เมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับที่ 2 คณิตศาสตร์สำหรับหุ่นจำลอง

มีการดำเนินการต่าง ๆ ในเมทริกซ์ดังกล่าว: พวกมันถูกคูณกัน, พบดีเทอร์มิแนนต์ ฯลฯ เมทริกซ์- กรณีพิเศษของอาร์เรย์: ถ้าอาร์เรย์สามารถมีจำนวนมิติเท่าใดก็ได้ จะเรียกอาร์เรย์สองมิติเท่านั้นว่าเมทริกซ์

ในการเขียนโปรแกรม เมทริกซ์เรียกอีกอย่างว่าอาร์เรย์สองมิติ อาร์เรย์ใดๆ ในโปรแกรมมีชื่อเหมือนกับว่าเป็นตัวแปรเดียว เพื่อชี้แจงว่าเซลล์อาร์เรย์ใดมีความหมาย เมื่อกล่าวถึงในโปรแกรม ร่วมกับตัวแปร หมายเลขเซลล์ในเซลล์จะถูกใช้ ทั้งเมทริกซ์สองมิติและอาร์เรย์ n มิติในโปรแกรมไม่เพียงแต่ประกอบด้วยตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมถึงข้อมูลเชิงสัญลักษณ์ สตริง บูลีน และข้อมูลอื่นๆ แต่ยังเหมือนกันภายในอาร์เรย์ทั้งหมดด้วย

เมทริกซ์แสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ A:MxN โดยที่ A คือชื่อของเมทริกซ์ M คือจำนวนแถวในเมทริกซ์ และ N คือจำนวนคอลัมน์ องค์ประกอบ - อักษรตัวพิมพ์เล็กที่เกี่ยวข้องพร้อมดัชนีระบุหมายเลขในแถวและในคอลัมน์ a (m, n)

เมทริกซ์ที่พบบ่อยที่สุดคือสี่เหลี่ยม แม้ว่าในอดีตอันไกลโพ้น นักคณิตศาสตร์ก็ถือว่าเมทริกซ์เป็นสามเหลี่ยมเช่นกัน ถ้าจำนวนแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์เท่ากัน เรียกว่า สี่เหลี่ยม ในกรณีนี้ M=N มีชื่อของลำดับเมทริกซ์อยู่แล้ว เมทริกซ์ที่มีแถวเดียวเรียกว่าแถว เมทริกซ์ที่มีคอลัมน์เดียวเรียกว่าคอลัมน์ เมทริกซ์แนวทแยงเป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเฉพาะองค์ประกอบที่อยู่ตามแนวทแยงเท่านั้นที่ไม่ใช่ศูนย์ หากองค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่ง เมทริกซ์จะเรียกว่า เอกลักษณ์ หากเป็นศูนย์ - ศูนย์

หากคุณสลับแถวและคอลัมน์ในเมทริกซ์ มันจะถูกย้าย หากองค์ประกอบทั้งหมดถูกแทนที่ด้วยคอนจูเกตที่ซับซ้อน มันจะกลายเป็นคอนจูเกตที่ซับซ้อน นอกจากนี้ยังมีเมทริกซ์ประเภทอื่นๆ ที่กำหนดโดยเงื่อนไขที่กำหนดในองค์ประกอบเมทริกซ์ แต่เงื่อนไขเหล่านี้ส่วนใหญ่ใช้กับเงื่อนไขกำลังสองเท่านั้น

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

ให้มีเมทริกซ์กำลังสองของลำดับที่ n

เมทริกซ์ A -1 เรียกว่า เมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์ A ถ้า A * A -1 = E โดยที่ E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับที่ n

เมทริกซ์เอกลักษณ์- เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสดังกล่าว ซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดตามแนวทแยงหลัก ผ่านจากมุมซ้ายบนไปยังมุมขวาล่าง เป็นองค์ประกอบ และส่วนที่เหลือเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น

เมทริกซ์ผกผันอาจมีอยู่ สำหรับเมทริกซ์กำลังสองเท่านั้นเหล่านั้น. สำหรับเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากัน

ทฤษฎีบทเงื่อนไขการดำรงอยู่ของเมทริกซ์ผกผัน

เพื่อให้เมทริกซ์มีเมทริกซ์ผกผัน มันจำเป็นและเพียงพอที่เมทริกซ์ไม่เสื่อมสภาพ

เมทริกซ์ A = (A1, A2,...A n) เรียกว่า ไม่เสื่อมสภาพถ้าเวกเตอร์คอลัมน์เป็นอิสระเชิงเส้น จำนวนเวกเตอร์คอลัมน์อิสระเชิงเส้นของเมทริกซ์เรียกว่าอันดับของเมทริกซ์ ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ว่าเพื่อให้มีเมทริกซ์ผกผันมีความจำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์นั้นเท่ากับมิติของมันนั่นคือ ร = น.

อัลกอริทึมสำหรับการหาเมทริกซ์ผกผัน

1. เขียนเมทริกซ์ A ในตารางสำหรับการแก้ระบบสมการโดยวิธีเกาส์และทางด้านขวา (แทนส่วนที่ถูกต้องของสมการ) กำหนดเมทริกซ์ E ให้
2. ใช้การแปลงของ Jordan นำเมทริกซ์ A มาสู่เมทริกซ์ที่ประกอบด้วยคอลัมน์เดี่ยว ในกรณีนี้ จำเป็นต้องแปลงเมทริกซ์ E พร้อมกัน
3. หากจำเป็น ให้จัดเรียงแถว (สมการ) ของตารางสุดท้ายใหม่ เพื่อให้ได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ E ใต้เมทริกซ์ A ของตารางต้นฉบับ
4. เขียนเมทริกซ์ผกผัน A -1 ซึ่งอยู่ในตารางสุดท้ายภายใต้เมทริกซ์ E ของตารางเดิม

ตัวอย่าง 1

สำหรับเมทริกซ์ A ให้หาเมทริกซ์ผกผัน A -1

วิธีแก้ไข: เราเขียนเมทริกซ์ A และทางด้านขวาเรากำหนดเมทริกซ์เอกลักษณ์ E โดยใช้การแปลงจอร์แดน เราลดเมทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ E การคำนวณจะแสดงในตาราง 31.1

ลองตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณโดยการคูณเมทริกซ์ A เดิมกับเมทริกซ์ผกผัน A -1

อันเป็นผลมาจากการคูณเมทริกซ์ทำให้ได้เมทริกซ์เอกลักษณ์ ดังนั้นการคำนวณจึงถูกต้อง

ตอบ:

แก้สมการเมทริกซ์

สมการเมทริกซ์สามารถมีลักษณะดังนี้:

ขวาน = B, XA = B, AXB = C,

โดยที่ A, B, C ได้รับเมทริกซ์ X คือเมทริกซ์ที่ต้องการ

สมการเมทริกซ์แก้ได้โดยการคูณสมการด้วยเมทริกซ์ผกผัน

ตัวอย่างเช่น ในการหาเมทริกซ์จากสมการ คุณต้องคูณสมการนี้ทางซ้าย

ดังนั้น ในการหาคำตอบของสมการ คุณต้องหาเมทริกซ์ผกผันแล้วคูณมันด้วยเมทริกซ์ทางด้านขวาของสมการ

สมการอื่น ๆ ถูกแก้ในทำนองเดียวกัน

ตัวอย่าง 2

แก้สมการ AX = B if

วิธีการแก้: เนื่องจากอินเวอร์สของเมทริกซ์เท่ากับ (ดูตัวอย่างที่ 1)

วิธีเมทริกซ์ในการวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์

พวกเขายังพบแอปพลิเคชันอื่น ๆ อีกด้วย วิธีเมทริกซ์. วิธีการเหล่านี้ใช้พีชคณิตเชิงเส้นและเวกเตอร์เมทริกซ์ วิธีการดังกล่าวใช้เพื่อวัตถุประสงค์ในการวิเคราะห์ปรากฏการณ์ทางเศรษฐกิจที่ซับซ้อนและหลายมิติ ส่วนใหญ่มักใช้วิธีการเหล่านี้เมื่อจำเป็นต้องเปรียบเทียบการทำงานขององค์กรและแผนกโครงสร้าง

ในกระบวนการใช้วิธีการวิเคราะห์เมทริกซ์นั้น สามารถแยกแยะได้หลายขั้นตอน

ในระยะแรกการก่อตัวของระบบตัวบ่งชี้ทางเศรษฐกิจดำเนินการและบนพื้นฐานของการรวบรวมเมทริกซ์ของข้อมูลเริ่มต้นซึ่งเป็นตารางที่แสดงหมายเลขระบบในแต่ละบรรทัด (ผม = 1,2,....,n), และตามกราฟแนวตั้ง - ตัวเลขของตัวชี้วัด (j = 1,2,....,ม.).

ในขั้นตอนที่สองสำหรับคอลัมน์แนวตั้งแต่ละคอลัมน์จะมีการเปิดเผยค่าที่ใหญ่ที่สุดของตัวบ่งชี้ที่มีอยู่ซึ่งถือเป็นหน่วย

หลังจากนั้น จำนวนเงินทั้งหมดที่สะท้อนในคอลัมน์นี้จะถูกหารด้วยค่าที่มากที่สุดและสร้างเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์มาตรฐาน

ในขั้นตอนที่สามองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์กำลังสอง หากมีความหมายต่างกันตัวบ่งชี้แต่ละตัวของเมทริกซ์จะได้รับค่าสัมประสิทธิ์การถ่วงน้ำหนักที่แน่นอน k. ค่าของหลังถูกกำหนดโดยผู้เชี่ยวชาญ

ล่าสุด ขั้นตอนที่สี่พบค่าเรตติ้ง Rjจัดกลุ่มตามลำดับการเพิ่มขึ้นหรือลดลง

ควรใช้วิธีเมทริกซ์ข้างต้น เช่น ในการวิเคราะห์เปรียบเทียบโครงการลงทุนต่างๆ ตลอดจนในการประเมินตัวชี้วัดประสิทธิภาพทางเศรษฐกิจอื่นๆ ขององค์กร

เมทริกซ์ในวิชาคณิตศาสตร์เป็นหนึ่งในวัตถุที่สำคัญที่สุดที่มีความสำคัญประยุกต์ บ่อยครั้งที่การเดินทางเข้าสู่ทฤษฎีของเมทริกซ์เริ่มต้นด้วยคำว่า: "เมทริกซ์คือตารางสี่เหลี่ยม ... " เราจะเริ่มการเดินทางครั้งนี้จากมุมที่ต่างออกไปเล็กน้อย

สมุดโทรศัพท์ทุกขนาดและด้วยข้อมูลสมาชิกจำนวนเท่าใดก็ได้ เป็นเพียงเมทริกซ์ เมทริกซ์เหล่านี้มีลักษณะดังนี้:

เป็นที่ชัดเจนว่าเราทุกคนใช้เมทริกซ์ดังกล่าวเกือบทุกวัน เมทริกซ์เหล่านี้มีหลายแถว (แยกเป็นไดเร็กทอรีที่ออกโดยบริษัทโทรศัพท์ ซึ่งสามารถมีได้เป็นพัน แสน หรือแม้แต่เป็นล้านบรรทัด และโน้ตบุ๊กใหม่ที่คุณเพิ่งเริ่มต้น ซึ่งมีน้อยกว่าสิบบรรทัด) และ คอลัมน์ (ไดเร็กทอรีของเจ้าหน้าที่ของบางองค์กรที่อาจมีคอลัมน์เช่นตำแหน่งและหมายเลขสำนักงานและสมุดบันทึกของคุณซึ่งอาจไม่มีข้อมูลอื่นนอกจากชื่อและดังนั้นจึงมีเพียงสองคอลัมน์ - ชื่อ และหมายเลขโทรศัพท์)

คุณสามารถเพิ่มและคูณเมทริกซ์ทุกประเภทได้ และการดำเนินการอื่น ๆ สามารถทำได้ แต่ไม่จำเป็นต้องเพิ่มและคูณไดเร็กทอรีโทรศัพท์ ไม่มีประโยชน์จากสิ่งนี้ และนอกจากนี้ คุณยังสามารถขยับความคิดของคุณได้

แต่เมทริกซ์จำนวนมากสามารถและควรเพิ่มและคูณ และงานเร่งด่วนต่างๆ สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีนี้ ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างของเมทริกซ์ดังกล่าว

เมทริกซ์ที่คอลัมน์คือผลลัพธ์ของหน่วยของผลิตภัณฑ์บางประเภท และแถวคือปีที่มีการบันทึกเอาต์พุตของผลิตภัณฑ์นี้:

คุณสามารถเพิ่มเมทริกซ์ประเภทนี้ ซึ่งคำนึงถึงการผลิตผลิตภัณฑ์ที่คล้ายคลึงกันโดยองค์กรต่างๆ เพื่อรับข้อมูลสรุปสำหรับอุตสาหกรรม

หรือเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยตัวอย่างเช่นของหนึ่งคอลัมน์ซึ่งแถวคือต้นทุนเฉลี่ยของผลิตภัณฑ์บางประเภท:

เมทริกซ์ของสองประเภทสุดท้ายสามารถคูณกันได้ และผลลัพธ์คือเมทริกซ์แถวที่มีต้นทุนของผลิตภัณฑ์ทุกประเภทตามปี

เมทริกซ์คำจำกัดความพื้นฐาน

ตารางสี่เหลี่ยมประกอบด้วยตัวเลขเรียงเป็น มเส้นและ นคอลัมน์เรียกว่า mn-เมทริกซ์ (หรือง่ายๆ เมทริกซ์ ) และเขียนดังนี้:

(1)

ในเมทริกซ์ (1) ตัวเลขเรียกว่า องค์ประกอบ (เช่นเดียวกับในดีเทอร์มิแนนต์ ดัชนีแรกหมายถึงจำนวนแถว ที่สอง - คอลัมน์ที่จุดตัดซึ่งมีองค์ประกอบอยู่ ผม = 1, 2, ..., ม; เจ = 1, 2, น).

เมทริกซ์เรียกว่า สี่เหลี่ยม , ถ้า .

ถ้า ม = นจากนั้นเมทริกซ์จะเรียกว่า สี่เหลี่ยม และหมายเลข n คือ ตามลำดับ .

ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์กำลังสอง A เรียกว่า ดีเทอร์มีแนนต์ซึ่งมีองค์ประกอบเป็นองค์ประกอบของเมทริกซ์ อา. มันเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ | อา|.

เมทริกซ์จตุรัสเรียกว่า ไม่พิเศษ (หรือ ไม่เสื่อมสภาพ , ไม่ใช่เอกพจน์ ) ถ้าดีเทอร์มีแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์ และ พิเศษ (หรือ เสื่อมโทรม , เอกพจน์ ) ถ้าดีเทอร์มีแนนต์เป็นศูนย์

เมทริกซ์เรียกว่า เท่ากัน หากมีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากัน และองค์ประกอบที่ตรงกันทั้งหมดเหมือนกัน

เมทริกซ์เรียกว่า โมฆะ ถ้าองค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ เมทริกซ์ศูนย์จะแสดงด้วยสัญลักษณ์ 0 หรือ .

ตัวอย่างเช่น,

เมทริกซ์แถว (หรือ ตัวพิมพ์เล็ก ) เรียกว่า 1 น-เมทริกซ์และ เมทริกซ์คอลัมน์ (หรือ เสา ) – ม 1-เมทริกซ์

เมทริกซ์ อา" ซึ่งได้มาจากเมทริกซ์ อาการสลับแถวและคอลัมน์ในนั้นเรียกว่า ขนย้าย เกี่ยวกับเมทริกซ์ อา. ดังนั้น สำหรับเมทริกซ์ (1) เมทริกซ์ทรานสโพสคือ

การเปลี่ยนไปใช้การทำงานของเมทริกซ์ อา" , สลับกับเมทริกซ์ อาเรียกว่าขนย้ายของเมทริกซ์ อา. สำหรับ m-เมทริกซ์ทรานสโพส is นาโนเมตร-เมทริกซ์

เมทริกซ์ที่ย้ายตามเมทริกซ์คือ อา, นั่นคือ

(อา")" = อา .

ตัวอย่าง 1ค้นหาเมทริกซ์ อา" , สลับกับเมทริกซ์

และหาว่าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์เดิมและเมทริกซ์ทรานสโพสเท่ากันหรือไม่

เส้นทแยงมุมหลัก เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือเส้นจินตภาพที่เชื่อมองค์ประกอบเข้าด้วยกัน ซึ่งดัชนีทั้งสองมีค่าเท่ากัน ธาตุเหล่านี้เรียกว่า เส้นทแยงมุม .

เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่นอกเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์เรียกว่า เส้นทแยงมุม . ไม่ใช่องค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดของเมทริกซ์แนวทแยงไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์ บางส่วนของพวกเขาอาจจะเท่ากับศูนย์

เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่องค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์เดียวกัน และส่วนอื่นๆ ทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ เรียกว่า เมทริกซ์สเกลาร์ .

เมทริกซ์เอกลักษณ์ เรียกว่าเมทริกซ์แนวทแยงซึ่งองค์ประกอบแนวทแยงทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่ง ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับที่สามคือเมทริกซ์

ตัวอย่าง 2ข้อมูลเมทริกซ์:

วิธีการแก้. ให้เราคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์เหล่านี้ โดยใช้กฎของสามเหลี่ยมเราพบว่า

ดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์ บีคำนวณตามสูตร

เราได้รับสิ่งนั้นอย่างง่ายดาย

ดังนั้น เมทริกซ์ อาและไม่เป็นเอกพจน์ (non-degenerate, non-singular) และ matrix บี- พิเศษ (เสื่อมโทรมเอกพจน์)

ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับใดๆ มีค่าเท่ากับหนึ่งอย่างชัดเจน

แก้ปัญหาเมทริกซ์ด้วยตัวเอง แล้วดูวิธีแก้ไข

ตัวอย่างที่ 3ข้อมูลเมทริกซ์

,

,

ตรวจสอบว่าสิ่งใดที่ไม่ใช่เอกพจน์ (ไม่เสื่อม, ไม่ใช่เอกพจน์)

การประยุกต์ใช้เมทริกซ์ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และเศรษฐศาสตร์

ในรูปแบบของเมทริกซ์ ข้อมูลที่มีโครงสร้างเกี่ยวกับออบเจกต์เฉพาะจะถูกเขียนอย่างเรียบง่ายและสะดวก โมเดลเมทริกซ์ถูกสร้างขึ้นไม่เพียงเพื่อจัดเก็บข้อมูลที่มีโครงสร้างนี้เท่านั้น แต่ยังเพื่อแก้ปัญหาต่างๆ กับข้อมูลนี้โดยใช้พีชคณิตเชิงเส้น

ดังนั้น โมเดลเมทริกซ์ที่เป็นที่รู้จักของเศรษฐกิจคือโมเดลอินพุต-เอาท์พุตที่นักเศรษฐศาสตร์ชาวอเมริกันชื่อ Wassily Leontiev นำเสนอ โมเดลนี้ตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ว่าภาคการผลิตทั้งหมดของเศรษฐกิจแบ่งออกเป็น นอุตสาหกรรมที่สะอาด แต่ละอุตสาหกรรมผลิตผลิตภัณฑ์เพียงประเภทเดียวและอุตสาหกรรมที่แตกต่างกันผลิตผลิตภัณฑ์ที่แตกต่างกัน เนื่องจากการแบ่งงานระหว่างอุตสาหกรรมนี้ จึงมีความสัมพันธ์ระหว่างอุตสาหกรรม ความหมายคือ ส่วนหนึ่งของการผลิตของแต่ละอุตสาหกรรมจะถูกโอนไปยังอุตสาหกรรมอื่น ๆ เพื่อเป็นทรัพยากรการผลิต

ปริมาณการผลิต ผม- อุตสาหกรรม (วัดโดยหน่วยวัดเฉพาะ) ที่ผลิตขึ้นในระหว่างรอบระยะเวลารายงานแสดงโดยและเรียกว่าผลผลิตทั้งหมด ผมอุตสาหกรรม ประเด็นต่างๆ ถูกวางไว้อย่างสะดวกใน น- แถวคอมโพเนนต์ของเมทริกซ์

จำนวนหน่วยผลิตภัณฑ์ ผม- อุตสาหกรรมที่จะใช้จ่าย เจอุตสาหกรรมสำหรับการผลิตหน่วยของผลผลิตจะแสดงและเรียกว่าสัมประสิทธิ์ของต้นทุนโดยตรง

เมทริกซ์ ประเภทของเมทริกซ์ การดำเนินการกับเมทริกซ์และคุณสมบัติของเมทริกซ์

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ของลำดับที่ n N, Z, Q, R, C,

เมทริกซ์ของคำสั่ง m*n คือตารางตัวเลขสี่เหลี่ยมที่มี m-rows และ n-columns

ความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์:

เมทริกซ์สองตัวจะเรียกว่าเท่ากัน ถ้าจำนวนแถวและคอลัมน์ของหนึ่งในนั้นเท่ากัน ตามลำดับ กับจำนวนแถวและคอลัมน์ของอีกคอลัมน์หนึ่งและตามลำดับ องค์ประกอบของเมทริกซ์เหล่านี้เท่ากัน

หมายเหตุ: องค์ประกอบที่มีดัชนีเดียวกันจะถูกจับคู่

ประเภทของเมทริกซ์:

Square Matrix: เมทริกซ์จะเรียกว่ากำลังสองถ้าจำนวนแถวเท่ากับจำนวนคอลัมน์

สี่เหลี่ยม: เมทริกซ์จะเรียกว่าสี่เหลี่ยมถ้าจำนวนแถวไม่เท่ากับจำนวนคอลัมน์

เมทริกซ์แถว: เมทริกซ์ของคำสั่ง 1*n (m=1) มีรูปแบบ a11,a12,a13 และเรียกว่าเมทริกซ์แถว

คอลัมน์เมทริกซ์:………….

เส้นทแยงมุม: เส้นทแยงมุมของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสจากมุมซ้ายบนไปยังมุมขวาล่างนั่นคือประกอบด้วยองค์ประกอบ a11, a22 ...... - เรียกว่าเส้นทแยงมุมหลัก (คำจำกัดความ: เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส องค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ยกเว้นองค์ประกอบที่อยู่ในแนวทแยงหลัก เรียกว่าเมทริกซ์แนวทแยง

เอกลักษณ์: เมทริกซ์ในแนวทแยงเรียกว่า เอกลักษณ์ หากองค์ประกอบทั้งหมดอยู่บนเส้นทแยงมุมหลักและมีค่าเท่ากับ 1

สามเหลี่ยมบน: A=||aij|| เรียกว่าเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน ถ้า aij=0 ให้ i>j.

สามเหลี่ยมล่าง: aij=0. ผม

Zero: นี่คือเมทริกซ์ที่มี Els เป็น 0

การดำเนินการกับเมทริกซ์

1.ขนย้าย.

2. การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข

3. การเพิ่มเมทริกซ์

4. การคูณเมทริกซ์

การดำเนินการ sv-va พื้นฐานเกี่ยวกับเมทริกซ์

1.A+B=B+A (การสับเปลี่ยน)

2.A+(B+C)=(A+B)+C (การเชื่อมโยง)

3.a(A+B)=aA+aB (การกระจาย)

4.(a+b)A=aA+bA (การกระจาย)

5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (อสูร.)

6.AB≠BA (ไม่มีการสื่อสาร)

7.A(BC)=(AB)C (associative) – ดำเนินการถ้า def มีการดำเนินการผลิตภัณฑ์เมทริกซ์

8.A(B+C)=AB+AC (กระจาย)

(B+C)A=BA+CA (แบบกระจาย)

9.a(AB)=(aA)B=(aB)A

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สี่เหลี่ยม - นิยามและคุณสมบัติของมัน การสลายตัวของดีเทอร์มีแนนต์ในแถวและคอลัมน์ วิธีการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์

หากเมทริกซ์ A มีลำดับ m>1 ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์นี้คือตัวเลข

พีชคณิตเสริม Aij ขององค์ประกอบ aij ของเมทริกซ์ A คือ Mij รองคูณด้วยตัวเลข

THEOREM1: ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบทั้งหมดของแถวใดๆ (คอลัมน์) และส่วนเติมเต็มเชิงพีชคณิตของพวกมัน

คุณสมบัติพื้นฐานของดีเทอร์มีแนนต์

1. ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการทรานสโพส

2. เมื่อทำการเรียงสับเปลี่ยนสองแถว (คอลัมน์) ดีเทอร์มีแนนต์จะเปลี่ยนเครื่องหมาย แต่ค่าสัมบูรณ์จะไม่เปลี่ยนแปลง

3. ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีแถว (คอลัมน์) เหมือนกันสองแถวคือ 0

4. เมื่อคูณแถว (คอลัมน์) ของเมทริกซ์ด้วยตัวเลข ดีเทอร์มีแนนต์ของมันถูกคูณด้วยตัวเลขนี้

5. หากหนึ่งในแถว (คอลัมน์) ของเมทริกซ์ประกอบด้วย 0 ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์นี้คือ 0

6. หากองค์ประกอบทั้งหมดของแถวที่ i (คอลัมน์) ของเมทริกซ์ถูกนำเสนอเป็นผลรวมของสองเทอม ดีเทอร์มีแนนต์ของมันสามารถแสดงเป็นผลรวมของดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์สองเมทริกซ์

7. ดีเทอร์มีแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากเพิ่มองค์ประกอบของคอลัมน์หนึ่ง (แถว) ลงในองค์ประกอบของคอลัมน์อื่น (แถว) ตามลำดับโดยการคูณล่วงหน้า สำหรับหมายเลขเดียวกัน

8. ผลรวมขององค์ประกอบตามอำเภอใจของคอลัมน์ใด ๆ (แถว) ของดีเทอร์มีแนนต์กับส่วนประกอบพีชคณิตที่สอดคล้องกันขององค์ประกอบของคอลัมน์อื่น (แถว) คือ 0

https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">

วิธีการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์:

1. ตามนิยามหรือทฤษฎีบท 1.

2. ลดรูปสามเหลี่ยม

ความหมายและคุณสมบัติของเมทริกซ์ผกผัน การคำนวณเมทริกซ์ผกผัน สมการเมทริกซ์

คำจำกัดความ: เมทริกซ์กำลังสองของคำสั่ง n เรียกว่าผกผันของเมทริกซ์ A ของลำดับเดียวกันและแสดงแทน

เพื่อให้เมทริกซ์ A มีเมทริกซ์ผกผัน มันจำเป็นและเพียงพอที่ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A แตกต่างจาก 0

คุณสมบัติเมทริกซ์ผกผัน:

1. เอกลักษณ์: สำหรับเมทริกซ์ A ที่กำหนด ค่าผกผันของมันคือค่าเฉพาะ

2. ดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์

3. การดำเนินการของการขนย้ายและการรับเมทริกซ์ผกผัน

สมการเมทริกซ์:

ให้ A และ B เป็นเมทริกซ์กำลังสองในลำดับเดียวกัน

https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">

แนวคิดของการพึ่งพาอาศัยกันเชิงเส้นและความเป็นอิสระของคอลัมน์เมทริกซ์ สมบัติของการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของระบบคอลัมน์

คอลัมน์ А1,А2…เรียกว่า อิงลิเนียร์ ถ้ามีการรวมเชิงเส้นที่ไม่สำคัญเท่ากับคอลัมน์ที่ 0

คอลัมน์ А1,А2…เรียกว่าอิสระเชิงเส้นถ้ามีการรวมเชิงเส้นที่ไม่สำคัญเท่ากับคอลัมน์ที่ 0

ชุดค่าผสมเชิงเส้นเรียกว่า เล็กน้อย ถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมด С(l) เท่ากับ 0 และไม่สำคัญอย่างอื่น

https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">

2. เพื่อให้คอลัมน์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น จึงจำเป็นและเพียงพอที่บางคอลัมน์จะเป็นการรวมเชิงเส้นของคอลัมน์อื่น

ให้ 1 คอลัมน์ https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src="> เป็นการรวมเชิงเส้นของคอลัมน์อื่นๆ

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ดังนั้นคอลัมน์ทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

4. หากระบบของคอลัมน์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น ระบบย่อยใดๆ ของระบบย่อยก็จะเป็นอิสระเชิงเส้นเช่นกัน

(ทุกอย่างที่พูดเกี่ยวกับคอลัมน์ก็เป็นจริงสำหรับแถวด้วย)

เมทริกซ์ไมเนอร์ พื้นฐานผู้เยาว์ อันดับเมทริกซ์ วิธีการปัดเศษผู้เยาว์ในการคำนวณอันดับของเมทริกซ์

ลำดับรองของเมทริกซ์ A คือดีเทอร์มีแนนต์ที่มีองค์ประกอบอยู่ที่จุดตัดของ k-rows และ k-rows ของ matrix A

ถ้าตัวรองทั้งหมดที่อยู่ในลำดับ k ของเมทริกซ์ A = 0 ดังนั้นตัวรองของลำดับ k + 1 จะเท่ากับ 0 ด้วย

ผู้เยาว์ขั้นพื้นฐาน

อันดับของเมทริกซ์ A คือลำดับของฐานรอง

วิธีการล้อมรอบผู้เยาว์: - เราเลือกองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ของเมทริกซ์ A (หากไม่มีองค์ประกอบดังกล่าว อันดับของ A \u003d 0)

เรากำหนดขอบเขตผู้เยาว์ก่อนหน้าของลำดับที่ 1 กับผู้เยาว์ของลำดับที่ 2 (หากผู้เยาว์รายนี้ไม่เท่ากับ 0 แสดงว่าอันดับ >=2) หากอันดับของผู้เยาว์รายนี้ =0 เราจะวางผู้เยาว์ในลำดับที่ 1 ที่เลือกไว้กับผู้เยาว์ลำดับที่ 2 คนอื่นๆ (หากผู้เยาว์ทั้งหมดของอันดับที่ 2 = 0 แสดงว่าอันดับของเมทริกซ์ = 1)

อันดับเมทริกซ์ วิธีการหาอันดับของเมทริกซ์

อันดับของเมทริกซ์ A คือลำดับของฐานรอง

วิธีการคำนวณ:

1) วิธีการปิดขอบผู้เยาว์: - เลือกองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ของเมทริกซ์ A (หากไม่มีองค์ประกอบดังกล่าว ให้จัดลำดับ = 0) - วางขอบลำดับที่ 1 ก่อนหน้ารองลงมาด้วยอันดับที่ 2 รองลงมา..gif" width= "40" height="22" >r+1 Mr+1=0.

2) การนำเมทริกซ์มาสู่รูปแบบขั้นบันได: วิธีนี้ขึ้นอยู่กับการแปลงเบื้องต้น ภายใต้การแปลงเบื้องต้น ลำดับของเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนแปลง

การแปลงต่อไปนี้เรียกว่าการแปลงเบื้องต้น:

การเรียงสับเปลี่ยนของสองแถว (คอลัมน์)

การคูณองค์ประกอบทั้งหมดของบางคอลัมน์ (แถว) ด้วยตัวเลข ไม่ใช่ =0

นอกเหนือจากองค์ประกอบทั้งหมดของคอลัมน์ (แถว) ขององค์ประกอบของคอลัมน์อื่น (แถว) ก่อนหน้านี้คูณด้วยจำนวนเดียวกัน

ทฤษฎีบทพื้นฐาน เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับดีเทอร์มีแนนต์เท่ากับศูนย์

ฐานรองของเมทริกซ์ A คือค่ารองของลำดับที่ k ที่ใหญ่ที่สุดซึ่งแตกต่างจาก 0

พื้นฐานทฤษฎีบทรอง:

แถวพื้นฐาน (คอลัมน์) มีความเป็นอิสระเชิงเส้น แถวใดๆ (คอลัมน์) ของเมทริกซ์ A เป็นการรวมเชิงเส้นของแถวพื้นฐาน (คอลัมน์)

หมายเหตุ: แถวและคอลัมน์ที่จุดตัดซึ่งมีส่วนรองพื้นฐานเรียกว่า แถวและคอลัมน์พื้นฐาน ตามลำดับ

a11 a12… a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

ar1 ar2 ….arr arj

ak1 ak2…..akr akj

เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับดีเทอร์มีแนนต์เท่ากับศูนย์:

เพื่อให้ดีเทอร์มีแนนต์ของลำดับที่ n = 0 จำเป็นและเพียงพอที่แถว (คอลัมน์) จะขึ้นกับเชิงเส้น

ระบบสมการเชิงเส้น รูปแบบการจำแนกและรูปแบบสัญกรณ์ กฎของแครมเมอร์

พิจารณาระบบสมการเชิงเส้น 3 สมการที่ไม่ทราบค่า 3 ค่า:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="(!LANG:l14image048"" width="64" height="38 id=">!}

เรียกว่า ดีเทอร์มีแนนต์ของระบบ

เราเขียนดีเทอร์มีแนนต์อีกสามตัวดังนี้: เราแทนที่คอลัมน์ 1, 2 และ 3 ตามลำดับในดีเทอร์มีแนนต์ D ด้วยคอลัมน์ของเทอมอิสระ

https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="(!LANG:l14image052" width="93" height="22 id=">!}

การพิสูจน์. ดังนั้น ให้พิจารณาระบบสมการ 3 ตัวที่มีสามไม่ทราบค่า เราคูณสมการที่ 1 ของระบบด้วยการเสริมพีชคณิต A11 ขององค์ประกอบ a11 สมการที่ 2 ด้วย A21 และอันที่ 3 ด้วย A31:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="(!LANG:l14image056"" width="247" height="31 id=">!}

พิจารณาวงเล็บแต่ละอันและด้านขวาของสมการนี้ โดยทฤษฎีบทการขยายตัวของดีเทอร์มีแนนต์ในแง่ขององค์ประกอบของคอลัมน์ที่ 1

https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="(!LANG:l14image060"" width="324" height="42 id=">!}

ในทำนองเดียวกัน สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า และ .

ในที่สุดก็เห็นได้ง่าย ๆ ว่า

ดังนั้นเราจึงได้รับความเท่าเทียมกัน: .

เพราะเหตุนี้, .

ความเท่าเทียมกันและได้รับมาในทำนองเดียวกันซึ่งการยืนยันของทฤษฎีบทดังต่อไปนี้

ระบบสมการเชิงเส้น เงื่อนไขความเข้ากันได้สำหรับสมการเชิงเส้น ทฤษฎีบทโครเนคเกอร์-คาเปลลี

คำตอบของระบบสมการพีชคณิตคือเซตของ n ตัวเลข C1,C2,C3……Cn ซึ่งเมื่อแทนที่ในระบบเดิมแทน x1,x2,x3…..xn จะเปลี่ยนสมการทั้งหมดของ ระบบการระบุตัวตน

ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นเรียกว่าสอดคล้องกันถ้ามีอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ

ระบบร่วมเรียกว่า definite ว่ามีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะหรือไม่และจะมีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุด

เงื่อนไขความเข้ากันได้ของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2…..amn xn bn

ทฤษฎีบท: สำหรับระบบของสมการเชิงเส้น m ที่มี n ไม่ทราบค่าสอดคล้องกัน จำเป็นและเพียงพอที่อันดับของเมทริกซ์ขยายจะเท่ากับอันดับของเมทริกซ์ A

หมายเหตุ: ทฤษฎีบทนี้ให้เกณฑ์สำหรับการมีอยู่ของโซลูชันเท่านั้น แต่ไม่ได้ระบุวิธีที่จะหาคำตอบ

10 คำถาม

ระบบสมการเชิงเส้น วิธีรองพื้นฐานเป็นวิธีทั่วไปในการหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นทั้งหมด

A=a21 a22…..a2n

วิธีการรองพื้นฐาน:

ปล่อยให้ระบบเข้ากันได้และ RgA=RgA’=r ให้ทาสีรองลงมาที่มุมซ้ายบนของเมทริกซ์ A

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src= ">......gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="46" height="23 src=">-…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">

หมายเหตุ: หากอันดับของเมทริกซ์หลักและพิจารณาแล้วเท่ากับ r=n ในกรณีนี้ dj=bj และระบบจะมีคำตอบเฉพาะ

ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้น

ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นเรียกว่าเอกพันธ์ ถ้าเทอมอิสระทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์

AX=0 เป็นระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน

AX = B เป็นระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีความสอดคล้องกันเสมอ

X1 =x2 =..=xn =0

ทฤษฎีบทที่ 1

ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันเมื่ออันดับของเมทริกซ์ระบบน้อยกว่าจำนวนที่ไม่รู้จัก

ทฤษฎีบท 2

ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้น n กับ n-unknowns มีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์เมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A เท่ากับศูนย์ (detA=0)

คุณสมบัติของการแก้ปัญหาของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน

การรวมเชิงเส้นใดๆ ของโซลูชันกับระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันคือโซลูชันของระบบนี้

α1C1 +α2C2 ; α1 และ α2 เป็นตัวเลขบางตัว

A(α1C1 + α2C2) = A(α1C1) + A(α2C2) = α1(A C1) + α2(AC2) = 0, กล่าวคือ k. (A C1) = 0; (AC2) = 0

สำหรับระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน คุณสมบัตินี้ไม่มีไว้

ระบบการตัดสินใจขั้นพื้นฐาน

ทฤษฎีบทที่ 3

ถ้าอันดับของระบบเมทริกซ์ของสมการที่มี n-unknowns คือ r ระบบนี้มีคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้น nr

ให้ฐานรองอยู่ที่มุมซ้ายบน ถ้า r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1.0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)

ระบบของ n-r คำตอบอิสระเชิงเส้นของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการเชิงเส้นที่มี n-unknowns ของอันดับ r เรียกว่าระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา

ทฤษฎีบทที่ 4

คำตอบใดๆ ของระบบสมการเชิงเส้นคือผลรวมเชิงเส้นของคำตอบของระบบพื้นฐาน

С = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r

ถ้า r

12 คำถาม

สารละลายทั่วไปของระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

สลีป (gen. ไม่สม่ำเสมอ) \u003d COO + SCH (ส่วนตัว)

AX=B (ระบบต่างกัน); ขวาน=0

(ASoo) + ASch = ASch = B เพราะ (ASoo) = 0

สลีป \u003d α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r + กลาง

วิธีเกาส์

นี่เป็นวิธีการกำจัดสิ่งแปลกปลอม (ตัวแปร) อย่างต่อเนื่อง - ประกอบด้วยความจริงที่ว่าด้วยความช่วยเหลือของการแปลงเบื้องต้นระบบสมการดั้งเดิมจะลดลงเป็นระบบที่เทียบเท่าในรูปแบบขั้นตอนซึ่งพบตัวแปรอื่น ๆ ตามลำดับ โดยเริ่มจากตัวแปรสุดท้าย

ให้ a≠0 (หากไม่ใช่กรณีนี้ ทำได้โดยการจัดเรียงสมการใหม่)

1) เราแยกตัวแปร x1 ออกจากสมการที่สอง, สาม ... n-th คูณสมการแรกด้วยตัวเลขที่เหมาะสมแล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้จากสมการที่ 2, 3 ... n-th เราจะได้:

เราได้รับระบบที่เทียบเท่ากับระบบเดิม

2) ไม่รวมตัวแปร x2

3) เราแยกตัวแปร x3 เป็นต้น

ดำเนินการตามขั้นตอนการกำจัดตัวแปรตามลำดับ x4;x5...xr-1 เราได้รับสำหรับขั้นตอน (r-1)-th

เลขศูนย์ของ n-r สุดท้ายในสมการหมายความว่าด้านซ้ายของพวกมันดูเหมือน: 0x1 +0x2+..+0xn

ถ้าอย่างน้อยหนึ่งตัวเลข вr+1, вr+2… ไม่เท่ากับศูนย์ แสดงว่าความเท่าเทียมกันที่สอดคล้องกันนั้นไม่สอดคล้องกันและระบบ (1) นั้นไม่สอดคล้องกัน ดังนั้น สำหรับระบบที่สอดคล้องกันใดๆ vr+1 … vm นี้มีค่าเท่ากับศูนย์

สมการ n-r สุดท้ายในระบบ (1;r-1) เป็นข้อมูลประจำตัวและสามารถละเว้นได้

เป็นไปได้สองกรณี:

ก) จำนวนสมการของระบบ (1; r-1) เท่ากับจำนวนที่ไม่รู้จักเช่น r \u003d n (ในกรณีนี้ระบบมีรูปสามเหลี่ยม)

ข) ร

การเปลี่ยนจากระบบ (1) เป็นระบบเทียบเท่า (1; r-1) เรียกว่าการย้ายโดยตรงของวิธีเกาส์

เกี่ยวกับการค้นหาตัวแปรจากระบบ (1; r-1) - โดยวิธีย้อนกลับของวิธีเกาส์

การแปลงแบบเกาส์เซียนทำได้อย่างสะดวกโดยไม่ใช้สมการ แต่ใช้เมทริกซ์แบบขยายของสัมประสิทธิ์

13 คำถาม

เมทริกซ์ที่คล้ายกัน

เราจะพิจารณาเฉพาะเมทริกซ์กำลังสองของลำดับ n/

กล่าวกันว่าเมทริกซ์ A จะคล้ายกับเมทริกซ์ B (A~B) หากมีเมทริกซ์ S ที่ไม่ใช่เอกพจน์ ดังนั้น A=S-1BS

คุณสมบัติของเมทริกซ์ที่คล้ายกัน

1) เมทริกซ์ A คล้ายกับตัวมันเอง (เอ~เอ)

ถ้า S=E แล้ว EAE=E-1AE=A

2) ถ้า A~B แล้ว B~A

ถ้า A=S-1BS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B

3) ถ้า A~B และในเวลาเดียวกัน B~C แล้ว A~C

กำหนดให้ A=S1-1BS1 และ B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3 โดยที่ S3 = S2S1

4) ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ที่คล้ายกันมีค่าเท่ากัน

เนื่องจาก A~B จำเป็นต้องพิสูจน์ว่า detA=detB

A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (ลด) = detB

5) อันดับของเมทริกซ์ที่คล้ายกันจะเหมือนกัน

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์

จำนวน λ เรียกว่าค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ A หากมีเวกเตอร์ X ที่ไม่ใช่ศูนย์ (คอลัมน์เมทริกซ์) เช่นนั้น AX = λ X เวกเตอร์ X เรียกว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ A และชุดของค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมด ​เรียกว่า สเปกตรัมของเมทริกซ์ A

คุณสมบัติของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

1) เมื่อคูณเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะด้วยตัวเลข เราจะได้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่มีค่าเฉพาะเหมือนกัน

AX \u003d λ X; Х≠0

α X => A (α X) \u003d α (AX) \u003d α (λ X) \u003d \u003d λ (α X)

2) Eigenvectors ที่มีค่าลักษณะเฉพาะต่างกันเป็นคู่มีความเป็นอิสระเชิงเส้น λ1, λ2,.. λk

ให้ระบบประกอบด้วยเวกเตอร์ที่ 1 ลองทำขั้นตอนอุปนัย:

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - คูณด้วย A.

C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn \u003d 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn = 0

คูณด้วย λn+1 แล้วลบออก

C1 X1 +C2 X2 + .. +Cn Xn+ Cn+1 Xn+1 = 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0

จำเป็นที่ C1 \u003d C2 \u003d ... \u003d Cn \u003d 0

Cn+1 Xn+1 λn+1 =0

สมการคุณลักษณะ

A-λEเรียกว่าเมทริกซ์ลักษณะเฉพาะสำหรับเมทริกซ์ A

เพื่อให้เวกเตอร์ X ที่ไม่ใช่ศูนย์เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ A ซึ่งสอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ λ จำเป็นต้องเป็นวิธีแก้ปัญหาของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการพีชคณิตเชิงเส้น (A - λE)X = 0

ระบบมีคำตอบที่ไม่สำคัญเมื่อ det (A - XE) = 0 - นี่คือสมการลักษณะเฉพาะ

คำแถลง!

สมการคุณลักษณะของเมทริกซ์ที่คล้ายคลึงกันเกิดขึ้นพร้อมกัน

det(S-1AS - λЕ) = det(S-1AS - λ S-1ЕS) = det(S-1 (A - λЕ)S) = det S-1 det(A - λЕ) detS= det(A - ล)

พหุนามลักษณะ

det(A – λЕ) - ฟังก์ชันเกี่ยวกับพารามิเตอร์ λ

det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA

พหุนามนี้เรียกว่าพหุนามเฉพาะของเมทริกซ์ A

ผลที่ตามมา:

1) ถ้าเมทริกซ์เป็น A~B ผลรวมขององค์ประกอบในแนวทแยงจะเท่ากัน

a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn

2) ชุดของค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ที่คล้ายกันตรงกัน

ถ้าสมการคุณลักษณะของเมทริกซ์เหมือนกัน ก็ไม่จำเป็นต้องเหมือนกัน

สำหรับเมทริกซ์ A

สำหรับเมทริกซ์ B

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38">

Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0

เพื่อให้เมทริกซ์ A ของลำดับ n เป็นแบบเส้นทแยงมุมได้ จำเป็นต้องมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เป็นอิสระเชิงเส้นของเมทริกซ์ A

ผลที่ตามมา

หากค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์ A ต่างกันแสดงว่าเป็นเส้นทแยงมุมได้

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะ

1) เขียนสมการคุณลักษณะ

2) หารากของสมการ

3) จัดทำระบบสมการเพื่อหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

λi (A-λi E)X = 0

4) หาระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา

x1,x2..xn-r โดยที่ r คืออันดับของเมทริกซ์ลักษณะเฉพาะ

r = Rg(A - λi E)

5) eigenvector, eigenvalues ​​​​λi เขียนเป็น:

X \u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r โดยที่ C12 + C22 + ... C2n ≠0

6) เราตรวจสอบว่าเมทริกซ์สามารถลดขนาดลงในแนวทแยงได้หรือไม่

7) หา Ag

Ag = S-1AS S=

15 คำถาม

พื้นฐานของเส้น เครื่องบิน พื้นที่

DIV_ADBLOCK371">

โมดูลของเวกเตอร์คือความยาว นั่นคือ ระยะห่างระหว่าง A และ B (││, ││) โมดูลัสของเวกเตอร์เท่ากับศูนย์ เมื่อเวกเตอร์นี้เป็นศูนย์ (│ō│=0)

4.Orth เวกเตอร์

orth ของเวกเตอร์ที่กำหนดเป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ที่กำหนดและมีโมดูลเท่ากับหนึ่ง

เวกเตอร์เท่ากันมีออร์ตเท่ากัน

5. มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว

นี่คือส่วนที่เล็กกว่าของพื้นที่ ล้อมรอบด้วยรังสีสองเส้นที่เปล่งออกมาจากจุดเดียวกันและพุ่งไปในทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ที่กำหนด

การบวกเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข

1) การบวกเวกเตอร์สองตัว

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │

2) การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

ผลคูณของเวกเตอร์และสเกลาร์เป็นเวกเตอร์ใหม่ที่มี:

a) = ผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์คูณด้วยค่าสัมบูรณ์ของสเกลาร์

b) ทิศทางจะเหมือนกับเวกเตอร์คูณถ้าสเกลาร์เป็นบวก และตรงกันข้ามถ้าสเกลาร์เป็นลบ

λ a(เวกเตอร์)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │

สมบัติของการดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์

1. กฎแห่งการสื่อสาร

2. กฎแห่งการเชื่อมโยง

3. การบวกด้วยศูนย์

a(เวกเตอร์)+ō= a(เวกเตอร์)

4. บวกกับสิ่งที่ตรงกันข้าม

5. (αβ) = α(β) = β(α)

6;7. กฎการกระจาย.

การแสดงออกของเวกเตอร์ในแง่ของโมดูลัสและเวกเตอร์หน่วย

จำนวนสูงสุดของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นเรียกว่าฐาน

ฐานบนเส้นคือเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ

พื้นฐานบนเครื่องบินคือเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ Callenary สองตัว

พื้นฐานในอวกาศคือระบบของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ระนาบระนาบสามตัว

สัมประสิทธิ์การขยายตัวของเวกเตอร์ในบางฐานเรียกว่าส่วนประกอบหรือพิกัดของเวกเตอร์ตามเกณฑ์ที่กำหนด

https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> ทำการบวกและคูณด้วยสเกลาร์ จากนั้นเป็น a ส่งผลให้จำนวนการกระทำดังกล่าวที่เราได้รับ:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> จะถูกเรียกว่าขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหากมีการรวมกันเชิงเส้นที่ไม่สำคัญเท่ากับ ō

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> เรียกว่าอิสระเชิงเส้นหากไม่มีการรวมเชิงเส้นที่ไม่สำคัญ

คุณสมบัติของเวกเตอร์ที่ขึ้นกับเชิงเส้นและอิสระ:

1) ระบบของเวกเตอร์ที่มีเวกเตอร์ศูนย์นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น เวกเตอร์บางตัวต้องเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์อื่น

3) ถ้าเวกเตอร์บางตัวจากระบบ a1 (เวกเตอร์), a2 (เวกเตอร์) ... ak (เวกเตอร์) ขึ้นอยู่กับเส้นตรง เวกเตอร์ทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

4)ถ้าเวกเตอร์ทั้งหมด https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">)

การดำเนินการเชิงเส้นในพิกัด

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">+ (λа3)DIV_ADBLOCK374">

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ 2 ตัวเป็นตัวเลขที่เท่ากับผลคูณของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

https://pandia.ru/text/78/365/images/image090_8.gif" width="48" height="13">

3. (a;b)=0 ถ้าหากเวกเตอร์เป็นมุมฉากหรือเวกเตอร์ใดๆ เท่ากับ 0

4. การกระจาย (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. การแสดงออกของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของ a และ b ในแง่ของพิกัด

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src=">

เมื่อเงื่อนไข () , h, l=1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> และเวกเตอร์ที่สามถูกเรียกซึ่งเป็นไปตามสมการต่อไปนี้:

3. - ถูกต้อง

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

4. ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์พิกัด

พื้นฐานปกติ

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src=">

มักใช้สัญลักษณ์ 3 ตัวเพื่อแสดงถึง orts ของพื้นฐาน orthonormal

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src=">

หากเป็นพื้นฐานออร์โธนอร์มอลแล้ว

DIV_ADBLOCK375">

เส้นตรงบนเครื่องบิน การเรียงตัวของเส้นตรง 2 เส้น ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรง มุมระหว่างสองเส้น เงื่อนไขความขนานและความตั้งฉากของเส้นตรง 2 เส้น

1. กรณีพิเศษ ตำแหน่งเส้นตรง 2 เส้นบนเครื่องบิน

1) - สมการของแกนขนานตรงOX

2) - สมการของเส้นตรงขนานกับแกน OS

2. การเรียงตัวกันของเส้นตรง 2 เส้น

ทฤษฎีบทที่ 1 ให้สมการของเส้นตรงเทียบกับระบบพิกัดความสัมพันธ์

A) จากนั้นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอเมื่อตัดกันคือ:

B) จากนั้นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความจริงที่ว่าเส้นขนานกันคือเงื่อนไข:

B) จากนั้นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับบรรทัดที่จะรวมเป็นหนึ่งคือเงื่อนไข:

3. ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

ทฤษฎีบท. ระยะทางจากจุดหนึ่งถึงเส้นตรงที่สัมพันธ์กับระบบพิกัดคาร์ทีเซียน:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src=">

4. มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น สภาพตั้งฉาก.

ให้เส้นตรง 2 เส้นเทียบกับระบบพิกัดคาร์ทีเซียนด้วยสมการทั่วไป

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src=">

ถ้า แสดงว่าเส้นตั้งฉาก

24 คำถาม

เครื่องบินในอวกาศ เงื่อนไข Complonarity สำหรับเวกเตอร์และระนาบ ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเครื่องบิน เงื่อนไขความขนานและความตั้งฉากของระนาบสองระนาบ

1. เงื่อนไข Complonarity สำหรับเวกเตอร์และระนาบ

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="(!LANG:Untitled4.jpg"" width="111" height="39">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="(!LANG:Untitled5.jpg"" width="88" height="57">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src=">

3. มุมระหว่าง 2 ระนาบ สภาพตั้งฉาก.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src=">

ถ้า แล้วระนาบจะตั้งฉาก

25 คำถาม

เส้นตรงในช่องว่าง สมการแบบต่างๆ ของเส้นตรงในอวกาศ

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19">

2. สมการเวกเตอร์ของเส้นตรงในอวกาศ

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src=">

4. สมการบัญญัติเป็นแบบตรง

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="(!LANG:Untitled3.jpg"" width="56" height="51"> !}

28 คำถาม

วงรี ที่มาของสมการวงรี Canonical แบบฟอร์ม คุณสมบัติ

วงรีคือตำแหน่งของจุดซึ่งผลรวมของระยะทางจากระยะทางคงที่สองระยะ เรียกว่าจุดโฟกัส เป็นจำนวนที่กำหนด 2a มากกว่าระยะทาง 2c ระหว่างจุดโฟกัส

https://pandia.ru/text/78/365/images/image195_4.gif" alt="(!LANG:image002"" width="17" height="23 id=">.gif" alt="image043" width="81 height=44" height="44"> 0=!}

ในรูปที่ 2 r1=a+ex r2=a-ex

Ur-e แทนเจนต์เพื่อวงรี

DIV_ADBLOCK378">

สมการ Canonical ของไฮเพอร์โบลา

แบบฟอร์มและเซนต์.

y=±b/a คูณด้วยรากของ (x2-a2)

แกนสมมาตรของไฮเพอร์โบลาคือแกน

เซ็กเมนต์ 2a - แกนจริงของไฮเพอร์โบลา

ความเยื้องศูนย์ e=2c/2a=c/a

ถ้า b=a เราจะได้ไฮเปอร์โบลาหน้าจั่ว

เส้นกำกับเป็นเส้นตรง ถ้าด้วยการลบจุด M1 อย่างไม่จำกัดตลอดเส้นโค้ง ระยะห่างจากจุดไปยังเส้นตรงมีแนวโน้มเป็นศูนย์

lim d=0 สำหรับ x-> ∞

d=ba2/(x1+(x21-a2)1/2/c)

แทนเจนต์ของไฮเพอร์โบลา

xx0/a2 - yy0/b2 = 1

พาราโบลา - ตำแหน่งของจุดที่เท่ากันจากจุดที่เรียกว่าโฟกัสและเส้นที่กำหนดเรียกว่าไดเรกทริกซ์

สมการพาราโบลา Canonical

คุณสมบัติ

แกนสมมาตรของพาราโบลาผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริกซ์

ถ้าคุณหมุนพาราโบลา คุณจะได้พาราโบลาวงรี

พาราโบลาทั้งหมดมีความคล้ายคลึงกัน

คำถามที่ 30. การตรวจสอบสมการของรูปแบบทั่วไปของเส้นโค้งลำดับที่สอง

ประเภทโค้ง def. ด้วยเงื่อนไขชั้นนำ A1, B1, C1

A1x12+2Bx1y1+C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

1. AC=0 ->เส้นโค้งของประเภทพาราโบลา

A=C=0 => 2Dx+2Ey+F=0

A≠0 C=0 => Ax2+2Dx+2Ey+F=0

ถ้า E=0 => Ax2+2Dx+F=0

จากนั้น x1=x2 - รวมเป็นหนึ่ง

x1≠x2 - เส้นขนานกัน Oy

x1≠x2 และรากจินตภาพ ไม่มีรูปเรขาคณิต

C≠0 A=0 =>C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

สรุป: เส้นโค้งพาราโบลาอาจเป็นพาราโบลาหรือเส้นคู่ขนาน 2 เส้น หรือจินตภาพ หรือรวมกันเป็นเส้นเดียว

2.AC>0 -> เส้นโค้งชนิดวงรี

การเสริมสมการดั้งเดิมให้เป็นกำลังสองเต็ม เราแปลงเป็นสมการบัญญัติ แล้วเราจะได้เคส

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=1 - วงรี

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=-1 - วงรีจินตภาพ

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 - จุดที่มีพิกัด x0 y0

สรุป: Curve el. type เป็นวงรีหรือจินตภาพหรือจุด

3. AC<0 - кривая гиперболического типа

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1 ไฮเพอร์โบลา แกนจริงขนานกัน

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=-1 ไฮเพอร์โบลา แกนจริงขนานกับ Oy

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 ur-e ของสองบรรทัด

สรุป: เส้นโค้งของประเภทไฮเปอร์โบลิกอาจเป็นไฮเปอร์โบลาหรือเส้นตรงสองเส้นก็ได้

คู่มือนี้จะช่วยให้คุณเรียนรู้วิธี การดำเนินการเมทริกซ์: การบวก (การลบ) ของเมทริกซ์, การขนย้ายของเมทริกซ์, การคูณเมทริกซ์, การหาค่าผกผันของเมทริกซ์ เนื้อหาทั้งหมดถูกนำเสนอในรูปแบบที่เรียบง่ายและเข้าถึงได้ มีการยกตัวอย่างที่เกี่ยวข้อง ดังนั้นแม้แต่คนที่ไม่ได้เตรียมตัวก็สามารถเรียนรู้วิธีดำเนินการกับเมทริกซ์ได้ สำหรับการควบคุมตนเองและการทดสอบตัวเอง คุณสามารถดาวน์โหลดเครื่องคำนวณเมทริกซ์ได้ฟรี >>>

ฉันจะพยายามลดการคำนวณทางทฤษฎีให้น้อยที่สุดในบางแห่งสามารถอธิบาย "ด้วยนิ้ว" และใช้คำศัพท์ที่ไม่เป็นวิทยาศาสตร์ได้ ผู้ชื่นชอบทฤษฎีที่มั่นคง โปรดอย่าวิจารณ์ หน้าที่ของเราคือ เรียนรู้วิธีการทำงานกับเมทริกซ์.

สำหรับการเตรียมการอย่างรวดเร็วในหัวข้อ (ใคร "เบิร์น") มี pdf-course แบบเข้มข้น เมทริกซ์ ดีเทอร์มีแนนต์ และออฟเซ็ต!

เมทริกซ์คือตารางสี่เหลี่ยมของบางส่วน องค์ประกอบ. เนื่องจาก องค์ประกอบเราจะพิจารณาตัวเลข นั่นคือ เมทริกซ์ตัวเลข ธาตุเป็นคำ เป็นที่พึงปรารถนาที่จะจำคำศัพท์มันมักจะเกิดขึ้นไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันใช้ตัวหนาเพื่อเน้นมัน

การกำหนด:เมทริกซ์มักจะแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่

ตัวอย่าง:พิจารณาเมทริกซ์สองต่อสาม:

เมทริกซ์นี้ประกอบด้วยหก องค์ประกอบ:

ตัวเลขทั้งหมด (องค์ประกอบ) ภายในเมทริกซ์มีอยู่ในตัวของมันเอง นั่นคือ ไม่มีปัญหาเรื่องการลบใดๆ:

เป็นแค่ตาราง (ชุด) ตัวเลข!

เราก็เห็นด้วย อย่าจัดเรียงใหม่เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่นในคำอธิบาย แต่ละหมายเลขมีตำแหน่งของตัวเอง และคุณไม่สามารถสับเปลี่ยนได้!

เมทริกซ์ที่เป็นปัญหามีสองแถว:

และสามคอลัมน์:

มาตรฐาน: เมื่อพูดถึงมิติของเมทริกซ์แล้ว แรกระบุจำนวนแถวและจากนั้น - จำนวนคอลัมน์ เราแยกย่อยเมทริกซ์สองต่อสามแล้ว

หากจำนวนแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์เท่ากัน เมทริกซ์จะเรียกว่า สี่เหลี่ยม, ตัวอย่างเช่น: เป็นเมทริกซ์ขนาดสามคูณสาม

หากเมทริกซ์มีหนึ่งคอลัมน์หรือหนึ่งแถว เมทริกซ์ดังกล่าวก็จะเรียกว่า เวกเตอร์.

อันที่จริง เรารู้แนวคิดของเมทริกซ์ตั้งแต่สมัยเรียน เช่น จุดที่มีพิกัด "x" และ "y": โดยพื้นฐานแล้ว พิกัดของจุดจะถูกเขียนเป็นเมทริกซ์หนึ่งต่อสอง นี่คือตัวอย่างสำหรับคุณว่าทำไมลำดับของตัวเลขจึงสำคัญ: และเป็นจุดสองจุดที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงของระนาบ

ตอนนี้เรามาดูการศึกษากันต่อ การดำเนินการเมทริกซ์:

1) การกระทำที่หนึ่ง การลบลบออกจากเมทริกซ์ (แนะนำลบเป็นเมทริกซ์).

กลับไปที่เมทริกซ์ของเรา . อย่างที่คุณคงสังเกตเห็น มีตัวเลขติดลบมากเกินไปในเมทริกซ์นี้ สิ่งนี้ไม่สะดวกมากในแง่ของการดำเนินการต่าง ๆ กับเมทริกซ์ มันไม่สะดวกที่จะเขียน minuses จำนวนมาก และมันก็ดูน่าเกลียดในการออกแบบ

ลองย้ายลบออกนอกเมทริกซ์โดยเปลี่ยนเครื่องหมายขององค์ประกอบ EACH ของเมทริกซ์:

ที่ศูนย์ตามที่คุณเข้าใจเครื่องหมายจะไม่เปลี่ยนแปลงศูนย์ - ในแอฟริกาก็เป็นศูนย์เช่นกัน

ตัวอย่างย้อนกลับ: . ดูน่าเกลียด

เราใส่เครื่องหมายลบลงในเมทริกซ์โดยเปลี่ยนเครื่องหมายขององค์ประกอบ EACH ของเมทริกซ์:

ก็สวยกว่าเยอะ และที่สำคัญที่สุด การดำเนินการใดๆ กับเมทริกซ์จะง่ายกว่า เพราะมีเครื่องหมายพื้นบ้านทางคณิตศาสตร์ดังกล่าว: minuses มากขึ้น - ความสับสนและข้อผิดพลาดมากขึ้น.

2) การกระทำที่สอง การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข.

ตัวอย่าง:

ง่ายมาก ในการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข คุณต้องมี แต่ละคูณองค์ประกอบเมทริกซ์ด้วยจำนวนที่กำหนด ในกรณีนี้สาม.

อีกตัวอย่างที่มีประโยชน์:

– การคูณเมทริกซ์ด้วยเศษส่วน

มาดูกันก่อนว่าต้องทำอย่างไร ไม่จำเป็น:

ไม่จำเป็นต้องใส่เศษส่วนลงในเมทริกซ์ ประการแรก มันทำให้การดำเนินการเพิ่มเติมกับเมทริกซ์เป็นเรื่องยาก และประการที่สอง ทำให้ครูตรวจสอบคำตอบได้ยาก (โดยเฉพาะถ้า - คำตอบสุดท้ายของงาน)

และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง, ไม่จำเป็นหารแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ด้วยลบเจ็ด:

จากบทความ คณิตศาสตร์สำหรับหุ่นจำลองหรือจุดเริ่มต้นเราจำได้ว่าเศษส่วนทศนิยมที่มีเครื่องหมายจุลภาคในวิชาคณิตศาสตร์ระดับสูงกว่านั้นพยายามหลีกเลี่ยงทุกวิถีทาง

สิ่งเดียวเท่านั้น เป็นที่น่าพอใจในตัวอย่างนี้คือการแทรกเครื่องหมายลบลงในเมทริกซ์:

แต่ถ้า ทั้งหมดองค์ประกอบเมทริกซ์ถูกหารด้วย7 ไร้ร่องรอยมันก็จะเป็นไปได้ (และจำเป็น!) ที่จะแบ่ง

ตัวอย่าง:

ในกรณีนี้ คุณสามารถ ความต้องการคูณองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ด้วย เนื่องจากตัวเลขทั้งหมดในเมทริกซ์นั้นหารด้วย 2 . ลงตัว ไร้ร่องรอย.

หมายเหตุ: ในทฤษฎีคณิตศาสตร์ชั้นสูง ไม่มีแนวคิดเรื่อง "การแบ่ง" ของโรงเรียน แทนที่จะพูดว่า "นี่หารด้วยนี่" คุณสามารถพูดว่า "นี่คือการคูณด้วยเศษส่วน" ได้เสมอ กล่าวคือ การหารเป็นกรณีพิเศษของการคูณ

3) การกระทำที่สาม การขนย้ายเมทริกซ์.

ในการทรานสโพสเมทริกซ์ คุณต้องเขียนแถวของมันลงในคอลัมน์ของเมทริกซ์ทรานสโพส

ตัวอย่าง:

ทรานสโพส เมทริกซ์

มีเพียงหนึ่งบรรทัดที่นี่และตามกฎแล้วจะต้องเขียนในคอลัมน์:

คือเมทริกซ์ทรานสโพส

เมทริกซ์ทรานสโพสมักจะแสดงโดยตัวยกหรือเส้นขีดที่มุมขวาบน

ตัวอย่างทีละขั้นตอน:

ทรานสโพส เมทริกซ์

อันดับแรก เราเขียนแถวแรกใหม่ในคอลัมน์แรก:

จากนั้นเราเขียนแถวที่สองลงในคอลัมน์ที่สอง:

และสุดท้าย เราเขียนแถวที่สามลงในคอลัมน์ที่สามใหม่:

พร้อม. พูดโดยคร่าว ๆ การเปลี่ยนผ่านหมายถึงการเปลี่ยนเมทริกซ์ไปด้านข้าง

4) การกระทำที่สี่ ผลรวม (ผลต่าง) ของเมทริกซ์.

ผลรวมของเมทริกซ์เป็นการดำเนินการอย่างง่าย
ไม่สามารถพับเมทริกซ์ทั้งหมดได้ ในการบวก (การลบ) ของเมทริกซ์ จำเป็นต้องมีขนาดเท่ากัน

ตัวอย่างเช่น ถ้าให้เมทริกซ์แบบสองคูณสอง ก็จะสามารถเพิ่มเมทริกซ์แบบสองต่อสองเท่านั้น และไม่มีเมทริกซ์อื่น!

ตัวอย่าง:

เพิ่มเมทริกซ์ และ

ในการเพิ่มเมทริกซ์ คุณต้องเพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้อง:

สำหรับผลต่างของเมทริกซ์ กฎจะคล้ายคลึงกัน จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างขององค์ประกอบที่เกี่ยวข้อง.

ตัวอย่าง:

ค้นหาผลต่างของเมทริกซ์ ,

และวิธีแก้ตัวอย่างนี้ง่ายขึ้นเพื่อไม่ให้สับสน? ขอแนะนำให้กำจัด minuses ที่ไม่จำเป็น สำหรับสิ่งนี้เราจะเพิ่มเครื่องหมายลบลงในเมทริกซ์:

หมายเหตุ: ในทฤษฎีคณิตศาสตร์ชั้นสูง ไม่มีแนวคิดเรื่อง "การลบ" ของโรงเรียน แทนที่จะพูดว่า "ลบสิ่งนี้ออกจากสิ่งนี้" คุณสามารถพูดว่า "บวกจำนวนลบในสิ่งนี้" ได้เสมอ กล่าวคือ การลบเป็นกรณีพิเศษของการบวก

5) การกระทำที่ห้า การคูณเมทริกซ์.

เมทริกซ์ใดสามารถคูณได้?

เพื่อให้เมทริกซ์คูณด้วยเมทริกซ์ เพื่อให้จำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์เท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์.

ตัวอย่าง:
เป็นไปได้ไหมที่จะคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์?

ดังนั้น คุณสามารถคูณข้อมูลของเมทริกซ์ได้

แต่ถ้าเมทริกซ์ถูกจัดเรียงใหม่ ในกรณีนี้ การคูณจะไม่สามารถทำได้อีกต่อไป!

ดังนั้นการคูณจึงเป็นไปไม่ได้:

ไม่ใช่เรื่องแปลกสำหรับงานที่มีกลอุบายเมื่อนักเรียนถูกขอให้คูณเมทริกซ์ซึ่งการคูณนั้นเป็นไปไม่ได้อย่างเห็นได้ชัด

ควรสังเกตว่าในบางกรณี เป็นไปได้ที่จะคูณเมทริกซ์ทั้งสองวิธี
ตัวอย่างเช่น สำหรับเมทริกซ์ และทั้งการคูณและการคูณเป็นไปได้