เมทริกซ์กำลังสองเอกลักษณ์ (35) 84. เมทริกซ์สี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยมคืออะไร? ตัวอย่าง

อปท. โต๊ะสี่เหลี่ยมกับ ทีเส้นและ พีเรียกว่าคอลัมน์ของจำนวนจริง เมทริกซ์ขนาด t×n. เมทริกซ์แสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่: A, B, ... และอาร์เรย์ของตัวเลขจะแยกความแตกต่างด้วยวงเล็บเหลี่ยมหรือกลม

ตัวเลขที่รวมอยู่ในตารางเรียกว่าองค์ประกอบเมทริกซ์และแสดงด้วยตัวอักษรละตินตัวเล็กพร้อมดัชนีคู่ โดยที่ ผม- หมายเลขบรรทัด เจ– จำนวนคอลัมน์ที่จุดตัดซึ่งองค์ประกอบนั้นตั้งอยู่ โดยทั่วไปเขียนเมทริกซ์ได้ดังนี้

มีการพิจารณาสองเมทริกซ์ เท่ากันหากองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องเท่ากัน

ถ้าจำนวนแถวเมทริกซ์ ทีเท่ากับจำนวนคอลัมน์ พีจากนั้นจึงเรียกเมทริกซ์ สี่เหลี่ยม(หรือสี่เหลี่ยมผืนผ้า).

เมทริกซ์ขนาด
เรียกว่าเมทริกซ์แถว เมทริกซ์ขนาด

เรียกว่าเมทริกซ์คอลัมน์

องค์ประกอบเมทริกซ์ที่มีดัชนีเท่ากัน (
เป็นต้น) แบบฟอร์ม เส้นทแยงมุมหลักเมทริกซ์ เส้นทแยงมุมอื่น ๆ เรียกว่าเส้นทแยงมุมด้านข้าง

เมทริกซ์จตุรัส เรียก เส้นทแยงมุมหากองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่นอกเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์

เมทริกซ์ทแยงมุมที่มีรายการทแยงมุมเท่ากับหนึ่งเรียกว่า เดี่ยวเมทริกซ์และมีสัญกรณ์มาตรฐาน E:

หากองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ที่อยู่ด้านบน (หรือด้านล่าง) เส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับ 0 เมทริกซ์นั้นจะอยู่ในรูปสามเหลี่ยม:

§2. การดำเนินการเมทริกซ์

1. การเคลื่อนย้ายเมทริกซ์ - การแปลงที่เขียนแถวของเมทริกซ์เป็นคอลัมน์โดยยังคงลำดับไว้ สำหรับเมทริกซ์จัตุรัส การแปลงนี้เทียบเท่ากับการแมปสมมาตรที่เกี่ยวกับเส้นทแยงมุมหลัก:

.

2. เมทริกซ์ของมิติเดียวกันสามารถรวม (ลบ) ผลรวม (ผลต่าง) ของเมทริกซ์คือเมทริกซ์ที่มีมิติเดียวกัน ซึ่งแต่ละองค์ประกอบจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์ดั้งเดิม:

3. เมทริกซ์ใด ๆ ที่สามารถคูณด้วยจำนวน ผลคูณของเมทริกซ์ตามตัวเลขคือเมทริกซ์ที่มีลำดับเดียวกัน ซึ่งแต่ละองค์ประกอบจะเท่ากับผลคูณขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์ดั้งเดิมตามจำนวนนี้:

.

4. หากจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์หนึ่งเท่ากับจำนวนแถวของอีกเมทริกซ์หนึ่ง คุณสามารถคูณเมทริกซ์แรกด้วยเมทริกซ์ที่สองได้ ผลคูณของเมทริกซ์ดังกล่าวคือเมทริกซ์ ซึ่งแต่ละองค์ประกอบจะเท่ากับผลรวมของผลคูณแบบคู่ขององค์ประกอบของแถวที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์แรกและองค์ประกอบของคอลัมน์ที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์ที่สอง

ผลที่ตามมา. การยกกำลังเมทริกซ์ ถึง>1 เป็นผลคูณของเมทริกซ์ A ถึงครั้งหนึ่ง. กำหนดไว้สำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมเท่านั้น

ตัวอย่าง.

คุณสมบัติของการดำเนินการในเมทริกซ์

1. (A+B)+C=A+(B+C);

   k(A+B)=kA+kV;

   ก(B+C)=AB+AC;

   (A+B)C=AC+BC;

   k(AB)=(kA)B=A(kV);

   A(BC)=(AB)C;

2. (kA) T =kA T;

   (A + B) T \u003d A T + B T;

   (AB) T = B T A T;

คุณสมบัติที่แสดงข้างต้นคล้ายกับคุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลข นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติเฉพาะของเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่น คุณสมบัติเฉพาะของการคูณเมทริกซ์ หากมีผลิตภัณฑ์ AB ก็จะมีผลิตภัณฑ์ BA

อาจไม่มีอยู่จริง

อาจแตกต่างจาก AB

ตัวอย่าง. บริษัทผลิตสินค้าสองประเภท A และ B และใช้วัตถุดิบสามประเภท S 1 S 2 และ S 3 อัตราการใช้วัตถุดิบถูกกำหนดโดยเมทริกซ์ N=
, ที่ไหน น ไอเจ- ปริมาณวัตถุดิบ เจใช้จ่ายในการผลิตหน่วยของผลผลิต ผม. แผนการผลิตกำหนดโดยเมทริกซ์ C = (100 200) และต้นทุนต่อหน่วยของวัตถุดิบแต่ละประเภทกำหนดโดยเมทริกซ์ . กำหนดต้นทุนของวัตถุดิบที่จำเป็นสำหรับผลผลิตตามแผนและต้นทุนรวมของวัตถุดิบ

วิธีการแก้. ต้นทุนของวัตถุดิบหมายถึงผลิตภัณฑ์ของเมทริกซ์ C และ N:

เราคำนวณต้นทุนรวมของวัตถุดิบเป็นผลิตภัณฑ์ของ S และ P

ในหัวข้อนี้ เราจะพิจารณาแนวคิดของเมทริกซ์ เช่นเดียวกับประเภทของเมทริกซ์ เนื่องจากมีคำศัพท์มากมายในหัวข้อนี้ ฉันจะเพิ่มบทสรุปเพื่อให้ง่ายต่อการสำรวจเนื้อหา

ความหมายของเมทริกซ์และองค์ประกอบของมัน สัญกรณ์

เมทริกซ์เป็นตารางที่มี $m$ แถวและ $n$ คอลัมน์ องค์ประกอบของเมทริกซ์สามารถเป็นออบเจกต์ที่มีลักษณะหลากหลายโดยสิ้นเชิง: ตัวเลข ตัวแปร หรือเมทริกซ์อื่นๆ ตัวอย่างเช่น ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ มี 3 แถวและ 2 คอลัมน์; องค์ประกอบของมันเป็นจำนวนเต็ม เมทริกซ์ $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ มี 2 ​​แถว 4 คอลัมน์

วิธีต่างๆ ในการเขียนเมทริกซ์: แสดง\ซ่อน

เมทริกซ์สามารถเขียนได้ไม่เฉพาะในวงเล็บเหลี่ยมเท่านั้น แต่ยังเขียนในวงเล็บเหลี่ยมหรือวงเล็บเหลี่ยมคู่ได้อีกด้วย นั่นคือ รายการด้านล่างหมายถึงเมทริกซ์เดียวกัน:

$$ \left(\begin(อาร์เรย์) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(อาร์เรย์) \right);\;\; \left[ \begin(อาร์เรย์) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(อาร์เรย์) \right]; \;\; \left \Vert \begin(อาร์เรย์) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(อาร์เรย์) \right \Vert $$

ผลิตภัณฑ์ $m\times n$ ถูกเรียก ขนาดเมทริกซ์. ตัวอย่างเช่น ถ้าเมทริกซ์มี 5 แถวและ 3 คอลัมน์ แสดงว่าเมทริกซ์หนึ่งพูดถึงเมทริกซ์ $5\คูณ 3$ เมทริกซ์ $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ มีขนาด $3 \times 2$

เมทริกซ์มักจะเขียนแทนด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่: $A$, $B$, $C$ และอื่นๆ ตัวอย่างเช่น $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ การกำหนดหมายเลขบรรทัดเริ่มจากบนลงล่าง คอลัมน์ - จากซ้ายไปขวา ตัวอย่างเช่น แถวแรกของเมทริกซ์ $B$ มีองค์ประกอบ 5 และ 3 และคอลัมน์ที่สองมีองค์ประกอบ 3, -87, 0

องค์ประกอบของเมทริกซ์มักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษรขนาดเล็ก ตัวอย่างเช่น องค์ประกอบของเมทริกซ์ $A$ เขียนแทนด้วย $a_(ij)$ ดัชนีคู่ $ij$ มีข้อมูลเกี่ยวกับตำแหน่งขององค์ประกอบในเมทริกซ์ จำนวน $i$ คือจำนวนของแถว และจำนวน $j$ คือจำนวนของคอลัมน์ ที่จุดตัดซึ่งมีองค์ประกอบ $a_(ij)$ ตั้งอยู่ ตัวอย่างเช่น ที่จุดตัดของแถวที่สองและคอลัมน์ที่ห้าของเมทริกซ์ $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(อาร์เรย์) \right)$ องค์ประกอบ $ ก_(25)= $59:

ในทำนองเดียวกัน ที่จุดตัดของแถวแรกและคอลัมน์แรก เรามีองค์ประกอบ $a_(11)=51$; ที่จุดตัดของแถวที่สามและคอลัมน์ที่สอง - องค์ประกอบ $a_(32)=-15$ เป็นต้น โปรดทราบว่า $a_(32)$ อ่านว่า "a สาม สอง" แต่ไม่ใช่ "a สามสิบสอง"

สำหรับการกำหนดแบบย่อของเมทริกซ์ $A$ ซึ่งขนาดเท่ากับ $m\times n$ จะใช้สัญกรณ์ $A_(m\times n)$ คุณสามารถเขียนรายละเอียดเพิ่มเติมเล็กน้อย:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

โดยที่สัญกรณ์ $(a_(ij))$ หมายถึงองค์ประกอบของเมทริกซ์ $A$ ในรูปแบบที่ขยายเต็มที่ เมทริกซ์ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ สามารถเขียนได้ดังนี้:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(อาร์เรย์)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(อาร์เรย์) \right) $$

ขอแนะนำคำศัพท์อื่น - เมทริกซ์เท่ากัน.

เรียกว่าเมทริกซ์สองตัวที่มีขนาดเท่ากัน $A_(m\times n)=(a_(ij))$ และ $B_(m\times n)=(b_(ij))$ เท่ากันหากองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องเท่ากันนั่นคือ $a_(ij)=b_(ij)$ สำหรับ $i=\overline(1,m)$ และ $j=\overline(1,n)$ ทั้งหมด

คำอธิบายสำหรับรายการ $i=\overline(1,m)$: แสดง\ซ่อน

รายการ "$i=\overline(1,m)$" หมายความว่าพารามิเตอร์ $i$ เปลี่ยนจาก 1 เป็น m ตัวอย่างเช่น รายการ $i=\overline(1,5)$ บอกว่าพารามิเตอร์ $i$ รับค่า 1, 2, 3, 4, 5

ดังนั้น เพื่อความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์ จำเป็นต้องมีเงื่อนไขสองประการ: ความบังเอิญของขนาดและความเท่าเทียมกันขององค์ประกอบที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ ไม่เท่ากับเมทริกซ์ $B=\left(\begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ เนื่องจากเมทริกซ์ $A$ คือ $3\times 2$ และเมทริกซ์ $B$ คือ $2\คูณ 2$ เมทริกซ์ $A$ ยังไม่เท่ากับเมทริกซ์ $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right) $ เพราะ $a_( 21)\neq c_(21)$ (เช่น $0\neq 98$) แต่สำหรับเมทริกซ์ $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ เราสามารถเขียน $A ได้อย่างปลอดภัย =F$ เนื่องจากทั้งขนาดและองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องของเมทริกซ์ $A$ และ $F$ ตรงกัน

ตัวอย่าง #1

กำหนดขนาดของเมทริกซ์ $A=\left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\ \end(อาร์เรย์) \right)$ ระบุว่าองค์ประกอบ $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ เท่ากับอะไร

เมทริกซ์นี้มี 5 แถวและ 3 คอลัมน์ ดังนั้นขนาดของมันคือ $5\คูณ 3$ สามารถใช้สัญกรณ์ $A_(5\times 3)$ สำหรับเมทริกซ์นี้ได้เช่นกัน

องค์ประกอบ $a_(12)$ อยู่ที่จุดตัดของแถวแรกและคอลัมน์ที่สอง ดังนั้น $a_(12)=-2$ องค์ประกอบ $a_(33)$ อยู่ที่จุดตัดของแถวที่สามและคอลัมน์ที่สาม ดังนั้น $a_(33)=23$ องค์ประกอบ $a_(43)$ อยู่ที่จุดตัดของแถวที่สี่และคอลัมน์ที่สาม ดังนั้น $a_(43)=-5$

ตอบ: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

ประเภทของเมทริกซ์ขึ้นอยู่กับขนาด เส้นทแยงมุมหลักและด้านข้าง การติดตามเมทริกซ์

ให้เมทริกซ์ $A_(m\times n)$ บางตัวได้รับ ถ้า $m=1$ (เมทริกซ์ประกอบด้วยหนึ่งแถว) จะเรียกเมทริกซ์ที่กำหนด เมทริกซ์แถว. ถ้า $n=1$ (เมทริกซ์ประกอบด้วยหนึ่งคอลัมน์) ก็จะเรียกเมทริกซ์ดังกล่าว เมทริกซ์คอลัมน์. ตัวอย่างเช่น $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ เป็นเมทริกซ์แถว และ $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(อาร์เรย์) \right)$ - เมทริกซ์คอลัมน์

ถ้าเงื่อนไข $m\neq n$ เป็นจริงสำหรับเมทริกซ์ $A_(m\times n)$ (นั่นคือ จำนวนแถวไม่เท่ากับจำนวนคอลัมน์) ก็มักจะพูดว่า $A$ เป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยม ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ มีขนาด $2\times 4 $ เหล่านั้น มี 2 ​​แถว 4 คอลัมน์ เนื่องจากจำนวนแถวไม่เท่ากับจำนวนคอลัมน์ เมทริกซ์นี้จึงเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ถ้าเงื่อนไข $m=n$ เป็นจริงสำหรับเมทริกซ์ $A_(m\times n)$ (เช่น จำนวนแถวเท่ากับจำนวนคอลัมน์) ดังนั้น $A$ จะเรียกว่าเมทริกซ์กำลังสองของ สั่งซื้อ $n$ ตัวอย่างเช่น $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ เป็นเมทริกซ์กำลังสองอันดับสอง $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ เป็นเมทริกซ์กำลังสองลำดับที่ 3 โดยทั่วไป เมทริกซ์จตุรัส $A_(n\times n)$ สามารถเขียนได้ดังนี้:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(อาร์เรย์)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(อาร์เรย์) \right) $$

อิลิเมนต์ $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ นั้นเปิดอยู่ เส้นทแยงมุมหลักเมทริกซ์ $A_(n\times n)$ องค์ประกอบเหล่านี้เรียกว่า องค์ประกอบแนวทแยงหลัก(หรือเพียงแค่องค์ประกอบในแนวทแยง) องค์ประกอบ $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ เปิดอยู่ ด้าน (รอง) เส้นทแยงมุม; พวกเขาถูกเรียก องค์ประกอบทแยงมุมรอง. ตัวอย่างเช่น สำหรับเมทริกซ์ $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( อาร์เรย์) \right)$ เรามี:

องค์ประกอบ $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ เป็นองค์ประกอบแนวทแยงหลัก องค์ประกอบ $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ เป็นองค์ประกอบในแนวทแยงรอง

ผลรวมขององค์ประกอบหลักในแนวทแยงเรียกว่า ตามด้วยเมทริกซ์และแสดงโดย $\Tr A$ (หรือ $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

ตัวอย่างเช่น สำหรับเมทริกซ์ $C=\left(\begin(อาร์เรย์) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ เรามี:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

แนวคิดขององค์ประกอบในแนวทแยงยังใช้สำหรับเมทริกซ์ที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัส ตัวอย่างเช่น สำหรับเมทริกซ์ $B=\left(\begin(อาร์เรย์) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ องค์ประกอบแนวทแยงหลักจะเป็น $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$

ประเภทของเมทริกซ์ขึ้นอยู่กับค่าขององค์ประกอบ

หากองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ $A_(m\times n)$ เท่ากับศูนย์ จะเรียกเมทริกซ์ดังกล่าวว่า โมฆะและมักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษร $O$ ตัวอย่างเช่น $\left(\begin(อาร์เรย์) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(อาร์เรย์) \right)$, $\left(\begin(อาร์เรย์) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ เป็นศูนย์เมทริกซ์

ให้เมทริกซ์ $A_(m\times n)$ มีลักษณะดังนี้:

จากนั้นจึงเรียกเมทริกซ์นี้ว่า สี่เหลี่ยมคางหมู. อาจไม่มีแถวเป็นศูนย์ แต่ถ้ามีก็จะอยู่ที่ด้านล่างสุดของเมทริกซ์ ในรูปแบบทั่วไป เมทริกซ์รูปสี่เหลี่ยมคางหมูสามารถเขียนเป็น:

อีกครั้ง สตริง null ต่อท้ายเป็นทางเลือก เหล่านั้น. อย่างเป็นทางการ เราสามารถแยกเงื่อนไขต่อไปนี้สำหรับเมทริกซ์รูปสี่เหลี่ยมคางหมู:

1. องค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์
2. องค์ประกอบทั้งหมดตั้งแต่ $a_(11)$ ถึง $a_(rr)$ ที่วางอยู่บนเส้นทแยงมุมหลักไม่เท่ากับศูนย์: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$
3. องค์ประกอบทั้งหมดของ $m-r$ แถวสุดท้ายมีค่าเท่ากับศูนย์ หรือ $m=r$ (เช่น ไม่มีแถวเป็นศูนย์เลย)

ตัวอย่างของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมคางหมู:

ไปที่คำจำกัดความถัดไป เรียกว่าเมทริกซ์ $A_(m\times n)$ ก้าวหากเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ขั้นตอนจะเป็น:

สำหรับการเปรียบเทียบ เมทริกซ์ $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ ไม่ได้ก้าวเพราะแถวที่สามมีส่วนศูนย์เหมือนกันกับแถวที่สอง นั่นคือหลักการ "ยิ่งเส้นต่ำ - ยิ่งมีศูนย์มาก" จะถูกละเมิด ฉันจะเพิ่มว่าเมทริกซ์สี่เหลี่ยมคางหมูเป็นกรณีพิเศษของเมทริกซ์ขั้นบันได

ไปที่คำจำกัดความถัดไป หากองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ เมทริกซ์ดังกล่าวจะเรียกว่า เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน. ตัวอย่างเช่น $\left(\begin(อาร์เรย์) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(อาร์เรย์) \right)$ - เมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบน โปรดทราบว่าคำจำกัดความของเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบนไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับค่าขององค์ประกอบที่อยู่เหนือเส้นทแยงมุมหลักหรือเส้นทแยงมุมหลัก พวกเขาอาจจะเป็นหรือไม่เป็นศูนย์ก็ได้ ไม่สำคัญ ตัวอย่างเช่น $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ ก็เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบนเช่นกัน

หากองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่เหนือเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ เมทริกซ์ดังกล่าวจะเรียกว่า เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง. ตัวอย่างเช่น $\left(\begin(อาร์เรย์) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(อาร์เรย์) \right)$ - เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง โปรดทราบว่าคำจำกัดความของเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านล่างไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับค่าขององค์ประกอบด้านล่างหรือในแนวทแยงหลัก พวกเขาอาจจะหรือไม่เป็นโมฆะก็ได้ ไม่สำคัญ ตัวอย่างเช่น $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ และ $\left(\ start (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมที่ต่ำกว่าเช่นกัน

เมทริกซ์จตุรัส เรียก เส้นทแยงมุมถ้าองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์นี้ที่ไม่ได้อยู่ในเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวอย่าง: $\left(\begin(อาร์เรย์) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ สิ้นสุด(อาร์เรย์)\right)$. องค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมหลักสามารถเป็นอะไรก็ได้ (เท่ากับศูนย์หรือไม่ก็ได้) - สิ่งนี้ไม่จำเป็น

เมทริกซ์แนวทแยงเรียกว่า เดี่ยวถ้าองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์นี้ที่อยู่บนเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับ 1 ตัวอย่างเช่น $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(อาร์เรย์)\right)$ - เมทริกซ์เอกลักษณ์ลำดับที่ 4; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์อันดับสอง

เมทริกซ์ในวิชาคณิตศาสตร์เป็นหนึ่งในวัตถุที่สำคัญที่สุดที่มีความสำคัญเชิงประยุกต์ บ่อยครั้งที่การท่องไปในทฤษฎีเมทริกซ์เริ่มต้นด้วยคำว่า: "เมทริกซ์เป็นตารางสี่เหลี่ยม ... " เราจะเริ่มการเดินทางครั้งนี้จากมุมที่แตกต่างกันเล็กน้อย

สมุดโทรศัพท์ทุกขนาดและข้อมูลสมาชิกจำนวนเท่าใดก็ได้นั้นเป็นเพียงเมทริกซ์เท่านั้น เมทริกซ์เหล่านี้มีลักษณะดังนี้:

เป็นที่ชัดเจนว่าเราทุกคนใช้เมทริกซ์ดังกล่าวเกือบทุกวัน เมทริกซ์เหล่านี้มีหลายแถว (แยกเป็นไดเร็กทอรีที่ออกโดยบริษัทโทรศัพท์ ซึ่งสามารถมีได้เป็นพัน แสน หรือเป็นล้านบรรทัด และสมุดบันทึกใหม่ที่คุณเพิ่งเริ่มต้น ซึ่งมีไม่ถึงสิบบรรทัด) และ คอลัมน์ (ไดเร็กทอรีของเจ้าหน้าที่ของบางองค์กร ซึ่งในนั้นอาจมีคอลัมน์ เช่น ตำแหน่ง เลขที่สำนักงาน และเช่นเดียวกับสมุดบันทึกของคุณ ซึ่งอาจไม่มีข้อมูลอื่นนอกจากชื่อ ดังนั้นจึงมีเพียงสองคอลัมน์คือ ชื่อ และเบอร์โทร).

สามารถเพิ่มและคูณเมทริกซ์ทุกประเภทได้ และดำเนินการอื่นๆ ได้ แต่ไม่จำเป็นต้องเพิ่มและคูณไดเร็กทอรีโทรศัพท์ ไม่มีประโยชน์ใดๆ จากสิ่งนี้ และนอกจากนี้ คุณสามารถเปลี่ยนความคิดของคุณได้

แต่เมทริกซ์จำนวนมากสามารถและควรเพิ่มและคูณ และงานเร่งด่วนต่างๆ สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีนี้ ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างของเมทริกซ์ดังกล่าว

เมทริกซ์ที่คอลัมน์เป็นเอาต์พุตของหน่วยของผลิตภัณฑ์ประเภทใดประเภทหนึ่ง และแถวคือปีที่มีการบันทึกเอาต์พุตของผลิตภัณฑ์นี้:

คุณสามารถเพิ่มเมทริกซ์ประเภทนี้ ซึ่งคำนึงถึงการผลิตผลิตภัณฑ์ที่คล้ายคลึงกันโดยองค์กรต่างๆ เพื่อให้ได้ข้อมูลสรุปสำหรับอุตสาหกรรม

หรือเมทริกซ์ ซึ่งประกอบด้วย เช่น ของหนึ่งคอลัมน์ ซึ่งแถวเป็นต้นทุนเฉลี่ยของผลิตภัณฑ์ประเภทใดประเภทหนึ่ง:

เมทริกซ์ของสองประเภทสุดท้ายสามารถคูณได้ และผลลัพธ์คือเมทริกซ์แถวที่มีต้นทุนของผลิตภัณฑ์ทุกประเภทตามปี

เมทริกซ์ คำจำกัดความพื้นฐาน

ตารางสี่เหลี่ยมประกอบด้วยตัวเลขเรียงกัน มเส้นและ นเรียกว่าคอลัมน์ mn-เมทริกซ์ (หรือเรียกง่ายๆว่า เมทริกซ์ ) และเขียนดังนี้:

(1)

ในเมทริกซ์ (1) จะเรียกตัวเลขเหล่านี้ว่า องค์ประกอบ (เช่นเดียวกับดีเทอร์มิแนนต์ ดัชนีแรกหมายถึงจำนวนแถว ที่สอง - คอลัมน์ ที่จุดตัดซึ่งมีองค์ประกอบอยู่ ผม = 1, 2, ..., ม; เจ = 1, 2, น).

เรียกว่าเมทริกซ์ เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า , ถ้า .

ถ้า ม = นจากนั้นจึงเรียกเมทริกซ์ สี่เหลี่ยม และจำนวน n คือของมัน ในการสั่งซื้อ .

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์กำลังสอง ก เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์ซึ่งมีองค์ประกอบเป็นองค์ประกอบของเมทริกซ์ ก. มันแสดงด้วยสัญลักษณ์ | ก|.

เมทริกซ์จตุรัส เรียก ไม่พิเศษ (หรือ ไม่เสื่อม , ไม่เอกพจน์ ) ถ้าดีเทอร์มีแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์ และ พิเศษ (หรือ เสื่อม , เอกพจน์ ) ถ้าดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์

เรียกว่าเมทริกซ์ เท่ากัน หากมีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากัน และองค์ประกอบที่ตรงกันทั้งหมดเหมือนกัน

เรียกว่าเมทริกซ์ โมฆะ ถ้าองค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ เมทริกซ์ศูนย์จะแสดงด้วยสัญลักษณ์ 0 หรือ .

ตัวอย่างเช่น,

เมทริกซ์แถว (หรือ ตัวพิมพ์เล็ก ) เรียกว่า 1 น-เมทริกซ์และ เมทริกซ์คอลัมน์ (หรือ คอลัมน์ ) – ม 1 เมทริกซ์

เมทริกซ์ ก" ซึ่งได้จากเมทริกซ์ กเรียกว่าการสลับแถวและคอลัมน์ในนั้น ย้าย เกี่ยวกับเมทริกซ์ ก. ดังนั้น สำหรับเมทริกซ์ (1) เมทริกซ์ทรานสโพสคือ

การเปลี่ยนไปใช้การดำเนินการเมทริกซ์ ก" , เปลี่ยนตามเมทริกซ์ กเรียกว่า การขนย้ายเมทริกซ์ ก. สำหรับ นาที-matrix ย้ายคือ นาโนเมตร-เมทริกซ์

เมทริกซ์ที่ทรานสโพสเทียบกับเมทริกซ์คือ ก, นั่นคือ

(ก")" = ก .

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาเมทริกซ์ ก" , เปลี่ยนตามเมทริกซ์

และค้นหาว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมและทรานสโพสเท่ากันหรือไม่

เส้นทแยงมุมหลัก เมทริกซ์สี่เหลี่ยมคือเส้นจินตภาพที่เชื่อมต่อองค์ประกอบซึ่งดัชนีทั้งสองเหมือนกัน องค์ประกอบเหล่านี้เรียกว่า เส้นทแยงมุม .

เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่องค์ประกอบทั้งหมดนอกเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์เรียกว่า เส้นทแยงมุม . องค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดของเมทริกซ์แนวทแยงไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์เสมอไป บางคนอาจมีค่าเท่ากับศูนย์

เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่องค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์เหมือนกัน และองค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ เรียกว่า เมทริกซ์สเกลาร์ .

เมทริกซ์เอกลักษณ์ เรียกว่าเมทริกซ์แนวทแยงซึ่งองค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่ง ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับที่สามคือเมทริกซ์

ตัวอย่างที่ 2ข้อมูลเมทริกซ์:

วิธีการแก้. ให้เราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เหล่านี้ โดยใช้กฎของรูปสามเหลี่ยม เราพบว่า

เมทริกซ์ดีเทอร์มีแนนต์ ขคำนวณตามสูตร

เราได้รับสิ่งนั้นอย่างง่ายดาย

ดังนั้นเมทริกซ์ กและไม่เป็นเอกพจน์ (ไม่เสื่อม ไม่เอกพจน์) และเมทริกซ์ ข- พิเศษ (เสื่อม, เอกพจน์).

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับใด ๆ มีค่าเท่ากับหนึ่งอย่างเห็นได้ชัด

แก้ปัญหาเมทริกซ์ด้วยตัวคุณเอง แล้วดูวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 3ข้อมูลเมทริกซ์

,

,

พิจารณาว่าข้อใดไม่ใช่เอกพจน์ (ไม่เสื่อม ไม่เอกพจน์)

การประยุกต์ใช้เมทริกซ์ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และเศรษฐศาสตร์

ในรูปแบบของเมทริกซ์ ข้อมูลที่มีโครงสร้างเกี่ยวกับออบเจกต์เฉพาะนั้นเขียนได้ง่ายและสะดวก แบบจำลองเมทริกซ์ไม่ได้สร้างขึ้นเพื่อเก็บข้อมูลที่มีโครงสร้างนี้เท่านั้น แต่ยังใช้เพื่อแก้ปัญหาต่างๆ ด้วยข้อมูลนี้โดยใช้พีชคณิตเชิงเส้น

ดังนั้นแบบจำลองเมทริกซ์เศรษฐกิจที่รู้จักกันดีคือแบบจำลองอินพุตและเอาต์พุตที่นำเสนอโดย Wassily Leontiev นักเศรษฐศาสตร์ชาวอเมริกันที่มีต้นกำเนิดจากรัสเซีย โมเดลนี้ตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ว่าภาคการผลิตทั้งหมดของเศรษฐกิจแบ่งออกเป็น นอุตสาหกรรมสะอาด แต่ละอุตสาหกรรมผลิตสินค้าเพียงประเภทเดียวและอุตสาหกรรมต่าง ๆ ก็ผลิตสินค้าที่แตกต่างกัน เนื่องจากการแบ่งงานระหว่างอุตสาหกรรมนี้มีความสัมพันธ์ระหว่างอุตสาหกรรม ความหมายคือส่วนหนึ่งของการผลิตของแต่ละอุตสาหกรรมถูกถ่ายโอนไปยังอุตสาหกรรมอื่นในฐานะทรัพยากรการผลิต

ปริมาณการผลิต ผม-th อุตสาหกรรม (วัดโดยหน่วยวัดเฉพาะ) ที่ผลิตในระหว่างรอบระยะเวลาการรายงาน ซึ่งแสดงโดยและเรียกว่าผลผลิตทั้งหมด ผม th อุตสาหกรรม. วางประเด็นไว้อย่างสะดวก น- แถวส่วนประกอบของเมทริกซ์

จำนวนหน่วยผลิตภัณฑ์ ผมอุตสาหกรรมที่จะใช้จ่าย เจ-th อุตสาหกรรมสำหรับการผลิตหน่วยของผลผลิตจะแสดงและเรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์ของต้นทุนโดยตรง

จุดในพื้นที่ผลิตภัณฑ์ Rvให้เวกเตอร์อื่นที่กำหนดตำแหน่งของจุดหลังจากการหมุน ถ้า ก โวลต์เป็นเวกเตอร์แถว การแปลงแบบเดียวกันสามารถทำได้โดยใช้ วีอาร์ที ที่ไหน ร T - เปลี่ยนเป็น รเมทริกซ์

ยูทูบ สารานุกรม

1 / 5

C# - Console - Olympic - Square Spiral

เมทริกซ์: ความหมายและแนวคิดพื้นฐาน

ที่จะได้รับความแข็งแกร่งและแรงบันดาลใจ ชาร์จ 4 ตารางเมทริกซ์

ผลรวมและผลต่างของเมทริกซ์ การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวน

เมทริกซ์ทรานสโพส / เมทริกซ์ทรานสโพส

คำบรรยาย

เส้นทแยงมุมหลัก

องค์ประกอบ ก ii (ผม = 1, ..., น) สร้างเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส องค์ประกอบเหล่านี้อยู่บนเส้นตรงในจินตนาการที่ลากจากมุมซ้ายบนไปยังมุมขวาล่างของเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่น เส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์ 4x4 ในรูปประกอบด้วยองค์ประกอบต่างๆ ก 11 = 9, ก 22 = 11, ก 33 = 4, ก 44 = 10.

เส้นทแยงมุมของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมที่ผ่านมุมซ้ายล่างและมุมบนขวาเรียกว่า ด้านข้าง.

ชนิดพิเศษ

ชื่อ	ตัวอย่างด้วย น = 3
เมทริกซ์แนวทแยง	[ a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\0&a_(22)&0\\0&0&a_(33)\end(bmatrix)))
เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง	[ a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\a_(21)&a_(22)&0\\a_(31)&a_( 32)&a_(33)\end(bmatrix)))
เมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบน	[ a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&a_(12)&a_(13)\\0&a_(22)&a_(23)\\ 0&0&a_(33)\end(bmatrix)))

เมทริกซ์แนวทแยงและสามเหลี่ยม

หากองค์ประกอบทั้งหมดนอกเส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ กเรียกว่าเส้นทแยงมุม หากองค์ประกอบทั้งหมดด้านบน (ด้านล่าง) เส้นทแยงมุมหลักเป็นศูนย์ กเรียกว่า เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง (บน)

เมทริกซ์เอกลักษณ์

ถาม(x) = xต ขวาน

ใช้ค่าบวกเท่านั้น (ตามลำดับ ค่าลบหรือทั้งสองอย่าง) หากรูปแบบกำลังสองใช้เฉพาะค่าที่ไม่ใช่ค่าลบ (ตามลำดับ ค่าที่ไม่ใช่ค่าบวกเท่านั้น) เมทริกซ์สมมาตรจะถูกกล่าวถึงว่าเป็นค่ากึ่งแน่นอนค่าบวก (ค่ากึ่งค่าคงที่ค่าลบตามลำดับ) เมทริกซ์นั้นไม่แน่นอนหากไม่ใช่เซมิเดฟินิตีบวกหรือลบ

เมทริกซ์สมมาตรเป็นค่าบวกที่แน่นอนก็ต่อเมื่อค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของมันเป็นค่าบวก ตารางด้านขวาแสดงกรณีที่เป็นไปได้ 2 กรณีสำหรับเมทริกซ์ 2×2

ถ้าเราใช้เวกเตอร์ที่แตกต่างกันสองตัว เราจะได้รูปแบบ bilinear ที่สัมพันธ์กับ ก:

ข ก (x, ย) = xต อาย.

เมทริกซ์มุมฉาก

เมทริกซ์มุมฉากเป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีองค์ประกอบจริงซึ่งคอลัมน์และแถวเป็นเวกเตอร์หน่วยตั้งฉาก (นั่นคือ orthonormal) เรายังสามารถกำหนดเมทริกซ์มุมฉากเป็นเมทริกซ์ที่ผกผันเท่ากับทรานสโพส:

AT = A − 1 , (\displaystyle A^(\mathrm (T) )=A^(-1),)

ต่อจากนี้ไป

A T A = A T = E (\displaystyle A^(T)A=AA^(T)=E),

เมทริกซ์มุมฉาก กย้อนกลับได้เสมอ ( ก −1 = ก T), รวม ( ก −1 = ก*) และปกติ ( ก*ก = เอเอ*). ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ออร์โทนอร์มัลใดๆ คือ +1 หรือ −1 เมทริกซ์ออร์โธนอร์มอลใดๆ ที่มีดีเทอร์มีแนนต์ +1 เป็นการหมุนอย่างง่าย ในขณะที่เมทริกซ์ออร์โทนอร์มอลใดๆ ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ −1 คือการสะท้อนอย่างง่ายหรือองค์ประกอบของการสะท้อนและการหมุน

การดำเนินงาน

ติดตาม

ตัวกำหนดเดช ( ก) หรือ | ก| เมทริกซ์สี่เหลี่ยม กเป็นตัวเลขที่กำหนดคุณสมบัติบางอย่างของเมทริกซ์ เมทริกซ์จะกลับด้านได้ก็ต่อเมื่อตัวกำหนดไม่เป็นศูนย์

คำจำกัดความของเมทริกซ์ ประเภทของเมทริกซ์

เมทริกซ์ขนาดม× นเรียกว่าครบองค์ มตัวเลขที่จัดอยู่ในตารางสี่เหลี่ยมของ มเส้นและ นคอลัมน์ ตารางนี้มักจะอยู่ในวงเล็บ ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์อาจมีลักษณะดังนี้:

เพื่อความกระชับ เมทริกซ์สามารถเขียนแทนด้วยอักษรตัวใหญ่ตัวเดียวได้ เช่น แต่หรือ ที่.

โดยทั่วไป เมทริกซ์ของขนาด ม× นเขียนแบบนี้

.

เรียกตัวเลขที่ประกอบกันเป็นเมทริกซ์ องค์ประกอบเมทริกซ์. สะดวกในการจัดหาองค์ประกอบเมทริกซ์ด้วยสองดัชนี ไอจ: ตัวแรกระบุหมายเลขแถว และตัวที่สองระบุหมายเลขคอลัมน์ ตัวอย่างเช่น, 23– องค์ประกอบอยู่ในแถวที่ 2 คอลัมน์ที่ 3

หากจำนวนแถวในเมทริกซ์เท่ากับจำนวนคอลัมน์ เมทริกซ์นั้นจะถูกเรียกว่า สี่เหลี่ยมและเรียกจำนวนแถวหรือคอลัมน์ ในการสั่งซื้อเมทริกซ์ ในตัวอย่างข้างต้น เมทริกซ์ที่สองคือกำลังสอง - ลำดับของมันคือ 3 และเมทริกซ์ที่สี่ - ลำดับของมันคือ 1

เมทริกซ์ที่จำนวนแถวไม่เท่ากับจำนวนคอลัมน์เรียกว่า เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า. ในตัวอย่าง นี่คือเมทริกซ์ตัวที่หนึ่งและตัวที่สาม

นอกจากนี้ยังมีเมทริกซ์ที่มีเพียงหนึ่งแถวหรือหนึ่งคอลัมน์

เรียกว่าเมทริกซ์ที่มีแถวเดียว เมทริกซ์ - แถว(หรือสตริง) และเมทริกซ์ที่มีเพียงหนึ่งคอลัมน์ เมทริกซ์ - คอลัมน์.

เรียกว่าเมทริกซ์ที่องค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ โมฆะและเขียนแทนด้วย (0) หรือเพียงแค่ 0 ตัวอย่างเช่น

.

เส้นทแยงมุมหลักเมทริกซ์สี่เหลี่ยมคือเส้นทแยงมุมที่ลากจากมุมซ้ายบนไปยังมุมขวาล่าง

เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่องค์ประกอบทั้งหมดใต้เส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์เรียกว่า รูปสามเหลี่ยมเมทริกซ์

.

เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่องค์ประกอบทั้งหมด ยกเว้นองค์ประกอบในแนวทแยงหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ เรียกว่า เส้นทแยงมุมเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่น หรือ.

เมทริกซ์แนวทแยงซึ่งรายการในแนวทแยงทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่งเรียกว่า เดี่ยวเมทริกซ์และเขียนแทนด้วยตัวอักษร E ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์เอกลักษณ์ลำดับที่ 3 มีรูปแบบ .

การกระทำบนเมทริกซ์

ความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์. สองเมทริกซ์ กและ ขจะเท่ากันถ้ามีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากัน และองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องกันเท่ากัน ไอจ = ข. ดังนั้นหาก และ , แล้ว เอ=บี, ถ้า ก 11 = ข 11, ก 12 = ข 12, ก 21 = ข 21และ ก 22 = ข 22.

การขนย้าย. พิจารณาเมทริกซ์ตามอำเภอใจ กจาก มเส้นและ นคอลัมน์ สามารถเชื่อมโยงกับเมทริกซ์ต่อไปนี้ ขจาก นเส้นและ มคอลัมน์ โดยแต่ละแถวเป็นคอลัมน์ของเมทริกซ์ กด้วยหมายเลขเดียวกัน (ดังนั้นแต่ละคอลัมน์จึงเป็นแถวของเมทริกซ์ กด้วยหมายเลขเดียวกัน) ดังนั้นหาก , แล้ว .

เมทริกซ์นี้ ขเรียกว่า ย้ายเมทริกซ์ กและการเปลี่ยนจาก กถึง B การขนย้าย.

ดังนั้น การขนย้ายคือการกลับบทบาทของแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ เมทริกซ์เปลี่ยนเป็นเมทริกซ์ ก, มักจะแสดง ที่.

การสื่อสารระหว่างเมทริกซ์ กและสามารถเขียนทรานสโพสได้เป็น

ตัวอย่างเช่น.ค้นหาเมทริกซ์ที่ย้ายไปที่ที่กำหนด

การบวกเมทริกซ์ให้เมทริกซ์ กและ ขประกอบด้วยจำนวนแถวและจำนวนคอลัมน์เท่ากัน กล่าวคือ มี ขนาดเดียวกัน. จากนั้นเพื่อเพิ่มเมทริกซ์ กและ ขต้องการองค์ประกอบเมทริกซ์ กเพิ่มองค์ประกอบเมทริกซ์ ขยืนอยู่ที่เดิม ดังนั้นผลรวมของสองเมทริกซ์ กและ ขเรียกว่าเมทริกซ์ คซึ่งถูกกำหนดโดยกฎ ตัวอย่างเช่น

ตัวอย่าง.ค้นหาผลรวมของเมทริกซ์:

เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่าการบวกเมทริกซ์เป็นไปตามกฎต่อไปนี้: การสลับที่ เอ+บี=บี+เอและเชื่อมโยง ( เอ+บี)+ค=ก+(บี+ซี).

การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขในการคูณเมทริกซ์ กต่อหมายเลข เคต้องการแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ กคูณด้วยจำนวนนั้น ดังนั้นผลคูณเมทริกซ์ กต่อหมายเลข เคมีเมทริกซ์ใหม่ซึ่งถูกกำหนดโดยกฎ หรือ .

สำหรับตัวเลขใดๆ กและ ขและเมทริกซ์ กและ ขบรรลุความเท่าเทียมกัน:

ตัวอย่าง.

การคูณเมทริกซ์การดำเนินการนี้ดำเนินการตามกฎหมายเฉพาะ ก่อนอื่น เราทราบว่าขนาดของปัจจัยเมทริกซ์ต้องสอดคล้องกัน คุณสามารถคูณเฉพาะเมทริกซ์ที่มีจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์แรกตรงกับจำนวนแถวของเมทริกซ์ที่สอง (เช่น ความยาวของแถวแรกเท่ากับความสูงของคอลัมน์ที่สอง) งานเมทริกซ์ กไม่ใช่เมทริกซ์ ขเรียกว่าเมทริกซ์ใหม่ C=ABซึ่งมีส่วนประกอบดังนี้

ตัวอย่างเช่น เพื่อให้ได้ผลิตภัณฑ์ (เช่น ในเมทริกซ์ ค) องค์ประกอบในแถวที่ 1 และคอลัมน์ที่ 3 ตั้งแต่วันที่ 13คุณต้องใช้แถวที่ 1 ในเมทริกซ์ที่ 1 คอลัมน์ที่ 3 ในคอลัมน์ที่ 2 จากนั้นคูณองค์ประกอบแถวด้วยองค์ประกอบคอลัมน์ที่สอดคล้องกัน และเพิ่มผลลัพธ์ที่ได้ และองค์ประกอบอื่น ๆ ของเมทริกซ์ผลคูณได้โดยใช้ผลคูณที่คล้ายกันของแถวของเมทริกซ์แรกโดยคอลัมน์ของเมทริกซ์ที่สอง

โดยทั่วไป ถ้าเราคูณเมทริกซ์ A = (เอจ)ขนาด ม× นเป็นเมทริกซ์ B = (บิจ)ขนาด น× หน้าแล้วเราจะได้เมทริกซ์ คขนาด ม× หน้าซึ่งมีการคำนวณองค์ประกอบดังนี้: องค์ประกอบ ซี ไอเจได้มาจากผลคูณขององค์ประกอบ ผมแถวที่ th ของเมทริกซ์ กในองค์ประกอบที่เกี่ยวข้อง เจคอลัมน์ที่ -th ของเมทริกซ์ ขและผลรวมของพวกเขา

จากกฎนี้ คุณสามารถคูณเมทริกซ์กำลังสองที่มีลำดับเดียวกันได้เสมอ ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้เมทริกซ์กำลังสองที่มีลำดับเดียวกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถคูณด้วยตัวมันเองได้เสมอ เช่น ตารางขึ้น

กรณีสำคัญอีกกรณีหนึ่งคือการคูณเมทริกซ์แถวด้วยเมทริกซ์-คอลัมน์ และความกว้างของเมทริกซ์คอลัมน์แรกต้องเท่ากับความสูงของคอลัมน์ที่สอง ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้เมทริกซ์ของลำดับที่หนึ่ง (เช่น องค์ประกอบหนึ่ง) จริงๆ,

.

ตัวอย่าง.

ดังนั้น ตัวอย่างง่ายๆ เหล่านี้แสดงว่าโดยทั่วไปแล้ว เมทริกซ์ไม่ได้สับเปลี่ยนซึ่งกันและกัน กล่าวคือ เอ∙B ≠ B∙A . ดังนั้นเมื่อคูณเมทริกซ์ คุณต้องตรวจสอบลำดับของปัจจัยอย่างระมัดระวัง

สามารถตรวจสอบได้ว่าการคูณเมทริกซ์เป็นไปตามกฎการเชื่อมโยงและการกระจาย เช่น (AB)C=A(BC)และ (A+B)C=AC+BC.

นอกจากนี้ยังง่ายต่อการตรวจสอบว่าเมื่อคูณเมทริกซ์กำลังสอง กกับเมทริกซ์เอกลักษณ์ อีในลำดับเดียวกัน เราได้รับเมทริกซ์อีกครั้ง ก, นอกจากนี้ AE=EA=เอ.

อาจสังเกตข้อเท็จจริงที่น่าสงสัยต่อไปนี้ ดังที่ทราบแล้ว ผลคูณของตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ 2 ตัวไม่เท่ากับ 0 สำหรับเมทริกซ์ อาจไม่เป็นเช่นนั้น เช่น ผลคูณของเมทริกซ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ 2 ตัวอาจเท่ากับเมทริกซ์ศูนย์

ตัวอย่างเช่น, ถ้า , แล้ว

.

แนวคิดของผู้กำหนด

ให้กำหนดเมทริกซ์อันดับสอง - เมทริกซ์สี่เหลี่ยมที่ประกอบด้วยสองแถวและสองคอลัมน์ .

ตัวกำหนดอันดับสองที่ตรงกับเมทริกซ์นี้คือตัวเลขที่ได้ดังนี้: ก 11 ก 22 – ก 12 ก 21.

ดีเทอร์มีแนนต์แสดงด้วยสัญลักษณ์ .

ดังนั้น ในการหาดีเทอร์มิแนนต์อันดับสอง คุณต้องลบผลคูณขององค์ประกอบตามแนวทแยงมุมที่สองออกจากผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก

ตัวอย่าง.คำนวณปัจจัยลำดับที่สอง

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิจารณาเมทริกซ์ของลำดับที่สามและดีเทอร์มิแนนต์ที่เกี่ยวข้องได้

ปัจจัยลำดับที่สามซึ่งสอดคล้องกับเมทริกซ์กำลังสองที่กำหนดของลำดับที่สาม เป็นตัวเลขที่แสดงและได้ดังนี้:

.

ดังนั้น สูตรนี้ให้การขยายตัวของดีเทอร์มิแนนต์อันดับสามในแง่ขององค์ประกอบของแถวแรก 11 , 12 , 13และลดการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์อันดับสามเป็นการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์อันดับสอง

ตัวอย่าง.คำนวณปัจจัยลำดับที่สาม

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถแนะนำแนวคิดของปัจจัยสี่ ห้า ฯลฯ คำสั่งซื้อ ลดลำดับโดยขยายเหนือองค์ประกอบของแถวที่ 1 ในขณะที่เครื่องหมาย "+" และ "-" สำหรับคำศัพท์สลับกัน

ดังนั้นจึงไม่เหมือนกับเมทริกซ์ซึ่งเป็นตารางของตัวเลข ดีเทอร์มีแนนต์คือตัวเลขที่กำหนดให้กับเมทริกซ์ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง