และ 5 เกิดขึ้นในทั้งสองแถว ในทางจิตใจเรา "ข้าม" พวกเขา
ลองเขียนปัจจัยที่เหลือซึ่งรวมอยู่ในการขยายของแต่ละตัวเลขเหล่านี้ พอสลายเลข 75 ก็เหลือเลข 5 พอสลายเลข 60 ก็เหลือ 2 * 2
ดังนั้น ในการกำหนด LCM สำหรับหมายเลข 75 และ 60 เราต้องคูณจำนวนที่เหลือจากการขยายของ 75 (นี่คือ 5) ด้วย 60 และจำนวนที่เหลือจากการขยายของหมายเลข 60 (นี่คือ 2 * 2 ) คูณด้วย 75 นั่นคือเพื่อให้เข้าใจง่าย เราบอกว่าเราคูณ "ตามขวาง"
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
นี่คือวิธีที่เราพบ LCM สำหรับหมายเลข 60 และ 75 นี่คือหมายเลข 300

ตัวอย่าง. กำหนด LCM สำหรับหมายเลข 12, 16, 24
ในกรณีนี้ การกระทำของเราจะค่อนข้างซับซ้อนกว่า แต่ก่อนอื่นเช่นเคย เราแยกตัวเลขทั้งหมดออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
ในการกำหนด LCM อย่างถูกต้อง เราเลือกตัวเลขที่เล็กที่สุดของทั้งหมด (นี่คือหมายเลข 12) และพิจารณาปัจจัยต่างๆ ของมันอย่างต่อเนื่อง โดยตัดออกหากแถวอื่นอย่างน้อยหนึ่งแถวของตัวเลขมีตัวคูณเดียวกันซึ่งยังไม่ได้ข้าม ออก.

ขั้นตอนที่ 1 . เราจะเห็นว่า 2 * 2 เกิดขึ้นในชุดตัวเลขทั้งหมด เราข้ามพวกเขาออกไป
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

ขั้นตอนที่ 2 ในตัวประกอบเฉพาะของเลข 12 เหลือเลข 3 เท่านั้น แต่มีอยู่ในตัวประกอบสำคัญของเลข 24 เราตัดเลข 3 ออกจากทั้งสองแถว ในขณะที่เลข 16 จะไม่มีการดำเนินการใดๆ .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

อย่างที่คุณเห็น เมื่อแยกย่อยหมายเลข 12 เราจะ "ขีดฆ่า" ตัวเลขทั้งหมด ดังนั้น การค้นหา NOC จึงเสร็จสิ้น มันยังคงเป็นเพียงการคำนวณค่าของมัน
สำหรับเลข 12 เรานำตัวประกอบที่เหลือจากเลข 16 (ใกล้เคียงที่สุดจากน้อยไปหามาก)
12 * 2 * 2 = 48
นี่คือ NOC

อย่างที่คุณเห็น ในกรณีนี้ การค้นหา LCM นั้นค่อนข้างยากกว่า แต่เมื่อคุณต้องการหาตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไป วิธีนี้ช่วยให้คุณทำได้เร็วขึ้น อย่างไรก็ตาม การค้นหา LCM ทั้งสองวิธีนั้นถูกต้อง

ตัวหารร่วมมาก

คำจำกัดความ 2

ถ้าจำนวนธรรมชาติ a หารด้วยจำนวนธรรมชาติ $b$ ดังนั้น $b$ จะเรียกว่าตัวหารของ $a$ และจำนวน $a$ เรียกว่าผลคูณของ $b$

ให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติ จำนวน $c$ เรียกว่าตัวหารร่วมสำหรับทั้ง $a$ และ $b$

ชุดของตัวหารร่วมของจำนวน $a$ และ $b$ นั้นมีค่าจำกัด เนื่องจากไม่มีตัวหารใดที่มากกว่า $a$ ได้ ซึ่งหมายความว่าในบรรดาตัวหารเหล่านี้มีตัวหารที่ใหญ่ที่สุด ซึ่งเรียกว่าตัวหารร่วมมากของจำนวน $a$ และ $b$ และสัญกรณ์ใช้เพื่อแสดงว่า:

$gcd \ (a;b) \ หรือ \ D \ (a;b)$

ในการหาตัวหารร่วมมากของสองจำนวน:

ค้นหาผลคูณของตัวเลขที่พบในขั้นตอนที่ 2 จำนวนผลลัพธ์จะเป็นตัวหารร่วมมากที่ต้องการ

ตัวอย่างที่ 1

หา gcd ของตัวเลข $121$ และ $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

เลือกหมายเลขที่รวมอยู่ในการขยายหมายเลขเหล่านี้

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

ค้นหาผลคูณของตัวเลขที่พบในขั้นตอนที่ 2 จำนวนผลลัพธ์จะเป็นตัวหารร่วมมากที่ต้องการ

$gcd=2\cdot 11=22$

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหา GCD ของ monomials $63$ และ $81$

เราจะพบตามอัลกอริทึมที่นำเสนอ สำหรับสิ่งนี้:

มาแยกย่อยตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะกัน

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

เราเลือกหมายเลขที่รวมอยู่ในการขยายหมายเลขเหล่านี้

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

ลองหาผลคูณของตัวเลขในขั้นตอนที่ 2 กัน ตัวเลขที่ได้จะเป็นตัวหารร่วมมากที่ต้องการ

$gcd=3\cdot 3=9$

คุณสามารถค้นหา GCD ของตัวเลขสองตัวด้วยวิธีอื่น โดยใช้ชุดตัวหารของตัวเลข

ตัวอย่างที่ 3

หา gcd ของตัวเลข $48$ และ $60$

วิธีการแก้:

หาตัวหารของ $48$: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

ทีนี้มาหาเซตตัวหารของ $60$:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$$

มาหาจุดตัดของชุดเหล่านี้กัน: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - ชุดนี้จะกำหนดชุดของตัวหารร่วมของตัวเลข $48$ และ $60 $. องค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดในชุดนี้คือตัวเลข $12$ ดังนั้นตัวหารร่วมมากของ $48$ และ $60$ คือ $12$

ความหมายของ NOC

นิยาม 3

ตัวคูณร่วมของจำนวนธรรมชาติ$a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติที่เป็นผลคูณของทั้ง $a$ และ $b$

ตัวคูณร่วมของจำนวนคือจำนวนที่หารด้วยจำนวนเดิมโดยไม่มีเศษเหลือ ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวเลข $25$ และ $50$ ตัวคูณร่วมจะเป็นตัวเลข $50,100,150,200$ เป็นต้น

ตัวคูณร่วมน้อยจะเรียกว่าตัวคูณร่วมน้อยและเขียนแทนด้วย LCM$(a;b)$ หรือ K$(a;b).$

หากต้องการค้นหา LCM ของตัวเลขสองตัว คุณต้อง:

แยกย่อยตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ
เขียนตัวประกอบที่เป็นส่วนหนึ่งของตัวเลขตัวแรกและเพิ่มตัวประกอบที่เป็นส่วนหนึ่งของตัวที่สองและอย่าไปที่ตัวแรก

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหา LCM ของตัวเลข $99$ และ $77$

เราจะพบตามอัลกอริทึมที่นำเสนอ สำหรับสิ่งนี้

แยกย่อยตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

$99=3\cdot 3\cdot 11$

จดปัจจัยที่รวมอยู่ในข้อแรก

เพิ่มปัจจัยที่เป็นส่วนหนึ่งของปัจจัยที่สองและอย่าไปที่ปัจจัยแรก

ค้นหาผลคูณของจำนวนที่พบในขั้นตอนที่ 2 จำนวนที่ได้จะเป็นตัวคูณร่วมน้อยที่ต้องการ

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

การรวบรวมรายการตัวหารของตัวเลขมักจะใช้เวลานานมาก มีวิธีค้นหา GCD ที่เรียกว่าอัลกอริทึมของ Euclid

ข้อความที่อิงตามอัลกอริทึมของ Euclid:

ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติ และ $a\vdots b$ ดังนั้น $D(a;b)=b$

ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติที่ $b

การใช้ $D(a;b)= D(a-b;b)$ เราสามารถลดจำนวนที่กำลังพิจารณาได้เรื่อยๆ จนกว่าจะถึงคู่ของตัวเลขเพื่อให้หนึ่งในจำนวนนั้นหารด้วยอีกจำนวนหนึ่ง จากนั้นตัวเลขที่น้อยกว่าจะเป็นตัวหารร่วมมากที่ต้องการสำหรับตัวเลข $a$ และ $b$

คุณสมบัติของ GCD และ LCM

ตัวคูณร่วมใดๆ ของ $a$ และ $b$ หารด้วย K$(a;b)$
ถ้า $a\vdots b$ แล้ว K$(a;b)=a$

ถ้า K$(a;b)=k$ และ $m$-จำนวนธรรมชาติ ดังนั้น K$(am;bm)=km$

ถ้า $d$ เป็นตัวหารร่วมของ $a$ และ $b$ ดังนั้น K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

ถ้า $a\vdots c$ และ $b\vdots c$ แล้ว $\frac(ab)(c)$ เป็นตัวคูณร่วมของ $a$ และ $b$

สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ $a$ และ $b$ ความเท่าเทียมกัน

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

ตัวหารร่วมใดๆ ของ $a$ และ $b$ คือตัวหารของ $D(a;b)$

แต่จำนวนธรรมชาติจำนวนมากหารด้วยจำนวนธรรมชาติอื่นๆ ลงตัว

ตัวอย่างเช่น:

เลข 12 หารด้วย 1, 2, 3, 4, 6, 12;

เลข 36 หารด้วย 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36 ลงตัว

ตัวเลขที่จำนวนหารลงตัว (สำหรับ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12) เรียกว่า ตัวหารจำนวน. ตัวหารของจำนวนธรรมชาติ กคือจำนวนธรรมชาติที่หารจำนวนที่กำหนด กอย่างไร้ร่องรอย จำนวนธรรมชาติที่มีตัวประกอบมากกว่าสองตัวเรียกว่า คอมโพสิต .

โปรดทราบว่าหมายเลข 12 และ 36 มีตัวหารร่วมกัน ตัวเลขเหล่านี้คือ: 1, 2, 3, 4, 6, 12 ตัวหารที่ใหญ่ที่สุดของตัวเลขเหล่านี้คือ 12 ตัวหารร่วมของตัวเลขสองตัวนี้ กและ ขคือจำนวนที่หารด้วยจำนวนที่กำหนดทั้งสองโดยไม่มีเศษเหลือ กและ ข.

ตัวคูณร่วมจำนวนหลายตัวเรียกว่าจำนวนที่หารด้วยแต่ละจำนวนเหล่านี้ลงตัว ตัวอย่างเช่นตัวเลข 9, 18 และ 45 มีผลคูณร่วมของ 180 แต่ 90 และ 360 ก็เป็นตัวคูณร่วมเช่นกัน ในบรรดาผลคูณ jcommon ทั้งหมด จะมีตัวที่น้อยที่สุดเสมอ ในกรณีนี้คือ 90 ตัวเลขนี้เรียกว่า น้อยที่สุดตัวคูณร่วม (LCM).

LCM เป็นจำนวนธรรมชาติเสมอ ซึ่งต้องมากกว่าจำนวนที่มากที่สุดที่กำหนดไว้

ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) คุณสมบัติ.

การสับเปลี่ยน:

ความเชื่อมโยง:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า และ เป็นจำนวนโคไพรม์ แล้ว:

ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มสองจำนวน มและ นเป็นตัวหารของตัวคูณร่วมอื่นๆ ทั้งหมด มและ น. นอกจากนี้ เซตของตัวคูณร่วม มตรงกับชุดของผลคูณสำหรับ LCM( ม).

เส้นกำกับสำหรับสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันทางทฤษฎีจำนวนได้

ดังนั้น, ฟังก์ชันเชบีเชฟ. เช่นเดียวกับ:

สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความและคุณสมบัติของฟังก์ชัน Landau กรัม(n).

สิ่งที่ตามมาจากกฎการกระจายของจำนวนเฉพาะ

การหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM)

NOC( ก ข) สามารถคำนวณได้หลายวิธี:

1. หากทราบตัวหารร่วมมาก คุณสามารถใช้ความสัมพันธ์กับ LCM:

2. ให้ทราบการสลายตัวตามรูปแบบบัญญัติของตัวเลขทั้งสองเป็นตัวประกอบเฉพาะ:

ที่ไหน หน้า 1 ,...,หน้า kเป็นจำนวนเฉพาะต่าง ๆ และ d 1 ,...,d kและ จ 1 ,...,เอกเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ (สามารถเป็นศูนย์ได้หากจำนวนเฉพาะที่สอดคล้องกันไม่ได้อยู่ในส่วนขยาย)

จากนั้น LCM ( ก,ข) คำนวณโดยสูตร:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง การขยาย LCM มีปัจจัยสำคัญทั้งหมดที่รวมอยู่ในการขยายจำนวนอย่างน้อยหนึ่งรายการ ก ขและนำเลขยกกำลังที่ใหญ่ที่สุดในสองส่วนของปัจจัยนี้

ตัวอย่าง:

การคำนวณตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขหลายตัวสามารถลดลงเป็นการคำนวณต่อเนื่องของ LCM ของตัวเลขสองตัว:

กฎ.หากต้องการค้นหา LCM ของชุดตัวเลข คุณต้อง:

- แยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ

- ถ่ายโอนการขยายตัวที่ใหญ่ที่สุดไปยังปัจจัยของผลิตภัณฑ์ที่ต้องการ (ผลคูณของปัจจัยของจำนวนที่มากที่สุดที่กำหนด) จากนั้นเพิ่มปัจจัยจากการขยายตัวของตัวเลขอื่น ๆ ที่ไม่ได้เกิดขึ้นในหมายเลขแรกหรืออยู่ในนั้น จำนวนครั้งน้อยกว่า

- ผลคูณของปัจจัยเฉพาะจะเป็น LCM ของตัวเลขที่กำหนด

จำนวนธรรมชาติตั้งแต่สองตัวขึ้นไปจะมี LCM เป็นของตัวเอง หากตัวเลขไม่คูณกันหรือไม่มีตัวประกอบที่เหมือนกันในการขยาย ดังนั้น LCM ของพวกมันจะเท่ากับผลคูณของตัวเลขเหล่านี้

ตัวประกอบเฉพาะของเลข 28 (2, 2, 7) ถูกเสริมด้วยตัวประกอบของ 3 (เลข 21) ผลลัพธ์ที่ได้ (84) จะเป็นจำนวนที่น้อยที่สุดซึ่งหารด้วย 21 และ 28 ลงตัว

ตัวประกอบเฉพาะของจำนวนที่มากที่สุด 30 ถูกเสริมด้วยตัวประกอบ 5 ของจำนวน 25 ผลลัพธ์ที่ได้คือ 150 มากกว่าจำนวนที่มากที่สุด 30 และหารด้วยจำนวนที่กำหนดทั้งหมดโดยไม่มีเศษเหลือ นี่คือผลคูณที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ (150, 250, 300...) ที่จำนวนที่ระบุทั้งหมดเป็นผลคูณของ