การระบุระนาบพิกัดหมายความว่าอย่างไร พิกัดคาร์ทีเซียนของจุดระนาบ

สมการกำลังสองมักปรากฏขึ้นเมื่อแก้ปัญหาต่างๆ ในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ ในบทความนี้ เราจะมาดูวิธีแก้ปัญหาความเท่าเทียมกันเหล่านี้ ในทางที่เป็นสากล"โดยการเลือกปฏิบัติ" ตัวอย่างของการใช้ความรู้ที่ได้รับมีอยู่ในบทความด้วย

เราจะพูดถึงสมการอะไร?

รูปด้านล่างแสดงสูตรที่ x เป็นตัวแปรที่ไม่รู้จัก และสัญลักษณ์ละติน a, b, c แทนตัวเลขที่รู้จัก

แต่ละสัญลักษณ์เหล่านี้เรียกว่าสัมประสิทธิ์ อย่างที่คุณเห็น ตัวเลข "a" ปรากฏก่อนตัวแปร x กำลังสอง นี่คือกำลังสูงสุดของนิพจน์ที่นำเสนอ ซึ่งเป็นสาเหตุที่เรียกว่าสมการกำลังสอง มักใช้ชื่ออื่น: สมการอันดับสอง คุณค่าของตัวมันเองก็คือ ค่าสัมประสิทธิ์กำลังสอง(ยืนอยู่ที่ตัวแปรกำลังสอง) b คือ ค่าสัมประสิทธิ์เชิงเส้น(อยู่ถัดจากตัวแปรที่ยกกำลัง 1) สุดท้ายเลข c ก็คือพจน์อิสระ

โปรดทราบว่าประเภทของสมการที่แสดงในภาพด้านบนเป็นนิพจน์กำลังสองแบบคลาสสิกทั่วไป นอกจากนั้น ยังมีสมการอันดับสองอื่นๆ ซึ่งสัมประสิทธิ์ b และ c สามารถเป็นศูนย์ได้

เมื่องานถูกตั้งค่าให้แก้ไขความเท่าเทียมกันที่เป็นปัญหานั่นหมายความว่าจำเป็นต้องหาค่าของตัวแปร x ที่จะตอบสนองความต้องการดังกล่าว สิ่งแรกที่คุณต้องจำไว้คือสิ่งต่อไปนี้ เนื่องจากระดับสูงสุดของ X คือ 2 ประเภทนี้นิพจน์ไม่สามารถมีมากกว่า 2 คำตอบ ซึ่งหมายความว่าหากเมื่อแก้สมการพบว่ามีค่า x 2 ค่าที่ตรงใจแล้วคุณสามารถมั่นใจได้ว่าไม่มีเลขตัวที่ 3 แทนที่ด้วย x ความเท่าเทียมกันก็จะเป็นจริงเช่นกัน การแก้สมการทางคณิตศาสตร์เรียกว่ารากของมัน

วิธีการแก้สมการอันดับสอง

การแก้สมการประเภทนี้ต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีบางอย่างเกี่ยวกับสมการเหล่านั้น ใน หลักสูตรของโรงเรียนพีชคณิตพิจารณา 4 วิธีการต่างๆโซลูชั่น มาแสดงรายการกัน:

• ใช้การแยกตัวประกอบ
• ใช้สูตรสำหรับกำลังสองสมบูรณ์
• ใช้กำหนดการตามความเหมาะสม ฟังก์ชันกำลังสอง;
• โดยใช้สมการจำแนก

ข้อดีของวิธีแรกคือความเรียบง่าย อย่างไรก็ตาม ไม่สามารถใช้กับสมการทั้งหมดได้ วิธีที่สองนั้นเป็นสากล แต่ค่อนข้างยุ่งยาก วิธีที่สามนั้นโดดเด่นด้วยความชัดเจน แต่ไม่สะดวกและใช้งานได้เสมอไป และสุดท้าย การใช้สมการจำแนกเป็นวิธีสากลและค่อนข้างง่ายในการค้นหารากของสมการอันดับสองใดๆ ก็ตาม ดังนั้นในบทความนี้เราจะพิจารณาเฉพาะเรื่องนี้เท่านั้น

สูตรการหารากของสมการ

หันมากันดีกว่า ลักษณะทั่วไปสมการกำลังสอง ลองเขียนมันลงไป: a*x²+ b*x + c =0 ก่อนที่จะใช้วิธีการแก้ไข "โดยการเลือกปฏิบัติ" คุณควรนำความเสมอภาคมาสู่รูปแบบลายลักษณ์อักษรเสมอ นั่นคือ ต้องประกอบด้วยสามเทอม (หรือน้อยกว่าถ้า b หรือ c เป็น 0)

ตัวอย่างเช่น หากมีนิพจน์: x²-9*x+8 = -5*x+7*x² ขั้นแรกคุณควรย้ายพจน์ทั้งหมดไปที่ด้านหนึ่งของความเท่าเทียมกัน และเพิ่มพจน์ที่มีตัวแปร x ใน พลังเดียวกัน

ใน ในกรณีนี้การดำเนินการนี้จะนำไปสู่ ไปยังนิพจน์ต่อไปนี้: -6*x²-4*x+8=0 ซึ่งเทียบเท่ากับสมการ 6*x²+4*x-8=0 (ในที่นี้ เราคูณด้านซ้ายและขวาของความเท่าเทียมกันด้วย -1)

ในตัวอย่างข้างต้น a = 6, b=4, c=-8 โปรดทราบว่าเงื่อนไขทั้งหมดของความเท่าเทียมกันที่พิจารณาจะรวมเข้าด้วยกันเสมอ ดังนั้นหากเครื่องหมาย "-" ปรากฏขึ้น หมายความว่าค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันนั้นเป็นลบ เช่น ตัวเลข c ในกรณีนี้

เมื่อพิจารณาประเด็นนี้แล้ว ให้เรามาดูสูตรกันดีกว่า ซึ่งทำให้ได้รากของสมการกำลังสองได้ ดูเหมือนว่าที่แสดงในภาพด้านล่าง

ดังที่เห็นได้จากสำนวนนี้ มันช่วยให้คุณได้สองรูต (ให้ความสนใจกับเครื่องหมาย “±”) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ b, c และ a ลงไปได้

แนวคิดเรื่องการเลือกปฏิบัติ

ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ มีการกำหนดสูตรที่ช่วยให้คุณสามารถแก้สมการอันดับสองได้อย่างรวดเร็ว ในนั้น การแสดงออกที่รุนแรงเรียกว่าการแบ่งแยก นั่นคือ D = b²-4*a*c

เหตุใดส่วนนี้ของสูตรจึงถูกเน้นและยังมีด้วย ชื่อที่ถูกต้อง- ความจริงก็คือผู้แยกแยะเชื่อมโยงสัมประสิทธิ์ทั้งสามของสมการเข้าด้วยกันเป็นนิพจน์เดียว ข้อเท็จจริงสุดท้ายหมายความว่ามีข้อมูลเกี่ยวกับรากอย่างสมบูรณ์ซึ่งสามารถแสดงได้ในรายการต่อไปนี้:

1. D>0: ความเท่าเทียมกันมี 2 โซลูชั่นต่างๆและทั้งสองเป็นตัวแทน ตัวเลขจริง.
2. D=0: สมการนี้มีรากเพียงอันเดียวและเป็นจำนวนจริง

งานการกำหนดแยกแยะ

เราจะยกตัวอย่างง่ายๆ ของวิธีการค้นหาผู้เลือกปฏิบัติ ให้มีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7

เอามาให้ดูกัน มุมมองมาตรฐานเราได้รับ: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0 ซึ่งเราจะได้ความเท่าเทียมกัน: -2*x²+ 2*x- 11 = 0 โดยที่ a=-2, b=2, c=-11

ตอนนี้คุณสามารถใช้สูตรข้างต้นสำหรับการแบ่งแยก: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84 หมายเลขผลลัพธ์คือคำตอบของงาน เนื่องจากตัวจำแนกในตัวอย่างมีค่าน้อยกว่าศูนย์ เราจึงสามารถพูดได้ว่าสมการกำลังสองนี้ไม่มีรากที่แท้จริง คำตอบของมันจะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเท่านั้น

ตัวอย่างของความไม่เท่าเทียมกันโดยการเลือกปฏิบัติ

มาแก้ปัญหาประเภทที่แตกต่างกันเล็กน้อย: เมื่อพิจารณาจากความเท่าเทียมกัน -3*x²-6*x+c = 0 จำเป็นต้องค้นหาค่า c โดยที่ D>0

ในกรณีนี้ ทราบค่าสัมประสิทธิ์เพียง 2 ใน 3 เท่านั้น ดังนั้นจึงไม่สามารถคำนวณค่าที่แน่นอนของตัวแยกแยะได้ แต่เป็นที่ทราบกันดีว่าเป็นค่าบวก เราใช้ข้อเท็จจริงสุดท้ายในการเขียนอสมการ: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0 การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นจะนำไปสู่ผลลัพธ์: c>-3

ลองตรวจสอบหมายเลขผลลัพธ์ ในการทำเช่นนี้ เราคำนวณ D สำหรับ 2 กรณี: c=-2 และ c=-4 หมายเลข -2 เป็นไปตามผลลัพธ์ที่ได้รับ (-2>-3) การแบ่งแยกที่สอดคล้องกันจะมีค่า: D = 12>0 ในทางกลับกัน จำนวน -4 ไม่เป็นไปตามอสมการ (-4 ดังนั้น จำนวน c ใดๆ ที่มากกว่า -3 จะเป็นไปตามเงื่อนไข

ตัวอย่างการแก้สมการ

ให้เรานำเสนอปัญหาที่ไม่เพียงแต่เกี่ยวข้องกับการค้นหาผู้จำแนกเท่านั้น แต่ยังต้องแก้สมการด้วย จำเป็นต้องค้นหารากของความเท่าเทียมกัน -2*x²+7-9*x = 0

ในตัวอย่างนี้ การเลือกปฏิบัติคือ ค่าถัดไป: D = 81-4*(-2)*7= 137 จากนั้นรากของสมการจะถูกกำหนดดังนี้: x = (9±√137)/(-4) นี่คือค่าที่แน่นอนของรูท หากคุณคำนวณรูทโดยประมาณคุณจะได้ตัวเลข: x = -5.176 และ x = 0.676

ปัญหาเรขาคณิต

เราจะแก้ปัญหาที่ไม่เพียงแต่จะต้องใช้ความสามารถในการคำนวณการเลือกปฏิบัติเท่านั้น แต่ยังต้องใช้ทักษะด้วย การคิดเชิงนามธรรมและความรู้การเขียนสมการกำลังสอง

บ๊อบมีผ้านวมขนาด 5 x 4 เมตร เด็กชายต้องการเย็บมันให้ทั่วทั้งเส้นรอบวง แถบต่อเนื่องจากผ้าที่สวยงาม แถบนี้จะหนาแค่ไหนถ้าเรารู้ว่าบ๊อบมีผ้า 10 ตร.ม.

ให้แถบมีความหนา x m แล้วพื้นที่ของผ้าตามด้านยาวของผ้าห่มจะเป็น (5+2*x)*x และเนื่องจากมี 2 ด้านยาว เราจึงได้: 2*x *(5+2*x). โดย ด้านสั้นพื้นที่ผ้าที่เย็บจะเป็น 4*x เนื่องจากมี 2 ด้านนี้ เราจึงได้ค่า 8*x โปรดทราบว่ามีการเพิ่ม 2*x ในด้านยาวเนื่องจากความยาวของผ้าห่มเพิ่มขึ้นตามจำนวนนั้น พื้นที่ผ้าเย็บผ้าห่มรวม 10 ตร.ม. ดังนั้นเราจึงได้ความเท่าเทียมกัน: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0

สำหรับตัวอย่างนี้ ตัวจำแนกจะเท่ากับ: D = 18²-4*4*(-10) = 484 ค่ารากของมันคือ 22 เมื่อใช้สูตร เราจะหาค่ารากที่ต้องการ: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0.5) แน่นอนว่าจากทั้งสองรากนั้น มีเพียงเลข 0.5 เท่านั้นที่เหมาะสมตามเงื่อนไขของปัญหา

ดังนั้นแถบผ้าที่บ๊อบเย็บติดกับผ้าห่มจะมีความกว้าง 50 ซม.

โรงเรียนมัธยมชนบท Kopyevskaya

10 วิธีในการแก้สมการกำลังสอง

หัวหน้า: Patrikeeva Galina Anatolyevna

ครูคณิตศาสตร์

หมู่บ้าน Kopevo, 2550

1. ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาสมการกำลังสอง

1.1 สมการกำลังสองใน บาบิโลนโบราณ

1.2 ไดโอแฟนตัสประกอบและแก้สมการกำลังสองได้อย่างไร

1.3 สมการกำลังสองในอินเดีย

1.4 สมการกำลังสองโดยอัล-โคเรซมี

1.5 สมการกำลังสองใน ยุโรปที่สิบสาม- ศตวรรษที่ XVII

1.6 เกี่ยวกับทฤษฎีบทของเวียตตา

2. วิธีการแก้สมการกำลังสอง

บทสรุป

วรรณกรรม

1. ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาสมการกำลังสอง

1.1 สมการกำลังสองในบาบิโลนโบราณ

ความจำเป็นในการแก้สมการไม่เพียงแต่ในระดับแรกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงระดับที่สองในสมัยโบราณด้วยนั้นเกิดจากความจำเป็นในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการหาพื้นที่ ที่ดินและด้วยกำแพงดินที่มีลักษณะทางการทหารตลอดจนการพัฒนาด้านดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์ด้วย สมการกำลังสองสามารถแก้ไขได้ประมาณ 2,000 ปีก่อนคริสตกาล จ. ชาวบาบิโลน.

เมื่อใช้สัญกรณ์พีชคณิตสมัยใหม่ เราสามารถพูดได้ว่าในตำรารูปลิ่ม นอกจากที่ไม่สมบูรณ์แล้ว ยังมีสมการกำลังสองสมบูรณ์ด้วย เช่น:

เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ = ¾; เอ็กซ์ 2 - เอ็กซ์ = 14,5

กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้ที่กำหนดไว้ในตำราของชาวบาบิโลนนั้นโดยพื้นฐานแล้วเกิดขึ้นพร้อมกับสมการสมัยใหม่ แต่ไม่มีใครรู้ว่าชาวบาบิโลนมาถึงกฎนี้ได้อย่างไร ตำราแบบฟอร์มอักษรคูนิฟอร์มเกือบทั้งหมดที่พบจนถึงตอนนี้มีเพียงปัญหาเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาที่วางอยู่ในรูปแบบของสูตรอาหารเท่านั้น โดยไม่มีข้อบ่งชี้ว่าพบได้อย่างไร

ถึงอย่างไรก็ตาม ระดับสูงพัฒนาการของพีชคณิตในบาบิโลน ตำรารูปลิ่มขาดแนวคิดเรื่องจำนวนลบและ วิธีการทั่วไปการแก้สมการกำลังสอง

1.2 ไดโอแฟนตัสประกอบและแก้สมการกำลังสองได้อย่างไร

เลขคณิตของไดโอแฟนตัสไม่มีการนำเสนอพีชคณิตอย่างเป็นระบบ แต่ประกอบด้วยชุดปัญหาที่เป็นระบบ พร้อมด้วยคำอธิบาย และแก้ได้โดยการสร้างสมการในระดับต่างๆ

เมื่อเขียนสมการ ไดโอแฟนตัสจะเลือกสิ่งที่ไม่ทราบได้อย่างชำนาญเพื่อทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น

ตัวอย่างเช่นนี่คือหนึ่งในงานของเขา

ปัญหาที่ 11.“จงหาตัวเลขสองตัว โดยรู้ว่าผลรวมของมันคือ 20 และผลคูณของมันคือ 96”

เหตุผลของไดโอแฟนตัสดังต่อไปนี้: จากเงื่อนไขของปัญหาเป็นไปตามที่จำนวนที่ต้องการไม่เท่ากัน เนื่องจากหากเท่ากัน ผลคูณของพวกมันจะไม่เท่ากับ 96 แต่เป็น 100 ดังนั้น หนึ่งในนั้นจะมากกว่า ครึ่งหนึ่งของผลรวมของพวกเขานั่นคือ . 10 + xอีกอันน้อยกว่านั่นคือ 10- ความแตกต่างระหว่างพวกเขา 2x .

ดังนั้นสมการ:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

จากที่นี่ x = 2- หนึ่งในจำนวนที่ต้องการคือเท่ากับ 12 , อื่น 8 - สารละลาย x = -2เพราะไม่มีไดโอแฟนทัส เนื่องจากคณิตศาสตร์กรีกรู้แต่จำนวนบวกเท่านั้น

หากเราแก้ปัญหานี้โดยเลือกตัวเลขที่ต้องการเป็นตัวเลขที่ไม่รู้จัก เราก็จะได้คำตอบของสมการ

y(20 - y) = 96,

ปี 2 - 20ปี + 96 = 0 (2)

เห็นได้ชัดว่าการเลือกผลต่างครึ่งหนึ่งของจำนวนที่ต้องการเป็นค่าไม่ทราบ ไดโอแฟนตัสจะทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น เขาจัดการเพื่อลดปัญหาในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ (1)

1.3 สมการกำลังสองในอินเดีย

ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองมีอยู่แล้วในบทความทางดาราศาสตร์เรื่อง “อารยภัตติม” ซึ่งรวบรวมในปี 499 โดยนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอินเดีย อารยภัตตะ นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียอีกคนหนึ่งคือ Brahmagupta (ศตวรรษที่ 7) ได้สรุปกฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ลดลงเหลือเพียงค่าเดียว รูปแบบบัญญัติ:

อา 2 + ข x = ค, ก > 0 (1)

ในสมการ (1) จะเป็นค่าสัมประสิทธิ์ ยกเว้น กอาจเป็นค่าลบก็ได้ กฎของพรหมคุปต์โดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับของเรา

ใน อินเดียโบราณการแข่งขันสาธารณะในการแก้ปัญหาที่ยากลำบากเป็นเรื่องปกติ หนังสืออินเดียโบราณเล่มหนึ่งกล่าวถึงการแข่งขันดังกล่าวว่า “เมื่อดวงอาทิตย์บังดวงดาวด้วยความสุกใส ดังนั้น คนที่เรียนรู้บดบังความรุ่งโรจน์ของอีกฝ่ายในสภายอดนิยมด้วยการเสนอและแก้ไขปัญหาพีชคณิต” ปัญหามักถูกนำเสนอในรูปแบบบทกวี

นี่เป็นหนึ่งในปัญหาของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียผู้โด่งดังแห่งศตวรรษที่ 12 ภาสการ์

ปัญหาที่ 13.

“ฝูงลิงขี้เล่นและสิบสองตัวตามเถาวัลย์...

เจ้าหน้าที่ก็กินกันสนุกสนาน พวกเขาเริ่มกระโดด แขวน...

มีพวกมันอยู่ที่จัตุรัส ตอนที่แปด มีลิงกี่ตัว?

ฉันกำลังสนุกอยู่ในที่โล่ง บอกฉันในแพ็คนี้?

คำตอบของภัสการาบ่งชี้ว่าเขารู้ว่ารากของสมการกำลังสองมีค่าเป็นสองค่า (รูปที่ 3)

สมการที่สอดคล้องกับปัญหา 13 คือ:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara เขียนภายใต้หน้ากากว่า:

x 2 - 64x = -768

และหากต้องการเติมด้านซ้ายของสมการให้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ให้บวกทั้งสองข้าง 32 2 จากนั้นได้รับ:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48

1.4 สมการกำลังสองในอัล - โคเรซมี

ในบทความเกี่ยวกับพีชคณิตของอัล-โคเรซมี มีการจำแนกประเภทของสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองไว้ ผู้เขียนนับสมการได้ 6 ประเภท แสดงได้ดังนี้

1) “กำลังสองเท่ากับราก” เช่น ขวาน 2 + ค = ข เอ็กซ์

2) “กำลังสองเท่ากับตัวเลข” เช่น ขวาน 2 = ค

3) “ รากมีค่าเท่ากับจำนวน” เช่น อา = ส

4) “กำลังสองและตัวเลขเท่ากับราก” เช่น ขวาน 2 + ค = ข เอ็กซ์

5) “กำลังสองและรากเท่ากับตัวเลข” เช่น อา 2 + บีเอ็กซ์ = ส.

6) “รากและตัวเลขเท่ากับกำลังสอง” เช่น บีเอ็กซ์ + ค = ขวาน 2 .

สำหรับอัล-โคเรซมี ผู้หลีกเลี่ยงการบริโภค ตัวเลขติดลบเงื่อนไขของสมการแต่ละสมการเหล่านี้จะถูกบวกเข้าไม่ลบออก ในกรณีนี้ สมการที่ไม่มีคำตอบเชิงบวกจะไม่ถูกนำมาพิจารณาอย่างชัดเจน ผู้เขียนสรุปวิธีแก้ปัญหา สมการข้างต้นโดยใช้เทคนิคอัลญาบรีและอัลมุคอบาลา แน่นอนว่าการตัดสินใจของเขาไม่ตรงกับการตัดสินใจของเราเลย ไม่ต้องพูดถึงว่าเป็นวาทศิลป์ล้วนๆ ควรสังเกตว่าเมื่อแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ประเภทแรก

เช่นเดียวกับนักคณิตศาสตร์ทุกคนก่อนศตวรรษที่ 17 อัล-โคเรซมี ไม่ได้คำนึงถึงวิธีแก้ปัญหาที่เป็นศูนย์ อาจเป็นเพราะในปัญหาเชิงปฏิบัติโดยเฉพาะนั้นไม่สำคัญ เมื่อแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ al-Khorezmi บางส่วน ตัวอย่างเชิงตัวเลขกำหนดกฎเกณฑ์สำหรับการแก้ปัญหา จากนั้นจึงกำหนดข้อพิสูจน์ทางเรขาคณิต

ปัญหาที่ 14.“สี่เหลี่ยมจัตุรัสและเลข 21 มีค่าเท่ากับ 10 ราก ค้นหาต้นตอ" (หมายถึงรากของสมการ x 2 + 21 = 10x)

วิธีแก้ปัญหาของผู้เขียนมีดังนี้: หารจำนวนรากลงครึ่งหนึ่ง คุณจะได้ 5 คูณ 5 ด้วยตัวมันเอง ลบ 21 จากผลคูณ ที่เหลือคือ 4 นำรากออกจาก 4 คุณจะได้ 2 ลบ 2 จาก 5 คุณได้ 3 นี่จะเป็นรูทที่ต้องการ หรือบวก 2 ถึง 5 ซึ่งให้ 7 นี่ก็เป็นรูทเช่นกัน

บทความของ al-Khorezmi เป็นหนังสือเล่มแรกที่ลงมาหาเราซึ่งกำหนดการจำแนกประเภทของสมการกำลังสองอย่างเป็นระบบและให้สูตรสำหรับการแก้โจทย์ของพวกเขา

1.5 สมการกำลังสองในยุโรป สิบสาม - XVII BB

สูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสองตามแนวของอัล-ควาริซมีในยุโรปมีการกำหนดไว้ครั้งแรกใน Book of Abacus ซึ่งเขียนขึ้นในปี 1202 โดย Leonardo Fibonacci นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ผลงานชิ้นใหญ่นี้ซึ่งสะท้อนถึงอิทธิพลของคณิตศาสตร์ทั้งประเทศอิสลามและ กรีกโบราณโดดเด่นด้วยทั้งความครบถ้วนและความชัดเจนในการนำเสนอ ผู้เขียนได้พัฒนาสิ่งใหม่อย่างอิสระ ตัวอย่างพีชคณิตการแก้ปัญหาและเป็นรายแรกในยุโรปที่แนะนำตัวเลขติดลบ หนังสือของเขามีส่วนช่วยในการเผยแพร่ความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตไม่เพียงแต่ในอิตาลี แต่ยังในเยอรมนี ฝรั่งเศส และประเทศอื่นๆ ในยุโรปด้วย ปัญหามากมายจากหนังสือลูกคิดถูกนำมาใช้ในหนังสือเรียนของยุโรปเกือบทั้งหมดในช่วงศตวรรษที่ 16 - 17 และส่วนหนึ่ง XVIII

กฎทั่วไปการแก้สมการกำลังสองลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติเดียว:

x2+ บีเอ็กซ์ = ค,

สำหรับการรวมกันของเครื่องหมายสัมประสิทธิ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ข , กับได้รับการคิดค้นขึ้นในยุโรปในปี ค.ศ. 1544 โดย M. Stiefel

ที่มาของสูตรในการแก้สมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไปหาได้จาก Vieta แต่ Vieta เท่านั้นที่จำได้ รากที่เป็นบวก- นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Tartaglia, Cardano, Bombelli เป็นกลุ่มแรก ๆ ในศตวรรษที่ 16 พวกเขาคำนึงถึงนอกเหนือจากด้านบวกและ รากเชิงลบ- เฉพาะในศตวรรษที่ 17 เท่านั้น ขอบคุณผลงานของ Girard, Descartes, Newton และคนอื่นๆ ทางนักวิทยาศาสตร์การแก้สมการกำลังสองมีรูปแบบที่ทันสมัย

1.6 เกี่ยวกับทฤษฎีบทของเวียตตา

ทฤษฎีบทที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองกับรากของมัน ซึ่งตั้งชื่อตามเวียตา ได้รับการคิดค้นขึ้นโดยเขาเป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1591 ดังนี้: “ถ้า บี + ดี, คูณด้วย ก - ก 2 เท่ากับ บีดี, ที่ กเท่ากับ ในและเท่าเทียมกัน ดี ».

เพื่อให้เข้าใจ Vieta เราควรจำไว้ว่า กเช่นเดียวกับอักษรสระใด ๆ หมายถึงสิ่งที่ไม่รู้จัก (ของเรา เอ็กซ์) สระ ใน, ดี- ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับสิ่งที่ไม่รู้จัก ในภาษาพีชคณิตสมัยใหม่ สูตร Vieta ข้างต้นหมายถึง ถ้ามี

(ก + ข )x - x 2 = เกี่ยวกับ ,

x 2 - (ก + ข )x + ก ข = 0,

x 1 = ก, x 2 = ข .

การแสดงความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการ สูตรทั่วไปเขียนโดยใช้สัญลักษณ์ เวียตสร้างความสม่ำเสมอในวิธีการแก้สมการ อย่างไรก็ตามสัญลักษณ์ของเวียดนามยังห่างไกลจากนั้น ดูทันสมัย- เขาไม่รู้จักจำนวนลบ ดังนั้น เมื่อแก้สมการ เขาพิจารณาเฉพาะกรณีที่รากทั้งหมดเป็นค่าบวก

2. วิธีการแก้สมการกำลังสอง

สมการกำลังสองเป็นรากฐานที่อาคารพีชคณิตอันสง่างามตั้งอยู่ สมการกำลังสองใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้สมการตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม อตรรกยะ และอสมการและอสมการ เราทุกคนรู้วิธีแก้สมการกำลังสองตั้งแต่โรงเรียน (ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8) จนกระทั่งสำเร็จการศึกษา

สมการกำลังสอง - แก้ง่าย! *ต่อไปนี้เรียกว่า “มก.”เพื่อน ๆ ดูเหมือนว่าไม่มีอะไรจะง่ายไปกว่านี้ในวิชาคณิตศาสตร์มากไปกว่าการแก้สมการดังกล่าว แต่มีบางอย่างบอกฉันว่าหลายคนมีปัญหากับเขา ฉันตัดสินใจดูว่ายานเดกซ์ให้การแสดงผลตามความต้องการจำนวนเท่าใดต่อเดือน นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น ดูสิ:

มันหมายความว่าอะไร? ซึ่งหมายความว่ามีผู้คนค้นหาประมาณ 70,000 คนต่อเดือน ข้อมูลนี้หน้าร้อนนี้เกี่ยวอะไรด้วยและจะเกิดอะไรขึ้นบ้าง ปีการศึกษา— จะมีคำขอเป็นสองเท่า ไม่น่าแปลกใจเพราะชายและหญิงที่สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนเมื่อนานมาแล้วและกำลังเตรียมสอบ Unified State กำลังมองหาข้อมูลนี้และเด็กนักเรียนก็พยายามฟื้นฟูความทรงจำเช่นกัน

แม้ว่าจะมีเว็บไซต์จำนวนมากที่บอกวิธีแก้สมการนี้ให้คุณ แต่ฉันก็ตัดสินใจมีส่วนร่วมและเผยแพร่เนื้อหาด้วย ประการแรก ฉันต้องการให้ผู้เยี่ยมชมมาที่ไซต์ของฉันตามคำขอนี้ ประการที่สอง ในบทความอื่นๆ เมื่อมีหัวข้อ “มก.” ผมจะใส่ลิงค์บทความนี้ให้ ประการที่สาม ฉันจะบอกคุณเพิ่มเติมเล็กน้อยเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาของเขามากกว่าที่ระบุไว้ในเว็บไซต์อื่น ๆ มาเริ่มกันเลย!เนื้อหาของบทความ:

สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ:

โดยที่สัมประสิทธิ์ขและ c เป็นตัวเลขใดๆ โดยที่ a≠0

ในหลักสูตรของโรงเรียน จะมีการแจกสื่อการสอน แบบฟอร์มต่อไปนี้– สมการแบ่งออกเป็นสามคลาส:

1. มีสองราก

2. *มีรากเดียวเท่านั้น

3. พวกมันไม่มีราก เป็นที่น่าสังเกตว่าที่นี่ไม่มีรากที่แท้จริง

รากคำนวณอย่างไร? แค่!

เราคำนวณการเลือกปฏิบัติ ใต้คำที่ “แย่มาก” มีสูตรง่ายๆ อยู่ดังนี้:

สูตรรากมีดังนี้:

*คุณต้องรู้สูตรเหล่านี้ด้วยใจ

คุณสามารถเขียนและแก้ไขได้ทันที:

ตัวอย่าง:

1. ถ้า D > 0 สมการจะมีราก 2 อัน

2. ถ้า D = 0 แสดงว่าสมการนั้นมีหนึ่งรูท

3. ถ้า D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

ลองดูที่สมการ:

ในเรื่องนี้เมื่อผู้จำแนกมีค่าเท่ากับศูนย์หลักสูตรของโรงเรียนบอกว่าได้รับหนึ่งรูตซึ่งนี่ก็เท่ากับเก้า ทุกอย่างถูกต้องก็เป็นเช่นนั้น แต่...

ความคิดนี้ค่อนข้างไม่ถูกต้อง ในความเป็นจริงมีสองราก ใช่ ใช่ ไม่ต้องแปลกใจ มันกลายเป็นสอง รากที่เท่ากันและเพื่อให้แม่นยำทางคณิตศาสตร์ คำตอบควรมีสองราก:

x 1 = 3 x 2 = 3

แต่นี่เป็นเช่นนั้น - การพูดนอกเรื่องเล็กน้อย ที่โรงเรียนคุณสามารถจดไว้และบอกว่ามีรากเดียว

ตอนนี้ตัวอย่างถัดไป:

อย่างที่เราทราบกันดีว่าไม่สามารถหารากของจำนวนลบได้ ในกรณีนี้จึงไม่มีวิธีแก้ปัญหา

นั่นคือกระบวนการตัดสินใจทั้งหมด

ฟังก์ชันกำลังสอง

นี่แสดงให้เห็นว่าโซลูชันมีลักษณะอย่างไรในเชิงเรขาคณิต นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งที่ต้องเข้าใจ (ในอนาคตในบทความใดบทความหนึ่งเราจะวิเคราะห์รายละเอียดวิธีแก้ปัญหาอสมการกำลังสอง)

นี่คือฟังก์ชันของแบบฟอร์ม:

โดยที่ x และ y เป็นตัวแปร

a, b, c – กำหนดตัวเลข โดยมี ≠ 0

กราฟเป็นรูปพาราโบลา:

นั่นคือปรากฎว่าโดยการแก้สมการกำลังสองด้วย "y" เท่ากับศูนย์ เราจะพบจุดตัดของพาราโบลากับแกน x อาจมีสองจุดเหล่านี้ (จุดเลือกปฏิบัติเป็นบวก) จุดหนึ่ง (จุดเลือกปฏิบัติเป็นศูนย์) และไม่มีเลย (จุดเลือกปฏิบัติเป็นลบ) รายละเอียดเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสอง คุณสามารถดูได้บทความโดย อินนา เฟลด์แมน

ลองดูตัวอย่าง:

ตัวอย่างที่ 1: แก้ 2x 2 +8 x–192=0

ก=2 ข=8 ค= –192

ด=ข 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

คำตอบ: x 1 = 8 x 2 = –12

*สามารถออกไปได้ทันทีและ ด้านขวาหารสมการด้วย 2 นั่นคือลดรูปลง การคำนวณจะง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 2: ตัดสินใจ x2–22 x+121 = 0

ก=1 ข=–22 ค=121

ง = ข 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

เราพบว่า x 1 = 11 และ x 2 = 11

อนุญาตให้เขียน x = 11 ในคำตอบได้

คำตอบ: x = 11

ตัวอย่างที่ 3: ตัดสินใจ x 2 –8x+72 = 0

ก=1 ข= –8 ค=72

ง = ข 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

ตัวจำแนกเป็นลบ ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง

คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

การเลือกปฏิบัติเป็นลบ มีทางแก้!

ที่นี่เราจะพูดถึงการแก้สมการในกรณีที่ได้รับการแยกแยะเชิงลบ คุณรู้อะไรเกี่ยวกับ จำนวนเชิงซ้อน- ฉันจะไม่ลงรายละเอียดที่นี่ว่าทำไมพวกเขาถึงเกิดขึ้นและบทบาทและความจำเป็นเฉพาะของพวกเขาในวิชาคณิตศาสตร์คืออะไร นี่เป็นหัวข้อสำหรับบทความขนาดใหญ่ที่แยกจากกัน

แนวคิดของจำนวนเชิงซ้อน

ทฤษฎีเล็กน้อย

จำนวนเชิงซ้อน z คือตัวเลขที่อยู่ในรูปแบบ

z = ก + ไบ

โดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริง i คือสิ่งที่เรียกว่าหน่วยจินตภาพ

เอ+บี – นี่เป็นตัวเลขเดียว ไม่ใช่การบวก

หน่วยจินตภาพเท่ากับรากของลบหนึ่ง:

ตอนนี้ให้พิจารณาสมการ:

เราได้รากคอนจูเกตสองตัว

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์

ลองพิจารณากรณีพิเศษ นี่คือเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ "b" หรือ "c" เท่ากับศูนย์ (หรือทั้งสองอย่างเท่ากับศูนย์) สามารถแก้ไขได้ง่ายโดยไม่มีการเลือกปฏิบัติ

กรณีที่ 1 ค่าสัมประสิทธิ์ b = 0

สมการจะกลายเป็น:

มาแปลงร่างกัน:

ตัวอย่าง:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

กรณีที่ 2 ค่าสัมประสิทธิ์ c = 0

สมการจะกลายเป็น:

มาแปลงและแยกตัวประกอบกัน:

*ผลคูณจะเท่ากับศูนย์เมื่อมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์

ตัวอย่าง:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 หรือ x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

กรณีที่ 3 ค่าสัมประสิทธิ์ b = 0 และ c = 0

ตรงนี้ชัดเจนว่าคำตอบของสมการจะเป็น x = 0 เสมอ

คุณสมบัติที่เป็นประโยชน์และรูปแบบของสัมประสิทธิ์

มีคุณสมบัติที่ช่วยให้คุณสามารถแก้สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์สูงได้

กx 2 + บีเอ็กซ์+ ค=0 ความเท่าเทียมกันถือ

ก + ข+ ค = 0,ที่

- ถ้าเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของสมการ กx 2 + บีเอ็กซ์+ ค=0 ความเท่าเทียมกันถือ

ก+ ค =ข, ที่

คุณสมบัติเหล่านี้ช่วยในการตัดสินใจ บางประเภทสมการ

ตัวอย่างที่ 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

ผลรวมของอัตราต่อรองคือ 5001+( – 4995)+(– 6) = 0 ซึ่งหมายถึง

ตัวอย่างที่ 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

ความเท่าเทียมกันถือ ก+ ค =ข, วิธี

ความสม่ำเสมอของสัมประสิทธิ์

1. หากในสมการ ax 2 + bx + c = 0 ค่าสัมประสิทธิ์ "b" เท่ากับ (a 2 +1) และค่าสัมประสิทธิ์ "c" เป็นตัวเลข เท่ากับสัมประสิทธิ์"a" แล้วรากของมันจะเท่ากัน

ขวาน 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 6x 2 + 37x + 6 = 0

x 1 = –6 x 2 = –1/6

2. หากในสมการ ax 2 – bx + c = 0 ค่าสัมประสิทธิ์ "b" เท่ากับ (a 2 +1) และค่าสัมประสิทธิ์ "c" เป็นตัวเลขเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ "a" ดังนั้นรากของมันจะเท่ากัน

ขวาน 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 15x 2 –226x +15 = 0

x 1 = 15 x 2 = 1/15

3. ถ้าอยู่ในสมการขวาน 2 + bx – c = 0 สัมประสิทธิ์ “b” เท่ากับ (a2 – 1) และสัมประสิทธิ์ “c” เป็นตัวเลขเท่ากับสัมประสิทธิ์ "a", แล้วรากของมันก็เท่ากัน

ขวาน 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 17x 2 +288x – 17 = 0

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. หากในสมการ ax 2 – bx – c = 0 ค่าสัมประสิทธิ์ "b" เท่ากับ (a 2 - 1) และค่าสัมประสิทธิ์ c เป็นตัวเลขเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ "a" ดังนั้นรากของมันจะเท่ากัน

ขวาน 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 10x 2 – 99x –10 = 0

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

ทฤษฎีบทของเวียตตา

ทฤษฎีบทของ Vieta ตั้งชื่อตามผู้มีชื่อเสียง นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสฟรองซัวส์ วิเอต้า. เมื่อใช้ทฤษฎีบทของเวียตา เราสามารถแสดงผลรวมและผลคูณของรากของ KU ใดๆ ในรูปของสัมประสิทธิ์ได้

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

โดยรวมแล้วหมายเลข 14 ให้เพียง 5 และ 9 เท่านั้น นี่คือราก ด้วยทักษะบางอย่างโดยใช้ทฤษฎีบทที่นำเสนอ คุณสามารถแก้สมการกำลังสองจำนวนมากด้วยวาจาได้ทันที

นอกจากนี้ทฤษฎีบทของเวียตนาม สะดวกตรงที่หลังจากแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีปกติ (ผ่านการจำแนก) แล้ว สามารถตรวจสอบรากผลลัพธ์ได้ ฉันแนะนำให้ทำเช่นนี้เสมอ

วิธีการขนส่ง

ด้วยวิธีนี้ค่าสัมประสิทธิ์ "a" จะถูกคูณด้วยเงื่อนไขอิสระราวกับว่า "โยน" ลงไปซึ่งเป็นเหตุที่เรียกว่า วิธีการ "โอน"วิธีการนี้ใช้เมื่อคุณสามารถหารากของสมการได้อย่างง่ายดายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา และที่สำคัญที่สุดคือเมื่อตัวแยกแยะเป็นกำลังสองที่แน่นอน

ถ้า ก± บี+ซี≠ 0 จากนั้นจะใช้เทคนิคการถ่ายโอน เช่น:

2เอ็กซ์ 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => เอ็กซ์ 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

การใช้ทฤษฎีบทของเวียตตาในสมการ (2) ทำให้ง่ายต่อการตัดสินว่า x 1 = 10 x 2 = 1

ผลลัพธ์รากของสมการจะต้องหารด้วย 2 (เนื่องจากทั้งสองถูก "โยน" จาก x 2) เราจึงได้

x 1 = 5 x 2 = 0.5

มีเหตุผลอะไร? ดูสิ่งที่เกิดขึ้น

การแบ่งแยกสมการ (1) และ (2) เท่ากัน:

ถ้าคุณดูที่รากของสมการ คุณจะได้เท่านั้น ตัวส่วนที่แตกต่างกันและผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับสัมประสิทธิ์ x 2 อย่างแน่นอน:

อันที่สอง (แก้ไข) มีรากที่ใหญ่กว่า 2 เท่า

ดังนั้นเราจึงหารผลลัพธ์ด้วย 2

*หากเราทอยทั้งสามอีกครั้ง เราจะหารผลลัพธ์ด้วย 3 เป็นต้น

คำตอบ: x 1 = 5 x 2 = 0.5

ตร.ม. ur-ie และ Unified State Examination

ฉันจะบอกคุณสั้น ๆ เกี่ยวกับความสำคัญของมัน - คุณต้องสามารถตัดสินใจได้อย่างรวดเร็วและไม่ต้องคิด คุณต้องรู้สูตรของรากและการเลือกปฏิบัติด้วยใจ ปัญหามากมายที่รวมอยู่ในงาน Unified State Examination เกิดขึ้นที่การแก้สมการกำลังสอง (รวมเรขาคณิตด้วย)

มีบางอย่างที่น่าสังเกต!

1. รูปแบบของการเขียนสมการอาจเป็นแบบ "โดยนัย" ตัวอย่างเช่น รายการต่อไปนี้เป็นไปได้:

15+ 9x 2 - 45x = 0 หรือ 15x+42+9x 2 - 45x=0 หรือ 15 -5x+10x 2 = 0

คุณต้องนำมาเป็นรูปแบบมาตรฐาน (เพื่อไม่ให้สับสนเมื่อแก้ไข)

2. โปรดจำไว้ว่า x เป็นปริมาณที่ไม่รู้จักและสามารถเขียนแทนด้วยตัวอักษรอื่นได้ - t, q, p, h และอื่นๆ

คำอธิบายบรรณานุกรม: Gasanov A. R. , Kuramshin A. A. , Elkov A. A. , Shilnenkov N. V. , Ulanov D. D. , Shmeleva O. V. วิธีการแก้สมการกำลังสอง // นักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ 2559. ฉบับที่ 6.1. พ.17-20..02.2019).



โครงงานของเราเกี่ยวกับวิธีแก้สมการกำลังสอง เป้าหมายของโครงการ: เรียนรู้การแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีที่ไม่รวมอยู่ในหลักสูตรของโรงเรียน ภารกิจ: ค้นหาทุกสิ่ง วิธีที่เป็นไปได้การแก้สมการกำลังสองและเรียนรู้วิธีใช้ด้วยตนเองและแนะนำวิธีการเหล่านี้ให้เพื่อนร่วมชั้นของคุณ

“สมการกำลังสอง” คืออะไร?

สมการกำลังสอง- สมการของแบบฟอร์ม ขวาน2 + bx + ค = 0, ที่ไหน ก, ข, ค- ตัวเลขบางส่วน ( ก ≠ 0), x- ไม่ทราบ

ตัวเลข a, b, c เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

• a เรียกว่าสัมประสิทธิ์แรก
• b เรียกว่าสัมประสิทธิ์ที่สอง
• ค - สมาชิกฟรี

ใครเป็นคนแรกที่ "ประดิษฐ์" สมการกำลังสอง?

เทคนิคพีชคณิตบางอย่างสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองเป็นที่รู้จักเมื่อ 4,000 ปีก่อนในบาบิโลนโบราณ การค้นพบแผ่นดินเหนียวของชาวบาบิโลนโบราณ ซึ่งมีอายุระหว่าง 1800 ถึง 1600 ปีก่อนคริสตกาล เป็นหลักฐานที่เก่าแก่ที่สุดของการศึกษาสมการกำลังสอง เม็ดเดียวกันมีวิธีแก้สมการกำลังสองบางประเภท

ความจำเป็นในการแก้สมการไม่เพียงแต่ในระดับแรกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงระดับที่สองด้วยแม้ในสมัยโบราณก็มีสาเหตุมาจากความจำเป็นในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการหาพื้นที่แปลงที่ดินและงานขุดค้นที่มีลักษณะทางทหารด้วย เช่นเดียวกับพัฒนาการทางดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์นั่นเอง

กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้ที่กำหนดไว้ในตำราของชาวบาบิโลนนั้นโดยพื้นฐานแล้วเกิดขึ้นพร้อมกับสมการสมัยใหม่ แต่ไม่มีใครรู้ว่าชาวบาบิโลนมาถึงกฎนี้ได้อย่างไร ตำราแบบฟอร์มอักษรคูนิฟอร์มเกือบทั้งหมดที่พบจนถึงตอนนี้มีเพียงปัญหาเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาที่วางอยู่ในรูปแบบของสูตรอาหารเท่านั้น โดยไม่มีข้อบ่งชี้ว่าพบได้อย่างไร แม้จะมีการพัฒนาพีชคณิตในระดับสูงในบาบิโลน แต่ตำรารูปลิ่มยังขาดแนวคิดเรื่องจำนวนลบและวิธีการทั่วไปในการแก้สมการกำลังสอง

นักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนตั้งแต่ประมาณศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสต์ศักราช ใช้วิธีการเสริมกำลังสองเพื่อแก้สมการที่มีรากที่เป็นบวก ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล Euclid คิดวิธีแก้โจทย์เรขาคณิตแบบทั่วไปขึ้นมา นักคณิตศาสตร์คนแรกที่พบคำตอบของสมการที่มีรากเป็นลบอยู่ในรูป สูตรพีชคณิตเป็นนักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดีย พระพรหมคุปตะ(อินเดีย คริสต์ศตวรรษที่ 7)

พระพรหมคุปตะได้วางกฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ลดลงให้เหลือรูปแบบบัญญัติเดียว:

ax2 + bx = c, a>0

ค่าสัมประสิทธิ์ในสมการนี้อาจเป็นค่าลบได้เช่นกัน กฎของพรหมคุปต์โดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับของเรา

การแข่งขันสาธารณะในการแก้ปัญหายากๆ เป็นเรื่องปกติในอินเดีย หนังสืออินเดียเก่าเล่มหนึ่งกล่าวถึงการแข่งขันดังกล่าวว่า “เมื่อดวงอาทิตย์ส่องแสงเจิดจ้าเหนือดวงดาว ผู้รอบรู้ก็จะเปล่งประกายในการประชุมสาธารณะด้วยการเสนอและแก้ไขปัญหาพีชคณิตฉันนั้น” ปัญหามักถูกนำเสนอในรูปแบบบทกวี

ในบทความเกี่ยวกับพีชคณิต อัล-คอวาริซมีมีการจำแนกประเภทของสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสอง ผู้เขียนนับสมการได้ 6 ประเภท แสดงได้ดังนี้

1) “กำลังสองเท่ากับราก” เช่น ax2 = bx

2) “กำลังสองเท่ากับตัวเลข” เช่น ax2 = c

3) “รากเท่ากับจำนวน” เช่น ax2 = c

4) “กำลังสองและตัวเลขเท่ากับราก” เช่น ax2 + c = bx

5) “กำลังสองและรากเท่ากับจำนวน” เช่น ax2 + bx = c

6) “รากและตัวเลขเท่ากับกำลังสอง” เช่น bx + c == ax2

สำหรับอัล-คอวาริซมี ผู้หลีกเลี่ยงการใช้จำนวนลบ เงื่อนไขของสมการแต่ละสมการเหล่านี้จะบวกและลบไม่ได้ ในกรณีนี้ สมการที่ไม่มีคำตอบเชิงบวกจะไม่ถูกนำมาพิจารณาอย่างชัดเจน ผู้เขียนกำหนดวิธีการแก้สมการเหล่านี้โดยใช้เทคนิคอัลญับร์และอัลมูคาบัล แน่นอนว่าการตัดสินใจของเขาไม่ตรงกับการตัดสินใจของเราเลย ไม่ต้องพูดถึงว่าเป็นวาทศิลป์ล้วนๆ ควรสังเกตว่าเมื่อแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของประเภทแรก Al-Khorezmi เช่นเดียวกับนักคณิตศาสตร์ทุกคนจนถึงศตวรรษที่ 17 จะไม่คำนึงถึงวิธีแก้ปัญหาเป็นศูนย์ อาจเป็นเพราะในทางปฏิบัติโดยเฉพาะมันไม่สำคัญกับงาน เมื่อแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ Al-Khwarizmi จะกำหนดกฎสำหรับการแก้สมการโดยใช้ตัวอย่างตัวเลขเฉพาะ จากนั้นจึงทำการพิสูจน์เรขาคณิต

แบบฟอร์มสำหรับการแก้สมการกำลังสองตามแบบจำลองของอัลควาริซมีในยุโรปมีการกำหนดไว้ครั้งแรกใน “หนังสือลูกคิด” ที่เขียนขึ้นในปี 1202 นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ลีโอนาร์ด ฟีโบนัชชี- ผู้เขียนได้พัฒนาตัวอย่างพีชคณิตใหม่ในการแก้ปัญหาอย่างอิสระและเป็นคนแรกในยุโรปที่เข้าใกล้การแนะนำจำนวนลบ

หนังสือเล่มนี้มีส่วนช่วยในการเผยแพร่ความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตไม่เพียงแต่ในอิตาลี แต่ยังในเยอรมนี ฝรั่งเศส และประเทศอื่นๆ ในยุโรปด้วย ปัญหามากมายจากหนังสือเล่มนี้ถูกนำมาใช้ในตำราเรียนยุโรปเกือบทั้งหมดในศตวรรษที่ 14-17 กฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติเดียว x2 + bх = с สำหรับการรวมกันของเครื่องหมายและสัมประสิทธิ์ b, c ที่เป็นไปได้ทั้งหมดถูกกำหนดขึ้นในยุโรปในปี 1544 เอ็ม. สตีเฟล.

ที่มาของสูตรในการแก้สมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไปหาได้จาก Vieth แต่ Vieth จำได้เพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้น นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ทาร์ทาเกลีย, คาร์ดาโน, บอมเบลลีหนึ่งในกลุ่มแรกในศตวรรษที่ 16 นอกจากรากที่เป็นบวกแล้ว ยังคำนึงถึงรากที่เป็นลบด้วย เฉพาะในศตวรรษที่ 17 เท่านั้น ขอบคุณความพยายาม จิราร์ด, เดการ์ต, นิวตันและนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ วิธีการแก้สมการกำลังสองมีรูปแบบที่ทันสมัย

ลองดูหลายวิธีในการแก้สมการกำลังสอง

วิธีมาตรฐานในการแก้สมการกำลังสองจาก หลักสูตรของโรงเรียน:

1. แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ
2. วิธีการเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์
3. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร
4. โซลูชันกราฟิกสมการกำลังสอง
5. การแก้สมการโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม

ให้เราดูรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแก้สมการกำลังสองที่ลดลงและไม่ได้ลดลงโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta

จำไว้ว่าในการแก้สมการกำลังสองข้างต้น ก็เพียงพอแล้วที่จะหาตัวเลขสองตัวที่มีผลคูณเท่ากับเทอมอิสระ และผลรวมเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม

ตัวอย่าง.x 2 -5x+6=0

คุณต้องค้นหาตัวเลขที่มีผลคูณเป็น 6 และมีผลรวมเป็น 5 ตัวเลขเหล่านี้จะเป็น 3 และ 2

คำตอบ: x 1 =2,x 2 =3.

แต่คุณสามารถใช้วิธีนี้กับสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์แรกไม่เท่ากับหนึ่งได้

ตัวอย่าง.3x 2 +2x-5=0

นำสัมประสิทธิ์แรกมาคูณด้วยพจน์อิสระ: x 2 +2x-15=0

รากของสมการนี้จะเป็นตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากับ - 15 และผลรวมเท่ากับ - 2 ตัวเลขเหล่านี้คือ 5 และ 3 หากต้องการค้นหารากของสมการดั้งเดิม ให้หารรากผลลัพธ์ด้วยสัมประสิทธิ์แรก

คำตอบ: x 1 =-5/3,x 2 =1

6. การแก้สมการโดยใช้วิธี "โยน"

พิจารณาสมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 โดยที่ a≠0

เมื่อคูณทั้งสองข้างด้วย a เราจะได้สมการ a 2 x 2 + abx + ac = 0

ให้ขวาน = y โดยที่ x = y/a; จากนั้นเราก็มาถึงสมการ y 2 + โดย + ac = 0 ซึ่งเทียบเท่ากับสมการที่กำหนด เราหารากของ 1 และ 2 โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม

ในที่สุดเราก็ได้ x 1 = y 1 /a และ x 2 = y 2 /a

ด้วยวิธีนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ a จะถูกคูณด้วยเทอมอิสระ ราวกับว่า "โยน" ลงไป ซึ่งเหตุนี้จึงเรียกว่าวิธี "โยน" วิธีการนี้ใช้เมื่อคุณสามารถหารากของสมการได้อย่างง่ายดายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา และที่สำคัญที่สุดคือเมื่อตัวแยกแยะเป็นกำลังสองที่แน่นอน

ตัวอย่าง.2x 2 - 11x + 15 = 0.

ลอง "โยน" สัมประสิทธิ์ 2 ไปยังเทอมอิสระแล้วทำการทดแทนแล้วได้สมการ y 2 - 11y + 30 = 0

ตาม การสนทนาของทฤษฎีบทเวียตต้า

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3

คำตอบ: x 1 =2.5; เอ็กซ์ 2 = 3.

7. คุณสมบัติของสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 ให้ได้

1. ถ้า a+ b + c = 0 (เช่น ผลรวมของสัมประสิทธิ์ของสมการเป็นศูนย์) ดังนั้น x 1 = 1

2. ถ้า a - b + c = 0 หรือ b = a + c แล้ว x 1 = - 1

ตัวอย่าง.345x 2 - 137x - 208 = 0.

เนื่องจาก a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0) ดังนั้น x 1 = 1, x 2 = -208/345

คำตอบ: x 1 =1; เอ็กซ์ 2 = -208/345 .

ตัวอย่าง.132x 2 + 247x + 115 = 0

เพราะ a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0) จากนั้น x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

คำตอบ: x 1 = - 1; เอ็กซ์ 2 =- 115/132

มีคุณสมบัติอื่นๆ ของสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง แต่การใช้งานมีความซับซ้อนมากขึ้น

8. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้โนโมแกรม

รูปที่ 1. โนโมแกรม

มันเก่าและปัจจุบัน ทางที่ถูกลืมคำตอบของสมการกำลังสอง วางอยู่บนหน้า 83 ของชุดสะสม: Bradis V.M. ตารางคณิตศาสตร์สี่หลัก - ม., การศึกษา, 2533.

ตารางที่ 22 โนโมแกรมสำหรับการแก้สมการ z 2 + pz + q = 0- โนโมแกรมนี้ช่วยให้ระบุรากของสมการจากค่าสัมประสิทธิ์ได้โดยไม่ต้องแก้สมการกำลังสอง

สเกลโค้งของโนโมแกรมถูกสร้างขึ้นตามสูตร (รูปที่ 1):

เชื่อ ระบบปฏิบัติการ = p, ED = q, OE = a(ทั้งหมดเป็นซม.) จากรูปที่ 1 ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม ซานและ ซีดีเอฟเราได้สัดส่วน

ซึ่งหลังจากการแทนที่และการลดความซับซ้อนแล้ว จะได้สมการ z 2 + pz + q = 0,และจดหมาย zหมายถึง เครื่องหมายของจุดใดๆ บนมาตราส่วนโค้ง

ข้าว. 2 การแก้สมการกำลังสองโดยใช้โนโมแกรม

ตัวอย่าง.

1) สำหรับสมการ z 2 - 9z + 8 = 0โนโมแกรมให้ราก z 1 = 8.0 และ z 2 = 1.0

คำตอบ:8.0; 1.0.

2) ใช้โนโมแกรมเพื่อแก้สมการ

2z 2 - 9z + 2 = 0

หารสัมประสิทธิ์ของสมการนี้ด้วย 2 เราจะได้สมการ z 2 - 4.5z + 1 = 0

โนโมแกรมให้ราก z 1 = 4 และ z 2 = 0.5

คำตอบ: 4; 0.5.

9. วิธีเรขาคณิตสำหรับการแก้สมการกำลังสอง

ตัวอย่าง.เอ็กซ์ 2 + 10x = 39.

ในต้นฉบับ ปัญหานี้กำหนดไว้ดังนี้: “กำลังสองและสิบรากเท่ากับ 39”

พิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน x สี่เหลี่ยมถูกสร้างขึ้นที่ด้านข้างเพื่อให้ด้านอื่น ๆ ของแต่ละรูปเป็น 2.5 ดังนั้นพื้นที่ของแต่ละรูปคือ 2.5x จากนั้นนำตัวเลขที่ได้มาเสริมเข้ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD ใหม่ โดยสร้างสี่เหลี่ยมจตุรัสสี่อันเท่ากันที่มุม ด้านของแต่ละช่องคือ 2.5 และพื้นที่คือ 6.25

ข้าว. 3 วิธีกราฟิกคำตอบของสมการ x 2 + 10x = 39

พื้นที่ S ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD สามารถแสดงเป็นผลรวมของพื้นที่ของ: สี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิม x 2, สี่เหลี่ยมจัตุรัสสี่รูป (4∙2.5x = 10x) และสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพิ่มเติมอีกสี่รูป (6.25∙4 = 25) กล่าวคือ S = x 2 + 10x = 25 เมื่อแทนที่ x 2 + 10x ด้วยเลข 39 เราจะได้ S = 39+ 25 = 64 ซึ่งหมายความว่าด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ ABCD กล่าวคือ ส่วน AB = 8 สำหรับด้านที่ต้องการ x ของกำลังสองเดิมที่เราได้รับ

10. การแก้สมการโดยใช้ทฤษฎีบทของเบซูต์

ทฤษฎีบทของเบซูต์ ส่วนที่เหลือจากการหารพหุนาม P(x) ด้วยทวินาม x - α เท่ากับ P(α) (นั่นคือ ค่าของ P(x) ที่ x = α)

หากจำนวน α เป็นรากของพหุนาม P(x) แล้วพหุนามนี้จะหารด้วย x -α ลงตัวโดยไม่มีเศษ

ตัวอย่าง.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0 หาร P(x) ด้วย (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 หรือ x-3=0, x=3; คำตอบ: x1 =2,x2 =3.

บทสรุป:ความสามารถในการแก้สมการกำลังสองอย่างรวดเร็วและมีเหตุผลนั้นเป็นสิ่งจำเป็นในการแก้เพิ่มเติม สมการที่ซับซ้อน, ตัวอย่างเช่น, สมการตรรกยะเศษส่วน, สมการ องศาที่สูงขึ้น, สมการกำลังสองและใน โรงเรียนมัธยมปลายตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง และ สมการลอการิทึม- หลังจากศึกษาวิธีแก้สมการกำลังสองที่พบทั้งหมดแล้ว เราสามารถแนะนำเพื่อนร่วมชั้นได้ ยกเว้น วิธีการมาตรฐานการแก้ปัญหาโดยวิธีถ่ายโอน (6) และการแก้สมการโดยใช้คุณสมบัติของสัมประสิทธิ์ (7) เนื่องจากเข้าถึงความเข้าใจได้มากขึ้น

วรรณกรรม:

1. แบรดิส วี.เอ็ม. ตารางคณิตศาสตร์สี่หลัก - ม., การศึกษา, 2533.
2. พีชคณิตเกรด 8: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน Makarychev Yu. N. , Mindyuk N. G. , Neshkov K. I. , Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky ฉบับที่ 15 แก้ไขแล้ว - อ.: การศึกษา, 2558
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. เกลเซอร์ จี.ไอ. ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน คู่มือสำหรับครู. / เอ็ด. วี.เอ็น. อายุน้อยกว่า - ม.: การศึกษา, 2507.

"นั่นคือสมการของดีกรีที่หนึ่ง ในบทเรียนนี้เราจะดู สิ่งที่เรียกว่าสมการกำลังสองและวิธีแก้ปัญหา

สมการกำลังสองคืออะไร?

สำคัญ!

ระดับของสมการถูกกำหนดโดยระดับสูงสุดที่ไม่ทราบค่า

หากค่ากำลังสูงสุดที่ไม่ทราบค่าคือ “2” แสดงว่าคุณมีสมการกำลังสอง

ตัวอย่างสมการกำลังสอง

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 - 8 = 0

สำคัญ! รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองมีลักษณะดังนี้:

ก x 2 + ข x + ค = 0

“a”, “b” และ “c” เป็นตัวเลขที่กำหนด

• “a” คือค่าสัมประสิทธิ์แรกหรือค่าสูงสุด
• “b” คือสัมประสิทธิ์ที่สอง
• “c” เป็นสมาชิกฟรี

หากต้องการค้นหา "a", "b" และ "c" คุณต้องเปรียบเทียบสมการของคุณกับรูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสอง "ax 2 + bx + c = 0"

มาฝึกกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" กัน สมการกำลังสอง.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

สมการ	ราคาต่อรอง
ก = 5 ข = −14 ค = 17
ก = −7 ข = −13 ค = 8

1

3

= 0

• ก = −1
• ข = 1
• ค =

  1

  3

x 2 + 0.25x = 0

• ก = 1
• ข = 0.25
• ค = 0

x 2 - 8 = 0

• ก = 1
• ข = 0
• ค = −8

วิธีแก้สมการกำลังสอง

ไม่เหมือน สมการเชิงเส้นการแก้สมการกำลังสองโดยเฉพาะ สูตรการหาราก.

จดจำ!

ในการแก้สมการกำลังสองคุณต้องมี:

• นำสมการกำลังสองมาอยู่ในรูปแบบทั่วไป “ax 2 + bx + c = 0”
• นั่นคือควรเหลือเพียง "0" ทางด้านขวา

ใช้สูตรสำหรับราก:

มาดูตัวอย่างการใช้สูตรเพื่อหารากของสมการกำลังสองกัน มาแก้สมการกำลังสองกัน

X 2 - 3x - 4 = 0 สมการ “x 2 − 3x − 4 = 0” ได้ลดลงเป็นรูปแบบทั่วไป “ax 2 + bx + c = 0” แล้ว และไม่จำเป็นต้องทำให้เข้าใจง่ายเพิ่มเติม เพื่อแก้ปัญหาเราเพียงแค่ต้องสมัคร.

ให้เรากำหนดค่าสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" สำหรับสมการนี้

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

สามารถใช้แก้สมการกำลังสองใดก็ได้

ในสูตร "x 1;2 = " มักจะแทนที่นิพจน์ที่รุนแรง
“b 2 − 4ac” สำหรับตัวอักษร “D” และเรียกว่า discriminant แนวคิดของการเลือกปฏิบัติจะถูกกล่าวถึงโดยละเอียดในบทเรียน "อะไรคือการเลือกปฏิบัติ"

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่งของสมการกำลังสอง

x 2 + 9 + x = 7x

ในรูปแบบนี้ การกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" ค่อนข้างยาก ขั้นแรกให้ลดสมการให้อยู่ในรูปแบบทั่วไป “ax 2 + bx + c = 0”

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

ตอนนี้คุณสามารถใช้สูตรสำหรับรากได้

เอ็กซ์ 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x = 3
คำตอบ: x = 3

มีบางครั้งที่สมการกำลังสองไม่มีราก สถานการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อสูตรมีจำนวนลบอยู่ใต้ราก