พิสูจน์ว่าเวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้น การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์

เวกเตอร์ คุณสมบัติ และการกระทำกับพวกมัน

เวกเตอร์ การกระทำกับเวกเตอร์ ปริภูมิเวกเตอร์เชิงเส้น

เวกเตอร์คือชุดคำสั่งของจำนวนจริงจำนวนจำกัด

การดำเนินการ: 1. การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข: lambda * vector x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * x n) (3.4, 0.7) * 3 \u003d (9, 12,0.21 )

2. การบวกเวกเตอร์ (อยู่ในปริภูมิเวกเตอร์เดียวกัน) เวกเตอร์ x + เวกเตอร์ y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. เวกเตอร์ 0=(0,0…0)---n E n – n-มิติ (ปริภูมิเชิงเส้น) เวกเตอร์ x + เวกเตอร์ 0 = เวกเตอร์ x

ทฤษฎีบท. เพื่อให้ระบบของเวกเตอร์ n ตัวในปริภูมิเชิงเส้น n มิติขึ้นอยู่กับเชิงเส้น มีความจำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งจะเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ตัวอื่น

ทฤษฎีบท. เซตของเวกเตอร์ที่ 1 n+ ของสเปซเชิงเส้น n มิติใดๆ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

การบวกเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยจำนวน การลบเวกเตอร์

ผลรวมของเวกเตอร์สองตัวคือเวกเตอร์ที่กำกับจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ไปยังจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ โดยมีเงื่อนไขว่าจุดเริ่มต้นตรงกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ถ้าเวกเตอร์กำหนดโดยการขยายในรูปของเวกเตอร์พื้นฐาน การบวกเวกเตอร์จะบวกค่าพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์นั้น

ลองพิจารณาโดยใช้ตัวอย่างระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ปล่อยให้เป็น

ให้เราแสดงให้เห็นว่า

รูปที่ 3 แสดงให้เห็นว่า

จำนวนเท่าใดก็ได้ จำนวนจำกัดสามารถหาเวกเตอร์ได้โดยใช้กฎรูปหลายเหลี่ยม (รูปที่ 4): เพื่อสร้างผลรวมของเวกเตอร์จำนวนจำกัด ก็เพียงพอแล้วที่จะรวมจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ที่ตามมาแต่ละตัวกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ก่อนหน้า และสร้างเวกเตอร์ที่เชื่อมต่อจุดเริ่มต้น ของเวกเตอร์ตัวแรกกับจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ตัวสุดท้าย

คุณสมบัติของการดำเนินการบวกเวกเตอร์:

ในนิพจน์เหล่านี้ m, n เป็นตัวเลข

ผลต่างของเวกเตอร์เรียกว่า เวกเตอร์ เทอมที่สองคือเวกเตอร์ตรงข้ามกับเวกเตอร์ที่มีทิศทางแต่มีความยาวเท่ากัน

ดังนั้น การดำเนินการลบเวกเตอร์จึงถูกแทนที่ด้วยการดำเนินการบวก

เวกเตอร์ซึ่งมีจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดกำเนิดของพิกัดและสิ้นสุดที่จุด A (x1, y1, z1) เรียกว่าเวกเตอร์รัศมีของจุด A และแสดงแทนหรือง่ายๆ เนื่องจากพิกัดของมันตรงกับพิกัดของจุด A การขยายตัวในรูปของเวกเตอร์จึงมีรูปแบบ

เวกเตอร์ที่เริ่มต้นที่จุด A(x1, y1, z1) และสิ้นสุดที่จุด B(x2, y2, z2) สามารถเขียนเป็น

โดยที่ r 2 คือเวกเตอร์รัศมีของจุด B r 1 - เวกเตอร์รัศมีของจุด A

ดังนั้นการขยายตัวของเวกเตอร์ในแง่ของออร์ตจึงมีรูปแบบ

ความยาวเท่ากับระยะห่างระหว่างจุด A และ B

การคูณ

ดังนั้นในกรณีที่ ปัญหาเครื่องบินสูตรหาผลคูณของเวกเตอร์โดย a = (ax; ay) และ b

a b = (ขวาน b; ay b)

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาผลคูณของเวกเตอร์ a = (1; 2) คูณ 3

3 ก = (3 1; 3 2) = (3; 6)

ดังนั้นในกรณีที่ ปัญหาเชิงพื้นที่สูตรหาผลคูณของเวกเตอร์ a = (ax; ay; az) และจำนวน b

a b = (ขวาน b; ay b; az b)

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาผลคูณของเวกเตอร์ a = (1; 2; -5) คูณ 2

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

ดอทโปรดัคของเวกเตอร์และ มุมระหว่างเวกเตอร์และ ; ถ้าเป็นเช่นนั้น

จากนิยามของผลคูณสเกลาร์จะได้ตามนั้น

โดยที่ ตัวอย่างเช่น คือค่าของการฉายภาพของเวกเตอร์ไปยังทิศทางของเวกเตอร์

กำลังสองสเกลาร์ของเวกเตอร์:

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ดอท:

ผลิตภัณฑ์ดอทในพิกัด

ถ้า แล้ว

มุมระหว่างเวกเตอร์

มุมระหว่างเวกเตอร์ - มุมระหว่างทิศทางของเวกเตอร์เหล่านี้ (มุมที่เล็กที่สุด)

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์(ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของสองเวกเตอร์)-นี่เป็นเวกเตอร์เทียม ตั้งฉากกับระนาบซึ่งสร้างขึ้นจากสองปัจจัย ซึ่งเป็นผลลัพธ์ของการดำเนินการเลขฐานสอง "การคูณเวกเตอร์" เหนือเวกเตอร์ในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ ผลคูณไม่ใช่การสลับที่หรือเชื่อมโยง (เป็นการสลับขั้ว) และแตกต่างจากดอทโปรดัคของเวกเตอร์ ในปัญหาทางวิศวกรรมและฟิสิกส์จำนวนมาก จำเป็นต้องสามารถสร้างเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับสองสิ่งที่มีอยู่ได้ - ผลคูณของเวกเตอร์ให้โอกาสนี้ ครอสโปรดักส์มีประโยชน์ในการ "วัด" ความตั้งฉากของเวกเตอร์ - ความยาวของผลคูณของเวกเตอร์สองตัวจะเท่ากับผลคูณของความยาวพวกมันหากพวกมันตั้งฉาก และลดลงเป็นศูนย์หากเวกเตอร์ขนานกันหรือต้านขนานกัน

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ถูกกำหนดในพื้นที่สามมิติและเจ็ดมิติเท่านั้น ผลลัพธ์ของผลคูณเวกเตอร์ เช่น ผลคูณสเกลาร์ ขึ้นอยู่กับเมตริกของปริภูมิแบบยุคลิด

ซึ่งแตกต่างจากสูตรสำหรับการคำนวณผลิตภัณฑ์ดอตจากพิกัดของเวกเตอร์ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมสามมิติ สูตรสำหรับผลคูณไขว้ขึ้นอยู่กับการวางแนว ระบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าพิกัดหรืออีกนัยหนึ่งคือ "chirality"

ความสอดคล้องกันของเวกเตอร์

เวกเตอร์สองตัวที่ไม่ใช่ศูนย์ (ไม่เท่ากับ 0) เรียกว่า collinear หากพวกมันอยู่บนเส้นขนานหรือบนเส้นเดียวกัน เราอนุญาตคำพ้องความหมาย - เวกเตอร์ "คู่ขนาน" แต่ไม่แนะนำ เวกเตอร์คอลลิเนียร์สามารถกำกับเท่ากัน ("กำกับร่วม") หรือกำกับตรงกันข้าม (ใน กรณีสุดท้ายบางครั้งเรียกว่า "anticollinear" หรือ "antiparallel")

ผลคูณของเวกเตอร์( ก,ข,ค)- ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ a และผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ b และ c:

(ก,ข,ค)=ก ⋅(ข×ค)

บางครั้งเรียกว่าสาม ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เวกเตอร์ เห็นได้ชัดว่าเกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าผลลัพธ์คือสเกลาร์ (อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น pseudoscalar)

ความรู้สึกทางเรขาคณิต: โมดูลัสของผลิตภัณฑ์ผสมจะเท่ากับปริมาตรของขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ (ก,ข,ค) .

คุณสมบัติ

ผลคูณแบบผสมมีความสมมาตรแบบเอียงตามข้อโต้แย้งทั้งหมด นั่นคือ e. การเรียงสับเปลี่ยนของสองปัจจัยใด ๆ จะเปลี่ยนสัญลักษณ์ของผลิตภัณฑ์ จากนี้ผลิตภัณฑ์ผสมทางด้านขวา ระบบคาร์ทีเซียนพิกัด (ตามหลักการออร์โธนอร์มอล) เท่ากับดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์และ:

ผลคูณในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนด้านซ้าย (ตามหลักการออร์โธนอร์มอล) เท่ากับดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์และนำมาด้วยเครื่องหมายลบ:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,

ถ้าเวกเตอร์สองตัวใดๆ ขนานกัน แล้วเวกเตอร์ตัวที่สามจะสร้างผลคูณที่มีค่าเท่ากับศูนย์

หากเวกเตอร์สามตัวขึ้นอยู่กับเชิงเส้น (เช่น ระนาบร่วม อยู่ในระนาบเดียวกัน) ดังนั้นผลคูณของเวกเตอร์นั้นจะเป็นศูนย์

ความรู้สึกทางเรขาคณิต - สินค้าคละกันโดย ค่าสัมบูรณ์เท่ากับปริมาตรของเส้นขนาน (ดูรูป) ที่เกิดจากเวกเตอร์และ; เครื่องหมายขึ้นอยู่กับว่าเวกเตอร์สามตัวนี้อยู่ทางขวาหรือซ้าย

ความคล้ายคลึงกันของเวกเตอร์

เวกเตอร์สามตัว (หรือ มากกว่า) จะเรียกว่า coplanar ถ้าพวกเขา, ลดลงเป็น จุดเริ่มต้นทั่วไป, นอนระนาบเดียวกัน

คุณสมบัติของการเปรียบเทียบ

ถ้าอย่างน้อยหนึ่งใน สามเวกเตอร์- ศูนย์ จากนั้นเวกเตอร์ทั้งสามก็ถือว่าเป็นระนาบเดียวกัน

เวกเตอร์สามตัวที่มีเวกเตอร์คอลลิเนียร์หนึ่งคู่คือพลานาร์

ผลคูณของเวกเตอร์ร่วมระนาบ นี่คือเกณฑ์สำหรับระนาบร่วมของเวกเตอร์สามตัว

เวกเตอร์ Coplanar ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น นี่เป็นเกณฑ์สำหรับการทำงานร่วมกัน

ในปริภูมิ 3 มิติ เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ระนาบร่วม 3 ตัวเป็นพื้นฐาน

เวกเตอร์ที่ขึ้นต่อกันเชิงเส้นและเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น

ระบบเวกเตอร์ที่ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นและไม่ขึ้นต่อกันคำนิยาม. ระบบเวกเตอร์เรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้ามีอย่างน้อยหนึ่งผลรวมเชิงเส้นที่ไม่สำคัญของเวกเตอร์เหล่านี้เท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ มิฉะนั้นเช่น ถ้าผลรวมเชิงเส้นเล็กน้อยของเวกเตอร์ที่กำหนดมีค่าเท่ากับเวกเตอร์ว่าง ก็จะเรียกเวกเตอร์นั้น อิสระเชิงเส้น.

ทฤษฎีบท (เกณฑ์การพึ่งพาเชิงเส้น). เพื่อให้ระบบของเวกเตอร์ในปริภูมิเชิงเส้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้น มีความจำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์เหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งตัวจะเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์อื่นๆ

1) หากมีเวกเตอร์ศูนย์อย่างน้อยหนึ่งตัวในเวกเตอร์ ระบบทั้งหมดของเวกเตอร์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

อันที่จริง ถ้า ตัวอย่างเช่น สมมติว่า เรามีชุดค่าผสมเชิงเส้นที่ไม่สำคัญ ▲

2) ถ้าในบรรดาเวกเตอร์มีรูปแบบเชิงเส้น ระบบพึ่งพาจากนั้นทั้งระบบจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

อันที่จริง ให้เวกเตอร์ , , ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ดังนั้นจึงมีชุดค่าผสมเชิงเส้นที่ไม่สำคัญเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ แต่แล้วสมมติ เรายังได้รับชุดค่าผสมเชิงเส้นที่ไม่สำคัญเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์

2. พื้นฐานและมิติ คำนิยาม. ระบบเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น พื้นที่เวกเตอร์เรียกว่า พื้นฐานพื้นที่นี้ ถ้าเวกเตอร์ใด ๆ จาก สามารถแสดงเป็นชุดค่าผสมเชิงเส้นของเวกเตอร์ของระบบนี้ได้ เช่น สำหรับเวกเตอร์แต่ละตัวจะมี จำนวนจริง ความเท่าเทียมกันนี้เรียกว่าความเสมอภาค การสลายตัวของเวกเตอร์ตามฐานและตัวเลข เรียกว่า พิกัดเวกเตอร์เทียบกับพื้นฐาน(หรือ เป็นพื้นฐาน) .

ทฤษฎีบท (เกี่ยวกับลักษณะเฉพาะของการขยายตัวในแง่ของพื้นฐาน). เวกเตอร์อวกาศแต่ละตัวสามารถขยายได้ในแง่ของพื้นฐาน ด้วยวิธีที่ไม่เหมือนใคร เช่น พิกัดของเวกเตอร์แต่ละตัวเป็นพื้นฐาน ถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจน

ก 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, ก 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, ก 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

การตัดสินใจ.กำลังมองหา การตัดสินใจร่วมกันระบบสมการ

ก 1 x 1 + ก 2 x 2 + ก 3 x 3 = Θ

วิธีเกาส์เซียน ในการทำเช่นนี้ เราเขียนระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันนี้ในพิกัด:

เมทริกซ์ระบบ

ระบบที่อนุญาตมีลักษณะดังนี้: (ร = 2, น= 3). ระบบมีความสอดคล้องและไม่ได้กำหนด วิธีแก้ปัญหาทั่วไป ( x 2 – ตัวแปรอิสระ): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => เอ็กซ์โอ = . การมีอยู่ของโซลูชันส่วนตัวที่ไม่เป็นศูนย์ เช่น บ่งชี้ว่าเวกเตอร์ ก 1 , ก 2 , ก 3 ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาว่ามันเป็น ระบบนี้เวกเตอร์ที่ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหรืออิสระเชิงเส้น:

1. ก 1 = { -20, -15, - 4 }, ก 2 = { –7, -2, -4 }, ก 3 = { 3, –1, –2 }.

การตัดสินใจ.พิจารณาระบบสมการเอกพันธ์ ก 1 x 1 + ก 2 x 2 + ก 3 x 3 = Θ

หรือขยาย (ตามพิกัด)

ระบบเป็นเนื้อเดียวกัน ถ้ามันไม่เสื่อม มันก็มีทางออกที่ไม่เหมือนใคร เมื่อไร ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันเป็นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นศูนย์ (เล็กน้อย) ดังนั้น ในกรณีนี้ ระบบของเวกเตอร์จึงเป็นอิสระต่อกัน หากระบบเสื่อมสภาพ แสดงว่ามีโซลูชันที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นจึงขึ้นอยู่กับ

ตรวจสอบความเสื่อมของระบบ:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

ระบบไม่เสื่อมสภาพและเวกเตอร์ ก 1 , ก 2 , ก 3 มีความเป็นอิสระเชิงเส้น

งานค้นหาว่าระบบเวกเตอร์ที่กำหนดขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหรืออิสระเชิงเส้นหรือไม่:

1. ก 1 = { -4, 2, 8 }, ก 2 = { 14, -7, -28 }.

2. ก 1 = { 2, -1, 3, 5 }, ก 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. ก 1 = { -7, 5, 19 }, ก 2 = { -5, 7 , -7 }, ก 3 = { -8, 7, 14 }.

4. ก 1 = { 1, 2, -2 }, ก 2 = { 0, -1, 4 }, ก 3 = { 2, -3, 3 }.

5. ก 1 = { 1, 8 , -1 }, ก 2 = { -2, 3, 3 }, ก 3 = { 4, -11, 9 }.

6. ก 1 = { 1, 2 , 3 }, ก 2 = { 2, -1 , 1 }, ก 3 = { 1, 3, 4 }.

7. ก 1 = {0, 1, 1 , 0}, ก 2 = {1, 1 , 3, 1}, ก 3 = {1, 3, 5, 1}, ก 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. ก 1 = {-1, 7, 1 , -2}, ก 2 = {2, 3 , 2, 1}, ก 3 = {4, 4, 4, -3}, ก 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. พิสูจน์ว่าระบบของเวกเตอร์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหากประกอบด้วย:

ก) สอง เวกเตอร์ที่เท่ากัน;

b) เวกเตอร์สัดส่วนสองตัว

ในการตรวจสอบว่าระบบของเวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหรือไม่ จำเป็นต้องสร้างชุดค่าผสมเชิงเส้นของเวกเตอร์เหล่านี้และตรวจสอบว่าสามารถเป็นศูนย์ได้หรือไม่หากค่าสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งค่าเป็นศูนย์

กรณีที่ 1 ระบบของเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยเวกเตอร์

เราสร้างชุดค่าผสมเชิงเส้น

เราได้รับระบบสมการเอกพันธ์ หากมีสารละลายที่ไม่เป็นศูนย์ ดีเทอร์มีแนนต์จะต้องเท่ากับศูนย์ มาหาดีเทอร์มิแนนต์และหาค่าของมันกัน

ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ ดังนั้น เวกเตอร์จึงขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

กรณีที่ 2 ระบบของเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยฟังก์ชันการวิเคราะห์:

ก)
ถ้าเอกลักษณ์เป็นจริง ระบบจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

มาสร้างผลรวมเชิงเส้นกัน

จำเป็นต้องตรวจสอบว่ามี a, b, c (อย่างน้อยหนึ่งรายการที่ไม่เท่ากับศูนย์) ซึ่งนิพจน์ที่กำหนดมีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่

เราเขียนฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

,
, แล้ว

จากนั้นการรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์จะอยู่ในรูปแบบ:

ที่ไหน
ยกตัวอย่าง การรวมกันเชิงเส้นจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้น ระบบจึงขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

คำตอบ: ระบบขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

ข)
เราสร้างชุดค่าผสมเชิงเส้น

การรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์ ต้องเป็นศูนย์สำหรับค่า x ใดๆ

ตรวจสอบกรณีพิเศษกันเถอะ

การรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์จะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นศูนย์เท่านั้น

ดังนั้นระบบจึงเป็นอิสระเชิงเส้น

ตอบ ระบบเป็นอิสระเชิงเส้น

5.3. ค้นหาพื้นฐานและกำหนดขนาดของพื้นที่เชิงเส้นของการแก้ปัญหา

ลองสร้างเมทริกซ์ขยายแล้วนำมาอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโดยใช้วิธีเกาส์

เพื่อให้ได้พื้นฐานบางอย่าง เราแทนค่าโดยพลการ:

รับพิกัดที่เหลือ

ตอบ:

5.4. ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ X ในฐาน หากกำหนดในฐาน

การหาพิกัดของเวกเตอร์ในพื้นฐานใหม่นั้นลดลงเป็นการแก้ระบบสมการ

วิธีที่ 1. การหาโดยใช้เมทริกซ์ทรานซิชัน

เขียนเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง

ลองหาเวกเตอร์ในพื้นฐานใหม่ตามสูตรกัน

ค้นหาเมทริกซ์ผกผันและทำการคูณ

,

วิธีที่ 2 การหาโดยการรวบรวมระบบสมการ

สร้างเวกเตอร์พื้นฐานจากค่าสัมประสิทธิ์ของพื้นฐาน

,
,

การหาเวกเตอร์ในพื้นฐานใหม่มีรูปแบบ

, ที่ไหน งนี่คือ เวกเตอร์ที่กำหนด x.

สมการผลลัพธ์สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีใดคำตอบจะเหมือนกัน

คำตอบ: เวกเตอร์ในพื้นฐานใหม่
.

5.5. ให้ x = (x 1 , x 2 , x 3 ) . การแปลงต่อไปนี้เป็นเส้นตรงหรือไม่

ให้เราเขียนเมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้นจากค่าสัมประสิทธิ์ของเวกเตอร์ที่กำหนด

ให้เราตรวจสอบคุณสมบัติของการดำเนินการเชิงเส้นสำหรับแต่ละเมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้น

ด้านซ้ายพบโดยการคูณเมทริกซ์ และต่อเวกเตอร์

เราหาด้านขวาโดยการคูณเวกเตอร์ที่กำหนดด้วยสเกลาร์
.

เราเห็นอย่างนั้น
การแปลงจึงไม่เป็นเชิงเส้น

ตรวจสอบเวกเตอร์อื่นๆ กัน

การแปลงไม่เป็นเชิงเส้น

การแปลงเป็นแบบเส้นตรง

ตอบ: โอ้- ไม่ การแปลงเชิงเส้น, วีเอ็กซ์- ไม่เป็นเส้นตรง ซีเอ็กซ์- เชิงเส้น

บันทึก.คุณสามารถทำงานนี้ให้เสร็จได้ง่ายขึ้นโดยดูที่เวกเตอร์ที่กำหนดอย่างระมัดระวัง ที่ โอ้เราเห็นว่ามีคำศัพท์ที่ไม่มีองค์ประกอบ เอ็กซ์ซึ่งไม่สามารถได้รับจากการดำเนินการเชิงเส้น ที่ วีเอ็กซ์มีองค์ประกอบ เอ็กซ์ยกกำลังสามซึ่งไม่สามารถหาได้จากการคูณด้วยเวกเตอร์ เอ็กซ์.

5.6. ที่ให้ไว้ x = { x 1 , x 2 , x 3 } , ขวาน = { x 2 – x 3 , x 1 , x 1 + x 3 } , bx = { x 2 , 2 x 3 , x 1 } . ดำเนินการตามที่กำหนด: ( ก ( ข – ก )) x .

ให้เราเขียนเมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้น

มาดำเนินการกับเมทริกซ์กันเถอะ

เมื่อคูณเมทริกซ์ผลลัพธ์ด้วย X เราจะได้

ตอบ:

ภารกิจที่ 1ค้นหาว่าระบบของเวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่ ระบบของเวกเตอร์จะถูกกำหนดโดยเมทริกซ์ของระบบ ซึ่งคอลัมน์ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์

.

การตัดสินใจ.ให้ชุดค่าผสมเชิงเส้น เท่ากับศูนย์ เราเขียนความเท่าเทียมกันนี้ในพิกัด ระบบต่อไปสมการ:

.

ระบบสมการดังกล่าวเรียกว่ารูปสามเหลี่ยม เธอมีทางออกเดียว . ดังนั้นเวกเตอร์ มีความเป็นอิสระเชิงเส้น

ภารกิจที่ 2ค้นหาว่าเป็นเชิงเส้นหรือไม่ ระบบอิสระเวกเตอร์

.

การตัดสินใจ.เวกเตอร์ มีความเป็นอิสระเชิงเส้น (ดูปัญหาที่ 1) ให้เราพิสูจน์ว่าเวกเตอร์เป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ . ค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวของเวกเตอร์ ถูกกำหนดจากระบบสมการ

.

ระบบนี้เหมือนระบบสามเหลี่ยม มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ

ดังนั้นระบบเวกเตอร์ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

ความคิดเห็น. เมทริกซ์เช่นในปัญหา 1 เรียกว่า รูปสามเหลี่ยม , และในปัญหา 2 – สามเหลี่ยมก้าว . คำถามของการพึ่งพาเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายหากเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้เป็นรูปสามเหลี่ยมแบบขั้นบันได ถ้าเมทริกซ์ไม่ ชนิดพิเศษแล้วใช้ การแปลงสตริงเบื้องต้น เพื่อรักษาความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างคอลัมน์ มันสามารถลดลงเป็นรูปสามเหลี่ยมขั้นบันได

การแปลงเบื้องต้นเส้นเมทริกซ์ (EPS) เรียกว่าการดำเนินการต่อไปนี้บนเมทริกซ์:

1) การเปลี่ยนแปลงของเส้น;

2) การคูณสตริงด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์

3) เพิ่มสตริงอีกสตริงหนึ่งคูณด้วยจำนวนโดยพลการ

ภารกิจที่ 3ค้นหาระบบย่อยอิสระเชิงเส้นสูงสุดและคำนวณอันดับของระบบเวกเตอร์

.

การตัดสินใจ.ให้เราลดเมทริกซ์ของระบบด้วยความช่วยเหลือของ EPS เป็นรูปแบบสามเหลี่ยมขั้นบันได เพื่ออธิบายขั้นตอน บรรทัดที่มีหมายเลขของเมทริกซ์ที่จะแปลงจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ คอลัมน์หลังลูกศรแสดงการดำเนินการที่ต้องทำในแถวของเมทริกซ์ที่แปลงแล้วเพื่อรับแถวของเมทริกซ์ใหม่

.

เห็นได้ชัดว่า สองคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ผลลัพธ์นั้นเป็นอิสระเชิงเส้น คอลัมน์ที่สามคือผลรวมเชิงเส้น และคอลัมน์ที่สี่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับสองคอลัมน์แรก เวกเตอร์ เรียกว่าพื้นฐาน พวกเขาสร้างระบบย่อยอิสระเชิงเส้นสูงสุดของระบบ และอันดับของระบบคือสาม

พิกัด

ภารกิจที่ 4ค้นหาพื้นฐานและพิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานนี้ในชุด เวกเตอร์ทางเรขาคณิตซึ่งพิกัดเป็นไปตามเงื่อนไข .

การตัดสินใจ. ชุดเป็นระนาบที่ผ่านจุดกำเนิด พื้นฐานโดยพลการบนระนาบประกอบด้วยเวกเตอร์ที่ไม่ใช่โคลิเนียร์สองตัว พิกัดของเวกเตอร์ในเกณฑ์ที่เลือกถูกกำหนดโดยวิธีแก้ปัญหาของระบบที่สอดคล้องกัน สมการเชิงเส้น.

มีวิธีอื่นในการแก้ปัญหานี้เมื่อคุณสามารถค้นหาพื้นฐานตามพิกัด

พิกัด ช่องว่างไม่ใช่พิกัดบนระนาบเนื่องจากสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์ นั่นคือพวกเขาไม่เป็นอิสระ ตัวแปรอิสระและ (เรียกว่าอิสระ) กำหนดเวกเตอร์บนระนาบโดยเฉพาะ ดังนั้นจึงสามารถเลือกเป็นพิกัดใน แล้วพื้นฐาน ประกอบด้วยเวกเตอร์ที่อยู่ในและสอดคล้องกับเซตของตัวแปรอิสระ และ , นั่นคือ .

ภารกิจที่ 5ค้นหาฐานและพิกัดของเวกเตอร์ในฐานนี้บนเซตของเวกเตอร์ทั้งหมดในปริภูมิ ซึ่งพิกัดคี่เท่ากัน

การตัดสินใจ. เราเลือกพิกัดในอวกาศเช่นเดียวกับในปัญหาก่อนหน้า

เนื่องจาก แล้วตัวแปรอิสระ กำหนดเวกเตอร์โดยเฉพาะจาก และ ดังนั้นจึงเป็นพิกัด พื้นฐานที่สอดคล้องกันประกอบด้วยเวกเตอร์

ภารกิจที่ 6ค้นหาพื้นฐานและพิกัดของเวกเตอร์ในพื้นฐานนี้บนเซตของเมทริกซ์ทั้งหมดของแบบฟอร์ม , ที่ไหน เป็นตัวเลขโดยพลการ

การตัดสินใจ. แต่ละเมทริกซ์จากสามารถแสดงเป็น:

ความสัมพันธ์นี้เป็นการขยายตัวของเวกเตอร์จากเงื่อนไขพื้นฐาน
พร้อมพิกัด .

ภารกิจที่ 7ค้นหามิติและพื้นฐานของช่วงเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์

.

การตัดสินใจ.เมื่อใช้ EPS เราจะแปลงเมทริกซ์จากพิกัดของเวกเตอร์ระบบเป็นรูปแบบสามเหลี่ยมขั้นบันได

.

คอลัมน์ ของเมทริกซ์สุดท้ายเป็นอิสระเชิงเส้นและคอลัมน์ จะแสดงเป็นเส้นตรงผ่านพวกมัน ดังนั้นเวกเตอร์ เป็นพื้นฐาน , และ .

ความคิดเห็น. พื้นฐานใน เลือกอย่างคลุมเครือ ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ ยังเป็นพื้นฐาน .

คำนิยาม. การรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์ a 1 , ..., a n ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ x 1 , ..., x n เรียกว่าเวกเตอร์

x 1 a 1 + ... + xn a n .

เล็กน้อย, ถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมด x 1 , ..., xn เท่ากับศูนย์

คำนิยาม. ชุดค่าผสมเชิงเส้น x 1 a 1 + ... + x n a n เรียกว่า ไม่สำคัญ, ถ้าอย่างน้อยหนึ่งในค่าสัมประสิทธิ์ x 1 , ..., x n ไม่เท่ากับศูนย์

อิสระเชิงเส้นถ้าไม่มีการรวมกันที่ไม่สำคัญของเวกเตอร์เหล่านี้เท่ากับเวกเตอร์ศูนย์

นั่นคือ เวกเตอร์ a 1 , ..., a n เป็นอิสระเชิงเส้น ถ้า x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 ถ้า x 1 = 0, ..., x n = 0

คำนิยาม. เวกเตอร์ a 1 , ..., a n เรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหากมีการรวมกันที่ไม่สำคัญของเวกเตอร์เหล่านี้เท่ากับเวกเตอร์ศูนย์

คุณสมบัติของเวกเตอร์ที่ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น:

สำหรับเวกเตอร์ 2 และ 3 มิติ

สองเชิงเส้น เวกเตอร์ที่ขึ้นต่อกัน- คอลิเนียร์ ( เวกเตอร์คอลลิเนียร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น)

สำหรับเวกเตอร์สามมิติ.

เวกเตอร์ที่ขึ้นต่อกันเชิงเส้นสามตัวเป็นระนาบร่วม (เวกเตอร์ร่วมระนาบทั้งสามนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้น)

• สำหรับเวกเตอร์ n มิติ

  เวกเตอร์ n + 1 ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นเสมอ

ตัวอย่างของงานสำหรับการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์:

ตัวอย่างที่ 1 ตรวจสอบว่าเวกเตอร์ a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่ .

การตัดสินใจ:

เวกเตอร์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้น เนื่องจากขนาดของเวกเตอร์น้อยกว่าจำนวนเวกเตอร์

ตัวอย่างที่ 2 ตรวจสอบว่าเวกเตอร์ a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่

การตัดสินใจ:

	x1 + x2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + x3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

ลบบรรทัดที่สองออกจากบรรทัดแรก เพิ่มบรรทัดที่สองในบรรทัดที่สาม:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

วิธีแก้ปัญหานี้แสดงให้เห็นว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมาย นั่นคือ มีการรวมค่าของตัวเลขที่ไม่เป็นศูนย์ x 1 , x 2 , x 3 เพื่อให้การรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์ a , b , c เท่ากัน ถึงเวกเตอร์ศูนย์ ตัวอย่างเช่น:

ก + ข + ค = 0

ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ a , b , c ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

ตอบ:เวกเตอร์ a , b , c ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ 3 ตรวจสอบว่าเวกเตอร์ a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่

การตัดสินใจ:ลองหาค่าสัมประสิทธิ์ที่การรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์เหล่านี้จะเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

สมการเวกเตอร์นี้สามารถเขียนเป็นระบบสมการเชิงเส้นได้

	x1 + x2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + 2x3 = 0

เราแก้ระบบนี้ด้วยวิธีเกาส์

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

ลบบรรทัดแรกออกจากบรรทัดที่สอง ลบอันแรกออกจากแถวที่สาม:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

ลบบรรทัดที่สองออกจากบรรทัดแรก เพิ่มบรรทัดที่สองในบรรทัดที่สาม