การกระทำที่มีรากที่สอง โมดูล

คุณสมบัติ รากที่สอง

จนถึงตอนนี้เราได้ดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลขมาแล้วห้ารายการ: การบวก การลบ การคูณการหารและการยกกำลัง และในการคำนวณคุณสมบัติต่างๆ ของการดำเนินการเหล่านี้ถูกนำมาใช้อย่างแข็งขัน เช่น a + b = b + a, an-bn = (ab)n เป็นต้น

บทนี้จะแนะนำการดำเนินการใหม่ - การแตกไฟล์ รากที่สองจากจำนวนที่ไม่เป็นลบ หากต้องการใช้งานให้ประสบความสำเร็จ คุณต้องทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติของการดำเนินการนี้ ซึ่งเราจะพูดถึงในส่วนนี้

การพิสูจน์. ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="ความเท่าเทียมกัน" width="120" height="25 id=">!}.

นี่คือวิธีที่เราจะกำหนดทฤษฎีบทถัดไป

(สูตรสั้นๆ ที่สะดวกต่อการใช้ในทางปฏิบัติมากกว่า: รากของเศษส่วน เท่ากับเศษส่วนจากรากหรือรากของผลหารเท่ากับผลหารของราก)

ครั้งนี้เราจะให้เท่านั้น หมายเหตุสั้น ๆหลักฐาน และคุณพยายามแสดงความคิดเห็นที่เหมาะสม หัวข้อที่คล้ายกันซึ่งเป็นแก่นแท้ของการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 1

หมายเหตุ 3 แน่นอนว่าตัวอย่างนี้สามารถแก้ไขได้แตกต่างออกไป โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณมีเครื่องคิดเลขขนาดเล็กอยู่ในมือ ให้คูณตัวเลข 36, 64, 9 แล้วหารากที่สองของผลลัพธ์ที่ได้ อย่างไรก็ตาม คุณจะยอมรับว่าวิธีแก้ปัญหาที่เสนอข้างต้นดูมีวัฒนธรรมมากกว่า

หมายเหตุ 4 ในวิธีแรก เราทำการคำนวณแบบ "เผชิญหน้า" วิธีที่สองหรูหรากว่า:
เราสมัครแล้ว สูตร a2 - b2 = (a - b) (a + b) และใช้คุณสมบัติของรากที่สอง

หมายเหตุ 5 “คนหัวร้อน” บางคนเสนอ “วิธีแก้ปัญหา” นี้ให้กับตัวอย่างที่ 3:

แน่นอนว่าสิ่งนี้ไม่เป็นความจริง คุณเห็นไหม - ผลลัพธ์ไม่เหมือนกับตัวอย่างที่ 3 ความจริงก็คือไม่มีทรัพย์สิน https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="งาน" width="148" height="26 id=">!}มีเพียงคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับการคูณและการหารรากที่สองเท่านั้น ระมัดระวังและระมัดระวังอย่าไปคิดฝัน

เมื่อสรุปย่อหน้านี้ ให้เราทราบอีกสิ่งหนึ่งที่ค่อนข้างง่ายและในเวลาเดียวกัน ทรัพย์สินที่สำคัญ:
ถ้า a > 0 และ n - จำนวนธรรมชาติ , ที่

การแปลงนิพจน์ที่มีการดำเนินการสแควร์รูท

จนถึงขณะนี้เราได้ทำการแปลงเท่านั้น การแสดงออกที่มีเหตุผลโดยใช้กฎการดำเนินการกับพหุนามและ เศษส่วนพีชคณิตสูตรการคูณแบบย่อ ฯลฯ ในบทนี้ เราได้แนะนำการดำเนินการใหม่ - การดำเนินการรากที่สอง เราได้สถาปนาสิ่งนั้นแล้ว

โดยที่ a, b เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ

การใช้สิ่งเหล่านี้ สูตรคุณสามารถดำเนินการแปลงนิพจน์ต่างๆ ที่มีการดำเนินการรากที่สองได้ ลองดูหลายๆ ตัวอย่าง และในตัวอย่างทั้งหมด เราจะถือว่าตัวแปรรับเฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบเท่านั้น

ตัวอย่างที่ 3ใส่ตัวคูณใต้เครื่องหมายรากที่สอง:

ตัวอย่างที่ 6- ลดความซับซ้อนของนิพจน์ โซลูชัน เรามาทำการแปลงตามลำดับกัน:

พื้นที่ที่ดินแปลงสี่เหลี่ยมคือ 81 dm² ค้นหาด้านของเขา สมมติว่าความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับ เอ็กซ์เดซิเมตร จากนั้นพื้นที่ของแปลงคือ เอ็กซ์² ตารางเดซิเมตร เนื่องจากตามเงื่อนไข พื้นที่นี้เท่ากับ 81 dm² ดังนั้น เอ็กซ์² = 81 ความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นจำนวนบวก จำนวนบวกที่มีกำลังสองคือ 81 คือหมายเลข 9 เมื่อแก้ปัญหาจำเป็นต้องค้นหาตัวเลข x ซึ่งมีกำลังสองคือ 81 เช่น แก้สมการ เอ็กซ์² = 81 สมการนี้มีสองราก: x 1 = 9 และ x 2 = - 9 เนื่องจาก 9² = 81 และ (- 9)² = 81 ทั้งเลข 9 และ - 9 เรียกว่ารากที่สองของ 81

โปรดทราบว่ารากที่สองตัวใดตัวหนึ่ง เอ็กซ์= 9 คือ จำนวนบวก- มันถูกเรียกว่ารากที่สองทางคณิตศาสตร์ของ 81 และเขียนแทน √81 ดังนั้น √81 = 9

รากที่สองทางคณิตศาสตร์ของตัวเลข กเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งมีกำลังสองเท่ากับ ก.

ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 6 และ - 6 เป็นรากที่สองของตัวเลข 36 อย่างไรก็ตาม ตัวเลข 6 เป็นรากที่สองทางคณิตศาสตร์ของ 36 เนื่องจาก 6 เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ และ 6² = 36 ตัวเลข - 6 ไม่ใช่ รากเลขคณิต

รากที่สองทางคณิตศาสตร์ของตัวเลข กแสดงดังต่อไปนี้: √ ก.

เครื่องหมายนี้เรียกว่าเครื่องหมายรากที่สองทางคณิตศาสตร์ ก- เรียกว่า สำนวนที่รุนแรง. นิพจน์ √ กอ่าน เช่นนี้: รากที่สองทางคณิตศาสตร์ของตัวเลข ก.ตัวอย่างเช่น √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7 ในกรณีที่มีความชัดเจนแล้วว่า เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับรากเลขคณิต พวกเขาพูดสั้น ๆ ว่า: “รากที่สองของ ก«.

การค้นหารากที่สองของตัวเลขเรียกว่าการรูทกำลังสอง การกระทำนี้จะตรงกันข้ามกับการยกกำลังสอง

คุณสามารถยกกำลังสองจำนวนใดก็ได้ แต่คุณไม่สามารถแยกรากที่สองออกจากจำนวนใดๆ ได้ ตัวอย่างเช่นเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากที่สองของตัวเลข - 4 หากมีรากดังกล่าวอยู่แล้วให้แสดงด้วยตัวอักษร เอ็กซ์เราจะได้ค่าเท่ากันที่ไม่ถูกต้อง x² = - 4 เนื่องจากมีจำนวนที่ไม่เป็นลบทางด้านซ้ายและจำนวนลบทางด้านขวา

นิพจน์ √ กมันสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อเท่านั้น ≥ 0. คำจำกัดความของรากที่สองสามารถเขียนสั้นๆ ได้ดังนี้: √ ≥ 0, (√ก)² = ก- ความเท่าเทียมกัน (√ ก)² = กถูกต้องสำหรับ ≥ 0. ดังนั้นเพื่อให้แน่ใจว่ารากที่สองของจำนวนที่ไม่เป็นลบ กเท่ากับ ขนั่นคือในความเป็นจริงแล้ว √ ก =ขคุณต้องตรวจสอบว่าตรงตามเงื่อนไขสองประการต่อไปนี้: ข ≥ 0, ข² = ก.

รากที่สองของเศษส่วน

มาคำนวณกัน โปรดทราบว่า √25 = 5, √36 = 6 และมาตรวจสอบว่ามีความเท่าเทียมกันหรือไม่

เพราะ และ แล้วความเท่าเทียมกันก็เป็นจริง ดังนั้น, .

ทฤษฎีบท:ถ้า ก≥ 0 และ ข> 0 นั่นคือรากของเศษส่วนเท่ากับรากของตัวเศษหารด้วยรากของตัวส่วน จำเป็นต้องพิสูจน์ว่า: และ .

ตั้งแต่ √ ก≥0 และ √ ข> 0 จากนั้น

เรื่องคุณสมบัติของการยกเศษส่วนเป็นกำลังและนิยามของรากที่สอง ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว ลองดูตัวอย่างบางส่วน

คำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว .

ตัวอย่างที่สอง: พิสูจน์สิ่งนั้น , ถ้า ก ≤ 0, ข < 0. .

อีกตัวอย่างหนึ่ง: คำนวณ .

.

การแปลงรากที่สอง

การลบตัวคูณออกจากใต้เครื่องหมายรูท ให้การแสดงออกได้รับ ถ้า ก≥ 0 และ ข≥ 0 จากนั้นใช้ทฤษฎีบทรากของผลิตภัณฑ์ที่เราสามารถเขียนได้:

การแปลงนี้เรียกว่าการลบตัวประกอบออกจากเครื่องหมายรูท ลองดูตัวอย่าง;

คำนวณได้ที่ เอ็กซ์= 2. การทดแทนโดยตรง เอ็กซ์= 2 ในนิพจน์รากทำให้เกิดการคำนวณที่ซับซ้อน การคำนวณเหล่านี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้หากคุณลบปัจจัยออกจากใต้เครื่องหมายรากก่อน: เมื่อแทนค่า x = 2 เราจะได้:

ดังนั้น เมื่อลบตัวประกอบออกจากใต้เครื่องหมายราก นิพจน์รากจะแสดงในรูปแบบของผลคูณโดยที่ตัวประกอบตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปเป็นกำลังสองของจำนวนที่ไม่เป็นลบ จากนั้นใช้ทฤษฎีบทรากของผลิตภัณฑ์และหารากของแต่ละตัวประกอบ ลองพิจารณาตัวอย่าง: ลดความซับซ้อนของนิพจน์ A = √8 + √18 - 4√2 โดยการนำตัวประกอบในสองเทอมแรกออกจากใต้เครื่องหมายราก เราจะได้: เราเน้นย้ำถึงความเท่าเทียมกัน ใช้ได้เฉพาะเมื่อเท่านั้น ก≥ 0 และ ข≥ 0. ถ้า ก < 0, то .

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ:
“คุณสมบัติของรากที่สอง สูตร ตัวอย่างวิธีแก้ ปัญหาพร้อมคำตอบ”

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยการศึกษาและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8
หนังสือเรียนเชิงโต้ตอบ "เรขาคณิตใน 10 นาที" สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8
ศูนย์การศึกษา "1C: โรงเรียน เรขาคณิตเกรด 8"

คุณสมบัติของรากที่สอง

เราศึกษารากที่สองต่อไป วันนี้เราจะมาดูกัน คุณสมบัติพื้นฐานราก. คุณสมบัติพื้นฐานทั้งหมดใช้งานง่ายและสอดคล้องกับการดำเนินการทั้งหมดที่เราเคยทำมาก่อน

คุณสมบัติ 1. รากที่สองของผลคูณของจำนวนจำนวนสองตัวที่ไม่เป็นลบ เท่ากับสินค้ารากที่สองของตัวเลขเหล่านี้: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$

เป็นเรื่องปกติที่จะต้องพิสูจน์คุณสมบัติใด ๆ ลองทำดู
ให้ $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$ จากนั้นเราต้องพิสูจน์ว่า $x=y*z$
ลองยกกำลังสองแต่ละนิพจน์กัน
ถ้า $\sqrt(a*b)=x$ แล้ว $a*b=x^2$
ถ้า $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$ แล้วยกกำลังสองนิพจน์ เราจะได้: $a=y^2$, $b=z^2$
$a*b=x^2=y^2*z^2$ นั่นคือ $x^2=(y*z)^2$ ถ้ากำลังสองของจำนวนที่ไม่เป็นลบเท่ากัน แสดงว่าตัวเลขนั้นเท่ากัน ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

จากคุณสมบัติของเรา เป็นไปตามนั้น เช่น $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$

หมายเหตุ 1. คุณสมบัตินี้เป็นจริงในกรณีที่มีตัวประกอบที่ไม่เป็นลบมากกว่าสองตัวอยู่ใต้ราก
คุณสมบัติ 2. ถ้า $a≥0$ และ $b>0$ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะยังคงอยู่: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

นั่นคือ รากของผลหารเท่ากับผลหารของราก
การพิสูจน์.
ลองใช้ตารางและพิสูจน์ทรัพย์สินของเราโดยสังเขป

ตัวอย่างการใช้คุณสมบัติของรากที่สอง

ตัวอย่างที่ 1
คำนวณ: $\sqrt(81*25*121)$

สารละลาย.
แน่นอน เราสามารถใช้เครื่องคิดเลข คูณตัวเลขทั้งหมดที่อยู่ใต้ราก และดำเนินการแยกรากที่สองได้ และถ้าคุณไม่มีเครื่องคิดเลขอยู่ในมือ จะทำอย่างไร?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=$495.
คำตอบ: 495.

ตัวอย่างที่ 2 คำนวณ: $\sqrt(11\frac(14)(25))$

สารละลาย.
ลองแทนจำนวนรากเป็นเศษส่วนเกิน: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
ลองใช้คุณสมบัติ 2 กัน
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= $3.4.
คำตอบ: 3.4.

ตัวอย่างที่ 3
คำนวณ: $\sqrt(40^2-24^2)$

สารละลาย.
เราสามารถประเมินนิพจน์ของเราได้โดยตรง แต่ก็สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้เกือบทุกครั้ง เรามาลองทำสิ่งนี้กัน
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
ดังนั้น $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$
คำตอบ: 32.

พวกคุณโปรดทราบว่าไม่มีสูตรสำหรับการดำเนินการบวกและลบนิพจน์ที่รุนแรงและนิพจน์ที่แสดงด้านล่างนี้ไม่ถูกต้อง
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

ตัวอย่างที่ 4
คำนวณ: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; b) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
สารละลาย.
คุณสมบัติที่นำเสนอข้างต้นใช้งานได้ทั้งจากซ้ายไปขวาและใน ลำดับย้อนกลับนั่นคือ:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
ลองใช้สิ่งนี้เพื่อแก้ตัวอย่างของเรา
ก) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

คำตอบ: ก) 16; ข) 2.

คุณสมบัติ 3. ถ้า $а≥0$ และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ ความเท่าเทียมกันก็จะคงอยู่: $\sqrt(a^(2n))=a^n$

ตัวอย่างเช่น. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ และอื่นๆ

ตัวอย่างที่ 5
คำนวณ: $\sqrt(129600)$

สารละลาย.
ตัวเลขที่นำเสนอให้เราค่อนข้างมาก มาแยกย่อยเป็นปัจจัยหลักกันดีกว่า
เราได้รับ: $129600=5^2*2^6*3^4$ หรือ $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=$360.
คำตอบ: 360.

ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ

1. คำนวณ: $\sqrt(144*36*64)$
2. คำนวณ: $\sqrt(8\frac(1)(36))$
3. คำนวณ: $\sqrt(52^2-48^2)$
4. คำนวณ:
ก) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
b) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.

คณิตศาสตร์เกิดขึ้นเมื่อมนุษย์ตระหนักถึงตนเองและเริ่มวางตำแหน่งตนเองเป็นหน่วยอิสระของโลก ความปรารถนาที่จะวัด เปรียบเทียบ นับสิ่งที่อยู่รอบตัวคุณ - นี่คือสิ่งที่อยู่เบื้องหลัง วิทยาศาสตร์พื้นฐานวันของเรา ในตอนแรกสิ่งเหล่านี้เป็นอนุภาคของคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาซึ่งทำให้สามารถเชื่อมโยงตัวเลขกับการแสดงออกทางกายภาพได้ต่อมาข้อสรุปเริ่มถูกนำเสนอในทางทฤษฎีเท่านั้น (เนื่องจากนามธรรม) แต่หลังจากนั้นไม่นานตามที่นักวิทยาศาสตร์คนหนึ่งกล่าวไว้ " คณิตศาสตร์ถึงจุดสูงสุดของความซับซ้อนเมื่อมันหายไปจากตัวเลขทั้งหมด” แนวคิดของ "รากที่สอง" ปรากฏขึ้นในเวลาที่ข้อมูลเชิงประจักษ์สามารถรองรับได้อย่างง่ายดาย ซึ่งอยู่นอกเหนือระนาบของการคำนวณ

ที่ซึ่งทุกอย่างเริ่มต้นขึ้น

การกล่าวถึงรากครั้งแรกซึ่งก็คือ ในขณะนี้แสดงว่า √ ได้รับการบันทึกไว้ในงานของนักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนซึ่งเป็นผู้วางรากฐานสำหรับเลขคณิตสมัยใหม่ แน่นอนว่าพวกเขามีความคล้ายคลึงเล็กน้อยกับรูปแบบปัจจุบัน - นักวิทยาศาสตร์ในช่วงหลายปีที่ผ่านมาใช้แท็บเล็ตขนาดใหญ่เป็นครั้งแรก แต่ในสหัสวรรษที่สองก่อนคริสต์ศักราช จ. พวกเขาได้รับสูตรการคำนวณโดยประมาณที่แสดงวิธีแยกรากที่สอง ภาพด้านล่างแสดงหินที่นักวิทยาศาสตร์ชาวบาบิโลนแกะสลักกระบวนการอนุมาน √2 และปรากฏว่าถูกต้องมากจนพบความคลาดเคลื่อนในคำตอบในทศนิยมตำแหน่งที่สิบเท่านั้น

นอกจากนี้ รากยังถูกใช้หากจำเป็นต้องค้นหาด้านของสามเหลี่ยม โดยที่รู้อีกสองอัน เมื่อแก้สมการกำลังสอง ไม่มีทางหนีจากการแตกรากได้

นอกเหนือจากงานของชาวบาบิโลนแล้ว วัตถุประสงค์ของบทความนี้ยังได้รับการศึกษาในงานจีนเรื่อง "คณิตศาสตร์ในหนังสือเก้าเล่ม" และชาวกรีกโบราณได้ข้อสรุปว่าจำนวนใดก็ตามที่ไม่สามารถแยกรากออกมาได้โดยไม่มีเศษเหลือให้ผลลัพธ์ที่ไม่มีเหตุผล .

ต้นทาง เทอมนี้เกี่ยวข้องกับการแทนตัวเลขในภาษาอาหรับ: นักวิทยาศาสตร์โบราณเชื่อว่ากำลังสองของจำนวนที่ต้องการนั้นเติบโตจากรากเหมือนพืช ในภาษาละติน คำนี้ฟังดูเหมือน Radix (คุณสามารถติดตามรูปแบบได้ - ทุกสิ่งที่มีความหมายว่า "ราก" นั้นเป็นพยัญชนะ ไม่ว่าจะเป็นหัวไชเท้าหรือหัวไชเท้าอักเสบ)

นักวิทยาศาสตร์รุ่นต่อๆ มาหยิบยกแนวคิดนี้ขึ้นมา โดยกำหนดให้เป็น Rx ตัวอย่างเช่น ในศตวรรษที่ 15 เพื่อระบุว่ามีการใช้รากที่สองของจำนวนใดๆ a พวกเขาจึงเขียน R 2 a นิสัย มุมมองที่ทันสมัย"ติ๊ก" √ ปรากฏเฉพาะในศตวรรษที่ 17 ต้องขอบคุณ Rene Descartes

วันของเรา

ในแง่คณิตศาสตร์ รากที่สองของตัวเลข y คือตัวเลข z ซึ่งกำลังสองเท่ากับ y กล่าวอีกนัยหนึ่ง z 2 =y เทียบเท่ากับ √y=z อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความนี้ที่เกี่ยวข้องเท่านั้นสำหรับ รากเลขคณิตเนื่องจากมันแสดงถึงค่าที่ไม่เป็นลบของนิพจน์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง √y=z โดยที่ z มากกว่าหรือเท่ากับ 0

ใน กรณีทั่วไปซึ่งทำหน้าที่ระบุรากพีชคณิต ค่าของนิพจน์อาจเป็นค่าบวกหรือลบก็ได้ ดังนั้น เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่า z 2 =y และ (-z) 2 =y เรามี: √y=±z หรือ √y=|z|

เนื่องจากความจริงที่ว่าความรักในคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นเมื่อมีการพัฒนาทางวิทยาศาสตร์เท่านั้นจึงมีอาการแสดงความรักต่อคณิตศาสตร์หลายอย่างที่ไม่ได้แสดงออกด้วยการคำนวณแบบแห้ง ตัวอย่างเช่น นอกเหนือจากปรากฏการณ์ที่น่าสนใจเช่นวันพายแล้ว ก็มีการเฉลิมฉลองวันหยุดรากที่สองด้วย มีการเฉลิมฉลองเก้าครั้งทุกๆ ร้อยปี และถูกกำหนดโดย ตามหลักการดังต่อไปนี้: ตัวเลขที่ระบุวันและเดือนตามลำดับ จะต้องเป็นรากที่สองของปี ดังนั้นครั้งต่อไปที่เราจะเฉลิมฉลองวันหยุดนี้คือวันที่ 4 เมษายน 2016

คุณสมบัติของรากที่สองบนสนาม R

เกือบทุกอย่าง นิพจน์ทางคณิตศาสตร์มีพื้นฐานทางเรขาคณิต ชะตากรรมนี้ไม่ได้หนีจาก √y ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ y

จะหารากของตัวเลขได้อย่างไร?

มีอัลกอริธึมการคำนวณหลายอย่าง วิธีที่ง่ายที่สุด แต่ในขณะเดียวกันก็ค่อนข้างยุ่งยากคือการคำนวณทางคณิตศาสตร์ตามปกติซึ่งมีดังต่อไปนี้:

1) จากจำนวนที่เราต้องการรูท เลขคี่จะถูกลบออกตามลำดับ - จนกว่าส่วนที่เหลือที่เอาต์พุตจะน้อยกว่าจำนวนที่ถูกลบออกหรือแม้กระทั่งเท่ากับศูนย์ จำนวนการเคลื่อนไหวจะกลายเป็นจำนวนที่ต้องการในที่สุด ตัวอย่างเช่น การคำนวณรากที่สองของ 25:

กำลังติดตาม เลขคี่- นี่คือ 11 ส่วนที่เหลือเป็นดังนี้: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

ในกรณีเช่นนี้ จะมีการขยายซีรีส์ Taylor:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n โดยที่ n รับค่าตั้งแต่ 0 ถึง

+∞ และ |y|≤1

การแสดงกราฟของฟังก์ชัน z=√y

พิจารณาฟังก์ชันเบื้องต้น z=√y บนสนามของจำนวนจริง R โดยที่ y มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ กำหนดการมีลักษณะดังนี้:

เส้นโค้งขยายจากจุดกำเนิดและจำเป็นต้องตัดกันจุด (1; 1)

คุณสมบัติของฟังก์ชัน z=√y บนสนามของจำนวนจริง R

1. โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่พิจารณาคือช่วงจากศูนย์ถึงบวกอนันต์ (รวมศูนย์ด้วย)

2. ช่วงของค่าของฟังก์ชันที่พิจารณาคือช่วงจากศูนย์ถึงบวกอนันต์ (รวมศูนย์อีกครั้ง)

3. ฟังก์ชันรับค่าต่ำสุด (0) ที่จุด (0; 0) เท่านั้น ไม่มีมูลค่าสูงสุด

4. ฟังก์ชัน z=√y ไม่เป็นคู่หรือคี่

5. ฟังก์ชัน z=√y ไม่ใช่คาบ

6. มีจุดตัดกันเพียงจุดเดียวของกราฟของฟังก์ชัน z=√y ที่มีแกนพิกัด: (0; 0)

7. จุดตัดของกราฟของฟังก์ชัน z=√y จะเป็นศูนย์ของฟังก์ชันนี้ด้วย

8. ฟังก์ชัน z=√y มีการเติบโตอย่างต่อเนื่อง

9. ฟังก์ชัน z=√y รับเฉพาะค่าบวก ดังนั้นกราฟจึงครองมุมพิกัดแรก

ตัวเลือกสำหรับการแสดงฟังก์ชัน z=√y

ในทางคณิตศาสตร์ เพื่ออำนวยความสะดวกในการคำนวณนิพจน์ที่ซับซ้อน บางครั้งจึงใช้รูปแบบกำลังของการเขียนรากที่สอง: √y=y 1/2 ตัวเลือกนี้สะดวก เช่น ในการเพิ่มฟังก์ชันเป็นกำลัง: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 วิธีนี้ยังเป็นตัวแทนที่ดีในการหาอนุพันธ์ด้วยการอินทิเกรต เนื่องจากวิธีนี้ทำให้รากที่สองจึงแสดงเป็นฟังก์ชันยกกำลังธรรมดาได้

และในการเขียนโปรแกรม การแทนที่สัญลักษณ์ √ คือการรวมกันของตัวอักษร sqrt

เป็นที่น่าสังเกตว่าในพื้นที่นี้รากที่สองเป็นที่ต้องการอย่างมากเนื่องจากเป็นส่วนหนึ่งของสูตรเรขาคณิตส่วนใหญ่ที่จำเป็นสำหรับการคำนวณ อัลกอริธึมการนับนั้นค่อนข้างซับซ้อนและขึ้นอยู่กับการเรียกซ้ำ (ฟังก์ชันที่เรียกตัวเอง)

รากที่สองในสนามเชิงซ้อน C

โดยทั่วไปแล้ว มันเป็นหัวข้อของบทความนี้ที่กระตุ้นการค้นพบสนามของจำนวนเชิงซ้อน C เนื่องจากนักคณิตศาสตร์ถูกหลอกหลอนด้วยคำถามของการได้รากคู่ของจำนวนลบ นี่คือวิธีที่หน่วยจินตภาพที่ฉันปรากฏ ซึ่งมีคุณสมบัติที่น่าสนใจมาก นั่นคือกำลังสองของมันคือ -1 ด้วยเหตุนี้ สมการกำลังสองจึงถูกแก้ไขแม้จะมีการแบ่งแยกเชิงลบก็ตาม ใน C คุณสมบัติเดียวกันนี้เกี่ยวข้องกับรากที่สองเช่นเดียวกับใน R สิ่งเดียวคือข้อจำกัดเกี่ยวกับนิพจน์รากจะถูกลบออก

สูตรราก คุณสมบัติของรากที่สอง

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

ในบทเรียนที่แล้ว เราหาได้ว่าสแควร์รูทคืออะไร ถึงเวลาที่จะรู้ว่ามีอันไหนอยู่บ้าง สูตรสำหรับรากคืออะไร คุณสมบัติของรากและสิ่งที่สามารถทำได้ทั้งหมดนี้

สูตรของราก คุณสมบัติของราก และกฎการทำงานกับราก- โดยพื้นฐานแล้วนี่คือสิ่งเดียวกัน มีสูตรไม่กี่สูตรสำหรับรากที่สองอย่างน่าประหลาดใจ ซึ่งทำให้ฉันมีความสุขอย่างแน่นอน! หรือมากกว่านั้นคุณสามารถเขียนสูตรที่แตกต่างกันได้มากมาย แต่เพียงสามสูตรเท่านั้นก็เพียงพอแล้วสำหรับงานที่ใช้งานได้จริงและมั่นใจด้วยราก ทุกสิ่งทุกอย่างไหลมาจากทั้งสามสิ่งนี้ แม้ว่าหลายคนจะสับสนกับสูตรรากทั้งสามใช่แล้ว...

เริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุดกันก่อน นี่คือ:

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้