สูตรการหาแอนติเดริเวทีฟ แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันและลักษณะทั่วไป

การบูรณาการไม่ใช่เรื่องยากที่จะเรียนรู้ ในการทำเช่นนี้คุณเพียงแค่ต้องเรียนรู้กฎเกณฑ์ที่ค่อนข้างเล็กและพัฒนาสัญชาตญาณ แน่นอนว่าเป็นเรื่องง่ายที่จะเรียนรู้กฎและสูตร แต่ค่อนข้างยากที่จะเข้าใจว่าจะใช้กฎการรวมหรือสร้างความแตกต่างนี้หรือกฎนั้นที่ไหนและเมื่อใด อันที่จริงนี่คือความสามารถในการบูรณาการ

1. สารต้านอนุพันธ์ อินทิกรัลไม่ จำกัด

สันนิษฐานว่าเมื่ออ่านบทความนี้ ผู้อ่านมีทักษะในการสร้างความแตกต่างอยู่แล้ว (เช่น การค้นหาอนุพันธ์)

คำจำกัดความ 1.1:ฟังก์ชันจะเรียกว่าแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันหากความเท่าเทียมกันคงอยู่:

ความคิดเห็น:> การเน้นคำว่า "ดั้งเดิม" สามารถเน้นได้สองวิธี: ประการแรก โอเป็นรูปเป็นร่างหรือต้นแบบ กรู้

คุณสมบัติ 1:ถ้าฟังก์ชันเป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฟังก์ชันนั้นก็จะเป็นแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันด้วย

การพิสูจน์:ขอให้เราพิสูจน์สิ่งนี้จากนิยามของแอนติเดริเวทีฟ ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ภาคเรียนแรกใน คำจำกัดความ 1.1เท่ากับ และเทอมที่สองคืออนุพันธ์ของค่าคงที่ ซึ่งเท่ากับ 0

.

มาสรุปกัน มาเขียนจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของห่วงโซ่แห่งความเท่าเทียมกัน:

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันจึงเท่ากับ และดังนั้น ตามคำนิยามแล้ว จึงเป็นแอนติเดริเวทีฟ คุณสมบัติได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำจำกัดความ 1.2:อินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชันคือชุดแอนติเดริเวทีฟทั้งชุดของฟังก์ชันนี้ สิ่งนี้ระบุไว้ดังนี้:

.

มาดูชื่อของแต่ละส่วนของบันทึกโดยละเอียด:

— การกำหนดทั่วไปของอินทิกรัล

— นิพจน์ปริพันธ์ (ปริพันธ์) ฟังก์ชันปริพันธ์

เป็นดิฟเฟอเรนเชียล และนิพจน์หลังตัวอักษร ในกรณีนี้คือ จะถูกเรียกว่าตัวแปรของอินทิเกรชัน

ความคิดเห็น:คำสำคัญในคำจำกัดความนี้คือ "ทั้งชุด" เหล่านั้น. หากในอนาคตไม่ได้เขียน "บวก C" เดียวกันนี้ไว้ในคำตอบผู้ตรวจสอบมีสิทธิ์ทุกประการที่จะไม่นับงานนี้เพราะ จำเป็นต้องค้นหาแอนติเดริเวทีฟทั้งชุด และถ้า C หายไป ก็จะพบเพียงอันเดียวเท่านั้น

บทสรุป:เพื่อตรวจสอบว่าอินทิกรัลคำนวณได้ถูกต้องหรือไม่ จำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของผลลัพธ์ มันจะต้องตรงกับปริพันธ์
ตัวอย่าง:
ออกกำลังกาย:คำนวณอินทิกรัลไม่จำกัดแล้วตรวจสอบ

สารละลาย:

วิธีคำนวณอินทิกรัลนี้ไม่สำคัญในกรณีนี้ สมมติว่านี่คือการเปิดเผยจากเบื้องบน หน้าที่ของเราคือแสดงให้เห็นว่าการเปิดเผยไม่ได้หลอกลวงเรา และสามารถทำได้ผ่านการตรวจสอบ

การตรวจสอบ:

เมื่อแยกความแตกต่างผลลัพธ์ เราได้รับอินทิกรัลซึ่งหมายความว่าอินทิกรัลคำนวณอย่างถูกต้อง

2. จุดเริ่มต้น. ตารางปริพันธ์

ในการอินทิเกรต คุณไม่จำเป็นต้องจำทุกครั้งว่าฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์เท่ากับอินทิกรัลที่กำหนด (เช่น ใช้นิยามของอินทิกรัลโดยตรง) ชุดของปัญหาหรือหนังสือเรียนเกี่ยวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์แต่ละเล่มประกอบด้วยรายการคุณสมบัติของปริพันธ์และตารางปริพันธ์ที่ง่ายที่สุด

มาแสดงรายการคุณสมบัติกัน

คุณสมบัติ:
1.
อินทิกรัลของดิฟเฟอเรนเชียลเท่ากับตัวแปรของอินทิเกรต
2. โดยที่ค่าคงที่
ตัวคูณคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลได้

3.
อินทิกรัลของผลรวมเท่ากับผลรวมของอินทิกรัล (หากจำนวนเทอมมีจำกัด)
ตารางปริพันธ์:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

บ่อยครั้งงานคือการลดอินทิกรัลที่กำลังศึกษาให้เหลือเพียงตารางโดยใช้คุณสมบัติและสูตร

ตัวอย่าง:

[ลองใช้คุณสมบัติที่สามของอินทิกรัลแล้วเขียนเป็นผลรวมของอินทิกรัลสามตัว]

[ลองใช้คุณสมบัติที่สองและย้ายค่าคงที่ไปไกลกว่าเครื่องหมายการรวม]

[ ในอินทิกรัลแรก เราจะใช้อินทิกรัลตารางหมายเลข 1 (n=2) ในวินาที เราจะใช้สูตรเดียวกัน แต่ n=1 และสำหรับอินทิกรัลตัวที่สาม เราสามารถใช้อินทิกรัลตารางเดียวกันก็ได้ แต่ด้วย n=0 หรือคุณสมบัติแรก ]
.
ตรวจสอบโดยแยกความแตกต่าง:

ได้รับอินทิแกรนด์ดั้งเดิม ดังนั้นการอินทิเกรตจึงดำเนินการโดยไม่มีข้อผิดพลาด (และการบวกค่าคงที่ C ตามอำเภอใจก็ไม่ลืมด้วยซ้ำ)

จะต้องเรียนรู้อินทิกรัลของตารางด้วยใจด้วยเหตุผลง่ายๆ ประการเดียว - เพื่อที่จะรู้ว่าต้องพยายามทำอะไร เช่น รู้วัตถุประสงค์ของการเปลี่ยนแปลงการแสดงออกที่กำหนด

นี่เป็นตัวอย่างเพิ่มเติมบางส่วน:
1)
2)
3)

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

ภารกิจที่ 1คำนวณอินทิกรัลไม่ จำกัด :

+ แสดง/ซ่อนคำใบ้ #1

1) ใช้คุณสมบัติที่สามและแทนอินทิกรัลนี้เป็นผลรวมของอินทิกรัลสามตัว

+ แสดง/ซ่อนคำใบ้ #2

+ แสดง/ซ่อนคำใบ้ #3

3) สำหรับสองเทอมแรก ให้ใช้อินทิกรัลแบบตารางตัวแรก และเทอมที่สาม ให้ใช้อินทิกรัลแบบตารางตัวที่สอง

+ แสดง/ซ่อน วิธีแก้ปัญหาและคำตอบ

4) วิธีแก้ปัญหา:

คำตอบ:

สารต้านอนุพันธ์

ความหมายของฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ

• การทำงาน y=F(x)เรียกว่าแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y=ฉ(x)ในช่วงเวลาที่กำหนด เอ็กซ์,ถ้าสำหรับทุกคน เอ็กซ์ ∈เอ็กซ์ความเท่าเทียมกันถือ: ฉ'(x) = ฉ(x)

สามารถอ่านได้ 2 วิธี คือ

1. ฉ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน เอฟ
2. เอฟ แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฉ

คุณสมบัติของแอนติเดริเวทีฟ

• ถ้า ฉ(x)- แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน ฉ(x)บนช่วงเวลาที่กำหนด ฟังก์ชัน f(x) จะมีแอนติเดริเวทีฟจำนวนนับไม่ถ้วน และแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดนี้สามารถเขียนได้ในรูปแบบ เอฟ(x) + ซีโดยที่ C เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ

การตีความทางเรขาคณิต

• กราฟของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชันที่กำหนด ฉ(x)ได้มาจากกราฟของแอนติเดริเวทีฟตัวใดตัวหนึ่งโดยการแปลแบบขนานตามแนวแกน O ที่.

กฎสำหรับการคำนวณแอนติเดริเวทีฟ

1. แอนติเดริเวทีฟของผลรวมเท่ากับผลรวมของแอนติเดริเวทีฟ- ถ้า ฉ(x)- แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x)และ G(x) เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ ก.(เอ็กซ์), ที่ ฉ(x) + ก(x)- แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x) + ก(x).
2. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้- ถ้า ฉ(x)- แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x), และ เค- คงที่แล้ว เค·เอฟ(x)- แอนติเดริเวทีฟสำหรับ เคเอฟ(x).
3. ถ้า ฉ(x)- แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x), และ เค บี- คงที่และ เค ≠ 0, ที่ 1/k F(kx + b)- แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(kx + ข).

จดจำ!

ฟังก์ชั่นใดๆ ฉ(x) = x 2 + ค โดยที่ C เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ และมีเพียงฟังก์ชันดังกล่าวเท่านั้นที่เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันนั้น ฉ(x) = 2x.

• ตัวอย่างเช่น:

  ฉ"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = ฉ(x);

  ฉ(x) = 2x,เพราะ ฉ"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = ฉ(x);

  ฉ(x) = 2x,เพราะ ฉ"(x) = (x 2 –3)" = 2x = ฉ(x);

ความสัมพันธ์ระหว่างกราฟของฟังก์ชันกับแอนติเดริเวทีฟ:

1. ถ้ากราฟของฟังก์ชัน ฉ(x)>0 ฉ(x)เพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้
2. ถ้ากราฟของฟังก์ชัน ฉ(x)<0 ในช่วงเวลานั้น ตามด้วยกราฟของแอนติเดริเวทีฟ ฉ(x)ลดลงในช่วงเวลานี้
3. ถ้า ฉ(x)=0แล้วกราฟของแอนติเดริเวทีฟ ฉ(x)ณ จุดนี้เปลี่ยนจากเพิ่มขึ้นเป็นลดลง (หรือกลับกัน)

เพื่อแสดงถึงแอนติเดริเวทีฟ จะใช้เครื่องหมายของอินทิกรัลไม่จำกัด ซึ่งก็คืออินทิกรัลโดยไม่ระบุขีดจำกัดของอินทิกรัล

อินทิกรัลไม่ จำกัด

คำนิยาม:

• อินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชัน f(x) คือนิพจน์ F(x) + C ซึ่งก็คือเซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชัน f(x) อินทิกรัลไม่จำกัดกำหนดได้ดังนี้: \int f(x) dx = F(x) + C

• ฉ(x)- เรียกว่าฟังก์ชันปริพันธ์
• ฉ(x) dx- เรียกว่าปริพันธ์;
• x- เรียกว่าตัวแปรอินทิเกรต
• ฉ(x)- หนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f(x);
• กับ- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ

คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด

1. อนุพันธ์ของอินทิกรัลไม่จำกัดมีค่าเท่ากับอินทิกรัล: (\int f(x) dx)\prime= f(x)
2. ตัวประกอบคงที่ของปริพันธ์สามารถนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลได้: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. อินทิกรัลของผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชันเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอินทิกรัลของฟังก์ชันเหล่านี้: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. ถ้า เค บีเป็นค่าคงที่ และ k ≠ 0 ดังนั้น \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

ตารางแอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัลไม่ จำกัด

การทำงาน ฉ(x)	สารต้านอนุพันธ์ เอฟ(x) + ซี	อินทิกรัลไม่ จำกัด \int f(x) dx = F(x) + C
0	ค	\int 0 dx = C
ฉ(x) = เค	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
ฉ(x) = x^m, ม\ไม่ใช่ =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
ฉ(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
ฉ(x) = อี^x	ฉ(x) = อี^x + ค	\int อี(^x )dx = อี^x + C
ฉ(x) = มี^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
ฉ(x) = \บาป x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
ฉ(x) = \cos x	F(x) =\บาป x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
ฉ(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
ฉ(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\อาร์คซิน x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\อาร์คซิน x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\ส่วนโค้ง x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\อาร์คซิน\frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
ฉ(x) =\frac(1)( 1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
ฉ(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
ฉ(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\บาป x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
ฉ(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ

อนุญาต ฉ(x)ฟังก์ชั่นนี้ เอฟแอนติเดริเวทีฟตามอำเภอใจ

\int_(ก)^(ข) ฉ(x) dx =F(x)|_(ก)^(ข)= ฉ(ข) - ฉ(ก)

ที่ไหน ฉ(x)- แอนติเดริเวทีฟสำหรับ ฉ(x)

นั่นคืออินทิกรัลของฟังก์ชัน ฉ(x)ในช่วงเวลาเท่ากับผลต่างของแอนติเดริเวทีฟที่จุดต่างๆ ขและ ก.

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง คือตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบและต่อเนื่องกันในช่วงเวลาหนึ่ง ฉ,แกนวัวและเส้นตรง x = กและ x = ข.

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งพบโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ:

S= \int_(ก)^(ข) ฉ(x) dx

วิธีการรวมสี่วิธีหลักมีดังต่อไปนี้

1) กฎสำหรับการรวมผลรวมหรือส่วนต่าง
.
ที่นี่และด้านล่าง u, v, w เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอินทิเกรต x

2) การย้ายค่าคงที่ไปนอกเครื่องหมายอินทิกรัล
ให้ c เป็นค่าคงที่ที่ไม่ขึ้นอยู่กับ x

3) จากนั้นจึงนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลได้
วิธีการแทนที่ตัวแปร
ลองพิจารณาอินทิกรัลไม่ จำกัด กัน หากเราสามารถหาฟังก์ชันดังกล่าวได้ φ(เอ็กซ์)
,
จาก x ดังนั้น
.

4) จากนั้นโดยการแทนที่ตัวแปร t = φ(x) เราก็ได้
,
สูตรบูรณาการตามส่วนต่างๆ

โดยที่ u และ v เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอินทิเกรต
เป้าหมายสูงสุดของการคำนวณอินทิกรัลไม่จำกัดคือผ่านการแปลง เพื่อลดอินทิกรัลที่กำหนดให้เป็นอินทิกรัลที่ง่ายที่สุด ซึ่งเรียกว่าอินทิกรัลแบบตาราง อินทิกรัลของตารางแสดงผ่านฟังก์ชันพื้นฐานโดยใช้สูตรที่รู้จัก

ดูตารางอินทิกรัล >>>

ตัวอย่าง

คำนวณอินทิกรัลไม่จำกัด

สารละลาย
เราสังเกตว่าปริพันธ์คือผลรวมและผลต่างของคำศัพท์สามคำ:
, และ . 1 .

การนำวิธีการไปใช้ 5, 4, และ 2 ต่อไป เราสังเกตว่าปริพันธ์ของปริพันธ์ใหม่คูณด้วยค่าคงที่ 2 .

ตามลำดับ การนำวิธีการไปใช้
.
ในตารางอินทิกรัลเราจะพบสูตร 2 สมมติว่า n =

เราจะพบอินทิกรัลอันแรก
.
ให้เราเขียนอินทิกรัลตัวที่สองในรูปแบบใหม่

เราสังเกตว่า. แล้ว.
.
ลองใช้วิธีที่สาม เราเปลี่ยนตัวแปร t = φ

(x) = บันทึก x

ในตารางอินทิกรัลเราจะพบสูตร
.
เนื่องจากตัวแปรของการอินทิเกรตสามารถเขียนแทนด้วยตัวอักษรใดก็ได้
ให้เราเขียนอินทิกรัลตัวที่สามในรูปแบบใหม่
เราใช้สูตรอินทิเกรตทีละส่วน
;
;

;
;
.

เอาเป็นว่า
.
แล้ว 3 .
.

ในที่สุดเราก็มี

ลองรวบรวมพจน์ด้วย x กัน
คำตอบ