การพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์นั้นเป็นข้อพิสูจน์เบื้องต้น เรียบง่าย และเข้าใจได้ ประวัติทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

1

Ivliev Yu.A.

บทความนี้มีเนื้อหาเกี่ยวกับคำอธิบายข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์พื้นฐานที่เกิดขึ้นในกระบวนการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เมื่อปลายศตวรรษที่ 20 ข้อผิดพลาดที่ค้นพบไม่เพียงแต่บิดเบือนความหมายที่แท้จริงของทฤษฎีบทเท่านั้น แต่ยังขัดขวางการพัฒนาแนวทางสัจพจน์ใหม่ในการศึกษาพลังของตัวเลขและอนุกรมของตัวเลขตามธรรมชาติอีกด้วย

ในปี 1995 มีการตีพิมพ์บทความซึ่งมีขนาดใกล้เคียงกับหนังสือ และรายงานการพิสูจน์ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ (สุดท้าย) ของแฟร์มาต์ (WTF) ที่มีชื่อเสียง (สำหรับประวัติความเป็นมาของทฤษฎีบทและความพยายามในการพิสูจน์ ดูตัวอย่าง ). หลังจากเหตุการณ์นี้ บทความทางวิทยาศาสตร์และหนังสือวิทยาศาสตร์ยอดนิยมหลายฉบับปรากฏขึ้นเพื่อสนับสนุนข้อพิสูจน์นี้ แต่ไม่มีผลงานใดที่เปิดเผยข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานในนั้น ซึ่งไม่ได้พุ่งเข้ามาแม้แต่ความผิดของผู้เขียน แต่เนื่องจากการมองโลกในแง่ดีแปลกๆ บางอย่างที่ครอบงำ ใจนักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาปัญหานี้และประเด็นที่เกี่ยวข้อง มีการศึกษาด้านจิตวิทยาของปรากฏการณ์นี้แล้ว. ที่นี่เราให้การวิเคราะห์โดยละเอียดเกี่ยวกับข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้น ซึ่งไม่ใช่เรื่องส่วนตัว แต่เป็นผลมาจากความเข้าใจที่ไม่ถูกต้องเกี่ยวกับคุณสมบัติของกำลังของจำนวนเต็ม ดังที่แสดงใน ปัญหาของแฟร์มาต์มีรากฐานมาจากแนวทางเชิงสัจพจน์ใหม่ในการศึกษาคุณสมบัติเหล่านี้ ซึ่งยังไม่ได้นำมาใช้ในวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ แต่ข้อพิสูจน์ที่ผิดพลาดกลับขวางทางเขา ทำให้ผู้เชี่ยวชาญด้านทฤษฎีจำนวนได้รับแนวทางที่เป็นเท็จ และนำนักวิจัยชั้นนำเกี่ยวกับปัญหาของแฟร์มาต์ออกห่างจากแนวทางแก้ไขที่ตรงประเด็นและเพียงพอ งานนี้อุทิศตนเพื่อขจัดอุปสรรคนี้

1. กายวิภาคของข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นระหว่างการพิสูจน์ WTF

ในกระบวนการให้เหตุผลที่ยาวนานและน่าเบื่อหน่าย ข้อความดั้งเดิมของแฟร์มาต์ได้รับการปรับปรุงใหม่ในแง่ของการเปรียบเทียบสมการไดโอแฟนไทน์ระดับ pth กับเส้นโค้งวงรีลำดับที่ 3 (ดูทฤษฎีบท 0.4 และ 0.5 นิ้ว) การเปรียบเทียบนี้บังคับให้ผู้เขียนการพิสูจน์โดยรวมต้องประกาศว่าวิธีการและการให้เหตุผลของพวกเขานำไปสู่การแก้ปัญหาขั้นสุดท้ายของปัญหาของแฟร์มาต์ (จำได้ว่า WTF ไม่ได้รับการยอมรับการพิสูจน์สำหรับกรณีของกำลังจำนวนเต็มตามอำเภอใจจนกระทั่งถึงทศวรรษที่ 90 ของยุคสุดท้าย ศตวรรษ). จุดประสงค์ของการพิจารณานี้คือเพื่อสร้างความไม่ถูกต้องทางคณิตศาสตร์ของการเปรียบเทียบข้างต้น และจากการวิเคราะห์ เพื่อค้นหาข้อผิดพลาดพื้นฐานในการพิสูจน์ที่นำเสนอ

ก) ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนและอย่างไร?

ดังนั้นเราจะติดตามข้อความโดยที่ในหน้า 448 ว่ากันว่าหลังจาก "ความคิดที่มีไหวพริบ" ของ G. Frey ความเป็นไปได้ในการพิสูจน์ WTF ก็เปิดออก ในปี 1984 G. Frey แนะนำและ

เค. ริเบต์พิสูจน์ในภายหลังว่าเส้นโค้งวงรีสมมุติแทนคำตอบของจำนวนเต็มสมมุติของสมการแฟร์มาต์

y 2 = x(x + ยูพี)(เอ็กซ์ - โวลต์น) (1)

ไม่สามารถเป็นแบบโมดูลาร์ได้ อย่างไรก็ตาม A. Wiles และ R. Taylor พิสูจน์ว่าเส้นโค้งวงรีกึ่งคงที่ทุกเส้นที่กำหนดเหนือสนามจำนวนตรรกยะเป็นแบบโมดูลาร์ สิ่งนี้นำไปสู่ข้อสรุปเกี่ยวกับความเป็นไปไม่ได้ของการแก้จำนวนเต็มของสมการของแฟร์มาต์ และผลที่ตามมาคือความถูกต้องของคำสั่งของแฟร์มาต์ ซึ่งในสัญกรณ์ของ A. Wiles เขียนเป็นทฤษฎีบท 0.5: ให้มีความเท่าเทียมกัน

ยูพี+ โวลต์พี+ วพี = 0 (2)

ที่ไหน ยู, โวลต์, ว- จำนวนตรรกยะ, เลขชี้กำลังจำนวนเต็ม p ≥ 3; ดังนั้น (2) จะพอใจก็ต่อเมื่อ ยูวี = 0 .

เห็นได้ชัดว่า เราควรย้อนกลับไปคิดอย่างมีวิจารณญาณว่าเหตุใดเส้นโค้ง (1) จึงเป็นนิรนัยที่ถูกมองว่าเป็นรูปวงรี และอะไรคือความเชื่อมโยงที่แท้จริงของมันกับสมการของแฟร์มาต์ เมื่อคาดการณ์ถึงคำถามนี้ A. Wiles อ้างถึงงานของ Y. Hellegouarch ซึ่งเขาพบวิธีที่จะเชื่อมโยงสมการของแฟร์มาต์ (สมมุติว่าแก้เป็นจำนวนเต็ม) กับเส้นโค้งลำดับที่สามสมมุติ ต่างจาก G. Frey ตรงที่ I. Elleguarche ไม่ได้เชื่อมโยงเส้นโค้งของเขากับรูปแบบโมดูลาร์ อย่างไรก็ตาม วิธีการหาสมการ (1) ของเขาถูกนำมาใช้ในการพิสูจน์ของ A. Wiles ต่อไป

มาดูการทำงานกันดีกว่า ผู้เขียนดำเนินการให้เหตุผลในแง่ของเรขาคณิตที่ฉายภาพ เมื่อลดความซับซ้อนของสัญกรณ์บางส่วนและปรับให้สอดคล้องกับ เราพบว่าเส้นโค้งอาบีเลียน

Y 2 = X(X - β p)(X + γ p) (3)

มีการเปรียบเทียบสมการไดโอแฟนไทน์

xพี+ ยพี+ zพี = 0 (4)

ที่ไหน x, ใช่ zเป็นจำนวนเต็มไม่ทราบค่า p คือเลขชี้กำลังจำนวนเต็มจาก (2) และใช้คำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์ (4) α p , β p , γ p เพื่อเขียนเส้นโค้งอาบีเลียน (3)

ตอนนี้ เพื่อให้แน่ใจว่านี่คือเส้นโค้งวงรีของลำดับที่ 3 จำเป็นต้องพิจารณาตัวแปร X และ Y ใน (3) ในระนาบแบบยุคลิด ในการทำเช่นนี้ เราใช้กฎเลขคณิตของเส้นโค้งรูปไข่ที่รู้จักกันดี: หากมีจุดตรรกยะสองจุดบนเส้นโค้งพีชคณิตลูกบาศก์และเส้นที่ผ่านจุดเหล่านี้ตัดกับเส้นโค้งนี้ที่จุดอื่น จุดหลังก็เป็นจุดตรรกยะด้วย . สมการสมมุติฐาน (4) เป็นตัวแทนกฎการบวกจุดบนเส้นตรงอย่างเป็นทางการ หากเราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร xพี = ก, ยพี = ข, z p = C และกำหนดเส้นตรงที่เกิดขึ้นตามแนวแกน X ใน (3) จากนั้นจะตัดเส้นโค้งระดับที่ 3 ที่จุดสามจุด: (X = 0, Y = 0), (X = β p, Y = 0) , (X = - γ p, Y = 0) ซึ่งสะท้อนให้เห็นในสัญกรณ์ของเส้นโค้งอาบีเลียน (3) และสัญกรณ์ที่คล้ายกัน (1) อย่างไรก็ตาม เส้นโค้ง (3) หรือ (1) เป็นรูปวงรีจริงหรือไม่ แน่นอนว่าไม่ เพราะส่วนของเส้นยุคลิดเมื่อเพิ่มจุดเข้าไปนั้นจะถูกถ่ายในระดับที่ไม่เชิงเส้น

เมื่อกลับไปที่ระบบพิกัดเชิงเส้นของปริภูมิแบบยุคลิด เราจะได้สูตร (1) และ (3) ซึ่งแตกต่างจากสูตรสำหรับเส้นโค้งรูปไข่อย่างมาก ตัวอย่างเช่น (1) อาจมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

η 2p = ξ p (ξ p + ยูพี)(ξ พี - โวลต์น) (5)

โดยที่ ξ p = x, η p = y และการอุทธรณ์ต่อ (1) ในกรณีนี้เพื่อให้ได้มาซึ่ง WTF ดูเหมือนจะผิดกฎหมาย แม้ว่าข้อเท็จจริงที่ว่า (1) จะเป็นไปตามเกณฑ์บางประการสำหรับคลาสของเส้นโค้งวงรี แต่ก็ไม่เป็นไปตามเกณฑ์ที่สำคัญที่สุดในการเป็นสมการระดับที่ 3 ในระบบพิกัดเชิงเส้น

b) การจำแนกข้อผิดพลาด

กลับมาที่จุดเริ่มต้นของการพิจารณาอีกครั้งเพื่อดูว่าจะได้ข้อสรุปเกี่ยวกับความจริงของ WTF ได้อย่างไร ประการแรก สันนิษฐานว่ามีวิธีแก้สมการของแฟร์มาต์เป็นจำนวนเต็มบวก ประการที่สอง วิธีแก้ปัญหานี้ถูกแทรกลงในรูปแบบพีชคณิตของรูปแบบที่รู้จักโดยพลการ (เส้นโค้งระนาบระดับ 3) ภายใต้สมมติฐานที่ว่าเส้นโค้งรูปไข่ที่ได้รับมีอยู่ (สมมติฐานที่สองที่ไม่ได้รับการยืนยัน) ประการที่สาม เนื่องจากวิธีการอื่นพิสูจน์ว่าเส้นโค้งเฉพาะที่สร้างขึ้นนั้นไม่ใช่โมดูลาร์ นั่นหมายความว่าไม่มีอยู่จริง สิ่งนี้นำไปสู่ข้อสรุป: ไม่มีคำตอบจำนวนเต็มในสมการของแฟร์มาต์ ดังนั้น WTF จึงถูกต้อง

มีลิงก์ที่อ่อนแอจุดหนึ่งในการโต้แย้งเหล่านี้ ซึ่งหลังจากการตรวจสอบโดยละเอียดแล้ว กลายเป็นข้อผิดพลาด ข้อผิดพลาดนี้เกิดขึ้นในขั้นตอนที่สองของกระบวนการพิสูจน์ เมื่อสันนิษฐานว่าคำตอบสมมุติของสมการแฟร์มาต์ก็เป็นคำตอบของสมการพีชคณิตระดับที่ 3 เช่นกัน ซึ่งอธิบายเส้นโค้งวงรีของรูปแบบที่รู้จัก ในตัวมันเอง ข้อสันนิษฐานดังกล่าวจะสมเหตุสมผลหากเส้นโค้งที่ระบุเป็นรูปวงรีจริงๆ อย่างไรก็ตาม ดังที่เห็นได้จากจุดที่ 1a) เส้นโค้งนี้แสดงอยู่ในพิกัดที่ไม่เชิงเส้น ซึ่งทำให้เป็น "ภาพลวงตา" เช่น ไม่มีอยู่ในปริภูมิทอพอโลยีเชิงเส้นจริงๆ

ตอนนี้เราจำเป็นต้องจำแนกข้อผิดพลาดที่พบอย่างชัดเจน มันอยู่ในความจริงที่ว่าสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์นั้นถูกนำเสนอเป็นข้อโต้แย้งในการพิสูจน์ ในตรรกะดั้งเดิม ข้อผิดพลาดนี้เรียกว่า "วงจรอุบาทว์" ในกรณีนี้ คำตอบจำนวนเต็มของสมการแฟร์มาต์จะถูกเปรียบเทียบ (เห็นได้ชัดว่า สันนิษฐานว่าไม่ซ้ำกัน) กับเส้นโค้งรูปไข่ที่ไม่มีอยู่จริง และจากนั้นสิ่งที่น่าสมเพชของการให้เหตุผลเพิ่มเติมทั้งหมดจะถูกนำมาใช้เพื่อพิสูจน์ว่าได้รับเส้นโค้งวงรีเฉพาะของรูปแบบนี้ จากการแก้สมมุติฐานของสมการแฟร์มาต์ไม่มีอยู่จริง

เกิดขึ้นได้อย่างไรที่พลาดข้อผิดพลาดเบื้องต้นในงานคณิตศาสตร์ร้ายแรง? สิ่งนี้อาจเกิดขึ้นเนื่องจากความจริงที่ว่ารูปทรงเรขาคณิต "ลวงตา" ประเภทนี้ไม่เคยได้รับการศึกษาทางคณิตศาสตร์มาก่อน แท้จริงแล้ว ใครบ้างที่อาจสนใจในวงกลมสมมติที่ได้รับจากสมการของแฟร์มาต์โดยการแทนที่ตัวแปร x n/2 = A, y n/2 = B, z n/2 = C ท้ายที่สุด สมการ C 2 = A 2 + B 2 ไม่มีคำตอบสำหรับจำนวนเต็ม x, y, z และ n ≥ 3 ในแกนพิกัดไม่เชิงเส้น X และ Y วงกลมดังกล่าวจะอธิบายได้ด้วยสมการที่มีลักษณะคล้ายกันมากกับรูปแบบมาตรฐาน:

Y 2 = - (X - A)(X + B)

โดยที่ A และ B ไม่ใช่ตัวแปรอีกต่อไป แต่เป็นตัวเลขเฉพาะที่กำหนดโดยการทดแทนข้างต้น แต่ถ้าให้ตัวเลข A และ B อยู่ในรูปแบบดั้งเดิม ซึ่งประกอบด้วยลักษณะเชิงกำลัง ความแตกต่างของสัญลักษณ์ในปัจจัยทางด้านขวาของสมการจะดึงดูดสายตาทันที คุณลักษณะนี้ช่วยแยกแยะภาพลวงตาจากความเป็นจริง และเปลี่ยนจากพิกัดไม่เชิงเส้นไปเป็นพิกัดเชิงเส้น ในทางกลับกัน หากเราพิจารณาตัวเลขเป็นตัวดำเนินการเมื่อเปรียบเทียบกับตัวแปร ดังเช่นใน (1) ทั้งคู่จะต้องเป็นปริมาณที่เป็นเนื้อเดียวกัน กล่าวคือ ต้องมีองศาเท่ากัน

ความเข้าใจเรื่องกำลังของตัวเลขในฐานะตัวดำเนินการยังช่วยให้เราเห็นว่าการเปรียบเทียบสมการแฟร์มาต์กับเส้นโค้งวงรีลวงนั้นไม่ได้คลุมเครือ ตัวอย่างเช่น พิจารณาตัวประกอบตัวหนึ่งทางด้านขวาของ (5) แล้วแยกย่อยเป็นตัวประกอบเชิงเส้น p โดยให้จำนวนเชิงซ้อน r โดยที่ r p = 1 (ดูตัวอย่าง):

พี + ยูพี = (ξ + ยู)(ξ + ร ยู)(ξ + r 2 ยู)...(ξ + r p-1 ยู) (6)

จากนั้นรูปแบบ (5) สามารถแสดงเป็นการสลายตัวให้เป็นปัจจัยเฉพาะของจำนวนเชิงซ้อนตามประเภทของเอกลักษณ์พีชคณิต (6) อย่างไรก็ตาม ลักษณะเฉพาะของการสลายตัวดังกล่าวในกรณีทั่วไปยังเป็นที่น่าสงสัย ดังที่ Kummer แสดงไว้ครั้งหนึ่ง .

2. ข้อสรุป

จากการวิเคราะห์ครั้งก่อน พบว่าสิ่งที่เรียกว่าเลขคณิตของเส้นโค้งวงรีไม่สามารถให้ความกระจ่างได้ว่าจะหาข้อพิสูจน์ WTF ได้จากจุดใด หลังจากเลิกงาน คำกล่าวของแฟร์มาต์ซึ่งถือเป็นบทสรุปของบทความนี้เริ่มถูกมองว่าเป็นเรื่องตลกทางประวัติศาสตร์หรือเรื่องหลอกลวง อย่างไรก็ตามในความเป็นจริงปรากฎว่า Fermat ไม่ใช่คนที่ล้อเล่น แต่เป็นผู้เชี่ยวชาญที่รวมตัวกันในการประชุมทางคณิตศาสตร์ที่ Oberwolfach ในประเทศเยอรมนีในปี 1984 ซึ่ง G. Frey เปล่งเสียงความคิดอันมีไหวพริบของเขา ผลที่ตามมาของคำพูดที่ไม่ระมัดระวังดังกล่าวทำให้คณิตศาสตร์โดยรวมเกือบจะสูญเสียความไว้วางใจจากสาธารณชนซึ่งมีการอธิบายอย่างละเอียดในและซึ่งจำเป็นต้องทำให้เกิดคำถามเกี่ยวกับความรับผิดชอบของสถาบันวิทยาศาสตร์ต่อสังคม การเปรียบเทียบสมการแฟร์มาต์กับเส้นโค้งเฟรย์ (1) ถือเป็น “กุญแจ” ของการพิสูจน์ทั้งหมดของไวล์สเกี่ยวกับทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ และหากไม่มีความสอดคล้องกันระหว่างเส้นโค้งแฟร์มาต์กับเส้นโค้งวงรีโมดูลาร์ ก็ไม่มีการพิสูจน์

เมื่อเร็วๆ นี้ มีรายงานทางอินเทอร์เน็ตหลายฉบับปรากฏว่าในที่สุดนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงบางคนก็ได้ค้นพบข้อพิสูจน์ของไวลส์เกี่ยวกับทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ โดยให้เหตุผลในรูปแบบของการคำนวณจุดจำนวนเต็มใหม่ในปริภูมิแบบยุคลิดแบบ "น้อยที่สุด" อย่างไรก็ตาม ไม่มีนวัตกรรมใดที่สามารถยกเลิกผลลัพธ์แบบคลาสสิกที่มนุษยชาติได้รับในวิชาคณิตศาสตร์ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งความจริงที่ว่าแม้ว่าเลขลำดับใดๆ จะตรงกับอะนาล็อกเชิงปริมาณของมัน แต่ก็ไม่สามารถทดแทนได้ในการดำเนินการเปรียบเทียบตัวเลขกัน และด้วยเหตุนี้ โดยมีข้อสรุปที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ตามมาว่าเส้นโค้งเฟรย์ (1) ไม่ได้เป็นทรงรีในตอนแรก กล่าวคือ ไม่ใช่ตามคำจำกัดความ

บรรณานุกรม:

1. Ivliev Yu.A. การสร้างข้อพิสูจน์ดั้งเดิมของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ขึ้นมาใหม่ - United Scientific Journal (หัวข้อ "คณิตศาสตร์") เมษายน 2549 ฉบับที่ 7 (167) หน้า 3-9 โปรดดูสาขา Praci Lugansk ของ International Academy of Informatization ด้วย กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของประเทศยูเครน มหาวิทยาลัยแห่งชาติ Skhidnoukransky ตั้งชื่อตาม วี.ดาล. 2549 ฉบับที่ 2 (13) หน้า 19-25.
2. Ivliev Yu.A. การหลอกลวงทางวิทยาศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของศตวรรษที่ 20: "การพิสูจน์" ของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ - วิทยาศาสตร์ธรรมชาติและวิศวกรรมศาสตร์ (หัวข้อ "ประวัติศาสตร์และวิธีการทางคณิตศาสตร์") สิงหาคม 2550 ฉบับที่ 4 (30) หน้า 34-48
3. เอ็ดเวิร์ด จี. (เอ็ดเวิร์ด เอช.เอ็ม.) ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ การแนะนำทางพันธุกรรมเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนพีชคณิต ต่อ. จากอังกฤษ แก้ไขโดย บี.เอฟ. สคูเบนโก. อ.: มีร์ 2523, 484 หน้า
4. Hellegouarch Y. Points d´ordre 2p h sur les courbes elliptiques - Acta Arithmetica 1975 XXVI หน้า 253-263
5. Wiles A. เส้นโค้งวงรีโมดูลาร์และทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ - พงศาวดารของคณิตศาสตร์ พฤษภาคม 1995 v.141 ชุดที่สอง หมายเลข 3 หน้า 443-551

ลิงค์บรรณานุกรม

Ivliev Yu.A. หลักฐานเท็จของวิลส์เกี่ยวกับทฤษฎีบทสุดท้ายของเฟอร์มา // การวิจัยขั้นพื้นฐาน – 2551. – ลำดับที่ 3. – หน้า 13-16;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=2763 (วันที่เข้าถึง: 03/03/2020) เรานำเสนอนิตยสารที่คุณจัดพิมพ์โดยสำนักพิมพ์ "Academy of Natural Sciences"

ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ของเฟอร์มา - คำกล่าวของปิแอร์ แฟร์มาต์ (นักกฎหมายชาวฝรั่งเศสและนักคณิตศาสตร์พาร์ทไทม์) ว่าสมการไดโอแฟนไทน์ X n + Y n = Z n โดยมีเลขชี้กำลัง n>2 โดยที่ n = จำนวนเต็ม ไม่มีคำตอบในจำนวนเต็มบวก ข้อความของผู้เขียน: “เป็นไปไม่ได้ที่จะแยกลูกบาศก์ออกเป็นสองลูกบาศก์ หรือไบควอเดรตเป็นสองไบควอเดรต หรือโดยทั่วไปแล้วกำลังที่มากกว่าสองเป็นสองยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังเดียวกัน”

"แฟร์มาต์และทฤษฎีบทของเขา", Amadeo Modigliani, 1920

ปิแอร์คิดทฤษฎีบทนี้ขึ้นเมื่อวันที่ 29 มีนาคม พ.ศ. 2179 และอีกประมาณ 29 ปีต่อมาเขาก็เสียชีวิต แต่นั่นคือจุดเริ่มต้นทั้งหมด ท้ายที่สุดแล้ว ผู้รักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้มั่งคั่งชื่อ Wolfskehl ได้มอบคะแนนหนึ่งแสนคะแนนให้กับผู้ที่จะนำเสนอข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์โดยสมบูรณ์! แต่ความตื่นเต้นรอบทฤษฎีบทนี้ไม่เพียงเกี่ยวข้องกับสิ่งนี้เท่านั้น แต่ยังรวมถึงความหลงใหลในคณิตศาสตร์อย่างมืออาชีพด้วย แฟร์มาต์เองก็บอกเป็นนัยแก่ชุมชนนักคณิตศาสตร์ว่าเขารู้ข้อพิสูจน์นี้ - ไม่นานก่อนที่เขาจะเสียชีวิตในปี 1665 เขาทิ้งข้อความต่อไปนี้ไว้ที่ขอบของเลขคณิตของไดโอแฟนตัสแห่งอเล็กซานเดรีย: "ฉันมีข้อพิสูจน์ที่โดดเด่นมาก แต่มันใหญ่เกินกว่าจะพิสูจน์ได้ วางไว้บนทุ่งนา"

มันเป็นคำใบ้นี้ (บวกกับโบนัสเงินสด) ที่บังคับให้นักคณิตศาสตร์ใช้เวลาปีที่ดีที่สุดเพื่อค้นหาข้อพิสูจน์โดยไม่ประสบความสำเร็จ (ตามที่นักวิทยาศาสตร์ชาวอเมริกัน นักคณิตศาสตร์มืออาชีพเพียงลำพังใช้เวลาทั้งหมด 543 ปีในเรื่องนี้)

เมื่อถึงจุดหนึ่ง (ในปี 1901) งานเกี่ยวกับทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ได้รับชื่อเสียงที่น่าสงสัยของ "งานที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาเครื่องจักรที่เคลื่อนที่ตลอดเวลา" (แม้แต่คำที่เสื่อมเสียก็ปรากฏขึ้น - "นักเกษตรกรรม") และทันใดนั้น เมื่อวันที่ 23 มิถุนายน พ.ศ. 2536 ในการประชุมทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนในเมืองเคมบริดจ์ ศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษจากมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน (นิวเจอร์ซีย์ สหรัฐอเมริกา) แอนดรูว์ ไวล์ส ประกาศว่าในที่สุดแฟร์มาต์ก็พิสูจน์มันแล้ว!

อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์ไม่เพียงแต่ซับซ้อนเท่านั้น แต่ยังผิดพลาดอย่างเห็นได้ชัดอีกด้วย ดังที่เพื่อนร่วมงานของเขาชี้ให้เห็นไวล์ส แต่ศาสตราจารย์ไวล์สใฝ่ฝันที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทมาตลอดชีวิต จึงไม่น่าแปลกใจที่ในเดือนพฤษภาคม พ.ศ. 2537 เขาได้นำเสนอข้อพิสูจน์ฉบับปรับปรุงใหม่ต่อชุมชนวิทยาศาสตร์ ไม่มีความกลมกลืนหรือความสวยงามอยู่ในนั้น และมันก็ยังคงซับซ้อนมาก - ความจริงที่ว่านักคณิตศาสตร์ใช้เวลาตลอดทั้งปี (!) วิเคราะห์ข้อพิสูจน์นี้เพื่อทำความเข้าใจว่ามันผิดหรือเปล่า!

แต่สุดท้ายหลักฐานของไวล์สก็พบว่าถูกต้อง แต่นักคณิตศาสตร์ไม่ให้อภัยปิแอร์แฟร์มาต์สำหรับคำใบ้ของเขาใน "เลขคณิต" และในความเป็นจริงเริ่มคิดว่าเขาเป็นคนโกหก อันที่จริง บุคคลแรกที่ตั้งคำถามถึงความซื่อสัตย์ทางศีลธรรมของแฟร์มาต์คือแอนดรูว์ ไวล์สเอง ซึ่งตั้งข้อสังเกตว่า "แฟร์มาต์ไม่มีหลักฐานเช่นนั้น นี่เป็นหลักฐานของศตวรรษที่ 20" จากนั้น ในบรรดานักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ก็มีความคิดเห็นที่ชัดเจนมากขึ้นว่าแฟร์มาต์ “ไม่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาในวิธีที่แตกต่างออกไปได้ และแฟร์มาต์ก็ไม่สามารถพิสูจน์ได้ในแบบที่ไวล์สใช้ด้วยเหตุผลที่ไม่เป็นกลาง”

ในความเป็นจริง Fermat สามารถพิสูจน์ได้อย่างแน่นอน และอีกไม่นานหลักฐานนี้จะถูกสร้างขึ้นใหม่โดยนักวิเคราะห์ของ New Analytical Encyclopedia แต่ "เหตุผลที่เป็นรูปธรรม" เหล่านี้คืออะไร?
จริงๆ แล้วมีเหตุผลเพียงข้อเดียวเท่านั้น: ในช่วงหลายปีที่แฟร์มาต์อาศัยอยู่ ไม่สามารถปรากฏการคาดเดาของทานิยามะซึ่งแอนดรูว์ ไวล์สเป็นฐานในการพิสูจน์ของเขาได้ เนื่องจากฟังก์ชันแบบโมดูลาร์ที่ใช้การคาดเดาของทานิยามะนั้นถูกค้นพบเมื่อสิ้นสุดวันที่ 19 เท่านั้น ศตวรรษ.

ไวล์สพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ได้อย่างไร คำถามไม่ใช่คำถามที่ไม่ได้ใช้งาน - เป็นสิ่งสำคัญสำหรับการทำความเข้าใจว่าแฟร์มาต์สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาได้อย่างไร ไวล์สใช้หลักฐานของเขาจากการพิสูจน์การคาดเดาของทานิยามะ ซึ่งเสนอในปี 1955 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น ยูทากะ ทานิยามะ วัย 28 ปี

สมมติฐานมีเสียงดังนี้: “เส้นโค้งรูปไข่แต่ละเส้นสอดคล้องกับรูปแบบโมดูลาร์ที่แน่นอน” เส้นโค้งวงรีซึ่งรู้จักกันมานานมีรูปแบบสองมิติ (อยู่บนระนาบ) ในขณะที่ฟังก์ชันโมดูลาร์มีรูปแบบสี่มิติ นั่นคือสมมติฐานของทานิยามะผสมผสานแนวคิดที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง - เส้นโค้งแบนเรียบง่ายและรูปร่างสี่มิติที่ไม่อาจจินตนาการได้ ความเป็นจริงของการรวมตัวเลขในมิติต่างๆ เข้ากับสมมติฐานดูเหมือนไร้สาระสำหรับนักวิทยาศาสตร์ ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมในปี 1955 จึงไม่ให้ความสำคัญใดๆ

อย่างไรก็ตาม ในฤดูใบไม้ร่วงปี 1984 "การคาดเดาของทานิยามะ" ก็ถูกจดจำอีกครั้งในทันที และไม่เพียงจำได้เท่านั้น แต่การพิสูจน์ที่เป็นไปได้นั้นเชื่อมโยงกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ด้วย! แกร์ฮาร์ด เฟรย์ นักคณิตศาสตร์ซาร์บรึคเคินเป็นผู้ดำเนินการนี้ ซึ่งแจ้งให้ชุมชนวิทยาศาสตร์ทราบว่า "ถ้ามีใครสามารถพิสูจน์การคาดเดาของทานิยามาได้ ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ก็จะได้รับการพิสูจน์เช่นกัน"

เฟรย์ทำอะไรน่ะ? เขาเปลี่ยนสมการของแฟร์มาต์ให้เป็นลูกบาศก์หนึ่ง จากนั้นสังเกตว่าเส้นโค้งวงรีที่ได้จากสมการของแฟร์มาต์ที่แปลงเป็นลูกบาศก์หนึ่งไม่สามารถเป็นแบบแยกส่วนได้ อย่างไรก็ตาม การคาดเดาของ Taniyama ระบุว่าเส้นโค้งรูปวงรีใดๆ ก็สามารถเป็นแบบแยกส่วนได้! ดังนั้น เส้นโค้งวงรีที่สร้างจากสมการของแฟร์มาต์จึงไม่สามารถมีอยู่ได้ ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถมีคำตอบทั้งหมดได้ และทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ก็หมายความว่ามันเป็นความจริง ในปี 1993 Andrew Wiles เพียงพิสูจน์การคาดเดาของ Taniyama และทฤษฎีบทของ Fermat ด้วย

อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์สามารถพิสูจน์ได้ง่ายกว่ามาก โดยอาศัยพื้นฐานหลายมิติเดียวกันกับที่ทั้งทานิยามะและเฟรย์ดำเนินการ

ขั้นแรก ให้เราใส่ใจกับเงื่อนไขที่ระบุโดยปิแอร์ แฟร์มาต์เอง - n>2 เหตุใดจึงจำเป็นต้องมีเงื่อนไขนี้? ใช่ เฉพาะข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อ n=2 กรณีพิเศษของทฤษฎีบทของแฟร์มาต์จะกลายเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัสตามปกติ X 2 +Y 2 =Z 2 ซึ่งมีคำตอบจำนวนเต็มจำนวนอนันต์ - 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51,140,149 และอื่นๆ ดังนั้น ทฤษฎีบทของพีทาโกรัสจึงเป็นข้อยกเว้นของทฤษฎีบทของแฟร์มาต์

แต่เหตุใดจึงมีข้อยกเว้นดังกล่าวเกิดขึ้นในกรณีของ n=2? ทุกอย่างจะเข้าที่หากคุณเห็นความสัมพันธ์ระหว่างระดับ (n=2) และมิติของรูปนั้นเอง สามเหลี่ยมพีทาโกรัสเป็นรูปสองมิติ ไม่น่าแปลกใจที่ Z (นั่นคือด้านตรงข้ามมุมฉาก) สามารถแสดงในรูปของขา (X และ Y) ซึ่งอาจเป็นจำนวนเต็มได้ ขนาดของมุม (90) ทำให้สามารถพิจารณาด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นเวกเตอร์ได้ และขาเป็นเวกเตอร์ที่ตั้งอยู่บนแกนและมาจากจุดกำเนิด ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะแสดงเวกเตอร์สองมิติที่ไม่ได้อยู่บนแกนใดๆ ในรูปของเวกเตอร์ที่วางอยู่บนแกนเหล่านั้น

ทีนี้ ถ้าเราย้ายไปที่มิติที่สาม และไปที่ n=3 เพื่อแสดงเวกเตอร์สามมิติ จะมีข้อมูลไม่เพียงพอเกี่ยวกับเวกเตอร์สองตัว ดังนั้น จึงเป็นไปได้ที่จะแสดง Z ในสมการของแฟร์มาต์ได้ ผ่านอย่างน้อยสามเทอม (เวกเตอร์สามตัววางอยู่บนสามแกนของระบบพิกัดตามลำดับ)

ถ้า n=4 ก็ควรมี 4 เทอม ถ้า n=5 ก็ควรมี 5 เทอม และอื่นๆ ในกรณีนี้จะมีวิธีแก้ปัญหามากเกินพอ ตัวอย่างเช่น 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 และอื่นๆ (คุณสามารถเลือกตัวอย่างอื่นๆ สำหรับ n=3, n=4 และอื่นๆ ด้วยตัวคุณเอง)

อะไรตามมาจากทั้งหมดนี้? จากนี้ไปทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ไม่มีคำตอบจำนวนเต็มสำหรับ n>2 - แต่เพียงเพราะตัวสมการเองนั้นไม่ถูกต้องเท่านั้น! ด้วยความสำเร็จเดียวกัน เราสามารถลองแสดงปริมาตรของเส้นขนานในแง่ของความยาวของขอบทั้งสองของมัน - แน่นอนว่ามันเป็นไปไม่ได้ (จะไม่มีทางหาคำตอบทั้งหมดได้) แต่เพียงเพราะการหาปริมาตรของเส้นขนาน คุณจำเป็นต้องรู้ความยาวของขอบทั้งสามด้าน

เมื่อถามเดวิด กิลเบิร์ตนักคณิตศาสตร์ชื่อดังว่าปัญหาที่สำคัญที่สุดสำหรับวิทยาศาสตร์คืออะไร เขาตอบว่า “จับแมลงวันบนอีกฟากหนึ่งของดวงจันทร์” สำหรับคำถามที่สมเหตุสมผล “ใครต้องการสิ่งนี้” เขาตอบว่า: “ไม่มีใครต้องการสิ่งนี้ แต่ลองคิดดูว่าต้องแก้ไขปัญหาที่สำคัญและซับซ้อนมากมายเพียงใดจึงจะสามารถดำเนินการนี้ได้”

กล่าวอีกนัยหนึ่ง Fermat (ทนายความคนแรกและสำคัญที่สุด!) เล่นตลกทางกฎหมายที่มีไหวพริบในโลกคณิตศาสตร์ทั้งหมดโดยอาศัยการกำหนดปัญหาที่ไม่ถูกต้อง เขาเสนอให้นักคณิตศาสตร์ค้นหาคำตอบว่าเหตุใดแมลงวันที่อยู่อีกด้านหนึ่งของดวงจันทร์จึงไม่สามารถมีชีวิตอยู่ได้ และในส่วนขอบของ "เลขคณิต" เขาต้องการจะเขียนเพียงว่าไม่มีอากาศบนดวงจันทร์เท่านั้น กล่าวคือ ไม่สามารถหาคำตอบทั้งหมดสำหรับทฤษฎีบทของเขาสำหรับ n>2 ได้เพียงเพราะแต่ละค่าของ n ต้องตรงกับพจน์จำนวนหนึ่งทางด้านซ้ายของสมการ

แต่มันเป็นเพียงเรื่องตลกเหรอ? ไม่เลย. ความอัจฉริยะของแฟร์มัตนั้นอยู่ที่ว่าเขาเป็นคนแรกที่เห็นความสัมพันธ์ระหว่างระดับและมิติของตัวเลขทางคณิตศาสตร์ ซึ่งก็คือจำนวนเทอมทางด้านซ้ายของสมการ ซึ่งเทียบเท่ากันอย่างแน่นอน ความหมายของทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงของเขานั้นไม่เพียงแต่ผลักดันโลกคณิตศาสตร์ไปสู่แนวคิดของความสัมพันธ์นี้เท่านั้น แต่ยังเพื่อเริ่มต้นการพิสูจน์การดำรงอยู่ของความสัมพันธ์นี้ด้วย - เข้าใจได้โดยสัญชาตญาณ แต่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์

แฟร์มาต์ไม่เหมือนใคร เขาเข้าใจว่าการสร้างความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุที่ดูเหมือนจะต่างกันนั้นให้ผลอย่างมาก ไม่เพียงแต่ในวิชาคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงวิทยาศาสตร์ใดๆ ด้วย ความสัมพันธ์นี้ชี้ให้เห็นถึงหลักการลึกซึ้งบางประการที่เป็นรากฐานของวัตถุทั้งสอง และช่วยให้เข้าใจวัตถุเหล่านั้นได้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น

ตัวอย่างเช่น ในตอนแรกนักฟิสิกส์มองว่าไฟฟ้าและแม่เหล็กเป็นปรากฏการณ์ที่ไม่เกี่ยวข้องกันโดยสิ้นเชิง แต่ในศตวรรษที่ 19 นักทฤษฎีและนักทดลองตระหนักว่าไฟฟ้าและแม่เหล็กมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด เป็นผลให้มีความเข้าใจทั้งไฟฟ้าและแม่เหล็กมากขึ้น กระแสไฟฟ้าผลิตสนามแม่เหล็ก และแม่เหล็กสามารถเหนี่ยวนำไฟฟ้าในตัวนำใกล้กับแม่เหล็กได้ สิ่งนี้นำไปสู่การประดิษฐ์ไดนาโมและมอเตอร์ไฟฟ้า ในที่สุดก็ค้นพบว่าแสงเป็นผลมาจากการสั่นแบบฮาร์มอนิกที่ประสานกันของสนามแม่เหล็กและสนามไฟฟ้า

คณิตศาสตร์ในยุคของแฟร์มาต์ประกอบด้วยเกาะแห่งความรู้ในทะเลแห่งความไม่รู้ บนเกาะแห่งหนึ่งมีเรขาคณิตอาศัยอยู่เพื่อศึกษารูปทรง ส่วนอีกเกาะหนึ่งมีทฤษฎีความน่าจะเป็นที่นักคณิตศาสตร์ศึกษาความเสี่ยงและความสุ่ม ภาษาของเรขาคณิตแตกต่างจากภาษาของทฤษฎีความน่าจะเป็นอย่างมาก และคำศัพท์เกี่ยวกับพีชคณิตก็แปลกสำหรับผู้ที่พูดแต่เรื่องสถิติเท่านั้น น่าเสียดายที่คณิตศาสตร์ในยุคของเราประกอบด้วยเกาะเดียวกันโดยประมาณ

แฟร์มาต์เป็นคนแรกที่ตระหนักว่าเกาะเหล่านี้เชื่อมต่อถึงกัน และทฤษฎีบทอันโด่งดังของเขา - ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ - เป็นการยืนยันที่ดีเยี่ยมในเรื่องนี้

ตัดสินจากความนิยมของคำถาม "ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ - หลักฐานสั้นๆ"ปัญหาทางคณิตศาสตร์นี้สนใจคนจำนวนมากจริงๆ ทฤษฎีบทนี้ระบุไว้ครั้งแรกโดยปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ในปี 1637 บนขอบของสำเนาเลขคณิต ซึ่งเขาอ้างว่าเขามีวิธีแก้ปัญหาที่ใหญ่เกินกว่าจะพอดีกับขอบ

การพิสูจน์ความสำเร็จครั้งแรกได้รับการตีพิมพ์ในปี 1995 ซึ่งเป็นข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์โดย Andrew Wiles ฉบับสมบูรณ์ ได้รับการอธิบายว่าเป็น "ความก้าวหน้าที่น่าทึ่ง" และทำให้ไวล์สได้รับรางวัลอาเบลในปี 2559 แม้ว่าจะอธิบายไว้ค่อนข้างสั้น แต่การพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ยังได้พิสูจน์ทฤษฎีบทแบบโมดูลาร์อีกมาก และได้เปิดแนวทางใหม่ให้กับปัญหาอื่นๆ มากมายและวิธีการที่มีประสิทธิภาพในการเพิ่มความเป็นโมดูล ความสำเร็จเหล่านี้ทำให้คณิตศาสตร์ก้าวหน้าไป 100 ปี การพิสูจน์ทฤษฎีบทเล็กๆ ของแฟร์มาต์ไม่ใช่เรื่องแปลกในปัจจุบัน

ปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขได้กระตุ้นการพัฒนาทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตในศตวรรษที่ 19 และการค้นหาข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทโมดูลาร์ในศตวรรษที่ 20 เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่โดดเด่นที่สุดในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ และก่อนที่จะมีการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยการหารโดยสมบูรณ์ ทฤษฎีบทนี้ได้รับการบันทึกลงในกินเนสส์บุ๊กว่าเป็น "ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยากที่สุด" ซึ่งมีคุณลักษณะประการหนึ่งคือ ว่ามีการพิสูจน์ล้มเหลวจำนวนมากที่สุด

การอ้างอิงทางประวัติศาสตร์

สมการพีทาโกรัส x 2 + y 2 = z 2 มีคำตอบจำนวนเต็มบวกจำนวนอนันต์สำหรับ x, y และ z คำตอบเหล่านี้เรียกว่าทรินิตี้พีทาโกรัส ประมาณปี 1637 แฟร์มาต์เขียนไว้ตรงขอบหนังสือว่าสมการทั่วไป a n + b n = c n ไม่มีคำตอบในจำนวนธรรมชาติ ถ้า n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 2 แม้ว่าแฟร์มาต์เองก็อ้างว่ามีวิธีแก้ไขปัญหาของเขา แต่เขาก็ยังทำ ไม่ทิ้งรายละเอียดเกี่ยวกับหลักฐานของเธอ ข้อพิสูจน์เบื้องต้นของทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ที่ผู้สร้างระบุไว้ ค่อนข้างจะเป็นสิ่งประดิษฐ์ที่น่าโอ้อวดของเขา หนังสือของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้ยิ่งใหญ่ถูกค้นพบ 30 ปีหลังจากการตายของเขา สมการนี้เรียกว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ซึ่งยังคงไม่มีใครแก้สมการในวิชาคณิตศาสตร์มาเป็นเวลาสามศตวรรษครึ่งแล้ว

ในที่สุดทฤษฎีบทก็กลายเป็นหนึ่งในปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขที่น่าสังเกตมากที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ ความพยายามที่จะพิสูจน์สิ่งนี้ได้จุดประกายการพัฒนาที่สำคัญในทฤษฎีจำนวน และเมื่อเวลาผ่านไป ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์กลายเป็นที่รู้จักในฐานะปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยังแก้ไม่ได้

ประวัติหลักฐานโดยย่อ

ถ้า n = 4 ตามที่แฟร์มาต์พิสูจน์ด้วยตัวเอง ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับดัชนี n ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะก็เพียงพอแล้ว ตลอดสองศตวรรษถัดมา (ค.ศ. 1637-1839) การคาดเดาได้รับการพิสูจน์สำหรับจำนวนเฉพาะ 3, 5 และ 7 เท่านั้น แม้ว่า Sophie Germain จะปรับปรุงและพิสูจน์วิธีการที่ใช้กับจำนวนเฉพาะทั้งกลุ่มก็ตาม ในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 เอิร์นส์ คุมเมอร์ขยายขอบเขตเรื่องนี้และพิสูจน์ทฤษฎีบทของจำนวนเฉพาะปกติทั้งหมด ทำให้ต้องวิเคราะห์จำนวนเฉพาะที่ไม่ปกติทีละตัว จากงานของ Kummer และใช้การวิจัยคอมพิวเตอร์ที่ซับซ้อน นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ สามารถขยายคำตอบให้กับทฤษฎีบทได้ โดยมีเป้าหมายเพื่อให้ครอบคลุมเลขยกกำลังหลักทั้งหมดได้มากถึงสี่ล้านตัว แต่การพิสูจน์สำหรับเลขชี้กำลังทั้งหมดยังไม่สามารถหาได้ (หมายความว่าโดยทั่วไปแล้วนักคณิตศาสตร์จะพิจารณาวิธีแก้ปัญหานี้ ทฤษฎีบทเป็นไปไม่ได้ ยากมาก หรือไม่สามารถบรรลุได้ด้วยความรู้ในปัจจุบัน)

ผลงานของชิมูระและทานิยามะ

ในปี 1955 นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น โกโระ ชิมูระ และยูทากะ ทานิยามะ สงสัยว่ามีความเชื่อมโยงระหว่างเส้นโค้งวงรีกับรูปแบบโมดูลาร์ ซึ่งเป็นพื้นที่ทางคณิตศาสตร์สองด้านที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง เป็นที่รู้จักในขณะนั้นในชื่อการคาดเดาของทานิยามา-ชิมูระ-ไวล์ และ (ในท้ายที่สุด) ว่าเป็นทฤษฎีบทโมดูลาร์ มันยืนอยู่ได้ด้วยตัวเอง โดยไม่มีความเชื่อมโยงที่ชัดเจนกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ทฤษฎีบทนี้ได้รับการยกย่องอย่างกว้างขวางว่าเป็นทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ที่สำคัญในตัวของมันเอง แต่ก็ถือว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ (เช่นเดียวกับทฤษฎีบทของแฟร์มาต์) ในเวลาเดียวกัน การพิสูจน์ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ของแฟร์มาต์ (โดยวิธีการหารและการใช้สูตรทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน) ได้ดำเนินการเพียงครึ่งศตวรรษต่อมา

ในปี 1984 Gerhard Frey สังเกตเห็นความเชื่อมโยงที่ชัดเจนระหว่างปัญหาทั้งสองที่ไม่เกี่ยวข้องและไม่ได้รับการแก้ไขก่อนหน้านี้ ข้อพิสูจน์ที่สมบูรณ์ว่าทฤษฎีบททั้งสองมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด ได้รับการตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2529 โดย Ken Ribet ผู้ซึ่งต่อยอดการพิสูจน์บางส่วนโดย Jean-Pierre Serres ผู้พิสูจน์ทั้งหมดยกเว้นเพียงส่วนเดียว เรียกว่า "การคาดเดาเอปซิลอน" พูดง่ายๆ ก็คือ ผลงานเหล่านี้ของ Frey, Serres และ Ribe แสดงให้เห็นว่าหากทฤษฎีบทโมดูลาร์สามารถพิสูจน์ได้เป็นคลาสกึ่งเสถียรของเส้นโค้งวงรีเป็นอย่างน้อย การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ก็จะถูกค้นพบไม่ช้าก็เร็วเช่นกัน คำตอบใดๆ ที่สามารถขัดแย้งกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ก็สามารถนำมาใช้เพื่อขัดแย้งกับทฤษฎีบทโมดูลาร์ได้เช่นกัน ดังนั้น หากทฤษฎีบทโมดูลาร์กลายเป็นจริง ตามคำจำกัดความแล้ว ก็ไม่มีทางแก้ปัญหาที่ขัดแย้งกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้ ซึ่งหมายความว่ามันควรจะได้รับการพิสูจน์ในไม่ช้า

แม้ว่าทฤษฎีบททั้งสองจะเป็นปัญหายากๆ ในวิชาคณิตศาสตร์ ซึ่งถือว่าแก้ไม่ได้ แต่งานของชาวญี่ปุ่นสองคนถือเป็นข้อเสนอแนะแรกว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์สามารถขยายและพิสูจน์สำหรับจำนวนทั้งหมดได้อย่างไร ไม่ใช่แค่บางส่วนเท่านั้น สิ่งสำคัญสำหรับนักวิจัยที่เลือกหัวข้อการวิจัยคือความจริงที่ว่าทฤษฎีบทโมดูลาร์นั้นแตกต่างจากทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ตรงที่เป็นประเด็นสำคัญในการวิจัยซึ่งมีการพัฒนาข้อพิสูจน์แล้ว ไม่ใช่แค่เรื่องแปลกประหลาดทางประวัติศาสตร์เท่านั้น ดังนั้นเวลาที่ใช้ไป การทำงานกับเรื่องนี้อาจเป็นเรื่องที่สมเหตุสมผลจากมุมมองของมืออาชีพ อย่างไรก็ตาม ฉันทามติทั่วไปคือการแก้ปัญหาการคาดเดาของทานิยามะ-ชิมูระนั้นใช้ไม่ได้ผล

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์: หลักฐานของไวล์ส

หลังจากทราบว่าริเบต์ได้พิสูจน์ทฤษฎีของเฟรย์ว่าถูกต้องแล้ว แอนดรูว์ ไวล์ส นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษผู้สนใจทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์มาตั้งแต่เด็กและมีประสบการณ์ในการทำงานกับเส้นโค้งวงรีและสาขาที่เกี่ยวข้อง ตัดสินใจลองพิสูจน์การคาดเดาของทานิยามะ-ชิมูระเป็นหนทางหนึ่งในการพิสูจน์ทฤษฎีของเฟรย์ พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ในปี 1993 หกปีหลังจากประกาศเป้าหมายของเขา ขณะที่ทำงานอย่างลับๆ เกี่ยวกับปัญหาการแก้ทฤษฎีบท ไวล์สก็สามารถพิสูจน์การคาดเดาที่เกี่ยวข้องได้ ซึ่งจะช่วยเขาพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้ เอกสารของไวล์สมีขนาดและขอบเขตมหาศาล

ข้อบกพร่องนี้ถูกค้นพบในส่วนหนึ่งของรายงานต้นฉบับของเขาในระหว่างการทบทวนโดยผู้ทรงคุณวุฒิ และจำเป็นต้องร่วมมือกับ Richard Taylor อีกหนึ่งปีเพื่อร่วมกันแก้ทฤษฎีบท ด้วยเหตุนี้ การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ของไวลส์จึงยังมาไม่ถึงเร็วๆ นี้ ในปี 1995 มีการตีพิมพ์เผยแพร่ในขนาดที่เล็กกว่างานคณิตศาสตร์ก่อนหน้าของไวล์สมาก ซึ่งแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าเขาไม่ผิดกับข้อสรุปก่อนหน้านี้เกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบท ความสำเร็จของไวล์สได้รับการรายงานอย่างกว้างขวางในสื่อยอดนิยม และแพร่หลายในหนังสือและรายการโทรทัศน์ ส่วนที่เหลือของการคาดเดาของทานิยามา-ชิมูระ-ไวล์ ซึ่งปัจจุบันได้รับการพิสูจน์แล้วและเป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทโมดูลาร์ ได้รับการพิสูจน์ในเวลาต่อมาโดยนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ที่สร้างผลงานของไวล์สระหว่างปี 1996 ถึง 2001 สำหรับความสำเร็จของเขา Wiles ได้รับเกียรติและได้รับรางวัลมากมาย รวมถึงรางวัล Abel Prize ประจำปี 2016

การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ของไวล์สเป็นกรณีพิเศษของการแก้ทฤษฎีบทโมดูลาร์สำหรับเส้นโค้งวงรี อย่างไรก็ตาม นี่เป็นกรณีที่มีชื่อเสียงที่สุดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขนาดใหญ่เช่นนี้ นอกจากการแก้ทฤษฎีบทของริเบต์แล้ว นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษยังได้รับการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์อีกด้วย ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์และทฤษฎีบทโมดูลาร์เกือบจะถูกมองว่าไม่สามารถพิสูจน์ได้ในระดับสากลโดยนักคณิตศาสตร์สมัยใหม่ แต่แอนดรูว์ ไวล์สสามารถพิสูจน์ให้โลกวิทยาศาสตร์เห็นว่าแม้แต่ผู้เชี่ยวชาญก็สามารถเข้าใจผิดได้

ไวล์สได้ประกาศการค้นพบของเขาครั้งแรกเมื่อวันพุธที่ 23 มิถุนายน พ.ศ. 2536 ในการบรรยายที่มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ในหัวข้อ "รูปแบบโมดูลาร์ เส้นโค้งรูปไข่ และการนำเสนอแบบกาลัวส์" อย่างไรก็ตาม ในเดือนกันยายน พ.ศ. 2536 พบว่าการคำนวณของเขามีข้อผิดพลาด หนึ่งปีต่อมา ในวันที่ 19 กันยายน พ.ศ. 2537 ในสิ่งที่เขาจะเรียกว่า "ช่วงเวลาที่สำคัญที่สุดในชีวิตการทำงานของเขา" ไวล์สสะดุดกับการเปิดเผยที่ทำให้เขาสามารถแก้ไขปัญหาได้จนถึงจุดที่สามารถตอบสนองทางคณิตศาสตร์ได้ ชุมชน.

ลักษณะของงาน

การพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ของแอนดรูว์ ไวล์สใช้เทคนิคมากมายจากเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและทฤษฎีจำนวน และมีการแตกสาขามากมายในสาขาวิชาคณิตศาสตร์เหล่านี้ นอกจากนี้เขายังใช้โครงสร้างมาตรฐานของเรขาคณิตพีชคณิตสมัยใหม่ เช่น ประเภทของโครงร่างและทฤษฎีอิวาซาวะ ตลอดจนวิธีการอื่น ๆ ในศตวรรษที่ 20 ที่ปิแอร์ แฟร์มาต์ไม่มีให้ใช้

บทความทั้งสองประกอบด้วยหลักฐานทั้งหมด 129 หน้าและเขียนมานานกว่าเจ็ดปี จอห์น โคตส์ อธิบายว่าการค้นพบนี้เป็นหนึ่งในความสำเร็จที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของทฤษฎีจำนวน และจอห์น คอนเวย์ เรียกการค้นพบนี้ว่าเป็นความสำเร็จทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญของศตวรรษที่ 20 Wiles เพื่อที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat โดยการพิสูจน์ทฤษฎีบทโมดูลาร์สำหรับกรณีพิเศษของเส้นโค้งวงรีกึ่งเสถียร ได้พัฒนาวิธีการอันทรงพลังในการยกความเป็นโมดูลาร์ขึ้น และค้นพบแนวทางใหม่ในการแก้ปัญหาอื่นๆ มากมาย สำหรับการแก้ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ เขาได้รับแต่งตั้งเป็นอัศวินและได้รับรางวัลอื่นๆ เมื่อมีการประกาศว่าไวล์สได้รับรางวัลอาเบล ทาง Norwegian Academy of Sciences กล่าวถึงความสำเร็จของเขาว่าเป็น "ข้อพิสูจน์เบื้องต้นที่น่าอัศจรรย์ของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์"

มันเป็นอย่างไร

หนึ่งในผู้ที่ตรวจสอบต้นฉบับทฤษฎีบทต้นฉบับของไวล์สคือนิค แคทซ์ ในระหว่างการทบทวน เขาได้ถามคำถามเพื่อชี้แจงกับชาวอังกฤษหลายชุด ซึ่งบังคับให้ไวล์สยอมรับว่างานของเขามีช่องว่างอย่างชัดเจน มีข้อผิดพลาดในส่วนสำคัญของการพิสูจน์ที่ให้การประมาณลำดับของกลุ่มใดกลุ่มหนึ่ง: ระบบออยเลอร์ที่ใช้ในการขยายวิธี Kolyvagin และ Flach นั้นไม่สมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม ข้อผิดพลาดดังกล่าวไม่ได้ทำให้งานของเขาไร้ประโยชน์ งานแต่ละส่วนของไวล์สมีความสำคัญและเป็นนวัตกรรมในตัวเอง เช่นเดียวกับการพัฒนาและวิธีการต่างๆ มากมายที่เขาสร้างขึ้นระหว่างการทำงานของเขา ซึ่งส่งผลกระทบเพียงส่วนหนึ่งเท่านั้น ต้นฉบับ อย่างไรก็ตาม งานต้นฉบับนี้ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1993 ไม่ได้ให้ข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์แต่อย่างใด

ไวล์สใช้เวลาเกือบหนึ่งปีในการพยายามค้นพบคำตอบของทฤษฎีบทนี้อีกครั้ง โดยเริ่มจากลำพังก่อนแล้วจึงร่วมมือกับริชาร์ด เทย์เลอร์ อดีตนักศึกษาของเขา แต่ดูเหมือนทุกอย่างจะไร้ผล ในตอนท้ายของปี 1993 มีข่าวลือแพร่สะพัดว่าการพิสูจน์ของ Wiles ล้มเหลวในการทดสอบ แต่ยังไม่ทราบถึงความล้มเหลวร้ายแรงเพียงใด นักคณิตศาสตร์เริ่มกดดันไวลส์ให้เปิดเผยรายละเอียดของงานของเขา ไม่ว่าจะเสร็จสมบูรณ์หรือไม่ก็ตาม เพื่อที่ชุมชนนักคณิตศาสตร์ในวงกว้างจะได้สำรวจและใช้ทุกสิ่งที่เขาประสบความสำเร็จ แทนที่จะแก้ไขข้อผิดพลาดอย่างรวดเร็ว ไวล์สกลับค้นพบแต่ความซับซ้อนเพิ่มเติมในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ และในที่สุดก็ตระหนักว่ามันยากเพียงใด

ไวล์สกล่าวว่าในเช้าวันที่ 19 กันยายน พ.ศ. 2537 เขาเกือบจะยอมแพ้และยอมแพ้ และเกือบจะลาออกจากความจริงที่ว่าเขาล้มเหลว เขายินดีที่จะเผยแพร่งานที่ยังไม่เสร็จของเขาเพื่อที่คนอื่นจะได้ต่อยอดและค้นหาว่าเขาผิดพลาดตรงไหน นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษตัดสินใจให้โอกาสตัวเองเป็นครั้งสุดท้ายและวิเคราะห์ทฤษฎีบทเป็นครั้งสุดท้ายเพื่อพยายามทำความเข้าใจสาเหตุหลักว่าทำไมแนวทางของเขาจึงไม่ได้ผล เมื่อเขาตระหนักทันทีว่าแนวทาง Kolyvagin-Flac จะไม่ทำงานจนกว่าเขาจะรวมการพิสูจน์ไว้ในนั้นด้วย กระบวนการที่ทฤษฎีของอิวาซาวะทำให้มันได้ผล

เมื่อวันที่ 6 ตุลาคม ไวล์สขอให้เพื่อนร่วมงานสามคน (รวมถึงฟัลตินส์) ทบทวนงานใหม่ของเขา และในวันที่ 24 ตุลาคม พ.ศ. 2537 เขาได้ส่งต้นฉบับสองฉบับ ได้แก่ "เส้นโค้งวงรีแบบโมดูลาร์และทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์" และ "คุณสมบัติทางทฤษฎีของวงแหวนของพีชคณิตเฮคเกบางข้อ " ซึ่งเป็นครั้งที่สองที่ Wiles เขียนร่วมกับ Taylor และโต้แย้งว่าตรงตามเงื่อนไขบางประการที่จำเป็นในการแสดงขั้นตอนแก้ไขในบทความหลัก

เอกสารทั้งสองนี้ได้รับการตรวจสอบและตีพิมพ์เป็นฉบับเต็มใน Annals of Mathematics ฉบับเดือนพฤษภาคม พ.ศ. 2538 การคำนวณใหม่ของแอนดรูว์ได้รับการวิเคราะห์อย่างกว้างขวางและได้รับการยอมรับจากชุมชนวิทยาศาสตร์ในที่สุด งานเหล่านี้ได้สร้างทฤษฎีบทโมดูลาร์สำหรับเส้นโค้งรูปไข่กึ่งคงที่ ซึ่งเป็นขั้นตอนสุดท้ายในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ 358 ปีหลังจากที่ถูกสร้างขึ้น

ประวัติความเป็นมาของปัญหาใหญ่

การแก้ทฤษฎีบทนี้ถือเป็นปัญหาที่ใหญ่ที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์มานานหลายศตวรรษ ในปี ค.ศ. 1816 และอีกครั้งในปี ค.ศ. 1850 French Academy of Sciences เสนอรางวัลสำหรับการพิสูจน์ทั่วไปเกี่ยวกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ในปี ค.ศ. 1857 Academy Academy ได้มอบเงิน 3,000 ฟรังก์และเหรียญทองให้กับ Kummer จากการวิจัยเกี่ยวกับตัวเลขในอุดมคติ แม้ว่าเขาจะไม่ได้สมัครรับรางวัลก็ตาม รางวัลอื่นเสนอให้เขาในปี พ.ศ. 2426 โดย Academy of Brussel

รางวัลโวล์ฟสเคห์ล

ในปี 1908 Paul Wolfskehl นักอุตสาหกรรมและนักคณิตศาสตร์สมัครเล่นชาวเยอรมันได้มอบเครื่องหมายทองคำ 100,000 มาร์ก (ซึ่งเป็นเงินจำนวนมากในขณะนั้น) ให้กับ Göttingen Academy of Sciences เพื่อเป็นรางวัลสำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat อย่างสมบูรณ์ เมื่อวันที่ 27 มิถุนายน พ.ศ. 2451 Academy ได้เผยแพร่กฎการมอบรางวัลเก้าข้อ เหนือสิ่งอื่นใด กฎเหล่านี้กำหนดให้มีการตีพิมพ์หลักฐานในวารสารที่ผ่านการตรวจสอบโดยผู้ทรงคุณวุฒิ จะไม่มีการมอบรางวัลจนกว่าจะถึงสองปีหลังจากการตีพิมพ์ การแข่งขันมีกำหนดสิ้นสุดในวันที่ 13 กันยายน พ.ศ. 2550 หรือประมาณหนึ่งศตวรรษหลังจากเริ่มต้นขึ้น เมื่อวันที่ 27 มิถุนายน พ.ศ. 2540 Wiles ได้รับเงินรางวัลของ Wolfschel และอีก 50,000 ดอลลาร์ ในเดือนมีนาคม พ.ศ. 2559 เขาได้รับเงินจำนวน 600,000 ยูโรจากรัฐบาลนอร์เวย์ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของรางวัลอาเบลสำหรับ "ข้อพิสูจน์อันน่าทึ่งของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยใช้การคาดเดาแบบแยกส่วนสำหรับเส้นโค้งรูปไข่กึ่งคงที่ ซึ่งเป็นการเปิดศักราชใหม่ในทฤษฎีจำนวน" มันเป็นชัยชนะของโลกสำหรับชาวอังกฤษผู้ถ่อมตน

ก่อนการพิสูจน์ของไวล์ส ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น ถือว่าไม่สามารถแก้ได้อย่างแน่นอนมานานหลายศตวรรษ หลักฐานที่ไม่ถูกต้องหลายพันชิ้นถูกนำเสนอต่อคณะกรรมการของ Wolfskehl ในหลาย ๆ ครั้ง ซึ่งคิดเป็นระยะการติดต่อประมาณ 10 ฟุต (3 เมตร) ในปีแรกของการได้รับรางวัลเพียงอย่างเดียว (พ.ศ. 2450-2451) มีการส่งใบสมัคร 621 ใบเพื่ออ้างสิทธิ์ในการแก้ทฤษฎีบท แม้ว่าในช่วงทศวรรษ 1970 จำนวนนี้จะลดลงเหลือประมาณ 3-4 ใบต่อเดือน ตามคำกล่าวของ F. Schlichting ผู้ตรวจสอบของ Wolfschel หลักฐานส่วนใหญ่อิงตามวิธีการพื้นฐานที่สอนในโรงเรียน และมักนำเสนอโดย "ผู้ที่มีพื้นฐานด้านเทคนิคแต่มีอาชีพการงานที่ไม่ประสบความสำเร็จ" ตามที่นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ Howard Aves กล่าวไว้ ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้สร้างบันทึกประเภทหนึ่ง - เป็นทฤษฎีบทที่มีการพิสูจน์ที่ไม่ถูกต้องที่สุด

แฟร์มาต์ลอเรลตกเป็นของชาวญี่ปุ่น

ดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ ประมาณปี 1955 นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น โกโระ ชิมูระ และยูทากะ ทานิยามะ ค้นพบความเชื่อมโยงที่เป็นไปได้ระหว่างสองสาขาทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นเส้นโค้งรูปไข่และรูปแบบโมดูลาร์ ทฤษฎีบทโมดูลาร์ที่เกิดขึ้น (ซึ่งต่อมารู้จักกันในชื่อการคาดเดาของทานิยามา-ชิมูระ) จากการวิจัยระบุว่าเส้นโค้งรูปไข่ทุกอันเป็นแบบโมดูลาร์ ซึ่งหมายความว่าสามารถเชื่อมโยงกับรูปแบบโมดูลาร์ที่มีเอกลักษณ์เฉพาะได้

ในตอนแรกทฤษฎีนี้ถูกมองว่าไม่น่าเป็นไปได้หรือเป็นการคาดเดาสูง แต่กลับถูกมองว่าจริงจังมากขึ้นเมื่อนักทฤษฎีจำนวน อังเดร ไวล์ พบหลักฐานที่สนับสนุนการค้นพบของญี่ปุ่น ด้วยเหตุนี้ การคาดเดาจึงมักเรียกว่าการคาดเดาของทานิยามะ-ชิมูระ-ไวล์ กลายมาเป็นส่วนหนึ่งของโครงการ Langlands ซึ่งเป็นรายการสมมติฐานสำคัญที่ต้องมีการพิสูจน์ในอนาคต

แม้จะได้รับความสนใจอย่างจริงจัง นักคณิตศาสตร์สมัยใหม่ก็ยอมรับว่าการคาดเดานี้เป็นเรื่องยากมากหรืออาจเป็นไปไม่ได้เลยที่จะพิสูจน์ ตอนนี้เป็นทฤษฎีบทนี้ที่กำลังรอ Andrew Wiles ซึ่งสามารถสร้างความประหลาดใจให้กับคนทั้งโลกด้วยวิธีแก้ปัญหาของมัน

ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์: การพิสูจน์ของเพเรลมาน

แม้จะมีตำนานที่ได้รับความนิยม แต่ Grigory Perelman นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียที่มีความเป็นอัจฉริยะทั้งหมดของเขาก็ไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ ซึ่งอย่างไรก็ตามไม่ได้เบี่ยงเบนความสนใจจากบริการมากมายของเขาต่อชุมชนวิทยาศาสตร์ แต่อย่างใด

คนอิจฉาอ้างว่านักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ปิแอร์ แฟร์มาต์ เขียนชื่อของเขาในประวัติศาสตร์ด้วยวลีเพียงวลีเดียว ตรงขอบของต้นฉบับซึ่งมีการกำหนดทฤษฎีบทอันโด่งดังในปี 1637 เขาได้เขียนข้อความว่า “ฉันพบวิธีแก้ปัญหาที่น่าทึ่งแล้ว แต่ไม่มีที่ว่างเพียงพอที่จะใส่ไว้ที่นี่” จากนั้นการแข่งขันทางคณิตศาสตร์อันน่าทึ่งก็เริ่มต้นขึ้น โดยมีกองทัพนักสมัครเล่นเข้าร่วมพร้อมกับนักวิทยาศาสตร์ที่โดดเด่น

อะไรคือความร้ายกาจของปัญหาของแฟร์มาต์? เมื่อมองแวบแรกแม้แต่เด็กนักเรียนก็สามารถเข้าใจได้

ขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ทุกคนรู้จัก: ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา: x 2 + y 2 = z 2 แฟร์มาต์แย้งว่า: สมการสำหรับกำลังใดๆ ที่มากกว่าสองไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม

มันจะดูเหมือนง่าย ออกไปและนี่คือคำตอบ ไม่น่าแปลกใจที่สถาบันการศึกษาในประเทศต่างๆ สถาบันวิทยาศาสตร์ แม้แต่กองบรรณาธิการหนังสือพิมพ์ ก็เต็มไปด้วยหลักฐานนับหมื่น จำนวนของพวกเขานั้นไม่เคยมีมาก่อน เป็นรองจากโครงการ "การเคลื่อนไหวตลอดกาล" เท่านั้น แต่หากวิทยาศาสตร์ที่จริงจังไม่ได้พิจารณาแนวคิดบ้า ๆ เหล่านี้มาเป็นเวลานานแล้วงานของ "เกษตรกร" ก็จะได้รับการศึกษาอย่างซื่อสัตย์และมีความสนใจ และอนิจจามันพบข้อผิดพลาด พวกเขากล่าวว่ากว่าสามศตวรรษที่สุสานทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดของการแก้ทฤษฎีบทได้ก่อตัวขึ้น

พวกเขาพูดไม่ใช่เพื่ออะไร: ข้อศอกอยู่ใกล้ แต่คุณจะไม่กัด หลายปี ทศวรรษ ศตวรรษผ่านไป งานของแฟร์มาต์ดูน่าประหลาดใจและน่าดึงดูดใจมากขึ้นเรื่อยๆ ดูเหมือนง่าย แต่กลับกลายเป็นว่ายากเกินไปสำหรับการพัฒนาของกล้ามเนื้อที่เติบโตอย่างรวดเร็ว มนุษย์ได้แยกอะตอมออกไปแล้ว เข้าถึงยีน และเหยียบย่ำดวงจันทร์ แต่แฟร์มาต์ไม่ยอมแพ้ ยังคงล่อลวงลูกหลานของเขาด้วยความหวังเท็จต่อไป

อย่างไรก็ตาม ความพยายามที่จะเอาชนะจุดสูงสุดทางวิทยาศาสตร์ไม่ได้ไร้ประโยชน์ ออยเลอร์ผู้ยิ่งใหญ่ก้าวแรกโดยการพิสูจน์ทฤษฎีบทในระดับที่สี่ จากนั้นจึงพิสูจน์ทฤษฎีบทในระดับที่สาม ในตอนท้ายของศตวรรษที่ 19 เอิร์นส์ คุมเมอร์ ชาวเยอรมัน เพิ่มจำนวนองศาเป็นหนึ่งร้อย ในที่สุดนักวิทยาศาสตร์ก็เพิ่มจำนวนนี้เป็น 100,000 ด้วยคอมพิวเตอร์ แต่แฟร์มาต์กำลังพูดถึงระดับใดก็ได้ นั่นคือประเด็นทั้งหมด

แน่นอน นักวิทยาศาสตร์ไม่ได้ทนทุกข์ทรมานกับปัญหานี้เพราะความสนใจด้านกีฬา David Hilbert นักคณิตศาสตร์ชื่อดังกล่าวว่าทฤษฎีบทนี้เป็นตัวอย่างว่าปัญหาที่ดูเหมือนไม่มีนัยสำคัญสามารถส่งผลกระทบอย่างใหญ่หลวงต่อวิทยาศาสตร์ได้อย่างไร นักวิทยาศาสตร์ได้เปิดโลกทัศน์ทางคณิตศาสตร์ใหม่อย่างสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น วางรากฐานของทฤษฎีจำนวน พีชคณิต และทฤษฎีฟังก์ชัน

แต่ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ก็ถูกยึดครองในปี 1995 Andrew Wiles ชาวอเมริกันจากมหาวิทยาลัยพรินซ์ตันนำเสนอวิธีแก้ปัญหาของเธอ และได้รับการยอมรับอย่างเป็นทางการจากชุมชนวิทยาศาสตร์ เขาสละชีวิตมากกว่าเจ็ดปีเพื่อค้นหาหลักฐาน ตามที่นักวิทยาศาสตร์กล่าวไว้ งานที่โดดเด่นนี้ได้รวบรวมผลงานของนักคณิตศาสตร์หลายคนเข้าด้วยกัน โดยฟื้นฟูความเชื่อมโยงที่ขาดหายไประหว่างส่วนต่างๆ ของงาน

ดังนั้น การประชุมสุดยอดจึงได้เกิดขึ้นแล้ว และวิทยาศาสตร์ก็ได้รับคำตอบแล้ว” ยูริ วิชเนียคอฟ เลขาธิการวิทยาศาสตร์ของภาควิชาคณิตศาสตร์ของ Russian Academy of Sciences ซึ่งเป็นแพทย์ศาสตร์ดุษฎีบัณฑิต กล่าวกับผู้สื่อข่าวของ RG - ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว แม้ว่าจะไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุดก็ตาม ดังที่แฟร์มาต์ยืนยันเอง และตอนนี้ผู้ที่ต้องการสามารถพิมพ์เวอร์ชันของตนเองได้

อย่างไรก็ตาม ครอบครัวของ “ชาวนา” จะไม่ยอมรับหลักฐานของไวล์สเลย ไม่ พวกเขาไม่ได้ปฏิเสธการตัดสินใจของชาวอเมริกัน เพราะมันซับซ้อนมากและดังนั้นจึงเข้าใจได้เฉพาะกับผู้เชี่ยวชาญในวงแคบเท่านั้น แต่ไม่ใช่หนึ่งสัปดาห์ผ่านไปโดยไม่มีการเปิดเผยใหม่จากผู้สนใจรายอื่นที่ปรากฏบนอินเทอร์เน็ต "ในที่สุดก็ยุติมหากาพย์ระยะยาว"

เมื่อวานนี้ Vsevolod Yarosh หนึ่งใน "นักปุ๋ย" ที่เก่าแก่ที่สุดในประเทศของเราเรียกว่ากองบรรณาธิการของ "RG": "และคุณก็รู้ว่าฉันได้พิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ต่อหน้า Wiles แล้ว ยิ่งไปกว่านั้นฉันก็พบข้อผิดพลาดด้วย เขาซึ่งฉันเขียนถึงนักคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นของเราอาร์โนลด์พร้อมกับขอให้ตีพิมพ์เกี่ยวกับเรื่องนี้ในวารสารวิทยาศาสตร์ ตอนนี้ฉันกำลังรอคำตอบ

และตอนนี้ตามที่รายงานในสื่อหลายแห่ง ผู้ที่ชื่นชอบอีกคนหนึ่ง อดีตนักออกแบบทั่วไปของซอฟต์แวร์ Polyot จาก Omsk แพทย์สาขาวิทยาศาสตร์เทคนิค Alexander Ilyin ด้วย "ความสง่างามเล็กน้อย" เปิดเผยความลับอันยิ่งใหญ่ของคณิตศาสตร์ วิธีแก้ปัญหากลายเป็นเรื่องง่ายและสั้นมากจนพอดีกับส่วนเล็กๆ ของพื้นที่หนังสือพิมพ์ของสิ่งพิมพ์กลางฉบับหนึ่ง

บรรณาธิการของ RG หันไปหาสถาบันคณิตศาสตร์ชั้นนำของประเทศที่ตั้งชื่อตาม Steklov RAS พร้อมคำร้องขอประเมินการตัดสินใจครั้งนี้ นักวิทยาศาสตร์มีความชัดเจน: ไม่มีใครแสดงความคิดเห็นในสิ่งพิมพ์ของหนังสือพิมพ์ได้ แต่หลังจากการโน้มน้าวใจอย่างมากและคำนึงถึงความสนใจที่เพิ่มขึ้นในปัญหาที่มีชื่อเสียงพวกเขาก็ตกลงกัน ตามที่กล่าวไว้ มีข้อผิดพลาดพื้นฐานหลายประการเกิดขึ้นในการพิสูจน์ล่าสุดที่เผยแพร่ อย่างไรก็ตาม แม้แต่นักศึกษาคณะคณิตศาสตร์ก็สามารถสังเกตเห็นพวกเขาได้อย่างง่ายดาย

ถึงกระนั้น บรรณาธิการก็ต้องการได้รับข้อมูลโดยตรง ยิ่งกว่านั้นเมื่อวานนี้ที่ Academy of Aviation and Aeronautics Ilyin ควรจะนำเสนอหลักฐานของเขา อย่างไรก็ตาม ปรากฏว่ามีเพียงไม่กี่คนที่รู้เกี่ยวกับสถาบันดังกล่าว แม้แต่ในหมู่ผู้เชี่ยวชาญก็ตาม และเมื่อเราค้นหาหมายเลขโทรศัพท์ของเลขาธิการวิทยาศาสตร์ขององค์กรนี้ด้วยความยากลำบากที่สุด ปรากฎว่าเขาไม่สงสัยด้วยซ้ำว่าเหตุการณ์ประวัติศาสตร์ดังกล่าวกำลังจะเกิดขึ้นที่นั่น กล่าวโดยสรุป ผู้สื่อข่าว RG ล้มเหลวในการเป็นสักขีพยานในความรู้สึกของโลก