การประมาณไดโพลสำหรับการแจกแจงตามอำเภอใจ ศักยภาพของการกระจายประจุที่กำหนด

ใน ปัญหาที่แท้จริงซึ่งสามารถพบได้ในกระบวนการศึกษาฟิสิกส์หรือในการปฏิบัติทางเทคนิคและเทคโนโลยีมักจะไม่ตระหนักถึงภาพที่เรียบง่ายโดยมีประจุจุดแยกกัน ทุกโมเลกุลประกอบด้วยอะตอมที่มีนิวเคลียสที่มีประจุบวกล้อมรอบด้วยประจุลบ - อิเล็กตรอน เป็นผลให้ค่าใช้จ่ายทั้งหมดของระบบไม่ได้อธิบายโดยชุดของค่าใช้จ่ายจุด แต่ การทำงาน p(t) (การพึ่งพาเวลาไม่ถือเป็นไฟฟ้าสถิต) การกระจายความหนาแน่นของประจุฟังก์ชันนี้จะกำหนดประจุในปริมาตรที่น้อยที่สุดที่อยู่รอบๆ จุดที่ต้องการ

เมื่อใช้ p(r) ประจุรวมของระบบจะถูกกำหนดเป็น

ข้าว. 5.20.

ฟังก์ชันการกระจายความหนาแน่นของประจุมีค่ามาก ลักษณะสำคัญระบบประจุ เนื่องจากเมื่อทราบฟังก์ชันนี้แล้ว คุณจะสามารถคำนวณคุณสมบัติของระบบประจุได้

พิจารณาฟิลด์ที่สร้างขึ้น ระบบโดยพลการประจุไฟฟ้าจะกระจายอย่างต่อเนื่องทั่วตัวประจุ อธิบายโดยฟังก์ชัน p(r) (รูปที่ 5.20)

ให้เรากำหนดหน้าที่ในการคำนวณสนามของระบบนี้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง เอ,ในระยะทางที่ค่อนข้างใหญ่ (ก. >> ก.)จากระบบการชาร์จที่เลือก ลองกำหนดทิศทางแกนของระบบพิกัดกัน ออนซ์โดยมีจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุด เกี่ยวกับเพื่อที่จุด กปรากฏว่านอนอยู่บนแกนนี้ ศักย์ไฟฟ้าตรงจุด กตามหลักการซ้อนทับของสนามผลรวม

การลดเงินสมทบจากค่าใช้จ่ายทั้งหมด d คิว =พี(r)dF" = = พี(x", y", z") dV,การสร้างฟิลด์เช่น (ในหน่วยเอสไอ)

ที่ไหน จี -โมดูลัสเวกเตอร์รัศมี ชคะแนน เอ, บีซึ่งคำนวณศักยภาพแล้ว จี"- อาร์กิวเมนต์ฟังก์ชัน

การกระจายค่าธรรมเนียม ร=|ล| - ก - ก",เหล่านั้น. ระยะทางจากองค์ประกอบปริมาตร d วีโดยที่ประจุ d มีความเข้มข้น ถามตรงประเด็น ก.บูรณาการจะดำเนินการในไดรฟ์ข้อมูล (หรือพิกัด ช") ทั่วบริเวณ วีมีค่าใช้จ่ายง ถามให้เราแสดงว่ามุมระหว่างเวกเตอร์เป็น 0

r และ r" แล้วนำมาพิจารณาด้วยทฤษฎีบทโคไซน์ ร=(r 2 + + r "2 - 2/r"cos 0) 1/2 จากนั้นอินทิกรัล (5.54) จะถูกเขียนใหม่ในรูปแบบ

5.1. สนามไฟฟ้าสถิต 369

ค่าของพจน์อินทิกรัลแต่ละพจน์ใน (5.56) ขึ้นอยู่กับลักษณะของการกระจายประจุในระบบ (เช่น บน p (r")) เมื่อคำนวณแล้วจะแสดงด้วยตัวเลข โคเคและ ถึง 2ตามลำดับและการพึ่งพาของ fl บน ชสามารถแสดงด้วยผลรวมได้

ปริมาณ ถึง"เรียกว่า โมเมนต์ไฟฟ้าของระบบ(ลำดับที่หนึ่ง ที่สอง ที่สาม และต่อๆ ไป หากการขยายยังคงดำเนินต่อไป) ให้เราวิเคราะห์คำศัพท์ในวงเล็บ (5.57)

ขนาด ถึง 0ถูกกำหนดโดยอินทิกรัล

และแสดงถึงประจุรวมของระบบที่มีความเข้มข้นที่จุดกำเนิดของพิกัด (จุดที่ เกี่ยวกับในรูป 5.20) พวกเขาเรียกเขาว่า ช่วงเวลาผูกขาด(หรือเพียงแค่ โมโนโพล)โดยปกติแล้วสำหรับระบบที่เป็นกลางทางไฟฟ้า ถึง 0 = 0.

ปริมาณ ถึงและ ถึง 2ไม่เหมือน ถึง 0ขึ้นอยู่กับรูปร่างของการกระจายประจุ ค่าสัมประสิทธิ์ ถึงแสดงถึงค่าเฉลี่ย โมเมนต์ไดโพลไฟฟ้าของระบบประจุ

เนื่องจากค่า r"cos 0 คือพิกัดขององค์ประกอบ d วีบนแกน ออนซ์,ปรากฎว่า เคเอ็กซ์แสดงลักษณะการกระจัดสัมพัทธ์ของค่าบวกและ ประจุลบ พี(อาร์")ดีวี"ตามแนวแกนนี้ จริงๆ แล้ว ถ้าเราจินตนาการถึงระบบที่ประกอบด้วยประจุที่ต่างกันสองประจุ ±คิวที่จุด (0, 0, z) และ (0, 0, - ซ)กับ z= -/ โดยที่ / คือระยะทาง

ระหว่างประจุ ดังนั้นค่า r"cosQ = ±-/ สามารถนำออกมาได้

สำหรับเครื่องหมายอินทิกรัล (5.59) จากนั้นนิพจน์ที่เหลือ Jp(r")dF" จะเท่ากับประจุ ถามและสัมประสิทธิ์ทั้งหมด เคบีเท่ากัน แอลคิว=พี,จะประกอบเป็นโมเมนต์ไดโพลไฟฟ้าที่มุ่งไปตามทิศทาง ช(แนะนำในหัวข้อย่อย 5.1.5)

ค่าสัมประสิทธิ์ ถึง 2คือการแสดงออก

และถูกเรียกว่า โมเมนต์สี่เท่าใน SI โมเมนต์สี่เท่ามีหน่วยเป็น C m สำหรับการกระจายประจุแบบสมมาตรทรงกลม ถึง 2= 0 สำหรับ “โอเบลต” ตามแนวแกน ออนซ์การกระจาย ประจุบวก ถึง 2 0 และสำหรับค่าลบ ถึง 2> 0. หากการกระจายประจุยืดออกไปตามแนวแกน ออนซ์,แล้วความสัมพันธ์ระหว่างสัญญาณของข้อกล่าวหาสำหรับ ถึง 2จะตรงกันข้าม

ข้อเท็จจริงที่สำคัญก็คือ จากการแสดงออก (5.57) ศักยภาพ สนามไฟฟ้าสถิตระบบประจุแบบกระจายจะลดลงแตกต่างกันตามระยะทาง r ไปยังจุดสังเกตที่เพิ่มขึ้น: ยิ่งลำดับของโมเมนต์ไฟฟ้าสูงเท่าไร ความต่างศักย์ของสนามที่สร้างขึ้นก็จะยิ่งลดลงตามระยะทาง แม้แต่ระบบที่เป็นกลาง (อะตอม โมเลกุล) ก็สร้างสนามไฟฟ้ารอบตัวมันเอง ซึ่งระบบเหล่านี้มีปฏิสัมพันธ์ระหว่างกัน ดังนั้น ยิ่งลำดับของโมเมนต์ไฟฟ้าสูงเท่าไร พลังงานของการโต้ตอบของประจุกับสนามก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ปฏิสัมพันธ์ของไดโพลระหว่างกัน (ปฏิสัมพันธ์ของไดโพล-ไดโพล) นั้นอ่อนแอกว่าปฏิสัมพันธ์ของประจุจุด (โมโนโพล) กับศักยภาพคูลอมบ์อย่างเห็นได้ชัด เป็นต้น

• โมเมนต์สี่เท่ามีรายละเอียดเพิ่มเติมในหัวข้อย่อย 9.2.3 ในการวิเคราะห์
• คุณสมบัติของนิวเคลียสของอะตอม

ความแรงของสนามไฟฟ้าของประจุบวกจุดเดียว ถามตรงจุด กในระยะไกล รจากประจุ (รูปที่ 2.1) เท่ากับ

ที่นี่ - เวกเตอร์หน่วยกำกับตามแนวเส้นตรงที่เชื่อมจุดนี้กับประจุ

รูปที่.2.1. สนามชาร์จจุด

ปล่อยให้ศักยภาพเป็นศูนย์ที่อนันต์ แล้วศักยภาพ จุดใดก็ได้ช่องชาร์จจุด

.

ในกรณีของการกระจายประจุตามปริมาตร (ในพื้นที่จำกัด) ให้คำนึงถึงด้วย เรามี:

.

ในทำนองเดียวกันเรามี:

สำหรับ การกระจายพื้นผิวค่าใช้จ่าย ,

สำหรับการกระจายประจุเชิงเส้น .

สมการปัวซองและลาปลาซ

ก่อนหน้านี้ได้รับ
- แล้ว:

จากที่เราได้รับสมการปัวซอง:

หรือ .

- ผู้ปฏิบัติงาน ลาปลาซ(ลาปลาเซียน, ตัวดำเนินการเดลต้า)

ใน ระบบคาร์ทีเซียนพิกัด สามารถนำเสนอในรูปแบบ

คำตอบของสมการปัวซองวี มุมมองทั่วไปสามารถพบได้ดังนี้ ให้เราถือว่าในปริมาณ วีมีประจุที่มีความหนาแน่น r ให้เราแสดงค่าใช้จ่ายเหล่านี้เป็นการรวบรวมค่าใช้จ่ายจุด r ดีวี, ที่ไหน ดีวี- องค์ประกอบปริมาณ องค์ประกอบที่มีศักยภาพ งเจ สนามไฟฟ้าจาก ค่าใช้จ่ายเบื้องต้นร ดีวีเท่ากับ .

ค่าของ j ถูกกำหนดให้เป็นผลรวม (จำนวนเต็ม) ของศักยภาพจากประจุภาคสนามทั้งหมด:

.

สันนิษฐานว่าศักย์ไฟฟ้าที่อนันต์เป็นศูนย์ และประจุที่สร้างสนามข้อมูลจะถูกกระจายในพื้นที่จำกัด (ไม่เช่นนั้นอินทิกรัลอาจกลายเป็นลู่ออก)

ในสภาวะจริง ประจุฟรีจะอยู่ที่พื้นผิวของตัวนำในชั้นบางๆ ที่ไม่สิ้นสุด ในไดอิเล็กทริกที่แยกตัวนำที่มีประจุไฟฟ้าจะไม่มีการประจุพื้นที่ - ในกรณีนี้ ในอิเล็กทริกเรามีสมการลาปลาซ:

หรือ .

สำหรับโซลูชั่นที่ไม่เหมือนใคร สมการเชิงอนุพันธ์ฟิลด์ จำเป็นต้องมีเงื่อนไขขอบเขต

เงื่อนไขขอบเขตของเวกเตอร์สนามไฟฟ้า

ปล่อยให้ส่วนต่อประสานระหว่างไดอิเล็กทริกสองตัวต่างกัน ค่าคงที่ไดอิเล็กทริกε 1 และ ε 2 ประจุพื้นผิวที่มีความหนาแน่น σ ถูกกระจาย

ให้เราล้อมจุดบนส่วนต่อประสานระหว่างสื่อด้วยทรงกระบอกพื้นฐาน ( ความสูงของกระบอกสูบ น้อยกว่ารัศมีมาก) เพื่อให้ฐานของมันอยู่ในสภาพแวดล้อมที่แตกต่างกันและตั้งฉากกับจุดปกติที่วาด ณ จุดที่เป็นปัญหา (รูปที่ 2.2) ทรงกระบอกนี้ครอบคลุมพื้นที่เล็กๆ ที่ส่วนต่อประสานระหว่างตัวกลางที่มีประจุ σ

เราแสดงเวกเตอร์การกระจัดทางไฟฟ้าในสื่อที่หนึ่งและที่สองตามและตามลำดับ

ขอให้เราใช้ทฤษฎีบทของเกาส์กับพื้นผิวของทรงกระบอก

,

ที่ไหน ส— พื้นผิวของทรงกระบอกประถม

รูปที่.2.2. เวกเตอร์ของการกระจัดทางไฟฟ้าที่ขอบเขตของตัวกลาง

ให้เรากำหนดปริมาตรของกระบอกสูบให้เป็นศูนย์โดยมีเงื่อนไขว่าความสูงของกระบอกสูบน้อยกว่ารัศมีมาก ในกรณีนี้ เราสามารถละเลยเวกเตอร์ที่ไหลผ่านได้ พื้นผิวด้านข้าง- เมื่อพิจารณาถึงขนาดที่เล็กของพื้นที่ฐาน เราสามารถสรุปได้ว่าเวกเตอร์ภายในพื้นที่นั้นมีค่าเท่ากัน โดยคำนึงถึงสิ่งนี้ หลังจากการบูรณาการสำหรับการฉายภาพของเวกเตอร์เข้ากับเส้นปกติที่เราได้รับ

เมื่อพิจารณาแล้วว่า หลังจากการลดลง เราจะได้เงื่อนไขขอบเขตสำหรับส่วนประกอบปกติของเวกเตอร์การกระจัดทางไฟฟ้า

ดร 2 –ดร 1 = σ . (**)

การฉายภาพปกติของเวกเตอร์การกระจัดทางไฟฟ้าที่ส่วนต่อประสานระหว่างสื่อทั้งสองผ่านการกระโดดเท่ากับความหนาแน่นพื้นผิวของประจุอิสระที่กระจายอยู่ที่ส่วนต่อประสานนี้.

ในกรณีที่ไม่มีสื่อที่อินเทอร์เฟซ ประจุพื้นผิวเรามี .

ที่ส่วนต่อประสานระหว่างไดอิเล็กทริกสองตัวในกรณีที่ไม่มีส่วนต่อประสานระหว่างสื่อทั้งสอง ฟรีค่าใช้จ่ายส่วนประกอบปกติของเวกเตอร์การกระจัดทางไฟฟ้ามีค่าเท่ากัน

ให้เราเลือกรูปร่างเล็ก ๆ ที่ส่วนต่อประสานระหว่างสื่อในลักษณะที่ด้านข้าง เกี่ยวกับและ ซีดีอยู่ในสภาพแวดล้อมที่แตกต่างกันและตั้งฉากกับเส้นปกติที่จุดที่ต้องการ (รูปที่ 2.3) ขนาดของด้านข้างมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ รูปร่างเป็นไปตามเงื่อนไข

รูปที่.2.3. เวกเตอร์ความแรงของสนามไฟฟ้าที่ขอบเขตของตัวกลาง

ให้เราใช้สมการที่สองของ Maxwell ในรูปแบบอินทิกรัลกับรูปร่าง:

,

โดยที่พื้นที่ผิวถูกจำกัดด้วยรูปทรง เอบีซีดี- คือเวกเตอร์ของพื้นที่เบื้องต้นตั้งฉากกับพื้นที่

เมื่อทำการอินทิกรัล เราละเลยการมีส่วนร่วมของอินทิกรัลที่ด้านข้าง ดาและ ก่อนคริสต์ศักราชเนื่องจากมีขนาดเล็ก แล้ว:

เนื่องจากค่าจำกัดมีแนวโน้มเป็นศูนย์

(***)

.

ที่ส่วนต่อประสานระหว่างไดอิเล็กตริกสองตัว ส่วนประกอบในวงสัมผัสของเวกเตอร์ความแรงของสนามไฟฟ้าจะเท่ากัน

หากไม่มีประจุพื้นผิวบนส่วนต่อประสานระหว่างสื่อ

นิพจน์ (*) และ (***) เราได้รับความสัมพันธ์ที่กำหนดการหักเหของเวกเตอร์และที่ส่วนต่อประสานระหว่างสื่อ

• อเล็กซานเดอร์ นิโคเลวิช เฟอร์ส เบโลรุสเซียน มหาวิทยาลัยของรัฐ, Nezavisimosti Ave., 4, 220030, มินสค์, สาธารณรัฐเบลารุส

คำอธิบายประกอบ

ในการสอบเทียบคูลอมบ์ จะมีการคำนวณศักย์สนามของการกระจายประจุและกระแสตามอำเภอใจ แสดงให้เห็นว่าศักยภาพของเวกเตอร์นั้นถูกกำหนดไม่เพียงแต่โดยค่าของความหนาแน่นกระแส ณ ช่วงเวลาที่ล่าช้าเท่านั้น แต่ยังรวมถึงประวัติความเป็นมาของการเปลี่ยนแปลงความหนาแน่นประจุในช่วงเวลาที่ถูกจำกัดโดยความล่าช้าและ ช่วงเวลาปัจจุบัน- ได้รับ มุมมองที่แตกต่างกันศักย์ไฟฟ้าของเลียนาร์ด–วีเชิร์ตในเกจคูลอมบ์ ใช้กับกรณีของประจุที่เคลื่อนที่สม่ำเสมอและเป็นเส้นตรง

ประวัติผู้แต่ง

อเล็กซานเดอร์ นิโคเลวิช เฟอร์ส มหาวิทยาลัยแห่งรัฐเบลารุส, Independence Ave., 4, 220030, มินสค์, สาธารณรัฐเบลารุส

วิทยาศาสตรดุษฎีบัณฑิต สาขาวิทยาศาสตร์กายภาพและคณิตศาสตร์ รองศาสตราจารย์; ศาสตราจารย์ภาควิชาฟิสิกส์ทฤษฎีและฟิสิกส์ดาราศาสตร์ คณะฟิสิกส์

วรรณกรรม

1. Landau L. D. , Lifshits E. M. ทฤษฎีภาคสนาม ม., 1973.
2. แจ็คสัน เจ. พลศาสตร์ไฟฟ้าคลาสสิก ม., 1965.
3. Bredov M. M. , Rumyantsev V. V. , Toptygin I. N. ไฟฟ้าพลศาสตร์คลาสสิก ม., 1985.
4. ไฮท์เลอร์ ดับเบิลยู. ทฤษฎีควอนตัมรังสี ม., 1956.
5. Ginzburg V.L. ฟิสิกส์เชิงทฤษฎีและฟิสิกส์ดาราศาสตร์ บทเพิ่มเติม ม., 1980.
6. Wundt B. J., Jentschura U. D. แหล่งที่มา ศักยภาพ และสาขาใน Lorenz และ Coulomb gauge: การยกเลิกปฏิสัมพันธ์ทันทีสำหรับประจุที่เคลื่อนที่ // แอน ฟิสิกส์ 2555. ฉบับ. 327 ฉบับที่ 4 หน้า 1217–1230
7. Akhiezer A.I., Berestetsky V.B. พลศาสตร์ไฟฟ้าควอนตัม ม., 1969.

คำหลัก

ค่าคงที่ของเกจ, เกจลอเรนซ์และคูลอมบ์, ศักย์ปัญญาอ่อน, ศักย์ไฟฟ้าของไลนาร์ด–วีเชิร์ต

1. ผู้เขียนสงวนลิขสิทธิ์ผลงานและให้สิทธิ์แก่วารสารในการตีพิมพ์ผลงานครั้งแรกภายใต้เงื่อนไขของใบอนุญาต Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 ระหว่างประเทศ (CC BY-NC 4.0)
2. ผู้เขียนสงวนสิทธิ์ในการทำสัญญาแยกต่างหากสำหรับการจำหน่ายแบบไม่ผูกขาดของผลงานตามที่ตีพิมพ์ที่นี่ (เช่น การจัดวางในพื้นที่เก็บข้อมูลของสถาบัน การตีพิมพ์ในหนังสือ) โดยอ้างอิงถึงการตีพิมพ์ต้นฉบับในวารสารนี้
3. ผู้เขียนมีสิทธิ์โพสต์ผลงานของตนทางออนไลน์ (เช่น บนพื้นที่เก็บข้อมูลของสถาบันหรือเว็บไซต์ส่วนตัว) ก่อนและระหว่างกระบวนการตรวจสอบวารสาร เนื่องจากอาจนำไปสู่การอภิปรายที่มีประสิทธิผลและ มากกว่าเชื่อมโยงไปยัง งานนี้- (ซม.

สนามชาร์จจุด

ให้มีการชาร์จหนึ่งจุด ถาม- นี้ กรณีพิเศษสมมาตรทรงกลม เรามีสูตร: , โดยที่
– ประจุภายในทรงกลมรัศมี รแต่ถ้าประจุเป็นจุด ก็แสดงว่าเป็นประจุจุด
เพื่ออะไรก็ตาม ร- เป็นที่ชัดเจนว่าทำไม ณ รัศมีใดๆ ภายในทรงกลม จุดจึงยังคงเป็นจุด และสำหรับการคิดแต้ม
- นี่คือสนามของการชาร์จแบบจุด ศักยภาพของสนามประจุพอยต์:
.

สนามของระบบประจุแต้ม หลักการซ้อนทับ

ให้เรามีระบบการเรียกเก็บเงิน
จากนั้นความแรงของสนามที่สร้างขึ้นโดยระบบประจุแบบจุด ณ จุดใดๆ จะเท่ากับผลรวมของความแรงที่สร้างขึ้นโดยแต่ละประจุ ฉันสามารถเขียนได้ทันที
หากคุณสามารถอ่านสูตรได้อย่างคล่องแคล่ว เรียนรู้การอ่านสูตรแบบเล่าเรื่อง ค่าใช้จ่าย คูณด้วยเวกเตอร์
และหารด้วยโมดูลัสของเวกเตอร์นี้ และโมดูลัสของเวกเตอร์คืออะไรคือความยาว ทั้งหมดนี้ให้เวกเตอร์กำกับตามเวกเตอร์
.

ความจริงที่ว่าฟิลด์ต่างๆ เพิ่มขึ้นนั้นไม่ชัดเจนเลย นี่เป็นผลมาจากความเป็นเส้นตรงของสมการของแมกซ์เวลล์ สมการเป็นเส้นตรง - ซึ่งหมายความว่าหากคุณพบวิธีแก้ปัญหาสองข้อ ก็จะรวมกัน มีสาขาใดบ้างที่หลักการซ้อนทับไม่มีอยู่? มี. สนามโน้มถ่วงไม่ได้อยู่ในทฤษฎีของนิวตัน แต่เป็นของทฤษฎีที่ถูกต้อง ไม่เป็นไปตามหลักการของการซ้อนทับ โลกสร้างความตึงเครียดในบางจุด ลูน่าด้วย พวกเขาวางโลกและดวงจันทร์ ความตึงเครียด ณ จุดหนึ่งไม่เท่ากับผลรวมของความตึงเครียด สมการสนามไม่เป็นเส้นตรง ทางกายภาพ หมายความว่าสนามโน้มถ่วงเป็นแหล่งกำเนิดของมันเอง ดังนั้น. แค่นั้นแหละ มันจบแล้ว

ครั้งล่าสุดที่เราหยุดคุยเรื่องสนาม สร้างขึ้นโดยระบบค่าธรรมเนียม และเราเห็นว่าช่องที่สร้างขึ้นโดยแต่ละประจุแยกกัน ณ จุดที่กำหนดรวมกันแล้ว ในเวลาเดียวกันฉันเน้นย้ำว่านี่ไม่ใช่สิ่งที่ชัดเจนที่สุด - นี่คือคุณสมบัติของปฏิสัมพันธ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้า ทางกายภาพ มันเป็นเพราะความจริงที่ว่าสนามนั้นไม่ใช่แหล่งกำเนิดอย่างเป็นทางการ นี่เป็นผลมาจากความจริงที่ว่าสมการนั้นเป็นเส้นตรง มีตัวอย่างของสนามทางกายภาพที่เป็นแหล่งที่มาของมันเอง นั่นคือหากฟิลด์นี้มีอยู่ในปริมาตรหนึ่ง มันจะสร้างสนามขึ้นมาเองในพื้นที่โดยรอบ ซึ่งแสดงให้เห็นอย่างเป็นทางการแล้วว่าสมการนั้นไม่เป็นเชิงเส้น ฉันเขียนสูตรสำหรับความตึงเครียดที่นั่น
เรามาเขียนสูตรอื่นสำหรับศักยภาพกันดีกว่า

ศักยภาพของระบบประจุแต้ม

และ มีระบบชาร์จ
ฯลฯ แล้วถึงจุดหนึ่ง เราจะเขียนสูตรต่อไปนี้:
- นี่คือสูตรของศักยภาพ ความตึงเครียดเท่ากับผลรวมของความตึงเครียดและศักยภาพ เท่ากับผลรวมศักยภาพ

ซี บันทึก. การคำนวณศักยภาพมากกว่าความตึงเครียดมักจะสะดวกกว่าเสมอด้วยเหตุผลที่ชัดเจน: ความตึงเครียดเป็นเวกเตอร์และต้องเพิ่มเวกเตอร์ตามกฎของการบวกเวกเตอร์ กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน แน่นอนว่างานนี้น่าเบื่อกว่า กว่าการบวกตัวเลข ศักย์คือปริมาณสเกลาร์ ดังนั้น เกือบทุกครั้งเมื่อเรามีการกระจายประจุที่หนาแน่นเพียงพอ เราจะมองหาศักยภาพ แล้วหาความแรงของสนามโดยใช้สูตร:
. 1)

ฟิลด์ที่สร้างขึ้นโดยการกระจายค่าธรรมเนียมแบบจำกัดตามอำเภอใจ 1).

ฉายา "จำกัด" หมายถึงอะไรที่นี่? ความจริงที่ว่าประจุนั้นถูกแปลเป็นภาษาท้องถิ่นในพื้นที่จำกัด กล่าวคือ เราสามารถครอบคลุมประจุนี้ด้วยพื้นผิวปิด โดยที่ไม่มีประจุอยู่นอกพื้นผิวนี้ เห็นได้ชัดว่าจากมุมมองของฟิสิกส์ นี่ไม่ใช่ข้อจำกัด และแท้จริงแล้ว เรามักจะจัดการกับการกระจายตัวที่จำกัดเท่านั้น ไม่มีสถานการณ์ใดที่ประจุจะแพร่กระจายไปทั่วจักรวาล แต่ประจุจะกระจุกตัวอยู่ในนั้น บางพื้นที่

ใน

นี่คือปัญหา: พื้นที่ถูกครอบครองโดยประจุ ประจุไฟฟ้าถูกกระจายไปทั่วบริเวณนี้ เราต้องอธิบายลักษณะเฉพาะของประจุนี้ให้ครบถ้วนและค้นหาสนามที่มันสร้างขึ้น การระบุลักษณะการกระจายประจุโดยสมบูรณ์หมายความว่าอย่างไร ลองใช้องค์ประกอบปริมาตร
ตำแหน่งขององค์ประกอบนี้จะถูกระบุโดยเวกเตอร์รัศมี ก็มีประจุอยู่ในองค์ประกอบนี้
- เพื่อที่จะหาสนามแม่เหล็ก เราจำเป็นต้องรู้ประจุของแต่ละองค์ประกอบของปริมาตร ซึ่งหมายความว่าเราจำเป็นต้องรู้ความหนาแน่นประจุในแต่ละจุด นี่คือฟังก์ชัน
นำเสนอเพื่อจุดประสงค์ของเรา เป็นการอธิบายลักษณะการกระจายประจุอย่างละเอียดถี่ถ้วน เราไม่จำเป็นต้องรู้อะไรอีก

ให้เราสนใจสนามตรงจุด - แล้วหลักการของการซ้อน เราสามารถนับค่าใช้จ่ายได้ ดีคิวซึ่งอยู่ในองค์ประกอบปริมาตรนี้ จุดที่ 2) เราสามารถเขียนนิพจน์เกี่ยวกับศักยภาพที่องค์ประกอบนี้สร้างขึ้นได้ทันที:
นี่คือศักยภาพที่องค์ประกอบสร้างขึ้น ณ จุดนั้น - และตอนนี้ก็ชัดเจนว่าเราจะค้นพบศักยภาพสูงสุด ณ จุดนี้โดยการสรุปองค์ประกอบทั้งหมด ลองเขียนผลรวมนี้เป็นอินทิกรัล:
. 3)

สูตรนี้ใช้ได้ผลดีกับการกระจายประจุใดๆ ไม่มีปัญหาอื่นนอกจากการคำนวณอินทิกรัล แต่คอมพิวเตอร์จะคำนวณผลรวมดังกล่าว พบความแรงของสนาม:
- เมื่อคำนวณอินทิกรัลแล้ว ความตึงเครียดจะเกิดขึ้นได้ง่ายๆ ด้วยการหาอนุพันธ์

สูตร - กฎของคูลอมบ์

โดยที่ k คือสัมประสิทธิ์สัดส่วน

ค่าใช้จ่ายจุดคงที่ไตรมาส 1, ไตรมาส 2

ระยะห่างระหว่างประจุ

3. ความแรงของสนามไฟฟ้า- เวกเตอร์ ปริมาณทางกายภาพที่แสดงลักษณะของสนามไฟฟ้าที่จุดที่กำหนดและเป็นตัวเลขเท่ากับอัตราส่วนของแรงที่กระทำต่อประจุทดสอบที่อยู่นิ่งซึ่งวาง ณ จุดที่กำหนดในสนามต่อขนาดของประจุนี้:

ความแรงของสนามไฟฟ้าของประจุแบบจุด

[แก้ไข] ในหน่วย SI

สำหรับประจุจุดในไฟฟ้าสถิต กฎของคูลอมบ์เป็นจริง

ความแรงของสนามไฟฟ้าของการกระจายประจุตามอำเภอใจ

ตามหลักการของการซ้อนทับสำหรับความแรงของสนามแม่เหล็กของชุดแหล่งกำเนิดที่ไม่ต่อเนื่อง เรามี:

แต่ละอันอยู่ที่ไหน

4. หลักการซ้อนทับ- หนึ่งในกฎทั่วไปที่สุดในฟิสิกส์หลายสาขา ในการกำหนดที่ง่ายที่สุด หลักการของการซ้อนทับระบุว่า:

· ผลของผลกระทบต่ออนุภาคหลายตัว กองกำลังภายนอกคือผลรวมเวกเตอร์ของอิทธิพลของแรงเหล่านี้

หลักการซ้อนทับที่มีชื่อเสียงที่สุดคือในเรื่องไฟฟ้าสถิต ซึ่งหลักการดังกล่าวกล่าวไว้เช่นนั้น ความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตที่สร้างขึ้นที่จุดที่กำหนดโดยระบบประจุคือผลรวมของความแรงของสนามไฟฟ้าของประจุแต่ละประจุ.

หลักการของการซ้อนทับยังสามารถใช้สูตรอื่นได้ซึ่ง เทียบเท่าอย่างสมบูรณ์ข้างบน:

· ปฏิสัมพันธ์ระหว่างอนุภาคทั้งสองจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการนำอนุภาคที่สามเข้ามา ซึ่งจะโต้ตอบกับอนุภาคสองตัวแรกด้วย

· พลังงานอันตรกิริยาของอนุภาคทั้งหมดในระบบอนุภาคหลายตัวเป็นเพียงผลรวมของพลังงาน ปฏิสัมพันธ์คู่ระหว่างคู่อนุภาคที่เป็นไปได้ทั้งหมด ไม่อยู่ในระบบ ปฏิสัมพันธ์หลายอนุภาค.

· สมการที่อธิบายพฤติกรรมของระบบหลายอนุภาคได้แก่ เชิงเส้นตามจำนวนอนุภาค

มันคือความเป็นเส้นตรง ทฤษฎีพื้นฐานในสาขาฟิสิกส์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณามีเหตุผลสำหรับการเกิดขึ้นของหลักการซ้อนทับในนั้น

ในไฟฟ้าสถิตหลักการซ้อนทับเป็นผลมาจากสมการของแมกซ์เวลล์ในสุญญากาศนั้นเป็นเส้นตรง จากนี้ไปสามารถคำนวณพลังงานศักย์ของปฏิกิริยาไฟฟ้าสถิตของระบบประจุได้อย่างง่ายดายโดยการคำนวณพลังงานศักย์ของประจุแต่ละคู่

5. งานสนามไฟฟ้า.

6. ศักย์ไฟฟ้าเท่ากับอัตราส่วน พลังงานศักย์ปฏิสัมพันธ์ของประจุกับสนามตามขนาดของประจุนี้:

ความแรงและศักย์ของสนามไฟฟ้าสถิตสัมพันธ์กันตามความสัมพันธ์

7. หลักการซ้อนทับของสนามไฟฟ้าสถิต แรงหรือสนามจากประจุที่แตกต่างกันจะถูกรวมเข้าด้วยกันโดยคำนึงถึงตำแหน่งหรือทิศทาง (เวกเตอร์) นี่เป็นการแสดงออกถึงหลักการของ "การซ้อนทับ" ของสนามหรือศักย์ไฟฟ้า: ศักย์สนามของประจุหลายประจุมีค่าเท่ากับ ผลรวมพีชคณิตศักยภาพของประจุแต่ละประจุ φ=φ 1+φ2+…+φn= ∑i nφi เครื่องหมายแห่งศักยภาพเกิดขึ้นพร้อมกับเครื่องหมายแห่งการพุ่งชน φ=กิโลคิว/อาร์.

8. พลังงานศักย์ของประจุในสนามไฟฟ้าให้เราเปรียบเทียบปฏิสัมพันธ์ระหว่างแรงโน้มถ่วงของวัตถุกับปฏิกิริยาไฟฟ้าสถิตของประจุต่อไป มวลกาย มในสนามโน้มถ่วงของโลกมีพลังงานศักย์
งานที่ทำโดยแรงโน้มถ่วงเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักย์ที่ได้รับ เครื่องหมายตรงข้าม:

ก = -(ว p2- ว p1) = มก.

(ต่อไปนี้เราจะแสดงพลังงานด้วยตัวอักษร ว.)
เช่นเดียวกับร่างกายที่มีมวล มในสนามแรงโน้มถ่วงมีพลังงานศักย์เป็นสัดส่วนกับมวลของร่างกาย ประจุไฟฟ้าในสนามไฟฟ้าสถิตจะมีพลังงานศักย์ ว p สัดส่วนกับประจุ ถาม- งานของแรงสนามไฟฟ้าสถิต กเท่ากับการเปลี่ยนแปลงพลังงานศักย์ของประจุในสนามไฟฟ้า โดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม:

9. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการไหลเวียนของเวกเตอร์แรงดึงในรูปแบบอินทิกรัล:

ใน รูปแบบที่แตกต่าง:

10. ความสัมพันธ์ระหว่างศักยภาพและความตึงเครียด อี= - ผู้สำเร็จการศึกษา = -ñ .

ความเข้มที่จุดใดๆ ของสนามไฟฟ้าจะเท่ากับความชันศักย์ ณ จุดนี้ โดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม- เครื่องหมายลบแสดงว่ามีความตึงเครียด อีมุ่งไปสู่การลดศักยภาพ

11. การไหลของเวกเตอร์แรงดึง.

ทฤษฎีบทของเกาส์ในรูปแบบอินทิกรัล:ที่ไหน

· - การไหลของเวกเตอร์ความแรงของสนามไฟฟ้าผ่านพื้นผิวปิด

· - ประจุทั้งหมดที่มีอยู่ในปริมาตรที่จำกัดพื้นผิว

· - ค่าคงที่ทางไฟฟ้า

สำนวนนี้แสดงถึงทฤษฎีบทของเกาส์ในรูปแบบอินทิกรัล

ในรูปแบบที่แตกต่างกัน: ที่นี่ - ความหนาแน่นรวมประจุ (ต่อหน้าตัวกลาง คือ ความหนาแน่นรวมของประจุอิสระและประจุผูกพัน) และเป็นตัวดำเนินการที่สังเกตได้

12. การประยุกต์กฎของเกาส์1. ความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตที่สร้างขึ้น พื้นผิวทรงกลมที่มีประจุสม่ำเสมอ.

ปล่อยให้พื้นผิวทรงกลมรัศมี R (รูปที่ 13.7) เคลื่อนตัวสม่ำเสมอ ค่าใช้จ่ายแบบกระจายคำถาม เช่น ความหนาแน่นของพื้นผิวประจุ ณ จุดใดจุดหนึ่งบนทรงกลมจะเท่ากัน

ก. ให้เราล้อมพื้นผิวทรงกลมของเราไว้ในพื้นผิวสมมาตร S ด้วยรัศมี r>R ฟลักซ์ของเวกเตอร์แรงดึงที่ผ่านพื้นผิว S จะเท่ากับ

โดยทฤษฎีบทของเกาส์

เพราะฉะนั้น

ค. ให้เราวาดผ่านจุด B ซึ่งอยู่ภายในพื้นผิวทรงกลมที่มีประจุ ซึ่งเป็นทรงกลม S ที่มีรัศมี r

ความแรงของสนามไฟฟ้าของเกลียวเส้นตรงที่มีประจุสม่ำเสมอไม่สิ้นสุด(หรือกระบอกสูบ)

สมมติว่าพื้นผิวทรงกระบอกกลวงที่มีรัศมี R มีความหนาแน่นเชิงเส้นคงที่

ให้เราวาดรัศมีพื้นผิวทรงกระบอกโคแอกเซียล

โดยทฤษฎีบทของเกาส์

จากสองนิพจน์สุดท้าย เราจะกำหนดความแรงของสนามที่สร้างขึ้นโดยเธรดที่มีประจุสม่ำเสมอ:

นิพจน์นี้ไม่รวมพิกัด ดังนั้น สนามไฟฟ้าสถิตจะสม่ำเสมอ และความเข้มของสนามที่จุดใดๆ ในสนามจะเท่ากัน

13. ไดโพลไฟฟ้า.

ไดโพลไฟฟ้า- ระบบที่มีประจุจุดตรงข้ามโมดูลัสเท่ากัน () ซึ่งมีระยะห่างระหว่างกันซึ่งน้อยกว่าระยะห่างถึงจุดสนามที่กำลังพิจารณาอย่างมาก
แขนไดโพล- เวกเตอร์ที่พุ่งไปตามแกนไดโพล (เส้นตรงที่ผ่านประจุทั้งสอง) จากประจุลบไปยังประจุบวก และเท่ากับระยะห่างระหว่างประจุทั้งสอง .
โมเมนต์ไดโพลไฟฟ้า (โมเมนต์ไดโพล):
.

ศักยภาพของสนามไดโพล:

ความแรงของสนามไดโพลณ จุดใดก็ได้ (ตามหลักการซ้อนทับ):

โดยที่ และ คือความแรงของสนามที่สร้างขึ้นโดยประจุบวกและลบตามลำดับ

ความแรงของสนามไดโพลตามแนวส่วนขยายของแกนไดโพลที่จุด ก:
.
ความแรงของสนามของไดโพลที่ตั้งฉากกับแกนจากจุดกึ่งกลางที่จุด บี:
.