ถ้าเป็นมุมที่อยู่ติดกัน มุมที่อยู่ติดกันและมุมตั้ง สมบัติของมัน

1. มุมที่อยู่ติดกัน

หากเราขยายด้านของมุมใดๆ ออกไปเลยจุดยอด เราจะได้มุมสองมุม (รูปที่ 72): ∠ABC และ ∠CBD ซึ่งด้าน BC เป็นเรื่องธรรมดา และอีกสองมุม AB และ BD ก่อตัวเป็นเส้นตรง

มุมสองมุมที่มีด้านหนึ่งเป็นมุมร่วมและอีกสองมุมเป็นเส้นตรง เรียกว่า มุมที่อยู่ติดกัน

มุมที่อยู่ติดกันสามารถหาได้ด้วยวิธีนี้: ถ้าเราวาดรังสีจากจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นตรง (ไม่นอนบนเส้นที่กำหนด) เราจะได้มุมที่อยู่ติดกัน

ตัวอย่างเช่น ∠ADF และ ∠FDB เป็นมุมที่อยู่ติดกัน (รูปที่ 73)

มุมที่อยู่ติดกันสามารถมีตำแหน่งได้หลากหลาย (รูปที่ 74)

มุมที่อยู่ติดกันจะรวมกันเป็นมุมตรง ดังนั้น ผลรวมของมุมสองมุมที่อยู่ติดกันคือ 180°

ดังนั้น มุมฉากจึงสามารถกำหนดเป็นมุมเท่ากับมุมที่อยู่ติดกันได้

เมื่อทราบขนาดของมุมที่อยู่ติดกันมุมใดมุมหนึ่ง เราก็สามารถหาขนาดของมุมอีกมุมที่อยู่ติดกันได้

ตัวอย่างเช่น หากมุมใดมุมหนึ่งที่อยู่ติดกันเป็น 54° มุมที่สองจะเท่ากับ:

180° - 54° = ลิตร 26°

2. มุมแนวตั้ง

ถ้าเราขยายด้านของมุมเกินจุดยอด เราจะได้ มุมแนวตั้ง- ในรูปที่ 75 มุม EOF และ AOC เป็นแนวตั้ง มุม AOE และ COF ก็เป็นแนวตั้งเช่นกัน

มุมสองมุมจะเรียกว่าแนวตั้ง ถ้าด้านของมุมหนึ่งอยู่ต่อจากด้านของอีกมุมหนึ่ง

ให้ ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(รูปที่ 76) ∠2 ที่อยู่ติดกันจะเท่ากับ 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° เช่น 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถคำนวณได้ว่า ∠3 และ ∠4 มีค่าเท่ากับเท่าใด

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (รูปที่ 77)

เราจะเห็นว่า ∠1 = ∠3 และ ∠2 = ∠4

คุณสามารถแก้ไขปัญหาเดียวกันได้อีกหลายอย่าง และแต่ละครั้งคุณจะได้ผลลัพธ์เดียวกัน: มุมในแนวตั้งจะเท่ากัน

อย่างไรก็ตาม เพื่อให้แน่ใจว่ามุมแนวตั้งจะเท่ากันเสมอ การพิจารณาแต่ละมุมยังไม่เพียงพอ ตัวอย่างเชิงตัวเลขเนื่องจากข้อสรุปที่ดึงมาจากตัวอย่างเฉพาะบางครั้งอาจมีข้อผิดพลาดได้

จำเป็นต้องตรวจสอบความถูกต้องของคุณสมบัติของมุมแนวตั้งด้วยการพิสูจน์

การพิสูจน์สามารถทำได้ดังนี้ (รูปที่ 78):

∠+∠ค= 180°;

∠ข+∠ค= 180°;

(เนื่องจากผลรวมของมุมประชิดคือ 180°)

∠+∠ค = ∠ข+∠ค

(เนื่องจากด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันนี้เท่ากับ 180° และด้านขวาก็เท่ากับ 180° เช่นกัน)

ความเท่าเทียมกันนี้รวมมุมเดียวกันด้วย กับ.

ถ้าเรามาจาก ค่าที่เท่ากันลบเท่าๆ กัน มันก็จะเท่าๆ กัน ผลลัพธ์จะเป็น: ∠ก = ∠ขคือมุมแนวตั้งจะเท่ากัน

3. ผลรวมของมุมที่มีจุดยอดร่วม

ในการวาด 79, ∠1, ∠2, ∠3 และ ∠4 จะอยู่ที่ด้านหนึ่งของเส้นและมีจุดยอดร่วมบนเส้นนี้ โดยสรุป มุมเหล่านี้ประกอบเป็นมุมตรง กล่าวคือ

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°

ในรูปที่ 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 และ ∠5 มีจุดยอดร่วม ผลรวมของมุมเหล่านี้คือ มุมเต็มเช่น ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°

วัสดุอื่นๆ

มุมที่อยู่ติดกัน- มุมสองมุมที่ด้านหนึ่งเป็นมุมร่วม และอีกสองมุมเป็นมุมที่ต่อเนื่องกัน

ผลรวมของมุมประชิดคือ 180°

มุมแนวตั้ง- นี่คือมุมสองมุมที่ด้านของมุมหนึ่งต่อจากด้านของอีกมุมหนึ่ง

มุมแนวตั้งจะเท่ากัน

2. สัญญาณแห่งความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม:

ฉันลงนาม: ถ้าสองด้านและมุมระหว่างสองด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันตามลำดับกับสองด้านและมุมระหว่างสองด้านของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ

เครื่องหมายที่สอง: ถ้าด้านข้างและมุมสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับด้านและมุมสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ

เครื่องหมายที่สาม: หากด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเท่ากันกับด้านสามด้านของสามเหลี่ยมอีกด้านตามลำดับ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันทุกประการ

3. สัญญาณของการขนานกันของเส้นตรงสองเส้น: มุมด้านเดียว, นอนขวางและสอดคล้องกัน:

เรียกว่าสองบรรทัดในเครื่องบิน ขนานถ้าพวกมันไม่ตัดกัน

มุมขวาง: 3 และ 5, 4 และ 6;

มุมด้านเดียว: 4 และ 5, 3 และ 6; ข้าว. หน้า 55

มุมที่สอดคล้องกัน: 1 และ 5, 4 และ 8, 2 และ 6, 3 และ 7;

ทฤษฎีบท: หากเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกับเส้นตัดขวาง มุมนอนเท่ากัน เส้นนั้นจะขนานกัน

ทฤษฎีบท: ถ้าเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกับเส้นตัดขวาง มุมที่ตรงกันจะเท่ากัน เส้นนั้นจะขนานกัน

ทฤษฎีบท: ถ้าเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกันด้วยเส้นตัดขวาง ผลรวมของมุมด้านเดียวเท่ากับ 180° แล้วเส้นนั้นจะขนานกัน

ทฤษฎีบท: ถ้าเส้นขนานสองเส้นตัดกันด้วยเส้นตัดมุม มุมที่ตัดกันจะเท่ากัน

ทฤษฎีบท: หากเส้นขนานสองเส้นตัดกันด้วยเส้นตัด มุมที่ตรงกันจะเท่ากัน

ทฤษฎีบท: ถ้าเส้นขนานสองเส้นตัดกันด้วยเส้นตัดมุม ผลรวมของมุมด้านเดียวคือ 180°

4. ผลรวมของมุมสามเหลี่ยม:

ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180°

5. คุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว:

ทฤษฎีบท: บี สามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมที่ฐานจะเท่ากัน

ทฤษฎีบท: ในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เส้นแบ่งครึ่งที่ลากไปที่ฐานคือค่ามัธยฐานและระดับความสูง (ค่ามัธยฐานอยู่ตรงกันข้าม) (เส้นแบ่งครึ่งจะแบ่งมุมออก ส่วนค่ามัธยฐานจะแบ่งครึ่งด้านข้าง ระดับความสูงจะมีมุม 90°)

เครื่องหมาย: หากมุมสองมุมของสามเหลี่ยมเท่ากัน สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นหน้าจั่ว

6. สามเหลี่ยมมุมฉาก:

สามเหลี่ยมมุมฉาก- เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งตั้งฉาก (คือ 90 องศา)

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉากจะยาวกว่าขา

1. ผลรวมของมุมแหลมสองมุม สามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับ 90°

2. ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากที่วางตรงข้ามกับมุม 30° เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก

3. ถ้าขาของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก มุมที่อยู่ตรงข้ามขานี้จะเท่ากับ 30°

7. สามเหลี่ยมด้านเท่า:

สามเหลี่ยมด้านเท่า รูปร่างแบนมีสามด้าน ความยาวเท่ากัน- สาม มุมภายในซึ่งประกอบขึ้นจากด้านข้างก็มีอุณหภูมิเท่ากันและมีปริมาณเท่ากับ 60 °C

8. บาป cos tg ctg:

บาป= , Cos= , tg= , ctg= , tg= ,ctg=

9. สัญลักษณ์รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน^

ผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือ 2 π = 360°

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสามารถเขียนเป็นวงกลมได้ก็ต่อเมื่อผลรวมของมุมตรงข้ามคือ 180°

10. สัญญาณของความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม:

ฉันลงนาม: หากมุมสองมุมของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับสองมุมของอีกมุมหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมนั้นก็จะคล้ายกัน

เครื่องหมายที่สอง: หากด้านสองด้านของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเป็นสัดส่วนกับด้านสองด้านของสามเหลี่ยมอีกด้านหนึ่งและมุมระหว่างด้านทั้งสองเท่ากัน แสดงว่าสามเหลี่ยมดังกล่าวจะคล้ายกัน

เครื่องหมายที่สาม: ถ้าด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมด้านหนึ่งเป็นสัดส่วนกับด้านสามด้านของอีกด้านหนึ่ง สามเหลี่ยมนั้นก็จะคล้ายกัน

11. สูตร:

· ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: a 2 +b 2 =c 2

· ทฤษฎีบทบาป:

· ทฤษฎีบทคอส:

· 3 สูตรสำหรับพื้นที่สามเหลี่ยม:

· พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก:ส= ส=

· พื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่า:

· พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:ส = อา

· พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส:ส = เอ2

· พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู:

· พื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน:

· พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า:ส=ab

· สามเหลี่ยมด้านเท่า. ส่วนสูง: ชม.=

· หน่วยตรีโกณมิติ:บาป 2 a+cos 2 a=1

· สายกลางสามเหลี่ยม:ส=

· เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู: มค=

©2015-2019 เว็บไซต์
สิทธิ์ทั้งหมดเป็นของผู้เขียน ไซต์นี้ไม่ได้อ้างสิทธิ์ในการประพันธ์ แต่ให้ใช้งานฟรี
วันที่สร้างเพจ: 12-12-2017

บทที่ 1

แนวคิดพื้นฐาน

§11 มุมที่อยู่ติดกันและแนวตั้ง

1. มุมที่อยู่ติดกัน

ถ้าเราขยายด้านของมุมใดๆ เลยจุดยอด เราจะได้มุมสองมุม (รูปที่ 72): / และดวงอาทิตย์และ / SVD โดยด้านหนึ่ง BC เป็นเรื่องธรรมดา และอีกสองด้าน A และ BD สร้างเส้นตรง

มุมที่อยู่ติดกันสามารถหาได้ด้วยวิธีนี้: ถ้าเราวาดรังสีจากจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นตรง (ไม่นอนบนเส้นที่กำหนด) เราจะได้มุมที่อยู่ติดกัน
ตัวอย่างเช่น, / ADF และ / FDВ - มุมที่อยู่ติดกัน (รูปที่ 73)

มุมที่อยู่ติดกันสามารถมีตำแหน่งได้หลากหลาย (รูปที่ 74)

มุมที่อยู่ติดกันจะรวมกันเป็นมุมตรง ดังนั้น umma ของมุมสองมุมที่อยู่ติดกันมีค่าเท่ากัน 2ง.

ดังนั้น มุมฉากจึงสามารถกำหนดเป็นมุมเท่ากับมุมที่อยู่ติดกันได้

ตัวอย่างเช่น ถ้ามุมใดมุมหนึ่งที่อยู่ติดกันคือ 3/5 งจากนั้นมุมที่สองจะเท่ากับ:

2ง- 3 / 5 ง= ลิตร 2/5 ง.

2. มุมแนวตั้ง

ถ้าเราขยายด้านข้างของมุมเกินจุดยอด เราจะได้มุมแนวตั้ง ในการวาด 75 มุม EOF และ AOC จะเป็นแนวตั้ง มุม AOE และ COF ก็เป็นแนวตั้งเช่นกัน

อนุญาต / 1 = 7 / 8 ง(รูปที่ 76) ที่อยู่ติดกันนั่นเอง / 2 จะเท่ากับ 2 ง- 7 / 8 งเช่น 1 1/8 ง.

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถคำนวณได้ว่าพวกมันมีค่าเท่ากับเท่าใด / 3 และ / 4.
/ 3 = 2ง - 1 1 / 8 ง = 7 / 8 ง; / 4 = 2ง - 7 / 8 ง = 1 1 / 8 ง(รูปที่ 77)

เราเห็นสิ่งนั้น / 1 = / 3 และ / 2 = / 4.

อย่างไรก็ตาม เพื่อให้แน่ใจว่ามุมแนวตั้งจะเท่ากันเสมอ การพิจารณาตัวอย่างตัวเลขแต่ละรายการนั้นไม่เพียงพอ เนื่องจากบางครั้งข้อสรุปที่ดึงมาจากตัวอย่างใดตัวอย่างหนึ่งอาจมีข้อผิดพลาดได้

มีความจำเป็นต้องตรวจสอบความถูกต้องของคุณสมบัติของมุมแนวตั้งโดยการให้เหตุผลโดยการพิสูจน์

การพิสูจน์สามารถทำได้ดังนี้ (รูปที่ 78):

/ +/ ค = 2ง;
/ ข+/ ค = 2ง;

(เนื่องจากผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือ 2 ง).

/ +/ ค = / ข+/ ค

(เนื่องจากด้านซ้ายของความเสมอภาคนี้ก็เท่ากับ 2 เช่นกัน งและด้านขวาก็เท่ากับ 2 เช่นกัน ง).

ความเท่าเทียมกันนี้รวมมุมเดียวกันด้วย กับ.

ถ้าเราลบจำนวนที่เท่ากันจากจำนวนที่เท่ากัน จำนวนที่เท่ากันก็จะยังคงอยู่ ผลลัพธ์จะเป็น: / ก = / ขคือมุมแนวตั้งจะเท่ากัน

เมื่อพิจารณาถึงปัญหาของมุมแนวตั้ง ก่อนอื่นเราจะอธิบายก่อนว่ามุมใดเรียกว่าแนวตั้ง กล่าวคือ คำนิยามมุมแนวตั้ง

จากนั้นเราได้ตัดสิน (คำสั่ง) เกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของมุมแนวตั้งและมั่นใจในความถูกต้องของการตัดสินนี้ผ่านการพิสูจน์ การตัดสินดังกล่าวซึ่งต้องพิสูจน์ความถูกต้องนั้นเรียกว่า ทฤษฎีบท- ดังนั้น ในส่วนนี้ เราจึงให้คำจำกัดความของมุมแนวตั้ง และยังระบุและพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับคุณสมบัติของมุมเหล่านั้นด้วย

ในอนาคต เมื่อศึกษาเรขาคณิต เราจะต้องพบกับคำจำกัดความและการพิสูจน์ทฤษฎีบทอยู่ตลอดเวลา

3. ผลรวมของมุมที่มีจุดยอดร่วม

บนภาพวาด 79 / 1, / 2, / 3 และ / 4 อยู่ที่ด้านหนึ่งของเส้นและมีจุดยอดร่วมบนเส้นนี้ โดยสรุป มุมเหล่านี้ประกอบเป็นมุมตรง กล่าวคือ
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2ง.

บนภาพวาด 80 / 1, / 2, / 3, / 4 และ / 5 มีจุดยอดร่วม โดยสรุป มุมเหล่านี้ประกอบเป็นมุมเต็ม เช่น / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4ง.

แบบฝึกหัด

1. มุมที่อยู่ติดกันมุมหนึ่งคือ 0.72 ง.คำนวณมุมที่เกิดจากเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่อยู่ติดกัน

2. พิสูจน์ว่าเส้นแบ่งครึ่งของมุมสองมุมที่อยู่ติดกันเป็นมุมฉาก

3. พิสูจน์ว่าถ้ามุมสองมุมเท่ากัน มุมที่อยู่ติดกันก็จะเท่ากันด้วย

4. รูปวาด 81 มีมุมที่อยู่ติดกันกี่คู่?

5. มุมที่อยู่ติดกันคู่หนึ่งสามารถประกอบด้วยมุมแหลมสองมุมได้หรือไม่? จากมุมป้านสองมุมเหรอ? จากมุมขวาและมุมป้าน? จากมุมขวาและมุมแหลม?

6. ถ้ามุมใดมุมหนึ่งที่อยู่ติดกันเป็นมุมฉาก แล้วขนาดของมุมที่อยู่ติดกันจะเป็นอย่างไร?

7. ถ้ามุมหนึ่งอยู่ตรงที่จุดตัดของเส้นตรงสองเส้น แล้วมุมอีกสามมุมที่เหลือจะมีขนาดเท่าไร?

บน บทเรียนนี้เราจะดูและเข้าใจแนวคิดของมุมประชิด ลองพิจารณาทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกัน ให้เราแนะนำแนวคิดของ "มุมแนวตั้ง" เรามาดูข้อเท็จจริงสนับสนุนเกี่ยวกับมุมเหล่านี้กัน ต่อไป เราจะกำหนดและพิสูจน์ข้อพิสูจน์สองประการเกี่ยวกับมุมระหว่างเส้นแบ่งครึ่งของมุมแนวตั้ง ในตอนท้ายของบทเรียน เราจะดูปัญหาต่างๆ ในหัวข้อนี้

มาเริ่มบทเรียนด้วยแนวคิดเรื่อง "มุมที่อยู่ติดกัน" รูปที่ 1 แสดงมุมที่พัฒนาแล้ว ∠AOC และรังสี OB ซึ่งแบ่งมุมนี้เป็น 2 มุม

ข้าว. 1. มุม ∠AOC

ลองพิจารณามุม ∠AOB และ ∠BOC เห็นได้ชัดว่ามีด้าน VO เหมือนกัน และด้าน AO และ OS อยู่ตรงข้ามกัน Rays OA และ OS ประกอบซึ่งกันและกัน ซึ่งหมายความว่าพวกมันอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน มุม ∠AOB และ ∠BOC อยู่ติดกัน

คำจำกัดความ: หากมุมสองมุมมีด้านร่วมกัน และอีกสองด้านเป็นรังสีคู่ขนาน มุมเหล่านี้จะถูกเรียกว่า ที่อยู่ติดกัน.

ทฤษฎีบท 1: ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือ 180 o

ข้าว. 2. การวาดภาพสำหรับทฤษฎีบท 1

∠MOL + ∠LON = 180 o ข้อความนี้เป็นจริง เนื่องจากรังสี OL แบ่งมุมที่กางออก ∠MON ออกเป็นสองมุมที่อยู่ติดกัน นั่นคือเราไม่ทราบหน่วยวัดองศาของมุมที่อยู่ติดกัน แต่เรารู้เพียงผลรวมของมุมเหล่านั้น - 180 องศา

พิจารณาจุดตัดของเส้นสองเส้น รูปแสดงจุดตัดของเส้นสองเส้นที่จุด O

ข้าว. 3. มุมแนวตั้ง ∠ВОА และ ∠СOD

คำจำกัดความ: หากด้านของมุมหนึ่งต่อจากมุมที่สอง มุมดังกล่าวจะเรียกว่าแนวตั้ง นั่นคือสาเหตุที่รูปนี้แสดงมุมแนวตั้งสองคู่: ∠AOB และ ∠COD รวมถึง ∠AOD และ ∠BOC

ทฤษฎีบท 2: มุมแนวตั้งเท่ากัน

ลองใช้รูปที่ 3 พิจารณามุมที่หมุน ∠AOC ∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 180 o - β ลองพิจารณามุมที่หมุน ∠BOD ∠COD = ∠BОD - ∠BOC = 180 o - β

จากการพิจารณาเหล่านี้ เราสรุปได้ว่า ∠AOB = ∠COD = α ในทำนองเดียวกัน ∠AOD = ∠BOS = β

ข้อพิสูจน์ที่ 1: มุมระหว่างเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่อยู่ติดกันคือ 90°

ข้าว. 4. การวาดภาพเพื่อข้อพิสูจน์ 1

เนื่องจาก OL เป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุม ∠BOA ดังนั้นมุม ∠LOB = คล้ายกับ ∠BOA = ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = - ผลรวมของมุม α + β เท่ากับ 180° เนื่องจากมุมเหล่านี้อยู่ติดกัน

ข้อพิสูจน์ที่ 2: มุมระหว่างเส้นแบ่งครึ่งของมุมแนวตั้งเท่ากับ 180°

ข้าว. 5. การวาดภาพเพื่อข้อพิสูจน์ 2

KO คือเส้นแบ่งครึ่ง ∠AOB, LO คือเส้นแบ่งครึ่ง ∠COD แน่นอนว่า ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o ผลรวมของมุม α + β เท่ากับ 180° เนื่องจากมุมเหล่านี้อยู่ติดกัน

ลองดูงานบางอย่าง:

จงหามุมที่อยู่ติดกับ ∠AOC ถ้า ∠AOC = 111 o

มาวาดรูปสำหรับงานกันเถอะ:

ข้าว. 6. การวาดภาพตัวอย่างที่ 1

เนื่องจาก ∠AOC = β และ ∠COD = α เป็นมุมที่อยู่ติดกัน ดังนั้น α + β = 180 o นั่นคือ 111 o + β = 180 o

ซึ่งหมายความว่า β = 69 o

ปัญหาประเภทนี้ใช้ประโยชน์จากผลรวมของทฤษฎีบทมุมที่อยู่ติดกัน

มุมหนึ่งที่อยู่ติดกันเป็นมุมฉาก อีกมุมหนึ่ง (แหลม มุมป้าน หรือมุมขวา) คืออะไร?

ถ้ามุมใดมุมหนึ่งเป็นมุมฉาก และผลรวมของมุมทั้งสองเป็น 180° อีกมุมหนึ่งก็จะเป็นมุมฉากเช่นกัน ปัญหานี้ทดสอบความรู้เกี่ยวกับผลรวมของมุมที่อยู่ติดกัน

จริงหรือไม่ที่ถ้ามุมที่อยู่ติดกันเท่ากัน มุมเหล่านั้นก็จะเป็นมุมฉาก?

มาสร้างสมการกัน: α + β = 180 o แต่เนื่องจาก α = β ดังนั้น β + β = 180 o ซึ่งหมายถึง β = 90 o

คำตอบ: ใช่ ข้อความดังกล่าวเป็นจริง

ให้สอง มุมเท่ากัน- จริงหรือไม่ที่มุมที่อยู่ติดกันจะเท่ากัน?

ข้าว. 7. การวาดภาพตัวอย่างที่ 4

หากมุมสองมุมเท่ากับ α มุมที่อยู่ติดกันที่ตรงกันจะเป็น 180 o - α นั่นคือพวกเขาจะเท่าเทียมกัน

คำตอบ: ข้อความถูกต้อง

อเล็กซานดรอฟ เอ.ดี., แวร์เนอร์ เอ.แอล., ไรซิค วี.ไอ. และอื่นๆ เรขาคณิต 7. - ม.: การศึกษา.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. และอื่นๆ เรขาคณิต 7. 5th ed. - ม.: การตรัสรู้.
\บูตูซอฟ วี.เอฟ., คาดอมเซฟ เอส.บี., ปราโซโลวา วี.วี. เรขาคณิต 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov แก้ไขโดย V.A. ซาดอฟนิชิโก. - อ.: การศึกษา, 2553.

การวัดส่วน ()
บทเรียนทั่วไปเรื่องเรขาคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ()
เส้นตรง ส่วน ()

หมายเลข 13, 14. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. เรขาคณิต 7 / V.F. Butuzova, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolov แก้ไขโดย V.A. ซาดอฟนิชิโก. - อ.: การศึกษา, 2553.
หามุมสองมุมที่อยู่ติดกัน ถ้ามุมหนึ่งเป็น 4 คูณอีกมุมหนึ่ง
เมื่อพิจารณาจากมุมแล้ว สร้างมุมที่อยู่ติดกันและมุมแนวตั้งให้กับมัน มุมดังกล่าวสามารถสร้างได้กี่มุม?
* ในกรณีใดจะได้มุมแนวตั้งคู่กันมากกว่า: เมื่อเส้นตรงสามเส้นตัดกันที่จุดหนึ่งหรือสามจุด?

ในหัวข้อ: มุมที่อยู่ติดกันและมุมตั้ง, คุณสมบัติของมัน

(3 บทเรียน)

จากการศึกษาหัวข้อที่คุณต้องการ:

สามารถ:

แนวคิด: มุมประชิดและมุมแนวตั้ง เส้นตั้งฉาก

แยกแยะระหว่างมุมที่อยู่ติดกันและมุมแนวตั้ง

ทฤษฎีบทมุมที่อยู่ติดกันและแนวตั้ง

แก้ปัญหาโดยใช้คุณสมบัติของมุมประชิดและมุมแนวตั้ง

คุณสมบัติของมุมประชิดและมุมแนวตั้ง

สร้างมุมที่อยู่ติดกันและมุมแนวตั้งตั้งฉากกับเส้นตรง

วรรณกรรม:

1. เรขาคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 Zh. Kaydasov, G. Dosmagambetova, V. Abdiev. อัลมาตี "เม็กเทป" 2555

2. เรขาคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 K.O.Bukubaeva, A.T. มิราโซวา. อัลมาตี "อาตามูระ- 2555

3. เรขาคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 คู่มือระเบียบวิธี เคโอ บูคูบาเอวา อัลมาตี "อาตามูระ- 2555

4. เรขาคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 สื่อการสอน- A.N. Shynybekov อัลมาตี "อาตามูระ- 2555

5. เรขาคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 การรวบรวมงานและแบบฝึกหัด K.O. Bukubaeva, A.T. มิราโซวา อัลมาตี "อาตามูระ- 2555

จำไว้ว่าคุณต้องทำงานตามอัลกอริทึม!

อย่าลืมตรวจสอบ จดบันทึกที่ระยะขอบ

โปรดอย่าทิ้งคำถามใดๆ ที่คุณยังไม่ได้ตอบ

เป็นกลางในระหว่างการตรวจสอบร่วมกันซึ่งจะช่วยทั้งคุณและบุคคลนั้น

คุณกำลังตรวจสอบใคร?

ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จ!

ภารกิจที่ 1

อ่านคำจำกัดความและเรียนรู้ (2b):

คำนิยาม. มุมที่มีด้านหนึ่งเป็นมุมร่วมและอีกสองด้านเป็นมุมเพิ่มเติม เรียกว่า มุมที่อยู่ติดกัน

2) เรียนรู้และเขียนทฤษฎีบทลงในสมุดบันทึกของคุณ: (2b)

ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือ 180

ที่ให้ไว้:

∠ แอนเอ็ม และ∠ DOV – ข้อมูลมุมที่อยู่ติดกัน

โอดี- ด้านทั่วไป

พิสูจน์:

∠ เอโอดี+∠ DOV = 180

การพิสูจน์:

ขึ้นอยู่กับสัจพจน์ที่สาม 4:

∠ เอโอดี+∠ ดีโอวี =∠ เอโอบี.

∠ AOB - ขยาย เพราะฉะนั้น,

∠ เอโอดี+∠ DOV = 180

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

3) จากทฤษฎีบทจะได้ดังนี้: (2b)

1) ถ้ามุมสองมุมเท่ากัน มุมที่อยู่ติดกันก็จะเท่ากัน

2) ถ้ามุมที่อยู่ติดกันเท่ากัน การวัดระดับแต่ละอันมีค่าเท่ากับ 90°

จดจำ!

มุมที่เท่ากับ 90° เรียกว่ามุมฉาก

เรียกว่ามุมที่น้อยกว่า 90° มุมแหลม.

มุมที่มากกว่า 90° และน้อยกว่า 180° เรียกว่ามุมป้าน

มุมขวา มุมแหลม มุมป้าน

เนื่องจากผลรวมของมุมประชิดคือ 180° ดังนั้น

1) มุมที่อยู่ติดกับมุมขวา;

2) มุมที่อยู่ติดกับมุมแหลมนั้นเป็นมุมป้าน

3) มุมที่อยู่ติดกับมุมป้านเป็นแบบเฉียบพลัน

4) พิจารณาโซลูชันตัวอย่างอาดาจิ:

ก) ให้ไว้:∠ ชม.เคและ∠ กิโล- ที่อยู่ติดกัน;∠ ชม.เคมากกว่า∠ กิโลที่ 50°

หา:∠ ชม.เคและ∠ กิโล.

วิธีแก้ปัญหา: ให้∠ กิโล= x แล้ว∠ ชม.เค= x + 50° โดยสมบัติของผลรวมของมุมที่อยู่ติดกัน∠ กิโล + ∠ ชม.เค= 180°.

x + x + 50° = 180°;

2x = 180° - 50°;

2x = 130°;

x = 65°

∠ กิโล= 65°;∠ ชม.เค= 65°+ 50° = 115°

คำตอบ: 115° และ 65°

ข) เอาล่ะ∠ กิโล= x แล้ว∠ ชม.เค= 3x

x + 3x = 180°; 4x = 180°; x = 45°;∠ กิโล= 45°;∠ ฮ่องกง= 135°.

คำตอบ: 135° และ 45°

5) การทำงานกับการกำหนดมุมที่อยู่ติดกัน: (2 b)

6) ค้นหาข้อผิดพลาดในคำจำกัดความ: (2b)

ผ่านการทดสอบ #1

ภารกิจที่ 2

1) สร้างมุมที่อยู่ติดกัน 2 มุมเพื่อให้ด้านร่วมกันผ่านจุด C และด้านของมุมใดมุมหนึ่งตรงกับรังสี AB (2b)

2). การปฏิบัติงานเพื่อค้นหาคุณสมบัติของมุมที่อยู่ติดกัน: (5b)

ความก้าวหน้าของงาน

1. สร้างมุมมุมที่อยู่ติดกันก , ถ้าก : คม, ตรง, ทื่อ.

2. วัดมุม

3. ป้อนข้อมูลการวัดลงในตาราง

4. ค้นหาความสัมพันธ์ระหว่างมุมก และ.

5. สรุปคุณสมบัติของมุมที่อยู่ติดกัน

ผ่านการทดสอบ #2

ภารกิจที่ 3

วาดส่วนที่ยังไม่ได้ขยาย∠ AOB และตั้งชื่อรังสีที่เป็นด้านข้างของมุมนี้

วาดรังสี O ซึ่งเป็นความต่อเนื่องของรังสี OA และรังสี OD ซึ่งเป็นความต่อเนื่องของรังสี OB

เขียนลงในสมุดบันทึกของคุณ: มุม∠ เอโอบี และ∠ SOD เรียกว่าแนวตั้ง (3b)

เรียนรู้และเขียนลงในสมุดบันทึกของคุณ: (4b)

คำนิยาม: มุมที่ด้านหนึ่งของมุมหนึ่งเป็นรังสีประกอบของอีกมุมหนึ่งเรียกว่ามุมแนวตั้ง

< 1 และ<2, <3 и <4 มุมแนวตั้ง

รังสีของและโอเอ , โอ.ซี.และส.อ.เป็นรังสีคู่ขนาน

ทฤษฎีบท: มุมแนวตั้งเท่ากัน

การพิสูจน์.

มุมแนวตั้งเกิดขึ้นเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกัน ให้เส้นตรง a และขตัดกันที่จุด O∠ 1 และ∠ 2 – มุมแนวตั้ง

∠ AOC ขยายความหมาย∠ AOC = 180° อย่างไรก็ตาม∠ 1+ ∠ 2= ∠ AOC เช่น

∠ 3+ ∠ 1= 180° จากตรงนี้ เรามี:

∠ 1= 180 - ∠ 3. (1)

เราก็มีสิ่งนั้นเช่นกัน∠ DOV = 180° จากตรงนี้∠ 2+ ∠ 3= 180° หรือ∠ 2= 180°- ∠ 3. (2)

เนื่องจากในส่วนที่เท่ากัน (1) และ (2) ส่วนที่เป็นเส้นตรงจะเท่ากัน∠ 1= ∠ 2.

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

5). การทำงานกับการกำหนดมุมแนวตั้ง: (2b)

6) ค้นหาข้อผิดพลาดในคำจำกัดความ: (2b)

ผ่านการทดสอบ #3

ภารกิจที่ 4

1) งานภาคปฏิบัติในการค้นหาคุณสมบัติของมุมแนวตั้ง: (5b)

ความคืบหน้าการทำงาน:

1. สร้างมุม β มุมแนวตั้งα , ถ้าα :

คมตรงทื่อ

2.วัดมุม

3. ป้อนข้อมูลการวัดลงในตาราง

4. ค้นหาความสัมพันธ์ระหว่างมุม α และ β

5.สรุปเกี่ยวกับคุณสมบัติของมุมแนวตั้ง

2) การพิสูจน์คุณสมบัติของมุมที่อยู่ติดกันและมุมแนวตั้ง (3b)

2) พิจารณาวิธีแก้ปัญหาตัวอย่างอาดาจิ

งาน. เส้น AB และ CD ตัดกันที่จุด O อย่างนั้น∠ AOD = 35° ค้นหามุม AOC และ BOC

สารละลาย:

1) มุม AOD และ AOS อยู่ติดกัน ดังนั้น∠ ธปท= 180° - 35° = 145°

2) มุม AOC และ BOC อยู่ติดกันด้วย∠ ธปท= 180° - 145° = 35°

วิธี,∠ ธปท = ∠ AOD = 35° และมุมเหล่านี้เป็นแนวตั้ง คำถาม: มุมแนวตั้งทุกมุมเท่ากันจริงหรือไม่

3) การแก้ปัญหาเกี่ยวกับแบบที่เสร็จแล้ว: (3b)

1. หามุม AOB, AOD, COD

3) หามุม BOC, FOA.: (3b)

3. ค้นหามุมที่อยู่ติดกันและมุมแนวตั้งในรูป ให้ทราบค่าของมุมทั้งสองที่ทำเครื่องหมายไว้ในภาพวาด 28? และ 90?. เป็นไปได้ไหมที่จะค้นหาค่าของมุมที่เหลือโดยไม่ต้องทำการวัด (2b)

ผ่านการทดสอบหมายเลข 4

ภารกิจที่ 5

ทดสอบความรู้ของคุณโดยการกรอกงานทดสอบหมายเลข 1

ภารกิจที่ 6

1) พิสูจน์คุณสมบัติของมุมแนวตั้งด้วยตนเองและเขียนข้อพิสูจน์เหล่านี้ลงในสมุดบันทึกของคุณ (3b)

นักเรียนโดยอิสระโดยใช้คุณสมบัติของมุมแนวตั้งและมุมที่อยู่ติดกันจะต้องพิสูจน์ข้อเท็จจริงที่ว่าหากเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกัน มุมหนึ่งที่เกิดขึ้นจะเป็นเส้นตรง มุมที่เหลือก็เป็นมุมฉากด้วย

2) แก้ไขปัญหาสองข้อให้เลือก:

1. การวัดระดับของมุมที่อยู่ติดกันจะมีอัตราส่วน 7:2 จงหามุมเหล่านี้ (2b)

2. มุมหนึ่งที่เกิดขึ้นเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกันมีขนาดเล็กกว่าอีกมุมหนึ่ง 11 เท่า

3. หามุมที่อยู่ติดกันถ้าผลต่างและผลรวมอยู่ในอัตราส่วน 2:9 (3b)

ภารกิจที่ 7

ทำได้ดี! คุณสามารถเริ่มงานทดสอบหมายเลข 2 ได้

งานทดสอบหมายเลข 1

ตัดสินใจเลือกตัวเลือกใดตัวเลือกหนึ่ง (10b)

ตัวเลือกที่ 1

<1 и <2,

<3 и <2,

ช)<1 и <3. Какие это углы?

ที่เกี่ยวข้อง

e) วาด (ด้วยตา) เป็นมุม 30° และ< เอบีซีติดกับอันที่กำหนด

f) มุมใดที่เรียกว่าแนวตั้ง?

มุมสองมุมจะเรียกว่ามุมตั้งหากมุมทั้งสองเท่ากัน

g) จากจุด A ลากเส้นสองเส้นตั้งฉากกับเส้นก

คุณสามารถวาดเส้นตรงได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น

ตัวเลือกที่ 2

1. นักเรียนตอบคำถามของครูแล้วให้คำตอบตามสมควร ตรวจสอบว่าถูกต้องหรือไม่โดยทำเครื่องหมายคำว่า "ใช่", "ไม่", "ไม่รู้" ในคอลัมน์ที่สาม หาก “ไม่” ให้จดคำตอบที่ถูกต้องลงในนั้นหรือเพิ่มคำตอบที่ขาดหายไป

<1 и <4,

<2 и <4

ง)<1 и < 3 смежные?

เลขที่ เป็นแนวตั้ง

E) เส้นใดเรียกว่าตั้งฉาก?

เส้นตรงสองเส้นเรียกว่าตั้งฉากหากตัดกันเป็นมุมฉาก

G) วาดมุมแนวตั้งเพื่อให้ด้านข้างตั้งฉากกับเส้นตรง