เศษส่วน การดำเนินการกับเศษส่วน การดำเนินการกับเศษส่วนทั่วไป

เศษส่วนเป็นแบบธรรมดาและเป็นทศนิยม เมื่อนักเรียนเรียนรู้เกี่ยวกับการมีอยู่ของสิ่งหลัง เขาเริ่มทุกครั้งที่มีโอกาสแปลทุกอย่างที่เป็นไปได้ให้อยู่ในรูปทศนิยม แม้ว่าจะไม่จำเป็นก็ตาม

การตั้งค่าของนักเรียนมัธยมปลายและนักเรียนเปลี่ยนไปอย่างผิดปกติเพราะการดำเนินการทางคณิตศาสตร์หลายอย่างด้วยเศษส่วนธรรมดานั้นง่ายกว่า และบางครั้งค่าที่ผู้สำเร็จการศึกษาจัดการอาจเป็นไปไม่ได้เลยที่จะแปลงเป็นรูปแบบทศนิยมโดยไม่สูญเสีย เป็นผลให้เศษส่วนทั้งสองประเภทปรับให้เข้ากับกรณีไม่ทางใดก็ทางหนึ่งและมีข้อดีและข้อเสียในตัวเอง ลองดูวิธีการทำงานกับพวกเขา

คำนิยาม

เศษส่วนคือหุ้นตัวเดียวกัน ถ้ามีส้มอยู่ 10 ชิ้น และคุณได้รับมา 1 ชิ้น แสดงว่าคุณมีผลไม้อยู่ในมือ 1/10 ด้วยสัญกรณ์เช่นในประโยคก่อนหน้าเศษส่วนจะเรียกว่าเศษส่วนสามัญ หากคุณเขียนเหมือนกับ 0.1 - ทศนิยม ตัวเลือกทั้งสองมีค่าเท่ากัน แต่มีข้อดีของตัวเอง ตัวเลือกแรกสะดวกกว่าสำหรับการคูณและการหาร ตัวเลือกที่สอง - สำหรับการบวก การลบ และในหลายกรณี

วิธีแปลงเศษส่วนเป็นรูปแบบอื่น

สมมติว่าคุณมีเศษส่วนร่วมกันและคุณต้องการแปลงเป็นทศนิยม ฉันต้องทำอย่างไร?

โดยวิธีการที่คุณต้องตัดสินใจล่วงหน้าว่าไม่สามารถเขียนตัวเลขในรูปแบบทศนิยมได้โดยไม่มีปัญหา บางครั้งคุณต้องปัดเศษผลลัพธ์โดยสูญเสียทศนิยมจำนวนหนึ่ง และในหลาย ๆ ด้าน - ตัวอย่างเช่นในวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน - นี่เป็นความหรูหราที่ไม่สามารถจ่ายได้อย่างสมบูรณ์ ในขณะเดียวกันการกระทำที่มีทศนิยมและเศษส่วนธรรมดาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ทำให้สามารถถ่ายโอนจากประเภทหนึ่งไปยังอีกประเภทหนึ่งได้โดยไม่มีการรบกวนอย่างน้อยก็เป็นการฝึกอบรม

หากจากตัวส่วนโดยการคูณหรือหารด้วยจำนวนเต็ม คุณจะได้ค่าที่เป็นทวีคูณของ 10 การถ่ายโอนจะผ่านโดยไม่มีปัญหาใด ๆ: ¾ เปลี่ยนเป็น 0.75, 13/20 - เป็น 0.65

ขั้นตอนผกผันนั้นง่ายยิ่งขึ้นเนื่องจากคุณสามารถรับเศษส่วนธรรมดาจากเศษส่วนทศนิยมได้เสมอโดยไม่สูญเสียความแม่นยำ ตัวอย่างเช่น 0.2 กลายเป็น 1/5 และ 0.08 กลายเป็น 4/25

การแปลงภายใน

ก่อนดำเนินการร่วมกับเศษส่วนธรรมดา คุณต้องเตรียมตัวเลขสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่เป็นไปได้

ก่อนอื่น คุณต้องนำเศษส่วนทั้งหมดในตัวอย่างมาอยู่ในแบบฟอร์มทั่วไปรูปแบบเดียว ต้องเป็นค่าธรรมดาหรือทศนิยม ทำการจองทันทีว่าการคูณและการหารจะสะดวกกว่าในการดำเนินการครั้งแรก

ในการเตรียมตัวเลขสำหรับการดำเนินการต่อไป คุณจะได้รับความช่วยเหลือจากกฎที่รู้จักกันและใช้ทั้งในปีแรก ๆ ของการเรียนวิชานี้ และในวิชาคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นซึ่งมีการศึกษาในมหาวิทยาลัย

คุณสมบัติของเศษส่วน

สมมติว่าคุณมีค่าบางอย่าง สมมุติว่า 2/3 จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย 3 รับ 6/9 แล้วถ้าเป็นล้านล่ะ? 2000000/3000000. แต่เดี๋ยวก่อนเนื่องจากตัวเลขไม่เปลี่ยนแปลงในเชิงคุณภาพเลย - 2/3 ยังคงเท่ากับ 2000000/3000000 เปลี่ยนแปลงเฉพาะรูปแบบเท่านั้น ไม่เปลี่ยนแปลงเนื้อหา สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นเมื่อทั้งสองส่วนถูกหารด้วยค่าเดียวกัน นี่คือคุณสมบัติหลักของเศษส่วนซึ่งจะช่วยให้คุณดำเนินการซ้ำ ๆ กับทศนิยมและเศษส่วนธรรมดาในการทดสอบและการสอบ

การคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนเดียวกันเรียกว่า การขยายเศษส่วน และการหารเรียกว่า การลด ฉันต้องบอกว่าการขีดฆ่าตัวเลขเดียวกันที่ด้านบนและด้านล่างเมื่อคูณและหารเศษส่วนเป็นขั้นตอนที่น่าประหลาดใจ (แน่นอนว่าเป็นส่วนหนึ่งของบทเรียนคณิตศาสตร์) ดูเหมือนว่าคำตอบนั้นใกล้เข้ามาแล้วและตัวอย่างก็ได้รับการแก้ไขแล้ว

เศษส่วนที่ไม่เหมาะสม

เศษเกิน คือเศษส่วนที่ตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าสามารถแยกส่วนทั้งหมดออกจากส่วนนี้ได้ ก็จะอยู่ภายใต้คำจำกัดความนี้

หากจำนวนดังกล่าว (มากกว่าหรือเท่ากับหนึ่ง) แสดงเป็นเศษส่วนธรรมดา จะเรียกว่าไม่เหมาะสม และถ้าตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน - ถูกต้อง ทั้งสองประเภทมีความสะดวกเท่าเทียมกันในการดำเนินการที่เป็นไปได้กับเศษส่วนธรรมดา สามารถคูณและหารเพิ่มและลบได้อย่างอิสระ

หากเลือกส่วนจำนวนเต็มในเวลาเดียวกันและมีเศษเหลืออยู่ในรูปของเศษส่วน จำนวนผลลัพธ์จะถูกเรียกว่าคละ ในอนาคตคุณจะพบกับวิธีต่างๆ ในการรวมโครงสร้างดังกล่าวกับตัวแปร รวมถึงการแก้สมการที่ต้องใช้ความรู้นี้

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

หากทุกอย่างชัดเจนด้วยคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนแล้วจะทำอย่างไรเมื่อคูณเศษส่วน การดำเนินการกับเศษส่วนสามัญในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 เกี่ยวข้องกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทุกประเภทซึ่งดำเนินการในสองวิธีที่แตกต่างกัน

การคูณและการหารนั้นง่ายมาก ในกรณีแรก ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนสองส่วนจะถูกคูณกัน ในวินาที - เหมือนกันตามขวางเท่านั้น ดังนั้น ตัวเศษของเศษส่วนแรกจะถูกคูณด้วยส่วนของเศษส่วนที่สอง และในทางกลับกัน

ในการบวกและการลบ คุณต้องดำเนินการเพิ่มเติม - นำส่วนประกอบทั้งหมดของนิพจน์มาเป็นตัวส่วนร่วม ซึ่งหมายความว่าส่วนล่างของเศษส่วนจะต้องเปลี่ยนเป็นค่าเดียวกัน - ตัวส่วนที่มีอยู่ทั้งสองตัว ตัวอย่างเช่นสำหรับ 2 และ 5 จะเป็น 10 สำหรับ 3 และ 6 - 6 แต่จะทำอย่างไรกับด้านบน เราจะปล่อยไว้เหมือนเดิมไม่ได้หากเปลี่ยนอันล่างสุด ตามคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน เราคูณตัวเศษด้วยจำนวนเดียวกันกับตัวส่วน การดำเนินการนี้จะต้องดำเนินการกับแต่ละตัวเลขที่เราจะเพิ่มหรือลบ อย่างไรก็ตามการกระทำดังกล่าวกับเศษส่วนธรรมดาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้ดำเนินการแล้ว "บนเครื่อง" และความยากลำบากเกิดขึ้นเฉพาะในระยะเริ่มต้นของการศึกษาหัวข้อเท่านั้น

การเปรียบเทียบ

ถ้าเศษส่วนสองส่วนมีตัวส่วนเท่ากัน ตัวเศษที่มีตัวเศษมากกว่าจะมีค่ามากกว่า หากส่วนบนเหมือนกัน ส่วนที่มีขนาดเล็กกว่าจะมีขนาดใหญ่กว่า ควรระลึกไว้เสมอว่าสถานการณ์ที่ประสบความสำเร็จในการเปรียบเทียบนั้นไม่ค่อยเกิดขึ้น เป็นไปได้มากว่าทั้งส่วนบนและส่วนล่างของนิพจน์จะไม่ตรงกัน จากนั้นคุณต้องจำเกี่ยวกับการกระทำที่เป็นไปได้ด้วยเศษส่วนธรรมดาและใช้เทคนิคที่ใช้ในการบวกและการลบ นอกจากนี้ โปรดจำไว้ว่าหากเรากำลังพูดถึงจำนวนลบ เศษส่วนที่มากกว่าในโมดูลัสก็จะเล็กลง

ข้อดีของเศษส่วนร่วม

มันเกิดขึ้นที่ครูบอกเด็ก ๆ หนึ่งวลีซึ่งสามารถแสดงเนื้อหาได้ดังนี้: ยิ่งได้รับข้อมูลมากขึ้นเมื่อกำหนดงานการแก้ปัญหาก็จะง่ายขึ้น มันฟังดูแปลกไหม? แต่จริงๆ: ด้วยค่าที่ทราบจำนวนมาก คุณสามารถใช้สูตรได้เกือบทุกชนิด แต่ถ้ามีตัวเลขเพียงไม่กี่ตัว อาจต้องมีการไตร่ตรองเพิ่มเติม คุณจะต้องจดจำและพิสูจน์ทฤษฎีบท ให้ข้อโต้แย้งเพื่อสนับสนุนความถูกต้องของคุณ ...

เราจะทำเช่นนี้ทำไม? ยิ่งกว่านั้น เศษส่วนธรรมดาสำหรับความยุ่งยากทั้งหมดสามารถทำให้ชีวิตของนักเรียนง่ายขึ้นอย่างมาก ช่วยให้คุณลดค่าทั้งบรรทัดเมื่อคูณและหาร และเมื่อคำนวณผลรวมและผลต่าง ให้นำอาร์กิวเมนต์ทั่วไปออกและ อีกครั้งลดพวกเขา

เมื่อจำเป็นต้องดำเนินการร่วมกับเศษส่วนธรรมดาและเศษส่วนทศนิยม การแปลงจะดำเนินการในลักษณะแรก: คุณจะแปลง 3/17 เป็นรูปแบบทศนิยมได้อย่างไร เฉพาะกับการสูญเสียข้อมูลไม่ใช่อย่างอื่น แต่ 0.1 สามารถแสดงเป็น 1/10 จากนั้นเป็น 17/170 จากนั้นนำตัวเลขผลลัพธ์สองตัวมาบวกหรือลบออกได้: 30/170 + 17/170 = 47/170

เหตุใดทศนิยมจึงมีประโยชน์

หากการกระทำที่มีเศษส่วนธรรมดาสะดวกกว่า การเขียนทุกอย่างลงไปด้วยความช่วยเหลือนั้นไม่สะดวกอย่างยิ่ง ทศนิยมมีข้อได้เปรียบที่สำคัญที่นี่ เปรียบเทียบ: 1748/10000 และ 0.1748 เป็นค่าเดียวกันที่แสดงในสองเวอร์ชันที่แตกต่างกัน แน่นอนว่าวิธีที่สองนั้นง่ายกว่า!

นอกจากนี้ ทศนิยมยังแสดงได้ง่ายกว่าเนื่องจากข้อมูลทั้งหมดมีฐานร่วมกันซึ่งแตกต่างกันตามลำดับความสำคัญเท่านั้น สมมติว่าเราสามารถรับรู้ส่วนลด 30% ได้อย่างง่ายดายและประเมินว่ามีนัยสำคัญ คุณจะเข้าใจทันทีว่าอันไหนมากกว่า - 30% หรือ 137/379? ดังนั้นเศษส่วนทศนิยมจึงเป็นมาตรฐานในการคำนวณ

ในโรงเรียนมัธยม นักเรียนแก้สมการกำลังสอง การดำเนินการกับเศษส่วนธรรมดาที่นี่เป็นปัญหาอย่างมากเนื่องจากสูตรสำหรับคำนวณค่าของตัวแปรประกอบด้วยรากที่สองของผลรวม เมื่อมีเศษส่วนที่ไม่สามารถลดทอนเป็นทศนิยมได้ การแก้ปัญหาจะซับซ้อนมากจนแทบเป็นไปไม่ได้เลยที่จะคำนวณคำตอบที่แน่นอนโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข

ดังนั้น วิธีแสดงเศษส่วนแต่ละวิธีจึงมีข้อดีในบริบทที่เหมาะสม

แบบฟอร์มการเข้า

มีสองวิธีในการเขียนการกระทำด้วยเศษส่วนธรรมดา: ผ่านเส้นแนวนอนเป็น "ชั้น" สองชั้นและผ่านเครื่องหมายทับ (หรือที่เรียกว่า "ทับ") - เป็นบรรทัด เมื่อนักเรียนเขียนลงในสมุดโน้ต ตัวเลือกแรกมักจะสะดวกกว่า ดังนั้นจึงเป็นเรื่องธรรมดามากกว่า การกระจายของตัวเลขลงในเซลล์มีส่วนช่วยในการพัฒนาความเอาใจใส่ในการคำนวณและการแปลง เมื่อเขียนลงในสตริง ลำดับของการกระทำอาจสับสนโดยไม่ได้ตั้งใจ สูญเสียข้อมูลใดๆ นั่นคือ เกิดข้อผิดพลาด

บ่อยครั้งในยุคของเรามีความจำเป็นต้องพิมพ์ตัวเลขบนคอมพิวเตอร์ คุณสามารถแยกเศษส่วนด้วยแถบแนวนอนแบบเดิมโดยใช้ฟังก์ชันใน Microsoft Word 2010 และใหม่กว่า ความจริงก็คือในซอฟต์แวร์เวอร์ชันเหล่านี้มีตัวเลือกที่เรียกว่า "สูตร" โดยจะแสดงฟิลด์ที่แปลงรูปได้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งคุณสามารถรวมสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ใดๆ เข้าด้วยกัน ประกอบเป็นเศษส่วนทั้ง 2 และ "4 ชั้น" ในตัวส่วนและตัวเศษ คุณสามารถใช้เครื่องหมายวงเล็บ, เครื่องหมายดำเนินการ ด้วยเหตุนี้ คุณจะสามารถเขียนการดำเนินการร่วมกับเศษส่วนสามัญและเศษส่วนทศนิยมได้ในรูปแบบดั้งเดิม นั่นคือวิธีที่พวกเขาสอนให้คุณทำที่โรงเรียน

หากคุณใช้โปรแกรมแก้ไขข้อความ Notepad มาตรฐาน นิพจน์เศษส่วนทั้งหมดจะต้องเขียนด้วยเครื่องหมายทับ น่าเสียดายที่ไม่มีวิธีอื่นที่นี่

บทสรุป

ดังนั้นเราจึงพิจารณาการกระทำพื้นฐานทั้งหมดด้วยเศษส่วนธรรมดาซึ่งปรากฏว่ามีไม่มากนัก

หากในตอนแรกดูเหมือนว่านี่เป็นส่วนที่ซับซ้อนของคณิตศาสตร์ นี่เป็นเพียงความประทับใจชั่วคราว - จำไว้ว่าเมื่อคุณคิดเช่นนั้นเกี่ยวกับตารางการคูณและก่อนหน้านี้ - เกี่ยวกับสมุดลอกแบบปกติและการนับหนึ่งถึงสิบ

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าเศษส่วนถูกใช้ทุกที่ในชีวิตประจำวัน คุณจะจัดการกับเงินและการคำนวณทางวิศวกรรม เทคโนโลยีสารสนเทศ และความรู้ทางดนตรี และทุกที่ - ทุกที่! - ตัวเลขเศษส่วนจะปรากฏขึ้น ดังนั้นอย่าขี้เกียจและศึกษาหัวข้อนี้อย่างละเอียด - โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากไม่ใช่เรื่องยาก

การคูณและการหารเศษส่วน.

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในภาคพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก ... "
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

การดำเนินการนี้ดีกว่าการบวก-ลบมาก! เพราะมันง่ายกว่า ฉันเตือนคุณ: ในการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนคุณต้องคูณตัวเศษ (นี่จะเป็นตัวเศษของผลลัพธ์) และตัวส่วน (นี่จะเป็นตัวส่วน) นั่นคือ:

ตัวอย่างเช่น:

ทุกอย่างง่ายมาก. และโปรดอย่ามองหาตัวส่วนร่วม! ไม่ต้องการที่นี่...

ในการหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องพลิก ที่สอง(นี่เป็นสิ่งสำคัญ!) เศษส่วนและคูณพวกเขาเช่น:

ตัวอย่างเช่น:

หากจับการคูณหรือหารด้วยจำนวนเต็มและเศษส่วนได้ก็ไม่เป็นไร นอกจากนี้ เราสร้างเศษส่วนจากจำนวนทั้งหมดโดยมีหน่วยเป็นตัวส่วน - แล้วไปกันเลย! ตัวอย่างเช่น:

ในโรงเรียนมัธยม คุณมักจะต้องจัดการกับเศษส่วนสามชั้น (หรือแม้แต่สี่ชั้น!) ตัวอย่างเช่น:

จะนำเศษส่วนนี้ไปอยู่ในรูปที่เหมาะสมได้อย่างไร? ใช่ ง่ายมาก! ใช้การหารผ่านสองจุด:

แต่อย่าลืมเกี่ยวกับลำดับการหาร! สิ่งนี้สำคัญมากที่นี่ไม่เหมือนการคูณ! แน่นอน เราจะไม่สับสนระหว่าง 4:2 หรือ 2:4 แต่ในส่วนสามชั้นนั้นง่ายต่อการทำผิดพลาด โปรดทราบ ตัวอย่างเช่น:

ในกรณีแรก (นิพจน์ทางด้านซ้าย):

ในวินาที (การแสดงออกทางด้านขวา):

รู้สึกถึงความแตกต่าง? 4 และ 1/9!

ลำดับของการแบ่งคืออะไร? หรือวงเล็บ หรือ (ตามนี้) ความยาวของเส้นประแนวนอน พัฒนาดวงตา และหากไม่มีวงเล็บหรือขีดคั่น เช่น:

แล้วหาร-คูณ ตามลำดับ ซ้ายไปขวา!

และอีกเคล็ดลับที่ง่ายและสำคัญมาก ในการกระทำที่มีองศามันจะมีประโยชน์สำหรับคุณ! ลองหารหน่วยด้วยเศษส่วน เช่น 13/15:

ช็อตพลิก! และมันเกิดขึ้นเสมอ เมื่อนำ 1 ไปหารด้วยเศษส่วนใดๆ ผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วนเดียวกันแต่กลับด้านเท่านั้น

นั่นคือการกระทำทั้งหมดที่มีเศษส่วน สิ่งนี้ค่อนข้างง่าย แต่ให้ข้อผิดพลาดมากเกินพอ จดคำแนะนำที่ใช้ได้จริง แล้วจะมี (ข้อผิดพลาด) น้อยลง!

เคล็ดลับการปฏิบัติ:

1. สิ่งที่สำคัญที่สุดในการทำงานกับนิพจน์เศษส่วนคือความแม่นยำและความเอาใจใส่! ไม่ใช่คำธรรมดา ไม่ใช่คำอวยพร! นี่เป็นความต้องการที่รุนแรง! ทำการคำนวณทั้งหมดในการสอบเป็นงานเต็มเปี่ยมอย่างมีสมาธิและชัดเจน การเขียนสองบรรทัดเพิ่มเติมในแบบร่างนั้นดีกว่าการคิดเลขในหัวให้ยุ่งเหยิง

2. ในตัวอย่างที่มีเศษส่วนประเภทต่างๆ ให้ไปที่เศษส่วนธรรมดา

3. เราลดเศษส่วนทั้งหมดลงจนสุด

4. เราลดนิพจน์เศษส่วนหลายระดับเป็นสามัญโดยใช้การหารด้วยสองจุด (ทำตามลำดับการหาร!)

5. เราแบ่งหน่วยเป็นเศษส่วนในใจของเราโดยพลิกเศษส่วน

นี่คืองานที่คุณต้องทำให้เสร็จ คำตอบจะได้รับหลังจากงานทั้งหมด ใช้เนื้อหาของหัวข้อนี้และคำแนะนำที่เป็นประโยชน์ ประมาณจำนวนตัวอย่างที่คุณสามารถแก้ได้อย่างถูกต้อง ครั้งแรก! โดยไม่ต้องคิดเลข! และได้ข้อสรุปที่ถูกต้อง...

จำคำตอบที่ถูกต้อง ได้รับจากครั้งที่สอง (โดยเฉพาะครั้งที่สาม) - ไม่นับ!นั่นคือชีวิตที่โหดร้าย

ดังนั้น, แก้ปัญหาในโหมดการสอบ ! นี่คือการเตรียมตัวสำหรับการสอบโดยวิธีการ เราแก้ตัวอย่าง เราตรวจสอบ เราแก้ปัญหาต่อไปนี้ เราตัดสินใจทุกอย่าง - เราตรวจสอบอีกครั้งตั้งแต่ต้นจนจบ แต่เท่านั้น หลังจากดูคำตอบ

คำนวณ:

คุณตัดสินใจแล้วหรือยัง?

มองหาคำตอบที่ตรงกับคุณ ฉันเขียนมันลงไปอย่างยุ่งเหยิงโดยเฉพาะ ห่างไกลจากสิ่งล่อใจ เพื่อที่จะพูด ... นี่คือคำตอบที่เขียนด้วยเครื่องหมายอัฒภาค

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

และตอนนี้เราได้ข้อสรุปแล้ว หากทุกอย่างเรียบร้อย - มีความสุขสำหรับคุณ! การคำนวณเบื้องต้นด้วยเศษส่วนไม่ใช่ปัญหาของคุณ! คุณสามารถทำสิ่งที่ร้ายแรงกว่านี้ได้ ถ้าไม่...

ดังนั้นคุณมีปัญหาหนึ่งในสองข้อ หรือทั้งสองอย่างพร้อมกัน) ขาดความรู้และ (หรือ) ไม่ตั้งใจ แต่นี่ แก้ไขได้ ปัญหา.

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามไซต์สำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกฝนการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที เรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

ตกลงว่า "การกระทำที่มีเศษส่วน" ในบทเรียนของเราจะถูกเข้าใจว่าเป็นการกระทำที่มีเศษส่วนธรรมดา เศษส่วนคือเศษส่วนที่มีคุณลักษณะต่างๆ เช่น ตัวเศษ แท่งเศษส่วน และตัวส่วน สิ่งนี้แยกความแตกต่างของเศษส่วนธรรมดาจากเศษส่วนทศนิยม ซึ่งได้มาจากเศษส่วนธรรมดาโดยการลดตัวส่วนให้เป็นทวีคูณของ 10 เศษส่วนทศนิยมเขียนด้วยเครื่องหมายจุลภาคแยกส่วนจำนวนเต็มออกจากเศษส่วน เราจะพูดถึงการดำเนินการกับเศษส่วนธรรมดาเนื่องจากเป็นสิ่งที่ทำให้เกิดปัญหามากที่สุดสำหรับนักเรียนที่ลืมพื้นฐานของหัวข้อนี้ซึ่งครอบคลุมในครึ่งแรกของหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน ในเวลาเดียวกัน เมื่อแปลงนิพจน์ในคณิตศาสตร์ระดับสูง การดำเนินการส่วนใหญ่จะเป็นการดำเนินการกับเศษส่วนธรรมดาที่ใช้ ตัวย่อของเศษส่วนมีค่าบางอย่าง! เศษส่วนทศนิยมไม่ทำให้เกิดความยากลำบากมากนัก ลุยเลย!

เศษส่วนสองส่วนและเรียกว่า เท่ากัน ถ้า .

ตัวอย่างเช่นเนื่องจาก

เศษส่วนและ (ตั้งแต่ ) และ (ตั้งแต่ ) ก็มีค่าเท่ากันเช่นกัน

แน่นอนทั้งเศษส่วนและเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าหากตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนดให้คูณหรือหารด้วยจำนวนธรรมชาติเดียวกัน จะได้เศษส่วนที่เท่ากับเศษส่วนที่กำหนด:

คุณสมบัตินี้เรียกว่าคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน

คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนสามารถใช้เพื่อเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนได้ หากตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนคูณด้วย -1 เราก็จะได้ ซึ่งหมายความว่าค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลงหากเครื่องหมายของตัวเศษและตัวส่วนเปลี่ยนไปพร้อมกัน หากคุณเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวเศษหรือตัวส่วนเท่านั้น เศษส่วนจะเปลี่ยนเครื่องหมาย:

การลดเศษส่วน

การใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน คุณสามารถแทนที่เศษส่วนที่กำหนดด้วยเศษส่วนอื่นที่เท่ากับเศษส่วนที่กำหนด แต่ใช้เศษและส่วนน้อยกว่า การแทนที่นี้เรียกว่าการลดเศษส่วน

ตัวอย่างเช่น ให้ได้รับเศษส่วน ตัวเลข 36 และ 48 มีตัวหารร่วมมาก 12 จากนั้น

.

ในกรณีทั่วไป การลดเศษส่วนสามารถทำได้เสมอหากตัวเศษและตัวส่วนไม่ใช่จำนวนร่วม ถ้าตัวเศษและตัวส่วนเป็นจำนวนเฉพาะที่ค่อนข้างลงตัว เศษส่วนจะเรียกว่าลดทอนไม่ได้

ดังนั้น การลดเศษส่วนหมายถึงการหารตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยตัวประกอบร่วม ทั้งหมดข้างต้นใช้กับนิพจน์เศษส่วนที่มีตัวแปร

ตัวอย่างที่ 1ลดเศษส่วน

วิธีการแก้. เพื่อแยกตัวประกอบตัวเศษออกเป็นปัจจัยโดยนำเสนอ monomial - 5 ก่อนหน้านี้ xyเป็นผลรวม - 2 xy - 3xy, เราได้รับ

ในการแยกตัวประกอบของตัวส่วน เราใช้สูตรผลต่างกำลังสอง:

ผลที่ตามมา

.

การนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม

ให้สองเศษส่วนและได้รับ พวกมันมีตัวส่วนต่างกัน: 5 และ 7 ใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน คุณสามารถแทนที่เศษส่วนเหล่านี้ด้วยตัวส่วนอื่นๆ ที่เท่ากับพวกมัน และเพื่อให้เศษส่วนที่เกิดขึ้นจะมีตัวส่วนเท่ากัน เราได้รับตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนคูณด้วย 7

คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย 5 เราจะได้

ดังนั้นเศษส่วนจะลดลงเป็นตัวส่วนร่วม:

.

แต่นี่ไม่ใช่วิธีเดียวในการแก้ปัญหา ตัวอย่างเช่น เศษส่วนเหล่านี้สามารถลดให้เหลือ 70 ได้:

,

และโดยทั่วไปสำหรับตัวส่วนใดๆ ที่หารด้วย 5 และ 7 ลงตัว

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง: ลองลดเศษส่วนลงเหลือตัวส่วนร่วม การโต้เถียงในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราได้รับ

,

.

แต่ในกรณีนี้ คุณสามารถนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วมได้ โดยน้อยกว่าผลคูณของตัวส่วนของเศษส่วนเหล่านี้ หาตัวคูณร่วมน้อยของ 24 และ 30: LCM(24, 30) = 120

เนื่องจาก 120:4=5 ในการเขียนเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 120 ทั้งตัวเศษและตัวส่วนต้องคูณด้วย 5 จำนวนนี้เรียกว่าตัวประกอบเพิ่มเติม วิธี .

นอกจากนี้ เราได้ 120:30=4 เราได้รับตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนคูณด้วยตัวประกอบเพิ่มเติมของ 4 .

ดังนั้น เศษส่วนเหล่านี้จะถูกลดให้เหลือส่วนร่วม

ตัวหารร่วมน้อยของตัวส่วนร่วมของเศษส่วนเหล่านี้คือตัวส่วนร่วมที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้

สำหรับนิพจน์เศษส่วนที่มีตัวแปร ตัวส่วนร่วมคือพหุนามที่หารด้วยตัวส่วนของแต่ละเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 2หาตัวส่วนร่วมของเศษส่วน และ

วิธีการแก้. ตัวส่วนร่วมของเศษส่วนเหล่านี้คือพหุนาม เนื่องจากมันหารด้วยทั้งสองและด้วย อย่างไรก็ตาม พหุนามนี้ไม่ใช่เพียงพหุนามเดียวที่สามารถเป็นตัวส่วนร่วมของเศษส่วนเหล่านี้ได้ นอกจากนี้ยังสามารถเป็นพหุนาม และพหุนาม และพหุนาม เป็นต้น โดยปกติแล้วพวกเขาจะใช้ตัวส่วนร่วมที่ตัวส่วนร่วมอื่น ๆ หารด้วยตัวที่เลือกโดยไม่มีเศษเหลือ ตัวส่วนดังกล่าวเรียกว่าตัวส่วนร่วมน้อย

ในตัวอย่างของเรา ตัวส่วนร่วมน้อยที่สุดคือ ได้:

;

.

เราสามารถนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดได้ สิ่งนี้เกิดขึ้นโดยการคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนแรกด้วย และตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนที่สองด้วย พหุนาม และเรียกว่าตัวประกอบเพิ่มเติมตามลำดับสำหรับเศษส่วนที่หนึ่งและสอง

การบวกและการลบเศษส่วน

การบวกเศษส่วนกำหนดไว้ดังนี้

.

ตัวอย่างเช่น,

.

ถ้า ก ข = ง, แล้ว

.

ซึ่งหมายความว่าในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน ก็เพียงพอแล้วที่จะบวกตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม ตัวอย่างเช่น,

.

หากมีการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน เศษส่วนมักจะถูกลดให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด แล้วจึงเพิ่มตัวเศษ ตัวอย่างเช่น,

.

พิจารณาตัวอย่างการเพิ่มนิพจน์เศษส่วนด้วยตัวแปร

ตัวอย่างที่ 3แปลงนิพจน์เป็นเศษส่วน

.

วิธีการแก้. มาหาตัวหารร่วมน้อยกัน ในการทำเช่นนี้ ขั้นแรกให้แยกตัวประกอบของตัวส่วน

เศษส่วนเป็นตัวเลขธรรมดา บวกและลบได้ แต่เนื่องจากมีตัวส่วนจึงจำเป็นต้องมีกฎที่ซับซ้อนมากกว่าสำหรับจำนวนเต็ม

พิจารณากรณีที่ง่ายที่สุด เมื่อมีเศษส่วนสองส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน แล้ว:

ในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน ให้เพิ่มตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง

ในการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน จำเป็นต้องลบตัวเศษของวินาทีออกจากตัวเศษของเศษส่วนแรก และปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง

ในแต่ละนิพจน์ ตัวส่วนของเศษส่วนจะเท่ากัน ตามนิยามของการบวกและการลบเศษส่วน เราได้รับ:

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อน แค่บวกหรือลบตัวเศษ เท่านี้ก็เรียบร้อย

แต่แม้ในการกระทำง่ายๆ เช่นนี้ ผู้คนก็ยังทำผิดพลาดได้ บ่อยครั้งที่พวกเขาลืมว่าตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น เมื่อบวกเข้าไป พวกเขาก็เริ่มบวกด้วย และนี่ถือเป็นความผิดโดยพื้นฐาน

การกำจัดนิสัยที่ไม่ดีในการบวกตัวส่วนนั้นค่อนข้างง่าย ลองทำเช่นเดียวกันเมื่อลบ เป็นผลให้ตัวส่วนเป็นศูนย์และเศษส่วน (ทันใดนั้น!) จะหมดความหมาย

ดังนั้นจำไว้ทุกครั้ง: เมื่อเพิ่มและลบตัวส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง!

นอกจากนี้ หลายคนทำผิดพลาดเมื่อบวกลบเศษส่วนหลายตัว มีความสับสนกับสัญญาณ: จะใส่เครื่องหมายลบและเครื่องหมายบวกที่ไหน

ปัญหานี้แก้ไขได้ง่ายมาก ก็เพียงพอแล้วที่จะจำไว้ว่าเครื่องหมายลบก่อนเครื่องหมายเศษส่วนสามารถโอนไปยังตัวเศษได้เสมอ และในทางกลับกัน และแน่นอนอย่าลืมกฎง่ายๆสองข้อ:

1. บวก ลบ ให้ ลบ;
2. เชิงลบสองรายการยืนยัน

ลองวิเคราะห์ทั้งหมดนี้ด้วยตัวอย่างเฉพาะ:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

ในกรณีแรก ทุกอย่างเรียบง่าย และในกรณีที่สอง เราจะบวกลบให้กับตัวเศษ:

เกิดอะไรขึ้นถ้าตัวส่วนต่างกัน

คุณไม่สามารถบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันได้โดยตรง อย่างน้อยฉันก็ไม่รู้จักวิธีนี้ อย่างไรก็ตาม เศษส่วนเดิมสามารถเขียนซ้ำได้เสมอเพื่อให้ตัวส่วนเท่ากัน

มีหลายวิธีในการแปลงเศษส่วน มีการกล่าวถึงสามคนในบทเรียน " การนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม" ดังนั้นเราจะไม่พูดถึงพวกเขาที่นี่ ลองมาดูตัวอย่าง:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

ในกรณีแรก เรานำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วมโดยใช้วิธี "กากบาท" ประการที่สอง เราจะมองหา LCM โปรดทราบว่า 6 = 2 3; 9 = 3 · 3 ปัจจัยสุดท้ายในการขยายเหล่านี้มีค่าเท่ากัน และปัจจัยแรกคือ coprime ดังนั้น LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18

จะทำอย่างไรถ้าเศษส่วนมีส่วนเป็นจำนวนเต็ม

ฉันสามารถทำให้คุณพอใจ: ตัวส่วนของเศษส่วนที่แตกต่างกันไม่ใช่ความชั่วร้ายที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ข้อผิดพลาดจำนวนมากเกิดขึ้นเมื่อส่วนทั้งหมดถูกเน้นในเงื่อนไขที่เป็นเศษส่วน

แน่นอนว่าสำหรับเศษส่วนดังกล่าวมีอัลกอริธึมการบวกและการลบของตัวเอง แต่ค่อนข้างซับซ้อนและต้องใช้เวลาศึกษานาน ใช้ไดอะแกรมอย่างง่ายด้านล่างดีกว่า:

1. แปลงเศษส่วนทั้งหมดที่มีส่วนจำนวนเต็มเป็นตัวเศษ เราได้เงื่อนไขปกติ (แม้ว่าจะมีตัวส่วนต่างกัน) ซึ่งคำนวณตามกฎที่กล่าวถึงข้างต้น
2. ที่จริงแล้ว ให้คำนวณผลรวมหรือผลต่างของเศษส่วนที่ได้ เป็นผลให้เราพบคำตอบในทางปฏิบัติ
3. หากนี่คือทั้งหมดที่จำเป็นในงาน เราจะทำการแปลงผกผัน นั่นคือ เรากำจัดเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมโดยเน้นส่วนจำนวนเต็มในนั้น

กฎสำหรับการเปลี่ยนเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมและการเน้นส่วนจำนวนเต็มได้อธิบายไว้โดยละเอียดในบทเรียน "เศษส่วนที่เป็นตัวเลขคืออะไร" ถ้าจำไม่ได้อย่าลืมทำซ้ำ ตัวอย่าง:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ ตัวส่วนในแต่ละนิพจน์มีค่าเท่ากัน ดังนั้นจึงยังคงต้องแปลงเศษส่วนทั้งหมดเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมและนับ เรามี:

เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น ฉันได้ข้ามขั้นตอนที่เห็นได้ชัดเจนในตัวอย่างล่าสุด

หมายเหตุเล็กๆ ของสองตัวอย่างสุดท้าย ซึ่งเศษส่วนที่มีการเน้นจำนวนเต็มจะถูกลบออก ลบก่อนเศษส่วนที่สองหมายความว่าเป็นเศษส่วนทั้งหมดที่ถูกลบออก ไม่ใช่เฉพาะส่วนทั้งหมด

อ่านประโยคนี้อีกครั้ง ดูตัวอย่าง และคิดเกี่ยวกับมัน นี่คือจุดที่ผู้เริ่มต้นทำผิดพลาดมากมาย พวกเขาชอบที่จะให้งานดังกล่าวเป็นงานควบคุม คุณจะได้พบกับพวกเขาซ้ำๆ ในการทดสอบสำหรับบทเรียนนี้ ซึ่งจะเผยแพร่เร็วๆ นี้

สรุป: โครงร่างทั่วไปของคอมพิวเตอร์

โดยสรุป ฉันจะให้อัลกอริทึมทั่วไปที่จะช่วยคุณหาผลรวมหรือผลต่างของเศษส่วนตั้งแต่สองส่วนขึ้นไป:

1. ถ้าส่วนจำนวนเต็มถูกไฮไลท์เป็นเศษส่วนตั้งแต่หนึ่งส่วนขึ้นไป ให้แปลงเศษส่วนเหล่านี้เป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม
2. นำเศษส่วนทั้งหมดมาเป็นตัวส่วนร่วมด้วยวิธีใดก็ได้ที่สะดวกสำหรับคุณ (แน่นอนว่าคอมไพเลอร์ของปัญหาไม่ได้ทำเช่นนี้)
3. เพิ่มหรือลบตัวเลขที่เป็นผลลัพธ์ตามกฎสำหรับการบวกและการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
4. ลดผลลัพธ์หากเป็นไปได้ หากเศษส่วนไม่ถูกต้องให้เลือกส่วนทั้งหมด

จำไว้ว่าเป็นการดีกว่าที่จะเน้นส่วนทั้งหมดในตอนท้ายของงานก่อนที่จะเขียนคำตอบ