การระบุระดับของพหุนามหมายความว่าอย่างไร ความหมายของคำว่า พหุนาม

ตามคำนิยาม พหุนามเป็นนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตที่แสดงผลรวมของเอกนาม

ตัวอย่างเช่น: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 เป็นพหุนาม และนิพจน์ z/(x - x*y^2 + 4) ไม่ใช่พหุนามเพราะไม่ใช่ผลรวมของพหุนามเดียว พหุนามบางครั้งเรียกอีกอย่างว่าพหุนาม และโมโนเมียลที่เป็นส่วนหนึ่งของพหุนามเป็นสมาชิกของพหุนามหรือโมโนเมียล

แนวคิดที่ซับซ้อนของพหุนาม

ถ้าพหุนามประกอบด้วยสองคำ จะเรียกว่าทวินาม ถ้าประกอบด้วยสาม - trinomial ไม่ใช้ชื่อสี่เทอม ห้าเทอมและอื่น ๆ และในกรณีเช่นนี้จะเรียกว่าพหุนาม ชื่อดังกล่าวขึ้นอยู่กับจำนวนคำศัพท์ทำให้ทุกอย่างเข้าที่

และคำว่าโมโนเมียลก็กลายเป็นเรื่องง่าย จากมุมมองของคณิตศาสตร์ โมโนเมียลเป็นกรณีพิเศษของพหุนาม monomial คือพหุนามที่มีพจน์เดียว

เช่นเดียวกับโมโนเมียล พหุนามมีรูปแบบมาตรฐานของมันเอง รูปแบบมาตรฐานของพหุนามคือสัญกรณ์ของพหุนามซึ่ง monomials ทั้งหมดที่รวมอยู่ในนั้นเป็นเงื่อนไขที่เขียนในรูปแบบมาตรฐานและกำหนดเงื่อนไขที่คล้ายกัน

รูปมาตรฐานของพหุนาม

ขั้นตอนการนำพหุนามมาอยู่ในรูปมาตรฐาน คือ นำพหุนามแต่ละตัวมาอยู่ในรูปมาตรฐาน แล้วนำพหุนามทั้งหมดมาบวกกัน การบวกสมาชิกที่คล้ายกันของพหุนามเรียกว่า การลดลงของพจน์ที่คล้ายกัน
ตัวอย่างเช่น ให้คำที่คล้ายกันในพหุนาม 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b

เงื่อนไข 4*a*b^2*c^3 และ 6*a*b^2*c^3 มีความคล้ายคลึงกันที่นี่ ผลรวมของพจน์เหล่านี้จะเป็นเอกพจน์ 10*a*b^2*c^3 ดังนั้น พหุนามเดิม 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b สามารถเขียนใหม่เป็น 10*a*b^2*c^3 - a* ข. รายการนี้จะเป็นรูปแบบมาตรฐานของพหุนาม

จากข้อเท็จจริงที่ว่าโมโนเมียลใดๆ สามารถถูกรีดิวซ์ให้อยู่ในรูปมาตรฐานได้ มันยังตามมาด้วยว่าพหุนามใดๆ ก็สามารถถูกรีดิวซ์ให้อยู่ในรูปมาตรฐานได้

เมื่อพหุนามถูกย่อให้อยู่ในรูปมาตรฐาน เราสามารถพูดถึงแนวคิดเช่นดีกรีของพหุนามได้ ดีกรีของพหุนามคือดีกรีที่ใหญ่ที่สุดของโมโนเมียลที่รวมอยู่ในพหุนามที่กำหนด
ตัวอย่างเช่น 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 เป็นพหุนามของดีกรีที่ 5 เนื่องจากดีกรีสูงสุดของโมโนเมียลรวมอยู่ในพหุนาม (5*x^3*y^ 2) เป็นที่ห้า

แนวคิดของพหุนาม

ความหมายของพหุนาม: พหุนามคือผลรวมของเอกนาม ตัวอย่างพหุนาม:

ที่นี่เราเห็นผลรวมของเอกนามสองตัว และนี่คือพหุนาม นั่นคือ ผลรวมของโมโนเมียล

คำที่ประกอบเป็นพหุนามเรียกว่า สมาชิกของพหุนาม

ความแตกต่างของ monomials เป็นพหุนามหรือไม่? ใช่ เป็นเพราะผลต่างนั้นลดลงเป็นผลรวมได้ง่าย เช่น 5a - 2b = 5a + (-2b)

Monomials ยังถือเป็นพหุนาม แต่ไม่มีผลรวมในเอกนาม แล้วทำไมจึงถือว่าเป็นพหุนาม? และคุณสามารถเพิ่มศูนย์เข้าไปและรับผลรวมที่มีหน่วยเดียวเป็นศูนย์ ดังนั้น monomial จึงเป็นกรณีพิเศษของพหุนาม ประกอบด้วยสมาชิกหนึ่งตัว

เลขศูนย์คือพหุนามศูนย์

รูปมาตรฐานของพหุนาม

พหุนามรูปแบบมาตรฐานคืออะไร? พหุนามคือผลรวมของ monomials และถ้า monomials ทั้งหมดที่ประกอบกันเป็นพหุนามถูกเขียนในรูปแบบมาตรฐาน นอกจากนี้ ไม่ควรมีสิ่งที่คล้ายกันในหมู่พวกเขา ดังนั้นพหุนามจะถูกเขียนในรูปแบบมาตรฐาน

ตัวอย่างของพหุนามในรูปแบบมาตรฐาน:

ที่นี่พหุนามประกอบด้วย 2 monomials ซึ่งแต่ละอันมีรูปแบบมาตรฐานไม่มีชื่อใดที่คล้ายกันในบรรดา monomials

ตัวอย่างของพหุนามที่ไม่มีรูปแบบมาตรฐาน:

นี่คือ monomials สองตัว: 2a และ 4a คล้ายกัน เราต้องเพิ่มเข้าไป จากนั้นพหุนามจะได้รูปแบบมาตรฐาน:

ตัวอย่างอื่น:

พหุนามนี้ถูกลดรูปเป็นรูปแบบมาตรฐานหรือไม่? ไม่ สมาชิกตัวที่สองไม่ได้เขียนในรูปแบบมาตรฐาน เขียนในรูปแบบมาตรฐาน เราจะได้พหุนามในรูปแบบมาตรฐาน:

ระดับของพหุนาม

ระดับของพหุนามคืออะไร?

คำจำกัดความระดับพหุนาม:

ดีกรีของพหุนามเป็นดีกรีที่ใหญ่ที่สุดของโมโนเมียลที่ประกอบกันเป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน

ตัวอย่าง. ดีกรีของพหุนาม 5h คืออะไร? ดีกรีของพหุนาม 5h เท่ากับหนึ่ง เนื่องจากพหุนามนี้มีเพียงหนึ่งเดียวและดีกรีของมันก็เท่ากับหนึ่ง

ตัวอย่างอื่น. ดีกรีของพหุนาม 5a 2 h 3 s 4 +1 คืออะไร? ดีกรีของพหุนาม 5a 2 ชั่วโมง 3 วินาที 4 + 1 คือ 9 เนื่องจากพหุนามนี้ประกอบด้วยโมโนเมียลสองตัว โมโนเมียลตัวแรก 5a 2 ชั่วโมง 3 วินาที 4 มีดีกรีสูงสุด และดีกรีของมันคือ 9

ตัวอย่างอื่น. ดีกรีของพหุนาม 5 คืออะไร? ระดับของพหุนาม 5 เป็นศูนย์ ดังนั้นดีกรีของพหุนามที่ประกอบด้วยจำนวนเท่านั้น เช่น ไม่มีตัวอักษรเท่ากับศูนย์

ตัวอย่างสุดท้าย ระดับของพหุนามศูนย์คือเท่าใด เช่น ศูนย์? ไม่ได้กำหนดระดับของพหุนามศูนย์

หลังจากศึกษา monomials แล้ว เราเปลี่ยนเป็นพหุนาม บทความนี้จะบอกคุณเกี่ยวกับข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดที่จำเป็นในการดำเนินการกับข้อมูลเหล่านี้ เราจะกำหนดพหุนามพร้อมกับคำจำกัดความของคำพหุนาม นั่นคือ ฟรีและคล้ายกัน พิจารณาพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน แนะนำปริญญา และเรียนรู้วิธีค้นหา ทำงานกับค่าสัมประสิทธิ์ของมัน

Yandex.RTB R-A-339285-1

พหุนามและสมาชิก - คำจำกัดความและตัวอย่าง

จำเป็นต้องมีคำจำกัดความของพหุนามใน 7 ชั้นเรียนหลังเรียน monomials ลองดูคำจำกัดความทั้งหมดของมัน

คำจำกัดความ 1

พหุนามพิจารณาผลรวมของ monomials และ monomial นั้นเป็นกรณีพิเศษของพหุนาม

ตามมาจากคำจำกัดความว่าตัวอย่างของพหุนามอาจแตกต่างกัน: 5 , 0 , − 1 , x, 5 ก ข 3, x 2 0 , 6 x (− 2) y 12 , - 2 13 x y 2 3 2 3 x x 3 y z ไปเรื่อยๆ จากนิยามเราได้ว่า 1+x, ก 2 + ข 2 และนิพจน์ x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5 , 2 · y · x เป็นพหุนาม

ลองดูคำจำกัดความเพิ่มเติม

คำจำกัดความ 2

สมาชิกของพหุนามเรียกว่า monomials ที่เป็นส่วนประกอบ

พิจารณาตัวอย่างนี้ โดยที่เรามีพหุนาม 3 x 4 − 2 x y + 3 −y 3 ซึ่งประกอบด้วยสมาชิก 4 ตัว: 3 x 4 , − 2 x y , 3 และ - ย 3. monomial ดังกล่าวถือเป็นพหุนามซึ่งประกอบด้วยคำศัพท์หนึ่งคำ

นิยาม 3

พหุนามที่มี 2, 3 trinomials ในองค์ประกอบมีชื่อที่สอดคล้องกัน - ทวินามและ ตรีโกณมิติ.

จากนี้ไปการแสดงออกของรูปแบบ x+ย– เป็นเลขทวินาม และนิพจน์ 2 x 3 q − q x x + 7 b เป็นเลขสามนาม

ตามหลักสูตรของโรงเรียน พวกเขาใช้ทวินามเชิงเส้นในรูปแบบ a x + b โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขบางตัว และ x เป็นตัวแปร พิจารณาตัวอย่างทวินามเชิงเส้นในรูปแบบ: x ​​+ 1 , x · 7 , 2 − 4 พร้อมตัวอย่างทวินามรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส x 2 + 3 · x − 5 และ 2 5 · x 2 - 3 x + 11

สำหรับการแปลงและการแก้ปัญหา จำเป็นต้องค้นหาและนำคำศัพท์ที่คล้ายกัน ตัวอย่างเช่น พหุนามในรูปแบบ 1 + 5 x − 3 + y + 2 x มีพจน์ที่เหมือนกันคือ 1 และ - 3, 5 x และ 2 x พวกเขาแบ่งออกเป็นกลุ่มพิเศษที่เรียกว่าสมาชิกที่คล้ายกันของพหุนาม

ความหมาย 4

สมาชิกที่คล้ายกันของพหุนามเป็นเหมือนเงื่อนไขในพหุนาม

ในตัวอย่างข้างต้น เรามีว่า 1 และ - 3 , 5 x และ 2 x เป็นพจน์ที่คล้ายคลึงกันของพหุนามหรือพจน์ที่คล้ายกัน เพื่อให้นิพจน์ง่ายขึ้น ให้ค้นหาและย่อคำที่คล้ายกัน

พหุนามรูปแบบมาตรฐาน

โมโนเมียลและพหุนามทั้งหมดมีชื่อเฉพาะของตัวเอง

คำจำกัดความ 5

พหุนามรูปแบบมาตรฐานพหุนามถูกเรียกโดยสมาชิกแต่ละตัวของพหุนามมีรูปแบบมาตรฐานเดียวและไม่มีสมาชิกที่คล้ายกัน

จะเห็นได้จากคำจำกัดความว่าเป็นไปได้ที่จะลดชื่อพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน ตัวอย่างเช่น 3 x 2 − x y + 1 และ __formula__ และบันทึกอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน นิพจน์ 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z และ 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z ไม่ใช่พหุนามของรูปแบบมาตรฐาน เนื่องจากพจน์แรกมีพจน์ที่คล้ายกันในรูปแบบ 3 x 2 และ - x2และอันที่สองประกอบด้วยชื่อเดียวในรูปแบบ x · y 3 · x · z 2 ซึ่งแตกต่างจากพหุนามมาตรฐาน

หากสถานการณ์จำเป็น บางครั้งพหุนามจะถูกลดขนาดลงเป็นรูปแบบมาตรฐาน แนวคิดของพจน์อิสระของพหุนามก็ถือเป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐานเช่นกัน

คำจำกัดความ 6

สมาชิกอิสระของพหุนามเป็นพหุนามรูปแบบมาตรฐานที่ไม่มีส่วนของตัวอักษร

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อสัญกรณ์พหุนามในรูปแบบมาตรฐานมีตัวเลข เรียกว่า สมาชิกอิสระ จากนั้น เลข 5 เป็นสมาชิกอิสระของพหุนาม x 2 · z + 5 และพหุนาม 7 · a + 4 · a · b + b 3 ไม่มีสมาชิกอิสระ

ระดับของพหุนาม - จะหาได้อย่างไร?

นิยามของดีกรีของพหุนามขึ้นอยู่กับนิยามของพหุนามรูปแบบมาตรฐานและองศาของโมโนเมียลที่เป็นส่วนประกอบ

คำจำกัดความ 7

ระดับของพหุนามรูปแบบมาตรฐานตั้งชื่อพลังที่ใหญ่ที่สุดที่รวมอยู่ในสัญกรณ์

ลองดูตัวอย่าง ดีกรีของพหุนาม 5 x 3 − 4 เท่ากับ 3 เนื่องจากโมโนเมียลที่รวมอยู่ในองค์ประกอบมีดีกรี 3 และ 0 และค่าที่ใหญ่ที่สุดคือ 3 ตามลำดับ นิยามของดีกรีจากพหุนาม 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x เท่ากับจำนวนที่มากที่สุด นั่นคือ 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 และ 1 ดังนั้น 5

จำเป็นต้องค้นหาว่าปริญญานั้นพบได้อย่างไร

คำจำกัดความ 8

ระดับของพหุนามของจำนวนโดยพลการคือดีกรีของพหุนามที่สัมพันธ์กันในรูปแบบมาตรฐาน

เมื่อพหุนามไม่ได้เขียนอยู่ในรูปมาตรฐาน แต่คุณจำเป็นต้องหาระดับของพหุนาม คุณต้องย่อให้อยู่ในรูปมาตรฐาน จากนั้นจึงหาระดับที่ต้องการ

ตัวอย่างที่ 1

หาดีกรีของพหุนาม 3 a 12 − 2 a bc a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.

วิธีการแก้

ขั้นแรก เรานำเสนอพหุนามในรูปแบบมาตรฐาน เราได้รับนิพจน์เช่น:

3 a 12 − 2 abc ac b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 (a a) (b b) (c c) + y 2 z 2 = = − 2 a 2 b 2 c 2 + y 2 z 2

เมื่อได้รับพหุนามของรูปแบบมาตรฐานเราพบว่าทั้งสองมีความแตกต่างอย่างชัดเจน - 2 · a 2 · b 2 · c 2 และ y 2 · z 2 . ในการหาองศา เราคำนวณและได้ 2 + 2 + 2 = 6 และ 2 + 2 = 4 จะเห็นได้ว่าค่าที่ใหญ่ที่สุดเท่ากับ 6 จากนิยามที่ว่า 6 คือดีกรีของพหุนาม − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 ดังนั้นค่าเดิม

ตอบ: 6 .

ค่าสัมประสิทธิ์ของเงื่อนไขของพหุนาม

คำจำกัดความ 9

เมื่อเงื่อนไขทั้งหมดของพหุนามเป็น monomials ของรูปแบบมาตรฐาน ในกรณีนี้พวกเขาจะมีชื่อ ค่าสัมประสิทธิ์ของเงื่อนไขของพหุนามกล่าวอีกนัยหนึ่ง พวกเขาสามารถเรียกว่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม

เมื่อพิจารณาจากตัวอย่าง จะเห็นได้ว่าพหุนามในรูปแบบ 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 มีพหุนาม 4 ตัวในองค์ประกอบ: 2 x, −0, 5 x y, 3 x และ 7 ตามลำดับ ค่าสัมประสิทธิ์ 2 , − 0 , 5 , 3 และ 7 . ดังนั้น 2 , − 0 , 5 , 3 และ 7 จึงถือเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของพจน์ของพหุนามที่กำหนดในรูปแบบ 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 เมื่อทำการแปลง สิ่งสำคัญคือต้องใส่ใจกับค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่หน้าตัวแปร

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเน้นข้อความนั้นแล้วกด Ctrl+Enter

หรืออย่างเคร่งครัด ผลรวมที่เป็นทางการของแบบฟอร์ม

∑ I c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle \sum _(I)c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\ ซีดี x_(n)^(i_(n))), ที่ไหน

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พหุนามในตัวแปรเดียวคือผลรวมของรูปแบบที่มีขอบเขตจำกัด

c 0 + c 1 x 1 + ⋯ + c m x ​​m (\displaystyle c_(0)+c_(1)x^(1)+\dots +c_(m)x^(m)), ที่ไหน

ด้วยความช่วยเหลือของพหุนาม แนวคิดของ "สมการเกี่ยวกับพีชคณิต" และ "ฟังก์ชันเกี่ยวกับพีชคณิต" จึงได้รับมา

การศึกษาและการสมัคร[ | ]

การศึกษาสมการพหุนามและคำตอบของสมการนั้นเกือบจะเป็นเป้าหมายหลักของ "พีชคณิตแบบคลาสสิก"

การแปลงทางคณิตศาสตร์จำนวนหนึ่งเกี่ยวข้องกับการศึกษาพหุนาม: การแนะนำเกี่ยวกับการพิจารณาศูนย์, ลบ, และจำนวนเชิงซ้อนตลอดจนการเกิดขึ้นของทฤษฎีกลุ่มในฐานะสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์และการจัดสรรชั้นเรียนของฟังก์ชันพิเศษ ในการวิเคราะห์

ความเรียบง่ายทางเทคนิคของการคำนวณเกี่ยวกับพหุนามเมื่อเปรียบเทียบกับคลาสของฟังก์ชันที่ซับซ้อนกว่า เช่นเดียวกับข้อเท็จจริงที่ว่าเซตของพหุนามมีความหนาแน่นในปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซตย่อยที่มีขนาดกะทัดรัดของปริภูมิแบบยุคลิด (ดูทฤษฎีบทการประมาณไวเออร์ชตราส) ซึ่งมีส่วนทำให้ การพัฒนาวิธีการขยายอนุกรมและการประมาณค่าพหุนามในแคลคูลัส

พหุนามยังมีบทบาทสำคัญในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ซึ่งวัตถุจะถูกกำหนดเป็นคำตอบสำหรับระบบของพหุนาม

คุณสมบัติพิเศษของค่าสัมประสิทธิ์การแปลงในการคูณพหุนามถูกนำมาใช้ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต พีชคณิต ทฤษฎีปม และแขนงอื่นๆ ของคณิตศาสตร์เพื่อเข้ารหัสหรือแสดงคุณสมบัติของวัตถุต่างๆ โดยใช้พหุนาม

คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง[ | ]

• ชนิดพหุนาม c x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle cx_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_(n)))เรียกว่า โมโนเมียลหรือ โมโนเมียลหลายดัชนี I = (i 1 , … , i n) (\displaystyle I=(i_(1),\dots ,\,i_(n))).
• Monomial ที่สอดคล้องกับหลายดัชนี I = (0 , … , 0) (\displaystyle I=(0,\dots ,\,0))เรียกว่า สมาชิกฟรี.
• ปริญญาเต็ม(ไม่ใช่ศูนย์) โมโนเมียล c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_ (น)))เรียกว่าจำนวนเต็ม | ฉัน | = i 1 + i 2 + ⋯ + i n (\displaystyle |I|=i_(1)+i_(2)+\dots +i_(n)).
• หลายดัชนี ฉันซึ่งค่าสัมประสิทธิ์ ค ฉัน (\displaystyle c_(I))ไม่เป็นศูนย์ เรียกว่า ผู้ให้บริการพหุนาม, และตัวเรือที่นูนออกมาคือ รูปทรงหลายเหลี่ยมของนิวตัน.
• ระดับของพหุนามเป็นพลังสูงสุดของโมโนเมียล ระดับของศูนย์ที่เหมือนกันถูกกำหนดเพิ่มเติมโดยค่า − ∞ (\displaystyle -\infty ).
• พหุนามที่เป็นผลรวมของโมโนเมียลสองตัวเรียกว่า ทวินามหรือ ทวินาม,
• เรียกว่าพหุนามที่เป็นผลรวมของโมโนเมียลสามตัว ไตรภาคี.
• ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามมักจะมาจากวงแหวนสลับที่ R (\displaystyle R)(ส่วนใหญ่มักจะเป็นฟิลด์ เช่น ฟิลด์ของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน) ในกรณีนี้ เกี่ยวกับการดำเนินการของการบวกและการคูณ พหุนามจะสร้างวงแหวน R (\displaystyle R)ไม่มีตัวหารเป็นศูนย์) ซึ่งแสดงแทนได้ R [ x 1 , x 2 , … , xn ] . (\displaystyle ร.)
• สำหรับพหุนาม p (x) (\displaystyle p(x))ตัวแปรเดียว คำตอบของสมการ p (x) = 0 (\displaystyle p(x)=0)เรียกว่ารากของมัน

ฟังก์ชันพหุนาม[ | ]

อนุญาต เอ (\displaystyle A)มีพีชคณิตอยู่เหนือวงแหวน R (\displaystyle R). พหุนามโดยพลการ p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] (\displaystyle p(x)\in R)กำหนดฟังก์ชันพหุนาม

p R: A → A (\displaystyle p_(R):A\ถึง A).

กรณีที่พิจารณาบ่อยที่สุด A = R (\displaystyle A=R).

ถ้า R (\displaystyle R)เป็นฟิลด์ของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน (เช่นเดียวกับฟิลด์อื่นๆ ที่มีจำนวนองค์ประกอบไม่สิ้นสุด) ฟังก์ชัน f p: R n → R (\displaystyle f_(p):R^(n)\ถึง R)กำหนดพหุนาม p อย่างสมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ไม่เป็นความจริงโดยทั่วไป ตัวอย่างเช่น พหุนาม p 1 (x) ≡ x (\displaystyle p_(1)(x)\equiv x)และ p 2 (x) ≡ x 2 (\displaystyle p_(2)(x)\equiv x^(2))จาก Z 2 [ x ] (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)[x])กำหนดฟังก์ชันที่เท่ากันเท่ากัน Z 2 → Z 2 (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)\to \mathbb (Z) _(2)).

ฟังก์ชันพหุนามของตัวแปรจริงหนึ่งตัวเรียกว่าฟังก์ชันตรรกยะทั้งหมด

ประเภทของพหุนาม[ | ]

คุณสมบัติ [ | ]

การหาร [ | ]

บทบาทของพหุนามที่ลดค่าไม่ได้ในวงแหวนพหุนามนั้นคล้ายคลึงกับบทบาทของจำนวนเฉพาะในวงแหวนของจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทเป็นจริง: ถ้าผลคูณของพหุนาม pq (\displaystyle pq)หารด้วยพหุนามลดไม่ได้แล้ว หน้าหรือ ถามหารด้วย λ (\displaystyle \แลมบ์ดา ). แต่ละพหุนามของดีกรีที่มากกว่าศูนย์จะสลายตัวในฟิลด์ที่กำหนดให้เป็นผลคูณของปัจจัยที่ลดไม่ได้ด้วยวิธีเฉพาะ (จนถึงปัจจัยที่มีดีกรีเป็นศูนย์)

ตัวอย่างเช่นพหุนาม x 4 − 2 (\displaystyle x^(4)-2)ซึ่งลดทอนไม่ได้ในด้านจำนวนตรรกยะ แบ่งออกเป็นสามปัจจัยในด้านจำนวนจริง และเป็นปัจจัยสี่ในด้านจำนวนเชิงซ้อน

โดยทั่วไป พหุนามทุกตัวในตัวแปรเดียว x (\displaystyle x)สลายตัวในฟิลด์ของจำนวนจริงเป็นปัจจัยของระดับที่หนึ่งและสองในฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน - เป็นปัจจัยในระดับที่หนึ่ง (ทฤษฎีบทหลักของพีชคณิต)

สำหรับตัวแปรตั้งแต่สองตัวขึ้นไป จะไม่สามารถยืนยันได้อีกต่อไป เหนือฟิลด์ใดก็ได้ n > 2 (\displaystyle n>2)มีพหุนามจาก n (\displaystyle n)ตัวแปรที่ลดไม่ได้ในส่วนขยายใดๆ ของฟิลด์นี้ พหุนามดังกล่าวเรียกว่าลดไม่ได้อย่างแน่นอน