สูตรเบอร์นูลลีสำหรับความน่าจะเป็นที่แตกต่างกัน ลักษณะทั่วไปของแผนของเบอร์นูลลี

ให้ทำการทดสอบเกี่ยวกับเหตุการณ์ A เรามาแนะนำเหตุการณ์กันดีกว่า: Ak - เหตุการณ์ A เกิดขึ้นระหว่างการทดลองครั้งที่ k, $ k=1,2,\dots , n$ จากนั้น $\bar(A)_(k) $ เป็นเหตุการณ์ตรงกันข้าม (เหตุการณ์ A ไม่ได้เกิดขึ้นระหว่างการทดลองครั้งที่ k, $k=1,2,\dots , n$)

การทดสอบที่เป็นเนื้อเดียวกันและเป็นอิสระคืออะไร?

คำนิยาม

การทดสอบถือเป็นประเภทเดียวกันกับเหตุการณ์ A หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $A1, A2, \dots , Аn$ ตรงกัน: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An)$ (กล่าวคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นในการทดลองหนึ่งครั้งจะคงที่ในทุกการทดลอง)

แน่นอน ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็น เหตุการณ์ที่ตรงกันข้ามเหมือนกัน: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar(A)_(n))$

คำนิยาม

การทดสอบจะถูกเรียกว่าเป็นอิสระโดยคำนึงถึงเหตุการณ์ A ถ้าเหตุการณ์ $A1, A2, \dots , Аn$ มีความเป็นอิสระ

ในกรณีนี้

ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกันจะคงอยู่เมื่อเหตุการณ์ Аk ถูกแทนที่ด้วย $\bar(A)_(k) $

ปล่อยให้ทำการทดสอบที่คล้ายกัน n ชุดโดยสัมพันธ์กับเหตุการณ์ A การทดสอบอิสระ- เราใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้: p—ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นในการทดลองหนึ่งครั้ง; q คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม ดังนั้น P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ สำหรับ k ใดๆ และ p+q=1

ความน่าจะเป็นที่อนุกรมของเหตุการณ์การทดลอง A n เหตุการณ์จะเกิดขึ้น k ครั้งพอดี (0 ≤ k ≤ n) คำนวณโดยสูตร:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

ความเท่าเทียมกัน (1) เรียกว่าสูตรของเบอร์นูลลี

ความน่าจะเป็นที่ในชุดของเหตุการณ์การทดลองอิสระที่เหมือนกัน n เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นอย่างน้อย k1 ครั้งและไม่เกิน k2 ครั้ง คำนวณโดยสูตร:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)

การประยุกต์สูตรของแบร์นูลลีสำหรับ ค่าขนาดใหญ่ n นำไปสู่การคำนวณที่ยุ่งยาก ดังนั้นในกรณีนี้ ควรใช้สูตรอื่น - เส้นกำกับจะดีกว่า

ลักษณะทั่วไปของแผนของเบอร์นูลลี

ลองพิจารณาภาพรวมของแผนการของเบอร์นูลลี หากในชุดการทดลองอิสระ n ชุด แต่ละการทดลองมีผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้แบบคู่ขนานและเป็นไปได้ Ak ด้วยความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน Pk = pk(Ak) ดังนั้นสูตรการแจกแจงพหุนามจึงใช้ได้:

ตัวอย่างที่ 1

ความน่าจะเป็นที่จะติดเชื้อไข้หวัดใหญ่ในช่วงที่มีการแพร่ระบาดคือ 0.4 จงหาความน่าจะเป็นที่พนักงานของบริษัท 6 คนจะป่วย

1. พนักงาน 4 คนพอดี
2. พนักงานไม่เกิน 4 คน

สารละลาย. 1) แน่นอนว่า เพื่อแก้ปัญหานี้ สูตรเบอร์นูลลีจึงถูกนำมาใช้ โดยที่ n=6; ค่าเค=4; พี=0.4; คิว=1-р=0.6 เมื่อใช้สูตร (1) เราจะได้: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \approx 0.138$

ในการแก้ปัญหานี้ ให้ใช้สูตร (2) โดยที่ k1=0 และ k2=4 เรามี:

\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0.4^(0) \cdot 0.6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0.4 ^(1) \cdot 0.6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0.4^(2) \cdot 0.6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0.4^(3) \ cdot 0.6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \ ประมาณ 0.959.) \end(array)\]

ควรสังเกตว่าปัญหานี้แก้ไขได้ง่ายกว่าโดยใช้เหตุการณ์ตรงกันข้าม - พนักงานมากกว่า 4 คนป่วย จากนั้น เมื่อพิจารณาสูตรบัญชี (7) เกี่ยวกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม เราจะได้:

คำตอบ: $\$0.959.

ตัวอย่างที่ 2

ในโกศมีลูกบอลสีขาว 20 ลูกและสีดำ 10 ลูก นำลูกบอลออกมา 4 ลูก และลูกบอลแต่ละลูกที่ถูกดึงออกจะถูกส่งกลับไปยังโกศ ก่อนที่จะเอาลูกบอลถัดไปออก และลูกบอลในโกศจะถูกผสมกัน ค้นหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่สุ่มออกมาสี่ลูกจะมีลูกสีขาว 2 ลูก (รูปที่ 1)

รูปที่ 1.

สารละลาย. ให้เหตุการณ์ A เป็นอย่างนั้น - ได้ ลูกบอลสีขาว- จากนั้นความน่าจะเป็น $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .

ตามสูตรของเบอร์นูลลี ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\ frac(1)( 3) \right)^(2) =\frac(8)(27) $

คำตอบ: $\frac(8)(27) $

ตัวอย่างที่ 3

จงหาความน่าจะเป็นที่ครอบครัวที่มีลูก 5 คนจะมีลูกสาวไม่เกิน 3 คน ความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กชายและเด็กหญิงจะถือว่าเท่ากัน

สารละลาย. ความน่าจะเป็นที่จะมีลูกสาว $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $ คือความน่าจะเป็นที่จะมีลูกชาย ครอบครัวหนึ่งมีเด็กหญิงไม่เกินสามคน ซึ่งหมายความว่ามีเด็กหญิงหนึ่ง สองคน หรือสามคนเกิดมา หรือครอบครัวนั้นเป็นเด็กผู้ชายทั้งหมด

ลองหาความน่าจะเป็นที่ไม่มีเด็กผู้หญิงในครอบครัว เด็กผู้หญิงหนึ่ง สอง หรือสามคนเกิด: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ต้องการ $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $

คำตอบ: $\frac(13)(16) $

ตัวอย่างที่ 4

ผู้ยิงคนแรกที่มีนัดเดียวสามารถยิงสิบอันดับแรกด้วยความน่าจะเป็น 0.6, เก้าคนด้วยความน่าจะเป็น 0.3 และแปดคนที่มีความน่าจะเป็น 0.1 ความน่าจะเป็นที่ยิง 10 ครั้งเขาจะติดสิบอันดับแรกหกครั้ง, เก้าครั้งสามครั้งและแปดครั้ง?

ลองพิจารณาดู การแจกแจงแบบทวินามมาคำนวณความคาดหวัง การกระจายตัว และโหมดทางคณิตศาสตร์กัน การใช้ฟังก์ชัน MS EXCEL BINOM.DIST() เราจะสร้างกราฟของฟังก์ชันการแจกแจงและความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ให้เราประมาณค่าพารามิเตอร์การกระจาย p ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์การกระจายสินค้าและ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน- ลองพิจารณาการกระจายเบอร์นูลลีด้วย

คำนิยาม- ปล่อยให้พวกเขาเกิดขึ้น nการทดลองโดยแต่ละเหตุการณ์เกิดขึ้นได้เพียง 2 เหตุการณ์ คือ เหตุการณ์ “สำเร็จ” ด้วยความน่าจะเป็น พี หรือเหตุการณ์ “ความล้มเหลว” ที่มีความน่าจะเป็น ถาม =1-p (ที่เรียกว่า โครงการเบอร์นูลลีเบอร์นูลลีการทดลอง).

ความน่าจะเป็นที่จะได้รับอย่างแน่นอน x ความสำเร็จในสิ่งเหล่านี้ n การทดสอบเท่ากับ:

จำนวนความสำเร็จในกลุ่มตัวอย่าง x เป็นตัวแปรสุ่มที่มี การแจกแจงแบบทวินาม(ภาษาอังกฤษ) ทวินามการกระจาย) พีและ n– เป็นพารามิเตอร์ของการแจกแจงนี้

โปรดจำไว้ว่าที่จะใช้ แผนการของเบอร์นูลลีและตามนั้น การแจกแจงแบบทวินามต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

• การทดสอบแต่ละครั้งจะต้องมีผลลัพธ์สองประการ ซึ่งตามอัตภาพเรียกว่า "ความสำเร็จ" และ "ความล้มเหลว"
• ผลการทดสอบแต่ละครั้งไม่ควรขึ้นอยู่กับผลการทดสอบครั้งก่อน (ความเป็นอิสระของการทดสอบ)
• ความน่าจะเป็นของความสำเร็จ พี จะต้องคงที่สำหรับการทดสอบทั้งหมด

การแจกแจงแบบทวินามใน MS EXCEL

ใน MS EXCEL เริ่มตั้งแต่เวอร์ชัน 2010 สำหรับ การแจกแจงแบบทวินามมีฟังก์ชัน BINOM.DIST() ชื่อภาษาอังกฤษ- BINOM.DIST() ซึ่งช่วยให้คุณคำนวณความน่าจะเป็นที่ตัวอย่างจะมีได้อย่างแน่นอน เอ็กซ์"ความสำเร็จ" (เช่น ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น p(x) ดูสูตรด้านบน) และ ฟังก์ชันการกระจายสะสม(ความน่าจะเป็นที่ตัวอย่างจะมี xหรือน้อยกว่า "ความสำเร็จ" รวมถึง 0)

ก่อน MS EXCEL 2010 EXCEL มีฟังก์ชัน BINOMIST() ซึ่งช่วยให้คุณคำนวณได้เช่นกัน ฟังก์ชั่นการกระจายและ ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นพี(เอ็กซ์) BINOMIST() เหลืออยู่ใน MS EXCEL 2010 เพื่อความเข้ากันได้

ไฟล์ตัวอย่างประกอบด้วยกราฟ การกระจายความหนาแน่นของความน่าจะเป็นและ .

การแจกแจงแบบทวินามมีการกำหนด บี(n; พี) .

บันทึก: สำหรับงานก่อสร้าง ฟังก์ชันการกระจายสะสมแผนภาพประเภทที่สมบูรณ์แบบ กำหนดการ, สำหรับ ความหนาแน่นของการกระจาย – ฮิสโตแกรมพร้อมการจัดกลุ่ม- สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการสร้างแผนภูมิ โปรดอ่านบทความประเภทแผนภูมิพื้นฐาน

บันทึก: เพื่อความสะดวกในการเขียนสูตร ชื่อสำหรับพารามิเตอร์ได้ถูกสร้างขึ้นในไฟล์ตัวอย่าง การแจกแจงแบบทวินาม: n และ p

ไฟล์ตัวอย่างแสดงการคำนวณความน่าจะเป็นต่างๆ โดยใช้ฟังก์ชัน MS EXCEL:

ดังที่คุณเห็นในภาพด้านบน สันนิษฐานว่า:

• ประชากรจำนวนไม่สิ้นสุดที่ใช้เก็บตัวอย่างมีองค์ประกอบที่ถูกต้อง 10% (หรือ 0.1) (พารามิเตอร์ พีอาร์กิวเมนต์ที่สามของฟังก์ชัน = BINOM.DIST() )
• เพื่อคำนวณความน่าจะเป็นที่ในกลุ่มตัวอย่าง 10 องค์ประกอบ (parameter nอาร์กิวเมนต์ที่สองของฟังก์ชัน) จะมีองค์ประกอบที่ถูกต้อง 5 รายการ (อาร์กิวเมนต์แรก) คุณต้องเขียนสูตร: =BINOM.DIST(5, 10, 0.1, FALSE)
• องค์ประกอบสุดท้ายที่สี่ถูกตั้งค่า = FALSE เช่น ส่งกลับค่าของฟังก์ชัน ความหนาแน่นของการกระจาย.

ถ้าค่าของอาร์กิวเมนต์ที่สี่ = TRUE ฟังก์ชัน BINOM.DIST() จะส่งกลับค่า ฟังก์ชันการกระจายสะสมหรือเพียงแค่ ฟังก์ชันการกระจาย- ในกรณีนี้ คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่จะมาจากจำนวนองค์ประกอบที่เหมาะสมในตัวอย่างได้ บางช่วงเช่น 2 หรือน้อยกว่า (รวม 0)

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องเขียนสูตร:
= BINOM.DIST(2; 10; 0.1; TRUE)

บันทึก: สำหรับค่าที่ไม่ใช่จำนวนเต็มของ x, ตัวอย่างเช่น สูตรต่อไปนี้จะส่งกลับค่าเดียวกัน:
=BINOM.DIST( 2 - 10; 0.1; จริง)
=BINOM.DIST( 2,9 - 10; 0.1; จริง)

บันทึก: ในไฟล์ตัวอย่าง ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นและ ฟังก์ชั่นการกระจายคำนวณโดยใช้คำจำกัดความและฟังก์ชัน NUMBERCOMB() ด้วย

ตัวชี้วัดการกระจายตัว

ใน ไฟล์ตัวอย่างบนแผ่นงานตัวอย่างมีสูตรในการคำนวณตัวบ่งชี้การกระจายตัว:

• =n*พี;
• (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานกำลังสอง) = n*p*(1-p);
• = (n+1)*พี;
• =(1-2*p)*รูท(n*p*(1-p))

เรามาสรุปสูตรกันดีกว่า ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ การแจกแจงแบบทวินามโดยใช้ วงจรเบอร์นูลลี.

ตามคำนิยาม ตัวแปรสุ่มเอ็กซ์เข้า แผนเบอร์นูลลี(ตัวแปรสุ่มเบอร์นูลลี) ได้ ฟังก์ชั่นการกระจาย:

การกระจายนี้เรียกว่า การกระจายเบอร์นูลลี.

บันทึก: การกระจายเบอร์นูลลี – กรณีพิเศษ การแจกแจงแบบทวินามด้วยพารามิเตอร์ n=1

เรามาสร้างอาร์เรย์ 3 แถวๆ ละ 100 หมายเลขกัน ความน่าจะเป็นที่แตกต่างกันความสำเร็จ: 0.1; 0.5 และ 0.9 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ในหน้าต่าง การสร้างตัวเลขสุ่มติดตั้ง พารามิเตอร์ต่อไปนี้สำหรับแต่ละความน่าจะเป็น p:

บันทึก: หากคุณตั้งค่าตัวเลือก การกระเจิงแบบสุ่ม (เมล็ดสุ่ม) จากนั้นคุณสามารถเลือกรายการที่ต้องการได้ ชุดสุ่มตัวเลขที่สร้างขึ้น ตัวอย่างเช่น โดยการตั้งค่าตัวเลือกนี้ =25 คุณสามารถสร้างชุดตัวเลขสุ่มชุดเดียวกันบนคอมพิวเตอร์เครื่องอื่นได้ (แน่นอนว่าถ้าพารามิเตอร์การแจกแจงอื่นๆ เหมือนกัน) ค่าตัวเลือกสามารถรับค่าจำนวนเต็มได้ตั้งแต่ 1 ถึง 32,767 ชื่อตัวเลือก การกระเจิงแบบสุ่มอาจทำให้สับสน แปลเป็นว่าจะดีกว่านะครับ หมุนหมายเลขพร้อมตัวเลขสุ่ม.

ผลลัพธ์ที่ได้คือเราจะมี 3 คอลัมน์จำนวน 100 ตัวเลข โดยพื้นฐานแล้วเราสามารถประมาณความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จได้ พีตามสูตร: จำนวนความสำเร็จ/100(ซม. ตัวอย่างไฟล์เอกสาร GenerationBernoulli).

บันทึก: สำหรับ การแจกแจงเบอร์นูลลีด้วย p=0.5 คุณสามารถใช้สูตร =RANDBETWEEN(0;1) ซึ่งสอดคล้องกับ .

การสร้างตัวเลขสุ่ม การแจกแจงแบบทวินาม

สมมติว่ามีสินค้าชำรุด 7 รายการในตัวอย่าง ซึ่งหมายความว่า "มีโอกาสมาก" ที่สัดส่วนของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องจะเปลี่ยนไป พีซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของกระบวนการผลิตของเรา แม้ว่าสถานการณ์ดังกล่าวจะ “เป็นไปได้มาก” แต่ก็มีความเป็นไปได้ (ความเสี่ยงอัลฟา ข้อผิดพลาดประเภท 1 “สัญญาณเตือนที่ผิดพลาด”) ที่ พียังคงไม่เปลี่ยนแปลง และจำนวนผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องเพิ่มขึ้นเนื่องจากการสุ่มตัวอย่าง

ดังที่เห็นในภาพด้านล่าง 7 คือจำนวนผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องซึ่งเป็นที่ยอมรับสำหรับกระบวนการที่มี p=0.21 ที่มีค่าเท่ากัน อัลฟ่า- นี่แสดงให้เห็นว่าเมื่อเกินค่าเกณฑ์ของสินค้าที่มีข้อบกพร่องในตัวอย่าง พี“เป็นไปได้มากที่สุด” เพิ่มขึ้น วลี “มีแนวโน้มมากที่สุด” หมายความว่ามีความน่าจะเป็นเพียง 10% (100%-90%) ที่การเบี่ยงเบนของเปอร์เซ็นต์ของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องที่สูงกว่าเกณฑ์นั้นเกิดจากเหตุผลที่สุ่มเท่านั้น

ดังนั้นการเกินจำนวนเกณฑ์ขั้นต่ำของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องในตัวอย่างจึงอาจเป็นสัญญาณว่ากระบวนการเกิดความไม่พอใจและเริ่มผลิตผลิตภัณฑ์ที่ใช้แล้ว โอเปอร์เซ็นต์ของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องที่สูงขึ้น

บันทึก: ก่อน MS EXCEL 2010 EXCEL มีฟังก์ชัน CRITBINOM() ซึ่งเทียบเท่ากับ BINOM.INV() CRITBINOM() เหลืออยู่ใน MS EXCEL 2010 และสูงกว่าเพื่อความเข้ากันได้

ความสัมพันธ์ของการแจกแจงแบบทวินามกับการแจกแจงแบบอื่น

ถ้าเป็นพารามิเตอร์ n การแจกแจงแบบทวินามมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดและ พีมีแนวโน้มเป็น 0 ในกรณีนี้ การแจกแจงแบบทวินามสามารถประมาณได้
เราสามารถกำหนดเงื่อนไขเมื่อประมาณได้ การกระจายปัวซองทำงานได้ดี:

• พี<0,1 (ยิ่งน้อย. พีและอีกมากมาย nการประมาณที่แม่นยำยิ่งขึ้น);
• พี>0,9 (เมื่อพิจารณาแล้วว่า ถาม=1- พีในกรณีนี้จะต้องคำนวณผ่าน ถาม(ก เอ็กซ์จำเป็นต้องแทนที่ด้วย n- x- ดังนั้นยิ่งน้อย ถามและอีกมากมาย nยิ่งการประมาณแม่นยำยิ่งขึ้น)

ที่ 0.1<=p<=0,9 и n*p>10 การแจกแจงแบบทวินามสามารถประมาณได้

ในทางกลับกัน การแจกแจงแบบทวินามอาจใช้เป็นค่าประมาณที่ดีเมื่อขนาดประชากรเป็น N การกระจายตัวแบบไฮเปอร์เรขาคณิตใหญ่กว่าขนาดตัวอย่าง n มาก (เช่น N>>n หรือ n/N<<1).

รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงข้างต้นสามารถพบได้ในบทความ นอกจากนี้ยังมีตัวอย่างของการประมาณ และเงื่อนไขว่าเมื่อใดที่เป็นไปได้และความแม่นยำใดบ้างที่อธิบายไว้

คำแนะนำ: คุณสามารถอ่านเกี่ยวกับการแจกแจง MS EXCEL อื่น ๆ ได้ในบทความ

ทฤษฎีสั้น ๆ

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเกี่ยวข้องกับการทดลองที่สามารถทำซ้ำได้ (อย่างน้อยในทางทฤษฎี) โดยไม่จำกัดจำนวนครั้ง ปล่อยให้การทดลองทำซ้ำหนึ่งครั้ง และผลลัพธ์ของการทำซ้ำแต่ละครั้งจะไม่ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการทำซ้ำครั้งก่อน การทำซ้ำเช่นนี้เรียกว่าการทดลองอิสระ กรณีพิเศษของการทดสอบดังกล่าวได้แก่ การทดสอบ Bernoulli อิสระซึ่งมีเงื่อนไข 2 ประการ คือ

1) ผลลัพธ์ของการทดสอบแต่ละครั้งเป็นหนึ่งในสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ เรียกว่า "ความสำเร็จ" หรือ "ความล้มเหลว" ตามลำดับ

2) ความน่าจะเป็นของ "ความสำเร็จ" ในการทดสอบครั้งต่อไปแต่ละครั้งไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการทดสอบครั้งก่อนและคงที่

ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลี

หากทำการทดลองแบบแบร์นูลลีอิสระหลายชุด โดยในแต่ละการทดลองมี "ความสำเร็จ" ปรากฏด้วยความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นที่ "ความสำเร็จ" จะปรากฏเพียงครั้งเดียวในการทดลองจะแสดงโดยสูตร:

ความน่าจะเป็นของ "ความล้มเหลว" อยู่ที่ไหน

– จำนวนการรวมกันขององค์ประกอบโดย (ดูสูตรเชิงผสมพื้นฐาน)

สูตรนี้มีชื่อว่า สูตรของเบอร์นูลลี.

สูตรของเบอร์นูลลีช่วยให้คุณกำจัดการคำนวณจำนวนมาก - การบวกและการคูณความน่าจะเป็น - ด้วยการทดสอบจำนวนมากพอสมควร

รูปแบบการทดสอบเบอร์นูลลีเรียกอีกอย่างว่าโครงการทวินาม และความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันเรียกว่าทวินาม ซึ่งเกี่ยวข้องกับการใช้สัมประสิทธิ์ทวินาม

การกระจายตามแบบแผนเบอร์นูลลีช่วยให้สามารถค้นหาจำนวนเหตุการณ์ที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุด

ถ้าจำนวนการทดสอบ nมีขนาดใหญ่ ให้ใช้:

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

สภาพปัญหา

อัตราการงอกของเมล็ดพืชบางชนิดคือ 70% ความน่าจะเป็นที่หว่านใน 10 เมล็ดคืออะไร: 8 อย่างน้อย 8; อย่างน้อย 8?

การแก้ปัญหา

ลองใช้สูตรของเบอร์นูลลี:

ในกรณีของเรา

ปล่อยให้เหตุการณ์เกิดขึ้นจาก 10 เมล็ด 8 ต้น:

ปล่อยให้เหตุการณ์มีอย่างน้อย 8 (นั่นหมายถึง 8, 9 หรือ 10)

ปล่อยให้เหตุการณ์เพิ่มขึ้นอย่างน้อย 8 (ซึ่งหมายถึง 8,9 หรือ 10)

คำตอบ

เฉลี่ยค่าใช้จ่ายในการแก้การทดสอบคือ 700 - 1200 รูเบิล (แต่ไม่น้อยกว่า 300 รูเบิลสำหรับคำสั่งซื้อทั้งหมด) ราคาได้รับอิทธิพลอย่างมากจากความเร่งด่วนของการตัดสินใจ (ตั้งแต่หนึ่งวันไปจนถึงหลายชั่วโมง) ค่าใช้จ่ายในการช่วยเหลือออนไลน์สำหรับการสอบ / การทดสอบอยู่ที่ 1,000 รูเบิล สำหรับการแก้ตั๋ว

คุณสามารถฝากคำขอไว้ในแชทได้โดยตรง โดยก่อนหน้านี้ได้ส่งเงื่อนไขงานและแจ้งให้คุณทราบถึงกรอบเวลาสำหรับโซลูชันที่คุณต้องการ เวลาตอบสนองคือไม่กี่นาที

อย่าคิดเรื่องสูงส่งเป็นเวลานาน - มาเริ่มกันที่คำจำกัดความกันดีกว่า

- นี่คือเวลาที่ทำการทดลองอิสระประเภทเดียวกัน n ครั้ง โดยแต่ละการทดลองอาจปรากฏเหตุการณ์ A ที่เราสนใจ และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้ P(A) = p เป็นที่รู้จัก เราจำเป็นต้องหาความน่าจะเป็นที่หลังจากการทดลอง n ครั้ง เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน k ครั้ง

ปัญหาที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้แผนการของ Bernoulli นั้นมีความหลากหลายมาก: จากปัญหาง่ายๆ (เช่น "ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงจะตี 1 ครั้งจาก 10 ครั้ง") ไปจนถึงปัญหาที่รุนแรงมาก (เช่น ปัญหาเกี่ยวกับเปอร์เซ็นต์หรือการเล่นไพ่) . ในความเป็นจริงโครงการนี้มักใช้ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการตรวจสอบคุณภาพของผลิตภัณฑ์และความน่าเชื่อถือของกลไกต่าง ๆ ซึ่งต้องทราบลักษณะทั้งหมดก่อนเริ่มงาน

กลับมาที่คำจำกัดความกัน เนื่องจากเรากำลังพูดถึงการทดลองอิสระ และในการทดลองแต่ละครั้ง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A จะเท่ากัน จึงมีเพียงสองผลลัพธ์เท่านั้นที่เป็นไปได้:

1. A คือเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น p;
2. “ไม่ใช่ A” - เหตุการณ์ A ไม่ปรากฏ ซึ่งเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น q = 1 − p

เงื่อนไขที่สำคัญที่สุดโดยที่แผนการของเบอร์นูลลีไม่สูญเสียความหมายก็คือความมั่นคง ไม่ว่าเราจะทำการทดลองกี่ครั้ง เราก็สนใจเหตุการณ์ A เดียวกัน ซึ่งเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น p เท่ากัน

อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็นจะถูกลดทอนลงสู่สภาวะคงที่ ครูสอนพิเศษคณิตศาสตร์ระดับสูงที่มีความสามารถจะบอกคุณเกี่ยวกับเรื่องนี้ แม้แต่เรื่องง่ายๆ อย่างการนำลูกบอลหลากสีออกจากกล่องก็ไม่ใช่ประสบการณ์ที่มีเงื่อนไขคงที่ พวกเขาหยิบลูกบอลอีกลูกออกมา - อัตราส่วนของสีในกล่องเปลี่ยนไป ผลที่ตามมาคือความน่าจะเป็นก็เปลี่ยนไปด้วย

หากเงื่อนไขคงที่ เราสามารถระบุความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นได้อย่างแม่นยำ k ครั้งจาก n ที่เป็นไปได้ ให้เรากำหนดข้อเท็จจริงนี้ในรูปแบบของทฤษฎีบท:

ปล่อยให้ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นในแต่ละการทดลองคงที่และเท่ากับ p จากนั้น ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะปรากฏเป็น k ครั้งในการทดลองอิสระ n ครั้งจะคำนวณโดยสูตร:

โดยที่ C n k คือจำนวนชุดค่าผสม, q = 1 − p

สูตรนี้เรียกว่า: . เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าปัญหาที่ระบุด้านล่างสามารถแก้ไขได้อย่างสมบูรณ์โดยไม่ต้องใช้สูตรนี้ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้สูตรสำหรับการเพิ่มความน่าจะเป็นได้ อย่างไรก็ตาม ปริมาณการคำนวณจะไม่สมจริง

งาน. ความน่าจะเป็นในการผลิตสินค้าชำรุดบนเครื่องจักรคือ 0.2 กำหนดความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนจำนวน 10 ชิ้นที่ผลิตในเครื่องนี้จะมีชิ้นส่วน k ชิ้นที่ไม่มีข้อบกพร่อง แก้ปัญหาสำหรับ k = 0, 1, 10

ตามเงื่อนไขเราสนใจเหตุการณ์ A ปล่อยสินค้าไม่มีตำหนิซึ่งเกิดขึ้นแต่ละครั้งมีความน่าจะเป็น p = 1 − 0.2 = 0.8 เราจำเป็นต้องกำหนดความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นี้จะเกิดขึ้น k ครั้ง เหตุการณ์ A ตรงกันข้ามกับเหตุการณ์ "ไม่ใช่ A" เช่น การปล่อยผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่อง

ดังนั้นเราจึงได้: n = 10; พี = 0.8; คิว = 0.2

ดังนั้นเราจึงพบความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนทั้งหมดในชุดมีข้อบกพร่อง (k = 0) มีเพียงชิ้นส่วนเดียวที่ไม่มีข้อบกพร่อง (k = 1) และไม่มีชิ้นส่วนที่ชำรุดเลย (k = 10):

งาน. โยนเหรียญ 6 ครั้ง การได้เสื้อคลุมแขนและศีรษะก็มีโอกาสเท่าเทียมกัน ค้นหาความน่าจะเป็นที่:

1. แขนเสื้อจะปรากฏสามครั้ง
2. แขนเสื้อจะปรากฏเพียงครั้งเดียว
3. แขนเสื้อจะปรากฏอย่างน้อยสองครั้ง

เราจึงสนใจเหตุการณ์ A เมื่อแขนเสื้อหลุดออกมา ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้คือ p = 0.5 เหตุการณ์ A ตรงกันข้ามกับเหตุการณ์ "ไม่ใช่ A" เมื่อผลลัพธ์เป็นหัว ซึ่งเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น q = 1 − 0.5 = 0.5 เราจำเป็นต้องกำหนดความน่าจะเป็นที่ตราอาร์มจะปรากฏเป็น k ครั้ง

ดังนั้นเราจึงได้: n = 6; พี = 0.5; คิว = 0.5

ให้เราพิจารณาความน่าจะเป็นที่แขนเสื้อถูกดึงออกมาสามครั้งนั่นคือ เค = 3:

ตอนนี้เรามาดูความน่าจะเป็นที่แขนเสื้อขึ้นมาเพียงครั้งเดียวนั่นคือ เค = 1:

ยังคงต้องพิจารณาถึงความน่าจะเป็นที่แขนเสื้อจะปรากฏอย่างน้อยสองครั้ง ประเด็นหลักอยู่ที่วลี “ไม่น้อย” ปรากฎว่า k ใด ๆ ยกเว้น 0 และ 1 จะเหมาะกับเรานั่นคือ เราต้องหาค่าของผลรวม X = P 6 (2) + P 6 (3) + … + P 6 (6)

โปรดทราบว่าผลรวมนี้ก็เท่ากับ (1 − P 6 (0) − P 6 (1)) เช่น จากตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดก็เพียงพอที่จะ "ตัด" ตัวเลือกเหล่านั้นเมื่อเสื้อคลุมแขนหลุดออก 1 ครั้ง (k = 1) หรือไม่ปรากฏเลย (k = 0) เนื่องจากเรารู้ P 6 (1) แล้ว จึงยังคงต้องหา P 6 (0):

งาน. ความน่าจะเป็นที่ทีวีจะมีข้อบกพร่องที่ซ่อนอยู่คือ 0.2 ทีวี 20 เครื่องมาถึงโกดัง เหตุการณ์ใดมีโอกาสมากกว่า: ในชุดนี้มีทีวีสองเครื่องที่มีข้อบกพร่องซ่อนเร้นหรือสามเครื่อง

เหตุการณ์ที่สนใจ A คือการมีอยู่ของข้อบกพร่องที่แฝงอยู่ มีทีวีทั้งหมด n = 20 เครื่อง ความน่าจะเป็นของข้อบกพร่องที่ซ่อนอยู่คือ p = 0.2 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะรับทีวีโดยไม่มีข้อบกพร่องแอบแฝงคือ q = 1 − 0.2 = 0.8

เราได้รับเงื่อนไขเริ่มต้นสำหรับโครงการ Bernoulli: n = 20; พี = 0.2; คิว = 0.8

มาหาความน่าจะเป็นที่จะได้ทีวีที่ "ชำรุด" สองเครื่อง (k = 2) และสามเครื่อง (k = 3):

\[\begin(array)(l)(P_(20))\left(2 \right) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

เห็นได้ชัดว่า P 20 (3) > P 20 (2) เช่น ความน่าจะเป็นที่จะได้รับโทรทัศน์สามเครื่องที่มีข้อบกพร่องซ่อนเร้นนั้นมากกว่าความน่าจะเป็นที่จะได้รับโทรทัศน์ดังกล่าวเพียงสองเครื่อง อีกทั้งความแตกต่างก็ไม่อ่อนแอ

ข้อมูลสั้นๆ เกี่ยวกับแฟกทอเรียล หลายๆ คนรู้สึกไม่สบายอย่างคลุมเครือเมื่อเห็นข้อความ “0!” (อ่านว่า “ศูนย์แฟกทอเรียล”) ดังนั้น 0! = 1 ตามคำจำกัดความ

ป.ล. และความน่าจะเป็นที่ใหญ่ที่สุดในงานสุดท้ายคือการได้ทีวีสี่เครื่องที่มีข้อบกพร่องที่ซ่อนอยู่ คำนวณด้วยตัวคุณเองและดูด้วยตัวคุณเอง

ดูเพิ่มเติมที่:

ขอบคุณสำหรับการอ่านและแบ่งปันกับผู้อื่น

เมื่อแก้ไขปัญหาความน่าจะเป็น เรามักจะพบกับสถานการณ์ที่มีการทดสอบเดียวกันซ้ำหลายครั้ง และผลลัพธ์ของการทดสอบแต่ละครั้งไม่ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของผู้อื่น การทดลองนี้เรียกอีกอย่างว่า โครงการทดสอบอิสระซ้ำแล้วซ้ำอีกหรือ แผนเบอร์นูลลี.

ตัวอย่างการทดสอบซ้ำ:

1) นำลูกบอลหนึ่งลูกออกจากโกศซ้ำๆ โดยมีเงื่อนไขว่าลูกบอลที่ดึงออกมานั้นจะต้องใส่กลับเข้าไปในโกศหลังจากลงทะเบียนสีแล้ว

2) การทำซ้ำโดยผู้ยิงหนึ่งนัดในเป้าหมายเดียวกันโดยมีเงื่อนไขว่าความน่าจะเป็นของการโจมตีที่ประสบความสำเร็จในแต่ละนัดจะถือว่าเท่ากัน (บทบาทของการเป็นศูนย์จะไม่ถูกนำมาพิจารณา)

ดังนั้น ปล่อยให้การทดสอบเป็นไปได้ ผลลัพธ์สองประการ: เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งจะปรากฏขึ้น กหรือเหตุการณ์ตรงกันข้าม ลองทำการทดสอบเบอร์นูลลีกัน ซึ่งหมายความว่าการทดลองทั้งหมดมีความเป็นอิสระ ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ $A$ จะเกิดขึ้นในแต่ละการทดลองแต่ละครั้งหรือการทดลองเดี่ยวนั้นคงที่และไม่เปลี่ยนแปลงจากการทดลองหนึ่งไปอีกการทดลองหนึ่ง (นั่นคือ การทดลองจะดำเนินการภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน) ให้เราแสดงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $A$ ในการทดลองครั้งเดียวด้วยตัวอักษร $p$ นั่นคือ $p=P(A)$ และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม (เหตุการณ์ $A$ ไม่ได้เกิดขึ้น) - โดยมีตัวอักษร $q=P(\overline(A))=1-p$

แล้วความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นั้น กจะปรากฏอยู่ในสิ่งเหล่านี้ nทดสอบอย่างแน่นอน เคครั้งที่แสดงออกมา สูตรของเบอร์นูลลี

$$P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k), \quad q=1-p.$$

เรียกว่าการกระจายจำนวนความสำเร็จ (เหตุการณ์ที่เกิดขึ้น) การแจกแจงแบบทวินาม.

เครื่องคิดเลขออนไลน์สำหรับสูตรของเบอร์นูลลี

ปัญหายอดนิยมบางประเภทที่ใช้สูตรเบอร์นูลลีมีการพูดคุยกันในบทความและมีเครื่องคิดเลขออนไลน์ คุณสามารถไปตามลิงก์:

ตัวอย่างการแก้ปัญหาโดยใช้สูตรของเบอร์นูลลี

ตัวอย่าง.ในโกศมีลูกบอลสีขาว 20 ลูกและสีดำ 10 ลูก นำลูกบอลออกมา 4 ลูก และลูกบอลแต่ละลูกที่ถูกดึงออกจะถูกส่งกลับไปยังโกศ ก่อนที่จะหยิบลูกบอลถัดไปออกมา และลูกบอลในโกศจะถูกผสมกัน

สูตรของเบอร์นูลลี การแก้ปัญหา

จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่สุ่มออกมาสี่ลูกจะมีลูกสีขาว 2 ลูก

สารละลาย.เหตุการณ์ ก- หยิบลูกบอลสีขาวออกมา แล้วความน่าจะเป็น
, .
ตามสูตรของเบอร์นูลลี ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ
.

ตัวอย่าง.จงหาความน่าจะเป็นที่ครอบครัวที่มีลูก 5 คนจะมีลูกสาวไม่เกิน 3 คน ความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กชายและเด็กหญิงจะถือว่าเท่ากัน

สารละลาย.ความน่าจะเป็นของการมีหญิงสาว
, แล้ว .

ลองหาความน่าจะเป็นที่ไม่มีเด็กหญิงในครอบครัว มีเด็กหญิงหนึ่ง สอง หรือสามคนเกิด:

, ,

, .

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการ

.

ตัวอย่าง.ในบรรดาชิ้นส่วนที่ดำเนินการโดยคนงาน โดยเฉลี่ย 4% นั้นเป็นชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐาน ค้นหาความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนที่นำมาทดสอบ 30 ชิ้น มี 2 ชิ้นที่ไม่ได้มาตรฐาน

สารละลาย.ประสบการณ์ประกอบด้วยการตรวจสอบคุณภาพแต่ละชิ้นส่วนจากทั้งหมด 30 ชิ้น

เหตุการณ์ A คือ “การปรากฏตัวของชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐาน” ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้นคือ จากตรงนี้ เราพบโดยใช้สูตรของเบอร์นูลลี
.

ตัวอย่าง.ในแต่ละนัดจากปืน ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายคือ 0.9 ค้นหาความน่าจะเป็นที่จาก 20 ช็อต จำนวนช็อตที่สำเร็จจะเป็นอย่างน้อย 16 ช็อตและไม่เกิน 19 ช็อต

สารละลาย.เราคำนวณโดยใช้สูตรของเบอร์นูลลี:

ตัวอย่าง.การทดสอบอิสระดำเนินต่อไปจนถึงงาน กจะไม่เกิดขึ้น เคครั้งหนึ่ง. ค้นหาความน่าจะเป็นที่ต้องการ nการทดสอบ (n ³ k) หากในแต่ละอัน .

สารละลาย.เหตุการณ์ ใน- อย่างแน่นอน nทดสอบก่อน เค- การเกิดขึ้นของเหตุการณ์ ก– เป็นผลงานของสองเหตุการณ์ต่อไปนี้:

ดี-อิน n- การทดสอบครั้งที่ กเกิดขึ้น;

ค - ก่อน (n–1)- การทดสอบครั้งที่ กปรากฏขึ้น (ฎ-1)ครั้งหนึ่ง.

ทฤษฎีบทการคูณและสูตรของเบอร์นูลลีให้ความน่าจะเป็นที่ต้องการ:

ควรสังเกตว่าการใช้กฎทวินามมักเกี่ยวข้องกับปัญหาในการคำนวณ ดังนั้นด้วยมูลค่าที่เพิ่มขึ้น nและ มขอแนะนำให้ใช้สูตรโดยประมาณ (Poisson, Moivre-Laplace) ซึ่งจะกล่าวถึงในหัวข้อต่อไปนี้

วิดีโอสอนสูตรเบอร์นูลลี

สำหรับผู้ที่ต้องการคำอธิบายวิดีโอที่สอดคล้องกัน วิดีโอความยาว 15 นาที:

สูตรความน่าจะเป็นรวม: ทฤษฎีและตัวอย่างการแก้ปัญหา

สูตรความน่าจะเป็นรวมและความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์

สูตรความน่าจะเป็นรวม เป็นผลมาจากกฎพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น - กฎการบวกและกฎการคูณ

สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมดช่วยให้คุณค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ได้ กซึ่งสามารถเกิดขึ้นได้กับแต่ละอย่างเท่านั้น nเหตุการณ์พิเศษที่เกิดร่วมกันซึ่งก่อให้เกิดระบบที่สมบูรณ์ หากทราบความน่าจะเป็น และ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข เหตุการณ์ต่างๆ กสัมพันธ์กับแต่ละเหตุการณ์ของระบบจะเท่ากัน

เหตุการณ์เรียกอีกอย่างว่าสมมติฐาน ดังนั้นในวรรณคดีคุณสามารถค้นหาการกำหนดไม่ได้ด้วยตัวอักษร บีและจดหมาย ชม(สมมติฐาน).

ในการแก้ปัญหาเงื่อนไขดังกล่าวจำเป็นต้องพิจารณาข้อ 3, 4, 5 หรือในกรณีทั่วไป nความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ก- กับทุกเหตุการณ์

เมื่อใช้ทฤษฎีบทของการบวกและการคูณความน่าจะเป็น เราจะได้ผลรวมของผลคูณของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ของระบบโดย ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข เหตุการณ์ต่างๆ กเกี่ยวกับแต่ละเหตุการณ์ของระบบ

การทดสอบ 21 เบอร์นูลลี สูตรของเบอร์นูลลี

นั่นคือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ กสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

หรือโดยทั่วไป

,

ซึ่งเรียกว่า สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด .

สูตรความน่าจะเป็นรวม: ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1มีโกศที่มีลักษณะเหมือนกันสามอัน: อันแรกมีลูกบอลสีขาว 2 อันและสีดำ 3 อัน อันที่สองมีสีขาว 4 อันและสีดำหนึ่งอัน อันที่สามมีลูกบอลสีขาวสามอัน มีคนสุ่มเข้าใกล้โกศอันหนึ่งและหยิบลูกบอลออกมาหนึ่งลูก การเอาเปรียบ สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมดให้หาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลลูกนี้จะเป็นสีขาว

สารละลาย. เหตุการณ์ ก- ลักษณะเป็นลูกบอลสีขาว เราเสนอสมมติฐานสามข้อ:

— เลือกกล่องลงคะแนนใบแรกแล้ว

— เลือกกล่องลงคะแนนใบที่สองแล้ว

— โกศที่สามถูกเลือก

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ กเกี่ยวกับสมมติฐานแต่ละข้อ:

, , .

เราใช้สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด ผลลัพธ์ที่ได้คือความน่าจะเป็นที่ต้องการ:

.

ตัวอย่างที่ 2ที่โรงงานแห่งแรก ในทุกๆ 100 หลอด มีการผลิตหลอดไฟมาตรฐานเฉลี่ย 90 หลอดที่โรงงานที่สอง - 95 ที่โรงงานที่สาม - 85 และผลิตภัณฑ์ของโรงงานเหล่านี้ประกอบด้วย 50%, 30% และตามลำดับ 20% ของหลอดไฟทั้งหมดที่จำหน่ายให้กับร้านค้าในบางพื้นที่ ค้นหาความน่าจะเป็นในการซื้อหลอดไฟมาตรฐาน

สารละลาย. ให้เราแสดงความน่าจะเป็นในการซื้อหลอดไฟมาตรฐานด้วย กและเหตุการณ์ที่ผลิตหลอดไฟที่ซื้อมาในโรงงานแห่งที่ 1, 2 และ 3 ตามลำดับ โดยผ่าน ตามเงื่อนไข ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้เป็นที่รู้จัก: , และความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ กเกี่ยวกับแต่ละเรื่อง: , , - นี่คือความน่าจะเป็นในการซื้อหลอดไฟมาตรฐาน โดยมีเงื่อนไขว่าจะผลิตที่โรงงานที่หนึ่ง สอง และสาม ตามลำดับ

เหตุการณ์ กจะเกิดขึ้นหากมีเหตุการณ์เกิดขึ้น เค— หลอดไฟถูกผลิตขึ้นที่โรงงานแห่งแรกและเป็นมาตรฐานหรืองานอีเว้นท์ ล— หลอดไฟผลิตที่โรงงานแห่งที่สองและเป็นมาตรฐานหรืองานอีเว้นท์ ม— หลอดไฟผลิตที่โรงงานแห่งที่ 3 และเป็นมาตรฐาน

ความเป็นไปได้อื่นๆ ที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น กเลขที่ ดังนั้นการจัดงาน กคือผลรวมของเหตุการณ์ เค, ลและ มซึ่งเข้ากันไม่ได้ เมื่อใช้ทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็น เราจะจินตนาการถึงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งๆ กในรูปแบบ

และด้วยทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นที่เราได้รับ

นั่นคือ กรณีพิเศษของสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด.

เมื่อแทนค่าความน่าจะเป็นทางด้านซ้ายของสูตร เราจะได้ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ก:

ไม่มีเวลาเจาะลึกวิธีแก้ปัญหาใช่ไหม? สั่งงานได้เลย!

ตัวอย่างที่ 3เครื่องบินกำลังลงจอดที่สนามบิน หากสภาพอากาศเอื้ออำนวย นักบินจะลงจอดโดยใช้อุปกรณ์สังเกตการณ์นอกเหนือจากเครื่องมือ ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นของการลงจอดอย่างปลอดภัยจะเท่ากับ หากสนามบินถูกปกคลุมไปด้วยเมฆต่ำ นักบินจะลงจอดโดยต้องมีอุปกรณ์นำทางเท่านั้น ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นของการลงจอดอย่างปลอดภัยจะเท่ากับ -

อุปกรณ์ที่ให้การลงจอดแบบตาบอดมีความน่าเชื่อถือ (ความน่าจะเป็นของการทำงานที่ปราศจากความล้มเหลว) ป- ในที่ที่มีเมฆต่ำและอุปกรณ์ลงจอดที่ล้มเหลว ความน่าจะเป็นของการลงจอดสำเร็จจะเท่ากับ - สถิติแสดงให้เห็นว่าใน เค% ของการลงจอดที่สนามบินถูกปกคลุมไปด้วยเมฆระดับต่ำ หา ความน่าจะเป็นรวมของเหตุการณ์ก- การลงจอดเครื่องบินอย่างปลอดภัย

สารละลาย. สมมติฐาน:

— ไม่มีเมฆชั้นต่ำ

– มีความขุ่นเล็กน้อย

ความน่าจะเป็นของสมมติฐานเหล่านี้ (เหตุการณ์):

;

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

เราจะค้นหาความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขอีกครั้งโดยใช้สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมดพร้อมสมมติฐาน

— อุปกรณ์ลงจอดแบบตาบอดใช้งานได้

— อุปกรณ์ลงจอดแบบตาบอดล้มเหลว

ความน่าจะเป็นของสมมติฐานเหล่านี้:

ตามสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 4อุปกรณ์สามารถทำงานได้สองโหมด: ปกติและผิดปกติ โหมดปกติพบได้ใน 80% ของทุกกรณีการทำงานของอุปกรณ์ และพบโหมดผิดปกติใน 20% ของกรณีทั้งหมด ความน่าจะเป็นที่อุปกรณ์จะล้มเหลวภายในระยะเวลาหนึ่ง ทีเท่ากับ 0.1; ในภาวะผิดปกติ 0.7 หา ความน่าจะเป็นเต็มความล้มเหลวของอุปกรณ์เมื่อเวลาผ่านไป ที.

สารละลาย. เราแสดงถึงความน่าจะเป็นที่อุปกรณ์จะล้มเหลวอีกครั้ง ก- ดังนั้นเกี่ยวกับการทำงานของอุปกรณ์ในแต่ละโหมด (เหตุการณ์) ความน่าจะเป็นจะทราบตามเงื่อนไข: สำหรับโหมดปกติคือ 80% () สำหรับโหมดผิดปกติ - 20% () ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ก(นั่นคือความล้มเหลวของอุปกรณ์) ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์แรก (โหมดปกติ) เท่ากับ 0.1 (); ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์ที่สอง (โหมดผิดปกติ) - 0.7 ( - เราแทนค่าเหล่านี้เป็นสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด (นั่นคือผลรวมของผลคูณของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ของระบบด้วยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ กเกี่ยวกับแต่ละเหตุการณ์ของระบบ) และต่อหน้าเราคือผลลัพธ์ที่ต้องการ

สูตรของเบอร์นูลลี- สูตรในทฤษฎีความน่าจะเป็นที่ช่วยให้คุณสามารถค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้ เอ (\displaystyle A)ในการทดสอบอิสระ สูตรของเบอร์นูลลีช่วยให้คุณกำจัดการคำนวณจำนวนมาก - การบวกและการคูณความน่าจะเป็น - ด้วยการทดสอบจำนวนมากพอสมควร ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสผู้มีชื่อเสียง Jacob Bernoulli ซึ่งเป็นผู้ค้นพบสูตรนี้

YouTube สารานุกรม

1 / 3

√ ทฤษฎีความน่าจะเป็น 22. สูตรเบอร์นูลลี. การแก้ปัญหา

➤ สูตรเบอร์นูลลี

test การทดสอบสูตรเบอร์นูลลีซ้ำ 20 ครั้ง

คำบรรยาย

สูตร

ทฤษฎีบท.หากมีความน่าจะเป็น p (\displaystyle p)การเกิดขึ้นของเหตุการณ์ เอ (\displaystyle A)จะคงที่ในการทดลองแต่ละครั้ง จากนั้นจึงมีความน่าจะเป็น P k , n (\displaystyle P_(k,n))ว่าเหตุการณ์นั้น เอ (\displaystyle A)จะมาแน่เลย k (\displaystyle k)ทุกครั้ง n (\displaystyle n)การทดสอบอิสระจะเท่ากับ: P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot q^(n-k)), ที่ไหน q = 1 − p (\displaystyle q=1-p).

การพิสูจน์

ให้มันดำเนินการ n (\displaystyle n)การทดสอบอิสระและเป็นที่ทราบกันดีว่าผลการทดสอบแต่ละครั้งทำให้เกิดเหตุการณ์ เอ (\displaystyle A)เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น P (A) = p (\displaystyle P\left(A\right)=p)จึงไม่เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น P (A Â) = 1 − p = q (\displaystyle P\left((\bar (A))\right)=1-p=q)- ให้ในระหว่างการทดสอบความน่าจะเป็นด้วย p (\displaystyle p)และ คิว (\displaystyle q)ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ความน่าจะเป็นที่เป็นผลเป็นเท่าใด n (\displaystyle n)การทดสอบอิสระ เหตุการณ์ เอ (\displaystyle A)จะมาแน่เลย k (\displaystyle k)ครั้งหนึ่ง?

ปรากฎว่าเป็นไปได้ที่จะคำนวณจำนวนชุดค่าผสมของผลการทดสอบที่ "สำเร็จ" ได้อย่างแม่นยำ เอ (\displaystyle A)มา k (\displaystyle k)ทุกครั้ง n (\displaystyle n)การทดสอบอิสระ - นี่คือจำนวนชุดค่าผสมที่แน่นอน  n (\displaystyle n)  โดย  k (\displaystyle k) :

C n (k) = n !{k!\left(n-k\right)!}}} !}.

เค! เอ (\displaystyle A)(น - เค) !

(\displaystyle C_(n)(k)=(\frac (n n (\displaystyle n)ในเวลาเดียวกัน เนื่องจากการทดสอบทั้งหมดมีความเป็นอิสระและผลลัพธ์ไม่เข้ากัน (เหตุการณ์ เอ (\displaystyle A)จะมาแน่เลย k (\displaystyle k)ไม่ว่าจะเกิดขึ้นหรือไม่ก็ตาม) ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้รับชุดค่าผสมที่ "สำเร็จ" จะเท่ากับ: สุดท้ายนี้เพื่อที่จะหาความน่าจะเป็นนั่นเองกิจกรรมการทดสอบอิสระ คุณต้องเพิ่มความน่าจะเป็นที่จะได้ชุดค่าผสมที่ "สำเร็จ" ทั้งหมดอีกครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้ชุดค่าผสมที่ "สำเร็จ" ทั้งหมดจะเท่ากันและเท่ากัน p k ⋅ q n − k (\displaystyle p^(k)\cdot q^(n-k))

จำนวนชุดค่าผสมที่ "สำเร็จ" เท่ากับ.

C n (k) (\displaystyle C_(n)(k))

ในที่สุดเราก็ได้:.