แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์

วงกลมเกิดขึ้น ตัวแทนที่โดดเด่นที่สุดคือพี่น้อง Bernoulli (Jacob และ Johann) และ Lopital ใน โดยใช้การบรรยายของ I. Bernoulli L'Hopital ได้เขียนตำราเล่มแรกที่สรุปวิธีการใหม่ซึ่งใช้กับทฤษฎีเส้นโค้งระนาบ เขาเรียกเขาว่า การวิเคราะห์อนันต์จึงเป็นชื่อหนึ่งของสาขาคณิตศาสตร์ใหม่ การนำเสนอขึ้นอยู่กับแนวคิดของตัวแปร ซึ่งระหว่างนั้นมีความเกี่ยวโยงกัน เนื่องจากการที่การเปลี่ยนแปลงในสิ่งหนึ่งทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในอีกทางหนึ่ง ใน Lopital การเชื่อมต่อนี้ใช้เส้นโค้งเรียบ: if M (\รูปแบบการแสดงผล M)เป็นจุดเคลื่อนที่ของเส้นโค้งระนาบ จากนั้นเป็นพิกัดคาร์ทีเซียน x (\displaystyle x)และ y (\displaystyle y)เรียกว่า abscissa และกำหนดเส้นโค้งเป็นตัวแปรและการเปลี่ยนแปลง x (\displaystyle x)ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลง y (\displaystyle y). ไม่มีแนวคิดของฟังก์ชัน: อยากจะบอกว่าการพึ่งพาตัวแปรได้รับ Lopital กล่าวว่า "ธรรมชาติของเส้นโค้งเป็นที่รู้จัก" แนวคิดของดิฟเฟอเรนเชียลถูกนำมาใช้ดังนี้:

ส่วนที่เล็กที่สุดโดยที่ตัวแปรเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างต่อเนื่องเรียกว่าส่วนต่าง ... เพื่อแสดงถึงความแตกต่างของตัวแปรซึ่งแสดงด้วยตัวอักษรหนึ่งตัวเราจะใช้เครื่องหมายหรือสัญลักษณ์ d (\displaystyle d). ... ส่วนเล็ก ๆ โดยที่ส่วนต่างของค่าตัวแปรเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างต่อเนื่องเรียกว่า ... ส่วนต่างที่สอง

คำจำกัดความเหล่านี้อธิบายในเชิงเรขาคณิตด้วยรูปที่ การเพิ่มขึ้นทีละน้อยจะแสดงเป็นจำนวนจำกัด การพิจารณาเป็นไปตามข้อกำหนดสองประการ (สัจพจน์) อันดับแรก:

จำเป็นต้องมีปริมาณสองปริมาณซึ่งแตกต่างกันเพียงจำนวนเล็กน้อยเท่านั้นที่สามารถนำมา [เมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์?] อย่างเฉยเมยแทนที่จะเป็นอีกอันหนึ่ง

ปรากฎว่า x + dx = x (\displaystyle x+dx=x), ไกลออกไป

D x y = (x + d x) (y + d y) − x y = x d y + y d x + d x d y = (x + d x) d y + y d x = x d y + y d x (\displaystyled dxy=(x+) xy=xdy+ydx+dxdy=(x+dx)dy+ydx=xdy+ydx)

ข้อกำหนดที่สองคือ:

จำเป็นต้องพิจารณาเส้นโค้งเป็นชุดของเส้นตรงขนาดเล็กอนันต์จำนวนอนันต์

ความต่อเนื่องของแต่ละเส้นนั้นเรียกว่าแทนเจนต์ของเส้นโค้ง สำรวจแทนเจนต์ผ่านจุด M = (x , y) (\displaystyle M=(x,y)), L'Hopital ให้ความสำคัญกับปริมาณมาก

y d x d y − x (\displaystyle y(\frac (dx)(dy))-x),

ถึงค่าสุดขีดที่จุดเปลี่ยนเว้าของเส้นโค้งในขณะที่อัตราส่วน dy (\displaystyle dy)ถึง d x (\displaystyle dx)ไม่มีการแนบความสำคัญเป็นพิเศษ

การหาจุดสุดยอดเป็นสิ่งที่น่าสังเกต ถ้ามีการเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องใน abscissa x (\displaystyle x)ประสานงาน y (\displaystyle y)เพิ่มขึ้นก่อนแล้วจึงลดลงจากนั้นส่วนต่าง dy (\displaystyle dy)เริ่มต้นบวกเมื่อเทียบกับ d x (\displaystyle dx)แล้วก็เป็นลบ

แต่ปริมาณที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างต่อเนื่องไม่สามารถเปลี่ยนจากบวกเป็นลบได้โดยไม่ผ่านอนันต์หรือศูนย์ ... ตามมาว่าส่วนต่างของขนาดที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดจะต้องเท่ากับศูนย์หรืออนันต์

สูตรนี้อาจจะไม่สมบูรณ์แบบ ถ้าเราจำข้อกำหนดแรกได้: ให้พูด y = x 2 (\displaystyle y=x^(2))แล้วโดยอาศัยอำนาจตามข้อกำหนดแรก

2 x d x + d x 2 = 2 x d x (\displaystyle 2xdx+dx^(2)=2xdx);

ที่ศูนย์ ด้านขวาจะเป็นศูนย์ แต่ด้านซ้ายไม่ใช่ เห็นได้ชัดว่ามันควรจะกล่าวว่า dy (\displaystyle dy)สามารถแปลงได้ตามข้อกำหนดแรกเพื่อให้ที่จุดสูงสุด d y = 0 (\displaystyle dy=0). . ในตัวอย่าง ทุกอย่างมีความชัดเจนในตัวเอง และเฉพาะในทฤษฎีจุดเปลี่ยนเว้าเท่านั้นที่ Lopital เขียนว่า dy (\displaystyle dy)เท่ากับศูนย์ที่จุดสูงสุด เมื่อหารด้วย d x (\displaystyle dx) .

นอกจากนี้ ด้วยความช่วยเหลือของดิฟเฟอเรนเชียลเพียงอย่างเดียว เงื่อนไขสำหรับส่วนปลายจะได้รับการกำหนดและพิจารณาปัญหาที่ซับซ้อนจำนวนมาก ซึ่งส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์บนระนาบ ในตอนท้ายของหนังสือใน ch. 10 สิ่งที่เรียกว่ากฎของโลปิตาลในปัจจุบันถูกกล่าวถึง แม้ว่าจะอยู่ในรูปแบบที่ไม่ธรรมดาก็ตาม ให้ค่าของพิกัด y (\displaystyle y)กราฟแสดงเป็นเศษส่วนที่ตัวเศษและตัวส่วนหายไปที่ แล้วจุดโค้งกับ x = a (\displaystyle x=a)มีพิกัด y (\displaystyle y)เท่ากับอัตราส่วนของส่วนต่างของตัวเศษกับส่วนต่างของตัวส่วน ถ่ายที่ x = a (\displaystyle x=a).

ตามความคิดของ L'Hopital สิ่งที่เขาเขียนคือส่วนแรกของการวิเคราะห์ ในขณะที่ส่วนที่สองควรจะมีแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ นั่นคือวิธีการหาความเชื่อมโยงของตัวแปรโดยการเชื่อมต่อที่ทราบของดิฟเฟอเรนเชียลของพวกมัน Johann Bernoulli เป็นผู้แสดงนิทรรศการครั้งแรกใน การบรรยายทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับวิธีการอินทิกรัล. ในที่นี้ มีการระบุวิธีการสำหรับการหาอินทิกรัลพื้นฐานส่วนใหญ่ และวิธีการสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งจำนวนมากถูกระบุ

ชี้ให้เห็นถึงประโยชน์ในทางปฏิบัติและความเรียบง่ายของวิธีการใหม่ Leibniz เขียนว่า:

สิ่งที่ชายผู้รอบรู้ในแคลคูลัสนี้สามารถเข้าใจได้ถูกต้องในสามบรรทัด ผู้ชายที่รู้มากที่สุดคนอื่นๆ ถูกบังคับให้แสวงหา ตามเส้นทางอ้อมที่ซับซ้อน

ออยเลอร์

เลออนฮาร์ด ออยเลอร์

การเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นในช่วงครึ่งศตวรรษต่อมาสะท้อนให้เห็นในบทความที่ครอบคลุมของออยเลอร์ การนำเสนอการวิเคราะห์จะเปิด "บทนำ" สองเล่ม ซึ่งมีงานวิจัยเกี่ยวกับการแทนค่าฟังก์ชันพื้นฐานต่างๆ คำว่า "หน้าที่" ปรากฏขึ้นครั้งแรกในไลบนิซเท่านั้น แต่ออยเลอร์เป็นผู้นำเสนอบทบาทแรก การตีความเดิมของแนวคิดของฟังก์ชันคือ ฟังก์ชันคือนิพจน์สำหรับการนับ (เยอรมัน Rehnungsausdrϋck) หรือ นิพจน์การวิเคราะห์.

ฟังก์ชันของปริมาณผันแปรคือนิพจน์การวิเคราะห์ที่สร้างขึ้นในลักษณะหนึ่งของปริมาณตัวแปรและตัวเลขหรือปริมาณคงที่

โดยเน้นว่า "ความแตกต่างหลักระหว่างฟังก์ชันอยู่ในวิธีที่ประกอบด้วยตัวแปรและค่าคงที่" ออยเลอร์ระบุการกระทำ "โดยที่ปริมาณสามารถรวมและผสมเข้าด้วยกันได้ การกระทำเหล่านี้ ได้แก่ การบวกและการลบ การคูณและการหาร การยกกำลังและการสกัดราก คำตอบของสมการ [พีชคณิต] ควรรวมไว้ที่นี่ด้วย นอกเหนือจากการดำเนินการเหล่านี้ ซึ่งเรียกว่าพีชคณิต ยังมีการดำเนินการอื่นๆ อีกมาก เหนือธรรมชาติ เช่น เลขชี้กำลัง ลอการิทึม และอื่นๆ อีกนับไม่ถ้วน จัดส่งโดยแคลคูลัสอินทิกรัล การตีความดังกล่าวทำให้สามารถจัดการกับฟังก์ชันที่มีหลายค่าได้อย่างง่ายดายและไม่ต้องการคำอธิบายว่าฟิลด์ใดที่พิจารณาฟังก์ชัน: นิพจน์การนับถูกกำหนดไว้สำหรับค่าที่ซับซ้อนของตัวแปรแม้ว่าจะไม่จำเป็นสำหรับปัญหาก็ตาม อยู่ระหว่างการพิจารณา

อนุญาตให้ดำเนินการในนิพจน์ได้เฉพาะในจำนวน จำกัด และอนันต์แทรกซึมด้วยความช่วยเหลือจำนวนมาก ∞ (\displaystyle \infty ). ในนิพจน์ ตัวเลขนี้ใช้ร่วมกับตัวเลขธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น นิพจน์สำหรับเลขชี้กำลังถือว่าถูกต้อง

e x = (1 + x ∞) ∞ (\displaystyle e^(x)=\left(1+(\frac (x)(\infty ))\right)^(\infty )),

ซึ่งมีเพียงผู้เขียนในภายหลังเท่านั้นที่เห็นการเปลี่ยนแปลงไปสู่ขีด จำกัด การแปลงรูปแบบต่างๆ เกิดขึ้นด้วยนิพจน์การวิเคราะห์ ซึ่งทำให้ออยเลอร์สามารถค้นหาการแสดงแทนฟังก์ชันเบื้องต้นในรูปแบบของอนุกรม ผลิตภัณฑ์อนันต์ ฯลฯ ออยเลอร์แปลงนิพจน์สำหรับการนับในลักษณะเดียวกับที่ทำในพีชคณิต โดยไม่สนใจความเป็นไปได้ของ การคำนวณค่าของฟังก์ชัน ณ จุดสำหรับแต่ละสูตรจากสูตรที่เขียน

ตรงกันข้ามกับ L'Hôpital ออยเลอร์พิจารณาถึงรายละเอียดเกี่ยวกับฟังก์ชันเหนือธรรมชาติ และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง คลาสที่มีการศึกษามากที่สุด 2 คลาส ได้แก่ เลขชี้กำลังและตรีโกณมิติ เขาค้นพบว่าฟังก์ชันพื้นฐานทั้งหมดสามารถแสดงได้โดยใช้การดำเนินการเลขคณิตและการดำเนินการสองรายการ - การหาลอการิทึมและเลขชี้กำลัง

แนวทางการพิสูจน์แสดงให้เห็นอย่างสมบูรณ์แบบถึงเทคนิคของการใช้ขนาดใหญ่อย่างไม่มีขอบเขต เมื่อหาไซน์และโคไซน์โดยใช้วงกลมตรีโกณมิติแล้ว ออยเลอร์อนุมานสิ่งต่อไปนี้จากสูตรการบวก:

(cos ⁡ x + − 1 sin ⁡ x) (cos ⁡ y + − 1 sin ⁡ y) = cos ⁡ (x + y) + − 1 sin ⁡ (x + y) , (\displaystyle (\cos x+(\ sqrt (-1))\sin x)(\cos y+(\sqrt (-1))\sin y)=\cos ((x+y))+(\sqrt (-1))\sin ((x +y)))) 2 cos ⁡ n x = (cos ⁡ x + − 1 บาป ⁡ x) n + (cos ⁡ x − − 1 บาป ⁡ x) n (\displaystyle 2\cos nx=(\cos x+(\sqrt (-1)) \sin x)^(n)+(\cos x-(\sqrt (-1))\sin x)^(n))

สมมติ n = ∞ (\displaystyle n=\infty )และ z = n x (\displaystyle z=nx)เขาได้รับ

2 cos ⁡ z = (1 + − 1 z ∞) ∞ + (1 − − 1 z ∞) ∞ = e − 1 z + e − − 1 z (\displaystyle 2\cos z=\left(1+(\ frac ((\sqrt (-1))z)(\infty ))\right)^(\infty )+\left(1-(\frac ((\sqrt (-1))z)(\infty )) \right)^(\infty )=e^((\sqrt (-1))z)+e^(-(\sqrt (-1))z)),

ละทิ้งค่าเล็กน้อยของลำดับที่สูงกว่า การใช้สิ่งนี้และการแสดงออกที่คล้ายกัน ออยเลอร์ยังได้สูตรที่มีชื่อเสียงของเขาอีกด้วย

e − 1 x = cos ⁡ x + − 1 sin ⁡ x (\displaystyle e^((\sqrt (-1))x)=\cos (x)+(\sqrt (-1))\sin (x) ).

เมื่อระบุนิพจน์ต่างๆ สำหรับฟังก์ชันที่ปัจจุบันเรียกว่าระดับประถมศึกษา ออยเลอร์ดำเนินการพิจารณาเส้นโค้งในระนาบ ซึ่งวาดโดยการเคลื่อนไหวของมืออย่างอิสระ ในความเห็นของเขา เป็นไปไม่ได้ที่จะค้นหานิพจน์การวิเคราะห์เดียวสำหรับทุกเส้นโค้งดังกล่าว (ดูข้อโต้แย้งเกี่ยวกับสตริงด้วย) ในศตวรรษที่ 19 ตามคำแนะนำของ Casorati ข้อความนี้ถือว่าผิดพลาด: ตามทฤษฎีบท Weierstrass เส้นโค้งที่ต่อเนื่องกันในความหมายสมัยใหม่สามารถอธิบายได้โดยพหุนามโดยประมาณ อันที่จริงออยเลอร์แทบจะไม่เชื่อในสิ่งนี้เพราะเรายังจำเป็นต้องเขียนข้อความใหม่จนถึงขีด จำกัด โดยใช้สัญลักษณ์ ∞ (\displaystyle \infty ).

การนำเสนอของออยเลอร์เกี่ยวกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เริ่มต้นด้วยทฤษฎีความแตกต่างจำกัด ตามมาในบทที่สามด้วยคำอธิบายเชิงปรัชญาว่า "ปริมาณที่น้อยมากเป็นศูนย์พอดี" ซึ่งส่วนใหญ่ไม่เหมาะกับคนรุ่นเดียวกันของออยเลอร์ จากนั้น ดิฟเฟอเรนเชียลจะเกิดขึ้นจากความแตกต่างจำกัดด้วยการเพิ่มขึ้นเพียงเล็กน้อย และจากสูตรการแก้ไขของนิวตัน ซึ่งเป็นสูตรของเทย์เลอร์ วิธีนี้ย้อนกลับไปที่งานของเทย์เลอร์ (1715) เป็นหลัก ในกรณีนี้ออยเลอร์มีความสัมพันธ์ที่มั่นคง d k y d x k (\displaystyle (\frac (d^(k)y)(dx^(k))))ซึ่งอย่างไรก็ตามถือว่าเป็นอัตราส่วนของอนันต์สองส่วน บทสุดท้ายนี้ใช้สำหรับการคำนวณโดยประมาณโดยใช้อนุกรม

ในแคลคูลัสอินทิกรัลสามวอลุ่ม ออยเลอร์แนะนำแนวคิดของอินทิกรัลดังนี้:

ฟังก์ชันที่มีดิฟเฟอเรนเชียล = X d x (\displaystyle =Xdx)เรียกว่าอินทิกรัลและเขียนแทนด้วยเครื่องหมาย S (\displaystyle S)วางไว้ด้านหน้า

โดยรวมแล้ว บทความของออยเลอร์นี้เน้นไปที่ปัญหาทั่วไปของการบูรณาการสมการเชิงอนุพันธ์จากมุมมองสมัยใหม่ ในการทำเช่นนั้น ออยเลอร์จะค้นหาอินทิกรัลและสมการเชิงอนุพันธ์จำนวนหนึ่งที่นำไปสู่ฟังก์ชันใหม่ เช่น Γ (\displaystyle \Gamma )-ฟังก์ชัน ฟังก์ชันวงรี ฯลฯ หลักฐานที่เข้มงวดของฟังก์ชันที่ไม่ใช่องค์ประกอบได้รับในช่วงทศวรรษที่ 1830 โดย Jacobi สำหรับฟังก์ชันวงรีและโดย Liouville (ดูฟังก์ชันเบื้องต้น)

ลากรองจ์

งานหลักต่อไปซึ่งมีบทบาทสำคัญในการพัฒนาแนวคิดของการวิเคราะห์คือ ทฤษฎีฟังก์ชันวิเคราะห์ Lagrange และการเล่าขานงานของ Lagrange อย่างกว้างขวางโดย Lacroix ในลักษณะที่ค่อนข้างผสมผสาน

ด้วยความปรารถนาที่จะกำจัดสิ่งเล็ก ๆ น้อย ๆ ออกไปทั้งหมด Lagrange กลับการเชื่อมต่อระหว่างอนุพันธ์กับอนุกรมเทย์เลอร์ ด้วยฟังก์ชันการวิเคราะห์ Lagrange เข้าใจฟังก์ชันที่ตรวจสอบโดยวิธีการวิเคราะห์ตามอำเภอใจ เขากำหนดฟังก์ชันเองเป็น ให้วิธีการแบบกราฟิกในการเขียนการพึ่งพา - ก่อนหน้านี้ออยเลอร์จัดการด้วยตัวแปรเท่านั้น เพื่อใช้วิธีการวิเคราะห์ตาม Lagrange จำเป็นต้องขยายฟังก์ชันเป็นอนุกรม

f (x + h) = f (x) + p h + q h 2 + … (\displaystyle f(x+h)=f(x)+ph+qh^(2)+\dots ),

ซึ่งสัมประสิทธิ์จะเป็นฟังก์ชันใหม่ x (\displaystyle x). มันยังคงชื่อ p (\displaystyle p)อนุพันธ์ (สัมประสิทธิ์ส่วนต่าง) และแสดงว่าเป็น f ′ (x) (\displaystyle f"(x)). ดังนั้น แนวความคิดของอนุพันธ์จึงถูกนำมาใช้ในหน้าที่สองของบทความและปราศจากความช่วยเหลือจากสิ่งเล็กน้อย มันยังคงที่จะทราบว่า

f ′ (x + h) = p + 2 q h + … (\displaystyle f"(x+h)=p+2qh+\dots ),

ดังนั้นสัมประสิทธิ์ q (\displaystyle q)เป็นอนุพันธ์อันดับสองของอนุพันธ์ ฉ (x) (\displaystyle f(x)), นั่นคือ

q = 1 2 ! f″ (x) (\displaystyle q=(\frac (1)(2 .)}f""(x)} !}เป็นต้น

แนวทางในการตีความแนวคิดเรื่องอนุพันธ์นี้ใช้ในพีชคณิตสมัยใหม่ และทำหน้าที่เป็นพื้นฐานสำหรับการสร้างทฤษฎีฟังก์ชันการวิเคราะห์ของไวเออร์สตราส

Lagrange ดำเนินการในรูปแบบที่เป็นทางการและได้รับทฤษฎีบทที่น่าทึ่งจำนวนหนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็นครั้งแรกและค่อนข้างเข้มงวด ที่เขาพิสูจน์ความสามารถในการแก้โจทย์เริ่มต้นสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญในอนุกรมกำลังทางการ

คำถามของการประมาณความถูกต้องของการประมาณที่มาจากผลรวมบางส่วนของอนุกรมเทย์เลอร์ ถูกวางโดย Lagrange ในตอนท้าย ทฤษฎีฟังก์ชันวิเคราะห์เขาได้รับสิ่งที่เรียกว่าสูตรส่วนที่เหลือของลากรองจ์ของเทย์เลอร์ อย่างไรก็ตาม ตรงกันข้ามกับนักเขียนสมัยใหม่ ลากรองจ์ไม่เห็นความจำเป็นที่จะใช้ผลลัพธ์นี้เพื่อพิสูจน์การบรรจบกันของซีรีส์เทย์เลอร์

คำถามที่ว่าฟังก์ชันที่ใช้ในการวิเคราะห์สามารถขยายเป็นอนุกรมกำลังได้หรือไม่ ต่อมากลายเป็นหัวข้อของการอภิปราย แน่นอน ลากรองจ์รู้ดีว่าในบางจุด ฟังก์ชันพื้นฐานอาจไม่ขยายเป็นอนุกรมกำลัง แต่ ณ จุดเหล่านี้ ฟังก์ชันเหล่านี้ไม่มีความแตกต่างในความหมาย Koshy ในของเขา การวิเคราะห์พีชคณิตให้ฟังก์ชั่นเป็นตัวอย่างที่ขัดแย้ง

f (x) = e − 1 / x 2 , (\displaystyle f(x)=e^(-1/x^(2)),)

ขยายเป็นศูนย์ที่ศูนย์ ฟังก์ชันนี้ทำงานได้อย่างราบรื่นบนแกนจริงทุกแห่งและมีอนุกรม Maclaurin เป็นศูนย์ที่ศูนย์ ซึ่งไม่มาบรรจบกันกับค่า ฉ (x) (\displaystyle f(x)). เทียบกับตัวอย่างนี้ Poisson คัดค้านว่า Lagrange กำหนดฟังก์ชันเป็นนิพจน์การวิเคราะห์เดียว ในขณะที่ในตัวอย่างของ Cauchy ฟังก์ชันจะได้รับแตกต่างกันที่ศูนย์ และเมื่อ x ≠ 0 (\displaystyle x\not =0). เฉพาะช่วงปลายศตวรรษที่ 19 เท่านั้นที่ Pringsheim ได้พิสูจน์ว่ามีฟังก์ชันที่สร้างความแตกต่างอย่างไม่สิ้นสุดโดยการแสดงออกเพียงคำเดียวที่อนุกรม Maclaurin แตกต่างออกไป ตัวอย่างของฟังก์ชันดังกล่าวคือนิพจน์

Ψ (x) = ∑ k = 0 ∞ cos ⁡ (3 k x) k ! (\displaystyle \Psi (x)=\sum \limits _(k=0)^(\infty )(\frac (\cos ((3^(k)x)))(k}} !}.

การพัฒนาต่อไป

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ศึกษาความหมาย คุณสมบัติ และการประยุกต์ใช้ฟังก์ชันอนุพันธ์ กระบวนการหาอนุพันธ์เรียกว่า ความแตกต่าง. เมื่อพิจารณาถึงฟังก์ชันและจุดในโดเมน อนุพันธ์ ณ จุดนั้นเป็นวิธีการเข้ารหัสพฤติกรรมแบบละเอียดของฟังก์ชันนั้นใกล้กับจุดนั้น โดยการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดแต่ละจุดในโดเมน เราสามารถกำหนดฟังก์ชันใหม่ที่เรียกว่า ฟังก์ชันอนุพันธ์หรือง่ายๆ อนุพันธ์จากการทำงานเดิม ในภาษาทางคณิตศาสตร์ อนุพันธ์คือการทำแผนที่เชิงเส้นที่มีฟังก์ชันหนึ่งเป็นอินพุตและอีกฟังก์ชันหนึ่งเป็นเอาต์พุต แนวคิดนี้เป็นนามธรรมมากกว่ากระบวนการส่วนใหญ่ที่ศึกษาในพีชคณิตเบื้องต้น ซึ่งฟังก์ชันมักจะมีตัวเลขหนึ่งเป็นอินพุตและอีกตัวเป็นเอาต์พุต ตัวอย่างเช่น ถ้าฟังก์ชันการเสแสร้งได้รับอินพุตเป็นสาม เอาต์พุตจะเป็นหก ถ้าอินพุตของฟังก์ชันกำลังสองเป็นสาม เอาต์พุตจะเป็นเก้า อนุพันธ์สามารถมีฟังก์ชันกำลังสองเป็นอินพุตได้ ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์นำข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสอง กล่าวคือ เมื่อสองเป็นอินพุต จะให้สี่เป็นเอาต์พุต จะแปลงสามถึงเก้า สี่ถึงสิบหก และอื่นๆ และใช้ข้อมูลนี้เพื่อรับฟังก์ชันอื่น . (อนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสองก็แค่ฟังก์ชันสองเท่า)

สัญลักษณ์ที่พบบ่อยที่สุดสำหรับการแสดงอนุพันธ์คือเครื่องหมายอะพอสทรอฟีที่เรียกว่าไพรม์ ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉมี ฉ, อ่านว่า "f stroke" ตัวอย่างเช่น if ฉ(x) = x 2 เป็นฟังก์ชันกำลังสอง ดังนั้น ฉ(x) = 2xคืออนุพันธ์ของมัน นี่คือฟังก์ชันการทวีคูณ

ถ้าฟังก์ชันอินพุตเป็นเวลา อนุพันธ์คือการเปลี่ยนแปลงตามเวลา ตัวอย่างเช่น if ฉเป็นฟังก์ชันที่ขึ้นกับเวลาและให้เอาท์พุตของตำแหน่งของลูกในเวลาแล้วอนุพันธ์ ฉกำหนดการเปลี่ยนแปลงในตำแหน่งของลูกบอลเมื่อเวลาผ่านไปนั่นคือความเร็วของลูกบอล

ปริพันธ์ไม่แน่นอนเป็น ดั้งเดิมนั่นคือการดำเนินการผกผันกับอนุพันธ์ Fเป็นอินทิกรัลไม่มีกำหนดของ ฉในกรณีที่เมื่อ ฉเป็นอนุพันธ์ของ F. (การใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่และตัวพิมพ์เล็กสำหรับฟังก์ชันและอินทิกรัลไม่จำกัดจำนวนนี้เป็นเรื่องปกติในแคลคูลัส)

ปริพันธ์ที่แน่นอนฟังก์ชันอินพุตและค่าเอาต์พุตเป็นตัวเลขที่เท่ากับพื้นที่ของพื้นผิวที่ล้อมรอบด้วยกราฟฟังก์ชัน แกน x และส่วนของเส้นตรงสองส่วนจากกราฟฟังก์ชันไปยังแกน x ที่จุด ค่าเอาต์พุต ในแง่เทคนิค อินทิกรัลแน่นอนคือขีดจำกัดของผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยม เรียกว่าผลรวมรีมันน์

ตัวอย่างจากฟิสิกส์คือการคำนวณระยะทางที่เดินทางขณะเดิน ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง

D i s t a n c e = S p e e d ⋅ T i m e (\displaystyle \mathrm (ระยะทาง) =\mathrm (ความเร็ว) \cdot \mathrm (เวลา) )

ถ้าความเร็วคงที่ การคูณก็เพียงพอ แต่ถ้าความเร็วแตกต่างกัน เราต้องใช้วิธีการคำนวณระยะทางที่มีประสิทธิภาพมากขึ้น หนึ่งในวิธีการเหล่านี้คือการคำนวณโดยประมาณโดยแบ่งเวลาออกเป็นช่วงเวลาสั้นๆ แยกกัน จากนั้นคูณเวลาในแต่ละช่วงด้วยความเร็วใดๆ ในช่วงเวลานั้น จากนั้นจึงรวมระยะทางโดยประมาณทั้งหมด (ผลรวมของรีมันน์) ที่เดินทางในแต่ละช่วง เราจะได้ระยะทางทั้งหมดที่เดินทาง แนวคิดพื้นฐานคือ หากคุณใช้ช่วงเวลาสั้น ๆ ความเร็วในแต่ละช่วงเวลาจะยังคงคงที่ไม่มากก็น้อย อย่างไรก็ตาม ผลรวมของรีมันน์จะให้ระยะทางโดยประมาณเท่านั้น ในการหาระยะทางที่แน่นอน เราต้องหาขีดจำกัดของจำนวนรวมของรีมันน์

ถ้า เอฟ(x)บนแผนภาพด้านซ้ายแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเมื่อเวลาผ่านไป จากนั้นระยะทางที่เดินทาง (ระหว่างช่วงเวลา เอและ ข) คือพื้นที่ของพื้นที่แรเงา ส.

สำหรับการประมาณค่าโดยประมาณของพื้นที่นี้ สามารถใช้วิธีการที่เข้าใจง่ายซึ่งประกอบด้วยการหารระยะห่างระหว่าง เอและ ขเป็นจำนวนเท่ากัน (ส่วน) ของความยาว Δx. สำหรับแต่ละเซ็กเมนต์ เราสามารถเลือกค่าฟังก์ชันได้หนึ่งค่า ฉ(x). เรียกค่านี้ว่า ชม.. แล้วพื้นที่ของสี่เหลี่ยมกับฐาน Δxและส่วนสูง ชม.ให้ระยะทาง (เวลา Δxคูณด้วยความเร็ว ชม.) ผ่านในส่วนนี้ แต่ละส่วนสัมพันธ์กับค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันในนั้น เอฟ(x)= ชม. ผลรวมของสี่เหลี่ยมดังกล่าวทั้งหมดจะให้ค่าประมาณของพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ซึ่งเป็นค่าประมาณของระยะทางทั้งหมดที่เดินทาง ลด Δxจะให้สี่เหลี่ยมมากขึ้นและในกรณีส่วนใหญ่จะเป็นการประมาณที่ดีกว่า แต่เพื่อให้ได้คำตอบที่ถูกต้องเราต้องคำนวณขีด จำกัด ที่ Δxพุ่งไปที่ศูนย์

สัญลักษณ์การรวมคือ ∫ (\displaystyle \int ), จดหมายขยาย ส(S ย่อมาจาก "sum") อินทิกรัลแน่นอนเขียนเป็น:

∫ a b f (x) d x . (\displaystyle \int _(a)^(b)f(x)\,dx.)

และอ่านว่า: "อินทิกรัลของ เอก่อน ขฟังก์ชั่น ฉจาก xบน x". สัญกรณ์ที่เสนอโดยLeibniz dxมีวัตถุประสงค์เพื่อแบ่งพื้นที่ใต้เส้นโค้งเป็นสี่เหลี่ยมจำนวนอนันต์เพื่อให้มีความกว้าง Δxเป็นปริมาณอนันต์ dx. ในการกำหนดแคลคูลัสตามขีดจำกัด สัญกรณ์

∫ a b … d x (\displaystyle \int _(a)^(b)\ldots \,dx)

ควรเข้าใจว่าเป็นโอเปอเรเตอร์ที่ใช้ฟังก์ชันเป็นอินพุตและเอาต์พุตจำนวนเท่ากับพื้นที่ dxไม่เป็นตัวเลขและคูณด้วยไม่ได้ เอฟ(x).

อินทิกรัลไม่ จำกัด หรือแอนติเดริเวทีฟเขียนเป็น:

∫ f (x) d x . (\displaystyle \int f(x)\,dx.)

ฟังก์ชันที่ต่างกันด้วยค่าคงที่จะมีอนุพันธ์เหมือนกัน ดังนั้นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันที่กำหนดจึงเป็นแฟมิลีของฟังก์ชันที่ต่างกันเพียงค่าคงที่เท่านั้น เนื่องจากอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = x² + ค, ที่ไหน ค- ค่าคงที่ใดๆ เท่ากับ คุณ = 2xจากนั้นแอนติเดริเวทีฟของอันหลังจะถูกกำหนดโดยสูตร:

∫ 2 x d x = x 2 + C . (\displaystyle \int 2x\,dx=x^(2)+C.)

ค่าคงที่ประเภทที่ไม่ได้กำหนด คในแอนติเดริเวทีฟเรียกว่าค่าคงที่ของการรวมตัว

ทฤษฎีบทนิวตัน-ไลบ์นิซ

นิวตัน - ทฤษฎีบทของไลบนิซซึ่งเรียกอีกอย่างว่า ทฤษฎีบทหลักของการวิเคราะห์ระบุว่าความแตกต่างและการรวมเป็นการดำเนินการผกผันซึ่งกันและกัน อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น มันเกี่ยวข้องกับค่าของแอนติเดริเวทีฟสำหรับอินทิกรัลบางตัว เนื่องจากโดยทั่วไปแล้วการคำนวณแอนติเดริเวทีฟทำได้ง่ายกว่าการใช้สูตรอินทิกรัลที่แน่นอน ทฤษฎีบทจึงเป็นวิธีที่ใช้ได้จริงในการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน นอกจากนี้ยังสามารถตีความได้ว่าเป็นคำแถลงที่แน่ชัดว่าการสร้างความแตกต่างเป็นการผกผันของการบูรณาการ

ทฤษฎีบทบอกว่า: ถ้าฟังก์ชัน ฉต่อเนื่องในช่วงเวลา [ เอ, ข] และถ้า Fมีฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์เท่ากับ ฉในช่วงเวลา ( เอ, ข), แล้ว:

∫ a b f (x) d x = F (b) − F (a) . (\displaystyle \int _(a)^(b)f(x)\,dx=F(b)-F(a).)

นอกจากนี้สำหรับใดๆ xจากช่วง ( เอ, ข)

d d x ∫ a x f (t) d t = f (x) . (\displaystyle (\frac (d)(dx))\int _(a)^(x)f(t)\,dt=f(x).)

ข้อมูลเชิงลึกนี้สร้างขึ้นโดยทั้ง Newton และ Leibniz ซึ่งอิงผลงานของพวกเขาจากงานก่อนหน้าของ Isaac Barrow เป็นกุญแจสำคัญในการเผยแพร่ผลการวิเคราะห์อย่างรวดเร็วหลังจากที่งานของพวกเขาเป็นที่รู้จัก ทฤษฎีบทพื้นฐานให้วิธีพีชคณิตสำหรับการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอนจำนวนมากโดยไม่จำกัดกระบวนการ โดยการหาสูตรแอนติเดริเวทีฟ นอกจากนี้ยังมีต้นแบบสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์อีกด้วย สมการเชิงอนุพันธ์เชื่อมโยงฟังก์ชันที่ไม่รู้จักกับอนุพันธ์ของพวกมัน ซึ่งถูกใช้ทุกหนทุกแห่งในหลาย ๆ ศาสตร์

แอปพลิเคชั่น

การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านฟิสิกส์ วิทยาการคอมพิวเตอร์ สถิติ วิศวกรรม เศรษฐศาสตร์ ธุรกิจ การเงิน การแพทย์ ประชากรศาสตร์ และด้านอื่นๆ ที่สามารถสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพื่อแก้ปัญหาได้ และจำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุด

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แนวความคิดเกือบทั้งหมดในกลศาสตร์คลาสสิกและแม่เหล็กไฟฟ้ามีการเชื่อมโยงกันอย่างแยกไม่ออกโดยการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์แบบคลาสสิก ตัวอย่างเช่น เมื่อพิจารณาการกระจายความหนาแน่นของวัตถุที่ทราบแล้ว มวลของวัตถุ โมเมนต์ความเฉื่อย ตลอดจนพลังงานทั้งหมดในสนามศักย์จะพบได้โดยใช้แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ อีกตัวอย่างหนึ่งที่โดดเด่นของการประยุกต์ใช้การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ในกลศาสตร์คือกฎข้อที่สองของนิวตัน: ในอดีต จะใช้คำว่า "อัตราการเปลี่ยนแปลง" โดยตรงในสูตร "แรง \u003d มวล x ความเร่ง" เนื่องจากความเร่งคืออนุพันธ์ของเวลาของความเร็วหรือ อนุพันธ์ของเวลาที่สองจากวิถีโคจรหรือตำแหน่งเชิงพื้นที่

การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ยังใช้เพื่อค้นหาคำตอบของสมการโดยประมาณ ในทางปฏิบัติ นี่เป็นวิธีมาตรฐานในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์และค้นหารากในแอปพลิเคชันส่วนใหญ่ ตัวอย่าง ได้แก่ วิธีการของนิวตัน วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย และวิธีการประมาณเชิงเส้น ตัวอย่างเช่น เมื่อคำนวณวิถีโคจรของยานอวกาศ ตัวแปรของวิธีออยเลอร์ถูกใช้เพื่อประมาณเส้นทางการเคลื่อนที่แบบโค้งในกรณีที่ไม่มีแรงโน้มถ่วง

บรรณานุกรม

บทความสารานุกรม

• // พจนานุกรมสารานุกรม: ใน 17 เล่ม - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก. : ประเภทของ. อ. พลัชการ์ด, 1835-1841.
• // พจนานุกรมสารานุกรมของ Brockhaus และ Efron: ใน 86 เล่ม (82 เล่มและ 4 เพิ่มเติม) - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก. , พ.ศ. 2433-2450.

วรรณกรรมเพื่อการศึกษา

หนังสือเรียนมาตรฐาน

หลายปีที่ผ่านมาหนังสือเรียนต่อไปนี้ได้รับความนิยมในรัสเซีย:

• คูแรนท์, อาร์.หลักสูตรในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์ (ในสองเล่ม) การค้นหาระเบียบวิธีหลักของหลักสูตร: ขั้นแรก แนวคิดหลักถูกระบุอย่างง่าย ๆ แล้วจึงได้รับหลักฐานที่เข้มงวด เขียนโดย Courant เมื่อตอนที่เขาเป็นศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัย Göttingen ในปี ค.ศ. 1920 ภายใต้อิทธิพลของความคิดของไคลน์ จากนั้นจึงย้ายไปยังดินแดนอเมริกาในทศวรรษที่ 1930 การแปลเป็นภาษารัสเซียในปี 1934 และการพิมพ์ซ้ำให้ข้อความตามฉบับภาษาเยอรมัน การแปลในปี 1960 (ที่เรียกว่าฉบับที่ 4) เป็นการรวบรวมจากหนังสือเรียนภาษาเยอรมันและอเมริกา ดังนั้นจึงมีความละเอียดมาก
• Fikhtengolts G. M.หลักสูตรแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์ (ในสามเล่ม) และหนังสือปัญหา
• เดมิโดวิช บี.พี.รวบรวมโจทย์และแบบฝึกหัดในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
• Lyashko I. I. และคนอื่น ๆคู่มืออ้างอิงคณิตศาสตร์ชั้นสูง เล่ม 1-5

มหาวิทยาลัยบางแห่งมีแนวทางในการวิเคราะห์ของตนเอง:

• มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก MehMat:

• Arkhipov G. I. , Sadovnichiy V. A. , Chubarikov V. N.บรรยายวิชาคณิตศาสตร์. การวิเคราะห์.
• โซริช วี.เอ.การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ Part I. M.: Nauka, 1981. 544 น.
• โซริช วี.เอ.การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ส่วนที่ 2 M.: Nauka, 1984. 640 น.
• คามีนินทร์ แอล.ไอ.หลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ (ในสองเล่ม) มอสโก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยมอสโก 2544

• V. A. Ilyin, V. A. Sadovnichiy, Bl. เอช. เซนดอฟ.การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ / ศ.

นักเรียนจะต้อง:

รู้:

คำจำกัดความของลิมิตของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

คุณสมบัติของลิมิตของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

สูตรจำกัดที่โดดเด่น;

การกำหนดความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

คุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่อง

คำจำกัดความของอนุพันธ์ ความหมายทางเรขาคณิตและทางกายภาพของอนุพันธ์ อนุพันธ์แบบตาราง กฎการสร้างความแตกต่าง

กฎการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน นิยามของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน คุณสมบัติของฟังก์ชัน คำจำกัดความของอนุพันธ์และส่วนต่างของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น การหาค่าฟังก์ชัน extremum, ฟังก์ชันนูน, จุดเปลี่ยน, เส้นกำกับ

คำจำกัดความของอินทิกรัลไม่จำกัดคุณสมบัติ ปริพันธ์แบบตาราง

- สูตรสำหรับการบูรณาการโดยการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรและโดยส่วนสำหรับอินทิกรัลไม่จำกัด

คำจำกัดความของอินทิกรัลที่แน่นอน, คุณสมบัติ, สูตรพื้นฐานของแคลคูลัสอินทิกรัล - สูตรนิวตัน - ไลบ์นิซ

- สูตรสำหรับการบูรณาการโดยการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรและโดยส่วนสำหรับอินทิกรัลที่แน่นอน

· ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลแน่นอน การประยุกต์ใช้อินทิกรัลแน่นอน

สามารถ:

คำนวณขีดจำกัดของลำดับและฟังก์ชัน เปิดเผยความไม่แน่นอน;

· คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน อนุพันธ์และดิฟเฟอเรนเชียลของลำดับที่สูงกว่า

ค้นหาส่วนปลายและจุดเปลี่ยนของฟังก์ชัน

· ศึกษาฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์และสร้างกราฟ

คำนวณอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนและแน่นอนโดยวิธีการเปลี่ยนตัวแปรและตามส่วน

· รวมฟังก์ชันตรรกยะ อตรรกยะ และฟังก์ชันตรีโกณมิติบางส่วน ใช้การแทนที่สากล ใช้อินทิกรัลแน่นอนเพื่อหาพื้นที่ของตัวเลขระนาบ

ขีด จำกัด ของฟังก์ชัน คุณสมบัติจำกัดฟังก์ชัน ข้อ จำกัด ด้านเดียว ขีดจำกัดของผลรวม ผลิตภัณฑ์ และผลหารของสองฟังก์ชัน ฟังก์ชั่นต่อเนื่องคุณสมบัติของมัน ความต่อเนื่องของฟังก์ชันพื้นฐานและซับซ้อน ข้อจำกัดที่น่าทึ่ง

นิยามอนุพันธ์ของฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน ความแตกต่างของฟังก์ชัน ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน กฎการสร้างความแตกต่าง: อนุพันธ์ของผลรวม ผลิตภัณฑ์ และผลหาร อนุพันธ์และส่วนต่างของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น การเปิดเผยความไม่แน่นอน ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและลดลง เงื่อนไขสำหรับการเพิ่มขึ้นและลดลง สุดขั้วของฟังก์ชัน เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของสุดโต่ง การหา extrema โดยใช้อนุพันธ์อันดับ 1 ฟังก์ชันนูน จุดเปลี่ยน. เส้นกำกับ การศึกษาฟังก์ชั่นเต็มรูปแบบ

อินทิกรัลไม่จำกัดคุณสมบัติของมัน ตารางอินทิกรัลพื้นฐาน วิธีการเปลี่ยนตัวแปร บูรณาการตามส่วนต่างๆ บูรณาการของฟังก์ชันตรรกยะ การรวมฟังก์ชันที่ไม่ลงตัวบางอย่าง การทดแทนสากล

ปริพันธ์แน่นอน คุณสมบัติของมัน สูตรพื้นฐานของแคลคูลัสอินทิกรัล บูรณาการโดยการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรและโดยส่วนในปริพันธ์ที่แน่นอน การประยุกต์อินทิกรัลที่แน่นอน

ดิฟเฟอเรนเชียล แคลคูลัส สาขาหนึ่งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาอนุพันธ์ ดิฟเฟอเรนเชียล และการประยุกต์ใช้กับการศึกษาฟังก์ชัน แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์พัฒนาเป็นวินัยอิสระในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 17 ภายใต้อิทธิพลของผลงานของ I. Newton และ G. W. Leibniz ซึ่งพวกเขาได้กำหนดบทบัญญัติหลักของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และสังเกตลักษณะผกผันของความแตกต่างและการรวมเข้าด้วยกัน นับแต่นั้นเป็นต้นมา แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ได้พัฒนาขึ้นโดยสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับแคลคูลัสปริพันธ์ ซึ่งประกอบขึ้นด้วยเป็นส่วนหลักของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ (หรือการวิเคราะห์จำนวนน้อย) การสร้างแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์ได้เปิดศักราชใหม่ในการพัฒนาคณิตศาสตร์ นำไปสู่การเกิดขึ้นของสาขาวิชาคณิตศาสตร์ใหม่จำนวนหนึ่ง (ทฤษฎีอนุกรม ทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ แคลคูลัสของการแปรผัน การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน) และ ขยายความเป็นไปได้ของการใช้คณิตศาสตร์กับคำถามของวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีธรรมชาติอย่างมีนัยสำคัญ

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์อยู่บนพื้นฐานของแนวคิดพื้นฐาน เช่น จำนวนจริง ฟังก์ชัน ลิมิต ความต่อเนื่อง แนวคิดเหล่านี้ใช้รูปแบบที่ทันสมัยในการพัฒนาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์ แนวคิดหลักและแนวคิดของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์สัมพันธ์กับการศึกษาฟังก์ชันในจุดเล็กๆ เช่น ในย่านเล็กๆ ของแต่ละจุด ซึ่งต้องมีการสร้างเครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับศึกษาหน้าที่ซึ่งมีพฤติกรรมอยู่ในละแวกใกล้เคียงเล็กๆ ของแต่ละจุด ขอบเขตของคำจำกัดความใกล้เคียงกับพฤติกรรมของฟังก์ชันเชิงเส้น หรือพหุนาม เครื่องมือนี้มีพื้นฐานอยู่บนแนวคิดของอนุพันธ์และดิฟเฟอเรนเชียล แนวคิดของอนุพันธ์เกิดขึ้นจากปัญหาที่แตกต่างกันจำนวนมากในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและคณิตศาสตร์ นำไปสู่การคำนวณขีดจำกัดของประเภทเดียวกัน งานที่สำคัญที่สุดคือการกำหนดความเร็วของการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุตามแนวเส้นตรงและการสร้างเส้นสัมผัสเส้นโค้ง แนวคิดของค่าดิฟเฟอเรนเชียลเกี่ยวข้องกับความเป็นไปได้ของการประมาณฟังก์ชันในละแวกใกล้เคียงเล็กๆ ของจุดที่พิจารณาโดยฟังก์ชันเชิงเส้น ต่างจากแนวคิดของอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรจริง แนวคิดของดิฟเฟอเรนเชียลสามารถถ่ายโอนไปยังฟังก์ชันที่มีลักษณะทั่วไปมากกว่าได้ง่าย รวมถึงการแมปจากสเปซแบบยุคลิดหนึ่งไปยังอีกพื้นที่หนึ่ง การแมปของสเปซบานาคกับสเปซอื่นๆ ของบานาค และ ทำหน้าที่เป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

อนุพันธ์. ปล่อยให้จุดวัสดุเคลื่อนที่ไปตามแกน Oy และ x หมายถึงเวลาที่นับจากช่วงเริ่มต้น คำอธิบายของการเคลื่อนไหวนี้ถูกกำหนดโดยฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งกำหนดให้กับแต่ละช่วงเวลา x พิกัด y ของจุดเคลื่อนที่ ฟังก์ชันนี้ในกลศาสตร์เรียกว่ากฎการเคลื่อนที่ ลักษณะสำคัญของการเคลื่อนที่ (โดยเฉพาะถ้าไม่เท่ากัน) คือความเร็วของจุดเคลื่อนที่ในแต่ละช่วงเวลา x (ความเร็วนี้เรียกอีกอย่างว่าความเร็วชั่วขณะ) หากจุดเคลื่อนที่ไปตามแกน Oy ตามกฎหมาย y \u003d f (x) จากนั้นในเวลาที่กำหนด x จะมีพิกัด f (x) และ ณ เวลา x + Δx - พิกัด f (x + Δx ) โดยที่ Δx คือ การเพิ่มขึ้นของเวลา จำนวน Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) เรียกว่าการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน คือเส้นทางที่เคลื่อนที่โดยจุดเคลื่อนที่ในช่วงเวลาจาก x ถึง x + Δx ทัศนคติ

เรียกว่าอัตราส่วนผลต่างคือความเร็วเฉลี่ยของจุดในช่วงเวลาตั้งแต่ x ถึง x + Δx ความเร็วชั่วขณะ (หรือเพียงแค่ความเร็ว) ของจุดเคลื่อนที่ ณ เวลา x คือขีดจำกัดที่ความเร็วเฉลี่ย (1) มีแนวโน้มเมื่อช่วงเวลา Δx มีแนวโน้มเป็นศูนย์ กล่าวคือ ขีดจำกัด (2)

แนวคิดของความเร็วชั่วขณะนำไปสู่แนวคิดของอนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันตามอำเภอใจ y \u003d f (x) ที่จุดคงที่ที่กำหนด x เรียกว่าลิมิต (2) (โดยมีขีดจำกัดนี้อยู่) อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ที่จุดที่กำหนด x แสดงโดยหนึ่งในสัญลักษณ์ f '(x), y ', ý, df / dx, dy / dx, Df (x)

การดำเนินการค้นหาอนุพันธ์ (หรือการเปลี่ยนจากฟังก์ชันไปเป็นอนุพันธ์) เรียกว่าดิฟเฟอเรนติเอชัน

ปัญหาการสร้างเส้นสัมผัสเส้นโค้งระนาบที่กำหนดในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน Oxy โดยสมการ y \u003d f (x) ที่จุดใดจุดหนึ่ง M (x, y) (รูปที่) ก็นำไปสู่ขีด จำกัด (2) . เมื่อเพิ่มค่า Δx ให้กับอาร์กิวเมนต์ x และรับจุด M' ด้วยพิกัด (x + Δx, f(x) + Δx) บนเส้นโค้ง) ให้กำหนดแทนเจนต์ที่จุด M เป็นตำแหน่งจำกัดของซีแคนต์ MM' เมื่อจุด M ' มีแนวโน้มเป็น M (เช่น เมื่อ Δx มีแนวโน้มเป็นศูนย์) เนื่องจากจุด M ที่แทนเจนต์ผ่านถูกกำหนด การสร้างแทนเจนต์จะลดลงเพื่อกำหนดความชันของมัน (กล่าวคือ แทนเจนต์ของมุมเอียงไปยังแกน Ox) วาดเส้นตรง MR ขนานกับแกน Ox จะได้ความชันของเส้นตัด MM' เท่ากับอัตราส่วน

ในลิมิตที่ Δx → 0 ความชันของซีแคนต์เปลี่ยนเป็นความชันของแทนเจนต์ ซึ่งปรากฎว่าเท่ากับลิมิต (2) นั่นคือ อนุพันธ์ f’(x)

ปัญหาอื่น ๆ ของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติยังนำไปสู่แนวคิดของอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น ความแรงของกระแสในตัวนำถูกกำหนดเป็นลิมิตลิมิต Δt→0 Δq/Δt โดยที่ Δq คือประจุไฟฟ้าบวกที่ถ่ายโอนผ่านหน้าตัดของตัวนำในเวลา Δt อัตราของปฏิกิริยาเคมีถูกกำหนดเป็น lim Δt→0 ΔQ/Δt โดยที่ ΔQ คือการเปลี่ยนแปลงของปริมาณสสารในช่วงเวลา Δt และโดยทั่วไป อนุพันธ์ของปริมาณทางกายภาพบางส่วนเทียบกับเวลาคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณนี้

หากฟังก์ชัน y \u003d f (x) ถูกกำหนดทั้งที่จุด x เองและในบริเวณใกล้เคียงบางส่วน และมีอนุพันธ์ที่จุด x ฟังก์ชันนี้จะต่อเนื่องที่จุด x ตัวอย่างของฟังก์ชัน y \u003d |x| กำหนดไว้ในพื้นที่ใกล้เคียงของจุด x \u003d 0, ต่อเนื่อง ณ จุดนี้ แต่ไม่มีอนุพันธ์ที่ x \u003d 0 แสดงว่าการมีอยู่ของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ โดยทั่วไปไม่เป็นไปตามความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดนี้อนุพันธ์ นอกจากนี้ยังมีฟังก์ชันที่ต่อเนื่องในทุกจุดของโดเมนของคำจำกัดความ แต่ไม่มีอนุพันธ์ที่จุดใดๆ ของโดเมนนี้

ในกรณีที่ฟังก์ชัน y \u003d f (x) ถูกกำหนดไว้เฉพาะทางด้านขวาหรือด้านซ้ายของจุด x เท่านั้น (ตัวอย่างเช่น เมื่อ x เป็นจุดขอบเขตของเซกเมนต์ที่ได้รับฟังก์ชันนี้) แนวคิดของอนุพันธ์ด้านซ้ายและขวาของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ถูกนำมาใช้ที่จุด x อนุพันธ์ทางขวาของฟังก์ชัน y \u003d f (x) ที่จุด x ถูกกำหนดเป็นลิมิต (2) โดยที่ Δx มีแนวโน้มเป็นศูนย์ เหลือค่าบวก และอนุพันธ์ทางซ้ายถูกกำหนดเป็นลิมิต (2) โดยที่ Δx มีแนวโน้มเป็นศูนย์ เหลือติดลบ ฟังก์ชัน y \u003d f (x) มีอนุพันธ์ที่จุด x ก็ต่อเมื่อมีอนุพันธ์ด้านซ้ายและขวาเท่ากัน ณ จุดนี้ ฟังก์ชันข้างต้น y = |x| มีอนุพันธ์ทางขวาเท่ากับ 1 ที่จุด x = 0 และอนุพันธ์ทางซ้ายเท่ากับ -1 และเนื่องจากอนุพันธ์ด้านซ้ายและขวาไม่เท่ากัน ฟังก์ชันนี้จึงไม่มีอนุพันธ์ที่จุด x = 0 ใน คลาสของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ ความแตกต่างของการดำเนินการเป็นแบบเส้นตรง เช่น (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) และ (αf(x))' = αf '(x) สำหรับจำนวนใด ๆ นอกจากนี้ กฎการแยกความแตกต่างต่อไปนี้ถือเป็นจริง:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานบางอย่างคือ:

α - ตัวเลขใด ๆ x > 0;

n = 0, ±1, ±2,

n = 0, ±1, ±2,

อนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานใดๆ ก็เป็นฟังก์ชันมูลฐานอีก

หากอนุพันธ์ f'(x) มีอนุพันธ์ที่จุดที่กำหนด x อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f'(x) จะเรียกว่าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน y = f(x) ที่จุด x และแสดงด้วยหนึ่งในสัญลักษณ์ f''(x ), y'', ÿ, d 2 f/dx 2 , d 2 y/dx 2 , D 2 f(x)

สำหรับจุดวัสดุที่เคลื่อนที่ไปตามแกน Oy ตามกฎ y \u003d f (x) อนุพันธ์อันดับสองคือความเร่งของจุดนี้ ณ เวลา x อนุพันธ์ของลำดับจำนวนเต็ม n ถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน แสดงด้วยสัญลักษณ์ f (n) (x), y (n) , d (n) f/dx (n) , d (n) y/dx (n) , D (n) ฉ (x).

ดิฟเฟอเรนเชียล. ฟังก์ชัน y \u003d f (x) โดเมนที่มีบางพื้นที่ใกล้เคียงของจุด x เรียกว่า differentiable ที่จุด x หากมีการเพิ่มขึ้น ณ จุดนี้ ซึ่งสอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ Δx กล่าวคือ ค่า Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) สามารถแสดงในรูปแบบและแสดงด้วยสัญลักษณ์ dy หรือ df(x) ในเชิงเรขาคณิตสำหรับค่าคงที่ของ x และการเพิ่มขึ้นที่เปลี่ยนแปลง Δx ค่าดิฟเฟอเรนเชียลเป็นการเพิ่มขึ้นในลำดับของแทนเจนต์ นั่นคือ ส่วน PM "(รูป) ดิฟเฟอเรนเชียล dy เป็นฟังก์ชันของทั้งจุด x และจุด เพิ่มขึ้น Δx ดิฟเฟอเรนเชียลเรียกว่าส่วนเชิงเส้นหลักของการเพิ่มฟังก์ชันเนื่องจากเมื่อค่าคงที่ x ขนาด dy เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของ Δх และผลต่าง Δу - dy นั้นน้อยมากเมื่อเทียบกับ Δх เป็น Δх → 0 สำหรับฟังก์ชัน f(х) = x ตามคำจำกัดความ dx = Δх นั่นคือ ดิฟเฟอเรนเชียลของ ตัวแปรอิสระ dx เกิดขึ้นพร้อมกับการเพิ่มขึ้น Δх ซึ่งช่วยให้นิพจน์สำหรับส่วนต่างสามารถเขียนใหม่เป็น dy=Adx

สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่ง แนวคิดของดิฟเฟอเรนเชียลนั้นสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับแนวคิดของอนุพันธ์: เพื่อให้ฟังก์ชัน y \u003d f (x) มีค่าดิฟเฟอเรนเชียลที่จุด x จำเป็นและเพียงพอแล้ว มีอนุพันธ์ จำกัด f '(x) ณ จุดนี้ในขณะที่ความเท่าเทียมกัน dy = f'(x)dx ความหมายที่มองเห็นได้ของข้อความนี้คือ แทนเจนต์ของเส้นโค้ง y \u003d f (x) ที่จุดที่มี abscissa x ไม่ได้เป็นเพียงตำแหน่งจำกัดของซีแคนต์ แต่ยังเป็นเส้นตรงซึ่งอยู่ในย่านเล็กๆ อย่างอนันต์ของ จุด x อยู่ติดกับเส้นโค้ง y \u003d f (x ) ใกล้กว่าเส้นตรงอื่นๆ ดังนั้น เสมอ A(x) = f'(x) และสัญกรณ์ dy/dx สามารถเข้าใจได้ไม่เพียงแต่เป็นสัญลักษณ์สำหรับอนุพันธ์ f'(x) แต่ยังเป็นอัตราส่วนของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันและอาร์กิวเมนต์ . โดยอาศัยอำนาจตามความเท่าเทียมกัน dy = f'(x)dx กฎสำหรับการค้นหาดิฟเฟอเรนเชียลจะปฏิบัติตามโดยตรงจากกฎที่เกี่ยวข้องสำหรับอนุพันธ์ ความแตกต่างของคำสั่งที่สองและสูงกว่าจะได้รับการพิจารณาด้วย

แอปพลิเคชั่น. แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์สร้างการเชื่อมต่อระหว่างคุณสมบัติของฟังก์ชัน f(x) และอนุพันธ์ (หรือดิฟเฟอเรนเชียล) ซึ่งเป็นเนื้อหาของทฤษฎีบทหลักของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ทฤษฎีบทเหล่านี้รวมถึงการยืนยันว่าจุดสุดขั้วของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิล f(x) ที่อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความนั้นอยู่ในรากของสมการ f'(x) = 0 และสูตรเพิ่มจำกัดที่ใช้บ่อย (สูตรลากรองจ์) f (b ) - f(a) = f'(ξ)(b - a) โดยที่ a<ξ0 ทำให้เกิดการเพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวดในฟังก์ชัน และเงื่อนไข f '' (x)\u003e 0 - ความนูนที่เข้มงวด นอกจากนี้ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ยังช่วยให้สามารถคำนวณขีดจำกัดของฟังก์ชันประเภทต่างๆ โดยเฉพาะขีดจำกัดของอัตราส่วนของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน ซึ่งเป็นค่าความไม่แน่นอนของรูปแบบ 0/0 หรือรูปแบบ ∞/∞ (ดูการเปิดเผยความไม่แน่นอน) . แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์สะดวกเป็นพิเศษสำหรับการศึกษาฟังก์ชันเบื้องต้นที่มีการเขียนอนุพันธ์ไว้อย่างชัดเจน

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัววิธีการของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ใช้เพื่อศึกษาฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว u = f(x, y) อนุพันธ์ย่อยบางส่วนเทียบกับ x ที่จุด M(x, y) คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เทียบกับ x สำหรับค่า y คงที่ ซึ่งกำหนดเป็น

และแสดงด้วยหนึ่งในสัญลักษณ์ f'(x)(x,y), u'(x), ∂u/∂x หรือ ∂f(x,y)'/∂x อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชัน u = f(x,y) เทียบกับ y ถูกกำหนดและแสดงในลักษณะเดียวกัน ค่า Δu \u003d f (x + Δx, y + Δy) - f (x, y) เรียกว่าการเพิ่มขึ้นทั้งหมดของฟังก์ชันและที่จุด M (x, y) หากค่านี้สามารถแสดงเป็น

โดยที่ A และ B ไม่ขึ้นอยู่กับ Δх และ Δу และ α มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ที่

จากนั้นฟังก์ชัน u = f(x, y) เรียกว่าดิฟเฟอเรนติเอเบิลที่จุด M(x, y) ผลรวม AΔx + BΔy เรียกว่าผลต่างทั้งหมดของฟังก์ชัน u = f(x, y) ที่จุด M(x, y) และแสดงด้วยสัญลักษณ์ du เนื่องจาก A \u003d f’x (x, y), B \u003d f’y (x, y) และการเพิ่มขึ้น Δx และ Δy สามารถนำมาเท่ากับค่าดิฟเฟอเรนเชียล dx และ dy ค่าดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมดสามารถเขียนได้เป็น

ในเชิงเรขาคณิต อนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว u = f(x, y) ที่จุดที่กำหนด M (x, y) หมายความว่ากราฟของฟังก์ชันนั้นอยู่ที่จุดนี้ของระนาบแทนเจนต์ และดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันนี้คือส่วนที่เพิ่มขึ้น ของการใช้จุดของระนาบสัมผัสที่สอดคล้องกับตัวแปรอิสระที่เพิ่มขึ้น dx และ dy สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว แนวคิดของดิฟเฟอเรนเชียลมีความสำคัญและเป็นธรรมชาติมากกว่าแนวคิดของอนุพันธ์ย่อยบางส่วน ตรงกันข้ามกับฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว u = f(x, y) ที่จะหาอนุพันธ์ได้ที่จุดที่กำหนด M(x, y) จะไม่เพียงพอที่อนุพันธ์บางส่วนจำกัด f'x( x, y) และ f' y(x, y) เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับฟังก์ชัน u = f(x, y) ที่จะหาอนุพันธ์ได้ที่จุด M(x, y) คือการมีอยู่ของอนุพันธ์ย่อยบางส่วนที่แน่นอน f'x(x, y) และ f'y(x, y) และพุ่งไปที่ศูนย์ที่

ปริมาณ

ตัวเศษของปริมาณนี้ได้มาจากการเพิ่มค่าของฟังก์ชัน f(x, y) ก่อน ซึ่งสอดคล้องกับการเพิ่มขึ้น Δx ของอาร์กิวเมนต์แรก จากนั้นจึงนำผลต่างที่ได้ f(x + Δx, y) มาเพิ่ม - f(x, y) สอดคล้องกับการเพิ่มขึ้น Δy ของอาร์กิวเมนต์ที่สอง เงื่อนไขที่เพียงพออย่างง่ายสำหรับความสามารถในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน u = f(x, y) ณ จุด M(x, y) คือการมีอยู่ของอนุพันธ์ย่อยบางส่วนอย่างต่อเนื่อง f'x(x, y) และ f'y(x, y) ) ณ จุดนี้.

อนุพันธ์บางส่วนของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้นมีการกำหนดในทำนองเดียวกัน อนุพันธ์บางส่วน ∂ 2 f/∂х 2 และ ∂ 2 f/∂у 2 ซึ่งทั้งสองส่วนต่างดำเนินการในตัวแปรเดียวเรียกว่าบริสุทธิ์และอนุพันธ์บางส่วน ∂ 2 f/∂х∂у และ ∂ 2 f/∂ у∂х - ผสม ทุกจุดที่อนุพันธ์ย่อยแบบผสมทั้งสองมีความต่อเนื่องกัน พวกมันจะเท่ากัน คำจำกัดความและสัญกรณ์เหล่านี้มีผลกับกรณีของตัวแปรจำนวนมาก

เค้าโครงประวัติศาสตร์. ปัญหาการแยกกันของการกำหนดแทนเจนต์ของเส้นโค้งและการค้นหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของตัวแปรได้รับการแก้ไขโดยนักคณิตศาสตร์ของกรีกโบราณ ตัวอย่างเช่น พบวิธีการสร้างแทนเจนต์ส่วนรูปกรวยและส่วนโค้งอื่นๆ อย่างไรก็ตาม วิธีการที่พัฒนาขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ในสมัยโบราณนั้นยังห่างไกลจากแนวคิดของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ และสามารถนำไปใช้ได้เฉพาะในกรณีพิเศษเท่านั้น กลางศตวรรษที่ 17 เป็นที่ชัดเจนว่าปัญหาหลายอย่างที่กล่าวถึงไปพร้อมกับปัญหาอื่นๆ (เช่น ปัญหาการกำหนดความเร็วในทันที) สามารถแก้ไขได้โดยใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์เดียวกัน โดยใช้อนุพันธ์และดิฟเฟอเรนเชียล ราวปี ค.ศ. 1666 I. Newton ได้พัฒนาวิธีการของฟลักซ์ (ดู แคลคูลัสฟลักซ์) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง นิวตันได้พิจารณาปัญหาทางกลศาสตร์สองประการ: ปัญหาในการกำหนดความเร็วเคลื่อนที่ชั่วขณะจากการพึ่งพาเส้นทางตรงเวลา และปัญหาในการกำหนดเส้นทางที่เดินทางในเวลาที่กำหนดจากความเร็วชั่วขณะที่ทราบ นิวตันเรียกว่าฟังก์ชันต่อเนื่องของเวลาที่ไหลลื่นและอัตราการเปลี่ยนแปลง - ความผันผวน ดังนั้น แนวคิดหลักของนิวตันคืออนุพันธ์ (ฟลักซ์ชัน) และอนันต์ อินทิกรัล(คล่องแคล่ว). เขาพยายามยืนยันวิธีการฟลักซ์ชั่นด้วยความช่วยเหลือของทฤษฎีลิมิต ซึ่งในขณะนั้นยังด้อยพัฒนา

ในช่วงกลางทศวรรษ 1670 G.W. Leibniz ได้พัฒนาอัลกอริธึมที่สะดวกสำหรับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ แนวคิดพื้นฐานของไลบนิซคือดิฟเฟอเรนเชียลที่เป็นการเพิ่มขึ้นเพียงเล็กน้อยของฟังก์ชันและอินทิกรัลที่แน่นอนเป็นผลรวมของดิฟเฟอเรนเชียลจำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุด เขาแนะนำสัญกรณ์ของดิฟเฟอเรนเชียลและอินทิกรัล คำว่า "แคลคูลัสดิฟเฟอเรนเชียล" ได้รับกฎจำนวนหนึ่งสำหรับการสร้างความแตกต่าง และเสนอสัญลักษณ์ที่สะดวก การพัฒนาต่อไปของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ในศตวรรษที่ 17 ดำเนินไปตามเส้นทางที่ไลบนิซร่างไว้เป็นส่วนใหญ่ ผลงานของ J. และ I. Bernoulli, B. Taylor และคนอื่นๆ มีบทบาทสำคัญในขั้นตอนนี้

ขั้นตอนต่อไปในการพัฒนาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เกี่ยวข้องกับงานของ L. Euler และ J. Lagrange (ศตวรรษที่ 18) ออยเลอร์เริ่มนำเสนอแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เป็นสาขาการวิเคราะห์ โดยไม่ขึ้นกับเรขาคณิตและกลศาสตร์ เขาใช้อนุพันธ์เป็นแนวคิดพื้นฐานของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์อีกครั้ง ลากรองจ์พยายามสร้างดิฟเฟอเรนเชียลแคลคูลัสเชิงพีชคณิต โดยใช้การขยายฟังก์ชันเป็นอนุกรมกำลัง เขาแนะนำคำว่า "อนุพันธ์" และการกำหนด y' และ f'(x) ในตอนต้นของศตวรรษที่ 19 ปัญหาในการพิสูจน์แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์บนพื้นฐานของทฤษฎีขีดจำกัดได้รับการแก้ไขโดยทั่วไป ส่วนใหญ่ต้องขอบคุณงานของ O. Cauchy, B. Bolzano และ C. Gauss ลึก การวิเคราะห์แนวคิดเบื้องต้นของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์สัมพันธ์กับการพัฒนาทฤษฎีเซตและทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรจริงในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 - ต้นศตวรรษที่ 20

Lit.: ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์: ใน 3 เล่ม M. , 1970-1972; Rybnikov K. A. ประวัติของคณิตศาสตร์. ฉบับที่ 2 ม., 1974; Nikolsky S. M. หลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ฉบับที่ 6 M. , 2001: Zorich V. A. การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์: ในส่วนที่ 2 ของการแก้ไขครั้งที่ 4 ม., 2545; Kudryavtsev L.D. หลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์: ใน 3 เล่ม, 5th ed. ม., 2546-2549; Fikhtengol'ts G. M. หลักสูตรของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์: ใน 3 เล่ม 8th ed. ม., 2546-2549; Ilyin V. A. , Poznyak E. G. พื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ฉบับที่ 7 ม., 2547. ส่วนที่ 1 ฉบับที่ 5. ม., 2547. ตอนที่ 2; Ilyin V. A. , Sadovnichiy V. A. , Sendov Bl. X. การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์. ฉบับที่ 3 ม., 2547. ตอนที่ 1. ครั้งที่ 2. ม., 2547. ตอนที่ 2; Ilyin V. A. , Kurkina L. V. คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น ฉบับที่ 2 ม., 2548.

แคลคูลัสเป็นสาขาหนึ่งของแคลคูลัสที่ศึกษาอนุพันธ์ ดิฟเฟอเรนเชียล และการใช้งานในการศึกษาฟังก์ชัน

ประวัติการปรากฏตัว

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์กลายเป็นระเบียบวินัยอิสระในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 17 ต้องขอบคุณงานของนิวตันและไลบนิซ ผู้สร้างบทบัญญัติพื้นฐานในแคลคูลัสของดิฟเฟอเรนเชียล และสังเกตเห็นความเชื่อมโยงระหว่างการบูรณาการและการสร้างความแตกต่าง ตั้งแต่นั้นมา วินัยได้พัฒนาไปพร้อมกับแคลคูลัสของปริพันธ์ จึงเป็นพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ การปรากฏตัวของแคลคูลัสเหล่านี้ได้เปิดศักราชใหม่ในโลกคณิตศาสตร์และทำให้เกิดสาขาใหม่ในวิทยาศาสตร์ นอกจากนี้ยังขยายความเป็นไปได้ของการประยุกต์ใช้วิทยาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ในวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีธรรมชาติ

แนวคิดพื้นฐาน

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์อยู่บนพื้นฐานของแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์ ได้แก่ ความต่อเนื่อง การทำงาน และขีดจำกัด หลังจากนั้นไม่นาน พวกเขาก็เปลี่ยนรูปลักษณ์ใหม่ด้วยแคลคูลัสอินทิกรัลและดิฟเฟอเรนเชียล

กระบวนการสร้าง

การก่อตัวของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบของการประยุกต์และจากนั้นวิธีการทางวิทยาศาสตร์เกิดขึ้นก่อนการเกิดขึ้นของทฤษฎีปรัชญาซึ่งถูกสร้างขึ้นโดยนิโคลัสแห่งคูซา ผลงานของเขาถือเป็นการพัฒนาเชิงวิวัฒนาการจากการตัดสินของวิทยาศาสตร์โบราณ แม้ว่าที่จริงแล้วปราชญ์เองจะไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ แต่การมีส่วนร่วมในการพัฒนาวิทยาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ของเขานั้นไม่อาจปฏิเสธได้ Kuzansky เป็นหนึ่งในคนกลุ่มแรกๆ ที่ปล่อยให้การพิจารณาเลขคณิตเป็นสาขาวิทยาศาสตร์ที่แม่นยำที่สุด ทำให้คณิตศาสตร์ในยุคนั้นเกิดความสงสัย

สำหรับนักคณิตศาสตร์โบราณ หน่วยนี้เป็นเกณฑ์สากล ในขณะที่ปราชญ์เสนออินฟินิตี้เป็นหน่วยวัดใหม่แทนที่จะเป็นจำนวนที่แน่นอน ในเรื่องนี้ การแทนค่าความแม่นยำในวิชาคณิตศาสตร์จะกลับด้าน ความรู้ทางวิทยาศาสตร์ตามเขาแบ่งออกเป็นเหตุผลและสติปัญญา นักวิทยาศาสตร์กล่าวว่าข้อที่สองมีความแม่นยำมากขึ้นเนื่องจากครั้งแรกให้ผลลัพธ์โดยประมาณเท่านั้น

ความคิด

แนวคิดหลักและแนวคิดในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์สัมพันธ์กับฟังก์ชันในย่านเล็กๆ ในบางจุด ในการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องสร้างเครื่องมือทางคณิตศาสตร์เพื่อศึกษาฟังก์ชันที่มีพฤติกรรมในละแวกใกล้เคียงเล็กๆ ของจุดที่กำหนด ซึ่งใกล้เคียงกับพฤติกรรมของฟังก์ชันพหุนามหรือฟังก์ชันเชิงเส้น ขึ้นอยู่กับนิยามของอนุพันธ์และดิฟเฟอเรนเชียล

ลักษณะที่ปรากฏเกิดจากปัญหาจำนวนมากจากวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและคณิตศาสตร์ซึ่งนำไปสู่การหาค่าของขีด จำกัด ของประเภทเดียวกัน

งานหลักอย่างหนึ่งที่ให้ไว้เป็นตัวอย่าง เริ่มตั้งแต่มัธยมปลาย คือ การกำหนดความเร็วของการเคลื่อนที่ของจุดตามแนวเส้นตรงและสร้างเส้นสัมผัสเส้นโค้งนี้ ดิฟเฟอเรนเชียลสัมพันธ์กับสิ่งนี้ เนื่องจากมันเป็นไปได้ที่จะประมาณฟังก์ชันในย่านเล็กๆ ของจุดที่พิจารณาของฟังก์ชันเชิงเส้น

เมื่อเทียบกับแนวคิดของอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรจริง คำจำกัดความของดิฟเฟอเรนเชียลเพียงส่งผ่านไปยังฟังก์ชันของลักษณะทั่วไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การแทนพื้นที่แบบยุคลิดหนึ่งไปยังอีกพื้นที่หนึ่ง

อนุพันธ์

ให้จุดเคลื่อนที่ไปในทิศทางของแกน Oy ในช่วงเวลาที่เราหาค่า x ซึ่งนับจากจุดเริ่มต้นช่วงเวลาหนึ่ง การเคลื่อนไหวดังกล่าวสามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชัน y=f(x) ซึ่งกำหนดให้กับแต่ละช่วงเวลา x ของพิกัดของจุดที่กำลังเคลื่อนที่ ในกลศาสตร์ ฟังก์ชันนี้เรียกว่ากฎการเคลื่อนที่ ลักษณะสำคัญของการเคลื่อนไหว โดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่สม่ำเสมอ คือ เมื่อจุดเคลื่อนที่ไปตามแกน Oy ตามกฎของกลไก จากนั้นในช่วงเวลาสุ่ม x ก็จะได้พิกัด f (x) ในช่วงเวลา x + Δx โดยที่ Δx แสดงถึงการเพิ่มขึ้นของเวลา พิกัดของมันคือ f(x + Δx) นี่คือวิธีสร้างสูตร Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) ซึ่งเรียกว่าการเพิ่มของฟังก์ชัน มันแสดงถึงเส้นทางที่เดินทางโดยจุดในเวลาจาก x ถึง x + Δx

ในการเชื่อมต่อกับการเกิดขึ้นของความเร็วนี้ในช่วงเวลาหนึ่ง อนุพันธ์จะถูกนำมาใช้ ในฟังก์ชันตามอำเภอใจ อนุพันธ์ที่จุดคงที่เรียกว่าลิมิต (โดยมีเงื่อนไขว่ามีอยู่) สามารถกำหนดได้ด้วยสัญลักษณ์บางอย่าง:

f'(x), y', ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

กระบวนการคำนวณอนุพันธ์เรียกว่าดิฟเฟอเรนติเอชัน

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

วิธีการคำนวณนี้ใช้ในการศึกษาฟังก์ชันที่มีตัวแปรหลายตัว เมื่อมีตัวแปร x และ y สองตัว อนุพันธ์ย่อยเทียบกับ x ที่จุด A เรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เทียบกับ x ที่มีค่า y คงที่

สามารถแสดงด้วยสัญลักษณ์ต่อไปนี้:

f'(x)(x,y), u'(x), ∂u/∂x หรือ ∂f(x,y)'/∂x

ทักษะที่จำเป็น

หากต้องการประสบความสำเร็จในการศึกษาและสามารถแก้ปัญหาการแพร่กระจายได้ จำเป็นต้องมีทักษะในการบูรณาการและการสร้างความแตกต่าง เพื่อให้เข้าใจสมการอนุพันธ์ได้ง่ายขึ้น คุณควรมีความเข้าใจที่ดีเกี่ยวกับหัวข้อของอนุพันธ์ และไม่ต้องเจ็บที่จะเรียนรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ให้โดยนัย เนื่องจากในกระบวนการศึกษามักจะจำเป็นต้องใช้อินทิกรัลและดิฟเฟอเรนติเอชัน

ประเภทของสมการเชิงอนุพันธ์

ในการทดสอบเกือบทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับสมการมี 3 ประเภท: เอกพันธ์ กับตัวแปรที่แยกออกได้ สมการเชิงเส้นไม่เท่ากัน

นอกจากนี้ยังมีสมการที่หาได้ยากกว่า เช่น ค่าอนุพันธ์รวม สมการเบอร์นูลลี และอื่นๆ

พื้นฐานการแก้ปัญหา

ก่อนอื่นคุณต้องจำสมการพีชคณิตจากหลักสูตรของโรงเรียน ประกอบด้วยตัวแปรและตัวเลข ในการแก้สมการธรรมดา คุณต้องหาชุดของตัวเลขที่ตรงตามเงื่อนไขที่กำหนด ตามกฎแล้ว สมการดังกล่าวมีหนึ่งรูท และเพื่อตรวจสอบความถูกต้อง สมการดังกล่าวมีเพียงการแทนที่ค่านี้กับค่าที่ไม่รู้จัก

สมการอนุพันธ์จะคล้ายกับสิ่งนี้ โดยทั่วไป สมการลำดับที่หนึ่งดังกล่าวประกอบด้วย:

• ตัวแปรอิสระ
• อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่หนึ่ง
• ฟังก์ชันหรือตัวแปรตาม

ในบางกรณี ค่าที่ไม่ทราบค่า x หรือ y ตัวใดตัวหนึ่งอาจหายไป แต่สิ่งนี้ไม่สำคัญนัก เนื่องจากการมีอยู่ของอนุพันธ์อันดับ 1 โดยไม่มีอนุพันธ์อันดับสูงกว่า จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาและแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ให้ถูกต้อง

การแก้สมการอนุพันธ์หมายถึงการหาชุดของฟังก์ชันทั้งหมดที่ตรงกับนิพจน์ที่กำหนด ชุดของฟังก์ชันดังกล่าวมักเรียกว่าคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์

แคลคูลัสปริพันธ์

แคลคูลัสเชิงปริพันธ์เป็นหนึ่งในสาขาของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาแนวคิดของปริพันธ์ คุณสมบัติ และวิธีการสำหรับการคำนวณ

บ่อยครั้งที่การคำนวณอินทิกรัลเกิดขึ้นเมื่อคำนวณพื้นที่ของรูปโค้ง พื้นที่นี้หมายถึงขีด จำกัด ที่พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่จารึกไว้ในรูปที่กำหนดมีแนวโน้มเพิ่มขึ้นทีละน้อยในด้านของมันในขณะที่ด้านเหล่านี้อาจน้อยกว่าค่าเล็กน้อยตามอำเภอใจที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้

แนวคิดหลักในการคำนวณพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตโดยพลการคือการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้านั่นคือเพื่อพิสูจน์ว่าพื้นที่นั้นเท่ากับผลคูณของความยาวและความกว้าง เมื่อพูดถึงเรขาคณิต โครงสร้างทั้งหมดถูกสร้างขึ้นโดยใช้ไม้บรรทัดและเข็มทิศ จากนั้นอัตราส่วนของความยาวต่อความกว้างจะเป็นค่าตรรกยะ เมื่อคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณสามารถระบุได้ว่าหากคุณวางสามเหลี่ยมเดียวกันไว้ข้างๆ ก็จะเกิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขึ้น ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน พื้นที่คำนวณโดยวิธีที่คล้ายกัน แต่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อย ผ่านรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและสามเหลี่ยม ในรูปหลายเหลี่ยม พื้นที่คำนวณผ่านสามเหลี่ยมที่รวมอยู่ในนั้น

เมื่อกำหนดความปราณีของเส้นโค้งตามอำเภอใจ วิธีนี้จะไม่ทำงาน หากคุณแบ่งมันออกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดียวก็จะมีที่ที่ไม่ได้บรรจุ ในกรณีนี้ หนึ่งพยายามใช้สองปก โดยมีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ด้านบนและด้านล่าง ดังนั้นจึงรวมกราฟของฟังก์ชันและไม่ใช้ วิธีการแบ่งพาร์ติชั่นเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเหล่านี้ยังคงมีความสำคัญที่นี่ นอกจากนี้ หากเราใช้ส่วนที่ลดลงมากขึ้น พื้นที่ด้านบนและด้านล่างจะต้องมาบรรจบกันที่ค่าหนึ่ง

คุณควรกลับไปที่วิธีการแบ่งเป็นสี่เหลี่ยม มีสองวิธีที่นิยม

Riemann กำหนดคำจำกัดความของอินทิกรัลที่สร้างขึ้นโดย Leibniz และ Newton เป็นพื้นที่ของกราฟย่อย ในกรณีนี้ จะพิจารณาตัวเลขซึ่งประกอบด้วยสี่เหลี่ยมแนวตั้งจำนวนหนึ่งและได้มาจากการแบ่งส่วน เมื่อพาร์ติชั่นลดลง มีขีดจำกัดที่พื้นที่ของตัวเลขที่คล้ายกันลดลง ขีดจำกัดนี้เรียกว่าอินทิกรัลรีมันน์ของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนด

วิธีที่สองคือการสร้างอินทิกรัล Lebesgue ซึ่งประกอบด้วยความจริงที่ว่าสำหรับสถานที่แบ่งภูมิภาคที่กำหนดออกเป็นส่วน ๆ ของอินทิกรัลแล้วรวบรวมผลรวมอินทิกรัลจากค่าที่ได้รับในส่วนเหล่านี้ช่วงของค่า ​​ถูกแบ่งออกเป็นช่วง ๆ แล้วจึงรวมเข้ากับการวัดที่สอดคล้องกันของภาพผกผันของอินทิกรัลเหล่านี้

ประโยชน์สมัยใหม่

หนึ่งในคู่มือหลักสำหรับการศึกษาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์เขียนโดย Fikhtengolts - "หลักสูตรของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์" หนังสือเรียนของเขาเป็นแนวทางพื้นฐานในการศึกษาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งได้ผ่านรุ่นต่างๆ และการแปลเป็นภาษาอื่นๆ มามากมาย สร้างขึ้นสำหรับนักศึกษามหาวิทยาลัยและมีการใช้ในสถาบันการศึกษาหลายแห่งมาอย่างยาวนานในฐานะหนึ่งในสื่อช่วยในการศึกษาหลัก ให้ข้อมูลเชิงทฤษฎีและทักษะการปฏิบัติ ตีพิมพ์ครั้งแรกในปี พ.ศ. 2491

อัลกอริทึมการวิจัยฟังก์ชัน

ในการตรวจสอบฟังก์ชันโดยวิธีแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ จำเป็นต้องปฏิบัติตามอัลกอริธึมที่ให้ไว้แล้ว:

1. ค้นหาขอบเขตของฟังก์ชัน
2. หารากของสมการที่กำหนด
3. คำนวณสุดขั้ว เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คำนวณอนุพันธ์และจุดที่เท่ากับศูนย์
4. แทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการ

ความหลากหลายของสมการเชิงอนุพันธ์

DE ของลำดับแรก (มิฉะนั้น แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ของตัวแปรหนึ่งตัว) และประเภท:

• สมการตัวแปรแยกจากกัน: f(y)dy=g(x)dx
• สมการที่ง่ายที่สุดหรือแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยมีสูตรคือ y"=f(x)
• DE ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้นของลำดับแรก: y"+P(x)y=Q(x)
• สมการอนุพันธ์ของเบอร์นูลลี: y"+P(x)y=Q(x)y a
• สมการที่มีค่าส่วนต่างทั้งหมด: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองและประเภท:

• สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สองที่มีค่าคงที่ของสัมประสิทธิ์: y n +py"+qy=0 p, q เป็นของ R
• สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นตรงของลำดับที่สองที่มีค่าคงที่ของสัมประสิทธิ์: y n +py"+qy=f(x)
• สมการอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น: y n +p(x)y"+q(x)y=0 และสมการลำดับที่สองที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน: y n +p(x)y"+q(x)y=f(x)

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสูงและประเภท:

• สมการเชิงอนุพันธ์ช่วยให้ลำดับที่ต่ำกว่า: F(x,y (k) ,y (k+1) ,..,y (n) =0.
• สมการเชิงเส้นของลำดับที่สูงกว่านั้นเป็นเนื้อเดียวกัน: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=0และไม่เป็นเนื้อเดียวกัน: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=f(x).

ขั้นตอนการแก้ปัญหาด้วยสมการเชิงอนุพันธ์

ด้วยความช่วยเหลือของรีโมทคอนโทรล ไม่เพียงแต่จะแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์หรือทางกายภาพเท่านั้น แต่ยังแก้ปัญหาต่างๆ จากชีววิทยา เศรษฐศาสตร์ สังคมวิทยา และเรื่องอื่นๆ ด้วย แม้จะมีหัวข้อที่หลากหลาย แต่ก็ควรยึดตามลำดับตรรกะเดียวเมื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าว:

1. ประมวลภาพ มธ. ขั้นตอนที่ยากที่สุดขั้นตอนหนึ่งที่ต้องใช้ความแม่นยำสูงสุด เนื่องจากความผิดพลาดใดๆ จะทำให้ผลลัพธ์ผิดพลาดโดยสิ้นเชิง ควรคำนึงถึงปัจจัยทั้งหมดที่มีอิทธิพลต่อกระบวนการและควรกำหนดเงื่อนไขเบื้องต้น นอกจากนี้ยังควรอยู่บนพื้นฐานของข้อเท็จจริงและข้อสรุปเชิงตรรกะ
2. แก้สมการสูตร กระบวนการนี้ง่ายกว่าจุดแรก เนื่องจากต้องใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดเท่านั้น
3. การวิเคราะห์และประเมินผลที่ได้รับ โซลูชันที่ได้รับควรได้รับการประเมินเพื่อสร้างมูลค่าเชิงปฏิบัติและเชิงทฤษฎีของผลลัพธ์

ตัวอย่างการใช้สมการเชิงอนุพันธ์ในการแพทย์

การใช้รีโมทคอนโทรลในด้านการแพทย์เกิดขึ้นเมื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ทางระบาดวิทยา ในเวลาเดียวกัน ไม่ควรลืมว่าสมการเหล่านี้ยังพบได้ในชีววิทยาและเคมี ซึ่งใกล้เคียงกับการแพทย์ เนื่องจากการศึกษาประชากรทางชีววิทยาต่างๆ และกระบวนการทางเคมีในร่างกายมนุษย์มีบทบาทสำคัญ

ในตัวอย่างข้างต้นของการแพร่ระบาด เราสามารถพิจารณาการแพร่กระจายของการติดเชื้อในสังคมที่โดดเดี่ยว ผู้อยู่อาศัยแบ่งออกเป็นสามประเภท:

• ติดเชื้อ จำนวน x(t) ประกอบด้วยบุคคล พาหะของการติดเชื้อ ซึ่งแต่ละโรคติดต่อได้ (ระยะฟักตัวสั้น)
• สายพันธุ์ที่สองรวมถึงบุคคลที่อ่อนแอ y (t) ที่สามารถติดเชื้อได้จากการสัมผัสกับบุคคลที่ติดเชื้อ
• สายพันธุ์ที่สามรวมถึงบุคคลที่มีภูมิคุ้มกัน z(t) ซึ่งมีภูมิคุ้มกันหรือเสียชีวิตเนื่องจากโรค

จำนวนปัจเจกบุคคลจะคงที่ ไม่คำนึงถึงการเกิด การตายตามธรรมชาติ และการย้ายถิ่น มันจะตั้งอยู่บนสมมติฐานสองข้อ

เปอร์เซ็นต์ของอุบัติการณ์ ณ จุดเวลาหนึ่งเท่ากับ x(t)y(t) (ขึ้นอยู่กับสมมติฐานว่าจำนวนกรณีเป็นสัดส่วนกับจำนวนทางแยกระหว่างผู้ป่วยและผู้อ่อนแอ ซึ่งในการประมาณครั้งแรกจะเป็น สัดส่วนกับ x(t)y(t)) ใน ดังนั้นจำนวนผู้ป่วยเพิ่มขึ้น และจำนวนผู้ป่วยอ่อนแอลดลงในอัตราที่คำนวณโดยสูตร ax(t)y(t) (a > 0 ).

จำนวนบุคคลที่มีภูมิคุ้มกันที่ได้รับภูมิคุ้มกันหรือเสียชีวิตเพิ่มขึ้นในอัตราที่เป็นสัดส่วนกับจำนวนผู้ป่วย bx(t) (b > 0)

ด้วยเหตุนี้ จึงเป็นไปได้ที่จะสร้างระบบสมการโดยคำนึงถึงตัวบ่งชี้ทั้งสามตัวและสรุปผลตามนั้น

ตัวอย่างการใช้ในทางเศรษฐศาสตร์

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์มักใช้ในการวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์ งานหลักในการวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์คือการศึกษาปริมาณจากระบบเศรษฐกิจ ซึ่งเขียนในรูปของฟังก์ชัน ใช้เมื่อแก้ไขปัญหา เช่น การเปลี่ยนแปลงของรายได้ทันทีหลังจากการเพิ่มภาษี การแนะนำหน้าที่ การเปลี่ยนแปลงในรายได้ของบริษัทเมื่อต้นทุนการผลิตเปลี่ยนแปลง พนักงานที่เกษียณอายุสามารถทดแทนอุปกรณ์ใหม่ได้ในสัดส่วนเท่าใด เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว จำเป็นต้องสร้างฟังก์ชันการเชื่อมต่อจากตัวแปรอินพุต ซึ่งจะทำการศึกษาโดยใช้แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์

ในด้านเศรษฐกิจ มักจำเป็นต้องค้นหาตัวบ่งชี้ที่เหมาะสมที่สุด ได้แก่ ผลิตภาพแรงงานสูงสุด รายได้สูงสุด ต้นทุนต่ำสุด และอื่นๆ ตัวบ่งชี้แต่ละตัวนั้นเป็นหน้าที่ของอาร์กิวเมนต์ตั้งแต่หนึ่งข้อขึ้นไป ตัวอย่างเช่น การผลิตสามารถมองได้ว่าเป็นหน้าที่ของแรงงานและปัจจัยการผลิต ในเรื่องนี้ การหาค่าที่เหมาะสมสามารถลดลงเป็นการหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันจากตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป

ปัญหาประเภทนี้สร้างกลุ่มของปัญหาสุดโต่งในสาขาเศรษฐศาสตร์ ซึ่งการแก้ปัญหานั้นต้องใช้แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ เมื่อตัวบ่งชี้ทางเศรษฐกิจจำเป็นต้องย่อหรือขยายให้ใหญ่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวบ่งชี้อื่น จากนั้นที่จุดสูงสุด อัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชันต่ออาร์กิวเมนต์จะมีแนวโน้มเป็นศูนย์หากการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์ มิฉะนั้น เมื่ออัตราส่วนดังกล่าวมีแนวโน้มเป็นค่าบวกหรือค่าลบ จุดที่ระบุไม่เหมาะสม เนื่องจากการเพิ่มหรือลดอาร์กิวเมนต์ คุณสามารถเปลี่ยนค่าที่ขึ้นต่อกันในทิศทางที่ต้องการได้ ในศัพท์เฉพาะของดิฟเฟอเรนเชียลแคลคูลัส นี่จะหมายความว่าเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับค่าสูงสุดของฟังก์ชันคือค่าศูนย์ของอนุพันธ์

ในทางเศรษฐศาสตร์ มักมีภารกิจในการค้นหาส่วนปลายของฟังก์ชันที่มีตัวแปรหลายตัว เนื่องจากตัวชี้วัดทางเศรษฐกิจประกอบด้วยปัจจัยหลายอย่าง คำถามดังกล่าวได้รับการศึกษาอย่างดีในทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวโดยใช้วิธีการคำนวณเชิงอนุพันธ์ ปัญหาดังกล่าวไม่เพียงแต่รวมถึงฟังก์ชันขยายใหญ่สุดและย่อเล็กสุดเท่านั้น แต่ยังรวมถึงข้อจำกัดด้วย คำถามดังกล่าวเกี่ยวข้องกับการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ และพวกเขาได้รับการแก้ไขด้วยความช่วยเหลือของวิธีการที่พัฒนาขึ้นเป็นพิเศษ ซึ่งขึ้นอยู่กับสาขาวิทยาศาสตร์นี้ด้วย

ในบรรดาวิธีการของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ที่ใช้ในเศรษฐศาสตร์ ส่วนที่สำคัญคือการวิเคราะห์ส่วนเพิ่ม ในด้านเศรษฐกิจ คำนี้หมายถึงชุดของวิธีการศึกษาตัวบ่งชี้ตัวแปรและผลลัพธ์เมื่อเปลี่ยนปริมาณการสร้าง การบริโภค โดยอิงจากการวิเคราะห์ตัวบ่งชี้ส่วนเพิ่ม ตัวบ่งชี้การจำกัดคืออนุพันธ์หรืออนุพันธ์บางส่วนที่มีตัวแปรหลายตัว

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ของตัวแปรหลายตัวเป็นหัวข้อที่สำคัญในด้านการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ สำหรับการศึกษาอย่างละเอียด คุณสามารถใช้หนังสือเรียนที่หลากหลายเพื่อการศึกษาระดับอุดมศึกษา หนึ่งในที่มีชื่อเสียงที่สุดถูกสร้างขึ้นโดย Fikhtengolts - "หลักสูตรของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์" ตามชื่อที่บ่งบอก ทักษะในการทำงานกับปริพันธ์มีความสำคัญมากสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ เมื่อแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งเกิดขึ้น การแก้ปัญหาจะง่ายขึ้น แม้ว่าควรสังเกต แต่ก็เป็นไปตามกฎพื้นฐานเดียวกัน เพื่อที่จะศึกษาฟังก์ชันในทางปฏิบัติด้วยดิฟเฟอเรนเชียลแคลคูลัส ก็เพียงพอแล้วที่จะทำตามอัลกอริธึมที่มีอยู่แล้ว ซึ่งได้รับในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายและซับซ้อนเพียงเล็กน้อยเมื่อมีการแนะนำตัวแปรใหม่