ระบบสมการเชิงเส้นหมายถึงอะไร? ความหมาย แนวคิด การกำหนด

สมการเชิงเส้นเรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกันหากการสกัดกั้นเป็นศูนย์และไม่เป็นเนื้อเดียวกัน ระบบประกอบด้วย สมการเอกพันธ์เรียกว่าเป็นเนื้อเดียวกันและมีรูปแบบทั่วไป:

เห็นได้ชัดว่าระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันนั้นสอดคล้องกันและมีวิธีแก้ปัญหาเป็นศูนย์ (เล็กน้อย) ดังนั้นสำหรับระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน สมการเชิงเส้นเรามักจะต้องค้นหาคำตอบสำหรับคำถามของการมีอยู่ของวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ใช่ศูนย์ คำตอบสำหรับคำถามนี้สามารถกำหนดเป็นทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท . ระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันมีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออันดับของมันคือ น้อยกว่าจำนวนไม่ทราบ .

การพิสูจน์: สมมติว่าระบบที่มีอันดับเท่ากันมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ใช่ศูนย์ แน่นอนไม่เกิน . ในกรณีที่ระบบมีโซลูชันเฉพาะ เนื่องจากระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์มีคำตอบเป็นศูนย์เสมอ ดังนั้นคำตอบที่เป็นศูนย์จะเป็นคำตอบเฉพาะนี้ ดังนั้น วิธีแก้ปัญหาที่ไม่ใช่ศูนย์จึงเป็นไปได้สำหรับ

ข้อโต้แย้ง 1 : ระบบสมการที่เป็นเนื้อเดียวกัน ซึ่งจำนวนสมการน้อยกว่าจำนวนที่ไม่ทราบค่า จะมีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์เสมอ

การพิสูจน์: หากระบบสมการมี อันดับของระบบจะไม่เกินจำนวนสมการ เช่น . ดังนั้น เป็นไปตามเงื่อนไข และระบบจึงมีโซลูชันที่ไม่ใช่ศูนย์

ผลที่ตามมา 2 : ระบบสมการเอกพันธ์ที่มีนิรนามมีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์เป็นศูนย์

การพิสูจน์: สมมติว่าระบบสมการเนื้อเดียวกันเชิงเส้นซึ่งเมทริกซ์กับดีเทอร์มีแนนต์มีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์ จากนั้นตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว ซึ่งหมายความว่าเมทริกซ์เสื่อมลงนั่นคือ .

ทฤษฎีบทโครเนคเกอร์-คาเปลลี: SLE จะสอดคล้องก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์ระบบ เท่ากับยศเมทริกซ์ขยายของระบบนี้ ระบบ ur-th เรียกว่าเข้ากันได้หากมีอย่างน้อยหนึ่งโซลูชัน

ระบบเอกพันธ์เชิงเส้น สมการพีชคณิต .

ระบบสมการเชิงเส้น m ที่มีตัวแปร n ตัวเรียกว่าระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้น ถ้าพจน์อิสระทั้งหมดเท่ากับ 0 ระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นจะเข้ากันได้เสมอ เพราะ มันมีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยศูนย์เสมอ ระบบสมการเนื้อเดียวกันเชิงเส้นมีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ที่ตัวแปรน้อยกว่าจำนวนของตัวแปร เช่น สำหรับอันดับ A (n. การรวมกันเชิงเส้นใดๆ

การแก้ปัญหาระบบเส้น เป็นเนื้อเดียวกัน ur-ii ยังเป็นทางออกของระบบนี้

ระบบของสารละลายอิสระเชิงเส้น e1, e2,…,ek เรียกว่า มูลฐาน หากแต่ละผลเฉลยของระบบเป็นผลรวมของผลรวมเชิงเส้น ทฤษฎีบท: ถ้าอันดับ r ของเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ที่ ตัวแปรของระบบสมการเนื้อเดียวกันเชิงเส้นน้อยกว่าจำนวนตัวแปร n ดังนั้นระบบพื้นฐานของคำตอบของระบบประกอบด้วย n-r โซลูชั่น. นั่นเป็นเหตุผล การตัดสินใจร่วมกันระบบลิน เดี่ยว ur-th มีรูปแบบ: c1e1+c2e2+…+ckek โดยที่ e1, e2,…, ek เป็นระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาใดๆ, c1, c2,…,ck เป็นจำนวนตามอำเภอใจ และ k=n-r คำตอบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้น m ที่มีตัวแปร n ตัว เท่ากับผลบวก

วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบที่เกี่ยวข้องนั้นเป็นเนื้อเดียวกัน สมการเชิงเส้นและคำตอบเฉพาะของระบบนี้

7. ช่องว่างเชิงเส้น พื้นที่ย่อย พื้นฐาน, มิติ. เปลือกเชิงเส้น เรียกว่าปริภูมิเชิงเส้น n-มิติถ้ามันมีระบบเชิงเส้น เวกเตอร์อิสระและระบบใด ๆ จาก มากกว่าเวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น เบอร์โทร มิติข้อมูล (จำนวนมิติ)พื้นที่เชิงเส้น และแสดงโดย . กล่าวอีกนัยหนึ่ง มิติของปริภูมิคือจำนวนสูงสุดของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นในปริภูมินั้น หากมีตัวเลขดังกล่าวอยู่ แสดงว่าพื้นที่นั้นมีมิติจำกัด ถ้าสำหรับใดๆ จำนวนธรรมชาติ n ในอวกาศมีระบบที่ประกอบด้วยเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น ดังนั้นพื้นที่ดังกล่าวจึงเรียกว่า อินฟินิตีมิติ (เขียน: ) สิ่งต่อไปนี้ เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น พื้นที่จำกัดมิติจะถูกพิจารณา

พื้นฐานของปริภูมิเชิงเส้น n มิติคือชุดคำสั่งของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น ( เวกเตอร์พื้นฐาน).

ทฤษฎีบท 8.1 ว่าด้วยการขยายเวกเตอร์ในรูปของฐาน ถ้าเป็นฐานของปริภูมิเชิงเส้น n มิติ เวกเตอร์ใดๆ ก็สามารถแสดงเป็นชุดค่าผสมเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐานได้:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
และที่พิเศษกว่านั้นคือ ค่าสัมประสิทธิ์ถูกกำหนดโดยเฉพาะกล่าวอีกนัยหนึ่ง เวกเตอร์อวกาศใด ๆ สามารถขยายได้ในพื้นฐานและยิ่งไปกว่านั้นด้วยวิธีที่ไม่เหมือนใคร

แท้จริงแล้วมิติของพื้นที่คือ ระบบของเวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้น (นี่คือพื้นฐาน) หลังจากเข้าร่วมกับพื้นฐานของเวกเตอร์ใด ๆ เราจะได้เส้นตรง ระบบพึ่งพา(เนื่องจากระบบนี้ประกอบด้วยเวกเตอร์ พื้นที่ n มิติ). ด้วยคุณสมบัติของเวกเตอร์ที่ขึ้นต่อกันเชิงเส้นและอิสระเชิงเส้น 7 ตัว เราได้ข้อสรุปของทฤษฎีบท

วิธีเกาส์เซียนมีข้อเสียหลายประการ: เป็นไปไม่ได้ที่จะรู้ว่าระบบสอดคล้องกันหรือไม่จนกว่าจะดำเนินการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดที่จำเป็นในวิธีเกาส์เซียน วิธี Gaussian ไม่เหมาะสำหรับระบบที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตัวอักษร

พิจารณาวิธีอื่นในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีการเหล่านี้ใช้แนวคิดของอันดับของเมทริกซ์และลดคำตอบของใดๆ ระบบข้อต่อเพื่อแก้ปัญหาของระบบที่ใช้กฎของแครมเมอร์

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป ระบบต่อไปสมการเชิงเส้นโดยใช้ระบบพื้นฐานของคำตอบของระบบเอกพันธ์แบบรีดิวซ์และคำตอบเฉพาะของระบบเอกพันธ์

1. เราสร้างเมทริกซ์ กและเมทริกซ์เสริมของระบบ (1)

2. สำรวจระบบ (1) เพื่อความเข้ากันได้ ในการทำเช่นนี้เราจะค้นหาอันดับของเมทริกซ์ กและ https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">) หากปรากฎว่า ระบบ (1) เข้ากันไม่ได้ หากเราได้รับสิ่งนั้น แล้วระบบนี้สอดคล้องกันและเราจะแก้ไขมัน (การศึกษาความสอดคล้องขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทโครเนคเกอร์-คาเปลลี)

ก. เราพบว่า อาร์เอ.

การค้นหา อาร์เอเราจะพิจารณาตามลำดับที่ไม่ใช่ศูนย์ผู้เยาว์ของคำสั่งที่หนึ่ง สอง ฯลฯ ของเมทริกซ์ กและผู้เยาว์ที่อยู่รายรอบ

ม.1=1≠0 (เราใช้ 1 จากทางซ้าย มุมบนเมทริกซ์ ก).

ชายแดน ม.1แถวที่สองและหลักที่สองของเมทริกซ์นี้ . เรายังคงชายแดน ม.1บรรทัดที่สองและคอลัมน์ที่สาม..gif" width="37" height="20 src="> ตอนนี้เรากำหนดเส้นขอบของผู้เยาว์ที่ไม่ใช่ศูนย์ เอ็ม2'การสั่งซื้อครั้งที่สอง.

เรามี: (เพราะสองคอลัมน์แรกเหมือนกัน)

(เนื่องจากบรรทัดที่สองและสามเป็นสัดส่วน)

เราเห็นอย่างนั้น อาร์เอ=2, เอ - พื้นฐานเล็กน้อยเมทริกซ์ ก.

ข. เราพบว่า .

มีพื้นฐานเล็กน้อยเพียงพอ เอ็ม2'เมทริกซ์ กล้อมรอบด้วยคอลัมน์ของสมาชิกอิสระและทุกบรรทัด (เรามีเพียงบรรทัดสุดท้าย)

. ต่อจากนี้ไป เอ็ม3''ยังคงเป็นพื้นฐานของเมทริกซ์เล็กน้อย https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

เพราะ เอ็ม2'- พื้นฐานเล็กน้อยของเมทริกซ์ กระบบ (2) แล้วระบบนี้เทียบเท่ากับระบบ (3) ประกอบด้วยสองสมการแรกของระบบ (2) (สำหรับ เอ็ม2'อยู่ในสองแถวแรกของเมทริกซ์ A)

(3)

เนื่องจากผู้เยาว์ขั้นพื้นฐานคือ https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

ในระบบนี้ มีสองสิ่งที่ไม่รู้จักฟรี ( x2 และ x4 ). นั่นเป็นเหตุผล เอฟเอสอาร์ ระบบ (4) ประกอบด้วยสองโซลูชั่น เพื่อค้นหาพวกเขา เรากำหนดสิ่งที่ไม่รู้จักให้ฟรี (4) ค่าแรก x2=1 , x4=0 แล้ว - x2=0 , x4=1 .

ที่ x2=1 , x4=0 เราได้รับ:

.

ระบบนี้มีอยู่แล้ว สิ่งเดียว วิธีการแก้ปัญหา (สามารถพบได้โดยกฎของแครมเมอร์หรือโดยวิธีอื่น ๆ ) ลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง เราจะได้:

การตัดสินใจของเธอจะเป็นอย่างไร x1= -1 , x3=0 . ให้ค่า x2 และ x4 ที่เราให้ เราได้รับก่อน วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานระบบ (2) : .

ตอนนี้เราใส่ (4) x2=0 , x4=1 . เราได้รับ:

.

เราแก้ระบบนี้โดยใช้ทฤษฎีบทของแครมเมอร์:

.

เราได้รับโซลูชันพื้นฐานที่สองของระบบ (2) : .

โซลูชั่น β1 , เบต้า2 และแต่งหน้า เอฟเอสอาร์ ระบบ (2) . จากนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะเป็น

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

ที่นี่ C1 , C2 เป็นค่าคงที่โดยพลการ

4. ค้นหาหนึ่ง ส่วนตัว สารละลาย ระบบต่างกัน(1) . เช่นเดียวกับในย่อหน้า 3 แทนระบบ (1) พิจารณาระบบที่เทียบเท่า (5) ประกอบด้วยสองสมการแรกของระบบ (1) .

(5)

เราถ่ายโอนสิ่งที่ไม่รู้จักฟรีไปทางด้านขวา x2และ x4.

(6)

ให้ไม่รู้จักฟรี x2 และ x4 ค่าตามอำเภอใจ ตัวอย่างเช่น x2=2 , x4=1 แล้วเสียบเข้าไป (6) . มาจัดระบบกันเลย

ระบบนี้มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ (เพราะดีเทอร์มิแนนต์ เอ็ม2′0). เราได้รับการแก้ปัญหา (โดยใช้ทฤษฎีบทแครมเมอร์หรือวิธีเกาส์) x1=3 , x3=3 . กำหนดค่าของสิ่งแปลกปลอมฟรี x2 และ x4 , เราได้รับ วิธีแก้ปัญหาเฉพาะของระบบที่ไม่เอกพันธ์(1)α1=(3,2,3,1)

5. ตอนนี้ยังคงเขียนอยู่ สารละลายทั่วไป α ของระบบเอกพันธ์(1) : มันเท่ากับผลรวม การตัดสินใจส่วนตัวระบบนี้และ วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบเอกพันธ์ที่ลดลง (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

ซึ่งหมายความว่า: (7)

6. การตรวจสอบ.เพื่อตรวจสอบว่าคุณได้แก้ไขระบบอย่างถูกต้องหรือไม่ (1) เราต้องการวิธีแก้ปัญหาทั่วไป (7) แทนใน (1) . ถ้าแต่ละสมการกลายเป็นเอกลักษณ์ ( C1 และ C2 ควรจะทำลายทิ้ง) จึงจะหาทางแก้ไขได้ถูกต้อง

เราจะทำแทน (7) เช่น เฉพาะในสมการสุดท้ายของระบบ (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

เราได้: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

โดยที่ -1=-1. เรามีตัวตน เราทำเช่นนี้กับสมการอื่นๆ ทั้งหมดของระบบ (1) .

ความคิดเห็นการยืนยันมักจะค่อนข้างยุ่งยาก เราสามารถแนะนำ "การตรวจสอบบางส่วน" ดังต่อไปนี้: ในโซลูชันโดยรวมของระบบ (1) กำหนดค่าบางอย่างให้กับค่าคงที่โดยพลการและแทนที่โซลูชันเฉพาะที่เป็นผลลัพธ์ลงในสมการที่ละทิ้งเท่านั้น (เช่นในสมการเหล่านั้นจาก (1) ที่ไม่รวมอยู่ใน (5) ). หากคุณได้รับข้อมูลประจำตัวแล้ว มีโอกาสมากขึ้นการแก้ปัญหาของระบบ (1) พบอย่างถูกต้อง (แต่การตรวจสอบดังกล่าวไม่ได้รับประกันความถูกต้องทั้งหมด!) ตัวอย่างเช่น ถ้าใน (7) ใส่ C2=- 1 , C1=1แล้วเราจะได้: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0 แทนลงในสมการสุดท้ายของระบบ (1) เรามี: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 เช่น –1=–1 เรามีตัวตน

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาคำตอบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้น (1) แสดงสิ่งที่ไม่รู้จักหลักในแง่ของสิ่งฟรี

สารละลาย.เช่นเดียวกับใน ตัวอย่างที่ 1, เขียนเมทริกซ์ กและ https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ของเมทริกซ์เหล่านี้ ตอนนี้ เราเหลือเพียงสมการของระบบ (1) , ค่าสัมประสิทธิ์ที่รวมอยู่ในค่ารองพื้นฐานนี้ (เช่น เรามีสมการสองสมการแรก) และพิจารณาระบบที่ประกอบด้วยสมการเหล่านี้ ซึ่งเทียบเท่ากับระบบ (1)

ให้เราโอนสิ่งที่ไม่รู้จักฟรีไปทางด้านขวาของสมการเหล่านี้

ระบบ (9) เราแก้ปัญหาด้วยวิธี Gaussian โดยพิจารณาส่วนที่ถูกต้องในฐานะสมาชิกฟรี

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

ตัวเลือก 2

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

ตัวเลือก 4

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

ตัวเลือก 5

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

ตัวเลือก 6

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

ระบบสมการเชิงเส้นที่เงื่อนไขอิสระทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์เรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกัน :

ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันใด ๆ นั้นสอดคล้องกันเสมอ เพราะมันมีอยู่เสมอ ศูนย์ (เล็กน้อย ) สารละลาย. คำถามเกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขใดที่ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันจะมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญ

ทฤษฎีบท 5.2ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์พื้นฐานนั้นน้อยกว่าจำนวนที่ไม่รู้จัก

ผลที่ตามมา. ระบบเอกพันธ์กำลังสองมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญก็ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบไม่เท่ากับศูนย์

ตัวอย่าง 5.6กำหนดค่าของพารามิเตอร์ l ซึ่งระบบมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่น่าสนใจและค้นหาวิธีแก้ปัญหาเหล่านี้:

สารละลาย. ระบบนี้จะมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักเท่ากับศูนย์:

ดังนั้น ระบบจึงไม่สำคัญเมื่อ l=3 หรือ l=2 สำหรับ l=3 อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบคือ 1 จากนั้นเหลือเพียงสมการเดียวและตั้งสมมติฐานว่า ย=กและ ซี=ข, เราได้รับ x=b-a, เช่น.

สำหรับ l=2 อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบคือ 2 จากนั้นเลือกเป็นรองพื้นฐาน:

เราได้ระบบที่เรียบง่าย

จากที่นี่เราพบว่า x=z/4, ย=ซ/2. ทะลึ่ง ซี=4ก, เราได้รับ

ชุดของการแก้ปัญหาทั้งหมดของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีความสำคัญมาก คุณสมบัติเชิงเส้น : ถ้า X คอลัมน์ 1 และเอ็กซ์ 2 - คำตอบของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน AX = 0, จากนั้นผลรวมเชิงเส้นของพวกมันก เอ็กซ์ 1+ข เอ็กซ์ 2 จะเป็นทางออกของระบบนี้ด้วย. เพราะแท้จริงแล้ว ขวาน 1 = 0 และ ขวาน 2 = 0 , ที่ ก(ก เอ็กซ์ 1+ข เอ็กซ์ 2) = ก ขวาน 1+ข ขวาน 2 = a · 0 + b · 0 = 0 เนื่องจากคุณสมบัตินี้ ถ้าระบบเชิงเส้นมีมากกว่าหนึ่งคำตอบ ก็จะมีวิธีแก้ปัญหาเหล่านี้มากมายนับไม่ถ้วน

คอลัมน์อิสระเชิงเส้น อี 1 , อี 2 , อี เคซึ่งเป็นคำตอบของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน เรียกว่า ระบบพื้นฐานการตัดสินใจ ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้น ถ้าคำตอบทั่วไปของระบบนี้สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์เหล่านี้:

หากมีระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน นตัวแปรและอันดับของเมทริกซ์หลักของระบบเท่ากับ ร, ที่ เค = ไม่มี.

ตัวอย่าง 5.7ค้นหาระบบพื้นฐานของคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้:

สารละลาย. ค้นหาอันดับของเมทริกซ์หลักของระบบ:

ดังนั้น เซตของคำตอบของระบบสมการนี้จึงกลายเป็นพื้นที่ย่อยเชิงเส้นของมิติ n - ร= 5 - 2 = 3 เราเลือกเป็นตัวรองพื้นฐาน

.

จากนั้นเหลือเพียงสมการพื้นฐาน (ส่วนที่เหลือจะเป็นชุดค่าผสมเชิงเส้นของสมการเหล่านี้) และตัวแปรพื้นฐาน (ส่วนที่เหลือเรียกว่าตัวแปรอิสระเราโอนไปทางขวา) เราได้ระบบสมการที่ง่ายขึ้น:

ทะลึ่ง x 3 = ก, x 4 = ข, x 5 = คเราพบว่า

, .

ทะลึ่ง ก= 1, ข=ค= 0 เราได้รับวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานข้อแรก สมมติ ข= 1, เอ = ค= 0 เราได้วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่สอง สมมติ ค= 1, เอ = บี= 0 เราได้วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่สาม เป็นผลให้ระบบพื้นฐานปกติของการแก้ปัญหาเกิดขึ้น

การใช้ระบบพื้นฐาน สามารถเขียนคำตอบทั่วไปของระบบเอกพันธ์ได้เป็น

เอ็กซ์ = เออี 1 + เป็น 2 + ค.ศ 3 . ก

ให้เราสังเกตคุณสมบัติบางอย่างของคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่เหมือนกัน AX=บีและความสัมพันธ์กับระบบสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน ขวาน = 0

วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบที่ไม่เอกพันธ์เท่ากับผลรวมของสารละลายทั่วไปของระบบเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน AX = 0 และผลเฉลยเฉพาะโดยพลการของระบบเอกพันธ์. แท้จริงปล่อยให้ วาย 0 เป็นสารละลายจำเพาะตามอำเภอใจของระบบที่ไม่เอกพันธ์ นั่นคือ เอ.วาย 0 = ข, และ วายเป็นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบ inhomogeneous นั่นคือ AY=บี. เราได้ลบความเท่าเทียมกันออกจากอีกอันหนึ่ง
ก(ปป 0) = 0 เช่น ปป 0 เป็นคำตอบทั่วไปของระบบเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน ขวาน=0. เพราะฉะนั้น, ปป 0 = เอ็กซ์, หรือ วาย=วาย 0 + เอ็กซ์. คิว.อี.ดี.

อนุญาต ระบบต่างกันมีรูปแบบ AX = B 1 + ข 2 . จากนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบดังกล่าวสามารถเขียนเป็น X = X 1 + เอ็กซ์ 2 , โดยที่ AX 1 = ข 1 และเอเอ็กซ์ 2 = ข 2. คุณสมบัตินี้แสดงคุณสมบัติสากลของระบบเชิงเส้นโดยทั่วไป (พีชคณิต ดิฟเฟอเรนเชียล ฟังก์ชัน ฯลฯ) ในทางฟิสิกส์เรียกคุณสมบัตินี้ว่า หลักการซ้อนทับ, ในสาขาวิศวกรรมไฟฟ้าและวิทยุ - หลักการซ้อนทับ. ตัวอย่างเช่นในทฤษฎีเชิงเส้น วงจรไฟฟ้ากระแสในวงจรใด ๆ สามารถรับได้ดังนี้ ผลรวมเชิงพีชคณิตกระแสที่เกิดจากแหล่งพลังงานแต่ละแหล่งแยกจากกัน

ข้อมูลเมทริกซ์

ค้นหา: 1) aA - bB

สารละลาย: 1) เราค้นหาตามลำดับโดยใช้กฎสำหรับการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขและเพิ่มเมทริกซ์ ..

2. หา A*B ถ้า

สารละลาย: ใช้กฎการคูณเมทริกซ์

คำตอบ:

3. สำหรับ เมทริกซ์ที่กำหนดหา M 31 เล็กน้อยและคำนวณดีเทอร์มีแนนต์

สารละลาย: รอง ม.31 คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้จาก ก

หลังจากลบแถว 3 และคอลัมน์ 1 ค้นหา

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

ลองแปลงเมทริกซ์ A โดยไม่เปลี่ยนดีเทอร์มิแนนต์ (สร้างศูนย์ในแถวที่ 1)

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

ตอนนี้เราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A โดยการขยายไปตามแถวที่ 1

คำตอบ: M 31 = 0, detA = 0

แก้ด้วยวิธีเกาส์และวิธีแครมเมอร์

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x1 + x2 + 2x3 = 5

สารละลาย: มาเช็คกัน

คุณสามารถใช้วิธีการของแครมเมอร์

โซลูชันระบบ: x ​​1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

เราใช้วิธีเกาส์

เราลดเมทริกซ์ขยายของระบบให้เป็นรูปสามเหลี่ยม

เพื่อความสะดวกในการคำนวณ เราเปลี่ยนบรรทัด:

คูณแถวที่ 2 ด้วย (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) และเพิ่มไปยังอันที่ 3:

	1 / 2		7 / 2

คูณแถวที่ 1 ด้วย (k = -2 / 2 = -1 ) และเพิ่มไปยังอันที่ 2:

ตอนนี้ระบบเดิมสามารถเขียนเป็น:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

จากบรรทัดที่ 2 เราแสดง

จากบรรทัดที่ 1 เราแสดง

วิธีแก้ก็เหมือนกัน

คำตอบ: (2; -5; 3)

ค้นหาโซลูชันทั่วไปของระบบและ FSR

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

สารละลาย: ใช้วิธี Gauss เราลดเมทริกซ์ขยายของระบบให้เป็นรูปสามเหลี่ยม

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
x 1	x2	x 3	x4	x5

คูณแถวที่ 1 ด้วย (-11) คูณแถวที่ 2 ด้วย (13) เพิ่มบรรทัดที่ 2 เข้ากับบรรทัดที่ 1:

	-2		-2	-3

คูณแถวที่ 2 ด้วย (-5) คูณแถวที่ 3 ด้วย (11) เพิ่มบรรทัดที่ 3 ไปยังบรรทัดที่ 2:

คูณแถวที่ 3 ด้วย (-7) คูณแถวที่ 4 ด้วย (5) เพิ่มบรรทัดที่ 4 เข้ากับบรรทัดที่ 3:

สมการที่สองคือผลรวมเชิงเส้นของสมการที่เหลือ

ค้นหาอันดับของเมทริกซ์

	-18	-24	-18	-27
x 1	x2	x 3	x4	x5

ผู้เยาว์ที่โดดเด่นมี ลำดับสูงสุด(ของผู้เยาว์ที่เป็นไปได้) และแตกต่างจากศูนย์ (มัน มีค่าเท่ากับสินค้าองค์ประกอบในแนวทแยงกลับกัน) ดังนั้น rang(A) = 2

ผู้เยาว์นี้เป็นพื้นฐาน ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ x 1, x 2 ที่ไม่รู้จัก ซึ่งหมายความว่า x 1, x 2 ที่ไม่รู้จักนั้นขึ้นอยู่กับ (พื้นฐาน) และ x 3, x 4, x 5 นั้นไม่มีค่า

ระบบที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของเมทริกซ์นี้เทียบเท่ากับระบบเดิมและมีรูปแบบ:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5

เราพบโดยวิธีการกำจัดสิ่งแปลกปลอม การตัดสินใจร่วมกัน:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

เราพบระบบพื้นฐานของโซลูชัน (FSR) ซึ่งประกอบด้วยโซลูชัน (n-r) ในกรณีของเรา n=5, r=2 ดังนั้น ระบบพื้นฐานของโซลูชันประกอบด้วย 3 โซลูชัน และโซลูชันเหล่านี้ต้องเป็นอิสระเชิงเส้น

เพื่อให้แถวเป็นอิสระเชิงเส้น มีความจำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบของแถวจะเท่ากับจำนวนแถว เช่น 3

ก็เพียงพอแล้วที่จะให้ค่าที่ไม่รู้จักฟรี x 3 ,x 4 ,x 5 จากแถวของดีเทอร์มิแนนต์ของลำดับที่ 3 ซึ่งแตกต่างจากศูนย์และคำนวณ x 1 ,x 2 .

ตัวกำหนดที่ไม่ใช่ศูนย์ที่ง่ายที่สุดคือเมทริกซ์เอกลักษณ์

แต่ที่นี่สะดวกกว่าที่จะใช้

เราพบว่าใช้วิธีแก้ไขปัญหาทั่วไป:

ก) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ

I การตัดสินใจ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 ไทย

II การตัดสินใจ FSR: (0; -6; 0; 6; 0)

ค) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 ไทย

III การตัดสินใจ FSR: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)

6. กำหนด: z 1 \u003d -4 + 5i, z 2 \u003d 2 - 4i ค้นหา: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2

สารละลาย: ก) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

ข) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

คำตอบ: a) -3i b) 12+26i c) -1.4 - 0.3i

ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้นบนสนาม

คำนิยาม. ระบบพื้นฐานของคำตอบของระบบสมการ (1) เป็นระบบเชิงเส้นที่ไม่ว่างเปล่า ระบบอิสระคำตอบของมันซึ่งมีช่วงเชิงเส้นตรงกับชุดของคำตอบทั้งหมดของระบบ (1)

โปรดทราบว่าระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งมีคำตอบเป็นศูนย์เท่านั้นไม่มีระบบพื้นฐานของคำตอบ

ข้อเสนอที่ 3.11 ระบบพื้นฐานสองระบบของคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันประกอบด้วย หมายเลขเดียวกันโซลูชั่น

การพิสูจน์. แท้จริงแล้ว ระบบสมการพื้นฐานสองระบบใดๆ ของคำตอบของระบบสมการเอกพันธ์ (1) นั้นสมมูลกันและเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้น ตามข้อเสนอ 1.12 อันดับของพวกเขาจึงเท่ากัน ดังนั้นจำนวนของโซลูชันที่รวมอยู่ในระบบพื้นฐานหนึ่งระบบจึงเท่ากับจำนวนของโซลูชันที่รวมอยู่ในระบบพื้นฐานอื่น ๆ ของโซลูชัน

ถ้าเมทริกซ์หลัก A ของระบบสมการเอกพันธ์ (1) เป็นศูนย์ แล้วเวกเตอร์ใดๆ จาก จะเป็นคำตอบของระบบ (1) ในกรณีนี้ คอลเลกชันของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นจากระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา หากอันดับคอลัมน์ของเมทริกซ์ A คือ ระบบ (1) จะมีคำตอบเดียวเท่านั้น - ศูนย์ ดังนั้น ในกรณีนี้ ระบบสมการ (1) ไม่มีระบบพื้นฐานของคำตอบ

ทฤษฎีบท 3.12. หากอันดับของเมทริกซ์หลักของระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน (1) น้อยกว่าจำนวนตัวแปร ดังนั้นระบบ (1) จะมีระบบพื้นฐานของคำตอบที่ประกอบด้วยคำตอบ

การพิสูจน์. หากอันดับของเมทริกซ์หลัก A ของระบบเอกพันธ์ (1) เท่ากับศูนย์หรือ แสดงว่าทฤษฎีบทดังกล่าวเป็นจริง ดังนั้นจึงสันนิษฐานไว้ด้านล่างว่า สมมติว่า เราจะถือว่าคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ A เป็นอิสระเชิงเส้น ในกรณีนี้ เมทริกซ์ A จะเท่ากับแถวที่ลดลง เมทริกซ์ขั้นบันไดและระบบ (1) เทียบเท่ากับระบบสมการแบบลดขั้นตอนต่อไปนี้:

เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่าระบบของค่าตัวแปรอิสระของระบบ (2) สอดคล้องกับโซลูชันหนึ่งเดียวของระบบ (2) และดังนั้นระบบ (1) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เฉพาะคำตอบที่เป็นศูนย์ของระบบ (2) และระบบ (1) เท่านั้นที่สอดคล้องกับระบบที่มีค่าเป็นศูนย์

ในระบบ (2) เราจะกำหนดหนึ่งฟรี ค่าตัวแปรเท่ากับ 1 และตัวแปรที่เหลือ - ค่า Null. เป็นผลให้เราได้รับคำตอบของระบบสมการ (2) ซึ่งเราเขียนเป็นแถวของเมทริกซ์ C ต่อไปนี้:

ระบบแถวของเมทริกซ์นี้เป็นอิสระเชิงเส้น แน่นอนสำหรับสเกลาร์ใด ๆ จากความเท่าเทียมกัน

ความเท่าเทียมกันตามมา

และความเท่าเทียมกัน

ให้เราพิสูจน์ว่าสแปนเชิงเส้นของระบบแถวของเมทริกซ์ C ตรงกับเซตของคำตอบทั้งหมดของระบบ (1)

วิธีแก้ปัญหาโดยพลการของระบบ (1) แล้วเวกเตอร์

ยังเป็นวิธีแก้ปัญหาระบบ (1) และ