ตัวอย่างการกระทำที่มีจำนวนอตรรกยะ ตัวเลข: โดยธรรมชาติ, จำนวนเต็ม, ตรรกยะ, จริง

เนื้อหาของบทความนี้เป็นข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับ จำนวนอตรรกยะ. อันดับแรก เราจะให้คำจำกัดความของจำนวนอตรรกยะและอธิบาย ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของจำนวนอตรรกยะ สุดท้าย มาดูวิธีการบางอย่างในการค้นหาว่าจำนวนที่กำหนดนั้นไม่ลงตัวหรือไม่

การนำทางหน้า

ความหมายและตัวอย่างของจำนวนอตรรกยะ

ในการศึกษาเศษส่วนทศนิยม เราแยกพิจารณาเศษส่วนทศนิยมที่ไม่เป็นงวดแบบอนันต์ เศษส่วนดังกล่าวเกิดขึ้นในการวัดทศนิยมของความยาวของส่วนที่ไม่สามารถเทียบได้กับส่วนเดียว นอกจากนี้เรายังตั้งข้อสังเกตด้วยว่าเศษส่วนทศนิยมที่ไม่เป็นงวดแบบอนันต์ไม่สามารถแปลงเป็นเศษส่วนธรรมดาได้ (ดูการแปลงเศษส่วนธรรมดาเป็นทศนิยมและในทางกลับกัน) ดังนั้นตัวเลขเหล่านี้จึงไม่ใช่จำนวนตรรกยะ แต่เป็นตัวแทนของจำนวนอตรรกยะที่เรียกว่า

เราก็เลยมา นิยามของจำนวนอตรรกยะ.

คำนิยาม.

ตัวเลขที่อยู่ในเครื่องหมายทศนิยมแทนเศษส่วนทศนิยมที่ไม่เกิดซ้ำเรียกว่า จำนวนอตรรกยะ.

ความหมายเสียงช่วยให้นำ ตัวอย่างจำนวนอตรรกยะ. ตัวอย่างเช่น เศษส่วนทศนิยมที่ไม่เป็นระยะอนันต์ 4.10110011100011110000… (จำนวนหนึ่งและศูนย์เพิ่มขึ้นครั้งละหนึ่ง) เป็นจำนวนอตรรกยะ ให้อีกตัวอย่างหนึ่งของจำนวนอตรรกยะ: −22.353335333335 ... (จำนวนสามตัวที่แยกแปดตัวเพิ่มขึ้นสองครั้งในแต่ละครั้ง)

ควรสังเกตว่าจำนวนอตรรกยะค่อนข้างหายากในรูปแบบของเศษส่วนทศนิยมที่ไม่เป็นงวด โดยปกติแล้วจะพบได้ในรูปแบบ ฯลฯ รวมทั้งในรูปแบบของจดหมายแนะนำพิเศษ ตัวอย่างที่มีชื่อเสียงที่สุดของจำนวนอตรรกยะในสัญกรณ์ดังกล่าวคือ รากที่สองของเลขคณิต เลข “pi” π=3.141592… หมายเลข e=2.718281… และตัวเลขสีทอง

จำนวนอตรรกยะสามารถกำหนดได้ในรูปของจำนวนจริง ซึ่งรวมจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ

คำนิยาม.

จำนวนอตรรกยะเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นตรรกยะ

ตัวเลขนี้ไม่สมเหตุสมผลหรือไม่?

เมื่อให้ตัวเลขไม่ใช่เศษส่วนทศนิยม แต่เป็นรูทบางตัว ลอการิทึม ฯลฯ ในหลายกรณี เป็นการยากที่จะตอบคำถามว่ามันไม่สมเหตุสมผลหรือไม่

ไม่ต้องสงสัยเลย ในการตอบคำถามที่ตั้งขึ้น เป็นประโยชน์อย่างยิ่งที่จะรู้ว่าตัวเลขใดที่ไม่เป็นอตรรกยะ จากนิยามของจำนวนอตรรกยะที่ว่าจำนวนตรรกยะไม่ใช่จำนวนอตรรกยะ ดังนั้น จำนวนอตรรกยะจึงไม่ใช่:

• เศษส่วนทศนิยมแบบมีขอบเขตและไม่จำกัด

นอกจากนี้ องค์ประกอบของจำนวนตรรกยะใดๆ ที่เชื่อมต่อด้วยเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (+, −, ·, :) ไม่ใช่จำนวนอตรรกยะ นี่เป็นเพราะผลรวม ผลต่าง ผลคูณ และผลหารของจำนวนตรรกยะสองจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น ค่าของนิพจน์และเป็นจำนวนตรรกยะ ที่นี่เราสังเกตว่าหากในนิพจน์ดังกล่าวระหว่างจำนวนตรรกยะมีจำนวนอตรรกยะเพียงตัวเดียว ค่าของนิพจน์ทั้งหมดจะเป็นจำนวนอตรรกยะ ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ ตัวเลขเป็นจำนวนอตรรกยะ และตัวเลขที่เหลือเป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้นจึงเป็นจำนวนอตรรกยะ หากเป็นจำนวนตรรกยะ ความมีเหตุมีผลของจำนวนก็จะตามมาจากนี้ และไม่ใช่จำนวนตรรกยะ

หากนิพจน์ที่ให้ตัวเลขประกอบด้วยจำนวนอตรรกยะ เครื่องหมายรูต ลอการิทึม ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตัวเลข π, e ฯลฯ หลายจำนวน จะต้องพิสูจน์ความไร้เหตุผลหรือความเป็นเหตุเป็นผลของจำนวนที่ระบุในแต่ละกรณี อย่างไรก็ตาม มีผลลัพท์ที่ได้อยู่แล้วจำนวนหนึ่งที่สามารถใช้ได้ มาดูรายการหลักกัน

ได้รับการพิสูจน์แล้วว่ารากที่ k ของจำนวนเต็มนั้นเป็นจำนวนตรรกยะก็ต่อเมื่อจำนวนที่อยู่ใต้รากนั้นเป็นกำลังที่ k ของจำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่ง ในกรณีอื่นๆ รากดังกล่าวกำหนดจำนวนอตรรกยะ ตัวอย่างเช่น ตัวเลขและไม่ลงตัว เนื่องจากไม่มีจำนวนเต็มที่มีกำลังสองคือ 7 และไม่มีจำนวนเต็มที่เพิ่มเป็นยกกำลังที่ 5 ให้จำนวน 15 และจำนวนและไม่อตรรกยะตั้งแต่ และ .

สำหรับลอการิทึม บางครั้งสามารถพิสูจน์ความไร้เหตุผลได้ด้วยความขัดแย้ง ตัวอย่างเช่น ลองพิสูจน์ว่าบันทึก 2 3 เป็นจำนวนอตรรกยะ

สมมุติว่าบันทึก 2 3 เป็นจำนวนตรรกยะ ไม่ใช่จำนวนอตรรกยะ นั่นคือ มันสามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาได้ m/n . และให้เราเขียนห่วงโซ่ของความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: . ความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายเป็นไปไม่ได้เพราะอยู่ทางซ้าย เลขคี่และแม้กระทั่งทางด้านขวา เราจึงเกิดข้อขัดแย้ง ซึ่งหมายความว่าสมมติฐานของเรากลับกลายเป็นว่าผิด และนี่พิสูจน์ว่าล็อก 2 3 เป็นจำนวนอตรรกยะ

โปรดทราบว่า lna สำหรับจำนวนตรรกยะที่เป็นบวกและไม่ใช่หน่วย a เป็นจำนวนอตรรกยะ ตัวอย่างเช่น และ เป็นจำนวนอตรรกยะ

นอกจากนี้ยังได้รับการพิสูจน์ด้วยว่าจำนวน e a เป็นจำนวนอตรรกยะสำหรับจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ และจำนวน π z เป็นจำนวนอตรรกยะสำหรับจำนวนเต็ม z ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ตัวอย่างเช่น ตัวเลขไม่ลงตัว

จำนวนอตรรกยะยังเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ sin , cos , tg และ ctg สำหรับค่าที่เป็นตรรกยะและไม่เป็นศูนย์ของอาร์กิวเมนต์ ตัวอย่างเช่น sin1 , tg(−4) , cos5,7 เป็นจำนวนอตรรกยะ

มีผลลัพธ์อื่นๆ ที่พิสูจน์แล้ว แต่เราจะจำกัดตัวเองให้อยู่ในรายการที่มีอยู่แล้ว ควรกล่าวด้วยว่าในการพิสูจน์ผลลัพธ์ข้างต้น ทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับ เลขพีชคณิตและ ตัวเลขเหนือธรรมชาติ.

โดยสรุป เราทราบว่าไม่ควรสรุปอย่างเร่งด่วนเกี่ยวกับความไร้เหตุผลของตัวเลขที่ให้มา ตัวอย่างเช่น ดูเหมือนว่าจำนวนอตรรกยะถึงดีกรีอตรรกยะเป็นจำนวนอตรรกยะ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่กรณีเสมอไป เพื่อยืนยันข้อเท็จจริงที่เปล่งออกมา เราขอเสนอปริญญา เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า - จำนวนอตรรกยะและยังพิสูจน์ได้ว่า - จำนวนอตรรกยะ แต่ - จำนวนตรรกยะ คุณยังสามารถยกตัวอย่างของจำนวนอตรรกยะ ผลรวม ผลต่าง ผลคูณ และผลหาร ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะ ยิ่งไปกว่านั้น ความสมเหตุสมผลหรือความไร้เหตุผลของตัวเลข π+e , π−e , π e , π π , π e และอื่นๆ อีกมากมายยังไม่ได้รับการพิสูจน์

บรรณานุกรม.

• คณิตศาสตร์.ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: ตำราเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / [น. ยะ. Vilenkin และอื่น ๆ ]. - ครั้งที่ 22 รายได้ - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ไอ 978-5-346-00897-2
• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับ 8 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [อ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; เอ็ด S.A. Telyakovsky. - ครั้งที่ 16 - ม. : การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9
• Gusev V. A. , Mordkovich A. G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครเข้าโรงเรียนเทคนิค): Proc. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า รร. 2527-351 น.

จำนวนอตรรกยะคืออะไร? ทำไมพวกเขาถึงเรียกอย่างนั้น? ใช้ที่ไหนและคืออะไร? น้อยคนนักที่จะตอบคำถามเหล่านี้ได้โดยไม่ลังเล แต่ในความเป็นจริง คำตอบสำหรับพวกเขานั้นค่อนข้างง่าย แม้ว่าไม่ใช่ทุกคนที่ต้องการพวกเขาและในสถานการณ์ที่หายากมาก

สาระสำคัญและการกำหนด

จำนวนอตรรกยะเป็นอนันต์ไม่ใช่เป็นระยะ จำเป็นต้องแนะนำแนวคิดนี้เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าเพื่อแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นใหม่ แนวคิดที่มีอยู่ก่อนหน้านี้ของจำนวนจริงหรือจำนวนจริง จำนวนเต็ม ธรรมชาติและจำนวนตรรกยะไม่เพียงพออีกต่อไป ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณว่ากำลังสองของ 2 คืออะไร คุณต้องใช้ทศนิยมอนันต์ที่ไม่เกิดซ้ำ นอกจากนี้ สมการที่ง่ายที่สุดหลายๆ สมการก็ไม่มีคำตอบโดยไม่ได้แนะนำแนวคิดของจำนวนอตรรกยะ

ชุดนี้แสดงเป็น I. และดังที่ชัดเจนแล้ว ค่าเหล่านี้ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนง่าย ๆ ได้ ในตัวเศษซึ่งจะมีจำนวนเต็มและในตัวส่วน -

เป็นครั้งแรกไม่ทางใดก็ทางหนึ่งที่นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียพบปรากฏการณ์นี้ในศตวรรษที่ 7 เมื่อพบว่ารากที่สองของปริมาณบางอย่างไม่สามารถระบุได้อย่างชัดเจน และการพิสูจน์ครั้งแรกของการมีอยู่ของตัวเลขดังกล่าวมีสาเหตุมาจากฮิปปาซัสพีทาโกรัสซึ่งทำสิ่งนี้ในกระบวนการศึกษาสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว นักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ที่มีชีวิตอยู่ก่อนยุคของเรามีส่วนสนับสนุนอย่างจริงจังในการศึกษาชุดนี้ การแนะนำแนวคิดเรื่องจำนวนอตรรกยะทำให้เกิดการแก้ไขระบบคณิตศาสตร์ที่มีอยู่ ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงมีความสำคัญมาก

ที่มาของชื่อ

หากอัตราส่วนในภาษาละตินคือ "เศษส่วน", "อัตราส่วน" ดังนั้นคำนำหน้า "ir"
ให้คำที่มีความหมายตรงกันข้าม ดังนั้นชื่อของชุดของตัวเลขเหล่านี้บ่งชี้ว่าไม่สามารถสัมพันธ์กับจำนวนเต็มหรือเศษส่วนได้ พวกมันมีตำแหน่งแยกต่างหาก นี้เป็นไปตามธรรมชาติของพวกเขา

จัดอยู่ในประเภททั่วไป

จำนวนอตรรกยะร่วมกับจำนวนตรรกยะ อยู่ในกลุ่มของจำนวนจริงหรือจำนวนจริง ซึ่งในทางกลับกันก็มีความซับซ้อน อย่างไรก็ตาม ไม่มีส่วนย่อย แต่มีพันธุ์เกี่ยวกับพีชคณิตและเหนือธรรมชาติ ซึ่งจะกล่าวถึงด้านล่าง

คุณสมบัติ

เนื่องจากจำนวนอตรรกยะเป็นส่วนหนึ่งของเซตของจำนวนจริง คุณสมบัติทั้งหมดที่ศึกษาในเลขคณิตจึงนำไปใช้กับพวกมันได้ (เรียกอีกอย่างว่ากฎพีชคณิตพื้นฐาน)

a + b = b + a (การสับเปลี่ยน);

(a + b) + c = a + (b + c) (การเชื่อมโยง);

a + (-a) = 0 (การมีอยู่ของจำนวนตรงข้าม);

ab = ba (กฎหมายการกระจัด);

(ab)c = a(bc) (การกระจาย);

a(b+c) = ab + ac (กฎการกระจาย);

a x 1/a = 1 (การมีอยู่ของจำนวนผกผัน);

การเปรียบเทียบยังดำเนินการตามกฎหมายและหลักการทั่วไป:

ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c (ทรานส์ซิสชันของความสัมพันธ์) และ เป็นต้น

แน่นอน จำนวนอตรรกยะทั้งหมดสามารถแปลงได้โดยใช้เลขคณิตพื้นฐาน ไม่มีกฎพิเศษสำหรับสิ่งนี้

นอกจากนี้ การกระทำของสัจพจน์ของอาร์คิมิดีสยังขยายไปถึงจำนวนอตรรกยะด้วย มันบอกว่าสำหรับปริมาณสองค่า a และ b ใดๆ ประโยคนี้เป็นจริงว่าเมื่อหาค่า a เป็นระยะเวลาเพียงพอ มีความเป็นไปได้ที่จะเกิน b

การใช้งาน

แม้ว่าในชีวิตปกติคุณไม่จำเป็นต้องจัดการกับพวกเขาบ่อยนัก แต่ก็ไม่สามารถนับจำนวนอตรรกยะได้ มีมากมาย แต่แทบจะมองไม่เห็น เราถูกรายล้อมไปด้วยจำนวนอตรรกยะทุกหนทุกแห่ง ตัวอย่างที่ทุกคนคุ้นเคยคือจำนวน pi เท่ากับ 3.1415926... หรือ e ซึ่งก็คือฐานของลอการิทึมธรรมชาติ 2.718281828... ในพีชคณิต ตรีโกณมิติ และเรขาคณิต พวกมันต้องใช้ตลอดเวลา อนึ่ง ความหมายอันโด่งดังของ "ส่วนสีทอง" ก็คือ อัตราส่วนของทั้งส่วนที่ใหญ่กว่ากับส่วนที่เล็กกว่าและในทางกลับกันด้วย

เป็นของชุดนี้ "เงิน" ที่รู้จักกันน้อย - ด้วย

บนเส้นจำนวน พวกมันตั้งอยู่อย่างหนาแน่น ดังนั้นระหว่างปริมาณสองปริมาณใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับเซตของจำนวนตรรกยะ จะเกิดปริมาณอตรรกยะขึ้น

ยังมีปัญหามากมายที่ยังไม่ได้แก้ไขที่เกี่ยวข้องกับชุดนี้ มีเกณฑ์เช่นการวัดความไร้เหตุผลและความปกติของตัวเลข นักคณิตศาสตร์ยังคงตรวจสอบตัวอย่างที่สำคัญที่สุดสำหรับการเป็นสมาชิกของกลุ่มใดกลุ่มหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ถือว่า e เป็นจำนวนปกติ กล่าวคือ ความน่าจะเป็นของตัวเลขต่าง ๆ ที่ปรากฏในรายการจะเท่ากัน สำหรับ pi นั้น การวิจัยยังคงดำเนินการอยู่ การวัดความไร้เหตุผลคือค่าที่แสดงว่าจำนวนเฉพาะสามารถประมาณด้วยจำนวนตรรกยะได้ดีเพียงใด

พีชคณิตและเหนือธรรมชาติ

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว จำนวนอตรรกยะจะแบ่งออกเป็นเชิงพีชคณิตและอตรรกยะ ตามเงื่อนไขแล้ว การจัดหมวดหมู่นี้ใช้แบ่งเซต C อย่างเคร่งครัด

ภายใต้การกำหนดนี้ จำนวนเชิงซ้อนจะถูกซ่อนไว้ ซึ่งรวมถึงจำนวนจริงหรือจำนวนจริง

ดังนั้น ค่าพีชคณิตคือค่าที่เป็นรากของพหุนามที่ไม่เท่ากับศูนย์เหมือนกัน ตัวอย่างเช่น รากที่สองของ 2 จะอยู่ในหมวดหมู่นี้เพราะเป็นคำตอบของสมการ x 2 - 2 = 0

จำนวนจริงอื่นๆ ทั้งหมดที่ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขนี้เรียกว่า ยอดเยี่ยม ความหลากหลายนี้ยังรวมถึงตัวอย่างที่มีชื่อเสียงและกล่าวถึงแล้ว - จำนวน pi และฐานของลอการิทึมธรรมชาติ e

ที่น่าสนใจคือ นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถอนุมานสิ่งใดสิ่งหนึ่งหรือสองในตอนแรกได้ ความไร้เหตุผลและการมีชัยของพวกเขาได้รับการพิสูจน์หลายปีหลังจากการค้นพบของพวกเขา สำหรับ pi การพิสูจน์ได้รับในปี 1882 และทำให้ง่ายขึ้นในปี 1894 ซึ่งยุติการโต้เถียงกัน 2,500 ปีเกี่ยวกับปัญหาการยกกำลังสองวงกลม มันยังไม่เข้าใจอย่างถ่องแท้ ดังนั้นนักคณิตศาสตร์สมัยใหม่จึงมีบางอย่างที่ต้องทำ อย่างไรก็ตาม การคำนวณค่านี้ที่แม่นยำเพียงพอครั้งแรกนั้นดำเนินการโดยอาร์คิมิดีส ก่อนหน้าเขา การคำนวณทั้งหมดนั้นใกล้เคียงกันเกินไป

สำหรับ e (หมายเลขออยเลอร์หรือเนเปียร์) พบข้อพิสูจน์ของการมีชัยในปี พ.ศ. 2416 ใช้ในการแก้สมการลอการิทึม

ตัวอย่างอื่นๆ ได้แก่ ค่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์สำหรับค่าที่ไม่ใช่ศูนย์เกี่ยวกับพีชคณิต

ชุดของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดแสดงด้วยตัวอักษร N ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่เราใช้ในการนับวัตถุ: 1,2,3,4, ... ในบางแหล่ง หมายเลข 0 ยังหมายถึงตัวเลขธรรมชาติด้วย

ชุดของจำนวนเต็มทั้งหมดแสดงด้วยตัวอักษร Z จำนวนเต็มคือตัวเลขธรรมชาติ ศูนย์และจำนวนลบทั้งหมด:

1,-2,-3, -4, …

ทีนี้ ให้บวกเซตของจำนวนเต็มทั้งหมดกับเซตของเศษส่วนสามัญทั้งหมด: 2/3, 18/17, -4/5, และอื่นๆ แล้วเราจะได้เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมด

ชุดของจำนวนตรรกยะ

เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมดเขียนแทนด้วยตัวอักษร Q เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมด (Q) คือเซตที่ประกอบด้วยตัวเลขในรูปแบบ m/n, -m/n และเลข 0 สามารถใช้จำนวนธรรมชาติใดก็ได้ เป็น น.ม. ควรสังเกตว่าจำนวนตรรกยะทั้งหมดสามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมที่มีขอบเขตจำกัดหรือไม่จำกัด บทสนทนาก็เป็นความจริงเช่นกันว่าเศษส่วนทศนิยมที่มีขอบเขตหรืออนันต์ใด ๆ สามารถเขียนเป็นจำนวนตรรกยะได้

แต่ตัวอย่างเช่น หมายเลข 2.0100100010…? เป็นทศนิยมแบบไม่ต่อเนื่องเป็นจำนวนอนันต์ และใช้กับจำนวนตรรกยะไม่ได้

ในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน จะศึกษาเฉพาะตัวเลขจริง (หรือของจริง) เท่านั้น เซตของจำนวนจริงทั้งหมดเขียนแทนด้วยตัวอักษร R เซต R ประกอบด้วยจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะทั้งหมด

แนวคิดของจำนวนอตรรกยะ

จำนวนอตรรกยะเป็นเศษส่วนทศนิยมไม่สิ้นสุดทั้งหมด จำนวนอตรรกยะไม่มีสัญกรณ์พิเศษ

ตัวอย่างเช่น ตัวเลขทั้งหมดที่ได้จากการแยกรากที่สองของจำนวนธรรมชาติที่ไม่ใช่กำลังสองของจำนวนธรรมชาติจะไม่มีเหตุผล (√2, √3, √5, √6 ฯลฯ).

แต่อย่าคิดว่าจำนวนอตรรกยะนั้นได้มาจากการแยกรากที่สองออกเท่านั้น ตัวอย่างเช่น จำนวน "pi" ก็ไม่มีเหตุผลเช่นกัน และได้มาจากการหาร และไม่ว่าคุณจะพยายามมากแค่ไหน คุณก็ไม่สามารถหารากที่สองของจำนวนธรรมชาติใดๆ ได้

การทำความเข้าใจตัวเลข โดยเฉพาะตัวเลขธรรมชาติ เป็นหนึ่งใน "ทักษะ" ทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุด อารยธรรมหลายแห่ง แม้แต่อารยธรรมสมัยใหม่ ได้กล่าวถึงคุณสมบัติลึกลับบางอย่างว่าเป็นตัวเลข เนื่องจากมีความสำคัญอย่างยิ่งในการอธิบายธรรมชาติ แม้ว่าวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์สมัยใหม่จะไม่ยืนยันคุณสมบัติ "มหัศจรรย์" เหล่านี้ แต่ความสำคัญของทฤษฎีจำนวนก็ปฏิเสธไม่ได้

ในอดีต ตัวเลขธรรมชาติจำนวนมากปรากฏขึ้นครั้งแรก จากนั้นไม่นานเศษส่วนและจำนวนอตรรกยะที่เป็นบวกก็ถูกเพิ่มเข้าไป เลขศูนย์และเลขลบถูกนำมาใช้หลังจากเซตย่อยของเซตของจำนวนจริงเหล่านี้ ชุดสุดท้าย ชุดของจำนวนเชิงซ้อน ปรากฏเฉพาะกับการพัฒนาของวิทยาศาสตร์สมัยใหม่

ในวิชาคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ตัวเลขไม่ได้เรียงตามลำดับประวัติศาสตร์ แม้ว่าจะใกล้เคียงกันมากก็ตาม

ตัวเลขธรรมชาติ $\mathbb(N)$

ชุดของจำนวนธรรมชาติมักแสดงเป็น $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ และมักจะถูกเติมด้วยศูนย์เพื่อแสดงถึง $\mathbb(N)_0$

$\mathbb(N)$ กำหนดการดำเนินการบวก (+) และการคูณ ($\cdot$) ด้วยคุณสมบัติต่อไปนี้สำหรับ $a,b,c\in \mathbb(N)$:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ ชุด $\mathbb(N)$ ถูกปิดภายใต้การบวกและการคูณ
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ การสับเปลี่ยน
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ การเชื่อมโยง
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ การกระจาย
5. $a\cdot 1=a$ เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการคูณ

เนื่องจากชุด $\mathbb(N)$ มีองค์ประกอบเป็นกลางสำหรับการคูณ แต่ไม่ใช่สำหรับการบวก การเพิ่มศูนย์ในชุดนี้ทำให้มั่นใจได้ว่ามีองค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการบวก

นอกเหนือจากการดำเนินการทั้งสองนี้ ในชุด $\mathbb(N)$ ความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" ($

1. $a b$ ทริโคโตมี่
2. ถ้า $a\leq b$ และ $b\leq a$ แล้ว $a=b$ จะเป็นแอนสมมาตร
3. ถ้า $a\leq b$ และ $b\leq c$ แล้ว $a\leq c$ จะเป็นสกรรมกริยา
4. ถ้า $a\leq b$ แล้ว $a+c\leq b+c$
5. ถ้า $a\leq b$ แล้ว $a\cdot c\leq b\cdot c$

จำนวนเต็ม $\mathbb(Z)$

ตัวอย่างจำนวนเต็ม:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

คำตอบของสมการ $a+x=b$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติที่ทราบ และ $x$ เป็นจำนวนธรรมชาติที่ไม่รู้จัก จำเป็นต้องมีการดำเนินการใหม่ - การลบ (-) ถ้ามีจำนวนธรรมชาติ $x$ ที่ตรงกับสมการนี้ แสดงว่า $x=b-a$ อย่างไรก็ตาม สมการเฉพาะนี้ไม่จำเป็นต้องมีคำตอบในชุด $\mathbb(N)$ ดังนั้น การพิจารณาในทางปฏิบัติจึงจำเป็นต้องขยายเซตของจำนวนธรรมชาติในลักษณะที่จะรวมคำตอบของสมการดังกล่าว สิ่งนี้นำไปสู่การแนะนำชุดของจำนวนเต็ม: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$

ตั้งแต่ $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$ มันมีเหตุผลที่จะถือว่าการดำเนินการก่อนหน้านี้ $+$ และ $\cdot$ และความสัมพันธ์ $ 1. $0+a=a+0=a$ มีองค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการเพิ่มเติม
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ มีตัวเลขตรงข้าม $-a$ สำหรับ $a$

5. ทรัพย์สิน:
5. ถ้า $0\leq a$ และ $0\leq b$ แล้ว $0\leq a\cdot b$

ชุด $\mathbb(Z) $ ยังปิดภายใต้การลบ นั่นคือ $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$

จำนวนตรรกยะ $\mathbb(Q)$

ตัวอย่างของจำนวนตรรกยะ:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

ตอนนี้ให้พิจารณาสมการของรูปแบบ $a\cdot x=b$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มรู้จักและไม่ทราบ $x$ เพื่อให้การแก้ปัญหาเป็นไปได้ จำเป็นต้องแนะนำการดำเนินการหาร ($:$) และโซลูชันจะกลายเป็น $x=b:a$ นั่นคือ $x=\frac(b)(a)$ อีกครั้ง ปัญหาเกิดขึ้นที่ $x$ ไม่ได้เป็นของ $\mathbb(Z)$ เสมอไป ดังนั้น ชุดของจำนวนเต็มจะต้องถูกขยายออกไป ดังนั้น เราจึงแนะนำชุดของจำนวนตรรกยะ $\mathbb(Q)$ ที่มีองค์ประกอบ $\frac(p)(q)$ โดยที่ $p\in \mathbb(Z)$ และ $q\in \mathbb(N) $. ชุด $\mathbb(Z)$ เป็นเซตย่อยที่แต่ละองค์ประกอบ $q=1$ ดังนั้น $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ และการดำเนินการของการบวกและการคูณก็นำไปใช้กับชุดนี้ด้วย ตามกฎต่อไปนี้ ซึ่งจะรักษาคุณสมบัติข้างต้นทั้งหมดไว้ในชุด $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

มีการป้อนส่วนดังนี้:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

ในชุด $\mathbb(Q)$ สมการ $a\cdot x=b$ มีคำตอบเฉพาะสำหรับแต่ละ $a\neq 0$ (ไม่มีการหารด้วยศูนย์) ซึ่งหมายความว่ามีองค์ประกอบผกผัน $\frac(1)(a)$ หรือ $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

ลำดับของชุด $\mathbb(Q)$ สามารถขยายได้ดังนี้:
$\frac(p_1)(q_1)

เซต $\mathbb(Q)$ มีคุณสมบัติที่สำคัญอย่างหนึ่ง: ระหว่างจำนวนตรรกยะสองจำนวนใดๆ จะมีจำนวนตรรกยะอื่นๆ มากมายนับไม่ถ้วน ดังนั้นจึงไม่มีจำนวนตรรกยะที่อยู่ติดกันสองตัว ตรงกันข้ามกับเซตของจำนวนธรรมชาติและจำนวนเต็ม

จำนวนอตรรกยะ $\mathbb(I)$

ตัวอย่างของจำนวนอตรรกยะ:
$0.333333...$
$\sqrt(2) \ประมาณ 1.41422135...$
$\pi \ประมาณ 3.1415926535...$

เนื่องจากมีจำนวนตรรกยะอื่นๆ มากมายนับไม่ถ้วนระหว่างจำนวนตรรกยะสองจำนวนใดๆ จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะสรุปอย่างผิดพลาดว่าเซตของจำนวนตรรกยะนั้นหนาแน่นมากจนไม่จำเป็นต้องขยายเพิ่มเติมอีก แม้แต่ปีทาโกรัสก็เคยทำผิดพลาด อย่างไรก็ตาม ผู้ร่วมสมัยของเขาได้หักล้างข้อสรุปนี้แล้วเมื่อศึกษาคำตอบของสมการ $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) บนเซตของจำนวนตรรกยะ ในการแก้สมการดังกล่าว จำเป็นต้องแนะนำแนวคิดของสแควร์รูท จากนั้นคำตอบของสมการนี้มีรูปแบบ $x=\sqrt(2)$ สมการประเภท $x^2=a$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนตรรกยะที่รู้จัก และ $x$ เป็นจำนวนที่ไม่รู้จัก ไม่มีคำตอบในชุดของจำนวนตรรกยะเสมอไป เพื่อขยายชุด ชุดของจำนวนอตรรกยะเกิดขึ้น และตัวเลขเช่น $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... อยู่ในชุดนี้

จำนวนจริง $\mathbb(R)$

การรวมกันของเซตของจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะคือเซตของจำนวนจริง เนื่องจาก $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$ จึงมีเหตุผลอีกครั้งที่จะถือว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และความสัมพันธ์ที่แนะนำยังคงคุณสมบัติไว้ในชุดใหม่ การพิสูจน์อย่างเป็นทางการของสิ่งนี้เป็นเรื่องยากมาก ดังนั้นคุณสมบัติข้างต้นของการดำเนินการเลขคณิตและความสัมพันธ์ของเซตของจำนวนจริงจึงถูกนำมาใช้เป็นสัจพจน์ ในพีชคณิต วัตถุดังกล่าวเรียกว่าสนาม ดังนั้นชุดของจำนวนจริงจึงเรียกว่าฟิลด์ที่มีลำดับ

เพื่อให้คำจำกัดความของเซตของจำนวนจริงสมบูรณ์ จำเป็นต้องแนะนำสัจพจน์เพิ่มเติมที่แยกเซต $\mathbb(Q)$ และ $\mathbb(R)$ สมมติว่า $S$ เป็นเซตย่อยที่ไม่ว่างของเซตของจำนวนจริง องค์ประกอบ $b\in \mathbb(R)$ เรียกว่าขอบเขตบนของ $S$ ถ้า $\forall x\in S$ เป็นไปตาม $x\leq b$ จากนั้นชุด $S$ จะถูก จำกัด จากด้านบน ขอบเขตบนที่น้อยที่สุดของชุด $S$ เรียกว่า supremum และแสดงด้วย $\sup S$ แนวความคิดของขอบเขตล่าง ชุดขอบเขตด้านล่าง และ infinum $\inf S$ ในทำนองเดียวกัน ตอนนี้สัจพจน์ที่หายไปมีการกำหนดดังนี้:

การไม่เว้นว่างและถูกจำกัดจากเซตย่อยข้างต้นของเซตของจำนวนจริงมียอดสูงสุด
นอกจากนี้ยังสามารถพิสูจน์ได้ว่าฟิลด์ของจำนวนจริงที่กำหนดไว้ข้างต้นนั้นไม่ซ้ำกัน

จำนวนเชิงซ้อน$\mathbb(C)$

ตัวอย่างของจำนวนเชิงซ้อน:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ โดยที่ $i = \sqrt(-1)$ หรือ $i^2 = -1$

เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือคู่ของจำนวนจริงที่เรียงลำดับกัน นั่นคือ $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$ ซึ่งการดำเนินการของการบวกและ การคูณถูกกำหนดดังนี้:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

มีหลายวิธีในการเขียนจำนวนเชิงซ้อน วิธีที่พบบ่อยที่สุดคือ $z=a+ib$ โดยที่ $(a,b)$ เป็นจำนวนจริงคู่หนึ่ง และจำนวน $i=(0,1)$ เรียกว่า หน่วยจินตภาพ

มันง่ายที่จะแสดงว่า $i^2=-1$ ส่วนขยายของเซต $\mathbb(R)$ ไปเป็นเซต $\mathbb(C)$ ทำให้เราสามารถกำหนดรากที่สองของจำนวนลบ ซึ่งเป็นสาเหตุของการแนะนำเซตของจำนวนเชิงซ้อน นอกจากนี้ยังง่ายต่อการแสดงว่าชุดย่อยของชุด $\mathbb(C)$ ที่กำหนดเป็น $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ ตอบสนองทั้งหมด สัจพจน์ของจำนวนจริง ดังนั้น $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$ หรือ $R\subset\mathbb(C)$

โครงสร้างพีชคณิตของเซต $\mathbb(C)$ เกี่ยวกับการดำเนินการของการบวกและการคูณมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
1. การสลับสับเปลี่ยนของการบวกและการคูณ
2. การเชื่อมโยงของการบวกและการคูณ
3. $0+i0$ - องค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับการเพิ่มเติม
4. $1+i0$ - องค์ประกอบเป็นกลางสำหรับการคูณ
5. การคูณเป็นการแจกแจงด้วยการบวก
6. มีองค์ประกอบผกผันเดียวสำหรับทั้งการบวกและการคูณ

ไม่ใช่การดำเนินการทั้งหมดที่พิจารณาในพีชคณิตจะเป็นไปได้ในด้านจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างคือการดำเนินการสแควร์รูท ดังนั้น หากความเท่าเทียมกันเป็นที่พอใจในคุณค่า ความเท่าเทียมกันจะไม่ถือเอาคุณค่าที่เป็นเหตุเป็นผลใดๆ มาพิสูจน์กัน อันดับแรก เราสังเกตว่าจำนวนเต็มไม่สามารถมีกำลังสองเท่ากับ 2: เพราะเรามีและ for มากกว่า 2 อย่างแน่นอน ให้เราสมมติว่าเศษส่วน: (เศษส่วนถือว่าลดไม่ได้) และ

ดังนั้นเราต้องเป็นจำนวนคู่ (มิฉะนั้นกำลังสองจะไม่เป็นคู่) อนุญาต .

ทีนี้ปรากฎว่า และ เป็นคู่ ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่าเศษส่วนลดไม่ได้

นี่แสดงให้เห็นว่าในขอบเขตของจำนวนตรรกยะ รากที่สองของจำนวน 2 ไม่สามารถแยกออกได้ สัญลักษณ์ไม่สมเหตุสมผลในขอบเขตของจำนวนตรรกยะ ในขณะเดียวกัน ภารกิจ: "การหาด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยรู้ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับ S" - เป็นเรื่องธรรมดาสำหรับและสำหรับ ทางออกของสิ่งนี้และปัญหาอื่นที่คล้ายคลึงกันคือการขยายแนวคิดของ จำนวน เพื่อแนะนำตัวเลขชนิดใหม่ - จำนวนอตรรกยะ

เราจะแสดงให้เห็นว่าจำนวนอตรรกยะถูกนำมาใช้อย่างไรโดยใช้ตัวอย่างของปัญหาการแยกรากที่สองของตัวเลข 2 เพื่อความเรียบง่าย เราจำกัดตัวเองให้มีค่าบวกของรูท

สำหรับแต่ละจำนวนตรรกยะบวก ความไม่เท่าเทียมกันอย่างใดอย่างหนึ่งหรือจะเกิดขึ้น แน่นอน . จากนั้นเราพิจารณาตัวเลขและหาสองตัวที่อยู่ใกล้เคียงกันโดยมีคุณสมบัติที่ตัวแรกมีกำลังสองน้อยกว่าสอง และตัวที่สองมีกำลังสองที่มากกว่าสอง ในทำนองเดียวกัน ดำเนินการตามขั้นตอนนี้ต่อไป เราได้รับชุดของความไม่เท่าเทียมกัน (เพื่อให้ได้เศษส่วนทศนิยมที่เขียนที่นี่ คุณสามารถใช้อัลกอริทึมที่รู้จักกันดีสำหรับการสกัดรากที่สองโดยประมาณ รายการที่ 13):

การเปรียบเทียบส่วนจำนวนเต็มก่อน ตามด้วยหลักแรก ที่สอง สาม ฯลฯ หลังจุดทศนิยมของจำนวนตรรกยะระหว่างกำลังสองซึ่งอยู่ 2 เราสามารถเขียนตำแหน่งทศนิยมเหล่านี้ตามลำดับ:

กระบวนการหาคู่ของจำนวนตรรกยะ (แสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมจำกัด) ที่ต่างจากกันโดยการเพิ่ม m สามารถดำเนินต่อไปได้ไม่มีกำหนด ดังนั้นเราจึงสามารถพิจารณาเศษส่วน (6.1) เป็นเศษส่วนทศนิยมอนันต์

เศษส่วนไม่เป็นระยะอนันต์นี้ ซึ่งเราสามารถเขียนทศนิยมจำนวนเท่าใดก็ได้ แต่สำหรับการบันทึกเครื่องหมายทั้งหมดพร้อมกันนั้นเป็นไปไม่ได้ จะนับเป็นจำนวนเท่ากับ (กล่าวคือ ตัวเลขที่มีกำลังสองคือ 2).

เราจะแทนค่าลบของรากที่สองของสองในรูปแบบ

หรือใช้รูปแบบการเขียนตัวเลขปลอมในรูปแบบ

ตอนนี้เราแนะนำคำจำกัดความต่อไปนี้: จำนวนอตรรกยะคือเศษส่วนทศนิยมที่ไม่เป็นงวดใด ๆ

โดยที่ a คือส่วนที่สร้างตัวเลข (อาจเป็นค่าบวก เท่ากับศูนย์หรือค่าลบ) และเป็นตำแหน่งทศนิยม (ตัวเลข) ของส่วนที่เป็นเศษส่วน

จำนวนอตรรกยะที่กำหนดโดยเศษส่วนที่ไม่ใช่คาบอนันต์กำหนดลำดับสองลำดับของเศษส่วนทศนิยมจำกัด ซึ่งเรียกว่าการประมาณทศนิยม a โดยส่วนขาดและส่วนที่เกิน:

ตัวอย่างเช่น สำหรับเราเขียน

เป็นต้น ในที่นี้ ตัวอย่างเช่น 1.41 เป็นการประมาณค่าทศนิยมที่มีความแม่นยำ 0.01 ในแง่ของข้อบกพร่อง และ 1.42 เกินมา

บันทึกของความไม่เท่าเทียมกันระหว่างจำนวนอตรรกยะและการประมาณทศนิยมรวมอยู่ในคำจำกัดความของแนวคิดเรื่องจำนวนอตรรกยะและสามารถใช้เป็นพื้นฐานในการกำหนดอัตราส่วน "มากกว่า" และ "น้อยกว่า" สำหรับจำนวนอตรรกยะ

ความเป็นไปได้ของการแสดงจำนวนอตรรกยะด้วยการประมาณทศนิยมที่แม่นยำมากขึ้นเรื่อยๆ ยังรองรับคำจำกัดความของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับจำนวนอตรรกยะ ซึ่งจริง ๆ แล้วดำเนินการกับการประมาณที่ไม่ลงตัวโดยขาดหรือเกิน

การกระทำหลายอย่างนำไปสู่จำนวนอตรรกยะ เช่น การดึงรากของดีกรีออกจากจำนวนตรรกยะ (ถ้าไม่ใช่กำลังของจำนวนตรรกยะอื่น) การเอาลอการิทึม ฯลฯ จำนวนอตรรกยะจะเท่ากับ อัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง (หน้า 229)

จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะทั้งหมดรวมกันเป็นชุดของจำนวนจริง (หรือจำนวนจริง) ดังนั้น เศษส่วนทศนิยมใดๆ แบบจำกัดหรืออนันต์ (แบบคาบหรือไม่เป็นคาบ) จะเป็นตัวกำหนดจำนวนจริงเสมอ

จำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ทุกจำนวนเป็นบวกหรือลบ

ในเรื่องนี้ เราจำคำจำกัดความต่อไปนี้ได้ ค่าสัมบูรณ์หรือโมดูลัสของจำนวนจริง a คือจำนวนที่กำหนดโดยความเท่าเทียมกัน a, if

ดังนั้น โมดูลัสของจำนวนที่ไม่เป็นลบจึงเท่ากับจำนวนนั้นเอง (บรรทัดบนสุดของความเท่าเทียมกัน); โมดูลัสของจำนวนลบเท่ากับจำนวนนี้ ถ่ายด้วยเครื่องหมายตรงข้าม (บรรทัดล่าง) ตัวอย่างเช่น,

จากนิยามโมดูลัสที่ว่าโมดูลัสของจำนวนใดๆ เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ ถ้าโมดูลัสของตัวเลขเป็นศูนย์ แสดงว่าตัวมันเองเป็นศูนย์ มิฉะนั้น โมดูลัสจะเป็นบวก

จำนวนจริงสร้างฟิลด์ตัวเลข - ฟิลด์ของจำนวนจริง: ผลลัพธ์ของการดำเนินการตรรกยะกับจำนวนจริงจะแสดงด้วยจำนวนจริงอีกครั้ง โปรดทราบว่าเมื่อแยกจากกัน ตัวเลขอตรรกยะไม่เกิดเป็นเขตข้อมูลหรือแม้แต่วงแหวน: ตัวอย่างเช่น ผลรวมของจำนวนอตรรกยะสองจำนวนจะเท่ากับจำนวนตรรกยะ 3

โครงร่างสั้น ๆ ของเราเกี่ยวกับการพัฒนาแนวคิดเรื่องจำนวนที่สร้างขึ้นตามโครงการ

เราสรุปโดยชี้ให้เห็นคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของเซตของจำนวนจริง

1. จำนวนจริงสร้างเขตข้อมูล

2. การดำเนินการกับจำนวนจริงอยู่ภายใต้กฎปกติ (เช่น การบวกและการคูณ - กฎของการสลับเปลี่ยน, การเชื่อมโยง, การแจกแจง, รายการที่ 1)

3. สำหรับจำนวนจริงสองจำนวน a และ b ความสัมพันธ์เพียงหนึ่งในสามของความสัมพันธ์ถือ: a มากกว่า b (a > b) a น้อยกว่า และเท่ากับ ดังนั้นชุดของจำนวนจริงจึงถูกจัดเรียง

4. สุดท้าย เป็นเรื่องปกติที่จะบอกว่าเซตของจำนวนจริงมีคุณสมบัติของความต่อเนื่อง ความหมายที่มอบให้กับนิพจน์นี้อธิบายไว้ในส่วนที่ 8 ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่แยกความแตกต่างระหว่างฟิลด์ของจำนวนจริงจากฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ