ชุดจำนวนจำกัด

ชุดของจำนวนจริงเรียกว่า ล้อมรอบจากด้านบนถ้ามีจำนวนที่องค์ประกอบทั้งหมดไม่เกิน :

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2553 .

ดูว่า "Limited Set" คืออะไรในพจนานุกรมอื่นๆ:

1) O. m. ในปริภูมิเมตริก X(พร้อมเมตริก) คือเซต A ที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางจำกัด 2) O. m. ในโทโพโลยี พื้นที่เวกเตอร์ E(บนสนาม k) คือเซต B ซึ่งถูกดูดซับโดยทุกย่านของศูนย์ U (เช่น มีอยู่ 1 ชุด) มิ.ย.… … สารานุกรมคณิตศาสตร์

ในพื้นที่เมตริก เหมือนกับพื้นที่ย่อยที่มีขอบเขตสมบูรณ์ของพื้นที่เมตริกที่กำหนด ช่องว่าง. ดูพื้นที่ค่อนข้างจำกัด เอ. วี. อาร์คันเกลสกี้ ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

ที่ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และสาขาที่เกี่ยวข้องของคณิตศาสตร์ เซตที่มีขอบเขตคือเซตที่มีขนาดจำกัด ในแง่หนึ่ง แนวคิดพื้นฐานคือข้อ จำกัด ของชุดตัวเลขซึ่งมีลักษณะทั่วไปสำหรับกรณี ... ... Wikipedia

เยอะ- ชุด ชุด - ชุด หนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ "คอลเลกชันโดยพลการของวัตถุบางอย่างและแยกแยะได้รวมกันทางจิตใจเป็นหนึ่งเดียว ... ... คู่มือนักแปลทางเทคนิค

เยอะ- หนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ "การรวบรวมโดยพลการของวัตถุบางอย่างและแยกแยะได้ รวมกันทางจิตใจเป็นหนึ่งเดียว" (นี่คือความหมายของเซตโดยผู้ก่อตั้งทฤษฎีเซตชาวเยอรมันผู้มีชื่อเสียง ... ... พจนานุกรมเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์

ดูคลาสในตรรกะ ปรัชญา พจนานุกรมสารานุกรม. ม.: สารานุกรมโซเวียต. ช. บรรณาธิการ: L. F. Ilyichev, P. N. Fedoseev, S. M. Kovalev, V. G. Panov 2526 อเนก... สารานุกรมปรัชญา

คำนี้มีความหมายอื่น ดูชุด (ความหมาย) ชุดเป็นประเภทและโครงสร้างข้อมูลในวิทยาการคอมพิวเตอร์ เป็นการดำเนินการของชุดวัตถุทางคณิตศาสตร์ ประเภทข้อมูลชุดช่วยให้คุณสามารถจัดเก็บค่าได้จำนวนจำกัด... ... Wikipedia

1) น. ฟังก์ชันการวิเคราะห์ f(z) ของตัวแปรเชิงซ้อน z=(z1,...,zn), n 1, คือชุดของจุด P ของโดเมน D ของพื้นที่เชิงซ้อน C n ในลักษณะที่ว่า: a) f(z) เป็นโฮโลมอร์ฟิกทุกที่ ใน; b) f(z) ไม่ดำเนินการวิเคราะห์ต่อไปยังจุด P; c) สำหรับ ... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

ชุดข้อความทั่วไป (อืม)- เป้าหมายของการศึกษานั้นไม่ใช่ภาษาย่อย แต่เป็นชุดข้อความบางชุดซึ่งโดยหลักการแล้วไม่มีที่สิ้นสุดหรือเปิดไม่ว่าในกรณีใด ๆ มันถูกตั้งค่าเชิงพรรณนาโดยระบุแหล่งที่มาของข้อความเหล่านี้ พวกเขาคือ…… พจนานุกรมการแปลเชิงอธิบาย

พิจารณาตำแหน่งของกราฟร่วมกัน ฟังก์ชันผกผันใน ระบบคาร์ทีเซียนประสานและพิสูจน์คำยืนยันดังต่อไปนี้

บทแทรก 1.1 ถ้า a, b R แล้วจุด M 1 (a, b), M 2 (b, a) ของระนาบนั้นสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นตรง y = x .

ถ้า a = b แล้วจุด M1 , M2 ตรงกันและอยู่บนเส้น y = x เราจะถือว่า a 6= b เส้นที่ผ่านจุด M1 , M2 มีสมการ y = −x+a+b ดังนั้นจึงตั้งฉากกับเส้น y = x

เนื่องจากจุดกึ่งกลางของส่วน M1 M2 มีพิกัด a + 2 b ,a + 2 b ! , แล้ว

มันอยู่บนเส้น y = x ดังนั้น คะแนน M1 , M2

ผลที่ตามมา ถ้าฟังก์ชัน f: X −→ Y และ ϕ : Y −→ X กลับกัน กราฟของพวกมันจะสมมาตรเมื่อเทียบกับเส้นตรง y = x ถ้าพวกมันถูกสร้างขึ้นในระบบพิกัดเดียวกัน

ให้ f = ((x, f(x)) | x X),ϕ = ((y, ϕ(y)) | y Y ) เป็นกราฟของฟังก์ชัน f และ ϕ ตามลำดับ เพราะ

(a, b) f (b = f(a), a X) (a = ϕ(b), b Y) (b, a)ϕ ,

จากนั้นโดยอาศัยบทแทรกที่พิสูจน์แล้ว กราฟ f และ ϕ มีความสมมาตรเทียบกับเส้นตรง y = x

1.6 คุณสมบัติของชุดจำนวน

1.6.1 ชุดตัวเลขที่ถูกจำกัด

คำจำกัดความ 1.26. ให้ X ไม่ว่างเปล่า ชุดตัวเลข. เซต X ถูกกำหนดขอบเขตจากด้านบน (จากด้านล่าง) หากมีจำนวน a เช่น x 6 a (x > a ) สำหรับองค์ประกอบใดๆ x X ในกรณีนี้ จำนวน a เรียกว่าขอบบน (ล่าง) ของชุด X ชุดที่มีขอบเขตจากด้านบนและด้านล่างเรียกว่ามีขอบเขต

ด้วยความช่วยเหลือของสัญลักษณ์ตรรกะ ขอบเขตจากด้านบนของชุด X เขียนได้ดังนี้:

ก R: x 6 ก, x X

โดยคำนึงถึงคุณสมบัติของโมดูลัสของตัวเลข เราสามารถให้คำจำกัดความของเซตที่มีขอบเขตได้ดังต่อไปนี้

คำจำกัดความ 1.27. ชุดตัวเลขที่ไม่ว่างเปล่า X เรียกว่ามีขอบเขต ถ้ามีจำนวนบวก M อยู่เช่นนั้น

คำจำกัดความ 1.28. องค์ประกอบจากชุดตัวเลข X เรียกว่าองค์ประกอบสูงสุด (ต่ำสุด) ใน X ถ้า x 6 a (ตามลำดับ x > a ) สำหรับ x ใดๆ จาก X และพวกเขาเขียนว่า: a = สูงสุด X (ตามลำดับ a = นาที X ) .

โดยอาศัยสัจพจน์ของคำสั่ง (3.b) มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าหากเซต X ใน R มีองค์ประกอบสูงสุด (ต่ำสุด) แสดงว่าองค์ประกอบนั้นไม่ซ้ำกัน

โปรดทราบว่าหากชุดตัวเลข X มีองค์ประกอบสูงสุด (ต่ำสุด) a แสดงว่ามีขอบเขตจากด้านบน (จากด้านล่าง) และตัวเลข a เป็นขอบเขตบน (ล่าง) ของชุด X อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกชุดตัวเลขที่มีขอบเขตจาก ด้านบน (จากด้านล่าง) มีองค์ประกอบสูงสุด (น้อยที่สุด)

ตัวอย่าง 1.5 แสดงว่าเซต X = inf (a, b) = a

ตัวอย่างเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าใบหน้าส่วนล่างและส่วนบนอาจเป็นหรือไม่เป็นของชุดก็ได้

ตามคำจำกัดความแล้ว ขอบเขตบนและล่างของชุดจะไม่ซ้ำกัน แท้จริงแล้ว หากมีองค์ประกอบที่เล็กที่สุด (มากที่สุด) ในบางเซตที่เป็นของเส้นจริงที่ขยายออกไป มันก็จะมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว เนื่องจากองค์ประกอบสองอย่างที่ต่างกันของเซต องค์ประกอบที่ใหญ่กว่าไม่สามารถเป็นองค์ประกอบที่เล็กที่สุดได้ และองค์ประกอบที่เล็กกว่า ไม่สามารถใหญ่ที่สุดได้

ชุดที่มีขอบเขตจากด้านบน (จากด้านล่าง) มีขอบเขตบน (ล่าง) ที่แน่นอนเสมอหรือไม่ อันที่จริง เนื่องจากมีขอบเขตบน (ล่าง) มากมายนับไม่ถ้วน และในบรรดาชุดของตัวเลขที่ไม่มีที่สิ้นสุด ก็ไม่มีขนาดใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) เสมอไป การมีอยู่ของขอบเขตสูงสุด (infinum) จึงต้องมีการพิสูจน์เป็นพิเศษ

ทฤษฎีบท 7.3(1)

ทุกเซตที่ไม่ว่างที่ล้อมรอบจากด้านบนมีขอบเขตบน และทุกเซตที่ไม่ว่างเปล่าที่ล้อมรอบจากด้านล่างจะมีขอบเขตล่าง

การพิสูจน์

ให้ชุดตัวเลขที่ไม่ว่างเปล่า A ล้อมรอบจากด้านบน B เป็นชุดของตัวเลขทั้งหมดที่ล้อมรอบชุด A จากด้านบน ถ้าจากคำจำกัดความของตัวเลขที่ล้อมรอบจากด้านบน

กำหนดให้เป็นไปตามที่ a≤b ดังนั้นโดยคุณสมบัติต่อเนื่อง จำนวนจริงมีจำนวน β ซึ่งอสมการ a≤β≤b จะคงอยู่สำหรับทุกคน อสมการ หมายความว่าจำนวน β จำกัดชุด A จากด้านบน และความไม่เท่าเทียมกันหมายความว่าจำนวน β มีค่าน้อยที่สุดในบรรดาจำนวนทั้งหมดที่จำกัดชุด A จากด้านบน ดังนั้น β= แทน A

มีการพิสูจน์ในทำนองเดียวกันว่าชุดตัวเลขที่อยู่ด้านล่างมีขอบเขตต่ำ

ชุดที่มีองค์ประกอบเป็นจุดเรียกว่าชุดจุด ดังนั้น เราสามารถพูดถึงชุดจุดบนเส้นตรง บนระนาบ ในพื้นที่ใดก็ได้ เพื่อความง่าย เราจำกัดตัวเองไว้ที่ชุดจุดบนเส้น

ระหว่างจำนวนจริงและจุดบนเส้นตรง ปิดการเชื่อมต่อ: ทุกจำนวนจริงสามารถกำหนดจุดบนเส้นและในทางกลับกัน ดังนั้น เมื่อพูดถึงเซตจุด เราจะรวมเซตที่ประกอบด้วยจำนวนจริง - เซตบนเส้นจริง ในทางกลับกัน เพื่อกำหนดจุดที่กำหนดบนเส้น เรามักจะให้พิกัดของจุดทั้งหมดในชุดของเรา

ชุดจุด (และโดยเฉพาะอย่างยิ่งชุดจุดบนเส้น) มีชุดข้อมูล คุณสมบัติพิเศษซึ่งแยกความแตกต่างจากชุดตามอำเภอใจและแยกความแตกต่างของทฤษฎีชุดจุดออกเป็นวินัยทางคณิตศาสตร์ที่เป็นอิสระ ก่อนอื่น มันสมเหตุสมผลที่จะพูดถึงระยะห่างระหว่างจุดสองจุด นอกจากนี้ ระหว่างจุดบนเส้น เราสามารถสร้างความสัมพันธ์ของลำดับ (ไปทางซ้าย, ทางขวา); ตามนี้ จุดที่กำหนดบนเส้นจะถูกกล่าวว่าเป็นชุดคำสั่ง สุดท้าย ตามที่ระบุไว้ข้างต้น หลักการของคันทอร์ใช้ได้กับเส้นตรง คุณสมบัตินี้ของเส้นตรงมักจะมีลักษณะเป็นความสมบูรณ์ของเส้นตรง

ให้เราแนะนำสัญกรณ์สำหรับชุดที่ง่ายที่สุดในบรรทัด

ส่วนคือชุดของจุดที่พิกัดเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน

ช่วงเวลาคือชุดของจุดที่พิกัดตรงตามเงื่อนไข

ครึ่งช่วงเวลา และ ถูกกำหนดตามลำดับตามเงื่อนไข: และ .

ช่วงเวลาและครึ่งช่วงเวลาอาจไม่เหมาะสม กล่าวคือ หมายถึงทั้งบรรทัด และ ตัวอย่างเช่น หมายถึงชุดของจุดทั้งหมดที่

เราเริ่มต้นด้วยการพิจารณาความเป็นไปได้ต่างๆ สำหรับตำแหน่งของฉากโดยรวมบนเส้น

ชุดที่มีขอบเขตและไม่มีขอบเขต

ชุดของจุดบนเส้นสามารถประกอบด้วยจุดที่ระยะห่างจากจุดกำเนิดไม่เกินบางจุด จำนวนบวกหรือมีจุดห่างจากจุดกำเนิดโดยพลการ ในกรณีแรกชุดนั้นเรียกว่ามีขอบเขตและในกรณีที่สอง - ไม่มีขอบเขต ตัวอย่างของชุดที่มีขอบเขตคือชุดของจุดทั้งหมดของกลุ่ม และตัวอย่างของชุดที่ไม่มีขอบเขตคือชุดของจุดทั้งหมดที่มีพิกัดจำนวนเต็ม

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าถ้าเป็นจุดคงที่บนเส้น เซตจะถูกจำกัดก็ต่อเมื่อระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังจุดใดๆ ไม่เกินจำนวนบวกจำนวนหนึ่ง

ชุดที่มีขอบเขตด้านบนและด้านล่าง

ให้ เป็นเซตของจุดบนเส้น. ถ้ามีจุดบนเส้นที่จุดใด ๆ อยู่ทางซ้ายของจุดนั้น เราจะบอกว่าเซต จำกัด จากด้านบน. ในทำนองเดียวกันหากมีจุดบนเส้นซึ่งจุดใด ๆ อยู่ทางขวาของจุด เซตนั้นจะถูกเรียกว่า ล้อมรอบจากด้านล่าง. ดังนั้น เซตของจุดทั้งหมดบนเส้นที่มีพิกัดเป็นบวกจะถูกล้อมรอบจากด้านล่าง และเซตของจุดทั้งหมดที่มีพิกัดเป็นลบจะถูกล้อมรอบจากด้านบน

เป็นที่ชัดเจนว่าคำจำกัดความข้างต้นของชุดที่มีขอบเขตเทียบเท่ากับสิ่งต่อไปนี้: ชุดของจุดบนเส้นหนึ่งเรียกว่าขอบเขต ถ้ามีขอบเขตด้านบนและด้านล่าง แม้จะมีความจริงที่ว่าคำจำกัดความทั้งสองนี้มีความคล้ายคลึงกันมาก แต่ก็มีความแตกต่างที่สำคัญระหว่างพวกเขา: ข้อแรกขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าระยะห่างระหว่างจุดบนเส้นถูกกำหนดและประการที่สองคือจุดเหล่านี้ สร้างชุดที่สั่งซื้อ

นอกจากนี้ เราอาจกล่าวได้ว่าเซตมีขอบเขตหากเซตนั้นอยู่ในบางส่วนทั้งหมด

ขอบเขตบนและล่างของชุด

ให้ชุดมีขอบเขตจากด้านบน จากนั้นมีจุดบนเส้นด้านขวาซึ่งไม่มีจุดของชุด จากการใช้หลักการของคันทอร์ แสดงว่าในทุกจุดที่มีคุณสมบัตินี้มีจุดที่อยู่ซ้ายสุด จุดนี้เรียกว่า ขอบบนของชุด. ค่าต่ำสุดของชุดจุดถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน

หากมีจุดขวาสุดในชุด เห็นได้ชัดว่าจะเป็นขอบเขตบนของชุด อย่างไรก็ตาม อาจเกิดขึ้นได้ที่ไม่มีจุดขวาสุดในชุด ตัวอย่างเช่น ชุดของจุดที่มีพิกัด

ล้อมรอบจากด้านบนและไม่มีจุดขวาสุด ในกรณีนี้ ใบหน้าด้านบนไม่ได้เป็นของชุด แต่มีจุดของชุดโดยพลการใกล้กับ ในตัวอย่างข้างต้น

ตำแหน่งของจุดที่อยู่ใกล้กับจุดบนเส้น

ให้เป็นจุดกำหนดและเป็นจุดบนเส้น ลองพิจารณาความเป็นไปได้ต่างๆ ของตำแหน่งของฉากใกล้กับจุด เป็นไปได้ในกรณีต่อไปนี้:

1. แต้มหรือแต้มที่ใกล้เคียงเพียงพอไม่ได้อยู่ในชุด

2. จุดไม่ได้เป็นของ แต่มีจุดของชุดโดยพลการใกล้กับมัน

3. จุดนั้นเป็นของ แต่ทุกจุดที่อยู่ใกล้พอควรไม่ได้เป็นของ

4. จุดเป็นของ และมีจุดอื่น ๆ ของชุดที่อยู่ใกล้กับจุดนั้นโดยพลการ

ในกรณีที่ 1 เรียกว่าจุด ภายนอกชุดในกรณีที่ 3 - จุดแยกของชุด และในกรณีที่ 2 และ 4 - จุดจำกัดของชุด

ดังนั้น ถ้า , จุดนั้นสามารถอยู่ภายนอกหรือจำกัดสำหรับมันได้ และถ้า , มันก็สามารถเป็นจุดแยกของชุดหรือจุดจำกัดของมันก็ได้

จุดจำกัดอาจเป็นหรือไม่ใช่ของเซต และมีลักษณะเป็นเงื่อนไขว่ามีจุดของเซตอยู่ใกล้โดยพลการ กล่าวอีกนัยหนึ่ง จุดคือจุดจำกัดของเซต ถ้าช่วงใดๆ ที่มีจุดนั้นมีจุดของเซตมากมายนับไม่ถ้วน แนวคิดของจุดจำกัดเป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญมากในทฤษฎีชุดจุด

หากจุดหนึ่งและทุกจุดใกล้เคียงกับจุดนั้นเป็นของชุด จุดนั้นจะเรียกว่าจุดนั้น จุดภายในของชุด. จุดใด ๆ ที่ไม่ใช่ภายนอกหรือภายในเรียกว่า จุดขอบเขตของเซต .

ให้เรายกตัวอย่างเพื่ออธิบายแนวคิดเหล่านี้ทั้งหมด

ตัวอย่าง 1. ให้เซตประกอบด้วยจุดพร้อมพิกัด

จากนั้นแต่ละจุดของเซตนี้คือจุดที่แยกออกมา จุด 0 คือจุดจำกัด (ไม่ใช่ของเซตนี้) และจุดอื่นๆ ทั้งหมดบนเส้นจะอยู่ภายนอก

ตัวอย่างที่ 2 ให้เซตประกอบด้วยทั้งหมด จุดที่มีเหตุผล ส่วน ชุดนี้ไม่มีจุดแยก แต่ละจุดของเซกเมนต์เป็นจุดจำกัด และจุดอื่นๆ ทั้งหมดบนเส้นจะอยู่ภายนอก เป็นที่ชัดเจนว่าในจุดจำกัดของเซตมีทั้งที่เป็นของมันและไม่ใช่ของเซต

ตัวอย่างที่ 3 ให้เซตประกอบด้วยจุดทั้งหมดของเซ็กเมนต์ ดังตัวอย่างที่แล้ว เซตไม่มีจุดแยก และแต่ละจุดของเซ็กเมนต์คือจุดจำกัด อย่างไรก็ตาม ไม่เหมือนกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ จุดจำกัดทั้งหมดเป็นของชุดนี้

ตัวอย่างที่ 4 ให้เซตประกอบด้วยจุดทั้งหมดที่มีพิกัดจำนวนเต็มบนเส้น แต่ละจุดเป็นจุดแยก ชุดไม่มีขีด จำกัด

โปรดทราบว่าในตัวอย่างที่ 3 จุดใดๆ ของช่วงเวลาเป็นจุดภายใน และในตัวอย่างที่ 2 จุดใดๆ ของส่วนเป็นจุดขอบเขต

จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นได้ว่า ชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดจุดบนเส้นสามารถมีได้ จุดแยกหรืออาจไม่มีก็ได้; ในแบบที่จะสามารถมีได้ จุดภายในและอาจไม่มีก็ได้ สำหรับจุดจำกัด เฉพาะชุดของตัวอย่างที่ 4 เท่านั้นที่ไม่มีจุดจำกัดใดๆ ดังที่ทฤษฎีบทสำคัญถัดไปแสดงให้เห็น นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าเซตไม่มีขอบเขต

ทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวเออร์ชตราส

ทุกชุดของจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดที่มีขอบเขตบนเส้นมีจุดจำกัดอย่างน้อยหนึ่งจุด

มาพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้กัน อนุญาต เป็นชุดของจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดบนเส้นตรง เนื่องจากชุดมีขอบเขต จึงอยู่ในบางส่วนทั้งหมด ขอแบ่งครึ่งส่วนนี้ เนื่องจากเซตนั้นไม่มีที่สิ้นสุด ดังนั้นอย่างน้อยหนึ่งในกลุ่มผลลัพธ์จึงมีคะแนนของเซตมากมายนับไม่ถ้วน ให้เราแสดงส่วนนี้ด้วย (หากมีจุดมากมายของเซตในทั้งสองซีกของเซ็กเมนต์ ตัวอย่างเช่น จุดซ้ายสามารถแทนด้วย) ต่อไปเราจะแบ่งส่วนออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน เนื่องจากส่วนหนึ่งของชุดที่อยู่ในส่วนนั้นไม่มีที่สิ้นสุด ดังนั้นอย่างน้อยหนึ่งส่วนที่ได้รับจึงมีคะแนนมากมายของชุด เรามาแทนส่วนนี้ด้วย ให้เราดำเนินกระบวนการแบ่งครึ่งส่วนไปเรื่อย ๆ และแต่ละครั้งเราจะเอาครึ่งที่มีคะแนนมากมายของชุด . เราจะได้ลำดับของเซ็กเมนต์ ลำดับของเซ็กเมนต์นี้มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ แต่ละเซกเมนต์ถัดไปจะอยู่ในเซ็กเมนต์ก่อนหน้า แต่ละส่วนประกอบด้วยคะแนนมากมายของชุด ความยาวของส่วนมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ คุณสมบัติสองอย่างแรกของลำดับต่อจากการสร้างของมันโดยตรง และเพื่อพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้าย ก็เพียงพอแล้วที่จะสังเกตว่าถ้าความยาวของส่วนคือ ความยาวของส่วนคือ โดยอาศัยหลักการของคันทอร์ มีจุดเดียวที่เป็นของทุกส่วน ให้เราแสดงว่าจุดนี้เป็นจุดจำกัดของเซต ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะระบุว่าหากมีบางช่วงเวลาที่มี point ก็จะมีจุดมากมายของ set นับไม่ถ้วน เนื่องจากแต่ละส่วนมีจุดหนึ่งและความยาวของส่วนมีแนวโน้มเป็นศูนย์ ดังนั้นก็เพียงพอแล้ว ตัดใหญ่จะถูกรวมไว้ทั้งหมดในช่วงเวลา แต่โดยเงื่อนไขแล้ว มันมีจุดมากมายของเซต ดังนั้นจึงมีจุดมากมายของชุด ดังนั้น ประเด็นนี้จึงเป็นจุดจำกัดของเซต และมีการพิสูจน์ทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวเออร์ชตราส