สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีการหน่วงเวลาคงที่ สถานะสมการของวัตถุไดนามิกที่มีความล่าช้า

ปัญหาสำหรับสมการที่มีความล่าช้า พิจารณาปัญหาการแปรผันที่ตัวควบคุมกำหนดวิถีเฟสของระบบโดยปัญหา Cauchy สำหรับสมการที่มีการหน่วงเวลา

ในวรรณกรรม ระบบดังกล่าวมักถูกเรียกว่าระบบสมการพร้อมกัน หมายความว่าในที่นี้ ตัวแปรตามของสมการหนึ่งสามารถปรากฏพร้อมกันเป็นตัวแปร (แต่เป็นตัวแปรอิสระอยู่แล้ว) ในสมการอื่นๆ หนึ่งสมการหรือมากกว่านั้น ในกรณีนี้ ความแตกต่างแบบดั้งเดิมระหว่างตัวแปรตามและตัวแปรอิสระจะสูญเสียความหมายไป แต่มีการสร้างความแตกต่างระหว่างตัวแปรสองชนิด ประการแรกคือตัวแปรตามร่วมกัน (ภายนอก) อิทธิพลที่ต้องมีการตรวจสอบซึ่งกันและกัน (เมทริกซ์ A ในเทอม Ay t) ของระบบสมการข้างต้น) ประการที่สอง ตัวแปรที่กำหนดไว้ล่วงหน้าซึ่งควรจะมีอิทธิพลต่อตัวแปรแรก แต่ไม่ได้รับผลกระทบจากตัวแปรเหล่านั้น คือตัวแปรล่าช้า เช่น ความล่าช้า (ระยะที่สอง) และตัวแปรภายนอกที่กำหนดไว้นอกระบบสมการที่กำหนด

อย่างไรก็ตาม สำหรับสมการที่มีความล่าช้าประเภททั่วไปและข้อมูลจำเพาะที่เหลือไม่มากก็น้อย ยังไม่มีผลลัพธ์ที่เชื่อถือได้เพียงพอเกี่ยวกับคุณสมบัติของการประมาณ ดังนั้น ค่าประมาณสำหรับสมการถดถอยที่มีรูปแบบโพลิโนเมียลแล็กทั่วไปจึงมีเฉพาะคุณสมบัติความสอดคล้อง และการประมาณค่าสำหรับสมการที่มีตัวแปรภายนอกและภายในที่ล้าหลังซึ่งได้รับโดยวิธีกำลังสองน้อยที่สุดแบบสามขั้นตอน ) ไม่มีคุณสมบัตินี้ด้วยซ้ำ (ดูรูปการวิเคราะห์เกรดใน )

ดังนั้นเมื่อสังเคราะห์ระบบความเร็วสูงที่มีระดับความเสถียรสูงสุด อันดับแรกจำเป็นต้องกำหนดค่าที่เหมาะสมที่สุดของ bj เพื่อให้แน่ใจว่าเป็นไปตามเงื่อนไข (4), ng และ ω, (1=1, n) จากนั้นหา c/ ซึ่ง (10) และสุดท้าย จากเงื่อนไข (12) สำหรับค่า C ที่กำหนด ให้เลือก dj ความคิดเห็น จากกรณีที่พิจารณาแล้วว่าโครงสร้างของคำตอบที่เหมาะสมที่สุด เช่น จำนวนคู่คอนจูเกตจริงและคู่ที่ซับซ้อนของรูทขวาสุดโต่ง การรวมกัน การคูณ และผลที่ตามมาคือประเภทของโฮโดกราฟของคำตอบที่เหมาะสมที่สุดในระนาบ X , ขึ้นอยู่กับขนาดของตัวควบคุม m (1.2) และสำหรับคำสั่งที่สูงขึ้นเพียงพอ n (1.1) ไม่ขึ้นอยู่กับค่าของ n เอง กล่าวอีกนัยหนึ่ง แต่ละ m ที่กำหนดสอดคล้องกับจำนวนโครงสร้างของมันเอง โซลูชั่นที่ดีที่สุด โซลูชั่นใหม่ที่ดีที่สุด ดังนั้นสำหรับ n - > QO ความเป็นไปได้ของการสังเคราะห์ระบบที่มีระดับความเสถียรสูงสุดยังคงอยู่ โครงสร้างของโซลูชันที่เหมาะสมที่สุดจะถูกกำหนดโดย m เท่านั้น ซึ่งหมายความว่าสำหรับ m ใดๆ โครงสร้างของโซลูชันที่เหมาะสมที่สุดยังเป็นที่รู้จักสำหรับวัตถุด้วย ล่าช้า.

คำถามเกิดขึ้นว่าจะกำหนดค่าของเวลาหน่วงสำหรับแต่ละตัวบ่งชี้ได้อย่างไร เพื่อกำหนด เวลาล่าช้าที่เหมาะสมเราใช้การวิเคราะห์สหสัมพันธ์ของชุดข้อมูลเวลา เกณฑ์หลักสำหรับการพิจารณาเวลาหน่วงคือค่าที่ใหญ่ที่สุดของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ข้ามสำหรับอนุกรมเวลาของตัวบ่งชี้ที่มีช่วงความล่าช้าต่างกันซึ่งส่งผลต่ออัตราเงินเฟ้อ ดังนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้

นอกจากนี้ วิธีการ S. d. ยังช่วยให้คุณสามารถเชื่อมต่อภายในกรอบของโมเดลเดียว โฟลว์จำนวนมาก (การควบคุมทางกายภาพ และข้อมูล) และระดับของการลงทุนและการจำหน่ายเงินทุนที่สะสมโฟลว์เหล่านี้ด้วยระดับพื้นฐาน เมืองหลวงอัตราการเกิดและอัตราการตายในกลุ่มอายุที่แตกต่างกันด้วยโครงสร้างอายุของประชากร ฯลฯ -rykh ให้การศึกษาเชิงทดลองที่ค่อนข้างง่ายเกี่ยวกับความเสถียรขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์และโครงสร้างของแบบจำลอง

กฎยังสามารถจัดกลุ่มตามเกณฑ์อื่นๆ ตัวอย่างเช่น สำหรับเครื่องมือนโยบายการเงิน (อัตราแลกเปลี่ยน อัตราดอกเบี้ย หรือมวลรวมทางการเงิน) สำหรับการมีความสัมพันธ์ทางเศรษฐกิจต่างประเทศ (เศรษฐกิจแบบเปิดหรือแบบปิด) สำหรับการรวมการคาดการณ์ของตัวแปรทางเศรษฐกิจในกฎสมการ (กฎไปข้างหน้าและปรับตัว) สำหรับจำนวนของความล่าช้า (มีหรือไม่มีความล่าช้า ) เป็นต้น

แบบจำลองนี้คำนึงถึงเวลาการบินของกระสุนปืนและความล่าช้าในการถ่ายโอนไฟ ทำให้สามารถพิจารณาความล่าช้าในระบบการเตือนล่วงหน้าของการโจมตีด้วยขีปนาวุธของศัตรูและระบบการเฝ้าระวังอวกาศของขีปนาวุธนิวเคลียร์ กองกำลัง. โมเดลนี้กำหนดโดยสมการ

บล็อกของการหน่วงเวลาคงที่ BPZ-2M ได้รับการออกแบบมาเพื่อสร้างฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์การหน่วงเวลาในอุปกรณ์คอมพิวเตอร์แบบอะนาล็อก และสามารถใช้ในการสร้างแบบจำลองทางไฟฟ้าของกระบวนการที่เกี่ยวข้องกับการขนส่งสสารหรือการถ่ายโอนพลังงาน เมื่อประมาณสมการของวัตถุหลายตัวเก็บประจุที่ซับซ้อน ด้วยสมการลำดับที่หนึ่งและสองแบบหน่วงเวลา

ฟังก์ชั่นการตัดสินใจเป็นการกำหนดแนวปฏิบัติที่กำหนดว่าข้อมูลที่มีอยู่เกี่ยวกับระดับนำไปสู่การเลือกการตัดสินใจที่เกี่ยวข้องกับค่าของอัตราการไหลในปัจจุบันอย่างไร ฟังก์ชันการตัดสินใจอาจอยู่ในรูปของสมการง่ายๆ ที่กำหนดปฏิกิริยาที่ง่ายที่สุดของการไหลของวัสดุต่อสถานะหนึ่งหรือสองระดับ (ตัวอย่างเช่น ประสิทธิภาพของระบบขนส่งมักจะแสดงได้อย่างเพียงพอโดยจำนวนของสินค้าที่อยู่ระหว่างการขนส่ง ซึ่งเป็นระดับและค่าคงที่ - ค่าเฉลี่ยของความล่าช้าในการขนส่ง) ในทางกลับกัน ฟังก์ชันการตัดสินใจอาจเป็นห่วงโซ่ที่ยาวและซับซ้อนของการคำนวณที่ดำเนินการโดยคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงในเงื่อนไขเพิ่มเติมจำนวนหนึ่ง

ในปัจจุบันยังไม่ชัดเจนว่าปัจจัยใดเป็นสาเหตุหลักที่ทำให้ไม่มีไดอะตอมในไบคาลในช่วงฤดูหนาว ใน [Grachev et al., 1997] ความขุ่นที่เพิ่มขึ้นของน้ำที่เกิดจากการทำงานของธารน้ำแข็งบนภูเขาถือเป็นปัจจัยชี้ขาด ใน [Gavshin et al., 1998] สิ่งหลักคือการลดลงของความเข้มข้นของซิลิคอนเนื่องจาก เพื่อการพังทลายของแอ่งน้ำไบคาล การปรับเปลี่ยนแบบจำลอง (2.6.7) โดยที่สมการแรกอธิบายไดนามิกของความเข้มข้นของซิลิกอน และสมการที่สอง - ไดนามิกของการตกตะกอนของสารแขวนลอย ช่วยให้เราสามารถเสนอแนวทางเพื่อระบุว่าปัจจัยใดในสองปัจจัยนี้คือปัจจัยหลัก . เป็นที่ชัดเจนว่าเนื่องจากมวลน้ำขนาดใหญ่ สิ่งมีชีวิตทางชีวภาพของไบคาลจะตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงสภาพภูมิอากาศด้วยความล่าช้าเมื่อเทียบกับการตอบสนองของชุมชนพืชในแอ่งระบายน้ำของทะเลสาบ ดังนั้นสัญญาณไดอะตอมจึงต้องล้าหลังสัญญาณพาลีโนโลยี หากสาเหตุหลักของการหายไปของไดอะตอมในช่วงเวลาเย็นคือการลดลงของความเข้มข้นของซิลิกอน ดังนั้นความล่าช้าในการตอบสนองต่อภาวะโลกร้อนควรจะมากกว่าความล่าช้าในการทำให้เย็นลง หากปัจจัยหลักของการปราบปรามไดอะตอมคือความขุ่นเนื่องจากธารน้ำแข็ง ความล่าช้าในการตอบสนองต่อความเย็นควรจะใกล้เคียงกันหรือมากกว่าการอุ่นขึ้น

สมการสุดท้าย ตามที่ผู้อ่านอาจสังเกตเห็น อธิบายพฤติกรรมของกลไกการปรับตัวเองที่ง่ายที่สุดด้วยการหน่วงเวลาตามสัดส่วน ภาคผนวก A แสดงบล็อกไดอะแกรมที่แสดง

ขั้นตอน PERRON97 ในกรณีนี้กำหนดวันที่หยุดพักเป็น 1999 07 หากการเลือกวันที่หยุดพักดำเนินการตามค่าต่ำสุด - สถิติของเกณฑ์หน่วยรูท ta=i ซึ่งนำมาเหนือจุดพักที่เป็นไปได้ทั้งหมด ในเวลาเดียวกัน ta= = - 3.341 ซึ่งสูงกว่า 5% ของระดับวิกฤติ - 5.59 และไม่มีการปฏิเสธสมมติฐานหลักหน่วย ความล่าช้าที่ใหญ่ที่สุดของความแตกต่างที่รวมอยู่ในด้านขวาของสมการถูกเลือกให้เป็น 12 ในกรอบของการใช้ขั้นตอน GS เพื่อลดแบบจำลองที่มีระดับนัยสำคัญ 10%

การแนะนำ

กระทรวงศึกษาธิการแห่งสหพันธรัฐรัสเซีย

สมาคมการศึกษานานาชาติ "การศึกษาแบบเปิด"

มหาวิทยาลัยเศรษฐศาสตร์สถิติและสารสนเทศแห่งรัฐมอสโก

ANO "สถาบันยูเรเชียนโอเพ่น"

E.A. Gevorkyan

สมการเชิงอนุพันธ์แบบหน่วงเวลา

คู่มือตำราเรียนพระธรรมวินัย

การรวบรวมงานสำหรับวินัย หลักสูตรสำหรับวินัย

มอสโก 2547

Gevorkyan E.A. สมการที่แตกต่างกับอาร์กิวเมนต์ล่าช้า: ตำรา, คู่มือการศึกษาระเบียบวินัย, การรวบรวมงานสำหรับระเบียบวินัย, หลักสูตรสำหรับระเบียบวินัย / มหาวิทยาลัยเศรษฐศาสตร์แห่งรัฐมอสโก, สถิติและสารสนเทศ - M.: 2004. - 79 p.

Gevorkyan E.A., 2547

มหาวิทยาลัยเศรษฐศาสตร์แห่งรัฐมอสโก, สถิติและสารสนเทศ, 2547

กวดวิชา
บทนำ ................................................. .................................................. .............................
1.1 การจำแนกสมการเชิงอนุพันธ์ด้วย
อาร์กิวเมนต์เบี่ยงเบน คำชี้แจงปัญหาเบื้องต้น............................................. .................. . .
1.2 สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีอาร์กิวเมนต์ปัญญาอ่อน วิธีการขั้นตอน ........
1.3 สมการเชิงอนุพันธ์แบบแยกส่วนได้
ตัวแปรและมีข้อโต้แย้งที่ล้าหลัง ............................................ .......................... ...........................
1.4 สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีอาร์กิวเมนต์ปัญญาอ่อน..................................
1.5 สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลีพร้อมอาร์กิวเมนต์ปัญญาอ่อน ...............
1.6 สมการเชิงอนุพันธ์ของผลรวม
ด้วยข้อโต้แย้งที่ล่าช้า ............................................. .................... ................................. ................... .
บทที่สอง คำตอบเป็นระยะของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น
ด้วยข้อโต้แย้งที่ล่าช้า ............................................. .................... ................................. ................... .
2.1. คำตอบเป็นระยะของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น
ด้วยค่าสัมประสิทธิ์คงที่และมีข้อโต้แย้งที่ล้าหลัง .......................................... ....
2.2. คำตอบเป็นระยะของผลต่างเชิงเส้นที่ไม่เอกพันธ์
..................
2.3. รูปแบบเชิงซ้อนของอนุกรมฟูเรียร์............................................. ................. ................................... ...
2.4. การหาผลเฉลยเชิงปริจเฉทของ Linear Inhomogeneous
สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่และหน่วง
อาร์กิวเมนต์โดยขยายด้านขวาของสมการในอนุกรมฟูเรียร์ ..................................... ..............................
บทที่สาม วิธีโดยประมาณในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์
ด้วยข้อโต้แย้งที่ล่าช้า ............................................. .................... ................................. ................... .
3.1. วิธีการขยายโดยประมาณสำหรับฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก
ด้วยข้อโต้แย้งที่ล่าช้าตามระดับของความล่าช้า ........................................... ....................... ...........
3.2. วิธีการ Poincaré โดยประมาณ .................................................. ...............................
บทที่สี่ สมการเชิงอนุพันธ์ล่าช้า
ปรากฏให้เห็นในการแก้ปัญหาเศรษฐกิจบางประการ
โดยคำนึงถึงการหน่วงเวลา............................................ .................. ................................ ................ ................

4.1. วงจรเศรษฐกิจของ Koletsky สมการเชิงอนุพันธ์

กับ อาร์กิวเมนต์ต่อท้ายที่อธิบายการเปลี่ยนแปลง

สต๊อกเงินสด ทุน .............................................. ................ .................................. ................. .......
4.2. สมการลักษณะเฉพาะ. กรณีของจริง
รากของสมการคุณลักษณะ ............................................. .................. ................................ ....
4.3. กรณีของรากเชิงซ้อนของสมการคุณลักษณะ......................................... .........
4.4. สมการเชิงอนุพันธ์ล่าช้า
(การบริโภคตามสัดส่วนรายได้ประชาชาติ) .......................................... .... ..........
4.5. สมการเชิงอนุพันธ์ล่าช้า
อธิบายพลวัตของรายได้ประชาชาติในแบบจำลองที่มีความล่าช้า
(การบริโภคเติบโตแบบก้าวกระโดดตามอัตราการเติบโต)............................................ ........................ ..........
วรรณกรรม................................................. .................................................. .....................

คู่มือการศึกษาพระธรรมวินัย
2. รายการหัวข้อหลัก............................................ .................................................... .. ......
2.1. หัวข้อ 1. แนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความ การจำแนกประเภท
สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีอาร์กิวเมนต์เบี่ยงเบน
สมการเชิงอนุพันธ์แบบหน่วงเวลา ............................................
2.2. หัวข้อที่ 2 คำชี้แจงของปัญหาเริ่มต้น วิธีขั้นตอนการแก้ปัญหา
สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีอาร์กิวเมนต์ปัญญาอ่อน ตัวอย่าง.......................
2.3. หัวข้อ 3. สมการเชิงอนุพันธ์ที่แยกกันได้
ตัวแปรและอาร์กิวเมนต์ที่ล่าช้า ตัวอย่าง. .................................................. .
2.4. หัวข้อ 4. สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น
2.5. หัวข้อ 5. สมการเชิงอนุพันธ์ของแบร์นูลลี
ด้วยข้อโต้แย้งที่ล่าช้า ตัวอย่าง. .................................................. ..............................
2.6. หัวข้อ 6. สมการเชิงอนุพันธ์ในผลต่างทั้งหมด
ด้วยข้อโต้แย้งที่ล่าช้า เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ ตัวอย่าง............
2.7. หัวข้อ 7. การแก้ปัญหาเป็นระยะของผลต่างที่เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้น
สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่และอาร์กิวเมนต์ปัญญาอ่อน
2.8. หัวข้อ 8. การแก้ปัญหาเป็นระยะของผลต่างเชิงเส้นที่ไม่สม่ำเสมอ
สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่และอาร์กิวเมนต์ปัญญาอ่อน
ตัวอย่าง. .................................................. .................................................. ...............................
2.9. หัวข้อ 9. รูปแบบที่ซับซ้อนของอนุกรมฟูเรียร์ การหาระยะเวลาส่วนตัว
คำตอบของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่และด้วย
ชะลอการโต้แย้งโดยขยายด้านขวาของสมการเป็นอนุกรมฟูเรียร์
ตัวอย่าง. .................................................. .................................................. ...............................
2.10. หัวข้อ 10. คำตอบโดยประมาณของสมการเชิงอนุพันธ์ด้วย
วิธีการโต้แย้งล่าช้าของการสลายตัวของฟังก์ชันจากการหน่วงเวลา
ตามระดับของความล่าช้า ตัวอย่าง ................................................. ......................................
2.11. หัวข้อ 11. วิธี Poincare โดยประมาณสำหรับการค้นหาเป็นระยะ
คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ควอซิลิเนียร์ด้วยพารามิเตอร์ขนาดเล็กและ
ด้วยข้อโต้แย้งที่ล่าช้า ตัวอย่าง. .................................................. ..............................

2.12. หัวข้อ 12. วัฏจักรเศรษฐกิจของ Koletsky สมการเชิงอนุพันธ์

กับ อาร์กิวเมนต์ lagging สำหรับฟังก์ชัน K(t) แสดงสต็อกของเงินสด

ทุนคงที่ ณ เวลา t ........................................... . ................................................. ...
2.13. หัวข้อ 13. การวิเคราะห์สมการคุณลักษณะที่สอดคล้องกับ
สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชัน K(t) .................................................. ............
2.14. หัวข้อ 14. กรณีของการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของสมการคุณลักษณะ
(ρ = α ± ιω )..................................................................................................................................
2.15. หัวข้อ 15. สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชัน y(t) แสดง
ฟังก์ชันการบริโภคมีรูปแบบ c(t -τ ) = (1 - α ) y (t -τ ) โดยที่ α เป็นอัตราคงที่
การผลิตสะสม ................................................ ................ .................................... ............
2.16. หัวข้อ 16. สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชัน y(t) กำลังแสดง
รายได้ประชาชาติในรูปแบบที่มีความล่าช้าในการลงทุนโดยมีเงื่อนไขว่า
ฟังก์ชันผู้บริโภคมีรูปแบบ c (t − τ ) = c (o ) e r (t − τ ) ........................... ... .................................
รวบรวมงานวินัย............................................ .. .................................................
หลักสูตรตามสาขาวิชา............................................... .................... ................................. ....

กวดวิชา

การแนะนำ

บทนำ

บทช่วยสอนนี้อุทิศให้กับการนำเสนอวิธีการรวมสมการเชิงอนุพันธ์กับอาร์กิวเมนต์ปัญญาอ่อนที่พบในปัญหาทางเทคนิคและเศรษฐกิจ

สมการข้างต้นมักจะอธิบายถึงกระบวนการใดๆ ที่มีผลตามมา (กระบวนการที่มีความล่าช้า โดยมีการหน่วงเวลา) ตัวอย่างเช่น เมื่ออยู่ในกระบวนการภายใต้การศึกษา มูลค่าของปริมาณที่เราสนใจ ณ เวลา t ขึ้นอยู่กับค่า x ณ เวลา t-τ โดยที่ τ คือเวลาหน่วง (y(t)=f) หรือเมื่อค่าของปริมาณ y ณ เวลา t ขึ้นอยู่กับค่าของปริมาณเดียวกัน ณ เวลา

น้อยกว่า t-τ (y(t)=f).

กระบวนการที่อธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีอาร์กิวเมนต์ปัญญาอ่อนพบได้ในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและเศรษฐศาสตร์ ในระยะหลัง นี่เป็นเพราะทั้งการดำรงอยู่ของเวลาหน่วงในการเชื่อมโยงส่วนใหญ่ของวงจรการผลิตทางสังคม และการมีความล่าช้าในการลงทุน (ระยะเวลาตั้งแต่เริ่มออกแบบวัตถุจนถึงการว่าจ้างอย่างเต็มประสิทธิภาพ) ความล่าช้าทางประชากรศาสตร์ ( ตั้งแต่แรกเกิดจนถึงวัยทำงานและเริ่มงานหลังสำเร็จการศึกษา)

คำนึงถึงความล่าช้าในการแก้ปัญหาทางเทคนิคและเศรษฐกิจเป็นสิ่งสำคัญเนื่องจากการมีความล่าช้าอาจส่งผลต่อธรรมชาติของการแก้ปัญหาที่ได้รับ (ตัวอย่างเช่นภายใต้เงื่อนไขบางประการอาจนำไปสู่ความไม่เสถียรของการแก้ปัญหา)

จาก อาร์กิวเมนต์ล่าช้า

บทที่ 1 วิธีขั้นตอนการแก้สมการเชิงอนุพันธ์

กับ อาร์กิวเมนต์ต่อท้าย

1.1. การจำแนกสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีอาร์กิวเมนต์เบี่ยงเบน คำชี้แจงปัญหาเบื้องต้น

คำจำกัดความ 1 . สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีอาร์กิวเมนต์เบี่ยงเบนเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ซึ่งฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก X(t) ป้อนค่าอาร์กิวเมนต์ที่ต่างกัน

X(t) = ฉ ( เสื้อ, x (เสื้อ), x ) ,

X(t) = ฉ [ t, x (t), x (t - τ 1 ), x (t − τ 2 )] ,
X(t) = f t, x (t), x (t), x [ t -τ (t )] , x [ t − τ
X(t) = f t, x (t ) , x (t) , x (t/2), x(t/2) .

(เ)]

คำจำกัดความ 2. สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีอาร์กิวเมนต์ปัญญาอ่อนคือสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีอาร์กิวเมนต์เบี่ยงเบนซึ่งอนุพันธ์อันดับสูงสุดของฟังก์ชันที่ไม่รู้จักจะปรากฏที่ค่าเดียวกันของอาร์กิวเมนต์และอาร์กิวเมนต์นี้ไม่น้อยกว่าอาร์กิวเมนต์ทั้งหมดของ ฟังก์ชันที่ไม่รู้จักและอนุพันธ์ของมันรวมอยู่ในสมการ

โปรดทราบว่าตามคำจำกัดความ 2 สมการ (1) และ (3) ภายใต้เงื่อนไข τ (t) ≥ 0, t − τ (t) ≥ 0 จะเป็นสมการที่มีอาร์กิวเมนต์ปัญญาอ่อน สมการ (2) จะเป็นสมการ

ด้วยอาร์กิวเมนต์ที่ล้าหลัง ถ้า τ 1 ≥ 0, τ 2 ≥ 0, t ≥ τ 1, t ≥ τ 2, สมการ (4) เป็นสมการที่มีอาร์กิวเมนต์ที่ล้าหลัง เนื่องจาก t ≥ 0

คำจำกัดความ 3. สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีอาร์กิวเมนต์นำคือสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีอาร์กิวเมนต์เบี่ยงเบนซึ่งอนุพันธ์อันดับสูงสุดของฟังก์ชันที่ไม่รู้จักเกิดขึ้นที่ค่าอาร์กิวเมนต์เดียวกันและอาร์กิวเมนต์นี้ไม่เกินส่วนที่เหลือของ อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันที่ไม่รู้จักและอนุพันธ์ที่รวมอยู่ในสมการ

ตัวอย่างของสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีอาร์กิวเมนต์นำ:

X(เสื้อ)=

X(เสื้อ)=

X(เสื้อ)=

ฉ ( เสื้อ, x(เสื้อ), x[ เสื้อ + τ (เสื้อ) ] ) ,

ฉ [ เสื้อ , x (เสื้อ ), x (t + τ 1 ), x (t + τ 2 )] ,

ฉ t , x (t ), x . (เสื้อ ), x [ เสื้อ + τ (เสื้อ )] , x . [ เสื้อ + τ

(เ)] .

ฉัน. วิธีขั้นตอนสำหรับการแก้สมการผลต่าง

จาก อาร์กิวเมนต์ล่าช้า

นิยาม 4. สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีอาร์กิวเมนต์เบี่ยงเบนซึ่งไม่ใช่สมการที่มีอาร์กิวเมนต์ปัญญาอ่อนหรือนำหน้า เรียกว่า สมการเชิงอนุพันธ์ประเภทที่เป็นกลาง

ตัวอย่างของสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีอาร์กิวเมนต์เบี่ยงเบนประเภทที่เป็นกลาง:

X (t) = f t, x(t) , x(t − τ ) , x(t − τ )

X (t) = f t, x(t) , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] .

โปรดทราบว่าการจำแนกประเภทที่คล้ายกันนี้ยังใช้กับระบบสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีอาร์กิวเมนต์เบี่ยงเบนด้วยการแทนที่คำว่า "ฟังก์ชัน" ด้วยคำว่า "ฟังก์ชันเวกเตอร์"

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุดพร้อมอาร์กิวเมนต์เบี่ยงเบน:

X (t) = ฉ [ เสื้อ, x(เสื้อ) , x(t − τ ) ] ,

โดยที่ τ ≥ 0 และ t − τ ≥ 0 (อันที่จริง เราพิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีอาร์กิวเมนต์ปัญญาอ่อน) งานเริ่มต้นหลักในการแก้สมการ (10) มีดังนี้: เพื่อหาวิธีแก้ปัญหาต่อเนื่อง X (t) ของสมการ (10) สำหรับ t > t 0 (t 0 -

เวลาคงที่) โดยมีเงื่อนไขว่า X (t ) = ϕ 0 (t ) เมื่อ t 0 − τ ≤ t ≤ t 0 โดยที่ ϕ 0 (t ) เป็นฟังก์ชันเริ่มต้นต่อเนื่องที่กำหนด ส่วน [ t 0 − τ , t 0 ] เรียกว่าเซตเริ่มต้น t 0 เรียกว่าจุดเริ่มต้น สันนิษฐานว่า X (t 0 + 0) = ϕ 0 (t 0 ) (รูปที่ 1)

X (t) \u003d ϕ 0 (t)

	เสื้อ 0 − τ		t0 + τ		0 + τ
หากล่าช้า τ		ในสมการ (10) ขึ้นอยู่กับเวลา t		(τ = τ (t )) , จากนั้นเริ่มต้น

โจทย์กำหนดดังนี้: เพื่อหาคำตอบของสมการ (10) สำหรับ t > t 0 ถ้าฟังก์ชันเริ่มต้น X (t ) = ϕ 0 t เป็นที่รู้จักสำหรับ t 0 − τ (t 0 ) ≤ t ≤ t 0 .

ตัวอย่าง. หาคำตอบของสมการ

X (t) = f [ t, x(t) , x(t − cos 2 t) ]
สำหรับ t > t 0 = 0 ถ้าฟังก์ชันเริ่มต้น X (t ) = ϕ 0 (t ) สำหรับ (t 0 − cos2 t 0 ) |	เสื้อ ≤ t0
t0 = 0

− 1 ≤ เสื้อ ≤ 0)

ฉัน. วิธีขั้นตอนสำหรับการแก้สมการผลต่าง

จาก อาร์กิวเมนต์ล่าช้า

ตัวอย่าง. หาคำตอบของสมการ

	X (เสื้อ) = ฉ [ เสื้อ, x(เสื้อ) , x(เสื้อ / 2 ) ]			ที่ (ต	-t	/ 2) |
	t > t 0 = 1 ถ้าฟังก์ชันเริ่มต้น X (t ) = ϕ t						≤ t ≤ t
						เสื้อ=1			เสื้อ=1

1/ 2 ≤ เสื้อ ≤ 1)

โปรดทราบว่าฟังก์ชันเริ่มต้นมักจะถูกระบุหรือพบในการทดลอง (โดยมากจะเป็นปัญหาทางเทคนิค)

1.2. สมการเชิงอนุพันธ์แบบหน่วงเวลา วิธีการขั้นตอน

พิจารณาสมการอนุพันธ์ที่มีอาร์กิวเมนต์ปัญญาอ่อน

จำเป็นต้องหาคำตอบของสมการ (13) สำหรับ t ≥ t 0 .

ในการหาคำตอบของสมการ (13) สำหรับ t ≥ t 0 เราจะใช้วิธีขั้นตอน (วิธีการรวมแบบต่อเนื่อง)

สาระสำคัญของวิธีการแบบขั้นบันไดคือ อันดับแรก เราจะพบคำตอบของสมการ (13) สำหรับ t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ , จากนั้นสำหรับ t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ เป็นต้น ในเวลาเดียวกัน เราสังเกตว่า เนื่องจากในพื้นที่ t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ อาร์กิวเมนต์ t − τ เปลี่ยนแปลงภายใน t 0 − τ ≤ t − τ ≤ t 0 จากนั้นในสมการ

(13) ในบริเวณนี้ แทนที่จะเป็น x (t − τ ) เราสามารถใช้ฟังก์ชันเริ่มต้น ϕ 0 (t − τ ) ) แล้ว

เราได้รับสิ่งนั้นเพื่อหาคำตอบของสมการ (13) ในพื้นที่ t 0 ≤ t ≤ t 0		+ τ ต้องการอีกครั้ง
เย็บสมการเชิงอนุพันธ์สามัญโดยไม่ชักช้าในรูปแบบ:
	[ t, x(t) , ϕ 0 (t − τ ) ] ,
X(t) = ฉ
สำหรับ เสื้อ 0 ≤ เสื้อ ≤ เสื้อ 0 + τ	ด้วยเงื่อนไขเริ่มต้น X (t 0 ) = ϕ (t 0 ) (ดูรูปที่ 1)
	ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเบื้องต้นในรูปแบบ X (t) = ϕ 1 (t) ,	เราสามารถโพสต์-

แก้ปัญหาในการหาทางออกในส่วนของ t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ เป็นต้น

ดังนั้นเราจึงมี:

			0 (เสื้อ − τ ) ] ,
	X (t) = ฉ [ เสื้อ, x(t) , ϕ
ที่เสื้อ 0	≤ t ≤ t0 + τ , X (t0 )		= ϕ 0 (เสื้อ 0 ) ,
	X (t) = ฉ [ t, x(t) , ϕ 1 (t − τ ) ] ,
สำหรับ เสื้อ 0 +τ ≤ เสื้อ ≤ เสื้อ 0 + 2 τ ,			X (t 0 + τ ) = ϕ 1(เสื้อ 0 + τ ) ,
	X (t) = ฉ [ t, x(t) , ϕ 2 (t − τ ) ] ,
สำหรับ เสื้อ 0 + 2τ ≤ เสื้อ ≤ เสื้อ 0 + 3τ ,			X (เสื้อ 0 + 2 τ ) = ϕ 2 (เสื้อ 0 + 2 τ ) ,
	X (t) = ฉ [ t, x(t) , ϕ n (t − τ ) ] ,
สำหรับ t 0 + n τ ≤ t ≤ t 0 + (n +1 ) τ , X (t 0 + n τ ) = ϕ n (t 0 + n τ ) ,
	ϕ ฉัน (t ) คือ	ทางออกของการเริ่มต้นที่พิจารณา		งานในส่วน
เสื้อ 0 + (ผม −1 ) ≤ เสื้อ ≤ เสื้อ 0 +ผม τ		(I=1,2,3…น,…).

ฉัน. วิธีขั้นตอนสำหรับการแก้สมการผลต่าง

จาก อาร์กิวเมนต์ล่าช้า

วิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีอาร์กิวเมนต์ปัญญาอ่อน (13) นี้ช่วยให้เราสามารถหาวิธีแก้ปัญหา X (t) ในช่วงการเปลี่ยนแปลงที่แน่นอนใน t

ตัวอย่างที่ 1 ใช้วิธีขั้นตอน ค้นหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งด้วยอาร์กิวเมนต์ปัญญาอ่อน

	(เสื้อ) = 6 X (เสื้อ − 1 )
ในพื้นที่ 1 ≤ t ≤ 3 ถ้าฟังก์ชันเริ่มต้นสำหรับ 0 ≤ t ≤ 1 มีรูปแบบ X (t ) = ϕ 0 (t ) = t
วิธีการแก้. ก่อนอื่น เรามาหาคำตอบของสมการ (19) ในเขต 1 ≤ t ≤ 2 กัน สำหรับสิ่งนี้ใน
(19) เราแทนที่ X (t − 1) ด้วย ϕ 0 (t − 1) , นั่นคือ
X (t − 1 ) = ϕ 0 (t − 1 ) = เสื้อ| เสื้อ → เสื้อ − 1 = เสื้อ − 1
และคำนึงถึง X (1) = ϕ 0 (1) = t |
ดังนั้นในภูมิภาค 1 ≤ t ≤ 2 เราได้รับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญของแบบฟอร์ม
	(เสื้อ )= 6 (เสื้อ − 1 )
หรือ dx(t)	6 (เสื้อ −1 ) .
การแก้ปัญหาโดยคำนึงถึง (20) เราได้คำตอบของสมการ (19) สำหรับ 1 ≤ t ≤ 2 ในแบบฟอร์ม
X (t) = 3 เสื้อ 2 − 6 เสื้อ + 4 = 3 (เสื้อ − 1 ) 2 + 1
ในการหาคำตอบในพื้นที่ 2 ≤ t ≤ 3 ในสมการ (19) เราแทนที่ X (t − 1) ด้วย
ϕ 1 (t −1 ) = 3 (t −1 ) 2 +1 | เสื้อ → เสื้อ − 1		3(t − 2) 2 + 1 จากนั้นเราจะได้ค่าสามัญ		ความแตกต่าง
สมการ:
	(เสื้อ ) = 6[ 3(เสื้อ − 2) 2 + 1] , เอ็กซ์( 2) = ϕ 1 ( 2) = 4 ,
ซึ่งวิธีแก้ปัญหามีรูปแบบ (รูปที่ 2)
เอ็กซ์ (ที ) = 6 (ที − 2 ) 3 + 6 ที − 8 .

ระบบที่มีความล่าช้าแตกต่างจากระบบที่พิจารณาก่อนหน้านี้ในลิงก์หนึ่งลิงก์หรือมากกว่านั้นมีความล่าช้าในช่วงเวลาของการเริ่มต้นของการเปลี่ยนแปลงในค่าเอาต์พุต (หลังจากการเริ่มต้นของการเปลี่ยนแปลงในอินพุต) ตามค่า t เรียกว่า เวลาหน่วง และเวลาหน่วงนี้จะคงที่ในทุกกระบวนการที่ตามมา

ตัวอย่างเช่น ถ้าลิงก์ถูกอธิบายด้วยสมการ

(ลิงก์แบบไม่ต่อเนื่องของลำดับที่หนึ่ง) จากนั้นสมการของลิงก์ที่สอดคล้องกับการหน่วงเวลาจะมีรูปแบบ

(ลิงค์เป็นระยะของคำสั่งแรกที่มีความล่าช้า) สมการประเภทนี้เรียกว่าสมการที่มีอาร์กิวเมนต์ปัญญาอ่อน

จากนั้นสมการ (6.31) จะเขียนเป็นสามัญ

เปลี่ยนทันทีจากศูนย์เป็นหนึ่ง (รูปที่ 6.20

ยืนอยู่ทางด้านขวาของสมการลิงค์

). ในกรณีทั่วไป สำหรับ (6.31) สมการของไดนามิกของลิงค์ใด ๆ ที่มีความล่าช้าสามารถแบ่งออกเป็นสอง:

ซึ่งสอดคล้องกับการแบ่งตามเงื่อนไขของลิงก์ที่มีความล่าช้า (รูปที่ 6.21, a) เป็นสองส่วน: ลิงก์ธรรมดาของลำดับเดียวกันและมีค่าสัมประสิทธิ์เดียวกันและองค์ประกอบการหน่วงเวลาก่อนหน้า (รูปที่ 6.21.6)

หมายถึง ระยะเวลาการเคลื่อนที่ของโลหะจากม้วนถึงเครื่องวัดความหนา ในสองตัวอย่างที่ผ่านมา ค่าของ m เรียกว่าความล่าช้าในการขนส่ง

ในการประมาณครั้งแรก ท่อส่งหรือสายไฟฟ้ายาวที่รวมอยู่ในการเชื่อมโยงของระบบสามารถระบุได้ด้วยค่าการหน่วงเวลา t

แสดงในรูป 6.22, b จากนั้นลิงก์นี้สามารถอธิบายโดยประมาณได้ว่าเป็นลิงก์ aperiodic อันดับหนึ่งที่มีความล่าช้า (6.31) โดยรับค่า m, r และ k จากเส้นโค้งการทดลอง (รูปที่ 6.22, b)

โปรดทราบว่าเส้นโค้งการทดลองเดียวกันตามกราฟในรูปที่ 6.22, c ยังสามารถตีความได้ว่าเป็นคุณลักษณะของเวลาของลิงก์ aperiodic อันดับสองสามัญกับสมการ

และ k สามารถคำนวณได้จากความสัมพันธ์ที่เขียนใน§ 4.5 สำหรับลิงก์ที่กำหนด จากการวัดบางอย่างบนเส้นโค้งทดลอง หรือโดยวิธีอื่นๆ

ฟังก์ชัน (6.36) แตกต่างเพียงเล็กน้อยจากฟังก์ชันการถ่ายโอนของลิงก์ที่มีการหน่วงเวลา (6.35)

สมการของลิงค์เชิงเส้นที่มีการหน่วงเวลา (6.33) จะถูกเขียนในรูปแบบ

ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของลิงค์เชิงเส้นที่มีความล่าช้าจะเป็น

มีการระบุฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของลิงค์สามัญที่สอดคล้องกันโดยไม่ชักช้า

- โมดูลัสและเฟสของฟังก์ชันการถ่ายโอนความถี่ของลิงค์โดยไม่ชักช้า

ดังนั้นเราจึงได้กฎต่อไปนี้

ในการสร้างคุณลักษณะแอมพลิจูดเฟสของลิงก์ใด ๆ ที่มีความล่าช้า คุณต้องใช้คุณลักษณะของลิงก์ธรรมดาที่สอดคล้องกัน และเลื่อนจุดแต่ละจุดไปตามวงกลมตามเข็มนาฬิกาเป็นมุม โดยที่ w คือค่าของความถี่การแกว่งที่ จุดที่กำหนดของคุณลักษณะ (รูปที่ 6.23, a)

จุดเริ่มต้นยังคงไม่เปลี่ยนแปลงและจุดสิ้นสุดของลมลักษณะเฉพาะรอบจุดกำเนิด (หากระดับของพหุนามตัวดำเนินการ B น้อยกว่าระดับของพหุนาม C)

ได้มีการกล่าวไว้ข้างต้นว่ากระบวนการชั่วคราวที่แท้จริง (ลักษณะทางโลก) ของรูปแบบในรูปที่ 6.22b มักจะสามารถอธิบายได้ด้วยระดับการประมาณที่เท่ากันจากทั้งสมการ (6.31) และ (6.34) ลักษณะแอมพลิจูดเฟสสำหรับสมการ (6.31) และ (6.34) แสดงในรูปที่ 6.23, a และ b ตามลำดับ ความแตกต่างพื้นฐานของอันแรกคือมีจุด D ของจุดตัดกับแกน (/ เมื่อเปรียบเทียบลักษณะทั้งสองซึ่งกันและกันและกับลักษณะแอมพลิจูดเฟสทดลองของลิงค์จริง เราต้องคำนึงถึงไม่เพียง รูปร่างของเส้นโค้ง แต่ยังรวมถึงลักษณะของการกระจายของเครื่องหมายความถี่ ω ตามเธอ

ถ่ายโอนฟังก์ชันของระบบเปิดโดยไม่ชักช้า

สมการคุณลักษณะของระบบปิดดังแสดงในบทที่ 5 มีแบบฟอร์ม

สมการสามารถมีจำนวนรากได้ไม่จำกัด

รูปร่างของคุณลักษณะแอมพลิจูดเฟสของวงจรเปิดที่สร้างขึ้นแต่ฟังก์ชันถ่ายโอนความถี่จะเปลี่ยนไปอย่างมีนัยสำคัญ

นอกจากนี้การเปิดระบบจะดำเนินการตามกฎบางอย่างซึ่งระบุไว้ด้านล่าง

ด้วยเหตุนี้ เพื่อความเสถียรของระบบเชิงเส้นของลำดับที่หนึ่งและลำดับที่สองที่มีความล่าช้า ปรากฎว่าค่าบวกของค่าสัมประสิทธิ์เท่านั้นที่ไม่เพียงพออีกต่อไป และสำหรับระบบของลำดับที่สามและสูงกว่าที่มีความล่าช้า เกณฑ์ความเสถียรของ Vyshnegradsky, Routh และ Hurwitz ไม่สามารถใช้ได้

ด้านล่างนี้เราจะพิจารณาคำจำกัดความของความมั่นคงตามเกณฑ์ Nyquist เท่านั้น เนื่องจากการใช้สำหรับการร้องเพลงนี้กลายเป็นเรื่องง่ายที่สุด

1 การสร้างลักษณะแอมพลิจูดเฟสและการศึกษาความเสถียรตามเกณฑ์ของ Nyquist จะทำได้ดีที่สุดหากแสดงฟังก์ชันการถ่ายโอนของระบบวงเปิดในรูปแบบ (6.38) ในการรับสิ่งนี้จำเป็นต้องเปิดระบบอย่างถูกต้อง

สำหรับกรณีที่แสดงในรูป 6.24, a, การเปิดสามารถทำได้ทุกที่ในวงจรหลัก เช่น ดังรูป จากนั้นฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของระบบเปิดจะตรงกับรูปแบบ (6.41)

สำหรับกรณีที่แสดงในรูป 6.24, b, การเปิดวงจรหลักให้นิพจน์

ฟังก์ชั่นวงเปิดไม่สะดวกสำหรับการวิจัยเพิ่มเติม:

สุดท้าย ในกรณีดังรูป 6.24, c เมื่อเปิดระบบในตำแหน่งที่ระบุ เราได้รับนิพจน์ที่สอดคล้องกับ (6.41):

ฟังก์ชันการถ่ายโอนความถี่ (6.41) สามารถแสดงเป็น

ดังนั้นการนำเสนอนิพจน์ (6.41) ในรูปแบบ

หลักสูตรพิเศษ

การจำแนกสมการที่มีอาร์กิวเมนต์เบี่ยงเบน ปัญหาเริ่มต้นหลักสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีการหน่วงเวลา

วิธีการรวมตามลำดับ หลักการของการแก้สมการให้เรียบด้วยการหน่วงเวลา

หลักการของการแมปแบบบีบอัด ทฤษฎีบทการดำรงอยู่และเอกลักษณ์สำหรับการแก้ปัญหาเริ่มต้นขั้นพื้นฐานสำหรับสมการที่มีความล่าช้าหลายก้อน ทฤษฎีบทการดำรงอยู่และความเป็นเอกลักษณ์สำหรับการแก้ปัญหาเริ่มต้นหลักสำหรับระบบสมการที่มีการหน่วงเวลาแบบกระจาย

การพึ่งพาการแก้ปัญหาเริ่มต้นหลักอย่างต่อเนื่องกับพารามิเตอร์และฟังก์ชันเริ่มต้น

คุณลักษณะเฉพาะของการแก้สมการแบบหน่วงเวลา ความเป็นไปได้ในการแก้ปัญหาต่อไป ย้ายจุดเริ่มต้น ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับช่วงเวลาการเกาะติด ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการขยายโซลูชันแบบไม่เฉพาะที่

ที่มาของสูตรการแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับระบบเชิงเส้นที่มีการหน่วงเวลาเชิงเส้น

การตรวจสอบสมการด้วยความล่าช้าเพื่อความเสถียร วิธีการของ D-พาร์ติชัน

การประยุกต์วิธีการศึกษาความคงตัว ทฤษฎีบทของ N. N. Krasovskii ตามเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความมั่นคง ตัวอย่างการสร้างฟังก์ชั่น

การประยุกต์ใช้วิธีการของฟังก์ชัน Lyapunov เพื่อการศึกษาความมั่นคง ทฤษฎีบทของ Razumikhin เกี่ยวกับความเสถียรและความเสถียรเชิงเส้นกำกับของคำตอบของสมการด้วยความล่าช้า ตัวอย่างการสร้างฟังก์ชัน Lyapunov

การสร้างโปรแกรมควบคุมที่มีความล่าช้าในระบบที่มีข้อมูลครบถ้วนและไม่ครบถ้วน ทฤษฎีบทของ V. I. Zubov ปัญหาการกระจายเงินลงทุนตามอุตสาหกรรม

การสร้างการควบคุมโปรแกรมที่เหมาะสมที่สุดในกรณีเชิงเส้นและไม่ใช่เชิงเส้น หลักการสูงสุดของ Pontryagin

การทำให้ระบบสมการมีเสถียรภาพโดยการควบคุมด้วยการหน่วงเวลาคงที่ อิทธิพลของการหน่วงเวลาแบบแปรผันต่อการทำให้เสถียรในแนวแกนเดียวของตัวโครงแข็ง

วรรณกรรม

1. Zhabko A.P. , Zubov N.V. , Prasolov A.V.วิธีการศึกษาระบบที่มีผลตามมา L. , 1984. ลึก. วินิติ, ฉบับที่ 2103-84.
2. Zubov V.I.เกี่ยวกับทฤษฎีของระบบเคลื่อนที่เชิงเส้นที่มีการโต้แย้งปัญญาอ่อน // Izv. มหาวิทยาลัย เซอร์ คณิตศาสตร์ พ.ศ. 2501 ฉบับที่ 6
3. Zubov V.I.การบรรยายเกี่ยวกับทฤษฎีการควบคุม มอสโก: Nauka, 1975
4. คราซอฟสกี เอ็น.เอ็น.ปัญหาบางประการของทฤษฎีเสถียรภาพการเคลื่อนที่ ม., 2502
5. มัลกิ้น ไอ.จี.ทฤษฎีเสถียรภาพของการเคลื่อนที่
6. มิชกิส A. D.ทฤษฎีทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์พร้อมข้อโต้แย้งปัญญาอ่อน // Uspekhi Mat วิทยาศาสตร์ 2492. V.4, No. 5.
7. Prasolov A.V.การศึกษาเชิงวิเคราะห์และเชิงตัวเลขของกระบวนการไดนามิก เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: สำนักพิมพ์แห่งมหาวิทยาลัยแห่งรัฐเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก 2538
8. Prasolov A.V.แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของพลวัตในระบบเศรษฐกิจ เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: สำนักพิมพ์เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก มหาวิทยาลัยเศรษฐศาสตร์และการคลัง, 2543.
9. Chizhova O. N.การสร้างคำตอบและความเสถียรของระบบสมการเชิงอนุพันธ์ด้วยอาร์กิวเมนต์ปัญญาอ่อน L. , 1988. ปพ. ใน VINITI เลขที่ 8896-B88
10. Chizhova O. N.การรักษาเสถียรภาพของร่างกายที่เข้มงวดโดยคำนึงถึงความล่าช้าเชิงเส้น // ประกาศของมหาวิทยาลัยแห่งรัฐเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก เซอ.1. 2538. ฉบับที่ 4 ฉบับที่ 22.
11. Chizhova O. N.เกี่ยวกับการขยายสมการนอกพื้นที่ด้วยความล่าช้าของตัวแปร // คำถามเกี่ยวกับกลไกและกระบวนการควบคุม ปัญหา. 18. - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: สำนักพิมพ์แห่งมหาวิทยาลัยแห่งรัฐเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก, 2543
12. Elsgolts L. E. , Norkin S. B.ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีการโต้แย้งแบบเบี่ยงเบน ม., 2514.

ระบบเชิงเส้นที่มีความล่าช้าเรียกว่าระบบอัตโนมัติดังกล่าวซึ่งโดยทั่วไปมีโครงสร้างเดียวกันกับระบบเชิงเส้นธรรมดา (ส่วนที่ II) แตกต่างจากระบบหลังตรงที่ในลิงค์หนึ่งลิงค์หรือมากกว่านั้นมีความล่าช้าในเวลาเริ่มต้น ของการเปลี่ยนแปลงในปริมาณเอาต์พุต (หลังจากเริ่มต้นการเปลี่ยนแปลงอินพุต) โดยค่าที่เรียกว่าเวลาหน่วง และเวลาหน่วงนี้จะยังคงที่ตลอดกระบวนการที่ตามมา

ตัวอย่างเช่น หากสมการอธิบายการเชื่อมโยงเชิงเส้นธรรมดา

(ลิงก์แบบไม่ต่อเนื่องของลำดับที่หนึ่ง) จากนั้นสมการของลิงก์เชิงเส้นที่สอดคล้องกับการหน่วงเวลาจะมีรูปแบบ

(ลิงค์เป็นระยะของคำสั่งแรกที่มีความล่าช้า) สมการประเภทนี้เรียกว่าสมการที่มีอาร์กิวเมนต์ปัญญาอ่อนหรือสมการเชิงอนุพันธ์-ผลต่าง

แสดงว่าสมการ (14.2) จะถูกเขียนในรูปแบบปกติ:

ดังนั้น หากค่าอินพุตเปลี่ยนอย่างกะทันหันจากศูนย์เป็นหนึ่ง (รูปที่ 14.1, a) การเปลี่ยนแปลงของค่าที่อยู่ทางด้านขวาของสมการลิงก์จะแสดงโดยกราฟในรูปที่ 14.1b (ข้ามไปหนึ่งวินาทีต่อมา) เมื่อใช้การตอบสนองชั่วคราวของลิงก์ aperiodic ธรรมดาที่ใช้กับสมการ (14.3) เราได้รับการเปลี่ยนแปลงในค่าเอาต์พุตในรูปของกราฟในรูปที่ 14.1 ค. นี่จะเป็นการตอบสนองชั่วคราวของลิงค์แบบ aperiodic ของคำสั่งแรกที่มีการหน่วงเวลา (คุณสมบัติ "เฉื่อย" แบบ aperiodic ของมันถูกกำหนดโดยค่าคงที่เวลา T และการหน่วงเวลาถูกกำหนดโดยค่า

ลิงค์เชิงเส้นที่มีความล่าช้า ในกรณีทั่วไป สำหรับ (14.2) สมการไดนามิกของลิงก์เชิงเส้นใดๆ ที่มีความล่าช้าสามารถเป็นได้

แบ่งออกเป็นสอง:

ซึ่งสอดคล้องกับการแบ่งตามเงื่อนไขของลิงก์เชิงเส้นที่มีความล่าช้า (รูปที่ 14.2, a) เป็นสองส่วน: ลิงก์เชิงเส้นธรรมดาของลำดับเดียวกันและมีค่าสัมประสิทธิ์เดียวกันและองค์ประกอบการหน่วงเวลาก่อนหน้า (รูปที่ 14.2, b)

ดังนั้น ลักษณะเวลาของลิงก์ที่มีการหน่วงเวลาจะเหมือนกับของลิงก์ทั่วไปที่สอดคล้องกัน แต่จะเลื่อนไปตามแกนเวลาไปทางขวาเท่านั้น โดย

ตัวอย่างของลิงค์หน่วงเวลา "บริสุทธิ์" คือสายสื่อสารแบบอะคูสติก - เวลาผ่านของเสียง) ตัวอย่างอื่นๆ ได้แก่ ระบบสำหรับการเติมสารอัตโนมัติที่เคลื่อนที่ด้วยสายพานลำเลียง - เวลาที่สายพานเคลื่อนที่ในบางพื้นที่) รวมถึงระบบควบคุมความหนาของโลหะรีด ซึ่งหมายถึงเวลาที่โลหะเคลื่อนที่ ตั้งแต่ม้วนจนถึงเครื่องวัดความหนา

ในสองตัวอย่างสุดท้าย ปริมาณนี้เรียกว่าความล่าช้าในการขนส่ง

ในการประมาณครั้งแรก ท่อส่งหรือสายไฟฟ้ายาวที่รวมอยู่ในการเชื่อมโยงของระบบอาจมีลักษณะของการหน่วงเวลาในระดับหนึ่ง (สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดู § 14.2)

ค่าของการหน่วงเวลาในลิงก์สามารถพิจารณาได้จากการทดลองโดยการลบลักษณะเวลา ตัวอย่างเช่น หากค่าหนึ่งซึ่งถือเป็นเอกภาพถูกนำไปใช้กับอินพุตของลิงก์ เส้นโค้งการทดลองที่แสดงในรูปที่ 2 จะได้รับที่เอาต์พุต 14.3, b จากนั้นลิงก์นี้สามารถอธิบายได้โดยประมาณว่าเป็นลิงก์ลำดับที่หนึ่งแบบ aperiodic ที่มีความล่าช้า (14.2) โดยรับค่าจากเส้นโค้งการทดลอง (รูปที่ 14.3, b)

โปรดทราบว่าเส้นโค้งการทดลองเดียวกันตามกราฟในรูปที่ 14.3, c ยังสามารถตีความได้ว่าเป็นคุณลักษณะของเวลาของลิงก์ aperiodic อันดับสองสามัญด้วยสมการ

ยิ่งกว่านั้น และ k สามารถคำนวณได้จากความสัมพันธ์ที่เขียนใน§ 4.5 สำหรับลิงก์ที่กำหนด ตามการวัดบางอย่างบนเส้นโค้งการทดลอง หรือด้วยวิธีอื่นๆ

ดังนั้น จากมุมมองของลักษณะเฉพาะของเวลา การเชื่อมโยงจริงซึ่งอธิบายโดยประมาณโดยสมการอันดับหนึ่งพร้อมอาร์กิวเมนต์ปัญญาอ่อน (14.2) มักจะอธิบายได้ด้วยระดับการประมาณเดียวกันด้วยสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับสอง (14.5). เพื่อตัดสินใจว่าสมการใดเหมาะสมที่สุด

การเชื่อมโยงจริง เราสามารถเปรียบเทียบคุณลักษณะเฟสแอมพลิจูดกับคุณลักษณะเฟสแอมพลิจูดของลิงค์ที่ทำการทดลอง ซึ่งแสดงคุณสมบัติไดนามิกระหว่างการสั่นสะเทือนที่ถูกบังคับ การสร้างลักษณะแอมพลิจูดเฟสของลิงก์ที่มีความล่าช้าจะพิจารณาด้านล่าง

เพื่อความเป็นอันหนึ่งอันเดียวกันในการเขียนสมการ เราแทนค่าที่สองของความสัมพันธ์ (14.4) สำหรับองค์ประกอบการหน่วงเวลาในรูปแบบตัวดำเนินการ เราได้ขยายด้านขวาในซีรี่ส์ Taylor

หรือในสัญกรณ์สัญลักษณ์ที่ยอมรับก่อนหน้านี้

นิพจน์นี้สอดคล้องกับสูตรของทฤษฎีบทการหน่วงเวลาสำหรับอิมเมจฟังก์ชัน (ตารางที่ 7.2) ดังนั้นสำหรับลิงก์หน่วงเวลาทั้งหมด เราได้รับฟังก์ชันการถ่ายโอนในแบบฟอร์ม

โปรดทราบว่า ในบางกรณี การมีอยู่ของค่าคงที่เวลาขนาดเล็กจำนวนมากในระบบควบคุมสามารถนำมาพิจารณาในรูปแบบของการหน่วงเวลาคงที่เท่ากับผลรวมของค่าคงที่เวลาเหล่านี้ แท้จริงแล้ว ให้ระบบมีลิงก์ aperiodic ลำดับแรกที่เชื่อมต่อแบบอนุกรมที่มีค่าสัมประสิทธิ์การถ่ายโอนเท่ากับเอกภาพและค่าของค่าคงที่เวลาแต่ละค่า จากนั้น ฟังก์ชันการถ่ายโอนที่ได้จะเป็น

หากอยู่ในขอบเขตที่เราได้รับ ที่ฟังก์ชั่นการถ่ายโอน (14.8) นั้นแตกต่างเล็กน้อยจากฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของลิงค์ที่มีความล่าช้า (14.6)

สมการของลิงค์เชิงเส้นที่มีการหน่วงเวลา (14.4) จะถูกเขียนในรูปแบบ

ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของลิงค์เชิงเส้นที่มีความล่าช้าจะเป็น

ซึ่งแสดงถึงฟังก์ชันการถ่ายโอนของลิงก์เชิงเส้นสามัญที่สอดคล้องกันโดยไม่ชักช้า

ฟังก์ชันถ่ายโอนความถี่หาได้จาก (14.10) โดยการแทนที่

โมดูลัสและเฟสของฟังก์ชันการถ่ายโอนความถี่ของลิงค์อยู่ที่ไหนโดยไม่ชักช้า ดังนั้นเราจึงได้กฎต่อไปนี้

ในการสร้างคุณลักษณะแอมพลิจูดเฟสของลิงก์เชิงเส้นที่มีความล่าช้า คุณต้องใช้คุณลักษณะของลิงก์เชิงเส้นสามัญที่สอดคล้องกัน และเลื่อนจุดแต่ละจุดไปตามวงกลมตามเข็มนาฬิกาเป็นมุม โดยที่ค่าของความถี่การแกว่งอยู่ที่ใด จุดที่กำหนดของคุณลักษณะ (รูปที่ 14.4, a)

ตั้งแต่จุดเริ่มต้นของลักษณะแอมพลิจูดเฟสและในตอนท้าย จุดเริ่มต้นยังคงไม่เปลี่ยนแปลง และการสิ้นสุดของลักษณะจะวนรอบจุดกำเนิดโดยไม่แสดงอาการ (หากระดับของพหุนามตัวดำเนินการน้อยกว่าพหุนาม

ได้มีการกล่าวไว้ข้างต้นว่ากระบวนการชั่วคราวที่แท้จริง (ลักษณะทางโลก) ของรูปแบบในรูปที่ 14.3, b มักจะอธิบายได้ด้วยระดับการประมาณที่เท่ากันทั้งสมการ (14.2) และ (14.5) ลักษณะแอมพลิจูดเฟสสำหรับสมการ (14.2) และ (14.5) แสดงไว้ในรูปที่ 14.4 ก และตามลำดับ ความแตกต่างพื้นฐานของอันแรกคือมีจุด D ของจุดตัดกับแกน

เมื่อเปรียบเทียบลักษณะทั้งสองเข้าด้วยกันและกับลักษณะแอมพลิจูดเฟสทดลองของลิงก์จริง จำเป็นต้องคำนึงถึงไม่เพียงแต่รูปร่างของเส้นโค้งเท่านั้น แต่ยังรวมถึงลักษณะของการกระจายของเครื่องหมายความถี่ด้วย

ระบบเชิงเส้นที่มีการหน่วงเวลา

ปล่อยให้ระบบอัตโนมัติแบบวงจรเดียวหรือหลายวงจรมีลิงค์เดียวโดยมีความล่าช้าระหว่างลิงค์ จากนั้นสมการของลิงค์นี้มีรูปแบบ (14.9) หากมีลิงค์ดังกล่าวหลายลิงค์ก็สามารถมีค่าการหน่วงเวลาต่าง ๆ ได้ สูตรทั่วไปทั้งหมดสำหรับสมการและฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของระบบควบคุมอัตโนมัติที่ได้รับในบทที่ 5 ยังคงใช้ได้สำหรับระบบเชิงเส้นใด ๆ ที่มีความล่าช้าหากมีเพียงค่าของฟังก์ชั่นการถ่ายโอน ถูกแทนที่ในสูตรเหล่านี้ในรูปแบบ ( 14.10)

ตัวอย่างเช่น สำหรับวงจรเปิดของลิงก์ที่เชื่อมต่อแบบอนุกรมซึ่งมีสองลิงก์ที่มีการหน่วงเวลา ตามลำดับ ฟังก์ชันการถ่ายโอนของระบบเปิดจะมีรูปแบบ

โดยที่ฟังก์ชันการถ่ายโอนของวงจรเปิดโดยไม่คำนึงถึงความล่าช้าเท่ากับผลคูณของฟังก์ชันการถ่ายโอนของลิงก์ที่เชื่อมต่อเป็นชุด

ดังนั้น เมื่อศึกษาไดนามิกของวงจรเปิดของลิงก์ที่เชื่อมต่อแบบอนุกรม จึงไม่สำคัญว่าความล่าช้าทั้งหมดจะกระจุกตัวอยู่ในลิงก์เดียวหรือกระจายไปตามลิงก์ต่างๆ สำหรับวงจรหลายวงจะได้ความสัมพันธ์ที่ซับซ้อนมากขึ้น

หากมีลิงก์ที่มีข้อเสนอแนะเชิงลบซึ่งมีความล่าช้า สมการจะอธิบายไว้