สูตรเอมพิริคัลสำหรับคำนวณพื้นที่ของตัวเลขอย่างง่าย วิธีหาพื้นที่รูปทรงเรขาคณิต

ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต คุณจำเป็นต้องรู้สูตร เช่น พื้นที่ของสามเหลี่ยมหรือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เช่นเดียวกับ เคล็ดลับง่ายๆที่เราจะพูดถึง

ก่อนอื่น มาเรียนรู้สูตรสำหรับพื้นที่ของตัวเลขกันก่อน เราได้รวบรวมไว้เป็นพิเศษในตารางที่สะดวก พิมพ์ เรียนรู้ และสมัคร!

แน่นอนว่าไม่ใช่สูตรทางเรขาคณิตทั้งหมดที่อยู่ในตารางของเรา ตัวอย่างเช่น การแก้ปัญหาเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตและสามมิติในส่วนที่สอง การสอบโปรไฟล์ในวิชาคณิตศาสตร์ยังใช้สูตรอื่นสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม แน่นอนเราจะบอกคุณเกี่ยวกับพวกเขา

แต่ถ้าคุณต้องการค้นหาไม่ใช่พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหรือสามเหลี่ยม แต่เป็นพื้นที่ของบางส่วน ร่างที่ซับซ้อน? มี วิธีสากล! เราจะแสดงโดยใช้ตัวอย่างจากธนาคารงาน FIPI

1. จะหาพื้นที่ของตัวเลขที่ไม่ได้มาตรฐานได้อย่างไร? ตัวอย่างเช่น รูปสี่เหลี่ยมโดยพลการ? เทคนิคง่ายๆ - ลองแบ่งตัวเลขนี้เป็นตัวเลขที่เรารู้และหาพื้นที่ของมัน - เป็นผลรวมของพื้นที่ของตัวเลขเหล่านี้

แบ่งรูปสี่เหลี่ยมนี้ด้วยเส้นแนวนอนเป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูปด้วย พื้นดินทั่วไป, เท่ากับ . ความสูงของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้เท่ากับ และ จากนั้นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสองรูป: .

ตอบ: .

2. ในบางกรณี พื้นที่ของตัวเลขสามารถแสดงเป็นผลต่างของพื้นที่ใดก็ได้

มันไม่ง่ายเลยที่จะคำนวณว่าฐานและความสูงของสามเหลี่ยมนี้มีค่าเท่ากับเท่าใด! แต่เราสามารถพูดได้ว่าพื้นที่ของมันเท่ากับผลต่างระหว่างพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านและสามเหลี่ยมมุมฉากสามอัน เห็นพวกเขาในภาพ? เราได้รับ: .

ตอบ: .

3. บางครั้งในงานจำเป็นต้องหาพื้นที่ที่ไม่ใช่ของตัวเลขทั้งหมด แต่เป็นส่วนหนึ่งของมัน โดยปกติเรากำลังพูดถึงพื้นที่ของเซกเตอร์ - ส่วนหนึ่งของวงกลม ค้นหา พื้นที่ของเซกเตอร์ของวงกลมรัศมี , ซึ่งมีความยาวส่วนโค้งเท่ากับ .

ในภาพนี้ เราเห็นส่วนหนึ่งของวงกลม พื้นที่ของวงกลมทั้งหมดเท่ากับ เนื่องจาก . ยังคงต้องค้นหาว่าส่วนใดของวงกลมที่ปรากฎ เนื่องจากความยาวของวงกลมทั้งหมดเท่ากับ (ตั้งแต่) และความยาวของส่วนโค้งของส่วนนี้เท่ากัน ดังนั้นความยาวของส่วนโค้งจึงน้อยกว่าความยาวของวงกลมทั้งหมดหลายเท่า มุมที่ส่วนโค้งนี้วางอยู่ก็น้อยกว่าวงกลมเต็ม (นั่นคือองศา) ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ของเซกเตอร์จะน้อยกว่าพื้นที่ของวงกลมทั้งหมดหลายเท่า

พื้นที่ทางเรขาคณิต - ลักษณะที่เป็นตัวเลขรูปเรขาคณิตแสดงขนาดของรูปนี้ (ส่วนของพื้นผิวที่ล้อมรอบ วงปิดตัวเลขนี้) ขนาดของพื้นที่แสดงด้วยจำนวนตารางหน่วยที่มีอยู่

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยม

1. สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมด้านและความสูง
   พื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมและความยาวของความสูงที่ลากมาทางด้านนี้
   
2. สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดสามด้านและรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ
   
3. สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดสามด้านและรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
   พื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับผลคูณของครึ่งปริมณฑลของสามเหลี่ยมและรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
   
โดยที่ S คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม
- ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยม
- ความสูงของสามเหลี่ยม
- มุมระหว่างด้านและ
- รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้
R - รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยม

1. สูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่กำหนดความยาวของด้าน
   พื้นที่สี่เหลี่ยมเท่ากับกำลังสองของความยาวด้าน
2. สูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสกำหนดความยาวของเส้นทแยงมุม
   พื้นที่สี่เหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวของเส้นทแยงมุม
   

   ส=	1	2
   	2

โดยที่ S คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
คือความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
คือความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า

พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านประชิดทั้งสอง

โดยที่ S คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า
คือความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

1. สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานสำหรับความยาวด้านและความสูง
   พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน
2. สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กำหนดด้านสองด้านและมุมระหว่างด้านทั้งสอง
   พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านคูณด้วยไซน์ของมุมระหว่างทั้งสองด้าน
   

   a ข sinα

โดยที่ S คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
คือความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
คือความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
คือมุมระหว่างด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สูตรสำหรับพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

1. สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนกำหนดความยาวด้านและความสูง
   พื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับผลคูณของความยาวของด้านและความยาวของความสูงที่ลดลงมาทางด้านนี้
2. สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนกำหนดความยาวของด้านและมุม
   พื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับผลคูณของกำลังสองของความยาวของด้านและไซน์ของมุมระหว่างด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
3. สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจากความยาวของเส้นทแยงมุม
   พื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของเส้นทแยงมุม
โดยที่ S คือพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
- ความยาวของด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
- ความยาวของความสูงของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
- มุมระหว่างด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
1, 2 - ความยาวของเส้นทแยงมุม

สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู

1. สูตรของนกกระสาสำหรับรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

   โดยที่ S คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู
   - ความยาวของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู
   - ความยาวของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู
   

พื้นที่คืออะไร?

พื้นที่ - ลักษณะของรูปทรงเรขาคณิตปิด (วงกลม สี่เหลี่ยม สามเหลี่ยม ฯลฯ) ซึ่งแสดงขนาดของมัน พื้นที่มีหน่วยวัดเป็นตารางเซนติเมตร เมตร ฯลฯ แสดงด้วยตัวอักษร ส(สี่เหลี่ยม).

จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมได้อย่างไร?

ส= ก ชม.

ที่ไหน ก- ความยาวฐาน ชม.คือความสูงของสามเหลี่ยมที่ลากถึงฐาน

นอกจากนี้ฐานไม่จำเป็นต้องอยู่ด้านล่าง ที่จะทำเช่นกัน

ถ้าสามเหลี่ยม ป้านจากนั้นความสูงจะตกลงมาที่ความต่อเนื่องของฐาน:

ถ้าสามเหลี่ยม เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจากนั้นฐานและความสูงคือขา:

2. สูตรอื่นซึ่งมีประโยชน์ไม่น้อย แต่ด้วยเหตุผลบางประการมักถูกลืม:

ส= a ข sinα

ที่ไหน กและ ขสองด้านของสามเหลี่ยม ซินอัลคือไซน์ของมุมระหว่างด้านเหล่านี้

เงื่อนไขหลักคือมุมนั้นถูกถ่ายระหว่างสองด้านที่ทราบ

3. สูตรสำหรับพื้นที่สามด้าน (สูตรของนกกระสา):

ส=

ที่ไหน ก, ขและ กับคือด้านของสามเหลี่ยม และ ร -ครึ่งรอบ หน้า = (เอ+บี+ค)/2.

4. สูตรสำหรับพื้นที่สามเหลี่ยมในแง่ของรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ:

ส=

ที่ไหน ก, ขและ กับคือด้านของสามเหลี่ยม และ R-รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

5. สูตรสำหรับพื้นที่สามเหลี่ยมในแง่ของรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้:

ส= พี อาร์

ที่ไหน ร -ครึ่งปริมณฑลของรูปสามเหลี่ยม และ r-รัศมีของวงกลมที่เขียนไว้

จะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้อย่างไร?

1. พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าค่อนข้างง่าย:

ส=ก ข

ไม่มีเทคนิค

จะหาพื้นที่สี่เหลี่ยมได้อย่างไร?

1. เนื่องจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านเท่ากันหมด จึงใช้สูตรเดียวกันนี้:

ส=ก เอ = เอ2

2. นอกจากนี้ยังสามารถหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้จากเส้นทแยงมุม:

ส= ง 2

จะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานได้อย่างไร?

1. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานพบได้จากสูตร:

ส=ก ชม.

นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าถ้าคุณตัดขาดจากมัน สามเหลี่ยมมุมฉากทางด้านขวาและแนบไปทางซ้าย คุณจะได้สี่เหลี่ยมผืนผ้า:

2. นอกจากนี้ยังสามารถหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานได้จากมุมระหว่างสองด้าน:

ส=ก b ซินอัลฟา

จะหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนได้อย่างไร?

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ทุกด้านเท่ากัน ดังนั้นจึงใช้สูตรพื้นที่เดียวกัน

1. พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนในแง่ของความสูง:

ส=ก ชม.

สูตรทั้งหมดสำหรับพื้นที่ของตัวเลขระนาบ

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

1. สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วในแง่ของด้านและมุม

- ฐานล่าง

b - ฐานด้านบน

ค - ด้านเท่ากัน

α - มุมที่ฐานล่าง

สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วในแง่ของด้านข้าง (S):

สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วในแง่ของด้านและมุม (S):

2. สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วในแง่ของรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้

R- รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้

D- เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้

O - ศูนย์กลางวงกลมที่จารึกไว้

ชม- ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู

α, β - มุมสี่เหลี่ยมคางหมู

สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วในแง่ของรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ (S):

FAIR สำหรับวงกลมที่จารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว:

3. สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วในแง่ของเส้นทแยงมุมและมุมระหว่างพวกเขา

d-เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู

α,β- มุมระหว่างเส้นทแยงมุม

สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วในแง่ของเส้นทแยงมุมและมุมระหว่าง (S):

4. สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วในแง่ของ สายกลางด้านข้างและมุมที่ฐาน

ด้าน c

ม.- เส้นตรงกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู

α, β - มุมที่ฐาน

สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วในแง่ของเส้นกึ่งกลางด้านข้างและมุมที่ฐาน

(เอส):

5. สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วในแง่ของฐานและความสูง

เอ - ฐานล่าง

b - ฐานด้านบน

ชั่วโมง - ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู

สูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วในแง่ของฐานและความสูง (S):

พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่กำหนดด้านและสองมุม สูตร

a, b, c - ด้านของสามเหลี่ยม

α, β, γ - มุมตรงข้าม

พื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านด้านและสองมุม (S):

สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติ

เอ - ด้านรูปหลายเหลี่ยม

n - จำนวนด้าน

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติ (S):

สูตร (Heronian) สำหรับพื้นที่สามเหลี่ยมในแง่ของเส้นรอบวง (S):

พื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าคือ:

สูตรคำนวณพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่า.

- ด้านของสามเหลี่ยม

ชั่วโมง - ความสูง

วิธีการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว?

b - ฐานของสามเหลี่ยม

เอ - ด้านเท่ากัน

ชั่วโมง - ความสูง

3. สูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูในแง่ของสี่ด้าน

เอ - ฐานล่าง

b - ฐานด้านบน

ค, d - ด้าน

รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบของสี่เหลี่ยมคางหมูที่ด้านข้างและเส้นทแยงมุม

เอ - ด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู

ค - ฐานล่าง

b - ฐานด้านบน

d - เส้นทแยงมุม

ชั่วโมง - ความสูง

สูตรสำหรับรัศมีของวงกลมล้อมรอบสี่เหลี่ยมคางหมู (R)

หารัศมีของวงกลมที่มีเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีด้าน

เมื่อทราบด้านของสามเหลี่ยมหน้าจั่วแล้ว คุณสามารถใช้สูตรเพื่อหารัศมีของวงกลมที่มีเส้นรอบวงรอบสามเหลี่ยมนี้ได้

a, b - ด้านของสามเหลี่ยม

รัศมีของวงกลมที่มีเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (R):

รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปหกเหลี่ยม

- ด้านข้างของรูปหกเหลี่ยม

รัศมีของวงกลมที่เขียนเป็นรูปหกเหลี่ยม (r):

รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

r - รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้

- ด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

D, d - เส้นทแยงมุม

ชั่วโมง - ความสูงของเพชร

รัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

ค - ฐานล่าง

b - ฐานด้านบน

- ด้าน

ชั่วโมง - ความสูง

รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

a, b - ขาของสามเหลี่ยม

ค - ด้านตรงข้ามมุมฉาก

รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

a, b - ด้านของสามเหลี่ยม

พิสูจน์ว่าพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมที่เขียนไว้คือ

\/(p - a)(p - b) (p - c) (p - d),

โดยที่ p คือครึ่งเส้นรอบรูป และ a, b, c และ d คือด้านของรูปสี่เหลี่ยม

พิสูจน์ว่าพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมที่เขียนในวงกลมคือ

1/2 (ab + cb) บาป α โดยที่ a, b, c และ d เป็นด้านของรูปสี่เหลี่ยม และ α เป็นมุมระหว่างด้าน a และ b

S = √[ a ƀ c d] บาป ½ (α + β) - อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับ FB.ru:

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมโดยพลการ (รูปที่ 1.13) สามารถแสดงในแง่ของด้าน a, b, c และผลรวมของมุมตรงข้ามคู่หนึ่ง:

โดยที่ p คือเส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยม

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่จารึกไว้ในวงกลม () (รูปที่ 1.14, a) คำนวณโดยใช้สูตรพรหมคุปต์

และอธิบาย (รูปที่ 1.14, b) () - ตามสูตร

หากมีการจารึกและอธิบายรูปสี่เหลี่ยมในเวลาเดียวกัน (รูปที่ 1.14, c) สูตรจะค่อนข้างง่าย:

พีคสูตร

ในการประมาณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมบนกระดาษตาหมากรุก ก็เพียงพอที่จะคำนวณจำนวนเซลล์ที่รูปหลายเหลี่ยมนี้ครอบคลุม (เราใช้พื้นที่ของเซลล์เป็นหน่วย) แม่นยำยิ่งขึ้น ถ้า S คือพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม คือจำนวนเซลล์ที่อยู่ในรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมด และเป็นจำนวนเซลล์ที่มีจุดร่วมอย่างน้อยหนึ่งจุดที่อยู่ภายในรูปหลายเหลี่ยม

เราจะพิจารณาด้านล่างเฉพาะรูปหลายเหลี่ยมดังกล่าว ซึ่งจุดยอดทั้งหมดอยู่ที่โหนดของกระดาษตาหมากรุก - ในจุดที่เส้นกริดตัดกัน ปรากฎว่าสำหรับรูปหลายเหลี่ยมคุณสามารถระบุสูตรต่อไปนี้:

พื้นที่อยู่ที่ไหน r คือจำนวนโหนดที่อยู่ในรูปหลายเหลี่ยมอย่างเคร่งครัด

สูตรนี้เรียกว่า "สูตรพีค" ตามนักคณิตศาสตร์ผู้ค้นพบในปี 1899