monomial ในรูปแบบมาตรฐานคืออะไร คำจำกัดความของโมโนเมียล แนวคิดที่เกี่ยวข้อง ตัวอย่าง

ในบทเรียนนี้ เราจะให้คำจำกัดความที่เข้มงวดของ monomial ลองพิจารณาดู ตัวอย่างต่างๆจากหนังสือเรียน จำกฎสำหรับการคูณด้วยพลัง เหตุเดียวกัน. ให้เราให้คำจำกัดความของรูปแบบมาตรฐานของ monomial ค่าสัมประสิทธิ์ของ monomial และส่วนตามตัวอักษร ให้เราพิจารณาการดำเนินการทั่วไปพื้นฐานสองอย่างของโมโนเมียล ได้แก่ การลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐาน และการคำนวณค่าตัวเลขเฉพาะของโมโนเมียลสำหรับ จุดที่กำหนดตัวแปรตามตัวอักษร ให้เรากำหนดกฎสำหรับการลด monomial เป็นรูปแบบมาตรฐาน เรียนรู้ที่จะตัดสินใจ งานทั่วไปด้วย monomials ใด ๆ

หัวข้อ:โมโน การดำเนินการทางคณิตศาสตร์บน monomials

บทเรียน:แนวคิดของโมโนเมียล รูปแบบมาตรฐานของโมโนเมียล

ลองพิจารณาตัวอย่าง:

3. ;

หากัน คุณสมบัติทั่วไปสำหรับนิพจน์ที่กำหนด ในทั้งสามกรณี นิพจน์เป็นผลคูณของตัวเลขและตัวแปรที่ยกกำลัง ตามนี้เราให้ คำจำกัดความของโมโนเมียล : monomial เรียกว่าเช่นนี้ นิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตซึ่งประกอบด้วยผลคูณของเลขยกกำลังและตัวเลข

ตอนนี้เราจะยกตัวอย่างนิพจน์ที่ไม่ใช่ monomials:

ให้เราค้นหาความแตกต่างระหว่างการแสดงออกเหล่านี้กับการแสดงออกก่อนหน้านี้ ประกอบด้วยความจริงที่ว่าในตัวอย่างที่ 4-7 มีการดำเนินการของการบวก การลบ หรือการหาร ในขณะที่ตัวอย่างที่ 1-3 ซึ่งเป็น monomials การดำเนินการเหล่านี้ไม่ใช่

นี่คือตัวอย่างเพิ่มเติม:

นิพจน์หมายเลข 8 เป็นเลขตัวเดียว เนื่องจากเป็นผลคูณของเลขยกกำลังและตัวเลข ในขณะที่ตัวอย่างที่ 9 ไม่ใช่เลขตัวเดียว

ตอนนี้ลองหากัน การดำเนินการเกี่ยวกับ monomials .

1. การทำให้เข้าใจง่าย พิจารณาตัวอย่าง #3 ;และตัวอย่าง #2 /

ในตัวอย่างที่สอง เราเห็นเพียงค่าสัมประสิทธิ์เดียว - ตัวแปรแต่ละตัวจะเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียว นั่นคือ ตัวแปร " ก” ถูกแทนด้วยอินสแตนซ์เดียว เช่น “” ในทำนองเดียวกัน ตัวแปร “” และ “” จะเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียว

ในตัวอย่างหมายเลข 3 ตรงกันข้าม มีค่าสัมประสิทธิ์ที่แตกต่างกันสองค่า - และ เราเห็นตัวแปร "" สองครั้ง - เป็น "" และเป็น "" ในทำนองเดียวกัน ตัวแปร "" เกิดขึ้นสองครั้ง นั่นคือนิพจน์นี้ควรทำให้ง่ายขึ้นดังนั้นเรามา การดำเนินการแรกที่ดำเนินการกับ monomials คือการนำ monomial ไปสู่รูปแบบมาตรฐาน . ในการทำเช่นนี้ เรานำนิพจน์จากตัวอย่างที่ 3 มาสู่รูปแบบมาตรฐาน จากนั้นเรากำหนดการดำเนินการนี้และเรียนรู้วิธีนำโมโนเมียลใดๆ มาสู่รูปแบบมาตรฐาน

ลองพิจารณาตัวอย่าง:

ขั้นตอนแรกในการดำเนินการกำหนดมาตรฐานคือการคูณตัวประกอบที่เป็นตัวเลขทั้งหมดเสมอ:

;

ผลลัพธ์ การกระทำนี้จะถูกเรียก ค่าสัมประสิทธิ์โมโนเมียล .

ถัดไปคุณต้องคูณองศา เราคูณองศาของตัวแปร " เอ็กซ์” ตามกฎการคูณยกกำลังที่มีฐานเดียวกันซึ่งระบุว่าเมื่อคูณแล้วเลขยกกำลังจะรวมกัน:

ทีนี้มาคูณพลังกัน ที่»:

;

นี่คือนิพจน์อย่างง่าย:

;

โมโนเมียลใด ๆ สามารถลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐานได้ มากำหนดกัน กฎมาตรฐาน :

คูณปัจจัยที่เป็นตัวเลขทั้งหมด

ใส่ค่าสัมประสิทธิ์ผลลัพธ์เป็นอันดับแรก

ทวีคูณองศาทั้งหมดนั่นคือรับส่วนตัวอักษร

นั่นคือ monomial ใด ๆ มีลักษณะเฉพาะด้วยค่าสัมประสิทธิ์และส่วนที่เป็นตัวอักษร เมื่อมองไปข้างหน้า เราสังเกตว่า monomials ที่มีส่วนที่เป็นตัวอักษรเหมือนกันเรียกว่าคล้ายกัน

ตอนนี้คุณต้องได้รับ เทคนิคการลดตัวอักษรเดี่ยวให้อยู่ในรูปมาตรฐาน . พิจารณาตัวอย่างจากตำรา:

ภารกิจ: นำ monomial มาสู่รูปแบบมาตรฐาน ตั้งชื่อค่าสัมประสิทธิ์ และส่วนตัวอักษร

เพื่อให้งานสำเร็จ เราใช้กฎของการนำโมโนเมียลมาสู่รูปแบบมาตรฐานและคุณสมบัติขององศา

1. ;

3. ;

ความคิดเห็นเกี่ยวกับตัวอย่างแรก: เริ่มต้นด้วยการตรวจสอบว่านิพจน์นี้เป็นเอกพจน์จริงหรือไม่ สำหรับสิ่งนี้เราจะตรวจสอบว่ามีการดำเนินการคูณของตัวเลขและยกกำลังหรือไม่และมีการดำเนินการบวก ลบ หรือหารหรือไม่ เราสามารถพูดได้ว่านิพจน์นี้เป็นเอกพจน์เนื่องจากเป็นไปตามเงื่อนไขข้างต้น นอกจากนี้ ตามกฎของการนำ monomial มาสู่รูปแบบมาตรฐาน เราคูณปัจจัยที่เป็นตัวเลข:

- เราพบค่าสัมประสิทธิ์ของโมโนเมียลที่กำหนดแล้ว

; ; ; นั่นคือได้รับส่วนที่แท้จริงของนิพจน์:;

เขียนคำตอบ: ;

ความคิดเห็นเกี่ยวกับตัวอย่างที่สอง: ตามกฎ เราดำเนินการ:

1) คูณปัจจัยตัวเลข:

2) ทวีคูณพลัง:

ตัวแปรและแสดงในสำเนาเดียวนั่นคือไม่สามารถคูณกับสิ่งใดได้เขียนใหม่โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงระดับจะทวีคูณ:

เขียนคำตอบ:

;

ที่ ตัวอย่างนี้ค่าสัมประสิทธิ์โมโนเมียล เท่ากับหนึ่ง, และส่วนตัวอักษร .

ความคิดเห็นเกี่ยวกับตัวอย่างที่สาม:เช่นเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราดำเนินการต่อไปนี้:

1) คูณปัจจัยตัวเลข:

;

2) ทวีคูณพลัง:

;

เขียนคำตอบ: ;

ที่ กรณีนี้ค่าสัมประสิทธิ์ของ monomial คือ "" และส่วนตามตัวอักษร .

ตอนนี้พิจารณา การดำเนินการมาตรฐานที่สองบน monomials . เนื่องจาก monomial เป็นนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตที่ประกอบด้วยตัวแปรตามตัวอักษรที่สามารถระบุได้ ค่าตัวเลขแล้วเรามีเลขคณิต การแสดงออกที่เป็นตัวเลขซึ่งควรจะคำนวณ นั่นคือการดำเนินการต่อไปนี้กับพหุนามคือ การคำนวณค่าตัวเลขเฉพาะของพวกเขา .

พิจารณาตัวอย่าง ได้รับ monomial:

โมโนเมียลนี้ถูกลดขนาดลงเป็นรูปแบบมาตรฐานแล้ว ค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับหนึ่ง และส่วนตามตัวอักษร

ก่อนหน้านี้เรากล่าวว่านิพจน์พีชคณิตไม่สามารถคำนวณได้เสมอ นั่นคือตัวแปรที่ป้อนค่านั้นอาจไม่มีค่าใดๆ ในกรณีของโมโนเมียล ตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้นสามารถเป็นอะไรก็ได้ นี่คือคุณสมบัติของโมโนเมียล

ดังนั้นใน ตัวอย่างที่กำหนดจำเป็นต้องคำนวณค่าของโมโนเมียลที่ , , , .

Monomials เป็นหนึ่งในประเภทหลักของการแสดงออกที่ศึกษาภายใน หลักสูตรของโรงเรียนพีชคณิต. ในเนื้อหานี้ เราจะบอกคุณว่านิพจน์เหล่านี้คืออะไร กำหนดรูปแบบมาตรฐานและแสดงตัวอย่าง ตลอดจนจัดการกับแนวคิดที่เกี่ยวข้อง เช่น ระดับของโมโนเมียลและค่าสัมประสิทธิ์

โมโนเมียลคืออะไร

ตำราเรียนมักจะให้คำจำกัดความของแนวคิดนี้ดังต่อไปนี้:

คำจำกัดความ 1

โมโนเมอร์ ได้แก่ตัวเลข ตัวแปร รวมทั้งองศาของมันด้วย ตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติและ ประเภทต่างๆงานที่ทำจากพวกเขา

ตามคำจำกัดความนี้ เราสามารถยกตัวอย่างนิพจน์ดังกล่าวได้ ดังนั้น ตัวเลขทั้งหมด 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 จะหมายถึง monomials ตัวแปรทั้งหมด เช่น x , a , b , p , q , t , y , z จะเป็น monomials ตามคำนิยาม ซึ่งรวมถึงพลังของตัวแปรและตัวเลขด้วย ตัวอย่างเช่น 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 และ เสื้อ 15เช่นเดียวกับนิพจน์ เช่น 65 x , 9 (− 7) x y 3 6 , x x y 3 x y 2 z เป็นต้น โปรดทราบว่า monomial สามารถรวมได้ทั้งตัวเลขหรือตัวแปรหนึ่งตัว หรือหลายตัว และสามารถกล่าวถึงได้หลายครั้งโดยเป็นส่วนหนึ่งของพหุนามหนึ่งตัว

ตัวเลขประเภทต่างๆ เช่น จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ และธรรมชาติ ก็เป็นของ monomials เช่นกัน นอกจากนี้ยังสามารถรวมถึงของจริงและ จำนวนเชิงซ้อน. ดังนั้น นิพจน์เช่น 2 + 3 i x z 4 , 2 x , 2 π x 3 ก็จะเป็นแบบโมโนเมียลเช่นกัน

รูปแบบมาตรฐานของ monomial คืออะไรและจะแปลงนิพจน์ได้อย่างไร

เพื่อความสะดวกในการทำงาน monomials ทั้งหมดจะถูกลดขนาดเป็นรูปแบบพิเศษก่อนซึ่งเรียกว่าแบบมาตรฐาน เรามาเจาะจงว่าสิ่งนี้หมายความว่าอย่างไร

คำจำกัดความ 2

รูปแบบมาตรฐานของโมโนเมียลเรียกมันว่ารูปแบบที่เป็นผลคูณของปัจจัยตัวเลขและ องศาธรรมชาติตัวแปรต่างๆ ปัจจัยที่เป็นตัวเลขหรือที่เรียกว่าสัมประสิทธิ์โมโนเมียล มักจะเขียนจากด้านซ้ายก่อน

เพื่อความชัดเจน เราเลือกโมโนเมียลหลายตัวในรูปแบบมาตรฐาน: 6 (นี่คือโมโนเมียลที่ไม่มีตัวแปร), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 รวมถึงการแสดงออกด้วย x วาย(ที่นี่ค่าสัมประสิทธิ์จะเท่ากับ 1) - x 3(ที่นี่ค่าสัมประสิทธิ์คือ - 1)

ตอนนี้เราให้ตัวอย่างของ monomials ที่ต้องนำมาในรูปแบบมาตรฐาน: 4 อะ 2 อะ 3(ที่นี่คุณต้องรวมตัวแปรเดียวกัน) 5 x (− 1) 3 y 2(ที่นี่คุณต้องรวมปัจจัยตัวเลขทางด้านซ้าย)

โดยปกติแล้ว ในกรณีที่ monomial มีตัวแปรหลายตัวที่เขียนด้วยตัวอักษร ตัวประกอบตัวอักษรจะถูกเขียนตามลำดับตัวอักษร ตัวอย่างเช่น รายการที่ต้องการ 6 a b 4 c z 2, อย่างไร ข 4 6 ก z 2 ค. อย่างไรก็ตาม ลำดับอาจแตกต่างกันหากวัตถุประสงค์ของการคำนวณต้องการ

โมโนเมียลใด ๆ สามารถลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐานได้ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องทำการแปลงที่จำเป็นทั้งหมด

แนวคิดของระดับโมโนเมียล

แนวคิดเกี่ยวกับระดับของ monomial นั้นสำคัญมาก ให้เราเขียนคำจำกัดความของแนวคิดนี้

นิยาม 3

ระดับของโมโนเมียลบันทึกไว้ใน แบบฟอร์มมาตรฐานเป็นผลรวมของเลขชี้กำลังของตัวแปรทั้งหมดที่รวมอยู่ในรายการ หากไม่มีตัวแปรเดียวและ monomial นั้นแตกต่างจาก 0 ระดับของมันจะเป็นศูนย์

ให้เรายกตัวอย่างระดับของโมโนเมียล

ตัวอย่างที่ 1

ดังนั้น monomial a มีดีกรีเป็น 1 เพราะ a = a 1 ถ้าเรามีโมโนเมียล 7 มันจะมีองศาเป็นศูนย์เนื่องจากไม่มีตัวแปรและแตกต่างจาก 0 . และนี่คือรายการ 7 ก 2 x ย 3 ก 2จะเป็นโมโนเมียลของระดับที่ 8 เนื่องจากผลรวมของเลขยกกำลังของระดับทั้งหมดของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้นจะเท่ากับ 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

โมโนเมียลที่เป็นมาตรฐานและพหุนามดั้งเดิมจะมีดีกรีเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 2

เรามาแสดงวิธีการคำนวณระดับของ monomial กัน 3 x 2 ย 3 x (− 2) x 5 ย. ในรูปแบบมาตรฐานสามารถเขียนเป็น − 6 x 8 ย 4. เราคำนวณระดับ: 8 + 4 = 12 . ดังนั้นดีกรีของพหุนามเดิมก็เท่ากับ 12 เช่นกัน

แนวคิดของค่าสัมประสิทธิ์โมโนเมียล

หากเรามี monomial ที่ได้มาตรฐานซึ่งมีตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัว เราจะพูดถึงตัวแปรนั้นเป็นผลิตภัณฑ์ที่มีตัวประกอบตัวเลขหนึ่งตัว ปัจจัยนี้เรียกว่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขหรือสัมประสิทธิ์โมโนเมียล ลองเขียนคำจำกัดความ

ความหมาย 4

ค่าสัมประสิทธิ์ของโมโนเมียลคือตัวประกอบตัวเลขของโมโนเมียลที่ลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐาน

ยกตัวอย่างเช่น ค่าสัมประสิทธิ์ของ monomials ต่างๆ

ตัวอย่างที่ 3

ดังนั้นในการแสดงออก 8 และ 3ค่าสัมประสิทธิ์จะเป็นหมายเลข 8 และใน (− 2 , 3) ​​x y zพวกเขาจะ − 2 , 3 .

ควรให้ความสนใจเป็นพิเศษกับอัตราส่วน เท่ากับหนึ่งและลบหนึ่ง ตามกฎแล้วจะไม่ระบุไว้อย่างชัดเจน เป็นที่เชื่อกันว่าในรูปแบบมาตรฐานที่ไม่มีปัจจัยตัวเลขค่าสัมประสิทธิ์คือ 1 ตัวอย่างเช่นในนิพจน์ a, x z 3, a t x เนื่องจากสามารถพิจารณาได้ว่าเป็น 1 a, x z 3 - อย่างไร 1 x z 3เป็นต้น

ในทำนองเดียวกัน ใน monomials ที่ไม่มีตัวประกอบตัวเลขและขึ้นต้นด้วยเครื่องหมายลบ เราสามารถพิจารณาค่าสัมประสิทธิ์ - 1

ตัวอย่างที่ 4

ตัวอย่างเช่น นิพจน์ − x, − x 3 y z 3 จะมีค่าสัมประสิทธิ์ดังกล่าว เนื่องจากสามารถแสดงเป็น − x = (− 1) x, − x 3 y z 3 = (− 1) x 3 y z 3 เป็นต้น

หาก monomial ไม่มีตัวคูณตามตัวอักษรแม้แต่ตัวเดียว ก็เป็นไปได้ที่จะพูดถึงค่าสัมประสิทธิ์ในกรณีนี้เช่นกัน ค่าสัมประสิทธิ์ของ monomials-number จะเป็นตัวเลขเหล่านี้เอง ตัวอย่างเช่น ค่าสัมประสิทธิ์ของโมโนเมียล 9 จะเท่ากับ 9

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเน้นข้อความนั้นแล้วกด Ctrl+Enter

ระดับของโมโนเมียล

สำหรับ monomial มีแนวคิดเกี่ยวกับระดับของมัน ลองคิดดูว่ามันคืออะไร

คำนิยาม.

ระดับของโมโนเมียลรูปแบบมาตรฐานคือผลรวมของเลขยกกำลังของตัวแปรทั้งหมดที่รวมอยู่ในบันทึก หากไม่มีตัวแปรในรายการ monomial และแตกต่างจากศูนย์ระดับนั้นจะถือว่าเป็นศูนย์ หมายเลขศูนย์ถือเป็น monomial ซึ่งไม่ได้กำหนดระดับไว้

คำจำกัดความของระดับของ monomial ช่วยให้เราสามารถยกตัวอย่างได้ ระดับของโมโนเมียล a เท่ากับหนึ่ง เนื่องจาก a คือ a 1 ระดับของโมโนเมียล 5 เป็นศูนย์เนื่องจากไม่เป็นศูนย์และสัญกรณ์ไม่มีตัวแปร และผลคูณ 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 เป็นผลรวมของเลขชี้กำลังของตัวแปร a, x และ y ทั้งหมดคือ 2+1+3+2=8

อย่างไรก็ตาม ระดับของโมโนเมียลที่ไม่ได้เขียนในรูปแบบมาตรฐานจะเท่ากับระดับของโมโนเมียลในรูปแบบมาตรฐานที่สอดคล้องกัน เพื่อแสดงสิ่งที่ได้กล่าวมา เราคำนวณระดับของโมโนเมียล 3 x 2 ย 3 x (−2) x 5 ย. โมโนเมียลในรูปแบบมาตรฐานนี้มีรูปแบบ −6·x 8 ·y 4 ระดับของมันคือ 8+4=12 ดังนั้น ระดับของโมโนเมียลดั้งเดิมคือ 12

ค่าสัมประสิทธิ์โมโนเมียล

โมโนเมียลในรูปแบบมาตรฐานที่มีตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัวในสัญกรณ์ เป็นผลิตภัณฑ์ที่มีตัวประกอบตัวเลขตัวเดียว - สัมประสิทธิ์ตัวเลข ค่าสัมประสิทธิ์นี้เรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์โมโนเมียล ให้เราทำให้เหตุผลข้างต้นเป็นทางการในรูปแบบของคำจำกัดความ

คำนิยาม.

ค่าสัมประสิทธิ์โมโนเมียลเป็นตัวประกอบตัวเลขของโมโนเมียลที่เขียนในรูปแบบมาตรฐาน

ตอนนี้เราสามารถยกตัวอย่างค่าสัมประสิทธิ์ของ monomials ต่างๆ หมายเลข 5 คือค่าสัมประสิทธิ์ของโมโนเมียล 5 a 3 ตามคำนิยาม ในทำนองเดียวกัน โมโนเมียล (−2.3) x y z มีค่าสัมประสิทธิ์ −2.3 .

ค่าสัมประสิทธิ์ของ monomials เท่ากับ 1 และ −1 สมควรได้รับความสนใจเป็นพิเศษ ประเด็นคือพวกเขามักจะไม่ปรากฏในบันทึกอย่างชัดเจน เชื่อกันว่าค่าสัมประสิทธิ์ของ monomials ของรูปแบบมาตรฐานซึ่งไม่มีตัวประกอบตัวเลขในสัญกรณ์มีค่าเท่ากับหนึ่ง ตัวอย่างเช่น monomials a , x z 3 , a t x เป็นต้น มีค่าสัมประสิทธิ์ 1 เนื่องจาก a สามารถพิจารณาเป็น 1 a, x z 3 เป็น 1 x z 3 เป็นต้น

ในทำนองเดียวกัน ค่าสัมประสิทธิ์ของ monomials ซึ่งรายการในรูปแบบมาตรฐานไม่มีตัวประกอบที่เป็นตัวเลขและขึ้นต้นด้วยเครื่องหมายลบ จะถือเป็นลบหนึ่ง ตัวอย่างเช่น monomials −x , −x 3 y z 3 เป็นต้น มีค่าสัมประสิทธิ์ −1 เนื่องจาก −x=(−1) x , −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3เป็นต้น

อย่างไรก็ตาม แนวคิดของค่าสัมประสิทธิ์ของ monomial มักถูกเรียกว่า monomials ของรูปแบบมาตรฐาน ซึ่งเป็นตัวเลขที่ไม่มีตัวประกอบตัวอักษร ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวเลข monomials ดังกล่าวถือเป็นตัวเลขเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น ค่าสัมประสิทธิ์ของโมโนเมียล 7 ถือว่าเท่ากับ 7

บรรณานุกรม.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 7 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน/[ยุ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S. A. Telyakovsky - แก้ไขครั้งที่ 17 - ม. : การศึกษา, 2551. - 240 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019315-3.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เวลา 14.00 น. ส่วนที่ 1 หนังสือเรียนของนักเรียน สถาบันการศึกษา/ A.G. Mordkovich. - ฉบับที่ 17 เพิ่ม - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: ป่วย ไอ 978-5-346-02432-3
• Gusev V. A. , Mordkovich A. G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครโรงเรียนเทคนิค): Proc. เบี้ยเลี้ยง.-ม.; สูงกว่า โรงเรียน 2527.-351 น. ป่วย

ในบทนี้ เราจะให้คำจำกัดความที่เข้มงวดของ monomial พิจารณาตัวอย่างต่างๆ จากตำราเรียน จำกฎการคูณเลขฐานเดียวกัน ให้เราให้คำจำกัดความของรูปแบบมาตรฐานของ monomial ค่าสัมประสิทธิ์ของ monomial และส่วนตามตัวอักษร ลองพิจารณาการดำเนินการทั่วไปพื้นฐานสองประการเกี่ยวกับ monomials ได้แก่ การลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐานและการคำนวณค่าตัวเลขเฉพาะของ monomial สำหรับค่าที่กำหนดของตัวแปรตามตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้น ให้เรากำหนดกฎสำหรับการลด monomial เป็นรูปแบบมาตรฐาน มาเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาทั่วไปเกี่ยวกับ monomials กัน

หัวข้อ:โมโน การดำเนินการทางคณิตศาสตร์บน monomials

บทเรียน:แนวคิดของโมโนเมียล รูปแบบมาตรฐานของโมโนเมียล

ลองพิจารณาตัวอย่าง:

3. ;

มาหาคุณสมบัติทั่วไปของนิพจน์ที่กำหนดกัน ในทั้งสามกรณี นิพจน์เป็นผลคูณของตัวเลขและตัวแปรที่ยกกำลัง ตามนี้เราให้ คำจำกัดความของโมโนเมียล : monomial เป็นนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตที่ประกอบด้วยผลคูณของเลขยกกำลังและตัวเลข

ตอนนี้เราจะยกตัวอย่างนิพจน์ที่ไม่ใช่ monomials:

ให้เราค้นหาความแตกต่างระหว่างการแสดงออกเหล่านี้กับการแสดงออกก่อนหน้านี้ ประกอบด้วยความจริงที่ว่าในตัวอย่างที่ 4-7 มีการดำเนินการของการบวก การลบ หรือการหาร ในขณะที่ตัวอย่างที่ 1-3 ซึ่งเป็น monomials การดำเนินการเหล่านี้ไม่ใช่

นี่คือตัวอย่างเพิ่มเติม:

นิพจน์หมายเลข 8 เป็นเลขตัวเดียว เนื่องจากเป็นผลคูณของเลขยกกำลังและตัวเลข ในขณะที่ตัวอย่างที่ 9 ไม่ใช่เลขตัวเดียว

ตอนนี้ลองหากัน การดำเนินการเกี่ยวกับ monomials .

1. การทำให้เข้าใจง่าย พิจารณาตัวอย่าง #3 ;และตัวอย่าง #2 /

ในตัวอย่างที่สอง เราเห็นเพียงค่าสัมประสิทธิ์เดียว - ตัวแปรแต่ละตัวจะเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียว นั่นคือ ตัวแปร " ก” ถูกแทนด้วยอินสแตนซ์เดียว เช่น “” ในทำนองเดียวกัน ตัวแปร “” และ “” จะเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียว

ในตัวอย่างหมายเลข 3 ตรงกันข้าม มีค่าสัมประสิทธิ์ที่แตกต่างกันสองค่า - และ เราเห็นตัวแปร "" สองครั้ง - เป็น "" และเป็น "" ในทำนองเดียวกัน ตัวแปร "" เกิดขึ้นสองครั้ง นั่นคือนิพจน์นี้ควรทำให้ง่ายขึ้นดังนั้นเรามา การดำเนินการแรกที่ดำเนินการกับ monomials คือการนำ monomial ไปสู่รูปแบบมาตรฐาน . ในการทำเช่นนี้ เรานำนิพจน์จากตัวอย่างที่ 3 มาสู่รูปแบบมาตรฐาน จากนั้นเรากำหนดการดำเนินการนี้และเรียนรู้วิธีนำโมโนเมียลใดๆ มาสู่รูปแบบมาตรฐาน

ลองพิจารณาตัวอย่าง:

ขั้นตอนแรกในการดำเนินการกำหนดมาตรฐานคือการคูณตัวประกอบที่เป็นตัวเลขทั้งหมดเสมอ:

;

ผลของการกระทำนี้จะถูกเรียก ค่าสัมประสิทธิ์โมโนเมียล .

ถัดไปคุณต้องคูณองศา เราคูณองศาของตัวแปร " เอ็กซ์” ตามกฎการคูณยกกำลังที่มีฐานเดียวกันซึ่งระบุว่าเมื่อคูณแล้วเลขยกกำลังจะรวมกัน:

ทีนี้มาคูณพลังกัน ที่»:

;

นี่คือนิพจน์อย่างง่าย:

;

โมโนเมียลใด ๆ สามารถลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐานได้ มากำหนดกัน กฎมาตรฐาน :

คูณปัจจัยที่เป็นตัวเลขทั้งหมด

ใส่ค่าสัมประสิทธิ์ผลลัพธ์เป็นอันดับแรก

ทวีคูณองศาทั้งหมดนั่นคือรับส่วนตัวอักษร

นั่นคือ monomial ใด ๆ มีลักษณะเฉพาะด้วยค่าสัมประสิทธิ์และส่วนที่เป็นตัวอักษร เมื่อมองไปข้างหน้า เราสังเกตว่า monomials ที่มีส่วนที่เป็นตัวอักษรเหมือนกันเรียกว่าคล้ายกัน

ตอนนี้คุณต้องได้รับ เทคนิคการลดตัวอักษรเดี่ยวให้อยู่ในรูปมาตรฐาน . พิจารณาตัวอย่างจากตำรา:

ภารกิจ: นำ monomial มาสู่รูปแบบมาตรฐาน ตั้งชื่อค่าสัมประสิทธิ์ และส่วนตัวอักษร

เพื่อให้งานสำเร็จ เราใช้กฎของการนำโมโนเมียลมาสู่รูปแบบมาตรฐานและคุณสมบัติขององศา

1. ;

3. ;

ความคิดเห็นเกี่ยวกับตัวอย่างแรก: เริ่มต้นด้วยการตรวจสอบว่านิพจน์นี้เป็นเอกพจน์จริงหรือไม่ สำหรับสิ่งนี้เราจะตรวจสอบว่ามีการดำเนินการคูณของตัวเลขและยกกำลังหรือไม่และมีการดำเนินการบวก ลบ หรือหารหรือไม่ เราสามารถพูดได้ว่านิพจน์นี้เป็นเอกพจน์เนื่องจากเป็นไปตามเงื่อนไขข้างต้น นอกจากนี้ ตามกฎของการนำ monomial มาสู่รูปแบบมาตรฐาน เราคูณปัจจัยที่เป็นตัวเลข:

- เราพบค่าสัมประสิทธิ์ของโมโนเมียลที่กำหนดแล้ว

; ; ; นั่นคือได้รับส่วนที่แท้จริงของนิพจน์:;

เขียนคำตอบ: ;

ความคิดเห็นเกี่ยวกับตัวอย่างที่สอง: ตามกฎ เราดำเนินการ:

1) คูณปัจจัยตัวเลข:

2) ทวีคูณพลัง:

ตัวแปรและแสดงในสำเนาเดียวนั่นคือไม่สามารถคูณกับสิ่งใดได้เขียนใหม่โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงระดับจะทวีคูณ:

เขียนคำตอบ:

;

ในตัวอย่างนี้ ค่าสัมประสิทธิ์โมโนเมียลเท่ากับหนึ่ง และส่วนตามตัวอักษรคือ

ความคิดเห็นเกี่ยวกับตัวอย่างที่สาม:เช่นเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราดำเนินการต่อไปนี้:

1) คูณปัจจัยตัวเลข:

;

2) ทวีคูณพลัง:

;

เขียนคำตอบ: ;

ในกรณีนี้ค่าสัมประสิทธิ์ของ monomial เท่ากับ "" และส่วนตามตัวอักษร .

ตอนนี้พิจารณา การดำเนินการมาตรฐานที่สองบน monomials . เนื่องจาก monomial เป็นนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตที่ประกอบด้วยตัวแปรตามตัวอักษรที่สามารถรับค่าตัวเลขเฉพาะได้ เราจึงมีนิพจน์ตัวเลขทางคณิตศาสตร์ที่ควรคำนวณ นั่นคือการดำเนินการต่อไปนี้กับพหุนามคือ การคำนวณค่าตัวเลขเฉพาะของพวกเขา .

พิจารณาตัวอย่าง ได้รับ monomial:

โมโนเมียลนี้ถูกลดขนาดลงเป็นรูปแบบมาตรฐานแล้ว ค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับหนึ่ง และส่วนตามตัวอักษร

ก่อนหน้านี้เรากล่าวว่านิพจน์พีชคณิตไม่สามารถคำนวณได้เสมอ นั่นคือตัวแปรที่ป้อนค่านั้นอาจไม่มีค่าใดๆ ในกรณีของโมโนเมียล ตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้นสามารถเป็นอะไรก็ได้ นี่คือคุณสมบัติของโมโนเมียล

ดังนั้น ในตัวอย่างที่กำหนด จำเป็นต้องคำนวณค่าของโมโนเมียลสำหรับ , , ,

แนวคิดของโมโนเมียล

คำจำกัดความของ monomial: monomial เป็นนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตที่ใช้การคูณเท่านั้น

รูปแบบมาตรฐานของโมโนเมียล

รูปแบบมาตรฐานของ monomial คืออะไร? monomial เขียนในรูปแบบมาตรฐานหากมีปัจจัยที่เป็นตัวเลขและปัจจัยนี้เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของ monomial มีเพียงหนึ่งเดียวใน monomial ตัวอักษรของ monomial เรียงตามลำดับตัวอักษรและ แต่ละตัวอักษรจะเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียว

ตัวอย่างของ monomial ในรูปแบบมาตรฐาน:

ที่นี่ที่แรกคือตัวเลข ค่าสัมประสิทธิ์ของ monomial และตัวเลขนี้เป็นเพียงหนึ่งใน monomial ของเรา ตัวอักษรแต่ละตัวจะเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียว และตัวอักษรจะถูกจัดเรียงตามลำดับตัวอักษร ในกรณีนี้คืออักษรละติน

อีกตัวอย่างหนึ่งของ monomial ในรูปแบบมาตรฐาน:

ตัวอักษรแต่ละตัวเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียวโดยจัดเรียงตามลำดับตัวอักษรละติน แต่ค่าสัมประสิทธิ์ของโมโนเมียลอยู่ที่ไหนนั่นคือ ปัจจัยตัวเลขที่ควรมาก่อน? ที่นี่เท่ากับหนึ่ง: 1adm

ค่าสัมประสิทธิ์โมโนเมียลเป็นลบได้หรือไม่? ใช่ อาจจะ เช่น -5a

ค่าสัมประสิทธิ์โมโนเมียลสามารถเป็นเศษส่วนได้หรือไม่? ใช่ อาจจะ เช่น 5.2a

หาก monomial ประกอบด้วยตัวเลขเท่านั้น เช่น ไม่มีตัวอักษร จะนำเข้าสู่แบบฟอร์มมาตรฐานได้อย่างไร? โมโนเมียลใดๆ ที่เป็นตัวเลขจะอยู่ในรูปแบบมาตรฐานอยู่แล้ว เช่น เลข 5 เป็นโมโนเมียลรูปแบบมาตรฐาน

ลดโมโนเมียลเป็นรูปแบบมาตรฐาน

จะนำ monomial มาสู่รูปแบบมาตรฐานได้อย่างไร? พิจารณาตัวอย่าง

ให้ monomial 2a4b เราจำเป็นต้องนำมาในรูปแบบมาตรฐาน เราคูณตัวประกอบตัวเลขสองตัวแล้วได้ 8ab ตอนนี้ monomial เขียนในรูปแบบมาตรฐานเช่น มีตัวประกอบที่เป็นตัวเลขเพียงตัวเดียวเท่านั้น เขียนด้วยตัวแรก แต่ละตัวอักษรใน monomial จะเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียว และตัวอักษรเหล่านี้จะเรียงตามลำดับตัวอักษร ดังนั้น 2a4b = 8ab

กำหนด: monomial 2a4a นำ monomial ไปสู่รูปแบบมาตรฐาน เราคูณตัวเลข 2 และ 4 ผลิตภัณฑ์ aa จะถูกแทนที่ด้วยกำลังสอง a 2 เราได้: 8a 2 . นี่คือรูปแบบมาตรฐานของโมโนเมียลนี้ ดังนั้น 2a4a = 8a 2

monomials ที่คล้ายกัน

monomials ที่คล้ายกันคืออะไร? หาก monomials ต่างกันเพียงค่าสัมประสิทธิ์หรือเท่ากันก็จะเรียกว่าคล้ายกัน

ตัวอย่างของ monomials ที่คล้ายกัน: 5a และ 2a monomials เหล่านี้แตกต่างกันในค่าสัมประสิทธิ์เท่านั้น ซึ่งหมายความว่ามีความคล้ายคลึงกัน

monomials 5abc และ 10cba คล้ายกันหรือไม่ เรานำ monomial ตัวที่สองมาสู่รูปแบบมาตรฐาน เราได้ 10abc ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนว่า monomials 5abc และ 10abc แตกต่างกันในค่าสัมประสิทธิ์เท่านั้น ซึ่งหมายความว่ามีความคล้ายคลึงกัน

การเพิ่มโมโนเมียล

ผลรวมของ monomials คืออะไร? เราสามารถรวม monomials ที่คล้ายกันเท่านั้น พิจารณาตัวอย่างการบวก monomials ผลบวกของ monomials 5a และ 2a คืออะไร? ผลรวมของโมโนเมียลเหล่านี้จะเป็นโมโนเมียลที่คล้ายกับพวกมันซึ่งเป็นค่าสัมประสิทธิ์ เท่ากับผลรวมค่าสัมประสิทธิ์ของข้อกำหนด ดังนั้นผลรวมของ monomials คือ 5a + 2a = 7a

ตัวอย่างเพิ่มเติมของการเติม monomials:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

อีกครั้ง. คุณสามารถเพิ่ม monomials ที่คล้ายกันเท่านั้น การบวกจะลดลงเป็นการเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์

การลบโมโนเมียล

monomials แตกต่างกันอย่างไร? เราสามารถลบ monomials ที่คล้ายกันเท่านั้น พิจารณาตัวอย่างการลบ monomials อะไรคือความแตกต่างระหว่าง monomials 5a และ 2a? ความแตกต่างของโมโนเมียลเหล่านี้จะเป็นโมโนเมียลที่คล้ายกันซึ่งค่าสัมประสิทธิ์จะเท่ากับความแตกต่างของค่าสัมประสิทธิ์ของโมโนเมียลเหล่านี้ ดังนั้น ผลต่างของโมโนเมียลจึงเท่ากับ 5a - 2a = 3a

ตัวอย่างเพิ่มเติมของการลบ monomials:

10a2 - 3a2 = 7a2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

การคูณโมโนเมียล

ผลิตภัณฑ์ของ monomials คืออะไร? พิจารณาตัวอย่าง:

เหล่านั้น. ผลคูณของโมโนเมียลเท่ากับโมโนเมียลที่มีปัจจัยประกอบด้วยปัจจัยของโมโนเมียลดั้งเดิม

ตัวอย่างอื่น:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

ผลลัพธ์นี้เกิดขึ้นได้อย่างไร? แต่ละปัจจัยมี "a" ในระดับ: ในครั้งแรก - "a" ในระดับ 2 และในวินาที - "a" ในระดับ 5 ซึ่งหมายความว่าผลิตภัณฑ์จะมี "a" ในระดับ 7 เพราะเมื่อคูณตัวอักษรเดียวกัน เลขยกกำลังจะรวมกัน:

ก 2 * ก 5 = ก 7 .

เช่นเดียวกับปัจจัย "b"

ค่าสัมประสิทธิ์ของปัจจัยแรกเท่ากับสอง และค่าสัมประสิทธิ์ที่สองต่อหนึ่ง ดังนั้นเราจึงได้ผลลัพธ์เป็น 2 * 1 = 2

นี่คือวิธีคำนวณผลลัพธ์ 2a 7 b 12

จากตัวอย่างเหล่านี้ จะเห็นได้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ของ monomials ถูกคูณ และตัวอักษรเดียวกันจะถูกแทนที่ด้วยผลรวมขององศาในผลคูณ