สูตรค่าเฉลี่ยสำหรับอินทิกรัลแน่นอน ปริพันธ์ที่แน่นอนและวิธีการคำนวณ

\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx= -\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx\,.

คำจำกัดความนี้เป็นธรรมชาติ เนื่องจากเมื่อทิศทางของช่วงการรวมเปลี่ยนแปลง ความแตกต่างทั้งหมด \Delta x_k=x_(k+1)-x_kเปลี่ยนเครื่องหมายของพวกเขา จากนั้นพวกเขาก็เปลี่ยนเครื่องหมายและผลรวมของ Darboux และด้วยเหตุนี้ ตัวเลขที่แยกพวกเขาออก กล่าวคือ อินทิกรัล

เนื่องจากสำหรับ a=b ทั้งหมด \Delta x_k หายไปเราจึงใส่

\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx=0.

เราได้รับคำจำกัดความสองประการของแนวคิดของอินทิกรัลที่แน่นอน: เป็นความแตกต่างระหว่างค่าของแอนติเดริเวทีฟและเป็นตัวเลขแยกสำหรับผลรวมดาร์บูซ์ คำจำกัดความเหล่านี้นำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกันในกรณีที่สำคัญที่สุด:

ทฤษฎีบท 2 ถ้าฟังก์ชัน y=f(x) ถูกจำกัดไว้บนเซ็กเมนต์และมีแอนติเดริเวทีฟ y=F(x) อยู่บนนั้น และมีเลขตัวเดียวที่แยกผลรวมดาร์บูซ์บนและล่าง ตัวเลขนี้จะเท่ากับ F(b )-F(ก)

การพิสูจน์. เราพิสูจน์แล้วว่าตัวเลข F(a)-F(b) แยกชุด \(s_P\) และ \(S_P\) เนื่องจากจำนวนการแยกถูกกำหนดโดยเงื่อนไขไม่ซ้ำกัน จึงเกิดขึ้นพร้อมกับ F(b)-F(a)

จากนี้ไปเราจะใช้สัญกรณ์ \textstyle(\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx)สำหรับตัวเลขเดียวที่แยกชุด \(s_P\) และ \(S_P\) จากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วว่าในกรณีนี้ไม่มีความขัดแย้งกับความเข้าใจของสัญกรณ์ที่เราใช้ข้างต้น

คุณสมบัติของผลรวม Darboux ล่างและบน

เพื่อให้คำจำกัดความของอินทิกรัลที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้มีความสมเหตุสมผล เราต้องพิสูจน์ว่าเซตของผลรวมดาร์บูซ์ตอนบนนั้นอยู่ทางด้านขวาของเซตของผลรวมดาร์บูซ์ที่ต่ำกว่า

เล็มมา 1 สำหรับทุกพาร์ติชั่น P ผลรวม Darboux ที่ต่ำกว่าจะเท่ากับยอดรวม Darboux สูงสุด s_P\leqslant S_P

การพิสูจน์. พิจารณาบางพาร์ติชั่น P ของเซ็กเมนต์ :

a=x_0 "

เห็นได้ชัดว่า สำหรับ k ใดๆ และสำหรับพาร์ติชัน P ที่เลือก ค่าความไม่เท่าเทียมกัน s_P\leqslant S_P จะคงอยู่ เพราะเหตุนี้, m_k\cdot\Delta x_k\leqslant M_k\cdot\Delta x_kและนั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม

s_P= \sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k)\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)(M_k\cdot\Delta x_k)=S_P

อสมการ (4) ใช้ได้กับพาร์ติชั่นคงที่ P เท่านั้น ดังนั้นจึงยังไม่สามารถยืนยันได้ว่าผลรวม Darboux ที่ต่ำกว่าของพาร์ติชันหนึ่งต้องไม่เกินผลรวม Darboux ด้านบนของอีกพาร์ติชันหนึ่ง เพื่อพิสูจน์คำยืนยันนี้ เราต้องการบทแทรกต่อไปนี้:

เล็มมา 2 โดยการเพิ่มจุดหารใหม่ ผลรวมดาร์บ็อกซ์ที่ต่ำกว่าจะไม่สามารถลดลงได้ และผลรวมด้านบนจะไม่สามารถเพิ่มขึ้นได้

การพิสูจน์. มาเลือกพาร์ติชั่น P ของเซ็กเมนต์และเพิ่มจุดหารใหม่เข้าไป (x^(\ast)) ระบุพาร์ติชันใหม่ P^(\ast) พาร์ติชั่น P^(\ast) คือการปรับแต่งพาร์ติชั่น P เช่น แต่ละจุดแยกของ P คือ ในเวลาเดียวกัน จุดแยกของ P^(\ast)

ให้จุด (x^(\ast)) ตกบนเซ็กเมนต์ \colon\, x_k . พิจารณาสองส่วนที่เกิดขึ้นและ และแสดงขอบเขตล่างที่แน่นอนของค่าฟังก์ชันโดย m_(k)^(\ast) และ m_(k)^(\ast\ast) และขอบเขตบนที่แน่นอนโดย M_(k)^(\ast ) และ M_(k )^(\ast\ast)

ภาคเรียน m_k(x_(k+1)-m_(k))ผลรวม Darboux ที่ต่ำกว่าเดิมในผลรวม Darboux ที่ต่ำกว่าใหม่สอดคล้องกับสองเงื่อนไข:

m_(k)^(\ast)(x^(\ast)-x_k)+ m_(k)^(\ast\ast)(x_(k+1)-x^(\ast)).

โดยที่ m_k\leqslant m_(k)^(\ast)และ m_k\leqslant m_(k)^(\ast\ast)เนื่องจาก m_k เป็นขอบเขตล่างที่แน่นอนของค่าของฟังก์ชัน f(x) ในช่วงเวลาทั้งหมด และ m_(k)^(\ast) และ m_(k)^(\ast\ast) เฉพาะบน ชิ้นส่วนและ ตามลำดับ

ให้เราประเมินผลรวมของเงื่อนไขที่ได้รับจากด้านล่าง:

\begin(จัดตำแหน่ง) m_(k)^(\ast)\bigl(x^(\ast)-x_(k)\bigr)+ m_(k)^(\ast\ast)\bigl(x_(k+ 1 )-x^(\ast)\bigr) \geqslant & \,\,m_k \bigl(x^(\ast)-x_k)+m_k(x_(k+1)-x^(\ast)\bigr ) =\\ &=m_k\bigl(x^(\ast)-x_k+x_(k+1)-x^(\ast)\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x_(k+1) - x_k\bigr).\end(จัดตำแหน่ง)

เนื่องจากเงื่อนไขที่เหลือในผลรวม Darboux ทั้งเก่าและใหม่ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ผลรวม Darboux ที่ต่ำกว่าจึงไม่ลดลงหลังจากเพิ่มจุดหารใหม่ s_P\leqslant S_P

การยืนยันที่พิสูจน์แล้วยังคงใช้ได้แม้ว่าจะเพิ่มจุดจำนวนจำกัดไปยังพาร์ติชั่น P

การยืนยันเกี่ยวกับผลรวม Darboux ด้านบนได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกัน: S_(P^(\ast))\leqslant S_(P).

ให้เราดำเนินการเปรียบเทียบผลรวม Darboux สำหรับสองพาร์ติชันใด ๆ

เล็มมา 3 ไม่มีผลรวม Darboux ที่ต่ำกว่ายอดรวม Darboux บนใดๆ (อย่างน้อยก็สอดคล้องกับพาร์ติชันอื่นของเซ็กเมนต์ )

การพิสูจน์. พิจารณาพาร์ติชั่น P_1 และ P_2 สองพาร์ติชั่นและสร้างพาร์ติชั่นที่สาม P_3 ซึ่งประกอบด้วยจุดทั้งหมดของพาร์ติชั่น P_1 และ P_2 ดังนั้น พาร์ติชั่น P_3 จึงเป็นการปรับแต่งทั้งพาร์ติชั่น P_1 และพาร์ติชั่น P_2 (รูปที่ 7)

ให้เราแสดงถึงผลรวม Darboux ล่างและบนสำหรับพาร์ติชันเหล่านี้ตามลำดับ s_1,~S_1.~s_2,~S_2และพิสูจน์ว่า s_1\leqslant S_2

เนื่องจาก P_3 เป็นการปรับแต่งพาร์ติชั่นของ P_1 ดังนั้น s_1\leqslant s_3 ถัดไป s_3\leqslant S_3 เนื่องจากผลรวมของ s_3 และ S_3 สอดคล้องกับพาร์ติชันเดียวกัน สุดท้าย S_3\leqslant S_2 เนื่องจาก P_3 เป็นการปรับแต่งพาร์ติชั่นของ P_2

ทางนี้, s_1\leqslant s_3\leqslant S_3\leqslant S_2, เช่น. s_1\leqslant S_2 ซึ่งต้องได้รับการพิสูจน์

เล็มมา 3 หมายความว่า ชุดตัวเลข X=\(s_P\) ของผลรวม Darboux ล่างอยู่ทางด้านซ้ายของชุดตัวเลข Y=\(S_P\) ของผลรวม Darboux ด้านบน

โดยอาศัยอำนาจตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับการดำรงอยู่ของจำนวนแยกสำหรับชุดตัวเลขสองชุด1, มีอย่างน้อยหนึ่งหมายเลข / การแยกชุด X และ Y นั่นคือ โดยที่สำหรับพาร์ติชั่นใดๆ ของเซ็กเมนต์ ความไม่เท่าเทียมกันสองเท่าจะถือ:

s_P= \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr) \leqslant ฉัน\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\ cdot\Delta x_k\bigr)=S_P.

หากตัวเลขนี้ไม่ซ้ำกัน แสดงว่า \textstyle(I= \int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx).

ให้เรายกตัวอย่างที่แสดงว่าจำนวนดังกล่าว I โดยทั่วไป ไม่ได้ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง จำได้ว่าฟังก์ชัน Dirichlet เป็นฟังก์ชัน y=D(x) ในช่วงเวลาที่กำหนดโดยความเท่าเทียมกัน:

D(x)= \begin(กรณี)0,& \text(if)~~ x~~\text(เป็นจำนวนอตรรกยะ);\\1,& \text(if)~~ x~~ \text(คือ จำนวนตรรกยะ).\end(กรณี)

ไม่ว่าส่วนไหนที่เราใช้ มีทั้งจุดที่มีเหตุผลและไม่ลงตัวในนั้น นั่นคือ และจุดที่ D(x)=0 และจุดที่ D(x)=1 ดังนั้นสำหรับพาร์ติชั่นใด ๆ ของเซ็กเมนต์ ค่าทั้งหมดของ m_k จะเท่ากับศูนย์ และค่าทั้งหมดของ M_k จะเท่ากับหนึ่ง แต่แล้วผลรวม Darboux ที่ต่ำกว่าทั้งหมด \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr))มีค่าเท่ากับศูนย์ และผลรวมดาร์บ็อกซ์ทั้งหมด \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr))เท่ากับหนึ่ง

ทฤษฎีบท. ถ้าฟังก์ชัน เอฟ(x)บูรณาการในช่วงเวลา [ ก, ข], ที่ไหน เอ< b และเพื่อทุกคน x ∈ความไม่เท่าเทียมกัน

การใช้อสมการจากทฤษฎีบท เราสามารถประมาณอินทิกรัลที่แน่นอนได้ นั่นคือ ระบุขอบเขตระหว่างความหมายที่ถูกปิดล้อม ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้แสดงค่าประมาณของอินทิกรัลที่แน่นอน

ทฤษฎีบท [ทฤษฎีบทมูลค่าเฉลี่ย]. ถ้าฟังก์ชัน เอฟ(x)บูรณาการในช่วงเวลา [ ก, ข] และเพื่อทุกคน x ∈ความไม่เท่าเทียมกัน ม. ≤ f(x) ≤ M, แล้ว

ที่ไหน ม. ≤ μ ≤ M.

ความคิดเห็น. ในกรณีที่ฟังก์ชัน เอฟ(x)ต่อเนื่องในส่วน [ ก, ข] ความเท่าเทียมกันจากทฤษฎีบทอยู่ในรูปแบบ

ที่ไหน ค ∈. ตัวเลข μ=f(c)กำหนดโดยสูตรนี้เรียกว่า เฉลี่ยฟังก์ชั่น เอฟ(x)ในส่วน [ ก, ข]. ความเท่าเทียมกันนี้มีดังต่อไปนี้ ความหมายทางเรขาคณิต: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ล้อมรอบด้วยเส้นต่อเนื่อง y=f(x) (ฉ(x) ≤ 0) เท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีฐานเท่ากันและมีความสูงเท่ากับพิกัดของบางจุดบนเส้นนี้

การมีอยู่ของแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง

อันดับแรก เราแนะนำแนวคิดของอินทิกรัลที่มีขีดจำกัดบนของตัวแปร

ให้ฟังก์ชั่น เอฟ(x)บูรณาการในช่วงเวลา [ ก, ข]. แล้วเลขอะไร xจาก [ ก, ข], การทำงาน เอฟ(x)บูรณาการในช่วงเวลา [ ก, ข]. ดังนั้นในส่วนของ [ ก, ข] ฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้

ซึ่งเรียกว่าอินทิกรัลที่มีขีดจำกัดบนของตัวแปร

ทฤษฎีบท. ถ้าอินทิกรัลต่อเนื่องกันบนช่วง [ ก, ข] จากนั้นอนุพันธ์ของอินทิกรัลที่แน่นอนที่มีขีดจำกัดบนของตัวแปรจะมีอยู่และเท่ากับค่าของอินทิกรัลสำหรับขีดจำกัดนี้ กล่าวคือ

ผลที่ตามมา. อินทิกรัลแน่นอนที่มีขีดจำกัดบนที่แปรผันเป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟสำหรับอินทิกรัลที่ต่อเนื่องกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับฟังก์ชันใดๆ ที่ต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง จะมีแอนติเดริเวทีฟอยู่

หมายเหตุ 1. โปรดทราบว่าหากฟังก์ชั่น เอฟ(x)บูรณาการในช่วงเวลา [ ก, ข] ดังนั้นอินทิกรัลที่มีขีดจำกัดบนของตัวแปรจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของขีดจำกัดบนในส่วนนี้ อันที่จริง จากข้อ 2 และทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยที่เรามี

หมายเหตุ2. อินทิกรัลที่มีขีดจำกัดสูงสุดของการรวมตัวแปรถูกใช้ในคำจำกัดความของฟังก์ชันใหม่มากมาย เช่น . ฟังก์ชันเหล่านี้ไม่ใช่ฟังก์ชันพื้นฐาน ดังที่ระบุไว้แล้ว แอนติเดริเวทีฟของอินทิกรัลที่ระบุไม่สามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันพื้นฐานได้

กฎการรวมพื้นฐาน

สูตรนิวตัน-ไลบนิซ

เนื่องจากฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟสองฟังก์ชันใดๆ เอฟ(x)ต่างกันด้วยค่าคงที่ ดังนั้น ตามทฤษฎีบทที่แล้ว จึงสามารถโต้แย้งได้ว่าแอนติเดริเวทีฟใดๆ Φ(x)ต่อเนื่องในส่วน [ ก, ข] ฟังก์ชั่น เอฟ(x)มีรูปแบบ

ที่ไหน คเป็นค่าคงที่บางอย่าง

การใส่สูตรนี้ x=aและ x=bโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอนของ St.1 เราพบว่า

จากความเท่าเทียมกันเหล่านี้เป็นไปตามความสัมพันธ์

ซึ่งเรียกว่า สูตรนิวตัน-ไลบนิซ.

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท. อินทิกรัลที่แน่นอนของฟังก์ชันต่อเนื่องเท่ากับความแตกต่างระหว่างค่าของแอนติเดริเวทีฟใดๆ ของมันสำหรับขีดจำกัดการรวมบนและล่าง

สูตร Newton-Leibniz สามารถเขียนใหม่เป็น

การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในปริพันธ์ที่แน่นอน

ทฤษฎีบท. ถ้า

• การทำงาน เอฟ(x)ต่อเนื่องในส่วน [ ก, ข];
• ส่วนของเส้น [ ก, ข] คือชุดของค่าฟังก์ชัน φ(t)กำหนดไว้ในช่วงเวลา α ≤ เสื้อ ≤ βและมีอนุพันธ์ต่อเนื่องกับมัน
• φ(α)=a, φ(β)=b

แล้วสูตรก็ถูกต้อง

บูรณาการตามสูตรชิ้นส่วน

ทฤษฎีบท. ถ้าทำหน้าที่ ยู=ยู(x), วี=วี(x)มีอนุพันธ์ต่อเนื่องในช่วงเวลา [ ก, ข] แล้วสูตร

ค่าที่ใช้ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ประกอบด้วยความเป็นไปได้ที่จะได้รับการประเมินเชิงคุณภาพของมูลค่าของอินทิกรัลบางตัวโดยไม่ต้องคำนวณ เรากำหนด : ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงเวลา , ภายในช่วงเวลานี้จะมีจุดที่ .

สูตรนี้ค่อนข้างเหมาะสมสำหรับการประมาณค่าอินทิกรัลของฟังก์ชันที่ซับซ้อนหรือยุ่งยาก ช่วงเวลาเดียวที่ทำให้สูตร โดยประมาณ , เป็นสิ่งจำเป็น เลือกเองได้ คะแนน . หากเราใช้เส้นทางที่ง่ายที่สุด - ตรงกลางของช่วงการรวม (ตามที่แนะนำในตำราเรียนจำนวนหนึ่ง) ข้อผิดพลาดอาจมีนัยสำคัญทีเดียว เพื่อผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้น แนะนำ ดำเนินการคำนวณตามลำดับต่อไปนี้:

สร้างกราฟฟังก์ชันในช่วงเวลา ;

วาดเส้นขอบบนของสี่เหลี่ยมผืนผ้าในลักษณะที่ส่วนที่ถูกตัดออกของกราฟของฟังก์ชันคือ พื้นที่โดยประมาณเท่ากัน (นี่คือลักษณะที่แสดงในรูปด้านบน - สามเหลี่ยมโค้งสองรูปเกือบจะเหมือนกัน);

กำหนดจากรูป ;

ใช้ทฤษฎีบทค่ากลาง

ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณอินทิกรัลอย่างง่าย:

ค่าที่แน่นอน ;

สำหรับช่วงกลางของช่วงเวลา เรายังจะได้ค่าประมาณ เช่น ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องอย่างชัดเจน

เมื่อสร้างกราฟด้วยการวาดด้านบนของสี่เหลี่ยมผืนผ้าตามคำแนะนำ เราจะได้ จากที่ไหน และค่าโดยประมาณของ . ผลลัพธ์ค่อนข้างน่าพอใจ ข้อผิดพลาด 0.75%

สูตรสี่เหลี่ยมคางหมู

ความถูกต้องของการคำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยนั้นขึ้นอยู่กับที่แสดงบน วัตถุประสงค์ในการมองเห็น แผนภูมิจุด โดยการเลือกในตัวอย่างเดียวกัน คะแนน หรือ คุณสามารถรับค่าอินทิกรัลอื่น ๆ และข้อผิดพลาดอาจเพิ่มขึ้น ปัจจัยอัตนัย ขนาดของกราฟ และคุณภาพของรูปวาดมีผลอย่างมากต่อผลลัพธ์ มัน รับไม่ได้ ในการคำนวณที่สำคัญ ดังนั้นทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยจึงใช้กับ fast เท่านั้น คุณภาพ การประมาณการเชิงบูรณาการ

ในส่วนนี้ เราจะพิจารณาวิธีการที่นิยมใช้กันมากที่สุดวิธีหนึ่ง - สูตรสี่เหลี่ยมคางหมู . แนวคิดพื้นฐานของการสร้างสูตรนี้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าเส้นโค้งสามารถถูกแทนที่ด้วยเส้นหักได้โดยประมาณดังแสดงในรูป

ให้เราสมมติเพื่อความชัดเจน (และตามรูป) ว่าช่วงการรวมจะถูกแบ่งออกเป็น เท่ากัน (นี่เป็นทางเลือก แต่สะดวกมาก) ส่วนต่างๆ ความยาวของแต่ละส่วนเหล่านี้คำนวณโดยสูตรและเรียกว่า ขั้นตอน . abscissas ของจุดแยกหากระบุไว้จะถูกกำหนดโดยสูตร โดยที่ . มันง่ายในการคำนวณพิกัดจาก abscissas ที่รู้จัก ทางนี้,

นี่คือสูตรสี่เหลี่ยมคางหมูของเคส โปรดทราบว่าเทอมแรกในวงเล็บคือผลรวมครึ่งหนึ่งของพิกัดเริ่มต้นและสุดท้าย ซึ่งเพิ่มพิกัดกลางทั้งหมด สำหรับจำนวนพาร์ติชันของช่วงเวลาการรวมโดยพลการ สูตรทั่วไปของสี่เหลี่ยมคางหมู ดูเหมือน: สูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส: สี่เหลี่ยม ซิมป์สัน เกาส์ ฯลฯ พวกเขาอยู่บนพื้นฐานของแนวคิดเดียวกันในการแสดงสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งตามพื้นที่เบื้องต้นของรูปทรงต่าง ๆ ดังนั้นหลังจากเชี่ยวชาญสูตรสี่เหลี่ยมคางหมูแล้วจะเข้าใจสูตรที่คล้ายกันได้ไม่ยาก หลายสูตรไม่ง่ายเหมือนสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู แต่ช่วยให้คุณได้ผลลัพธ์ที่มีความแม่นยำสูงด้วยพาร์ติชั่นจำนวนน้อย

ด้วยความช่วยเหลือของสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู (หรือที่คล้ายกัน) เป็นไปได้ที่จะคำนวณด้วยความแม่นยำที่จำเป็นในทางปฏิบัติทั้งอินทิกรัลที่ "ไม่ใช้" และอินทิกรัลของฟังก์ชันที่ซับซ้อนหรือยุ่งยาก

วิธีสี่เหลี่ยมคางหมู

บทความหลัก:วิธีสี่เหลี่ยมคางหมู

หากฟังก์ชันของแต่ละเซ็กเมนต์บางส่วนถูกประมาณโดยเส้นตรงที่ลากผ่านค่าสุดท้าย เราก็จะได้เมธอดสี่เหลี่ยมคางหมู

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูในแต่ละส่วน:

ข้อผิดพลาดโดยประมาณในแต่ละส่วน:

ที่ไหน

สูตรเต็มรูปแบบสำหรับสี่เหลี่ยมคางหมูในกรณีที่แบ่งช่วงการรวมทั้งหมดออกเป็นส่วน ๆ ที่มีความยาวเท่ากัน:

ที่ไหน

ข้อผิดพลาดของสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู:

ที่ไหน

วิธีซิมป์สัน

Integrand เอฟ(x)ถูกแทนที่ด้วยพหุนามการแก้ไขของดีกรีที่สอง พี(x)– พาราโบลาผ่านสามโหนด ดังที่แสดงในรูป ((1) คือฟังก์ชัน (2) คือพหุนาม)

พิจารณาสองขั้นตอนของการบูรณาการ ( ชม.= คอนสแตนท์ = x i+1 – x i) นั่นคือสามโหนด x0, x1, x2โดยที่เราวาดพาราโบลาโดยใช้สมการของนิวตัน:

อนุญาต z = x - x0,
แล้ว

ทีนี้ โดยใช้ความสัมพันธ์ที่ได้รับ เราคำนวณอินทิกรัลในช่วงเวลานี้:

.
สำหรับ ตารางเครื่องแบบและ จำนวนก้าวที่เท่ากัน nสูตรของซิมป์สันกลายเป็น:

ที่นี่ , แ ภายใต้สมมติฐานว่าอนุพันธ์อันดับที่สี่ของจำนวนเต็มนั้นต่อเนื่องกัน

[แก้ไข] เพิ่มความแม่นยำ

การประมาณค่าของฟังก์ชันด้วยพหุนามหนึ่งตัวตลอดช่วงการผสานรวม ตามกฎแล้ว จะทำให้เกิดข้อผิดพลาดอย่างมากในการประมาณค่าของอินทิกรัล

เพื่อลดข้อผิดพลาด ส่วนการรวมจะถูกแบ่งออกเป็นส่วนต่างๆ และใช้วิธีการเชิงตัวเลขเพื่อประเมินอินทิกรัลของแต่ละส่วน

เนื่องจากจำนวนพาร์ติชั่นมีแนวโน้มเป็นอนันต์ การประมาณอินทิกรัลจึงมีแนวโน้มที่จะเป็นค่าที่แท้จริงของมันสำหรับฟังก์ชันวิเคราะห์สำหรับวิธีเชิงตัวเลขใดๆ

วิธีการข้างต้นช่วยให้ขั้นตอนง่าย ๆ ในการลดขั้นตอนลงครึ่งหนึ่งในขณะที่ในแต่ละขั้นตอนจำเป็นต้องคำนวณค่าฟังก์ชันเฉพาะที่โหนดที่เพิ่มใหม่เท่านั้น กฎ Runge ใช้เพื่อประเมินข้อผิดพลาดในการคำนวณ

การประยุกต์กฎของ Runge

แก้ไข] การประมาณความถูกต้องของการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน

อินทิกรัลคำนวณโดยใช้สูตรที่เลือก (สี่เหลี่ยมผืนผ้า, สี่เหลี่ยมคางหมู, พาราโบลาของซิมป์สัน) ด้วยจำนวนขั้นตอนเท่ากับ n แล้วด้วยจำนวนขั้นตอนเท่ากับ 2n ข้อผิดพลาดในการคำนวณค่าของอินทิกรัลที่มีจำนวนขั้นตอนเท่ากับ 2n ถูกกำหนดโดยสูตร Runge:
สำหรับสูตรสี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยมคางหมู และสำหรับสูตรซิมป์สัน
ดังนั้นอินทิกรัลจึงถูกคำนวณสำหรับค่าต่อเนื่องของจำนวนขั้นตอนโดยที่ n 0 คือจำนวนขั้นตอนเริ่มต้น กระบวนการคำนวณจะสิ้นสุดลงเมื่อค่าถัดไป N จะเป็นไปตามเงื่อนไข โดยที่ ε คือความแม่นยำที่ระบุ

คุณสมบัติของพฤติกรรมของข้อผิดพลาด

ดูเหมือนว่าเหตุใดจึงต้องวิเคราะห์วิธีการผสานต่างๆ หากเราสามารถบรรลุความแม่นยำสูงโดยเพียงแค่ลดมูลค่าของขั้นตอนการผสานรวม อย่างไรก็ตาม ให้พิจารณากราฟของพฤติกรรมของข้อผิดพลาดหลัง Rผลลัพธ์ของการคำนวณเชิงตัวเลขขึ้นอยู่กับ และจากตัวเลข นพาร์ติชั่นช่วงเวลา (นั่นคือ ที่ขั้นตอน ในส่วนที่ (1) ข้อผิดพลาดลดลงเนื่องจากขั้นตอน h ลดลง แต่ในส่วน (2) ข้อผิดพลาดในการคำนวณเริ่มครอบงำ สะสมเป็นผลมาจากการดำเนินการเลขคณิตมากมาย ดังนั้น , สำหรับแต่ละวิธีมีของตัวเอง Rminซึ่งขึ้นอยู่กับปัจจัยหลายประการ แต่โดยหลักแล้ว อยู่ที่ค่าลำดับความสำคัญของข้อผิดพลาดของวิธีการ R.

สูตรความประณีตของ Romberg

วิธี Romberg ประกอบด้วยการปรับแต่งค่าของอินทิกรัลอย่างต่อเนื่องด้วยการเพิ่มจำนวนพาร์ติชั่นหลายเท่า สูตรของสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีขั้นตอนสม่ำเสมอสามารถใช้เป็นฐานได้ ชม..
แสดงถึงอินทิกรัลกับจำนวนพาร์ติชั่น น= 1 เป็น .
ลดขั้นตอนลงครึ่งหนึ่งเราได้รับ .
หากเราลดขั้นตอนต่อเนื่องเป็น 2 n ครั้ง เราจะได้ความสัมพันธ์แบบเรียกซ้ำสำหรับการคำนวณ

ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย. หาก f(x) ต่อเนื่องบนเซกเมนต์ แสดงว่ามีจุดดังกล่าว . หมอ ฟังก์ชันที่ต่อเนื่องบนเซ็กเมนต์ใช้ค่า m ที่เล็กที่สุดและค่า M สูงสุดในส่วนนี้ แล้ว . ตัวเลข อยู่ระหว่างค่าต่ำสุดและสูงสุดของฟังก์ชันในส่วน หนึ่งในคุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่งคือฟังก์ชันนี้ใช้ค่าใดๆ ระหว่าง m และ M ดังนั้นจึงมีจุดหนึ่งที่ . คุณสมบัตินี้มีการตีความทางเรขาคณิตอย่างง่าย: ถ้าต่อเนื่องในส่วน , แล้วมีจุดเช่นว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ABCD เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีฐานและความสูง f(c) ( เน้นในรูป)

7. อินทิกรัลที่มีขีดจำกัดบนของตัวแปร ความต่อเนื่องและความแตกต่างของมัน

พิจารณาฟังก์ชัน f (x) ที่รีมันน์รวมเข้ากับช่วงเวลา เนื่องจากเป็น integraable on จึงสามารถรวมเข้ากับ ∀x ∈ ได้ จากนั้นสำหรับแต่ละ x ∈ นิพจน์ก็สมเหตุสมผล และสำหรับแต่ละ x จะเท่ากับจำนวนหนึ่ง

ดังนั้น x ∈ แต่ละตัวจึงสัมพันธ์กับจำนวนหนึ่ง

เหล่านั้น. ฟังก์ชั่นได้รับ:

(3.1)

คำนิยาม:

ฟังก์ชัน F (x) ที่กำหนดใน (3.1) เช่นเดียวกับนิพจน์เอง เรียกว่า

อินทิกรัลที่มีขีดจำกัดบนของตัวแปร มีการกำหนดไว้ในส่วนทั้งหมด

บูรณาการของฟังก์ชัน f (x)

เงื่อนไข: f (t) ต่อเนื่องบน และฟังก์ชัน F (x) ถูกกำหนดโดยสูตร (3.1)

คำสั่ง: ฟังก์ชัน F(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ และ F (x) = f (x)

(ที่ a มันหาอนุพันธ์ได้ทางขวา และที่ b มันหาอนุพันธ์ได้ทางซ้าย)

การพิสูจน์:

เนื่องจากสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัวแปร F (x) ดิฟเฟอเรนติเอได้เทียบเท่ากับการมีอยู่ของอนุพันธ์ที่ทุกจุด (ที่จุด a ทางด้านขวา และที่จุด b ทางด้านซ้าย) จากนั้นเราจะพบอนุพันธ์ F (x) . พิจารณาความแตกต่าง

ทางนี้,

ยิ่งไปกว่านั้น จุด ξ อยู่บนส่วน (หรือถ้า ∆x< 0).

ตอนนี้จำได้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน F(x) ที่จุดที่กำหนด x ∈ เท่ากับขีดจำกัดของความสัมพันธ์ส่วนต่าง: . จากความเท่าเทียมกันเรามี:

,

ให้ ∆x → 0 ตอนนี้ ทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันนี้ เราจะได้ F’(x) และทางด้านขวา

จำคำจำกัดความของความต่อเนื่องของฟังก์ชัน f (t) ที่จุด x:

ให้ x1 เท่ากับ ξ ในนิยามนี้ ตั้งแต่ ξ ∈ (ξ ∈ ) และ

∆x → 0 จากนั้น |x − ξ| → 0 และตามคำจำกัดความของความต่อเนื่อง f (ξ) → f (x) ดังนั้นเราจึงมี:

F'(x) = f(x)

ผลที่ตามมา:

เงื่อนไข: f (x) ต่อเนื่องบน .

คำชี้แจง: แอนติเดริเวทีฟใดๆ ของฟังก์ชัน f (x) มีรูปแบบ

โดยที่ C ∈ R เป็นค่าคงที่บางค่า

การพิสูจน์. โดยทฤษฎีบท 3.1 ฟังก์ชัน เป็นแบบอย่างสำหรับ ฉ(x). สมมติว่า G(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟ f (x) อีกตัวหนึ่ง จากนั้น G'(x) = f(x) และสำหรับฟังก์ชัน F(x) − G(x) เรามี: (F (x) + G(x))' = F'(x)−G'(x) = f (x)−f(x) ≡ 0 ดังนั้น อนุพันธ์ของฟังก์ชัน F (x)−G (x)

เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ฟังก์ชันนี้เป็นค่าคงที่ F(x) − G(x) = const

8. สูตร Newton-Leibniz สำหรับอินทิกรัลที่แน่นอน

ทฤษฎีบท:

สภาพ: f(t) ต่อเนื่องบน และ F(x) คือแอนติเดริเวทีฟใดๆ ของมัน

คำแถลง:

การพิสูจน์:พิจารณาแอนติเดริเวทีฟ F (x) ของฟังก์ชัน f (x) ตามข้อพิสูจน์จากทฤษฎีบท "ในความแตกต่างของอินทิกรัลที่มีขีดจำกัดบนของตัวแปร" (ดูคำถามก่อนหน้า) มันมีรูปแบบ . จากที่นี่

=> ค= F(เอ) , และ

ลองย้าย F(a) ในความเท่าเทียมกันสุดท้ายไปทางซ้าย กำหนดตัวแปรการรวมอีกครั้งเป็น x และรับสูตร Newton-Leibniz: