การกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม ตัวอย่างการแก้ปัญหาในหัวข้อ “ตัวแปรสุ่ม ค้นหากฎการกระจายและความแปรปรวนของจำนวนสุ่ม

คำนิยาม.การกระจาย (กระจาย)ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวแปรสุ่มจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

ตัวอย่าง. สำหรับตัวอย่างข้างต้น เราพบว่า

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มคือ:

ค่าที่เป็นไปได้ของส่วนเบี่ยงเบนกำลังสอง:

; ;

การกระจายคือ:

อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัติวิธีการคำนวณความแปรปรวนนี้ไม่สะดวกเพราะ นำไปสู่การคำนวณที่ยุ่งยากสำหรับค่าจำนวนมากของตัวแปรสุ่ม ดังนั้นจึงใช้วิธีอื่น

การคำนวณผลต่าง

ทฤษฎีบท. ความแปรปรวนเท่ากับความแตกต่างระหว่างความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของกำลังสองของตัวแปรสุ่ม X และกำลังสองของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

การพิสูจน์.โดยคำนึงถึงความจริงที่ว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และกำลังสองของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นค่าคงที่ เราสามารถเขียน:

ลองใช้สูตรนี้กับตัวอย่างด้านบน:

เอ็กซ์
x2
หน้า	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

คุณสมบัติการกระจายตัว

1) การกระจายตัวของค่าคงที่เป็นศูนย์:

2) สามารถนำปัจจัยคงที่ออกจากเครื่องหมายการกระจายได้โดยการยกกำลังสอง:

3) ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านี้:

4) ความแปรปรวนของผลต่างของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านี้:

ความถูกต้องของความเท่าเทียมกันนี้ตามมาจากคุณสมบัติ 2

ทฤษฎีบท. ความแปรปรวนของจำนวนเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นในการทดลองอิสระ n ครั้ง ซึ่งแต่ละครั้งมีความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์คงที่ เท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองโดยความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นและความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ไม่เกิดขึ้นในการพิจารณาคดีแต่ละครั้ง:

ตัวอย่าง.โรงงานแห่งนี้ผลิตผลิตภัณฑ์ชั้นหนึ่ง 96% และผลิตภัณฑ์ชั้นสอง 4% 1,000 รายการจะถูกสุ่มเลือก อนุญาต เอ็กซ์- จำนวนผลิตภัณฑ์ของเกรดแรกในตัวอย่างนี้ ค้นหากฎการกระจาย ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม

ดังนั้นกฎการกระจายสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นทวินาม

ตัวอย่าง.ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์- จำนวนครั้งที่เกิดเหตุการณ์ แต่ในการทดลองอิสระสองครั้ง ถ้าความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์นี้ในแต่ละการทดลองเท่ากัน และเป็นที่ทราบกันว่า

เพราะ ค่าสุ่ม เอ็กซ์กระจายตามกฎทวินามแล้ว

ตัวอย่าง.การทดสอบอิสระดำเนินการโดยมีความน่าจะเป็นเท่ากันที่จะเกิดเหตุการณ์ แต่ในทุกการทดสอบ ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น แต่หากความแปรปรวนของจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองอิสระสามครั้งเท่ากับ 0.63

ตามสูตรการกระจายของกฎทวินาม เราได้รับ:

;

ตัวอย่าง.กำลังทดสอบอุปกรณ์ที่ประกอบด้วยอุปกรณ์ที่ทำงานแยกกันสี่ตัว ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวของอุปกรณ์แต่ละตัวมีค่าเท่ากันตามลำดับ ; ; . ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของจำนวนอุปกรณ์ที่ล้มเหลว

โดยพิจารณาจากจำนวนอุปกรณ์ที่ล้มเหลวเป็นตัวแปรสุ่ม เราจะเห็นว่าตัวแปรสุ่มนี้สามารถรับค่า 0, 1, 2, 3 หรือ 4

ในการจัดทำกฎการกระจายสำหรับตัวแปรสุ่มนี้ จำเป็นต้องกำหนดความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน ยอมรับกันเถอะ .

1) ไม่มีอุปกรณ์ใดล้มเหลว:

2) หนึ่งในอุปกรณ์ล้มเหลว

กฎหมายว่าด้วยการกระจายและลักษณะเฉพาะ

ค่าสุ่ม

ตัวแปรสุ่ม การจำแนก และวิธีการอธิบาย

ค่าสุ่มคือปริมาณที่เป็นผลจากการทดลอง สามารถใช้ค่าใดค่าหนึ่งได้ แต่จะไม่ทราบค่าใดล่วงหน้า ดังนั้นสำหรับตัวแปรสุ่มจึงสามารถระบุได้เฉพาะค่าหนึ่งซึ่งจำเป็นต้องใช้ผลการทดลอง ค่าเหล่านี้จะเรียกว่าค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม เนื่องจากตัวแปรสุ่มแสดงลักษณะเชิงปริมาณของผลการทดลองแบบสุ่ม จึงถือได้ว่าเป็นลักษณะเชิงปริมาณของเหตุการณ์สุ่ม

ตัวแปรสุ่มมักจะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ของอักษรละติน เช่น X..Y..Z และค่าที่เป็นไปได้ด้วยอักษรตัวเล็กที่เกี่ยวข้อง

ตัวแปรสุ่มมีสามประเภท:

ไม่ต่อเนื่อง; ต่อเนื่อง; ผสม

ไม่ต่อเนื่องตัวแปรสุ่มดังกล่าวเรียกว่าจำนวนค่าที่เป็นไปได้ซึ่งเป็นชุดที่นับได้ ในทางกลับกัน ชุดที่นับได้คือชุดที่สามารถกำหนดหมายเลของค์ประกอบได้ คำว่า "ไม่ต่อเนื่อง" มาจากภาษาละติน discretus ซึ่งแปลว่า "ไม่ต่อเนื่อง ประกอบด้วยส่วนที่แยกจากกัน"

ตัวอย่างที่ 1 ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือจำนวนของชิ้นส่วน X ที่มีข้อบกพร่องในชุดของ nfl ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มนี้คือชุดของจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง n

ตัวอย่างที่ 2 ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือจำนวนนัดก่อนที่จะยิงโดนเป้าหมาย ในตัวอย่างที่ 1 ค่าที่เป็นไปได้สามารถกำหนดเป็นตัวเลขได้ แม้ว่าในกรณีที่จำกัด ค่าที่เป็นไปได้จะเป็นจำนวนมหาศาล

ต่อเนื่องเรียกว่าตัวแปรสุ่มค่าที่เป็นไปได้ซึ่งจะเติมช่วงเวลาหนึ่งของแกนตัวเลขอย่างต่อเนื่องซึ่งบางครั้งเรียกว่าช่วงเวลาของการมีอยู่ของตัวแปรสุ่มนี้ ดังนั้นในช่วงเวลาที่แน่นอนใด ๆ จำนวนค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องจึงมีขนาดใหญ่มาก

ตัวอย่างที่ 3 ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องคือปริมาณการใช้ไฟฟ้าในองค์กรเป็นเวลาหนึ่งเดือน

ตัวอย่างที่ 4 ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องคือข้อผิดพลาดในการวัดความสูงโดยใช้เครื่องวัดความสูง แจ้งให้เราทราบจากหลักการทำงานของเครื่องวัดความสูงว่าข้อผิดพลาดอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 2 ม. ดังนั้นช่วงเวลาของการมีอยู่ของตัวแปรสุ่มนี้คือช่วงเวลาตั้งแต่ 0 ถึง 2 ม.

กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม

ตัวแปรสุ่มจะถือว่าได้รับการระบุอย่างสมบูรณ์หากค่าที่เป็นไปได้นั้นถูกระบุบนแกนตัวเลขและมีการสร้างกฎการกระจาย

กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม เรียกว่าความสัมพันธ์ที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน

มีการกล่าวถึงตัวแปรสุ่มว่ากระจายตามกฎที่กำหนดหรืออยู่ภายใต้กฎหมายการกระจายที่กำหนด ความน่าจะเป็นจำนวนหนึ่ง ฟังก์ชันการแจกแจง ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะถูกใช้เป็นกฎการแจกแจง

กฎการกระจายให้คำอธิบายความน่าจะเป็นที่สมบูรณ์ของตัวแปรสุ่ม ตามกฎหมายการกระจาย เป็นไปได้ที่จะตัดสินก่อนประสบการณ์ว่าค่าใดที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มจะปรากฏบ่อยกว่าและค่าใดไม่บ่อยนัก

สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง กฎการกระจายสามารถกำหนดได้ในรูปแบบของตาราง การวิเคราะห์ (ในรูปแบบของสูตร) และกราฟิก

รูปแบบที่ง่ายที่สุดในการระบุกฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือตาราง (เมทริกซ์) ซึ่งแสดงรายการค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันตามลำดับจากน้อยไปหามาก เช่น

ตารางดังกล่าวเรียกว่าชุดการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง หนึ่ง

เหตุการณ์ X 1 , X 2 ,..., X n ซึ่งประกอบด้วยความจริงที่ว่าจากผลการทดสอบตัวแปรสุ่ม X จะใช้ค่า x 1 , x 2 ,... x n ตามลำดับ ไม่สอดคล้องกันและเป็นค่าเดียวที่เป็นไปได้ (เนื่องจากตารางแสดงรายการค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม) เช่น สร้างกลุ่มที่สมบูรณ์ ดังนั้น ผลรวมของความน่าจะเป็นจะเท่ากับ 1 ดังนั้น สำหรับตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องใดๆ

(หน่วยนี้มีการกระจายอย่างใดระหว่างค่าของตัวแปรสุ่ม ดังนั้นคำว่า "การกระจาย")

ชุดการกระจายสามารถแสดงแบบกราฟิกได้หากค่าของตัวแปรสุ่มถูกลงจุดตามแกน abscissa และความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันตามแกนกำหนด การเชื่อมต่อของจุดที่ได้รับจะสร้างเส้นแบ่งที่เรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมหรือรูปหลายเหลี่ยมของการแจกแจงความน่าจะเป็น (รูปที่ 1)

ตัวอย่างเล่นลอตเตอรี: รถยนต์มูลค่า 5,000 Den ทีวี 4 เครื่อง มูลค่า 250 บ. เครื่องเล่นวีดีโอ 5 เครื่อง มูลค่า 200 บ. หน่วย โดยรวมแล้วตั๋ว 1,000 ใบขายได้ 7 เดน หน่วย จัดทำกฎการกระจายเงินรางวัลสุทธิที่ได้รับจากผู้เข้าร่วมลอตเตอรีที่ซื้อตั๋วหนึ่งใบ

วิธีการแก้. ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม X - เงินรางวัลสุทธิต่อตั๋ว - คือ 0-7 = -7 den หน่วย (หากตั๋วไม่ชนะ), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5,000-7 = 4993 den. หน่วย (หากตั๋วถูกรางวัล VCR, TV หรือ รถยนต์ ตามลำดับ) ระบุว่าจากตั๋ว 1,000 ใบ จำนวนผู้ที่ไม่ใช่ผู้ชนะคือ 990 คน และการชนะที่ระบุคือ 5, 4 และ 1 ตามลำดับ และเราได้รับโดยใช้คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น

อย่างที่ทราบกันดีว่า ตัวแปรสุ่ม เรียกว่าเป็นตัวแปรที่สามารถรับค่าบางอย่างได้แล้วแต่กรณี ตัวแปรสุ่มจะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ของอักษรละติน (X, Y, Z) และค่าของมัน - ด้วยอักษรตัวพิมพ์เล็กที่สอดคล้องกัน (x, y, z) ตัวแปรสุ่มแบ่งออกเป็นไม่ต่อเนื่อง (ไม่ต่อเนื่อง) และต่อเนื่อง

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เรียกว่าตัวแปรสุ่มที่ใช้เฉพาะชุดค่าที่จำกัดหรืออนันต์ (นับได้) ที่มีความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เป็นฟังก์ชันที่เชื่อมต่อค่าของตัวแปรสุ่มกับความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน กฎการกระจายสามารถระบุได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้

1 . ตารางกฎการกระจายสามารถกำหนดได้:

โดยที่ λ>0, k = 0, 1, 2, ….

ใน)โดยใช้ ฟังก์ชันการกระจาย F(x) ซึ่งกำหนดสำหรับแต่ละค่า x ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X รับค่าน้อยกว่า x เช่น F(x) = P(X< x).

คุณสมบัติของฟังก์ชัน F(x)

3 . กฎการกระจายสามารถตั้งค่าแบบกราฟิกได้ – รูปหลายเหลี่ยมการกระจาย (รูปหลายเหลี่ยม) (ดูปัญหา 3)

โปรดทราบว่าเพื่อแก้ปัญหาบางอย่าง ไม่จำเป็นต้องรู้กฎการกระจาย ในบางกรณี ก็เพียงพอแล้วที่จะทราบตัวเลขอย่างน้อยหนึ่งตัวที่สะท้อนถึงคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดของกฎการกระจาย อาจเป็นตัวเลขที่มีความหมายเป็น "ค่าเฉลี่ย" ของตัวแปรสุ่ม หรือตัวเลขที่แสดงขนาดเฉลี่ยของความเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่มจากค่าเฉลี่ย จำนวนประเภทนี้เรียกว่าลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม

ลักษณะตัวเลขพื้นฐานของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง :

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ย) ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง M(X)=Σ x i p ผม.
สำหรับการแจกแจงแบบทวินาม M(X)=np สำหรับการแจกแจงปัวซอง M(X)=λ
การกระจายตัว ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง D(X)=M2หรือ D(X) = M(X 2) − 2. ความแตกต่าง X–M(X) เรียกว่าค่าเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่มจากค่าความคาดหมายทางคณิตศาสตร์
สำหรับการแจกแจงแบบทวินาม D(X)=npq สำหรับการแจกแจงปัวซอง D(X)=λ
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน) σ(X)=√D(X).

ตัวอย่างการแก้ปัญหาในหัวข้อ "กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง"

ภารกิจที่ 1

มีการออกสลากกินแบ่ง 1,000 ใบ: 5 ใบจะถูกรางวัล 500 รูเบิล 10 ใบจะได้ 100 รูเบิล 20 ใบจะได้ 50 รูเบิล และ 50 ใบจะได้ 10 รูเบิล กำหนดกฎของการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X - เงินรางวัลต่อตั๋ว

วิธีการแก้. ตามเงื่อนไขของปัญหา ค่าต่อไปนี้ของตัวแปรสุ่ม X เป็นไปได้: 0, 10, 50, 100 และ 500

จำนวนตั๋วที่ไม่ชนะคือ 1,000 - (5+10+20+50) = 915 จากนั้น P(X=0) = 915/1000 = 0.915

ในทำนองเดียวกัน เราพบความน่าจะเป็นอื่นๆ ทั้งหมด: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0.005. เรานำเสนอกฎหมายผลลัพธ์ในรูปแบบของตาราง:

ค้นหาค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของ X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

ภารกิจที่ 3

อุปกรณ์ประกอบด้วยองค์ประกอบการทำงานอิสระสามส่วน ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวของแต่ละองค์ประกอบในการทดลองหนึ่งครั้งคือ 0.1 สร้างกฎการกระจายสำหรับจำนวนองค์ประกอบที่ล้มเหลวในการทดลองหนึ่ง สร้างรูปหลายเหลี่ยมการกระจาย ค้นหาฟังก์ชันการแจกแจง F(x) แล้วพล็อต ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

วิธีการแก้. 1. ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X=(จำนวนองค์ประกอบที่ล้มเหลวในการทดลองหนึ่งรายการ) มีค่าที่เป็นไปได้ต่อไปนี้: x 1 =0 (ไม่มีองค์ประกอบใดของอุปกรณ์ที่ล้มเหลว), x 2 =1 (องค์ประกอบหนึ่งล้มเหลว), x 3 =2 ( สององค์ประกอบล้มเหลว ) และ x 4 \u003d 3 (สามองค์ประกอบล้มเหลว)

ความล้มเหลวขององค์ประกอบไม่ขึ้นกับแต่ละอื่น ๆ ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวของแต่ละองค์ประกอบจะเท่ากันดังนั้นจึงสามารถใช้ได้ สูตรของแบร์นูลลี . ตามเงื่อนไข n=3, p=0.1, q=1-p=0.9 เราจะกำหนดความน่าจะเป็นของค่าต่างๆ:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0.9 3 \u003d 0.729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0.1 * 0.9 2 \u003d 0.243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0.1 2 * 0.9 \u003d 0.027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 คิว 3-3 \u003d p 3 \u003d 0.1 3 \u003d 0.001;
ตรวจสอบ: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1

ดังนั้น กฎการกระจายทวินาม X ที่ต้องการจึงมีรูปแบบ:

บนแกน abscissa เราวางแผนค่าที่เป็นไปได้ x ผม และบนแกนกำหนดความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน р ผม . มาสร้างจุด M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) การเชื่อมต่อจุดเหล่านี้กับส่วนของเส้น เราได้รูปหลายเหลี่ยมการกระจายที่ต้องการ

3. ค้นหาฟังก์ชันการแจกแจง F(x) = P(X

สำหรับ x ≤ 0 เราได้ F(x) = P(X<0) = 0;
สำหรับ 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
สำหรับ 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
สำหรับ 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
สำหรับ x > 3 จะเป็น F(x) = 1 เนื่องจาก เหตุการณ์เป็นที่แน่นอน

กราฟของฟังก์ชัน F(x)

4. สำหรับการแจกแจงแบบทวินาม X:
- ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ М(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- การกระจาย D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52

การกำหนดบริการ. เครื่องคิดเลขออนไลน์ใช้เพื่อสร้างตารางการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม X - จำนวนการทดลองที่ดำเนินการและคำนวณคุณลักษณะทั้งหมดของชุดข้อมูล: ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน รายงานที่มีการตัดสินใจนั้นจัดทำขึ้นในรูปแบบ Word ตัวอย่าง #1 โยนเหรียญสามเหรียญ ความน่าจะเป็นที่แขนเสื้อจะหลุดออกมาในหนึ่งม้วนคือ 0.5 สร้างกฎการกระจายสำหรับตัวแปรสุ่ม X - จำนวนเสื้อแขนที่ลดลง
วิธีการแก้.
ความน่าจะเป็นที่ไม่มีแขนเสื้อหลุดออกมา: P(0) = 0.5*0.5*0.5= 0.125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
ความน่าจะเป็นที่เสื้อแขนสามตัวหลุดออกมา: P(3) = 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.125

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม X:

เอ็กซ์	0	1	2	3
พี	0,125	0,375	0,375	0,125

ตรวจสอบ: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0.125 + 0.375 + 0.375 + 0.125 = 1

ตัวอย่าง #2 ความน่าจะเป็นที่จะยิงเข้าเป้าโดยมือปืนหนึ่งนัดสำหรับผู้ยิงคนแรกคือ 0.8 สำหรับผู้ยิงคนที่สอง - 0.85 ผู้ยิงยิงปืนไปที่เป้าหมายหนึ่งนัด สมมติว่าการยิงเข้าเป้าสำหรับผู้ยิงแต่ละคนเป็นเหตุการณ์อิสระ ให้หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A - ยิงเข้าเป้าหนึ่งครั้ง
วิธีการแก้.
พิจารณาเหตุการณ์ A - โจมตีเป้าหมายหนึ่งครั้ง เหตุการณ์ที่เป็นไปได้ของเหตุการณ์นี้มีดังนี้:

คนยิงคนแรกโดน คนที่สองพลาด: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
คนยิงคนแรกพลาด คนที่สองยิงเข้าเป้า: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
ผู้ยิงคนแรกและคนที่สองเข้าเป้าโดยอิสระ: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68

จากนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A - โจมตีเป้าหมายหนึ่งครั้งจะเท่ากับ: P(A) = 0.12+0.17+0.68 = 0.97

ตัวอย่างการแก้ปัญหาในหัวข้อ "ตัวแปรสุ่ม"

งาน 1 . ลอตเตอรี่ออก 100 ใบ มีการเล่นการชนะหนึ่งครั้งจาก 50 USD และชนะรางวัลละ 10 ดอลลาร์ 10 ครั้ง ค้นหากฎการกระจายของค่า X - ต้นทุนของกำไรที่เป็นไปได้

วิธีการแก้. ค่าที่เป็นไปได้ของ X: x 1 = 0; x 2 = 10 และ x 3 = 50 เนื่องจากมีตั๋ว "ว่าง" 89 ใบ ดังนั้นหน้า 1 = 0.89 ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 10 c.u. (10 ใบ) – หน้า 2 = 0.10 และสำหรับการชนะ 50 c.u. – หน้า 3 = 0.01. ทางนี้:


	0,89	0,10	0,01

ควบคุมง่าย: .

งาน 2. ความน่าจะเป็นที่ผู้ซื้อคุ้นเคยกับการโฆษณาผลิตภัณฑ์ล่วงหน้าคือ 0.6 (p = 0.6) การควบคุมคุณภาพของการโฆษณาแบบคัดเลือกนั้นดำเนินการโดยผู้ซื้อแบบสำรวจก่อนผู้ซื้อรายแรกที่ศึกษาโฆษณาล่วงหน้า จัดทำชุดการกระจายจำนวนผู้ซื้อที่สัมภาษณ์

วิธีการแก้. ตามเงื่อนไขของปัญหา p = 0.6. จาก: q=1 -p = 0.4 แทนค่าเหล่านี้ เราจะได้:และสร้างชุดการกระจาย:


ปี่		0,24

งาน 3. คอมพิวเตอร์ประกอบด้วยองค์ประกอบการทำงานอิสระ 3 ส่วน ได้แก่ ยูนิตระบบ จอภาพ และแป้นพิมพ์ ด้วยแรงดันไฟฟ้าที่เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วความน่าจะเป็นของความล้มเหลวของแต่ละองค์ประกอบคือ 0.1 จากการแจกแจงแบบเบอร์นูลลี ให้ร่างกฎหมายการกระจายสำหรับจำนวนองค์ประกอบที่ล้มเหลวระหว่างไฟกระชากในเครือข่าย

วิธีการแก้. พิจารณา การกระจายเบอร์นูลลี(หรือทวินาม): ความน่าจะเป็นที่ในน การทดสอบเหตุการณ์ A จะปรากฏขึ้นอย่างแน่นอนเค ครั้งหนึ่ง: , หรือ:


	ถาม น					หน้า น

ที่ กลับไปที่งานกันเถอะ

ค่าที่เป็นไปได้ของ X (จำนวนความล้มเหลว):

x 0 =0 - ไม่มีองค์ประกอบใดล้มเหลว

x 1 =1 - ความล้มเหลวขององค์ประกอบหนึ่ง

x 2 =2 - ความล้มเหลวของสององค์ประกอบ

x 3 =3 - ความล้มเหลวขององค์ประกอบทั้งหมด

เนื่องจากตามเงื่อนไข p = 0.1 ดังนั้น q = 1 – p = 0.9 เราได้รับโดยใช้สูตรเบอร์นูลลี

, ,

, .

ควบคุม: .

ดังนั้น กฎหมายการกระจายที่ต้องการ:


	0,729	0,243	0,027	0,001

ภารกิจที่ 4. ผลิต 5,000 รอบ ความน่าจะเป็นที่ตลับหมึกหนึ่งตลับเสีย . ความน่าจะเป็นที่จะมีคาร์ทริดจ์ที่ชำรุด 3 ตลับในชุดทั้งหมดคือเท่าใด

วิธีการแก้. ใช้บังคับ การกระจายปัวซอง: การแจกแจงนี้ใช้เพื่อกำหนดความน่าจะเป็นที่กำหนดให้มีขนาดใหญ่มาก

จำนวนการทดลอง (การทดลองจำนวนมาก) ซึ่งแต่ละครั้งความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A นั้นน้อยมาก เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น k ครั้ง: , ที่ไหน .

ที่นี่ n \u003d 5,000, p \u003d 0.0002, k \u003d 3 เราพบ แล้วความน่าจะเป็นที่ต้องการ: .

ภารกิจที่ 5. เมื่อทำการยิงก่อนการโจมตีครั้งแรกด้วยความน่าจะเป็นของการกดปุ่ม p = 0.6 สำหรับการยิง คุณต้องหาความน่าจะเป็นที่การยิงนัดที่สามจะเกิดขึ้น

วิธีการแก้. ให้เราใช้การแจกแจงทางเรขาคณิต: ให้ทำการทดลองอิสระ ซึ่งแต่ละเหตุการณ์ A มีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น p (และไม่เกิดขึ้น q = 1 - p) การทดลองสิ้นสุดลงทันทีที่เหตุการณ์ A เกิดขึ้น

ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นในการทดสอบ k จะถูกกำหนดโดยสูตร: ที่นี่ p = 0.6; q \u003d 1 - 0.6 \u003d 0.4; k \u003d 3 ดังนั้น .

ภารกิจที่ 6. ให้กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม X ได้รับ:

ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

วิธีการแก้. .

โปรดทราบว่าความหมายเชิงความน่าจะเป็นของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม

ภารกิจที่ 7. ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X ด้วยกฎการกระจายต่อไปนี้:

วิธีการแก้. ที่นี่ .

กฎการกระจายกำลังสองของ X 2 :

เอ็กซ์ 2

ความแปรปรวนที่ต้องการ: .

การกระจายเป็นลักษณะระดับของการเบี่ยงเบน (การกระเจิง) ของตัวแปรสุ่มจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ภารกิจที่ 8. ให้ตัวแปรสุ่มได้รับจากการแจกแจง:

			10 ม

ค้นหาลักษณะที่เป็นตัวเลข

วิธีแก้ปัญหา: ม., ม 2 ,

ม 2 , ม.

เกี่ยวกับตัวแปรสุ่ม X เราสามารถพูดได้ - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมันคือ 6.4 ม. โดยมีความแปรปรวน 13.04 ม. 2 หรือ - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือ 6.4 ม. โดยมีค่าเบี่ยงเบนเป็น ม. สูตรที่สองชัดเจนกว่าอย่างเห็นได้ชัด

งาน 9. ค่าสุ่มเอ็กซ์ กำหนดโดยฟังก์ชันการกระจาย:
.