การพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันของตัวเลขเศษส่วน การพิสูจน์และการแก้อสมการ

MOU โรงเรียนมัธยม Grishino-Slobodskaya

โปรแกรมโมดูล

“วิธีการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน”

เป็นส่วนหนึ่งของรายวิชาเลือก

"เบื้องหลังหนังสือเรียนคณิตศาสตร์"

สำหรับนักเรียนเกรด 10-11

เรียบเรียงโดย:

ครูคณิตศาสตร์

ปันโควา อี.ยู

หมายเหตุอธิบาย

“คณิตศาสตร์เรียกว่าวิทยาศาสตร์ตึงเครียด กล่าวอีกนัยหนึ่ง นักคณิตศาสตร์ใช้เวลาพิสูจน์ว่าวัตถุมีความเท่าเทียมกับตัวมันเอง ข้อความนี้ไม่ถูกต้องอย่างมากด้วยเหตุผลสองประการ ประการแรก คณิตศาสตร์ แม้ว่าจะมีอยู่ในตัวของมันเองก็ตาม ภาษาวิทยาศาสตร์ไม่ใช่วิทยาศาสตร์ ค่อนข้างจะเรียกว่าศิลปะได้ ประการที่สองผลลัพธ์หลักของคณิตศาสตร์มักแสดงด้วยความไม่เท่าเทียมกันมากกว่าความเท่าเทียมกัน”

ความไม่เท่าเทียมกันถูกนำมาใช้อย่างต่อเนื่องในการปฏิบัติงานของนักคณิตศาสตร์ ใช้เพื่อให้ได้คุณสมบัติปลายสุดที่น่าสนใจและสำคัญหลายประการของตัวเลข "สมมาตร": สี่เหลี่ยมจัตุรัส ลูกบาศก์ สามเหลี่ยมด้านเท่า รวมถึงการพิสูจน์การบรรจบกันของกระบวนการวนซ้ำและคำนวณขีดจำกัดบางประการ บทบาทของความไม่เท่าเทียมกันก็มีความสำคัญในประเด็นต่างๆ ของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและเทคโนโลยี

ปัญหาในการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมเป็นปัญหาที่ยากและน่าสนใจที่สุดเมื่อเทียบกับปัญหาทั่วไป การพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมต้องใช้ความเฉลียวฉลาดอย่างแท้จริง ความคิดสร้างสรรค์ที่ทำให้คณิตศาสตร์กลายเป็นวิชาที่น่าตื่นเต้น

การพิสูจน์การสอนมีบทบาทสำคัญในการพัฒนาการคิดแบบนิรนัย-คณิตศาสตร์และความสามารถในการคิดทั่วไปของนักเรียน จะสอนเด็กนักเรียนให้พิสูจน์ความไม่เท่าเทียมอย่างอิสระได้อย่างไร? คำตอบคือ เพียงพิจารณาเทคนิคและวิธีการพิสูจน์หลักฐานมากมายแล้วนำมาประยุกต์ใช้อย่างสม่ำเสมอ

แนวคิดที่ใช้ในการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมนั้นเกือบจะหลากหลายพอๆ กับความไม่เท่าเทียมกันนั่นเอง ในบางสถานการณ์ วิธีการทั่วไปมักจะนำไปสู่วิธีแก้ปัญหาที่น่าเกลียด แต่มีเด็กนักเรียนเพียงไม่กี่คนเท่านั้นที่ประสบความสำเร็จในการรวมความไม่เท่าเทียม "พื้นฐาน" หลายประการเข้าด้วยกันด้วยวิธีที่ไม่ชัดเจน นอกจากนี้ ไม่มีอะไรขัดขวางนักเรียนในแต่ละกรณีจากการมองหาวิธีแก้ปัญหาที่ดีกว่าวิธีทั่วไปที่ได้รับ ด้วยเหตุนี้ การพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมจึงมักถูกผลักไสให้อยู่ในขอบเขตของศิลปะ และเช่นเดียวกับศิลปะอื่นๆ มีเทคนิคทางเทคนิคที่นี่ ซึ่งมีหลากหลายมากและเป็นเรื่องยากมากที่จะเชี่ยวชาญทั้งหมด แต่ครูทุกคนควรพยายามขยายเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่มีให้เขา

โมดูลนี้เหมาะสำหรับนักเรียนเกรด 10-11 บทความนี้ไม่ได้กล่าวถึงวิธีการที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน (วิธีการแทนที่ตัวแปร การพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้อนุพันธ์ วิธีการวิจัยและลักษณะทั่วไป และเทคนิคการจัดลำดับไม่ครอบคลุมถึง) คุณสามารถเสนอให้พิจารณาวิธีการอื่นในระยะที่สอง (เช่นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 11) หากโมดูลของหลักสูตรนี้กระตุ้นความสนใจในหมู่นักเรียนและยังขึ้นอยู่กับความสำเร็จของการเรียนรู้ส่วนแรกของหลักสูตรด้วย

		สมการและอสมการด้วยพารามิเตอร์
		วิธีการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน
		สมการและอสมการที่มีสิ่งไม่รู้อยู่ใต้เครื่องหมายโมดูลัส
		ระบบอสมการที่มีตัวแปรสองตัว

เนื้อหาวิชาเลือก

"เบื้องหลังหนังสือเรียนคณิตศาสตร์"

“วิธีการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน”

		การแนะนำ.
		การพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันตามคำจำกัดความ
		วิธี การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์.
		การประยุกต์ความไม่เท่าเทียมกันแบบคลาสสิก
		วิธีกราฟิก
		วิธีการตรงกันข้าม
		เทคนิคการพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันด้วยความเคารพต่อตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง
		ความคิดในการเสริมสร้างความเข้มแข็ง
		บทเรียน - การควบคุม

บทที่ 1 การแนะนำ.

การพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมเป็นหัวข้อที่น่าสนใจและท้าทายในคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา การขาดแนวทางที่เป็นเอกภาพในการแก้ไขปัญหาการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันทำให้เกิดการค้นหาเทคนิคจำนวนหนึ่งที่เหมาะสมสำหรับการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันบางประเภท วิชาเลือกนี้จะครอบคลุมวิธีการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

การทำซ้ำ:

พิสูจน์คุณสมบัติบางอย่าง

อสมการคลาสสิก:

1)
(ความไม่เท่าเทียมกันแบบคอชี่)

2)

3)

4)

ข้อมูลทางประวัติศาสตร์:

อสมการ (1) ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Auguste Cauchy ตัวเลข
เรียกว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตตัวเลข a และ b;

หมายเลขนี้ถูกเรียก ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตตัวเลข a และ b ดังนั้น อสมการหมายความว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวนบวกสองตัวไม่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ยเรขาคณิต

นอกจากนี้:

พิจารณาความซับซ้อนทางคณิตศาสตร์หลายประการที่มีความไม่เท่าเทียมกัน

ความซับซ้อนทางคณิตศาสตร์- ข้อความที่น่าทึ่ง ซึ่งเป็นข้อพิสูจน์ที่ซ่อนข้อผิดพลาดที่มองไม่เห็นและบางครั้งก็ค่อนข้างละเอียดอ่อน

Sophisms คือผลลัพธ์ที่ผิดพลาดซึ่งได้มาจากการให้เหตุผลซึ่งดูเหมือนถูกต้อง แต่จำเป็นต้องมีข้อผิดพลาดอย่างใดอย่างหนึ่ง

ตัวอย่าง:

สี่มีมากกว่าสิบสอง

บทที่ 2 การพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันตามคำจำกัดความ

สาระสำคัญของวิธีนี้มีดังนี้: เพื่อสร้างความถูกต้องของอสมการ F(x,y,z)>S(x,y,z) สร้างความแตกต่าง F(x,y,z)-S( x,y,z) และพิสูจน์ว่ามันเป็นบวก เมื่อใช้วิธีนี้ มักจะแยกสี่เหลี่ยมจัตุรัส ลูกบาศก์ของผลรวมหรือผลต่าง หรือกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวมหรือผลต่าง ซึ่งจะช่วยกำหนดสัญญาณของความแตกต่าง

ตัวอย่าง. พิสูจน์อสมการ (x+y)(x+y+2cosx)+2 2บาป 2 x

การพิสูจน์:

พิจารณาความแตกต่าง (x+y)(x+y+2cosx)+2- 2sin 2 x =(x+y)(x+y+2cosx)+2cos 2 x=(x+y)(x+y+2cosx ) + cos 2 x +cos 2 x= (x+y) 2 +2(x+y)cosx+ cos 2 x +cos 2 x=((x+y)+cosx) 2 + cos 2 x 0

พิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน:

1.ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) 6abc

3.

4.
>2x-20

5.

6.(a+b)(b+c)(c+a) 8abc

7.

บทที่ 3 วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

เมื่อพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมนั้นได้แก่ ตัวเลขธรรมชาติมักจะหันไปใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ วิธีการมีดังนี้:

1) ตรวจสอบความจริงของทฤษฎีบทสำหรับ n=1;

2) เราถือว่าทฤษฎีบทเป็นจริงสำหรับ n=k+1 และบนสมมติฐานนี้ เราพิสูจน์ความจริงของทฤษฎีบทสำหรับ n=k+1;

3) จากสองขั้นตอนแรกและหลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ เราสรุปได้ว่าทฤษฎีบทเป็นจริงสำหรับ n ใดๆ

ตัวอย่าง.

พิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน

การพิสูจน์:

1) สำหรับ n=2 อสมการเป็นจริง:

2) ให้อสมการเป็นจริงสำหรับ n=k เช่น
(*)

ให้เราพิสูจน์ว่าอสมการเป็นจริงสำหรับ n=k+1 กล่าวคือ
- ลองคูณอสมการทั้งสองข้าง (*) ด้วย
เราได้รับ 3) จากข้อ 1 และข้อ 2 เราสรุปได้ว่าอสมการเป็นจริงสำหรับ n ใดๆ

การมอบหมายงานในห้องเรียนและที่บ้าน

พิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน:

1)

2)

3)

4)

บทเรียนที่ 4 การประยุกต์ความไม่เท่าเทียมกันแบบคลาสสิก

สาระสำคัญของวิธีนี้มีดังนี้: การใช้ชุดของการแปลง อสมการที่ต้องการจะได้มาโดยใช้อสมการแบบคลาสสิกบางอย่าง

ตัวอย่าง.

พิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน:

การพิสูจน์:

เพื่อเป็นการอ้างอิงอสมการที่เราใช้
.

ให้เราลดความไม่เท่าเทียมกันนี้ให้อยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

, แล้ว

แต่ =
, แล้ว

พิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน:

1)(p+2)(q+2)(p+q)16pq (เพื่อพิสูจน์ว่ามีการใช้ความไม่เท่าเทียมกัน
)

2)
(สำหรับเอกสารใช้ความไม่เท่าเทียมกัน)

3) (a+b)(b+c)(c+a) 8abc (ใช้อสมการในการพิสูจน์)

4)
(สำหรับเอกสาร จะใช้ความไม่เท่าเทียมกัน)

บทที่ 5 วิธีกราฟิก

การพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันโดยวิธีกราฟิกมีดังนี้ ถ้าเราพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน f(x)>g(x)(f(x)

1) สร้างกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และ y=g(x)

2) ถ้ากราฟของฟังก์ชัน y=f(x) อยู่เหนือ (ด้านล่าง) กราฟของฟังก์ชัน y=g(x) แล้วอสมการที่พิสูจน์แล้วนั้นเป็นจริง

ตัวอย่าง.

พิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน:

คอกซ์
,x0

การพิสูจน์:

ให้เราสร้างกราฟของฟังก์ชัน y=cosx และ

จากกราฟจะเห็นได้ชัดว่าที่ x0 กราฟของฟังก์ชัน y=cosx จะอยู่เหนือกราฟของฟังก์ชัน y=

การมอบหมายงานในห้องเรียนและที่บ้าน

พิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน:

1)

4)
.

5)

บทที่ 6. วิธีตรงกันข้าม

สาระสำคัญของวิธีนี้มีดังนี้: ให้คุณพิสูจน์ความจริงของอสมการ F(x,y,z) S(x,y,z)(1) พวกเขาถือว่าตรงกันข้าม กล่าวคือ สำหรับตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งชุด ความไม่เท่าเทียมกัน F(x,y,z) S(x,y,z) (2) เป็นจริง การใช้คุณสมบัติของอสมการจะทำการแปลงอสมการ (2) หากเป็นผลมาจากการแปลงเหล่านี้ ทำให้ได้รับความไม่เท่าเทียมกันที่ผิดพลาด นั่นหมายความว่าสมมติฐานที่ว่าความไม่เท่าเทียมกัน (2) เป็นจริงนั้นไม่ถูกต้อง และด้วยเหตุนี้ ความไม่เท่าเทียมกัน (1) จึงเป็นจริง

ตัวอย่าง.

พิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน:

การพิสูจน์:

สมมติว่าตรงกันข้ามคือ

ให้เรายกกำลังสองทั้งสองด้านของอสมการแล้วรับ จากนั้นต่อไป

- แต่สิ่งนี้ขัดแย้งกับความไม่เท่าเทียมกันของคอชี ซึ่งหมายความว่าสมมติฐานของเราไม่ถูกต้อง กล่าวคือ ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง: การมอบหมายงานในห้องเรียนและที่บ้าน

บทเรียนที่ 9 บทเรียน - การควบคุมความรู้ของนักเรียน

บทเรียนนี้สามารถทำได้เป็นคู่หรือถ้า จำนวนมากชั้นเรียนเป็นกลุ่ม เมื่อสิ้นสุดบทเรียน นักเรียนแต่ละคนจะต้องได้รับการประเมิน นี่คือแบบฟอร์มหน่วยกิตสำหรับหลักสูตรนี้ ไม่แนะนำให้ทำการทดสอบในหัวข้อนี้เพราะว่า การพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมดังที่ได้กล่าวไว้แล้วในบันทึกอธิบายนั้นเป็นของสาขาศิลปะ ในช่วงเริ่มต้น นักเรียนจะถูกขอให้กำหนดวิธีการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันที่เสนอ หากนักเรียนมีปัญหา ครูจะบอกวิธีการอย่างมีเหตุผลและเตือนกลุ่มว่าแน่นอนว่าสิ่งนี้จะส่งผลต่อเกรดของพวกเขา

ทำงานเป็นคู่.

ตัวอย่างงาน

________________________________________________________________

พิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน:

1.
(วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์)

2.
(ตามคำจำกัดความ)

โมดูล สมการและ ความไม่เท่าเทียมกันพร้อมพารามิเตอร์ ...คุณสมบัติ สูตร และ การพิสูจน์ทฤษฎีบท ที่มาของสูตร...ที่ง่ายที่สุด ความไม่เท่าเทียมกัน- 7.รู้จักใช้ วิธีช่วงเวลา...

ข้อกำหนดเปิดโปรแกรมโอลิมปิกและคณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 9

โปรแกรม

แนวคิด โมดูลจำนวนจริง เลขคณิตและ คำจำกัดความทางเรขาคณิต โมดูล- การเปิดเผยข้อมูล โมดูล. ... ความไม่เท่าเทียมกัน. การพิสูจน์ ความไม่เท่าเทียมกัน- การแก้โจทย์เชิงเส้น สมการกำลังสอง เศษส่วน ความไม่เท่าเทียมกันด้วยตัวแปรตัวหนึ่ง สารละลาย ความไม่เท่าเทียมกัน ...

วิชาเลือกวิชาคณิตศาสตร์ สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

โปรแกรม

สาธิต วิธีการ การพิสูจน์ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย ความไม่เท่าเทียมกันด้วยความเรียบง่ายนี้ ความไม่เท่าเทียมกัน- ดังนั้นในรัฐมนตรีครั้งนี้ โปรแกรม ...

สถาบันการศึกษา: สถาบันการศึกษาเทศบาล Lyceum หมายเลข 1, Komsomolsk-on-Amur

หัวหน้า: Budlyanskaya Natalya Leonidovna

หากท่านต้องการมีส่วนร่วม ชีวิตที่ดีแล้วเติมคณิตศาสตร์ให้เต็มหัวในขณะที่คุณมีโอกาส จากนั้นเธอจะให้ความช่วยเหลืออย่างดีแก่คุณในงานทั้งหมดของคุณ (เอ็ม.ไอ. คาลินิน)

การแสดงด้านซ้ายของอสมการเป็นผลรวมของพจน์ที่ไม่เป็นลบ (ด้านขวาคือ 0) โดยใช้อัตลักษณ์

ตัวอย่างที่ 1. พิสูจน์สิ่งนั้นสำหรับ xϵR ใดๆ

การพิสูจน์ . 1 วิธี.

2 ทาง.

สำหรับฟังก์ชันกำลังสอง

ซึ่งหมายถึงแง่บวกของมันต่อความเป็นจริงใดๆ เอ็กซ์.

ตัวอย่างที่ 2. พิสูจน์ว่าสำหรับ x และ y ใดๆ

การพิสูจน์.

ตัวอย่างที่ 3. พิสูจน์ว่า

การพิสูจน์.

ตัวอย่างที่ 4. พิสูจน์ว่าสำหรับ a และ b ใดๆ

การพิสูจน์.

2. วิธีตรงกันข้าม

นี่คือตัวอย่างที่ดีของการใช้วิธีนี้

พิสูจน์ว่าสำหรับ a, b ϵ R

การพิสูจน์.

สมมุติว่า.

แต่นี่เป็นข้อพิสูจน์ชัดเจนว่าสมมติฐานของเราไม่ถูกต้อง

ซี.ที.ดี.

ตัวอย่างที่ 5.พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวน A, B, C ใดๆ อสมการต่อไปนี้เป็นจริง:

การพิสูจน์.แน่นอนว่าการสร้างความไม่เท่าเทียมกันนี้สำหรับผู้ที่ไม่ใช่เชิงลบก็เพียงพอแล้ว เอ, บีและ กับ,เนื่องจากเราจะมีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

, อันเป็นเหตุให้เกิดความไม่เท่าเทียมกันแต่เดิม .

ตอนนี้ให้มีตัวเลขที่ไม่เป็นลบ เอ, บีและ กับซึ่งความไม่เท่าเทียมกันถืออยู่

ซึ่งเป็นไปไม่ได้ภายใต้ความเป็นจริงใดๆ เอ, บีและ กับ- ข้อสมมติที่ทำไว้ข้างต้นได้รับการข้องแวะ ซึ่งได้รับการพิสูจน์โดยความไม่เท่าเทียมกันเริ่มแรกภายใต้การศึกษา

การใช้คุณสมบัติของตรีโกณมิติกำลังสอง

วิธีการนี้ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของความไม่เป็นลบของตรีโกณมิติกำลังสองถ้า

และ.

ตัวอย่างที่ 6. พิสูจน์ว่า

การพิสูจน์.

อนุญาต ก=2, 2>0

=>

ตัวอย่างที่ 7. พิสูจน์ว่าค่า x และ y จริงใดๆ มีอสมการอยู่

การพิสูจน์. พิจารณาด้านซ้ายมือของอสมการเป็นรูปตรีโกณมิติกำลังสองเทียบกับ เอ็กซ์:

, ก>0, D

ด= => ป(x)>0และ

จริงสำหรับค่าจริงใดๆ เอ็กซ์และ คุณ

ตัวอย่างที่ 8. พิสูจน์ว่า

สำหรับค่าจริงใดๆ ของ x และ y

การพิสูจน์. อนุญาต ,

ซึ่งหมายความว่าจริง ๆ แล้ว ที่และความไม่เท่าเทียมกัน

พอใจจริงประการใด เอ็กซ์และ คุณ

วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่หรือวิธีการทดแทน

ตัวอย่างที่ 9. พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ลบ x, y, z

การพิสูจน์. ให้เราใช้ความไม่เท่าเทียมกันที่ถูกต้องสำหรับ

.

เราได้รับความไม่เท่าเทียมกันภายใต้การศึกษา

การใช้คุณสมบัติของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 10. มาพิสูจน์อสมการกันเถอะ

สำหรับ a และ b ใดๆ

การพิสูจน์. ลองพิจารณา 2 กรณี:

• ถ้า a=b แล้วเป็นจริง

ยิ่งไปกว่านั้น ความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ a=b=0 เท่านั้น

2)ถ้า

, บน R =>

()* ()>0 ซึ่งพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน

ตัวอย่างที่ 11. ให้เราพิสูจน์สิ่งนั้นเพื่อสิ่งใดก็ตาม

การพิสูจน์.

บนร.

หากสัญญาณของตัวเลขตรงกัน ซึ่งหมายความว่าผลต่างที่อยู่ระหว่างการศึกษานั้นเป็นค่าบวก =>

การประยุกต์วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

วิธีนี้ใช้เพื่อพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติ

ตัวอย่างที่ 12. พิสูจน์ว่าสำหรับ nϵN ใดๆ

• เรามาตรวจสอบความจริงของถ้อยแถลงเมื่อ

- (ขวา)

2) สมมติความจริงของข้อความเมื่อ

(เค>1)

3) ให้พิสูจน์ความจริงของประโยคเมื่อ n=k+1

มาเปรียบเทียบกันและ:

เรามี:

สรุป: ข้อความนี้เป็นจริงสำหรับทุกคน nϵN.

การใช้ความไม่เท่าเทียมที่น่าทึ่ง

• ทฤษฎีบทเรื่องค่าเฉลี่ย (อสมการของคอชี)

• ความไม่เท่าเทียมกันของคอชี-บุนยาคอฟสกี้

• ความไม่เท่าเทียมกันของเบอร์นูลลี

ให้เราพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันแต่ละรายการแยกกัน

การประยุกต์ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย (อสมการคอชี)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวนที่ไม่เป็นลบหลายจำนวนมากกว่าหรือเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิต

, ที่ไหน

เครื่องหมายเท่ากับจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อเท่านั้น

ลองพิจารณากรณีพิเศษของทฤษฎีบทนี้:

• ให้ n=2 แล้ว

• ให้ n=2, a>0 แล้ว

• ให้ n=3 แล้ว

ตัวอย่างที่ 13. พิสูจน์ว่าสำหรับ a,b,c ที่ไม่เป็นลบทุกตัวจะมีอสมการอยู่

การพิสูจน์.

ความไม่เท่าเทียมกันของคอชี-บุนยาคอฟสกี้

ความไม่เท่าเทียมกันของ Cauchy-Bunyakovsky ระบุว่าสำหรับสิ่งใดสิ่งหนึ่ง; อัตราส่วนนั้นถูกต้อง

อสมการที่พิสูจน์แล้วมีการตีความทางเรขาคณิต สำหรับ n=2,3 เป็นการแสดงข้อเท็จจริงที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวบนระนาบและในอวกาศจะต้องไม่เกินผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านั้น สำหรับ n=2 อสมการจะมีรูปแบบดังนี้ สำหรับ n=3 เราได้

ตัวอย่างที่ 14

การพิสูจน์. ให้เราเขียนความไม่เท่าเทียมกันภายใต้การศึกษาใน แบบฟอร์มต่อไปนี้:

นี่คือความไม่เท่าเทียมกันที่แท้จริงอย่างเห็นได้ชัด เนื่องจากเป็นกรณีพิเศษของความไม่เท่าเทียมกันของคอชี-บุนยาคอฟสกี้

ตัวอย่างที่ 15 พิสูจน์ว่าสำหรับ a,b,c ϵ R ใดๆ จะมีอสมการต่อไปนี้:

การพิสูจน์. ก็เพียงพอแล้วที่จะเขียนความไม่เท่าเทียมกันนี้ในรูปแบบ

และอ้างถึงความไม่เท่าเทียมกันของคอชี-บุนยาคอฟสกี้

ความไม่เท่าเทียมกันของเบอร์นูลลี

อสมการของแบร์นูลลีระบุว่าถ้า x>-1 ดังนั้นค่าธรรมชาติทั้งหมดของ n จะถือว่าอสมการต่อไปนี้:

อสมการนี้สามารถใช้สำหรับการแสดงออกของแบบฟอร์มได้

นอกจากนี้ อสมการกลุ่มใหญ่มากสามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายโดยใช้ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลี

ตัวอย่างที่ 16.

การพิสูจน์. วาง x=0.5 และการประยุกต์ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลีในการแสดงออก

เราได้รับความไม่เท่าเทียมกันที่จำเป็น

ตัวอย่างที่ 17. พิสูจน์ว่าสำหรับ n ϵ N ใดๆ

การพิสูจน์.

โดยทฤษฎีบทของเบอร์นูลลีตามที่ต้องการ

David Gilbert ถูกถามเกี่ยวกับหนึ่งในนั้นของเขา อดีตนักเรียน- “โอ้ อย่างนั้นเหรอ?” ฮิลเบิร์ตจำได้ “เขากลายเป็นกวีไปแล้ว เขามีจินตนาการน้อยเกินไปสำหรับวิชาคณิตศาสตร์

เป้าหมายของคุณ:รู้วิธีพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมและสามารถนำไปใช้ได้

ส่วนการปฏิบัติ

แนวความคิดของการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน . ความไม่เท่าเทียมกันบางอย่างกลายเป็นความไม่เท่าเทียมกันทางตัวเลขที่แท้จริงสำหรับทุกคน ค่าที่ยอมรับได้ตัวแปรหรือชุดค่าตัวแปรที่กำหนดบางชุด ตัวอย่างเช่นความไม่เท่าเทียมกัน ก 2 ³0, ( ก–ข) 2 ลูกบาศก์ 0 , ก 2 +ข 2 +ค 2 " ³ 0 เป็นจริงสำหรับค่าจริงใด ๆ ของตัวแปรและอสมการ ³ 0 – สำหรับค่าจริงที่ไม่เป็นลบใดๆ ก.บางครั้งปัญหาในการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันก็เกิดขึ้น

เพื่อพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันหมายถึงการแสดงให้เห็นว่าความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนดกลายเป็นความไม่เท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริงสำหรับค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมดของตัวแปรหรือสำหรับชุดค่าที่กำหนดของตัวแปรเหล่านี้

วิธีการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันโปรดทราบว่า วิธีการทั่วไปไม่มีการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน อย่างไรก็ตามสามารถระบุบางส่วนได้

1. วิธีการประมาณค่าสัญญาณของความแตกต่างระหว่างด้านซ้ายและด้านขวาของอสมการมีการรวบรวมความแตกต่างระหว่างด้านซ้ายและด้านขวาของความไม่เท่าเทียมกันและกำหนดว่าความแตกต่างนี้เป็นบวกหรือลบสำหรับค่าที่พิจารณาของตัวแปร (สำหรับความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวดจำเป็นต้องกำหนดว่าความแตกต่างนี้ไม่ใช่ เชิงลบหรือไม่บวก)

ตัวอย่างที่ 1 สำหรับจำนวนจริงใดๆ กและ ขมีความไม่เท่าเทียมกัน

ก 2 +ข 2³ 2 เกี่ยวกับ (1)

การพิสูจน์. เรามาสร้างความแตกต่างระหว่างด้านซ้ายและด้านขวาของอสมการกัน:

ก 2 +ข 2 – 2เอบี = ก 2 – 2ab + ข 2 = (ก-ข) 2 .

เนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงใดๆ เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ ดังนั้น ( ก-ข) 2 ³ 0 ซึ่งหมายถึง ก 2 +ข 2³ 2 เกี่ยวกับสำหรับจำนวนจริงใดๆ กและ ข.ความเท่าเทียมกันใน (1) จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อเท่านั้น ก = ข

ตัวอย่างที่ 2. พิสูจน์ว่าถ้า กลูกบาศก์ 0 และ ข³ 0 จากนั้น ³ เช่น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ กและ ขไม่น้อยกว่าค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต

การพิสูจน์. ถ้า กลูกบาศก์ 0 และ ขลูกบาศก์ 0 แล้ว

³ 0. ดังนั้น ³ .

2. วิธีการนิรนัยการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันสาระสำคัญของวิธีนี้มีดังนี้: การใช้ชุดของการแปลง อสมการที่ต้องการนั้นได้มาจากอสมการที่ทราบ (อ้างอิง) บางอย่าง ตัวอย่างเช่น อสมการต่อไปนี้สามารถใช้เป็นข้อมูลอ้างอิงได้: ก 2 ³ 0 สำหรับอันใดก็ได้ กÎ ร ; (ก-ข) 2 ³ 0 สำหรับค่าใดๆ กและ ขÎ ร ; (ก 2 + ข 2) ลูกบาศก์ 2 เกี่ยวกับเพื่อสิ่งใดๆ ก, ขÎ ร ; ³ ณ ก ³ 0, ข ³ 0.

ตัวอย่างที่ 3 พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนจริงใดๆ กและ ขมีความไม่เท่าเทียมกัน

ก 2 + ข 2 + กับ 2³ ab + bc + เอซี

การพิสูจน์. จากความไม่เท่าเทียมกันที่แท้จริง ( ก-ข) 2 ลูกบาศก์ 0, ( ข – ค) 2 ลูกบาศก์ 0 และ ( ค – ก) 2 ³ 0 ตามนั้น ก 2 + ข 2³ 2 เกี่ยวกับ, ข 2 + ค 2³ 2 ก่อนคริสต์ศักราช, ค 2 + ก 2³ 2 เครื่องปรับอากาศเมื่อบวกอสมการทั้งสามเทอมแล้วหารทั้งสองข้างของอันใหม่ด้วย 2 เราจะได้อสมการที่ต้องการ

อสมการดั้งเดิมสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้วิธีแรก ในความเป็นจริง, ก 2 + ข 2 + กับ 2 –ab – bc – เอซี = 0,5(2ก 2 + 2ข 2 + 2กับ 2 – 2ab – 2ก่อนคริสต์ศักราช – 2เครื่องปรับอากาศ) = = 0,5((ก-ข) 2 + (เอ-ซี) 2 + (ข-ค) 2)³ 0

ความแตกต่างระหว่าง ก 2 + ข 2 + กับ 2 และ ab + bc + เอซีมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่า ก 2 + ข 2 + กับ 2³ ab + bc + เอซี(ความเท่าเทียมกันเป็นจริงก็ต่อเมื่อเท่านั้น) ก = ข = ค)

3. วิธีการประมาณค่าเพื่อพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน

ตัวอย่างที่ 4 พิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน

+ + + … + >

การพิสูจน์. จะสังเกตได้ง่ายว่าด้านซ้ายของอสมการมี 100 พจน์ ซึ่งแต่ละพจน์มีจำนวนไม่น้อย ในกรณีนี้เขาบอกว่าด้านซ้ายของความไม่เท่าเทียมกันสามารถประมาณได้จากด้านล่างดังนี้

+ + + … + > = 100 = .

4. วิธีการเหนี่ยวนำแบบเต็มสาระสำคัญของวิธีการนี้คือการพิจารณากรณีพิเศษทั้งหมดซึ่งครอบคลุมสภาพของปัญหาโดยรวม

ตัวอย่างที่ 5. พิสูจน์ว่าถ้า เอ็กซ์ > ï ที่ï , ที่ x > ย

การพิสูจน์. มีสองกรณีที่เป็นไปได้:

ก) ที่³ 0 ; แล้ว ที่ï = ใช่และตามเงื่อนไข เอ็กซ์ >ï ที่ï . วิธี, x > ย;

ข) ที่< 0; แล้ว ที่ï > ยและตามเงื่อนไข เอ็กซ์ >ï ที่ฉันหมายถึง x > ย

ส่วนการปฏิบัติ

งาน 0 เอา กระดานชนวนว่างเปล่ากระดาษและเขียนคำตอบของแบบฝึกหัดปากเปล่าทั้งหมดที่ระบุด้านล่างไว้บนกระดาษ จากนั้นตรวจสอบคำตอบของคุณกับคำตอบหรือคำแนะนำสรุปในส่วนท้ายนี้ องค์ประกอบทางการศึกษาในส่วน “ผู้ช่วยของคุณ”

การออกกำลังกายในช่องปาก

1. เปรียบเทียบผลรวมของกำลังสองของจำนวนที่ไม่เท่ากันสองตัวกับผลคูณของจำนวนนั้น

2. พิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน:

ก) ;

ข) ;

วี) ;

3.เป็นที่รู้กันว่า. พิสูจน์ว่า.

4.เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า พิสูจน์ว่า.

ภารกิจที่ 1มีอะไรเพิ่มเติม:

ก) 2 + 11 หรือ 9; ง) + หรือ;

ข) หรือ + ; จ) – หรือ;

ค) + หรือ 2; จ) + 2 หรือ + ?

ภารกิจที่ 2พิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง xมีความไม่เท่าเทียมกัน:

ก) 3( x+ 1) + x– 4(2 + x) < 0; г) 4x 2 + 1 ลูกบาศก์ 4 x;

ข) ( x+ 2)(x+ 4) > (x+ 1)(x+ 5); จ) ลูกบาศก์ 2 เอ็กซ์;

วี) ( x– 2) 2 > x(x– 4); จ) ล. + 2 x 4 > x 2 + 2x 3 .

ภารกิจที่ 3พิสูจน์ว่า:

ก) x 3 + 1³ x 2 + เอ็กซ์,ถ้า xลูกบาศก์ –1;

ข) x 3 + 1 ปอนด์ x 2 + เอ็กซ์,ถ้า x£ –1 .

ภารกิจที่ 4พิสูจน์ว่าถ้า ก ³ 0, ข³ 0, กับ³ 0, งลูกบาศก์ 0 แล้ว

(ก 2 + ข 2)(ค 2 + ง 2) ลูกบาศก์ ( เครื่องปรับอากาศ + บีดี) 2 .

ภารกิจที่ 5พิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันโดยการแยก กำลังสองที่สมบูรณ์แบบ:

ก) x 2 – 2เอ็กซ์ซี + 9ย 2 ลูกบาศก์ 0;

ข) x 2 + ย 2 + 2³2( x+y);

ค) 10 x 2 + 10เอ็กซ์ซี + 5ย 2 + 1 > 0;

ช) x 2 – เอ็กซ์ซี + ย 2 ลูกบาศก์ 0 ;

ง) x 2 + ย 2 + ซ 2 + 3³ 2( x + y + z);

จ) ( x+ลิตร)( เอ็กซ์ – 2ใช่ +ล) + ย 2 ลูกบาศก์ 0 .

ภารกิจที่ 6พิสูจน์ว่า:

ก) x 2 + 2ย 2 + 2xy+ 6ย+ l0 > 0 ;

ข) x 2 + ย 2 – 2xy+ 2x – 2ที่ + 1 > 0;

ค) 3 x 2 + ย 2 + 8x+ 4คุณ – 2xy+ 22 ลูกบาศก์ 0;

ช) x 2 + 2เอ็กซ์ซี+ 3ย 2 + 2x + 6ย + 3 > 0.

ภารกิจที่ 7พิสูจน์ว่าถ้า n³ เค³ 1 แล้ว เค(นะ-เค+ 1) ลูกบาศก์ n.

ภารกิจที่ 8พิสูจน์ว่าถ้า 4 ก + 2ข= 1 แล้ว ก 2 + ข 2³ .

กำหนดค่า กและ ขที่ซึ่งความเท่าเทียมกันเกิดขึ้น

ภารกิจที่ 9พิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน:

ก) เอ็กซ์ 3 + ที่ 3ลูกบาศก์ เอ็กซ์ 2 ที่ + เอ็กซ์ซี 2 ณ xลูกบาศก์ 0 และ ย ³ 0;

ข) เอ็กซ์ 4 + ที่ 4ลูกบาศก์ เอ็กซ์ 3 ที่ + เอ็กซ์ซี 3 สำหรับอันใดก็ได้ xและ ที่;

วี) เอ็กซ์ 5 + ที่ 5³ เอ็กซ์ 4 ที่ + เอ็กซ์ซี 4 ณ xลูกบาศก์ 0 และ ย ³ 0;

ช) เอ็กซ์เอ็น + ใช่ ³ เอ็กซ์เอ็น-1 ปี + xy n-1 ณ xลูกบาศก์ 0 และ ย ³ 0.

การถอดเสียง

1 FETROZAVODSK STATE UNIVERSITY คณะคณิตศาสตร์และเทคโนโลยีสารสนเทศ ภาควิชาเรขาคณิตและโทโพโลยี Elizaveta Sergeevna Khaltsenen งานคัดเลือกรอบสุดท้ายสำหรับระดับปริญญาตรีวิธีการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน ทิศทาง: "0.03.0" "คณิตศาสตร์" ที่ปรึกษาทางวิทยาศาสตร์ ศาสตราจารย์ วิทยาศาสตรดุษฎีบัณฑิต สาขาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ Platonov S.S. (ลายเซ็นของผู้จัดการ) เปโตรซาวอดสค์

2 สารบัญ บทนำ...3. ความไม่เท่าเทียมกันของเจนเซ่น การเปลี่ยนความไม่เท่าเทียมกันของคารามาตะ การแก้ปัญหาเพื่อพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน...3 ข้อมูลอ้างอิง

3 บทนำ วิธีการคือชุดของการดำเนินการตามลำดับที่มีจุดมุ่งหมายเพื่อแก้ไขปัญหาเฉพาะประเภท วิธีการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันในงานนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อค้นหา โซลูชันที่ไม่ได้มาตรฐานความไม่เท่าเทียมกันที่มี บางประเภท- เมื่อใช้วิธีการดังกล่าวการแก้ปัญหาจะลดลงอย่างมาก ผลลัพธ์เท่าเดิมแต่ปริมาณงานน้อยลง วัตถุประสงค์ งานสุดท้ายเริ่มการศึกษาความไม่เท่าเทียมกันสามประเภทด้วยความช่วยเหลือซึ่งสามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดาย เหล่านี้คืออสมการของเจนเซ่น อสมการการสับเปลี่ยน และอสมการของคารามาตะ ความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดนี้เป็นสิ่งสวยงามทางคณิตศาสตร์ ด้วยความช่วยเหลือจากความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ คุณสามารถแก้ไขความไม่เท่าเทียมในโรงเรียนได้ หัวข้อนี้มีความเกี่ยวข้อง ในความคิดของฉันอาจเป็นประโยชน์สำหรับเด็กนักเรียนรวมถึงการพัฒนาความรู้ในสาขาคณิตศาสตร์ด้วย เนื่องจากวิธีการเหล่านี้ไม่ได้มาตรฐาน ฉันคิดว่านักเรียนที่มีความคลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์จะพบว่าวิธีการเหล่านี้มีประโยชน์และสนุกสนาน ภารกิจที่ระบุไว้คือการค้นหาและแก้ไขความไม่เท่าเทียมเฉพาะเรื่องจากวรรณกรรมที่เสนอ งานประกอบด้วยสี่ย่อหน้า เนื้อหาในส่วนนี้อธิบายความไม่เท่าเทียมกันของเจนเซ่น ให้ข้อพิสูจน์และคำจำกัดความเสริม ส่วนที่ 2 ประกอบด้วยความไม่เท่าเทียมกันของการสับเปลี่ยน กรณีพิเศษ และความไม่เท่าเทียมกันของการสับเปลี่ยนทั่วไป ในย่อหน้าที่ 3 ความไม่เท่าเทียมกันของคารามาตะนั้นไม่มีข้อพิสูจน์ ย่อหน้าที่ 4 เป็นงานหลักของงานขั้นสุดท้ายคือ การพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้อสมการของเจนเซ่น อสมการการสับเปลี่ยน และอสมการของคารามาตะ

4. คำจำกัดความความไม่เท่าเทียมกันของเจนเซ่น เซตย่อยของระนาบจะเรียกว่านูน ถ้าจุดสองจุดใดๆ ของเซตที่กำหนดสามารถเชื่อมต่อกันด้วยเซกเมนต์ที่อยู่ในเซตนี้ทั้งหมด คำจำกัดความ 2. ให้ f(x) ถูกกำหนดไว้ในช่วงใดช่วงหนึ่ง เซตของจุดทั้งหมด (x,y) ซึ่ง y f(x) เรียกว่า epigraph โดยที่ x อยู่ในช่วงที่กำหนด เซตของจุด (x,y) ซึ่ง y f(x) เรียกว่ากราฟย่อย คำจำกัดความ 3. พิจารณาฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่ง ฟังก์ชันจะเรียกว่านูนถ้าส่วน epigraph ของฟังก์ชันนี้เป็นเซตนูน ฟังก์ชันจะเรียกว่าเว้าถ้ากราฟย่อยเป็นเซตนูน เกณฑ์สำหรับความนูน (เว้า) ของฟังก์ชัน เพื่อให้ฟังก์ชัน y = f(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องในช่วงเวลา (a, b) ให้นูน (เว้า) บน (a, b) จำเป็นและเพียงพอที่อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f จะเพิ่มขึ้น (ลดลง) บน ช่วงเวลา (a , b) เกณฑ์ที่ 2 สำหรับการนูน (เว้า) ของฟังก์ชัน เพื่อให้ฟังก์ชัน y = f(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้สองครั้งในช่วงเวลา (a, b) ให้นูน (เว้า) บน (a, b) จำเป็นและเพียงพอที่ f (x) 0(f ( x) 0 ) ที่ทุกจุด x (a, b) คำจำกัดความ 4. จุดศูนย์กลางมวลของจุด A(x, y) และ B(x 2, y 2) คือจุด C(x, y) ที่อยู่ในส่วนนั้น AB โดยที่ AC = m B โดยที่ m BC m B คือมวล A ของจุด B และ m A คือมวลของจุด A ในรูปแบบเวกเตอร์ จุดศูนย์กลางของมวลจะพบได้ดังนี้ รัศมีเวกเตอร์ของจุดศูนย์กลางของ มวล: โดยที่ r i คือเวกเตอร์รัศมีของจุด A และ B, i =,2 ในพิกัด: r = m r +m 2 r 2 m +m 2 () x = m x +m 2 x 2 m +m 2, y = m y +m 2 y 2 m +m 2-4 -

5 ให้ C AB เป็นศูนย์กลางของมวลของจุด A และ B ถ้า U เป็นสับเซตนูนของระนาบ และจุด A และ B เป็นของ U ดังนั้น C AB จะเป็นของ U เนื่องจาก C AB อยู่ในส่วน AB ให้ A, A 2 A จุดใดก็ได้บนระนาบที่มีมวล m, m 2, m จุดศูนย์กลางมวล C A,A 2 A ของระบบจุด A, A 2 A ถูกกำหนดโดยการเหนี่ยวนำโดย:) ที่ = 2 จุดศูนย์กลางมวล C A A 2 ของระบบจุด A, A 2 ถูกกำหนดไว้แล้ว เราจะถือว่าจุด C A A 2 มีมวล m + m 2 2) สมมติว่าสำหรับระบบจุด A, A 2 A จุดศูนย์กลางมวล c A, A 2 A ได้ถูกกำหนดไว้แล้ว ให้เราแสดงจุดศูนย์กลางมวลของจุด A, A 2 A ด้วย B และสมมติว่ามวลของจุด B เท่ากับ m B = m + m m ตามคำจำกัดความ เราถือว่า C A,A 2 A = C BA นั่นคือ จุดศูนย์กลางมวลของระบบจุด A, A 2 A, A เท่ากับจุดศูนย์กลางมวลของจุด B และ A สองจุด เราจะถือว่ามวลของจุด C A,A 2 A เท่ากับ m B + m = ม. + ม. ม. จากคำจำกัดความของจุดศูนย์กลางมวล จะได้ว่าถ้าจุด A, A 2 A ทั้งหมดอยู่ในเซต U ที่นูน จุดศูนย์กลางมวลก็จะเป็นของ U. Lemma ด้วย ให้ A, A 2 A เป็นจุดบนระนาบที่มีมวล m, m 2, m และให้ r i เป็นเวกเตอร์รัศมีของจุด A i, i =, ถ้า C เป็นจุดศูนย์กลางมวลของระบบจุด A, A 2 A แล้วเวกเตอร์รัศมี r C ของจุด C สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร Proof r C = m r +m 2 r 2 + +m r m +m 2 + +m (2) เราจะพิสูจน์สูตร (2) โดยการเหนี่ยวนำเปิด สำหรับ = 2 สูตรนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว (ดูสูตร ()) สมมติว่าสูตร (2) ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับ () ให้ B เป็นจุดศูนย์กลางมวลของระบบจุด A, A 2 A แล้ว - 5 -

6 r B = m r + m 2 r m r m + m m มวลของจุด B เท่ากับ m B = m + m m ตามคำจำกัดความ จุดศูนย์กลางมวล C ของระบบจุด A, A 2 A เกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางมวลของจุด B และ A เวกเตอร์รัศมีของจุด C คำนวณโดยสูตร () r C = m Br B + m r m B + m = m r + m 2 r m r m + m m ซึ่งพิสูจน์สูตร (2) สำหรับคะแนน ในพิกัด สูตร (2) มีรูปแบบ: x ​​C = m x + m 2 x m k x k m + m m k y C = m y + m 2 y m k y k m + m m k “ทฤษฎีบทของเจนเซ่น ให้ y = f(x) เป็นฟังก์ชันนูนในช่วงเวลาหนึ่ง, x, x 2, x - ตัวเลขจากช่วงเวลานี้; ตัวเลขบวกเป็นไปตามเงื่อนไข m + m m = จากนั้นอสมการของเจนเซ่นจะคงอยู่: f(m x + m 2 x m x) m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f(x) ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) เว้าในช่วงเวลาหนึ่ง x, x 2 , x - ตัวเลขจากช่วงเวลานี้ m, m 2, m เป็นจำนวนบวกที่ตรงตามเงื่อนไข m + m m = จากนั้น อสมการของเจนเซนจะมีรูปแบบ: f(m x + m 2 x m x) m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f(x)" พิสูจน์: พิจารณาฟังก์ชัน f(x) นูนในช่วงเวลา (a, ข) . บนกราฟ ให้พิจารณาจุด A, A 2, A แล้วให้ A i = (x i, y i), y i = f(x i) ขอให้เราหามวลโดยพลการ m, m 2, m สำหรับจุด A, A 2, A ดังนั้น m + m m = จากข้อเท็จจริงที่ว่า f(x) เป็นฟังก์ชันนูน จะได้ว่า - 6 -

7 ว่า epigraph ของฟังก์ชันเป็นเซตนูน ดังนั้น จุดศูนย์กลางมวลของจุด A, A 2, A จึงอยู่ใน epigraph ลองหาพิกัดของจุดศูนย์กลางมวล: x c = m x + m 2 x m x m + m m = m x + m 2 x m x y c = m y + m 2 y m y m + m m = m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f( x) เนื่องจาก C อยู่ใน epigraph เราจึงได้ h.t.d. y c f(x c) m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f(x) f(m x + m 2 x m x) ด้วยการใช้อสมการของเจนเซ่น เราสามารถพิสูจน์อสมการของคอชีได้: สำหรับจำนวนบวกใดๆ a, a 2, a , อสมการต่อไปนี้คงอยู่: (a + a) a a 2 a ลองหาลอการิทึมของอสมการ (3) เราจะได้ ความไม่เท่าเทียมกันที่เท่าเทียมกัน(3) l (a +a 2 + +a) l(a a 2 a) (4) ด้วยการใช้คุณสมบัติของลอการิทึม เราเขียนอสมการใหม่ (4) ในรูปแบบ: l (a +a 2 + +a) l a + l a l a (5) ความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นเป็นกรณีพิเศษของความไม่เท่าเทียมกันของ Jensen สำหรับกรณีที่ f(x) = l(x), m = m 2 = = m = โปรดทราบว่าฟังก์ชัน y = l(x) จะเว้าในช่วงเวลา (0, +) เนื่องจาก y =< 0, поэтому неравенство (5) есть กรณีพิเศษอสมการ x2-7 -

8 Jensen สำหรับฟังก์ชันเว้า f(x) = l(x) เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกัน (5) เป็นจริง ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันที่เท่ากัน (3) จึงเป็นจริงด้วย การโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างชุดตัวเลข (,2,3,) และตัวมันเอง เรียกว่าการเรียงสับเปลี่ยนองค์ประกอบ ให้เราแสดงการเรียงสับเปลี่ยนด้วยตัวอักษร σ เพื่อให้ σ(), σ(2), σ(3) σ() เป็นตัวเลข 2,3 ในลำดับที่ต่างกัน พิจารณาชุดตัวเลข a, a 2, a และ b, b 2, b สองชุด เซต a, a 2, a และ b, b 2, b เรียกว่ามีลำดับเหมือนกันหากสำหรับตัวเลข i และ j ใดๆ จากข้อเท็จจริงที่ว่า a i a j ตามหลัง b i b j โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนที่ใหญ่ที่สุดจากเซต a, a 2, a สอดคล้องกับจำนวนที่มากที่สุดจากเซต b, b 2, b สำหรับจำนวนที่มากเป็นอันดับสองจากเซตแรก จะมีจำนวนมากที่สุดเป็นอันดับสองจากเซตที่ 2 เป็นต้นไป เซต a, a 2, a และ b, b 2, b ถูกเรียกว่าเรียงลำดับผกผัน ถ้าสำหรับตัวเลข i และ j ใดๆ จากข้อเท็จจริงที่ว่า a i a j จะตามหลัง b i b j จากนี้ไปว่าจำนวนที่มากที่สุดจากเซต a, a 2, a สอดคล้องกัน จำนวนที่น้อยที่สุดจากเซต b, b 2, b ซึ่งเป็นจำนวนที่มากเป็นอันดับสองจากเซต a, a 2, a สอดคล้องกับจำนวนที่น้อยที่สุดเป็นอันดับสองจากเซต b, b 2, b และอื่นๆ ตัวอย่าง) ให้เซตสองเซตกำหนดให้ a a 2 a และ b b 2 b จากนั้นตามคำจำกัดความที่เราให้เซตเหล่านี้มาเรียงลำดับเท่ากัน 2) ให้เซตสองชุดโดย a 2 a และ b b 2 b ซึ่งในกรณีนี้เซตของตัวเลข a, a 2, a และ b, b 2, b จะถูกเรียงลำดับผกผันทุกตำแหน่งด้านล่าง a, a 2, a และ b, b 2 , b - จำนวนจริงบวก “ทฤษฎีบท (อสมการการสับเปลี่ยน) ให้มีจำนวนสองชุด a, a 2, a และ b, b 2, b ให้เราพิจารณาการเรียงสับเปลี่ยนต่างๆ มากมาย ดังนั้นค่าของนิพจน์คือ - 8 -

9 S = a b σ + a 2 b σ2 + + a b σ () จะมีค่ามากที่สุดเมื่อเซต a, a 2, a และ b, b 2, b มีลำดับเท่ากัน และน้อยที่สุดเมื่อ a, a 2, a และ b , b 2, b มีลำดับย้อนกลับ สำหรับการเรียงสับเปลี่ยนอื่นๆ ทั้งหมด ผลรวม S จะอยู่ระหว่างค่าที่น้อยที่สุดและมากที่สุด" ตัวอย่าง. ตามทฤษฎีบท a b + b c + c a 3 เนื่องจากเซต a, b, c และ a, b, c ได้รับการเรียงลำดับผกผัน และค่าของ a + b b + c c = 3 จะน้อยที่สุด การพิสูจน์ทฤษฎีบท พิจารณาตัวเลขสองชุด: ชุดแรก a, a 2, a และชุดที่สอง b, b 2, b สมมติว่าชุดเหล่านี้ไม่ได้เรียงลำดับในลักษณะเดียวกัน มีดัชนี i และ k โดยที่ a i > a k และ b k > b i ลองสลับตัวเลข b k และ b i ในชุดที่สองกัน (การแปลงนี้เรียกว่า "การเรียงลำดับ") จากนั้นในผลรวม S เทอม a i b i และ a k b k จะถูกแทนที่ด้วย a i b k และ a k b i และพจน์อื่นๆ ทั้งหมดจะไม่เปลี่ยนแปลง โปรดทราบว่า a i b i + a k b k< a i b k + a k b i, так как (a i b i + a k b k) (a i b k + a k b i) = a i (b i b k) a k (b i b k) = (a i a k)(b i b k) < 0 Поэтому сумма Sувеличится. Выполняем сортировку пока это возможно. Если процесс прекратился, то это означает, что мы получили правильный порядок, а это и есть มูลค่าสูงสุด- ค่าที่น้อยที่สุดจะได้มาในลักษณะเดียวกัน เพียงแต่เราเรียงลำดับจนกว่าเซตจะกลับลำดับ ในที่สุดเราก็จะมา ค่าต่ำสุด- “ทฤษฎีบท 2 พิจารณาเซตบวกสองเซต a, a 2, a 3 a และ b, b 2, b 3 b และการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ทั้งหมด จากนั้นมูลค่าของผลคูณ (a i + b σ(i)) จะยิ่งใหญ่ที่สุดเมื่อเซต a, a 2, a 3 a และ b, b 2, b 3 b มีลำดับเท่ากัน และน้อยที่สุดเมื่อเรียงลำดับผกผัน

10 ทฤษฎีบท 3 พิจารณาเซต a, a 2, a 3 a และ b, b 2, b 3 b สองเซตของเซตนี้เป็นบวก จากนั้นค่า () a i + b σ(i) จะยิ่งใหญ่ที่สุดเมื่อเซต a, a 2, a 3 a และ b, b 2, b 3 b มีลำดับเท่ากันและน้อยที่สุดเมื่อเรียงลำดับย้อนกลับ” ทฤษฎีบทที่ 2 และ 3 เป็นกรณีพิเศษมากกว่านั้น ทฤษฎีบททั่วไปซึ่งจะกล่าวถึงด้านล่าง อสมการการสับเปลี่ยนทั่วไป “ทฤษฎีบทที่ 4 (อสมการการสับเปลี่ยนทั่วไป) ปล่อยให้ฟังก์ชัน f ต่อเนื่องและนูนออกมาในช่วงเวลาหนึ่งใน R จากนั้นสำหรับชุดตัวเลขใดๆ a, a 2, a 3 a และ b, b 2, b 3 b จากช่วงเวลา ค่าของนิพจน์ f (a + b σ()) + f ( a 2 + b σ(2)) + f (a + b σ()) จะมีค่ามากที่สุดเมื่อเซตเรียงลำดับเท่ากัน และเล็กที่สุดเมื่อเซตเรียงลำดับผกผัน ทฤษฎีบท 5 ปล่อยให้ฟังก์ชัน f ต่อเนื่องกันและเว้าในช่วงเวลาหนึ่งใน R จากนั้น: ค่าของนิพจน์ f (a + b σ()) + f (a 2 + b σ(2)) + f (a + b σ()) จะยิ่งใหญ่ที่สุดเมื่อตัวเลขเรียงลำดับย้อนกลับและน้อยที่สุดเมื่อเซต a, a 2, a 3 a และ b, b 2, b 3 b มีลำดับเท่ากัน Proof.") พิจารณากรณี = 2 ให้ฟังก์ชัน f นูนออกมา และมีเซต a > a 2 และ b > b 2 อยู่ 2 ชุด เราต้องพิสูจน์ว่า ลองแทน f(a + b) + f(a 2 + b 2) f(a + b 2) + f(a 2 + b) (2) x = a + b 2, k = a a 2, m = b b 2 จากนั้น - 0 -

11 a + b 2 = x + k, a 2 + b = x + m, a + b = x + k + m ดังนั้น อสมการ (2) จะอยู่ในรูป f(x + k + m) + f(x + k ) f(x + k) + f(x + m) (3) เพื่อพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน เราจะใช้รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันนูน y = f(x) และจุด A(x , f(x)), C(x) ถูกทำเครื่องหมายไว้บนกราฟ + k, f(x + k)), D(x + m, f(x + m)), B (x + k + m, f (x + k + ม)) และจากความนูนของฟังก์ชัน f ตามมาว่าคอร์ดซีดีอยู่ใต้คอร์ด AB ให้ K เป็นจุดกึ่งกลางของคอร์ด CD, MZ เป็นจุดกึ่งกลางของคอร์ด AB โปรดทราบว่าจุดหักของจุด K และ M เท่ากัน เนื่องจาก x k = 2 ((x + k) + (x + m)) = (2x + k + m) 2 x m = 2 (x + (x + k + m) ) = (2x + k + m) 2 ดังนั้น จุด K และ M จึงอยู่บนเส้นแนวตั้งเดียวกัน ซึ่งหมายความว่า y m y k -

12 เนื่องจาก y m = (f(x) + f(x + k + m)) 2 y k = (f(x + k) + f(x + m)) 2 นี่แสดงถึงความไม่เท่าเทียมกัน (3) และ (2) Q.E.D. 2) ให้ > 2 สมมุติว่าเซต a, a 2, a 3 a และ b, b 2, b 3 b ไม่ได้เรียงลำดับในลักษณะเดียวกัน กล่าวคือ มีดัชนี i และ k โดยที่ a i > a k และ b i< b k. Поменяем во втором наборе числа b i и b k местами. Тогда в сумме S слагаемые f(a i + b i) и f(a k + b k) заменятся на f(a i + b k) и f(a k + b i), а все остальные слагаемые останутся без изменений. Из неравенства (2) вытекает, что поэтому сумма S увеличится. f(a i + b k) + f(a k + b i) f(a i + b i) + f(a k + b k) Аналогично можно продолжать сортировку до тех пор, пока не получим одинаково упорядоченные наборы. Полученное значение суммы S будет наибольшим, что и требовалось доказать. Теорема 5 доказывается аналогично. 3. Неравенство Караматы Определение. Невозрастающий набор чисел X = (x, x 2, x) мажорирует невозрастающий набор чисел Y = (y, y 2, y) если выполнены условия x + x x k y + y y k и x + x x = y + y y. Для k =,2 и положительных чисел x, x 2, x и y, y 2, y. Обозначение X Y, если X можарирует Y и X Y, если Y можарирует X. Например. (,0,0,0, 0) (2, 2, 0,0,0, 0) (,) - 2 -

13 ถ้า x, x 2, x เป็นจำนวนบวก i= x i = แล้ว (,) (x, x 2, x) (,0,0,0, 0) “ทฤษฎีบท (อสมการคารามาตะ) ให้ f: (a , b ) R, f คือฟังก์ชันนูน x, x 2, x, y, y 2, y (a, b) และ (x, x 2, x) (y, y 2, y) จากนั้น f(x ) + ฉ(x 2) + ฉ(x) ฉ(y) + ฉ(y 2) + ฉ(y) ถ้า f เป็นฟังก์ชันเว้า แล้ว f(x) + f(x 2) + f(x) f(y) + f(y 2) + f(y)” เพื่อเป็นหลักฐาน โปรดดูที่ 4. การแก้ปัญหาเพื่อพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน ในส่วนนี้จะตรวจสอบปัญหาต่างๆ สำหรับการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน ซึ่งวิธีแก้ปัญหาสามารถแก้ไขได้โดยใช้ความไม่เท่าเทียมกันของเจนเซ่น ความไม่เท่าเทียมกันในการสับเปลี่ยน หรือความไม่เท่าเทียมกันของคารามาตะ ออกกำลังกาย. พิสูจน์อสมการ โดยที่ x, x 2, x > 0 ให้ x + x 2 + x + x x 2 x, f(x) = +x, m i = f(x) = (+ x) f(x) = (+ x ) 2 f(x) = 2(+ x) 3 > 0, x จากนั้นจึงตามมาจากอสมการของ Jensen ว่า - 3 -

14 ให้เราพิสูจน์ว่า i= + x i + x x 2 x + x +x 2 + +x สิ่งนี้เป็นจริงก็ต่อเมื่อ + x x 2 x + x + x x + x x 2 x x + x x x x 2 x และอสมการสุดท้ายเกิดขึ้นพร้อมกับ ความไม่เท่าเทียมกันของ Cauchy ภารกิจที่ 2. พิสูจน์ว่าสำหรับ a, b > 0 ใดๆ อสมการต่อไปนี้เป็นจริง: 2 a + b ab นี่เทียบเท่ากับอสมการ 2ab a + b ab 2ab ab(a + b) 2 ab a + b เป็นต้น ภารกิจที่ 3 พิสูจน์ว่าสำหรับ a, a 2, a > 0 ใดๆ อสมการต่อไปนี้เป็นจริง: a a 2 a a a 2 a อสมการสามารถเขียนใหม่เป็น: - 4 -

15 () (a a a 2 a a 2 a) มาแทนที่ b i = a i จากนั้นอสมการจะอยู่ในรูปแบบ: (b + b b) (b b 2 b) อสมการนี้เป็นจริงเพราะ นี่คือความไม่เท่าเทียมกันของคอชี ภารกิจที่ 4. พิสูจน์ว่าสำหรับ a, a 2, a > 0 ใดๆ จะมีอสมการต่อไปนี้: พิจารณาอสมการสำหรับ =3 a + a a + a a 2 a 3 a a a 2 + a 2 a 3 + a 3 a 3 ให้เราแทน a a 2 = x, a 2 a 3 = y, a 3 a = z, xyz = x+y+z 3 3 xyz= -true ให้เราแทน x = a a 2,x 2 = a 2 a 3,x = a a จากนั้น x x 2 x = จากนั้นความไม่เท่าเทียมกันจะอยู่ในรูปแบบ: x ​​+ x x ความไม่เท่าเทียมกันนี้ตามมาจากความไม่เท่าเทียมกันของ Cauchy: h.t.d. ภารกิจที่ 5. พิสูจน์ว่า (x + x x) x x 2 x = si x + si x si x si x + x x โดยที่ 0 x i π - 5 -

16 อสมการตามมาจากอสมการของเจนเซ่นสำหรับฟังก์ชัน y = six ฟังก์ชัน y = si x จะเว้าในช่วงเวลา (0, π) เนื่องจาก y = si x< 0при x (0, π), Гдеm i =. ч.т.д. Задание 6. si x + si x si x si(x + x x) Доказать,что для любых a, a 2, a >0 อสมการเป็นจริง: (a + a 2+ +a)(a + a) 2 อสมการสามารถเขียนใหม่ได้เป็น: นี่เทียบเท่ากับข้อเท็จจริงที่ว่า (a + a a) a + a 2 a +a 2 + + a a + a 2+ +a พิจารณาฟังก์ชัน Jensen f(x) = x เราจะได้ความเท่าเทียมกันนี้ และการใช้อสมการ ภารกิจที่ 7 พิสูจน์ว่าสำหรับ x, y, z > 0 ใดๆ ความไม่เท่าเทียมกัน x 5 + y 5 + z 5 x 3 y 2 + y 3 x 2 + z 3 x 2 เป็นจริง ความไม่เท่าเทียมกัน ให้ชุดแรกมีรูปแบบ วินาที x 3, y 3, z 3, x 2, y 2, z 2 นิพจน์ทางด้านซ้ายจะใหญ่ที่สุดเพราะ ค่าของนิพจน์ทางด้านซ้าย x 5 + y 5 + z 5 ประกอบด้วยชุดตัวเลขที่มีลำดับเหมือนกัน ตามมาว่าค่าที่ได้คือ - 6 -

17 สำหรับการเรียงสับเปลี่ยนอื่นๆ ทั้งหมดที่ไม่ใช่ มูลค่าที่มากขึ้นได้มาจากการจัดเรียงตัวแปรที่ “ถูกต้องที่สุด” ภารกิจที่ 8. พิสูจน์ว่าสำหรับ x, y, z > 0 ใดๆ อสมการต่อไปนี้เป็นจริง: x + x 2 + y + y 2 + z + z 2 x + y 2 + y + z 2 + z + x 2 เราทำได้ สมมุติว่า x y z ให้ a = x, a 2 = y, a 3 = z, b = + x 2, b 2 = + y 2, b 3 = + z 2 เซต a, a 2, a 3 และ b, b 2, b 3 ถูกเรียงลำดับตรงข้าม ดังนั้น จากความไม่เท่าเทียมกันของการสับเปลี่ยน ผลรวม a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 จึงน้อยที่สุดในบรรดาผลรวม . a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 a b 2 + a 2 b 3 + a 3 b, x + x 2 + y + y 2 + z + z 2 x + y 2 + y + z 2 + z + x 2. ภารกิจที่ 9 พิสูจน์ว่าสำหรับ a, a 2, a > 0 ใดๆ จะมีอสมการต่อไปนี้: (+ a 2) (+ a 2 2) (+ a 2) (+ a a 2 a 3 a)(+ a 2 ) (+ a) คูณ a 2 a เราจะได้ (a 2 + a 2)(a 3 + a 2 2) (a + a 2) (a + a 2)(a 2 + a 2 2) (a + ก 2) - 7 -

18 ให้เราหาลอการิทึมของอสมการและรับอสมการที่เท่ากัน l(a 2 + a 2) + l(a a 3) + + l(a 2 + a) l(a 2 + a) + l(a a 2) + + l(a 2 + a) (9.) เอาล่ะ ใช้อสมการการสับเปลี่ยนทั่วไปสำหรับฟังก์ชันเว้า y = l x ให้ a i = a i, b i = a i 2 จากนั้นเซต b, b 2, b และ a, a 2 มีลำดับเท่ากัน ดังนั้น l(b + a) + l(b 2 + a 2) + + l( b + a ) l(b + a 2) + l(b 2 + a 3) + + l(b + a) ซึ่งพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน (9.) ภารกิจที่ 0 พิสูจน์ว่าสำหรับค่าบวกใดๆ a, b, c a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ac (0.) ให้ a b c.. เนื่องจากเซต (a, b, c) และ (a, b , c) มีลำดับเท่ากัน แต่เซต (a, b, c) และ (b, c, a) มีลำดับไม่เท่ากัน จากนั้นอสมการ (0.) จะตามมาด้วยอสมการสับเปลี่ยน ออกกำลังกาย. พิสูจน์ว่าถ้า xy + yz + zx = แล้วอสมการ (.) ตามมาจากปัญหา 0 งานที่ 2 พิสูจน์ว่าถ้า a, b, c > 0 แล้ว x 2 + y 2 + z 2 (.) (a + c)(b + d) ab + cd เนื่องจากรากที่สองมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ เราจึงสามารถยกกำลังสองด้านขวาและด้านซ้ายได้ เราได้: (a + c)(b + d) ab + 2 abcd + cd ab + ad + cb + cd ab + 2 abcd + cd ab + cd 2 abcd - 8 -

19 a 2 d 2 + 2abcd + c 2 d 2 4abcd a 2 d 2 + c 2 d 2 2abcd 0 (ad cd) 2 0 -ภารกิจจริง 3, 4. พิสูจน์ว่าสำหรับ a, a 2, a > 0 อสมการต่อไปนี้เป็นจริง: 3) a 2 + a 2 (a +a 2 + a) 2 4)a 2 + a 2 (3.) (4.) โดยที่ a + a 2 + a = อสมการ (4.) ตามมา จาก ( 3.) ด้วย a + a 2 + a = เราจะพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน (3.) สามารถแปลงเป็นรูปแบบ หรือ 2 + a 2 (a + a 2 + a) 2 2 a 2 + a a 2 (a + a) ลองใช้อสมการของเจนเซ่นกับฟังก์ชันนูน f(x): f(q x + q 2 x 2 + q x) q f(x) + q 2 f(x 2) + q f(x), โดยที่ 0 q i, q + q 2 + q = หากเราหา f(x) = x 2, q i =, i =,2 เราจะได้ความไม่เท่าเทียมกัน (3.) เป็นต้น ภารกิจที่ 5. พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ และสำหรับ p ใดๆ q ความไม่เท่าเทียมกัน () 2 pq + ()(p + q) + ()pq + (5.) - 9 -

20 ขอให้เราแปลงอสมการ (5.) ให้เป็นรูปแบบที่เทียบเท่า: () 2 pq + ()(p + q) + ()pq + () 2 pq + ()(p + q) + ()pq 0 นำสิ่งที่คล้ายกันมา อันที่เราได้รับ: ( )[()pq + (p + q) pq] + 0 () () 0 () 0 () 0 เสมอ เนื่องจาก -natural เราพิสูจน์ว่า โปรดทราบว่า 0 (5.2) p + q pq = p(q ) (q) = (p)(q) เนื่องจาก p, q แล้ว p 0, q 0 ดังนั้น อสมการ (5.2) จึงเป็นจริง ภารกิจที่ 6. สำหรับจำนวนบวกใดๆ x, y, z จะมีอสมการต่อไปนี้: ให้ x y z xyz (y + z x)(z + x y)(x + y z) (6.))ถ้า y + z x< 0, то неравенство (6.) выполнено 2) Пусть все множители в правой части >0. จากนั้น อสมการ (6.) จะเท่ากับอสมการ l x + l y + l z l(y + z x) + l(z + x y) + l(x + y z) ให้ f(x) = l x เนื่องจาก f(x)`` = x 2< 0то функция f(x) = l x вогнутая на интервале (0, +) Проверим, что набор (y + z x, x + z y, x + y z) мажорирует набор (x, y, z). Действительно:

21 x + y z x (ตั้งแต่ y z 0); (x + y z) + (x + z y) = 2x x + y (x + y z) + (x + z y) + (y + z x) = x + y + z เนื่องจากฟังก์ชัน f(x) = l x เป็นเว้า จากนั้นจากความไม่เท่าเทียมกันของคารามาตะ จะได้ว่า l(x + y z) + l(x + z y) + l(y + z x) = l x + l y + l z ซึ่งพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน (6.) ภารกิจที่ 7. พิสูจน์ว่าสำหรับ a, b และ c > 0 ใดๆ จะมีอสมการต่อไปนี้อยู่: a 2 + b 2 + c ab + ac + bc a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab นี่เทียบเท่ากับ ความจริงที่ว่า ให้ a b c a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac + bc + ab + ac + bc พิจารณาชุดตัวเลขสองชุด a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab (a 2 + b 2 + c 2, ab + ac + b, ab + ac + b) (7.) (a 2 + 2bc, b 2 + 2ac, c 2 + 2ab) (7.2) เราต้องพิสูจน์ว่า (7.) มีส่วนสำคัญ (7.2) ลองใช้คำจำกัดความของการทำให้เป็นใหญ่:) a 2 + b 2 + c 2 a 2 + 2bc (b c) 2 0-true 2) a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac + bc a 2 + 2bc + b 2 + 2ac c 2 bc ac + ab 0 c(c b) a(c b) 0 (c b)(c a) 0-2 -

22 (c b) 0 และ (c a) 0 จากนั้น (c b)(c a) 0 3) 3)a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac + bc + ab + ac + bc = a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab ถูกต้อง ดังนั้นชุดตัวเลข (7.) จะเน้นชุดตัวเลข (7.2) เป็นหลัก เมื่อใช้อสมการคารามาตะกับฟังก์ชันนูน f(x) = x เราจะได้อสมการดั้งเดิมที่ถูกต้อง ภารกิจที่ 8 สำหรับ a, b, c, d > 0 พิสูจน์ว่าอสมการ a 4 + b 4 + c 4 + d 4 a 2 b 2 + a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b เป็นจริง 2 d 2 + c 2 d 2 ให้ a b c d แทนที่: x = l a, y = l b, z = l c, w = l d และเขียนอสมการดั้งเดิมในรูปแบบ: e 4x + e 4y + e 4z + e 4w + e x+ y+z+w + e x+y+z+w e 2x+2y + e 2x+2z + e 2x+2w + e 2y+2z + e 2y+2w + e 2z+2w พิจารณาชุดของสองชุด ตัวเลข: (4x, 4y, 4z, 4w, x + y + z + w, x + y + z + w) และ (2x + 2y, 2x + 2z, ​​​​2x + 2w, 2y + 2z, ​​​​2y + 2w, 2z + 2w) ลองเรียงลำดับเซตเหล่านี้: (4x, 4y, 4z, x + y + z + w, x + y + z + w, 4w) และ (8.) ตัวที่สองยังคงไม่เปลี่ยนแปลง: (2x + 2y, 2x + 2z, ​​​​2x + 2w, 2y + 2z, ​​​​2y + 2w, 2z + 2w) (8.2) ให้เราพิสูจน์ว่า (8.) เน้น (8.2)

23 ) 4x 2x + 2y, x y ถูก 2) 4x + 4y 4x + 2y + 2z,y z ถูก 3) 4x + 4y + 4z 4x + 2y + 2z + 2x + 2w y + z x + w เนื่องจากเซตถูกสั่ง ด้วยวิธีนี้ นั่นคือ 2x + 2w 2y + 2z นั่นก็คือ x + w y + z จากนั้นกรณีที่ 3) เป็นไปได้เฉพาะเมื่อ x + w = ​​​​y + z 4) 4x + 4y + 4z + x + y + z + w 4x + 2y + 2z + 2x + 2w + 2y + 2z x + y + z w 0 y + z x + w คล้ายกับกรณีก่อนหน้านี้ อสมการนี้ถูกต้องสำหรับ x + w = ​​​​y + z 5) 4x + 4y + 4z + 2x + 2y + 2z + 2w 4x + 2y + 2z + 2x + 2w + 2y + 2z + 2y + 2w z w ถูกต้อง 6) 4x + 4y + 4z + 2x + 2y + 2z + 2w + 4w 4x + 2y + 2z + 2x + 2w + 2y + 2z + 2y + 2w + 2z + 2w 0 = 0 ดังนั้น เซต (8.) จะเน้นเซตของตัวเลข (8.2) เป็นหลัก เราได้การใช้อสมการของคารามาตะสำหรับฟังก์ชัน f(x) = e x ความไม่เท่าเทียมกันอย่างแท้จริง- ภารกิจที่ 9 สำหรับ a, b, c > 0 พิสูจน์ว่าอสมการ a 3 + b 3 + c 3 + abc 2 3 (a2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca) เป็นจริง

24 ให้ a b c คูณทั้งสองข้างของอสมการด้วย 3 เราจะได้ 3a 3 + 3b 3 + 3c 3 + 3abc 2(a 2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca) 2 (9. ) มาแทนที่กัน : และเราเขียนความไม่เท่าเทียมกัน (9.) ในรูปแบบ: x ​​= l a, y = l b, z = l c e 3x + e 3x + e 3x + e 3y + e 3y + e 3y + e 3z + e 3z + อี 3z + อี x +y+z + อี x+y+z + อี x+y+z อี 2x+y + อี 2x+y + อี 2y+z + อี 2y+z + อี 2z+x + อี 2z +x + e x+ 2y + e x+2y + e y+2z + e y+2z + e z+2x + e z+2x พิจารณาสองเซต: (3x, 3x, 3x, 3y, 3y, 3y, 3z, 3z, 3z, x + y + z, x + y + z, x + y + z) และ (9.2) (2x + y, 2x + y, 2y + z, 2y + z, 2z + x, 2z + x , x + 2y, x + 2y, y + 2z, ​​​​y + 2z, ​​​​z + 2x, z + 2x) (9.3) ให้เราสั่งเซตเหล่านี้: (3x, 3x, 3x, 3y, 3y, 3y , x + y + z, x + y + z, x + y + z, 3z, 3z, 3z,) และ (9.2) ลองสั่งเซตที่สองกัน: 2x + y z + 2x y z true y + 2z 2z + x y x true ดังนั้น เราได้เซต: (2x + y, 2x + y, z + 2x, z + 2x, 2y + z, x + 2y, x + 2y,2y + z, 2y + z, 2z + x, 2z + x, y + 2z, ​​​​y + 2z) (9.3) ต้องพิสูจน์ว่าเซตตัวเลข (9.2) เน้นเซตตัวเลข (9.3)) 3x 2x + y, x y 2) 6x 4x + 2y, x y 3) 9x 6x ​​​​+ 2y + z, 3x 2y + z

25 4) 9x + 3y 4x + 2y + 2z + 4x, x + y 2z, สำหรับ x = y เราจะได้ y z 5) 9x + 6y 4x + 2y + 2z + 4x + 2y + x, y z 6) 9x + 9y 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x, x + 3y 2z 0 เมื่อ x = y เราได้ y z 7) 9x + 9y + x + y + z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 2y + z เราได้ y z 8) 9x + 9y + 2x + 2y + 2z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z, ​​​​x + y + 3z 0 9) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 2z + x, x + 2y + 3z 0 0) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z + 3z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 4z + 2x, y z) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z + 6z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 4z + 2x + 2z + y, 5y z 2 ) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z + 9z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 4z + 2x + 4z + 2y 2x + 2y + 2z = 2x + 2y + 2z ดังนั้น เซตนี้ ของตัวเลข (9.2) ทำให้ชุดตัวเลข (9.3) เป็นส่วนใหญ่ และโดยอสมการของคารามาตะสำหรับฟังก์ชัน f(x) = e x เราได้อสมการที่ถูกต้อง

26 ข้อมูลอ้างอิง) Yu.P. Soloviev อสมการ. อ.: สำนักพิมพ์ของศูนย์มอสโกเพื่อการศึกษาต่อเนื่องคณิตศาสตร์ พ.ศ. 2548 2) I.Kh. ซิวาชินสกี้ ความไม่เท่าเทียมกันในปัญหา M.: Nauka, p. 3) A.I. คราโบรฟ รอบความไม่เท่าเทียมกันของมองโกเลีย, แมท. การตรัสรู้สีเทา 3, 7, MTsNMO, M., 2003, น. 4) L.V. Radzivilovsky ลักษณะทั่วไปของความไม่เท่าเทียมกันในการสับเปลี่ยนและความไม่เท่าเทียมกันของมองโกเลีย Mat การตรัสรู้สีเทา 3, 0, สำนักพิมพ์ MTsNMO, M., 2006, p. 5) วี.เอ.ช. เครตชมาร์ หนังสือปัญหาพีชคณิต ฉบับที่ห้า ม., วิทยาศาสตร์, หน้า. 6) D. Nomirovsky Karamata ความไม่เท่าเทียมกัน /D. โนมิรอฟสกี้ // (ควานต์)-S

ชุดนูนและฟังก์ชัน R n เซตของเซต n ตัวเลขจริง- ต่อไปนี้เราจะเรียกเซตนี้ว่าปริภูมิ องค์ประกอบของมันจะเป็นจุด จุดที่มีพิกัด (x 1,..., xn) จะแสดงแทนด้วย

เงื่อนไขของงาน 1 เทศบาลระยะที่ 8 ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 มีการเขียนตัวเลขสองตัวไว้บนกระดาน หนึ่งในนั้นเพิ่มขึ้น 6 เท่า และอีกอันลดลงในปี 2558 ในขณะที่ผลรวมของตัวเลขไม่เปลี่ยนแปลง ค้นหาคู่เหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งคู่

บทที่เก้า ปริภูมิแบบยุคลิดและเอกภาพ 35. สินค้าดอทในอวกาศเวกเตอร์อูราล มหาวิทยาลัยสหพันธรัฐ,สถาบันคณิตศาสตร์และ วิทยาการคอมพิวเตอร์,ภาควิชาพีชคณิตและ Discrete

Ural Federal University, สถาบันคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์, ภาควิชาพีชคณิตและคณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่อง หมายเหตุเบื้องต้น เมื่อแก้ไขปัญหาหลายอย่างจำเป็นต้องมีตัวเลข

การแก้ปัญหาตัวต่อตัวของออยเลอร์โอลิมปิกครั้งที่ 9 ครั้งที่ 9 1. พิจารณาคำตอบทั้งหมดของระบบ x yz 1, x y z x, x y z ค้นหาค่าทั้งหมดที่ x สามารถรับได้ คำตอบ: 1; 1; 1. วิธีแก้ 1. เนื่องจาก x y

การบรรยายครั้งที่ 4 1. เวกเตอร์ เวกเตอร์เป็นส่วนที่มีทิศทางกำกับ เวกเตอร์เท่ากัน: มี ความยาวเท่ากันและทิศทางที่ตรงกัน (ขนานและชี้ไปในทิศทางเดียวกัน) เวกเตอร์ตรงข้าม: มีความยาวเท่ากัน

หัวข้อ 1-8: จำนวนเชิงซ้อน A. Ya. Ovsyannikov Ural Federal University สถาบันคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ภาควิชาพีชคณิตและคณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่องและเรขาคณิตสำหรับกลศาสตร์ (1 ภาคการศึกษา)

เพนซ่า มหาวิทยาลัยของรัฐคณะฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ "โรงเรียนฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ภายในและภายนอกเวลา" คณิตศาสตร์ การเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์- การแก้สมการ ภารกิจสามเหลี่ยม 1 สำหรับ

สถาบันสาธิตฟิสิกส์และเทคโนโลยีแห่งมอสโก สมการลอการิทึมและอสมการ วิธีการหากำลังและลอการิทึมในการแก้ปัญหา คู่มือระเบียบวิธีเพื่อเตรียมพร้อมสำหรับการแข่งขันกีฬาโอลิมปิก

98 คณิตศาสตร์: พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์เรขาคณิต การแก้สมการตามคุณสมบัติของฟังก์ชันนูน Lipatov SV Kaluga MBOU "Lyceum 9 ตั้งชื่อตาม KE Tsiolkovsky" คลาส 0 "A" ผู้บังคับบัญชาทางวิทยาศาสตร์:

รูปแบบพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน การนำเสนอทางการศึกษา A. V. Likhatsky หัวหน้างาน: E. A. Maksimenko Southern Federal University 14 เมษายน 2551 A. V. Likhatsky (SFU) พีชคณิต แบบฟอร์มชุด ตัวเลข

มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก มหาวิทยาลัยเทคนิคตั้งชื่อตาม N.E. คณะบาวแมน” วิทยาศาสตร์พื้นฐาน" แผนก " การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

72 บทที่ 2 ตัวอย่างพหุนามและความคิดเห็น อัลกอริทึม A-01 การเขียนพหุนามใน แบบฟอร์มมาตรฐาน A-02 การดำเนินการกับพหุนาม A-03 การแปลงทางปาก A-04 สูตรสำหรับการคูณแบบย่อ A-05 ทวินามของนิวตัน

วิธีแก้ปัญหาของรอบการติดต่อของบล็อกทางคณิตศาสตร์ออยเลอร์โอลิมปิก I ครั้งที่ 6 ค้นหาว่าค่าของพารามิเตอร์ใดที่มีจำนวนจริง x และ y ที่เป็นไปตามสมการ xy + x + y + 7 คำตอบ: 89 วิธีแก้ปัญหา

การบรรยายครั้งที่ 8 บท พีชคณิตเวกเตอร์เวกเตอร์ ปริมาณที่กำหนดโดยพวกมันเท่านั้น ค่าตัวเลขเรียกว่าตัวอย่างสเกลาร์ ปริมาณสเกลาร์: ความยาว พื้นที่ ปริมาตร อุณหภูมิ งาน มวล

โอลิมปิกระหว่างภูมิภาคเด็กนักเรียน " การทดสอบสูงสุด"คณิตศาสตร์ปี 2560 ระยะที่ 2 น. 1/10 แนวทางแก้ไขและเกณฑ์การประเมินงานโอลิมปิก 10-1 ในบริษัท 6 คน บางคนไปเป็นกลุ่มละสามคน

7. สุดขั้วของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว 7.. ความสุดขั้วในท้องถิ่นให้นิยามฟังก์ชัน f(x,..., xn) บนเซตเปิด D R n จุด M D เรียกว่าจุด สูงสุดในท้องถิ่น(ท้องถิ่น

ออยเลอร์โอลิมปิกครั้งที่ 8 สำหรับครูคณิตศาสตร์ คำตอบของปัญหารอบการติดต่อ แก้สมการ a b c b a c c a b a b c โดยที่ a, b และ c เป็นจำนวนบวก วิธีแก้ เป็นที่แน่ชัดว่า a b c คำตอบ สมการที่กำหนด

ฉันปีงาน พิสูจน์ว่าฟังก์ชันรีมันน์ ถ้าเป็น 0, m m R(), ถ้า, m, m 0 และเศษส่วนไม่สามารถลดได้ 0 ถ้าไม่มีเหตุผล จะไม่ต่อเนื่องในแต่ละ จุดเหตุผลและต่อเนื่องไปในทุกอณู สารละลาย.

โอลิมปิกเมืองในวิชาคณิตศาสตร์ Khabarovsk, 1997 ปัญหา 1. ค้นหาคำตอบของสมการเกรด 9 (x + 2) 4 + x 4 = 82 (1) วิธีแก้ไข หลังจากแทนที่ตัวแปร x = y 1 แล้ว จะสามารถเขียนสมการ (1) ได้เป็น

Ural Federal University, สถาบันคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์, ภาควิชาพีชคณิตและข้อสังเกตเบื้องต้นทางคณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่องในการบรรยายสามรายการก่อนหน้านี้มีการศึกษาเส้นและระนาบคือ

หัวข้อ 2-14: ช่องว่างแบบยุคลิดและแบบรวม A. Ya. Ovsyannikov Ural Federal University Institute of Mathematics and Computer Science ภาควิชาพีชคณิตและพีชคณิตและเรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่องสำหรับ

ออยเลอร์โอลิมปิกครั้งที่ 9 สำหรับครูคณิตศาสตร์ วิธีแก้ปัญหารอบการโต้ตอบ 1. แก้สมการ x(x ab) a b สำหรับ x สารละลาย. เห็นได้ชัดว่า x a b เป็นรากของสมการนี้ การหารพหุนาม x abx

1. สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว ในงานแรก เราดูสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตัวเดียว ตัวอย่างเช่น สมการ 2x+ 5= 0, 3x+ (8x 1) + 9= 0 คือ สมการเชิงเส้นด้วยตัวแปร

บทที่ 6 พีชคณิตเวกเตอร์ 6.1 เวกเตอร์บนเครื่องบินและในอวกาศ เวกเตอร์เรขาคณิตหรือเพียงแค่เวกเตอร์ เป็นส่วนที่มีทิศทาง กล่าวคือ ส่วนที่มีการตั้งชื่อจุดขอบเขตจุดใดจุดหนึ่ง

การมอบหมายงาน Open Olympiad สำหรับเด็กนักเรียนวิชาคณิตศาสตร์ (54 รายการโอลิมปิกสำหรับเด็กนักเรียน ปีการศึกษา 2558/2559) สารบัญ I. การมอบหมาย ขั้นตอนสุดท้ายโอลิมปิก เกรด 11...2 II. ภารกิจของรอบคัดเลือกรอบที่ 1

3.. วิธีการแก้ปัญหา ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล 3..1. อสมการเชิงตัวเลข ก่อนอื่น เรามานิยามความหมายของข้อความ a > b กันดีกว่า คำจำกัดความ 3..1 หมายเลข ก จำนวนมากขึ้น b ถ้าความแตกต่างระหว่างพวกเขาเป็นบวก

การบรรยายครั้งที่ 13 ฟังก์ชันนูนและสูตรของเทย์เลอร์ 1 C นูนและเว้า - ฟังก์ชั่นที่ราบรื่น- คำจำกัดความ 1 ฟังก์ชันเรียกว่านูน (เว้า) ถ้า epigraph (กราฟย่อย) ของฟังก์ชันเป็นบริเวณนูน ตัวอย่างที่ 1x

เวิร์กชอป: “ความแตกต่างและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน” หากฟังก์ชัน y f () มีอนุพันธ์ที่มีขอบเขตจำกัดที่จุดหนึ่ง การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่จุดนี้สามารถแสดงเป็น: y(,) f () () () ที่ไหน () ที่

การบรรยายครั้งที่ 2 เวกเตอร์ ปัจจัยกำหนดลำดับที่สองและสาม 1 เวกเตอร์ เวกเตอร์ส่วนที่กำกับ เวกเตอร์เท่ากัน: มีความยาวเท่ากันและมีทิศทางเดียวกัน (ขนานและมีทิศทางไปในทิศทางเดียวกัน)

การแก้ปัญหาของการทัวร์โต้ตอบ 0 I บล็อกทางคณิตศาสตร์ ปัญหา ค้นหาจำนวนรากธรรมชาติของสมการ คำตอบ: 00 0 วิธีแก้ปัญหา การแก้ปัญหา แทนตัวเลขในรูปแบบ แล้ว ด้านขวาของสมการนี้เท่ากับ

บันทึกการบรรยาย 11 EUCLIDAN SPACES 0. โครงร่างการบรรยาย 1. Dot product. 1.1. คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ 1.2. การบันทึกที่เทียบเท่าผ่านการฉายภาพ 1.3. หลักฐานความเป็นเส้นตรงใน

โอลิมปิก “นักวิจัยแห่งอนาคต วิทยาศาสตร์แห่งอนาคต” คณิตศาสตร์ รอบคัดเลือก 4.0.0 ปัญหาและแนวทางแก้ไข 8 เกรด 9 8-9.. เลขไหนมากกว่า: 0 0 0 0 หรือ 0 0 0 0? คำตอบ. จำนวนแรกมากกว่าจำนวนที่สอง สารละลาย. มาแสดงกันเถอะ

ป.0 รอบแรก (0 นาที โจทย์ข้อละ 6 คะแนน)... ทราบว่า tg + tg = p, ctg + ctg = q. ค้นหา tg(+) pq คำตอบ: tg. q p จากเงื่อนไข p tg q tg tg tg tg p และความเท่าเทียมกัน ctg ctg q เราจะได้สิ่งนั้น

การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ 2.5 การบรรยาย: Extrema ของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว รองศาสตราจารย์ภาควิชา VMMF Vladimir Feliksovich Zalmezh พิจารณาฟังก์ชัน w = f (x) ที่กำหนดในโดเมน D R n เรียกจุด x 0 D

หัวข้อ 1-4: การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต A. Ya. Ovsyannikov Ural Federal University สถาบันคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ภาควิชาพีชคณิตและคณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่องและเรขาคณิตสำหรับกลศาสตร์ (1

เนื้อหา I. V. Yakovlev วัสดุทางคณิตศาสตร์ระบบ MathUs.ru สมการพีชคณิตการเปลี่ยนคู่................................. ระบบสมมาตร........ .... ....................

หน่วยงานของรัฐบาลกลางโดยการศึกษาของรัฐบาลกลาง สถาบันการศึกษาสูงกว่า อาชีวศึกษามหาวิทยาลัยสหพันธ์ภาคใต้ R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Methodological

การบรรยายที่ 10 1 EUCLIDEAN SPACE 11 คำจำกัดความ ให้ V (R) LP อยู่เหนือสนามของจำนวนจริง ผลคูณสเกลาร์บน V คือ ฟังก์ชั่นตามอำเภอใจ V V R ซึ่งเชื่อมโยงเวกเตอร์คู่อันดับ

1 คุณสมบัติที่ครอบคลุม 1.1 จำนวนเชิงซ้อน จำได้ว่า จำนวนเชิงซ้อนสามารถกำหนดเป็นเซตของคู่ลำดับของจำนวนจริง C = ((x, y) : x, y R), z = x + iy โดยที่ i เป็นหน่วยจินตภาพ (i

บทที่ 4 ทฤษฎีบทพื้นฐาน แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์การเปิดเผยความไม่แน่นอน ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ (ปิแอร์ แฟร์มาต์ (6-665) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส) ถ้าฟังก์ชัน y f

บันทึกการบรรยาย 10 AFFINE SPACES 0. เค้าโครงการบรรยาย การบรรยาย เว้นวรรค. 1. พื้นฐานความสัมพันธ์. 2. พิกัดอัฟคะแนน 3. สมการเวกเตอร์ของเส้นตรง 4. สมการเวกเตอร์ของเครื่องบิน 5.

ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 1. พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ ไม่มีใครสามารถเลือกจำนวนธรรมชาติ a โดยที่จำนวน a(n+ 1) (+ n+1) หารด้วยจำนวนเต็มลงตัว 2. ผู้เข้าร่วมสองคนเข้าร่วมการแข่งขันกีฬาโอลิมปิกในเมืองในด้านคณิตศาสตร์

Ural Federal University, สถาบันคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์, ภาควิชาพีชคณิตและคณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่อง หมายเหตุเบื้องต้น ในการบรรยายนี้ มีการศึกษาเส้นโค้งไฮเปอร์โบลาลำดับที่สองอีกเส้นหนึ่ง

การบ้านในพีชคณิตสำหรับเกรด 0 ถึงหนังสือเรียน "พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์เกรด 0" Alimov Sh.A. และอื่น ๆ -M.: “การตรัสรู้”, 00. www.balls.ru สารบัญบทที่ 1 ตัวเลขจริง.. บทที่สอง พลัง

พีชคณิตเวกเตอร์ แนวคิดของปริภูมิเวกเตอร์ การพึ่งพาเชิงเส้นเวกเตอร์ คุณสมบัติ. แนวคิดเรื่องพื้นฐาน พิกัดเวกเตอร์ การแปลงเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์ ค่าลักษณะเฉพาะและเป็นเจ้าของ

หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษา Tomsk State University of Control Systems and Radioelectronics Department คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น(VM) Prikhodovsky M.A. ตัวดำเนินการเชิงเส้นและแบบฟอร์มกำลังสองเชิงปฏิบัติ

Ural Federal University, Institute of Mathematics and Computer Science, Department of Algebra and Discrete Mathematics Introductory remarks การบรรยายนี้แนะนำการดำเนินการของการคูณเมทริกซ์ การศึกษา

สถาบันฟิสิกส์และเทคโนโลยีแห่งมอสโก ความไม่เท่าเทียมกันของ Cauchy-Bunyakovsky คู่มือระเบียบวิธีสำหรับการเตรียมตัวสำหรับการแข่งขันกีฬาโอลิมปิก เรียบเรียงโดย: Parkevich Egor Vadimovich มอสโก 014 วัสดุทางทฤษฎี- ในงานนี้

งานแล็บ 1 ชุด จอแสดงผล ระบบเซต 1. แนวคิดและทฤษฎีบทพื้นฐาน ให้ X เป็นเซต และให้ (x) เป็นคุณสมบัติบางประการสำหรับแต่ละองค์ประกอบเฉพาะ

สัมมนา 2. รูปกรวยบนระนาบฉายภาพ 1. นิยามของรูปกรวยใน P 2. คุณสมบัติแรกของรูปกรวย เหมือนเมื่อก่อน เราทำงานใน k = R หรือ C คำจำกัดความของทรงกรวยใน P 2 พิจารณาแผนผังโปรเจ็กต์ f: l

5 องค์ประกอบของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน 5.1 ปริภูมิเชิงเส้น นอร์เมด และบานาช 5.1.1 คำจำกัดความของปริภูมิ เซต X ที่ไม่ว่างขององค์ประกอบ x, y, z,... เรียกว่าปริภูมิเชิงเส้น (เวกเตอร์)

LD Lappo, AV Morozov การบ้านเรื่องพีชคณิตสำหรับเกรด 0 สำหรับหนังสือเรียน "พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: การศึกษาสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไปเกรด 0 / ShA Alimov และ ed อื่น ๆ M: Prosveshchenie, 00" บทที่ I ใช้ได้

บทที่ 8 เส้นและระนาบ 8.1 สมการของเส้นและพื้นผิว 8.1.1 เส้นบนระนาบ สมมติว่าเครื่องบินได้รับ ระบบความสัมพันธ์พิกัด ให้ l เป็นเส้นโค้งในระนาบและมี f(x, y) อยู่บ้าง

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ สหพันธรัฐรัสเซียหน่วยงานกลางเพื่อการศึกษา Penza State University Rudenko AK, Rudenko MN, Semerich YUS การรวบรวมปัญหาพร้อมแนวทางแก้ไขสำหรับการเตรียมการ

สมการในพีชคณิตจะพิจารณาความเท่าเทียมกันสองประเภท: อัตลักษณ์และสมการ อัตลักษณ์คือความเท่าเทียมกันที่พึงพอใจสำหรับค่าที่ถูกต้องทั้งหมด) ของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้น สำหรับอัตลักษณ์จะใช้เครื่องหมาย

ปัญหาการท่องเที่ยวทางจดหมายทางคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ปีการศึกษา 2557/2558 ปี ความยากระดับแรก ปัญหาที่ 1 แก้สมการ: (x+3) 63 + (x+3) 62 (x-1) + (x+3) 61 (x-1) 2 + + (x-1) 63 = 0 คำตอบ: -1 ปัญหา 2 ผลรวม

ค่ายโรงเรียน 57 กรกฎาคม 59 ความไม่เท่าเทียมกัน (หมายเหตุ) Dmitrieva A, Ionov K บทที่หนึ่ง อสมการง่ายๆความไม่เท่าเทียมกันเกี่ยวกับค่าเฉลี่ย ปัญหา พิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน x + 4y + 9z 4xy + 6yz + 6zx วิธีแก้ไข: x + 4y + 9z

กระทรวงศึกษาธิการของภูมิภาคมอสโกสถาบันการศึกษางบประมาณของรัฐการศึกษาวิชาชีพชั้นสูงของภูมิภาคมอสโก " มหาวิทยาลัยนานาชาติธรรมชาติ สังคม และ

Interregional Olympiad สำหรับเด็กนักเรียน “การทดสอบขั้นสูง” คณิตศาสตร์ปี 2017 ขั้นที่ 2 หน้า 1/11 วิธีแก้ปัญหาและเกณฑ์การประเมินงานโอลิมปิก 8-1 ค้นหาตัวเลขธรรมชาติทั้งหมด n จาก 1 ถึง 100 ซึ่งถ้าคุณคูณ

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย สถาบันฟิสิกส์และเทคโนโลยีแห่งมอสโก (มหาวิทยาลัยแห่งรัฐ) สารบรรณ โรงเรียนฟิสิกส์และเทคโนโลยี คณิตศาสตร์ การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน สารละลาย

การบรรยายครั้งที่ 7 บท. ระบบ อสมการเชิงเส้น.. แนวคิดพื้นฐาน ระบบอสมการเชิงเส้นใช้ในการแก้ต่าง ๆ ปัญหาทางคณิตศาสตร์- ระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นกับระบบที่ไม่รู้จัก