จุดคงที่ของฟังก์ชันคืออะไร จุดวิกฤติของฟังก์ชัน

จุดคงที่ของฟังก์ชัน ข้อกำหนดเบื้องต้นส่วนปลายสุดของฟังก์ชัน

อันดับแรก สภาพที่เพียงพอสุดขั้วในท้องถิ่น

เงื่อนไขที่เพียงพอที่สองและสามสำหรับจุดสุดโต่งในท้องถิ่น

ค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

ฟังก์ชันนูนและจุดเปลี่ยนเว้า

1. จุดคงที่ของฟังก์ชัน เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับส่วนปลายสุดของฟังก์ชัน

คำจำกัดความ 1 - ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้
- จุด เรียกว่าจุดหยุดนิ่งของฟังก์ชัน
, ถ้า
แตกต่างออกไป ณ จุดหนึ่ง และ
.

ทฤษฎีบท 1 (เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับจุดปลายเฉพาะของฟังก์ชัน) - ให้ฟังก์ชัน
กำหนดไว้
และได้ตรงจุด
สุดขั้วในท้องถิ่น จากนั้นเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งก็เป็นไปตาม:

ดังนั้น เพื่อที่จะค้นหาจุดที่น่าสงสัยสำหรับจุดสุดขั้ว จำเป็นต้องค้นหาจุดคงที่ของฟังก์ชันและจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันไม่มีอยู่ แต่เป็นจุดที่อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง - อนุญาต
- ค้นหาจุดที่น่าสงสัยจนสุดขั้ว ในการแก้ปัญหา ก่อนอื่น เราค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน:
- ให้เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้:

จุดที่ไม่มีอนุพันธ์:
- จุดฟังก์ชันนิ่ง:

ตั้งแต่และ
, และ
อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชัน จากนั้นทั้งคู่จะเกิดความสงสัยในระดับสุดขั้ว แต่เพื่อที่จะสรุปได้ว่าจะมีสุดขั้วตรงนั้นจริงหรือไม่ จำเป็นต้องใช้เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับสุดขั้วนั้น

2. เงื่อนไขแรกที่เพียงพอสำหรับส่วนปลายสุดของท้องถิ่น

ทฤษฎีบท 1 (เงื่อนไขแรกเพียงพอสำหรับจุดสุดขั้วเฉพาะจุด) - ให้ฟังก์ชัน
กำหนดไว้
และแตกต่างในช่วงเวลานี้ทุกที่ ยกเว้นบางทีประเด็น
แต่ ณ จุดนี้ การทำงาน
มีความต่อเนื่อง หากมีจุดกึ่งเพื่อนบ้านด้านซ้ายและขวาดังกล่าว ในแต่ละอัน
ก็ยังคงมีสัญญาณบางอย่างอยู่

1) ฟังก์ชั่น
มีจุดสุดขั้วเฉพาะจุด , ถ้า
รับค่าของเครื่องหมายต่าง ๆ ในพื้นที่กึ่งใกล้เคียงที่สอดคล้องกัน

2) ฟังก์ชั่น
ไม่มีจุดสุดขั้วเฉพาะที่ ณ จุดนั้น ถ้าไปทางขวาและซ้ายของจุด
มีป้ายเดียวกัน

การพิสูจน์ - 1) สมมติว่าอยู่ในกึ่งเพื่อนบ้าน
อนุพันธ์
และใน

.

ดังนั้นตรงจุด การทำงาน
มีจุดสุดยอดในท้องถิ่นคือ - สูงสุดในท้องถิ่นซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

2) สมมติว่าไปทางซ้ายและขวาของจุด อนุพันธ์ยังคงมีเครื่องหมายอยู่ เช่น
- จากนั้นต่อไป
และ
การทำงาน
เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจอย่างเคร่งครัดนั่นคือ:

จึงสุดขั้ว ณ จุดนั้น การทำงาน
ไม่มี ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

หมายเหตุ 1 - ถ้าอนุพันธ์
เมื่อผ่านจุดหนึ่ง เปลี่ยนเครื่องหมายจาก “+” เป็น “-” จากนั้นถึงจุดนั้น การทำงาน
มีค่าสูงสุดในพื้นที่ และหากเครื่องหมายเปลี่ยนจาก "-" เป็น "+" ก็จะมีค่าต่ำสุดในพื้นที่

หมายเหตุ 2 - เงื่อนไขที่สำคัญคือความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
ตรงจุด - ถ้าไม่ตรงตามเงื่อนไขนี้ ทฤษฎีบท 1 อาจไม่คงอยู่

ตัวอย่าง - พิจารณาฟังก์ชันแล้ว (รูปที่ 1):

ฟังก์ชั่นนี้ถูกกำหนดไว้บน และต่อเนื่องกันทุกที่ยกเว้นจุดหนึ่ง
โดยมีช่องว่างที่ถอดออกได้ เมื่อผ่านจุดใดจุดหนึ่ง

เปลี่ยนเครื่องหมายจาก "-" เป็น "+" แต่ฟังก์ชันไม่มีค่าต่ำสุดเฉพาะที่ ณ จุดนี้ แต่มีค่าสูงสุดเฉพาะตามคำจำกัดความ ใกล้ถึงจุดนั้นแล้วจริงๆ
เป็นไปได้ที่จะสร้างย่านใกล้เคียงเพื่อให้อาร์กิวเมนต์ทั้งหมดจากย่านใกล้เคียงนี้ค่าฟังก์ชันจะน้อยกว่าค่า
- ทฤษฎีบทที่ 1 ไม่ได้ผลเพราะ ณ จุดนั้น
ฟังก์ชั่นมีช่องว่าง

หมายเหตุ 3 - เงื่อนไขแรกที่เพียงพอสำหรับค่าสุดขีดเฉพาะที่ไม่สามารถใช้ได้เมื่ออนุพันธ์ของฟังก์ชัน
เปลี่ยนเครื่องหมายในแต่ละด้านซ้ายและขวาของจุดกึ่งเพื่อนบ้านแต่ละจุด .

ตัวอย่าง - ฟังก์ชั่นที่กำลังพิจารณาคือ:

เพราะ
, ที่
และด้วยเหตุนี้
, แต่
- ดังนั้น:

,

เหล่านั้น. ตรงจุด
การทำงาน
มี ขั้นต่ำในท้องถิ่นตามคำจำกัดความ มาดูกันว่าเงื่อนไขแรกที่เพียงพอสำหรับจุดสุดโต่งเฉพาะที่ได้ผลที่นี่หรือไม่

สำหรับ
:

สำหรับเทอมแรกทางด้านขวาของสูตรผลลัพธ์เราจะได้:

,

จึงอยู่ในละแวกเล็กๆ ของจุดนั้น
เครื่องหมายของอนุพันธ์ถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของเทอมที่สองนั่นคือ:

,

ซึ่งหมายความว่าในบริเวณใกล้เคียงจุดใดจุดหนึ่ง

จะยอมรับทั้งบวกและ ค่าลบ- อันที่จริงให้พิจารณาพื้นที่ใกล้เคียงตามอำเภอใจ
:
- เมื่อไร

,

ที่

(รูปที่ 2) และ เปลี่ยนเครื่องหมายที่นี่หลายครั้งไม่สิ้นสุด ดังนั้น เงื่อนไขแรกที่เพียงพอสำหรับจุดสุดขั้วเฉพาะจุดจึงไม่สามารถใช้ในตัวอย่างที่กำหนดให้ได้

คำจำกัดความ:

สุดขีดเรียกว่าสูงสุดหรือ ค่าต่ำสุดฟังก์ชั่นในชุดที่กำหนด

จุดสุดขั้วคือจุดที่ถึงค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน

จุดสูงสุดคือจุดที่ถึงค่าสูงสุดของฟังก์ชัน

จุดต่ำสุดคือจุดที่ถึงค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน

คำอธิบาย.

ในรูป ใกล้กับจุด x = 3 ฟังก์ชันจะถึงค่าสูงสุด (นั่นคือ ไม่มีจุดที่สูงกว่านี้ในบริเวณใกล้จุดใดจุดหนึ่ง) ในย่านใกล้เคียงของ x = 8 จะมีค่าสูงสุดอีกครั้ง (ให้เราชี้แจงอีกครั้ง: ในย่านนี้ไม่มีจุดใดที่สูงกว่านี้อีกแล้ว) เมื่อถึงจุดเหล่านี้ การเพิ่มขึ้นจะทำให้มีการลดลง เป็นจุดสูงสุด:

x สูงสุด = 3, x สูงสุด = 8

ใกล้กับจุด x = 5 จะถึงค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน (นั่นคือ ในบริเวณใกล้เคียงกับ x = 5 จะไม่มีจุดด้านล่าง) ณ จุดนี้ การลดลงทำให้เกิดการเพิ่มขึ้น เป็นจุดต่ำสุด:

จุดสูงสุดและต่ำสุดคือ จุดปลายสุดของฟังก์ชันและค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้คือค่าของมัน สุดขั้ว.

จุดวิกฤติและจุดคงที่ของฟังก์ชัน:

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับภาวะสุดขั้ว:

สภาพที่เพียงพอสำหรับภาวะสุดขั้ว:

บนเซ็กเมนต์ฟังก์ชัน ย = ฉ(x) สามารถเข้าถึงค่าต่ำสุดหรือสูงสุดได้ที่จุดวิกฤติหรือที่ส่วนท้ายของส่วน

อัลกอริธึมการวิจัย ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง ย = ฉ(x) สำหรับความน่าเบื่อหน่ายและสุดขั้ว:

โดเมนของฟังก์ชัน คำนวณอนุพันธ์ของมัน ค้นหาโดเมนของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน หา คะแนนเปลี่ยนอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์ พิสูจน์ว่าจุดที่พบอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันดั้งเดิม

ตัวอย่างที่ 1 ระบุวิกฤต คะแนนฟังก์ชัน y = (x - 3)²·(x-2)

วิธีแก้ จงหาโดเมนของฟังก์ชันใน ในกรณีนี้ไม่มีข้อจำกัด: x ∈ (-∞; +∞); คำนวณอนุพันธ์ของ y’ ตามกฎในการหาความแตกต่างของผลคูณของทั้งสอง เรามี: y' = ((x - 3)²)'·(x - 2) + (x - 3)²·(x - 2)' = 2·( x - 3)·(x - 2) + (x - 3)²·1. หลังจากนั้นปรากฎว่า สมการกำลังสอง: y’ = 3 x² – 16 x + 21.

ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: x ∈ (-∞; +∞) แก้สมการ 3 x² – 16 x + 21 = 0 เพื่อค้นหาว่าจุดใดกลายเป็นศูนย์: 3 x² – 16 x + 21 = 0.

ง = 256 – 252 = 4x1 = (16 + 2)/6 = 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3 ดังนั้นอนุพันธ์จะเป็นศูนย์ที่ค่า x เท่ากับ 3 และ 7/3

ตรวจสอบว่าของที่พบเป็นของหรือไม่ คะแนนโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันดั้งเดิม เนื่องจาก x (-∞; +∞) ดังนั้นทั้งสองอย่างนี้ คะแนนมีความสำคัญ

ตัวอย่างที่ 2: ระบุวิกฤต คะแนนฟังก์ชัน y = x² – 2/x

โดเมนโซลูชันของฟังก์ชัน: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) เนื่องจาก x อยู่ในตัวส่วน คำนวณอนุพันธ์ y’ = 2 x + 2/x²

โดเมนของคำจำกัดความของอนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเหมือนกับโดเมนดั้งเดิม: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) แก้สมการ 2 x + 2/x² = 0: 2 x = -2/x² → x = -1

ดังนั้นอนุพันธ์จะเป็นศูนย์ที่ x = -1 ตรงตามเงื่อนไขที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอสำหรับการวิกฤติ เนื่องจาก x=-1 อยู่ในช่วง (-∞; 0) ∪ (0; +∞) ดังนั้นจุดนี้จึงสำคัญ

แหล่งที่มา:

• ปริมาณการขายที่สำคัญ pcsThreshold

ผู้หญิงหลายคนต้องทนทุกข์ทรมานจากอาการก่อนมีประจำเดือนซึ่งไม่เพียงแสดงออกมาด้วยความรู้สึกเจ็บปวดเท่านั้น แต่ยังเพิ่มความอยากอาหารอีกด้วย เป็นผลให้วันสำคัญสามารถชะลอกระบวนการลดน้ำหนักได้อย่างมาก

สาเหตุของความอยากอาหารเพิ่มขึ้นในช่วงมีประจำเดือน

สาเหตุของความอยากอาหารเพิ่มขึ้นในช่วงมีประจำเดือนคือการเปลี่ยนแปลงระดับฮอร์โมนโดยทั่วไปในร่างกายของผู้หญิง ไม่กี่วันก่อนเริ่มมีประจำเดือน ระดับฮอร์โมนโปรเจสเตอโรนจะเพิ่มขึ้น ร่างกายจะปรับตัวตามความเป็นไปได้และพยายามสร้างพลังงานสำรองเพิ่มเติมในรูปของไขมันสะสม แม้ว่าผู้หญิงจะนั่งอยู่ก็ตาม ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงของน้ำหนักในวันวิกฤตจึงเป็นเรื่องปกติ

วิธีรับประทานอาหารในช่วงมีประจำเดือน

พยายามอย่ากินขนมหวาน ขนมหวาน และอาหารแคลอรี่สูงอื่นๆ ที่มีอาหาร "ฟาสต์" ในปัจจุบัน ส่วนเกินจะสะสมเป็นไขมันทันที ในช่วงเวลานี้ ผู้หญิงหลายคนอยากกินช็อกโกแลตมาก ในกรณีนี้ คุณสามารถซื้อดาร์กช็อกโกแลตแล้วให้รางวัลตัวเองสัก 2-3 ชิ้นก็ได้ แต่อย่ามากไปกว่านี้ ห้ามใช้ในช่วงมีประจำเดือน เครื่องดื่มแอลกอฮอล์, หมักดอง, ผักดอง, เนื้อรมควัน, เมล็ดพืชและถั่ว โดยทั่วไปแล้ว อาหารดองและอาหารรมควันควรถูกจำกัดไว้ในอาหาร 6-8 วันก่อนเริ่มมีประจำเดือน เนื่องจากผลิตภัณฑ์ดังกล่าวจะเพิ่มปริมาณน้ำสำรองในร่างกาย และช่วงนี้มีลักษณะการสะสมของของเหลวเพิ่มขึ้น หากต้องการลดปริมาณเกลือในอาหารของคุณ ให้เพิ่มลงไป ปริมาณขั้นต่ำวี อาหารพร้อม.

ขอแนะนำให้บริโภคผลิตภัณฑ์นมไขมันต่ำ อาหารจากพืช และธัญพืช ถั่ว, มันฝรั่งต้ม, ข้าว - ผลิตภัณฑ์ที่มีคาร์โบไฮเดรต "ช้า" จะมีประโยชน์ อาหารทะเล ตับ ปลา เนื้อวัว สัตว์ปีก ไข่ พืชตระกูลถั่ว และผลไม้แห้งจะช่วยเสริมการสูญเสียธาตุเหล็ก รำข้าวสาลีจะมีประโยชน์ ปฏิกิริยาตามธรรมชาติในช่วงมีประจำเดือนจะมีอาการบวม สมุนไพรขับปัสสาวะชนิดเบาจะช่วยแก้ไขอาการ: ใบโหระพา, ผักชีฝรั่ง, ผักชีฝรั่ง, คื่นฉ่าย สามารถใช้เป็นเครื่องปรุงรสได้ ในช่วงครึ่งหลังของรอบ ขอแนะนำให้บริโภคอาหารที่มีโปรตีน (เนื้อสัตว์ไร้มันและปลา ผลิตภัณฑ์จากนม) และควรลดปริมาณคาร์โบไฮเดรตในอาหารให้มากที่สุด

แนวคิดทางเศรษฐกิจปริมาณวิกฤต ฝ่ายขายสอดคล้องกับตำแหน่งขององค์กรในตลาดซึ่งรายได้จากการขายสินค้ามีน้อย สถานการณ์นี้เรียกว่าจุดคุ้มทุน เมื่อความต้องการผลิตภัณฑ์ลดลงและผลกำไรแทบไม่ครอบคลุมต้นทุน เพื่อกำหนดปริมาณวิกฤต ฝ่ายขายให้ใช้หลายวิธี

คำแนะนำ

วงจรการทำงานไม่ได้จำกัดอยู่เพียงกิจกรรม - การผลิตหรือการบริการ นี่เป็นงานที่ซับซ้อนของโครงสร้างบางอย่าง รวมถึงงานของบุคลากรหลัก เจ้าหน้าที่ฝ่ายบริหาร พนักงานฝ่ายบริหาร ฯลฯ รวมถึงนักเศรษฐศาสตร์ซึ่งมีหน้าที่วิเคราะห์ทางการเงินขององค์กร

วัตถุประสงค์ของการวิเคราะห์นี้คือเพื่อคำนวณปริมาณที่แน่นอนซึ่งส่งผลต่อขนาดของกำไรขั้นสุดท้ายในระดับหนึ่งหรืออย่างอื่น นี้ ประเภทต่างๆปริมาณการผลิตและการขาย เต็มและเฉลี่ย ตัวบ่งชี้ความต้องการ ฯลฯ ภารกิจหลักคือการระบุปริมาณการผลิตที่สร้างความสัมพันธ์ที่มั่นคงระหว่างต้นทุนและกำไร

ปริมาณขั้นต่ำ ฝ่ายขายซึ่งรายได้ครอบคลุมต้นทุนโดยสมบูรณ์ แต่ไม่เพิ่มทุนจดทะเบียนของบริษัท เรียกว่าปริมาณวิกฤต ฝ่ายขาย- มีสามวิธีในการคำนวณวิธีการของตัวบ่งชี้นี้: วิธีสมการ รายได้ส่วนเพิ่ม และกราฟิก

เพื่อกำหนดปริมาณวิกฤต ฝ่ายขายตามวิธีแรก ให้สร้างสมการในรูปแบบ: Вп – Zper – Зpos = Пп = 0 โดยที่: Вп – รายได้จาก ฝ่ายขายและ ;Zper และ Zpos – ต้นทุนผันแปรและคงที่; ฝ่ายขายและ.

ตามวิธีอื่น ระยะแรก รายได้จาก ฝ่ายขายนำเสนอเป็นผลคูณของรายได้ส่วนเพิ่มต่อหน่วยสินค้าและปริมาตร ฝ่ายขายเช่นเดียวกับต้นทุนผันแปร ต้นทุนคงที่ใช้กับสินค้าทั้งชุด ดังนั้นปล่อยให้ส่วนประกอบนี้เป็นแบบทั่วไป: MD N – Zper1 N – Zpos = 0

แสดงค่า N จากสมการนี้แล้วคุณจะได้ปริมาตรวิกฤต ฝ่ายขาย:N = Zpos/(MD – Zper1) โดยที่ Zper1 คือต้นทุนผันแปรต่อหน่วยสินค้า

วิธีการแบบกราฟิกเกี่ยวข้องกับการก่อสร้าง. นำไปใช้กับ ประสานงานเครื่องบินสองบรรทัด: ฟังก์ชันรายได้จาก ฝ่ายขายลบทั้งฟังก์ชันต้นทุนและกำไร บนแกน Abscissa ให้พล็อตปริมาณการผลิต และบนแกนกำหนด ให้พล็อตรายได้จากปริมาณสินค้าที่สอดคล้องกัน แสดงเป็น หน่วยการเงิน- จุดตัดของเส้นเหล่านี้สอดคล้องกับปริมาตรวิกฤต ฝ่ายขาย, ตำแหน่งคุ้มทุน

แหล่งที่มา:

• วิธีกำหนดงานที่สำคัญ

การคิดอย่างมีวิจารณญาณเป็นชุดของการตัดสินบนพื้นฐานของข้อสรุปบางอย่างที่เกิดขึ้นและการประเมินเป้าหมายของการวิจารณ์. เป็นลักษณะเฉพาะของนักวิจัยและนักวิทยาศาสตร์ทุกสาขาวิชา การคิดเชิงวิพากษ์มีระดับที่สูงกว่าเมื่อเทียบกับการคิดแบบธรรมดา

คุณค่าของประสบการณ์ในการพัฒนาการคิดอย่างมีวิจารณญาณ

เป็นการยากที่จะวิเคราะห์และสรุปเกี่ยวกับสิ่งที่คุณไม่เข้าใจดีนัก ดังนั้น เพื่อที่จะเรียนรู้ที่จะคิดอย่างมีวิจารณญาณ จำเป็นต้องศึกษาวัตถุในความเชื่อมโยงและความสัมพันธ์กับปรากฏการณ์อื่นๆ ทุกรูปแบบ และยัง คุ้มค่ามากในกรณีนี้ มีความรู้เกี่ยวกับข้อมูลเกี่ยวกับวัตถุดังกล่าว ความสามารถในการสร้างห่วงโซ่การตัดสินเชิงตรรกะ และสรุปผลที่สมเหตุสมผล

เช่น การตัดสินคุณค่า งานศิลปะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อคุณรู้จักผลไม้อื่นๆ มากมาย กิจกรรมวรรณกรรม- ขณะเดียวกัน เป็นการดีที่จะเป็นผู้เชี่ยวชาญในประวัติศาสตร์การพัฒนามนุษย์ การก่อตัวของวรรณกรรมและ การวิจารณ์วรรณกรรม- นอกจาก บริบททางประวัติศาสตร์งานอาจสูญเสียความหมายที่ตั้งใจไว้ เพื่อให้การประเมินงานศิลปะมีความสมบูรณ์และสมเหตุสมผลเพียงพอจำเป็นต้องใช้ความรู้ทางวรรณกรรมซึ่งรวมถึงกฎการก่อสร้างด้วย ข้อความวรรณกรรมภายในแต่ละประเภทมีระบบที่แตกต่างกัน อุปกรณ์วรรณกรรมการจำแนกประเภทและการวิเคราะห์ สไตล์ที่มีอยู่และกระแสทางวรรณคดี เป็นต้น ในเวลาเดียวกัน สิ่งสำคัญคือต้องศึกษาตรรกะภายในของโครงเรื่อง ลำดับของการกระทำ การจัดเรียงและปฏิสัมพันธ์ของตัวละครในงานศิลปะ

คุณสมบัติของการคิดอย่างมีวิจารณญาณ

คุณสมบัติอื่นๆ ของการคิดอย่างมีวิจารณญาณมีดังต่อไปนี้:
- ความรู้เกี่ยวกับเรื่องที่กำลังศึกษาเป็นเพียงจุดเริ่มต้นในการต่อยอดเท่านั้น กิจกรรมของสมองเกี่ยวข้องกับการสร้างลอจิคัลเชน
- สร้างและยึดตามอย่างต่อเนื่อง สามัญสำนึกการใช้เหตุผลนำไปสู่การระบุข้อมูลที่แท้จริงและผิดพลาดเกี่ยวกับวัตถุที่กำลังศึกษา
- การคิดเชิงวิพากษ์มักเกี่ยวข้องกับการประเมินข้อมูลที่มีอยู่เสมอ วัตถุนี้และข้อสรุปที่สอดคล้องกัน การประเมินจะเกี่ยวข้องกับทักษะที่มีอยู่

การคิดอย่างมีวิจารณญาณไม่เหมือนกับการคิดทั่วไป การคิดอย่างมีวิจารณญาณช่วยให้คุณใช้ ทั้งระบบการตัดสินเกี่ยวกับเป้าหมายของการวิจารณ์เพื่อทำความเข้าใจแก่นแท้เพื่อระบุ ความรู้ที่แท้จริงเกี่ยวกับเรื่องนี้และหักล้างสิ่งที่เป็นเท็จ ขึ้นอยู่กับตรรกะ ความลึกซึ้งและความสมบูรณ์ของการศึกษา ความจริงใจ ความเพียงพอ และความสม่ำเสมอของการตัดสิน ในกรณีนี้ ข้อความที่ชัดเจนและได้รับการพิสูจน์มายาวนานได้รับการยอมรับว่าเป็นสมมุติฐาน และไม่จำเป็นต้องมีการพิสูจน์และการประเมินซ้ำ

จุดวิกฤติ – นี่คือจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์หรือไม่มีเลย ถ้าอนุพันธ์เท่ากับ 0 ฟังก์ชัน ณ จุดนี้จะใช้ ขั้นต่ำหรือสูงสุดในท้องถิ่น- บนกราฟที่จุดดังกล่าวฟังก์ชันมี เส้นกำกับแนวนอนนั่นคือแทนเจนต์ขนานกับแกนวัว

จุดดังกล่าวเรียกว่า นิ่ง- หากคุณเห็น “โหนก” หรือ “รู” บนกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่อง โปรดจำไว้ว่าค่าสูงสุดหรือต่ำสุดนั้นถึงจุดวิกฤตแล้ว ลองใช้งานต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน y=2x^3-3x^2+5
สารละลาย. อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาจุดวิกฤติมีดังนี้:

ฟังก์ชันนี้มีจุดวิกฤตสองจุด

ต่อไป หากคุณต้องการศึกษาฟังก์ชัน เราจะกำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ทางด้านซ้ายและด้านขวาของจุดวิกฤต หากอนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจาก "-" เป็น "+" เมื่อผ่านจุดวิกฤติ แสดงว่าฟังก์ชันนั้นใช้ ขั้นต่ำในท้องถิ่น- ถ้าจาก “+” ถึง “-” ควร สูงสุดในท้องถิ่น.

จุดวิกฤติประเภทที่สองสิ่งเหล่านี้คือศูนย์ของตัวส่วนของฟังก์ชันเศษส่วนและฟังก์ชันอตรรกยะ

ฟังก์ชันลอการิทึมและตรีโกณมิติที่ไม่ได้กำหนดไว้ที่จุดเหล่านี้


จุดวิกฤติประเภทที่สามมีฟังก์ชันและโมดูลต่อเนื่องเป็นชิ้น ๆ
ตัวอย่างเช่น โมดูล-ฟังก์ชันใดๆ จะมีค่าต่ำสุดหรือสูงสุดที่จุดพัก

ตัวอย่างเช่น โมดูล y = | x -5 |
ที่จุด x = 5 มีจุดต่ำสุด (จุดวิกฤติ)

ไม่มีอนุพันธ์อยู่ในนั้น แต่ทางด้านขวาและซ้ายจะใช้ค่า 1 และ -1 ตามลำดับ

1)
2)
3)
4)
5)

พยายามกำหนดจุดวิกฤติของฟังก์ชัน
ถ้าคำตอบคือ y คุณจะได้ค่า
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=พาย*เค;
5) x=1. ถ้าอย่างนั้นคุณก็รู้แล้ววิธีค้นหาจุดวิกฤติ

และสามารถรับมือกับการทดสอบหรือการทดสอบง่ายๆ ได้

พิจารณารูปต่อไปนี้ มันแสดงกราฟของฟังก์ชัน y = x^3 – 3*x^2 ลองพิจารณาช่วงเวลาที่มีจุด x = 0 เช่น จาก -1 ถึง 1 ช่วงเวลาดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่าย่านใกล้เคียงของจุด x = 0 ดังที่เห็นในกราฟ ในย่านนี้ ฟังก์ชัน y = x ^3 – 3*x^2 ใช้เวลามูลค่าสูงสุด

ตรงจุด x = 0

ในกรณีนี้ จุด x = 0 เรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน โดยการเปรียบเทียบกับสิ่งนี้ จุด x = 2 เรียกว่าจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน y = x^3 – 3*x^2 เนื่องจากมีย่านใกล้เคียงของจุดนี้ซึ่งค่า ณ จุดนี้จะน้อยที่สุดในบรรดาค่าอื่น ๆ จากย่านนี้ทั้งหมด

จุด สูงสุดฟังก์ชัน f(x) เรียกว่าจุด x0 โดยมีเงื่อนไขว่ามีค่าใกล้เคียงของจุด x0 โดยที่ x ทั้งหมดไม่เท่ากับ x0 จากย่านนี้ ค่าอสมการ f(x) ยังคงอยู่< f(x0).

จุด ขั้นต่ำฟังก์ชัน f(x) เรียกว่าจุด x0 โดยมีเงื่อนไขว่ามีพื้นที่ใกล้เคียงของจุด x0 โดยที่ x ทั้งหมดไม่เท่ากับ x0 จากย่านนี้ ค่าอสมการ f(x) > f(x0) ยังคงอยู่

ที่จุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน ค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเป็นศูนย์ แต่นี่ไม่ใช่เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของฟังก์ชันที่จุดสูงสุดหรือต่ำสุด

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y = x^3 ที่จุด x = 0 มีอนุพันธ์เท่ากับศูนย์ แต่จุด x = 0 ไม่ใช่จุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดของฟังก์ชัน ดังที่คุณทราบ ฟังก์ชัน y = x^3 จะเพิ่มขึ้นตามแกนตัวเลขทั้งหมด

ดังนั้น จุดต่ำสุดและสูงสุดจะอยู่ในหมู่รากของสมการ f’(x) = 0 เสมอ แต่ไม่ใช่ว่ารากทั้งหมดของสมการนี้จะเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุด

จุดคงที่และจุดวิกฤติ

จุดที่ค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นศูนย์เรียกว่าจุดที่คงที่ อาจมีจุดสูงสุดหรือต่ำสุด ณ จุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันไม่มีเลย ตัวอย่างเช่น y = |x| ณ จุด x = 0 มีค่าต่ำสุด แต่ไม่มีอนุพันธ์ ณ จุดนี้ จุดนี้จะเป็นจุดวิกฤตของฟังก์ชัน

จุดวิกฤตของฟังก์ชันคือจุดที่อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ หรืออนุพันธ์ไม่มีอยู่ที่จุดนี้ กล่าวคือ ฟังก์ชัน ณ จุดนี้ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ เพื่อที่จะหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขที่เพียงพอ

กำหนดให้ f(x) เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ในช่วง (a;b) จุด x0 อยู่ในช่วงนี้ และ f’(x0) = 0 จากนั้น:

1. หากเมื่อผ่านจุดที่คงที่ x0 ฟังก์ชัน f(x) และอนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเปลี่ยนเครื่องหมายจาก "บวก" เป็น "ลบ" ดังนั้นจุด x0 คือจุดสูงสุดของฟังก์ชัน

2. หากเมื่อผ่านจุดที่คงที่ x0 ฟังก์ชัน f(x) และอนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเปลี่ยนเครื่องหมายจาก "ลบ" เป็น "บวก" ดังนั้นจุด x0 คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน