การแปลงสัญญาณ z คืออะไร ผกผัน z-transform

ในการวิเคราะห์และการสังเคราะห์อุปกรณ์แบบแยกส่วนและแบบดิจิทัล สิ่งที่เรียกว่าการแปลง z นั้นถูกใช้อย่างกว้างขวาง ซึ่งมีบทบาทเหมือนกันในส่วนที่เกี่ยวกับสัญญาณแบบไม่ต่อเนื่องเนื่องจากการแปลงอินทิกรัลฟูริเยร์และลาปลาซด้วยความเคารพต่อสัญญาณต่อเนื่อง

ความหมายของ z-transform

อนุญาต เป็นลำดับตัวเลข จำกัด หรืออนันต์ที่มีค่าอ้างอิงของสัญญาณบางอย่าง เราใส่ไว้ในการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับผลรวมของอนุกรมในกำลังลบของตัวแปรเชิงซ้อน z:

เรียกว่าผลรวมนี้ ถ้ามันมีอยู่ การแปลง z ของลำดับ ความได้เปรียบของการแนะนำวัตถุทางคณิตศาสตร์นั้นสัมพันธ์กับความจริงที่ว่าคุณสมบัติของลำดับตัวเลขที่ไม่ต่อเนื่องสามารถศึกษาได้โดยการศึกษาการแปลง z ของพวกมันโดยใช้วิธีปกติของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ในวิชาคณิตศาสตร์ การแปลง z เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันการกำเนิดของลำดับดั้งเดิม

ตามสูตร (1.46) เราสามารถค้นหาการแปลง z ของสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องด้วยจำนวนตัวอย่างที่จำกัดได้โดยตรง ดังนั้น สัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องที่ง่ายที่สุดที่มีตัวอย่างเดียวจึงสอดคล้องกับ ตัวอย่างเช่น ถ้าเช่นนั้น

คอนเวอร์เจนซ์ซีรีส์

หากจำนวนพจน์ในอนุกรม (1.46) มีจำนวนไม่สิ้นสุด ก็จำเป็นต้องตรวจสอบการบรรจบกันของมัน ต่อไปนี้รู้จากทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน ให้สัมประสิทธิ์ของอนุกรมที่พิจารณาเป็นไปตามเงื่อนไข

สำหรับใดๆ ที่นี่และเป็นจำนวนจริงคงที่

จากนั้นอนุกรม (1.46) จะมาบรรจบกันสำหรับค่า z ทั้งหมด ดังนั้น ในพื้นที่ของการบรรจบกันนี้ ผลรวมของอนุกรมเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ของตัวแปร z ซึ่งไม่มีขั้วหรือจุดเอกพจน์

ให้เราพิจารณา ตัวอย่างเช่น สัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องที่เกิดจากตัวอย่างเดียวที่เหมือนกันและทำหน้าที่เป็นแบบจำลองของฟังก์ชันการสลับปกติ แถวที่ไม่มีที่สิ้นสุด

คือผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและการบรรจบกันของ z ใดๆ ในวงแหวน สรุปความคืบหน้าเราได้รับ:

ที่ขอบเขตของอาณาเขตของการวิเคราะห์สำหรับ z = 1ฟังก์ชันนี้มีขั้วเดียว ในทำนองเดียวกัน การแปลง z ของสัญญาณไม่ต่อเนื่องแบบอนันต์จะได้รับ โดยที่ เอเป็นจำนวนจริงบางส่วน ที่นี่:

นิพจน์นี้สมเหตุสมผลในบางพื้นที่วงแหวน

Z-transform ของฟังก์ชันต่อเนื่อง

สมมติว่าการอ่านเป็นค่าของฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด สัญญาณใดๆ สามารถเชื่อมโยงกับการแปลง z ของมันที่ขั้นตอนการสุ่มตัวอย่างที่เลือก:

ตัวอย่างเช่น ถ้า แล้ว z-transform . ที่สอดคล้องกัน

เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์สำหรับ

ผกผัน z-transform

ให้ p-content/image_post/osncifr/pic45_8.gif> เป็นฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน z analytic ในบริเวณวงแหวน คุณสมบัติที่โดดเด่นของการแปลง z คือฟังก์ชันกำหนดคอลเล็กชันตัวอย่างที่ไม่มีที่สิ้นสุดทั้งหมด แน่นอน เราคูณทั้งสองส่วนของอนุกรม (1.46) ด้วยตัวประกอบ :

จากนั้นเราคำนวณอินทิกรัลจากทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกันที่ได้รับ โดยใช้เส้นโค้งปิดตามอำเภอใจซึ่งเป็นเส้นชั้นความสูงแบบบูรณาการซึ่งอยู่ในขอบเขตการวิเคราะห์ทั้งหมดและครอบคลุมขั้วทั้งหมด:

บายพาสของรูปร่างการรวมจะดำเนินการในทิศทางบวกทวนเข็มนาฬิกา

ในการแก้สมการ (1.50) เราใช้ตำแหน่งพื้นฐานตามมาจากทฤษฎีบท Cauchy:

เห็นได้ชัดว่าอินทิกรัลของพจน์ทั้งหมดทางด้านขวาของนิพจน์ (1.50) จะหายไป ยกเว้นเทอมที่มีตัวเลข มนั่นเป็นเหตุผลที่

สูตร (1.51) เรียกว่าผกผัน z-แปลง

ตัวอย่าง

z-transform ของแบบฟอร์มจะได้รับ ค้นหาสัมประสิทธิ์ของสัญญาณไม่ต่อเนื่องที่สอดคล้องกับฟังก์ชันนี้

ก่อนอื่น เรากำหนดว่าฟังก์ชันนี้เป็นการวิเคราะห์ในระนาบทั้งหมด ยกเว้นจุด ดังนั้นมันจึงสามารถแปลงเป็น z-transform ของสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องได้

ก่อนที่จะแก้ปัญหานี้ ให้เรานึกถึงเทคนิคในการแก้ปริพันธ์ของเส้นโค้งโดยใช้ทฤษฎีของสารตกค้างและทฤษฎีบทกาก Cauchy ให้จุดเป็นจุดเอกพจน์แยกของฟังก์ชัน การตกค้างของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่งคือตัวเลขที่แสดงด้วยสัญลักษณ์และกำหนดด้วยความเท่าเทียมกัน:

ในรูปร่าง g เราสามารถนำวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดรัศมีขนาดเล็กเพียงพอ โดยที่วงกลมจะไม่อยู่เกินขอบเขตของการวิเคราะห์ฟังก์ชัน

และไม่มีฟังก์ชันภายในจุดพิเศษอื่นๆ ส่วนที่เหลือของฟังก์ชันมีค่าเท่ากับสัมประสิทธิ์ลบกำลังแรกในการขยายตัวของ Laurent ในบริเวณใกล้เคียงของจุด : สารตกค้างที่จุดเอกพจน์ที่ถอดออกได้มีค่าเท่ากับศูนย์

ถ้าจุดเป็นเสา นลำดับของฟังก์ชัน จากนั้น

ในกรณีของเสาธรรมดา ()

ถ้าฟังก์ชันในบริเวณใกล้เคียงของจุดสามารถแสดงเป็นผลหารของฟังก์ชันวิเคราะห์ได้ 2 ฟังก์ชัน

และ นั่นคือ เป็นขั้วของฟังก์ชันอย่างง่าย แล้ว

เปลี่ยนเป็นสูตร (1.48) เราพบว่า

สำหรับ idth=41 height=19 src=http://electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic46_12.gif> ใด ๆ ดังนั้นสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องดั้งเดิมจึงมีรูปแบบ:

ความสัมพันธ์กับการแปลงลาปลาซและฟูริเยร์

ให้เรากำหนดสัญญาณของรูปแบบของ MIP ในอุดมคติ:

เมื่อแปลงตาม Laplace เราได้ภาพสำหรับค่าคงที่ a และ b คุณสมบัตินี้สามารถพิสูจน์ได้โดยการแทนที่ผลรวมเป็นสูตร (1.46) เป็นลำดับของตัวเลขที่มีพจน์ทั่วไปเท่ากับ:

การบิดแบบแยกส่วนนี้ ตรงกันข้ามกับการบิดแบบวงกลม บางครั้งเรียกว่าการบิดแบบเส้นตรง

มาคำนวณการแปลง z ของการบิดแบบไม่ต่อเนื่องกัน:

การบิดของสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องสองสัญญาณสอดคล้องกับผลคูณของการแปลง z ของพวกมัน

ในการวิเคราะห์และการสังเคราะห์อุปกรณ์แบบแยกส่วนและแบบดิจิทัล สิ่งที่เรียกว่าการแปลง z นั้นถูกใช้อย่างกว้างขวาง ซึ่งมีบทบาทเหมือนกันในส่วนที่เกี่ยวกับสัญญาณแบบไม่ต่อเนื่องเนื่องจากการแปลงฟูริเยร์และลาปลาซอินทิกรัลที่สัมพันธ์กับสัญญาณต่อเนื่อง ส่วนนี้สรุปรากฐานของทฤษฎีการเปลี่ยนแปลงเชิงฟังก์ชันนี้และคุณสมบัติบางประการ

คำนิยาม z -การแปลง อนุญาต เป็นลำดับตัวเลข จำกัด หรืออนันต์ที่มีค่าอ้างอิงของสัญญาณบางอย่าง เราใส่ไว้ในการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับผลรวมของอนุกรมในกำลังลบของตัวแปรเชิงซ้อน z:

เรียกผลรวมนี้ว่า ถ้ามันมีอยู่ z-การแปลงร่างลำดับ (X ถึง }. ความได้เปรียบของการแนะนำวัตถุทางคณิตศาสตร์นั้นสัมพันธ์กับความจริงที่ว่าคุณสมบัติของลำดับตัวเลขที่ไม่ต่อเนื่องสามารถศึกษาได้โดยการศึกษาการแปลง z ของพวกมันโดยใช้วิธีปกติของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ตามสูตร (2.113) เราสามารถค้นหาการแปลง z ของ discrete . ได้โดยตรง สัญญาณที่มีจำนวนตัวอย่างจำกัด ดังนั้นสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องที่ง่ายที่สุดที่มีความสามัคคีสอดคล้องกับการอ่านที่แน่นอน

ถ้า ตัวอย่างเช่น

การบรรจบกันของซีรีส์หากจำนวนพจน์ในอนุกรม (2.113) มีจำนวนไม่สิ้นสุด ก็จำเป็นต้องตรวจสอบการบรรจบกันของมัน ต่อไปนี้รู้จากทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน ให้สัมประสิทธิ์ของอนุกรมที่พิจารณาเป็นไปตามเงื่อนไข

สำหรับใดๆ ที่นี่ ม > 0 และ R 0 > 0 - จำนวนจริงคงที่ จากนั้นอนุกรม (2.113) มาบรรจบกันของค่า z ทั้งหมดจน |z| > R 0 . ในพื้นที่ของการบรรจบกันนี้ ผลรวมของอนุกรมเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ของตัวแปร z ซึ่งไม่มีขั้วหรือจุดเอกพจน์

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องที่เกิดจากตัวอย่างเดียวที่เหมือนกันและทำหน้าที่เป็นแบบจำลองของฟังก์ชันการสลับปกติ อนุกรมอนันต์เป็นผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและการบรรจบกันของ z ใดๆ ในวงแหวน

สรุปความคืบหน้าเราได้รับ

ที่ขอบเขตของโดเมนของการวิเคราะห์สำหรับ z= 1 ฟังก์ชันนี้มีขั้วธรรมดาเพียงขั้วเดียว

ในทำนองเดียวกัน การแปลง z ของสัญญาณไม่ต่อเนื่องแบบอนันต์จะได้รับ โดยที่ ก -จำนวนจริงบางส่วน ที่นี่

นิพจน์นี้เหมาะสมในพื้นที่วงแหวน

z - การแปลงฟังก์ชันต่อเนื่อง สมมติว่าการอ่านเป็นค่าของฟังก์ชันต่อเนื่อง x(t) ที่จุด , สัญญาณใด ๆ x(t) คุณสามารถแมปมันกับการแปลง z ที่อัตราการสุ่มตัวอย่างที่เลือก:

ตัวอย่างเช่น if , จากนั้น z-transform ที่สอดคล้องกัน

.

เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์สำหรับ .

ย้อนกลับz-การแปลงอนุญาต X(z) เป็นฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน z วิเคราะห์ในบริเวณวงแหวน |z| > R 0 . คุณสมบัติที่โดดเด่นของการแปลง z คือฟังก์ชัน X(z) กำหนดกลุ่มตัวอย่างที่ไม่มีที่สิ้นสุดทั้งหมด

แน่นอน เราคูณทั้งสองส่วนของอนุกรม (2.113) ด้วยตัวประกอบ :

. (2.115)

จากนั้นเราคำนวณอินทิกรัลของทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกันที่เป็นผลลัพธ์ โดยใช้เส้นโค้งปิดตามอำเภอใจซึ่งเป็นเส้นโค้งปิดตามอำเภอใจซึ่งอยู่ในขอบเขตของการวิเคราะห์และห่อหุ้มขั้วทั้งหมดของฟังก์ชัน X(ซ). ในกรณีนี้ เราใช้ตำแหน่ง –fundamental ต่อจากทฤษฎีบท Cauchy:

.

เห็นได้ชัดว่าอินทิกรัลของเงื่อนไขทั้งหมดทางด้านขวาจะหายไป ยกเว้นเทอมที่มีตัวเลข เสื้อนั่นเป็นเหตุผล

สูตรนี้เรียกว่า ย้อนกลับ z -การแปลงร่าง .

การเชื่อมต่อกับ Laplace และ Fourier transforms . ให้เรากำหนดสัญญาณของรูปแบบของ MIP ในอุดมคติ:

.

แปลงตาม Laplace เราจะได้ภาพ

ซึ่งไปที่การแปลง z โดยตรงหากเราทำการเปลี่ยนตัว ถ้าเราใส่ แล้วนิพจน์

กลับไปที่สูตรการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องกัน:

ในทฤษฎีระบบที่ไม่ต่อเนื่อง เป็นเรื่องปกติที่จะใช้รูปแบบสัญกรณ์ที่แตกต่างกันเล็กน้อยที่เกี่ยวข้องกับการแนะนำการแปลงรูปตัว Z มาทำการแทนที่ต่อไปนี้:

.

จากนั้นสูตรข้างต้นจะง่ายขึ้นอย่างมาก:

.

ฟังก์ชันที่ได้รับใหม่ X(z) ของตัวแปร z เรียกว่า Z-image หรือ Z-image ของสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่อง x(k)

การแปลงรูปตัวซีสำหรับสัญญาณและระบบที่ไม่ต่อเนื่องมีบทบาทเหมือนกับการแปลงแบบลาปลาซสำหรับระบบแอนะล็อก ดังนั้น ลองพิจารณาตัวอย่างจำนวนหนึ่งในการกำหนดภาพ Z ของสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องทั่วไป

1.แรงกระตุ้นเดียว(รูปที่ 9.14) เป็นอะนาล็อกที่ไม่ต่อเนื่องของแรงกระตุ้น δ และเป็นรายงานเดียวที่มีค่าเดียว:

Z - การเปลี่ยนแปลงของแรงกระตุ้นเดียวพบเป็น

สำหรับโมเมนตัม δ - Dirac

2. กระโดดเดี่ยวแบบไม่ต่อเนื่อง(รูปที่ 9.15) เป็นอะนาล็อกที่สมบูรณ์ของฟังก์ชันการรวมเฮวิไซด์:

Z - ภาพของหน่วยกระโดดสามารถพบได้เป็น

ผลรวมที่เป็นผลลัพธ์คือผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์โดยเทอมเริ่มต้นเท่ากับ 1 และตัวส่วน
. ผลรวมของเงื่อนไขของซีรีส์คือ:

.

3. เลขชี้กำลังแบบไม่ต่อเนื่อง(รูปที่ 9.16) เป็นสัญญาณที่กำหนดโดยนิพจน์:

ที่
เลขชี้กำลังไม่ต่อเนื่องลดลง (รูปที่ 9.16) เมื่อ
- เพิ่มขึ้นที่
- alternating.Z - ภาพของเลขชี้กำลังดังกล่าว

ในกรณีก่อนหน้านี้ เราได้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีเทอมศูนย์เท่ากับหนึ่ง แต่ด้วยตัวส่วน
. ผลรวมอนันต์ของเงื่อนไขของความก้าวหน้ากำหนด Z - ภาพของเลขชี้กำลัง:

4. ฮาร์มอนิกชุบแข็งแบบแยกส่วน. ตรงกันข้ามกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราเขียนในรูปแบบทั่วไป:

G de α – ปัจจัยการทำให้หมาด ๆ ฮาร์มอนิก,

ωคือความถี่ฮาร์มอนิก

φ เป็นเฟสเริ่มต้นของการแกว่ง

- ระยะเวลาสุ่มตัวอย่าง

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้:

รูปที่ 9.17 แสดงกราฟของฮาร์มอนิกแดมเปอร์แบบไม่ต่อเนื่องพร้อมข้อมูลต่อไปนี้: a=0.9,
, φ=π/9. โดยคำนึงถึงสัญกรณ์ที่ยอมรับ นิพจน์สำหรับฮาร์มอนิกแบบแดมเปอร์ที่ไม่ต่อเนื่องสามารถแสดงเป็น:

.

เมื่อได้ภาพ Z ของฮาร์มอนิก ฟังก์ชันโคไซน์ควรแสดงผ่านผลรวมของเลขชี้กำลังเชิงซ้อนสองตัว จากนั้น เมื่อทำการแปลงพีชคณิตและตรีโกณมิติจำนวนหนึ่งแล้ว ในท้ายที่สุด จะได้รับนิพจน์ต่อไปนี้:

.

จากตัวอย่างข้างต้น จะเห็นได้ว่า Z - ภาพของสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องส่วนใหญ่เป็นฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนของตัวแปร
. ที่มาของการแปลง Z จากการแปลง Laplace และ Fourier นำไปสู่ความจริงที่ว่า Z-transform มีคุณสมบัติคล้ายกัน

1. ความเป็นลิเนียร์

Z - การแปลงเป็นเส้นตรง ดังนั้นหากมีสัญญาณสองตัว แสดงว่าผลรวมของสัญญาณเหล่านี้
มี Z-image
.

2. การหน่วงเวลาสัญญาณแบบไม่ต่อเนื่อง.

ถ้าสัญญาณไม่ต่อเนื่อง x(k) ที่มี Z เป็นภาพของ X(z) ให้หน่วงเวลาโดย m ขั้นตอนการสุ่มตัวอย่าง
จากนั้นสัญญาณล่าช้า y(k)=x(k-m) มี Z - ภาพ
. การแสดงออก
สามารถคิดได้ว่าเป็นตัวดำเนินการหน่วงสัญญาณด้วยขั้นตอนการสุ่มตัวอย่างหนึ่งขั้นตอน

3. การบิดของสัญญาณไม่ต่อเนื่อง.

โดยเปรียบเทียบกับการบิดของสัญญาณแอนะล็อก

,

ฟูริเยร์ - ภาพที่เท่ากับผลคูณของฟูริเยร์ - ภาพของสัญญาณที่ซับซ้อน การบิดของสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องสองสัญญาณถูกกำหนดเป็น

.

Z - รูปภาพของการบิดของสัญญาณสองสัญญาณเท่ากับผลคูณของ Z - ภาพของสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องดั้งเดิม

4. การคูณด้วยเลขชี้กำลังไม่ต่อเนื่อง.

ถ้าสัญญาณไม่ต่อเนื่อง
, มี Z-image
, คูณด้วยเลขชี้กำลัง
จากนั้น Z - รูปภาพของผลิตภัณฑ์จะอยู่ในรูปแบบ
.

คุณสมบัติที่พิจารณาแล้วของการแปลงรูปตัว Z ทำให้ในหลายกรณีสามารถค้นหาภาพ Z ของสัญญาณที่กำหนดหรือแก้ปัญหาผกผันได้ในหลายกรณี โดยใช้ภาพ Z ที่รู้จักของสัญญาณเพื่อค้นหาการแทนค่าในเวลา

Z-transform ส่วนใหญ่จะใช้ในการคำนวณตัวกรองแบบแยกส่วน เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ของการแปลง z มีบทบาทเดียวกันกับอุปกรณ์ดิจิทัลเช่นเดียวกับวงจรแอนะล็อก การใช้ z-transform ตัวกรองความถี่ ตัวแก้ไขเฟส หรือการแปลง Hilbert สามารถคำนวณได้ง่ายสำหรับการใช้งานในรูปแบบดิจิทัล มาแยกแนวคิดของตัวกรองแบบแยกและตัวกรองดิจิทัลทันที ในตัวกรองแบบแยกส่วน การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นจะไม่ต่อเนื่องในเวลา แต่ตัวอย่างสัญญาณและพารามิเตอร์ตัวกรองสามารถรับค่าใดก็ได้ ในตัวกรองดิจิทัล ทั้งตัวอย่างสัญญาณและพารามิเตอร์ตัวกรอง (เช่น ค่าสัมประสิทธิ์) จะแสดงด้วยเลขฐานสองของความจุที่แน่นอน ตัวอย่างของตัวกรองแบบแยกส่วนคือตัวกรองตัวเก็บประจุแบบสวิตช์

เมื่อพิจารณาการสุ่มตัวอย่างสัญญาณ เราพบว่าสเปกตรัมของสัญญาณอนาล็อกอินพุต เมื่อแปลงเป็นรูปแบบที่ไม่ต่อเนื่อง จะทำซ้ำตามแกนความถี่เป็นจำนวนไม่สิ้นสุด สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นกับการตอบสนองความถี่ของตัวกรองแบบแยกส่วน ตัวอย่างของการเปลี่ยนลักษณะแอมพลิจูด-ความถี่ของฟิลเตอร์กรองความถี่ต่ำระหว่างการใช้งานแบบไม่ต่อเนื่องแสดงไว้ในรูปที่ 1

รูปที่ 1 ตัวอย่างการตอบสนองความถี่ของตัวกรองแบบแยกส่วน

ในตัวอย่างที่แสดง อัตราสุ่มตัวอย่างคือ 50 kHz ดังนั้นจึงมีการสร้าง passband อีกสองตัวของตัวกรองแบบไม่ต่อเนื่องใกล้กับความถี่นี้ ตัวกรองแบบไม่ต่อเนื่อง เช่น ตัวกรองตัวเก็บประจุแบบสวิตช์หรือตัวกรองดิจิทัล จะต้องใช้ตัวกรองป้องกันรอยหยักแบบแอนะล็อกเพื่อตัดส่วนประกอบความถี่สูงของสัญญาณอินพุตเพื่อให้ทำงานได้อย่างถูกต้อง การตอบสนองความถี่ในอุดมคติจะแสดงเป็นสีแดงในรูปที่ 1

หากมีลักษณะการถ่ายโอนตัวกรองอนาล็อก ชม(ส) ในรูปของศูนย์และขั้วของตัวกรองจากนั้นในศูนย์กรองแบบแยกและเสาจะทำซ้ำเป็นระยะด้วยระยะเวลา 1/ ตู่โดยที่ T คือระยะเวลาสุ่มตัวอย่าง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวกรองถูกทำซ้ำในลักษณะนี้ดังแสดงในรูปที่ 1 ตำแหน่งของศูนย์และขั้วบนแกนความถี่ s-plane สำหรับตัวกรองแบบธรรมดาและแบบแยกแสดงในรูปที่ 2

รูปที่ 2 การทำซ้ำของศูนย์และเสาบนระนาบ s เป็นระยะ

ที่ตัวกรองแบบแยกส่วน เราจะเห็นเลขศูนย์และขั้วจำนวนอนันต์ ซึ่งไม่สะดวกในการใช้งาน แทนที่จะใช้ศูนย์และขั้วซ้ำกันไม่รู้จบบนแกนความถี่อนันต์ คุณสามารถแปลงแกนนี้เป็นวงแหวนได้ (ใช้ระบบพิกัดเชิงขั้วแทนแกนคาร์ทีเซียน) การแปลงดังกล่าวแสดงในรูปที่ 3

รูปที่ 3 การแปลงระนาบ s เชิงซ้อนเป็นระนาบ z เชิงซ้อน

ในการแปลงนี้ ความถี่ศูนย์จะอยู่ที่ตำแหน่งของจุด +1 บนแกนระนาบ z จริง ความถี่เท่ากับ ∞ จะถูกแปลงเป็นจุด -1 บนแกนระนาบ z จริง และแกนความถี่จะถูกแปลง เป็นวงกลมรัศมีหน่วย เมื่อความถี่เพิ่มขึ้น เราจะเคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกาเป็นวงกลม ซึ่งจะทำให้ทราบลักษณะเฉพาะของแอมพลิจูด-ความถี่ซ้ำที่ไม่ต่อเนื่องของตัวกรองแบบแยกส่วน

ในทางคณิตศาสตร์ การทำแผนที่จากระนาบ s เชิงซ้อนกับระนาบ z เชิงซ้อนทำได้ดังนี้:

Z = e s T (1)

โดยที่ s = σ + jω

จากนั้นการแปลง Laplace ของสัญญาณแบบไม่ต่อเนื่องจะเข้าสู่การแปลง z:

(2)

เมื่อผ่านจากระนาบ s เชิงซ้อนไปยังระนาบ z เชิงซ้อน ค่าศูนย์และขั้วที่ซ้ำกันอย่างไม่สิ้นสุดทั้งหมดในระนาบ s จะถูกจับคู่กับศูนย์และเสาจำนวนจำกัดในระนาบ z จากนั้นนิพจน์สำหรับลักษณะการถ่ายโอนของตัวกรองแบบไม่ต่อเนื่องสามารถแสดงได้ดังนี้:

(3)