สมการ

โดยที่ และ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลานั้นเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นแบบไม่เอกพันธ์อันดับสอง ฟังก์ชัน และ คือสัมประสิทธิ์ของมัน หากในช่วงเวลานี้ สมการจะอยู่ในรูปแบบ:

และเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธ์ของลำดับที่สอง หากสมการ (**) มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากันและเป็นสมการ (*) จะเรียกว่าสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกับสมการเอกพันธ์ (*)

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธ์ของลำดับที่สอง

อนุญาตในสมการเชิงเส้น

และเป็นจำนวนจริงคงที่

เราจะหาคำตอบเฉพาะของสมการในรูปของฟังก์ชัน โดยจะต้องระบุจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน การสร้างความแตกต่างด้วยความเคารพ เราได้รับ:

เมื่อแทนสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมเราจะได้:

ด้วยเหตุนี้ เมื่อคำนึงถึงสิ่งนั้น เรามี:

สมการนี้เรียกว่าสมการคุณลักษณะของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเนื้อเดียวกัน สมการคุณลักษณะทำให้สามารถค้นหาได้ นี่คือสมการของดีกรี 2 จึงมีสองราก ให้เราแสดงพวกมันด้วย และ . เป็นไปได้สามกรณี:

1) รากมีจริงและแตกต่าง ในกรณีนี้ วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสมการ:

ตัวอย่างที่ 1

2) รากมีจริงและเท่ากัน ในกรณีนี้ วิธีแก้ทั่วไปของสมการคือ:

ตัวอย่าง2

คุณพบว่าตัวเองอยู่ในหน้านี้พยายามแก้ไขปัญหาสำหรับการสอบหรือการทดสอบหรือไม่? หากยังสอบไม่ผ่าน ครั้งต่อไปให้นัดหมายล่วงหน้าที่เว็บไซต์เกี่ยวกับ Online help ในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง

สมการคุณลักษณะมีรูปแบบ:

การแก้สมการคุณลักษณะ:

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมคือ:

3) รากที่ซับซ้อน ในกรณีนี้ วิธีแก้ทั่วไปของสมการคือ:

ตัวอย่างที่ 3

สมการคุณลักษณะมีรูปแบบ:

การแก้สมการคุณลักษณะ:

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมคือ:

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นแบบไม่เอกพันธ์ของลำดับที่สอง

ตอนนี้ให้เราพิจารณาแก้เชิงเส้นบางประเภท สมการที่ไม่เหมือนกันอันดับสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

โดยที่ และ เป็นจำนวนจริงคงที่ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่รู้จักในช่วง ในการหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์นั้น จำเป็นต้องรู้คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ที่สอดคล้องกันและคำตอบเฉพาะ ลองดูบางกรณี:

นอกจากนี้เรายังหาคำตอบบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบของตรีโกณมิติกำลังสอง:

ถ้า 0 เป็นรากเดียวของสมการคุณลักษณะแล้ว

ถ้า 0 เป็นรากคู่ของสมการคุณลักษณะแล้ว

สถานการณ์จะคล้ายกันหากเป็นพหุนามที่มีระดับตามอำเภอใจ

ตัวอย่างที่ 4

ลองแก้สมการกัน สมการเอกพันธ์.

สมการลักษณะ:

คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์:

ให้เราค้นหาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์:

เราได้รับ: การแทนที่อนุพันธ์ที่พบลงในสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิม:

โซลูชันเฉพาะที่จำเป็น:

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมคือ:

เรามองหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะในรูปแบบ โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบแน่ชัดคือที่ไหน

เมื่อแทนที่และเข้าไปในสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมแล้ว เราจะได้เอกลักษณ์ที่เราหาค่าสัมประสิทธิ์ได้

ถ้า เป็นรากของสมการคุณลักษณะ เราจะหาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมในรูปแบบ เมื่อเป็นรากเดียว และ เมื่อเป็นรากคู่

ตัวอย่างที่ 5

สมการลักษณะ:

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ที่สอดคล้องกันคือ:

ให้เราค้นหาคำตอบเฉพาะสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน:

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์:

ในกรณีนี้ เรามองหาคำตอบเฉพาะในรูปแบบทวินามตรีโกณมิติ:

ที่ไหน และ สัมประสิทธิ์บึกบึน

เมื่อแทนที่และเข้าไปในสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมแล้ว เราจะได้เอกลักษณ์ที่ใช้หาค่าสัมประสิทธิ์

สมการเหล่านี้จะกำหนดค่าสัมประสิทธิ์และยกเว้นในกรณีที่ (หรือเมื่อ - รากของสมการลักษณะเฉพาะ) ในกรณีหลังนี้ เรามองหาคำตอบเฉพาะสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบ:

ตัวอย่าง6

สมการลักษณะ:

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ที่สอดคล้องกันคือ:

ขอให้เราหาคำตอบเฉพาะของสมการดิฟที่เป็นเนื้อเดียวกัน

เมื่อแทนสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมเราจะได้:

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมคือ:

การบรรจบกันของอนุกรมจำนวน
ให้คำจำกัดความของการลู่เข้าของอนุกรมและปัญหาของการศึกษาการลู่เข้าจะได้รับการพิจารณาโดยละเอียด ชุดตัวเลข- การทดสอบเปรียบเทียบ, การทดสอบการลู่เข้าของดาล็องแบร์, การทดสอบการลู่เข้าของ Cauchy และการทดสอบการลู่เข้าของ Cauchy แบบอินทิกรัล⁡

การบรรจบกันแบบสัมบูรณ์และมีเงื่อนไขของอนุกรม
หน้านี้ตรวจสอบอนุกรมการสลับ การลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขและแบบสัมบูรณ์ การทดสอบการลู่เข้าของไลบนิซสำหรับอนุกรมการสลับ - ประกอบด้วย ทฤษฎีสั้น ๆในหัวข้อและตัวอย่างการแก้ปัญหา

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สอง เรียกว่าสมการของรูป

ย"" + พี(x)ย" + ถาม(x)ย = ฉ(x) ,

ที่ไหน ยคือฟังก์ชันที่จะหา และ พี(x) , ถาม(x) และ ฉ(x) - ฟังก์ชั่นต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง ( ก, ข) .

ถ้าด้านขวาของสมการเป็นศูนย์ ( ฉ(x) = 0) จากนั้นจึงเรียกสมการ สมการเอกพันธ์เชิงเส้น - ภาคปฏิบัติของบทเรียนนี้จะเน้นไปที่สมการดังกล่าวเป็นหลัก หากด้านขวาของสมการไม่เท่ากับศูนย์ ( ฉ(x) ≠ 0) จากนั้นสมการนี้เรียกว่า .

ในปัญหาเราจำเป็นต้องแก้สมการ ย"" :

ย"" = −พี(x)ย" − ถาม(x)ย + ฉ(x) .

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว ปัญหาคอชี่ .

สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สองและผลเฉลยของมัน

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สอง:

ย"" + พี(x)ย" + ถาม(x)ย = 0 .

ถ้า ย1 (x) และ ย2 (x) เป็นคำตอบเฉพาะของสมการนี้ ดังนั้นข้อความต่อไปนี้จึงเป็นจริง:

1) ย1 (x) + ย 2 (x) - ยังเป็นคำตอบของสมการนี้ด้วย

2) ไซ1 (x) , ที่ไหน ค- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ (คงที่) ก็เป็นคำตอบของสมการนี้เช่นกัน

จากข้อความทั้งสองนี้จึงเป็นไปตามฟังก์ชัน

ค1 ย 1 (x) + ค 2 ย 2 (x)

ก็เป็นคำตอบของสมการนี้เช่นกัน

คำถามที่ยุติธรรมเกิดขึ้น: นี่เป็นวิธีแก้ปัญหาหรือไม่ คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สอง นั่นคือวิธีแก้ปัญหาสำหรับค่าที่ต่างกัน ค1 และ ค2 เป็นไปได้ไหมที่จะได้คำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของสมการ?

คำตอบสำหรับคำถามนี้คืออาจจะ แต่ภายใต้เงื่อนไขบางประการ นี้ เงื่อนไขว่าคุณสมบัติใดที่โซลูชั่นเฉพาะควรมี ย1 (x) และ ย2 (x) .

และเงื่อนไขนี้เรียกว่าเงื่อนไข ความเป็นอิสระเชิงเส้นโซลูชั่นส่วนตัว

ทฤษฎีบท- การทำงาน ค1 ย 1 (x) + ค 2 ย 2 (x) เป็นคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเอกพันธ์เชิงเส้นตรง (ถ้ามีฟังก์ชัน) ย1 (x) และ ย2 (x) เป็นอิสระเชิงเส้น

คำนิยาม- ฟังก์ชั่น ย1 (x) และ ย2 (x) เรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้นถ้าอัตราส่วนของพวกมันมีค่าคงที่ไม่เป็นศูนย์:

ย1 (x)/ย 2 (x) = เค ; เค = ค่าคงที่ ; เค ≠ 0 .

อย่างไรก็ตาม การพิจารณาตามคำนิยามว่าฟังก์ชันเหล่านี้มีความเป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่นั้นมักจะต้องใช้ความพยายามอย่างมาก มีวิธีสร้างความเป็นอิสระเชิงเส้นโดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski ว(x) :

หากดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski ไม่เท่ากับศูนย์ แสดงว่าคำตอบมีความเป็นอิสระเชิงเส้น - หากดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski เป็นศูนย์ แสดงว่าคำตอบนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

ตัวอย่างที่ 1หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น

สารละลาย. เราอินทิเกรตสองครั้ง และอย่างที่เห็นง่าย เพื่อให้ความแตกต่างระหว่างอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันและฟังก์ชันนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์ คำตอบจะต้องเชื่อมโยงกับเลขชี้กำลังซึ่งมีอนุพันธ์เท่ากับตัวมันเอง นั่นคือ คำตอบบางส่วนคือ และ

เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์วรอนสกี้

ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นคำตอบเหล่านี้จะเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการนี้สามารถเขียนได้เป็น

.

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเอกพันธ์เชิงเส้นเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่: ทฤษฎีและการปฏิบัติ

สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ เรียกว่าสมการของรูป

ย"" + พาย" + คิว = 0 ,

ที่ไหน พีและ ถาม- ค่าคงที่

ความจริงที่ว่านี่คือสมการอันดับสองนั้นถูกระบุโดยการมีอยู่ของอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันที่ต้องการ และความสม่ำเสมอของมันถูกระบุด้วยศูนย์ทางด้านขวา ค่าที่กล่าวไปแล้วข้างต้นเรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์คงที่

ถึง แก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเอกพันธ์เชิงเส้นด้วยสัมประสิทธิ์คงที่ คุณต้องแก้สิ่งที่เรียกว่าก่อน สมการลักษณะเฉพาะใจดี

เค² + หน้า + ถาม = 0 ,

ซึ่งอย่างที่เห็นคือสมการกำลังสองธรรมดา

ขึ้นอยู่กับการแก้สมการคุณลักษณะ มีสามตัวเลือกที่แตกต่างกัน คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ ซึ่งตอนนี้เราจะวิเคราะห์ เพื่อความแน่นอนโดยสมบูรณ์ เราจะถือว่าคำตอบเฉพาะทั้งหมดได้รับการทดสอบโดยดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski แล้ว และค่านี้จะไม่เท่ากับศูนย์ในทุกกรณี อย่างไรก็ตามผู้สงสัยสามารถตรวจสอบได้ด้วยตนเอง

รากของสมการคุณลักษณะนั้นมีอยู่จริงและชัดเจน

กล่าวอีกนัยหนึ่ง, . ในกรณีนี้ การแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเนื้อเดียวกันเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่จะมีรูปแบบดังนี้

.

ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น

.

ตัวอย่างที่ 3 แก้สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น

.

สารละลาย. สมการลักษณะเฉพาะมีรูปแบบ มีราก เป็นจริงและชัดเจน ผลเฉลยบางส่วนของสมการที่สอดคล้องกันคือ: และ ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์นี้มีรูปแบบ

.

รากของสมการคุณลักษณะนั้นมีจริงและเท่ากัน

นั่นก็คือ . ในกรณีนี้ การแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเนื้อเดียวกันเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่จะมีรูปแบบดังนี้

.

ตัวอย่างที่ 4 แก้สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น

.

สารละลาย. สมการคุณลักษณะ มี รากที่เท่ากัน- ผลเฉลยบางส่วนของสมการที่สอดคล้องกันคือ: และ ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์นี้มีรูปแบบ

ตัวอย่างที่ 5 แก้สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น

.

สารละลาย. สมการคุณลักษณะมีรากที่เท่ากัน ผลเฉลยบางส่วนของสมการที่สอดคล้องกันคือ: และ ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์นี้มีรูปแบบ

บทความนี้กล่าวถึงปัญหาของการแก้ปัญหาเชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ จะมีการหารือเกี่ยวกับทฤษฎีพร้อมกับตัวอย่างปัญหาที่กำหนด ในการถอดรหัสคำศัพท์ที่ไม่ชัดเจน จำเป็นต้องอ้างอิงถึงหัวข้อเกี่ยวกับคำจำกัดความพื้นฐานและแนวคิดของทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์

ลองพิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น (LDE) ของลำดับที่สองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ของรูปแบบ y "" + p · y " + q · y = f (x) โดยที่ p และ q เป็นตัวเลขที่กำหนดเองและฟังก์ชันที่มีอยู่ f (x) มีความต่อเนื่องในช่วงอินทิเกรต x

ให้เรามาดูการกำหนดทฤษฎีบทสำหรับคำตอบทั่วไปของ LNDE กัน

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

ทฤษฎีบทการแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับ LDNU

ทฤษฎีบท 1

ผลเฉลยทั่วไป ซึ่งอยู่บนช่วง x ของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันในรูปแบบ y (n) + fn - 1 (x) · y (n - 1) + - - + f 0 (x) · y = f (x) โดยมีค่าสัมประสิทธิ์อินทิเกรตต่อเนื่องในช่วง x f 0 (x) , f 1 (x) , - - , ฉ n - 1 (x) และ ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง f (x) เท่ากับผลรวมของสารละลายทั่วไป y 0 ซึ่งสอดคล้องกับ LOD และสารละลายเฉพาะบางค่า y ~ โดยที่สมการเอกพันธ์ดั้งเดิมคือ y = y 0 + y ~

นี่แสดงให้เห็นว่าการแก้สมการอันดับสองนั้นมีรูปแบบ y = y 0 + y ~ อัลกอริธึมสำหรับการค้นหา y 0 ได้ถูกกล่าวถึงในบทความเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองที่เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ หลังจากนั้นเราควรดำเนินการตามคำจำกัดความของ y ~

การเลือกวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับ LPDE ขึ้นอยู่กับประเภทของฟังก์ชัน f (x) ที่มีอยู่ซึ่งอยู่ทางด้านขวาของสมการ ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องพิจารณาแยกคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองแบบไม่เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

เมื่อ f (x) ถือเป็นพหุนามของระดับที่ n f (x) = P n (x) จะตามมาว่าพบวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของ LPDE โดยใช้สูตรในรูปแบบ y ~ = Q n (x ) x γ โดยที่ Q n ( x) คือพหุนามของดีกรี n, r คือจำนวนรากที่เป็นศูนย์ของสมการลักษณะเฉพาะ ค่า y ~ เป็นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) จากนั้นค่าสัมประสิทธิ์ที่มีอยู่ซึ่งกำหนดโดยพหุนาม
Q n (x) เราพบว่าใช้วิธีการสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนจากความเท่าเทียมกัน y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x)

ตัวอย่างที่ 1

คำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทของคอชี y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

สารละลาย

กล่าวอีกนัยหนึ่งมีความจำเป็นต้องย้ายไปยังวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นแบบไม่เป็นเนื้อเดียวกันของลำดับที่สองโดยมีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ y "" - 2 y " = x 2 + 1 ซึ่งจะเป็นไปตามเงื่อนไขที่กำหนด y (0) = 2, ย " (0) = 1 4 .

ผลเฉลยทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นคือผลรวมของผลเฉลยทั่วไป ซึ่งสอดคล้องกับสมการ y 0 หรือผลเฉลยเฉพาะของสมการเอกพันธ์ y ~ นั่นคือ y = y 0 + y ~

ขั้นแรก เรามาค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับ LNDU จากนั้นจึงหาวิธีแก้ไขปัญหาเฉพาะ

ลองไปหา y 0 กัน การเขียนสมการคุณลักษณะจะช่วยให้คุณหารากได้ เราเข้าใจแล้ว

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

เราพบว่ารากนั้นแตกต่างและเป็นของจริง ดังนั้นเรามาเขียนกัน

y 0 = C 1 อี 0 x + C 2 อี 2 x = C 1 + C 2 อี 2 x

มาหาหน่อย~ . จะเห็นได้ว่าด้านขวา สำหรับ สมการที่กำหนดเป็นพหุนามของดีกรี 2 แล้วรากตัวใดตัวหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ จากนี้เราพบว่าวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับ y ~ จะเป็นดังนี้

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x โดยที่ค่าของ A, B, C ใช้สัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้

มาหาพวกมันจากความเท่าเทียมกันของรูปแบบ y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1

จากนั้นเราจะได้รับสิ่งนั้น:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

เมื่อเทียบสัมประสิทธิ์กับเลขชี้กำลัง x เท่ากัน เราจะได้ระบบนิพจน์เชิงเส้น - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 เมื่อแก้ไขด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งเราจะหาค่าสัมประสิทธิ์และเขียน: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 และ y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6x3 - 1 4x2 - 3 4x.

รายการนี้เรียกว่าคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองแบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นดั้งเดิมที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

ในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่ตรงตามเงื่อนไข y (0) = 2, y "(0) = 1 4 จำเป็นต้องกำหนดค่า ค 1และ ค 2ขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกันของรูปแบบ y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

เราได้รับสิ่งนั้น:

y (0) = C 1 + C 2 อี 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 อี 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 อี 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

เราทำงานกับระบบสมการผลลัพธ์ของรูปแบบ C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 โดยที่ C 1 = 3 2, C 2 = 1 2

เมื่อใช้ทฤษฎีบทของคอชี เราก็ได้แบบนั้น

y = C 1 + C 2 อี 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 อี 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

คำตอบ: 3 2 + 1 2 อี 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

เมื่อฟังก์ชัน f (x) แสดงเป็นผลคูณของพหุนามที่มีดีกรี n และเลขชี้กำลัง f (x) = P n (x) · e a x เราจะได้ผลลัพธ์เฉพาะของ LPDE ลำดับที่สองจะเป็น สมการของรูปแบบ y ~ = e a x · Q n ( x) x γ โดยที่ Q n (x) เป็นพหุนามของระดับที่ n และ r คือจำนวนรากของสมการลักษณะเฉพาะเท่ากับ α

ค่าสัมประสิทธิ์ที่เป็นของ Q n (x) พบได้จากความเท่าเทียมกัน y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x)

ตัวอย่างที่ 2

หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบ y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x

สารละลาย

สมการ มุมมองทั่วไป y = y 0 + y ~ . สมการข้างต้นสอดคล้องกับ LOD y "" - 2 y " = 0 จากตัวอย่างก่อนหน้านี้จะเห็นได้ว่ารากของมันเท่ากัน เค 1 = 0และ k 2 = 2 และ y 0 = C 1 + C 2 e 2 x โดยสมการคุณลักษณะ

เป็นที่ชัดเจนว่า ด้านขวาสมการคือ x 2 + 1 · e x จากจุดนี้ LPDE จะพบได้จาก y ~ = e a x · Q n (x) · x γ โดยที่ Q n (x) เป็นพหุนามของดีกรีที่สอง โดยที่ α = 1 และ r = 0 เนื่องจากสมการลักษณะเฉพาะไม่ได้ มีรากเท่ากับ 1 จากที่นี่เราได้รับสิ่งนั้น

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C

A, B, C เป็นสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักซึ่งสามารถหาได้จากความเท่าเทียมกัน y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x

เข้าใจแล้ว

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C Y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = อี x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

เราเปรียบเทียบตัวบ่งชี้ด้วยค่าสัมประสิทธิ์เดียวกันและรับระบบสมการเชิงเส้น จากที่นี่เราจะพบ A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

คำตอบ:เห็นได้ชัดว่า y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 เป็นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของ LNDDE และ y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - คำตอบทั่วไปสำหรับสมการดิฟแบบไม่เอกพันธ์อันดับสอง

เมื่อเขียนฟังก์ชันเป็น f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x และ เอ 1และ บี 1เป็นตัวเลข ดังนั้นคำตอบบางส่วนของ LPDE จะถือเป็นสมการในรูปแบบ y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ โดยที่ A และ B ถือเป็นสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้ และ r คือจำนวนของ รากคอนจูเกตเชิงซ้อนที่เกี่ยวข้องกับสมการลักษณะเฉพาะ เท่ากับ ± i β . ในกรณีนี้การค้นหาค่าสัมประสิทธิ์จะดำเนินการโดยใช้ความเท่าเทียมกัน y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x)

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ของรูปแบบ y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

สารละลาย

ก่อนที่จะเขียนสมการคุณลักษณะ เราจะพบว่า y 0 แล้ว

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 ผม , k 2 = - 2 ผม

เรามีรากคอนจูเกตเชิงซ้อนคู่หนึ่ง มาแปลงร่างและรับ:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 บาป (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 บาป (2 x)

รากของสมการลักษณะเฉพาะถือเป็นคู่คอนจูเกต ± 2 i จากนั้น f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) นี่แสดงให้เห็นว่าการค้นหา y ~ จะทำจาก y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x เราจะค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ A และ B จากความเท่าเทียมกันของรูปแบบ y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

มาแปลงร่างกัน:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A cos (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B บาป (2 x) y ~ "" = ((- 2 A บาป (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B บาป (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B cos (2 x)) x - 4 A cos (2 x) + 4 B cos (2 x)

แล้วมันชัดเจนว่า

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 บาป (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B บาป (2 x)) x - 4 บาป (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 บาป (2 x)

จำเป็นต้องเทียบค่าสัมประสิทธิ์ของไซน์และโคไซน์ให้เท่ากัน เราได้รับระบบรูปแบบ:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

ตามมาว่า y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

คำตอบ:พิจารณาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของ LDDE ลำดับที่สองดั้งเดิมที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 บาป (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 บาป (2 x) x

เมื่อ f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) แล้ว y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ เรามีว่า r คือจำนวนคู่คอนจูเกตที่ซับซ้อนของรากที่เกี่ยวข้องกับสมการคุณลักษณะ เท่ากับ α ± i β โดยที่ P n (x), Q k (x) ลิตร ม. (x) และ นิวตันเมตร(x)เป็นพหุนามของดีกรี n, k, m, m โดยที่ ม = ม x (n, k)- การหาค่าสัมประสิทธิ์ เลม(x)และ นิวตันเมตร(x)สร้างขึ้นจากความเท่าเทียมกัน y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x)

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

สารละลาย

ตามเงื่อนไขก็ชัดเจนว่า

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

จากนั้น m = m a x (n, k) = 1 เราพบ y 0 โดยการเขียนสมการลักษณะเฉพาะของแบบฟอร์มก่อน:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2

เราพบว่ารากนั้นมีจริงและแตกต่าง ดังนั้น y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x ต่อไป จำเป็นต้องหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปโดยอาศัยสมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน y ~ ของแบบฟอร์ม

y ~ = e α x · (L m (x) บาป (β x) + N m (x) cos (β x) · x γ = = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) บาป (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) บาป (5 x))

เป็นที่ทราบกันว่า A, B, C เป็นสัมประสิทธิ์ r = 0 เนื่องจากไม่มีรากคอนจูเกตคู่หนึ่งที่เกี่ยวข้องกับสมการคุณลักษณะที่มี α ± i β = 3 ± 5 · i เราพบค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้จากความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้น:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) บาป (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) บาป (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) บาป (5 x))) = - อี 3 x ((38 x + 45) บาป (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

การหาอนุพันธ์และ เงื่อนไขที่คล้ายกันให้

E 3 x ((15 A + 23 C) x บาป (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) บาป (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · บาป (5 x) + 45 · บาป (5 x ) + + 8 x คอส (5 x) - 5 คอส (5 x))

หลังจากปรับค่าสัมประสิทธิ์ให้เท่ากันแล้ว เราจะได้ระบบของรูปแบบ

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 ง = 1

จากทุกสิ่งเป็นไปตามนั้น

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) บาป (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) บาป (5 x))

คำตอบ:ตอนนี้เราได้คำตอบทั่วไปสำหรับสมการเชิงเส้นที่กำหนดแล้ว:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) บาป (5 x))

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ LDNU

คำจำกัดความ 1

ฟังก์ชันประเภทอื่น f (x) สำหรับโซลูชันจำเป็นต้องปฏิบัติตามอัลกอริทึมของโซลูชัน:

• ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นที่สอดคล้องกันโดยที่ y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 โดยที่ คุณ 1และ คุณ 2เป็นคำตอบบางส่วนที่เป็นอิสระเชิงเส้นของ LODE ค 1และ ค 2ถือเป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ
• การนำไปใช้เป็นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของ LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผ่านระบบรูปแบบ C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " (x ) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) และการค้นหาฟังก์ชัน ค 1 (x)และ C 2 (x) ผ่านการอินทิเกรต

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับ y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

สารละลาย

เราดำเนินการเขียนสมการคุณลักษณะโดยเขียนไว้ก่อนหน้านี้ y 0, y "" + 36 y = 0 มาเขียนและแก้กัน:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = บาป (6 x)

เรามีคำตอบทั่วไปของสมการที่ให้ไว้ว่า y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) มีความจำเป็นต้องไปยังคำจำกัดความของฟังก์ชันอนุพันธ์ ค 1 (x)และ C2(x)ตามระบบที่มีสมการ:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (บาป (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) บาป (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 บาป (6 x) + C 2 "(x) (6 คอส (6 x)) = = 24 บาป (6 x) - 12 คอส (6 x) + 36 อี 6 x

จำเป็นต้องมีการตัดสินใจเกี่ยวกับ ค 1" (x)และ ค 2" (x)โดยใช้วิธีการใดๆ จากนั้นเราก็เขียน:

C 1 " (x) = - 4 บาป 2 (6 x) + 2 บาป (6 x) cos (6 x) - 6 จ 6 x บาป (6 x) C 2 " (x) = 4 บาป (6 x) คอส (6 x) - 2 คอส 2 (6 x) + 6 อี 6 x คอส (6 x)

แต่ละสมการจะต้องรวมกัน จากนั้นเราเขียนสมการผลลัพธ์:

C 1 (x) = 1 3 บาป (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 บาป (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 จ 6 x บาป (6 x) + C 4

ตามมาว่าวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะมีรูปแบบ:

y = 1 3 บาป (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 จ 6 x cos (6 x) - 1 2 จ 6 x บาป (6 x) + C 3 คอส (6 x) + + - 1 6 ซิน (6 x) คอส (6 x) - x - 1 3 คอส 2 (6 x) + + 1 2 อี 6 x คอส (6 x) + 1 2 อี 6 x บาป (6 x) + C 4 บาป (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 บาป (6 x)

คำตอบ: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 บาป (6 ครั้ง)

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ย่อหน้านี้จะกล่าวถึง กรณีพิเศษสมการเชิงเส้นลำดับที่สอง เมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของสมการคงที่นั่นคือเป็นตัวเลข สมการดังกล่าวเรียกว่าสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ สมการประเภทนี้พบการใช้งานที่กว้างเป็นพิเศษ

1. สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น

อันดับสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

พิจารณาสมการ

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์คงที่ สมมติว่าการหารเงื่อนไขทั้งหมดของสมการด้วยและแสดงถึง

ลองเขียนสมการนี้ในรูปแบบ

ดังที่ทราบกันดีว่า หากต้องการหาคำตอบทั่วไปของสมการอันดับสองที่เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้น ก็เพียงพอที่จะรู้แล้ว ระบบพื้นฐานโซลูชั่นส่วนตัว ให้เราแสดงวิธีการค้นหาระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาบางส่วนสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ เราจะหาคำตอบเฉพาะของสมการนี้ในรูปแบบ

เราได้รับการสร้างความแตกต่างให้กับฟังก์ชันนี้สองครั้งและแทนที่นิพจน์ลงในสมการ (59)

เนื่องจาก จากนั้น ลดลงด้วย เราจะได้สมการ

จากสมการนี้ ค่า k เหล่านั้นถูกกำหนดว่าฟังก์ชันใดจะเป็นคำตอบของสมการ (59)

สมการพีชคณิต (61) ในการหาค่าสัมประสิทธิ์ k เรียกว่าสมการคุณลักษณะของสมการเชิงอนุพันธ์นี้ (59)

สมการลักษณะเฉพาะคือสมการของดีกรี 2 ดังนั้นจึงมีราก 2 อัน รากเหล่านี้อาจเป็นคอนจูเกตที่แตกต่างกันจริง จริงและเท่ากัน หรือเป็นคอนจูเกตที่ซับซ้อนก็ได้

ให้เราพิจารณาว่าระบบพื้นฐานของโซลูชันเฉพาะมีรูปแบบใดในแต่ละกรณีเหล่านี้

1. รากของสมการคุณลักษณะมีจริงและแตกต่าง: . ในกรณีนี้ เมื่อใช้สูตร (60) เราจะพบวิธีแก้ปัญหาบางส่วน 2 แบบ:

คำตอบเฉพาะทั้งสองนี้ก่อให้เกิดระบบพื้นฐานของคำตอบบนแกนตัวเลขทั้งหมด เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski ไม่ได้หายไปไหน:

ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของสมการตามสูตร (48) จึงมีรูปแบบ

2. รากของสมการคุณลักษณะมีค่าเท่ากัน: . ในกรณีนี้ รากทั้งสองจะมีค่าจริง เมื่อใช้สูตร (60) เราจะได้โซลูชันเฉพาะเพียงวิธีเดียวเท่านั้น

ขอให้เราแสดงให้เห็นว่าคำตอบเฉพาะประการที่สอง ซึ่งเมื่อรวมกับวิธีแรกแล้วจะกลายเป็นระบบพื้นฐานก็มีรูปแบบ

ก่อนอื่น ตรวจสอบว่าฟังก์ชันนี้เป็นคำตอบของสมการ (59) จริงหรือ,

แต่เนื่องจากมีรากของสมการคุณลักษณะ (61) นอกจากนี้ตามทฤษฎีบทของ Vieta ดังนั้น . ดังนั้น นั่นคือ ฟังก์ชันจึงเป็นคำตอบของสมการ (59) อย่างแท้จริง

ตอนนี้ให้เราแสดงให้เห็นว่าคำตอบบางส่วนที่พบนั้นสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา จริงหรือ,

ดังนั้น ในกรณีนี้ คำตอบทั่วไปของสมการเชิงเส้นเอกพันธ์จึงมีรูปแบบ

3. รากของสมการคุณลักษณะมีความซับซ้อน ดังที่ทราบกันดีว่ารากที่ซับซ้อนของสมการกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริงนั้นเป็นคอนจูเกต จำนวนเชิงซ้อนกล่าวคือ พวกเขาดูเหมือน: . ในกรณีนี้ การแก้สมการบางส่วน (59) ตามสูตร (60) จะมีรูปแบบ:

การใช้สูตรของออยเลอร์ (ดูบทที่ XI, § 5, ย่อหน้าที่ 3) สามารถเขียนนิพจน์สำหรับได้เป็น:

โซลูชั่นเหล่านี้มีความครอบคลุม หากต้องการทราบวิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้อง ให้พิจารณาฟังก์ชันใหม่

พวกมันคือผลรวมเชิงเส้นของคำตอบ ดังนั้นจึงเป็นตัวแก้สมการ (59) (ดู§ 3 ข้อ 2 ทฤษฎีบท 1)

เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าดีเทอร์มิแนนต์ของ Wronski สำหรับคำตอบเหล่านี้ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น คำตอบจึงกลายเป็นระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา

ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธ์ในกรณีของรากที่ซับซ้อนของสมการคุณลักษณะจึงมีรูปแบบ

โดยสรุป เรานำเสนอตารางสูตรสำหรับการแก้สมการทั่วไป (59) ขึ้นอยู่กับประเภทของรากของสมการคุณลักษณะ

สมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่สองและลำดับที่สูงกว่า
สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่
ตัวอย่างการแก้ปัญหา

มาดูสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองและสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสูงกว่ากันดีกว่า หากคุณมีความคิดที่คลุมเครือว่าสมการเชิงอนุพันธ์คืออะไร (หรือไม่เข้าใจว่ามันคืออะไร) ฉันขอแนะนำให้เริ่มด้วยบทเรียน สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ตัวอย่างการแก้ปัญหา- หลักการแก้ปัญหามากมายและ แนวคิดพื้นฐานดังนั้นตัวกระจายลำดับแรกจะขยายไปสู่สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าโดยอัตโนมัติ มันสำคัญมากที่จะต้องเข้าใจสมการลำดับที่หนึ่งก่อน.

ผู้อ่านหลายคนอาจมีอคติว่าการควบคุมคำสั่งที่ 2, 3 และคำสั่งอื่น ๆ จากระยะไกลเป็นสิ่งที่ยากมากและไม่สามารถเข้าถึงได้ นี่เป็นสิ่งที่ผิด - เรียนรู้ที่จะแก้ปัญหาการแพร่กระจาย ลำดับที่สูงขึ้นแทบจะไม่ซับซ้อนกว่า DE ลำดับที่ 1 "ธรรมดา"- และในบางสถานที่ก็ง่ายกว่านั้นอีก เนื่องจากโซลูชันต่างๆ ใช้สื่อการสอนจากหลักสูตรของโรงเรียนอย่างจริงจัง

ยอดนิยมที่สุด สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง- สู่สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง จำเป็นรวมถึงอนุพันธ์อันดับสองและ ไม่รวม

ควรสังเกตว่าทารกบางคน (และแม้แต่ทั้งหมดพร้อมกัน) อาจขาดหายไปจากสมการ สิ่งสำคัญคือพ่อต้องอยู่บ้าน สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองดั้งเดิมที่สุดมีลักษณะดังนี้:

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสามใน งานภาคปฏิบัติพบได้น้อยกว่ามากตามการสังเกตส่วนตัวของฉัน รัฐดูมาพวกเขาจะได้คะแนนเสียงประมาณ 3-4%

ถึงสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสาม จำเป็นรวมถึงอนุพันธ์อันดับสามและ ไม่รวมอนุพันธ์ลำดับสูง:

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสามที่ง่ายที่สุดมีลักษณะดังนี้: – พ่ออยู่ที่บ้าน ลูก ๆ ทุกคนออกไปเดินเล่น

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถกำหนดสมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่ 4, 5 และสูงกว่าได้ ในปัญหาในทางปฏิบัติระบบควบคุมดังกล่าวไม่ค่อยล้มเหลว แต่ฉันจะพยายามยกตัวอย่างที่เกี่ยวข้อง

สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่าซึ่งเสนอไว้ในปัญหาเชิงปฏิบัติสามารถแบ่งออกเป็นสองกลุ่มหลัก

1) กลุ่มแรก - สิ่งที่เรียกว่า สมการที่สามารถลดลงตามลำดับได้- มาเร็ว!

2) กลุ่มที่สอง – สมการเชิงเส้นคำสั่งซื้อที่สูงขึ้นโดยมีค่าสัมประสิทธิ์คงที่- ซึ่งเราจะเริ่มดูกันตอนนี้เลย

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่สอง
โดยมีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

ในทางทฤษฎีและการปฏิบัติ สมการดังกล่าวแบ่งออกเป็นสองประเภท: สมการเอกพันธ์และ สมการที่ไม่เหมือนกัน.

DE ลำดับที่สองที่เป็นเนื้อเดียวกันพร้อมค่าสัมประสิทธิ์คงที่มี มุมมองถัดไป:
ที่ไหน และ เป็นค่าคงที่ (ตัวเลข) และทางด้านขวา – อย่างเคร่งครัดศูนย์.

อย่างที่คุณเห็นไม่มีปัญหากับสมการเอกพันธ์โดยเฉพาะสิ่งสำคัญคือ ตัดสินใจได้อย่างถูกต้อง สมการกำลังสอง .

บางครั้งอาจมีสมการเอกพันธ์ที่ไม่เป็นมาตรฐาน เช่น สมการในรูปแบบ โดยที่อนุพันธ์อันดับสองมีค่าคงที่ที่แตกต่างจากความสามัคคี (และโดยธรรมชาติแล้วจะแตกต่างจากศูนย์) อัลกอริธึมการแก้ปัญหาไม่เปลี่ยนแปลงเลย คุณควรเขียนสมการคุณลักษณะอย่างใจเย็นและค้นหารากของมัน ถ้าเป็นสมการคุณลักษณะ จะมีรากจริงที่แตกต่างกันสองแบบ เช่น จากนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะถูกเขียนตามรูปแบบปกติ: .

ในบางกรณี เนื่องจากการพิมพ์ผิดในสภาพ รากที่ "ไม่ดี" อาจส่งผลให้บางอย่างเช่น - จะทำอย่างไรคำตอบจะต้องเขียนดังนี้:

ด้วย”สารเลว”คอนจูเกตที่มีรากซับซ้อนเช่น ไม่มีปัญหาเช่นกัน วิธีแก้ไขทั่วไป:

นั่นคือ มีวิธีแก้ไขปัญหาทั่วไปอยู่แล้ว- เพราะสมการกำลังสองใดๆ มีสองราก

ในย่อหน้าสุดท้าย ตามที่ข้าพเจ้าสัญญาไว้ เราจะพิจารณาโดยสังเขป:

สมการเอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สูงกว่า

ทุกอย่างคล้ายกันมาก

สมการเอกพันธ์เชิงเส้นอันดับสามมีรูปแบบดังนี้:
โดยที่ค่าคงที่
สำหรับสมการนี้ คุณต้องสร้างสมการลักษณะเฉพาะและหารากของมันด้วย สมการลักษณะเฉพาะตามที่หลายคนเดามามีลักษณะดังนี้:
และมัน ถึงอย่างไรมี สามอย่างแน่นอนราก

ตัวอย่างเช่น รากทั้งหมดเป็นจริงและแตกต่าง: จากนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะถูกเขียนดังนี้:

ถ้ารากหนึ่งมีจริง และอีกสองรากมีความซับซ้อน เราจะเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปดังนี้:

กรณีพิเศษเมื่อทั้งสามรากทวีคูณ (เหมือนกัน) ลองพิจารณา DE ที่เป็นเนื้อเดียวกันที่ง่ายที่สุดของลำดับที่ 3 กับพ่อที่โดดเดี่ยว: . สมการคุณลักษณะมีรากที่เป็นศูนย์ตรงกันสามตัว เราเขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปดังนี้:

ถ้าเป็นสมการคุณลักษณะ ตัวอย่างเช่น มีหลายราก ดังนั้นคำตอบทั่วไปจะเป็นดังนี้:

ตัวอย่างที่ 9

แก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสามเอกพันธ์

สารละลาย:มาเขียนและแก้สมการคุณลักษณะกัน:

, – ได้รับรากจริงหนึ่งรากและรากที่ซับซ้อนคอนจูเกตสองอัน

คำตอบ:วิธีแก้ปัญหาทั่วไป

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิจารณาสมการเอกพันธ์เชิงเส้นลำดับที่สี่ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่: โดยที่ ค่าคงที่