เศษส่วนทศนิยมคาบไม่สิ้นสุดหมายความว่าอย่างไร ทศนิยม คำจำกัดความ สัญกรณ์ ตัวอย่าง การดำเนินการกับทศนิยม

เข้าแล้ว โรงเรียนประถมศึกษานักเรียนพบเศษส่วน แล้วมันก็ปรากฏอยู่ในทุกหัวข้อ คุณไม่สามารถลืมการกระทำกับตัวเลขเหล่านี้ได้ ดังนั้นคุณจำเป็นต้องรู้ข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับเรื่องธรรมดาและ ทศนิยม- แนวคิดเหล่านี้ไม่ซับซ้อน สิ่งสำคัญคือการเข้าใจทุกอย่างตามลำดับ

เหตุใดจึงต้องมีเศษส่วน?

โลกรอบตัวเราประกอบด้วยวัตถุทั้งหมด จึงไม่จำเป็นต้องมีหุ้น แต่ ชีวิตประจำวันผลักดันให้ผู้คนทำงานกับชิ้นส่วนของวัตถุและสิ่งของต่างๆ อย่างต่อเนื่อง

เช่น ช็อกโกแลตประกอบด้วยหลายชิ้น พิจารณาสถานการณ์ที่กระเบื้องของเขาประกอบด้วยสี่เหลี่ยมสิบสองอัน ถ้าคุณแบ่งเป็นสองส่วนคุณจะได้ 6 ส่วน สามารถแบ่งออกได้เป็นสามอย่างง่ายๆ แต่เป็นไปไม่ได้ที่จะให้ช็อกโกแลตชิ้นจำนวนเต็มแก่คนห้าคน

อย่างไรก็ตาม ชิ้นเหล่านี้เป็นเศษส่วนอยู่แล้ว และการหารเพิ่มเติมนำไปสู่การปรากฏของจำนวนเชิงซ้อนมากขึ้น

"เศษส่วน" คืออะไร?

นี่คือตัวเลขที่ประกอบด้วยส่วนต่างๆ ของหน่วย ภายนอกดูเหมือนตัวเลขสองตัวคั่นด้วยแนวนอนหรือเครื่องหมายทับ คุณลักษณะนี้เรียกว่าเศษส่วน ตัวเลขที่เขียนไว้ด้านบน (ซ้าย) เรียกว่าตัวเศษ สิ่งที่อยู่ล่างสุด (ขวา) คือตัวส่วน

โดยพื้นฐานแล้ว เครื่องหมายทับกลายเป็นสัญลักษณ์แห่งการแบ่งแยก นั่นคือ ตัวเศษสามารถเรียกว่าเงินปันผล และตัวส่วนสามารถเรียกว่าตัวหารได้

มีเศษส่วนอะไรบ้าง?

ในทางคณิตศาสตร์มีเพียงสองประเภทเท่านั้น: เศษส่วนสามัญและทศนิยม เด็กนักเรียนพบกันครั้งแรกใน โรงเรียนประถมศึกษาเรียกมันว่า "เศษส่วน" ส่วนหลังจะเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 นั่นคือเมื่อชื่อเหล่านี้ปรากฏขึ้น

เศษส่วนร่วมคือเศษส่วนที่เขียนเป็นตัวเลขสองตัวคั่นด้วยเส้นตรง เช่น 4/7 ทศนิยมคือตัวเลขที่เศษส่วนมีสัญลักษณ์แสดงตำแหน่งและแยกออกจากจำนวนเต็มด้วยลูกน้ำ ตัวอย่างเช่น 4.7 นักเรียนต้องเข้าใจอย่างชัดเจนว่าตัวอย่างทั้งสองที่ให้มานั้นเป็นตัวเลขที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง

ทั้งหมด เศษส่วนอย่างง่ายสามารถเขียนเป็นทศนิยมได้ ข้อความนี้มักจะเป็นจริงเสมอใน ทิศทางย้อนกลับ- มีกฎหลายข้อที่ให้คุณเขียนเศษส่วนทศนิยมเป็นเศษส่วนธรรมดาได้

เศษส่วนประเภทนี้มีชนิดย่อยอะไรบ้าง?

เริ่มกันเลยดีกว่า ตามลำดับเวลาขณะที่พวกเขากำลังศึกษาอยู่ อันดับแรกเลยไป เศษส่วนทั่วไป- ในหมู่พวกเขาสามารถแยกแยะได้ 5 ชนิดย่อย

ถูกต้อง. ตัวเศษจะน้อยกว่าตัวส่วนเสมอ.

ผิด. ตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน.

ลดได้/ลดไม่ได้. มันอาจจะกลายเป็นว่าถูกหรือผิด สิ่งสำคัญอีกประการหนึ่งคือตัวเศษและส่วนมีตัวประกอบร่วมกันหรือไม่ หากมีก็จำเป็นต้องหารเศษส่วนทั้งสองส่วนด้วยนั่นคือลดขนาดลง

ผสม จำนวนเต็มถูกกำหนดให้กับเศษส่วนปกติ (ผิดปกติ) ตามปกติ ยิ่งไปกว่านั้นมันยังอยู่ทางซ้ายเสมอ

คอมโพสิต มันเกิดจากเศษส่วนสองส่วนที่หารกัน นั่นคือประกอบด้วยเส้นเศษส่วนสามเส้นพร้อมกัน

เศษส่วนทศนิยมมีเพียงสองประเภทย่อย:

ขอบเขต นั่นคือ ส่วนที่จำกัด (มีจุดจบ);

อนันต์ - ตัวเลขที่ตัวเลขหลังจุดทศนิยมไม่สิ้นสุด (สามารถเขียนได้ไม่รู้จบ)

วิธีแปลงเศษส่วนทศนิยมให้เป็นเศษส่วนร่วม?

หากสิ่งนี้ หมายเลขสุดท้ายจากนั้นจะใช้การเชื่อมโยงตามกฎ - ตามที่ฉันได้ยินดังนั้นฉันจึงเขียน นั่นคือคุณต้องอ่านให้ถูกต้องและจดไว้ แต่ไม่มีลูกน้ำ แต่มีแถบเศษส่วน

เพื่อเป็นการบอกใบ้เกี่ยวกับตัวส่วนที่ต้องการ คุณต้องจำไว้ว่ามันจะเป็นศูนย์หนึ่งตัวและหลายตัวเสมอ คุณต้องเขียนหลังให้มากที่สุดเนื่องจากมีตัวเลขอยู่ในเศษส่วนของตัวเลขที่ต้องการ

วิธีแปลงเศษส่วนทศนิยมเป็นเศษส่วนสามัญถ้า ทั้งส่วนขาดไป นั่นคือ เท่ากับศูนย์ใช่ไหม? เช่น 0.9 หรือ 0.05 หลังจากใช้กฎที่ระบุแล้วปรากฎว่าคุณต้องเขียนจำนวนเต็มเป็นศูนย์ แต่มันไม่ได้ระบุไว้ สิ่งที่เหลืออยู่คือการเขียนเศษส่วนลงไป ตัวเลขตัวแรกจะมีส่วนเป็น 10 ส่วนตัวที่สองจะมีส่วนเป็น 100 นั่นคือตัวอย่างที่ให้มาจะมีตัวเลขเป็นคำตอบดังนี้ 9/10, 5/100 ยิ่งไปกว่านั้น ปรากฎว่าอันหลังสามารถลดลงได้ 5 ดังนั้น ผลลัพธ์จึงต้องเขียนเป็น 1/20

คุณจะแปลงเศษส่วนทศนิยมให้เป็นเศษส่วนธรรมดาได้อย่างไรหากจำนวนเต็มแตกต่างจากศูนย์? ตัวอย่างเช่น 5.23 หรือ 13.00108 ในทั้งสองตัวอย่าง ส่วนทั้งหมดจะถูกอ่านและค่าของมันจะถูกเขียน ในกรณีแรกคือ 5 ในกรณีที่สองคือ 13 จากนั้นคุณต้องไปยังส่วนที่เป็นเศษส่วน ควรดำเนินการแบบเดียวกันกับพวกเขา หมายเลขแรกปรากฏ 23/100 หมายเลขที่สอง - 108/100000 ค่าที่สองจะต้องลดลงอีกครั้ง คำตอบจะได้เศษส่วนคละดังนี้ 5 23/100 และ 13 27/25000

วิธีแปลงเศษส่วนทศนิยมอนันต์ให้เป็นเศษส่วนธรรมดา?

หากไม่เป็นระยะ การดำเนินการดังกล่าวจะไม่สามารถทำได้ ข้อเท็จจริงนี้เกิดจากการที่เศษส่วนทศนิยมแต่ละส่วนจะถูกแปลงเป็นเศษส่วนจำกัดหรือเศษส่วนเป็นคาบเสมอ

สิ่งเดียวที่คุณทำได้กับเศษส่วนแบบนั้นคือการปัดเศษมัน แต่ทศนิยมจะเท่ากับอนันต์นั้นโดยประมาณ. ก็สามารถเปลี่ยนเป็นแบบธรรมดาได้แล้ว แต่กระบวนการย้อนกลับ: การแปลงเป็นทศนิยมจะไม่ให้ ค่าเริ่มต้น- นั่นก็คือไม่มีที่สิ้นสุด เศษส่วนที่ไม่ใช่คาบจะไม่ถูกแปลงเป็นคนธรรมดา สิ่งนี้จะต้องมีการจดจำ

จะเขียนเศษส่วนคาบไม่สิ้นสุดให้เป็นเศษส่วนธรรมดาได้อย่างไร?

ในตัวเลขเหล่านี้ จะมีตัวเลขหนึ่งหรือหลายหลักอยู่หลังจุดทศนิยมที่ซ้ำกันเสมอ พวกเขาเรียกว่าช่วงเวลา ตัวอย่างเช่น 0.3(3) ที่นี่ "3" อยู่ในช่วง พวกมันถูกจัดประเภทเป็นตรรกยะเพราะสามารถแปลงเป็นเศษส่วนสามัญได้

ผู้ที่เคยพบเศษส่วนคาบจะรู้ว่าสามารถบริสุทธิ์หรือผสมได้ ในกรณีแรก จุดจะเริ่มต้นทันทีจากลูกน้ำ ในส่วนที่สอง เศษส่วนจะเริ่มต้นด้วยตัวเลขจำนวนหนึ่ง จากนั้นจึงเริ่มการทำซ้ำ

กฎที่คุณต้องเขียนทศนิยมอนันต์เป็นเศษส่วนธรรมดาจะแตกต่างกันสำหรับตัวเลขทั้งสองประเภทที่ระบุ การเขียนเศษส่วนคาบล้วนๆ เป็นเศษส่วนธรรมดานั้นค่อนข้างง่าย เช่นเดียวกับจำนวนที่มีจำกัด พวกมันจะต้องถูกแปลง โดยเขียนจุดในตัวเศษ แล้วตัวส่วนจะเป็นเลข 9 ทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งตามจำนวนหลักที่มีอยู่ในตัวเศษ

ตัวอย่างเช่น 0,(5) ตัวเลขนั้นไม่มีส่วนจำนวนเต็ม ดังนั้นคุณต้องเริ่มด้วยเศษส่วนทันที เขียน 5 เป็นตัวเศษและ 9 เป็นตัวส่วน นั่นคือคำตอบจะเป็นเศษส่วน 5/9

กฎเกี่ยวกับวิธีการเขียนเศษส่วนคาบทศนิยมธรรมดาที่ผสมกัน

ดูที่ความยาวของช่วงเวลา นั่นคือจำนวน 9 ที่ตัวส่วนจะมีได้.

เขียนตัวส่วน: เก้าแรกตามด้วยศูนย์

ในการหาตัวเศษ คุณต้องเขียนผลต่างของตัวเลขสองตัวลงไป ตัวเลขทั้งหมดหลังจุดทศนิยมจะถูกย่อให้เล็กลงพร้อมกับจุด นำไปหักลดหย่อนได้ - ไม่มีระยะเวลา

ตัวอย่างเช่น 0.5(8) - เขียนเศษส่วนทศนิยมเป็นงวดเป็นเศษส่วนร่วม ส่วนที่เป็นเศษส่วนก่อนจุดจะมีหนึ่งหลัก ดังนั้นจะมีศูนย์หนึ่งตัว ในช่วงนี้ยังมีตัวเลขเพียงตัวเดียว - 8 นั่นคือมีเพียงเก้าตัวเท่านั้น นั่นคือคุณต้องเขียน 90 ในตัวส่วน.

ในการหาตัวเศษ คุณต้องลบ 5 จาก 58 จะได้ 53 ตัวอย่างเช่น คำตอบจะต้องเขียนเป็น 53/90

เศษส่วนแปลงเป็นทศนิยมได้อย่างไร?

มากที่สุด ตัวเลือกง่ายๆกลายเป็นจำนวนที่ตัวส่วนประกอบด้วยเลข 10, 100 เป็นต้น จากนั้นตัวส่วนจะถูกละทิ้งและวางลูกน้ำระหว่างเศษส่วนและจำนวนเต็ม

มีบางสถานการณ์ที่ตัวส่วนเปลี่ยนเป็น 10, 100 เป็นต้น เช่น ตัวเลข 5, 20, 25 ก็เพียงพอที่จะคูณด้วย 2, 5 และ 4 ตามลำดับ คุณเพียงแค่ต้องคูณไม่เพียงแต่ตัวส่วนเท่านั้น แต่ยังต้องคูณตัวเศษด้วยจำนวนเดียวกันด้วย

สำหรับกรณีอื่นๆ ทั้งหมด กฎง่ายๆ ก็มีประโยชน์: หารตัวเศษด้วยตัวส่วน ในกรณีนี้ คุณอาจได้คำตอบที่เป็นไปได้สองคำตอบ: เศษส่วนทศนิยมที่มีขอบเขตจำกัดหรือเป็นงวด

การดำเนินการกับเศษส่วนสามัญ

การบวกและการลบ

นักเรียนจะคุ้นเคยกับพวกเขาเร็วกว่าคนอื่นๆ และอย่างแรกสำหรับเศษส่วน ตัวส่วนเดียวกันแล้วแตกต่างออกไป กฎทั่วไปสามารถลดขนาดลงเป็นแผนดังกล่าวได้

ค้นหาตัวส่วนร่วมที่น้อยที่สุด.

เขียนตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับเศษส่วนสามัญทั้งหมด

คูณตัวเศษและส่วนด้วยตัวประกอบที่ระบุไว้

บวก (ลบ) ตัวเศษของเศษส่วนและปล่อยให้ตัวส่วนร่วมไม่เปลี่ยนแปลง

ถ้าตัวเศษของ minuend น้อยกว่า subtrahend เราก็ต้องหาก่อนเรา หมายเลขผสมหรือเศษส่วนแท้.

ในกรณีแรกคุณต้องยืมมาหนึ่งอันจากทั้งหมด บวกตัวส่วนเข้ากับตัวเศษของเศษส่วน. แล้วทำการลบ.

ประการที่สองจำเป็นต้องใช้กฎการลบ จำนวนที่น้อยกว่ามากกว่า. นั่นคือจากโมดูลของ subtrahend ให้ลบโมดูลของ minuend และใส่เครื่องหมาย "-" ในการตอบสนอง

ดูผลลัพธ์ของการบวก (การลบ) อย่างละเอียด หากคุณได้เศษส่วนเกิน คุณจะต้องเลือกเศษส่วนทั้งหมด นั่นคือหารตัวเศษด้วยตัวส่วน.

การคูณและการหาร

ในการดำเนินการนี้ ไม่จำเป็นต้องลดเศษส่วนลง ตัวส่วนร่วม- ทำให้ง่ายต่อการดำเนินการ แต่พวกเขายังต้องการให้คุณปฏิบัติตามกฎ

เมื่อคูณเศษส่วน ต้องดูตัวเลขในตัวเศษและส่วนด้วย ถ้าตัวเศษและตัวส่วนมีตัวประกอบร่วมก็สามารถลดได้

คูณตัวเศษ.

คูณตัวส่วน.

ถ้าผลลัพธ์เป็นเศษส่วนที่ลดได้ ก็จะต้องทำให้ง่ายขึ้นอีกครั้ง

เมื่อทำการหาร คุณต้องแทนที่การหารด้วยการคูณ และแทนที่ตัวหาร (เศษส่วนที่สอง) ด้วยเศษส่วนกลับ (สลับตัวเศษและตัวส่วน)

จากนั้นดำเนินการเช่นเดียวกับการคูณ (เริ่มจากจุดที่ 1)

ในงานที่คุณต้องคูณ (หาร) ด้วยจำนวนเต็ม ค่าหลังควรเขียนในรูปแบบ เศษส่วนเกิน- นั่นคือ โดยมีตัวส่วนเป็น 1 จากนั้นให้ทำตามที่อธิบายไว้ข้างต้น



การดำเนินการที่มีทศนิยม

การบวกและการลบ

แน่นอน คุณสามารถแปลงทศนิยมให้เป็นเศษส่วนได้เสมอ และดำเนินการตามแผนที่ได้อธิบายไว้แล้ว แต่บางครั้งการดำเนินการโดยไม่มีการแปลนี้จะสะดวกกว่า จากนั้นกฎสำหรับการบวกและการลบจะเหมือนกันทุกประการ

ทำให้จำนวนหลักเท่ากันในส่วนที่เป็นเศษส่วนของตัวเลข ซึ่งก็คือ หลังจุดทศนิยม เพิ่มจำนวนศูนย์ที่หายไปลงไป

เขียนเศษส่วนโดยให้ลูกน้ำอยู่ต่ำกว่าลูกน้ำ

บวก (ลบ) เหมือนจำนวนธรรมชาติ

ลบเครื่องหมายจุลภาค

การคูณและการหาร

สิ่งสำคัญคือคุณไม่จำเป็นต้องเพิ่มศูนย์ที่นี่ ควรปล่อยเศษส่วนตามที่ระบุไว้ในตัวอย่าง แล้วไปตามแผน..

ในการคูณ คุณต้องเขียนเศษส่วนให้อยู่ต่ำกว่าอีกเศษส่วนหนึ่งโดยไม่สนใจลูกน้ำ

คูณเหมือนจำนวนธรรมชาติ

ใส่ลูกน้ำในคำตอบ โดยนับจากด้านขวาสุดของคำตอบให้มากที่สุดเท่าที่เป็นเศษส่วนของทั้งสองตัว

หากต้องการหาร คุณต้องแปลงตัวหารก่อน: ทำให้เป็นจำนวนธรรมชาติ นั่นคือคูณด้วย 10, 100 เป็นต้น ขึ้นอยู่กับจำนวนหลักที่อยู่ในเศษส่วนของตัวหาร

คูณเงินปันผลด้วยจำนวนเดียวกัน

หารทศนิยมด้วย จำนวนธรรมชาติ.

ใส่ลูกน้ำในคำตอบเมื่อการแบ่งส่วนทั้งหมดสิ้นสุดลง



จะเกิดอะไรขึ้นหากตัวอย่างหนึ่งมีเศษส่วนทั้งสองประเภท?

ใช่ ในทางคณิตศาสตร์มักมีตัวอย่างที่คุณต้องดำเนินการกับเศษส่วนสามัญและทศนิยม ในงานดังกล่าว มีสองวิธีที่เป็นไปได้ คุณต้องชั่งน้ำหนักตัวเลขอย่างเป็นกลางและเลือกตัวเลขที่เหมาะสมที่สุด

วิธีแรก: แทนทศนิยมธรรมดา

เหมาะในกรณีที่คุณได้รับเมื่อแบ่งหรือแปล เศษส่วนสุดท้าย- หากตัวเลขอย่างน้อยหนึ่งตัวให้ส่วนเป็นงวด แสดงว่าเทคนิคนี้เป็นสิ่งต้องห้าม ดังนั้นแม้ว่าคุณจะไม่ชอบการใช้เศษส่วนธรรมดา คุณก็ยังต้องนับมันอยู่ดี

วิธีที่สอง: เขียนเศษส่วนทศนิยมตามปกติ

เทคนิคนี้จะสะดวกถ้าส่วนหลังจุดทศนิยมมีตัวเลข 1-2 หลัก หากมีมากกว่านั้น คุณอาจได้เศษส่วนร่วมที่มีขนาดใหญ่มากและรูปแบบทศนิยมจะทำให้การคำนวณงานเร็วขึ้นและง่ายขึ้น ดังนั้นคุณจึงต้องประเมินงานอย่างมีสติเสมอและเลือกวิธีแก้ไขปัญหาที่ง่ายที่สุด

ความจริงนั้นมากมาย รากที่สองเป็น ตัวเลขอตรรกยะไม่ได้เบี่ยงเบนความสำคัญแต่อย่างใด โดยเฉพาะตัวเลข $\sqrt2$ มักใช้ในการคำนวณทางวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์ต่างๆ จำนวนนี้สามารถคำนวณได้ด้วยความแม่นยำที่จำเป็นในแต่ละกรณี คุณสามารถทำให้ตัวเลขนี้เป็นทศนิยมได้มากเท่าที่คุณจะอดทนได้

ตัวอย่างเช่น จำนวน $\sqrt2$ สามารถกำหนดได้ด้วยความแม่นยำของทศนิยมหกตำแหน่ง: $\sqrt2=1.414214$ ค่านี้ก็ไม่ต่างกันมากนัก ความหมายที่แท้จริงตั้งแต่ $1.414214 \คูณ 1.414214=2.000001237796$ คำตอบนี้แตกต่างจาก 2 มากกว่าหนึ่งในล้าน ดังนั้น ค่าของ $\sqrt2$ เท่ากับ $1.414214$ จึงถือว่าค่อนข้างยอมรับได้สำหรับการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติส่วนใหญ่ ในกรณีที่ต้องการความแม่นยำมากขึ้น ก็ไม่ใช่เรื่องยากที่จะได้ตัวเลขที่มีนัยสำคัญหลังจุดทศนิยมตามที่ต้องการใน ในกรณีนี้.

อย่างไรก็ตามหากคุณแสดงความดื้อรั้นที่หายากและพยายามแยกออก รากที่สองจากจำนวน $\sqrt2$ จนกว่าคุณจะบรรลุผล ผลลัพธ์ที่แน่นอนคุณจะไม่มีวันทำงานให้เสร็จ มันเป็นกระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุด ไม่ว่าจะได้ทศนิยมกี่ตำแหน่ง ก็ยังมีเหลืออีกสองสามตำแหน่งเสมอ

ข้อเท็จจริงนี้อาจทำให้คุณประหลาดใจพอๆ กับการเปลี่ยน $\frac13$ ให้เป็นทศนิยมอนันต์ $0.333333333…$ ไปเรื่อยๆ หรือเปลี่ยน $\frac17$ เป็น $0.142857142857142857…$ ไปเรื่อยๆ เมื่อดูเผินๆ อาจดูเหมือนว่ารากที่สองที่ไม่มีที่สิ้นสุดและไร้เหตุผลเหล่านี้เป็นปรากฏการณ์ที่มีลำดับเดียวกัน แต่ก็ไม่ได้เป็นเช่นนั้นทั้งหมด ท้ายที่สุดแล้วสิ่งเหล่านี้ เศษส่วนอนันต์มีเศษส่วนเทียบเท่า ในขณะที่ $\sqrt2$ ไม่มี ทำไมกันแน่? ความจริงก็คือค่าทศนิยมที่เทียบเท่ากับ $\frac13$ และ $\frac17$ รวมถึงเศษส่วนอื่นๆ จำนวนอนันต์ ถือเป็นเศษส่วนอนันต์เป็นคาบ

ในเวลาเดียวกัน ค่าทศนิยมที่เทียบเท่ากับ $\sqrt2$ จะเป็นเศษส่วนที่ไม่ใช่คาบ ข้อความนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนอตรรกยะใดๆ ด้วย

ปัญหาคือว่าทศนิยมใดๆ ที่มีค่าประมาณรากที่สองของ 2 มีค่าประมาณ เศษส่วนที่ไม่ใช่คาบ- ไม่ว่าเราจะคำนวณไปไกลแค่ไหน เศษส่วนใดๆ ที่เราได้รับจะไม่ใช่แบบคาบ

ลองนึกภาพเศษส่วนด้วย เป็นจำนวนมากทศนิยมที่ไม่เป็นคาบ หากจู่ๆ หลังจากหลักล้านแล้วมีการทำซ้ำลำดับทศนิยมทั้งหมด นั่นหมายความว่า ทศนิยม- เป็นระยะและมีค่าเท่ากันในรูปแบบของอัตราส่วนของจำนวนเต็ม ถ้าเศษส่วนที่มีทศนิยมแบบไม่เกิดซ้ำจำนวนมาก (พันล้านหรือล้าน) ณ จุดใดจุดหนึ่งมีชุดตัวเลขซ้ำกันไม่รู้จบ เช่น $...55555555555...$ ก็หมายความว่า เศษส่วนที่กำหนด- เป็นระยะและมีค่าเท่ากันในรูปแบบของอัตราส่วนของจำนวนเต็ม

อย่างไรก็ตาม ในกรณีที่ค่าทศนิยมเทียบเท่ากันนั้นไม่ใช่เป็นงวดโดยสิ้นเชิงและไม่สามารถเป็นงวดได้

แน่นอนคุณสามารถถามได้ คำถามถัดไป: “ใครจะรู้และพูดได้แน่ชัดว่าเกิดอะไรขึ้นกับเศษส่วนหลังเครื่องหมายล้านล้าน? ใครสามารถรับประกันได้ว่าเศษส่วนจะไม่เป็นงวด” มีวิธีพิสูจน์อย่างปฏิเสธไม่ได้ว่า ตัวเลขอตรรกยะไม่ใช่เป็นระยะๆ แต่การพิสูจน์ดังกล่าวจำเป็นต้องมีความซับซ้อน เครื่องมือทางคณิตศาสตร์- แต่หากจู่ๆ ปรากฎว่า. จำนวนตรรกยะกลายเป็น เศษส่วนเป็นระยะนั่นจะหมายถึง พังทลายลงอย่างสมบูรณ์พื้นฐาน วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์- และในความเป็นจริงมันแทบจะเป็นไปไม่ได้เลย ไม่ใช่เรื่องง่ายสำหรับคุณที่จะโยนมันจากด้านหนึ่งไปอีกด้านหนึ่งบนข้อนิ้วของคุณ มีทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนอยู่ที่นี่

บทความนี้เป็นเรื่องเกี่ยวกับ ทศนิยม- ที่นี่เราจะจัดการกับสัญกรณ์ทศนิยม ตัวเลขเศษส่วนเราแนะนำแนวคิดเรื่องเศษส่วนทศนิยมและยกตัวอย่างเศษส่วนทศนิยม ต่อไปเราจะพูดถึงตัวเลขของเศษส่วนทศนิยมและตั้งชื่อตัวเลข หลังจากนี้ เราจะเน้นที่เศษส่วนทศนิยมอนันต์ เรามาพูดถึงเศษส่วนแบบคาบและไม่เป็นคาบกันดีกว่า ต่อไปเราจะแสดงรายการการดำเนินการพื้นฐานที่มีเศษส่วนทศนิยม โดยสรุป ให้เราสร้างตำแหน่งของเศษส่วนทศนิยมบนลำแสงพิกัด

การนำทางหน้า

สัญกรณ์ทศนิยมของจำนวนเศษส่วน

การอ่านทศนิยม

สมมติว่าบางคำเกี่ยวกับกฎการอ่านเศษส่วนทศนิยม

เศษส่วนทศนิยมซึ่งสอดคล้องกับเศษส่วนสามัญที่ถูกต้องจะถูกอ่านในลักษณะเดียวกับเศษส่วนสามัญเหล่านี้ โดยจะเพิ่มเฉพาะ "จำนวนเต็มศูนย์" ก่อนเท่านั้น ตัวอย่างเช่น เศษส่วนทศนิยม 0.12 สอดคล้องกับเศษส่วนทั่วไป 12/100 (อ่านว่า "สิบสองในร้อย") ดังนั้น 0.12 จึงอ่านว่า "ศูนย์จุดสิบสองในร้อย"

เศษส่วนทศนิยมที่ตรงกับตัวเลขคละจะอ่านค่าเดียวกันกับตัวเลขคละเหล่านี้ทุกประการ ตัวอย่างเช่น เศษส่วนทศนิยม 56.002 สอดคล้องกับจำนวนคละ ดังนั้นเศษส่วนทศนิยม 56.002 จึงอ่านว่า "ห้าสิบหกจุดสองในพัน"

ตำแหน่งเป็นทศนิยม

ในการเขียนเศษส่วนทศนิยมและการเขียนตัวเลขธรรมชาติ ความหมายของแต่ละหลักจะขึ้นอยู่กับตำแหน่ง อันที่จริงตัวเลข 3 ในเศษส่วนทศนิยม 0.3 หมายถึงสามในสิบในเศษส่วนทศนิยม 0.0003 - สามหมื่นในและในเศษส่วนทศนิยม 30,000.152 - สามหมื่นในพัน ดังนั้นเราจึงสามารถพูดคุยเกี่ยวกับ ตำแหน่งทศนิยมตลอดจนเกี่ยวกับตัวเลขในจำนวนธรรมชาติ

ชื่อของตัวเลขในเศษส่วนทศนิยมจนถึงจุดทศนิยมตรงกับชื่อของตัวเลขในจำนวนธรรมชาติโดยสมบูรณ์ และชื่อของตำแหน่งทศนิยมหลังจุดทศนิยมสามารถดูได้จากตารางต่อไปนี้

ตัวอย่างเช่น ในเศษส่วนทศนิยม 37.051 เลข 3 อยู่ในหลักสิบ 7 อยู่ในหลักหน่วย 0 อยู่ในหลักสิบ 5 อยู่ในหลักร้อย และ 1 อยู่ในหลักพัน

ตำแหน่งที่เป็นเศษส่วนทศนิยมจะมีลำดับความสำคัญต่างกันเช่นกัน หากในการเขียนเศษส่วนทศนิยมเราย้ายจากหลักหนึ่งไปอีกหลักจากซ้ายไปขวา เราก็จะย้ายจาก ผู้อาวุโสถึง อันดับจูเนียร์- ตัวอย่างเช่น หลักร้อยนั้นเก่ากว่าตำแหน่งในสิบ และตำแหน่งที่ล้านนั้นต่ำกว่าตำแหน่งในร้อย ในเศษส่วนทศนิยมตัวสุดท้าย เราสามารถพูดถึงหลักและหลักรองได้ เช่น ในเศษส่วนทศนิยม 604.9387 อาวุโส (สูงสุด)สถานที่นั้นเป็นร้อยแห่งและ จูเนียร์ (ต่ำสุด)- หลักหมื่น.

สำหรับเศษส่วนทศนิยม การขยายเป็นตัวเลขจะเกิดขึ้น คล้ายกับการขยายเป็นเลขโดดของจำนวนธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น การขยายเป็นทศนิยม 45.6072 จะเป็นดังนี้: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002 และคุณสมบัติของการบวกจากการสลายตัวของเศษส่วนทศนิยมเป็นตัวเลขทำให้คุณสามารถไปยังการแทนค่าเศษส่วนทศนิยมอื่นๆ ได้ เช่น 45.6072=45+0.6072 หรือ 45.6072=40.6+5.007+0.0002 หรือ 45.6072= 45.0072+ 0.6.

ทศนิยมลงท้าย

จนถึงจุดนี้ เราได้พูดถึงแต่เศษส่วนทศนิยมเท่านั้น ซึ่งในรูปแบบจะมีจำนวนหลักจำกัดหลังจุดทศนิยม เศษส่วนดังกล่าวเรียกว่าทศนิยมจำกัด

คำนิยาม.

ทศนิยมลงท้าย- สิ่งเหล่านี้คือเศษส่วนทศนิยม ซึ่งบันทึกมีจำนวนอักขระ (ตัวเลข) ที่จำกัด

นี่คือตัวอย่างบางส่วนของเศษส่วนทศนิยมสุดท้าย: 0.317, 3.5, 51.1020304958, 230,032.45

อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกเศษส่วนที่สามารถแสดงเป็นทศนิยมสุดท้ายได้ ตัวอย่างเช่น เศษส่วน 5/13 ไม่สามารถแทนที่ด้วยเศษส่วนเท่ากับที่มีตัวส่วน 10, 100, ... ได้ ดังนั้น จึงไม่สามารถแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยมสุดท้ายได้ เราจะพูดถึงเรื่องนี้เพิ่มเติมในส่วนทฤษฎี การแปลงเศษส่วนสามัญเป็นทศนิยม

ทศนิยมอนันต์: เศษส่วนเป็นคาบและเศษส่วนที่ไม่ใช่คาบ

ในการเขียนเศษส่วนทศนิยมหลังจุดทศนิยม เป็นไปได้ที่จะกำหนดให้มีตัวเลขเป็นอนันต์ได้ ในกรณีนี้ เราจะมาพิจารณาสิ่งที่เรียกว่าเศษส่วนทศนิยมอนันต์

คำนิยาม.

ทศนิยมอนันต์- สิ่งเหล่านี้เป็นเศษส่วนทศนิยมซึ่งมีการบันทึกอยู่ ชุดอนันต์ตัวเลข

เห็นได้ชัดว่าเราไม่สามารถเขียนเศษส่วนทศนิยมอนันต์ในรูปแบบเต็มได้ ดังนั้นในการบันทึกเราจึงจำกัดตัวเองให้เหลือเพียงจำนวนหลักที่แน่นอนหลังจุดทศนิยม และใส่จุดไข่ปลาเพื่อระบุลำดับของตัวเลขที่ต่อเนื่องกันอย่างไม่สิ้นสุด นี่คือตัวอย่างบางส่วนของเศษส่วนทศนิยมอนันต์: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

หากคุณดูเศษส่วนทศนิยมอนันต์สองตัวสุดท้ายอย่างใกล้ชิด จากนั้นในเศษส่วน 2.111111111... จะเห็นเลข 1 ที่ซ้ำกันไม่รู้จบ และในเศษส่วน 69.74152152152... โดยเริ่มจากทศนิยมตำแหน่งที่สาม คือกลุ่มของตัวเลขที่ซ้ำกัน มองเห็น 1, 5 และ 2 ได้ชัดเจน เศษส่วนทศนิยมอนันต์ดังกล่าวเรียกว่าเศษส่วนแบบคาบ

คำนิยาม.

ทศนิยมเป็นระยะ(หรือเพียงแค่ เศษส่วนเป็นระยะ) เป็นเศษส่วนทศนิยมไม่มีที่สิ้นสุดในการบันทึกซึ่งเริ่มต้นจากจุดทศนิยมตำแหน่งหนึ่งจำนวนหรือกลุ่มของตัวเลขบางจำนวนจะถูกทำซ้ำอย่างไม่สิ้นสุดซึ่งเรียกว่า ระยะเวลาของเศษส่วน.

ตัวอย่างเช่น คาบของเศษส่วนคาบ 2.111111111... คือเลขหลัก 1 และคาบของเศษส่วน 69.74152152152... คือกลุ่มของตัวเลขที่อยู่ในรูปแบบ 152

สำหรับเศษส่วนทศนิยมคาบแบบอนันต์ก็ยอมรับได้ รูปร่างพิเศษบันทึก เพื่อความกระชับ เราตกลงที่จะเขียนช่วงเวลาหนึ่งครั้งโดยใส่ไว้ในวงเล็บ ตัวอย่างเช่น เศษส่วนคาบ 2.111111111... เขียนเป็น 2,(1) และเศษส่วนคาบ 69.74152152152... เขียนเป็น 69.74(152)

เป็นที่น่าสังเกตว่าสามารถระบุช่วงเวลาที่แตกต่างกันสำหรับเศษส่วนทศนิยมตามงวดเดียวกันได้ ตัวอย่างเช่น เศษส่วนทศนิยมตามคาบ 0.73333... ถือเป็นเศษส่วน 0.7(3) โดยมีจุด 3 และยังเป็นเศษส่วน 0.7(33) ด้วยจุด 33 และต่อๆ ไป 0.7(333) 0.7 (3333), ... คุณยังสามารถดูเศษส่วนคาบ 0.73333 ... เช่นนี้ 0.733(3) หรือเช่นนี้ 0.73(333) เป็นต้น ในที่นี้ เพื่อหลีกเลี่ยงความกำกวมและความคลาดเคลื่อน เราตกลงที่จะถือว่าช่วงเวลาของเศษส่วนทศนิยมเป็นลำดับที่สั้นที่สุดที่เป็นไปได้ของตัวเลขที่ซ้ำกันทั้งหมด และเริ่มต้นจากตำแหน่งที่ใกล้เคียงที่สุดไปยังจุดทศนิยม นั่นคือ คาบของเศษส่วนทศนิยม 0.73333... จะถือเป็นลำดับของเลข 3 หนึ่งหลัก และคาบเริ่มต้นจากตำแหน่งที่สองหลังจุดทศนิยม นั่นคือ 0.73333...=0.7(3) อีกตัวอย่างหนึ่ง: เศษส่วนคาบ 4.7412121212... มีคาบ 12 คาบเริ่มต้นจากหลักที่สามหลังจุดทศนิยม นั่นคือ 4.7412121212...=4.74(12)

เศษส่วนคาบเป็นทศนิยมอนันต์ได้มาจากการแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยม เศษส่วนธรรมดา ซึ่งมีตัวส่วนประกอบด้วย ปัจจัยสำคัญแตกต่างจาก 2 และ 5

ตรงนี้ควรค่าแก่การกล่าวถึงเศษส่วนเป็นคาบด้วยคาบ 9 ให้เรายกตัวอย่างเศษส่วนดังกล่าว: 6.43(9) , 27,(9) . เศษส่วนเหล่านี้เป็นอีกสัญลักษณ์หนึ่งของเศษส่วนคาบที่มีคาบ 0 และโดยทั่วไปจะถูกแทนที่ด้วยเศษส่วนคาบที่มีคาบ 0 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จุดที่ 9 จะถูกแทนที่ด้วยจุด 0 และค่าของหลักสูงสุดถัดไปจะเพิ่มขึ้นหนึ่ง ตัวอย่างเช่น เศษส่วนที่มีจุด 9 ในรูปแบบ 7.24(9) จะถูกแทนที่ด้วยเศษส่วนที่มีคาบซึ่งมีจุด 0 ในรูปแบบ 7.25(0) หรือเศษส่วนทศนิยมสุดท้ายเท่ากับ 7.25 อีกตัวอย่างหนึ่ง: 4,(9)=5,(0)=5 ความเท่าเทียมกันของเศษส่วนที่มีจุด 9 และเศษส่วนที่สอดคล้องกับจุด 0 สามารถสร้างได้อย่างง่ายดายหลังจากแทนที่เศษส่วนทศนิยมเหล่านี้ด้วยเศษส่วนสามัญที่เท่ากัน

สุดท้ายนี้ เรามาดูเศษส่วนทศนิยมอนันต์อย่างละเอียดยิ่งขึ้น ซึ่งไม่มีลำดับตัวเลขที่ซ้ำกันอย่างไม่มีที่สิ้นสุด เรียกว่าไม่เป็นระยะ

คำนิยาม.

ทศนิยมที่ไม่เกิดซ้ำ(หรือเพียงแค่ เศษส่วนที่ไม่ใช่คาบ) เป็นเศษส่วนทศนิยมอนันต์ที่ไม่มีจุด

บางครั้งเศษส่วนที่ไม่ใช่คาบจะมีรูปแบบคล้ายกับเศษส่วนคาบ เช่น 8.02002000200002... เป็นเศษส่วนที่ไม่ใช่คาบ ในกรณีเหล่านี้ คุณควรระมัดระวังเป็นพิเศษในการสังเกตความแตกต่าง

โปรดทราบว่าเศษส่วนที่ไม่ใช่คาบจะไม่แปลงเป็นเศษส่วนธรรมดา เศษส่วนทศนิยมที่ไม่ใช่คาบเป็นอนันต์แสดงถึงจำนวนอตรรกยะ

การดำเนินการที่มีทศนิยม

การดำเนินการอย่างหนึ่งที่มีเศษส่วนทศนิยมคือการเปรียบเทียบ และมีการกำหนดฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์พื้นฐานสี่ฟังก์ชันด้วย การดำเนินการที่มีทศนิยม: การบวก ลบ คูณ หาร ลองพิจารณาแต่ละการกระทำด้วยเศษส่วนทศนิยมแยกกัน

การเปรียบเทียบทศนิยมโดยพื้นฐานแล้วจะขึ้นอยู่กับการเปรียบเทียบเศษส่วนสามัญที่สัมพันธ์กับเศษส่วนทศนิยมที่กำลังเปรียบเทียบ อย่างไรก็ตาม การแปลงเศษส่วนทศนิยมเป็นเศษส่วนธรรมดาเป็นกระบวนการที่ต้องใช้แรงงานมาก และเศษส่วนที่ไม่ใช่คาบเป็นอนันต์ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาได้ ดังนั้นจึงสะดวกที่จะใช้การเปรียบเทียบเศษส่วนทศนิยมแบบทีละหลัก การเปรียบเทียบเศษส่วนทศนิยมแบบ Place-wise นั้นคล้ายคลึงกับการเปรียบเทียบจำนวนธรรมชาติ หากต้องการข้อมูลโดยละเอียดเพิ่มเติม เราขอแนะนำให้ศึกษาบทความ: การเปรียบเทียบเศษส่วนทศนิยม กฎ ตัวอย่าง วิธีแก้ไข

เราไปยังขั้นตอนต่อไปกันเถอะ - การคูณทศนิยม- การคูณเศษส่วนทศนิยมมีการดำเนินการคล้ายกับการลบเศษส่วนทศนิยม กฎ ตัวอย่าง การแก้โจทย์การคูณด้วยคอลัมน์ของจำนวนธรรมชาติ ในกรณีของเศษส่วนคาบ การคูณสามารถลดลงเป็นการคูณเศษส่วนสามัญได้ ในทางกลับกัน การคูณเศษส่วนทศนิยมที่ไม่ใช่คาบไม่จำกัดหลังจากการปัดเศษจะลดลงเป็นการคูณเศษส่วนทศนิยมจำกัด เราขอแนะนำให้ศึกษาเนื้อหาในบทความเพิ่มเติม: การคูณเศษส่วนทศนิยม, กฎ, ตัวอย่าง, วิธีแก้

ทศนิยมบนเรย์พิกัด

มีการโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดและทศนิยม

มาดูกันว่าจุดต่างๆ บนรังสีพิกัดถูกสร้างขึ้นอย่างไรซึ่งสอดคล้องกับเศษส่วนทศนิยมที่กำหนด

เราสามารถแทนที่เศษส่วนทศนิยมจำกัดและเศษส่วนทศนิยมคาบไม่จำกัดด้วยเศษส่วนสามัญที่เท่ากัน จากนั้นสร้างเศษส่วนสามัญที่สอดคล้องกันบนรังสีพิกัด ตัวอย่างเช่น เศษส่วนทศนิยม 1.4 สอดคล้องกับเศษส่วนทั่วไป 14/10 ดังนั้นจุดที่มีพิกัด 1.4 จะถูกลบออกจากจุดกำเนิดในทิศทางบวก 14 ส่วนเท่ากับหนึ่งในสิบของส่วนของหน่วย

เศษส่วนทศนิยมสามารถทำเครื่องหมายบนรังสีพิกัด โดยเริ่มต้นจากการสลายตัวของเศษส่วนทศนิยมให้เป็นตัวเลข ตัวอย่างเช่น เราต้องสร้างจุดด้วยพิกัด 16.3007 เนื่องจาก 16.3007=16+0.3+0.0007 จากนั้นใน จุดนี้คุณสามารถไปที่นั่นได้โดยการไล่ออกจากส่วนต้นทาง 16 ส่วนตามลำดับ, 3 ส่วนซึ่งมีความยาวเท่ากับหนึ่งในสิบของส่วนหน่วย และ 7 ส่วนซึ่งมีความยาวเท่ากับหนึ่งในหมื่นส่วนของส่วนหน่วย

การสร้างแบบนี้ ตัวเลขทศนิยมบนเรย์พิกัดช่วยให้คุณเข้าใกล้จุดที่สอดคล้องกับเศษส่วนทศนิยมอนันต์ได้มากเท่าที่คุณต้องการ

บางครั้งเป็นไปได้ที่จะพล็อตจุดที่สอดคล้องกับเศษส่วนทศนิยมอนันต์ได้อย่างแม่นยำ ตัวอย่างเช่น, แล้วเศษส่วนทศนิยมอนันต์นี้ 1.41421... สอดคล้องกับจุด พิกัดเรย์ลบออกจากจุดกำเนิดด้วยความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยมีด้านละ 1 ส่วนหน่วย

กระบวนการย้อนกลับของการได้รับเศษส่วนทศนิยมที่สอดคล้องกับจุดที่กำหนดบนรังสีพิกัดนั้นเรียกว่า การวัดทศนิยมของส่วน- เรามาดูกันว่ามันทำอย่างไร

ให้หน้าที่ของเราคือเดินทางจากจุดเริ่มต้นไปยังจุดที่กำหนดบนเส้นพิกัด (หรือเข้าใกล้มันอย่างไม่มีที่สิ้นสุดหากเราไม่สามารถไปถึงจุดนั้นได้) ด้วยการวัดทศนิยมของเซ็กเมนต์ เราสามารถไล่เซ็กเมนต์ของหน่วยจำนวนเท่าใดก็ได้จากจุดเริ่มต้นตามลำดับ จากนั้นเซกเมนต์ที่มีความยาวเท่ากับหนึ่งในสิบของหน่วย จากนั้นจึงไล่เซกเมนต์ที่มีความยาวเท่ากับหนึ่งในร้อยของหน่วย เป็นต้น โดยการบันทึกจำนวนส่วนของแต่ละความยาวที่วางไว้ เราจะได้เศษส่วนทศนิยมที่สอดคล้องกับจุดที่กำหนดบนรังสีพิกัด

ตัวอย่างเช่น ในการไปที่จุด M ในรูปด้านบน คุณจะต้องแบ่งส่วนของหน่วย 1 ส่วนและ 4 ส่วนออกไป ซึ่งความยาวจะเท่ากับหนึ่งในสิบของหน่วย ดังนั้นจุด M จึงสอดคล้องกับเศษส่วนทศนิยม 1.4

เป็นที่ชัดเจนว่าจุดของรังสีพิกัดที่ไม่สามารถเข้าถึงได้ในกระบวนการ การวัดทศนิยมสอดคล้องกับเศษส่วนทศนิยมอนันต์

อ้างอิง.

• คณิตศาสตร์: หนังสือเรียน สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburg - ฉบับที่ 21 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2550. - 280 หน้า: ป่วย. ไอ 5-346-00699-0.
• คณิตศาสตร์.ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: การศึกษา เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / [น. ใช่แล้ว Vilenkin และคนอื่น ๆ ] - ฉบับที่ 22, ว. - อ.: Mnemosyne, 2551. - 288 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-00897-2.
• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย

เป็นที่รู้กันว่าถ้าตัวส่วน nเศษส่วนที่ลดไม่ได้ในตัวมัน การขยายตัวตามรูปแบบบัญญัติมีตัวประกอบเฉพาะไม่เท่ากับ 2 และ 5 เศษส่วนนี้จึงไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมจำกัดได้ หากในกรณีนี้เราพยายามเขียนเศษส่วนลดไม่ได้เดิมเป็นทศนิยมโดยหารตัวเศษด้วยตัวส่วน กระบวนการหารจะเสร็จสิ้นไม่ได้เนื่องจาก ถ้ามันเสร็จสิ้นหลังจากผ่านขั้นตอนจำนวนจำกัด เราจะได้เศษส่วนทศนิยมจำกัด ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้ ดังนั้นในกรณีนี้ สัญกรณ์ทศนิยมจำนวนตรรกยะบวก ก= ดูเหมือนเป็นเศษส่วนอนันต์

ตัวอย่างเช่น เศษส่วน = 0.3636... . จะสังเกตได้ง่ายว่าเศษที่เหลือเมื่อหาร 4 ด้วย 11 จะถูกทำซ้ำเป็นระยะ ๆ ดังนั้นตำแหน่งทศนิยมจึงจะถูกทำซ้ำเป็นระยะ ๆ เช่น ปรากฎว่า เศษส่วนทศนิยมคาบอนันต์ซึ่งสามารถเขียนได้เป็น 0,(36)

การทำซ้ำตัวเลข 3 และ 6 เป็นระยะทำให้เกิดจุด อาจปรากฎว่ามีตัวเลขหลายหลักระหว่างจุดทศนิยมและจุดเริ่มต้นของช่วงแรก ตัวเลขเหล่านี้เป็นช่วงก่อนช่วง ตัวอย่างเช่น,

0.1931818... กระบวนการหาร 17 ด้วย 88 นั้นไม่มีที่สิ้นสุด ตัวเลข 1, 9, 3 ถือเป็นช่วงก่อนยุค; 1, 8 – ช่วง. ตัวอย่างที่เราพิจารณาสะท้อนให้เห็นถึงรูปแบบเช่น จำนวนตรรกยะบวกใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมแบบจำกัดหรืออนันต์ได้

ทฤษฎีบท 1ปล่อยให้เศษส่วนสามัญลดไม่ได้ในการขยายตัวส่วนตามรูปแบบบัญญัติ nเป็นตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างจาก 2 และ 5 จากนั้นเศษส่วนร่วมสามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมแบบคาบไม่สิ้นสุดได้

การพิสูจน์. เรารู้อยู่แล้วว่าขั้นตอนการหารจำนวนธรรมชาติ มเป็นจำนวนธรรมชาติ nจะไม่มีที่สิ้นสุด ให้เราแสดงว่ามันจะเป็นเป็นระยะ ในความเป็นจริงเมื่อแบ่ง มบน nยอดคงเหลือที่ได้จะน้อยลง เอ็น,เหล่านั้น. ตัวเลขในรูปแบบ 1, 2, ..., ( n– 1) ซึ่งชัดเจนว่าจำนวนเศษที่แตกต่างกันนั้นมีจำกัด ดังนั้น เมื่อเริ่มตั้งแต่ขั้นตอนหนึ่ง เศษที่เหลือบางส่วนจะถูกทำซ้ำ ซึ่งจะทำให้เกิดการซ้ำของตำแหน่งทศนิยมของผลหาร และเศษส่วนทศนิยมอนันต์ กลายเป็นเป็นระยะๆ

ยังมีอีกสองทฤษฎีบท

ทฤษฎีบท 2หากการขยายตัวของตัวส่วนของเศษส่วนที่ลดไม่ได้ลงในตัวประกอบเฉพาะไม่รวมตัวเลข 2 และ 5 ดังนั้นเมื่อเศษส่วนนี้ถูกแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยมอนันต์ จะได้เศษส่วนคาบบริสุทธิ์นั่นคือ เศษส่วนที่ระยะเวลาเริ่มต้นทันทีหลังจุดทศนิยม

ทฤษฎีบท 3หากการขยายตัวของตัวส่วนรวมตัวประกอบ 2 (หรือ 5) หรือทั้งสองอย่าง เศษส่วนคาบไม่สิ้นสุดจะถูกผสม เช่น ระหว่างจุดทศนิยมและจุดเริ่มต้นของช่วงเวลาจะมีตัวเลขหลายหลัก (ก่อนช่วง) คือมากที่สุดเท่าที่เป็นเลขชี้กำลังที่ใหญ่ที่สุดของตัวประกอบ 2 และ 5

ทฤษฎีบทที่ 2 และ 3 ได้รับการเสนอให้ผู้อ่านพิสูจน์อย่างอิสระ

28. วิธีการเปลี่ยนจากระยะอนันต์
เศษส่วนทศนิยมให้เป็นเศษส่วนร่วม

ให้เศษส่วนเป็นคาบ ก= 0,(4) เช่น 0.4444... .

มาคูณกัน กภายใน 10 โมง เราได้

10ก= 4.444…4…Þ 10 ก = 4 + 0,444….

เหล่านั้น. 10 ก = 4 + กเราได้รับสมการสำหรับ กเมื่อแก้มันได้: 9 ก= 4 Þ ก = .

เราสังเกตว่า 4 เป็นทั้งตัวเศษของเศษส่วนผลลัพธ์และคาบของเศษส่วน 0,(4)

กฎการแปลงเศษส่วนคาบบริสุทธิ์ให้เป็นเศษส่วนธรรมดามีสูตรดังนี้ ตัวเศษของเศษส่วนจะเท่ากับคาบ และตัวส่วนประกอบด้วยเลขเก้าเท่ากันเนื่องจากมีตัวเลขในช่วงเวลาของเศษส่วน

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์กฎนี้ด้วยเศษส่วนซึ่งมีคาบเป็น n

ก- มาคูณกัน กภายใน 10 nเราได้รับ:

10n × ก = = + 0, ;

10n × ก = + ก;

(10n – 1) ก = Þ ก = = .

ดังนั้น กฎที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้จึงได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับเศษส่วนคาบบริสุทธิ์ใดๆ

ตอนนี้ให้เราให้เศษส่วน ก= 0.605(43) – คละเป็นระยะ มาคูณกัน กโดย 10 โดยมีตัวบ่งชี้เดียวกันว่าในช่วงก่อนมีกี่หลักคือ ภายใน 10 3 เราได้

10 3 × ก= 605 + 0,(43) Þ 10 3 × ก = 605 + = 605 + = = ,

เหล่านั้น. 10 3 × ก= .

กฎการแปลงเศษส่วนคาบผสมให้เป็นเศษส่วนธรรมดามีสูตรดังนี้ ตัวเศษของเศษส่วนจะเท่ากับผลต่างระหว่างจำนวนที่เขียนเป็นตัวเลขก่อนเริ่มช่วงที่สองกับจำนวนที่เขียนเป็นตัวเลขก่อนเริ่มช่วงแรก ตัวส่วนประกอบด้วยจำนวนเก้าเท่ากับจำนวนหลักในช่วงและจำนวนศูนย์ดังกล่าวว่ามีกี่หลักก่อนเริ่มช่วงแรก

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์กฎนี้สำหรับเศษส่วนที่มีช่วงก่อนประกอบด้วย nตัวเลขและระยะเวลาตั้งแต่ ถึงตัวเลข ให้เศษส่วนเป็นคาบ

มาแสดงกันเถอะ วี= ; ร= ,

กับ= - แล้ว กับ=ใน × 10เค + อาร์.

มาคูณกัน กคูณ 10 โดยมีเลขชี้กำลังว่ามีตัวเลขกี่หลักในช่วงแรก เช่น ภายใน 10 nเราได้รับ:

ก×10 n = + .

เราเขียนโดยคำนึงถึงสัญลักษณ์ที่แนะนำข้างต้น:

× 10n= วี+ .

ดังนั้น กฎที่กำหนดไว้ข้างต้นได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับเศษส่วนคาบแบบผสมใดๆ

เศษส่วนทศนิยมเป็นระยะอนันต์เป็นรูปแบบหนึ่งของการเขียนจำนวนตรรกยะจำนวนหนึ่ง

เพื่อความสอดคล้อง บางครั้งทศนิยมจำกัดก็ถือเป็นทศนิยมแบบคาบไม่สิ้นสุดโดยมีจุด "0" เช่นกัน เช่น 0.27 = 0.27000...; 10.567 = 10.567000...; 3 = 3,000... .

ตอนนี้ข้อความต่อไปนี้กลายเป็นจริง: จำนวนตรรกยะทุกตัวสามารถ (และด้วยวิธีเฉพาะ) สามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมเป็นช่วงอนันต์ได้ และเศษส่วนทศนิยมเป็นช่วงอนันต์ทุกตัวจะแสดงเป็นจำนวนตรรกยะเพียงตัวเดียว (ไม่นับเศษส่วนทศนิยมเป็นคาบที่มีระยะเวลา 9) ).

จำได้ไหมว่าในบทเรียนแรกเกี่ยวกับทศนิยมฉันบอกว่ามีเศษส่วนที่เป็นตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นทศนิยมได้ (ดูบท “ ทศนิยม”) นอกจากนี้เรายังได้เรียนรู้วิธีแยกตัวประกอบของเศษส่วนเพื่อดูว่ามีตัวเลขอื่นนอกเหนือจาก 2 และ 5 หรือไม่

ดังนั้น: ฉันโกหก และวันนี้เราจะได้เรียนรู้วิธีการแปลอย่างแน่นอน เศษส่วนที่เป็นตัวเลขเป็นทศนิยม ในเวลาเดียวกันเราจะทำความคุ้นเคยกับเศษส่วนทั้งหมดที่มีส่วนสำคัญไม่สิ้นสุด

ทศนิยมเป็นงวดคือทศนิยมใดๆ ที่:

1. ส่วนสำคัญประกอบด้วยตัวเลขจำนวนอนันต์
2. ตัวเลขในส่วนสำคัญจะถูกทำซ้ำในช่วงเวลาหนึ่ง

เซตของตัวเลขซ้ำที่ประกอบเป็นส่วนสำคัญเรียกว่าส่วนเป็นคาบของเศษส่วน และจำนวนหลักในชุดนี้เรียกว่าคาบของเศษส่วน ส่วนที่เหลือของส่วนสำคัญซึ่งไม่เกิดซ้ำ เรียกว่าส่วนที่ไม่เป็นระยะ

เนื่องจากมีคำจำกัดความมากมาย จึงควรพิจารณารายละเอียดเศษส่วนเหล่านี้บางส่วน:

เศษส่วนนี้มักปรากฏในปัญหา ส่วนที่ไม่เป็นระยะ: 0; ส่วนเป็นระยะ: 3; ระยะเวลา: 1.

ส่วนที่ไม่เป็นระยะ: 0.58; ส่วนเป็นระยะ: 3; ระยะเวลา: อีกครั้ง 1

ส่วนที่ไม่เป็นระยะ: 1; ส่วนเป็นระยะ: 54; ระยะเวลา: 2.

ส่วนที่ไม่เป็นระยะ: 0; ส่วนเป็นระยะ: 641025; ระยะเวลา: 6. เพื่อความสะดวก ชิ้นส่วนที่ทำซ้ำจะถูกแยกออกจากกันด้วยช่องว่าง ซึ่งไม่จำเป็นในโซลูชันนี้

ส่วนที่ไม่เป็นระยะ: 3066; ส่วนเป็นระยะ: 6; ระยะเวลา: 1.

อย่างที่คุณเห็น คำจำกัดความของเศษส่วนเป็นคาบนั้นขึ้นอยู่กับแนวคิดนี้ ส่วนสำคัญของตัวเลข- ดังนั้นหากคุณลืมว่ามันคืออะไรฉันแนะนำให้ทำซ้ำ - ดูบทเรียน ""

การเปลี่ยนไปใช้เศษส่วนทศนิยมคาบ

พิจารณาเศษส่วนสามัญที่อยู่ในรูป a /b ลองแยกตัวส่วนเป็นตัวประกอบเฉพาะ. มีสองตัวเลือก:

1. การขยายตัวมีเพียงปัจจัย 2 และ 5 เท่านั้น เศษส่วนเหล่านี้แปลงเป็นทศนิยมได้อย่างง่ายดาย - ดูบทเรียน "ทศนิยม" เราไม่สนใจคนแบบนี้
2. มีอย่างอื่นในส่วนขยายนอกเหนือจาก 2 และ 5 ในกรณีนี้ เศษส่วนไม่สามารถแสดงเป็นทศนิยมได้ แต่สามารถแปลงเป็นทศนิยมตามคาบได้

ในการกำหนดเศษส่วนทศนิยมเป็นคาบ คุณต้องค้นหาส่วนที่เป็นคาบและไม่ใช่คาบ ยังไง? แปลงเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนเกิน แล้วหารเศษด้วยตัวส่วนโดยใช้มุม

สิ่งต่อไปนี้จะเกิดขึ้น:

1. จะแตกก่อน. ทั้งส่วนถ้ามันมีอยู่;
2. อาจมีตัวเลขหลายตัวอยู่หลังจุดทศนิยม
3. อีกสักพักตัวเลขก็จะเริ่มขึ้น ทำซ้ำ.

แค่นั้นแหละ! ตัวเลขที่ซ้ำกันหลังจุดทศนิยมจะแสดงด้วยส่วนที่เป็นคาบ และตัวเลขที่อยู่ด้านหน้าจะแสดงด้วยส่วนที่ไม่ใช่คาบ

งาน. แปลงเศษส่วนสามัญให้เป็นทศนิยมเป็นคาบ:

เศษส่วนทั้งหมดที่ไม่มีส่วนเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นเราจึงหารตัวเศษด้วยตัวส่วนด้วย "มุม":

อย่างที่คุณเห็น ส่วนที่เหลือจะถูกทำซ้ำ เขียนเศษส่วนในรูปแบบ "ถูกต้อง": 1.733 ... = 1.7(3)

ผลลัพธ์คือเศษส่วน: 0.5833 ... = 0.58(3)

เราเขียนมันในรูปแบบปกติ: 4.0909 ... = 4,(09)

เราได้เศษส่วน: 0.4141 ... = 0.(41)

การเปลี่ยนจากเศษส่วนทศนิยมคาบเป็นเศษส่วนสามัญ

พิจารณาเศษส่วนทศนิยมเป็นระยะ X = abc (a 1 b 1 c 1) จำเป็นต้องแปลงเป็น "สองชั้น" แบบคลาสสิก โดยทำตามขั้นตอนง่ายๆ สี่ขั้นตอน:

1. ค้นหาคาบของเศษส่วนเช่น นับจำนวนหลักในส่วนที่เป็นงวด ให้นี่คือเลข k;
2. ค้นหาค่าของนิพจน์ X · 10 k ซึ่งเทียบเท่ากับการเลื่อนจุดทศนิยมไปทางขวาเต็มช่วง - ดูบทเรียน "การคูณและหารทศนิยม"
3. ต้องลบนิพจน์ดั้งเดิมออกจากตัวเลขผลลัพธ์ ในกรณีนี้ส่วนที่เป็นระยะจะ "ไหม้" และยังคงอยู่ เศษส่วนทั่วไป;
4. ค้นหา X ในสมการผลลัพธ์ เราแปลงเศษส่วนทศนิยมทั้งหมดให้เป็นเศษส่วนสามัญ

งาน. แปลงตัวเลขให้เป็นเศษส่วนเกินสามัญ:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

เราทำงานกับเศษส่วนแรก: X = 9,(6) = 9.666 ...

วงเล็บมีตัวเลขเพียงหลักเดียว ดังนั้นจุดคือ k = 1 ต่อไป เราคูณเศษส่วนนี้ด้วย 10 k = 10 1 = 10 เรามี:

10X = 10 9.6666... ​​​​= 96.666...

ลบเศษส่วนเดิมแล้วแก้สมการ:

10X - X = 96.666 ... - 9.666 ... = 96 - 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3

ทีนี้มาดูเศษส่วนที่สองกัน. ดังนั้น X = 32,(39) = 32.393939...

คาบ k = 2 ดังนั้นให้คูณทุกอย่างด้วย 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32.393939 ... = 3239.3939 ...

ลบเศษส่วนเดิมอีกครั้งแล้วแก้สมการ:

100X - X = 3239.3939 ... - 32.3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1,069/33

มาดูเศษส่วนที่สามกัน: X = 0.30(5) = 0.30555 ... แผนภาพเหมือนกัน ดังนั้นฉันจะคำนวณ:

คาบ k = 1 ⇒ คูณทุกอย่างด้วย 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0.30555... = 3.05555...
10X - X = 3.0555 ... − 0.305555 ... = 2.75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36

สุดท้าย เศษส่วนสุดท้าย: X = 0,(2475) = 0.2475 2475... เพื่อความสะดวก ส่วนที่เป็นคาบจะถูกแยกออกจากกันด้วยช่องว่าง เรามี:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10,000;
10,000X = 10,000 0.2475 2475 = 2475.2475 ...
10,000X - X = 2475.2475 ... - 0.2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101