สูตรหาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยม ปริซึมมีลักษณะอย่างไร

ที่ หลักสูตรของโรงเรียนในวิชาเรขาคณิตทึบ การศึกษารูปทรงสามมิติมักจะเริ่มต้นด้วยรูปทรงเรขาคณิตอย่างง่าย - ปริซึม รูปทรงหลายหน้า บทบาทของฐานนั้นดำเนินการโดยรูปหลายเหลี่ยม 2 รูปซึ่งเท่ากัน ระนาบขนาน. กรณีพิเศษคือปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ ฐานของมันคือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ 2 รูปซึ่งด้านตั้งฉากกัน มีรูปร่างเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (หรือสี่เหลี่ยมถ้าปริซึมไม่เอียง)

ปริซึมมีลักษณะอย่างไร

ปริซึมสี่เหลี่ยมปกติเป็นรูปหกเหลี่ยมที่ฐานมี 2 สี่เหลี่ยมและใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ชื่ออื่นสำหรับสิ่งนี้ รูปทรงเรขาคณิต- ขนานขนานตรง

รูปที่แสดงปริซึมสี่เหลี่ยมแสดงอยู่ด้านล่าง

คุณสามารถดูในภาพ องค์ประกอบที่จำเป็นซึ่งประกอบไปด้วย ร่างกายทางเรขาคณิต . โดยทั่วไปจะเรียกว่า:

บางครั้งในปัญหาทางเรขาคณิต คุณจะพบแนวคิดของส่วน คำจำกัดความจะเป็นดังนี้: ส่วนคือจุดทั้งหมดของร่างกายปริมาตรที่เป็นของระนาบการตัด ส่วนตั้งฉาก (ข้ามขอบของรูปที่มุม 90 องศา) สำหรับ ปริซึมสี่เหลี่ยมพิจารณาส่วนเส้นทแยงมุมด้วย ( จำนวนเงินสูงสุดส่วนที่สามารถสร้างได้ - 2) ผ่าน 2 ขอบและเส้นทแยงมุมของฐาน

หากส่วนถูกวาดในลักษณะที่ระนาบการตัดไม่ขนานกับฐานหรือด้านข้าง ผลที่ได้คือปริซึมที่ถูกตัดออก

อัตราส่วนและสูตรต่าง ๆ ถูกนำมาใช้เพื่อค้นหาองค์ประกอบปริซึมที่ลดลง บางคนเป็นที่รู้จักจากหลักสูตรของการวัดระนาบ (ตัวอย่างเช่นในการหาพื้นที่ฐานของปริซึมก็เพียงพอที่จะจำสูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสได้)

พื้นที่ผิวและปริมาตร

ในการกำหนดปริมาตรของปริซึมโดยใช้สูตร คุณจำเป็นต้องรู้พื้นที่ของฐานและความสูง:

V = สริม ชั่วโมง

เนื่องจากฐานของปริซึมทรงจัตุรมุขปกติเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน ก,คุณสามารถเขียนสูตรในรูปแบบที่ละเอียดยิ่งขึ้น:

V = a² ชม

หากเรากำลังพูดถึงลูกบาศก์ - ปริซึมปกติด้วย ความยาวเท่ากัน, ความกว้าง และความสูง ปริมาตรคำนวณได้ดังนี้

เพื่อให้เข้าใจวิธีการหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม คุณต้องจินตนาการถึงการกวาดของมัน

จะเห็นได้จากภาพวาดว่าพื้นผิวด้านข้างประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านเท่า 4 รูป พื้นที่ของมันถูกคำนวณเป็นผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและความสูงของรูป:

ด้านข้าง = Pos h

เนื่องจากเส้นรอบวงของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ P = 4a,สูตรใช้รูปแบบ:

ด้าน = 4a h

สำหรับลูกบาศก์:

ด้านข้าง = 4a²

ในการคำนวณพื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม ให้เพิ่มพื้นที่ฐาน 2 พื้นที่ลงในพื้นที่ด้านข้าง:

เต็ม = ด้านข้าง + 2Sbase

เมื่อนำไปใช้กับปริซึมปกติรูปสี่เหลี่ยม สูตรจะมีรูปแบบ:

เต็ม = 4a ชั่วโมง + 2a²

สำหรับพื้นที่ผิวของลูกบาศก์:

เต็ม = 6a²

เมื่อทราบปริมาตรหรือพื้นที่ผิว คุณสามารถคำนวณองค์ประกอบแต่ละส่วนของรูปทรงเรขาคณิตได้

การหาองค์ประกอบของปริซึม

บ่อยครั้งที่มีปัญหาในการให้ปริมาตรหรือทราบค่าของพื้นที่ผิวด้านข้างซึ่งจำเป็นต้องกำหนดความยาวของด้านข้างของฐานหรือความสูง ในกรณีดังกล่าว สามารถรับสูตรได้:

• ความยาวด้านฐาน: a = ด้าน / 4h = √(V / h);
• ความสูงหรือความยาวซี่โครงด้านข้าง: h = ด้าน / 4a = V / a²;
• พื้นที่ฐาน: สริม = V/h;
• บริเวณใบหน้าด้านข้าง: ด้านข้าง gr = ด้าน / 4.

ในการพิจารณาว่าเส้นทแยงมุมมีพื้นที่เท่าใด คุณจำเป็นต้องทราบความยาวของเส้นทแยงมุมและความสูงของรูป สำหรับตาราง d = a√2.ดังนั้น:

เซียก = ah√2

ในการคำนวณเส้นทแยงมุมของปริซึมจะใช้สูตร:

dprize = √(2a² + h²)

เพื่อให้เข้าใจถึงวิธีการใช้อัตราส่วนข้างต้น คุณสามารถฝึกฝนและแก้ปัญหาง่ายๆ สองสามข้อได้

ตัวอย่างปัญหาพร้อมวิธีแก้ไข

นี่คืองานบางส่วนที่ปรากฏในการสอบปลายภาคของรัฐในวิชาคณิตศาสตร์

แบบฝึกหัด 1.

ทรายถูกเทลงในกล่องที่มีรูปร่างเหมือนปริซึมสี่เหลี่ยมทั่วไป ความสูงของระดับคือ 10 ซม. ระดับของทรายจะเป็นอย่างไรถ้าคุณย้ายลงในภาชนะที่มีรูปร่างเหมือนกัน แต่มีความยาวฐาน 2 เท่า

พึงโต้แย้งดังนี้. ปริมาณทรายในภาชนะที่หนึ่งและที่สองไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือ ปริมาตรในภาชนะนั้นเท่ากัน คุณสามารถกำหนดความยาวของฐานเป็น ก. ในกรณีนี้ สำหรับกล่องแรก ปริมาตรของสารจะเป็นดังนี้:

V₁ = ฮา² = 10a²

สำหรับกล่องที่สองคือความยาวของฐาน 2aแต่ไม่ทราบความสูงของระดับทราย:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

เพราะว่า V₁ = V₂นิพจน์สามารถบรรจุ:

10a² = 4ha²

หลังจากลดสมการทั้งสองข้างลง a² เราจะได้:

ผลที่ตามมา ระดับใหม่ทรายจะเป็น ชั่วโมง = 10 / 4 = 2.5ซม.

ภารกิจที่ 2

ABCDA₁B₁C₁D₁ เป็นปริซึมปกติ เป็นที่ทราบกันว่า BD = AB₁ = 6√2 ค้นหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของร่างกาย

เพื่อให้ง่ายต่อการทำความเข้าใจว่ารู้จักองค์ประกอบใดบ้าง คุณสามารถวาดรูปได้

เนื่องจากเรากำลังพูดถึงปริซึมปกติ เราจึงสรุปได้ว่าฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเส้นทแยงมุมเท่ากับ 6√2 เส้นทแยงมุมของใบหน้าด้านข้างมีค่าเท่ากัน ดังนั้น ใบหน้าด้านข้างจึงมีรูปร่างเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เท่ากับฐาน. ปรากฎว่าทั้งสามมิติ - ยาว กว้าง และสูง - เท่ากัน เราสามารถสรุปได้ว่า ABCDA₁B₁C₁D₁ เป็นลูกบาศก์

ความยาวของขอบใด ๆ ถูกกำหนดโดยเส้นทแยงมุมที่รู้จัก:

ก = ง / √2 = 6√2 / √2 = 6

พื้นที่ผิวทั้งหมดหาได้จากสูตรสำหรับลูกบาศก์:

เต็ม = 6a² = 6 6² = 216

ภารกิจที่ 3

ห้องกำลังปรับปรุง เป็นที่ทราบกันดีว่าพื้นมีรูปร่างเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ 9 ตร.ม. ความสูงของห้องคือ 2.5 ม. ราคาต่ำสุดในการติดวอลเปเปอร์ห้องคือเท่าไหร่ถ้า 1 ตร.ม. มีราคา 50 รูเบิล

เนื่องจากพื้นและเพดานเป็นสี่เหลี่ยม นั่นคือ สี่เหลี่ยมปกติ และผนังตั้งฉากกับพื้นผิวในแนวนอน เราจึงสรุปได้ว่ามันเป็นปริซึมปกติ จำเป็นต้องกำหนดพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง

ความยาวของห้องคือ ก = √9 = 3ม.

จัตุรัสจะถูกปกคลุมด้วยวอลล์เปเปอร์ ด้านข้าง = 4 3 2.5 = 30 ตร.ม.

วอลล์เปเปอร์ต้นทุนต่ำที่สุดสำหรับห้องนี้จะเป็น 50 30 = 1500รูเบิล

ดังนั้นในการแก้ปัญหาสำหรับปริซึมสี่เหลี่ยมก็เพียงพอที่จะสามารถคำนวณพื้นที่และปริมณฑลของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผ้ารวมทั้งรู้สูตรในการหาปริมาตรและพื้นที่ผิว

วิธีหาพื้นที่ของลูกบาศก์

ในวิชาฟิสิกส์ มักใช้ปริซึมสามเหลี่ยมที่ทำจากแก้วเพื่อศึกษาสเปกตรัม แสงสีขาวเนื่องจากสามารถย่อยสลายเป็นส่วนประกอบที่แยกจากกันได้ ในบทความนี้เราจะพิจารณาสูตรปริมาตร

ปริซึมสามเหลี่ยมคืออะไร?

ก่อนให้สูตรปริมาตร ให้พิจารณาคุณสมบัติของรูปนี้

ในการรับสิ่งนี้คุณต้องใช้รูปสามเหลี่ยมโดยพลการแล้วเลื่อนขนานกับตัวมันเองในระยะทางหนึ่ง จุดยอดของสามเหลี่ยมในตำแหน่งเริ่มต้นและสุดท้ายควรเชื่อมต่อกันด้วยส่วนตรง ได้รับ รูปปริมาตรเรียกว่าปริซึมสามเหลี่ยม มันมีห้าด้าน ทั้งสองเรียกว่าฐาน: พวกมันขนานกันและเท่ากัน กันและกัน. ฐานของปริซึมที่พิจารณาเป็นรูปสามเหลี่ยม ด้านที่เหลืออีกสามด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

นอกจากด้านข้างแล้ว ปริซึมที่อยู่ระหว่างการพิจารณายังมีจุดยอดหกจุด (สามจุดสำหรับฐานแต่ละฐาน) และขอบเก้าขอบ (ขอบทั้ง 6 อยู่ในระนาบของฐานและขอบ 3 อันเกิดจากการตัดกันของด้านข้าง) หากขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน ปริซึมดังกล่าวจะเรียกว่าสี่เหลี่ยม

ความแตกต่างระหว่างปริซึมสามเหลี่ยมกับรูปทรงอื่นๆ ทั้งหมดในคลาสนี้คือ ปริซึมจะมีลักษณะนูนเสมอ (สี่-, ห้า-, ..., ปริซึม n-gonal ก็สามารถเว้าได้เช่นกัน)

มัน รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งอ้างอิงจาก สามเหลี่ยมด้านเท่า.

ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมชนิดทั่วไป

จะหาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมได้อย่างไร? สูตรใน ปริทัศน์คล้ายกับปริซึมทุกชนิด มันมีสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้:

ที่นี่ h คือความสูงของรูปนั่นคือระยะห่างระหว่างฐาน S o คือพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

ค่าของ S o สามารถพบได้หากทราบพารามิเตอร์บางอย่างสำหรับรูปสามเหลี่ยม เช่น ด้านหนึ่งและสองมุม หรือสองด้านและหนึ่งมุม พื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความสูงและความยาวของด้านที่ความสูงนี้ลดลง

สำหรับความสูง h ของรูป การหาปริซึมสี่เหลี่ยมนั้นง่ายที่สุด ที่ กรณีสุดท้าย h ตรงกับความยาวของขอบด้านข้าง

ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมปกติ

สูตรทั่วไปปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยม ซึ่งระบุไว้ในส่วนก่อนหน้าของบทความ สามารถใช้คำนวณค่าที่สอดคล้องกันสำหรับปริซึมสามเหลี่ยมปกติได้ เนื่องจากฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า พื้นที่ของมันคือ:

ทุกคนจะได้สูตรนี้ถ้าจำได้ว่าในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าทุกมุมเท่ากันและประกอบกันเป็น 60 o สัญลักษณ์ a คือความยาวของด้านของสามเหลี่ยม

ความสูง h คือความยาวของขอบ ไม่มีอะไรเกี่ยวข้องกับฐาน ปริซึมขวาและสามารถรับค่าโดยพลการ เป็นผลให้สูตรสำหรับปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยม ชนิดที่ถูกต้องดูเหมือนว่า:

เมื่อคำนวณรากแล้ว เราสามารถเขียนสูตรใหม่ได้ดังนี้:

ดังนั้น ในการหาปริมาตรของปริซึมปกติที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยม จำเป็นต้องนำด้านของฐานยกกำลังสอง คูณค่านี้ด้วยความสูง แล้วคูณค่าผลลัพธ์ด้วย 0.433

ปริมาตรของปริซึม การแก้ปัญหา

เรขาคณิตเป็นเครื่องมือที่ทรงพลังที่สุดสำหรับการปรับแต่งสติปัญญาของเราและทำให้เราสามารถคิดและให้เหตุผลได้อย่างถูกต้อง

G. Galileo

จุดประสงค์ของบทเรียน:

• เพื่อสอนการแก้ปัญหาในการคำนวณปริมาตรของปริซึมเพื่อสรุปและจัดระบบข้อมูลที่นักเรียนมีเกี่ยวกับปริซึมและองค์ประกอบของปริซึมเพื่อสร้างความสามารถในการแก้ปัญหาที่มีความซับซ้อนเพิ่มขึ้น
• พัฒนา การคิดอย่างมีตรรกะ, ความสามารถในการทำงานอย่างอิสระ, ทักษะของการควบคุมร่วมกันและการควบคุมตนเอง, ความสามารถในการพูดและฟัง;
• พัฒนานิสัยของ การจ้างงานถาวร, ใดๆ สิ่งที่มีประโยชน์, การศึกษาการตอบสนอง, ความขยันหมั่นเพียร, ความถูกต้อง.

ประเภทของบทเรียน: บทเรียนการประยุกต์ใช้ความรู้ ทักษะ และความสามารถ

อุปกรณ์: การ์ดควบคุม, เครื่องฉายสื่อ, การนำเสนอ“ บทเรียน ปริมาณปริซึม” คอมพิวเตอร์

ระหว่างเรียน

• ซี่โครงด้านข้างของปริซึม (รูปที่ 2)
• พื้นผิวด้านข้างปริซึม (รูปที่ 2, รูปที่ 5)
• ความสูงของปริซึม (รูปที่ 3, รูปที่ 4)
• ปริซึมโดยตรง (รูปที่ 2,3,4)
• ปริซึมเอียง(รูปที่ 5)
• แก้ไขปริซึม (รูปที่ 2, รูปที่ 3)
• ส่วนในแนวทแยงของปริซึม (รูปที่ 2)
• ปริซึมในแนวทแยง (รูปที่ 2)
• ส่วนตั้งฉากของปริซึม (pi3, fig4)
• พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม
• พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม
• ปริมาตรของปริซึม

1. ตรวจการบ้าน (8 นาที)

แลกเปลี่ยนสมุดบันทึก ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาบนสไลด์ และทำเครื่องหมาย (ทำเครื่องหมาย 10 ถ้างานประกอบด้วย)

วาดปัญหาและแก้ไข นักเรียนปกป้องปัญหาที่เขารวบรวมไว้ที่กระดานดำ รูปที่ 6 และรูปที่ 7





บทที่ 2 วรรค 3
ภารกิจที่ 2 ความยาวของขอบทั้งหมดของปริซึมสามเหลี่ยมปกติจะเท่ากัน คำนวณปริมาตรของปริซึมหากพื้นที่ผิวเป็น cm 2 (รูปที่ 8)



บทที่ 2 วรรค 3
ปัญหาที่ 5 ฐานของปริซึมตรง ABCA 1B 1C1 คือ สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC (มุม ABC=90°), AB=4ซม. คำนวณปริมาตรของปริซึมถ้ารัศมีของสามเหลี่ยมที่มีเส้นรอบวง ABC เท่ากับ 2.5 ซม. และความสูงของปริซึมคือ 10 ซม. (รูปที่ 9)



บทที่ 2 วรรค 3
ปัญหา 29. ความยาวของด้านฐานของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติคือ 3 ซม. เส้นทแยงมุมของปริซึมทำมุม 30° กับระนาบของผิวด้านข้าง คำนวณปริมาตรของปริซึม (รูปที่ 10)



2. การทำงานร่วมกันของครูกับชั้นเรียน (2-3 นาที)

วัตถุประสงค์: สรุปผลของการอุ่นเครื่องทางทฤษฎี (นักเรียนให้คะแนนซึ่งกันและกัน) เรียนรู้วิธีแก้ปัญหาในหัวข้อ

3. นาทีกายภาพ (3 นาที)
4. การแก้ปัญหา (10 นาที)

บน ขั้นตอนนี้ครูจัดงานส่วนหน้าในการทำซ้ำวิธีการแก้ปัญหาเกี่ยวกับแผนภาพสูตรแผนภาพ ชั้นเรียนแบ่งออกเป็นสองกลุ่ม กลุ่มหนึ่งแก้ปัญหา ส่วนกลุ่มอื่นทำงานที่คอมพิวเตอร์ จากนั้นพวกเขาก็เปลี่ยนไป ให้นักเรียนแก้ข้อ 8 (ปากเปล่า), ข้อ 9 (ปากเปล่า) ทั้งหมด หลังจากที่พวกเขาแบ่งออกเป็นกลุ่มและละเมิดเพื่อแก้ปัญหาหมายเลข 14, หมายเลข 30, หมายเลข 32

บทที่ 2, §3, หน้า 66-67

ปัญหาที่ 8 ขอบทั้งหมดของปริซึมสามเหลี่ยมปกติเท่ากัน ค้นหาปริมาตรของปริซึมหากพื้นที่หน้าตัดของระนาบที่ผ่านขอบของฐานล่างและตรงกลางด้านข้างของฐานบนคือ cm (รูปที่ 11)



บทที่ 2, §3, หน้า 66-67
ปัญหาที่ 9 ฐานของปริซึมตรงเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และขอบด้านข้างเป็นสองเท่าของฐาน คำนวณปริมาตรของปริซึมถ้ารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบส่วนของปริซึมโดยระนาบที่ผ่านด้านข้างของฐานและตรงกลางของขอบด้านตรงข้ามคือ ซม. (รูปที่ 12)



บทที่ 2, §3, หน้า 66-67
ภารกิจที่ 14. ฐานของปริซึมตรงเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งเป็นหนึ่งในเส้นทแยงมุมซึ่งเท่ากับด้านข้าง คำนวณเส้นรอบรูปของส่วนโดยระนาบที่ผ่านเส้นทแยงมุมขนาดใหญ่ของฐานล่าง ถ้าปริมาตรของปริซึมเท่ากันและด้านทุกด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (รูปที่ 13)



บทที่ 2, §3, หน้า 66-67
ปัญหา 30.ABCA 1 B 1 C 1 เป็นปริซึมสามเหลี่ยมปกติ ขอบทั้งหมดเท่ากัน จุดประมาณกึ่งกลางของขอบ BB 1 คำนวณรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในส่วนของปริซึมโดยระนาบ AOS ถ้าปริมาตรของปริซึมเท่ากัน (รูปที่ 14)



บทที่ 2, §3, หน้า 66-67
ปัญหา 32. ในปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ ผลรวมของพื้นที่ฐานจะเท่ากับพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง คำนวณปริมาตรของปริซึมหากเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบส่วนของปริซึมโดยระนาบที่ผ่านจุดยอดสองจุดของฐานล่างและจุดยอดตรงข้ามของฐานบนคือ 6 ซม. (รูปที่ 15)



ในขณะที่แก้ปัญหา นักเรียนจะเปรียบเทียบคำตอบกับคำตอบที่ครูแสดง นี่คือตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาพร้อมความคิดเห็นโดยละเอียด ... งานเดี่ยวครูกับนักเรียนที่ “เข้มแข็ง” (10 นาที)

5. งานอิสระนักเรียนทำแบบทดสอบที่คอมพิวเตอร์

1. ด้านฐานของปริซึมสามเหลี่ยมปกติคือ และสูงเท่ากับ 5 หาปริมาตรของปริซึม.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. เลือกข้อความที่ถูกต้อง

1) ปริมาตรของปริซึมมุมฉากซึ่งมีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง

2) ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมปกติคำนวณโดยสูตร V \u003d 0.25a 2 ชั่วโมง - โดยที่ a คือด้านข้างของฐาน h คือความสูงของปริซึม

3) ปริมาตรของปริซึมตรงเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง

4) ปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติคำนวณโดยสูตร V \u003d a 2 h-โดยที่ a คือด้านข้างของฐาน h คือความสูงของปริซึม

5) ปริมาตรของปริซึมหกเหลี่ยมปกติคำนวณโดยสูตร V \u003d 1.5a 2 ชั่วโมง โดยที่ a คือด้านข้างของฐาน h คือความสูงของปริซึม

3. ด้านฐานของปริซึมสามเหลี่ยมปกติเท่ากับ ระนาบถูกวาดผ่านด้านข้างของฐานล่างและด้านบนตรงข้ามของฐานบน ซึ่งทำมุม 45° กับฐาน หาปริมาตรของปริซึม.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. ฐานของปริซึมตรงเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ด้านที่เป็น 13 และหนึ่งในเส้นทแยงมุมคือ 24 หาปริมาตรของปริซึมถ้าเส้นทแยงมุมของด้านเป็น 14

น้องๆที่กำลังเตรียมตัวม ผ่านการสอบในวิชาคณิตศาสตร์คุณควรเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาในการหาพื้นที่ของปริซึมแบบตรงและแบบปกติ การฝึกฝนหลายปีเป็นการยืนยันความจริงที่ว่านักเรียนหลายคนคิดว่างานดังกล่าวในเรขาคณิตนั้นค่อนข้างยาก

ในขณะเดียวกัน นักเรียนมัธยมปลายที่มีการฝึกอบรมในระดับใดก็ตามควรสามารถหาพื้นที่และปริมาตรของปริซึมปกติและปริซึมโดยตรงได้ เฉพาะในกรณีนี้พวกเขาจะสามารถนับคะแนนการแข่งขันตามผลการสอบผ่าน

ประเด็นสำคัญที่ต้องจำ

• ถ้าขอบด้านข้างของปริซึมตั้งฉากกับฐาน เรียกว่า ปริซึมตรง ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดของรูปนี้เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า ความสูงของปริซึมตรงตรงกับขอบของมัน
• ปริซึมถูกต้อง ขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐานที่อยู่ รูปหลายเหลี่ยมปกติ. ใบหน้าด้านข้างของรูปนี้เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากัน ปริซึมที่ถูกต้องจะตรงเสมอ

การเตรียมตัวสำหรับการสอบแบบรวมศูนย์พร้อมกับ Shkolkovo คือกุญแจสู่ความสำเร็จของคุณ!

เพื่อให้ชั้นเรียนง่ายและมีประสิทธิภาพมากที่สุด เลือกพอร์ทัลทางคณิตศาสตร์ของเรา ที่นี่คุณจะพบเนื้อหาที่จำเป็นทั้งหมดที่จะช่วยคุณเตรียมตัวสำหรับการทดสอบเพื่อการรับรอง

ผู้เชี่ยวชาญ โครงการการศึกษา Shkolkovo เสนอให้เปลี่ยนจากง่ายไปหาซับซ้อน: ขั้นแรกเราให้ทฤษฎี สูตรพื้นฐาน ทฤษฎีบท และปัญหาเบื้องต้นพร้อมวิธีแก้ปัญหา แล้วจึงค่อยไปยังงานระดับผู้เชี่ยวชาญ

ข้อมูลพื้นฐานได้รับการจัดระบบและนำเสนออย่างชัดเจนในส่วน "การอ้างอิงเชิงทฤษฎี" หากคุณสามารถทำซ้ำเนื้อหาที่จำเป็นได้แล้ว เราขอแนะนำให้คุณฝึกฝนการแก้ปัญหาเกี่ยวกับการหาพื้นที่และปริมาตรของปริซึมทรงตรง ในส่วน "แคตตาล็อก" มีแบบฝึกหัดให้เลือกมากมาย องศาที่แตกต่างความยากลำบาก

ลองคำนวณพื้นที่ของปริซึมตรงและปกติหรือตอนนี้ แยกส่วนงานใด ๆ หากไม่ก่อให้เกิดความยุ่งยาก คุณสามารถไปยังแบบฝึกหัดระดับผู้เชี่ยวชาญได้อย่างปลอดภัย และหากปัญหาบางอย่างยังคงเกิดขึ้น เราขอแนะนำให้คุณเตรียมตัวสอบออนไลน์อย่างสม่ำเสมอพร้อมกับพอร์ทัลทางคณิตศาสตร์ของ Shkolkovo และงานในหัวข้อ "ปริซึมตรงและปกติ" จะเป็นเรื่องง่ายสำหรับคุณ

ปริซึมที่แตกต่างกันนั้นแตกต่างกัน ในขณะเดียวกันก็มีหลายอย่างที่เหมือนกัน ในการหาพื้นที่ฐานของปริซึม คุณต้องหาว่ามันมีลักษณะอย่างไร

ทฤษฎีทั่วไป

ปริซึม คือ รูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ ที่มีด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ยิ่งไปกว่านั้น รูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ สามารถอยู่ที่ฐานของมันได้ ตั้งแต่สามเหลี่ยมไปจนถึง n-gon นอกจากนี้ฐานของปริซึมยังเท่ากันเสมอ สิ่งที่ใช้ไม่ได้กับใบหน้าด้านข้าง - ขนาดอาจแตกต่างกันอย่างมาก

เมื่อแก้ปัญหาไม่ได้พบเฉพาะพื้นที่ฐานของปริซึมเท่านั้น อาจจำเป็นต้องทราบพื้นผิวด้านข้าง นั่นคือ ใบหน้าทั้งหมดที่ไม่ใช่ฐาน เต็มพื้นผิวจะมีการรวมตัวกันของใบหน้าทั้งหมดที่ประกอบกันเป็นปริซึม

บางครั้งความสูงปรากฏในงาน มันตั้งฉากกับฐาน เส้นทแยงมุมของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นส่วนที่เชื่อมต่อเป็นคู่ๆ ของจุดยอดสองจุดที่ไม่ได้อยู่ในหน้าเดียวกัน

ควรสังเกตว่าพื้นที่ฐานของปริซึมตรงหรือเอียงไม่ได้ขึ้นอยู่กับมุมระหว่างปริซึมกับด้านข้าง ถ้าพวกเขามี ตัวเลขที่เหมือนกันในใบหน้าส่วนบนและส่วนล่าง พื้นที่ของใบหน้าจะเท่ากัน

ปริซึมสามเหลี่ยม

ที่ฐานมีรูปที่มีจุดยอดสามจุด นั่นคือรูปสามเหลี่ยม เป็นที่ทราบกันดีว่าแตกต่างกัน ถ้าอย่างนั้นก็เพียงพอที่จะจำได้ว่าพื้นที่ของมันถูกกำหนดโดยครึ่งหนึ่งของผลคูณของขา

สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์มีลักษณะดังนี้: S = ½ av

หากต้องการทราบพื้นที่ของฐานในรูปแบบทั่วไป สูตรต่างๆ จะมีประโยชน์: นกกระสาและอันที่ครึ่งหนึ่งของด้านถูกนำไปยังความสูงที่วาดไว้

สูตรแรกควรเขียนดังนี้: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). รายการนี้มีค่ากึ่งเส้นรอบวง (p) นั่นคือผลรวมของสามด้านหารด้วยสอง

ที่สอง: S = ½ n a * a

หากคุณต้องการทราบพื้นที่ฐานของปริซึมสามเหลี่ยมซึ่งเป็นปกติ สามเหลี่ยมจะกลายเป็นด้านเท่า มีสูตรของตัวเอง: S = ¼ a 2 * √3

ปริซึมสี่เหลี่ยม

ฐานของมันคือรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ที่รู้จัก อาจเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือสี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมด้านขนานหรือสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ในแต่ละกรณี ในการคำนวณพื้นที่ฐานของปริซึม คุณจะต้องใช้สูตรของคุณเอง

ถ้าฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า พื้นที่ของฐานจะถูกกำหนดดังนี้: S = av โดยที่ a, b คือด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

เมื่อไร เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับปริซึมสี่เหลี่ยม พื้นที่ฐานของปริซึมปกติจะคำนวณโดยใช้สูตรสำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัส เพราะเป็นผู้ตั้งอยู่ที่ฐาน. ส \u003d 2.

ในกรณีที่ฐานเป็นแบบขนานจะต้องมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: S \u003d a * n a มันเกิดขึ้นที่ด้านข้างของเส้นขนานและมุมใดมุมหนึ่งจะได้รับ จากนั้นในการคำนวณความสูง คุณจะต้องใช้สูตรเพิ่มเติม: na \u003d b * sin A นอกจากนี้ มุม A อยู่ติดกับด้าน "b" และความสูงคือ na ตรงข้ามกับมุมนี้

หากรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนอยู่ที่ฐานของปริซึม ก็จะต้องใช้สูตรเดียวกันนี้ในการกำหนดพื้นที่เช่นเดียวกับสี่เหลี่ยมด้านขนาน (เนื่องจากเป็นกรณีพิเศษของปริซึม) แต่คุณสามารถใช้อันนี้ได้เช่นกัน: S = ½ d 1 d 2 ตรงนี้ d 1 และ d 2 คือเส้นทแยงมุมสองเส้นของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ปริซึมห้าเหลี่ยมปกติ

กรณีนี้เกี่ยวข้องกับการแยกรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยม ซึ่งหาพื้นที่ได้ง่ายกว่า แม้ว่ามันจะเกิดขึ้นว่าตัวเลขสามารถมีจำนวนจุดที่แตกต่างกันได้

เนื่องจากฐานของปริซึมเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ จึงสามารถแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าห้ารูป จากนั้นพื้นที่ฐานของปริซึมจะเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมดังกล่าว (สูตรสามารถดูได้ด้านบน) คูณด้วยห้า

ปริซึมหกเหลี่ยมปกติ

ตามหลักการที่อธิบายไว้สำหรับปริซึมห้าเหลี่ยม เป็นไปได้ที่จะแบ่งฐานหกเหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า 6 รูป สูตรสำหรับพื้นที่ฐานของปริซึมนั้นคล้ายกับสูตรก่อนหน้า เฉพาะในนั้นควรคูณด้วยหก

สูตรจะมีลักษณะดังนี้: S = 3/2 และ 2 * √3

งาน

หมายเลข 1 กำหนดเส้นตรงปกติ เส้นทแยงมุม 22 ซม. ความสูงของรูปทรงหลายหน้าคือ 14 ซม. คำนวณพื้นที่ฐานของปริซึมและพื้นผิวทั้งหมด

วิธีการแก้.ฐานของปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่ไม่ทราบด้าน คุณสามารถหาค่าได้จากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส (x) ซึ่งสัมพันธ์กับเส้นทแยงมุมของปริซึม (d) และความสูง (h) x 2 \u003d ง 2 - n 2. ในทางกลับกัน ส่วน "x" นี้คือด้านตรงข้ามมุมฉากในรูปสามเหลี่ยมที่มีขาเท่ากับด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส นั่นคือ x 2 \u003d a 2 + a 2 ดังนั้น ปรากฎว่า a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2

แทนค่า d ด้วยจำนวน 22 และแทนที่ "n" ด้วยค่า - 14 ปรากฎว่าด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 12 ซม. ตอนนี้หาพื้นที่ฐานได้ง่าย: 12 * 12 \u003d 144 ซม. 2 .

หากต้องการทราบพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมด คุณต้องเพิ่มค่าของพื้นที่ฐานเป็นสองเท่าและเพิ่มด้านข้างเป็นสี่เท่า สูตรหลังหาง่ายสำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า: คูณความสูงของรูปทรงหลายเหลี่ยมและด้านข้างของฐาน นั่นคือ 14 และ 12 ตัวเลขนี้จะเท่ากับ 168 ซม. 2 พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึมพบว่าเท่ากับ 960 ซม. 2 .

ตอบ.พื้นที่ฐานของปริซึมคือ 144 cm2 พื้นผิวทั้งหมด - 960 ซม. 2 .

หมายเลข 2 Dana ที่ฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน 6 ซม. ในกรณีนี้เส้นทแยงมุมของใบหน้าด้านข้างคือ 10 ซม. คำนวณพื้นที่: ฐานและพื้นผิวด้านข้าง

วิธีการแก้.เนื่องจากปริซึมเป็นทรงปกติ ฐานของปริซึมจึงเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ดังนั้นพื้นที่ของมันจะเท่ากับ 6 กำลังสองคูณ ¼ และสแควร์รูทของ 3 การคำนวณอย่างง่ายนำไปสู่ผลลัพธ์: 9√3 ซม. 2 นี่คือพื้นที่ฐานหนึ่งของปริซึม

ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเหมือนกันและเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้าน 6 และ 10 ซม. ในการคำนวณพื้นที่ก็เพียงพอที่จะคูณตัวเลขเหล่านี้ จากนั้นคูณด้วยสาม เนื่องจากปริซึมมีด้านหลายด้านพอดี จากนั้นพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างจะมีบาดแผล 180 ซม. 2 .

ตอบ.พื้นที่: ฐาน - 9√3 ซม. 2 พื้นผิวด้านข้างของปริซึม - 180 ซม. 2