ฉบับการศึกษา

ยูยูคิน นิโคไล อเล็กเซวิช

เลขที่แอลอาร์ ลงนามประทับตรา

อุ๊ย เอ็ด ล.. , .

มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งรัฐ Voronezh

394026 โวโรเนจ, Moskovsky Ave. 14

ไดเรกทอรีของดิสก์แม่เหล็ก

แผนก คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นและการสร้างแบบจำลองทางกายภาพและคณิตศาสตร์

บน. ยูยูคิน

คณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่อง ตอนที่ 1 องค์ประกอบของทฤษฎีกราฟ

บทช่วยสอน

บน. ยูยูคิน

คณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่อง ตอนที่ 1 องค์ประกอบของทฤษฎีกราฟ

บทช่วยสอน

โวโรเนซ 2004

การแนะนำ

คู่มือนี้สามารถใช้ในรายวิชา “Discrete Mathematics” ของนักศึกษา VSTU ที่กำลังศึกษาในสาขาวิชาเฉพาะดังต่อไปนี้

090102 – ความปลอดภัยของคอมพิวเตอร์

090105 – การจัดหาความปลอดภัยของข้อมูลที่ครอบคลุมของระบบอัตโนมัติ

090106 - ความปลอดภัยของข้อมูลระบบโทรคมนาคม

ระเบียบวินัย "คณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่อง" ช่วยให้มั่นใจว่าได้รับความรู้และทักษะตามมาตรฐานของรัฐ มาตรฐานการศึกษาทั่วไป และในขณะเดียวกันก็มีส่วนช่วยในการได้มาซึ่ง การศึกษาขั้นพื้นฐานการก่อตัวของโลกทัศน์และพัฒนาการคิดเชิงตรรกะ

ทฤษฎีกราฟเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในการแก้ไขปัญหาทางวิศวกรรมสมัยใหม่ที่เกี่ยวข้องกับวัตถุที่ไม่ต่อเนื่อง ใช้ในการออกแบบวงจรรวมและวงจรควบคุม การศึกษาเครื่องจักรอัตโนมัติและวงจรลอจิก เป็นต้น การวิเคราะห์ระบบการควบคุมการผลิตแบบอัตโนมัติ ในการพัฒนาคอมพิวเตอร์และเครือข่ายข้อมูล การออกแบบวงจรและการออกแบบโทโพโลยี เป็นต้น

ใน หนังสือเรียนสรุปพื้นฐาน วิธีการพื้นฐาน และอัลกอริธึมของทฤษฎีกราฟ ที่นี่เรานำเสนอกราฟ n และไดกราฟ มอร์ฟิซึม; ต้นไม้; กราฟออยเลอร์ กราฟระนาบ แผ่นปิดและชุดอิสระ การเชื่อมต่อที่แข็งแกร่ง

วี ไดกราฟ; การวิเคราะห์กราฟลูกโซ่มาร์คอฟ อัลกอริธึมสำหรับการค้นหาเส้นทางที่สั้นที่สุดในกราฟ ปัญหาการค้นหาวัฏจักรแฮมิลตัน

วี กราฟ; ปัญหาพนักงานขายเดินทาง การแจงนับกราฟและการแมป งานสุดขีด ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ; งานสากล สาขาและวิธีการผูกมัด และพัฒนาทักษะการปฏิบัติในการใช้แนวคิดข้างต้น

วัตถุประสงค์ของหลักสูตรคือเพื่อพัฒนานักศึกษา ความรู้ทางทฤษฎีทักษะการปฏิบัติในด้านกระบวนการสร้างแบบจำลองและปรากฏการณ์ทางวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและเทคโนโลยี

ke มีความเป็นไปได้ในการบริโภค สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เพื่อแสดงความสัมพันธ์เชิงปริมาณและคุณภาพของวัตถุที่จำเป็นในการดำเนินกิจกรรมอย่างเป็นทางการในด้านความปลอดภัยของข้อมูลในระดับมืออาชีพระดับสูง

งานต่อไปนี้ทำหน้าที่เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้:

ศึกษาแนวคิดทฤษฎีกราฟที่หลากหลายที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

ได้รับทักษะในการแก้ปัญหาทางการศึกษาและการปฏิบัติ

วิธีการเพิ่มประสิทธิภาพหลัก

พัฒนาทักษะการกำหนดและการตัดสินใจ งานข้อมูลการสร้างแบบจำลองและการวิเคราะห์ข้อมูลโดยใช้กราฟ

วินัย “คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง” เป็นหนึ่งในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ ขึ้นอยู่กับความรู้ที่นักเรียนได้รับขณะศึกษาสาขาวิชา “พีชคณิต” และ “ ตรรกะทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีอัลกอริธึม” ความรู้และทักษะที่ได้รับในการศึกษาสาขาวิชา “คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง” ถูกนำมาใช้ในการศึกษา มืออาชีพทั่วไปและสาขาวิชาพิเศษ

1. แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีกราฟ

1.1. ปัญหาของทฤษฎีกราฟ

ทฤษฎีกราฟเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาระบบการเชื่อมโยงระหว่างวัตถุต่างๆ เช่นเดียวกับที่ทำกับแนวคิดเรื่องความสัมพันธ์ อย่างไรก็ตาม การตัดสินใจที่เป็นอิสระกราฟทำให้การนำเสนอทฤษฎีง่ายขึ้นและทำให้เข้าใจและเป็นภาพได้มากขึ้น

ปัญหาแรกของทฤษฎีกราฟเกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหาความบันเทิงและปริศนา

งานแรก. ปัญหาของสะพานเคอนิกส์แบร์กถูกวางและแก้ไขโดยออยเลอร์ในปี พ.ศ. 2329 เมืองนี้ตั้งอยู่บนฝั่งและเกาะสองแห่งของแม่น้ำพรีโกลยา เกาะเหล่านี้เชื่อมต่อระหว่างกันกับชายฝั่งด้วยสะพานเจ็ดแห่งดังแสดงในรูป

คำถามเกิดขึ้น: เป็นไปได้ไหมที่จะออกจากบ้านแล้วกลับข้ามสะพานแต่ละแห่งเพียงครั้งเดียว?

ภารกิจที่สอง ปัญหาบ้านสามหลังสามบ่อ มีบ้านสามหลังและบ่อน้ำสามแห่ง

จำเป็นต้องวาดเส้นทางจากบ้านแต่ละหลังไปยังแต่ละบ่อเพื่อไม่ให้เส้นทางตัดกัน งานคือ

แก้ไขโดย Pontryagin และเป็นอิสระจากเขาโดย Kuratovsky ใน

ภารกิจที่สาม. ประมาณสี่สี.. ระบายสีแผนที่ใดๆ บนเครื่องบินด้วยสี่สี เพื่อไม่ให้พื้นที่สองแห่งที่อยู่ติดกันถูกทาสีด้วยสีเดียวกัน

ผลลัพธ์มากมายจากทฤษฎีกราฟถูกนำมาใช้เพื่อแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติในด้านวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ดังนั้นในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 Kirchhoff จึงใช้ทฤษฎีกราฟเพื่อคำนวณวงจรไฟฟ้าที่ซับซ้อน อย่างไรก็ตาม ตามหลักวินัยทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีกราฟถือกำเนิดขึ้นในช่วงทศวรรษที่ 30 ของศตวรรษที่ 20 เท่านั้น ในกรณีนี้ กราฟถือเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์เชิงนามธรรมบางรายการ ใช้ในการวิเคราะห์และการสังเคราะห์วงจรและระบบต่างๆ การวางแผนเครือข่ายและการจัดการ การวิจัยการดำเนินงาน การเขียนโปรแกรม การสร้างแบบจำลองการทำงานที่สำคัญของร่างกายและด้านอื่น ๆ

1.2. คำจำกัดความพื้นฐาน

กราฟ G= (V,E) คือชุดของสองชุด - ชุดของจุดยอด V ที่ไม่ว่าง และชุดของจุดยอดคู่ที่ไม่เรียงลำดับและเรียงลำดับ E ต่อไปนี้เราจะพิจารณากราฟที่มีขอบเขตจำกัด เช่น กราฟที่มีเซตของจุดยอดที่มีขอบเขตจำกัดและตระกูลคู่ที่มีขอบเขตจำกัด จุดยอดคู่ที่ไม่เรียงลำดับเรียกว่าขอบ และคู่ที่ได้รับลำดับเรียกว่าส่วนโค้ง

โดยทั่วไปแล้ว กราฟจะแสดงด้วยแผนภาพ จุดยอดคือจุด (หรือวงกลม) ขอบคือเส้นที่กำหนดรูปแบบเอง ลูกศรยังระบุทิศทางของมันบนส่วนโค้งอีกด้วย โปรดทราบว่าเมื่อวาดภาพกราฟพาหะ

แห่งชาติ คุณสมบัติทางเรขาคณิตซี่โครง (ความยาว, ความโค้ง) รวมทั้ง การจัดการร่วมกันจุดยอดบนเครื่องบิน

จุดยอดที่ไม่อยู่ในขอบ (ส่วนโค้ง) ใดๆ เรียกว่าแยกออกจากกัน จุดยอดที่เชื่อมต่อกันด้วยขอบหรือส่วนโค้งเรียกว่าจุดติดกัน ขอบ (ส่วนโค้ง) และจุดยอดสองจุดใด ๆ เรียกว่าเหตุการณ์

พวกเขาบอกว่าขอบ (u,v) เชื่อมต่อกับจุดยอด u และ v และส่วนโค้ง (u,v) เริ่มต้นที่จุดยอด u และสิ้นสุดที่จุดยอด v ในขณะที่ u เรียกว่าจุดเริ่มต้น และ v คือจุดสิ้นสุดของส่วนโค้งนี้

จุดยอดคู่หนึ่งสามารถเชื่อมต่อกันด้วยขอบสองอันขึ้นไป (ส่วนโค้งไปในทิศทางเดียวกัน) ขอบ (ส่วนโค้ง) ดังกล่าวเรียกว่าหลายส่วน ส่วนโค้ง (หรือขอบ) สามารถเริ่มต้นหรือสิ้นสุดที่จุดยอดเดียวกันได้ ส่วนโค้ง (ขอบ) ดังกล่าวเรียกว่าการวนซ้ำ กราฟที่มีการวนซ้ำเรียกว่ากราฟหลอก กราฟที่มีหลายขอบ (ส่วนโค้ง) เรียกว่ากราฟหลายกราฟ

กราฟที่ไม่มีลูปหรือหลายขอบเรียกว่ากราฟแบบง่าย กราฟอย่างง่ายเรียกว่าสมบูรณ์หากจุดยอดคู่ใดๆ มีขอบ (ส่วนโค้ง) เชื่อมต่อกัน กราฟที่สมบูรณ์ซึ่งมีจุดยอด n จุดจะแสดงด้วย K n ตัวอย่างเช่น นี่คือกราฟ

กราฟที่ประกอบด้วยจุดยอดเดี่ยว (K 1) เรียกว่าจิ๊บจ๊อย

ส่วนเสริมของกราฟ G คือกราฟ G ที่มีจุดยอดเดียวกันกับกราฟ G และมีขอบที่ต้องเพิ่มลงในกราฟ G เพื่อให้ได้ กราฟที่สมบูรณ์.

ถึงผู้ที่ไม่ใช่นักวาดทุกคน ตรงตามมาตรฐานกราฟกำกับที่มีจุดยอดชุดเดียวกัน โดยแต่ละขอบจะถูกแทนที่ด้วยส่วนโค้งสองอันที่ตกกระทบกับจุดยอดเดียวกันและมีทิศทางตรงกันข้าม

1.3. องศาของจุดยอดกราฟ

องศา (เวเลนซ์) (การกำหนด d (v) หรือองศา (v)) ของจุดยอด v ของกราฟอย่างง่าย G คือจำนวนขอบหรือส่วนโค้งที่ตกกระทบกับจุดยอด v ที่กำหนด เมื่อคำนวณความจุของจุดยอดของกราฟเทียม ควรนับแต่ละวงสองครั้ง

ถ้าองศาของจุดยอดทั้งหมดของกราฟ n เท่ากับ k กราฟนั้นจะถูกเรียก ประจำ (เครื่องแบบ)องศาก. หากระดับของจุดยอดเป็น 0 แสดงว่าจุดยอดนั้นถูกแยกออกจากกัน หากระดับของจุดยอดเท่ากับ 1 จุดยอดนั้นเรียกว่าจุดสิ้นสุด (ห้อย, จุดสิ้นสุด)

สำหรับไดกราฟ จะเรียกว่าจำนวนส่วนโค้งที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอด v

แตกต่างกันไป กึ่งระดับของผลลัพธ์										(v) และอันที่เข้ามานั้นเป็นแบบกึ่งขั้นตอน
โทรใหม่d							(v) ในกรณีนี้ ความสัมพันธ์ d (v)=
		(วี)+			(วี)

ทฤษฎีบทของออยเลอร์: ผลรวมขององศาของจุดยอดของกราฟคือ

จำนวนซี่โครงเป็นสองเท่าเช่น

ง(วี)

			(วี)

โดยที่ n คือจำนวนจุดยอด m คือตัวเลข

ซี่โครง (ส่วนโค้ง) ข้อความนี้ได้รับการพิสูจน์โดยข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อคำนวณผลรวมขององศาของจุดยอด แต่ละขอบจะถูกนำมาพิจารณาสองครั้ง - สำหรับปลายด้านหนึ่งของขอบและอีกด้านหนึ่ง

1.4. กราฟมอร์ฟิซึม

กราฟจะเรียกว่ามีป้ายกำกับ (หรือกำหนดหมายเลขใหม่) หากจุดยอดแตกต่างกันในทางใดทางหนึ่ง

ป้ายกำกับ (ตัวเลข) ถือว่านับแล้ว ให้ไว้อย่างครบถ้วนในความหมายอันเคร่งครัดหากการกำหนดหมายเลขของจุดยอดและขอบได้รับการแก้ไขแล้ว ในกรณีนี้กราฟ G 1 และ G 2 เรียกว่าเท่ากัน (การกำหนด G 1 = G 2) หากชุดจุดยอดและขอบตรงกัน เรียกว่ากราฟหรือกราฟเทียมสองตัว G 1 = (V 1 ,E 1 ) และ G 2 = (V 2 ,E 2 )

	isomorphic (สัญกรณ์ G				ถ้าพวกเขามีอยู่
	การแมปแบบหนึ่งต่อหนึ่ง: 1)				:วี1วี2
: E 1 E 2 เช่นว่าสำหรับสองจุดยอดใดๆ u , v ในกราฟ
	ความสัมพันธ์ ((u,v)) ((u), (v)) ถูกต้อง
	กราฟง่าย ๆ สองกราฟ (ไม่มีลูปและหลายขอบ) G 1					และ ก 2

จะกลายเป็น isomorphic ถ้ามีสิ่งที่เหมือนกัน

การทำแผนที่ค่า

:วี1วี2

แล้วไงล่ะ?

(คุณ ,วี ) ((คุณ ), (วี )).

ดังนั้น กราฟที่แตกต่างกันเพียงจำนวนจุดยอดและขอบเท่านั้นจึงมีลักษณะสมมาตร กราฟมอร์ฟิซึมเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันเนื่องจากมีคุณสมบัติ:

การสะท้อนกลับ -

กรัม 1

และการลำเอียง

เป็นฟังก์ชันที่เหมือนกัน

สมมาตร.

ด้วยความลำเอียง

ด้วยความลำเอียง

การขนส่ง

จี 1 จี 2

การคาดคะเน

1,ก

ด้วยความลำเอียง

แล้วจีจี

ด้วยความลำเอียง

2 (1) .

มหาวิทยาลัยครุศาสตร์แห่งรัฐวลาดิมีร์

เชิงนามธรรม

"ทฤษฎีกราฟ"

ดำเนินการ:

ซูดินา ที.วี.

วลาดิมีร์ 2544

1. บทนำ

2. ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีกราฟ

3. คำจำกัดความพื้นฐานของทฤษฎีกราฟ

4. ทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีกราฟ

5. ปัญหาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีกราฟ

6. การประยุกต์ทฤษฎีกราฟใน หลักสูตรของโรงเรียนนักคณิตศาสตร์

7. การประยุกต์ทฤษฎีกราฟเพื่อ พื้นที่ต่างๆวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

8. ความสำเร็จล่าสุดทฤษฎีกราฟ

§1. ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีกราฟ

ผู้ก่อตั้งทฤษฎีกราฟคือนักคณิตศาสตร์ เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (1707-1783) ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีนี้สามารถสืบย้อนได้จากจดหมายโต้ตอบของนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่คนนี้ นี่คือคำแปล ข้อความภาษาละตินซึ่งนำมาจากจดหมายของออยเลอร์ถึงนักคณิตศาสตร์และวิศวกรชาวอิตาลี มาริโนนี ซึ่งส่งจากเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กเมื่อวันที่ 13 มีนาคม พ.ศ. 2279 [ดู หน้า 41-42]:

“ครั้งหนึ่งผมเคยถูกถามถึงปัญหาเกี่ยวกับเกาะแห่งหนึ่งที่ตั้งอยู่ในเมืองเคอนิกส์แบร์กและล้อมรอบด้วยแม่น้ำซึ่งมีสะพานถึง 7 แห่งถูกโยนทิ้งไป คำถามก็คือ มีใครสามารถเดินไปรอบๆ เกาะเหล่านั้นได้อย่างต่อเนื่อง โดยผ่านแต่ละสะพานเพียงครั้งเดียว แล้วผมก็ แจ้งว่ายังไม่มีใครสามารถทำเช่นนี้ได้ แต่ก็ไม่มีใครพิสูจน์ได้ว่าเป็นไปไม่ได้ อย่างไรก็ตาม สำหรับฉันคำถามนี้แม้จะดูเล็กน้อยแต่ก็คุ้มค่าที่จะให้ความสนใจในแง่ที่ว่าทั้งเรขาคณิต พีชคณิต หรือศิลปะเชิงผสมผสานนั้นไม่คู่ควร ก็พอจะแก้ได้...หลังจากคิดอยู่นานก็พบว่า กฎง่าย ๆจากการพิสูจน์ที่น่าเชื่อถืออย่างสมบูรณ์ ด้วยความช่วยเหลือที่ทำให้สามารถระบุได้ทันทีในทุกปัญหาประเภทนี้ว่าทางเลี่ยงดังกล่าวสามารถทำได้ผ่านหมายเลขใด ๆ และจำนวนสะพานใด ๆ ก็ตามที่ตั้งอยู่หรือไม่ สะพาน Koenigsberg ตั้งอยู่ในลักษณะที่สามารถแสดงได้ในรูปต่อไปนี้[รูปที่ 1] , ที่ ก หมายถึงเกาะและ บี , ค และ D - บางส่วนของทวีปแยกจากกันด้วยกิ่งก้านของแม่น้ำ สะพานทั้งเจ็ดมีการระบุด้วยตัวอักษร ก , ข , ค , ง , จ , ฉ , ก ".

(รูปที่ 1.1)

เกี่ยวกับวิธีการที่เขาค้นพบในการแก้ปัญหาประเภทนี้ ออยเลอร์เขียนไว้ [ดู หน้า 102-104]:

“โดยธรรมชาติแล้ววิธีแก้ปัญหานี้ดูเหมือนจะไม่ค่อยเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์เลย และฉันก็ไม่เข้าใจว่าทำไมเราจึงควรคาดหวังคำตอบนี้จากนักคณิตศาสตร์มากกว่าจากบุคคลอื่น เพราะการตัดสินใจนี้ได้รับการสนับสนุนจากการใช้เหตุผลเพียงอย่างเดียว และไม่มี จำเป็นต้องเกี่ยวข้องกับการหาวิธีแก้ปัญหานี้ ไม่ว่าจะเป็นกฎใดๆ ก็ตามที่มีอยู่ในคณิตศาสตร์ ดังนั้น ฉันไม่รู้ว่าคำถามที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์น้อยมากมีแนวโน้มที่จะแก้โดยนักคณิตศาสตร์มากกว่าคำถามอื่นๆ"

เป็นไปได้ไหมที่จะเดินทางรอบสะพานเคอนิกส์แบร์กโดยผ่านสะพานแต่ละแห่งเพียงครั้งเดียว หากต้องการค้นหาคำตอบ เรามาเขียนจดหมายของออยเลอร์ถึงมาริโนนีต่อ:

“คำถามคือต้องพิจารณาว่าจะข้ามสะพานทั้งเจ็ดแห่งนี้ได้หรือไม่ ข้ามสะพานแต่ละแห่งเพียงครั้งเดียวได้หรือไม่ กฎของฉันนำไปสู่ การตัดสินใจครั้งต่อไปคำถามนี้. ก่อนอื่นคุณต้องดูว่ามีกี่พื้นที่ที่มีน้ำคั่น - พื้นที่ที่ไม่มีวิธีอื่นในการเดินทางจากที่หนึ่งไปยังอีกที่หนึ่งยกเว้นผ่านทางสะพาน ใน ในตัวอย่างนี้มีสี่พื้นที่ดังกล่าว - ก , บี , ค , ดี . สิ่งต่อไปที่ต้องแยกแยะคือจำนวนสะพานที่นำไปสู่แต่ละส่วนเหล่านี้เป็นจำนวนคู่หรือคี่ ดังนั้น ในกรณีของเรา สะพานห้าแห่งนำไปสู่ส่วน A และสะพานสามแห่งนำไปสู่ส่วนที่เหลือ กล่าวคือ จำนวนสะพานที่นำไปสู่แต่ละส่วนนั้นเป็นเลขคี่ และเพียงเท่านี้ก็เพียงพอที่จะแก้ปัญหาได้ เมื่อพิจารณาแล้ว เราจะใช้กฎต่อไปนี้: ถ้าจำนวนสะพานที่ทอดไปยังแต่ละสะพาน แยกพื้นที่เป็นคู่แล้วบายพาสเกี่ยวกับเรื่องไหน เรากำลังพูดถึงจะเป็นไปได้ และในขณะเดียวกันก็สามารถเริ่มการบายพาสนี้จากไซต์ใดก็ได้ หากตัวเลขสองตัวนี้เป็นเลขคี่ มีเพียงตัวเดียวเท่านั้นที่จะเป็นเลขคี่ไม่ได้ การเปลี่ยนผ่านก็อาจเกิดขึ้นได้ตามที่กำหนดไว้ แต่ต้องนำเฉพาะจุดเริ่มต้นของทางอ้อมจากหนึ่งในสองส่วนนั้นซึ่งไม่มีตะกั่วอย่างแน่นอน . เลขคู่สะพาน ในที่สุด หากมีมากกว่าสองส่วนที่สะพานจำนวนคี่พาไป การเคลื่อนไหวดังกล่าวก็เป็นไปไม่ได้โดยทั่วไป ... หากสามารถนำปัญหาอื่น ๆ ที่ร้ายแรงกว่ามาที่นี่ได้ วิธีนี้อาจมีประโยชน์มากกว่าและควร อย่าละเลย" .

เหตุผลสำหรับกฎข้างต้นสามารถพบได้ในจดหมายจากแอล. ออยเลอร์ถึงเอห์เลอร์เพื่อนของเขา ลงวันที่ 3 เมษายนของปีเดียวกัน เราจะเล่าข้อความที่ตัดตอนมาจากจดหมายฉบับนี้อีกครั้งด้านล่าง

นักคณิตศาสตร์เขียนว่าการเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้นได้หากมีบริเวณทางแยกแม่น้ำไม่เกินสองแห่ง ซึ่งมีสะพานเป็นจำนวนคี่ เพื่อให้ง่ายต่อการจินตนาการ เราจะลบสะพานที่สำรวจไปแล้วในภาพออก ง่ายที่จะตรวจสอบว่าถ้าเราเริ่มเคลื่อนที่ตามกฎของออยเลอร์ ข้ามสะพานหนึ่งแล้วลบมันออก รูปนั้นจะแสดงส่วนที่อีกครั้งว่ามีพื้นที่ไม่เกินสองพื้นที่ซึ่งมีสะพานเป็นเลขคี่พาไป และถ้ามี เป็นพื้นที่ที่มีสะพานเลขคี่เราจะอยู่ในหนึ่งในนั้น เดินหน้าต่อไปแบบนี้เราจะข้ามสะพานทั้งหมดครั้งเดียว

เรื่องราวของสะพานแห่งเมือง Königsberg มีความต่อเนื่องที่ทันสมัย ยกตัวอย่างหนังสือเรียนวิชาคณิตศาสตร์ที่แก้ไขโดย N.Ya Vilenkina สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ในนั้น ในหน้า 98 ภายใต้หัวข้อการพัฒนาความใส่ใจและความฉลาด เราจะพบปัญหาที่เกี่ยวข้องโดยตรงกับปัญหาที่ออยเลอร์เคยแก้ไข

ปัญหาหมายเลข 569. ทะเลสาบมีเกาะอยู่ทั้งหมด 7 เกาะ ซึ่งเชื่อมต่อถึงกันดังแสดงในรูปที่ 1.2 เรือลำไหนควรพานักท่องเที่ยวไปข้ามสะพานแต่ละแห่งได้เพียงครั้งเดียว? เหตุใดนักท่องเที่ยวจึงไม่สามารถขนส่งไปยังเกาะได้? ก ?

(รูปที่ 1.2)

สารละลาย.เนื่องจากปัญหานี้คล้ายกับปัญหาของสะพานเคอนิกสเบิร์ก เมื่อทำการแก้ไข เราจะใช้กฎของออยเลอร์ด้วย เราจึงได้คำตอบดังนี้ เรือต้องส่งนักท่องเที่ยวไปที่เกาะ อีหรือ เอฟเพื่อจะได้ข้ามสะพานแต่ละแห่งได้ครั้งหนึ่ง จากกฎออยเลอร์เดียวกัน เป็นไปตามที่ว่าทางเบี่ยงที่จำเป็นนั้นเป็นไปไม่ได้หากเริ่มจากเกาะ ก .

โดยสรุป เราสังเกตว่าปัญหาของสะพานเคอนิกสเบิร์กและปัญหาที่คล้ายกัน พร้อมด้วยชุดวิธีการศึกษา ถือเป็นปัญหาที่สำคัญมาก ในแง่การปฏิบัติสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าทฤษฎีกราฟ งานกราฟชิ้นแรกเป็นของ L. Euler และปรากฏในปี 1736 ต่อจากนั้น Koenig (1774-1833), Hamilton (1805-1865) และนักคณิตศาสตร์สมัยใหม่ C. Berge, O. Ore, A. Zykov ทำงานในกราฟ

§2 ทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีกราฟ

ทฤษฎีกราฟดังที่กล่าวไว้ข้างต้นเป็นวินัยทางคณิตศาสตร์ที่สร้างขึ้นโดยความพยายามของนักคณิตศาสตร์ ดังนั้นการนำเสนอจึงมีคำจำกัดความที่เข้มงวดที่จำเป็น ดังนั้นเรามาดูการแนะนำแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีนี้กันดีกว่า

คำจำกัดความ 2.01 นับเรียกว่าชุด จำนวนจำกัดจุดที่เรียกว่า ยอดเขากราฟและเส้นคู่ที่เชื่อมต่อจุดยอดเหล่านี้บางส่วนเรียกว่า ซี่โครงหรือ ส่วนโค้งกราฟ.

คำจำกัดความนี้สามารถกำหนดได้แตกต่างออกไป: นับเรียกว่าเซตของจุดไม่ว่าง ( ยอดเขา) และส่วน ( ซี่โครง) ปลายทั้งสองข้างเป็นของชุดคะแนนที่กำหนด (ดูรูปที่ 2.1)

(รูปที่ 2.1)

ต่อไปนี้ เราจะแสดงจุดยอดของกราฟ ด้วยตัวอักษรละติน ก , บี ,ค ,ดี. บางครั้งเราจะแสดงกราฟโดยรวมทีละรายการ ตัวพิมพ์ใหญ่.

คำจำกัดความ 2.02จุดยอดของกราฟที่ไม่อยู่ในขอบใดๆ เรียกว่าจุดยอด โดดเดี่ยว .

คำนิยาม 2.03เรียกว่ากราฟที่ประกอบด้วยจุดยอดที่แยกออกจากกันเท่านั้น ศูนย์ - นับ .

การกำหนด: โอ " – กราฟที่มีจุดยอดไม่มีขอบ (รูปที่ 2.2)

(รูปที่ 2.2)

คำนิยาม 2.04กราฟที่จุดยอดทุกคู่เชื่อมต่อกันด้วยขอบเรียกว่ากราฟ สมบูรณ์ .

การกำหนด: ยู " – กราฟประกอบด้วย nจุดยอดและขอบที่เชื่อมต่อคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของจุดยอดเหล่านี้ กราฟดังกล่าวสามารถแสดงเป็น n– รูปสามเหลี่ยมที่วาดเส้นทแยงมุมทั้งหมด (รูปที่ 2.3)

(รูปที่ 2.3)

คำจำกัดความ 2.05 ระดับ ยอดเขาคือจำนวนขอบที่มีจุดยอดอยู่

การกำหนด: พี (ก) – ระดับจุดยอด ก . ตัวอย่างเช่น ในรูปที่ 2.1: พี (ก)=2, พี (บี)=2, พี (ค)=2, พี (ดี)=1, พี (อี)=1.

คำนิยาม 2.06นับองศาของทั้งหมด เคซึ่งมีจุดยอดเหมือนกันเรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกัน นับ องศา เค .

รูปที่ 2.4 และ 2.5 แสดงกราฟเอกพันธ์ของระดับที่สองและสาม

(รูปที่ 2.4 และ 2.5)

คำนิยาม 2.07 เสริม ที่ให้ไว้ กราฟเป็นกราฟที่ประกอบด้วยขอบและส่วนปลายทั้งหมดที่ต้องเพิ่มเข้ากับกราฟต้นฉบับจึงจะได้กราฟที่สมบูรณ์

รูปที่ 2.6 แสดงกราฟต้นฉบับ ช , ประกอบด้วยสี่จุดยอดและสามส่วนและในรูปที่ 2.7 - ส่วนเสริมของกราฟนี้ - กราฟ ช " .

(รูปที่ 2.6 และ 2.7)

เราจะเห็นว่าในรูปที่ 2.5 มีซี่โครง เอ.ซี.และ บีดีตัดกันที่จุดที่ไม่ใช่จุดยอดของกราฟ แต่มีบางกรณีที่จำเป็นต้องแสดงกราฟที่กำหนดบนระนาบในลักษณะที่ขอบของกราฟตัดกันที่จุดยอดเท่านั้น (ประเด็นนี้จะกล่าวถึงรายละเอียดเพิ่มเติมในย่อหน้าที่ 5)

คำจำกัดความ 2.08กราฟที่สามารถแสดงบนระนาบในลักษณะที่ขอบตัดกันที่จุดยอดเท่านั้นเรียกว่ากราฟ แบน .

ตัวอย่างเช่น รูปที่ 2.8 แสดงกราฟเชิงระนาบที่มี isomorphic (เท่ากับ) กับกราฟในรูปที่ 2.5 อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าไม่ใช่ทุกกราฟที่เป็นภาพถ่ายระนาบ แม้ว่าการสนทนาจะเป็นจริง กล่าวคือ กราฟภาพถ่ายใดๆ ก็ตามสามารถแสดงในรูปแบบปกติได้

(รูปที่ 2.8)

คำนิยาม 2.09เรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมของกราฟระนาบที่ไม่มีจุดยอดหรือขอบของกราฟ ขอบ .

กราฟเป็นหัวข้อที่สนุก ให้รางวัล และน่ากลัว ทฤษฎีกราฟ - "ความสยองขวัญของนักเรียน" อัลกอริธึมกราฟคือจิตใจที่น่าทึ่งของผู้ที่ค้นพบมัน

กราฟคืออะไร? เพื่อตอบคำถามนี้ให้กับผู้อ่าน ฉันจะอธิบายหัวข้อให้แตกต่างออกไปเล็กน้อย
กราฟคือชุดของวัตถุ
ในปัญหาส่วนใหญ่สิ่งเหล่านี้จะเป็นวัตถุประเภทเดียวกัน (หลายเมืองหรือหลายบ้านหรือหลายคนหรือสิ่งอื่น ๆ ที่เป็นประเภทเดียวกัน)

ในการแก้ปัญหากับชุดดังกล่าว คุณต้องกำหนดแต่ละวัตถุจากชุดนี้เป็นบางสิ่งบางอย่าง เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าจะเรียกสิ่งนี้ว่าจุดยอดของกราฟ

อธิบายกราฟและคำจำกัดความพื้นฐานด้วยรูปภาพได้สะดวก จึงต้องรวมรูปภาพไว้ด้วยจึงจะอ่านหน้านี้ได้

อย่างที่ฉันเขียนไว้ก่อนหน้านี้ กราฟคือชุดของวัตถุ วัตถุเหล่านี้มักเป็นประเภทเดียวกัน วิธีที่ง่ายที่สุดในการยกตัวอย่างคือในเมืองต่างๆ เราแต่ละคนรู้ว่าเมืองคืออะไรและถนนคืออะไร เราแต่ละคนรู้ดีว่าอาจมีหรือไม่มีถนนเข้าเมือง โดยทั่วไป ชุดของวัตถุใดๆ สามารถกำหนดลักษณะเป็นกราฟได้

หากเราพูดถึงกราฟเกี่ยวกับเมืองต่างๆ ก็สามารถสร้างถนนระหว่างเมืองได้ หรือจะถูกทำลายที่ไหนสักแห่ง ไม่ได้สร้าง หรือโดยทั่วไปเมืองจะตั้งอยู่บนเกาะ ไม่มีสะพาน และมีเพียงถนนลาดยางเท่านั้นที่น่าสนใจ . แม้ว่าจะไม่มีถนนไปยังเมืองดังกล่าว แต่เมืองนี้สามารถรวมอยู่ในวัตถุที่ได้รับการวิเคราะห์จำนวนมาก และวัตถุทั้งหมดที่นำมารวมกันประกอบกันเป็นชุดของวัตถุหรือที่เรียกง่ายๆ ก็คือกราฟ

แน่นอนคุณได้อ่านหนังสือเรียนและเห็นสัญลักษณ์นี้ G(V,E) หรืออะไรที่คล้ายกัน ดังนั้น V คือวัตถุหนึ่งชิ้นจากวัตถุทั้งชุด ในกรณีของเรา เซตของวัตถุคือเมือง ดังนั้น V คือเมืองที่เฉพาะเจาะจง เนื่องจากวัตถุไม่จำเป็นต้องเป็นเมือง และคำว่าวัตถุอาจทำให้สับสนได้ วัตถุจากเซตดังกล่าวจึงสามารถเรียกว่าจุด จุด หรืออย่างอื่นก็ได้ แต่ส่วนใหญ่มักเรียกว่าจุดยอดของกราฟและเขียนแทนด้วยตัวอักษร วี.
ในการเขียนโปรแกรม โดยปกติจะเป็นคอลัมน์หรือแถวของอาร์เรย์สองมิติ โดยที่อาร์เรย์เรียกว่าเมทริกซ์ adjacency หรือเมทริกซ์อุบัติการณ์

ในวรรณคดี บนอินเทอร์เน็ต และโดยทั่วไป ทุกที่ที่มีการเขียนเกี่ยวกับกราฟ คุณจะพบกับแนวคิดต่างๆ เช่น ส่วนโค้งและขอบ รูปนี้แสดงขอบของกราฟ เหล่านั้น. เหล่านี้คือสามขอบ E1, E2 และ E3

ส่วนโค้งและขอบต่างกันตรงที่ขอบนั้นเป็นการเชื่อมต่อแบบสองทิศทาง เขาอยากได้มัน เขาไปหาเพื่อนบ้านของเขา เขาอยากได้มัน เขากลับมาจากเพื่อนบ้านของเขา หากยังไม่ชัดเจนนัก คุณคงจินตนาการถึงบ้าน สนามบิน เครื่องบินบินได้ และนักกระโดดร่มชูชีพ นักดิ่งพสุธาสามารถเดินทางจากบ้านไปยังสนามบินได้ แต่เมื่อเขามาถึงสนามบิน เขาจำได้ว่าเขาลืมร่มชูชีพนำโชคไว้ที่บ้าน จากนั้นจึงกลับบ้านและหยิบร่มชูชีพไป - ถนนที่สามารถเดินไปมาได้เรียกว่าขอบถนน
หากนักดิ่งพสุธาอยู่บนเครื่องบินและกำลังกระโดดลงจากเครื่องบิน แต่นักดิ่งพสุธาลืมใส่ร่มชูชีพนำโชคไว้บนเครื่องบิน นักดิ่งพสุธาจะสามารถรับสิ่งที่เขาลืมได้หรือไม่? เส้นทางที่ไปในทิศทางเดียวเรียกว่าส่วนโค้ง โดยปกติแล้วเราจะบอกว่าขอบเชื่อมต่อจุดยอดสองจุด และส่วนโค้งไปจากจุดยอดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง

ในรูปนี้กราฟมีเพียงส่วนโค้งเท่านั้น ส่วนโค้งบนกราฟจะแสดงด้วยลูกศร เนื่องจากทิศทางที่เข้าถึงได้ชัดเจนมาก หากกราฟประกอบด้วยส่วนโค้งเพียงอย่างเดียว กราฟดังกล่าวจะเรียกว่ากราฟทิศทาง

คุณมักจะเจอแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องและอุบัติการณ์ ในรูป ขอบทั้งสองที่ไปยังจุดหนึ่งจะมีเครื่องหมายสีแดง ขอบดังกล่าวเช่นเดียวกับจุดยอดที่อธิบายไว้ข้างต้นเรียกอีกอย่างว่าที่อยู่ติดกัน

ไม่ได้อธิบายไว้มากนัก แต่ข้อมูลนี้อาจช่วยใครบางคนได้

สถาบันการศึกษาอิสระเทศบาล มัธยมศึกษาปีที่ 2

เตรียมไว้

Legkokonets Vladislav นักเรียนคลาส 10A

การใช้งานจริงทฤษฎีกราฟ

หัวหน้างาน

แอล.ไอ. นอสโควา ครูคณิตศาสตร์

ศิลปะ Bryukhovetskaya

2554

1.บทนำ…………………………………………………………………………………….………….3

2. ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีกราฟ……………………………….………..4

3. คำจำกัดความและทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีกราฟ…………………….………6

4. การแก้ปัญหาโดยใช้กราฟ……………………………..………………..8

4.1 ปัญหาที่มีชื่อเสียง………………………………….………………...8

4.2 หลายรายการ งานที่น่าสนใจ………………………………….……………..9

5. การประยุกต์กราฟในด้านต่างๆ ของชีวิตผู้คน……………………………...11

6. การแก้ปัญหา………………………………………………………………………………………...12

7. บทสรุป………….…………………………………………………………….13

8. รายการอ้างอิง………….……………………………………………………………14

9.ภาคผนวก……………………………………………………………………….…………15

การแนะนำ

เกิดมาพร้อมกับการไขปริศนาและ เกมสนุกสนานทฤษฎีกราฟกลายเป็นเครื่องมือที่เรียบง่าย เข้าถึงได้ และทรงพลังในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับปัญหาต่างๆ มากมาย กราฟมีอยู่ทั่วไปทุกหนทุกแห่งอย่างแท้จริง ในรูปแบบของกราฟ คุณสามารถตีความแผนที่ถนนและวงจรไฟฟ้าได้ แผนที่ทางภูมิศาสตร์และโมเลกุล สารประกอบเคมีการเชื่อมต่อระหว่างบุคคลและกลุ่มบุคคล ในช่วงสี่ทศวรรษที่ผ่านมา ทฤษฎีกราฟได้กลายเป็นหนึ่งในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่มีการพัฒนาอย่างรวดเร็วที่สุด สิ่งนี้ได้รับแรงหนุนจากความต้องการของสาขาการใช้งานที่ขยายตัวอย่างรวดเร็ว ใช้ในการออกแบบวงจรรวมและวงจรควบคุม ในการศึกษาออโตมาตะ วงจรลอจิคัล ไดอะแกรมบล็อกโปรแกรม เศรษฐศาสตร์และสถิติ เคมีและชีววิทยา ในทฤษฎีการจัดตารางเวลา นั่นเป็นเหตุผล ความเกี่ยวข้องหัวข้อหนึ่งถูกกำหนดโดยความนิยมของกราฟและวิธีการวิจัยที่เกี่ยวข้อง แต่ในทางกลับกันไม่ได้รับการพัฒนา ระบบที่สมบูรณ์การนำไปปฏิบัติ

ทางออกของหลายๆคน งานชีวิตต้องใช้การคำนวณที่ยาวนาน และบางครั้งการคำนวณเหล่านี้ก็ไม่สำเร็จ นี่คืออะไร ปัญหาการวิจัย. คำถามเกิดขึ้น: เป็นไปได้ไหมที่จะหาวิธีแก้ไขปัญหาที่ง่าย มีเหตุผล สั้นและสวยงาม การแก้ปัญหาจะง่ายกว่าไหมถ้าคุณใช้กราฟ? นี้กำหนด หัวข้อการวิจัยของฉัน: “การประยุกต์ใช้ทฤษฎีกราฟเชิงปฏิบัติ”

วัตถุประสงค์การวิจัยคือการใช้กราฟเพื่อเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติอย่างรวดเร็ว

สมมติฐานการวิจัยวิธีกราฟมีความสำคัญมากและใช้กันอย่างแพร่หลายในสาขาวิทยาศาสตร์และกิจกรรมของมนุษย์ต่างๆ

วัตถุประสงค์ของการวิจัย:

1. ศึกษาวรรณกรรมและแหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ตเกี่ยวกับปัญหานี้

2.ตรวจสอบประสิทธิผลของวิธีกราฟในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ

3. หาข้อสรุป

ความสำคัญในทางปฏิบัติวิจัยคือผลลัพธ์ที่ได้จะกระตุ้นความสนใจของผู้คนมากมายอย่างไม่ต้องสงสัย มีใครในพวกคุณที่พยายามสร้างแผนภูมิลำดับวงศ์ตระกูลของคุณบ้างไหม? ทำอย่างไรให้ถูกต้อง? หัวหน้าขององค์กรขนส่งอาจต้องแก้ไขปัญหาการใช้การขนส่งที่ให้ผลกำไรมากขึ้นเมื่อขนส่งสินค้าจากปลายทางไปยังการตั้งถิ่นฐานหลายแห่ง นักเรียนทุกคนประสบปัญหาการถ่ายเลือดอย่างสมเหตุสมผล ปรากฎว่าสามารถแก้ไขได้ง่ายโดยใช้กราฟ

งานใช้ วิธีการดังต่อไปนี้: การสังเกต การค้นหา การคัดเลือก การวิเคราะห์

ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีกราฟ

ผู้ก่อตั้งทฤษฎีกราฟคือนักคณิตศาสตร์ เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (1707-1783) ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีนี้สามารถสืบย้อนได้จากจดหมายโต้ตอบของนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่คนนี้ นี่คือคำแปลของข้อความภาษาละติน ซึ่งนำมาจากจดหมายของออยเลอร์ถึงนักคณิตศาสตร์และวิศวกรชาวอิตาลี มาริโนนี ซึ่งส่งจากเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กเมื่อวันที่ 13 มีนาคม ค.ศ. 1736

“ครั้งหนึ่งฉันเคยประสบปัญหาเกี่ยวกับเกาะแห่งหนึ่งที่ตั้งอยู่ในเมืองเคอนิกส์แบร์ก และล้อมรอบด้วยแม่น้ำและมีสะพานเจ็ดแห่งพาดผ่าน

[ภาคผนวกรูปที่ 1]คำถามก็คือว่ามีใครสามารถเดินอ้อมสะพานไปเรื่อยๆ โดยผ่านสะพานแต่ละสะพานได้เพียงครั้งเดียวหรือไม่ แล้วฉันก็ได้รับแจ้งว่ายังไม่มีใครสามารถทำได้ แต่ไม่มีใครพิสูจน์ได้ว่าเป็นไปไม่ได้ อย่างไรก็ตาม คำถามนี้แม้จะเป็นเรื่องเล็กน้อย แต่ดูเหมือนว่าคุ้มค่าแก่ความสนใจ เนื่องจากทั้งเรขาคณิต พีชคณิต หรือศิลปะเชิงผสมผสานก็ไม่เพียงพอที่จะแก้ปัญหาได้ หลังจากใคร่ครวญอยู่นาน ฉันพบกฎง่าย ๆ บนพื้นฐานของข้อพิสูจน์ที่น่าเชื่อถืออย่างสมบูรณ์ ด้วยความช่วยเหลือซึ่งเป็นไปได้ในทุกปัญหาประเภทนี้เพื่อตัดสินทันทีว่าทางเบี่ยงนั้นสามารถทำได้ผ่านหมายเลขใด ๆ และจำนวนสะพานใด ๆ ที่ตั้งอยู่ หรือไม่. สะพาน Koenigsberg ตั้งอยู่ในลักษณะที่สามารถแสดงได้ในรูปต่อไปนี้ [ภาคผนวกรูปที่ 2]โดยที่ A หมายถึงเกาะ และ B, C และ D - บางส่วนของทวีปแยกจากกันด้วยกิ่งก้านของแม่น้ำ

เกี่ยวกับวิธีการที่เขาค้นพบเพื่อแก้ไขปัญหาประเภทนี้ ออยเลอร์เขียนว่า:

“โดยธรรมชาติแล้ววิธีแก้ปัญหานี้ดูเหมือนจะไม่ค่อยเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์เลย และฉันก็ไม่เข้าใจว่าทำไมเราจึงควรคาดหวังคำตอบนี้จากนักคณิตศาสตร์มากกว่าจากบุคคลอื่น เพราะการตัดสินใจนี้ได้รับการสนับสนุนจากการใช้เหตุผลเพียงอย่างเดียว และไม่มี จำเป็นต้องเกี่ยวข้องกับการหาวิธีแก้ปัญหานี้ ไม่ว่าจะเป็นกฎใดๆ ก็ตามที่มีอยู่ในคณิตศาสตร์ ดังนั้น ฉันไม่รู้ว่าคำถามที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์น้อยมากมีแนวโน้มที่จะแก้โดยนักคณิตศาสตร์มากกว่าคำถามอื่นๆ"

เป็นไปได้ไหมที่จะเดินทางรอบสะพานเคอนิกส์แบร์กโดยผ่านสะพานแต่ละแห่งเพียงครั้งเดียว หากต้องการค้นหาคำตอบ เรามาเขียนจดหมายของออยเลอร์ถึงมาริโนนีต่อ:

“คำถามคือต้องพิจารณาว่าจะสามารถข้ามสะพานทั้ง 7 แห่งนี้ได้หรือไม่ โดยผ่านแต่ละสะพานเพียงครั้งเดียวหรือไม่ กฎของผมนำไปสู่วิธีแก้ปัญหาต่อไปนี้ ก่อนอื่นคุณต้องดูว่ามีกี่พื้นที่ คือ คั่นด้วยน้ำ - เช่น ซึ่งไม่มีทางอื่นจากกันนอกจากผ่านสะพาน ในตัวอย่างนี้ มีสี่ส่วนดังกล่าว - A, B, C, D ต่อไปคุณต้องแยกแยะว่าตัวเลขนั้นหรือไม่ ของสะพานที่นำไปสู่แต่ละส่วนจะเป็นเลขคู่หรือคี่ ดังนั้น ในกรณีของเรา สะพานห้าแห่งนำไปสู่ส่วน A และสะพานสามแห่งไปยังส่วนอื่นๆ ที่เหลือ กล่าวคือ จำนวนสะพานที่นำไปสู่แต่ละส่วนนั้นเป็นเลขคี่ และแค่นี้ก็เพียงพอแล้ว เพื่อแก้ปัญหา เมื่อพิจารณาแล้ว เราใช้กฎต่อไปนี้: หากจำนวนสะพานที่ทอดไปยังแต่ละส่วนที่แยกจากกันเป็นเลขคู่ ก็สามารถใช้ทางเบี่ยงนั้นได้ และในขณะเดียวกันก็สามารถเริ่มดำเนินการได้ ทางเบี่ยงจากส่วนใดๆ ก็ตาม ถ้าเลขสองตัวนี้เป็นเลขคี่เพราะเลขเดียวไม่สามารถเป็นเลขคี่ได้ การเปลี่ยนผ่านก็จะสำเร็จตามที่กำหนดไว้ แต่ต้องเอาเฉพาะจุดเริ่มต้นของทางเบี่ยงเท่านั้น หนึ่งในสองส่วนที่สะพานนำไปสู่เลขคี่ ในที่สุด หากมีมากกว่าสองส่วนที่สะพานจำนวนคี่พาไป การเคลื่อนไหวดังกล่าวก็เป็นไปไม่ได้โดยทั่วไป ... หากสามารถนำปัญหาอื่น ๆ ที่ร้ายแรงกว่ามาที่นี่ได้ วิธีนี้อาจมีประโยชน์มากกว่าและควร อย่าละเลย" .

คำจำกัดความและทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีกราฟ

ทฤษฎีกราฟเป็นวินัยทางคณิตศาสตร์ที่สร้างขึ้นโดยความพยายามของนักคณิตศาสตร์ ดังนั้นการนำเสนอจึงมีคำจำกัดความที่เข้มงวดที่จำเป็น ดังนั้นเรามาดูการแนะนำแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีนี้กันดีกว่า

คำจำกัดความ 1.กราฟคือชุดของจุดจำนวนจำกัดที่เรียกว่าจุดยอดของกราฟ และเส้นคู่ที่เชื่อมต่อจุดยอดเหล่านี้บางส่วนเรียกว่าขอบหรือส่วนโค้งของกราฟ

คำจำกัดความนี้สามารถกำหนดสูตรได้แตกต่างกัน: กราฟคือชุดของจุด (จุดยอด) และส่วน (ขอบ) ที่ไม่ว่างเปล่า ซึ่งปลายทั้งสองข้างอยู่ในชุดของจุดที่กำหนด

ต่อไปนี้ เราจะแสดงจุดยอดของกราฟด้วยตัวอักษรละติน A, B, C, D บางครั้งกราฟโดยรวมจะแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ตัวเดียว

คำจำกัดความ 2จุดยอดของกราฟที่ไม่อยู่ในขอบใดๆ เรียกว่าแยกออกจากกัน

คำจำกัดความ 3กราฟที่ประกอบด้วยจุดยอดที่แยกออกจากกันเท่านั้นเรียกว่า null - นับ .

สัญกรณ์: O "– กราฟที่มีจุดยอดที่ไม่มีขอบ

คำจำกัดความที่ 4กราฟที่จุดยอดแต่ละคู่เชื่อมต่อกันด้วยขอบเรียกว่ากราฟสมบูรณ์

ชื่อ: U" – กราฟที่ประกอบด้วยจุดยอด n จุดและขอบที่เชื่อมต่อคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของจุดยอดเหล่านี้ กราฟดังกล่าวสามารถแสดงเป็น n-gon โดยวาดเส้นทแยงมุมทั้งหมด

คำจำกัดความที่ 5ระดับของจุดยอดคือจำนวนขอบที่จุดยอดอยู่

คำนิยาม 6กราฟที่มีดีกรีของจุดยอด k ทั้งหมดเท่ากันเรียกว่ากราฟดีกรีเอกพันธ์ .

คำนิยาม 7ส่วนเสริมของกราฟที่กำหนดคือกราฟที่ประกอบด้วยขอบและส่วนปลายทั้งหมดที่ต้องเพิ่มลงในกราฟต้นฉบับเพื่อให้ได้กราฟที่สมบูรณ์

คำจำกัดความ 8กราฟที่สามารถแสดงบนระนาบในลักษณะที่ขอบตัดกันที่จุดยอดเท่านั้นเรียกว่าระนาบ

คำนิยาม 9รูปหลายเหลี่ยมของกราฟระนาบที่ไม่มีจุดยอดหรือขอบของกราฟเรียกว่าใบหน้า

แนวคิดของกราฟระนาบและหน้ากราฟถูกนำมาใช้ในการแก้ปัญหาการใช้สีที่ "ถูกต้อง" การ์ดต่างๆ.

คำนิยาม 10.เส้นทาง A ถึง X คือลำดับของขอบที่ทอดจาก A ถึง X โดยที่ทุกสองขอบที่อยู่ติดกันจะมีจุดยอดร่วม และไม่มีขอบใดเกิดขึ้นมากกว่าหนึ่งครั้ง

คำนิยาม 11.วงจรคือเส้นทางที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกัน

คำนิยาม 12.วงจรอย่างง่ายคือวงจรที่ไม่ผ่านจุดยอดใดๆ ของกราฟมากกว่าหนึ่งครั้ง

คำนิยาม 13.ความยาวของเส้นทาง , วางเป็นวง , เรียกว่าจำนวนขอบของเส้นทางนี้

คำนิยาม 14.จุดยอด A และ B สองจุดในกราฟเรียกว่าเชื่อมต่อกัน (ตัดการเชื่อมต่อ) ถ้ามี (ไม่มี) เส้นทางที่ทอดจาก A ไป B

คำนิยาม 15.กราฟจะเรียกว่าเชื่อมต่อกันถ้ามีจุดยอดทุกสองจุดเชื่อมต่อกัน หากกราฟมีจุดยอดที่ไม่เชื่อมต่ออย่างน้อยหนึ่งคู่ กราฟนั้นจะเรียกว่าไม่เชื่อมต่อ

คำนิยาม 16.ต้นไม้คือกราฟที่เชื่อมต่อกันซึ่งไม่มีวงจร

ตัวอย่างเช่น แบบจำลองสามมิติของกราฟต้นไม้คือต้นไม้จริงที่มีมงกุฎที่แตกแขนงอย่างประณีต แม่น้ำและแม่น้ำสาขาก็ก่อตัวเป็นต้นไม้ แต่ราบเรียบแล้ว - บนพื้นผิวโลก

คำนิยาม 17.กราฟที่ไม่เชื่อมต่อซึ่งประกอบด้วยต้นไม้ทั้งหมดเรียกว่าป่าไม้

คำนิยาม 18.ต้นไม้ที่มีจุดยอดทั้งหมด n จุดตั้งแต่ 1 ถึง n เรียกว่า ต้นไม้ที่มีจุดยอดจัดลำดับใหม่

ดังนั้นเราจึงได้ตรวจสอบคำจำกัดความพื้นฐานของทฤษฎีกราฟ หากไม่มีสิ่งนี้ก็จะเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบท และผลที่ตามมาคือสามารถแก้ปัญหาได้

แก้ไขปัญหาโดยใช้กราฟ

ปัญหาที่มีชื่อเสียง

ปัญหาพนักงานขายเดินทาง

ปัญหาพนักงานขายที่กำลังเดินทางเป็นปัญหาหนึ่งที่มีชื่อเสียงในทฤษฎีเชิงผสมผสาน มันถูกหยิบยกขึ้นมาในปี 1934 และนักคณิตศาสตร์ที่เก่งที่สุดก็ยอมทนกับมัน

คำชี้แจงปัญหามีดังนี้
พ่อค้าที่เดินทาง (พ่อค้าเร่ร่อน) จะต้องออกจากเมืองแรก เยี่ยมชมเมือง 2,1,3..n หนึ่งครั้งในลำดับที่ไม่รู้จัก และกลับไปยังเมืองแรก ทราบระยะทางระหว่างเมือง เราควรเดินไปรอบ ๆ เมืองตามลำดับอย่างไรเพื่อให้เส้นทางปิด (ทัวร์) ของพนักงานขายที่เดินทางสั้นที่สุด?

แนวทางการแก้ปัญหาพนักงานขายเดินทาง

อัลกอริธึมโลภ “ไปยังเมืองที่ใกล้ที่สุด (ซึ่งคุณยังไม่ได้เข้าไป)”
อัลกอริทึมนี้เรียกว่า "โลภ" เพราะในขั้นตอนสุดท้ายคุณจะต้องจ่ายอย่างหนักสำหรับความโลภ
พิจารณาตัวอย่างเครือข่ายในรูป [ภาคผนวกรูปที่ 3]เป็นตัวแทนของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแคบ ให้พนักงานขายที่เดินทางเริ่มต้นจากเมือง 1 อัลกอริธึม "ไปที่" เมืองที่ใกล้ที่สุด” จะพาเขาไปที่เมือง 2 จากนั้น 3 และ 4; ในขั้นตอนสุดท้ายคุณจะต้องชดใช้ความโลภของคุณโดยกลับมาตามเส้นทแยงมุมยาวของเพชร ผลลัพธ์จะไม่สั้นที่สุด แต่เป็นทัวร์ที่ยาวที่สุด

ปัญหาเกี่ยวกับสะพานเคอนิกสเบิร์ก

ปัญหามีการกำหนดดังนี้
เมือง Koenigsberg ตั้งอยู่ริมฝั่งแม่น้ำ Pregel และเกาะสองแห่ง ส่วนต่างๆ ของเมืองเชื่อมต่อกันด้วยสะพานเจ็ดแห่ง ในวันอาทิตย์ ชาวเมืองจะออกไปเดินเล่นรอบเมือง คำถาม: เป็นไปได้ไหมที่จะเดินในลักษณะที่เมื่อออกจากบ้านแล้วเดินกลับสะพานแต่ละสะพานเพียงครั้งเดียว?
สะพานข้ามแม่น้ำพรีเจลจะอยู่ตามภาพ[ภาคผนวกรูปที่ 1]

พิจารณากราฟที่สอดคล้องกับแผนภาพสะพาน [ภาคผนวก รูปที่ 2].

เพื่อตอบคำถามของปัญหา ก็เพียงพอที่จะค้นหาว่ากราฟนั้นเป็นแบบออยเลอร์หรือไม่ (สะพานจำนวนคู่ต้องขยายจากจุดยอดอย่างน้อยหนึ่งจุด) คุณไม่สามารถเดินไปรอบๆ เมืองและข้ามสะพานทั้งหมดเพียงครั้งเดียวแล้วกลับมาได้

งานที่น่าสนใจหลายประการ

1. "เส้นทาง"

ปัญหาที่ 1

ดังที่คุณจำได้นักล่า จิตวิญญาณที่ตายแล้ว Chichikov ไปเยี่ยมเจ้าของที่ดินที่มีชื่อเสียงครั้งละครั้ง เขาไปเยี่ยมพวกเขาตามลำดับต่อไปนี้: Manilov, Korobochka, Nozdryov, Sobakevich, Plyushkin, Tentetnikov, นายพล Betrishchev, Petukh, Konstanzholgo, พันเอก Koshkarev พบแผนภาพที่ Chichikov ร่างตำแหน่งสัมพัทธ์ของที่ดินและ ถนนในชนบทเชื่อมต่อพวกเขา พิจารณาว่าที่ดินใดเป็นของใครหาก Chichikov ไม่ได้ขับรถไปตามถนนสายใดเลยมากกว่าหนึ่งครั้ง [ภาคผนวก รูปที่ 4].

สารละลาย:

แผนที่ถนนแสดงให้เห็นว่า Chichikov เริ่มต้นการเดินทางจากที่ดิน E และจบลงด้วยที่ดิน O เราสังเกตว่ามีเพียงถนนสองสายเท่านั้นที่นำไปสู่ที่ดิน B และ C ดังนั้น Chichikov จึงต้องเดินทางไปตามถนนเหล่านี้ ให้เราทำเครื่องหมายด้วยเส้นหนา ส่วนของเส้นทางที่ผ่าน A ได้รับการระบุ: AC และ AB Chichikov ไม่ได้เดินทางบนถนน AE, AK และ AM ลองข้ามพวกเขาออกไป ให้เราทำเครื่องหมายด้วยเส้นหนา ED; ขีดฆ่า DK กัน ลองขีดฆ่า MO และ MN; ให้เราทำเครื่องหมายด้วยเส้นหนา MF; ขีดฆ่า FO; ให้เราทำเครื่องหมาย FH, NK และ KO ด้วยเส้นหนา เรามาค้นหาเส้นทางเดียวที่เป็นไปได้ภายใต้เงื่อนไขนี้ และเราได้รับ: อสังหาริมทรัพย์ E - เป็นของ Manilov, D - Korobochka, C - Nozdryov, A - Sobakevich, B - Plyushkin, M - Tentetnikov, F - Betrishchev, N - Petukh, K - Konstanzholgo, O - Koshkarev [ภาคผนวกรูปที่ 5].

ปัญหาที่ 2

รูปนี้แสดงแผนที่ของพื้นที่ [ภาคผนวก รูปที่ 6].

คุณสามารถเคลื่อนที่ไปตามทิศทางของลูกศรเท่านั้น คุณสามารถเยี่ยมชมแต่ละจุดได้ไม่เกินหนึ่งครั้ง คุณสามารถเดินทางจากจุดที่ 1 ถึงจุดที่ 9 ได้กี่วิธี? เส้นทางใดสั้นที่สุดและยาวที่สุด

สารละลาย:

เราตามลำดับ "แบ่งชั้น" วงจรออกเป็นต้นไม้โดยเริ่มจากจุดยอด 1 [ภาคผนวกรูปที่ 7]. มาปลูกต้นไม้กันเถอะ ตัวเลข วิธีที่เป็นไปได้การเข้าชมตั้งแต่ 1 ถึง 9 เท่ากับจำนวนจุดยอด "ห้อย" ของต้นไม้ (มี 14 อัน) แน่นอนว่าเส้นทางที่สั้นที่สุดคือ 1-5-9; ยาวที่สุดคือ 1-2-3-6-5-7-8-9

2 "กลุ่มการออกเดท"

ปัญหาที่ 1

ผู้เข้าร่วมเทศกาลดนตรีได้พบกันแลกเปลี่ยนซองจดหมายพร้อมที่อยู่ พิสูจน์ว่า:

ก) มีการส่งมอบซองจดหมายจำนวนคู่;

b) จำนวนผู้เข้าร่วมที่แลกเปลี่ยนซองจดหมายเป็นจำนวนคี่เป็นเลขคู่

วิธีแก้ปัญหา: ให้ผู้เข้าร่วมเทศกาลเป็น A 1, A 2, A 3 . . และ n คือจุดยอดของกราฟ และขอบเชื่อมต่อจุดยอดคู่ที่เป็นตัวแทนของฝ่ายที่แลกเปลี่ยนซองจดหมาย [ภาคผนวกรูปที่ 8]

สารละลาย:

ก) ระดับของจุดยอดแต่ละอัน A i แสดงจำนวนซองจดหมายที่ผู้เข้าร่วม A i มอบให้เพื่อนของเขา จำนวนทั้งหมดของซองจดหมายที่ส่ง N เท่ากับผลรวมขององศาของจุดยอดทั้งหมดของกราฟ N = องศา ขั้นที่ 1 + เอ 2 + + . . . + ขั้นตอน A n -1 + องศา และ n, N =2p โดยที่ p คือจำนวนขอบของกราฟ นั่นคือ เอ็น-เท่ากัน ด้วยเหตุนี้ จึงได้มีการส่งมอบซองจดหมายจำนวนเลขคู่

b) ในความเท่าเทียมกัน N = องศา ขั้นที่ 1 + เอ 2 + + . . . + ขั้นตอน A n -1 + องศา และ n ผลรวมของเทอมคี่ต้องเป็นเลขคู่ และจะเป็นได้ก็ต่อเมื่อจำนวนเทอมคี่เป็นเลขคู่ ซึ่งหมายความว่าจำนวนผู้เข้าร่วมที่แลกเปลี่ยนซองจดหมายเป็นจำนวนคี่จะเป็นเลขคู่

ปัญหาที่ 2

วันหนึ่ง Andrei, Boris, Volodya, Dasha และ Galya ตกลงที่จะไปดูหนังในตอนเย็น พวกเขาตัดสินใจประสานการเลือกโรงภาพยนตร์และการแสดงทางโทรศัพท์ มีการตัดสินใจว่าหากไม่สามารถติดต่อใครทางโทรศัพท์ได้ การเดินทางไปโรงภาพยนตร์จะถูกยกเลิก ในตอนเย็น ไม่ใช่ทุกคนจะมารวมตัวกันที่โรงภาพยนตร์ ดังนั้นการชมภาพยนตร์จึงถูกยกเลิก วันรุ่งขึ้นพวกเขาเริ่มรู้ว่าใครโทรมา ปรากฎว่า Andrey เรียกว่า Boris และ Volodya, Volodya เรียกว่า Boris และ Dasha, Boris เรียกว่า Andrey และ Dasha, Dasha เรียกว่า Andrey และ Volodya และ Galya เรียกว่า Andrey, Volodya และ Boris ใครรับสายไม่ได้แล้วไม่มาประชุม?

สารละลาย:

ลองวาดจุดห้าจุดแล้วติดป้ายกำกับด้วยตัวอักษร A, B, C, D, D นี่คือตัวอักษรตัวแรกของชื่อ มาเชื่อมต่อจุดที่ตรงกับชื่อของคนที่โทรมา

[ภาคผนวกรูปที่ 9]

จากภาพเห็นได้ชัดว่าผู้ชายแต่ละคน - Andrey, Boris และ Volodya - โทรหาทุกคน นั่นเป็นสาเหตุที่คนเหล่านี้มาดูหนัง แต่ Galya และ Dasha ไม่สามารถคุยโทรศัพท์กันได้ (จุด G และ E ไม่ได้เชื่อมต่อกันด้วยส่วนของเส้น) ดังนั้นตามข้อตกลงจึงไม่มาดูหนัง

การประยุกต์กราฟในด้านต่างๆ ของชีวิตผู้คน

นอกจากตัวอย่างที่ให้ไว้แล้ว กราฟยังใช้กันอย่างแพร่หลายในการก่อสร้าง วิศวกรรมไฟฟ้า การจัดการ โลจิสติกส์ ภูมิศาสตร์ วิศวกรรมเครื่องกล สังคมวิทยา การเขียนโปรแกรม ระบบอัตโนมัติ กระบวนการทางเทคโนโลยีและการผลิต จิตวิทยา การโฆษณา ดังนั้น จากที่กล่าวมาทั้งหมด มันเป็นไปตามคุณค่าเชิงปฏิบัติของทฤษฎีกราฟอย่างไม่อาจหักล้างได้ ซึ่งการพิสูจน์คือเป้าหมาย การศึกษาครั้งนี้.

ในสาขาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีใด ๆ ที่คุณพบกราฟ กราฟเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่ยอดเยี่ยมซึ่งคุณสามารถแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ เศรษฐกิจ และตรรกะ ปริศนาต่างๆ และลดความซับซ้อนของเงื่อนไขของปัญหาในฟิสิกส์ เคมี อิเล็กทรอนิกส์ และระบบอัตโนมัติ ข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์จำนวนมากสามารถกำหนดได้สะดวกในภาษากราฟ ทฤษฎีกราฟเป็นส่วนหนึ่งของวิทยาศาสตร์หลายแขนง ทฤษฎีกราฟเป็นหนึ่งในทฤษฎีที่สวยงามและมองเห็นได้มากที่สุด ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์. ใน เมื่อเร็วๆ นี้ทฤษฎีกราฟกำลังค้นหาการประยุกต์ใช้งานในประเด็นที่ประยุกต์มากขึ้นเรื่อยๆ แม้แต่เคมีเชิงคำนวณก็ยังเกิดขึ้น ซึ่งเป็นสาขาวิชาเคมีที่ค่อนข้างใหม่ซึ่งมีพื้นฐานมาจากการประยุกต์ใช้ทฤษฎีกราฟ

กราฟโมเลกุลที่ใช้ในสเตอริโอเคมีและโทโพโลยีโครงสร้าง เคมีของกลุ่ม โพลีเมอร์ ฯลฯ ได้แก่ กราฟที่ไม่มีทิศทางโดยแสดงโครงสร้างของโมเลกุล [ภาคผนวก รูปที่ 10]. จุดยอดและขอบของกราฟเหล่านี้สอดคล้องกับอะตอมและ พันธะเคมีระหว่างพวกเขา.

กราฟโมเลกุลและต้นไม้: [ภาคผนวก รูปที่ 10] a, b - multigraphs ตามลำดับ เอทิลีนและฟอร์มาลดีไฮด์ พวกเขาพูด ไอโซเมอร์เพนเทน (ต้นไม้ 4, 5 เป็นไอโซมอร์ฟิกของต้นไม้ 2)

ในด้านสเตอริโอเคมีของสิ่งมีชีวิตมากที่สุด มักใช้ต้นไม้โมเลกุล - ต้นไม้หลักของกราฟโมเลกุลซึ่งมีเฉพาะจุดยอดทั้งหมดที่สอดคล้องกับอะตอม C การรวบรวมเซตของโมล ต้นไม้และการสร้างมอร์ฟิซึ่มของพวกมันทำให้สามารถระบุได้ว่าพวกเขาพูด โครงสร้างและการค้นหา จำนวนเต็มไอโซเมอร์ของอัลเคน อัลคีน และอัลคีน

เครือข่ายโปรตีน

เครือข่ายโปรตีนคือกลุ่มของโปรตีนที่มีปฏิสัมพันธ์ทางกายภาพซึ่งทำงานในเซลล์ร่วมกันและในลักษณะประสานงานกัน ควบคุมกระบวนการที่เชื่อมโยงถึงกันที่เกิดขึ้นในร่างกาย [รูปที่แนบมาด้วย.. สิบเอ็ด].

กราฟระบบลำดับชั้นเรียกว่าต้นไม้ คุณสมบัติที่โดดเด่นของต้นไม้ก็คือว่าระหว่างจุดยอดสองจุดใดๆ จะมีเส้นทางเดียวเท่านั้น ต้นไม้ไม่มีวงจรหรือลูป

โดยทั่วไปแล้ว ต้นไม้ที่เป็นตัวแทนของระบบลำดับชั้นจะมีจุดยอดหลักหนึ่งจุด ซึ่งเรียกว่ารากของต้นไม้ แต่ละจุดยอดของต้นไม้ (ยกเว้นราก) มีบรรพบุรุษเพียงคนเดียว - วัตถุที่กำหนดโดยต้นไม้นั้นรวมอยู่ในคลาสระดับบนสุดหนึ่งคลาส จุดยอดใดๆ ของต้นไม้สามารถสร้างจุดสืบทอดได้หลายจุด - จุดยอดที่สอดคล้องกับคลาสของระดับล่าง

สำหรับยอดไม้แต่ละคู่ จะมีเส้นทางเฉพาะที่เชื่อมโยงกัน คุณสมบัตินี้ใช้ในการค้นหาบรรพบุรุษทั้งหมด เช่น ในสายผู้ชาย ของบุคคลใดก็ตามที่มีสายเลือดแสดงอยู่ในรูปแผนภูมิต้นไม้ครอบครัว ซึ่งก็คือ "ต้นไม้" ในความหมายของทฤษฎีกราฟ

ตัวอย่างแผนภูมิต้นไม้ครอบครัวของฉัน [ภาคผนวก รูปที่ 12].

อีกตัวอย่างหนึ่ง ภาพแสดงลำดับวงศ์ตระกูลตามพระคัมภีร์ [ภาคผนวก รูปที่ 13].

การแก้ปัญหา

1.งานขนส่ง. ให้มีฐานในเมืองคราสโนดาร์พร้อมวัตถุดิบที่ต้องกระจายไปยังเมืองคริมสค์ เทมริวค สลาเวียนสค์ออนคูบัน และทิมาเชฟสค์ ในการเดินทางครั้งเดียวใช้เวลาและเชื้อเพลิงให้น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้แล้วเดินทางกลับคราสโนดาร์ .

สารละลาย:

ก่อนอื่น เรามาสร้างกราฟของทั้งหมดกันก่อน วิธีที่เป็นไปได้การท่องเที่ยว [ภาคผนวกรูปที่ 14]โดยคำนึงถึงถนนจริงระหว่างการตั้งถิ่นฐานเหล่านี้และระยะห่างระหว่างพวกเขา เพื่อแก้ปัญหานี้ เราจำเป็นต้องสร้างกราฟอีกอันที่มีลักษณะคล้ายต้นไม้ [ภาคผนวกรูปที่ 15].

เพื่อความสะดวกในการแก้ปัญหาเรากำหนดเมืองด้วยตัวเลข: Krasnodar - 1, Krymsk - 2, Temryuk - 3, Slavyansk - 4, Timashevsk - 5

ผลลัพธ์คือ 24 วิธี แต่เราต้องการเพียงเส้นทางที่สั้นที่สุดเท่านั้น จากวิธีแก้ปัญหาทั้งหมด มีเพียงสองข้อเท่านั้นที่น่าพึงพอใจ นี่คือ 350 กม.

ในทำนองเดียวกันก็เป็นไปได้และฉันคิดว่าจำเป็นต้องคำนวณการขนส่งจริงจากที่หนึ่งไปอีกที่หนึ่ง

ปัญหาเชิงตรรกะที่เกี่ยวข้องกับการถ่ายเลือดถังบรรจุน้ำได้ 8 ลิตร และมีกระทะ 2 ใบที่มีความจุ 5 และ 3 ลิตร คุณต้องเทน้ำ 4 ลิตรลงในกระทะห้าลิตรและทิ้ง 4 ลิตรไว้ในถังนั่นคือ เทน้ำลงในถังและกระทะขนาดใหญ่เท่า ๆ กัน

สารละลาย:

สถานการณ์ในขณะใดขณะหนึ่งสามารถอธิบายได้ด้วยตัวเลขสามตัว [ภาคผนวก รูปที่ 16].

เป็นผลให้เราได้รับสองวิธี: หนึ่งใน 7 การเคลื่อนไหว และอีก 8 การเคลื่อนไหว

บทสรุป

ดังนั้น เพื่อที่จะเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหา คุณต้องเข้าใจว่ามันคืออะไร มีโครงสร้างอย่างไร และอะไร ส่วนประกอบประกอบด้วยเครื่องมือใดบ้างที่ใช้ในการแก้ปัญหา

ในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติโดยใช้ทฤษฎีกราฟ เห็นได้ชัดว่าในทุกขั้นตอน ในทุกขั้นตอนของการแก้ปัญหา จำเป็นต้องใช้ความคิดสร้างสรรค์

ตั้งแต่เริ่มต้น ในระยะแรก คุณต้องสามารถวิเคราะห์และเข้ารหัสสภาพของปัญหาได้ ขั้นตอนที่สองคือสัญกรณ์แผนผังซึ่งประกอบด้วย การแสดงทางเรขาคณิตกราฟ และในขั้นตอนนี้ องค์ประกอบของความคิดสร้างสรรค์มีความสำคัญมาก เนื่องจากการค้นหาความสอดคล้องระหว่างองค์ประกอบของเงื่อนไขและองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของกราฟนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย

กำลังตัดสินใจ งานขนส่งหรืองานวาดแผนผังครอบครัว ผมสรุปว่าวิธีกราฟน่าสนใจ สวยงาม และเห็นภาพอย่างแน่นอน

ฉันเชื่อว่ากราฟมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านเศรษฐศาสตร์ การจัดการ และเทคโนโลยี ทฤษฎีกราฟยังใช้ในการเขียนโปรแกรมด้วย งานนี้ไม่ได้กล่าวถึงเรื่องนี้ แต่ผมคิดว่ามันเป็นเพียงเรื่องของเวลาเท่านั้น

งานทางวิทยาศาสตร์นี้จะตรวจสอบกราฟทางคณิตศาสตร์ พื้นที่การประยุกต์ใช้ และแก้ปัญหาต่างๆ โดยใช้กราฟ ความรู้พื้นฐานของทฤษฎีกราฟเป็นสิ่งจำเป็นในด้านต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการผลิตและการจัดการธุรกิจ (เช่น ตารางการสร้างเครือข่าย ตารางการจัดส่งทางไปรษณีย์) นอกจากนี้ ขณะที่ทำงานเขียนรายงานทางวิทยาศาสตร์ ฉันเชี่ยวชาญการทำงานบนคอมพิวเตอร์โดยใช้โปรแกรมแก้ไขข้อความ WORD ดังนั้นภารกิจ งานทางวิทยาศาสตร์สมบูรณ์.

ดังนั้น จากที่กล่าวมาทั้งหมด คุณค่าเชิงปฏิบัติของทฤษฎีกราฟตามมาอย่างปฏิเสธไม่ได้ การพิสูจน์คือเป้าหมายของงานนี้

วรรณกรรม

เบิร์ก เค.ทฤษฎีกราฟและการประยุกต์ -ม.: IIL, 1962.

เคเมนี เจ., สเนลล์ เจ., ทอมป์สัน เจ.ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับคณิตศาสตร์จำกัด -ม.: IIL, 1963.

โอเรโอกราฟและการประยุกต์ -ม.: มีร์, 2508.

ฮาราริ เอฟ.ทฤษฎีกราฟ -ม.: มีร์, 1973.

ซิคอฟ เอ.เอ.ทฤษฎีกราฟจำกัด -โนโวซีบีสค์: วิทยาศาสตร์, 1969.

เบเรซินา แอล.ยู.กราฟและการประยุกต์ -ม.: การศึกษา พ.ศ. 2522 -144 น.

"วารสารการศึกษาโซรอส" ฉบับที่ 11 พ.ศ. 2539 (บทความ "กราฟแบน");

Gardner M. "การพักผ่อนทางคณิตศาสตร์", M. "World", 1972 (บทที่ 35);

Olehnik S. N. , Nesterenko Yu. V. , Potapov M. K. "โบราณ งานบันเทิง", M. "วิทยาศาสตร์", 1988 (ตอนที่ 2, ตอนที่ 8; ภาคผนวก 4);

แอปพลิเคชัน

แอปพลิเคชัน

ป

ข้าว. 6

ข้าว. 7

ข้าว. 8

แอปพลิเคชัน

แอปพลิเคชัน

แอปพลิเคชัน

แอปพลิเคชัน

ป

ข้าว. 14

แอปพลิเคชัน

แอปพลิเคชัน

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีกราฟ

ตัวอย่างการใช้ทฤษฎีกราฟ

ประวัติความเป็นมาของการเกิดขึ้นของทฤษฎีกราฟ

เรามักจะวาดวงกลม สี่เหลี่ยม และจุดบนกระดาษเพื่อแสดงถึงบุคคล การตั้งถิ่นฐานสิ่งที่เราต้องทำ และอื่นๆ ที่คล้ายกัน และเราเชื่อมโยงสิ่งเหล่านั้นด้วยเส้นตรงและเส้นขาด โดยมีลูกศรที่เรากำหนดการเชื่อมต่อระหว่างสิ่งเหล่านั้น ความสัมพันธ์ ลำดับของการกระทำ และอื่นๆ ที่คล้ายคลึงกัน

แผนการดังกล่าวพบได้ทุกที่ภายใต้ ชื่อที่แตกต่างกัน: โซโซแกรม (ในด้านจิตวิทยา) ซิมเพล็กซ์ (ในโทโพโลยี) วงจรไฟฟ้า (ในฟิสิกส์) แผนผังองค์กร (ในเศรษฐศาสตร์) เครือข่ายการสื่อสาร แผนภูมิต้นไม้ครอบครัว ฯลฯ

D. Koenig เสนอให้เรียกโครงร่างดังกล่าวว่า "กราฟ" และศึกษาคุณสมบัติของพวกมันอย่างเป็นระบบ

อย่างแน่นอน สาขาวิชาต่างๆเราต้องใช้ทฤษฎีบทที่คล้ายกัน ดังนั้น แนวคิดของ "เมทริกซ์ของเหตุการณ์" ซึ่ง Kirchhoff นำมาใช้ในการศึกษาวงจรไฟฟ้า จึงถูกนำเข้าสู่โทโพโลยีโดย A. Poincaré เมื่อสร้าง "ตำแหน่งการวิเคราะห์" ของเขา แนวคิดเรื่อง "จุดประกบ" ซึ่งรู้จักกันมานานในสังคมวิทยาต่อมาปรากฏในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ เป็นไปไม่ได้ที่จะแสดงรายการตัวอย่างประเภทนี้ทั้งหมด เพื่อที่จะสามารถนำทฤษฎีกราฟไปประยุกต์ใช้กับพื้นที่ที่หลากหลายได้นั้น จะต้องอยู่ในนั้น ระดับสูงสุดนามธรรมและเป็นทางการ

ในความเป็นจริง แนวคิดพื้นฐานเช่น "ลูกโซ่" "เส้นทาง" "ศูนย์กลาง" แม้จะถูกกำหนดให้เป็นนามธรรม แต่ยังคงเชื่อมโยงกับความเป็นจริงทางกราฟิกในเวลาเดียวกันอย่างแยกไม่ออก และรับรู้ได้ง่ายเมื่อวาดแผนภาพ

เมื่อพิจารณาทฤษฎีกราฟ เราไม่ได้ตั้งใจที่จะให้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ งานของเราคือการสร้าง ความคิดทั่วไปประการแรกเกี่ยวกับความสามารถในการประยุกต์ในทฤษฎีองค์กรการจัดการ

ทฤษฎีกราฟใช้ในด้านต่างๆ เช่น ฟิสิกส์ เคมี ทฤษฎีการสื่อสาร วิศวกรรมศาสตร์ คอมพิวเตอร์, วิศวกรรมไฟฟ้า, วิศวกรรมเครื่องกล, สถาปัตยกรรม, การวิจัยปฏิบัติการ, ไซเบอร์เนติกส์, ทฤษฎีระบบทั่วไป, ทฤษฎีองค์กรทั่วไป, พันธุศาสตร์, จิตวิทยา, สังคมวิทยา, เศรษฐศาสตร์, มานุษยวิทยาและภาษาศาสตร์ และวิทยาศาสตร์อื่น ๆ

ทฤษฎีนี้ยังเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับคณิตศาสตร์หลายแขนง รวมถึงทฤษฎีกลุ่ม ทฤษฎีเมทริกซ์ การวิเคราะห์เชิงตัวเลข ทฤษฎีความน่าจะเป็น โทโพโลยี และการวิเคราะห์เชิงรวมกัน

ทฤษฎีกราฟทำหน้าที่ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับระบบใดๆ ที่มีความสัมพันธ์แบบไบนารี่ กราฟมีความน่าดึงดูดและสวยงามเนื่องจากการนำเสนอในรูปแบบไดอะแกรม แม้ว่าทฤษฎีกราฟจะมีผลลัพธ์มากมายที่มีลักษณะเป็นเบื้องต้น แต่ก็ยังมีปัญหาเชิงผสมที่ละเอียดอ่อนอยู่มากมายมหาศาล

ทฤษฎีกราฟถูก "ค้นพบ" อย่างเป็นอิสระหลายครั้ง: เป็นเช่นนั้น ด้วยเหตุผลที่ดีถือได้ว่าเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ประยุกต์ การกล่าวถึงทฤษฎีนี้เร็วที่สุดที่ทราบอยู่ในงานของออยเลอร์ และแม้ว่าปัญหาที่เขากำลังเผชิญอยู่ถือได้ว่าเป็นปริศนาธรรมดา แต่ก็ยังเกิดขึ้นจากการฝึกฝน

การค้นพบทฤษฎีกราฟอีกครั้งในภายหลังโดย Kirchhoff และ Cayley ก็มีรากฐานมาจากความเป็นจริงเช่นกัน การศึกษาวงจรไฟฟ้าของ Kirchhoff นำไปสู่การพัฒนาแนวคิดพื้นฐานและทฤษฎีบทจำนวนหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับต้นไม้ในกราฟ ในทางกลับกัน เคย์ลีย์เข้าหาการศึกษาต้นไม้โดยการแก้ปัญหาการระบุรายชื่อไอโซเมอร์อินทรีย์

แฮมิลตันเสนอแนวทางไขปริศนากราฟอีกวิธีหนึ่ง หลังจากนั้นสมมติฐานสี่สีอันโด่งดังก็ปรากฏขึ้นซึ่งยังคงเป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวาง

ศตวรรษของเรายังได้เห็นการค้นพบทฤษฎีกราฟอีกครั้งเป็นจำนวนมาก ให้เราพูดถึงบางส่วนโดยย่อตามลำดับเวลา

ปัญหาสะพานเคอนิกสเบิร์ก

บิดาแห่งทฤษฎีกราฟ (เช่นเดียวกับโทโพโลยี) คือออยเลอร์ (ค.ศ. 1707-1782) ซึ่งในปี ค.ศ. 1736 ได้แก้ไขปัญหาที่เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางในขณะนั้นเรียกว่าปัญหาสะพานเคอนิกสเบิร์ก

ในเมือง Koenigsberg มีเกาะสองเกาะที่เชื่อมต่อกันด้วยสะพานเจ็ดแห่งไปยังริมฝั่งแม่น้ำ Pregolya และเชื่อมต่อกันดังแสดงในรูป

ภารกิจมีดังนี้: ค้นหาเส้นทางผ่านทั้งสี่ส่วนของดินแดนซึ่งจะเริ่มจากส่วนใดส่วนหนึ่งไปสิ้นสุดในส่วนเดียวกันและข้ามสะพานแต่ละแห่งเพียงครั้งเดียว

แน่นอนว่ามันเป็นเรื่องง่ายที่จะพยายามแก้ไขปัญหานี้ด้วยการสังเกตโดยค้นหาเส้นทางทั้งหมด แต่ความพยายามทั้งหมดจะจบลงด้วยความล้มเหลว

การมีส่วนร่วมของออยเลอร์ในการแก้ปัญหานี้คือเขาได้พิสูจน์ความเป็นไปไม่ได้ของเส้นทางดังกล่าว

รูปที่ 1 สวนสาธารณะในเมืองKönigsberg ปี 1736

รูปที่ 2 กราฟสำหรับปัญหาสะพานเคอนิกสเบิร์ก

เพื่อพิสูจน์ว่าปัญหาไม่มีวิธีแก้ปัญหา ออยเลอร์จึงกำหนดให้แต่ละส่วนของพื้นดินมีจุด (จุดยอด) และแต่ละสะพานมีเส้น (ขอบ) เชื่อมจุดที่สอดคล้องกัน

ผลลัพธ์ที่ได้คือ "กราฟ" กราฟนี้แสดงในรูปที่ 2 โดยจุดต่างๆ จะถูกทำเครื่องหมายด้วยตัวอักษรเดียวกันกับที่ดินทั้งสี่ส่วน

ข้อความเกี่ยวกับการไม่มีอยู่จริงของวิธีแก้ปัญหา "เชิงบวก" สำหรับปัญหานี้เทียบเท่ากับข้อความเกี่ยวกับความเป็นไปไม่ได้ที่จะข้ามกราฟที่นำเสนอในรูปด้วยวิธีพิเศษ

เริ่มจากกรณีเฉพาะนี้ ออยเลอร์ได้สรุปการกำหนดปัญหาและพบว่า หลักเกณฑ์การมีทางเบี่ยง (เส้นทางพิเศษ)สำหรับกราฟนี้ก็คือ กราฟจะต้องเชื่อมต่อกันและแต่ละจุดยอดจะต้องตกกระทบกับ (เป็นของ) จำนวนขอบที่เป็นเลขคู่

กราฟที่แสดงในภาพมีการเชื่อมโยงกัน แต่ไม่ใช่ทุกจุดยอดที่จะตกกระทบ (เป็นของ) จำนวนขอบที่เป็นเลขคู่

วงจรไฟฟ้า

ในปี ค.ศ. 1847 Kirchhoff ได้พัฒนาขึ้น ทฤษฎีต้นไม้สำหรับการแก้ปัญหา ระบบร่วมเชิงเส้น สมการพีชคณิตซึ่งช่วยให้คุณค้นหาค่ากระแสในแต่ละตัวนำ (ส่วนโค้ง) และในแต่ละวงจรที่พิจารณา วงจรไฟฟ้า.

เป็นนักฟิสิกส์โดยการฝึกอบรม เขาเข้าหาการแก้ปัญหาเหมือนนักคณิตศาสตร์ จากวงจรไฟฟ้าและวงจรที่มีความต้านทาน ตัวเก็บประจุ ตัวเหนี่ยวนำ ฯลฯ เขาพิจารณาโครงสร้างเชิงผสมที่สอดคล้องกันที่มีเฉพาะจุดยอดและการเชื่อมต่อ (ขอบหรือส่วนโค้ง) และสำหรับการเชื่อมต่อนั้นไม่จำเป็นต้องระบุว่าองค์ประกอบทางไฟฟ้าประเภทใดที่สอดคล้องกัน ถึง .

ดังนั้น ในความเป็นจริง Kirchhoff ได้แทนที่วงจรไฟฟ้าแต่ละวงจรด้วยกราฟที่สอดคล้องกัน และแสดงให้เห็นว่าในการแก้ระบบสมการ ไม่จำเป็นต้องพิจารณาแต่ละรอบของกราฟวงจรไฟฟ้าแยกกัน

รูปที่ 3 เครือข่าย N กราฟที่สอดคล้องกัน G.

เขากลับเสนอเรื่องง่ายๆ แต่ เทคนิคที่มีประสิทธิภาพ(ซึ่งต่อมากลายเป็นขั้นตอนมาตรฐาน) ซึ่งก็เพียงพอแล้วที่จะจำกัดตัวเองให้อยู่เพียงวงจรอย่างง่าย ๆ ที่เป็นอิสระจากกราฟ ซึ่งกำหนดโดย "ต้นไม้ที่ทอดยาว" ใดๆ ของมัน รูปที่ 3 แสดงตัวอย่างวงจรไฟฟ้า N และกราฟ G ที่สอดคล้องกัน

ไอโซเมอร์เคมี

จัดการกับงานภาคปฏิบัติล้วนๆ เคมีอินทรีย์เคย์ลีย์ค้นพบกราฟประเภทสำคัญที่เรียกว่าต้นไม้ในปี พ.ศ. 2400

เขาพยายามที่จะแสดงรายการไอโซเมอร์ของไฮโดรคาร์บอนอิ่มตัว (อิ่มตัว) กับ n เอ็น 2 n + 2 ด้วยจำนวนอะตอมคาร์บอนที่กำหนด n รูปที่ 4.

รูปที่ 4. ไอโซบิวเทน

ในด้านจิตวิทยาสังคม

ในปี 1936 นักจิตวิทยา Kurt Lev และ n แนะนำว่า "พื้นที่อยู่อาศัย" ของแต่ละบุคคลสามารถนำเสนอได้โดยใช้ แผนที่ระนาบ 1)

บนแผนที่ดังกล่าว พื้นที่ต่างๆ จะถูกนำเสนอ หลากหลายชนิดกิจกรรมของบุคคล เช่น สิ่งที่เขาทำในที่ทำงาน ที่บ้าน หรืองานอดิเรกของเขา

รูปที่ 5 แผนที่และกราฟที่เกี่ยวข้อง

เราขอย้ำว่าเค.เลฟ และ n เกี่ยวข้องกับกราฟจริง ๆ ดังที่เห็นได้จากรูปที่ 5

มุมมองนี้ทำให้นักจิตวิทยาที่ Group Dynamics Research Center ไปสู่อีกมุมมองหนึ่ง การตีความทางจิตวิทยาของกราฟที่แสดงผู้คนเป็นจุดยอดและความสัมพันธ์ของพวกเขาเป็นขอบความสัมพันธ์ดังกล่าวได้แก่ ความรัก ความเกลียดชัง การสื่อสาร การยอมจำนน

ข้อสันนิษฐานของเลวินใช้กับแผนที่ระนาบเท่านั้น เนื่องจากเขามักจะวาดภาพบนเครื่องบินเสมอ ต่อจากนั้นแนวคิดของ K. Levin ได้รับการพัฒนาในขั้นตอนทางสังคมมิติ

ในทฤษฎีองค์การ

กราฟสามารถนำเสนอได้ไม่เพียงแต่ในรูปแบบคลาสสิกที่เข้มงวดเท่านั้น ดังนั้นวงจรชีวิตของบริษัท I. Adizes จึงมีการนำเสนอในรูปแบบต่อไปนี้

รูปที่ 6. วงจรชีวิตบริษัท

การทำงาน โครงสร้างองค์กร สร้างขึ้นบนหลักการกระจายฟังก์ชันภายในองค์กรและสร้างโครงสร้างย่อยแบบ end-to-end สำหรับจัดการฟังก์ชัน

ฝ่ายผลิต

ข้าว. โครงสร้างองค์กรตามหน้าที่

จึงต้องมีความพิเศษ ทฤษฎีทั่วไปซึ่งใช้ได้กับกิจกรรมของมนุษย์ทุกประเภท ถูกกำหนดโดยความต้องการของการปฏิบัติ

ทฤษฎีนี้จึงกลายเป็น “ทฤษฎีกราฟ”

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีกราฟ

เริ่มจากคำจำกัดความกันก่อน ทฤษฎีกราฟไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจน ด้านล่างนี้มีคำจำกัดความสามคำจำกัดความ แต่มีคำจำกัดความอื่นๆ อีก

ทฤษฎีกราฟ- สาขาวิชาคณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่องที่ศึกษาคุณสมบัติของเซตจำกัดที่มีความสัมพันธ์ที่กำหนดระหว่างองค์ประกอบต่างๆ

ทฤษฎีกราฟ- สาขาวิชาคณิตศาสตร์ซึ่งมีลักษณะเฉพาะคือแนวทางทางเรขาคณิตในการศึกษาวัตถุ

ทฤษฎีกราฟ- ภาษาคณิตศาสตร์สำหรับคำจำกัดความอย่างเป็นทางการของแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์และการสังเคราะห์โครงสร้างของระบบและกระบวนการ