การลดพหุนามเป็นรูปแบบมาตรฐานหมายความว่าอย่างไร ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา

สซล- งาน การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นในรูปแบบขวาน ≥ b หรือขวาน ≤ b โดยที่ a คือเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ b คือเวกเตอร์ข้อจำกัด
แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของ ZLP เรียกว่ามาตรฐานหากมีข้อจำกัดอยู่ในแบบฟอร์ม อสมการเชิงเส้น, ก ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ย่อเล็กสุดหรือขยายให้ใหญ่สุด

วัตถุประสงค์ของการบริการ- เครื่องคิดเลขออนไลน์ได้รับการออกแบบมาเพื่อแปลง KZLP เป็น SZLP โดยการแปลงเมทริกซ์ a เป็นตัวระบุ ในกรณีนี้ อาจมีแบบฟอร์มมาตรฐานสองแบบ:

1. รูปแบบมาตรฐานแรก ขวาน ≥ b , F(X) → นาที
2. รูปแบบมาตรฐานที่สอง ขวาน ≤ b , F(X) → สูงสุด

คำแนะนำ. เลือกจำนวนตัวแปรและจำนวนแถว (จำนวนข้อจำกัด) ผลลัพธ์ที่ได้จะถูกบันทึกเป็นไฟล์ Word

วิธีลดปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นแบบ Canonical ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน
ลดเป็นรูปแบบบัญญัติ

ตัวอย่าง. ให้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นหลักไว้ ด้วยความช่วยเหลือ การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ของระบบจำกัดเพื่อลดปัญหา มุมมองมาตรฐานและแก้ด้วยวิธีเรขาคณิตหรือพิสูจน์ว่าไม่มีแผนที่เหมาะสมที่สุด

เมทริกซ์เพิ่มเติมของระบบข้อจำกัดความเท่าเทียมกันสำหรับปัญหานี้:

1 6 -1 -1 -1 2 5 -12 -1 2 0 -4 3 -1 -2 0 -1 -7

ให้เราลดระบบให้เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์โดยใช้วิธีการแปลงแบบจอร์แดน
1. เลือก x 1 เป็นตัวแปรฐาน
องค์ประกอบความละเอียด RE=1
เส้นที่สอดคล้องกับตัวแปร x 1 ได้มาจากการแบ่งองค์ประกอบทั้งหมดของเส้น x 1 ด้วยองค์ประกอบการแก้ปัญหา RE = 1

ในเซลล์ที่เหลือของคอลัมน์ x 1 เราเขียนศูนย์

ในการทำเช่นนี้ เราเลือกตัวเลขสี่ตัวจากแผนเก่า ซึ่งอยู่ที่จุดยอดของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและรวมองค์ประกอบการแก้ปัญหา RE ไว้ด้วยเสมอ
NE = SE - (A*B)/RE
STE - องค์ประกอบของแผนเก่า RE - องค์ประกอบการแก้ไข (1), A และ B - องค์ประกอบของแผนเก่าสร้างสี่เหลี่ยมด้วยองค์ประกอบ STE ​​และ RE

1: 1	6: 1	-1: 1	-1: 1	-1: 1	2: 1
5-(1 5):1	-12-(6 5):1	-1-(-1 5):1	2-(-1 5):1	0-(-1 5):1	-4-(2 5):1
3-(1 3):1	-1-(6 3):1	-2-(-1 3):1	0-(-1 3):1	-1-(-1 3):1	-7-(2 3):1

2. เราเลือก x 2 เป็นตัวแปรฐาน
องค์ประกอบความละเอียด RE=-42
เส้นที่สอดคล้องกับตัวแปร x 2 ได้มาจากการแบ่งองค์ประกอบทั้งหมดของเส้น x 2 ด้วยองค์ประกอบการแก้ปัญหา RE = -42
แทนที่องค์ประกอบการแก้ไขเราได้รับ 1
ในเซลล์ที่เหลือของคอลัมน์ x 2 เราเขียนศูนย์
องค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดถูกกำหนดโดยกฎสี่เหลี่ยม
นำเสนอการคำนวณแต่ละองค์ประกอบในรูปแบบของตาราง:

1-(0 6):-42	6-(-42 6):-42	-1-(4 6):-42	-1-(7 6):-42	-1-(5 6):-42	2-(-14 6):-42
0: -42	-42: -42	4: -42	7: -42	5: -42	-14: -42
0-(0 -19):-42	-19-(-42 -19):-42	1-(4 -19):-42	3-(7 -19):-42	2-(5 -19):-42	-13-(-14 -19):-42

เราได้รับเมทริกซ์ใหม่:

1	0	-3 / 7	0	-2 / 7	0
0	1	-2 / 21	-1 / 6	-5 / 42	1 / 3
0	0	-17 / 21	-1 / 6	-11 / 42	-20 / 3

3. เราเลือก x 3 เป็นตัวแปรฐาน
องค์ประกอบความละเอียด RE= -17/21
เส้นที่สอดคล้องกับตัวแปร x 3 ได้มาจากการแบ่งองค์ประกอบทั้งหมดของเส้น x 3 ด้วยองค์ประกอบการแก้ปัญหา RE = -17/21
แทนที่องค์ประกอบการแก้ไขเราได้รับ 1
ในเซลล์ที่เหลือของคอลัมน์ x 3 เราเขียนศูนย์
องค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดถูกกำหนดโดยกฎสี่เหลี่ยม
นำเสนอการคำนวณแต่ละองค์ประกอบในรูปแบบของตาราง:

1-(0 -3 / 7): -17 / 21	0-(0 -3 / 7): -17 / 21	-3 / 7 -(-17 / 21 -3 / 7): -17 / 21	0-(-1 / 6 -3 / 7): -17 / 21	-2 / 7 -(-11 / 42 -3 / 7): -17 / 21	0-(-6 2 / 3 -3 / 7): -17 / 21
0-(0 -2 / 21): -17 / 21	1-(0 -2 / 21): -17 / 21	-2 / 21 -(-17 / 21 -2 / 21): -17 / 21	-1 / 6 -(-1 / 6 -2 / 21): -17 / 21	-5 / 42 -(-11 / 42 -2 / 21): -17 / 21	1 / 3 -(-6 2 / 3 -2 / 21): -17 / 21
0: -17 / 21	0: -17 / 21	-17 / 21: -17 / 21	-1 / 6: -17 / 21	-11 / 42: -17 / 21	-6 2 / 3: -17 / 21

เราได้รับเมทริกซ์ใหม่:

1	0	0	3 / 34	-5 / 34	60 / 17
0	1	0	-5 / 34	-3 / 34	19 / 17
0	0	1	7 / 34	11 / 34	140 / 17

เนื่องจากระบบได้ เมทริกซ์เอกลักษณ์จากนั้นเราจะนำ X = (1,2,3) เป็นตัวแปรพื้นฐาน
สมการที่เกี่ยวข้องคือ:
x 1 + 3 / 34 x 4 - 5 / 34 x 5 = 3 9 / 17
x 2 - 5 / 34 x 4 - 3 / 34 x 5 = 1 2 / 17
x 3 + 7 / 34 x 4 + 11 / 34 x 5 = 8 4 / 17
เรามาแสดงตัวแปรพื้นฐานในแง่ของส่วนที่เหลือกันดีกว่า:
x 1 = - 3 / 34 x 4 + 5 / 34 x 5 +3 9 / 17
x 2 = 5 / 34 x 4 + 3 / 34 x 5 +1 2 / 17
x 3 = - 7 / 34 x 4 - 11 / 34 x 5 +8 4 / 17
ลองแทนที่พวกมันลงในฟังก์ชันเป้าหมาย:
F(X) = - 3(- 3/34 x 4 + 5/34 x 5 +3 9/17) + 13(5/34 x 4 + 3/34 x 5 +1 2/17) + (- 7 / 34 x 4 - 11 / 34 x 5 +8 4 / 17) - 2x 4
หรือ

ระบบความไม่เท่าเทียมกัน:
- 3/34x4 + 5/34x5 +3 9/17 ≥ 0
5/34x4 + 3/34x5 +1 2/17 ≥ 0
- 7/34x4 - 11/34x5 +8 4/17 ≥ 0
เราลดระบบความไม่เท่าเทียมลง มุมมองถัดไป:
3 / 34 x 4 - 5 / 34 x 5 ≤ 3 9 / 17
- 5 / 34 x 4 - 3 / 34 x 5 ≤ 1 2 / 17
7/34x4+11/34x5 ≤ 8 4/17
F(X) = - 1 / 34 x 4 + 13 / 34 x 5 +12 3 / 17 → สูงสุด
มาทำให้ระบบง่ายขึ้น
3x 1 - 5x 2 ≤ 120
- 5x 1 - 3x 2 ≤ 38
7x 1 + 11x 2 ≤ 280
F(X) = - x 1 + 13x 2 +414 → สูงสุด

บน บทเรียนนี้เราจะจำคำจำกัดความพื้นฐานของหัวข้อนี้และพิจารณาปัญหาทั่วไปบางประการ กล่าวคือ การลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน และการคำนวณค่าตัวเลขของ ค่าที่กำหนดตัวแปร เราจะแก้ตัวอย่างหลายๆ ตัวอย่างโดยจะใช้การลดขนาดเป็นรูปแบบมาตรฐานในการแก้ปัญหา หลากหลายชนิดงาน

เรื่อง:พหุนาม การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับ monomial

บทเรียน:การลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน งานทั่วไป

ขอให้เราจำคำจำกัดความพื้นฐาน: พหุนามคือผลรวมของ monomials แต่ละ monomial ที่เป็นส่วนหนึ่งของพหุนามเป็นคำเรียกว่าสมาชิก ตัวอย่างเช่น:

ทวินาม;

พหุนาม;

ทวินาม;

เนื่องจากพหุนามประกอบด้วยโมโนเมียล การดำเนินการแรกกับพหุนามจึงต่อจากนี้ คุณจึงต้องนำโมโนเมียลทั้งหมดมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน เราขอเตือนคุณว่าในการทำเช่นนี้คุณต้องคูณตัวประกอบตัวเลขทั้งหมด - รับสัมประสิทธิ์ตัวเลขและคูณกำลังที่สอดคล้องกัน - รับส่วนของตัวอักษร นอกจากนี้ ให้เราให้ความสนใจกับทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลคูณของกำลัง: เมื่อยกกำลังขึ้น เลขชี้กำลังจะรวมกัน

ลองพิจารณาดู การดำเนินงานที่สำคัญ- นำพหุนามมาสู่รูปแบบมาตรฐาน ตัวอย่าง:

หมายเหตุ: ในการนำพหุนามมาสู่รูปแบบมาตรฐานคุณจะต้องนำ monomials ทั้งหมดที่รวมอยู่ในองค์ประกอบมาเป็นรูปแบบมาตรฐานหลังจากนั้นหากมี monomials ที่คล้ายกัน - และสิ่งเหล่านี้เป็น monomials ที่มีส่วนตัวอักษรเดียวกัน - ให้ดำเนินการกับพวกมัน .

ดังนั้นเราจึงดูปัญหาทั่วไปข้อแรก นั่นคือการนำพหุนามมาสู่รูปแบบมาตรฐาน

ต่อไป งานทั่วไป- การคำนวณค่าเฉพาะของพหุนามสำหรับค่าตัวเลขที่กำหนดของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น มาดูตัวอย่างก่อนหน้านี้ต่อไปและตั้งค่าของตัวแปร:

หมายเหตุ: จำได้ว่ามีหน่วยใดหน่วยหนึ่ง ระดับธรรมชาติเท่ากับหนึ่ง และศูนย์กำลังธรรมชาติใดๆ ก็เท่ากับศูนย์ นอกจากนี้ จำไว้ว่าเมื่อคูณตัวเลขใดๆ ด้วยศูนย์ เราจะได้ศูนย์

ลองดูตัวอย่างการดำเนินการทั่วไปในการลดพหุนามให้เป็นรูปแบบมาตรฐานและคำนวณค่าของมัน:

ตัวอย่างที่ 1 - นำมาสู่รูปแบบมาตรฐาน:

หมายเหตุ: ขั้นตอนแรกคือการนำ monomials มาสู่รูปแบบมาตรฐานคุณต้องนำ monomials ที่หนึ่งที่สองและที่หก การกระทำที่สอง - เรานำเงื่อนไขที่คล้ายกันมานั่นคือเราปฏิบัติงานที่ได้รับมอบหมายกับพวกเขา การดำเนินการทางคณิตศาสตร์: เราเพิ่มอันแรกด้วยอันที่ห้าอันที่สองกับอันที่สามส่วนที่เหลือจะถูกเขียนใหม่โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงเนื่องจากไม่มีสิ่งที่คล้ายกัน

ตัวอย่างที่ 2 - คำนวณค่าของพหุนามจากตัวอย่างที่ 1 โดยพิจารณาค่าของตัวแปร:

หมายเหตุ: เมื่อคำนวณ คุณควรจำไว้ว่าหน่วยของกำลังธรรมชาติใด ๆ นั้นเป็นหนึ่ง ถ้าการคำนวณกำลังของสองเป็นเรื่องยาก คุณสามารถใช้ตารางกำลังได้

ตัวอย่างที่ 3 - แทนที่จะใส่เครื่องหมายดอกจัน ให้ใส่ monomial โดยที่ผลลัพธ์ไม่มีตัวแปร:

หมายเหตุ: ไม่ว่างานไหน การกระทำแรกจะเหมือนเดิมเสมอ - นำพหุนามมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ในตัวอย่างของเรา การกระทำนี้เกิดจากการนำคำที่คล้ายกันมาใช้ หลังจากนี้ คุณควรอ่านเงื่อนไขอย่างละเอียดอีกครั้ง และคิดว่าเราจะกำจัด monomial ได้อย่างไร เห็นได้ชัดว่าสำหรับสิ่งนี้คุณต้องเพิ่ม monomial แบบเดียวกันลงไป แต่ด้วย เครื่องหมายตรงข้าม- ต่อไป เราจะแทนที่เครื่องหมายดอกจันด้วยเครื่องหมาย monomial นี้ และตรวจสอบให้แน่ใจว่าวิธีแก้ของเราถูกต้อง

เศษส่วนทศนิยมใดๆ สามารถเขียนเป็น a ,bc ... · 10 k บันทึกดังกล่าวมักพบในการคำนวณทางวิทยาศาสตร์ เชื่อกันว่าการทำงานกับพวกมันสะดวกกว่าการใช้สัญลักษณ์ทศนิยมทั่วไป

วันนี้เราจะมาเรียนรู้วิธีการแปลงเศษส่วนทศนิยมให้เป็นแบบฟอร์มนี้ ในเวลาเดียวกัน เราจะตรวจสอบให้แน่ใจว่ารายการดังกล่าว "เกินกำลัง" อยู่แล้ว และในกรณีส่วนใหญ่ รายการดังกล่าวไม่ได้ให้ข้อได้เปรียบใดๆ เลย

ก่อนอื่นให้ทำซ้ำเล็กน้อย ดังที่คุณทราบ เศษส่วนทศนิยมสามารถคูณได้ไม่เพียงแต่ระหว่างกันเท่านั้น แต่ยังคูณด้วยจำนวนเต็มธรรมดาด้วย (ดูบทเรียน "") สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือการคูณด้วยกำลังสิบ ลองดู:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: 25.81 10; 0.00005 1,000; 8.0034 100.

การคูณจะดำเนินการตามรูปแบบมาตรฐาน โดยจัดสรรส่วนสำคัญให้กับแต่ละปัจจัย มาอธิบายขั้นตอนเหล่านี้โดยย่อ:

สำหรับนิพจน์แรก: 25.81 10.

1. ส่วนสำคัญ: 25.81 → 2581 (เลื่อนไปทางขวา 2 หลัก); 10 → 1 (เลื่อนไปทางซ้าย 1 หลัก);
2. คูณ: 2581 · 1 = 2581;
3. การเปลี่ยนแปลงทั้งหมด: ไปทางขวา 2 − 1 = 1 หลัก เราดำเนินการกะย้อนกลับ: 2581 → 258.1

สำหรับนิพจน์ที่สอง: 0.00005 1,000

1. ส่วนที่สำคัญ: 0.00005 → 5 (เลื่อนไปทางขวา 5 หลัก); 1,000 → 1 (เลื่อนไปทางซ้าย 3 หลัก);
2. คูณ: 5 · 1 = 5;
3. การเปลี่ยนแปลงทั้งหมด: ไปทางขวา 5 − 3 = 2 หลัก เราดำเนินการกะย้อนกลับ: 5 → .05 = 0.05

นิพจน์สุดท้าย: 8.0034 100

1. ส่วนสำคัญ: 8.0034 → 80034 (เลื่อนไปทางขวา 4 หลัก); 100 → 1 (เลื่อนไปทางซ้าย 2 หลัก);
2. คูณ: 80,034 · 1 = 80,034;
3. การเปลี่ยนแปลงทั้งหมด: ไปทางขวา 4 − 2 = 2 หลัก เราดำเนินการกะย้อนกลับ: 80,034 → 800.34

ลองเขียนตัวอย่างดั้งเดิมใหม่เล็กน้อยแล้วเปรียบเทียบกับคำตอบ:

1. 25.81 · 10 1 = 258.1;
2. 0.00005 10 3 = 0.05;
3. 8.0034 · 10 2 = 800.34

เกิดอะไรขึ้น? ปรากฎว่าการคูณเศษส่วนทศนิยมด้วยตัวเลข 10 k (โดยที่ k > 0) เทียบเท่ากับการเลื่อนจุดทศนิยมไปทางขวาด้วย k ตำแหน่ง ไปทางขวา - เพราะจำนวนเพิ่มขึ้น

ในทำนองเดียวกัน การคูณด้วย 10 −k (โดยที่ k > 0) จะเทียบเท่ากับการหารด้วย 10 k กล่าวคือ เลื่อนไปทางซ้ายจำนวน k หลัก ซึ่งจะทำให้จำนวนลดลง ลองดูตัวอย่าง:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: 2.73 10; 25.008:10; 1.447: 100;

ในนิพจน์ทั้งหมด เลขตัวที่สองคือเลขยกกำลัง 10 ดังนั้นเราจึงได้:

1. 2.73 · 10 = 2.73 · 10 1 = 27.3;
2. 25.008: 10 = 25.008: 10 1 = 25.008 · 10 −1 = 2.5008;
3. 1.447: 100 = 1.447: 10 2 = 1.447 10 −2 = .01447 = 0.01447

ตามมาว่าเศษส่วนทศนิยมเดียวกันสามารถเขียนได้หลายวิธีไม่สิ้นสุด ตัวอย่างเช่น: 137.25 = 13.725 10 1 = 1.3725 10 2 = 0.13725 10 3 = ...

รูปแบบมาตรฐานของตัวเลขคือนิพจน์ในรูปแบบ a ,bc ... · 10 k โดยที่ a , b , c , ... เป็นจำนวนสามัญ และ a ≠ 0 จำนวน k เป็นจำนวนเต็ม

1. 8.25 · 10 4 = 82,500;
2. 3.6 10−2 = 0.036;
3. 1.075 · 10 6 = 1,075,000;
4. 9.8 10−6 = 0.0000098

สำหรับแต่ละตัวเลขที่เขียนในรูปแบบมาตรฐาน จะมีการระบุเศษส่วนทศนิยมที่เกี่ยวข้องไว้ข้างๆ

สลับไปที่มุมมองมาตรฐาน

อัลกอริทึมสำหรับการเปลี่ยนจากเศษส่วนทศนิยมธรรมดาเป็นรูปแบบมาตรฐานนั้นง่ายมาก แต่ก่อนที่คุณจะใช้ อย่าลืมทบทวนก่อนว่าส่วนสำคัญของตัวเลขคืออะไร (ดูบทเรียน “การคูณและหารทศนิยม”) ดังนั้นอัลกอริทึม:

1. เขียนส่วนสำคัญของตัวเลขเดิมและใส่จุดทศนิยมไว้หลังเลขนัยสำคัญตัวแรก
2. ค้นหาการเปลี่ยนแปลงผลลัพธ์เช่น จุดทศนิยมขยับไปกี่ตำแหน่งเมื่อเทียบกับเศษส่วนเดิม? ให้นี่คือเลข k;
3. เปรียบเทียบส่วนสำคัญที่เราจดไว้ในขั้นตอนแรกกับหมายเลขเดิม ถ้าส่วนนัยสำคัญ (รวมจุดทศนิยม) น้อยกว่าตัวเลขเดิม ให้บวกตัวประกอบด้วย 10 k ถ้ามากกว่านั้น ให้บวกตัวประกอบเป็น 10 −k นิพจน์นี้จะเป็นมุมมองมาตรฐาน

งาน. เขียนตัวเลขในรูปแบบมาตรฐาน:

1. 9280;
2. 125,05;
3. 0,0081;
4. 17 000 000;
5. 1,00005.

1. 9280 → 9.28 เลื่อนจุดทศนิยมไปทางซ้าย 3 ตำแหน่ง ตัวเลขลดลง (ชัด 9.28< 9280). Результат: 9,28 · 10 3 ;
2. 125.05 → 1.2505 Shift - ไปทางซ้าย 2 หลัก ตัวเลขลดลง (1.2505< 125,05). Результат: 1,2505 · 10 2 ;
3. 0.0081 → 8.1 คราวนี้เลื่อนไปทางขวา 3 หลัก ตัวเลขจึงเพิ่มขึ้น (8.1 > 0.0081) ผลลัพธ์: 8.1 · 10 −3 ;
4. 17000000 → 1.7. เลื่อนไปทางซ้าย 7 หลัก ตัวเลขลดลง ผลลัพธ์: 1.7 · 10 7 ;
5. 1.00005 → 1.00005 ไม่มีการเปลี่ยนแปลง ดังนั้น k = 0 ผลลัพธ์: 1.00005 · 10 0 (สิ่งนี้ก็เกิดขึ้นเช่นกัน!)

อย่างที่คุณเห็น ไม่เพียงแต่เศษส่วนทศนิยมจะแสดงในรูปแบบมาตรฐาน แต่ยังแสดงจำนวนเต็มธรรมดาด้วย ตัวอย่างเช่น: 812,000 = 8.12 · 10 5 ; 6,500,000 = 6.5 10 6.

เมื่อใดควรใช้สัญกรณ์มาตรฐาน

ตามทฤษฎีแล้ว สัญกรณ์ตัวเลขมาตรฐานควรช่วยให้การคำนวณเศษส่วนง่ายยิ่งขึ้น แต่ในทางปฏิบัติจะได้รับผลกำไรที่เห็นได้ชัดเจนก็ต่อเมื่อทำการเปรียบเทียบเท่านั้น เพราะการเปรียบเทียบตัวเลขที่เขียนในรูปแบบมาตรฐานทำได้ดังนี้

1. เปรียบเทียบยกกำลังสิบ จำนวนที่มากที่สุดจะเป็นจำนวนที่มีระดับนี้มากกว่า
2. หากองศาเท่ากัน เราจะเริ่มเปรียบเทียบตัวเลขนัยสำคัญ เช่นเดียวกับเศษส่วนทศนิยมธรรมดา การเปรียบเทียบเริ่มจากซ้ายไปขวา จากที่สำคัญที่สุดไปหาน้อยที่สุด จำนวนที่มากที่สุดจะเป็นจำนวนที่หลักถัดไปใหญ่กว่า
3. หากเลขยกกำลังสิบเท่ากัน และตัวเลขทุกหลักเท่ากัน เศษส่วนก็จะเท่ากันด้วย

แน่นอนว่าทั้งหมดนี้เป็นจริงสำหรับเท่านั้น ตัวเลขบวก- สำหรับจำนวนลบ เครื่องหมายทั้งหมดจะกลับกัน

คุณสมบัติอันน่าทึ่งของเศษส่วนที่เขียนในรูปแบบมาตรฐานคือสามารถกำหนดเลขศูนย์จำนวนเท่าใดก็ได้ให้กับส่วนที่มีนัยสำคัญของเศษส่วนนั้น ทั้งทางด้านซ้ายและด้านขวา มีกฎที่คล้ายกันสำหรับเศษส่วนทศนิยมอื่นๆ (ดูบทเรียน “ ทศนิยม”) แต่ก็มีข้อจำกัดของตัวเอง

งาน. เปรียบเทียบตัวเลข:

1. 8.0382 10 6 และ 1.099 10 25;
2. 1.76 · 10 3 และ 2.5 · 10 −4 ;
3. 2.215 · 10 11 และ 2.64 · 10 11 ;
4. −1.3975 · 10 3 และ −3.28 · 10 4 ;
5. −1.0015 · 10 −8 และ −1.001498 · 10 −8

1. 8.0382 10 6 และ 1.099 10 25. ตัวเลขทั้งสองเป็นบวก และตัวแรกมีระดับต่ำกว่าสิบกว่าตัวที่สอง (6< 25). Значит, 8,0382 · 10 6 < 1,099 · 10 25 ;
2. 1.76 · 10 3 และ 2.5 · 10 −4 ตัวเลขกลับเป็นค่าบวกอีกครั้ง และระดับ 10 สำหรับตัวแรกนั้นมากกว่าตัวเลขตัวที่สอง (3 > −4) ดังนั้น 1.76 · 10 3 > 2.5 · 10 −4 ;
3. 2.215 10 11 และ 2.64 10 11. ตัวเลขเป็นบวก เลขยกกำลังสิบเท่ากัน เราดูที่ส่วนสำคัญ: ตัวเลขตัวแรกตรงกัน (2 = 2) ความแตกต่างเริ่มต้นที่หลักที่สอง: 2< 6, поэтому 2,215 · 10 11 < 2,64 · 10 11 ;
4. −1.3975 · 10 3 และ −3.28 · 10 4 นี้ ตัวเลขติดลบ- อันแรกมีดีกรีน้อยกว่าสิบ (3< 4), поэтому (в силу отрицательности) само число будет больше: −1,3975 · 10 3 >−3.28 · 10 4 ;
5. −1.0015 · 10 −8 และ −1.001498 · 10 −8 เลขติดลบอีกแล้ว เลขยกกำลังสิบเท่ากัน เลข 4 หลักแรกของส่วนนัยสำคัญก็เหมือนกัน (1,001 = 1,001) ที่หลักที่ 5 ความแตกต่างเริ่มต้นขึ้น กล่าวคือ: 5 > 4 เนื่องจากตัวเลขเดิมเป็นลบ เราจึงสรุปได้ว่า: −1.0015 10 −8< −1,001498 · 10 −8 .

คำแนะนำ

ขยายวงเล็บทั้งหมดของนิพจน์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้สูตร เช่น (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 ถ้าคุณไม่ทราบสูตร หรือสูตรเหล่านี้ใช้กับนิพจน์ที่กำหนดได้ยาก ให้เปิดวงเล็บตามลำดับ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณเทอมแรกของนิพจน์แรกด้วยแต่ละเทอมของนิพจน์ที่สอง จากนั้นคูณเทอมที่สองของนิพจน์แรกด้วยแต่ละเทอมของนิพจน์ที่สอง เป็นต้น ผลที่ได้คือคูณองค์ประกอบทั้งหมดของวงเล็บทั้งสองเข้าด้วยกัน

หากคุณมีสามนิพจน์ในวงเล็บ ให้คูณสองนิพจน์แรกก่อน โดยไม่แตะต้องนิพจน์ที่สาม หลังจากทำให้ผลลัพธ์ที่ได้จากการแปลงวงเล็บแรกง่ายขึ้นแล้ว ให้คูณด้วยนิพจน์ที่สาม

เดินตามป้ายหน้าปัจจัย monomial อย่างระมัดระวัง หากคุณคูณสองพจน์ด้วยเครื่องหมายเดียวกัน (เช่น ทั้งสองเป็นบวกหรือลบทั้งคู่) เอกพจน์จะมีเครื่องหมาย "+" หากมีคำใดคำหนึ่งมี “-” นำหน้า อย่าลืมโอนไปที่ตัวสินค้าด้วย

ลด monomials ทั้งหมดให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน นั่นคือจัดเรียงปัจจัยภายในใหม่และทำให้ง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น นิพจน์ 2x*(3.5x) จะเท่ากับ (2*3.5)*x*x=7x^2

เมื่อโมโนเมียลทั้งหมดได้มาตรฐานแล้ว ให้ลองจัดรูปพหุนามให้ง่ายขึ้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้จัดกลุ่มพจน์ที่มีส่วนเดียวกันกับตัวแปร เช่น (2x+5x-6x)+(1-2) ลดรูปนิพจน์ คุณจะได้ x-1

หากต้องการแปลงนิพจน์ที่มีรากเป็นพหุนาม ให้พิมพ์นิพจน์ที่จะยกกำลังสองไว้ด้านล่าง ตัวอย่างเช่น ใช้สูตร a^2+2ab+b^2 =(a+b)^2 จากนั้นลบเครื่องหมายรูทพร้อมกับ แม้แต่ปริญญา- ถ้าคุณไม่สามารถกำจัดเครื่องหมายรูตออกไปได้ คุณจะไม่สามารถแปลงนิพจน์ให้เป็นพหุนามมาตรฐานได้

แหล่งที่มา:

• เครื่องคำนวณการแปลงพหุนาม

อย่างที่พวกเขาพูดกันว่า Brevity เป็นน้องสาวของพรสวรรค์ ใครๆ ก็อยากอวดความสามารถของตัวเอง แต่น้องสาวเขากลับมีเรื่องซับซ้อน ด้วยเหตุผลบางอย่าง ความคิดอันชาญฉลาดจึงเกิดขึ้นในรูปแบบของ ประโยคที่ซับซ้อนพร้อมคำวิเศษณ์มากมาย อย่างไรก็ตาม มันขึ้นอยู่กับคุณแล้วที่จะทำให้ประโยคของคุณง่ายขึ้นและทำให้ทุกคนเข้าใจและเข้าถึงได้

คำแนะนำ

เพื่อให้ง่ายขึ้นสำหรับผู้รับ (ไม่ว่าจะเป็นผู้ฟังหรือผู้อ่าน) ให้ลองแทนที่ผู้มีส่วนร่วมและ วลีแบบมีส่วนร่วมอนุประโยคสั้น ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากมีวลีข้างต้นมากเกินไปในประโยคเดียว “ แมวกลับมาบ้านเพิ่งกินหนูส่งเสียงร้องดัง ๆ กอดรัดเจ้าของพยายามสบตาหวังขอปลาที่นำมาจากร้าน” - สิ่งนี้จะไม่ได้ผล แบ่งโครงสร้างออกเป็นหลายส่วน ใช้เวลาของคุณและอย่าพยายามพูดทุกอย่างในประโยคเดียว คุณจะมีความสุข

หากคุณคิดถึงคำพูดที่ยอดเยี่ยม แต่มันกลับกลายเป็นว่ามากเกินไป ข้อย่อย(โดยเฉพาะกับอันเดียว) จะดีกว่าถ้าแบ่งข้อความออกเป็นหลาย ๆ ข้อความ ข้อเสนอส่วนบุคคลหรือละเว้นองค์ประกอบบางอย่าง “ เราตัดสินใจว่าเขาจะบอก Marina Vasilievna ว่า Katya จะบอก Vita ว่า...” - เราสามารถดำเนินต่อไปได้ไม่รู้จบ หยุดให้ทันเวลาและจำไว้ว่าใครจะอ่านหรือฟังเรื่องนี้

ติดป้ายกำกับสมาชิกที่คล้ายกันต่างกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จะเป็นการดีกว่าที่จะเน้นด้วยเส้นเดี่ยว สอง และสาม ใช้สีและรูปร่างเส้นอื่นๆ

ตรวจสอบให้แน่ใจว่าตรงตามเงื่อนไขที่สองที่จำเป็นสำหรับการเขียนพหุนามในรูปแบบมาตรฐาน: ผู้เข้าร่วมแต่ละคนจะต้องแสดงเป็น monomial ในรูปแบบมาตรฐาน: อันดับแรกคือปัจจัยเชิงตัวเลขในสถานที่ที่สองคือตัวแปรหรือตัวแปร ตามลำดับที่ระบุไว้แล้ว ในกรณีนี้จะมีลำดับตัวอักษรที่ระบุด้วยตัวอักษร องศาที่ลดลงจะถูกนำมาพิจารณาเป็นลำดับที่สอง ดังนั้น รูปแบบมาตรฐานของโมโนเมียลคือสัญกรณ์ 7xy2 ในขณะที่ y27x, x7y2, y2x7, 7y2x, xy27 ไม่จำเป็น

วิดีโอในหัวข้อ

วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ศึกษาโครงสร้างต่างๆ ลำดับของตัวเลข ความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลข การแต่งสมการ และการแก้สมการ นี้ ภาษาที่เป็นทางการซึ่งสามารถอธิบายผู้ใกล้ชิดได้ชัดเจน คุณสมบัติในอุดมคติวัตถุจริงที่ศึกษาในสาขาวิทยาศาสตร์อื่น โครงสร้างหนึ่งคือพหุนาม

คำแนะนำ

พหุนามหรือ (จากภาษากรีก "โพลี" - หลายและภาษาละติน "ชื่อ" - ชื่อ) – ฟังก์ชั่นเบื้องต้นพีชคณิตคลาสสิกและ เรขาคณิตเชิงพีชคณิต- นี่คือฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่งซึ่งมีรูปแบบ F(x) = c_0 + c_1*x + ... + c_n*x^n โดยที่ c_i เป็นค่าสัมประสิทธิ์คงที่ x คือตัวแปร

พหุนามถูกนำมาใช้ในหลายพื้นที่ รวมถึงการศึกษาจำนวนศูนย์ ลบ และจำนวนเชิงซ้อน ทฤษฎีกลุ่ม วงแหวน ปม เซต ฯลฯ การใช้การคำนวณพหุนามช่วยลดความยุ่งยากในการแสดงออกของคุณสมบัติของวัตถุต่างๆ

คำจำกัดความพื้นฐาน:
แต่ละพจน์ของพหุนามเรียกว่า monomial
พหุนามที่ประกอบด้วยสอง monomial เรียกว่าทวินามหรือทวินาม
สัมประสิทธิ์พหุนาม – จริงหรือ จำนวนเชิงซ้อน.
หากค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1 จะเรียกว่ารวมกัน (ลดลง)
องศาของตัวแปรในแต่ละ monomial เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ลบ ระดับสูงสุดกำหนดระดับของพหุนาม และระดับเต็มของมันถูกเรียกว่าจำนวนเต็ม เท่ากับผลรวมทุกองศา
เอกพจน์ที่สอดคล้องกับดีกรีศูนย์เรียกว่าพจน์อิสระ
พหุนามที่มีดีกรีรวมเท่ากันเรียกว่าเอกพันธ์

พหุนามที่ใช้กันทั่วไปบางตัวตั้งชื่อตามนักวิทยาศาสตร์ที่นิยามพหุนามเหล่านี้ เช่นเดียวกับฟังก์ชันที่พหุนามกำหนด ตัวอย่างเช่น ทวินามของนิวตันใช้สำหรับการแยกพหุนามออกเป็นพจน์แต่ละพจน์เพื่อคำนวณกำลัง เหล่านี้คือผู้มีชื่อเสียง หลักสูตรของโรงเรียนการเขียนกำลังสองของผลรวมและผลต่าง (a + b)^2 – a^2 + 2*a*b + b^2, (a – b)^2 = a^2 – 2*a*b + b^ 2 และกำลังสองผลต่าง (a^2 – b^2) = (a - b)*(a + b)

ถ้าเรายอมให้มีพหุนามอยู่ในสัญกรณ์ พลังเชิงลบแล้วคุณจะได้อนุกรมพหุนามหรือโลร็องต์ พหุนามเชบีเชฟใช้ในทฤษฎีการประมาณค่า พหุนาม Hermite - ในทฤษฎีความน่าจะเป็น ลากรองจ์ - สำหรับ การบูรณาการเชิงตัวเลขและการแก้ไข เทย์เลอร์ - เมื่อประมาณฟังก์ชัน ฯลฯ

โปรดทราบ

ทวินามของนิวตันมักถูกกล่าวถึงในหนังสือ ("The Master and Margarita") และภาพยนตร์ ("Stalker") เมื่อตัวละครตัดสินใจ ปัญหาทางคณิตศาสตร์- คำนี้เป็นที่รู้จักกันดี จึงถือเป็นพหุนามที่มีชื่อเสียงที่สุด

การแปลงนิพจน์มักทำเพื่อทำให้ง่ายขึ้น เพื่อจุดประสงค์นี้มีการใช้ความสัมพันธ์พิเศษตลอดจนกฎสำหรับการลดและลดความสัมพันธ์ที่คล้ายกัน

คุณจะต้อง

• - การดำเนินการกับเศษส่วน
• - สูตรคูณแบบย่อ
• - เครื่องคิดเลข

คำแนะนำ

การเปลี่ยนแปลงที่ง่ายที่สุดคือการนำสิ่งที่คล้ายกันมา หากมีคำศัพท์ที่เป็น monomials ที่มีปัจจัยเหมือนกัน สามารถเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์สำหรับคำเหล่านั้นได้ โดยคำนึงถึงสัญญาณที่ปรากฏด้านหน้าค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้ ตัวอย่างเช่น, การแสดงออก 2n-4n+6n-n=3 น

ถ้าเป็นไปได้ ให้ใช้สูตรคูณแบบย่อ สิ่งที่ได้รับความนิยมมากที่สุดคือลูกบาศก์และกำลังสองของผลรวมหรือผลต่างของตัวเลขสองตัว พวกเขาเป็นตัวแทน กรณีพิเศษนิวตัน. สำหรับสูตรสำหรับการคูณแบบย่อก็ให้ยกกำลังสองของตัวเลขสองตัวด้วย ตัวอย่างเช่น เมื่อต้องการค้นหา 625-1150+529=(25-23)?=4 หรือ 1296-576=(36+24) (36-24)=720

เมื่อจะแปลง การแสดงออกซึ่งแสดงถึง เศษส่วนธรรมชาติให้เลือกตัวประกอบร่วมจากตัวเศษและส่วนแล้วลดตัวเศษและส่วนตามนั้น เช่น ลดเศษส่วน 3 (a+b)/(12 (a?-b?)) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แปลงเป็นรูปแบบ 3 (a+b)/(3 4 (a-b) (a+b)) ตัดมันลง การแสดงออกคูณ 3 (a+b) คุณจะได้ 1/(4 (a-b))