สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด: ทฤษฎีและตัวอย่างการแก้ปัญหา สูตรความน่าจะเป็นรวมและสูตรเบส์
ให้พิจารณากลุ่มของเหตุการณ์ทั้งหมด (จับคู่ที่เข้ากันไม่ได้ซึ่งเรียกว่าสมมติฐาน) และหากเหตุการณ์สามารถเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อหนึ่งในสมมติฐานเหล่านี้ปรากฏขึ้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะคำนวณโดย สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด:
,
ความน่าจะเป็นของสมมติฐานอยู่ที่ไหน 
.
คือความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขของเหตุการณ์ภายใต้สมมติฐานนี้ ถ้าก่อนการทดลองมีความน่าจะเป็นของสมมติฐาน สูตรเบย์:
.
สูตร Bayes ทำให้สามารถประเมินค่าความน่าจะเป็นของสมมติฐานให้สูงเกินจริง โดยคำนึงถึงผลการทดลองที่ทราบอยู่แล้ว
ตัวอย่างที่ 1
มีสามโกศที่เหมือนกัน ในลูกบอลสีขาวและสีดำลูกแรก ในวินาที - ขาวและดำ ในลูกที่สามสีขาวเท่านั้น มีคนเข้ามาใกล้หนึ่งในโกศและดึงลูกบอลออกมา จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลนี้เป็นสีขาว
วิธีการแก้.
ให้เหตุการณ์เป็นลักษณะของลูกบอลสีขาว เรากำหนดสมมติฐาน: – ทางเลือกของโกศแรก;
– ทางเลือกของโกศที่สอง
– ทางเลือกของโกศที่สาม
,
, 
, 
;
ตามสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด
ตัวอย่างที่ 2
มีสองโกศ: ในอันแรกมีลูกบอลสีขาวและสีดำในอันที่สอง - สีดำ ลูกบอลหนึ่งลูกถูกย้ายจากโกศแรกไปยังโกศที่สอง ลูกบอลถูกสับแล้วจากนั้นลูกบอลหนึ่งลูกจะถูกย้ายจากโกศที่สองไปยังโกศแรก หลังจากนั้นจะมีการสุ่มลูกบอลหนึ่งลูกจากโกศแรก จงหาความน่าจะเป็นที่เขาเป็นสีขาว
วิธีการแก้.
สมมติฐาน: - องค์ประกอบของลูกบอลในโกศแรกไม่มีการเปลี่ยนแปลง
– ในโกศแรกลูกบอลสีดำหนึ่งลูกจะถูกแทนที่ด้วยสีขาว
– ในโกศแรก ลูกบอลสีขาวหนึ่งลูกจะถูกแทนที่ด้วยสีดำ
; 
ผลลัพธ์ที่ได้บอกว่าความน่าจะเป็นในการวาดลูกบอลสีขาวไม่เปลี่ยนแปลงหากสัดส่วนของลูกบอลสีขาวและลูกบอลสีดำในโกศทั้งสองเท่ากัน 
.
ตอบ: 
.
ตัวอย่างที่ 3
อุปกรณ์ประกอบด้วยสองโหนด การทำงานของแต่ละโหนดมีความจำเป็นอย่างยิ่งสำหรับการทำงานของอุปกรณ์โดยรวม ความน่าเชื่อถือ (ความน่าจะเป็นของการทำงานที่ปราศจากความล้มเหลวในช่วงเวลา ) ของโหนดแรกเท่ากับ โหนดที่สอง อุปกรณ์ได้รับการทดสอบตามระยะเวลาซึ่งพบว่าอุปกรณ์ขัดข้อง (ล้มเหลว) ค้นหาความน่าจะเป็นที่โหนดแรกเท่านั้นที่ล้มเหลว และโหนดที่สองทำงานได้
วิธีการแก้.
ก่อนการทดลอง เป็นไปได้สี่สมมติฐาน:
- ทั้งสองโหนดกำลังทำงาน
- โหนดแรกล้มเหลว โหนดที่สองสามารถให้บริการได้
- อันแรกใช้งานได้อันที่สองปฏิเสธ
- ทั้งสองโหนดล้มเหลว
ความน่าจะเป็นของสมมติฐาน:
มีการสังเกตเหตุการณ์ - อุปกรณ์ล้มเหลว:
ตามสูตรของเบส์:
การทำซ้ำของการทดลอง
หากทำการทดลองอิสระภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน และในแต่ละเหตุการณ์นั้นมีความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นั้นจะเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียวในการทดลองเหล่านี้จะแสดงด้วยสูตร:
,
ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งครั้งในการทดลองอิสระภายใต้เงื่อนไขเดียวกันเท่ากับ:
.
ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น a) น้อยกว่าหนึ่งครั้ง; b) มากกว่าหนึ่งครั้ง; c) อย่างน้อยหนึ่งครั้ง d) เราพบไม่เกินหนึ่งครั้งตามลำดับ แต่สูตร:
ทฤษฎีบทการทำซ้ำทั่วไป
หากทำการทดลองอิสระภายใต้เงื่อนไขที่แตกต่างกัน และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในการทดสอบครั้งที่ - คือ ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นั้นจะปรากฏในการทดลองเพียงครั้งเดียวจะเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ในการขยายกำลังของฟังก์ชันการสร้าง
, ที่ไหน .
ตัวอย่างที่ 1
อุปกรณ์ประกอบด้วย 10 โหนด ความน่าเชื่อถือ (ความน่าจะเป็นของการทำงานที่ปราศจากข้อผิดพลาดเมื่อเวลาผ่านไป) สำหรับแต่ละโหนด . โหนดล้มเหลวโดยอิสระจากกัน ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในเวลา :
ก) อย่างน้อยหนึ่งโหนดจะล้มเหลว
b) หนึ่งโหนดจะล้มเหลว
c) สองโหนดจะล้มเหลว
d) อย่างน้อยสองโหนดจะล้มเหลว
วิธีการแก้.
ตัวอย่างที่ 2
โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 30 ลูกและสีดำ 15 ลูก นำลูกบอลออกมา 5 ลูกติดต่อกัน และแต่ละลูกที่ดึงออกมาจะถูกส่งกลับไปที่โกศก่อนที่จะนำลูกถัดไปออกมาและลูกบอลในโกศจะผสมกัน ความน่าจะเป็นที่ลูกบอล 3 ใน 5 ลูกที่จับออกมาเป็นสีขาวเป็นเท่าใด
วิธีการแก้.
ความน่าจะเป็นในการจับลูกบอลสีขาว ถือได้ว่าเท่ากันในการทดลองทั้ง 5 ครั้ง จากนั้นความน่าจะเป็นที่จะไม่ได้ลูกบอลสีขาว เมื่อใช้สูตร Bernoulli เราจะได้รับ:
ตัวอย่างที่ 3
เหรียญถูกโยนแปดครั้ง ความน่าจะเป็นที่มันจะคว่ำหกครั้งเป็นเท่าไหร่?
วิธีการแก้.
เรามีรูปแบบการทดสอบเบอร์นูลลี ความน่าจะเป็นของ Ge ที่ปรากฏในการทดลองหนึ่งครั้ง 
, แล้ว
คำตอบ: 0.107
ตัวอย่างที่ 4
มีการยิงสี่นัดโดยอิสระ และ - ความน่าจะเป็นที่จะชนเป้าหมายคือค่าเฉลี่ยของความน่าจะเป็น
ค้นหาความน่าจะเป็น: 
.
วิธีการแก้.
ตามสูตรเบอร์นูลลี เราก็มี
ตัวอย่างที่ 5
มีห้าสถานีที่มีการบำรุงรักษาการสื่อสาร ในบางครั้ง การสื่อสารถูกขัดจังหวะเนื่องจากการรบกวนบรรยากาศ เนื่องจากความห่างไกลของสถานีแต่ละสถานี การหยุดสื่อสารกับแต่ละสถานีจึงเกิดขึ้นโดยไม่ขึ้นกับสถานีอื่นโดยมีความน่าจะเป็น 0.2 ค้นหาความน่าจะเป็นที่การสื่อสารจะคงอยู่กับสถานีได้สูงสุด 2 สถานีในเวลาที่กำหนด
วิธีการแก้.
เหตุการณ์ - มีการเชื่อมต่อไม่เกินสองสถานี
คำตอบ: 0.72
ตัวอย่างที่ 6
ระบบของสถานีเรดาร์ตรวจสอบกลุ่มของวัตถุซึ่งประกอบด้วยสิบหน่วย วัตถุแต่ละชิ้นสามารถสูญหายได้ (โดยไม่คำนึงถึงวัตถุอื่นๆ) ด้วยความน่าจะเป็น 0.1 ค้นหาความน่าจะเป็นที่วัตถุอย่างน้อยหนึ่งชิ้นจะสูญหาย
วิธีการแก้.
ความน่าจะเป็นที่จะสูญเสียวัตถุอย่างน้อยหนึ่งชิ้นสามารถหาได้จากสูตร:
แต่มันง่ายกว่าที่จะใช้ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้าม - ไม่มีวัตถุใดหายไป - และลบออกจากสิ่งหนึ่ง
คำตอบ: 0.65
งานต่าง ๆ สำหรับงานควบคุมหมายเลข 5
ตัวเลือกที่ 1
1. โยนลูกเต๋าสองลูก จงหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมของแต้มที่รีดได้คือ 7
2. ปล่อยให้เป็นสามเหตุการณ์โดยพลการ เขียนนิพจน์สำหรับเหตุการณ์ซึ่งจากสามเหตุการณ์นี้ มีเหตุการณ์เกิดขึ้นอย่างน้อยสองเหตุการณ์
3. โยนเหรียญ 5 ครั้ง ค้นหาความน่าจะเป็นที่ "เสื้อคลุมแขน" จะปรากฏขึ้น: a) อย่างน้อยสองครั้ง b) อย่างน้อยสองครั้ง
4. มี 2 โกศที่เหมือนกัน โกศแรกมีลูกบอลสีขาว 3 ลูกและสีดำ 5 ลูก โกศที่สองมีลูกบอลสีขาว 3 ลูกและสีดำ 7 ลูก ลูกบอลจะถูกดึงออกมาจากโกศที่เลือกแบบสุ่ม กำหนดความน่าจะเป็นที่ลูกบอล
สีดำ.
5. การแข่งขันฟุตบอลชิงแชมป์แห่งชาติ 18 ทีม ทุก 2 ทีมพบกันในสนามฟุตบอล 2 ครั้ง มีการแข่งขันกี่นัดในฤดูกาล?
ตัวเลือก 2
1. เมื่อกดหมายเลขโทรศัพท์ ผู้ใช้บริการลืมตัวเลข 3 หลักสุดท้าย และจำได้เพียงว่าหมายเลขเหล่านี้แตกต่างกัน เขาจึงโทรออกแบบสุ่ม ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะหมุนหมายเลขที่ถูกต้อง
2. จริงหรือไม่ 
.
3. หาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นอย่างน้อย 2 ครั้งในการทดลองอิสระ 4 ครั้ง ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เกิดขึ้นในการทดลองหนึ่งครั้งคือ 0.6
4. โรงงาน 3 แห่งเป็นผู้จัดหาเครื่องใช้ไฟฟ้าให้กับร้าน ครั้งแรกให้ 50%, ที่สอง - 20%, ที่สาม - 30% ของผลิตภัณฑ์ทั้งหมด ความน่าจะเป็นในการผลิตอุปกรณ์ที่มีคุณภาพสูงสุดในแต่ละโรงงานตามลำดับคือ: กำหนดความน่าจะเป็นที่อุปกรณ์ที่ซื้อในร้านค้าจะมีคุณภาพสูงสุด
5. ตัวอักษรรหัสมอร์สประกอบด้วยจุดและ
เส้นประ 5. สร้างตัวอักษรได้กี่ตัว
ตัวอักษร?
ตัวเลือก 3
1. มีลูกบอล 10 ลูกในกล่องที่มีหมายเลขตั้งแต่ 1 ถึง 10 นำลูกบอลออกมาหนึ่งลูก ความน่าจะเป็นที่จำนวนของลูกบอลที่จับได้ไม่เกิน 10 คือเท่าใด
2. ความเท่าเทียมกันมีจริงหรือไม่ 
?
3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งครั้งในการทดลองสามครั้งคือ 0.936 ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองหนึ่งครั้ง
4. มีสามโกศที่เหมือนกัน โกศแรกมีลูกบอลสีขาว 5 ลูกและสีดำ 5 ลูก โกศที่สองมีลูกบอลสีขาว 3 ลูกและสีดำ 2 ลูก และโกศลูกที่สามมีลูกบอลสีขาว 7 ลูกและสีดำ 3 ลูก ลูกบอลจะถูกดึงออกมาจากโกศที่เลือกแบบสุ่ม กำหนดความน่าจะเป็นที่ลูกบอลเป็นสีขาว
5. 12 คนสามารถนั่งที่โต๊ะที่มีช้อนส้อม 12 อันได้กี่วิธี
ตัวเลือก 4
1. ผู้ชาย 6 คนและผู้หญิง 4 คนทำงานในเวิร์กช็อป 7 คนถูกสุ่มเลือกตามจำนวนบุคลากร จงหาความน่าจะเป็นที่จะมีผู้หญิง 3 คนในบรรดาผู้ที่ถูกเลือก
2. พิสูจน์ว่า 
.
3. ปล่อยให้ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนสุ่มไม่ได้มาตรฐานเป็น 0.1 จงหาความน่าจะเป็นที่ใน 5 ส่วนที่ทำการสุ่ม จะมีส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานไม่เกิน 2 ชิ้น
4. มีสามโกศที่เหมือนกัน โกศแรกมีลูกบอลสีขาว 3 ลูกและสีดำ 3 ลูก โกศที่สองมีลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีดำ 6 ลูก และโกศลูกที่สามมีลูกบอลสีขาว 5 ลูกและสีดำ 2 ลูก ลูกบอลจะถูกดึงออกมาจากโกศที่เลือกแบบสุ่ม กำหนดความน่าจะเป็นที่ลูกบอลเป็นสีดำ
5. ต้องทำตารางเวลารถไฟออกสำหรับวันต่างๆ ของสัปดาห์ ในเวลาเดียวกันจำเป็นต้องมี: 2 ขบวนต่อวันออกเป็นเวลา 3 วัน 1 ขบวนต่อวันเป็นเวลา 2 วัน 3 ขบวนต่อวันเป็นเวลา 2 วัน กำหนดการต่างๆ ได้กี่แบบ?
ตัวเลือก 5
1. ลูกบาศก์ที่ทาสีทุกด้านถูกตัดเป็น 64 ลูกบาศก์ที่มีขนาดเท่ากันซึ่งผสมแล้ว ค้นหาความน่าจะเป็นที่ลูกบาศก์ที่สุ่มออกมาจะมีหน้าสองสี
2. พิสูจน์ว่า 
.
3. ให้ความน่าจะเป็นที่ทีวีจะต้องได้รับการซ่อมแซมในช่วงระยะเวลาการรับประกันคือ 0.2 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในช่วงระยะเวลาการรับประกันจากทีวี 6 เครื่อง: a) ไม่เกิน 1 เครื่องจะต้องได้รับการซ่อมแซม b) อย่างน้อย 1 เครื่องจะไม่ต้องซ่อมแซม
4. ชิ้นส่วนประเภทเดียวกันผลิตขึ้นในสายการผลิตอัตโนมัติสามสาย เนื่องจากความผิดปกติของเครื่องจักรจึงเป็นไปได้ที่จะผลิตผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่อง: บรรทัดแรกที่มีความน่าจะเป็น 0.02; ที่สอง - ด้วยความน่าจะเป็น 0.01; ที่สาม - ด้วยความน่าจะเป็น 0.05 บรรทัดแรกให้ 70% บรรทัดที่สอง - 20% บรรทัดที่สาม - 10% ของผลิตภัณฑ์ทั้งหมด กำหนดความน่าจะเป็นของการแต่งงาน
5. ในโกศลูกบอลสีขาวและสีดำ คุณสามารถเลือกลูกโกศได้กี่วิธีซึ่งจะมีชิ้นส่วนสีขาว (ลูกบอลของแต่ละสีมีหมายเลขกำกับ)
ตัวเลือก 6
1. ในโกศมีลูกบอล 12 ลูก: สีขาว 3 ลูก สีดำ 4 ลูก และสีแดง 5 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะดึงลูกบอลสีแดงออกจากโกศเป็นเท่าไหร่?
2. พิสูจน์ว่า
3. ความน่าจะเป็นที่จะชนะในตั๋วลอตเตอรีคือ ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะชนะอย่างน้อย 2 ใบจาก 6 ใบ
4. ในสองกล่องมีชิ้นส่วนประเภทเดียวกัน: ในกล่องแรก 8 ซ่อมได้และ 2 ชำรุด ในกล่องที่สอง 6 ซ่อมได้และ 4 ชำรุด สุ่มรับไอเท็มสองชิ้นจากกล่องแรก และหนึ่งไอเท็มจากกล่องที่สอง ชิ้นส่วนที่ผสมแล้วถูกวางไว้ในกล่องที่สามโดยสุ่มเอาชิ้นส่วนหนึ่งมา กำหนดความน่าจะเป็นที่รายการนี้ถูกต้อง
5. ไพ่โพดำ 2 ใบสามารถเลือกจากสำรับไพ่ 36 ใบได้กี่วิธี?
ตัวเลือก 7
1. ในโกศมีลูกบอล 15 ลูกโดยมีหมายเลขตั้งแต่ 1 ถึง 15 ความน่าจะเป็นที่จะวาดลูกบอลด้วยหมายเลข 18 เป็นเท่าใด
2. พิสูจน์ว่า
3. ความน่าจะเป็นในการยิงแต่ละครั้งคือ 0.4 ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะทำลายวัตถุนั้น หากต้องมีการยิงอย่างน้อย 3 ครั้ง และยิง 15 นัด
4. โกศที่เหมือนกัน 2 อันประกอบด้วยลูกบอลสีขาวและสีดำ ลูกบอลหนึ่งลูกถูกถ่ายโอนจากโกศแรกไปยังโกศที่สอง ในโกศที่สอง ลูกบอลจะถูกผสมและลูกบอลหนึ่งลูกจะถูกย้ายไปยังโกศแรก จากนั้นดึงลูกบอลหนึ่งลูกจากโกศแรก จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลเป็นสีขาว
5. เลือกตัวเลขสองตัวติดต่อกันจากชุดโดยไม่มีการเปลี่ยน มีกี่ชุดที่จำนวนที่สองมากกว่าชุดแรก?
ตัวเลือก 8
1. มีวงกลมอยู่ภายในวงรี ค้นหาความน่าจะเป็นของจุดที่ตกลงไปในวงแหวนซึ่งล้อมรอบด้วยวงรีและวงกลม
2. ปล่อยให้เป็นสามเหตุการณ์โดยพลการ ค้นหานิพจน์สำหรับเหตุการณ์ที่: a) เหตุการณ์ และเกิดขึ้น แต่เหตุการณ์ไม่เกิดขึ้น; b) มี 2 เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพอดี
3. จงหาความน่าจะเป็นที่ในครอบครัวที่มีลูก 6 คนเป็นอย่างน้อย
2 สาว (ความน่าจะเป็นของการมีเด็กผู้ชายและเด็กผู้หญิงถือว่าเท่ากัน)
4. มีสองโกศ โกศแรกมีลูกบอลสีขาว 3 ลูกและสีดำ 5 ลูก โกศที่สองมีลูกบอลสีขาว 4 ลูกและสีดำ 6 ลูก ลูกบอลสองลูกถูกถ่ายโอนจากโกศแรกไปยังโกศที่สองโดยไม่ต้องมอง ลูกบอลในโกศที่สองผสมกันอย่างทั่วถึงและนำลูกบอลหนึ่งลูกออกมา หาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลจะ
สีขาว.
5. จุดยอดของสามเหลี่ยมที่กำหนดสามารถระบุโดยใช้ตัวอักษรได้กี่วิธี 
?
ตัวเลือก 9
1. จากตัวอักษรห้าตัวของตัวอักษรแยก คำว่า "หนังสือ" ประกอบด้วย เด็กที่อ่านไม่ออกก็โปรยจดหมายเหล่านี้แล้วนำมารวมกันแบบสุ่ม ค้นหาความน่าจะเป็นที่เขาได้รับคำว่า "หนังสือ" อีกครั้ง
2. ค้นหาเหตุการณ์ทั้งหมดเช่นนั้น 
ที่ไหนและบางเหตุการณ์
3. จากลอตเตอรี่ 15 ใบ ถูกรางวัล 4 ใบ ความน่าจะเป็นที่สลากที่สุ่มเลือกจาก 6 ใบจะถูกรางวัล 2 ใบเป็นเท่าใด
4. มีสามโกศที่เหมือนกัน โกศแรกมีลูกบอลสีขาว 4 ลูกและสีดำ 2 ลูก โกศที่สองมีลูกบอลสีขาว 3 ลูกและสีดำ 3 ลูก และโกศลูกที่สามมีลูกบอลสีขาว 1 ลูกและสีดำ 5 ลูก จากโกศที่สองและสามโดยไม่ได้มอง ลูกบอลสองลูกจะถูกถ่ายโอนไปยังโกศแรก ลูกบอลในโกศแรกจะถูกสับและสุ่มจับลูกบอลสองลูก จงหาความน่าจะเป็นที่จะเป็นสีขาว
5. ผู้เล่นหมากรุกจากห้าคน ต้องส่งสองคนเข้าร่วมการแข่งขัน สามารถทำได้กี่วิธี?
ตัวเลือก 10
1. จากสำรับไพ่ 52 ใบ สุ่มจับไพ่สามใบ ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะเป็นสาม เจ็ด และเอซ
2. สองบล็อกที่ซ้ำกันและได้รับ บันทึกเหตุการณ์ที่ระบบมีสุขภาพดี
3. เพื่อส่งสัญญาณอุบัติเหตุ มีการติดตั้งอุปกรณ์ส่งสัญญาณที่ทำงานแยกกันสองตัว ความน่าจะเป็นที่อุปกรณ์ส่งสัญญาณจะทำงานในกรณีที่เกิดอุบัติเหตุคือ 0.95 สำหรับอันแรกและ 0.9 สำหรับอันที่สอง ค้นหาความน่าจะเป็นที่อุปกรณ์ส่งสัญญาณเพียงตัวเดียวจะทำงานในกรณีที่เกิดอุบัติเหตุ
4. ในสายการผลิตอัตโนมัติสามสาย จะมีการผลิตชิ้นส่วนที่มีชื่อเดียวกัน บรรทัดแรกให้ 70% บรรทัดที่สอง - 20% บรรทัดที่สาม - 10% ของผลิตภัณฑ์ทั้งหมด ความน่าจะเป็นที่จะได้รับสินค้าที่มีข้อบกพร่องในแต่ละบรรทัดตามลำดับคือ: 0.02; 0.01; 0.05 ส่วนโชคดีกลายเป็นข้อบกพร่อง กำหนดความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนถูกสร้างขึ้นในบรรทัดแรก
5. เลือก 10 คะแนนบนวงกลม สามารถวาดคอร์ดโดยมีจุดสิ้นสุดที่จุดเหล่านี้ได้กี่คอร์ด
ตัวเลือก 11
1. ในโกศที่มีลูกบอลสีขาว สีดำ และสีแดง สุ่มจับลูกบอลสามลูก ความน่าจะเป็นที่พวกเขาจะมีสีต่างกันคืออะไร
2. ความเท่าเทียมกันมีจริงหรือไม่ 
?
3.ฝ่ายควบคุมด้านเทคนิคตรวจสอบสินค้าให้ได้มาตรฐาน ความน่าจะเป็นที่รายการจะเป็นมาตรฐานคือ 0.9 ค้นหาความน่าจะเป็นที่มีเพียงหนึ่งในสองผลิตภัณฑ์ที่ทดสอบเท่านั้นที่เป็นมาตรฐาน
4. นักกีฬาสามคนยิงแยกกันที่เป้าหมาย แต่ละคนยิงหนึ่งนัด ความน่าจะเป็นที่จะเข้าเป้าสำหรับผู้ยิงคนแรกคือ 0.4 สำหรับวินาที - 0.6 และสำหรับมือที่สาม - 0.7 หลังจากยิงไปที่เป้าหมาย พบว่ามีการยิงสองครั้ง กำหนดความน่าจะเป็นที่จะเป็นของลูกศรที่หนึ่งและสาม
5. ลูกบอลสีแดง 5 ลูก สีดำ 4 ลูก และสีขาว 5 ลูกใน 1 แถวสามารถจัดได้กี่วิธีเพื่อให้ลูกบอลที่วางอยู่บนขอบมีสีเดียวกัน?
ตัวเลือก 12
1. มีผู้เข้าประชุม 25 คน เป็นสตรี 5 คน เลือกคณะละ 3 คน พิจารณาว่าแต่ละรายการที่มีความน่าจะเป็นเท่ากันสามารถเลือกได้ จงหาความน่าจะเป็นที่คณะผู้แทนจะมีผู้หญิง 2 คนและผู้ชาย 1 คน
3. ค้นหาความน่าจะเป็นที่ได้รับจากความน่าจะเป็น 
, 
.
4. รหัส 1111 ที่มีความน่าจะเป็น 0.2 รหัส 0000 ที่มีความน่าจะเป็น 0.3 และรหัส 1001 ที่มีความน่าจะเป็น 0.5 สามารถส่งผ่านช่องทางการสื่อสารได้ เนื่องจากอิทธิพลของการรบกวน ความน่าจะเป็นของการรับสัญญาณที่ถูกต้องของแต่ละหลัก (0 หรือ 1) ของรหัสคือ 0.9 และตัวเลขจะบิดเบี้ยวโดยอิสระจากกัน ค้นหาความน่าจะเป็นที่รหัส 1111 จะถูกส่งหากได้รับรหัส 1011 ที่อุปกรณ์รับ
5. คนเดินถนนสามารถเลือกเส้นทางได้กี่เส้นทาง ถ้าเขาตัดสินใจเดิน 9 ช่วงตึก 5 ช่วงทางไปทางทิศตะวันตก และ 4 ทางไปทางทิศเหนือ
ตัวเลือก 13
1. กลุ่มชาย 10 คน และหญิง 10 คน สุ่มแบ่งเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน จงหาความน่าจะเป็นที่ผู้ชายและผู้หญิงในแต่ละส่วนเท่ากัน
2. และเป็นเหตุการณ์บางอย่าง. ความเท่าเทียมมีจริงหรือ 
?
3. ค้นหาความน่าจะเป็นที่กำหนดความน่าจะเป็น , , 
.
4. สามารถส่งรหัส 1234 ด้วยความน่าจะเป็น 0.6 และรหัส 4321 ด้วยความน่าจะเป็น 0.4 ผ่านสายสื่อสาร รหัสจะแสดงบนกระดานคะแนน ซึ่งสามารถบิดเบือนตัวเลขได้ ความน่าจะเป็นที่จะได้ 1 ต่อ 1 คือ 0.8 และ 1 ต่อ 4 คือ 0.2 ความน่าจะเป็นที่จะได้ 4 ต่อ 4 คือ 0.9 และ 4 ต่อ 1 คือ 0.1 ความน่าจะเป็นที่จะได้ 2 ต่อ 2 และ 3 ต่อ 3 คือ 0.7 ความน่าจะเป็นที่จะได้ 2 ต่อ 3 และ 3 ต่อ 2 คือ 0.3 โอเปอเรเตอร์ยอมรับรหัส 4231 กำหนดความน่าจะเป็นที่ได้รับรหัส:
ก) 1234; ข) 4321.
5. ระหว่างบุคคลสามคน - จำเป็นต้องแบ่งวัตถุต่างๆ 15 ชิ้นและเขาต้องได้รับ 2 ชิ้น - 3 และ - 10 การกระจายนี้ทำได้กี่วิธี
ตัวเลือก 14
1.มีสินค้าชำรุด 4 ชิ้น ชุดละ 10 ชิ้น สุ่มเลือก
5 ผลิตภัณฑ์ จงหาความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์ทั้ง 5 รายการจะมีข้อบกพร่อง 3 รายการ
2. พิสูจน์ว่า , , สร้างกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์
3. นักเรียนรู้ 20 จาก 25 คำถามของโปรแกรม จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะตอบคำถาม 2 ข้อที่ผู้คุมสอบมอบให้
4. มี 4 ชุดของชิ้นส่วน ในกลุ่มแรกมีการแต่งงาน 3% ในกลุ่มที่สอง -4% ในกลุ่มที่สามและสี่ไม่มีการแต่งงาน ความน่าจะเป็นที่จะได้ชิ้นส่วนที่มีข้อบกพร่องเป็นเท่าใด หากชิ้นส่วนหนึ่งถูกนำออกจากล็อตที่เลือกแบบสุ่ม? อะไรคือความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนที่นำมาเป็นของแบทช์แรก หากพบว่ามีข้อบกพร่อง?
5. นักเรียนต้องสอบ 4 ครั้งให้ผ่านภายใน 10 วัน คุณสามารถกำหนดเวลาให้เขาได้กี่วิธี?
ตัวเลือก 15
1. มี 50 ที่นั่งในห้องโถง ค้นหาความน่าจะเป็นที่คน 5 คนจาก 10 คนจะครอบครองสถานที่บางแห่ง หากสถานที่นั้นถูกครอบครองโดยสุ่ม
2. พิสูจน์ว่า .
3. นักกีฬาสามคนยิงไปที่เป้าหมายโดยอิสระ ความน่าจะเป็นที่จะเข้าเป้าสำหรับผู้ยิงคนแรกคือ 0.75 สำหรับวินาที - 0.8 สำหรับมือที่สาม - 0.9 จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกศรทั้ง 3 ลูกเข้าเป้า
4. จากโกศที่มีลูกบอลสีดำ 6 ลูกสีขาว 4 ลูก ลูกบอลที่ไม่ทราบสีหายไป เพื่อกำหนดองค์ประกอบของลูกบอลในโกศลูกบอลสองลูกถูกสุ่มออกมา พวกเขากลายเป็นสีขาว จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีขาวหายไป
5. หนังสือ 7 เล่มสามารถวางบนชั้นวางได้กี่วิธี หากหนังสือสองเล่มต้องวางเคียงข้างกันเสมอ
4. ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายด้วยการยิงหนึ่งครั้งคือ 0.7 กำหนดความน่าจะเป็นที่การยิง 6 นัดที่เป็นอิสระจากกันทำให้โดน 5 ครั้ง
5. ภายในรถมี 7 ที่นั่ง คน 7 คนสามารถเข้าไปในรถคันนี้ได้กี่วิธีถ้ามีเพียง 3 คนเท่านั้นที่สามารถนั่งคนขับได้
ตัวเลือก 18
1. สำหรับการฝึกปฏิบัติงานสำหรับนักเรียน 30 คน มีสถานที่ 15 แห่งในมอสโก 8 แห่งในไทกา และ 7 แห่งในโนโวซีบีร์สค์ ความน่าจะเป็นที่นักเรียนสองคนจะได้ฝึกงานในเมืองเดียวกันเป็นเท่าใด
2. ปล่อยให้เป็นสามเหตุการณ์โดยพลการ ค้นหานิพจน์สำหรับเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสิ่งที่เกิดขึ้นจาก: ก) เท่านั้น ; b) เหตุการณ์เดียวเท่านั้น
3. มีลูกบอลสีขาว 6 ลูกและสีดำ 8 ลูกในกล่อง นำลูกบอลสองลูกออกจากกล่อง จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้งสองลูกเป็นสีขาว
3. ในกล่องแรกมีลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีดำ 10 ลูก ในช่องที่สองมีลูกบอลสีขาว 8 ลูกและ
ลูกบอลสีดำ 4 ลูก ลูกบอลถูกนำมาจากแต่ละกล่อง ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้งสองลูกเป็นสีขาวเป็นเท่าใด
4. กำลังทดสอบเครื่องยนต์ 25 เครื่อง ความน่าจะเป็นของการทำงานโดยปราศจากความล้มเหลวของเครื่องยนต์แต่ละตัวจะเท่ากันและเท่ากับ 0.95 กำหนดจำนวนเครื่องยนต์ที่ล้มเหลวที่เป็นไปได้มากที่สุด
5. ทันย่ามี 20 คะแนน นาตาชามี 30 คะแนน หนึ่งคะแนนของทันย่าสามารถแลกกับหนึ่งคะแนนของนาตาชาได้กี่วิธี
ตัวเลือก 20
1. โยนลูกเต๋า 4 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่ทุกคนได้คะแนนเท่ากัน
2. เหตุการณ์ และ , ถ้า , ต้องตรงกันหรือไม่?
3. นักกีฬาสามคนยิงไปที่เป้าหมายโดยอิสระ ความน่าจะเป็นที่จะเข้าเป้าสำหรับผู้ยิงคนแรกคือ 0.75 สำหรับวินาที - 0.8 สำหรับสาม - 0.9 กำหนดความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงอย่างน้อยหนึ่งคนเข้าเป้า
4. กำลังทดสอบชุดของทรานซิสเตอร์ ความน่าจะเป็นของการทำงานโดยปราศจากข้อผิดพลาดของทรานซิสเตอร์แต่ละตัวคือ 0.92 กำหนดจำนวนทรานซิสเตอร์ที่ควรทดสอบเพื่อให้สามารถบันทึกข้อผิดพลาดอย่างน้อยหนึ่งรายการโดยมีความน่าจะเป็นอย่างน้อย 0.95
5. เลข 5 หลักจากเลข 1, 2, 4, 6, 7, 8 ทำได้กี่หลัก ถ้าแต่ละหลักในจำนวนใดใช้ไม่เกิน 1 ครั้ง
ตัวอย่าง #1 บริษัทผลิตคอมพิวเตอร์ได้รับชิ้นส่วนเดียวกันจากซัพพลายเออร์สามราย ครั้งแรกจัดหา 50% ของส่วนประกอบทั้งหมด ที่สอง - 20% ที่สาม - 30% ของชิ้นส่วนเป็นที่ทราบกันดีว่าคุณภาพของชิ้นส่วนที่จัดหานั้นแตกต่างกันและในผลิตภัณฑ์ของซัพพลายเออร์รายแรกเปอร์เซ็นต์ของข้อบกพร่องคือ 4%, ที่สอง - 5%, ที่สาม - 2% กำหนดความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนที่เลือกโดยการสุ่มจากทั้งหมดที่ได้รับจะมีข้อบกพร่อง
วิธีการแก้. แสดงถึงเหตุการณ์: A - "สินค้าที่เลือกมีข้อบกพร่อง", H i - "สินค้าที่เลือกได้รับจากซัพพลายเออร์ที่ i-th", i =1, 2, 3 สมมติฐาน H 1 , H 2 , H 3 เป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ของ เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ ตามเงื่อนไข
P(H1) = 0.5; P(H2) = 0.2; P(H3) = 0.3
P(ก|H 1) = 0.04; P(A|H2) = 0.05; P(ก|H 3) = 0.02
ตามสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด (1.11) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A เท่ากับ
P(A) = P(H 1) P(A|H 1) + P(H 2) P(A|H 2) + P(H 3) P(A|H 3) = 0.5 0.04 + 0.2 0.05 + 0.3 0.02=0.036
ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนที่เลือกโดยการสุ่มจะมีข้อบกพร่องคือ 0.036
ปล่อยให้เหตุการณ์ A เกิดขึ้นในเงื่อนไขของตัวอย่างก่อนหน้านี้: ส่วนที่เลือกกลายเป็นข้อบกพร่อง ความน่าจะเป็นที่จะได้รับจากซัพพลายเออร์รายแรกคือเท่าใด คำตอบสำหรับคำถามนี้กำหนดโดยสูตรเบส์
เราเริ่มการวิเคราะห์ความน่าจะเป็นด้วยค่าเบื้องต้นเท่านั้น ซึ่งเป็นค่าเบื้องต้นของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ จากนั้นทำการทดลอง (เลือกส่วนหนึ่ง) และเราได้รับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเหตุการณ์ที่เราสนใจ ด้วยข้อมูลใหม่นี้ เราสามารถปรับแต่งค่าของความน่าจะเป็นก่อนหน้านี้ได้ ค่าใหม่ของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เดียวกันจะเป็นความน่าจะเป็นหลังการทดลอง (หลังการทดลอง) ของสมมติฐาน (รูปที่ 1.5)
แบบแผนการประเมินสมมติฐานซ้ำ
ให้เหตุการณ์ A เป็นจริงร่วมกับหนึ่งในสมมติฐานเท่านั้น H 1 , H 2 , …, H n (กลุ่มที่สมบูรณ์ของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้) เราแสดงความน่าจะเป็นของสมมติฐาน P(H i) ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n หากการทดลองได้ดำเนินการไปแล้ว และเป็นผลให้เหตุการณ์ A เกิดขึ้น ความน่าจะเป็นหลังของสมมติฐานจะเป็นความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข P(H i |A), i = 1, 2,…, n ในสัญกรณ์ของตัวอย่างก่อนหน้านี้ P(H 1 |A) คือความน่าจะเป็นที่จะได้รับชิ้นส่วนที่เลือกซึ่งกลายเป็นข้อบกพร่องจากซัพพลายเออร์รายแรก
เราสนใจในความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ H k |A พิจารณาการเกิดขึ้นร่วมกันของเหตุการณ์ H k และ A นั่นคือ เหตุการณ์ AH k . ความน่าจะเป็นสามารถพบได้สองวิธีโดยใช้สูตรคูณ (1.5) และ (1.6):
P(AHk) = P(Hk)P(A|Hk);
P(AH k) = P(A)P(H k |A).
เทียบด้านขวาของสูตรเหล่านี้
P(H k) P(A|H k) = P(A) P(H k |A),
ดังนั้นความน่าจะเป็นหลังของสมมติฐาน H k คือ 
ตัวส่วนคือความน่าจะเป็นทั้งหมดของเหตุการณ์ A แทน P(A) ค่าตามสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด (1.11) เราได้รับ: 
(1.12)
เรียกว่าสูตร (1.12) สูตรเบย์
และใช้เพื่อประเมินความน่าจะเป็นของสมมติฐานอีกครั้ง
ในเงื่อนไขของตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราพบความน่าจะเป็นที่จะได้รับชิ้นส่วนที่มีข้อบกพร่องจากซัพพลายเออร์รายแรก ให้เราสรุปความน่าจะเป็นเบื้องต้นของสมมติฐาน P(H i) ที่เราทราบตามเงื่อนไข ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข P(A|H i) ความน่าจะเป็นร่วมที่คำนวณในกระบวนการแก้ปัญหาในตารางเดียว P(AH i) = P(H i) P(A|H i) และคำนวณโดยสูตร (1.12) a ความน่าจะเป็นหลัง P(H k |A), i, k = 1, 2,…, n (ตารางที่ 1.3)
ตารางที่ 1.3 - การประเมินสมมติฐานใหม่
| สมมติฐานสวัสดี | ความน่าจะเป็น | |||
| ก่อน P(H ฉัน) | เงื่อนไข P(A|H ผม) | ข้อต่อ P(AH i) | หลัง P(H i | A) | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
H 1 - ได้รับชิ้นส่วนจากซัพพลายเออร์รายแรก | 0.5 | 0.04 | 0.02 | |
H 2 - รับชิ้นส่วนจากซัพพลายเออร์รายที่สอง | 0.2 | 0.05 | 0.01 | |
H 3 - ได้รับชิ้นส่วนจากซัพพลายเออร์รายที่สาม | 0.3 | 0.02 | 0.006 | |
| ผลรวม | 1.0 | - | 0.036 | 1 |
P(Ω) = P(H 1 + H 2 + H 3) = P(H 1) + P(H 2) + P(H 3) = 0.5 + 0.2 + 0.3 = 1
ในคอลัมน์ที่สี่ ค่าในแต่ละแถว (ความน่าจะเป็นร่วม) ได้มาจากกฎการคูณความน่าจะเป็นโดยการคูณค่าที่สอดคล้องกันในคอลัมน์ที่สองและสาม และในแถวสุดท้าย 0.036 คือความน่าจะเป็นทั้งหมดของเหตุการณ์ A (โดยสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด).
ในคอลัมน์ 5 ความน่าจะเป็นหลังของสมมติฐานคำนวณโดยใช้สูตร Bayes (1.12):
ความน่าจะเป็นหลัง P(H 2 |A) และ P(H 3 |A) คำนวณในทำนองเดียวกัน โดยตัวเศษของเศษส่วนคือความน่าจะเป็นร่วมที่บันทึกไว้ในแถวที่สอดคล้องกันของคอลัมน์ 4 และตัวส่วนคือความน่าจะเป็นรวมของ เหตุการณ์ A ที่บันทึกไว้ในแถวสุดท้ายของคอลัมน์ 4
ผลรวมของความน่าจะเป็นของสมมติฐานหลังการทดลองเท่ากับ 1 และเขียนไว้ในบรรทัดสุดท้ายของคอลัมน์ที่ 5
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้รับชิ้นส่วนที่ชำรุดจากซัพพลายเออร์รายแรกคือ 0.555 ความน่าจะเป็นหลังการทดลองมีค่ามากกว่าการทดลองครั้งก่อน (เนื่องจากการจัดหาปริมาณมาก) ความน่าจะเป็นหลังการทดลองที่ได้รับชิ้นส่วนที่มีข้อบกพร่องจากซัพพลายเออร์รายที่สองคือ 0.278 และยังสูงกว่าก่อนการทดลองอีกด้วย (เนื่องจากมีการปฏิเสธจำนวนมาก) ความน่าจะเป็นหลังการทดลองที่ได้ชิ้นส่วนที่มีข้อบกพร่องมาจากซัพพลายเออร์รายที่สามคือ 0.167
ตัวอย่าง #3 มีสามโกศที่เหมือนกัน; โกศแรกมีลูกบอลสีขาวสองลูกและสีดำหนึ่งลูก ในวินาที สามสีขาว และหนึ่งสีดำ; ในลูกที่สาม - ลูกบอลสีขาวสองลูกและสีดำสองลูก สำหรับการทดลอง จะมีการสุ่มเลือกโกศหนึ่งอันและลูกบอลหนึ่งลูกจะถูกนำออกมา จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลนี้เป็นสีขาว
วิธีการแก้.ลองพิจารณาสมมติฐานสามข้อ: H 1 - โกศแรกถูกเลือก, H 2 - โกศที่สองถูกเลือก, H 3 - โกศที่สามถูกเลือก และเหตุการณ์ A - ลูกบอลสีขาวถูกนำออกมา
เนื่องจากสมมติฐานมีความน่าจะเป็นเท่ากันตามเงื่อนไขของปัญหาแล้ว
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A ภายใต้สมมติฐานเหล่านี้มีค่าเท่ากันตามลำดับ:
ตามสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด 
ตัวอย่าง #4 มีปืนไรเฟิล 19 กระบอกในปิรามิด 3 กระบอกมีสายตา ผู้ยิงที่ยิงจากปืนไรเฟิลด้วยสายตาสามารถยิงโดนเป้าหมายด้วยความน่าจะเป็น 0.81 และยิงจากปืนไรเฟิลโดยไม่ใช้สายตาด้วยความน่าจะเป็น 0.46 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงจะยิงเข้าเป้าโดยการยิงจากปืนไรเฟิลที่เลือกแบบสุ่ม
วิธีการแก้.การทดสอบครั้งแรกเป็นการสุ่มเลือกปืนไรเฟิล ครั้งที่สองคือการยิงเป้า พิจารณาเหตุการณ์ต่อไปนี้: A - ผู้ยิงจะเข้าเป้า; H 1 - มือปืนจะใช้ปืนไรเฟิลที่มีสายตา H 2 - มือปืนจะใช้ปืนไรเฟิลโดยไม่มีสายตา เราใช้สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด เรามี
เมื่อพิจารณาว่ามีการเลือกปืนทีละกระบอก และใช้สูตรความน่าจะเป็นแบบดั้งเดิม เราจะได้: P(H 1) = 3/19, P(H 2) = 16/19
ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขจะได้รับในคำชี้แจงปัญหา: P(A|H 1) = 0;81 และ P(A|H 2) = 0;46 เพราะเหตุนี้,
ตัวอย่างหมายเลข 5 จากโกศที่มีลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีดำ 3 ลูก จะมีการสุ่มจับลูกบอล 2 ลูกและเพิ่มลูกบอลสีขาว 1 ลูกลงในโกศ ค้นหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่สุ่มออกมาเป็นสีขาว
วิธีการแก้.เหตุการณ์ “ลูกบอลสีขาวถูกดึง” จะแสดงโดย A เหตุการณ์ H 1 - ลูกบอลสีขาวสองลูกถูกสุ่มจับ H 2 - สุ่มจับลูกบอลสีดำสองลูก H 3 - จับลูกบอลสีขาวหนึ่งลูกและลูกบอลสีดำหนึ่งลูก จากนั้นความน่าจะเป็นของสมมติฐานที่หยิบยก
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขภายใต้สมมติฐานเหล่านี้มีค่าเท่ากันตามลำดับ: P(A|H 1) = 1/4 - ความน่าจะเป็นที่จะวาดลูกบอลสีขาว ถ้าขณะนี้มีลูกบอลสีขาวหนึ่งลูกและสีดำสามลูกในโกศ P(A|H 2) = 3/ 4 - ความน่าจะเป็นที่จะวาดลูกบอลสีขาว ถ้าขณะนี้มีลูกบอลสีขาวสามลูกและสีดำหนึ่งลูกในโกศ, P(A|H 3) = 2/4 = 1/2 - ความน่าจะเป็นที่จะวาดลูกบอลสีขาวถ้า มีลูกบอลสีขาวสองลูกและสีดำหนึ่งลูกอยู่ในโกศในขณะที่ลูกบอลสีดำสองลูก ตามสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด
ตัวอย่างหมายเลข 6 กระสุนสองนัดถูกเป้าหมาย ความน่าจะเป็นที่จะยิงนัดแรกคือ 0.2 โดยนัดที่สอง - 0.6 ความน่าจะเป็นที่จะทำลายเป้าหมายด้วยการโจมตีครั้งเดียวคือ 0.3 โดยสองครั้ง - 0.9 จงหาความน่าจะเป็นที่เป้าหมายจะถูกทำลาย
วิธีการแก้. ให้เหตุการณ์ A เป็นเป้าหมายที่ถูกทำลาย ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะยิงหนึ่งนัดจากสองนัดหรือยิงสองนัดติดต่อกันโดยไม่พลาดเป้าหมาย เรามาตั้งสมมติฐานกัน: H 1 - ทั้งสองนัดเข้าเป้า แล้ว P(H 1) = 0.2 0.6 = 0;12. H 2 - พลาดครั้งแรกหรือครั้งที่สอง จากนั้น P (H 2) \u003d 0.2 0.4 + 0.8 0.6 \u003d 0.56 สมมติฐาน H 3 - พลาดทั้งสองนัด - ไม่ได้นำมาพิจารณาเนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะทำลายเป้าหมายเป็นศูนย์ จากนั้นความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขจะเท่ากันตามลำดับ: ความน่าจะเป็นที่จะทำลายเป้าหมายภายใต้เงื่อนไขของการยิงสำเร็จทั้งสองนัดคือ P(A|H 1) = 0.9 และความน่าจะเป็นที่จะทำลายเป้าหมายภายใต้เงื่อนไขของการยิงสำเร็จเพียงครั้งเดียวคือ P( A|H 2) = 0.3. จากนั้นความน่าจะเป็นที่จะทำลายเป้าหมายตามสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมดเท่ากับ
ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทหลักทั้งสอง - ทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็นและทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็น - เรียกว่าสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด
กำหนดให้กำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่างที่สามารถเกิดขึ้นได้พร้อมกับเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่ง:
สร้างกลุ่มเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้โดยสมบูรณ์ เราจะเรียกเหตุการณ์เหล่านี้ว่าสมมุติฐาน
ให้เราพิสูจน์ในกรณีนี้
, (3.4.1)
เหล่านั้น. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะคำนวณเป็นผลรวมของผลคูณของความน่าจะเป็นของแต่ละสมมติฐานและความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ภายใต้สมมติฐานนี้
สูตร (3.4.1) เรียกว่าสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด
การพิสูจน์. เนื่องจากสมมติฐานเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ เหตุการณ์สามารถปรากฏร่วมกับสมมติฐานใดๆ เหล่านี้เท่านั้น:
เนื่องจากสมมติฐานไม่สอดคล้องกัน 
ยังเข้ากันไม่ได้; ใช้ทฤษฎีบทการบวกกับพวกเขา เราได้รับ:
การใช้ทฤษฎีบทการคูณกับเหตุการณ์ เราได้รับ:
,
คิวอีดี
ตัวอย่างที่ 1 มีโกศหน้าตาเหมือนกันสามอัน โกศแรกมีลูกบอลสีขาวสองลูกและสีดำหนึ่งลูก ในวินาที - สามสีขาวและสีดำหนึ่งอัน ในลูกที่สาม - ลูกบอลสีขาวสองลูกและสีดำสองลูก มีคนสุ่มเลือกหนึ่งในโกศแล้วดึงลูกบอลออกมา จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลนี้เป็นสีขาว
วิธีการแก้. ลองพิจารณาสามสมมติฐาน:
ทางเลือกของโกศแรก
ทางเลือกของโกศที่สอง
ทางเลือกของโกศที่สาม
และเหตุการณ์คือการปรากฏตัวของลูกบอลสีขาว
เนื่องจากสมมติฐานตามเงื่อนไขของปัญหามีความน่าจะเป็นพอๆ กัน ดังนั้น
.
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ภายใต้สมมติฐานเหล่านี้มีค่าเท่ากันตามลำดับ:
ตามสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด
.
ตัวอย่างที่ 2 ยิงปืนนัดเดียว 3 นัดใส่เครื่องบิน ความน่าจะเป็นที่จะยิงนัดแรกคือ 0.4 โดยนัดที่สอง - 0.5 และนัดที่สามคือ 0.7 เห็นได้ชัดว่าการโจมตีสามครั้งเพียงพอที่จะปิดการใช้งานเครื่องบิน ด้วยการโจมตีหนึ่งครั้ง เครื่องบินล้มเหลวด้วยความน่าจะเป็น 0.2 โดยมีการโจมตีสองครั้งด้วยความน่าจะเป็น 0.6 ค้นหาความน่าจะเป็นที่เป็นผลจากการยิง 3 นัด เครื่องบินจะหยุดปฏิบัติการ
วิธีการแก้. ลองพิจารณาสี่สมมติฐาน:
ไม่มีกระสุนนัดเดียวโดนเครื่องบิน
กระสุนนัดหนึ่งพุ่งเข้าใส่เครื่องบิน
เครื่องบินโดนกระสุนสองนัด
กระสุนสามนัดพุ่งเข้าใส่เครื่องบิน
การใช้ทฤษฎีบทการบวกและการคูณ เราพบความน่าจะเป็นของสมมติฐานเหล่านี้:
ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขของเหตุการณ์ (ความล้มเหลวของเครื่องบิน) ภายใต้สมมติฐานเหล่านี้คือ:
การใช้สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด เราได้รับ:
โปรดทราบว่าไม่สามารถนำสมมติฐานแรกมาพิจารณาได้ เนื่องจากคำศัพท์ที่เกี่ยวข้องในสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมดจะหายไป โดยปกติจะทำเมื่อใช้สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด โดยพิจารณาจากกลุ่มสมมติฐานที่ไม่สอดคล้องกันทั้งหมด แต่เฉพาะกลุ่มสมมติฐานเหล่านั้นที่เหตุการณ์หนึ่งๆ เป็นไปได้
ตัวอย่างที่ 3 การทำงานของเครื่องยนต์ถูกควบคุมโดยตัวควบคุมสองตัว มีการพิจารณาช่วงเวลาหนึ่งซึ่งเป็นที่พึงปรารถนาเพื่อให้แน่ใจว่าการทำงานของเครื่องยนต์ปราศจากปัญหา หากตัวควบคุมทั้งสองมีอยู่ เครื่องยนต์จะล้มเหลวด้วยความน่าจะเป็น ถ้ามีเพียงตัวควบคุมตัวแรกเท่านั้นที่ทำงาน มีความน่าจะเป็น หากตัวควบคุมสองตัวทำงานล้มเหลว หากตัวควบคุมทั้งสองทำงานล้มเหลว มีความน่าจะเป็น ตัวควบคุมตัวแรกมีความน่าเชื่อถือตัวที่สอง - องค์ประกอบทั้งหมดล้มเหลวโดยอิสระจากกัน ค้นหาความน่าเชื่อถือทั้งหมด (ความน่าจะเป็นของการทำงานที่ไม่ผิดพลาด) ของเครื่องยนต์
หน้ามีประโยชน์? บันทึกหรือบอกเพื่อนของคุณ
ข้อความทั่วไปของปัญหามีประมาณ * ดังต่อไปนี้:
โกศบรรจุลูกบอลสีขาว $K$ และลูกบอลสีดำ $N-K$ (รวมลูกบอล $N$) ลูกบอล $n$ จะถูกนำออกมาโดยการสุ่มและไม่มีการแทนที่ จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอล $k$ สีขาวและ $n-k$ สีดำจะถูกเลือก
ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะพบได้โดยใช้สูตรความน่าจะเป็นไฮเปอร์จีโอเมตริก (ดูคำอธิบาย):
$$ P=\frac(C_K^k \cdot C_(N-K)^(n-k))(C_N^n). \qquad (1) $$
* ให้ฉันอธิบายว่า "ประมาณ" หมายถึงอะไร: ไม่สามารถนำลูกบอลออกจากโกศได้ แต่จากตะกร้าหรือไม่สามารถเป็นสีดำและขาว แต่เป็นสีแดงและสีเขียวขนาดใหญ่และเล็กเป็นต้น สิ่งสำคัญคือพวกเขามีสองประเภทจากนั้นคุณพิจารณาประเภทหนึ่งที่มีเงื่อนไข "ลูกบอลสีขาว" ประเภทที่สอง - "ลูกบอลสีดำ" และคุณสามารถใช้สูตรในการแก้ปัญหาได้ฟรี (แก้ไขข้อความในตำแหน่งที่ถูกต้องแน่นอน :) ).
วิดีโอสอนและเทมเพลต Excel
ดูวิดีโอของเราเกี่ยวกับการแก้ปัญหาเกี่ยวกับลูกบอลในรูปแบบความน่าจะเป็นไฮเปอร์จีโอเมตริก เรียนรู้วิธีใช้ Excel เพื่อแก้ปัญหาทั่วไป
ไฟล์การคำนวณ Excel จากวิดีโอสามารถดาวน์โหลดได้ฟรีและใช้เพื่อแก้ปัญหาของคุณ
ตัวอย่างการแก้ปัญหาการเลือกลูกบอล
ตัวอย่างที่ 1 โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 10 ลูกและสีดำ 8 ลูก สุ่มเลือกลูกบอล 5 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่มีลูกบอลสีขาว 2 ลูกพอดี
แทนค่าต่อไปนี้ในสูตร (1) $K=10$, $N-K=8$, ทั้งหมด $N=10+8=18$, เลือก $n=5$ ลูกบอล, $k=2$ จากทั้งหมดควรเป็น สีขาวและตามลำดับ $n-k=5-2=3$ สีดำ เราได้รับ:
$$ P=\frac(C_(10)^2 \cdot C_(8)^(3))(C_(18)^5) = \frac(45 \cdot 56)(8568) = \frac(5) (17) = 0.294. $$
ตัวอย่างที่ 2 โกศมีลูกบอลสีขาว 5 ลูกและสีแดง 5 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มจับลูกบอลสีขาวทั้งสองลูกเป็นเท่าใด
ที่นี่ลูกบอลไม่ใช่ขาวดำ แต่เป็นสีแดงและขาว แต่สิ่งนี้ไม่ส่งผลต่อการตัดสินใจและคำตอบเลย
แทนค่าต่อไปนี้ในสูตร (1) $K=5$ (ลูกบอลสีขาว), $N-K=5$ (ลูกบอลสีแดง), รวม $N=5+5=10$ (ลูกบอลทั้งหมดในโกศ), เลือก $ n=2 $ ลูกบอล ซึ่งต้องมี $k=2$ สีขาว และ $n-k=2-2=0$ สีแดง เราได้รับ:
$$ P=\frac(C_(5)^2 \cdot C_(5)^(0))(C_(10)^2) = \frac(10 \cdot 1)(45) = \frac(2) (9) = 0.222. $$
ตัวอย่างที่ 3 มีลูกบอลสีขาว 4 ลูกและสีดำ 2 ลูกในตะกร้า นำลูกบอล 2 ลูกออกจากตะกร้า ความน่าจะเป็นที่จะเป็นสีเดียวกันคืออะไร?
ที่นี่งานจะซับซ้อนขึ้นเล็กน้อยและเราจะแก้ปัญหาทีละขั้นตอน ใส่เหตุการณ์ที่ต้องการ
$A = $ (เลือกลูกบอลสีเดียวกัน) = (เลือกลูกบอลสีขาว 2 ลูกหรือสีดำ 2 ลูก)
สมมติว่าเหตุการณ์นี้เป็นผลรวมของสองเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้: $A=A_1+A_2$ โดยที่
$A_1 = $ (เลือกลูกบอลสีขาว 2 ลูก),
$A_2 = $ (เลือกลูกบอลสีดำ 2 ลูก)
ลองเขียนค่าของพารามิเตอร์: $K=4$ (ลูกบอลสีขาว), $N-K=2$ (ลูกบอลสีดำ), รวม $N=4+2=6$ (ลูกบอลทั้งหมดในตะกร้า) เลือกลูกบอล $n=2$
สำหรับเหตุการณ์ $A_1$, $k=2$ ในนั้นต้องเป็นสีขาว และตามด้วย $n-k=2-2=0$ สีดำ เราได้รับ:
$$ P(A_1)=\frac(C_(4)^2 \cdot C_(2)^(0))(C_(6)^2) = \frac(6 \cdot 1)(15) = \frac (2)(5) = 0.4. $$
สำหรับการแข่งขัน $A_2$ จะต้องเลือกลูกบอลสีขาว $k=0$ และ $n-k=2$ สีดำจากลูกบอลที่เลือก เราได้รับ:
$$ P(A_2)=\frac(C_(4)^0 \cdot C_(2)^(2))(C_(6)^2) = \frac(1 \cdot 1)(15) = \frac (1)(15). $$
จากนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ต้องการ (ลูกบอลสีเดียวกันที่จับฉลาก) คือผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:
$$ P(A)=P(A_1)+P(A_2)=\frac(2)(5) + \frac(1)(15) =\frac(7)(15) = 0.467 $$
มีสามโกศที่ดูเหมือนกัน; โกศแรกมีลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีดำ 1 ลูก ในโกศที่สองมีลูกบอลสีขาว 3 ลูกและสีดำ 1 ลูก ในลูกที่สามมีลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีดำ 2 ลูก
มีคนสุ่มเลือกหนึ่งในโกศแล้วดึงลูกบอลออกมา จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลนี้เป็นสีขาว
ลองพิจารณาสามสมมติฐาน:
H1-การเลือกโกศแรก
H2-การเลือกโกศที่สอง
H3-การเลือกโกศที่สาม
กลุ่มเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ทั้งหมด
ให้เหตุการณ์ A เป็นลักษณะของลูกบอลสีขาว เพราะ สมมุติฐานตามเงื่อนไขของปัญหาเป็นไปได้เท่ากัน ดังนั้น Р(Н1) = Р(Н2) = Р(Н3) = 1\3
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A ภายใต้สมมติฐานเหล่านี้มีค่าเท่ากันตามลำดับ: Р(А/Н1) =2\3; P(A/H2) = 3\4; P (A / H3) \u003d 1/2.
ตามสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด
P(A)=1\3*3\2+1\3*3\4+1\3*1\2=23\36
คำตอบ: 23\36
ป.2 ทฤษฎีบทสมมุติฐาน
ผลที่ตามมาของทฤษฎีบทการคูณและสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมดเรียกว่าทฤษฎีบทสมมติฐาน หรือสูตรเบส์ (Bayes)
มาตั้งค่างานต่อไปนี้
มีกลุ่มสมมติฐานที่เข้ากันไม่ได้ทั้งหมด H1, H2, . ห. ความน่าจะเป็นของสมมติฐานเหล่านี้ก่อนการทดลองเป็นที่รู้จักและเท่ากับ Р(Н1),Р(Н2)…,Р(Нn) ตามลำดับ ตามลำดับ มีการทดลองเกิดขึ้นซึ่งเป็นผลมาจากการสังเกตการปรากฏตัวของเหตุการณ์ A คำถามคือความน่าจะเป็นของสมมติฐานควรเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อเกี่ยวข้องกับการปรากฏตัวของเหตุการณ์นี้
โดยพื้นฐานแล้ว เรากำลังพูดถึงการค้นหาความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข P(H1/A) สำหรับแต่ละสมมติฐาน
จากทฤษฎีบทการคูณ เราได้:
P(A*Hi) =P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi), (i=1,2,3, .n) หรือ ทิ้งด้านซ้าย Nutrend enduro bcaa ซื้อ 120caps
P(A) P(สูง/A) =P(สูง) P(A/สูง),(i=1,2,. .,n)
โดยที่ P (สูง/A) =P(สูง) P(A/สูง) ÷P(A),(i=1,2,3, . . n)
แสดงด้วย P(A) โดยใช้ความน่าจะเป็นทั้งหมด เรามี
P(สูง/A) =P(สูง) P(A/สูง) ÷∑P(สูง) P(A\Hi),(i=1,2,3, . . n) (2)
สูตร (2) เรียกว่าสูตรเบย์หรือทฤษฎีบทสมมติฐาน
ตัวอย่างที่ 2 ในโรงงาน 30% ของผลิตภัณฑ์ผลิตโดยเครื่องจักร I 25% ของผลิตภัณฑ์ผลิตโดยเครื่องจักร II ส่วนที่เหลือผลิตโดยเครื่องจักร III สำหรับเครื่องจักร I 1% ของผลผลิตมีข้อบกพร่อง สำหรับเครื่องจักร II - 1.5% สำหรับเครื่องจักร III - 2% หน่วยการผลิตที่เลือกแบบสุ่มกลายเป็นข้อบกพร่อง ความน่าจะเป็นที่ผลิตโดยเครื่องจักร I คืออะไร
ให้เราแนะนำสัญกรณ์สำหรับเหตุการณ์
A - ผลิตภัณฑ์ที่เลือกมีข้อบกพร่อง
H1-ผลิตภัณฑ์ที่ผลิตโดยเครื่องจักร I
H2 - ผลิตภัณฑ์ที่ผลิตโดยเครื่องจักร II
H3 - ผลิตภัณฑ์ที่ผลิตโดยเครื่องจักร III
P(H1)=0.30; P(H2)=0.25; พี(H3) =0.45
P (A / H1) \u003d 0.01,
P (A / H2) \u003d 0.015
P (A / H3) \u003d 0.02
P(A) \u003d 0.01 * 0.30 + 0.015 * 0.25 + 0.02 * 0.45 \u003d 0.015,
P(H1/A) = 0.01*0.30÷0.015=0.20
คำตอบ: 20% ของผลิตภัณฑ์ที่ชำรุดทั้งหมดผลิตโดยเครื่องจักร I
§9 สูตรเบอร์นูลลี
กฎของจำนวนมาก
ให้ A เป็นเหตุการณ์สุ่มที่เกี่ยวกับประสบการณ์บางอย่าง σ เราจะสนใจเฉพาะว่าเหตุการณ์ A เกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นจากผลการทดลอง ดังนั้นเราจะใช้มุมมองต่อไปนี้: พื้นที่ของเหตุการณ์พื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับประสบการณ์ σ ประกอบด้วยสององค์ประกอบเท่านั้น - A และ A. ให้เราแสดงความน่าจะเป็นขององค์ประกอบเหล่านี้ตามลำดับผ่าน p และ q , (p+q=1)
สมมติว่าการทดลอง σ ภายใต้เงื่อนไขที่ไม่เปลี่ยนแปลงนั้นทำซ้ำตามจำนวนครั้งที่กำหนด เช่น 3 ครั้ง ให้เราตกลงที่จะพิจารณาการรับรู้สามเท่าของ σ เป็นการทดลองใหม่ η หากก่อนหน้านี้เราสนใจเฉพาะการเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นของ A. เราควรสันนิษฐานอย่างชัดเจนว่าช่องว่างของเหตุการณ์เบื้องต้นที่สอดคล้องกับการทดลอง η ประกอบด้วยลำดับความยาว 3 ที่เป็นไปได้ทั้งหมด: (A, A, A), (A, A, A), ( A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A) , (A, A, A) ซึ่งประกอบได้จาก A และ A
ลำดับเหล่านี้แต่ละลำดับหมายถึงหนึ่งหรืออีกลำดับหนึ่งของการเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์ A ในการทดลองสามครั้ง σ ตัวอย่างเช่น ลำดับ (A, A, A) หมายความว่า A เกิดขึ้นในการทดลองแรก และ A เกิดขึ้นในครั้งที่สอง และสาม ให้เรากำหนดความน่าจะเป็นที่ควรกำหนดให้กับแต่ละลำดับ (1)
เงื่อนไขที่การทดลอง σ ถูกดำเนินการทั้งหมดสามครั้งภายใต้เงื่อนไขที่ไม่เปลี่ยนแปลงควรหมายถึงสิ่งต่อไปนี้: ผลลัพธ์ของการทดลองทั้งสามแต่ละครั้งไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองอีกสองรายการที่เหลือ เหล่านั้น. การรวมกันของผลลัพธ์ของการทดลองสามครั้งจะเป็นเหตุการณ์อิสระสามเหตุการณ์ ในกรณีนี้ เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดให้เหตุการณ์พื้นฐาน (A, A, A) ความน่าจะเป็นเท่ากับ p*q*q ให้กับเหตุการณ์ (A, A, A) ความน่าจะเป็น q*y*y ฯลฯ
ที่. เรามาถึงคำอธิบายต่อไปนี้ของแบบจำลองความน่าจะเป็นสำหรับการทดลอง η (กล่าวคือ สำหรับการใช้งานสามเท่าของการทดลอง σ) ช่องว่าง Ω ของเหตุการณ์เบื้องต้นคือชุดของ 2 ถึง 3 ลำดับ (หนึ่ง). แต่ละลำดับมีความเกี่ยวข้องกันโดยความน่าจะเป็นด้วยจำนวน p ยกกำลัง k, q ยกกำลัง e โดยที่เลขชี้กำลังกำหนดจำนวนครั้งที่สัญลักษณ์ A และ A ปรากฏในนิพจน์สำหรับลำดับนี้
แบบจำลองความน่าจะเป็นประเภทนี้เรียกว่าแผนภาพเบอร์นูลลี ในกรณีทั่วไป แผนภาพเบอร์นูลลีถูกกำหนดโดยค่าของตัวเลข n และ p โดยที่ n คือจำนวนครั้งของการทดสอบเริ่มต้น σ (ในการทดสอบครั้งก่อน เราถือว่า n=3) และ p คือความน่าจะเป็น ของเหตุการณ์ A ที่สัมพันธ์กับการทดลอง σ
ทฤษฎีบท 1. ปล่อยให้ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A เท่ากับ p และให้ Pmn เป็นความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นี้จะเกิดขึ้นในการทดลองอิสระ n ครั้งเป็น m ครั้ง
ดังนั้นสูตร Bernoulli จึงใช้ได้
Pmn=Cn ยกกำลัง m *P ยกกำลัง m *q ยกกำลัง n-m
โยนเหรียญ 10 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่แขนเสื้อจะปรากฏ 3 ครั้งคืออะไร?
ในกรณีนี้ การสูญเสียตราแผ่นดินถือว่าสำเร็จ ความน่าจะเป็น p ของเหตุการณ์นี้ในแต่ละการทดสอบคือ 1\2
ดังนั้น: Р10,3=С10ในระดับที่ 3*(1\2) ในระดับที่ 3*(1\2) ในระดับที่ 7=10*9*8÷1*2*3*(1÷2ในระดับที่ 10 ) = 15\128
คำตอบ: 15\128
ด้วยการทดลองจำนวนมาก ความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดเหตุการณ์จึงแตกต่างจากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้เพียงเล็กน้อย การกำหนดทางคณิตศาสตร์ของการยืนยันเชิงคุณภาพนี้กำหนดโดยกฎของแบร์นูลลีว่าด้วยจำนวนจำนวนมาก ซึ่งเชบีเชฟขัดเกลาขึ้น
ทฤษฎีบท 2. ปล่อยให้ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ในการทดลอง p เท่ากับ p และให้ชุดที่ประกอบด้วยการทดลองซ้ำ n ครั้งโดยอิสระต่อกัน
เราแสดงโดย m จำนวนการทดลองที่เหตุการณ์ A เกิดขึ้น จากนั้น สำหรับจำนวนบวกใดๆ α ความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้จะคงอยู่:
3(|m\n-p|> α) ความหมายของอสมการนี้คือ นิพจน์ m÷n เท่ากับความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ A ในชุดการทดลอง และ |m\n-p|> α หมายความว่าค่าเบี่ยงเบนของสัมพัทธ์นี้จากค่าทางทฤษฎี p อสมการ |m\n-p|> α หมายความว่าค่าเบี่ยงเบนมากกว่า α แต่ที่ค่าคงที่ของ α เมื่อ n เพิ่มขึ้น ทางด้านขวาของอสมการ (3) มีแนวโน้มเป็นศูนย์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง อนุกรมที่ความเบี่ยงเบนของความถี่ในการทดลองจากทฤษฎีหนึ่งมีขนาดใหญ่ถือเป็นเศษส่วนเล็กน้อยของอนุกรมการทดสอบที่เป็นไปได้ทั้งหมด การยืนยันที่ได้รับจาก Bernoulli เป็นไปตามทฤษฎีบท: ภายใต้เงื่อนไขของทฤษฎีบท สำหรับค่าใด ๆ ของ α>0 เรามี
จะเริ่มต้นเป็นติวเตอร์ได้อย่างไร?
การเรียนภาษาอังกฤษทางไกล
คำกริยาภาษาอังกฤษปกติและผิดปกติ