สูตรหาปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ทฤษฎีบท.

ปริมาตรของพีระมิดเท่ากับหนึ่งในสามของผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง.

การพิสูจน์:

ขั้นแรก เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทของพีระมิดสามเหลี่ยม แล้วจึงพิสูจน์ทฤษฎีบทตามอำเภอใจ

1. พิจารณาปิรามิดรูปสามเหลี่ยมสกอด้วยปริมาตร V พื้นที่ฐานสและส่วนสูง ชม.. วาดแกน โอ (OM2- ความสูง) พิจารณาส่วนA1 B1 C1ปิรามิดที่มีระนาบตั้งฉากกับแกนโอ้และขนานกับระนาบของฐาน แสดงโดยเอ็กซ์จุดแอ็บสซิสซา ม1 จุดตัดของระนาบนี้กับแกน x และผ่านเอส(x)- พื้นที่หน้าตัด ด่วน เอส(x)ผ่าน ส, ชม.และ เอ็กซ์. โปรดทราบว่าสามเหลี่ยม A1 ใน1 กับ1 และ ABC มีความคล้ายคลึงกัน แท้จริงแล้วอ1 ใน1 II AB, สามเหลี่ยมสสจ 1 ใน 1 คล้ายกับสามเหลี่ยม OAB กับเพราะเหตุนี้, ก1 ใน1 : กข=สสจ 1: สสจ .

สามเหลี่ยมมุมฉากสสจ 1 ใน 1 และ สตง ก็คล้ายกัน (มีมุมแหลมร่วมกับจุดยอด O). ดังนั้นสพม 1: โอเอ = โอ 1 ม1 : อ้อม = x: ชม.. ดังนั้นก 1 ใน 1 : ก ข = x: ชม.ในทำนองเดียวกันก็พิสูจน์ได้ว่าบี1 ซี1:ดวงอาทิตย์ = เอ็กซ์: ชม.และ A1 C1:เอซี =เอ็กซ์: ชม.ดังนั้นสามเหลี่ยมA1 B1 C1และ เอบีซีที่คล้ายกันด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของความคล้ายคลึงกันเอ็กซ์: ชม.ดังนั้น S(x) :ส = (x: ชม)², หรือ S(x) = S x²/ ชม.².

ตอนนี้ให้เราใช้สูตรพื้นฐานสำหรับการคำนวณปริมาตรของร่างกายที่ก= 0, ข=ชม.เราได้รับ

2. ให้เราพิสูจน์ทฤษฎีบทของพีระมิดโดยพลการที่มีความสูง ชม.และพื้นที่ฐาน ส. ปิรามิดดังกล่าวสามารถแบ่งออกเป็นปิรามิดสามเหลี่ยมที่มีความสูงทั้งหมด ชม.เราแสดงปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมแต่ละอันตามสูตรที่เราได้พิสูจน์และเพิ่มปริมาตรเหล่านี้ นำปัจจัยร่วม 1/3h ออกจากวงเล็บ เราได้ผลรวมของฐานของปิรามิดสามเหลี่ยมในวงเล็บ เช่น พื้นที่ S ของฐานพีระมิดเดิม

ดังนั้นปริมาตรของพีระมิดเดิมคือ 1/3Sh. ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ผลที่ตามมา:

ปริมาตร V ของพีระมิดที่ถูกตัดทอนที่มีความสูง h และพื้นที่ฐาน S และ S1 คำนวณโดยสูตร

ชั่วโมง - ความสูงของพีระมิด

หยุด - พื้นที่ของฐานด้านบน

S ต่ำกว่า - พื้นที่ของฐานล่าง

ในการหาปริมาตรของปิรามิด คุณจำเป็นต้องรู้สูตรต่างๆ ลองพิจารณาพวกเขา

วิธีหาปริมาตรของพีระมิด - วิธีที่ 1

ปริมาตรของพีระมิดสามารถหาได้จากความสูงและพื้นที่ฐานของมัน V = 1/3*ส*ชม. ตัวอย่างเช่น หากความสูงของปิรามิดคือ 10 ซม. และพื้นที่ฐานคือ 25 ซม. 2 ปริมาตรจะเท่ากับ V \u003d 1/3 * 25 * 10 \u003d 1 /3 * 250 \u003d 83.3 ซม. 3

วิธีหาปริมาตรของพีระมิด - วิธีที่ 2

หากรูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐานของพีระมิด ปริมาตรของมันสามารถพบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้: V \u003d na 2 h / 12 * tg (180 / n) โดยที่ a คือด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่วางอยู่ที่ ฐาน และ n คือจำนวนด้าน ตัวอย่างเช่น ฐานเป็นรูปหกเหลี่ยมปกติ นั่นคือ n = 6 เนื่องจากเป็นรูปปกติ ด้านทุกด้านจึงเท่ากัน นั่นคือ a ทั้งหมดเท่ากัน สมมติว่า a = 10 และ h - 15 เราใส่ตัวเลขลงในสูตรและได้คำตอบโดยประมาณ - 1299 ซม. 3

วิธีหาปริมาตรของพีระมิด - วิธีที่ 3

หากสามเหลี่ยมด้านเท่าอยู่ที่ฐานของพีระมิด ปริมาตรของปิรามิดสามารถหาได้จากสูตรต่อไปนี้: V = ha 2 /4√3 โดยที่ a คือด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่า ตัวอย่างเช่น: ความสูงของปิรามิดคือ 10 ซม. ด้านข้างของฐานคือ 5 ซม. ปริมาตรจะเท่ากับ V \u003d 10 * 25/4 √ 3 \u003d 250/4 √ 3 โดยปกติสิ่งที่เกิดขึ้นใน ตัวส่วนไม่ถูกคำนวณและปล่อยให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน คุณยังสามารถคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย 4√3 เพื่อให้ได้ 1000√3/48 การลดลงเราจะได้ 125√ 3/6 ซม. 3

วิธีหาปริมาตรของพีระมิด - วิธีที่ 4

ถ้าสี่เหลี่ยมอยู่ที่ฐานของพีระมิด ปริมาตรของมันก็หาได้จากสูตรต่อไปนี้: V = 1/3*h*a 2 โดยที่ a คือด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ตัวอย่างเช่น: ความสูง - 5 ซม. ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส - 3 ซม. V \u003d 1/3 * 5 * 9 \u003d 15 ซม. 3

วิธีหาปริมาตรของพีระมิด - วิธีที่ 5

ถ้าพีระมิดเป็นทรงจัตุรมุข นั่นคือ หน้าทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า คุณสามารถหาปริมาตรของพีระมิดโดยใช้สูตรต่อไปนี้: V = a 3 √2/12 โดยที่ a เป็นขอบของจัตุรมุข ตัวอย่างเช่น: ขอบจัตุรมุข \u003d 7. V \u003d 7 * 7 * 7√2 / 12 \u003d 343 ซม. 3

คำว่า "ปิรามิด" มีความเกี่ยวข้องกับยักษ์ผู้ยิ่งใหญ่ในอียิปต์โดยไม่สมัครใจเพื่อรักษาความสงบสุขของฟาโรห์อย่างซื่อสัตย์ นั่นอาจเป็นเหตุผลว่าทำไมทุกคนถึงจำพีระมิดได้อย่างชัดเจน แม้แต่เด็ก ๆ

อย่างไรก็ตาม เรามาลองให้คำจำกัดความทางเรขาคณิตกัน ลองจินตนาการถึงจุดต่างๆ (A1, A2,..., An) บนระนาบและอีกจุดหนึ่ง (E) ที่ไม่ได้อยู่ในนั้น ดังนั้นหากจุด E (บนสุด) เชื่อมต่อกับจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมที่เกิดจากจุด A1, A2, ..., An (ฐาน) คุณจะได้รูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งเรียกว่าพีระมิด เห็นได้ชัดว่ารูปหลายเหลี่ยมที่ฐานของพีระมิดสามารถมีจุดยอดกี่จุดก็ได้ และขึ้นอยู่กับจำนวนของพีระมิด สามารถเรียกพีระมิดเป็นรูปสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม เป็นต้น

หากคุณดูพีระมิดอย่างใกล้ชิด จะเข้าใจได้ชัดเจนว่าเหตุใดจึงมีการกำหนดแตกต่างกัน เช่น เป็นรูปเรขาคณิตที่มีรูปหลายเหลี่ยมที่ฐาน และรูปสามเหลี่ยมที่รวมเข้าด้วยกันโดยจุดยอดทั่วไปเป็นใบหน้าด้านข้าง

เนื่องจากปิรามิดเป็นตัวเลขเชิงพื้นที่จึงมีลักษณะเชิงปริมาณเช่นกันเนื่องจากคำนวณจากผลคูณของฐานปิรามิดและความสูงที่รู้จักกันดีในสามส่วน:

ปริมาตรของพีระมิด เมื่อได้สูตรมา เริ่มแรกจะคำนวณเป็นรูปสามเหลี่ยม โดยใช้อัตราส่วนคงที่ที่เกี่ยวข้องกับค่านี้กับปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมที่มีฐานและความสูงเท่ากันเป็นพื้นฐาน ซึ่งปรากฎว่า มากกว่าปริมาตรนี้สามเท่า

และเนื่องจากพีระมิดใด ๆ ถูกแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยม และปริมาตรของมันไม่ได้ขึ้นอยู่กับโครงสร้างที่ทำในการพิสูจน์ ความถูกต้องของสูตรปริมาตรข้างต้นจึงชัดเจน

ปิรามิดที่ยืนอยู่ห่างกันเป็นพีระมิดที่ถูกต้องซึ่งมีฐานอยู่ สำหรับมันควร "สิ้นสุด" ที่กึ่งกลางของฐาน

ในกรณีของรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่สม่ำเสมอที่ฐาน ในการคำนวณพื้นที่ฐาน คุณจะต้อง:

• แบ่งเป็นสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยม

• คำนวณพื้นที่ของแต่ละคน

• เพิ่มข้อมูลที่ได้รับ

ในกรณีของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่ฐานของพีระมิด พื้นที่ของมันจะคำนวณโดยใช้สูตรสำเร็จรูป ดังนั้น ปริมาตรของพีระมิดปกติจึงคำนวณอย่างง่ายๆ

ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณปริมาตรของพีระมิดสี่เหลี่ยม หากเป็นพีระมิดปกติ ความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ (สี่เหลี่ยมจัตุรัส) ที่ฐานจะเป็นกำลังสอง และเมื่อคูณด้วยความสูงของพีระมิด ผลลัพธ์ที่ได้จะถูกหารด้วย สาม.

ปริมาตรของปิรามิดสามารถคำนวณได้โดยใช้พารามิเตอร์อื่น:

• เป็นหนึ่งในสามของผลคูณของรัศมีของลูกบอลที่จารึกไว้ในพีระมิดและพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมด

• เป็นสองในสามของผลคูณของระยะห่างระหว่างขอบสองด้านที่ตัดกันโดยพลการและพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของขอบทั้งสี่ที่เหลือ

ปริมาตรของปิรามิดยังคำนวณได้ง่ายในกรณีที่ความสูงของมันตรงกับขอบด้านใดด้านหนึ่ง นั่นคือ ในกรณีของพีระมิดสี่เหลี่ยม

เมื่อพูดถึงปิรามิด เราไม่สามารถเพิกเฉยต่อปิรามิดที่ถูกตัดทอนซึ่งได้จากการตัดปิรามิดด้วยระนาบขนานกับฐาน ปริมาตรของมันเกือบจะเท่ากับความแตกต่างระหว่างปริมาตรของพีระมิดทั้งหมดและยอดที่ถูกตัดออก

ปริมาตรแรกของปิรามิดแม้ว่าจะไม่ได้อยู่ในรูปแบบที่ทันสมัย ​​แต่เท่ากับ 1/3 ของปริซึมที่เรารู้จักถูกค้นพบโดย Democritus อาร์คิมีดีสเรียกวิธีการนับของเขาว่า "ปราศจากการพิสูจน์" เนื่องจากเดโมคริตุสเข้าใกล้พีระมิดในรูปที่ประกอบด้วยแผ่นบางๆ ที่คล้ายกัน

พีชคณิตเวกเตอร์ยัง "ตอบ" คำถามในการหาปริมาตรของปิรามิดโดยใช้พิกัดของจุดยอดสำหรับสิ่งนี้ พีระมิดที่สร้างขึ้นจากเวกเตอร์สามตัว a,b,c มีค่าเท่ากับหนึ่งในหกของโมดูลัสของผลคูณของเวกเตอร์ที่กำหนด

คำนิยาม. ใบหน้าด้านข้าง- นี่คือรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งอยู่ที่ด้านบนสุดของปิรามิดและด้านตรงข้ามของมันตรงกับด้านข้างของฐาน (รูปหลายเหลี่ยม)

คำนิยาม. ซี่โครงข้างเป็นด้านทั่วไปของใบหน้าด้านข้าง พีระมิดมีขอบมากเท่ากับจำนวนมุมในรูปหลายเหลี่ยม

คำนิยาม. ความสูงของพีระมิดเป็นแนวตั้งฉากทิ้งจากยอดถึงฐานพีระมิด

คำนิยาม. อโพเทม- นี่คือแนวตั้งฉากของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดซึ่งลดลงจากยอดปิรามิดไปที่ด้านข้างของฐาน

คำนิยาม. ส่วนในแนวทแยง- นี่คือส่วนของพีระมิดโดยมีระนาบผ่านยอดพีระมิดและเส้นทแยงมุมของฐาน

คำนิยาม. ปิรามิดที่ถูกต้อง- นี่คือปิรามิดที่ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ และความสูงลงมาที่กึ่งกลางฐาน

ปริมาตรและพื้นที่ผิวของพีระมิด

สูตร. ปริมาตรปิรามิดผ่านพื้นที่ฐานและความสูง:

คุณสมบัติของพีระมิด

หากขอบทุกด้านเท่ากัน วงกลมสามารถล้อมรอบฐานของพีระมิดได้ และศูนย์กลางของฐานจะตรงกับศูนย์กลางของวงกลม นอกจากนี้แนวตั้งฉากที่ตกลงมาจากด้านบนจะผ่านศูนย์กลางของฐาน (วงกลม)

หากซี่โครงด้านข้างเท่ากันทั้งหมดก็จะเอียงไปที่ระนาบฐานในมุมเดียวกัน

ซี่โครงด้านข้างจะเท่ากันเมื่อทำมุมเท่ากันกับระนาบฐาน หรือถ้าสามารถอธิบายวงกลมรอบฐานของพีระมิดได้

หากใบหน้าด้านข้างเอียงไปที่ระนาบของฐานในมุมหนึ่งวงกลมสามารถจารึกไว้ที่ฐานของพีระมิดและด้านบนของพีระมิดจะยื่นออกมาตรงกลาง

หากใบหน้าด้านข้างเอียงไปที่ระนาบฐานที่มุมหนึ่ง ดังนั้น apothems ของใบหน้าด้านข้างจะเท่ากัน

คุณสมบัติของพีระมิดปกติ

1. ยอดพีระมิดอยู่ห่างจากทุกมุมของฐานเท่ากัน

2.ขอบด้านเท่ากันหมด

3. ซี่โครงด้านข้างทั้งหมดเอียงเป็นมุมเดียวกันกับฐาน

4. Apothems ของใบหน้าทุกด้านเท่ากัน

5. พื้นที่ของใบหน้าด้านข้างเท่ากันทั้งหมด

6. ใบหน้าทั้งหมดมีมุมไดฮีดรัล (แบน) เท่ากัน

7. สามารถอธิบายทรงกลมรอบพีระมิดได้ จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่อธิบายจะเป็นจุดตัดของเส้นตั้งฉากที่ผ่านตรงกลางของขอบ

8. ทรงกลมสามารถจารึกไว้ในพีระมิดได้ จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่จารึกไว้จะเป็นจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งที่เกิดจากมุมระหว่างขอบกับฐาน

9. ถ้าจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่มีเส้นรอบวงตรงกับจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่มีเส้นรอบวง ดังนั้นผลรวมของมุมราบที่ปลายยอดจะเท่ากับ π หรือในทางกลับกัน มุมหนึ่งมุมจะเท่ากับ π / n โดยที่ n คือตัวเลข ของมุมที่ฐานพีระมิด

การเชื่อมต่อของพีระมิดกับทรงกลม

ทรงกลมสามารถอธิบายได้รอบๆ พีระมิดเมื่อที่ฐานของพีระมิดมีรูปทรงหลายเหลี่ยมล้อมรอบซึ่งสามารถอธิบายวงกลมได้ (เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) จุดศูนย์กลางของทรงกลมจะเป็นจุดตัดกันของระนาบที่ผ่านจุดกึ่งกลางของขอบด้านข้างของพีระมิดในแนวตั้งฉาก

ทรงกลมสามารถอธิบายได้รอบ ๆ พีระมิดสามเหลี่ยมหรือปกติ

ทรงกลมสามารถจารึกไว้ในพีระมิดได้หากระนาบแบ่งครึ่งของมุมไดฮีดรัลภายในของพีระมิดตัดกันที่จุดหนึ่ง (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) จุดนี้จะเป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลม

การเชื่อมต่อของปิรามิดกับกรวย

กรวยเรียกว่าจารึกไว้ในปิรามิดถ้าจุดยอดตรงกันและฐานของกรวยถูกจารึกไว้ที่ฐานของพีระมิด

กรวยสามารถจารึกไว้ในพีระมิดได้หากด้านตรงข้ามมุมฉากของพีระมิดเท่ากัน

กล่าวกันว่ากรวยถูกล้อมรอบรอบพีระมิดหากจุดยอดตรงกันและฐานของกรวยถูกล้อมรอบรอบฐานของพีระมิด

กรวยสามารถอธิบายได้รอบพีระมิดหากขอบด้านข้างทั้งหมดของพีระมิดเท่ากัน

การเชื่อมต่อปิรามิดกับทรงกระบอก

กล่าวกันว่าปิรามิดถูกจารึกไว้ในทรงกระบอก ถ้ายอดของพีระมิดอยู่บนฐานด้านหนึ่งของทรงกระบอก และฐานของพีระมิดถูกจารึกไว้ในฐานอีกด้านหนึ่งของทรงกระบอก

ทรงกระบอกสามารถกำหนดเส้นรอบปิรามิดได้ ถ้าวงกลมสามารถกำหนดเส้นรอบฐานของพีระมิดได้

คำนิยาม. พีระมิดที่ถูกตัดทอน (ปริซึมพีระมิด)- นี่คือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ตั้งอยู่ระหว่างฐานของพีระมิดและระนาบส่วนที่ขนานกับฐาน ดังนั้นพีระมิดจึงมีฐานที่ใหญ่และฐานที่เล็กกว่าซึ่งมีขนาดใกล้เคียงกับฐานที่ใหญ่กว่า ใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

คำนิยาม. พีระมิดสามเหลี่ยม (จัตุรมุข)- นี่คือพีระมิดที่มีสามหน้าและฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมโดยพลการ

จัตุรมุขมีสี่หน้าและสี่จุดยอดและหกขอบ โดยที่ขอบสองด้านไม่มีจุดยอดร่วมกัน แต่ห้ามสัมผัสกัน

จุดยอดแต่ละจุดประกอบด้วยสามด้านและขอบที่ก่อตัวขึ้น มุมสามเหลี่ยม.

ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของจัตุรมุขกับศูนย์กลางของใบหน้าตรงข้ามเรียกว่า ค่ามัธยฐานของจัตุรมุข(จีเอ็ม).

ไบมีเดียนเรียกว่าส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดกึ่งกลางของขอบด้านตรงข้ามที่ไม่สัมผัสกัน (KL)

บิเมเดียนและมัธยฐานทั้งหมดของจัตุรมุขตัดกันที่จุดหนึ่ง (S) ในกรณีนี้ bimedians จะถูกแบ่งครึ่งและค่ามัธยฐานในอัตราส่วน 3: 1 เริ่มจากด้านบน

คำนิยาม. ปิรามิดเอียงเป็นพีระมิดที่ขอบด้านหนึ่งทำมุมป้าน (β) กับฐาน

คำนิยาม. พีระมิดสี่เหลี่ยมเป็นปิรามิดที่ด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกับฐาน

คำนิยาม. พีระมิดมุมแหลมเป็นพีระมิดที่มียอดแหลมยาวเกินครึ่งหนึ่งของด้านฐาน

คำนิยาม. พีระมิดป้านเป็นพีระมิดที่ยอดของฐานยาวน้อยกว่าครึ่งหนึ่งของด้านฐาน

คำนิยาม. จัตุรมุขปกติจัตุรมุขที่มีสี่หน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า เป็นหนึ่งในห้ารูปหลายเหลี่ยมปกติ ในรูปทรงจัตุรมุขปกติ มุมไดฮีดรัลทั้งหมด (ระหว่างใบหน้า) และมุมสามหน้า (ที่จุดยอด) จะเท่ากัน

คำนิยาม. จัตุรมุขสี่เหลี่ยมเรียกว่าจัตุรมุขซึ่งมีมุมฉากระหว่างสามขอบที่จุดยอด (ขอบตั้งฉาก) รูปแบบสามใบหน้า มุมสามเหลี่ยมมุมฉากและใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ Apothem ของใบหน้าใด ๆ เท่ากับครึ่งหนึ่งของฐานที่ Apothem ตกลง

คำนิยาม. Isohedral เตตระฮีดรอนจัตุรมุขเรียกว่าใบหน้าด้านข้างเท่ากันและฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ใบหน้าของจัตุรมุขนั้นเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

คำนิยาม. จัตุรมุข Orthocentricจัตุรมุขเรียกว่าความสูงทั้งหมด (ตั้งฉาก) ที่ลดลงจากด้านบนไปยังใบหน้าตรงข้ามตัดกันที่จุดหนึ่ง

คำนิยาม. พีระมิดแห่งดวงดาวรูปทรงหลายหน้าที่มีฐานเป็นรูปดาวเรียกว่า.

คำนิยาม. ปิรามิด- รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยพีระมิดสองแบบที่แตกต่างกัน (พีระมิดสามารถตัดออกได้) มีฐานร่วมกัน และจุดยอดอยู่คนละด้านของระนาบฐาน

หนึ่งในตัวเลขเชิงปริมาตรที่ง่ายที่สุดคือปิรามิดรูปสามเหลี่ยมเนื่องจากประกอบด้วยจำนวนใบหน้าที่น้อยที่สุดซึ่งสามารถสร้างตัวเลขในอวกาศได้ ในบทความนี้เราจะพิจารณาสูตรที่คุณสามารถหาปริมาตรของพีระมิดปกติรูปสามเหลี่ยมได้

พีระมิดสามเหลี่ยม

ตามความหมายทั่วไป พีระมิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมซึ่งจุดยอดทั้งหมดเชื่อมต่อกับจุดหนึ่งซึ่งไม่ได้อยู่ในระนาบของรูปหลายเหลี่ยมนี้ ถ้ารูปหลังเป็นรูปสามเหลี่ยม รูปทั้งหมดจะเรียกว่าปิรามิดรูปสามเหลี่ยม

พีระมิดที่พิจารณาประกอบด้วยฐาน (สามเหลี่ยม) และสามด้าน (สามเหลี่ยม) จุดที่ใบหน้าทั้งสามเชื่อมต่อกันเรียกว่าจุดยอดของรูป ตั้งฉากกับฐานจากจุดยอดนี้คือความสูงของพีระมิด หากจุดตัดของเส้นตั้งฉากกับฐานตรงกับจุดตัดของค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมที่ฐาน แสดงว่าพีระมิดปกติถูกพูดถึง ไม่งั้นจะเละเทะ

ดังที่ได้กล่าวไปแล้วว่าฐานของพีระมิดสามเหลี่ยมสามารถเป็นสามเหลี่ยมทั่วไปได้ อย่างไรก็ตามหากเป็นรูปด้านเท่าและพีระมิดตรงก็จะพูดถึงรูปสามมิติที่ถูกต้อง

แต่ละด้านมี 4 ด้าน 6 ขอบ และ 4 จุด หากความยาวของขอบทั้งหมดเท่ากัน รูปดังกล่าวจะเรียกว่าจัตุรมุข

ประเภททั่วไป

ก่อนที่จะเขียนพีระมิดสามเหลี่ยมปกติ เราจะแสดงปริมาณทางกายภาพนี้สำหรับพีระมิดประเภททั่วไป นิพจน์นี้มีลักษณะดังนี้:

ที่นี่ S o คือพื้นที่ฐาน h คือความสูงของรูป ความเท่าเทียมกันนี้จะใช้ได้กับฐานของรูปหลายเหลี่ยมพีระมิดทุกประเภทเช่นเดียวกับกรวย หากที่ฐานมีรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้าน a และความสูง h ลดลงมา สูตรสำหรับปริมาตรจะถูกเขียนดังนี้:

สูตรหาปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

รูปสามเหลี่ยมมีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าอยู่ที่ฐาน เป็นที่ทราบกันดีว่าความสูงของสามเหลี่ยมนี้สัมพันธ์กับความยาวของด้านเท่ากัน:

แทนที่นิพจน์นี้เป็นสูตรสำหรับปริมาตรของพีระมิดสามเหลี่ยมซึ่งเขียนไว้ในย่อหน้าที่แล้ว เราได้รับ:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h

ปริมาตรของพีระมิดปกติที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมคือฟังก์ชันของความยาวของด้านฐานและความสูงของรูป

เนื่องจากรูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ สามารถเขียนลงในวงกลมได้ ซึ่งรัศมีจะกำหนดความยาวของด้านของรูปหลายเหลี่ยมโดยเฉพาะ ดังนั้นสูตรนี้จึงสามารถเขียนในรูปของรัศมีที่สอดคล้องกัน r:

สูตรนี้หาได้ง่ายจากสูตรก่อนหน้า เนื่องจากรัศมี r ของวงกลมที่ล้อมรอบตลอดความยาวของด้าน a ของสามเหลี่ยมถูกกำหนดโดยนิพจน์:

งานกำหนดปริมาตรของจัตุรมุข

ให้เราแสดงวิธีการใช้สูตรข้างต้นในการแก้ปัญหาเฉพาะทางเรขาคณิต

เป็นที่ทราบกันดีว่าจัตุรมุขมีความยาวขอบ 7 ซม. จงหาปริมาตรของพีระมิดจัตุรมุขสามเหลี่ยมปกติ

จำได้ว่าจัตุรมุขเป็นปิรามิดรูปสามเหลี่ยมปกติซึ่งฐานทั้งหมดเท่ากัน ในการใช้สูตรสำหรับปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ คุณต้องคำนวณสองปริมาณ:

• ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยม
• ความสูงของตัวเลข

ค่าแรกทราบจากเงื่อนไขของปัญหา:

ในการกำหนดความสูงให้พิจารณาตัวเลขที่แสดงในรูป

สามเหลี่ยม ABC ที่ทำเครื่องหมายไว้คือสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม ABC เท่ากับ 90o ด้าน AC คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งมีความยาว a ด้วยเหตุผลทางเรขาคณิตอย่างง่าย แสดงว่าด้าน BC มีความยาว:

โปรดทราบว่าความยาว BC คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยม

ชั่วโมง \u003d AB \u003d √ (AC 2 - BC 2) \u003d √ (a 2 - a 2 / 3) \u003d a * √ (2/3)

ตอนนี้คุณสามารถแทนที่ h และ a ในสูตรสำหรับปริมาตร:

V = √3/12*ก 2 *ก*√(2/3) = √2/12*ก 3 .

ดังนั้นเราจึงได้รับสูตรสำหรับปริมาตรของจัตุรมุข จะเห็นได้ว่าปริมาตรขึ้นอยู่กับความยาวของกระดูกซี่โครงเท่านั้น ถ้าเราแทนค่าจากเงื่อนไขของโจทย์ลงในนิพจน์ เราจะได้คำตอบดังนี้

V \u003d √2 / 12 * 7 3 ≈ 40.42 ซม. 3

ถ้าเราเปรียบเทียบค่านี้กับปริมาตรของลูกบาศก์ที่มีขอบเท่ากัน เราจะได้ปริมาตรของจัตุรมุขน้อยกว่า 8.5 เท่า สิ่งนี้บ่งชี้ว่าจัตุรมุขเป็นรูปกะทัดรัดซึ่งรับรู้ในสารธรรมชาติบางอย่าง ตัวอย่างเช่น โมเลกุลมีเธนเป็นรูปทรงสี่หน้า และแต่ละอะตอมของคาร์บอนในเพชรจะเชื่อมต่อกับอะตอมอื่นๆ อีกสี่อะตอมเพื่อสร้างรูปทรงสี่หน้า

ปัญหาเกี่ยวกับพีระมิดโฮโมเธติก

มาแก้ปัญหาทางเรขาคณิตที่อยากรู้อยากเห็นกัน สมมติว่ามีปิรามิดทรงสามเหลี่ยมที่มีปริมาตร V 1 จำนวนหนึ่ง ขนาดของตัวเลขนี้ควรลดลงกี่ครั้งเพื่อให้ได้พีระมิดโฮโมเธติกที่มีปริมาตรเล็กกว่าเดิมสามเท่า

เริ่มแก้ปัญหาด้วยการเขียนสูตรสำหรับพีระมิดปกติดั้งเดิม:

V 1 \u003d √3 / 12 * ก 1 2 * ชม 1.

ให้หาปริมาตรของตัวเลขที่ต้องการโดยเงื่อนไขของปัญหาโดยการคูณพารามิเตอร์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ k เรามี:

V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .

เนื่องจากทราบอัตราส่วนของปริมาตรของตัวเลขจากเงื่อนไข เราจึงได้ค่าสัมประสิทธิ์ k:

k \u003d ∛ (V 2 / V 1) \u003d ∛ (1/3) ≈ 0.693

โปรดทราบว่าเราจะได้ค่าสัมประสิทธิ์ k ที่ใกล้เคียงกันสำหรับปิรามิดประเภทใดประเภทหนึ่งโดยพลการ ไม่ใช่แค่พีระมิดปกติเท่านั้น