สูตรความสูงของพีระมิดสามเหลี่ยม พีระมิด

คำนิยาม

พีระมิดเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2...A_n\) และ \(n\) สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกัน \(P\) (ไม่อยู่ในระนาบของรูปหลายเหลี่ยม) และด้านตรงข้ามประชิดกับด้านข้างของ รูปหลายเหลี่ยม
การกำหนด: \(PA_1A_2...A_n\)
ตัวอย่าง: พีระมิดห้าเหลี่ยม \(PA_1A_2A_3A_4A_5\)

สามเหลี่ยม \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) เป็นต้น เรียกว่า ใบหน้าด้านข้างปิรามิด ส่วน \(PA_1, PA_2\) เป็นต้น - ซี่โครงข้าง, รูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – พื้นฐาน, จุด \(P\) – ประชุมสุดยอด.

ส่วนสูงพีระมิดเป็นเส้นตั้งฉากที่หล่นจากด้านบนของปิรามิดไปยังระนาบของฐาน

พีระมิดที่มีรูปสามเหลี่ยมที่ฐานเรียกว่า จัตุรมุข.

ปิรามิดเรียกว่า ถูกต้องหากฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

\((a)\) ขอบด้านข้างของปิรามิดเท่ากัน

\((b)\) ความสูงของปิรามิดผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบฐานใกล้กับฐาน

\((c)\) ซี่โครงด้านข้างเอียงไปที่ระนาบฐานในมุมเดียวกัน

\((d)\) ใบหน้าด้านข้างเอียงไปที่ระนาบฐานในมุมเดียวกัน

จัตุรมุขปกติเป็นปิรามิดรูปสามเหลี่ยม ทุกหน้ามีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่ากัน

ทฤษฎีบท

เงื่อนไข \((a), (b), (c), (d)\) มีค่าเท่ากัน

การพิสูจน์

วาดความสูงของปิรามิด \(PH\) . ให้ \(\alpha\) เป็นระนาบของฐานปิรามิด

1) ให้เราพิสูจน์ว่า \(((a)\) หมายถึง \((b)\) ให้ \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\)

เพราะ \(PH\perp \alpha\) จากนั้น \(PH\) จะตั้งฉากกับเส้นใดๆ ที่อยู่ในระนาบนี้ ดังนั้นสามเหลี่ยมจึงมีมุมฉาก ดังนั้นสามเหลี่ยมเหล่านี้จึงเท่ากันในขาธรรมดา \(PH\) และด้านตรงข้ามมุมฉาก \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) ดังนั้น \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) ซึ่งหมายความว่าจุด \(A_1, A_2, ..., A_n\) อยู่ในระยะเดียวกันจากจุด \(H\) ดังนั้น พวกเขาอยู่ในวงกลมเดียวกันกับรัศมี \(A_1H\) ตามคำจำกัดความ วงกลมนี้ล้อมรอบด้วยรูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2...A_n\)

2) ให้เราพิสูจน์ว่า \(((b)\) หมายถึง \((c)\)

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)สี่เหลี่ยมและเท่ากันในสองขา ดังนั้นมุมของพวกมันจึงเท่ากัน ดังนั้น \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) ให้เราพิสูจน์ว่า \((c)\) หมายถึง \((a)\)

คล้ายกับจุดแรก สามเหลี่ยม \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)สี่เหลี่ยมและตามขาและมุมแหลม ซึ่งหมายความว่าด้านตรงข้ามมุมฉากของพวกมันเท่ากัน นั่นคือ \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\)

4) ให้เราพิสูจน์ว่า \(((b)\) หมายถึง \((d)\)

เพราะ ในรูปหลายเหลี่ยมปกติ จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบและที่จารึกไว้จะตรงกัน (โดยทั่วไป จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติ) จากนั้น \(H\) จะเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ ลองวาดเส้นตั้งฉากจากจุด \(H\) ไปยังด้านข้างของฐาน: \(HK_1, HK_2\) เป็นต้น นี่คือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ (ตามคำจำกัดความ) จากนั้น ตาม TTP (\(PH\) จะตั้งฉากกับระนาบ \(HK_1, HK_2\) ฯลฯ เป็นเส้นโครงตั้งฉากกับด้านข้าง) เฉียง \(PK_1, PK_2\) เป็นต้น ตั้งฉากกับด้านข้าง \(A_1A_2, A_2A_3\) เป็นต้น ตามลำดับ ดังนั้น ตามคำนิยาม \(\มุม PK_1H, \มุม PK_2H\)เท่ากับมุมระหว่างด้านกับฐาน เพราะ สามเหลี่ยม \(PK_1H, PK_2H, ...\) เท่ากัน (เป็นมุมฉากบนสองขา) จากนั้นเป็นมุม \(\มุม PK_1H, \มุม PK_2H, ...\)มีค่าเท่ากัน

5) ให้เราพิสูจน์ว่า \((d)\) หมายถึง \((b)\)

ในทำนองเดียวกันกับจุดที่สี่ สามเหลี่ยม \(PK_1H, PK_2H, ...\) เท่ากัน (เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าตามขาและมุมแหลม) ซึ่งหมายความว่าส่วน \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) มีค่าเท่ากัน ดังนั้น ตามคำจำกัดความ \(H\) เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในฐาน แต่ตั้งแต่ สำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติ จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกและล้อมรอบจะตรงกัน จากนั้น \(H\) จะเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ Chtd.

ผลที่ตามมา

ใบหน้าด้านข้างของพีระมิดปกติเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน

คำนิยาม

ความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติที่ดึงมาจากด้านบนเรียกว่า เภสัช.
เส้นตั้งฉากของใบหน้าด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดปกติมีค่าเท่ากันและเป็นค่ามัธยฐานและส่วนแบ่งครึ่งด้วย

หมายเหตุสำคัญ

1. ความสูงของพีระมิดสามเหลี่ยมปกติตกลงไปที่จุดตัดของความสูง (หรือแบ่งครึ่งหรือค่ามัธยฐาน) ของฐาน (ฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ)

2. ความสูงของปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมปกติตกลงมาจนถึงจุดตัดของเส้นทแยงมุมของฐาน (ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส)

3. ความสูงของพีระมิดหกเหลี่ยมปกติตกลงมาจนถึงจุดตัดของเส้นทแยงมุมของฐาน (ฐานเป็นรูปหกเหลี่ยมปกติ)

4. ความสูงของปิรามิดตั้งฉากกับเส้นตรงที่วางอยู่บนฐาน

คำนิยาม

ปิรามิดเรียกว่า สี่เหลี่ยมถ้าขอบด้านข้างด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกับระนาบของฐาน

หมายเหตุสำคัญ

1. สำหรับพีระมิดสี่เหลี่ยม ขอบตั้งฉากกับฐานคือความสูงของปิรามิด นั่นคือ \(SR\) คือความสูง

2. เพราะ \(SR\) ตั้งฉากกับเส้นใด ๆ จากฐาน แล้ว \(\สามเหลี่ยม SRM, \สามเหลี่ยม SRP\)เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

3. สามเหลี่ยม \(\สามเหลี่ยม SRN, \สามเหลี่ยม SRK\)เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วย
นั่นคือ สามเหลี่ยมใดๆ ที่เกิดขึ้นจากขอบนี้และเส้นทแยงมุมที่ออกมาจากจุดยอดของขอบนี้ ซึ่งอยู่ที่ฐาน จะเป็นมุมฉาก

\[(\Large(\text(ปริมาตรและพื้นที่ผิวของปิรามิด))))\]

ทฤษฎีบท

ปริมาตรของปิรามิดเท่ากับหนึ่งในสามของผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูงของปิรามิด: \

ผลที่ตามมา

ให้ \(a\) เป็นด้านข้างของฐาน \(h\) เป็นความสูงของปิรามิด

1. ปริมาตรของพีระมิดสามเหลี่ยมปกติคือ \(V_(\text(สามเหลี่ยมมุมฉาก pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. ปริมาตรของพีระมิดสี่เหลี่ยมปกติคือ \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. ปริมาตรของพีระมิดหกเหลี่ยมปกติคือ \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. ปริมาตรของจัตุรมุขปกติคือ \(V_(\text(ขวา tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

ทฤษฎีบท

พื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดปกติเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นรอบวงฐานและเส้นตั้งฉาก

\[(\Large(\text(พีระมิดที่ถูกตัดทอน)))\]

คำนิยาม

พิจารณาพีระมิดตามอำเภอใจ \(PA_1A_2A_3...A_n\) ให้เราวาดระนาบขนานกับฐานของปิรามิดผ่านจุดหนึ่งซึ่งอยู่บนขอบด้านข้างของปิรามิด ระนาบนี้จะแบ่งพีระมิดออกเป็นสองรูปทรงหลายเหลี่ยม อันหนึ่งเป็นพีระมิด (\(PB_1B_2...B_n\) ) และอีกอันเรียกว่า ปิรามิดที่ถูกตัดทอน(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) )

พีระมิดที่ถูกตัดทอนมีสองฐาน - รูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2...A_n\) และ \(B_1B_2...B_n\) ซึ่งคล้ายกัน

ความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นเส้นตั้งฉากจากจุดหนึ่งของฐานบนถึงระนาบของฐานล่าง

หมายเหตุสำคัญ

1. ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมู

2. ส่วนที่เชื่อมต่อศูนย์กลางของฐานของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ (นั่นคือ ปิรามิดที่ได้จากส่วนของปิรามิดปกติ) คือความสูง

เมื่อแก้ปัญหา C2 โดยใช้วิธีการประสานงาน นักเรียนหลายคนประสบปัญหาเดียวกัน คำนวณไม่ได้ พิกัดจุดรวมอยู่ในสูตรผลิตภัณฑ์สเกลาร์ ความยากที่สุดคือ ปิรามิด. และหากคะแนนฐานถือว่าปกติมากหรือน้อยก็ถือว่ายอดแย่จริงๆ

วันนี้เราจะจัดการกับปิรามิดสี่เหลี่ยมปกติ นอกจากนี้ยังมีปิรามิดสามเหลี่ยม (aka - จัตุรมุข). นี่คือการออกแบบที่ซับซ้อนมากขึ้น ดังนั้นจึงมีบทเรียนแยกต่างหาก

เริ่มต้นด้วยคำจำกัดความ:

ปิรามิดปกติเป็นสิ่งที่:

1. ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ: สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมจัตุรัส ฯลฯ
2. ความสูงที่ลากไปที่ฐานจะทะลุผ่านจุดศูนย์กลาง

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฐานของพีระมิดสี่เหลี่ยมคือ สี่เหลี่ยม. เช่นเดียวกับ Cheops เพียงเล็กน้อยเท่านั้น

ด้านล่างนี้คือการคำนวณสำหรับปิรามิดที่มีขอบทั้งหมดเท่ากับ 1 หากนี่ไม่ใช่กรณีในปัญหาของคุณ การคำนวณจะไม่เปลี่ยนแปลง - เพียงแค่ตัวเลขจะแตกต่างกัน

จุดยอดของปิรามิดสี่เหลี่ยม

ดังนั้น ให้ SABCD พีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ โดยที่ S อยู่ด้านบน ฐานของ ABCD คือสี่เหลี่ยม ขอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 1 จำเป็นต้องเข้าสู่ระบบพิกัดและค้นหาพิกัดของจุดทั้งหมด เรามี:

เราแนะนำระบบพิกัดที่มีจุดเริ่มต้นที่จุด A:

1. แกน OX ขนานกับขอบ AB ;
2. แกน OY - ขนานกับ AD เนื่องจาก ABCD เป็นสี่เหลี่ยมจตุรัส AB ⊥ AD ;
3. สุดท้าย แกน OZ จะพุ่งขึ้นไปข้างบน โดยตั้งฉากกับระนาบ ABCD

ตอนนี้เราพิจารณาพิกัด โครงสร้างเพิ่มเติม: SH - ความสูงที่ดึงไปที่ฐาน เพื่อความสะดวกเราจะนำฐานของปิรามิดออกมาเป็นรูปแยกต่างหาก เนื่องจากจุด A , B , C และ D อยู่ในระนาบ OXY พิกัดของมันคือ z = 0 เรามี:

1. A = (0; 0; 0) - ตรงกับที่มา;
2. B = (1; 0; 0) - ทีละ 1 ตามแกน OX จากจุดเริ่มต้น
3. C = (1; 1; 0) - ทีละขั้นตอน 1 ตามแกน OX และ 1 ตามแกน OY
4. D = (0; 1; 0) - ก้าวไปตามแกน OY เท่านั้น
5. H \u003d (0.5; 0.5; 0) - ศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัสตรงกลางของส่วน AC

มันยังคงค้นหาพิกัดของจุด S. โปรดทราบว่าพิกัด x และ y ของจุด S และ H เหมือนกันเพราะอยู่บนเส้นตรงขนานกับแกน OZ มันยังคงค้นหาพิกัด z สำหรับจุด S

พิจารณาสามเหลี่ยม ASH และ ABH :

1. AS = AB = 1 ตามเงื่อนไข
2. มุม AHS = AHB = 90° เนื่องจาก SH คือความสูง และ AH ⊥ HB เป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
3. ด้าน AH - ทั่วไป

ดังนั้น สามเหลี่ยมมุมฉาก ASH และ ABH เท่ากันขาข้างหนึ่งและด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้น SH = BH = 0.5 BD แต่ BD เป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน 1 ดังนั้นเราจึงมี:

พิกัดทั้งหมดของจุด S:

โดยสรุป เราเขียนพิกัดของจุดยอดทั้งหมดของพีระมิดสี่เหลี่ยมปกติ:

จะทำอย่างไรเมื่อซี่โครงไม่เท่ากัน

แต่ถ้าขอบด้านข้างของพีระมิดไม่เท่ากับขอบฐานล่ะ ในกรณีนี้ ให้พิจารณารูปสามเหลี่ยม AHS:

สามเหลี่ยม AHS- สี่เหลี่ยมและด้านตรงข้ามมุมฉาก AS ก็เป็นขอบด้านข้างของ SABCD ปิรามิดดั้งเดิมด้วย ขา AH พิจารณาได้ง่าย: AH = 0.5 AC ค้นหาขาที่เหลือ SH ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส. นี่จะเป็นพิกัด z สำหรับจุด S

งาน. รับ SABCD ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติที่ฐานซึ่งมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านที่ 1 ขอบด้านข้าง BS = 3 ค้นหาพิกัดของจุด S

เราทราบพิกัด x และ y ของจุดนี้แล้ว: x = y = 0.5 สืบเนื่องมาจากข้อเท็จจริงสองประการ:

1. การฉายภาพของจุด S บนระนาบ OXY คือจุด H;
2. ในเวลาเดียวกัน จุด H เป็นจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยม ABCD ซึ่งทุกด้านมีค่าเท่ากับ 1

ยังคงต้องหาพิกัดของจุด S พิจารณาสามเหลี่ยม AHS เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีด้านตรงข้ามมุมฉาก AS = BS = 3 ขา AH เป็นครึ่งแนวทแยง สำหรับการคำนวณเพิ่มเติม เราต้องการความยาว:

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับรูปสามเหลี่ยม AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 เรามี:

ดังนั้น พิกัดของจุด S:

แนวคิดพีระมิด

คำจำกัดความ 1

รูปทรงเรขาคณิตที่เกิดจากรูปหลายเหลี่ยมและจุดที่ไม่ได้อยู่ในระนาบที่มีรูปหลายเหลี่ยมนี้ ซึ่งเชื่อมต่อกับจุดยอดทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมนั้นเรียกว่าปิรามิด (รูปที่ 1)

รูปหลายเหลี่ยมที่พีระมิดประกอบขึ้นเรียกว่าฐานของปิรามิดรูปสามเหลี่ยมที่ได้จากการเชื่อมต่อกับจุดคือใบหน้าด้านข้างของปิรามิดด้านของรูปสามเหลี่ยมคือด้านข้างของปิรามิดและจุดร่วมสำหรับทุกคน สามเหลี่ยมคือยอดปิรามิด

ประเภทของปิรามิด

ขึ้นอยู่กับจำนวนมุมที่ฐานของปิรามิดนั้นสามารถเรียกได้ว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมและอื่น ๆ (รูปที่ 2)

รูปที่ 2

ปิรามิดอีกประเภทหนึ่งคือปิรามิดธรรมดา

ให้เราแนะนำและพิสูจน์คุณสมบัติของปิรามิดทั่วไป

ทฤษฎีบท 1

ใบหน้าด้านข้างทุกด้านของปิรามิดปกติเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่เท่ากัน

การพิสูจน์.

พิจารณาพีระมิด $n-$gonal ปกติที่มีจุดยอด $S$ สูง $h=SO$ ลองอธิบายวงกลมรอบฐาน (รูปที่ 4)

รูปที่ 4

พิจารณาสามเหลี่ยม $SOA$ โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้

เห็นได้ชัดว่าขอบด้านใด ๆ จะถูกกำหนดในลักษณะนี้ ดังนั้นขอบด้านข้างทั้งหมดจึงเท่ากัน กล่าวคือ ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ให้เราพิสูจน์ว่าพวกเขาเท่าเทียมกัน เนื่องจากฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ฐานของหน้าด้านข้างทั้งหมดจึงเท่ากัน ดังนั้น ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดจึงเท่ากันตามเครื่องหมาย III ของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตอนนี้เราแนะนำคำจำกัดความต่อไปนี้ที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดของปิรามิดปกติ

คำจำกัดความ 3

เส้นตั้งฉากของพีระมิดปกติคือความสูงของใบหน้าด้านข้าง

แน่นอน โดยทฤษฎีบท 1 เส้นตั้งฉากทั้งหมดเท่ากัน

ทฤษฎีบท 2

พื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดปกติถูกกำหนดเป็นผลคูณของกึ่งปริมณฑลของฐานและเส้นตั้งฉาก

การพิสูจน์.

ให้เราแสดงด้านข้างของฐานของพีระมิดถ่านหิน $n-$coal เป็น $a$ และเส้นตั้งฉากเป็น $d$ ดังนั้น พื้นที่ของใบหน้าด้านข้างจึงเท่ากับ

เนื่องจากตามทฤษฎีบท 1 ทุกด้านเท่ากัน ดังนั้น

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ปิรามิดอีกประเภทหนึ่งคือปิรามิดที่ถูกตัดทอน

คำจำกัดความ 4

หากระนาบขนานกับฐานถูกลากผ่านพีระมิดธรรมดา ตัวเลขที่เกิดขึ้นระหว่างระนาบนี้กับระนาบของฐานจะเรียกว่าพีระมิดที่ถูกตัดทอน (รูปที่ 5)

รูปที่ 5. ปิรามิดที่ถูกตัดทอน

ใบหน้าด้านข้างของพีระมิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

ทฤษฎีบท 3

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติถูกกำหนดเป็นผลคูณของผลรวมของเซมิปริมิเตอร์ของฐานและระยะตั้งฉาก

การพิสูจน์.

ให้เราแสดงด้านของฐานของพีระมิดถ่านหิน $n-$coal โดย $a\ และ\ b$ ตามลำดับ และเส้นตั้งฉากด้วย $d$ ดังนั้น พื้นที่ของใบหน้าด้านข้างจึงเท่ากับ

เนื่องจากทุกด้านเท่ากัน ดังนั้น

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างงาน

ตัวอย่าง 1

หาพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของพีระมิดสามเหลี่ยมที่ถูกตัดทอน หากได้มาจากพีระมิดปกติที่มีด้านฐาน 4 และด้านตั้งฉาก 5 โดยระนาบที่ตัดผ่านเส้นกึ่งกลางของใบหน้าด้านข้าง

วิธีการแก้.

ตามทฤษฎีบทเส้นมัธยฐาน เราได้รับว่าฐานบนของพีระมิดที่ถูกตัดทอนเท่ากับ $4\cdot \frac(1)(2)=2$ และเส้นตั้งฉากเท่ากับ $5\cdot \frac(1)( 2)=2.5$

จากนั้นตามทฤษฎีบทที่ 3 เราจะได้

สมมติฐาน:เราเชื่อว่าความสมบูรณ์แบบของรูปทรงปิรามิดนั้นเกิดจากกฎทางคณิตศาสตร์ที่ฝังอยู่ในรูปร่างของมัน

เป้า:ได้ศึกษาปิรามิดเป็นรูปทรงเรขาคณิต เพื่ออธิบายความสมบูรณ์ของรูปแบบ

งาน:

1. ให้คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ของปิรามิด

2. ศึกษาปิรามิดเป็นรูปทรงเรขาคณิต

3. ทำความเข้าใจว่าชาวอียิปต์มีความรู้ทางคณิตศาสตร์อะไรบ้างในปิรามิด

คำถามส่วนตัว:

1. ปิรามิดเป็นรูปทรงเรขาคณิตคืออะไร?

2. จะอธิบายรูปทรงที่เป็นเอกลักษณ์ของพีระมิดทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไร?

3. อะไรอธิบายความมหัศจรรย์ทางเรขาคณิตของปิรามิด?

4. อะไรอธิบายความสมบูรณ์แบบของรูปทรงปิรามิด?

นิยามของปิรามิด

พีระมิด (จากภาษากรีก pyramis สกุล n. pyramidos) - รูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมและใบหน้าที่เหลือเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดทั่วไป (รูป) ตามจำนวนมุมของฐาน ปิรามิดเป็นรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ฯลฯ

พีระมิด - โครงสร้างอนุสาวรีย์ที่มีรูปทรงเรขาคณิตของปิรามิด (บางครั้งก็เป็นขั้นบันไดหรือรูปหอคอย) สุสานยักษ์ของฟาโรห์อียิปต์โบราณในสหัสวรรษที่ 3-2 ก่อนคริสต์ศักราชเรียกว่าปิรามิด e. เช่นเดียวกับแท่นวัดอเมริกันโบราณ (ในเม็กซิโก, กัวเตมาลา, ฮอนดูรัส, เปรู) ที่เกี่ยวข้องกับลัทธิจักรวาลวิทยา

เป็นไปได้ว่าคำภาษากรีก "พีระมิด" มาจากสำนวนอียิปต์ per-em-us นั่นคือจากคำที่หมายถึงความสูงของปิรามิด นักอียิปต์วิทยาชาวรัสเซียผู้โด่งดัง V. Struve เชื่อว่าภาษากรีก “puram…j” มาจาก “p”-mr” ของชาวอียิปต์โบราณ

จากประวัติศาสตร์. หลังจากศึกษาเนื้อหาในตำรา "เรขาคณิต" โดยผู้เขียน Atanasyan Butuzova และคนอื่น ๆ เราได้เรียนรู้ว่า: รูปทรงหลายเหลี่ยมประกอบด้วย n-gon A1A2A3 ... สามเหลี่ยมและ n RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 เรียกว่าปิรามิด รูปหลายเหลี่ยม A1A2A3 ... An คือฐานของปิรามิด และสามเหลี่ยม RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 คือใบหน้าด้านข้างของปิรามิด P คือส่วนบนของปิรามิด ส่วน RA1, RA2, .. ., RAN คือขอบด้านข้าง

อย่างไรก็ตามคำจำกัดความของปิรามิดดังกล่าวไม่เคยมีอยู่จริง ตัวอย่างเช่น นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ ผู้เขียนบทความเชิงทฤษฎีเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่ลงมาให้เรา Euclid กำหนดปิรามิดว่าเป็นร่างที่มั่นคงล้อมรอบด้วยระนาบที่บรรจบกันจากระนาบหนึ่งไปยังจุดหนึ่ง

แต่คำจำกัดความนี้ได้รับการวิพากษ์วิจารณ์แล้วในสมัยโบราณ ดังนั้นนกกระสาจึงเสนอคำจำกัดความของปิรามิดดังต่อไปนี้: "นี่คือรูปที่ล้อมรอบด้วยสามเหลี่ยมมาบรรจบกันที่จุดหนึ่งและฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม"

กลุ่มของเราที่เปรียบเทียบคำจำกัดความเหล่านี้ได้ข้อสรุปว่าพวกเขาไม่มีการกำหนดแนวคิดของ "รากฐาน" ที่ชัดเจน

เราศึกษาคำจำกัดความเหล่านี้และพบคำจำกัดความของ Adrien Marie Legendre ซึ่งในปี ค.ศ. 1794 ในงานของเขา "Elements of Geometry" ได้ให้คำจำกัดความของพีระมิดดังนี้: "พีระมิดเป็นรูปร่างกายที่เกิดจากสามเหลี่ยมมาบรรจบกันที่จุดหนึ่งและสิ้นสุดที่ด้านต่างๆ ของ ฐานแบน”

สำหรับเราดูเหมือนว่าคำจำกัดความสุดท้ายจะให้แนวคิดที่ชัดเจนเกี่ยวกับปิรามิด เพราะมันหมายถึงความจริงที่ว่าฐานแบน คำจำกัดความของปิรามิดอีกประการหนึ่งปรากฏในหนังสือเรียนสมัยศตวรรษที่ 19: “ปิรามิดเป็นมุมทึบที่ระนาบตัดกัน”

พีระมิดเป็นรูปทรงเรขาคณิต

ที่. พีระมิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมซึ่งมีใบหน้า (ฐาน) เป็นรูปหลายเหลี่ยม ใบหน้าที่เหลือ (ด้าน) เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันหนึ่งจุด (ด้านบนของปิรามิด)

เส้นตั้งฉากที่ลากจากยอดปิรามิดไปยังระนาบของฐานเรียกว่า ความสูงชม.ปิรามิด

นอกจากปิรามิดตามอำเภอใจแล้ว ยังมี ปิรามิดขวา,ที่ฐานซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและ ปิรามิดที่ถูกตัดทอน

ในรูป - พีระมิด PABCD, ABCD - ฐานของมัน, PO - ความสูง

พื้นที่ผิวเต็ม ปิรามิดเรียกว่าผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมด

Sfull = Sside + Sbase,ที่ไหน ซีไซด์คือผลรวมของพื้นที่ใบหน้าด้านข้าง

ปริมาตรปิรามิด หาได้ตามสูตรดังนี้

V=1/3Sbase ชม.ที่ไหน โสน. - พื้นที่ฐาน ชม.- ความสูง.

แกนของปิรามิดปกติเป็นเส้นตรงที่มีความสูง
Apothem ST - ความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติ

พื้นที่ด้านข้างของพีระมิดปกติแสดงดังนี้: Sside =1/2P ชม.โดยที่ P คือปริมณฑลของฐาน ชม.- ความสูงของใบหน้าด้านข้าง (จุดตั้งฉากของพีระมิดปกติ) หากพีระมิดถูกข้ามโดยระนาบ A'B'C'D' ขนานกับฐาน ดังนั้น:

1) ขอบด้านข้างและความสูงถูกแบ่งโดยระนาบนี้ออกเป็นส่วนๆ

2) ในส่วนนี้จะได้รับรูปหลายเหลี่ยม A'B'C'D' ซึ่งคล้ายกับฐาน

DIV_ADBLOCK914">

พีระมิดสามเหลี่ยมปกติเรียกว่า จัตุรมุข .

ปิรามิดที่ถูกตัดทอน ได้มาจากการตัดส่วนบนออกจากพีระมิดด้วยระนาบขนานกับฐาน (รูป ABCDD'C'B'A')

ฐานของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน ABCD และ A`B`C`D' ใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

ส่วนสูงปิรามิดที่ถูกตัดทอน - ระยะห่างระหว่างฐาน

ปริมาณที่ถูกตัดทอนปิรามิดถูกค้นพบโดยสูตร:

วี=1/3 ชม.(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> พื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดที่ตัดปกติ แสดงได้ดังนี้ Sside. = ½(P+P') ชม.โดยที่ P และ P’ คือปริมณฑลของฐาน ชม.- ความสูงของใบหน้าด้านข้าง

ส่วนของปิรามิด

ส่วนของปิรามิดโดยระนาบผ่านด้านบนเป็นรูปสามเหลี่ยม

ส่วนที่ผ่านสองขอบด้านข้างของพีระมิดที่ไม่ติดกันเรียกว่า ส่วนในแนวทแยง

หากส่วนผ่านจุดบนขอบด้านข้างและด้านข้างของฐาน ด้านนี้จะเป็นรอยบนระนาบของฐานของปิรามิด

ส่วนที่ผ่านจุดที่วางอยู่บนใบหน้าของปิรามิดและส่วนที่กำหนดบนระนาบของฐานแล้วการก่อสร้างควรดำเนินการดังนี้:

ค้นหาจุดตัดของระนาบของใบหน้าที่กำหนดและร่องรอยของส่วนปิรามิดแล้วกำหนด

สร้างเส้นตรงผ่านจุดที่กำหนดและจุดตัดที่เกิด

· ทำซ้ำขั้นตอนเหล่านี้สำหรับใบหน้าถัดไป

ซึ่งสอดคล้องกับอัตราส่วนของขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก 4:3 อัตราส่วนของขานี้สอดคล้องกับสามเหลี่ยมมุมฉากที่รู้จักกันดีซึ่งมีด้าน 3:4:5 ซึ่งเรียกว่าสามเหลี่ยม "สมบูรณ์แบบ" "ศักดิ์สิทธิ์" หรือ "อียิปต์" ตามประวัติศาสตร์ สามเหลี่ยม "อียิปต์" มีความหมายมหัศจรรย์ พลูตาร์คเขียนว่าชาวอียิปต์เปรียบเทียบธรรมชาติของจักรวาลกับสามเหลี่ยมที่ "ศักดิ์สิทธิ์" พวกเขาเปรียบเสมือนขาแนวตั้งกับสามี ฐานของภรรยา และด้านตรงข้ามมุมฉากกับสิ่งที่เกิดจากทั้งคู่

สำหรับสามเหลี่ยม 3:4:5 ความเท่าเทียมกันเป็นจริง: 32 + 42 = 52 ซึ่งแสดงทฤษฎีบทพีทาโกรัส ไม่ใช่ทฤษฎีบทนี้หรือที่นักบวชชาวอียิปต์ต้องการที่จะขยายเวลาโดยการสร้างปิรามิดบนพื้นฐานของรูปสามเหลี่ยม 3:4:5? เป็นการยากที่จะหาตัวอย่างที่ดีกว่าเพื่อแสดงทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งชาวอียิปต์รู้จักมานานก่อนการค้นพบโดยพีทาโกรัส

ดังนั้นผู้สร้างที่แยบยลของปิรามิดอียิปต์จึงพยายามสร้างความประทับใจให้ลูกหลานที่อยู่ห่างไกลด้วยความรู้อันลึกซึ้งและพวกเขาก็ทำได้โดยเลือกเป็น "แนวคิดทางเรขาคณิตหลัก" สำหรับปิรามิดแห่ง Cheops - สามเหลี่ยมมุมฉาก "สีทอง" และ สำหรับปิรามิดแห่ง Khafre - สามเหลี่ยม "ศักดิ์สิทธิ์" หรือ "อียิปต์"

บ่อยครั้งในการวิจัยนักวิทยาศาสตร์ใช้คุณสมบัติของปิรามิดที่มีสัดส่วนของส่วนสีทอง

คำจำกัดความของ Golden Section ต่อไปนี้มีอยู่ในพจนานุกรมสารานุกรมทางคณิตศาสตร์ - นี่คือการแบ่งฮาร์มอนิก การแบ่งในอัตราส่วนสูงสุดและอัตราส่วนเฉลี่ย - การแบ่งเซกเมนต์ AB ออกเป็นสองส่วนในลักษณะที่ AC ส่วนใหญ่เป็นสัดส่วนเฉลี่ย ระหว่างส่วน AB ทั้งหมดกับส่วนที่เล็กกว่า CB

การหาพีชคณิตของส่วนสีทองของเซกเมนต์ AB =ลดลงเพื่อแก้สมการ a: x = x: (a - x) โดยที่ x มีค่าเท่ากับ 0.62a โดยประมาณ อัตราส่วน x สามารถแสดงเป็นเศษส่วน 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0.618 โดยที่ 2, 3, 5, 8, 13, 21 เป็นตัวเลขฟีโบนักชี

การสร้างทางเรขาคณิตของส่วนสีทองของเซ็กเมนต์ AB ดำเนินการดังนี้: ที่จุด B, การคืนค่าตั้งฉากกับ AB, ส่วน BE \u003d 1/2 AB วางอยู่บนนั้น, A และ E เชื่อมต่อกัน, DE \ u003d BE ถูกเลื่อนออกไปและในที่สุด AC \u003d AD จากนั้นความเท่าเทียมกัน AB จะถูกเติมเต็ม: CB = 2: 3

อัตราส่วนทองคำมักใช้ในงานศิลปะ สถาปัตยกรรม และพบได้ในธรรมชาติ ตัวอย่างที่ชัดเจนคือรูปปั้นของ Apollo Belvedere, Parthenon ในระหว่างการก่อสร้างวิหารพาร์เธนอน อัตราส่วนความสูงของอาคารต่อความยาวของอาคารจะถูกใช้และอัตราส่วนนี้คือ 0.618 วัตถุรอบตัวเรายังมีตัวอย่างอัตราส่วนทองคำ เช่น การผูกหนังสือหลายเล่มมีอัตราส่วนความกว้างต่อความยาวใกล้เคียงกับ 0.618 เมื่อพิจารณาถึงการเรียงตัวของใบบนก้านไม้ทั่วไป จะสังเกตได้ว่าระหว่างใบทุกๆ สองคู่ ใบที่สามจะอยู่ในตำแหน่งของอัตราส่วนทองคำ (สไลด์) เราแต่ละคน "สวม" อัตราส่วนทองคำกับเรา "ในมือของเรา" - นี่คืออัตราส่วนของช่วงนิ้ว

ต้องขอบคุณการค้นพบปาปิริทางคณิตศาสตร์หลายอย่าง นักอียิปต์จึงได้เรียนรู้บางอย่างเกี่ยวกับระบบแคลคูลัสและการวัดของอียิปต์โบราณ งานที่มีอยู่ในนั้นได้รับการแก้ไขโดยกราน ที่มีชื่อเสียงที่สุดคือ Rhind Mathematical Papyrus จากการศึกษาปริศนาเหล่านี้ นักอียิปต์ได้เรียนรู้ว่าชาวอียิปต์โบราณจัดการกับปริมาณต่างๆ ที่เกิดขึ้นเมื่อคำนวณการวัดน้ำหนัก ความยาว และปริมาตร ซึ่งมักใช้เศษส่วน ตลอดจนวิธีที่พวกเขาจัดการกับมุม

ชาวอียิปต์โบราณใช้วิธีการคำนวณมุมตามอัตราส่วนของความสูงต่อฐานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พวกเขาแสดงมุมใด ๆ ในภาษาของการไล่ระดับสี ความชันของความชันแสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็ม เรียกว่า "seked" ในวิชาคณิตศาสตร์ในสมัยของฟาโรห์ Richard Pillins อธิบายว่า: “ส่วนที่เป็นปิรามิดปกติคือการเอียงของรูปสามเหลี่ยมหน้าใดก็ได้จากสี่ด้านไปยังระนาบของฐาน ซึ่งวัดโดยหน่วยแนวนอนจำนวน n ต่อหน่วยระดับความสูงในแนวตั้ง . ดังนั้นหน่วยวัดนี้จึงเทียบเท่ากับโคแทนเจนต์สมัยใหม่ของมุมเอียง ดังนั้นคำว่า "seked" ของอียิปต์จึงเกี่ยวข้องกับคำว่า "gradient" ที่ทันสมัยของเรา

แป้นตัวเลขของปิรามิดอยู่ในอัตราส่วนของความสูงกับฐาน ในทางปฏิบัติ นี่เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการสร้างเทมเพลตเพื่อตรวจสอบมุมเอียงที่ถูกต้องตลอดการสร้างปิรามิด

นักอียิปต์วิทยายินดีที่จะโน้มน้าวเราว่าฟาโรห์แต่ละคนกระตือรือร้นที่จะแสดงความเป็นตัวของตัวเอง ดังนั้นความแตกต่างในมุมเอียงของปิรามิดแต่ละอัน แต่อาจมีเหตุผลอื่น บางทีพวกเขาอาจต้องการรวบรวมความสัมพันธ์เชิงสัญลักษณ์ต่างๆ ที่ซ่อนอยู่ในสัดส่วนที่ต่างกัน อย่างไรก็ตาม มุมของปิรามิดของ Khafre (อิงจากรูปสามเหลี่ยม (3:4:5) ปรากฏในปัญหาสามข้อที่นำเสนอโดยปิรามิดใน Rhind Mathematical Papyrus) ดังนั้นทัศนคตินี้เป็นที่รู้จักกันดีในหมู่ชาวอียิปต์โบราณ

เพื่อความเป็นธรรมสำหรับนักอียิปต์วิทยาที่อ้างว่าชาวอียิปต์โบราณไม่รู้จักสามเหลี่ยม 3:4:5 สมมติว่าไม่เคยกล่าวถึงความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก 5 แต่ปัญหาทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับปิรามิดมักจะถูกแก้ไขโดยอาศัยมุมเอียง - อัตราส่วนของความสูงต่อฐาน เนื่องจากไม่เคยกล่าวถึงความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก จึงสรุปได้ว่าชาวอียิปต์ไม่เคยคำนวณความยาวของด้านที่สาม

อัตราส่วนความสูงต่อฐานที่ใช้ในปิรามิดแห่งกิซ่านั้นไม่ต้องสงสัยเลยว่าชาวอียิปต์โบราณรู้จัก เป็นไปได้ว่าอัตราส่วนเหล่านี้สำหรับปิรามิดแต่ละอันถูกเลือกโดยพลการ อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ขัดแย้งกับความสำคัญที่แนบมากับสัญลักษณ์เชิงตัวเลขในวิจิตรศิลป์อียิปต์ทุกประเภท เป็นไปได้มากที่ความสัมพันธ์ดังกล่าวมีความสำคัญอย่างมาก เนื่องจากพวกเขาได้แสดงแนวคิดทางศาสนาที่เฉพาะเจาะจง กล่าวอีกนัยหนึ่ง คอมเพล็กซ์ทั้งหมดของกิซ่าอยู่ภายใต้การออกแบบที่สอดคล้องกัน ซึ่งออกแบบมาเพื่อสะท้อนถึงธีมของพระเจ้าบางประเภท สิ่งนี้จะอธิบายได้ว่าทำไมนักออกแบบจึงเลือกมุมที่แตกต่างกันสำหรับปิรามิดทั้งสาม

ใน The Secret of Orion Bauval และ Gilbert ได้นำเสนอหลักฐานที่น่าเชื่อถือเกี่ยวกับความเชื่อมโยงของปิรามิดแห่งกิซ่ากับกลุ่มดาวนายพราน โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับดวงดาวของ Orion's Belt กลุ่มดาวเดียวกันนี้มีอยู่ในตำนานของ Isis และ Osiris และที่นั่น เป็นเหตุผลให้พิจารณาพีระมิดแต่ละรูปเป็นภาพหนึ่งในสามเทพหลัก - โอซิริส ไอซิส และฮอรัส

ปาฏิหาริย์ "เรขาคณิต"

ท่ามกลางปิรามิดอันยิ่งใหญ่ของอียิปต์ เป็นสถานที่พิเศษที่ถูกครอบครองโดย มหาพีระมิดแห่งฟาโรห์เชอปส์ (คูฟู). ก่อนดำเนินการวิเคราะห์รูปร่างและขนาดของปิรามิดแห่ง Cheops เราควรจำไว้ว่าระบบการวัดแบบใดที่ชาวอียิปต์ใช้ ชาวอียิปต์มีความยาวสามหน่วย: "ศอก" (466 มม.) เท่ากับเจ็ด "ฝ่ามือ" (66.5 มม.) ซึ่งในทางกลับกันก็เท่ากับสี่ "นิ้ว" (16.6 มม.)

มาวิเคราะห์ขนาดของพีระมิด Cheops (รูปที่ 2) ตามเหตุผลที่ให้ไว้ในหนังสือที่ยอดเยี่ยมของนักวิทยาศาสตร์ชาวยูเครน Nikolai Vasyutinskiy "Golden Proportion" (1990)

นักวิจัยส่วนใหญ่เห็นพ้องกันว่าความยาวของด้านฐานของพีระมิด เช่น GFเท่ากับ หลี่\u003d 233.16 ม. ค่านี้ตรงกับเกือบ 500 "ศอก" จะเป็นไปตาม 500 "ศอก" อย่างสมบูรณ์หากความยาวของ "ศอก" เท่ากับ 0.4663 ม.

พีระมิดสูง ( ชม) นักวิจัยประมาณการโดยแตกต่างจาก 146.6 ถึง 148.2 ม. และขึ้นอยู่กับความสูงที่ยอมรับของปิรามิด อัตราส่วนทั้งหมดขององค์ประกอบทางเรขาคณิตของมันจะเปลี่ยนไป อะไรคือสาเหตุของความแตกต่างในการประมาณความสูงของปิรามิด? ความจริงก็คือว่าพูดอย่างเคร่งครัดปิรามิดแห่ง Cheops ถูกตัดทอน ฐานบนของวันนี้มีขนาดประมาณ 10 ´10 ม. และเมื่อหนึ่งศตวรรษก่อนมีความสูง 6 ´ 6 ม. เห็นได้ชัดว่ายอดปิรามิดถูกรื้อออกและไม่สอดคล้องกับของเดิม

การประมาณความสูงของปิรามิดนั้นจำเป็นต้องคำนึงถึงปัจจัยทางกายภาพเช่น "ร่าง" ของโครงสร้าง เป็นเวลานานภายใต้อิทธิพลของความดันมหึมา (ถึง 500 ตันต่อ 1 m2 ของพื้นผิวด้านล่าง) ความสูงของปิรามิดลดลงเมื่อเทียบกับความสูงเดิม

ความสูงของปิรามิดเดิมคือเท่าไร? ความสูงนี้สามารถสร้างขึ้นใหม่ได้หากคุณพบ "แนวคิดทางเรขาคณิต" พื้นฐานของปิรามิด

รูปที่ 2

ในปี ค.ศ. 1837 พันเอกชาวอังกฤษ G. Wise วัดมุมเอียงของใบหน้าของปิรามิด: มันกลายเป็นเท่ากับ เอ= 51°51" นักวิจัยส่วนใหญ่ยังคงรู้จักค่านี้ในปัจจุบัน ค่าที่ระบุของมุมสอดคล้องกับแทนเจนต์ (tg เอ) เท่ากับ 1.27306 ค่านี้สอดคล้องกับอัตราส่วนความสูงของปิรามิด ACถึงครึ่งหนึ่งของฐาน CB(รูปที่ 2) กล่าวคือ AC / CB = ชม / (หลี่ / 2) = 2ชม / หลี่.

และที่นี่นักวิจัยก็ต้องพบกับความประหลาดใจครั้งใหญ่!.png" width="25" height="24">= 1.272 เมื่อเปรียบเทียบค่านี้กับค่า tg เอ= 1.27306 เราจะเห็นว่าค่าเหล่านี้อยู่ใกล้กันมาก ถ้าเราเอามุม เอ\u003d 51 ° 50" นั่นคือเพื่อลดเพียงหนึ่งนาทีอาร์คแล้วค่า เอจะเท่ากับ 1.272 นั่นคือ จะตรงกับค่าของ . ควรสังเกตว่าในปี 1840 G. Wise ทำซ้ำการวัดของเขาและชี้แจงว่าค่าของมุม เอ=51°50".

การวัดเหล่านี้ทำให้นักวิจัยตั้งสมมติฐานที่น่าสนใจมากดังต่อไปนี้: สามเหลี่ยม ASV ของปิรามิดแห่ง Cheops ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ AC / CB = = 1,272!

พิจารณาตอนนี้สามเหลี่ยมมุมฉาก ABCซึ่งในอัตราส่วนของขา AC / CB= (รูปที่ 2). ถ้าตอนนี้ความยาวของด้านของสี่เหลี่ยม ABCแสดงโดย x, y, zและคำนึงถึงอัตราส่วนด้วยว่า y/x= ดังนั้น ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความยาว zสามารถคำนวณได้จากสูตร:

ถ้ายอมรับ x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

รูปที่ 3"ทอง" สามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉากที่ด้านสัมพันธ์กันเป็น t:golden" สามเหลี่ยมมุมฉาก

จากนั้นถ้าเราใช้เป็นพื้นฐานสมมติฐานที่ว่า "แนวคิดทางเรขาคณิต" หลักของปิรามิด Cheops คือสามเหลี่ยมมุมฉาก "สีทอง" จากนั้นจึงง่ายต่อการคำนวณความสูง "การออกแบบ" ของปิรามิด Cheops เท่ากับ:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148.28 ม.

ตอนนี้ให้เราหาความสัมพันธ์อื่น ๆ สำหรับปิรามิดแห่ง Cheops ซึ่งเป็นไปตามสมมติฐาน "ทอง" โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราพบอัตราส่วนของพื้นที่รอบนอกของพีระมิดต่อพื้นที่ฐาน การทำเช่นนี้เราใช้ความยาวของขา CBต่อหน่วย กล่าวคือ CB= 1 แต่แล้วความยาวของด้านฐานของปิรามิด GF= 2 และพื้นที่ฐาน EFGHจะเท่ากับ SEFGH = 4.

ตอนนี้ให้เราคำนวณพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างของพีระมิด Cheops SD. เพราะความสูง ABสามเหลี่ยม AEFเท่ากับ t, จากนั้นพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างจะเท่ากับ SD = t. จากนั้นพื้นที่ทั้งหมดของใบหน้าทั้งสี่ด้านของปิรามิดจะเท่ากับ4 tและอัตราส่วนของพื้นที่ภายนอกทั้งหมดของปิรามิดต่อพื้นที่ฐานจะเท่ากับอัตราส่วนทองคำ! นั่นคือสิ่งที่มันเป็น - ความลับทางเรขาคณิตหลักของปิรามิดแห่ง Cheops!

กลุ่มของ "สิ่งมหัศจรรย์ทางเรขาคณิต" ของปิรามิดแห่ง Cheops รวมถึงคุณสมบัติที่แท้จริงและการประดิษฐ์ขึ้นของความสัมพันธ์ระหว่างมิติต่างๆในปิรามิด

ตามกฎแล้วจะได้รับการค้นหา "ค่าคงที่" โดยเฉพาะตัวเลข "pi" (หมายเลข Ludolf) เท่ากับ 3.14159...; ฐานของลอการิทึมธรรมชาติ "e" (เลขของเนเปียร์) เท่ากับ 2.71828...; หมายเลข "F" หมายเลข "ส่วนสีทอง" เท่ากับเช่น 0.618 ... เป็นต้น

คุณสามารถตั้งชื่อตัวอย่างเช่น: 1) คุณสมบัติของ Herodotus: (ความสูง) 2 \u003d 0.5 st. หลัก x อโพเธม; 2) ทรัพย์สินของ ว. ราคา : สูง : 0.5 สต. osn \u003d สแควร์รูทของ "Ф"; 3) คุณสมบัติของ M. Eist: ปริมณฑลของฐาน: 2 ความสูง = "Pi"; ในการตีความที่แตกต่างกัน - 2 ช้อนโต๊ะ ล. หลัก : ความสูง = "ปี่"; 4) G. Reber's property: Radius of the inscribed circle: 0.5 st. หลัก = "ฟ"; 5) ทรัพย์สินของ K. Kleppish: (St. main.) 2: 2 (st. main. x Apothem) \u003d (st. main. W. Apothem) \u003d 2 (st. main. x Apothem) : (( 2 st. main X Apothem) + (st. main) 2). เป็นต้น คุณสามารถสร้างคุณสมบัติดังกล่าวได้มากมาย โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากคุณเชื่อมต่อปิรามิดสองอันที่อยู่ติดกัน ตัวอย่างเช่น ในฐานะ "คุณสมบัติของ A. Arefiev" อาจกล่าวได้ว่าความแตกต่างระหว่างปริมาตรของปิรามิดแห่ง Cheops และปิรามิดแห่ง Khafre เท่ากับสองเท่าของปริมาตรของปิรามิด Menkaure...

โดยเฉพาะอย่างยิ่งบทบัญญัติที่น่าสนใจมากมายเกี่ยวกับการสร้างปิรามิดตาม "ส่วนสีทอง" มีกำหนดไว้ในหนังสือของ D. Hambidge "Dynamic Symmetry in Architecture" และ M. Geek "Aesthetics of Proportion in Nature and Art" จำได้ว่า "ส่วนสีทอง" คือส่วนของเซกเมนต์ในอัตราส่วนดังกล่าวเมื่อส่วน A มากกว่าส่วน B หลายเท่า A จะน้อยกว่าส่วนทั้งหมด A + B กี่เท่า อัตราส่วน A / B คือ เท่ากับหมายเลข "Ф" == 1.618 .. การใช้ "ส่วนสีทอง" ไม่ได้ระบุเฉพาะในปิรามิดแต่ละอันเท่านั้น แต่ในปิรามิดคอมเพล็กซ์ทั้งหมดในกิซ่า

อย่างไรก็ตาม สิ่งที่น่าสนใจที่สุดคือปิรามิด Cheops ตัวเดียวและ "ไม่สามารถ" มีคุณสมบัติที่ยอดเยี่ยมมากมาย การรับคุณสมบัติบางอย่างทีละตัวคุณสามารถ "ปรับ" ได้ แต่พวกมันไม่พอดีในคราวเดียว - พวกมันไม่ตรงกันพวกเขาขัดแย้งกัน ดังนั้น ตัวอย่างเช่น หากตรวจสอบคุณสมบัติทั้งหมด เริ่มจากด้านเดียวและด้านเดียวกันของฐานของปิรามิด (233 ม.) ความสูงของปิรามิดที่มีคุณสมบัติต่างกันก็จะแตกต่างกันด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่งมี "ตระกูล" ของปิรามิดบางอย่างซึ่งคล้ายกับของ Cheops แต่สอดคล้องกับคุณสมบัติที่แตกต่างกัน โปรดทราบว่าไม่มีสิ่งใดที่น่าอัศจรรย์เป็นพิเศษในคุณสมบัติ "เรขาคณิต" - ส่วนใหญ่เกิดขึ้นโดยอัตโนมัติล้วนๆ จากคุณสมบัติของรูปนั้นเอง "ปาฏิหาริย์" ควรได้รับการพิจารณาเฉพาะบางสิ่งที่เห็นได้ชัดว่าเป็นไปไม่ได้สำหรับชาวอียิปต์โบราณ ซึ่งรวมถึงปาฏิหาริย์ "จักรวาล" โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ซึ่งการวัดของพีระมิด Cheops หรือปิรามิดแห่งกิซ่านั้นถูกเปรียบเทียบกับการวัดทางดาราศาสตร์บางส่วนและมีการระบุตัวเลข "คู่": ล้านครั้ง น้อยกว่าหนึ่งพันล้านครั้ง และอื่นๆ . ลองพิจารณาความสัมพันธ์แบบ "จักรวาล" กัน

ข้อความหนึ่งคือ: "ถ้าเราหารด้านฐานของพีระมิดด้วยความยาวที่แน่นอนของปี เราจะได้ 10 ล้านแกนของโลกพอดี" คำนวณ: หาร 233 ด้วย 365 เราได้ 0.638 รัศมีของโลกคือ 6378 กม.

อีกประโยคหนึ่งตรงกันข้ามกับประโยคก่อนหน้า F. Noetling ชี้ให้เห็นว่าถ้าคุณใช้ "ข้อศอกอียิปต์" ที่คิดค้นโดยเขา ด้านข้างของปิรามิดจะสอดคล้องกับ "ระยะเวลาที่แม่นยำที่สุดของปีสุริยะซึ่งแสดงเป็นพันล้านที่ใกล้ที่สุดของวัน" - 365.540.903.777 .

คำกล่าวของ P. Smith: "ความสูงของปิรามิดเท่ากับหนึ่งพันล้านของระยะทางจากโลกถึงดวงอาทิตย์" แม้ว่าความสูงปกติจะอยู่ที่ 146.6 ม. แต่สมิ ธ ก็ใช้ความสูงได้ 148.2 ม. ตามการวัดเรดาร์สมัยใหม่ แกนกึ่งแกนหลักของวงโคจรของโลกคือ 149.597.870 + 1.6 กม. นี่คือระยะทางเฉลี่ยจากโลกถึงดวงอาทิตย์ แต่ที่จุดสิ้นสุดของโลกจะน้อยกว่าจุดสิ้นสุดของดวงอาทิตย์ 5,000,000 กิโลเมตร

คำสั่งสุดท้ายที่น่าสงสัย:

"จะอธิบายได้อย่างไรว่ามวลของปิรามิดแห่ง Cheops, Khafre และ Menkaure มีความเกี่ยวข้องกัน เช่น มวลของดาวเคราะห์ Earth, Venus, Mars?" มาคำนวณกัน มวลของปิรามิดทั้งสามมีความสัมพันธ์กันดังนี้: Khafre - 0.835; ส่วนลด - 1,000; มิกริน - 0.0915 อัตราส่วนมวลของดาวเคราะห์ทั้งสาม: ดาวศุกร์ - 0.815; ที่ดิน - 1,000; ดาวอังคาร - 0.108.

ดังนั้น แม้จะมีความกังขา แต่ให้สังเกตความกลมกลืนที่รู้จักกันดีของการสร้างข้อความ: 1) ความสูงของปิรามิดเป็นเส้น "เข้าสู่อวกาศ" - สอดคล้องกับระยะทางจากโลกถึงดวงอาทิตย์ 2) ด้านข้างของฐานของปิรามิดที่อยู่ใกล้กับ "พื้นผิว" มากที่สุดนั่นคือโลกมีหน้าที่ในรัศมีของโลกและการไหลเวียนของโลก 3) ปริมาตรของปิรามิด (อ่าน - มวล) สอดคล้องกับอัตราส่วนของมวลของดาวเคราะห์ที่อยู่ใกล้โลกมากที่สุด สามารถตรวจสอบ "รหัส" ที่คล้ายกันได้ ตัวอย่างเช่น ในภาษาผึ้ง วิเคราะห์โดย Karl von Frisch อย่างไรก็ตาม เรางดเว้นจากการแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับเรื่องนี้ในตอนนี้

รูปร่างของพีระมิด

ปิรามิดทรงจัตุรมุขที่มีชื่อเสียงไม่ปรากฏทันที ชาวไซเธียนได้ฝังศพในรูปแบบของเนินดิน - รถเข็น ชาวอียิปต์สร้าง "เนินเขา" ด้วยหิน - ปิรามิด สิ่งนี้เกิดขึ้นเป็นครั้งแรกหลังจากการรวมตัวกันของอียิปต์ตอนบนและตอนล่างในศตวรรษที่ 28 ก่อนคริสตกาล เมื่อฟาโรห์โจเซอร์ (โซเซอร์) ผู้ก่อตั้งราชวงศ์ III เผชิญกับภารกิจในการเสริมสร้างความสามัคคีของประเทศ

และตามที่นักประวัติศาสตร์กล่าวว่า "แนวคิดใหม่ของการทำให้เป็นพระเจ้า" ของซาร์มีบทบาทสำคัญในการเสริมสร้างอำนาจกลาง แม้ว่าการฝังศพของราชวงศ์จะมีความสง่างามมากกว่า แต่ก็ไม่ได้มีความแตกต่างในหลักการจากหลุมฝังศพของขุนนางในราชสำนัก เหนือห้องที่มีโลงศพบรรจุมัมมี่มีการเทหินก้อนเล็ก ๆ เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งวางอาคารขนาดเล็กที่ทำด้วยหินก้อนใหญ่ - "mastaba" (ในภาษาอาหรับ - "ม้านั่ง") ฟาโรห์โจเซอร์ได้สร้างปิรามิดแห่งแรกขึ้นที่ไซต์ของมาสทาบาของบรรพบุรุษของเขา Sanakht มันถูกขั้นบันไดและเป็นขั้นเปลี่ยนผ่านที่มองเห็นได้จากรูปแบบสถาปัตยกรรมหนึ่งไปอีกรูปแบบหนึ่ง จากมาสทาบาไปจนถึงปิรามิด

ด้วยวิธีนี้ ฟาโรห์จึงถูก "เลี้ยงดู" โดยปราชญ์และสถาปนิก อิมโฮเทป ซึ่งต่อมาได้รับการพิจารณาว่าเป็นนักมายากลและถูกระบุโดยชาวกรีกกับเทพเจ้า Asclepius ราวกับว่ามีมาสทาบาสหกตัวถูกสร้างขึ้นติดต่อกัน นอกจากนี้ พีระมิดแรกยังครอบครองพื้นที่ 1125 x 115 เมตร โดยมีความสูงประมาณ 66 เมตร (ตามมาตรการของอียิปต์ - 1,000 "ฝ่ามือ") ในตอนแรกสถาปนิกวางแผนที่จะสร้างมาสทาบา แต่ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า แต่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในแผน ต่อมาได้มีการขยาย แต่เนื่องจากส่วนต่อขยายถูกลดระดับลง จึงเกิดขั้นขึ้นสองขั้นดังที่เป็นอยู่

สถานการณ์นี้ไม่เป็นที่พอใจของสถาปนิก และบนแท่นด้านบนสุดของมาตาบาแบนขนาดใหญ่ อิมโฮเทปวางอีกสามตัว ค่อยๆ ลดลงไปด้านบน หลุมฝังศพอยู่ใต้ปิรามิด

รู้จักปิรามิดขั้นบันไดอีกหลายแห่ง แต่ต่อมาผู้สร้างได้ย้ายไปสร้างปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมที่คุ้นเคยมากขึ้น อย่างไรก็ตามทำไมไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมหรือพูดแปดเหลี่ยม? คำตอบทางอ้อมมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าปิรามิดเกือบทั้งหมดมีจุดสำคัญสี่จุดอย่างสมบูรณ์แบบ ดังนั้นจึงมีสี่ด้าน นอกจากนี้ ปิรามิดยังเป็น "บ้าน" ซึ่งเป็นเปลือกของห้องฝังศพรูปสี่เหลี่ยม

แต่อะไรทำให้เกิดมุมเอียงของใบหน้า? ในหนังสือ "หลักการของสัดส่วน" ทั้งบททุ่มเทให้กับสิ่งนี้: "สิ่งที่กำหนดมุมของปิรามิดได้" โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีการระบุว่า "ภาพที่ปิรามิดอันยิ่งใหญ่ของอาณาจักรเก่าโน้มถ่วงเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมฉากอยู่ด้านบน

ในอวกาศ มันเป็นรูปครึ่งแปดด้าน: ปิรามิดที่ขอบและด้านข้างของฐานเท่ากัน ใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า เรื่องนี้ได้รับการพิจารณาในหนังสือของ Hambidge, Geek และอื่น ๆ

ข้อดีของมุมของเซมิแปดด้านคืออะไร? ตามคำอธิบายของนักโบราณคดีและนักประวัติศาสตร์ ปิรามิดบางส่วนพังทลายลงภายใต้น้ำหนักของตัวมันเอง สิ่งที่จำเป็นคือ "มุมที่ทนทาน" ซึ่งเป็นมุมที่น่าเชื่อถือที่สุด มุมนี้ถ่ายได้จากมุมยอดในกองทรายแห้งที่แตกเป็นเสี่ยงๆ แต่เพื่อให้ได้ข้อมูลที่ถูกต้อง คุณต้องใช้โมเดล การใช้ลูกบอลที่ยึดแน่นสี่ลูกคุณต้องใส่ลูกที่ห้าลงไปแล้ววัดมุมเอียง อย่างไรก็ตาม ที่นี่คุณสามารถทำผิดพลาดได้ ดังนั้น การคำนวณเชิงทฤษฎีจะช่วยได้: คุณควรเชื่อมต่อศูนย์กลางของลูกบอลด้วยเส้น (ทางจิตใจ) ที่ฐาน คุณจะได้สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับรัศมีสองเท่า สี่เหลี่ยมจัตุรัสจะเป็นเพียงฐานของพีระมิด ความยาวของขอบจะเท่ากับรัศมีสองเท่า

ดังนั้นการบรรจุลูกบอลแบบ 1:4 อย่างหนาแน่นจะทำให้เรามีครึ่งแปดด้านปกติ

อย่างไรก็ตาม เหตุใดปิรามิดจำนวนมากที่มุ่งสู่รูปร่างที่คล้ายกัน จึงไม่รักษามันไว้? อาจเป็นเพราะปิรามิดเริ่มแก่แล้ว ตรงกันข้ามกับคำพูดที่มีชื่อเสียง:

"ทุกสิ่งในโลกกลัวเวลา และเวลากลัวปิรามิด" อาคารของปิรามิดต้องอายุมากขึ้น พวกเขาสามารถและควรเกิดขึ้นไม่เพียง แต่กระบวนการของการผุกร่อนภายนอก แต่ยังรวมถึงกระบวนการของ "การหดตัว" ภายใน ซึ่งปิรามิดอาจจะต่ำลง การหดตัวก็เป็นไปได้เช่นกันเพราะตามที่ค้นพบโดยผลงานของ D. Davidovits ชาวอียิปต์โบราณใช้เทคโนโลยีในการทำบล็อคจากมะนาวแผ่นในคำอื่น ๆ จาก "คอนกรีต" กระบวนการเหล่านี้สามารถอธิบายสาเหตุของการทำลายปิรามิด Medum ซึ่งอยู่ห่างจากกรุงไคโรไปทางใต้ 50 กม. อายุ 4600 ปี ขนาดฐาน 146 x 146 ม. สูง 118 ม. “ทำไมมันถึงถูกทำลายขนาดนี้” วี. ซามารอฟสกี ถาม “การอ้างอิงตามปกติเกี่ยวกับผลกระทบจากการทำลายล้างของเวลาและ “การใช้หินสำหรับอาคารอื่น” ไม่เหมาะที่นี่

หลังจากที่ทุกบล็อกและแผ่นพื้นส่วนใหญ่ยังคงอยู่ในซากปรักหักพังที่เท้า "อย่างที่เราจะเห็นบทบัญญัติจำนวนหนึ่งทำให้คนคิดว่าพีระมิดแห่ง Cheops ที่มีชื่อเสียงก็" หดตัว " ไม่ว่าในกรณีใด ปิรามิดจะแหลมบนรูปโบราณทั้งหมด ...

รูปร่างของปิรามิดยังสามารถสร้างขึ้นได้โดยการเลียนแบบ: ลวดลายตามธรรมชาติบางอย่าง "ความสมบูรณ์แบบที่น่าอัศจรรย์" กล่าวคือคริสตัลบางส่วนในรูปของแปดด้าน

คริสตัลดังกล่าวอาจเป็นเพชรและคริสตัลสีทอง สัญญาณ "ตัด" จำนวนมากสำหรับแนวคิดเช่นฟาโรห์, ซัน, ทอง, เพชรเป็นลักษณะเฉพาะ ทุกที่ - สูงส่ง, ยอดเยี่ยม (ยอดเยี่ยม), ยอดเยี่ยม, ไร้ที่ติและอื่น ๆ ความคล้ายคลึงกันไม่ได้ตั้งใจ

อย่างที่คุณรู้ ลัทธิสุริยะเป็นส่วนสำคัญของศาสนาของอียิปต์โบราณ “ไม่ว่าเราจะแปลชื่อปิรามิดที่ยิ่งใหญ่ที่สุดอย่างไร” หนังสือเรียนสมัยใหม่เล่มหนึ่งกล่าวว่า “Sky Khufu” หรือ “Sky Khufu” ก็หมายความว่ากษัตริย์คือดวงอาทิตย์ หาก Khufu จินตนาการว่าตัวเองเป็นดวงอาทิตย์ดวงที่สองด้วยความสามารถที่ยอดเยี่ยมของเขา Jedef-Ra ลูกชายของเขาก็กลายเป็นกษัตริย์อียิปต์คนแรกที่เริ่มเรียกตัวเองว่า "บุตรของ Ra" นั่นคือลูกชายของ ดวงอาทิตย์. ดวงอาทิตย์เป็นสัญลักษณ์ของคนเกือบทุกคนว่าเป็น "โลหะสุริยะ" ทองคำ "แผ่นทองคำเปลวแผ่นใหญ่" - ชาวอียิปต์จึงเรียกกลางวันของเราว่า ชาวอียิปต์รู้จักทองคำเป็นอย่างดี พวกเขารู้จักรูปแบบพื้นเมืองของมัน โดยที่ผลึกทองคำสามารถปรากฏเป็นรูปทรงแปดด้านได้

ในฐานะ "ตัวอย่างรูปแบบ" "หินดวงอาทิตย์" - เพชร - ก็น่าสนใจเช่นกัน ชื่อของเพชรมาจากโลกอาหรับ "อัลมาส" - ที่ยากที่สุด ยากที่สุด ทำลายไม่ได้ ชาวอียิปต์โบราณรู้จักเพชรและคุณสมบัติของเพชรค่อนข้างดี ผู้เขียนบางคนกล่าวว่าพวกเขายังใช้ท่อทองแดงกับใบมีดเพชรสำหรับเจาะ

ปัจจุบันแอฟริกาใต้เป็นผู้ผลิตเพชรรายใหญ่ แต่แอฟริกาตะวันตกก็อุดมไปด้วยเพชรเช่นกัน ดินแดนของสาธารณรัฐมาลียังถูกเรียกว่า "ดินแดนเพชร" อีกด้วย ในขณะเดียวกัน Dogon อาศัยอยู่ในอาณาเขตของมาลีซึ่งผู้สนับสนุนสมมติฐาน Paleovisit มีความหวังมากมาย (ดูด้านล่าง) เพชรไม่สามารถเป็นสาเหตุของการติดต่อของชาวอียิปต์โบราณกับภูมิภาคนี้ได้ อย่างไรก็ตามไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง เป็นไปได้อย่างแม่นยำโดยการคัดลอกแปดด้านของเพชรและคริสตัลสีทองที่ชาวอียิปต์โบราณได้แยกฟาโรห์ "ทำลายไม่ได้" เหมือนเพชรและ "เจิดจ้า" เหมือนทองบุตรของดวงอาทิตย์เปรียบได้ เฉพาะกับการสร้างสรรค์ที่ยอดเยี่ยมที่สุดของธรรมชาติ

บทสรุป:

หลังจากศึกษาปิรามิดเป็นรูปทรงเรขาคณิต ทำความคุ้นเคยกับองค์ประกอบและคุณสมบัติของมัน เราเชื่อมั่นในความถูกต้องของความคิดเห็นเกี่ยวกับความงามของรูปร่างของปิรามิด

จากการวิจัยของเรา เราได้ข้อสรุปว่าชาวอียิปต์ได้รวบรวมความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่มีค่าที่สุดได้รวบรวมไว้ในปิรามิด ดังนั้นปิรามิดจึงเป็นการสร้างธรรมชาติและมนุษย์ที่สมบูรณ์แบบที่สุดอย่างแท้จริง

บรรณานุกรม

"เรขาคณิต: Proc. สำหรับ 7 - 9 เซลล์ การศึกษาทั่วไป สถาบัน \ ฯลฯ - 9th ed. - M.: Education, 1999

ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน ม: "การตรัสรู้", 1982

เรขาคณิตเกรด 10-11, M: "การตรัสรู้", 2000

Peter Tompkins "ความลับของมหาพีระมิดแห่ง Cheops", M: "Centropoligraph", 2005

แหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html