ร่างกายสามารถโยนในลักษณะที่ความเร็วเริ่มต้น v0จะถูกนำไปในแนวนอน (α = 0) นี่คือทิศทาง ตัวอย่างเช่น ความเร็วเริ่มต้นของวัตถุที่แยกออกจากเครื่องบินที่บินในแนวนอน ง่ายต่อการทำความเข้าใจว่าร่างกายจะเคลื่อนไปตามวิถีใด ให้เราหันไปที่รูปที่ 15 ซึ่งแสดงวิถีโค้งของวัตถุที่โยนเป็นมุม α ไปยังขอบฟ้า ที่จุดสูงสุดของวิถีการเคลื่อนที่ของพาราโบลา ความเร็วของวัตถุจะพุ่งตรงไปในแนวนอน อย่างที่เราทราบกันดีอยู่แล้วว่า ณ จุดนี้ ร่างกายจะเคลื่อนไปตามกิ่งด้านขวาของพาราโบลา เห็นได้ชัดว่าวัตถุใด ๆ ที่ถูกโยนในแนวนอนจะเคลื่อนที่ไปตามกิ่งก้านของพาราโบลาด้วย

วิถีการเคลื่อนที่ของวัตถุที่โยนในแนวนอนหรือทำมุมกับขอบฟ้าสามารถศึกษาได้ด้วยภาพในการทดลองง่ายๆ ภาชนะบรรจุน้ำถูกวางไว้ที่ความสูงระดับหนึ่งเหนือโต๊ะและต่อด้วยท่อยางเข้ากับปลายที่มีก๊อก ละอองน้ำที่ปล่อยออกมาแสดงวิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาคน้ำโดยตรง ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะสังเกตวิถีที่ค่าต่างๆ ของมุมตกกระทบ α และความเร็ว v0.

เวลาของการเคลื่อนไหวของร่างกายที่โยนในแนวนอนจากความสูงเริ่มต้นที่กำหนดจะถูกกำหนดโดยเวลาที่จำเป็นสำหรับการตกของร่างกายอย่างอิสระจากความสูงเริ่มต้นนี้เท่านั้น ดังนั้น เช่น กระสุนที่ผู้ยิงยิงจากปืนในแนวราบจะตกถึงพื้นพร้อมกับกระสุนที่ตกโดยบังเอิญในขณะยิง (โดยมีเงื่อนไขว่าผู้ยิงทิ้งกระสุนจากตำแหน่งเดียวกัน ความสูงที่อยู่ในปืน ณ เวลายิง!..) แต่กระสุนที่หล่นจะตกที่เท้าของผู้ยิง และกระสุนที่ยิงจากกระบอกปืนจะตกจากเขาหลายร้อยเมตร

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างนี้ถูกเลือกด้วยเหตุผลที่ว่าปัญหาภายใต้การพิจารณานั้นค่อนข้างทั่วไป และช่วยให้สามารถใช้ตัวอย่างการแก้ปัญหาเพื่อทำความเข้าใจคุณสมบัติทั้งหมดของการเคลื่อนไหวของร่างกายภายใต้การกระทำของแรงโน้มถ่วงได้ดีขึ้น

สมมติฐานเบื้องต้นกำหนดเงื่อนไขในการแก้ปัญหา

ในการแก้ปัญหานี้เราจะใช้สมมติฐานเริ่มต้นเพียงสองข้อเท่านั้น:

1. เราจะละเลยการพึ่งพาค่าสัมบูรณ์ของเวกเตอร์การเร่งความเร็วการตกอย่างอิสระกับความสูงที่ร่างกายอยู่ในช่วงเวลาใด ๆ ของการเคลื่อนไหว (ดูรูปที่ 11 และคำอธิบายประกอบ)
2. เราจะละเลยความโค้งของพื้นผิวโลกเมื่อวิเคราะห์การเคลื่อนไหวของร่างกาย (ดูรูปที่ 11 และคำอธิบายประกอบ)

งาน:

ร่างกายถูกโยนจากจุดที่มีพิกัด x 0 , y 0 ที่มุม α 0 ไปยังขอบฟ้าด้วยความเร็ว v 0 (ดูรูปที่ 16) หา:

• ตำแหน่งและความเร็วของร่างกายหลังเวลา t;
• สมการเส้นทางการบิน
• ความเร่งปกติและวงสัมผัสและรัศมีความโค้งของวิถี ณ ขณะนั้น t;
• เวลาบินทั้งหมด
• ความสูงในการยกสูงสุด
• มุมที่ต้องโยนร่างกายเพื่อให้ความสูงของการเพิ่มขึ้นเท่ากับระยะการบิน (โดยมีเงื่อนไขว่า x 0 \u003d y 0 \u003d 0)

การตัดสินใจ

ให้แกนของระบบพิกัดสี่เหลี่ยม X และ Y ไปตามทิศทางของการกระจัดในแนวนอนและแนวตั้งของจุด เนื่องจากเวกเตอร์ความเร่งโน้มถ่วงไม่มีส่วนประกอบที่ขนานกับแกน X นั่นคือ สมการเวกเตอร์ของการเคลื่อนที่ของวัตถุจึงมีรูปแบบดังนี้

ในรูปแบบที่ชัดเจน การแสดงออกสำหรับการประมาณปริมาณเวกเตอร์ที่รวมอยู่ในสมการแรกบนแกนของระบบพิกัดมีรูปแบบที่กำหนดตำแหน่งของร่างกาย ณ เวลา t:

เนื่องจากเวกเตอร์แต่ละตัวสามารถแสดงเป็นผลรวมของเส้นโครงของมัน (ซึ่งก็คือเวกเตอร์ด้วย) บนแกนพิกัด สมการเวกเตอร์แต่ละสมการจึงสามารถแสดงเป็นสมการเวกเตอร์สองสมการได้ แต่สำหรับเส้นโครง หลังจากแสดงเส้นโครงของปริมาณเวกเตอร์ที่รวมอยู่ในสมการที่สองบนแกนของระบบพิกัดแล้ว เราจะพบส่วนประกอบของความเร็ว

และนิพจน์สำหรับความเร็วผลลัพธ์ (โดยใช้ทฤษฎีบทปีทาโกรัส) ค่าสัมผัสของมุมระหว่างทิศทางของความเร็วผลลัพธ์และแกน X มีค่าเท่ากัน นั่นคือ มันเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา สิ่งนี้สามารถเข้าใจได้เนื่องจากค่าความเร็วมีการตีความทางเรขาคณิตในรูปแบบของเส้นสัมผัสของความชันของเส้นสัมผัสกับการพึ่งพาของเวกเตอร์พิกัดหรือรัศมีตรงเวลา

การกำจัด t ออกจากสมการทั้งสองที่กำหนดตำแหน่งของร่างกาย ณ เวลา t เราได้สมการเส้นทางการบิน

ในการหาค่าแทนเจนต์และความเร่งปกติของร่างกาย ณ จุดที่มีพิกัด x, y เราสังเกตว่าความเร่งทั้งหมดของร่างกายนั้นมุ่งลงด้านล่างเสมอและแสดงเฉพาะความเร่งของแรงโน้มถ่วง (ไม่มีแรงและความเร่งอื่นใดตาม สภาพของปัญหา) . ความเร่งในแนวสัมผัสเท่ากับการฉายภาพของเวกเตอร์บนเส้นสัมผัสกับเส้นโคจร (เช่น −g sinγ ตามที่เห็นในรูปอธิบายสำหรับปัญหา) และความเร่งปกติของเส้นสัมผัสจะเท่ากับเส้นโครงของ −g cosγ (ดูรูปที่ 16)

แล้ว

ลองหาค่าโดยประมาณของรัศมีความโค้ง (R) ของวิถี ณ ขณะนั้น t สมมติว่าจุดเคลื่อนไปตามส่วนโค้งของวงกลม (นี่คือการประมาณที่ทำให้สูตรทางคณิตศาสตร์สุดท้ายของผลลัพธ์ง่ายขึ้น ซึ่งจริงๆ แล้วไม่ได้เกิดขึ้นและทำได้ดีที่สุดใกล้กับจุดที่ยกตัวสูงสุด) เราใช้สูตร

แล้ว

หากร่างกายถูกโยนลงมาจากจุดหนึ่งบนพื้นผิวโดยที่ และ y = 0 ปัญหาจะง่ายขึ้นมาก ลดลงด้วย (x สูงสุด − x 0) เราพบว่า

เวลาบินทั้งหมดสามารถกำหนดได้จากสูตร ที่ไหน

ความสูงในการยกที่มากที่สุดของร่างกายมาถึง ณ เวลา t เมื่อ v y = 0 เนื่องจากส่วนประกอบของเวกเตอร์ความเร็วตามแกน Y คือ ดังนั้น ณ จุดที่ร่างกายขึ้นสูงสุด ความเสมอภาค v y = 0 จึงเกิดขึ้น ซึ่งเราได้รับ

พิจารณาการเคลื่อนไหวของร่างกายที่โยนในแนวนอนและเคลื่อนที่ภายใต้แรงโน้มถ่วงเพียงอย่างเดียว (โดยไม่คำนึงถึงแรงต้านของอากาศ) ตัวอย่างเช่น ลองนึกภาพว่าลูกบอลที่วางอยู่บนโต๊ะได้รับแรงผลัก และมันกลิ้งไปที่ขอบโต๊ะและเริ่มตกลงมาอย่างอิสระโดยมีความเร็วเริ่มต้นพุ่งไปในแนวนอน (รูปที่ 174)

ลองฉายการเคลื่อนที่ของลูกบอลบนแกนตั้งและแกนนอน การเคลื่อนที่ของเส้นโครงของลูกบอลบนแกนเป็นการเคลื่อนที่โดยไม่มีความเร่งโดยมีความเร็ว ; การเคลื่อนที่ของเส้นโครงของลูกบอลบนแกนเป็นการตกอย่างอิสระโดยมีความเร่งเกินกว่าความเร็วเริ่มต้นภายใต้การกระทำของแรงโน้มถ่วง เรารู้กฎของการเคลื่อนที่ทั้งสอง ส่วนประกอบความเร็วคงที่และเท่ากับ ส่วนประกอบเติบโตตามสัดส่วนของเวลา: ความเร็วที่ได้หาได้ง่ายโดยใช้กฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังแสดงในรูป 175. มันจะเอนลงและความชันจะเพิ่มขึ้นตามเวลา

ข้าว. 174. การเคลื่อนที่ของลูกบอลที่กลิ้งออกจากโต๊ะ

ข้าว. 175. ลูกบอลที่โยนในแนวนอนด้วยความเร็วจะมีความเร็วในขณะนั้น

ค้นหาวิถีการเคลื่อนที่ของลำตัวในแนวนอน พิกัดของร่างกายในช่วงเวลานั้นมีความสำคัญ

ในการหาสมการวิถี เราแสดงจาก (112.1) เวลาผ่านไป และแทนพจน์นี้ใน (112.2) เป็นผลให้เราได้รับ

กราฟของฟังก์ชันนี้แสดงในรูปที่ 176. พิกัดของจุดโคจรกลายเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของ abscissas เรารู้ว่าเส้นโค้งดังกล่าวเรียกว่าพาราโบลา พาราโบลาแสดงกราฟของเส้นทางการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งอย่างสม่ำเสมอ (§ 22) ดังนั้นวัตถุที่ตกลงมาอย่างอิสระซึ่งมีความเร็วเริ่มต้นในแนวราบจะเคลื่อนที่ไปตามพาราโบลา

เส้นทางที่เดินทางในแนวตั้งไม่ขึ้นอยู่กับความเร็วเริ่มต้น แต่เส้นทางที่เดินทางในแนวราบนั้นแปรผันตามความเร็วเริ่มต้น ดังนั้น ด้วยความเร็วเริ่มต้นในแนวนอนที่มาก พาราโบลาที่วัตถุตกลงมาจะยาวขึ้นในทิศทางแนวนอน หากพ่นน้ำออกจากท่อในแนวนอน (รูปที่ 177) อนุภาคของน้ำแต่ละส่วนจะเคลื่อนที่ไปตามพาราโบลา เช่นเดียวกับลูกบอล ยิ่งเปิดก๊อกน้ำผ่านท่อมากเท่าไร ความเร็วเริ่มต้นของน้ำก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น และยิ่งห่างจากก๊อกน้ำไปที่ด้านล่างของคิวเวต การวางหน้าจอที่มีพาราโบลาที่วาดไว้ล่วงหน้าไว้ด้านหลังเจ็ต ทำให้เราสามารถตรวจสอบได้ว่าวอเตอร์เจ็ตมีรูปร่างเหมือนพาราโบลาจริงๆ

112.1. ความเร็วของวัตถุที่โยนในแนวราบด้วยความเร็ว 15 m/s หลังจากบิน 2 วินาทีจะเป็นเท่าใด ความเร็วจะพุ่งทำมุม 45° กับแนวราบในขณะใด ไม่สนใจแรงต้านของอากาศ

112.2. ลูกบอลกลิ้งลงมาจากโต๊ะสูง 1 ม. ตกลงมาที่ระยะ 2 ม. จากขอบโต๊ะ ความเร็วในแนวนอนของลูกบอลคืออะไร? ไม่สนใจแรงต้านของอากาศ

ร่างกายโยนในแนวนอน

ถ้าความเร็วไม่พุ่งไปในแนวดิ่ง การเคลื่อนที่ของวัตถุจะเป็นแนวโค้ง

พิจารณาการเคลื่อนไหวของร่างกายที่โยนในแนวนอนจากความสูง h ด้วยความเร็ว (รูปที่ 1) แรงต้านอากาศจะถูกละเลย เพื่ออธิบายการเคลื่อนไหว จำเป็นต้องเลือกแกนพิกัดสองแกน - Ox และ Oy ที่มาของพิกัดเข้ากันได้กับตำแหน่งเริ่มต้นของร่างกาย รูปที่ 1 แสดงให้เห็นว่า

จากนั้นสมการจะอธิบายการเคลื่อนไหวของร่างกาย:

การวิเคราะห์สูตรเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าในทิศทางแนวนอน ความเร็วของร่างกายยังคงไม่เปลี่ยนแปลง นั่นคือ ร่างกายเคลื่อนไหวอย่างสม่ำเสมอ ในแนวดิ่ง วัตถุจะเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอด้วยความเร่ง เช่น ในลักษณะเดียวกับวัตถุที่ตกลงมาอย่างอิสระโดยไม่มีความเร็วต้น มาหาสมการวิถีกัน ในการทำเช่นนี้ จากสมการ (1) เราหาเวลาและแทนค่าในสูตร (2) เราได้

นี่คือสมการของพาราโบลา ดังนั้นร่างกายที่โยนในแนวนอนจะเคลื่อนที่ไปตามพาราโบลา ความเร็วของวัตถุ ณ ช่วงเวลาใด ๆ จะพุ่งตรงไปยังพาราโบลาในแนวสัมผัส (ดูรูปที่ 1) โมดูลัสของความเร็วสามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

เมื่อทราบความสูง h ที่ร่างกายถูกโยนคุณจะพบเวลาที่ร่างกายจะตกลงสู่พื้น ในขณะนี้ พิกัด y เท่ากับความสูง: จากสมการ (2) เราพบ

ถ้าความเร็ว \(~\vec \upsilon_0\) ไม่ได้กำหนดทิศทางในแนวตั้ง การเคลื่อนที่ของวัตถุจะเป็นแนวโค้ง

พิจารณาการเคลื่อนไหวของร่างกายที่โยนในแนวนอนจากที่สูง ชม.ด้วยความเร็ว \(~\vec \upsilon_0\) (รูปที่ 1) แรงต้านอากาศจะถูกละเลย ในการอธิบายการเคลื่อนไหวจำเป็นต้องเลือกแกนพิกัดสองแกน - วัวและ โอ๊ย. ที่มาของพิกัดเข้ากันได้กับตำแหน่งเริ่มต้นของร่างกาย รูปที่ 1 แสดงให้เห็นว่า υ 0x= υ 0 , υ 0y=0, ช x=0 ช y= ช.

จากนั้นสมการจะอธิบายการเคลื่อนไหวของร่างกาย:

\(~\upsilon_x = \upsilon_0,\ x = \upsilon_0 t; \qquad (1)\) \(~\upsilon_y = gt,\ y = \frac(gt^2)(2). \qquad (2) \)

การวิเคราะห์สูตรเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าในทิศทางแนวนอน ความเร็วของร่างกายยังคงไม่เปลี่ยนแปลง นั่นคือ ร่างกายเคลื่อนไหวอย่างสม่ำเสมอ ในแนวดิ่ง วัตถุจะเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอด้วยความเร่ง \(~\vec g\) เช่น ในลักษณะเดียวกับวัตถุที่ตกลงมาอย่างอิสระโดยไม่มีความเร็วต้น มาหาสมการวิถีกัน ในการทำเช่นนี้ จากสมการ (1) เราพบเวลา \(~t = \frac(x)(\upsilon_0)\) และแทนค่าลงในสูตร (2) เราจะได้\[~y = \frac( g)(2 \ อัพไซลอน^2_0) x^2\] .

นี่คือสมการของพาราโบลา ดังนั้นร่างกายที่โยนในแนวนอนจะเคลื่อนที่ไปตามพาราโบลา ความเร็วของวัตถุ ณ ช่วงเวลาใด ๆ จะพุ่งตรงไปยังพาราโบลาในแนวสัมผัส (ดูรูปที่ 1) โมดูลัสของความเร็วสามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

\(~\upsilon = \sqrt(\upsilon^2_x + \upsilon^2_y) = \sqrt(\upsilon^2_0 + (gt)^2).\)

รู้ความสูง ชม.ซึ่งร่างกายถูกโยนคุณสามารถหาเวลาได้ ที 1 โดยร่างกายจะล้มลงกับพื้น. ณ จุดนี้ พิกัด ยเท่ากับความสูง: ย 1 = ชม.. จากสมการ (2) เราพบ \[~h = \frac(gt^2_1)(2)\] จากที่นี่

\(~t_1 = \sqrt(\frac(2h)(g)).\qquad(3)\)

สูตร (3) กำหนดเวลาการบินของร่างกาย ในช่วงเวลานี้ร่างกายจะครอบคลุมระยะทางในแนวนอน ลซึ่งเรียกว่าช่วงการบินและสามารถพบได้ตามสูตร (1) โดยกำหนดว่า ล 1 = x. ดังนั้น \(~l = \upsilon_0 \sqrt(\frac(2h)(g))\) คือระยะการบินของลำตัว โมดูลัสของความเร็วของร่างกายในขณะนี้คือ \(~\upsilon_1 = \sqrt(\upsilon^2_0 + 2gh)\)

วรรณกรรม

Aksenovich L. A. ฟิสิกส์ในโรงเรียนมัธยม: ทฤษฎี งาน การทดสอบ: Proc ค่าเผื่อสำหรับสถาบันที่ให้บริการทั่วไป สภาพแวดล้อม, การศึกษา / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; เอ็ด เค. เอส. ฟาริโน. - Mn.: Adukatsy i vykhavanne, 2004. - S. 15-16.

ทฤษฎี

หากร่างกายถูกโยนเป็นมุมไปยังขอบฟ้า แรงโน้มถ่วงและแรงต้านอากาศจะได้รับผลกระทบจากการบิน หากไม่สนใจแรงต้านทาน แรงเดียวที่เหลืออยู่คือแรงโน้มถ่วง ดังนั้น เนื่องจากกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน ร่างกายจึงเคลื่อนที่ด้วยความเร่งเท่ากับความเร่งของการตกอย่างอิสระ เส้นโครงความเร่งบนแกนพิกัดคือ ก x = 0, และที่= -ก.

การเคลื่อนที่ที่ซับซ้อนใดๆ ของจุดวัสดุสามารถแสดงเป็นการเคลื่อนที่อิสระตามแกนพิกัด และในทิศทางของแกนต่างๆ ประเภทของการเคลื่อนที่อาจแตกต่างกัน ในกรณีของเรา การเคลื่อนที่ของวัตถุที่บินได้สามารถแสดงเป็นการวางซ้อนของการเคลื่อนที่อิสระสองแบบ: การเคลื่อนที่แบบสม่ำเสมอตามแนวแกนนอน (แกน X) และการเคลื่อนที่แบบเร่งความเร็วอย่างสม่ำเสมอตามแนวแกนแนวตั้ง (แกน Y) (รูปที่ 1) .

การคาดคะเนความเร็วของร่างกายจึงเปลี่ยนไปตามเวลาดังนี้

,

ความเร็วเริ่มต้นอยู่ที่ไหน α คือมุมการขว้าง

พิกัดของร่างกายจึงเปลี่ยนไปดังนี้

เมื่อเราเลือกที่มาของพิกัด พิกัดเริ่มต้น (รูปที่ 1) จากนั้น

ค่าที่สองของเวลาที่ความสูงเท่ากับศูนย์เท่ากับศูนย์ซึ่งสอดคล้องกับช่วงเวลาของการขว้างปา เช่น ค่านี้ยังมีความหมายทางกายภาพ

ระยะการบินหาได้จากสูตรแรก (1) ช่วงการบินคือค่าของพิกัด เอ็กซ์ในตอนท้ายของเที่ยวบินนั่นคือ ณ เวลาหนึ่งเท่ากับ เสื้อ0. แทนค่า (2) ลงในสูตรแรก (1) เราได้รับ:

.

(3)

จากสูตรนี้ จะเห็นได้ว่าระยะการบินสูงสุดทำได้ที่มุมการขว้าง 45 องศา

ความสูงในการยกสูงสุดของตัวโยนสามารถหาได้จากสูตรที่สอง (1) ในการทำเช่นนี้คุณต้องแทนที่ค่าของเวลาเท่ากับครึ่งหนึ่งของเวลาบิน (2) ในสูตรนี้เพราะ อยู่ที่จุดกึ่งกลางของเส้นทางโคจรที่ความสูงของเที่ยวบินสูงสุด เราได้รับการคำนวณ