การแสดงพหุนามในรูปแบบมาตรฐานหมายความว่าอย่างไร การลดพหุนามเป็นรูปแบบมาตรฐานหมายความว่าอย่างไร แยกตัวประกอบพหุนาม

ในบรรดานิพจน์ต่าง ๆ ที่พิจารณาในพีชคณิต ได้แก่ สถานที่สำคัญครอบครองผลรวมของ monomials นี่คือตัวอย่างของสำนวนดังกล่าว:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

ผลรวมของเอกนามเรียกว่าพหุนาม เงื่อนไขในพหุนามเรียกว่าเงื่อนไขของพหุนาม Monomials ยังถูกจัดประเภทเป็นพหุนาม โดยพิจารณาว่า monomial เป็นพหุนามที่ประกอบด้วยสมาชิกหนึ่งตัว

ตัวอย่างเช่น พหุนาม
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
สามารถทำให้ง่ายขึ้น

ให้เราแสดงคำศัพท์ทั้งหมดในรูปแบบของ monomials ของรูปแบบมาตรฐาน:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

ให้เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันในพหุนามผลลัพธ์:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
ผลลัพธ์ที่ได้คือพหุนาม ซึ่งเงื่อนไขทั้งหมดเป็นแบบเอกพจน์ของรูปแบบมาตรฐาน และในจำนวนนั้นไม่มีคำที่คล้ายคลึงกัน พหุนามดังกล่าวเรียกว่า พหุนามของรูปแบบมาตรฐาน.

สำหรับ ระดับของพหุนามของรูปแบบมาตรฐานจะมีอำนาจสูงสุดของสมาชิก ดังนั้น ทวินาม \(12a^2b - 7b\) มีดีกรีที่สาม และตรีโนเมียล \(2b^2 -7b + 6\) มีดีกรีที่สอง

โดยทั่วไป เงื่อนไขของพหุนามรูปแบบมาตรฐานที่มีตัวแปรหนึ่งตัวจะถูกจัดเรียงตามเลขชี้กำลังจากมากไปน้อย ตัวอย่างเช่น:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

ผลรวมของพหุนามหลายตัวสามารถแปลง (ทำให้ง่ายขึ้น) ให้เป็นพหุนามในรูปแบบมาตรฐานได้

บางครั้งเงื่อนไขของพหุนามจำเป็นต้องแบ่งออกเป็นกลุ่มๆ โดยใส่แต่ละกลุ่มไว้ในวงเล็บ เนื่องจากการถ่ายคร่อมเป็นการเปลี่ยนแปลงแบบผกผันของวงเล็บเปิด จึงง่ายต่อการกำหนด กฎการเปิดวงเล็บ:

หากใส่เครื่องหมาย “+” หน้าวงเล็บ คำศัพท์ที่อยู่ในวงเล็บจะเขียนด้วยเครื่องหมายเดียวกัน

หากใส่เครื่องหมาย “-” หน้าวงเล็บ คำศัพท์ที่อยู่ในวงเล็บจะเขียนด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม

การแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของผลิตภัณฑ์ของ monomial และพหุนาม

การใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณ คุณสามารถแปลง (ลดรูป) ผลคูณของโมโนเมียลและพหุนามให้เป็นพหุนามได้ ตัวอย่างเช่น:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

ผลคูณของโมโนเมียลและพหุนามมีค่าเท่ากันกับผลรวมของผลคูณของโมโนเมียลนี้และแต่ละเทอมของพหุนาม

ผลลัพธ์นี้มักจะถูกกำหนดเป็นกฎ

หากต้องการคูณโมโนเมียลด้วยพหุนาม คุณต้องคูณโมโนเมียลนั้นด้วยเงื่อนไขแต่ละข้อของพหุนาม

เราได้ใช้กฎนี้หลายครั้งเพื่อคูณด้วยผลรวม

ผลคูณของพหุนาม การแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของผลิตภัณฑ์ของพหุนามสองตัว

โดยทั่วไป ผลคูณของพหุนามสองตัวจะเท่ากันกับผลรวมของผลคูณของแต่ละเทอมของพหุนามหนึ่งและแต่ละเทอมของอีกเทอมหนึ่ง

โดยปกติจะใช้กฎต่อไปนี้

ในการคูณพหุนามด้วยพหุนาม คุณต้องคูณแต่ละเทอมของพหุนามหนึ่งด้วยแต่ละเทอมของอีกเทอมหนึ่ง แล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้

สูตรคูณแบบย่อ ผลรวมกำลังสอง ผลต่าง และผลต่างของกำลังสอง

โดยมีสำนวนบางอย่างอยู่ใน การแปลงพีชคณิตต้องรับมือบ่อยกว่าคนอื่น บางที สำนวนที่พบบ่อยที่สุดคือ \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) และ \(a^2 - b^2 \) กล่าวคือ กำลังสองของผลรวม กำลังสองของ ความแตกต่างและความแตกต่างของกำลังสอง สังเกตไหมว่าชื่อ. การแสดงออกที่ระบุราวกับว่ายังไม่สมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น \((a + b)^2 \) ไม่ใช่แค่กำลังสองของผลรวม แต่เป็นกำลังสองของผลรวมของ a และ b อย่างไรก็ตาม ผลบวกกำลังสองของ a และ b ไม่ได้เกิดขึ้นบ่อยนัก ตามกฎแล้ว แทนที่จะเป็นตัวอักษร a และ b กลับมีสำนวนที่หลากหลาย ซึ่งบางครั้งก็ค่อนข้างซับซ้อน

นิพจน์ \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) สามารถแปลง (ลดความซับซ้อน) ให้เป็นพหุนามในรูปแบบมาตรฐานได้อย่างง่ายดาย ที่จริงแล้ว คุณประสบปัญหาดังกล่าวแล้วเมื่อทำการคูณพหุนาม : :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= ก^2 + 2ab + ข^2 \)

จะมีประโยชน์ในการจดจำข้อมูลประจำตัวที่เป็นผลลัพธ์และนำไปใช้โดยไม่ต้องคำนวณขั้นกลาง สูตรวาจาสั้น ๆ ช่วยเรื่องนี้

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - กำลังสองของผลรวมเท่ากับผลรวมของกำลังสองและผลคูณสองเท่า

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - กำลังสองของผลต่างเท่ากับผลรวมของกำลังสองที่ไม่มีผลคูณสองเท่า

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ผลต่างของกำลังสองเท่ากับผลคูณของผลต่างและผลรวม

อัตลักษณ์ทั้งสามนี้ทำให้สามารถแทนที่ชิ้นส่วนทางด้านซ้ายด้วยชิ้นส่วนทางขวาในการแปลงและในทางกลับกัน - ชิ้นส่วนทางขวาด้วยชิ้นส่วนทางซ้าย สิ่งที่ยากที่สุดคือการดูนิพจน์ที่เกี่ยวข้องและทำความเข้าใจว่าตัวแปร a และ b ถูกแทนที่ด้วยตัวแปรเหล่านั้นอย่างไร มาดูตัวอย่างการใช้สูตรคูณแบบย่อกัน

บน บทเรียนนี้เราจะจำคำจำกัดความพื้นฐานของหัวข้อนี้และพิจารณาปัญหาทั่วไปบางประการ เช่น การลดพหุนามเป็น มุมมองมาตรฐานและคำนวณค่าตัวเลขที่ ค่าที่กำหนดตัวแปร เราจะแก้ตัวอย่างหลายๆ ตัวอย่างโดยจะใช้การลดขนาดเป็นรูปแบบมาตรฐานในการแก้ปัญหา หลากหลายชนิดงาน

เรื่อง:พหุนาม การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับ monomial

บทเรียน:การลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน งานทั่วไป

ขอให้เราจำคำจำกัดความพื้นฐาน: พหุนามคือผลรวมของ monomials แต่ละ monomial ที่เป็นส่วนหนึ่งของพหุนามเป็นคำเรียกว่าสมาชิก ตัวอย่างเช่น:

ทวินาม;

พหุนาม;

ทวินาม;

เนื่องจากพหุนามประกอบด้วยโมโนเมียล การดำเนินการแรกกับพหุนามจึงต่อจากนี้ คุณจึงต้องนำโมโนเมียลทั้งหมดมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน เราขอเตือนคุณว่าในการทำเช่นนี้คุณต้องคูณตัวประกอบตัวเลขทั้งหมด - รับสัมประสิทธิ์ตัวเลขและคูณกำลังที่สอดคล้องกัน - รับส่วนของตัวอักษร นอกจากนี้ ให้เราใส่ใจกับทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลคูณของกำลัง: เมื่อยกกำลังขึ้น เลขยกกำลังก็จะเพิ่มขึ้น

ลองพิจารณาดู การดำเนินงานที่สำคัญ- นำพหุนามมาสู่รูปแบบมาตรฐาน ตัวอย่าง:

หมายเหตุ: ในการนำพหุนามมาสู่รูปแบบมาตรฐานคุณจะต้องนำ monomials ทั้งหมดที่รวมอยู่ในองค์ประกอบมาเป็นรูปแบบมาตรฐานหลังจากนั้นหากมี monomials ที่คล้ายกัน - และสิ่งเหล่านี้เป็น monomials ที่มีส่วนตัวอักษรเดียวกัน - ให้ดำเนินการกับพวกมัน .

ดังนั้นเราจึงดูปัญหาทั่วไปข้อแรก นั่นคือการนำพหุนามมาสู่รูปแบบมาตรฐาน

ต่อไป งานทั่วไป- การคำนวณค่าเฉพาะของพหุนามสำหรับค่าตัวเลขที่กำหนดของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น มาดูตัวอย่างก่อนหน้านี้ต่อไปและตั้งค่าของตัวแปร:

หมายเหตุ: จำได้ว่ามีหน่วยใดหน่วยหนึ่ง ระดับธรรมชาติมีค่าเท่ากับ 1 และ 0 ของกำลังธรรมชาติใดๆ ก็เท่ากับ 0 นอกจากนี้ จำไว้ว่าเมื่อคูณตัวเลขใดๆ ด้วยศูนย์ เราจะได้ 0

ลองดูตัวอย่างการดำเนินการทั่วไปในการลดพหุนามให้เป็นรูปแบบมาตรฐานและคำนวณค่าของมัน:

ตัวอย่างที่ 1 - นำมาสู่รูปแบบมาตรฐาน:

หมายเหตุ: ขั้นตอนแรกคือการนำ monomials มาสู่รูปแบบมาตรฐานคุณต้องนำ monomials ที่หนึ่งที่สองและที่หก การกระทำที่สอง - เรานำเงื่อนไขที่คล้ายกันมานั่นคือเราปฏิบัติงานที่ได้รับมอบหมายกับพวกเขา การดำเนินการทางคณิตศาสตร์: เราเพิ่มอันแรกด้วยอันที่ห้าอันที่สองกับอันที่สามส่วนที่เหลือจะถูกเขียนใหม่โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงเนื่องจากไม่มีสิ่งที่คล้ายกัน

ตัวอย่างที่ 2 - คำนวณค่าของพหุนามจากตัวอย่างที่ 1 โดยพิจารณาค่าของตัวแปร:

หมายเหตุ: เมื่อคำนวณ คุณควรจำไว้ว่าหน่วยของกำลังธรรมชาติใด ๆ นั้นเป็นหนึ่ง ถ้าการคำนวณกำลังของสองเป็นเรื่องยาก คุณสามารถใช้ตารางกำลังได้

ตัวอย่างที่ 3 - แทนที่จะใส่เครื่องหมายดอกจัน ให้ใส่ monomial โดยที่ผลลัพธ์ไม่มีตัวแปร:

หมายเหตุ: ไม่ว่างานไหน การกระทำแรกจะเหมือนเดิมเสมอ - นำพหุนามมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ในตัวอย่างของเรา การกระทำนี้เกิดจากการนำคำที่คล้ายกันมาใช้ หลังจากนี้ คุณควรอ่านเงื่อนไขอย่างละเอียดอีกครั้ง และคิดว่าเราจะกำจัด monomial ได้อย่างไร เห็นได้ชัดว่าสำหรับสิ่งนี้คุณต้องเพิ่ม monomial แบบเดียวกันลงไป แต่ด้วย เครื่องหมายตรงข้าม- ต่อไป เราจะแทนที่เครื่องหมายดอกจันด้วยเครื่องหมาย monomial นี้ และตรวจสอบให้แน่ใจว่าวิธีแก้ของเราถูกต้อง

พหุนามคือผลรวมของเอกนาม หากเงื่อนไขทั้งหมดของพหุนามถูกเขียนในรูปแบบมาตรฐาน (ดูย่อหน้าที่ 51) และเงื่อนไขที่คล้ายกันลดลง คุณจะได้พหุนามที่มีรูปแบบมาตรฐาน

นิพจน์จำนวนเต็มใดๆ สามารถแปลงเป็นพหุนามในรูปแบบมาตรฐานได้ - นี่คือจุดประสงค์ของการแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของนิพจน์จำนวนเต็ม

ลองดูตัวอย่างที่ต้องลดนิพจน์ทั้งหมดให้อยู่ในรูปมาตรฐานของพหุนาม

สารละลาย. อันดับแรก นำเงื่อนไขของพหุนามมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐานกันก่อน เราได้รับ หลังจากนำคำศัพท์ที่คล้ายกันมา เราจะได้พหุนามของรูปแบบมาตรฐาน

สารละลาย. หากมีเครื่องหมายบวกอยู่หน้าวงเล็บ ก็สามารถละเว้นวงเล็บได้ โดยคงเครื่องหมายของคำศัพท์ทั้งหมดที่อยู่ในวงเล็บไว้ เมื่อใช้กฎนี้ในการเปิดวงเล็บ เราจะได้:

สารละลาย. ถ้าวงเล็บนำหน้าด้วยเครื่องหมายลบ ก็ละเว้นวงเล็บได้โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของพจน์ทั้งหมดที่อยู่ในวงเล็บ เมื่อใช้กฎนี้เพื่อซ่อนวงเล็บ เราจะได้:

สารละลาย. ผลคูณของเอกนามและพหุนามตามกฎหมายการกระจายจะเท่ากับผลรวมของผลคูณของเอกนามนี้และสมาชิกของพหุนามแต่ละตัว เราได้รับ

สารละลาย. เรามี

สารละลาย. เรามี

ยังคงให้เงื่อนไขที่คล้ายกัน (ขีดเส้นใต้) เราได้รับ:

53. สูตรคูณแบบย่อ

ในบางกรณี การนำนิพจน์ทั้งหมดมาสู่รูปแบบมาตรฐานของพหุนามจะดำเนินการโดยใช้อัตลักษณ์:

ตัวตนเหล่านี้เรียกว่าสูตรคูณแบบย่อ

ลองดูตัวอย่างที่คุณต้องแปลงนิพจน์ที่กำหนดเป็นรูปแบบมาตรฐาน myogochlea

ตัวอย่างที่ 1. .

สารละลาย. เมื่อใช้สูตร (1) เราได้รับ:

ตัวอย่างที่ 2. .

สารละลาย.

ตัวอย่างที่ 3. .

สารละลาย. เมื่อใช้สูตร (3) เราได้รับ:

ตัวอย่างที่ 4

สารละลาย. เมื่อใช้สูตร (4) เราได้รับ:

54. แยกตัวประกอบพหุนาม

บางครั้งคุณสามารถแปลงพหุนามเป็นผลคูณของหลายปัจจัยได้ - พหุนามหรือชื่อย่อย นี้ การเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์เรียกว่าการแยกตัวประกอบของพหุนาม ในกรณีนี้ พหุนามบอกว่าหารด้วยตัวประกอบแต่ละตัวลงตัวได้

มาดูวิธีแยกตัวประกอบพหุนามกัน

1) นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ การเปลี่ยนแปลงนี้เป็นผลโดยตรงจากกฎการกระจาย (เพื่อความชัดเจน คุณเพียงแค่ต้องเขียนกฎนี้ใหม่ "จากขวาไปซ้าย"):

ตัวอย่างที่ 1: แยกตัวประกอบพหุนาม

สารละลาย. -

โดยปกติ เมื่อนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ ตัวแปรแต่ละตัวที่อยู่ในเงื่อนไขทั้งหมดของพหุนามจะถูกนำออกไปพร้อมกับเลขชี้กำลังต่ำสุดที่มีอยู่ในพหุนามนี้ หากค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม ค่าโมดูลัสที่ใหญ่ที่สุดจะถูกนำมาเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของตัวประกอบร่วม ตัวหารร่วมสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนาม

2) การใช้สูตรคูณแบบย่อ สูตร (1) - (7) จากย่อหน้าที่ 53 เมื่ออ่านจากขวาไปซ้าย ในหลายกรณีกลับกลายเป็นว่ามีประโยชน์ในการแยกตัวประกอบพหุนาม

ตัวอย่างที่ 2 แยกตัวประกอบ

สารละลาย. เรามี. การใช้สูตร (1) (ผลต่างของกำลังสอง) เราได้รับ โดยการสมัคร

ตอนนี้สูตร (4) และ (5) (ผลรวมของลูกบาศก์ ผลต่างของลูกบาศก์) เราได้:

ตัวอย่างที่ 3. .

สารละลาย. ขั้นแรก นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บก่อน ในการทำเช่นนี้ เราจะค้นหาตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของสัมประสิทธิ์ 4, 16, 16 และเลขชี้กำลังที่เล็กที่สุดซึ่งมีตัวแปร a และ b รวมอยู่ในองค์ประกอบ monomials ของพหุนามนี้ เราได้รับ:

3) วิธีการจัดกลุ่ม ขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่ากฎการสับเปลี่ยนและกฎการบวกของการบวกอนุญาตให้สมาชิกของพหุนามสามารถจัดกลุ่มได้ ในรูปแบบต่างๆ- บางครั้งเป็นไปได้ที่จะจัดกลุ่มในลักษณะที่ว่าหลังจากนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บแล้ว พหุนามเดียวกันจะยังคงอยู่ในวงเล็บในแต่ละกลุ่ม ซึ่งในทางกลับกัน ในฐานะปัจจัยร่วม ก็สามารถนำออกจากวงเล็บได้ เรามาดูตัวอย่างการแยกตัวประกอบพหุนามกัน

ตัวอย่างที่ 4. .

สารละลาย. มาจัดกลุ่มกันดังนี้:

ในกลุ่มแรก ลองนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บไปเป็นตัวที่สอง - ตัวประกอบร่วม 5 เราได้แล้ว ตอนนี้เราใส่พหุนามเป็นตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ: ดังนั้น เราได้:

ตัวอย่างที่ 5

สารละลาย. -

ตัวอย่างที่ 6

สารละลาย. ในที่นี้ ไม่มีการจัดกลุ่มใดที่จะนำไปสู่การปรากฏพหุนามที่เหมือนกันในทุกกลุ่ม ในกรณีเช่นนี้ บางครั้งอาจเป็นประโยชน์ที่จะแทนสมาชิกของพหุนามเป็นผลรวม แล้วลองใช้วิธีจัดกลุ่มอีกครั้ง ในตัวอย่างของเรา ขอแนะนำให้แสดงเป็นผลรวมที่เราได้รับ

ตัวอย่างที่ 7

สารละลาย. บวกและลบ monomial ที่เราได้รับ

55. พหุนามในตัวแปรเดียว

พหุนาม โดยที่ a, b เป็นจำนวนตัวแปร เรียกว่าพหุนามของดีกรีที่ 1 พหุนามโดยที่ a, b, c เป็นจำนวนตัวแปร เรียกว่าพหุนามของดีกรีที่สอง หรือ ตรีโกณมิติกำลังสอง- พหุนามโดยที่ a, b, c, d เป็นตัวเลข ตัวแปรนี้เรียกว่าพหุนามของดีกรีที่สาม

โดยทั่วไป ถ้า o เป็นตัวแปร มันก็จะเป็นพหุนาม

เรียกว่าระดับ lsmogochnolenol (เทียบกับ x); , เทอม m ของพหุนาม, สัมประสิทธิ์, เทอมนำหน้าของพหุนาม, a คือสัมประสิทธิ์ของเทอมนำหน้า, เทอมอิสระของพหุนาม โดยทั่วไปแล้ว พหุนามจะถูกเขียนด้วยกำลังจากมากไปน้อยของตัวแปร กล่าวคือ กำลังของตัวแปรจะค่อยๆ ลดลง โดยเฉพาะคำนำหน้าจะอยู่ในตำแหน่งแรก และพจน์อิสระจะอยู่ในตำแหน่งสุดท้าย ระดับของพหุนามคือระดับของพจน์สูงสุด

ตัวอย่างเช่น พหุนามของดีกรีที่ 5 ซึ่งเทอมที่นำหน้าคือ 1 คือเทอมอิสระของพหุนาม

รากของพหุนามคือค่าที่ทำให้พหุนามหายไป ตัวอย่างเช่น จำนวน 2 คือรากของพหุนามตั้งแต่นั้นมา

ในบทนี้ เราจะจำคำจำกัดความพื้นฐานของหัวข้อนี้และพิจารณาปัญหาทั่วไปบางประการ กล่าวคือ การลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน และการคำนวณค่าตัวเลขสำหรับค่าตัวแปรที่กำหนด เราจะแก้ตัวอย่างหลายๆ ตัวอย่างซึ่งจะใช้การลดขนาดเป็นรูปแบบมาตรฐานเพื่อแก้ไขปัญหาประเภทต่างๆ

เรื่อง:พหุนาม การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับ monomial

บทเรียน:การลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน งานทั่วไป

ขอให้เราจำคำจำกัดความพื้นฐาน: พหุนามคือผลรวมของ monomials แต่ละ monomial ที่เป็นส่วนหนึ่งของพหุนามเป็นคำเรียกว่าสมาชิก ตัวอย่างเช่น:

ทวินาม;

พหุนาม;

ทวินาม;

เนื่องจากพหุนามประกอบด้วยโมโนเมียล การดำเนินการแรกกับพหุนามจึงต่อจากนี้ คุณจึงต้องนำโมโนเมียลทั้งหมดมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน เราขอเตือนคุณว่าในการทำเช่นนี้คุณต้องคูณตัวประกอบตัวเลขทั้งหมด - รับสัมประสิทธิ์ตัวเลขและคูณกำลังที่สอดคล้องกัน - รับส่วนของตัวอักษร นอกจากนี้ ให้เราใส่ใจกับทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลคูณของกำลัง: เมื่อยกกำลังขึ้น เลขยกกำลังก็จะเพิ่มขึ้น

ลองพิจารณาการดำเนินการที่สำคัญ - การลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ตัวอย่าง:

หมายเหตุ: ในการนำพหุนามมาสู่รูปแบบมาตรฐานคุณจะต้องนำ monomials ทั้งหมดที่รวมอยู่ในองค์ประกอบมาเป็นรูปแบบมาตรฐานหลังจากนั้นหากมี monomials ที่คล้ายกัน - และสิ่งเหล่านี้เป็น monomials ที่มีส่วนตัวอักษรเดียวกัน - ให้ดำเนินการกับพวกมัน .

ดังนั้นเราจึงดูปัญหาทั่วไปข้อแรก นั่นคือการนำพหุนามมาสู่รูปแบบมาตรฐาน

งานทั่วไปถัดไปคือการคำนวณค่าเฉพาะของพหุนามสำหรับค่าตัวเลขที่กำหนดของตัวแปร มาดูตัวอย่างก่อนหน้านี้ต่อไปและตั้งค่าของตัวแปร:

หมายเหตุ: จำไว้ว่า 1 ต่อพลังธรรมชาติมีค่าเท่ากับ 1 และ 0 ต่อพลังธรรมชาติมีค่าเท่ากับ 0 นอกจากนี้ โปรดจำไว้ว่าเมื่อคูณตัวเลขใดๆ ด้วยศูนย์ เราจะได้ศูนย์

ลองดูตัวอย่างการดำเนินการทั่วไปในการลดพหุนามให้เป็นรูปแบบมาตรฐานและคำนวณค่าของมัน:

ตัวอย่างที่ 1 - นำมาสู่รูปแบบมาตรฐาน:

หมายเหตุ: ขั้นตอนแรกคือการนำ monomials มาสู่รูปแบบมาตรฐานคุณต้องนำ monomials ที่หนึ่งที่สองและที่หก การกระทำที่สอง - เรานำเงื่อนไขที่คล้ายกันมานั่นคือเราดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่กำหนด: เราเพิ่มอันแรกด้วยอันที่ห้าอันที่สองกับอันที่สามเราเขียนส่วนที่เหลือใหม่โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงเนื่องจากไม่มีอันที่คล้ายกัน

ตัวอย่างที่ 2 - คำนวณค่าของพหุนามจากตัวอย่างที่ 1 โดยพิจารณาค่าของตัวแปร:

หมายเหตุ: เมื่อคำนวณ คุณควรจำไว้ว่าหน่วยของกำลังธรรมชาติใด ๆ นั้นเป็นหนึ่ง ถ้าการคำนวณกำลังของสองเป็นเรื่องยาก คุณสามารถใช้ตารางกำลังได้

ตัวอย่างที่ 3 - แทนที่จะใส่เครื่องหมายดอกจัน ให้ใส่ monomial โดยที่ผลลัพธ์ไม่มีตัวแปร:

หมายเหตุ: ไม่ว่างานไหน การกระทำแรกจะเหมือนเดิมเสมอ - นำพหุนามมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ในตัวอย่างของเรา การกระทำนี้เกิดจากการนำคำที่คล้ายกันมาใช้ หลังจากนี้ คุณควรอ่านเงื่อนไขอย่างละเอียดอีกครั้ง และคิดว่าเราจะกำจัด monomial ได้อย่างไร เห็นได้ชัดว่าสำหรับสิ่งนี้คุณต้องเพิ่ม monomial เดียวกัน แต่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม - . ต่อไป เราจะแทนที่เครื่องหมายดอกจันด้วยเครื่องหมาย monomial นี้ และตรวจสอบให้แน่ใจว่าวิธีแก้ของเราถูกต้อง

คำแนะนำ

ขยายวงเล็บทั้งหมดของนิพจน์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้สูตร เช่น (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 ถ้าคุณไม่ทราบสูตร หรือสูตรเหล่านี้ใช้กับนิพจน์ที่กำหนดได้ยาก ให้เปิดวงเล็บตามลำดับ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณเทอมแรกของนิพจน์แรกด้วยแต่ละเทอมของนิพจน์ที่สอง จากนั้นคูณเทอมที่สองของนิพจน์แรกด้วยแต่ละเทอมของนิพจน์ที่สอง เป็นต้น ผลที่ได้คือคูณองค์ประกอบทั้งหมดของวงเล็บทั้งสองเข้าด้วยกัน

หากคุณมีสามนิพจน์ในวงเล็บ ให้คูณสองนิพจน์แรกก่อน โดยไม่แตะต้องนิพจน์ที่สาม หลังจากทำให้ผลลัพธ์ที่ได้จากการแปลงวงเล็บแรกง่ายขึ้นแล้ว ให้คูณด้วยนิพจน์ที่สาม

เดินตามป้ายหน้าปัจจัย monomial อย่างระมัดระวัง หากคุณคูณสองพจน์ด้วยเครื่องหมายเดียวกัน (เช่น ทั้งสองเป็นบวกหรือลบทั้งคู่) เอกพจน์จะมีเครื่องหมาย "+" หากมีคำใดคำหนึ่งมี “-” นำหน้า อย่าลืมโอนไปที่ตัวสินค้าด้วย

ลด monomials ทั้งหมดให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน นั่นคือจัดเรียงปัจจัยภายในใหม่และทำให้ง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น นิพจน์ 2x*(3.5x) จะเท่ากับ (2*3.5)*x*x=7x^2

เมื่อโมโนเมียลทั้งหมดได้มาตรฐานแล้ว ให้ลองจัดรูปพหุนามให้ง่ายขึ้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ สมาชิกกลุ่มที่มีส่วนเดียวกันกับตัวแปร เช่น (2x+5x-6x)+(1-2) ลดรูปนิพจน์ คุณจะได้ x-1

หากต้องการแปลงนิพจน์ที่มีรากเป็นพหุนาม ให้พิมพ์นิพจน์ที่จะยกกำลังสองไว้ด้านล่าง ตัวอย่างเช่น ใช้สูตร a^2+2ab+b^2 =(a+b)^2 จากนั้นลบเครื่องหมายรูทพร้อมกับ แม้แต่ปริญญา- ถ้าคุณไม่สามารถกำจัดเครื่องหมายรูตออกไปได้ คุณจะไม่สามารถแปลงนิพจน์ให้เป็นพหุนามมาตรฐานได้

แหล่งที่มา:

• เครื่องคำนวณการแปลงพหุนาม

อย่างที่พวกเขาพูดกันว่า Brevity เป็นน้องสาวของพรสวรรค์ ใครๆ ก็อยากอวดความสามารถของตัวเอง แต่น้องสาวของเขากลับมีเรื่องซับซ้อน ด้วยเหตุผลบางอย่าง ความคิดอันชาญฉลาดจึงเกิดขึ้นในรูปแบบของ ประโยคที่ซับซ้อนพร้อมคำวิเศษณ์มากมาย อย่างไรก็ตาม ขึ้นอยู่กับคุณแล้วที่จะต้องทำให้ข้อเสนอของคุณง่ายขึ้นและทำให้ทุกคนเข้าใจและเข้าถึงได้

คำแนะนำ

เพื่อให้ง่ายขึ้นสำหรับผู้รับ (ไม่ว่าจะเป็นผู้ฟังหรือผู้อ่าน) ให้ลองแทนที่ผู้มีส่วนร่วมและ วลีแบบมีส่วนร่วมอนุประโยคสั้น ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากมีวลีข้างต้นมากเกินไปในประโยคเดียว “ แมวกลับมาบ้านเพิ่งกินหนูส่งเสียงร้องดัง ๆ กอดรัดเจ้าของพยายามสบตาหวังขอปลาที่นำมาจากร้าน” - สิ่งนี้จะไม่ได้ผล แบ่งโครงสร้างออกเป็นหลายส่วน ใช้เวลาของคุณและอย่าพยายามพูดทุกอย่างในประโยคเดียว คุณจะมีความสุข

หากคุณคิดถึงคำพูดที่ยอดเยี่ยม แต่มันกลับกลายเป็นว่ามากเกินไป ข้อย่อย(โดยเฉพาะกับอันเดียว) ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะแบ่งข้อความออกเป็นหลาย ๆ ข้อความ ข้อเสนอส่วนบุคคลหรือละเว้นองค์ประกอบบางอย่าง “ เราตัดสินใจว่าเขาจะบอก Marina Vasilievna ว่า Katya จะบอก Vita ว่า...” - เราสามารถดำเนินต่อไปได้ไม่รู้จบ หยุดให้ทันเวลาและจำไว้ว่าใครจะอ่านหรือฟังเรื่องนี้

ติดป้ายกำกับสมาชิกที่คล้ายกันต่างกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จะเป็นการดีกว่าที่จะเน้นด้วยเส้นเดี่ยว สอง และสาม ใช้สีและรูปร่างเส้นอื่นๆ

ตรวจสอบให้แน่ใจว่าตรงตามเงื่อนไขที่สองที่จำเป็นสำหรับการเขียนพหุนามในรูปแบบมาตรฐาน: ผู้เข้าร่วมแต่ละคนจะต้องแสดงเป็น monomial ในรูปแบบมาตรฐาน: อันดับแรกคือปัจจัยเชิงตัวเลขในสถานที่ที่สองคือตัวแปรหรือตัวแปร ตามลำดับที่ระบุไว้แล้ว ในกรณีนี้จะมีลำดับตัวอักษรที่ระบุด้วยตัวอักษร องศาที่ลดลงจะถูกนำมาพิจารณาเป็นลำดับที่สอง ดังนั้น รูปแบบมาตรฐานของโมโนเมียลคือสัญกรณ์ 7xy2 ในขณะที่ y27x, x7y2, y2x7, 7y2x, xy27 ไม่จำเป็น

วิดีโอในหัวข้อ

วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ศึกษาโครงสร้างต่างๆ ลำดับของตัวเลข ความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลข การแต่งสมการ และการแก้สมการ นี้ ภาษาทางการซึ่งสามารถอธิบายผู้ใกล้ชิดได้ชัดเจน คุณสมบัติในอุดมคติวัตถุจริงที่ศึกษาในสาขาวิทยาศาสตร์อื่น โครงสร้างหนึ่งคือพหุนาม

คำแนะนำ

พหุนามหรือ (จากภาษากรีก "โพลี" - หลายและภาษาละติน "ชื่อ" - ชื่อ) – ฟังก์ชั่นเบื้องต้นพีชคณิตคลาสสิกและ เรขาคณิตเชิงพีชคณิต- นี่คือฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่งซึ่งมีรูปแบบ F(x) = c_0 + c_1*x + ... + c_n*x^n โดยที่ c_i เป็นค่าสัมประสิทธิ์คงที่ x คือตัวแปร

พหุนามถูกนำมาใช้ในหลายพื้นที่ รวมถึงการศึกษาจำนวนศูนย์ ลบ และจำนวนเชิงซ้อน ทฤษฎีกลุ่ม วงแหวน ปม เซต ฯลฯ การใช้การคำนวณพหุนามช่วยลดความยุ่งยากในการแสดงออกของคุณสมบัติของวัตถุต่างๆ

คำจำกัดความพื้นฐาน:
แต่ละพจน์ของพหุนามเรียกว่า monomial
พหุนามที่ประกอบด้วยสอง monomial เรียกว่าทวินามหรือทวินาม
สัมประสิทธิ์พหุนาม – จริงหรือ จำนวนเชิงซ้อน.
หากค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1 จะเรียกว่ารวมกัน (ลดลง)
องศาของตัวแปรในแต่ละ monomial เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ลบ ระดับสูงสุดกำหนดระดับของพหุนาม และระดับเต็มของมันถูกเรียกว่าจำนวนเต็ม เท่ากับผลรวมทุกองศา
เอกพจน์ที่สอดคล้องกับดีกรีศูนย์เรียกว่าพจน์อิสระ
พหุนามที่มีดีกรีรวมเท่ากันเรียกว่าเอกพันธ์

พหุนามที่ใช้กันทั่วไปบางตัวตั้งชื่อตามนักวิทยาศาสตร์ที่นิยามพหุนามเหล่านี้ เช่นเดียวกับฟังก์ชันที่พหุนามกำหนด ตัวอย่างเช่น ทวินามของนิวตันใช้สำหรับการแยกพหุนามออกเป็นพจน์แต่ละพจน์เพื่อคำนวณกำลัง เหล่านี้คือผู้มีชื่อเสียง หลักสูตรของโรงเรียนการเขียนกำลังสองของผลรวมและผลต่าง (a + b)^2 – a^2 + 2*a*b + b^2, (a – b)^2 = a^2 – 2*a*b + b^ 2 และผลต่างกำลังสอง (a^2 – b^2) = (a - b)*(a + b)

ถ้าเรายอมให้มีพหุนามอยู่ในสัญกรณ์ พลังเชิงลบแล้วคุณจะได้อนุกรมพหุนามหรือโลร็องต์ พหุนามเชบีเชฟใช้ในทฤษฎีการประมาณค่า พหุนาม Hermite - ในทฤษฎีความน่าจะเป็น ลากรองจ์ - สำหรับ การบูรณาการเชิงตัวเลขและการแก้ไข เทย์เลอร์ - เมื่อประมาณฟังก์ชัน ฯลฯ

โปรดทราบ

ทวินามของนิวตันมักถูกกล่าวถึงในหนังสือ (The Master และ Margarita) และภาพยนตร์ (Stalker) เมื่อตัวละครตัดสินใจ ปัญหาทางคณิตศาสตร์- คำนี้เป็นที่รู้จักกันดีและถือเป็นพหุนามที่มีชื่อเสียงที่สุด

การแปลงสำนวนส่วนใหญ่มักทำโดยมีจุดประสงค์เพื่อทำให้ง่ายขึ้น เพื่อจุดประสงค์นี้มีการใช้ความสัมพันธ์พิเศษตลอดจนกฎสำหรับการลดและลดความสัมพันธ์ที่คล้ายกัน

คุณจะต้อง

• - การดำเนินการกับเศษส่วน
• - สูตรคูณแบบย่อ
• - เครื่องคิดเลข

คำแนะนำ

การเปลี่ยนแปลงที่ง่ายที่สุดคือการนำสิ่งที่คล้ายกันมา หากมีคำศัพท์ที่เป็น monomials ที่มีปัจจัยเหมือนกัน สามารถเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์สำหรับคำเหล่านั้นได้ โดยคำนึงถึงสัญญาณที่ปรากฏด้านหน้าค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้ ตัวอย่างเช่น, การแสดงออก 2n-4n+6n-n=3 น

ถ้าเป็นไปได้ ให้ใช้สูตรคูณแบบย่อ สิ่งที่ได้รับความนิยมมากที่สุดคือลูกบาศก์และกำลังสองของผลรวมหรือผลต่างของตัวเลขสองตัว พวกเขาเป็นตัวแทน กรณีพิเศษนิวตัน. สำหรับสูตรสำหรับการคูณแบบย่อก็ให้ยกกำลังสองของตัวเลขสองตัวด้วย ตัวอย่างเช่น เมื่อต้องการค้นหา 625-1150+529=(25-23)?=4 หรือ 1296-576=(36+24) (36-24)=720

เมื่อจะแปลง การแสดงออกซึ่งแสดงถึง เศษส่วนธรรมชาติให้เลือกตัวประกอบร่วมจากตัวเศษและส่วนแล้วลดตัวเศษและส่วนตามนั้น เช่น ลดเศษส่วน 3 (a+b)/(12 (a?-b?)) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แปลงเป็นรูปแบบ 3 (a+b)/(3 4 (a-b) (a+b)) ตัดมันลง การแสดงออกคูณ 3 (a+b) คุณจะได้ 1/(4 (a-b))