สองมีค่าเท่ากัน สูตรพีชคณิตเชิงตรรกศาสตร์ที่เทียบเท่ากัน

ส่วนที่ 2 ความเท่าเทียมกันทางตรรกะของสูตร รูปแบบปกติสำหรับสูตรพีชคณิตเชิงประพจน์

ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน

การใช้ตารางความจริงคุณสามารถสร้างชุดค่าความจริงของตัวแปรอินพุตที่สูตรจะใช้ค่าจริงหรือเท็จ (รวมถึงคำสั่งที่มีโครงสร้างตรรกะที่สอดคล้องกัน) ซึ่งสูตรจะเป็นซ้ำซ้อนหรือขัดแย้งและ ยังกำหนดว่าให้สองสูตรหรือไม่ เทียบเท่า.

ตามตรรกะ ประโยคสองประโยคจะเทียบเท่ากันหากเป็นจริงหรือเท็จทั้งคู่ คำว่า "พร้อมกัน" ในวลีนี้มีความคลุมเครือ ดังนั้น สำหรับประโยค “พรุ่งนี้จะเป็นวันอังคาร” และ “เมื่อวานเป็นวันอาทิตย์” คำนี้จึงมีความหมายตามตัวอักษร: ในวันจันทร์คำทั้งสองเป็นความจริง และในวันที่เหลือของสัปดาห์เป็นเท็จทั้งคู่ สำหรับสมการ” x = 2" และ " 2x = 4""พร้อมกัน" หมายถึง "ที่ค่าเดียวกันของตัวแปร" คำทำนาย “พรุ่งนี้ฝนจะตก” และ “พรุ่งนี้ฝนไม่ตกไม่เป็นความจริง” จะได้รับการยืนยันพร้อมกัน (กลายเป็นจริง) หรือไม่ได้รับการยืนยัน (กลายเป็นเท็จ) โดยพื้นฐานแล้ว นี่คือการคาดการณ์เดียวกันที่แสดงในรูปแบบที่แตกต่างกันสองรูปแบบ ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยสูตร เอ็กซ์และ . สูตรเหล่านี้มีทั้งจริงและเท็จ หากต้องการตรวจสอบ การสร้างตารางความจริงก็เพียงพอแล้ว:

เอ็กซ์
1	0	1
0	1	0

เราจะเห็นว่าค่าความจริงในคอลัมน์แรกและคอลัมน์สุดท้ายตรงกัน เป็นเรื่องปกติที่จะพิจารณาสูตรดังกล่าวตลอดจนประโยคที่เกี่ยวข้องให้เทียบเท่ากัน

สูตร F 1 และ F 2 กล่าวกันว่าเทียบเท่ากันหากสูตรที่เทียบเท่านั้นเป็นสูตรซ้ำซาก

ความเท่าเทียมกันของสองสูตรเขียนได้ดังนี้: (อ่าน: สูตร ฉ 1มีค่าเท่ากับสูตร ฉ 2).

มีสามวิธีในการตรวจสอบว่าสูตรเทียบเท่ากันหรือไม่: 1) สร้างสูตรที่เทียบเท่ากันและใช้ตารางความจริงเพื่อตรวจสอบว่าสูตรซ้ำซากหรือไม่; 2) สำหรับแต่ละสูตร ให้สร้างตารางความจริงและเปรียบเทียบผลลัพธ์สุดท้าย หากอยู่ในคอลัมน์ผลลัพธ์ที่มีค่าตัวแปรชุดเดียวกัน ค่าความจริงของทั้งสองสูตรเท่ากัน ดังนั้น สูตรจึงเท่ากัน 3) ใช้การแปลงที่เท่ากัน

ตัวอย่าง 2.1:ค้นหาว่าสูตรเทียบเท่ากันหรือไม่: 1) , ; 2) , .

1) ให้เราใช้วิธีแรกในการกำหนดความเท่าเทียมกันนั่นคือเราจะค้นหาว่าความเท่าเทียมกันของสูตรนั้นเป็นซ้ำซากหรือไม่

มาสร้างสูตรที่เทียบเท่ากัน: . สูตรผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรสองตัวที่แตกต่างกัน ( กและ ใน) และการดำเนินการ 6 รายการ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . ซึ่งหมายความว่าตารางความจริงที่เกี่ยวข้องจะมี 5 แถวและ 8 คอลัมน์:

ก	ใน
1	1	0	0	0	1	0	1
1	0	0	1	1	0	1	1
0	1	1	0	1	0	1	1
0	0	1	1	1	0	1	1

จากคอลัมน์สุดท้ายของตารางความจริง เป็นที่ชัดเจนว่าความเท่าเทียมที่สร้างขึ้นนั้นเป็นเรื่องซ้ำซาก ดังนั้น

2) เพื่อดูว่าสูตรเท่ากันหรือไม่ เราใช้วิธีที่สอง กล่าวคือ เขียนตารางความจริงสำหรับแต่ละสูตรและเปรียบเทียบคอลัมน์ผลลัพธ์ - ความคิดเห็น- เพื่อที่จะใช้วิธีที่สองได้อย่างมีประสิทธิภาพ จำเป็นที่ตารางความจริงที่รวบรวมทั้งหมดจะเริ่มต้นเหมือนกัน กล่าวคือ ชุดของค่าตัวแปรเหมือนกันในแถวที่เกี่ยวข้อง .)

สูตรประกอบด้วยตัวแปรสองตัวที่แตกต่างกันและการดำเนินการ 2 รายการ ซึ่งหมายความว่าตารางความจริงที่สอดคล้องกันมี 5 แถวและ 4 คอลัมน์:

ก	ใน
1	1	1	0
1	0	0	1
0	1	1	0
0	0	1	0

สูตรประกอบด้วยตัวแปรสองตัวที่แตกต่างกันและการดำเนินการ 3 รายการ ซึ่งหมายความว่าตารางความจริงที่สอดคล้องกันมี 5 แถวและ 5 คอลัมน์:

ก	ใน
1	1	0	0	1
1	0	0	1	1
0	1	1	0	0
0	0	1	1	1

เมื่อเปรียบเทียบคอลัมน์ผลลัพธ์ของตารางความจริงที่คอมไพล์แล้ว (เนื่องจากตารางเริ่มต้นเหมือนกัน เราจึงไม่สามารถใส่ใจกับชุดของค่าตัวแปรได้) เราจึงเห็นว่าค่าเหล่านั้นไม่ตรงกัน ดังนั้นสูตรจึงไม่เทียบเท่ากัน ()

นิพจน์ไม่ใช่สูตร (เนื่องจากสัญลักษณ์ " " ไม่ได้อ้างอิงถึงการดำเนินการเชิงตรรกะใดๆ) มันแสดงออก ทัศนคติระหว่างสูตร (รวมถึงความเท่าเทียมกันระหว่างตัวเลข ความขนานระหว่างเส้น ฯลฯ)

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับคุณสมบัติของความสัมพันธ์สมมูลนั้นใช้ได้:

ทฤษฎีบท 2.1ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันระหว่างสูตรพีชคณิตเชิงประพจน์:

1) สะท้อนกลับ: ;

2) สมมาตร: ถ้า แล้ว ;

3) สกรรมกริยา: ถ้า และ แล้ว .

กฎแห่งตรรกะ

ความเท่าเทียมกันของสูตรตรรกะเชิงประพจน์มักเรียกว่า กฎแห่งตรรกะ- เราแสดงรายการที่สำคัญที่สุด:

1. – กฎแห่งตัวตน

2. – กฎแห่งการยกเว้นคนกลาง

3. – กฎแห่งความขัดแย้ง

4. – ความไม่ต่อเนื่องกับศูนย์

5. – เชื่อมต่อกับศูนย์

6. – ความแตกแยกด้วยความสามัคคี

7. – ร่วมกับหนึ่ง

8. – กฎแห่งการปฏิเสธสองครั้ง

9. – การสับเปลี่ยนของการร่วม

10. – การสับเปลี่ยนของการแตกแยก

11. – การเชื่อมโยงกัน

12. – ความสัมพันธ์ของการแตกแยก

13. – การกระจายของการร่วม

14. – การกระจายของการแตกแยก

15. – กฎแห่งความเป็นอมตะ

16. ; – กฎการดูดซึม

17. ; - กฎของเดอมอร์แกน

18. – กฎหมายที่แสดงความหมายโดยปริยาย

19. – กฎแห่งการตรงกันข้าม

20. – กฎหมายที่แสดงความเท่าเทียมกันผ่านการดำเนินการเชิงตรรกะอื่น ๆ

กฎแห่งตรรกะใช้เพื่อทำให้สูตรที่ซับซ้อนง่ายขึ้น และเพื่อพิสูจน์ความจริงหรือความเท็จที่เหมือนกันของสูตร

การแปลงที่เท่าเทียมกัน ลดความซับซ้อนของสูตร

หากสูตรเดียวกันถูกแทนที่ทุกที่แทนที่จะเป็นตัวแปรบางตัวเป็นสูตรที่เทียบเท่า สูตรที่ได้รับใหม่ก็จะกลายเป็นสูตรที่เทียบเท่ากันตามกฎการแทนที่ด้วย ด้วยวิธีนี้ เราสามารถรับความเท่าเทียมใหม่ได้มากเท่าที่ต้องการจากแต่ละความเท่าเทียมกัน

ตัวอย่างที่ 1:ถ้าอยู่ในกฎของเดอมอร์แกนแทน เอ็กซ์ทดแทนและแทน ยแทนที่ เราจะได้ความเท่าเทียมกันใหม่ ความถูกต้องของผลลัพธ์ที่เทียบเท่าสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายโดยใช้ตารางความจริง

ถ้าสูตรใดที่เป็นส่วนหนึ่งของสูตร เอฟให้แทนที่ด้วยสูตรที่เทียบเท่ากับสูตร จากนั้นสูตรที่ได้จะเทียบเท่ากับสูตร เอฟ.

จากนั้นสำหรับสูตรจากตัวอย่างที่ 2 สามารถทำการทดแทนต่อไปนี้ได้:

– กฎแห่งการปฏิเสธสองครั้ง

- กฎของเดอมอร์แกน;

– กฎแห่งการปฏิเสธสองครั้ง

– กฎแห่งการเชื่อมโยง

– กฎแห่งความเป็นอมตะ

ด้วยคุณสมบัติการผ่านของความสัมพันธ์สมมูล เราสามารถระบุได้ว่า .

การแทนที่สูตรหนึ่งด้วยอีกสูตรหนึ่งที่เทียบเท่ากับที่เรียกว่า การเปลี่ยนแปลงที่เท่าเทียมกัน สูตร

ภายใต้ ลดความซับซ้อน สูตรที่ไม่มีนัยและเครื่องหมายเทียบเท่าจะเข้าใจว่าเป็นการแปลงที่เทียบเท่าซึ่งนำไปสู่สูตรที่ไม่มีการปฏิเสธของสูตรที่ไม่ใช่พื้นฐาน (โดยเฉพาะผลลบสองเท่า) หรือมีเครื่องหมายร่วมและเครื่องหมายแยกรวมกันจำนวนน้อยกว่า อันเดิม

ตัวอย่าง 2.2:ลองจัดรูปสูตรให้ง่ายขึ้น .

ในขั้นตอนแรก เราใช้กฎหมายที่เปลี่ยนความหมายเป็นการแยกออกจากกัน ในขั้นตอนที่ 2 เราใช้กฎการสับเปลี่ยน ในขั้นตอนที่สาม เราใช้กฎแห่งความเป็นค่าเดิม ประการที่สี่คือกฎของเดอมอร์แกน และประการที่ห้าคือกฎแห่งการปฏิเสธสองครั้ง

หมายเหตุ 1- ถ้าสูตรใดสูตรหนึ่งเป็นสูตรซ้ำซาก สูตรใดๆ ที่เทียบเท่ากันก็จะถือเป็นสูตรซ้ำซากเช่นกัน

ดังนั้น การแปลงที่เท่ากันยังสามารถใช้เพื่อพิสูจน์ความจริงที่เหมือนกันของสูตรบางสูตรได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ต้องลดสูตรนี้ด้วยการแปลงที่เทียบเท่ากับสูตรใดสูตรหนึ่งที่ซ้ำซากจำเจ

หมายเหตุ 2- การซ้ำซ้อนและความเท่าเทียมกันบางอย่างจะรวมกันเป็นคู่ (กฎแห่งความขัดแย้งและกฎแห่งทางเลือก กฎการสับเปลี่ยน กฎการเชื่อมโยง ฯลฯ ) จดหมายเหล่านี้เปิดเผยสิ่งที่เรียกว่า หลักการของความเป็นคู่ .

เรียกว่าสูตรสองสูตรที่ไม่มีนัยและเครื่องหมายเทียบเท่า คู่ หากแต่ละอันสามารถได้รับจากที่อื่นโดยแทนที่เครื่องหมายตามลำดับด้วย

หลักการของความเป็นคู่ระบุไว้ดังต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท 2.2:ถ้าสองสูตรที่ไม่มีนัยและเครื่องหมายเทียบเท่ากัน สูตรที่เป็นคู่ก็จะเท่ากันเช่นกัน

แบบฟอร์มปกติ

ฟอร์มปกติเป็นวิธีการเขียนสูตรที่ชัดเจนทางวากยสัมพันธ์ที่ใช้ฟังก์ชันที่กำหนด

การใช้กฎตรรกะที่ทราบ สูตรใดๆ สามารถแปลงเป็นสูตรที่เทียบเท่าของแบบฟอร์มได้ โดยที่ และ แต่ละค่าเป็นตัวแปร หรือการปฏิเสธของตัวแปร หรือการรวมตัวแปรหรือการปฏิเสธของตัวแปรเหล่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง สูตรใดๆ สามารถลดลงเป็นสูตรที่เทียบเท่าของรูปแบบมาตรฐานอย่างง่าย ซึ่งจะเป็นการแยกองค์ประกอบ ซึ่งแต่ละองค์ประกอบเป็นการรวมกันของตัวแปรลอจิคัลที่แตกต่างกันแต่ละรายการไม่ว่าจะมีหรือไม่มีเครื่องหมายลบก็ตาม

ตัวอย่าง 2.3:ในสูตรขนาดใหญ่หรือระหว่างการแปลงหลายครั้ง เป็นธรรมเนียมที่จะต้องละเครื่องหมายร่วม (โดยการเปรียบเทียบกับเครื่องหมายคูณ): เราจะเห็นว่าหลังจากทำการแปลงแล้ว สูตรคือการแยกตัวของคำเชื่อมสามคำ

แบบฟอร์มนี้เรียกว่า รูปแบบปกติที่ไม่ต่อเนื่องกัน (ดีเอ็นเอฟ) องค์ประกอบ DNF แต่ละรายการเรียกว่า การรวมระดับประถมศึกษา หรือส่วนประกอบของหน่วย

ในทำนองเดียวกัน สูตรใดๆ สามารถลดลงเป็นสูตรที่เทียบเท่ากัน ซึ่งจะเป็นการรวมองค์ประกอบ ซึ่งแต่ละองค์ประกอบจะเป็นการแยกตัวแปรตรรกะโดยมีหรือไม่มีเครื่องหมายลบ นั่นคือแต่ละสูตรสามารถลดลงเป็นสูตรที่เทียบเท่าของแบบฟอร์มได้ โดยที่ และ แต่ละค่าเป็นตัวแปร หรือการปฏิเสธของตัวแปร หรือการแยกตัวแปรหรือการปฏิเสธของตัวแปร แบบฟอร์มนี้เรียกว่า รูปแบบปกติที่เชื่อมต่อกัน (เคเอ็นเอฟ)

ตัวอย่าง 2.4:

เรียกว่าองค์ประกอบแยกต่างหากของ CNF การแยกทางเบื้องต้น หรือองค์ประกอบของศูนย์

แน่นอนว่าทุกสูตรมี DNF และ CNF มากมายนับไม่ถ้วน

ตัวอย่าง 2.5:เรามาค้นหา DNF หลายรายการสำหรับสูตรกัน .

แบบฟอร์มปกติที่สมบูรณ์แบบ

SDNF (perfect DNF) คือ DNF ซึ่งแต่ละคำเชื่อมระดับประถมศึกษาประกอบด้วยประโยคพื้นฐานทั้งหมด หรือการปฏิเสธเพียงครั้งเดียว จะไม่เกิดซ้ำ

SKNF (perfect CNF) คือ CNF ซึ่งการแยกจากกันเบื้องต้นแต่ละครั้งจะมีประโยคพื้นฐานทั้งหมดหรือการปฏิเสธเพียงครั้งเดียว จะไม่เกิดซ้ำ

ตัวอย่าง 2.6: 1) – SDNF

2) 1 - เอสเคเอ็นเอฟ

ให้เรากำหนดคุณลักษณะเฉพาะของ SDNF (SCNF)

1) สมาชิกทั้งหมดของการแยกส่วน (การเชื่อมต่อ) นั้นแตกต่างกัน

2) สมาชิกทั้งหมดของแต่ละร่วม (แยก) จะแตกต่างกัน

3) ไม่มีการรวม (การแยกส่วน) มีทั้งตัวแปรและการปฏิเสธ

4) การรวมแต่ละอัน (การแยกส่วน) มีตัวแปรทั้งหมดที่รวมอยู่ในสูตรดั้งเดิม

ดังที่เราเห็น คุณลักษณะที่เป็นลักษณะเฉพาะ (แต่ไม่ใช่รูปแบบ!) เป็นไปตามคำจำกัดความของความเป็นคู่ ดังนั้นจึงเพียงพอแล้วที่จะเข้าใจรูปแบบเดียวเพื่อเรียนรู้วิธีได้รับทั้งสองอย่าง

จาก DNF (CNF) โดยใช้การแปลงที่เทียบเท่ากัน เราสามารถรับ SDNF (SKNF) ได้อย่างง่ายดาย เนื่องจากกฎสำหรับการได้รับรูปแบบปกติที่สมบูรณ์แบบนั้นเป็นแบบคู่ เราจะวิเคราะห์รายละเอียดกฎสำหรับการได้รับ SDNF และกำหนดกฎสำหรับการได้รับ SCNF ด้วยตนเอง โดยใช้คำจำกัดความของความเป็นคู่

กฎทั่วไปในการลดสูตรเป็น SDNF โดยใช้การแปลงที่เทียบเท่าคือ:

เพื่อที่จะให้สูตร เอฟซึ่งไม่ได้เป็นเท็จเหมือนกัน สำหรับ SDNF ก็เพียงพอแล้ว:

1) พาเธอไปสู่ ​​DNF บางประเภท

2) ลบเงื่อนไขของการแยกที่มีตัวแปรพร้อมกับการปฏิเสธ (ถ้ามี)

3) ลบเงื่อนไขที่เหมือนกันทั้งหมดยกเว้นข้อใดข้อหนึ่ง (ถ้ามี)

4) จากสมาชิกที่เหมือนกันของแต่ละสันธาน (ถ้ามี) ให้ลบทั้งหมดยกเว้นอันเดียว

5) ถ้าการรวมใดๆ ไม่มีตัวแปรจากตัวแปรต่างๆ ที่รวมอยู่ในสูตรดั้งเดิม ให้เพิ่มคำศัพท์ให้กับการเชื่อมนี้ และใช้กฎการกระจายที่เกี่ยวข้อง

6) หากการแยกส่วนที่เกิดขึ้นมีคำศัพท์ที่เหมือนกัน ให้ใช้ใบสั่งยา 3

สูตรผลลัพธ์คือ SDNF ของสูตรนี้

ตัวอย่าง 2.7:มาหา SDNF และ SCNF สำหรับสูตรกัน .

เนื่องจากพบ DNF สำหรับสูตรนี้แล้ว (ดูตัวอย่าง 2.5) เราจะเริ่มต้นด้วยการรับ SDNF:

2) ในการแยกส่วนที่เกิดขึ้นนั้นไม่มีตัวแปรพร้อมกับการปฏิเสธ

3) ไม่มีสมาชิกที่เหมือนกันในการแยกทาง;

4) ไม่ใช่คำร่วมเดียวที่มีตัวแปรที่เหมือนกัน

5) การรวมระดับประถมศึกษาครั้งแรกมีตัวแปรทั้งหมดที่รวมอยู่ในสูตรดั้งเดิม และการรวมระดับประถมศึกษาครั้งที่สองไม่มีตัวแปร zเรามาเพิ่มสมาชิกเข้าไปแล้วใช้กฎการกระจาย: ;

6) สังเกตได้ง่ายว่ามีคำที่เหมือนกันปรากฏขึ้นในการแยกออกจากกัน ดังนั้นเราจึงลบหนึ่งคำออก (ใบสั่งยา 3)

3) ลบการแยกที่เหมือนกันอย่างใดอย่างหนึ่ง: ;

4) การแยกที่เหลือไม่มีเงื่อนไขที่เหมือนกัน

5) ไม่มีการแยกย่อยเบื้องต้นที่มีตัวแปรทั้งหมดที่รวมอยู่ในสูตรดั้งเดิม ดังนั้นมาเสริมแต่ละตัวด้วยการเชื่อม: ;

6) ในการรวมกันที่เป็นผลลัพธ์นั้นไม่มีการแยกที่เหมือนกัน ดังนั้นรูปแบบการเชื่อมต่อที่พบจึงสมบูรณ์แบบ

เนื่องจากในการรวมสูตร SKNF และ SDNF เอฟสมาชิก 8 คน ส่วนใหญ่แล้วน่าจะพบถูกต้อง

แต่ละสูตรที่เป็นไปได้ (ปลอมแปลงได้) มี SDNF ที่ไม่ซ้ำกันหนึ่งรายการและ SCNF ที่ไม่ซ้ำกันหนึ่งรายการ การซ้ำซากไม่มี SKNF แต่ความขัดแย้งไม่มี SKNF

คำนิยาม. สมการสองสมการ f 1 (x) = g 1 (x) และ f 2 (x) = g 2 (x) เรียกว่าเทียบเท่าหากเซตของรากตรงกัน

ตัวอย่างเช่นสมการ x 2 - 9 = 0 และ (2 เอ็กซ์ + 6)(เอ็กซ์- 3) = 0 มีค่าเท่ากัน เนื่องจากทั้งคู่มีเลข 3 และ -3 เป็นราก สมการ (3 เอ็กซ์ + 1)-2 = x2- +1 และ x2+ 1 = 0 เนื่องจากทั้งคู่ไม่มีราก กล่าวคือ รากของมันตรงกัน

คำนิยาม. การแทนที่สมการด้วยสมการที่เทียบเท่ากันเรียกว่าการแปลงที่เทียบเท่ากัน

ตอนนี้เรามาดูกันว่าการแปลงแบบใดที่ทำให้เราได้สมการที่เท่ากัน

ทฤษฎีบท 1ให้สมการ ฉ(x) และ ก(x)ที่กำหนดไว้ในชุดและ ชม.(x) เป็นนิพจน์ที่กำหนดไว้ในชุดเดียวกัน แล้วสมการ ฉ(x) = ก(x)(1)และ ฉ(x) + ชม(x) =ก(x) + ชม(x) (2) เทียบเท่ากัน

การพิสูจน์. ให้เราแสดงโดย ที 1 -ชุดคำตอบของสมการ (1) และผ่าน ที 2 -ชุดคำตอบของสมการ (2) จากนั้นสมการ (1) และ (2) จะเท่ากันถ้า ที 1 = ที 2เพื่อตรวจสอบสิ่งนี้ จำเป็นต้องแสดงว่ารากใด ๆ ของ ที 1คือรากของสมการ (2) และในทางกลับกัน คือรากใดๆ ของ ที 2คือรากของสมการ (1)

ให้เบอร์. ก- รากของสมการ (1) แล้ว ก? ที 1และเมื่อแทนลงในสมการ (1) จะกลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริง ฉ(ก) = ก(ก)และการแสดงออก ชั่วโมง(x)แปลงเป็นนิพจน์ตัวเลข ชม.(ก) ซึ่งสมเหตุสมผลกับฉากนี้ เอ็กซ์ลองบวกทั้งสองข้างของความเสมอภาคที่แท้จริงดู ฉ(ก) = ก(ก)นิพจน์ตัวเลข ชม.(ก- ตามคุณสมบัติของความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริง เราได้รับความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริง ฉ(ก) + ชม(ก) =ก(ก) + ชม(ก) ซึ่งแสดงว่าเป็นตัวเลข กคือรากของสมการ (2)

ดังนั้นจึงได้รับการพิสูจน์แล้วว่าทุกรากของสมการ (1) ก็เป็นรากของสมการ (2) เช่นกัน นั่นคือ ที 1กับ ที 2.

ปล่อยให้มันตอนนี้ เอ -รากของสมการ (2) แล้ว ก? ที 2และเมื่อแทนลงในสมการ (2) จะกลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริง ฉ(ก) + ชม(ก) =ก(ก) + ชม(ก- ลองเพิ่มนิพจน์ตัวเลขให้กับทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันนี้ - ชม.(ก) เราได้รับความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริง ฉ(x) = ก(x)ซึ่งบ่งบอกว่าจำนวนนั้น เอ -รากของสมการ (1)

ดังนั้นจึงได้รับการพิสูจน์แล้วว่าทุกรากของสมการ (2) ก็เป็นรากของสมการ (1) เช่นกัน นั่นคือ ที 2กับ ที 1.

เพราะ ที 1กับ ที 2และ ที 2กับ ที 1แล้วตามนิยามของเซตที่เท่ากัน ที 1= ที 2ซึ่งหมายความว่าสมการ (1) และ (2) เท่ากัน

ทฤษฎีบทนี้สามารถกำหนดได้แตกต่างกัน: ถ้าทั้งสองด้านของสมการมีโดเมนของคำจำกัดความ เอ็กซ์เพิ่มนิพจน์เดียวกันกับตัวแปรที่กำหนดไว้ในชุดเดียวกัน จากนั้นเราจะได้สมการใหม่ที่เทียบเท่ากับสมการที่กำหนด

จากทฤษฎีบทนี้มีข้อพิสูจน์ที่ใช้ในการแก้สมการ:

1. ถ้าเราบวกจำนวนเดียวกันทั้งสองข้างของสมการ เราจะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการที่ให้มา

2. หากคำศัพท์ใดๆ (นิพจน์ตัวเลขหรือนิพจน์ที่มีตัวแปร) ถูกถ่ายโอนจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่ง โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของคำศัพท์ไปเป็นตรงกันข้าม เราจะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการที่กำหนด

ทฤษฎีบท 2ให้สมการ ฉ(x) = ก(x)ที่กำหนดไว้ในชุด เอ็กซ์และ ชั่วโมง(x) -นิพจน์ที่กำหนดไว้ในชุดเดียวกันและไม่หายไปจากค่าใดๆ เอ็กซ์จากหลาย ๆ คน เอ็กซ์แล้วสมการ ฉ(x) = ก(x)และ ฉ(x) ชม(x) =ก(x) ชม(x) เทียบเท่ากัน

การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้คล้ายกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 1

ทฤษฎีบท 2 สามารถกำหนดได้แตกต่างกัน: ถ้าทั้งสองด้านของสมการมีโดเมน เอ็กซ์คูณด้วยนิพจน์เดียวกันซึ่งกำหนดไว้ในเซตเดียวกันและไม่หายไป จากนั้นเราจะได้สมการใหม่ที่เทียบเท่ากับสมการที่กำหนด

ข้อพิสูจน์ดังต่อไปนี้จากทฤษฎีบทนี้: ถ้าทั้งสองข้างของสมการคูณ (หรือหาร) ด้วยจำนวนเดียวกันที่ไม่ใช่ศูนย์ เราจะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการที่ให้มา

การแก้สมการในตัวแปรเดียว

มาแก้สมการ 1- x/3 = x/6, x ? รและเราจะพิสูจน์การเปลี่ยนแปลงทั้งหมดที่เราจะดำเนินการในกระบวนการแก้ปัญหา

การเปลี่ยนแปลง	เหตุผลสำหรับการเปลี่ยนแปลง
1. ลองนำนิพจน์ทางด้านซ้ายและด้านขวาของสมการมาเป็นตัวส่วนร่วม: (6-2 เอ็กซ์)/ 6 = เอ็กซ์/6	เราทำการแปลงนิพจน์ทางด้านซ้ายของสมการเหมือนกัน
2. ทิ้งตัวส่วนร่วม: 6-2 เอ็กซ์ = เอ็กซ์	เราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 (ทฤษฎีบท 2) และได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการนี้
3. เราถ่ายโอนนิพจน์ -2x ไปทางด้านขวาของสมการโดยมีเครื่องหมายตรงข้าม: 6 = เอ็กซ์+2เอ็กซ์.	เราใช้ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบท 1 และได้รับสมการที่เทียบเท่ากับสมการก่อนหน้าและด้วยเหตุนี้จึงได้สมการที่กำหนด
4. เรานำเสนอพจน์ที่คล้ายกันทางด้านขวาของสมการ: 6 = 3 เอ็กซ์.	ดำเนินการเปลี่ยนแปลงเอกลักษณ์ของนิพจน์
5. หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 3: เอ็กซ์ = 2.	เราใช้ข้อพิสูจน์จากทฤษฎีบทที่ 2 และได้รับสมการที่เทียบเท่ากับสมการก่อนหน้า และด้วยเหตุนี้จึงได้สมการนี้

เนื่องจากการแปลงทั้งหมดที่เราทำเมื่อแก้สมการนี้เท่ากัน เราจึงบอกได้ว่า 2 เป็นรากของสมการนี้

หากในกระบวนการแก้สมการไม่ตรงตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท 1 และ 2 การสูญเสียรากอาจเกิดขึ้นหรือรากภายนอกอาจปรากฏขึ้น ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญเมื่อต้องแปลงสมการเพื่อให้ได้สมการที่ง่ายกว่าเพื่อให้แน่ใจว่าสมการเหล่านั้นนำไปสู่สมการที่เทียบเท่ากับสมการที่กำหนด

ลองพิจารณาสมการเป็นตัวอย่าง เอ็กซ์(เอ็กซ์ - 1) = 2x,x? ร- ลองหารทั้งสองส่วนด้วย เอ็กซ์เราจะได้สมการ เอ็กซ์ - 1 = 2 ดังนั้น เอ็กซ์= 3 เช่น สมการนี้มีรากเดียว - เลข 3 แต่นี่เป็นเรื่องจริงหรือไม่? จะดูง่ายว่าถ้าอยู่ในสมการนี้แทนที่จะเป็นตัวแปร เอ็กซ์แทนที่ 0 จะเปลี่ยนเป็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แท้จริง 0·(0 - 1) = 2·0 ซึ่งหมายความว่า 0 คือรากของสมการนี้ ซึ่งเราสูญเสียไปเมื่อทำการแปลง มาวิเคราะห์กัน สิ่งแรกที่เราทำคือหารทั้งสองข้างของสมการด้วย เอ็กซ์,เหล่านั้น. คูณด้วยนิพจน์1/ xแต่ที่ เอ็กซ์= โอ้ มันไม่สมเหตุสมผลเลย ดังนั้นเราจึงไม่ปฏิบัติตามเงื่อนไขของทฤษฎีบทที่ 2 ซึ่งนำไปสู่การสูญเสียราก

เพื่อให้แน่ใจว่าเซตรากของสมการนี้ประกอบด้วยตัวเลข 0 และ 3 สองตัว เราขอนำเสนอวิธีแก้อีกวิธีหนึ่ง มาย้ายนิพจน์ 2 กันเถอะ เอ็กซ์จากขวาไปซ้าย: x(x- 1) - 2x = 0 ลองเอามันออกจากวงเล็บทางด้านซ้ายของสมการ เอ็กซ์และให้คำที่คล้ายกัน: เอ็กซ์(เอ็กซ์ - 3) = 0. ผลคูณของสองปัจจัยจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่ออย่างน้อยหนึ่งในนั้นเท่ากับศูนย์เท่านั้น x= 0 หรือ เอ็กซ์- 3 = 0 จากตรงนี้ เราจะเห็นว่ารากของสมการนี้คือ 0 และ 3

ในหลักสูตรคณิตศาสตร์เบื้องต้น พื้นฐานทางทฤษฎีสำหรับการแก้สมการคือความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบและผลลัพธ์ของการกระทำ เช่น การแก้สมการ ( เอ็กซ์·9):24 = 3 ให้เหตุผลดังนี้ เนื่องจากสิ่งที่ไม่ทราบอยู่ในเงินปันผล หากต้องการหาเงินปันผล คุณต้องคูณตัวหารด้วยผลหาร: เอ็กซ์·9 = 24·3 หรือ เอ็กซ์·9 = 72.

หากต้องการค้นหาปัจจัยที่ไม่ทราบ คุณต้องหารผลคูณด้วยปัจจัยที่ทราบ: x= 72:9 หรือ x= 8 ดังนั้น รากของสมการนี้คือเลข 8

แบบฝึกหัด

1 - พิจารณาว่ารายการใดต่อไปนี้เป็นสมการในตัวแปรตัวเดียว:

ก) ( เอ็กซ์-3) 5 = 12 เอ็กซ์- ง) 3 + (12-7) 5 = 16;

ข) ( เอ็กซ์-3)·5 = 12; ง) ( เอ็กซ์-3)· ย =12เอ็กซ์;

วี) ( เอ็กซ์-3) 17 + 12; จ) x 2 - 2x + 5 = 0.

2. สมการที่ 2 เอ็กซ์ 4 + 4เอ็กซ์ 2 -6 = 0 ถูกกำหนดไว้บนเซตของจำนวนธรรมชาติ อธิบายว่าเหตุใดเลข 1 จึงเป็นรากของสมการ แต่ 2 และ -1 ไม่ใช่รากของมัน

3. ในสมการ ( เอ็กซ์+ ...)(2เอ็กซ์ + 5) - (เอ็กซ์ - 3)(2เอ็กซ์+ 1) = 20 ลบตัวเลขหนึ่งตัวและแทนที่ด้วยจุด ค้นหาตัวเลขที่ถูกลบถ้าคุณรู้ว่ารากของสมการนี้คือเลข 2

4. กำหนดเงื่อนไขภายใต้การที่:

ก) หมายเลข 5 คือรากของสมการ ฉ(x) = ก(x);

b) หมายเลข 7 ไม่ใช่รากของสมการ ฉ(x) = ก(x).

5. พิจารณาว่าสมการคู่ใดต่อไปนี้เทียบเท่ากับเซตของจำนวนจริง:

ก) 3 + 7 เอ็กซ์= -4 และ 2(3 + 7l เอ็กซ์) = -8;

6)3 + 7เอ็กซ์= -4 และ 6 + 7 เอ็กซ์ = -1;

ค)3 + 7 เอ็กซ์= -4 และล เอ็กซ์ + 2 = 0.

6. กำหนดคุณสมบัติของความสัมพันธ์สมการสมการ ข้อใดใช้ในกระบวนการแก้สมการ?

7. แก้สมการ (สมการทั้งหมดถูกกำหนดไว้บนเซตของจำนวนจริง) และจัดชิดขอบการแปลงทั้งหมดที่ดำเนินการในกระบวนการลดความซับซ้อน:

ก)(7 x+4)/2 – x = (3x-5)/2;

ข) x –(3x-2)/5 = 3 – (2x-5)/3;

ค)(2- เอ็กซ์)2-เอ็กซ์ (เอ็กซ์ + 1,5) = 4.

8. นักเรียนแก้สมการที่ 5 เอ็กซ์ + 15 = 3 เอ็กซ์+ 9 ดังนี้ ผมเอาเลข 5 ออกจากวงเล็บด้านซ้าย และเลข 3 ทางด้านขวา แล้วได้สมการ 5(x+ 3) = 3(เอ็กซ์+ 3) แล้วแบ่งทั้งสองด้านออกเป็นนิพจน์ เอ็กซ์+ 3 ผมได้ค่าความเท่าเทียมกัน 5 = 3 และสรุปว่าสมการนี้ไม่มีราก นักเรียนพูดถูกไหม?

9. แก้สมการ 2/(2- x) – ½ = 4/((2- x)x); เอ็กซ์? ร- หมายเลข 2 เป็นรากของสมการนี้หรือไม่?

10. แก้สมการโดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่างส่วนประกอบและผลลัพธ์ของการกระทำ:

ก) ( เอ็กซ์+70) 4 = 328; ค) (85 เอ็กซ์ + 765): 170 = 98;

ข) 560: ( เอ็กซ์+9) - 56; ก) ( เอ็กซ์ - 13581):709 = 306.

11. แก้ปัญหาโดยใช้วิธีทางคณิตศาสตร์และพีชคณิต:

ก) มีหนังสือ 16 เล่มบนชั้นแรกมากกว่าชั้นสอง หากคุณนำหนังสือ 3 เล่มออกจากแต่ละชั้น จะมีหนังสือบนชั้นแรกมากกว่าชั้นที่สองถึง 1.5 เท่า แต่ละชั้นมีหนังสือกี่เล่ม?

ข) นักปั่นจักรยานเดินทางตลอดระยะทางจากที่ตั้งแคมป์ถึงสถานี เท่ากับ 26 กม. ใน 1 ชั่วโมง 10 นาที ในช่วง 40 นาทีแรกของครั้งนี้เขาขับรถด้วยความเร็วหนึ่ง และส่วนที่เหลือด้วยความเร็วน้อยกว่า 3 กม./ชม. ค้นหาความเร็วของนักปั่นจักรยานในส่วนแรกของการเดินทาง

1. ผู้เล่นสองคนที่เท่ากันเล่นเกมที่ไม่มีเสมอกัน ความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นคนแรกจะชนะคือเท่าไร: ก) หนึ่งเกมจากสองเกม? b) สองในสี่? c) สามในหก?

คำตอบ:ก) ; ข) ; วี)

3. ส่วนงาน เอบีคั่นด้วยจุด กับในอัตราส่วน 2:1 จะมีการสุ่มสี่แต้มในส่วนนี้ ค้นหาความน่าจะเป็นที่สองคนจะอยู่ทางซ้ายของจุด C และอีกสองอยู่ทางขวา

คำตอบ:

4. จงหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น 70 ครั้งพอดีในการทดลอง 243 ครั้ง ถ้าความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นในการทดลองแต่ละครั้งคือ 0.25

คำตอบ: .

5. ความน่าจะเป็นที่จะมีลูกคือ 0.515 จงหาความน่าจะเป็นที่ทารกแรกเกิด 100 คน จะมีเด็กชายและเด็กหญิงจำนวนเท่ากัน

คำตอบ: 0,0782

6. ทางร้านรับขวดแก้วจำนวน 500 ขวด ความน่าจะเป็นที่ขวดจะแตกระหว่างการขนส่งคือ 0.003 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ร้านค้าจะได้รับขวดที่แตก: ก) สองอย่างแน่นอน; b) น้อยกว่าสอง; c) อย่างน้อยสอง; d) อย่างน้อยหนึ่งรายการ

คำตอบ:ก) 0.22; ข) 0.20; ค) 0.80; ง) 0.95

7. โรงงานผลิตรถยนต์ 80% ผลิตรถยนต์โดยไม่มีข้อบกพร่องที่สำคัญ ความน่าจะเป็นที่รถยนต์ 600 คันที่ส่งมอบจากโรงงานไปยังศูนย์แลกเปลี่ยนรถยนต์จะมีรถยนต์อย่างน้อย 500 คันที่ไม่มีข้อบกพร่องที่สำคัญเป็นเท่าใด

คำตอบ: 0,02.

8. ต้องโยนเหรียญกี่ครั้งจึงจะมีความน่าจะเป็น 0.95 ความถี่สัมพัทธ์ของการปรากฏตัวของแขนเสื้อจะเบี่ยงเบนไปจากความน่าจะเป็น ร=0.5 ลักษณะตราอาร์มที่มีการโยนเหรียญหนึ่งเหรียญไม่เกิน 0.02?

คำตอบ: น ≥ 2401.

9. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในแต่ละเหตุการณ์อิสระ 100 เหตุการณ์นั้นคงที่และเท่ากับ พี=0.8. ค้นหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น ก) อย่างน้อย 75 ครั้ง และไม่เกิน 90 ครั้ง b) อย่างน้อย 75 ครั้ง; c) ไม่เกิน 74 ครั้ง

คำตอบ:ก) , ข) , ค) .

10. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในแต่ละการทดลองอิสระคือ 0.2 ค้นหาค่าเบี่ยงเบนของความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดเหตุการณ์จากความน่าจะเป็นที่สามารถคาดหวังได้ โดยมีความน่าจะเป็น 0.9128 กับการทดลอง 5,000 ครั้ง

คำตอบ:

11. ต้องโยนเหรียญกี่ครั้งจึงจะมีความน่าจะเป็น 0.6 เราสามารถคาดหวังได้ว่าการเบี่ยงเบนของความถี่สัมพัทธ์ของลักษณะของแขนเสื้อจากความน่าจะเป็น พี=0.5 จะไม่เกิน 0.01 ในค่าสัมบูรณ์

คำตอบ: น = 1764.

12. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในแต่ละการทดลองอิสระ 10,000 ครั้งคือ 0.75 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดเหตุการณ์จะเบี่ยงเบนไปจากความน่าจะเป็นในค่าสัมบูรณ์ไม่เกิน 0.01

คำตอบ: .

13. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในแต่ละการทดลองอิสระคือ 0.5 ค้นหาจำนวนการทดลอง nโดยที่ด้วยความน่าจะเป็น 0.7698 เราสามารถคาดหวังได้ว่าความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดเหตุการณ์จะเบี่ยงเบนไปจากความน่าจะเป็นในค่าสัมบูรณ์ไม่เกิน 0.02

เปิดบทเรียนคณิตศาสตร์ “โครงการแบร์นูลลี การแก้ปัญหาโดยใช้โครงการแบร์นูลลีและลาปลาซ”

การสอน: การได้รับทักษะและความสามารถในการทำงานร่วมกับโครงการ Bernoulli เพื่อคำนวณความน่าจะเป็น

พัฒนาการ: การพัฒนาทักษะการนำความรู้ไปใช้ในทางปฏิบัติ การพัฒนาและพัฒนาการคิดเชิงฟังก์ชันของนักเรียน การพัฒนาทักษะการเปรียบเทียบ การวิเคราะห์และการสังเคราะห์ ทักษะการทำงานเป็นคู่ การขยายคำศัพท์ทางวิชาชีพ

วิธีเล่นเกมนี้:

ทางการศึกษา: ปลูกฝังความสนใจในวิชานี้ผ่านการประยุกต์ใช้ทฤษฎีในทางปฏิบัติ บรรลุการดูดซึมสื่อการศึกษาอย่างมีสติโดยนักเรียน การพัฒนาความสามารถในการทำงานเป็นทีม การใช้คำศัพท์คอมพิวเตอร์อย่างถูกต้อง ความสนใจในวิทยาศาสตร์ การเคารพในวิชาชีพในอนาคต

ความรู้ทางวิทยาศาสตร์: บ

ประเภทบทเรียน: บทเรียนรวม:

• การรวมเนื้อหาที่ครอบคลุมในคลาสก่อนหน้า
• เฉพาะเรื่อง เทคโนโลยีสารสนเทศและปัญหา
• ลักษณะทั่วไปและการรวมเนื้อหาที่ศึกษาในบทเรียนนี้

วิธีการสอน: อธิบาย - อธิบาย, อิงปัญหา

การควบคุมความรู้ การสำรวจหน้าผาก การแก้ปัญหา การนำเสนอ

วัสดุและอุปกรณ์ทางเทคนิคของบทเรียน คอมพิวเตอร์, โปรเจคเตอร์มัลติมีเดีย

การสนับสนุนด้านระเบียบวิธี: เอกสารอ้างอิง, การนำเสนอในหัวข้อบทเรียน, ปริศนาอักษรไขว้

ความคืบหน้าของบทเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร: 5 นาที

(การทักทายกลุ่มความพร้อมในชั้นเรียน)

2. แบบทดสอบความรู้:

ตรวจคำถามจากสไลด์ด้านหน้า 10 นาที

• คำจำกัดความของหัวข้อ “ทฤษฎีความน่าจะเป็น”
• แนวคิดพื้นฐานของหัวข้อ “ทฤษฎีความน่าจะเป็น”
• “ทฤษฎีความน่าจะเป็น” ศึกษาเหตุการณ์ใดบ้าง
• ลักษณะของเหตุการณ์สุ่ม
• คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น

สรุป.. 5 นาที

3. การแก้ปัญหาเป็นแถว: 5 นาที

ภารกิจที่ 1. โยนลูกเต๋า ความน่าจะเป็นที่เลขทอยเป็นเลขคู่และน้อยกว่า 5 เป็นเท่าไหร่?

ปัญหาที่ 2 ในกล่องมีหลอดวิทยุที่เหมือนกันทั้งหมดเก้าหลอด ซึ่งใช้ไปแล้วสามหลอด ในระหว่างวันทำงานช่างจะต้องนำท่อวิทยุสองท่อไปซ่อมอุปกรณ์ ความน่าจะเป็นที่หลอดไฟทั้งสองดวงถูกใช้ไปเป็นเท่าใด

ปัญหาที่ 3 มีภาพยนตร์สามเรื่องฉายในโรงภาพยนตร์สามโรง ความน่าจะเป็นที่ในบางชั่วโมงจะมีตั๋วที่บ็อกซ์ออฟฟิศของฮอลล์ที่ 1 คือ 0.3 ที่บ็อกซ์ออฟฟิศของฮอลล์ที่ 2 - 0.2 และที่บ็อกซ์ออฟฟิศของฮอลล์ที่ 3 - 0.4 ความน่าจะเป็นที่ในเวลาที่กำหนดจะสามารถซื้อตั๋วสำหรับภาพยนตร์อย่างน้อยหนึ่งเรื่องได้เป็นเท่าใด

4. ตรวจสอบที่กระดานว่าจะแก้ไขปัญหาอย่างไร ภาคผนวก 1. 5 นาที

ข้อสรุปที่ 5 เกี่ยวกับการแก้ปัญหา:

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจะเท่ากันสำหรับแต่ละงาน: m และ n – const

6. การตั้งเป้าหมายผ่านงาน: 5 นาที

งาน. ผู้เล่นหมากรุกที่เท่ากันสองคนเล่นหมากรุก ความน่าจะเป็นที่จะชนะสองเกมจากสี่เกมเป็นเท่าไหร่?

ความน่าจะเป็นที่จะชนะสามเกมจากหกเกมคือเท่าไร (ไม่คำนึงถึงการเสมอกัน)?

คำถาม. คิดและตั้งชื่อว่าคำถามในงานนี้แตกต่างจากคำถามในงานก่อนหน้าอย่างไร

จากการให้เหตุผลและการเปรียบเทียบ จะได้คำตอบ: ในคำถาม m และ n ต่างกัน

7. หัวข้อบทเรียน:

การคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งที่เกิดขึ้น 1 ครั้งจากการทดลอง n ครั้งที่ p-const

ถ้าการทดสอบดำเนินการโดยความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ A ในแต่ละการทดสอบไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการทดสอบอื่น ๆ การทดสอบดังกล่าวจะเรียกว่าเป็นอิสระโดยคำนึงถึงเหตุการณ์ A การทดสอบแต่ละรายการซึ่งความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น ของเหตุการณ์ก็เหมือนกัน

สูตรของเบอร์นูลลี ความน่าจะเป็นที่ในการทดลองอิสระ n การทดลอง โดยในแต่ละการทดลองมีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นคือ p(0

หรือภาคผนวก 2 สูตรเบอร์นูลลี โดยที่ k,n เป็นตัวเลขเล็กๆ โดยที่ q = 1-p

วิธีแก้ไข: มีผู้เล่นหมากรุกที่เทียบเท่ากัน ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ p=1/2; ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะสูญเสีย q ก็คือ 1/2 เช่นกัน เนื่องจากในทุกเกม ความน่าจะเป็นที่จะชนะนั้นคงที่ และไม่สำคัญว่าเกมจะชนะในลำดับใด สูตรของ Bernoulli จึงใช้ได้ 5 นาที

มาหาความน่าจะเป็นที่จะชนะสองเกมจากสี่เกม:

มาหาความน่าจะเป็นที่จะชนะสามเกมจากหกเกม:

ตั้งแต่ P4 (2) > P6 (3) มีแนวโน้มว่าจะชนะสองเกมจากสี่เกมมากกว่าสามในหกเกม

8. งาน

จงหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น 70 ครั้งพอดีในการทดลอง 243 ครั้ง ถ้าความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นในการทดลองแต่ละครั้งคือ 0.25

k=70, n=243 จะได้ว่า k และ n เป็นจำนวนที่มาก ซึ่งหมายความว่าเป็นการยากที่จะคำนวณโดยใช้สูตรของเบอร์นูลลี ในกรณีดังกล่าว จะใช้สูตรลาปลาซเฉพาะที่:

ภาคผนวก 3 สำหรับค่าบวกของ x ได้รับในภาคผนวก 4 สำหรับค่าลบของ x ให้ใช้ตารางเดียวกันและ =

9. เขียนอัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหา: 5 นาที

• ค้นหาค่าของ x และปัดเศษเป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด (0.01)
• เราจะหาฟังก์ชัน Laplace จากตาราง
• แทนที่ค่าของฟังก์ชัน Laplace ลงในสูตร Laplace

10. แก้ไขปัญหาด้วยการวิเคราะห์ที่กระดาน ภาคผนวก 5. 10 นาที

11. สรุปข้อมูลบทเรียนผ่านการนำเสนอ

• ข้อมูลโดยย่อเกี่ยวกับหัวข้อ “ทฤษฎีความน่าจะเป็น” 5 นาที
• สื่อประวัติศาสตร์เกี่ยวกับนักวิทยาศาสตร์ Bernoulli และ Laplace 5 นาที