คำจำกัดความของมุมคืออะไร มุมตรง ป้าน แหลม และพัฒนา

มุมเป็นรูปทรงเรขาคณิตหลักซึ่งเราจะวิเคราะห์ในหัวข้อนี้ ความหมาย วิธีการตั้งค่า สัญกรณ์ และการวัดมุม ลองวิเคราะห์หลักการเลือกมุมในภาพวาด ทฤษฎีทั้งหมดมีภาพประกอบและมีภาพวาดจำนวนมาก

Yandex.RTB R-A-339285-1 คำจำกัดความ 1

มุม- ตัวเลขที่สำคัญอย่างง่ายในเรขาคณิต มุมขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของรังสีโดยตรง ซึ่งจะประกอบด้วยแนวคิดพื้นฐานของจุด เส้น และระนาบ สำหรับการศึกษาอย่างละเอียด คุณต้องเจาะลึกในหัวข้อต่างๆ เส้นตรงบนระนาบ - ข้อมูลที่จำเป็นและ เครื่องบิน - ข้อมูลที่จำเป็น.

แนวคิดของมุมเริ่มต้นด้วยแนวคิดของจุด ระนาบ และเส้นตรงที่ปรากฎบนระนาบนี้

คำจำกัดความ 2

กำหนดเส้น a บนระนาบ แสดงจุด O บนนั้น เส้นแบ่งด้วยจุดออกเป็นสองส่วน แต่ละส่วนจะมีชื่อ เรย์และจุด O คือ เริ่มลำแสง.

กล่าวอีกนัยหนึ่งคานหรือ ครึ่งเส้น -เป็นส่วนหนึ่งของเส้น ประกอบด้วยจุดของเส้นที่กำหนด ซึ่งอยู่ด้านเดียวกันเมื่อเทียบกับจุดเริ่มต้น นั่นคือจุด O

การกำหนดลำแสงสามารถทำได้สองรูปแบบ: ตัวพิมพ์เล็กหนึ่งตัวหรือตัวพิมพ์ใหญ่สองตัวของอักษรละติน เมื่อแสดงด้วยตัวอักษรสองตัว ลำแสงจะมีชื่อประกอบด้วยตัวอักษรสองตัว มาดูภาพวาดกันดีกว่า

มาดูแนวคิดของการกำหนดมุมกัน

นิยาม 3

มุม- นี่คือตัวเลขที่อยู่ในระนาบที่กำหนดซึ่งเกิดจากรังสีที่ไม่ตรงกันสองอันที่มีจุดกำเนิดร่วมกัน มุมด้านข้างเป็นลำแสง จุดสุดยอด- จุดเริ่มต้นร่วมกันของฝ่ายต่างๆ

มีกรณีที่ด้านข้างของมุมสามารถทำหน้าที่เป็นเส้นตรงได้

ความหมาย 4

เมื่อด้านทั้งสองของมุมอยู่บนเส้นตรงเดียวกันหรือด้านข้างทำหน้าที่เป็นเส้นแบ่งครึ่งเพิ่มเติมของเส้นตรงหนึ่งเส้น มุมดังกล่าวเรียกว่า ปรับใช้.

รูปด้านล่างแสดงมุมที่แบนราบ

จุดบนเส้นตรงคือจุดยอดของมุม ส่วนใหญ่มักจะแสดงด้วยจุด O

มุมในวิชาคณิตศาสตร์แสดงด้วยเครื่องหมาย "∠" เมื่อด้านข้างของมุมแสดงด้วยภาษาละตินตัวเล็ก ๆ ดังนั้นสำหรับคำจำกัดความที่ถูกต้องของมุม ตัวอักษรจะถูกเขียนเป็นแถวตามลำดับตามด้านข้าง ถ้าด้านสองด้านแทนค่า k และ h มุมนั้นจะแสดงเป็น ∠ k h หรือ ∠ h k

เมื่อมีการกำหนดเป็นตัวพิมพ์ใหญ่ตามลำดับด้านข้างของมุมจะมีชื่อ O A และ O B ในกรณีนี้มุมมีชื่อของตัวอักษรละตินสามตัวเขียนเป็นแถวตรงกลางมีจุดสุดยอด - ∠ A O B และ ∠ B O A . มีการกำหนดในรูปแบบของตัวเลขเมื่อมุมไม่มีชื่อหรือตัวอักษร ด้านล่างเป็นรูปที่แสดงมุมในรูปแบบต่างๆ

มุมแบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน หากมุมไม่ได้รับการพัฒนาส่วนหนึ่งของระนาบจะมีชื่อ พื้นที่มุมด้านใน, อื่น ๆ - พื้นที่มุมด้านนอก. ด้านล่างนี้เป็นภาพที่อธิบายว่าส่วนใดของเครื่องบินอยู่ภายนอกและส่วนใดอยู่ภายใน

เมื่อหารด้วยมุมตรงบนระนาบ ส่วนใดส่วนหนึ่งของมันจะถูกพิจารณาว่าเป็นส่วนภายในของมุมตรง

พื้นที่ด้านในของมุมเป็นองค์ประกอบที่ทำหน้าที่กำหนดมุมที่สอง

คำจำกัดความ 5

มุมเรียกว่ารูปทรงเรขาคณิตซึ่งประกอบด้วยรังสีที่ไม่ประจวบเหมาะสองอันซึ่งมีจุดกำเนิดร่วมกันและพื้นที่ภายในมุมที่สอดคล้องกัน

คำนิยามนี้เข้มงวดกว่าคำนิยามก่อนหน้า เนื่องจากมีเงื่อนไขมากกว่า ไม่แนะนำให้พิจารณาคำจำกัดความทั้งสองแยกกัน เนื่องจากมุมเป็นรูปเรขาคณิตที่แปลงโดยใช้รังสีสองเส้นที่ออกมาจากจุดหนึ่ง เมื่อจำเป็นต้องดำเนินการกับมุม คำจำกัดความหมายถึงการมีอยู่ของรังสีสองเส้นที่มีจุดกำเนิดร่วมกันและบริเวณภายใน

คำจำกัดความ 6

ทั้งสองมุมเรียกว่า ที่เกี่ยวข้องถ้ามีด้านร่วมกัน และอีกสองเส้นประกอบกันเป็นครึ่งเส้นหรือสร้างมุมตรง

รูปนี้แสดงให้เห็นว่ามุมที่อยู่ติดกันเป็นส่วนเสริมซึ่งกันและกัน เนื่องจากเป็นมุมที่ต่อเนื่องกัน

คำจำกัดความ 7

ทั้งสองมุมเรียกว่า แนวตั้ง, ถ้าด้านหนึ่งเป็นเส้นเสริมครึ่งเส้นของอีกด้านหรือเป็นส่วนเสริมของด้านของอีกด้าน ภาพด้านล่างแสดงภาพของมุมแนวตั้ง

เมื่อข้ามเส้นจะได้มุมที่อยู่ติดกัน 4 คู่และมุมแนวตั้ง 2 คู่ ด้านล่างแสดงในภาพ

บทความแสดงคำจำกัดความของมุมที่เท่ากันและไม่เท่ากัน เราจะวิเคราะห์ว่ามุมใดถือว่าใหญ่ มุมไหนเล็ก และคุณสมบัติอื่นๆ ของมุม ตัวเลขสองตัวถือว่าเท่ากันหากซ้อนทับกันอย่างสมบูรณ์ คุณสมบัติเดียวกันนี้ใช้กับการเปรียบเทียบมุม

ให้สองมุม จำเป็นต้องสรุปว่ามุมเหล่านี้เท่ากันหรือไม่

เป็นที่ทราบกันว่าจุดยอดของมุมทั้งสองและด้านของมุมแรกซ้อนทับกับด้านอื่นๆ ของมุมที่สอง นั่นคือในกรณีของความบังเอิญโดยสมบูรณ์ เมื่อมุมต่างๆ มาซ้อนกัน ด้านของมุมที่กำหนดจะตรงกันทั้งหมด มุม เท่ากับ.

อาจเป็นไปได้ว่าเมื่อวางซ้อนด้านแล้วอาจไม่รวมกันแล้วมุม เล็กกว่าไม่เท่ากันซึ่งประกอบด้วยอีกและ มากกว่ารวมอีกมุมที่สมบูรณ์ ด้านล่างนี้คือมุมที่ไม่เท่ากันเมื่อวางซ้อนกัน

มุมที่พัฒนาแล้วมีค่าเท่ากัน

การวัดมุมเริ่มต้นด้วยการวัดด้านข้างของมุมที่วัดได้และพื้นที่ภายในซึ่งเติมด้วยมุมของหน่วยซึ่งจะนำไปใช้ซึ่งกันและกัน จำเป็นต้องนับจำนวนมุมที่ซ้อนกันซึ่งจะกำหนดขนาดของมุมที่วัดได้ล่วงหน้า

หน่วยมุมสามารถแสดงเป็นมุมที่วัดได้ มีหน่วยวัดที่ใช้ในวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีซึ่งเป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป พวกเขาเชี่ยวชาญในเรื่องอื่นๆ

แนวคิดที่ใช้บ่อยที่สุด ระดับ.

คำจำกัดความ 8

หนึ่งองศาเรียกว่ามุมที่มีหนึ่งในร้อยแปดสิบของมุมที่ยืดออก

สัญกรณ์มาตรฐานสำหรับองศาคือ "°" จากนั้นหนึ่งองศาคือ 1° ดังนั้นมุมตรงประกอบด้วยมุมดังกล่าว 180 มุมซึ่งประกอบด้วยหนึ่งองศา มุมที่มีอยู่ทั้งหมดเรียงซ้อนกันแน่นและด้านข้างของมุมก่อนหน้าจะชิดกับมุมถัดไป

เป็นที่ทราบกันดีว่าจำนวนองศาในมุมหนึ่งๆ เท่ากับขนาดของมุม มุมที่พัฒนาแล้วมี 180 มุมซ้อนกันในองค์ประกอบ รูปด้านล่างแสดงตัวอย่างการวางมุม 30 ครั้ง นั่นคือหนึ่งในหกของการขยาย และ 90 ครั้ง นั่นคือครึ่งหนึ่ง

นาทีและวินาทีใช้เพื่อกำหนดการวัดมุมอย่างแม่นยำ ใช้เมื่อค่ามุมไม่ใช่การกำหนดองศาจำนวนเต็ม ส่วนต่าง ๆ ของระดับดังกล่าวช่วยให้คุณสามารถคำนวณได้แม่นยำยิ่งขึ้น

คำจำกัดความ 9

นาทีเรียกว่าหนึ่งในหกสิบของปริญญา

คำจำกัดความ 10

ที่สองเรียกว่าหนึ่งในหกสิบนาที

องศาประกอบด้วย 3600 วินาที นาทีหมายถึง "" และวินาที """" การกำหนดเกิดขึ้น:

1°=60"=3600"", 1"=(160)°, 1"=60"", 1""=(160)"=(13600)°,

และสัญลักษณ์สำหรับมุม 17 องศา 3 ลิปดา 59 วินาที คือ 17° 3 "59""

คำจำกัดความ 11

ลองยกตัวอย่างสัญกรณ์การวัดระดับของมุมเท่ากับ 17 ° 3 "59" " รายการมีรูปแบบอื่น 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600

ในการวัดมุมอย่างแม่นยำ จะใช้อุปกรณ์วัด เช่น ไม้โปรแทรกเตอร์ เมื่อกำหนดมุม ∠ A O B และการวัดระดับ 110 องศา จะใช้สัญลักษณ์ที่สะดวกกว่า ∠ A O B \u003d 110 ° ซึ่งอ่านว่า "มุม A O B เท่ากับ 110 องศา"

ในเรขาคณิต ใช้การวัดมุมจากช่วงเวลา (0 , 180 ] และในวิชาตรีโกณมิติจะเรียกการวัดองศาตามอำเภอใจ มุมเลี้ยวค่าของมุมจะแสดงเป็นจำนวนจริงเสมอ มุมฉากเป็นมุมที่มี 90 องศา มุมแหลมเป็นมุมที่น้อยกว่า 90 องศา และ โง่- มากกว่า.

วัดมุมแหลมในช่วงเวลา (0, 90) และมุมป้าน - (90, 180) . มุมสามประเภทแสดงไว้อย่างชัดเจนด้านล่าง

การวัดองศาของมุมใดๆ มีค่าเท่ากัน มุมที่ใหญ่ขึ้นตามลำดับจะมีการวัดระดับที่ใหญ่กว่ามุมที่เล็กกว่า การวัดองศาของมุมหนึ่งคือผลรวมของการวัดองศาที่มีอยู่ทั้งหมดของมุมภายใน รูปด้านล่างแสดงมุม AOB ซึ่งประกอบด้วยมุม AOC, COD และ DOB มีลักษณะดังนี้: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °

จากนี้สรุปได้ว่า ผลรวมทั้งหมด มุมประชิดคือ 180 องศาเพราะมันประกอบกันเป็นมุมที่ขยายออก

มันเป็นไปตามนี้ว่าใดๆ มุมแนวตั้งเท่ากัน. หากเราพิจารณาสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง เราจะเห็นว่ามุม A O B และ C O D เป็นแนวตั้ง (ในรูปวาด) จากนั้นคู่ของมุม A O B และ B O C, C O D และ B O C จะถือว่าอยู่ติดกัน ในกรณีเช่นนี้ ความเท่าเทียมกัน ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° ร่วมกับ ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° จะถือว่าเป็นค่าจริงที่ไม่ซ้ำใคร ดังนั้นเราจึงได้ว่า ∠ A O B = ∠ C O D ด้านล่างนี้คือตัวอย่างรูปภาพและการกำหนดจุดจับแนวตั้ง

นอกจากองศา ลิปดา และวินาทีแล้ว ยังมีการใช้หน่วยวัดอื่นอีกด้วย มันถูกเรียกว่า เรเดียน. ส่วนใหญ่มักจะพบในตรีโกณมิติเมื่อกำหนดมุมของรูปหลายเหลี่ยม สิ่งที่เรียกว่าเรเดียน

คำจำกัดความ 12

หนึ่งมุมเรเดียนเรียกว่ามุมศูนย์กลางซึ่งมีรัศมีของวงกลมเท่ากับความยาวของส่วนโค้ง

ในรูป เรเดียนแสดงเป็นวงกลมซึ่งมีจุดศูนย์กลางซึ่งระบุด้วยจุด โดยมีจุดสองจุดบนวงกลมเชื่อมต่อกันและแปลงเป็นรัศมี O A และ O B ตามคำนิยาม สามเหลี่ยม A O B นี้เป็นรูปด้านเท่า ซึ่งหมายความว่า ว่าความยาวของส่วนโค้ง AB เท่ากับความยาวของรัศมี O B และ Oh A

การกำหนดมุมถือเป็น "rad" นั่นคือ รายการใน 5 เรเดียนจะเรียกโดยย่อว่า 5 เรเดียน บางครั้งคุณสามารถค้นหาการกำหนดที่มีชื่อปี่ เรเดียนไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวของวงกลมที่กำหนดเนื่องจากตัวเลขมีข้อ จำกัด บางอย่างโดยใช้มุมและส่วนโค้งของมันโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอดของมุมที่กำหนด พวกเขาถือว่าคล้ายกัน

เรเดียนมีความหมายเหมือนกับองศา แต่ความแตกต่างอยู่ที่ขนาดเท่านั้น ในการพิจารณาสิ่งนี้จำเป็นต้องแบ่งความยาวของส่วนโค้งของมุมศูนย์กลางที่คำนวณได้ด้วยความยาวของรัศมี

ในทางปฏิบัติพวกเขาใช้ แปลงองศาเป็นเรเดียนและเรเดียนเป็นองศาเพื่อการแก้ปัญหาที่ง่ายขึ้น บทความที่ระบุมีข้อมูลเกี่ยวกับความเชื่อมโยงระหว่างการวัดระดับและเรเดียน ซึ่งคุณสามารถศึกษาโดยละเอียดเกี่ยวกับการแปลจากระดับเป็นเรเดียนและในทางกลับกัน

สำหรับการพรรณนาส่วนโค้งมุมและภาพวาดที่มองเห็นและสะดวก ไม่สามารถอธิบายและทำเครื่องหมายมุม ส่วนโค้ง หรือชื่อเฉพาะได้อย่างถูกต้องเสมอไป มุมที่เท่ากันมีการกำหนดในรูปแบบของส่วนโค้งจำนวนเท่ากันและไม่เท่ากันในรูปแบบของมุมที่แตกต่างกัน ภาพวาดแสดงการกำหนดมุมที่ถูกต้อง เท่ากัน และไม่เท่ากัน

เมื่อต้องการทำเครื่องหมายมากกว่า 3 มุม จะใช้การกำหนดส่วนโค้งพิเศษ เช่น หยักหรือหยัก มันไม่สำคัญขนาดนั้น รูปด้านล่างแสดงการกำหนดของพวกเขา

การกำหนดมุมควรเรียบง่ายเพื่อไม่ให้รบกวนค่าอื่น ๆ เมื่อแก้ปัญหาขอแนะนำให้เลือกเฉพาะมุมที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาเพื่อไม่ให้ภาพวาดทั้งหมดยุ่งเหยิง สิ่งนี้จะไม่รบกวนการแก้ปัญหาและการพิสูจน์และยังทำให้รูปลักษณ์สวยงาม

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเน้นข้อความนั้นแล้วกด Ctrl+Enter

บทความนี้จะพิจารณาหนึ่งในรูปทรงเรขาคณิตหลัก - มุม หลังจากแนะนำแนวคิดนี้โดยทั่วไปแล้ว เราจะมุ่งเน้นไปที่ประเภทเฉพาะของตัวเลขดังกล่าว มุมตรงเป็นแนวคิดที่สำคัญในเรขาคณิตและจะเป็นประเด็นสำคัญของบทความนี้

ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับแนวคิดของมุมเรขาคณิต

ในเรขาคณิต มีวัตถุจำนวนมากที่เป็นพื้นฐานของวิทยาศาสตร์ทั้งหมด มุมอ้างอิงถึงพวกมันและถูกกำหนดโดยใช้แนวคิดของรังสี ดังนั้นมาเริ่มกัน

นอกจากนี้ ก่อนที่จะดำเนินการตามนิยามของมุม คุณต้องจำวัตถุหลายชิ้นในรูปทรงเรขาคณิตที่สำคัญเท่าๆ กัน นั่นคือจุด เส้นตรงบนระนาบ และระนาบนั่นเอง เส้นตรงเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ง่ายที่สุดซึ่งไม่มีจุดเริ่มต้นหรือจุดสิ้นสุด ระนาบคือพื้นผิวที่มีสองมิติ รังสี (หรือครึ่งเส้น) ในเรขาคณิตเป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรงที่มีจุดเริ่มต้น แต่ไม่มีจุดสิ้นสุด

เมื่อใช้แนวคิดเหล่านี้ เราสามารถระบุได้ว่ามุมเป็นรูปเรขาคณิตที่อยู่ในระนาบใดระนาบหนึ่งอย่างสมบูรณ์ และประกอบด้วยรังสีที่ไม่ตรงกันสองเส้นที่มีจุดกำเนิดร่วมกัน รังสีดังกล่าวเรียกว่าด้านของมุม และจุดเริ่มต้นทั่วไปของด้านคือจุดยอด

ประเภทของมุมและรูปทรงเรขาคณิต

เรารู้ว่ามุมอาจแตกต่างกันมาก ดังนั้นด้านล่างจะมีการจำแนกประเภทเล็กน้อยซึ่งจะช่วยให้เข้าใจประเภทของมุมและคุณสมบัติหลักได้ดีขึ้น ดังนั้นจึงมีมุมหลายประเภทในเรขาคณิต:

1. มุมฉาก. มันมีค่า 90 องศาซึ่งหมายความว่าด้านของมันตั้งฉากกันเสมอ
2. มุมแหลม. มุมเหล่านี้รวมถึงตัวแทนทั้งหมดที่มีขนาดน้อยกว่า 90 องศา
3. มุมป้าน. ทุกมุมที่มีค่าตั้งแต่ 90 ถึง 180 องศาได้ที่นี่
4. มุมขยาย มีขนาด 180 องศาอย่างเคร่งครัดและภายนอกด้านข้างเป็นเส้นตรงหนึ่งเส้น

แนวคิดของมุมตรง

ทีนี้มาดูรายละเอียดเพิ่มเติมในมุมที่พัฒนาแล้ว นี่คือกรณีที่ทั้งสองฝ่ายอยู่บนเส้นตรงเดียวกันซึ่งสามารถเห็นได้อย่างชัดเจนในรูปด้านล่าง ซึ่งหมายความว่าเราสามารถพูดด้วยความมั่นใจว่าด้านใดด้านหนึ่งเป็นความต่อเนื่องของอีกด้าน

เป็นสิ่งที่ควรค่าแก่การจดจำความจริงที่ว่ามุมดังกล่าวสามารถแบ่งออกได้เสมอโดยใช้รังสีที่ออกมาจากจุดยอด เป็นผลให้เราได้สองมุมซึ่งในทางเรขาคณิตเรียกว่าประชิด

นอกจากนี้ มุมที่พัฒนาขึ้นยังมีคุณสมบัติหลายประการ ในการพูดคุยเกี่ยวกับสิ่งแรกคุณต้องจำแนวคิดของ "เส้นแบ่งครึ่งมุม" จำได้ว่านี่คือรังสีที่แบ่งครึ่งมุมอย่างเคร่งครัด สำหรับมุมตรงนั้น เส้นแบ่งครึ่งจะแบ่งออกในลักษณะที่มีมุมฉาก 90 องศา 2 มุม คำนวณทางคณิตศาสตร์ได้ง่ายมาก: 180˚ (องศาของมุมที่ยืดออก): 2 = 90˚

หากเราแบ่งมุมที่พัฒนาแล้วด้วยลำแสงโดยพลการ ผลที่ได้คือเราได้สองมุมเสมอ มุมหนึ่งจะเป็นมุมแหลมและอีกมุมหนึ่งจะเป็นมุมป้าน

คุณสมบัติมุมแบน

การพิจารณามุมนี้จะสะดวกโดยรวบรวมคุณสมบัติหลักทั้งหมดซึ่งเราได้ทำในรายการนี้:

1. ด้านข้างของมุมตรงขนานกันและเป็นเส้นตรง
2. ค่าของมุมที่พัฒนาขึ้นคือ 180˚ เสมอ
3. มุมประชิดสองมุมประกอบกันเป็นมุมตรงเสมอ
4. มุมเต็มซึ่งเท่ากับ 360˚ ประกอบด้วยสองมุมที่ปรับใช้และมีค่าเท่ากับผลรวม
5. มุมที่ยืดออกครึ่งหนึ่งเป็นมุมฉาก

ดังนั้น เมื่อทราบคุณลักษณะทั้งหมดของมุมประเภทนี้แล้ว เราจึงสามารถใช้มันเพื่อแก้ปัญหาทางเรขาคณิตจำนวนหนึ่งได้

ปัญหาเกี่ยวกับมุมตรง

เพื่อให้เข้าใจว่าคุณเข้าใจแนวคิดของมุมตรงหรือไม่ ให้ลองตอบคำถามสองสามข้อต่อไปนี้

1. มุมตรงคืออะไรถ้าด้านข้างประกอบกันเป็นเส้นตั้ง?
2. มุมสองมุมจะอยู่ติดกันหรือไม่หากขนาดของมุมแรกเท่ากับ 72˚ และอีกมุมหนึ่งเท่ากับ 118˚
3. ถ้ามุมเต็มประกอบด้วยมุมตรงสองมุม มุมฉากจะมีกี่มุม
4. มุมตรงถูกแบ่งโดยลำแสงออกเป็นสองมุมซึ่งการวัดองศาสัมพันธ์กันเป็น 1:4 คำนวณมุมที่ได้รับ

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:

1. ไม่ว่ามุมตรงจะตั้งอยู่อย่างไร ก็จะเท่ากับ 180˚ ตามนิยามเสมอ
2. มุมที่อยู่ติดกันมีด้านเดียว ดังนั้นในการคำนวณขนาดของมุมที่ประกอบเข้าด้วยกัน คุณเพียงแค่ต้องเพิ่มค่าการวัดองศาของมัน ดังนั้น 72 +118 = 190 แต่ตามนิยามแล้ว มุมตรงคือ 180˚ ซึ่งหมายความว่ามุมที่กำหนดสองมุมไม่สามารถอยู่ติดกันได้
3. มุมตรงประกอบด้วยมุมฉากสองมุม และเนื่องจากมีการนำไปใช้งาน 2 รายการในฉบับเต็ม หมายความว่าจะมีเส้นตรง 4 เส้นอยู่ในนั้น
4. หากเราเรียกมุมที่ต้องการ a และ b ให้ x เป็นค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนสำหรับพวกมัน ซึ่งหมายความว่า a \u003d x และตามด้วย b \u003d 4x มุมตรงมีหน่วยเป็นองศาคือ 180˚ และตามคุณสมบัติของมัน การวัดระดับของมุมจะเท่ากับผลรวมของการวัดระดับของมุมเหล่านั้นซึ่งหารด้วยรังสีตามอำเภอใจที่ผ่านระหว่างด้านเสมอ เราสามารถสรุปได้ว่า x + 4x = 180 ˚ ซึ่งหมายถึง 5x = 180˚ จากที่นี่เราจะพบ: x=a=36˚ และ b = 4x = 144˚ คำตอบ: 36˚ และ 144˚

หากคุณสามารถตอบคำถามเหล่านี้ได้ทั้งหมดโดยไม่ต้องแจ้งให้ทราบล่วงหน้าและไม่ได้ดูคำตอบ คุณก็พร้อมที่จะไปยังบทเรียนเรขาคณิตถัดไปแล้ว

มุมคืออะไร?

มุมเป็นรูปที่เกิดจากรังสีสองเส้นที่ออกมาจากจุดหนึ่ง (รูปที่ 160)
รังสีที่ก่อตัวขึ้น มุมเรียกว่า ด้านของมุม และจุดที่ออกมา เรียกว่า จุดยอดมุม
ในรูปที่ 160 ด้านข้างของมุมคือรังสี OA และ OB และจุดยอดคือจุด O มุมนี้ถูกกำหนดดังนี้: AOB

เมื่อเขียนมุมตรงกลาง ให้เขียนตัวอักษรแสดงจุดยอดของมัน มุมสามารถแสดงด้วยตัวอักษรตัวเดียว - ชื่อของจุดสุดยอด

ตัวอย่างเช่น แทนที่จะเป็น "มุม AOB" พวกเขาเขียนให้สั้นกว่า: "มุม O"

แทนที่จะเป็นคำว่า "มุม" พวกเขาเขียนเครื่องหมาย

ตัวอย่างเช่น AOB, O.

ในรูป 161 จุด C และ D อยู่ภายในมุม AOB จุด X และ Y อยู่นอกมุมนี้ และ คะแนน M และ H - ที่ด้านข้างของมุม

เช่นเดียวกับรูปทรงเรขาคณิตอื่นๆ มุมจะถูกเปรียบเทียบโดยใช้การซ้อนทับ

ถ้ามุมหนึ่งสามารถซ้อนทับอีกมุมหนึ่งเพื่อให้ตรงกัน มุมเหล่านี้ก็จะเท่ากัน

ตัวอย่างเช่น ในรูป 162 ABC = MNK

จากด้านบนของมุม SOK (รูปที่ 163) จะมีการดึงลำแสง OR เขาแบ่งมุม SOC ออกเป็นสองมุม - COP และ ROCK แต่ละมุมเหล่านี้น้อยกว่ามุม ROC

เขียนโดย: คอป< COK и POK < COK.

ตรงและโค้ง

สองสิ่งเสริมซึ่งกันและกัน ลำแสงสร้างมุมพับ ด้านข้างของมุมนี้รวมกันเป็นเส้นตรงซึ่งอยู่ด้านบนของมุมที่ขยายออก (รูปที่ 164)

เข็มชั่วโมงและนาทีของนาฬิกาทำมุมพัฒนาที่ 6 นาฬิกา (รูปที่ 165)

งอกระดาษครึ่งหนึ่งสองครั้งแล้วคลี่ออก (รูปที่ 166)

เส้นพับสร้างมุมเท่ากัน 4 มุม แต่ละมุมเหล่านี้มีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของมุมที่ยืดออก มุมดังกล่าวเรียกว่ามุมฉาก

มุมฉากคือมุมที่ยืดออกครึ่งหนึ่ง

วาดรูปสามเหลี่ยม

หากต้องการสร้างมุมฉาก ให้ใช้ภาพวาด สามเหลี่ยม(รูปที่ 167) ในการสร้างมุมฉากด้านใดด้านหนึ่งคือรังสี OL จำเป็นต้องมี:

ก) จัดเรียงรูปสามเหลี่ยมการวาดเพื่อให้จุดยอดของมุมฉากตรงกับจุด O และด้านใดด้านหนึ่งไปตามรังสี OA

b) วาดรังสี OB ไปทางด้านที่สองของสามเหลี่ยม

เป็นผลให้เราได้ AOB มุมฉาก

คำถามสำหรับหัวข้อ

1. มุมคืออะไร?
2. มุมไหนเรียกว่าปรับใช้?
3. มุมใดเรียกว่าเท่ากัน
4. มุมไหนเรียกว่าถูก?
5. การสร้างมุมฉากโดยใช้รูปสามเหลี่ยมเป็นอย่างไร

เรารู้แล้วว่ามุมใดๆ แบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน แต่ถ้าเป็นมุมที่ทั้งสองฝ่ายอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ก็จะเรียกว่ามุมดังกล่าว นั่นคือ ที่มุมที่พัฒนาแล้ว ด้านหนึ่งจะเป็นความต่อเนื่องของมุมอีกด้านหนึ่ง

ทีนี้มาดูรูปที่แสดงมุม O ที่พัฒนาแล้ว

ถ้าเราดึงลำแสงจากจุดยอดของมุมตรงมา แล้วมันจะแบ่งมุมตรงที่กำหนดออกเป็นอีกสองมุม ซึ่งจะมีด้านหนึ่งเหมือนกัน และอีกสองมุมจะเป็นเส้นตรง นั่นคือจากมุมที่กางออกเราได้สองมุมที่อยู่ติดกัน

หากเราใช้มุมตรงแล้ววาดเส้นแบ่งครึ่ง เส้นแบ่งครึ่งนี้จะแบ่งมุมตรงออกเป็นสองมุมฉาก

และในกรณีที่เราวาดรังสีตามอำเภอใจจากจุดยอดของมุมที่พัฒนาแล้ว ซึ่งไม่ใช่เส้นแบ่งครึ่ง รังสีดังกล่าวจะแบ่งมุมที่ขยายออกเป็นสองมุม มุมหนึ่งจะเป็นมุมแหลมและอีกมุมหนึ่งจะเป็นมุมป้าน

คุณสมบัติมุมแบน

มุมที่ขยายมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ขั้นแรก ด้านข้างของมุมตรงจะขนานกันและก่อตัวเป็นเส้นตรง
ประการที่สอง มุมที่พัฒนาคือ 180°;
ประการที่สาม มุมประชิดสองมุมก่อตัวเป็นมุมตรง
ประการที่สี่ มุมที่พัฒนาขึ้นคือครึ่งหนึ่งของมุมเต็ม
ประการที่ห้า มุมเต็มจะเท่ากับผลรวมของมุมที่พัฒนาแล้วสองมุม
หก ครึ่งหนึ่งของมุมที่ยืดเป็นมุมฉาก

การวัดมุม

ในการวัดมุมใด ๆ มักใช้ไม้โปรแทรกเตอร์เพื่อจุดประสงค์เหล่านี้ ซึ่งหน่วยการวัดคือหนึ่งองศา เมื่อทำการวัดมุม ควรจำไว้ว่ามุมใดๆ ก็มีการวัดองศาเฉพาะของมันเอง และโดยธรรมชาติแล้วการวัดนี้มีค่ามากกว่าศูนย์ และมุมที่พัฒนาอย่างที่เรารู้แล้วเท่ากับ 180 องศา

นั่นคือถ้าเรานำระนาบของวงกลมมาหารด้วยรัศมีเป็น 360 ส่วนเท่าๆ กัน 1/360 ของวงกลมนี้จะเป็นองศาเชิงมุม ดังที่คุณทราบแล้ว ระดับจะถูกระบุด้วยไอคอนบางอย่าง ซึ่งมีลักษณะดังนี้: "°"

ตอนนี้เรายังรู้ด้วยว่า 1 องศา 1° = 1/360 ของวงกลม หากมุมเท่ากับระนาบของวงกลมและเท่ากับ 360 องศา แสดงว่ามุมนั้นเต็ม

และตอนนี้เราใช้และแบ่งระนาบของวงกลมด้วยความช่วยเหลือของรัศมีสองอันที่วางอยู่บนเส้นตรงหนึ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน ในกรณีนี้ระนาบของครึ่งวงกลมจะเป็นครึ่งหนึ่งของมุมทั้งหมด นั่นคือ 360: 2 = 180 ° เราได้รับมุมที่เท่ากับครึ่งระนาบของวงกลมและมี 180 ° นี่คือมุมที่บิดเบี้ยว

งานจริง

พ.ศ. 2156 ตั้งชื่อมุมที่แสดงในรูปที่ 168 เขียนการกำหนดมุม

2157 วาดสี่รังสี: OA, OB, OS และ OD เขียนชื่อมุมทั้งหกที่มีด้านเป็นรังสีเหล่านี้ รังสีเหล่านี้แบ่งออกเป็นกี่ส่วน เครื่องบิน?

1615 ระบุว่าจุดใดในรูปที่ 169 อยู่ในมุม KOM จุดใดอยู่นอกมุมนี้ จุดไหนอยู่ฝั่ง OK และจุดไหนอยู่ฝั่ง OM?

1616 วาดมุม MOD แล้ววาด ray OT ข้างใน ตั้งชื่อและติดป้ายกำกับมุมที่รังสีนี้แบ่งมุม MOD

1617 เข็มนาทีใน 10 นาทีหันไปที่มุม AOB ในอีก 10 นาทีข้างหน้า - ไปที่มุม BOC และในอีก 15 นาที - ไปที่มุม COD เปรียบเทียบมุม AOB และ BOC, BOC และ COD, AOC และ AOB, AOC และ COD (รูปที่ 170)

1618 ใช้รูปสามเหลี่ยมวาดมุมฉาก 4 มุมในตำแหน่งต่างๆ

1619 ใช้รูปสามเหลี่ยมหามุมฉากในรูปที่ 171 จดชื่อของพวกเขา

1620 ชี้ให้เห็นมุมฉากในห้องเรียน

ก) 0.09 200; ข) 208 0.4; ค) 130 0.1 + 80 0.1.

1629 ตัวเลข 200 เป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของ 400; 100; 4; 40; 80; 400; 600?

1630 ค้นหาหมายเลขที่หายไป:

ก) 2 5 3 ข) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?

พ.ศ. 2174 วาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวเท่ากับ 10 เซลล์ของสมุดบันทึก ให้สี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้แทนฟิลด์ ข้าวไรย์ครอบครอง 12% ของทุ่งนา ข้าวโอ๊ต - 8% ข้าวสาลี - 64% และทุ่งที่เหลือถูกครอบครองโดยบัควีท ในภาพแสดงส่วนของทุ่งนาที่พืชผลแต่ละชนิดครอบครอง บัควีทคิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของทุ่ง?

1632 ในช่วงปีการศึกษา Petya ใช้โน้ตบุ๊กที่ซื้อมาเมื่อต้นปีถึง 40% และเขามีโน้ตบุ๊กเหลืออยู่ 30 เล่ม Petya ซื้อโน้ตบุ๊กกี่เล่มเมื่อต้นปีการศึกษา

พ.ศ. 2176 บรอนซ์เป็นโลหะผสมระหว่างดีบุกและทองแดง ทองแดง 1 ชิ้นประกอบด้วยดีบุก 6 กก. และทองแดง 34 กก. เป็นโลหะผสมกี่เปอร์เซ็นต์

พ.ศ. 2177 ประภาคารแห่งอเล็กซานเดรียซึ่งสร้างขึ้นในสมัยโบราณซึ่งได้รับการขนานนามว่าเป็นหนึ่งในเจ็ดสิ่งมหัศจรรย์ของโลกนั้นสูงกว่าหอคอยของมอสโกเครมลิน 1.7 เท่า แต่ต่ำกว่าอาคารของมหาวิทยาลัยมอสโก 119 ม. จงหาความสูง ของโครงสร้างเหล่านี้หากหอคอยของมอสโกเครมลินอยู่ต่ำกว่าประภาคารแห่งอเล็กซานเดรีย 49 ม.

1635 ค้นหาด้วยความช่วยเหลือของไมโครแคลคูเลเตอร์:

ก) 4.5% ของ 168; ค) 28.3% ของ 569.8;
ข) 147.6% ของ 2,500; ง) 0.09% ของ 456,800

1636 แก้ปัญหา:

1) พื้นที่สวน 6.4 ก. ในวันแรก 30% ของสวนถูกขุดขึ้นมา และในวันที่สอง 35% ของสวน เหลือให้ขุดอีกกี่แอรี?

2) Serezha มีเวลาว่าง 4.8 ชั่วโมง เขาใช้เวลา 35% อ่านหนังสือ และ 40% ดูทีวี เขาเหลือเวลาอีกเท่าไหร่?

1637 ดำเนินการดังต่อไปนี้:

1) ((23,79: 7,8 - 6,8: 17) 3,04 - 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 - 6,6) : ((4,8 - 1,6) (3,1 + 0,05)).

1638 วาดมุม BAC และทำเครื่องหมายแต่ละจุดภายในมุม นอกมุม และด้านข้างของมุม

1639 จุดใดที่ทำเครื่องหมายไว้ในรูปที่ 172 อยู่ในมุม AMK จุดใดอยู่ในมุม AMB> แต่อยู่นอกมุม AMK จุดใดอยู่ด้านข้างของมุม AMK

1640 ใช้รูปสามเหลี่ยมเพื่อหามุมฉากในรูปที่ 173

พ.ศ. 2184 สร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านละ 43 มม. คำนวณปริมณฑลและพื้นที่

1642 ค้นหาค่าของนิพจน์:

ก) 14.791: a + 160.961: b ถ้า a = 100, b = 10;
b) 361.62s + 1848: d ถ้า c = 100, d = 100

1643 คนงานต้องทำชิ้นส่วน 450 ชิ้น ในวันแรก เขาทำชิ้นส่วนได้ 60% และส่วนที่เหลือในวันที่สอง ทำกี่ส่วน คนงานในวันที่สอง?

1644 มีหนังสือ 8,000 เล่มในห้องสมุด หนึ่งปีต่อมา จำนวนของพวกเขาเพิ่มขึ้น 2,000 เล่ม จำนวนหนังสือในห้องสมุดเพิ่มขึ้นกี่เปอร์เซ็นต์

1645 รถบรรทุกในวันแรกครอบคลุม 24% ของเส้นทางที่ต้องการ ในวันที่สอง - 46% ของเส้นทาง และในวันที่สาม - 450 กม. ที่เหลือ รถบรรทุกเหล่านี้เดินทางได้กี่กิโลเมตร?

1646 จงหาจำนวน:

ก) 1% ของตัน ค) 5% ของ 7 ตัน
b) 1% ของลิตร ง) 6% ของ 80 กม.

พ.ศ. 2190 มวลของลูกวอลรัสน้อยกว่าน้ำหนักวอลรัสโตเต็มวัยถึง 9 เท่า วอลรัสที่โตเต็มวัยจะมีมวลเท่าใดหากเมื่อรวมกับลูกแล้ว มวลของพวกมันคือ 0.9 ตัน

พ.ศ. 2191 ในระหว่างการซ้อมรบ ผู้บังคับบัญชาได้ทิ้งทหาร 0.3 นายไว้เฝ้าทางข้าม และแบ่งทหารที่เหลือออกเป็น 2 กองเพื่อป้องกันความสูง 2 ชั้น การปลดครั้งแรกมีทหารมากกว่าหน่วยที่สองถึง 6 เท่า กองกำลังชุดแรกมีทหารทั้งหมดกี่นาย ถ้ามีทหารทั้งหมด 200 นาย

เอ็นยา VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, คณิตศาสตร์ ป.5, หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษา

มุมเป็นรูปทรงเรขาคณิตซึ่งประกอบด้วยรังสีที่แตกต่างกัน 2 รังสีที่เล็ดลอดออกมาจากจุดหนึ่ง ในกรณีนี้ รังสีเหล่านี้เรียกว่าด้านของมุม จุดที่เป็นจุดเริ่มต้นของรังสีเรียกว่าจุดยอดของมุม ในภาพ คุณสามารถเห็นมุมที่มีจุดยอดที่จุด อและฝ่าย เคและ ม.

จุด A และ C ถูกทำเครื่องหมายที่ด้านข้างของมุม มุมนี้สามารถกำหนดเป็นมุม AOC ตรงกลางจะต้องเป็นชื่อของจุดที่จุดยอดมุมตั้งอยู่ นอกจากนี้ยังมีการกำหนดอื่น ๆ มุม O หรือมุม km ในรูปทรงเรขาคณิต แทนที่จะเป็นมุมของคำ มักจะเขียนไอคอนพิเศษ

มุมหมุนและไม่หมุน

ถ้าด้านทั้งสองของมุมอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จะเรียกว่ามุมดังกล่าว ปรับใช้มุม. นั่นคือด้านหนึ่งของมุมคือความต่อเนื่องของอีกด้านหนึ่งของมุม รูปด้านล่างแสดงมุม O

ควรสังเกตว่ามุมใด ๆ จะแบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน หากมุมไม่ขยาย ส่วนใดส่วนหนึ่งจะเรียกว่าส่วนในของมุม ส่วนอีกส่วนคือส่วนนอกของมุมนี้ ภาพด้านล่างแสดงมุมที่ไม่เรียบและทำเครื่องหมายบริเวณด้านนอกและด้านในของมุมนี้

ในกรณีของมุมที่พัฒนาแล้ว ส่วนใดๆ ในสองส่วนที่ใช้แบ่งระนาบจะถือว่าเป็นพื้นที่รอบนอกของมุม เราสามารถพูดถึงตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กับมุมได้ จุดอาจอยู่นอกมุม (ในบริเวณด้านนอก) อาจอยู่ด้านใดด้านหนึ่ง หรืออาจอยู่ในมุม (ในบริเวณด้านใน)

ในรูปด้านล่าง จุด A อยู่นอกมุม O จุด B อยู่ด้านหนึ่งของมุม และจุด C อยู่ด้านในมุม

การวัดมุม

ในการวัดมุม มีอุปกรณ์ที่เรียกว่าไม้โปรแทรกเตอร์ หน่วยของมุมคือ ระดับ. ควรสังเกตว่าแต่ละมุมมีการวัดระดับหนึ่งซึ่งมีค่ามากกว่าศูนย์

มุมแบ่งออกเป็นหลายกลุ่มขึ้นอยู่กับการวัดระดับ

วัดมุม

มุมในวัดเป็นองศา (องศา, นาที, วินาที) เป็นรอบ - อัตราส่วนของความยาวส่วนโค้ง s ต่อเส้นรอบวง L ในเรเดียน - อัตราส่วนของความยาวส่วนโค้ง s ต่อรัศมี r; ในอดีตยังใช้การวัดมุมลูกเห็บซึ่งปัจจุบันแทบไม่เคยใช้เลย

1 รอบ = 2π เรเดียน = 360° = 400 องศา

ในคำศัพท์เกี่ยวกับการเดินเรือ มุมจะถูกระบุด้วยจุด

ประเภทมุม

มุมที่อยู่ติดกันคือมุมแหลม (a) และมุมป้าน (b) มุมกลับ (c)

นอกจากนี้ยังพิจารณามุมระหว่างเส้นโค้งเรียบที่จุดสัมผัส: ตามคำนิยาม ค่าของมันจะเท่ากับมุมระหว่างเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2553 .

ดูว่า "มุมที่พัฒนา" คืออะไรในพจนานุกรมอื่น ๆ :

มุมที่เท่ากับสองมุมฉาก * SCAN ของพื้นผิวเป็นตัวเลขที่ได้มาในระนาบเมื่อจุดของพื้นผิวที่กำหนดรวมกับระนาบนี้ในลักษณะที่ความยาวของเส้นยังคงไม่เปลี่ยนแปลง การพัฒนาเส้นโค้งดู Involute ... พจนานุกรมสารานุกรมเล่มใหญ่

มุม- ▲ ความแตกต่างของทิศทาง (ในอวกาศ) ขอบเขตของการหมุนจากทิศทางหนึ่งไปยังอีกทิศทางหนึ่ง ความแตกต่างของทิศทาง ส่วนหนึ่งของการเลี้ยวเต็ม (tilt #. form #) ทางลาด. เอียง เบี่ยงเบน เบี่ยงออก (ถนนเบี่ยงไปทางขวา) ... ...

มุม- มุม: 1 มุมมองทั่วไป; 2 ติดกัน; 3 ติดกัน; 4 แนวตั้ง; 5 ปรับใช้; 6 ตรง คมและทื่อ; 7 ระหว่างเส้นโค้ง; 8 ระหว่างเส้นตรงกับระนาบ 9 ระหว่างเส้นตรงตัดกัน (ไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน) เส้นตรง ANGLE เรขาคณิต… … พจนานุกรมสารานุกรมภาพประกอบ

รูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยลำแสงที่แตกต่างกัน 2 ลำที่เล็ดลอดออกมาจากจุดเดียวกัน เรย์โทรมา ด้านข้าง U. และจุดเริ่มต้นทั่วไปคือจุดยอด U. ให้ [ BA), [ BC) ด้านข้างของมุม, B จุดสุดยอด, ระนาบที่กำหนดโดยด้านข้าง U. รูปแบ่งระนาบ ... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

มุมที่เท่ากับสองมุมฉาก * * * มุมเปิดเผย มุมที่เท่ากับสองมุมฉาก ... พจนานุกรมสารานุกรม

สาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาคุณสมบัติของรูปทรงต่างๆ (จุด เส้น มุม วัตถุสองมิติและสามมิติ) ขนาดและตำแหน่งสัมพัทธ์ เพื่อความสะดวกในการสอน เรขาคณิตจะแบ่งออกเป็นรูปทรงเรขาคณิตและรูปทรงเรขาคณิตทึบ ที่… … สารานุกรมถ่านหิน

1) เส้นหักแบบปิด กล่าวคือ: ถ้าจุดต่างๆ กัน ไม่มีสามจุดติดต่อกันอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จะเรียกว่าเซตของส่วน รูปหลายเหลี่ยม (ดูรูปที่ 1) ม. สามารถเป็นเชิงพื้นที่หรือแนวราบ (ด้านล่าง ... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

ข้าม- ▲ ที่มุมสูงสุด มุมเอียงตามขวาง ขวางเป็นมุมฉาก . มุมฉากของการโก่งตัวสูงสุด มุมเท่ากับมุมที่อยู่ติดกัน รอบไตรมาส ตั้งฉาก ตั้งฉากเป็นมุมฉาก ตั้งฉาก ... ... พจนานุกรมเชิงอุดมคติของภาษารัสเซีย

ระดับ- a, m. 1) หน่วยวัดมุมราบเท่ากับ 1/90 ของมุมฉากหรือตามลำดับ 1/360 ของวงกลม มุม 90 องศาเรียกว่ามุมฉาก มุมที่ขยายคือ 180 องศา 2) หน่วยวัดสำหรับช่วงอุณหภูมิที่มี ... ... พจนานุกรมยอดนิยมของภาษารัสเซีย

ทฤษฎีบทของ Schwartz Christoffel ซึ่งเป็นทฤษฎีบทที่สำคัญในทฤษฎีของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน เป็นชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Karl Schwartz และ Alvin Christoffel สิ่งที่สำคัญมากจากมุมมองของการปฏิบัติคือปัญหาของ conformal ... ... Wikipedia