ที่คำว่า "เรขาคณิต", ทรงกระบอก, สามเหลี่ยม, ด้านตรงข้ามมุมฉาก, แบ่งครึ่งของมุม, "หาพื้นที่ของร่าง", กระดานชนวนและชอล์กแตกออกมาจากส่วนลึกของความทรงจำของเรา ปัญหาคือทุกสิ่งที่อยู่ในใจเป็นภาษาที่ใช้อธิบายปรากฏการณ์ที่แคบมากในโลกรอบข้าง บางทีบ้านเรือนอาจอยู่ใกล้แนวขนาน แต่ต้นไม้ไม่ใช่ทรงกระบอก ภูเขาไม่ใช่รูปกรวย และรูปร่างของเมฆไม่ชัดเจนว่าจะเปรียบเทียบอะไร

หากเรามองอย่างใกล้ชิด ในโลกรอบตัวเรา เรขาคณิตของโรงเรียนนี้ (เราจะเรียกว่าแบบยุคลิด) ไม่ได้อธิบายอะไรมาก และโดยส่วนใหญ่ มันอธิบายรูปแบบที่มนุษย์สร้างขึ้น (ประเมินตรรกะวงกลม - ไม่น่าแปลกใจเลยที่รูปบ้านที่สร้างโดยใช้เรขาคณิตแบบยุคลิดสามารถอธิบายได้ด้วยเรขาคณิตนี้) แต่สิ่งที่เกี่ยวกับส่วนที่เหลือของโลก คุณจะอธิบายรูปร่างของต้นไม้หรือรูปร่างของเกาะ รูปร่างของก้อนดิน หรือโครงสร้างการแตกแขนงของหลอดลมได้อย่างไร

นักวิทยาศาสตร์ถามคำถามนี้มานานแล้ว แต่เนื่องจากพวกเขาไม่พบคำตอบที่น่าเชื่อถือ พวกเขาจึงเขียนแบบฟอร์มเหล่านี้ใน "ไม่เป็นระเบียบ" "มหึมา" "ยังไม่ได้สำรวจ" จุดเปลี่ยนของโลกเกิดขึ้นเฉพาะในทศวรรษ 1960 และ 1970 เมื่อ Benoit Mandelbrot นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสคิดค้นและพัฒนาทฤษฎีเศษส่วนของเขา มันเป็นเรขาคณิตเศษส่วนแบบใหม่ ซึ่งนำทุกอย่างที่ไม่สม่ำเสมอ หัก และหยาบที่ล้อมรอบเรา (นั่นคือเกือบทุกอย่าง) มาเป็นเป้าหมายของการศึกษา และ Mandelbrot ก็พบระเบียบอันน่าทึ่งของเขาในรูปแบบที่ซับซ้อนของธรรมชาติ

ในภาพ รูปร่างที่อธิบายโดยเรขาคณิตเศษส่วนจะถูกทำเครื่องหมายด้วยสีแดง
สีน้ำเงิน อธิบายโดยเรขาคณิตแบบยุคลิด
แผนกเดียวกันนี้ใช้ได้กับคู่ที่มนุษย์สร้างขึ้น/ไม่ใช่ที่มนุษย์สร้างขึ้น

เบอนัวต์ มานเดลบรอต (1924–2010)

นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ผู้ก่อตั้งเรขาคณิตเศษส่วน ในช่วงสงครามเขาออกจากฝรั่งเศสไปอเมริกาและอยู่ที่นั่น เป็นเวลานานที่เขาถูกขับไล่และไม่ได้รับการยอมรับจากชุมชนวิทยาศาสตร์ที่กว้างขวาง แต่ในช่วงปลายทศวรรษ 1970 เขาได้รับการยอมรับและมีชื่อเสียงว่าเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่สร้างสรรค์ที่สุด ในปี 1977 เขาตีพิมพ์หนังสือ "Fractals: Form, Case and Dimension" ในปี 1982 มีการตีพิมพ์ซ้ำ - หนังสือลัทธิ "Fractal Geometry of Nature" ทำงานให้กับ IBM เป็นเวลา 35 ปี

เป็นครั้งแรกที่ Richard Bentley นักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษในศตวรรษที่ 17 พูดถึงความจริงที่ว่ามันไม่คุ้มที่จะเขียนในสิ่งที่เราไม่สามารถอธิบายด้วยเรขาคณิตแบบยุคลิดได้:

“ความงามทั้งหมดนั้นสัมพันธ์กัน... เราไม่ควรคิดว่าชายฝั่งมหาสมุทรนั้นบิดเบี้ยวและผิดรูป เพราะมันไม่เหมือนกำแพงเรียบ และเราต้องไม่คิดว่าภูเขานั้นไม่ปกติเพราะไม่ใช่ปิรามิดหรือกรวยธรรมดา และเราต้องไม่คิดว่าดวงดาวจะอยู่บนท้องฟ้าอย่างไม่ชำนาญ เพราะมันอยู่ไกลจากเรา สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่ความไม่ถูกต้องตามธรรมชาติ - ดูเหมือนว่าเป็นเพียงความตั้งใจของเราเท่านั้น

ตัวอย่างการสร้างเศษส่วนของพืช

Mandelbrot แนะนำคำว่า "แฟร็กทัล"

Benoit Mandelbrot ตัวเอกของเรา สร้างและใช้คำว่า "เศษส่วน" เป็นครั้งแรก (จากภาษาละติน fractus - แตก) เมื่อไม่นานมานี้ - ในปี 1975 Nomen est numen, Mandelbrot ระลึกถึงนิพจน์ภาษาละติน: "การตั้งชื่อคือการเข้าใจ" จากนี้ไป เรขาคณิตเศษส่วนที่ทันสมัยสามารถนับได้
คำจำกัดความโดยประมาณของเศษส่วนมีดังนี้: มันเป็นตัวเลขที่คล้ายตัวเอง (ส่วนหนึ่งคล้ายกับทั้งหมด) ซึ่งมิติเศษส่วนมากกว่าโครงสร้างทอพอโลยี
มิติเศษส่วนคืออะไรและแตกต่างจากทอพอโลยีอย่างไร (นี่คือปกติ, มิติแบบยุคลิดโดยที่ 0 เป็นจุด, 1 คือเส้น, 2 คือระนาบ, 3 คือตัวเลขสามมิติ) เราจะเข้าใจ ภายหลัง. ตอนนี้เราสนใจแค่ว่าส่วนใดส่วนหนึ่งของเศษส่วนนั้นคล้ายกับเศษส่วนทั้งหมดโดยรวม ดังนั้นกิ่งที่แยกจากกันบนต้นไม้จึงมีลักษณะคล้ายต้นไม้ทั้งต้นในโครงสร้าง และเป็นส่วนหนึ่งของใบเฟิร์น - ทั้งใบ
วัตถุที่คล้ายคลึงกันได้ปรากฏขึ้นซ้ำแล้วซ้ำเล่าในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ แต่ Mandelbrot เป็นผู้ที่รวมเหตุการณ์ที่แตกต่างกันไว้ในระบบเดียว - ทฤษฎีความไม่สม่ำเสมอและความหยาบ เธออธิบายคำสั่งบางอย่างในรูปแบบที่ก่อนหน้านี้ถือว่าไม่เป็นระเบียบ ในรูปแบบของเมฆ ในโครงสร้างของต้นไม้หรือโครงร่างของแนวชายฝั่ง Mandelbrot พบพารามิเตอร์ที่วัดได้ - กฎแห่งระเบียบในความโกลาหล

การพูดนอกเรื่องทางประวัติศาสตร์: ความรัก
เป็นจำนวนเต็ม

สาเหตุที่เรขาคณิตเศษส่วนปรากฏช้านั้น แน่นอนว่า เหนือสิ่งอื่นใดก็คือ การขาดพลังการคำนวณตามปกติจนถึงช่วงทศวรรษ 1970 นอกจากนี้ยังอาจเกิดจากมรดกทางประวัติศาสตร์และศาสนาที่ใกล้เคียงของเรขาคณิตแบบยุคลิด บุคคลสำคัญในเรขาคณิตตั้งแต่สมัยของเพลโตซึ่งถือว่าพวกเขาเป็นวัสดุก่อสร้างของโลกนี้มีห้าร่าง: จัตุรมุข (สี่หน้า, รูปที่. 1), ลูกบาศก์ (หก), แปดเหลี่ยม (แปด ), dodecahedron (12, รูปที่ 2) และ icosahedron (20) รูปแบบอื่นอยู่นอกระนาบการศึกษาเรขาคณิต อย่างดีที่สุดพวกเขาถูกมองว่าเป็นเงา - ศูนย์รวมที่ไม่ถูกต้องของตัวเลขศักดิ์สิทธิ์ในอุดมคติ ที่เลวร้ายที่สุดพวกเขาถูกทิ้งเพียงเพราะพยาธิสภาพ
ในสัดส่วนที่เรียบง่ายของจำนวนเต็ม ผู้สร้างวิหารแบบโกธิกยังมองหาภาพสะท้อนของความกลมกลืนของสวรรค์ด้วย โดยเชื่อว่า "ดนตรีของทรงกลม" มีความกลมกลืนกันอย่างยิ่ง เนื่องจากใช้สัดส่วนที่เรียบง่ายอย่างแม่นยำ ด้วยมุมมองดังกล่าว สัดส่วนที่ไม่ลงตัวของต้นไม้ เช่น ไม่ได้มีความสามัคคีของพระเจ้า - มีเพียงภาพสะท้อนของมันเท่านั้น
สิ่งเหล่านี้เป็นผลที่ตามมาของการคิดแบบมานุษยวิทยา คอร์ดดนตรีง่ายๆ สบายหู มีสัดส่วนที่เรียบง่าย -> ดังนั้น สวรรค์จึงสร้างขึ้นจากสัดส่วนเหล่านี้ เพราะเป็นภาพสะท้อนของความสามัคคีสูงสุด -> ดังนั้นทุกอย่างจึงต้องวัดจากสัดส่วนเหล่านี้
น่าเสียดายที่สัดส่วนเหล่านี้สะท้อนถึงโครงสร้างของหูและจิตใจของมนุษย์เท่านั้น เสียงของใบไม้ไม่ใช่หนึ่งในสี่และเพลงของนกไนติงเกลไม่ได้สร้างขึ้นตามบันทึกบางอย่างของเรา การค้นพบของ Mandelbrot เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อแสดงให้เห็นว่ามีระเบียบที่ซับซ้อนและน่าสนใจมากขึ้นในรูปแบบที่แตกสลายของธรรมชาติ
ตัวอย่างที่ใกล้ที่สุดอยู่ที่หน้าอกของคุณ อัตราการเต้นของหัวใจมีโครงสร้างแฟร็กทัลที่สว่างสดใส เราไม่ได้สะท้อนความเรียบง่ายและความกลมกลืนอันศักดิ์สิทธิ์ที่เราคิดค้นขึ้นเอง แต่เป็นความโกลาหลครั้งแรกของจักรวาลนี้

การค้นพบ Mandelbrot: หมู่เกาะที่ไม่มีที่สิ้นสุด

หนึ่งในการค้นพบที่เก่าแก่ที่สุดของนักวิทยาศาสตร์คือความยาวอนันต์ของแนวชายฝั่งของเกาะใดๆ อย่างแน่นอน. แต่เราถามว่าเป็นอย่างไรบ้าง? ความโง่เขลาคืออะไร? ใจเย็น ๆ และดูเครื่องมือวัดของเราฮีโร่ของเราบอกเรา:
ปรากฎว่าถ้าไม้บรรทัดของเรายาว 100 ม. - 19 ชิ้นจะพอดีกับเกาะและความยาวของแนวชายฝั่งจะเท่ากับ 1900 ม. หากไม้บรรทัดของเรายาว 10 ม. จะสามารถวัดความกดอากาศและอ่าวที่เล็กลงได้ - 242 ชิ้นจะพอดีกับแนวชายฝั่งและความยาวของแนวชายฝั่งจะเท่ากับ 2420 ม. หากเราเอาไม้บรรทัด 1 มม. เราสามารถวัดกรวดแต่ละก้อนได้ - ความยาวของแนวชายฝั่งด้วยการวัดนี้จะเท่ากับ 5423 ม. - สามเท่าของ ค่าแรก

ไม้บรรทัดวัดแบบมีเงื่อนไขยาว
ใน 100 ม. 10 ม. และ 1 มม.

เราถามความยาวที่ถูกต้องคืออะไร? “ไม่เลย ความยาวของแนวชายฝั่งไม่มีที่สิ้นสุด” เบอนัวต์หัวเราะเบาๆ ยิ่งไม้บรรทัดของเราเล็กเท่าไหร่ ความยาวก็จะยิ่งยาวขึ้นเท่านั้น ด้วยไม้บรรทัดที่พุ่งไปที่ศูนย์ ความยาวของเส้นจะไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับเกาะใดๆ แม้แต่สำหรับ Ceylon แม้แต่สำหรับเกาะเล็กๆ ของ Sipadan
Mandelbrot สงสัยว่าจะเปรียบเทียบสองเกาะได้อย่างไรหากเห็นได้ชัดว่าต่างกัน และเขาได้แนะนำค่าใหม่ - มิติเศษส่วน (อันที่จริงนี่คือมิติ Hausdorff ที่เขาคิดใหม่)
มิติเศษส่วน - การวัดรายละเอียด การแตกหัก ความไม่สม่ำเสมอของวัตถุเศษส่วน ขนาดของวัตถุเศษส่วนจะมากกว่ามิติทอพอโลยี (ธรรมดา) เสมอ และสามารถเป็นเศษส่วน (ส่วนใหญ่มักเป็น) ได้

การเปลี่ยนแปลงที่สำคัญอีกประการหนึ่ง (สำหรับฉัน สิ่งที่สำคัญที่สุดคือ) กำลังเกิดขึ้นในความเข้าใจของเราว่าอะไรง่ายและอะไรที่ซับซ้อน

ตัวอย่างเส้นโค้ง Peano
นี่แสดงลำดับของการข้ามช่องสี่เหลี่ยมของระดับ 1-6

เกี่ยวกับความเรียบง่ายและซับซ้อนในธรรมชาติ
ทำไมเฟิร์นถึงง่ายกว่าทรงกลม

ในมุมมองประจำวันของเรา สิ่งที่ง่ายที่สุดดูเหมือนจะเป็นสิ่งที่อธิบายได้ง่ายที่สุดโดยเรขาคณิตแบบยุคลิด ตารางเป็นเรื่องง่าย ก้อนคอนกรีตนั้นง่ายยิ่งขึ้น ดูเหมือนลูกเหล็กจะมีความเรียบง่ายที่สุด (ยังมีเกร็ดเล็กเกร็ดน้อยเกี่ยวกับ "คนหนึ่งหัก อีกคนหายไป" ในจิตสำนึกของมวล ลูกบอลโลหะเป็นวัตถุที่แบ่งแยกไม่ได้)
แต่แล้วเราก็ถามตัวเองว่าทำไมสิ่งง่ายๆ ส่วนใหญ่จึงถูกสร้างขึ้นโดยมนุษย์? เหตุใดต้นไม้ ปลา เห็ด หรือปอดของมนุษย์จึงไม่ใช่ทรงกลมหรือลูกบาศก์ที่เหมาะสม เพราะธรรมชาติ ซึ่งเป็นเครื่องมือเพิ่มประสิทธิภาพในอุดมคติ ต้องหารูปแบบที่ง่ายที่สุด
อันที่จริง รูปแบบของสัตว์ป่านั้นค่อนข้างง่าย คุณเพียงแค่ต้องมองจากมุมที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง - หมุนไปรอบ ๆ 180 °
เพื่อให้สับสนและลืมความคิดปกติของเราเกี่ยวกับความเรียบง่ายและซับซ้อน มาดูรูปแบบแฟร็กทัลที่มีชื่อเสียงที่สุด - ชุด Mandelbrot มันถูกกำหนดโดยสูตรเล็ก ๆ :

แม้แต่เม็ดฝน
ไม่ใช่พื้นที่ในอุดมคติ พวกเขายัง
ไม่ใช่ "รูปทรงหยดน้ำ" - เหมือนเกี๊ยว
เราโดนหลอกอีกแล้ว
กับถั่วไพน์นัท
เมล็ดสนจริงๆ

แต่นี่คือสิ่งที่จับได้: หากเราทำการดำเนินการนี้เป็นจำนวนอนันต์ เราจะได้เซตเชิงซ้อนอนันต์ นั่นคือเราจะได้วัตถุซึ่งบางส่วนสามารถนำเข้ามาใกล้ขึ้นเรื่อย ๆ ก็จะมีรูปแบบใหม่มากขึ้นเรื่อย ๆ ทุกจุดของวัตถุนี้มีโลกทั้งใบของรูปแบบที่แปลกประหลาด และทุกจุดของโลกเหล่านี้มีความไม่มีที่สิ้นสุด
วิธีจัดการกับสิ่งนี้? สูตรไม่มีที่ไหนง่ายกว่านี้อีกแล้ว (สอดคล้องกับแนวคิดแบบยุคลิดเรื่องความเรียบง่าย) และตัววัตถุเองนั้นซับซ้อนอย่างไม่สิ้นสุด Mandelbrot เสนอให้มองสิ่งนี้จากด้านข้างของอัลกอริธึมมากกว่าจากด้านข้างของออบเจกต์สุดท้าย (หลังจากทั้งหมด มันไม่มีอยู่จริงในแฟร็กทัล มันถูกสร้างขึ้นอย่างไม่รู้จบ) - เพื่ออธิบายไม่ใช่ความซับซ้อนของวัตถุ แต่ความซับซ้อนของกระบวนการก่อสร้าง

และปรากฎว่ารูปแบบธรรมชาติที่แปลกประหลาดนั้นง่ายมาก ลองใช้เฟิร์นอีกครั้ง - มันเติบโตจากสปอร์ในแต่ละเซลล์ซึ่งควรเขียนว่าพืชสำเร็จรูปควรมีรูปร่างแบบใด
ลองนึกภาพว่าสูตรจะยาวนานแค่ไหนที่อธิบายรูปร่างสุดท้ายของเฟิร์นที่มีส่วนโค้งและกิ่งทั้งหมด - จากด้านข้างของรูปร่าง เฟิร์นนั้นซับซ้อนมาก
แต่ในการสร้างมันขึ้นมา ไม่จำเป็นต้องรู้ว่าจะเกิดอะไรขึ้น - แค่รู้อัลกอริทึมการแตกแขนงอย่างง่ายก็เพียงพอแล้ว
และมีเพียงกฎง่ายๆ นี้และจดไว้ด้วยเครื่องหมายสองอัน - เปิดเลย ปิดเลย


ไม่ใช่ความซับซ้อนของคำอธิบาย โดยหลักการแล้วรูปร่างของพืชขั้นสุดท้ายไม่สามารถอธิบายได้ - ขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงเราไม่เคยรู้เลยว่าเฟิร์นของเราจะเติบโตได้อย่างไรวิธีการจากอัลกอริธึมเป็นเพียงวิธีเดียวที่เป็นไปได้
จากด้านข้างของคำอธิบายของอัลกอริธึมการก่อสร้าง กลายเป็นว่าเป็นไปได้ที่จะศึกษา อธิบาย และจำลอง (!) รูปทรงของภูเขา หลอดลม ระบบไหลเวียนโลหิต และแนวโค้งของแม่น้ำ แบบฟอร์มที่ก่อนหน้านี้ไม่เคยแม้แต่จะเข้าหาด้วย Mandelbrot กลายเป็นที่เข้าใจได้ค่อนข้างดี

เป็นตัวอย่างของการทำความเข้าใจความเรียบง่าย/ความซับซ้อนจากมุมมองของอัลกอริทึม Mandelbrot อ้างอิงเส้นโค้งเศษส่วน Koch
แม้ว่าจะดูซับซ้อน แต่อัลกอริธึมสำหรับการสร้างตามที่ Mandelbrot เขียนไว้นั้นง่ายกว่าอัลกอริทึมสำหรับการสร้างวงกลม จากด้านข้างของอัลกอริธึม (จากด้านที่ธรรมชาติรอบตัวเรามองเรื่องนี้) เส้นโค้งนี้เป็นรูปแบบที่เรียบง่ายกว่า

โค้งโคช

การเปรียบเทียบกับสูตรช่วยฉันได้เสมอ ลองนึกภาพว่าตำราอาหารแสดงรายการทุกอย่างที่ควรอยู่ในซุป: มันฝรั่ง 234 ชิ้น (และขนาดของแต่ละชิ้น), หัวหอม 134 ชิ้น (และขนาด), เนื้อ 23 ชิ้น นี่คือวิธีที่เราจะต้องอธิบายรูปร่างสุดท้ายของเฟิร์น แต่เราอธิบายอัลกอริทึมแทน - ตัด สับ สลาย และเรายังคงได้ซุป แม้ว่าจะมีหลากหลาย - ในกระทะหนึ่งมี 234 ชิ้น ในอีก 219 ชิ้น - มันฝรั่ง 219 ชิ้น ด้วยการคำนวณอัลกอริธึมการแยกเฟิร์น คุณจะได้รับความแตกต่างเล็กน้อย แต่ก็ยังมีเฟิร์นอยู่
วิธีสร้างกฎแห่งการพัฒนาชีวิตด้วยความช่วยเหลือของวงจรป้อนกลับและการไล่ระดับความเข้มข้นเป็นเรื่องของหนังสือ The Birth of Complexity โดย Alexander Markov นักชีววิทยาชาวรัสเซียผู้ยอดเยี่ยม ซึ่งฉันขอแนะนำให้อ่านเป็นอย่างยิ่ง

บทสรุป

เราได้เจาะลึกเล็กน้อยในหัวข้อเรขาคณิตเศษส่วน - เรขาคณิตพื้นฐานของสัตว์ป่า ฉันจะถือว่างานของฉันเสร็จเรียบร้อยแล้ว ถ้าเมื่อมองดูต้นไม้หน้าบ้าน คุณจำได้ว่าต้นไม้และบ้านมีรูปทรงต่างกันอธิบายไว้ ต้นไม้ - จากล่างขึ้นบน เรขาคณิตของเศษส่วนและอัลกอริธึม อธิบายวิธีการทำ บ้าน - จากบนลงล่างในตอนแรกสถาปนิกวาดในรูปแบบสุดท้าย เรขาคณิตดังกล่าวอธิบายว่าต้องทำอย่างไร ไม่ใช่อย่างไร
ยิ่งฉันดูมันมากเท่าไหร่ ฉันก็ยิ่งอยากพูดและเรียนรู้เกี่ยวกับเรขาคณิตเศษส่วนมากขึ้นเท่านั้น ซึ่งฉันยังไม่รู้อะไรเลยจริงๆ และตอนนี้ ฉันหวังว่าคุณคงไม่รู้อะไรทั้งนั้น ท้ายที่สุด นี่คือภาษาที่โลกของสิ่งมีชีวิตพูด เพราะปอดของฉันเต็มไปด้วยออกซิเจน และหลอดเลือดก็พาเลือดไปที่มือของฉัน
และยิ่งฉันเรียนรู้เกี่ยวกับมันมากเท่าไร โลกนี้ก็ยิ่งซับซ้อนและมีหลายแง่มุมมากขึ้นสำหรับฉัน
ในหนังสือเล่มหนึ่งเกี่ยวกับผีเสื้อ ผู้เขียนได้เปรียบเทียบความหลงใหลที่มีต่อผีเสื้อกับการเพิ่มมิติใหม่ให้กับชีวิตของเขา ฉันสามารถยืนยันได้ว่า ควบคู่ไปกับชีวิตในท้องถนนในเมืองที่มีผู้คนพลุกพล่าน คุณเพิ่มมิติที่ Hawthorn ที่เพิ่งฟักออกมาใหม่บินผ่านหลังคารถไปยังเถ้าภูเขานั้น เพื่อวางไข่บนพืชอาหารสัตว์ของมัน ในทำนองเดียวกัน นักออกแบบประเภทจะหมกมุ่นอยู่กับมิติของฟอนต์ในเมือง และช่างไฟฟ้ามืออาชีพจะต้องมองเห็นมิติที่แยกจากกันในระบบสายไฟที่เข้าไปพัวพันกับอาคาร
นอกจากนี้ เรขาคณิตเศษส่วนซึ่งค้นพบโดยเบอนัวต์ มานเดลบรอต ได้เพิ่มมิติอื่นให้กับโลกของเรา - รูปทรงที่แตกละเอียดที่อธิบายได้ยาก ซึ่งไม่เคยมีชื่อมาก่อนและผสานเข้ากับความเป็นจริงโดยรอบ บัดนี้ ได้รับการตั้งชื่อและอธิบายไว้ พวกเขาได้แยกตัวออกจากมวลทั่วไป เพื่อที่เราจะได้มองเห็นพวกเขาในรัศมีภาพทั้งหมดของพวกเขา ปาฏิหาริย์เป็นที่ที่คุณมองอย่างใกล้ชิด
ขอบคุณ Mandelbrot ที่เปิดโลกใหม่ของเศษส่วนที่สวยงามและเคลื่อนที่ให้กับเรา ซึ่งเราเพิ่งเริ่มดำเนินการเท่านั้น แท้จริงแล้ว nomen est numen ชื่อคือการรู้

ป.ล

ต้องยอมรับว่าเรขาคณิตแบบยุคลิดไม่ได้ครอบงำทุกที่ในโลก Ron Eglash ผู้ค้นคว้าเกี่ยวกับสถาปัตยกรรมและประเพณีของแอฟริกา ค้นพบเศษส่วนที่ซ่อนอยู่ก่อนหน้านี้จำนวนมากที่นั่น อย่างแรก ในสถานที่ที่ชัดเจน - ในรูปแบบ จากนั้นในทรงผมที่ชัดเจนน้อยลง และจากนั้นก็ไม่ชัดเจน - แม้แต่ในการสร้างหมู่บ้าน เขาก็ค้นพบความคล้ายคลึงในตนเอง
ดังนั้น โครงสร้างของหมู่บ้านของชนเผ่าแอฟริกันบางเผ่าจึงเป็นวงกลมที่มีวงเวียนเล็ก ๆ - บ้านซึ่งข้างในยังมีวงเล็ก ๆ - บ้านของวิญญาณ
ฉันสามารถสรุปได้ว่าสิ่งเหล่านี้เป็นผลที่ตามมาของความใกล้ชิดของชนเผ่าเหล่านี้กับธรรมชาติ - พวกเขานำกฎหมายมาใช้อย่างแม่นยำ ดังนั้น สำหรับผู้อยู่อาศัยในหมู่บ้านนี้ ฉันคิดว่ากิ่งไม้จากต้นไม้ ดูเหมือนจะเป็นวัตถุที่ง่ายกว่าลูกเหล็ก “กิ่งก้าน - นี่ ไปแล้ว หัก แต่ฉันจะเอาลูกบอลมาจากไหนและจะทำอย่างไร” เขาอาจจะคิด

บางประเภท

เศษส่วน

องค์กร

การตั้งถิ่นฐาน

วัสดุที่เกี่ยวข้อง

Benoit Mandelbrot "เรขาคณิตเศษส่วนแห่งธรรมชาติ"
สิ่งแรกที่ฉันอยากจะแนะนำให้อ่านทันทีคือหนังสือคลาสสิกโดยผู้ก่อตั้งเรขาคณิตเศษส่วน ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1982 มันยังคงเป็นงานแนะนำกลางในหัวข้อนี้
ความยาก: ⅘
การเตรียมทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็น: สูงกว่าค่าเฉลี่ย

Gleick D. Chaos "การสร้างวิทยาศาสตร์ใหม่"
หนังสือคลาสสิกอีกเล่มในหัวข้อนี้ เล่าว่าวิทยาศาสตร์ใหม่ค่อยๆ ปรากฏขึ้นในยุค 70 ได้อย่างไร - ทฤษฎีความโกลาหล ตัวละครหลักคือนักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์ Lorenz, Feigenbaum, Mandelbrot ซึมซับและหลงใหลในโลกแห่งความโกลาหลใหม่ที่เกิดขึ้นต่อหน้าพวกเขา นี่คือหนังสือ หลังจากอ่านแล้ว ฉันเข้าใจว่าเอฟเฟกต์ผีเสื้อที่ลอเรนซ์ค้นพบคืออะไร และด้วยเหตุนี้ เหตุใดการพยากรณ์อากาศจึงโกหกมาก (ผู้พยากรณ์ไม่ต้องตำหนิ พวกเขากำลังพยายาม การพึ่งพาอาศัยเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นความผิด) หนังสือที่ดี
ความยาก: ⅗

ภาพยนตร์
NOVA «เศษส่วน ค้นหามิติใหม่»
สารคดีที่ดีคือการเที่ยวชมโลกแห่งเศษส่วน ตั้งแต่ทรงผมของ Mandelbrot ไปจนถึงเสาอากาศในมือถือของคุณ
ความยาก: ⅕
พื้นหลังทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็น: ไม่จำเป็น

บีบีซี "รหัสลับแห่งชีวิต"
สารคดี BBC สามตอนเกี่ยวกับกฎทางคณิตศาสตร์ของโลกของเรา เหตุใดรังผึ้งจึงเป็นรูปหกเหลี่ยม (การเติมช่องว่างอย่างมีประสิทธิภาพ) และจักจั่นเป็นระยะปรากฏขึ้นทุกๆ 17 ปี (สิ่งสำคัญคือตัวเลขนี้เป็นจำนวนเฉพาะ) เล็กน้อยเกี่ยวกับการกระจายแบบปกติและรูปร่างของไวรัส ไม่เก่งแต่ดูได้
ความยาก: ⅕

บรรยาย
บรรยายโดย Benoit Mandelbrot ที่ TED
ปรมาจารย์แฟร็กทัลผู้ยิ่งใหญ่ ซึ่งคล้ายกับโยดา หนึ่งปีก่อนที่เขาจะเสียชีวิต เล่าว่าเขาค้นพบเรขาคณิตเศษส่วนได้อย่างไร มีคำบรรยายภาษารัสเซีย
ความยาก: ⅕
พื้นหลังทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็น: ไม่จำเป็น
บรรยายโดย Ron Eglash เรื่องเศษส่วนในแอฟริกา
Eglash อธิบายว่าเขาค้นพบโครงสร้างเศษส่วนในหมู่บ้านแอฟริกัน รูปแบบของชนเผ่า และพระราชวังอันสูงส่งได้อย่างไร มีคำบรรยายภาษารัสเซีย
ความยาก: ⅕
พื้นหลังทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็น: ไม่จำเป็น

ในบทที่ 6 และ 7 ซึ่งเรียกร้องให้มีการช่วยเหลือทางธรณีสัณฐานวิทยา เราได้แนะนำเส้นโค้ง Koch และ Peano แต่วัตถุของการประยุกต์ใช้ที่สำคัญที่สุดของทฤษฎีเศษส่วนนั้นอยู่ในพื้นที่ที่แตกต่างกันบ้าง ค่อยๆ เข้าใกล้กระแสหลักในวิทยาศาสตร์ เราจะพิจารณาในบทนี้ (และในสองข้อถัดไป) คำถามสองข้อเกี่ยวกับความโบราณ ความสำคัญ และความซับซ้อนที่โดดเด่น

การกระจายตัวของดาว กาแล็กซี กระจุกดาราจักร และสสารที่คล้ายคลึงกันทำให้ทั้งมือสมัครเล่นและผู้เชี่ยวชาญต่างหลงใหลมาอย่างยาวนาน แต่การกระจุกตัวยังคงอยู่ที่ขอบของดาราศาสตร์และดาราศาสตร์ฟิสิกส์โดยรวม เหตุผลหลักคือไม่มีใครสามารถอธิบายได้ว่าเหตุใดการกระจายของสสารจึงเป็นไปตามกฎลำดับชั้นที่ไม่ปกติ - อย่างน้อยก็ในระดับขอบเขตที่แน่นอน ในงานจำนวนมากที่อุทิศให้กับหัวข้อนี้ เราสามารถพบการกล่าวถึงปรากฏการณ์ของการรวมกลุ่ม แต่ในการศึกษาเชิงทฤษฎีอย่างจริงจัง ตามกฎแล้ว มันถูกกวาดอย่างเร่งรีบใต้พรม โดยอ้างว่าดาราจักรกระจายตัวค่อนข้างสม่ำเสมอ - ในระดับที่เกินกว่าบางส่วน เกณฑ์ขนาดใหญ่ แต่ไม่มีกำหนด

เมื่อพิจารณาสถานการณ์จากตำแหน่งพื้นฐานที่น้อยกว่า เราสามารถพูดได้ว่าความไม่เต็มใจที่จะจัดการกับสิ่งผิดปกตินั้นเกิดจากการขาดเครื่องมือสำหรับคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ นักสถิติต้องเลือกระหว่างสมมติฐานสองข้อ ซึ่งมีเพียงข้อเดียวเท่านั้นที่สามารถพิจารณาได้อย่างละเอียดถี่ถ้วน เป็นที่น่าแปลกใจหรือไม่ว่าผลลัพธ์ที่ได้คือการสรุปอย่างอ่อนโยน?

อย่างไรก็ตาม คำถามเหล่านี้ยากจะปฏิเสธ ฉันคิดว่ามันจำเป็นอย่างยิ่ง - ควบคู่ไปกับความพยายามอย่างต่อเนื่องในการอธิบายการจัดกลุ่ม - เพื่อหาวิธีอธิบายและสร้างแบบจำลองความเป็นจริงในแง่เรขาคณิตล้วนๆ โดยการพิจารณาหัวข้อนี้จากมุมมองของเศษส่วนตลอดหลายบทของบทความนี้ เราหวังว่าจะแสดงให้เห็นด้วยแบบจำลองที่ชัดเจน ว่าหลักฐานที่ได้นั้นชี้ให้เห็นถึงระดับของการจัดกลุ่มที่อยู่เหนือขีดจำกัดที่กำหนดไว้โดยแบบจำลองที่มีอยู่

บทนี้ควรพิจารณาเบื้องต้น: ในที่นี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับทฤษฎีหนึ่งที่ทรงอิทธิพลมากของการก่อตัวของดาวและดาราจักรที่เสนอโดยฮอยล์ โดยมีรูปแบบหลักอย่างเป็นทางการของการกระจายตัวของพวกมัน ซึ่งเราเป็นหนี้บุญคุณ Fournier d'Albu (แบบจำลองนี้ ยังเป็นที่รู้จักกันในนามโมเดล Charlier) และที่สำคัญ เราจะได้ข้อมูลเชิงประจักษ์ เราจะแสดงให้เห็นว่าทั้งทฤษฎีและข้อมูลสามารถตีความได้ในแง่ของแนวคิดเรื่องเศษส่วนที่ไม่แปรผันตามมาตราส่วน ผมขอยืนยันว่า การกระจายตัวของดาราจักรและดวงดาวรวมถึงโซนที่มีความคล้ายคลึงกันในตัวเอง ซึ่งภายในนั้นมิติเศษส่วนจะตอบสนอง นอกจากนี้ ยังสรุปเหตุผลทางทฤษฎีโดยสังเขปที่ใครๆ ก็คาดหวัง และผลที่ตามมาก็คือ อภิปรายว่าเหตุใดค่าที่สังเกตได้จึงเป็น

ประกาศ.ในบทที่ 22 เราจะใช้เครื่องมือเศษส่วนเพื่อปรับปรุงความเข้าใจของเราเกี่ยวกับความหมายของหลักการจักรวาลวิทยา พิจารณาว่าจะแก้ไขได้อย่างไรและควรแก้ไขอย่างไร และเรียนรู้ว่าเหตุใดการดัดแปลงดังกล่าวจึงจำเป็นต้องอาศัยการสุ่ม เราจะเลื่อนการอภิปรายของคลัสเตอร์ภายในกรอบงานของโมเดลที่ปรับปรุงแล้วจนถึงบทที่ 22, 23 และ 32 ถึง 35

เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับ GLOBALความหนาแน่นเรื่อง?

เริ่มต้นด้วยการพิจารณาแนวคิดเรื่องความหนาแน่นของสสารทั่วโลกอย่างรอบคอบ ในกรณีของแนวชายฝั่ง ทุกอย่างดูเรียบง่ายในแวบแรกในตอนแรก แต่ในความเป็นจริง มันพันกันเร็วมาก - และน่าสนใจมาก ในการกำหนดและวัดความหนาแน่น เริ่มจากมวลที่กระจุกตัวอยู่ภายในทรงกลมรัศมีโดยมีจุดศูนย์กลางประจวบกับจุดศูนย์กลางของโลก นี่คือวิธีการประมาณความหนาแน่นโดยประมาณ กำหนดเป็น

.

หลังจากนั้น ค่าจะมีแนวโน้มเป็นอนันต์ และความหนาแน่นของโลกถูกกำหนดเป็นขีดจำกัดที่ความหนาแน่นโดยประมาณมาบรรจบกันในกรณีนี้

อย่างไรก็ตาม ความหนาแน่นของโลกจำเป็นต้องมาบรรจบกันเป็นขีดจำกัดเชิงบวกและจำกัดหรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้น ความเร็วของการบรรจบกันดังกล่าวจะทำให้เป็นที่ต้องการอย่างมาก นอกจากนี้ ค่าประมาณความหนาแน่นที่จำกัด เมื่อพิจารณาในมุมมองของเวลา มีพฤติกรรมค่อนข้างแปลก เมื่อความลึกของเอกภพที่สังเกตได้ผ่านกล้องโทรทรรศน์เพิ่มขึ้น ความหนาแน่นโดยประมาณก็ลดลงอย่างเป็นระบบอย่างน่าประหลาดใจ ตามคำกล่าวของเดอ โวคูลเลอร์ มีการลดลงมาโดยตลอด ดัชนีที่สังเกตได้นั้นน้อยกว่า 3 มาก - ในการประมาณที่ดีที่สุด

De Vaukuler เสนอวิทยานิพนธ์ว่าพฤติกรรมของความหนาแน่นโดยประมาณสะท้อนความเป็นจริงซึ่งหมายความว่า. สูตรนี้ต้องคำนึงถึงผลลัพธ์แบบคลาสสิกสำหรับลูกบอลรัศมีที่ฝังอยู่ในปริภูมิของมิติแบบยุคลิด ซึ่งเป็นปริมาตรของลูกบอลดังกล่าว ในบทที่ 6 เราพบกับสูตรเดียวกันสำหรับเส้นโค้ง Koch โดยมีความแตกต่างเพียงอย่างเดียวที่เลขชี้กำลังไม่มีมิติแบบยุคลิด แต่เป็นมิติเศษส่วน และในบทที่ 8 เราได้สูตรสำหรับ Cantor's pi บนแกนเวลา (ที่นี่ )

แบบอย่างทั้งหมดนี้ทำให้เรา (และยืนกรานอย่างยิ่ง) สันนิษฐานว่าเลขชี้กำลังของ Vaucouleurs ไม่ได้เป็นอะไรนอกจากมิติเศษส่วน

ดาวอยู่ในช่วงความไม่แปรผันของสเกลหรือไม่?

เห็นได้ชัดว่าช่วงของค่าคงที่ของมาตราส่วนซึ่งความไม่เท่าเทียมกันนั้นไม่ควรรวมวัตถุที่มีขอบเขตที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน เช่น ดาวเคราะห์ รวมดาวด้วยมั้ย? จากข้อมูลที่ได้รับจาก Webbick และนำเสนอใน มวลของทางช้างเผือกภายในทรงกลมรัศมีสามารถแสดงเป็น โดยที่ค่านี้อนุมานจากดาราจักร อย่างไรก็ตาม เราจะยังคงอภิปรายกันต่อไปในเชิงกาแล็กซี่เท่านั้น

ช่วงของค่าคงที่ของสเกลมีค่าสูงสุดหรือไม่

คำถามที่ว่าขอบเขตที่กว้างมากในช่วงที่ขยายออกไปนั้นเป็นเรื่องที่ถกเถียงกันมาก และเมื่อเร็ว ๆ นี้ได้รับความสนใจอีกครั้ง ผู้เขียนหลายคนระบุโดยตรงหรือโดยนัยว่าช่วงนี้ยอมรับการมีอยู่ของขอบเขตภายนอกที่สอดคล้องกับขนาดของกระจุกดาราจักร ผู้เขียนคนอื่นแสดงความไม่เห็นด้วยกับความคิดเห็นนี้ De Vaucouleur กล่าวว่า “การรวมกลุ่มของดาราจักรและสสารในรูปแบบอื่นอาจเป็นลักษณะเด่นของโครงสร้างของจักรวาลในทุกระดับที่สังเกตได้ และไม่มีข้อบ่งชี้ของการประมาณความสม่ำเสมอใดๆ ความหนาแน่นเฉลี่ยของสสารลดลงอย่างต่อเนื่องเมื่อคำนึงถึงปริมาณพื้นที่ที่มากขึ้น และเราไม่มีหลักฐานการทดลองที่บ่งชี้ว่าแนวโน้มนี้ไม่ได้ขยายไปถึงระยะทางที่ไกลกว่าและความหนาแน่นที่ต่ำกว่ามาก”

การอภิปรายระหว่างสองโรงเรียนนี้น่าสนใจและสำคัญมากอย่างแน่นอน - สำหรับจักรวาลวิทยา แต่ไม่ใช่สำหรับเรียงความของเรา แม้ว่าช่วงที่มีขอบเขตทั้งสองด้าน การดำรงอยู่ของมันก็มีความสำคัญมากพอที่จะพิสูจน์ให้เห็นถึงการศึกษาอย่างรอบคอบที่สุด

ไม่ว่าในกรณีใด จักรวาล (เหมือนกับลูกบอลของเส้นด้ายที่เราพูดถึงในบทที่ 6) ดูเหมือนว่าจะมีมิติที่มีประสิทธิภาพแตกต่างกันออกไป หากเราเริ่มต้นด้วยมาตราส่วนของรัศมีของโลก มิติแรกที่เราพบจะเป็น 3 (นั่นคือมิติของของแข็งที่มีขอบเขตชัดเจน) นอกจากนี้ มิติข้อมูลจะลดลงเหลือ 0 (เนื่องจากสสารถือเป็นคลัสเตอร์ของจุดที่แยกได้) ถัดมาเป็นส่วนที่น่าสนใจมาก ซึ่งมีลักษณะเป็นมิติที่ไม่สำคัญซึ่งตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน หากการจัดกลุ่มที่ไม่แปรตามมาตราส่วนยังคงเป็นอนันต์ ชุดของมิติที่มีประสิทธิภาพจะสิ้นสุดที่ค่าสุดท้ายนี้ หากมีขีด จำกัด ภายนอกที่ จำกัด จากนั้นช่วงที่สี่ของมิติจะถูกเพิ่มลงในรายการซึ่งคะแนนจะสูญเสียความเป็นตัวของตัวเองและเรามีก๊าซที่เป็นเนื้อเดียวกันอยู่ในมือนั่นคือ มิติจะกลับไปที่ 3 อีกครั้ง

แนวคิดที่ไร้เดียงสาที่สุดคือกาแล็กซีกระจายตัวประมาณสม่ำเสมอในเอกภพ ในกรณีนี้ ลำดับของมิติ D จะลดเหลือสามค่า: 3, 0, และอีกครั้ง 3

< Общая теория относительности утверждает, что при отсутствии материи локальная геометрия пространства стремится стать плоской и евклидовой, в то время как присутствие материи переводит ее в локально риманову. Здесь мы можем говорить о глобально плоской Вселенной, размерность которой равна 3 с локальными значениями . Такой тип возмущений описан в , довольно туманной работе, автор которой приводит (с. 312) пример построения кривой Коха (см. главу 6), не ссылаясь при этом на самого Коха.

จักรวาลโฟร์เนียร์

เราแค่ต้องสร้างเศษส่วนที่จะตอบสนองกฎและดูว่ามันจะสอดคล้องกับมุมมองที่ยอมรับโดยทั่วไปของจักรวาลอย่างไร รูปแบบรายละเอียดแรกในประเภทนี้เสนอโดย E. E. Fournier d "Album (ดูบทที่ 40) แม้ว่าหนังสือของ Fournier ส่วนใหญ่เป็นนิยายที่ปลอมตัวเป็นงานวิจัยทางวิทยาศาสตร์ แต่ก็ยังมีข้อควรพิจารณาที่น่าสนใจหลายประการที่เราจะพูดถึงในไม่ช้า อย่างแรก ดูเหมือนว่า ฉัน เราควรอธิบายโครงสร้างที่เสนอโดย Fournier

เราเริ่มการก่อสร้างด้วยรูปแปดด้านปกติซึ่งฉายภาพไว้ตรงกลางรูปที่ 141. การฉายภาพแสดงมุมทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส เส้นทแยงมุมคือ 12 "หน่วย" และจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ อย่างไรก็ตาม รูปแปดด้านมีจุดอีกสองจุดด้านบนและด้านล่างระนาบของเราในแนวตั้งฉากที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่ระยะห่าง 6 "หน่วย" จากจุดศูนย์กลางนี้

นอกจากนี้ แต่ละจุดจะถูกแทนที่ด้วยลูกบอลรัศมี 1 ซึ่งเราจะพิจารณาว่าเป็น "ผลรวมดาวเป็นศูนย์" ลูกบอลที่เล็กที่สุดที่มีลูกบอลเดิมทั้งหมด 7 ลูกจะเรียกว่า "การรวมดาวอันดับที่หนึ่ง" การรวมลำดับที่สองนั้นได้มาจากการคูณการรวมลำดับแรกและแทนที่ลูกบอลใหม่ที่มีรัศมี 7 แต่ละลูกด้วยสำเนาของการรวมลำดับแรก ในทำนองเดียวกัน การรวมลำดับที่สามได้มาจากการคูณผลรวมลำดับที่สองด้วยปัจจัยหนึ่งและแทนที่ลูกบอลแต่ละลูกด้วยสำเนาของการรวมลำดับที่สอง และอื่นๆ.

กล่าวโดยสรุป เมื่อส่งผ่านระหว่างลำดับการรวมที่อยู่ใกล้เคียง ทั้งจำนวนคะแนนและรัศมีของลูกบอลจะเพิ่มขึ้นตามปัจจัยหนึ่ง ดังนั้น สำหรับค่าใดๆ ซึ่งเป็นรัศมีของการรวมบางส่วน ฟังก์ชันที่กำหนดจำนวนจุดที่อยู่ในลูกบอลรัศมี จะมีรูปแบบ สำหรับค่ากลาง ฟังก์ชันจะใช้ค่าที่น้อยกว่า (ถึง ) อย่างไรก็ตาม ตามแนวโน้มทั่วไป .

นอกจากนี้ยังสามารถสอดแทรกการรวมลำดับศูนย์ในขั้นตอนต่อเนื่องไปจนถึงการรวมลำดับ -1, -2 เป็นต้น ในขั้นแรก เราจะแทนที่การรวมลำดับศูนย์แต่ละรายการด้วยสำเนาของการรวมคำสั่งแรกลดลง 1/7 และอื่นๆ ด้วยโครงสร้างนี้ ความสัมพันธ์ยังคงเป็นจริงสำหรับค่าที่น้อยกว่าของ . หลังจากการเพิ่มเติมและการประมาณค่าที่ไม่สิ้นสุด เราจะได้ชุดมิติที่คล้ายคลึงกันในตัวเอง .

นอกจากนี้ ขนาดของวัตถุในช่องว่าง 3 มิติไม่ได้บังคับให้เป็นเส้นตรงหรือเส้นโค้งที่แก้ไขได้ เขาไม่จำเป็นต้องเชื่อมต่อ แต่ละมิติเข้ากันได้กับมิติทอพอโลยีที่เล็กกว่าหรือเท่ากัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มิติเชิงทอพอโลยีของเอกภพ Fournier อนันต์ในทั้งสองทิศทางคือ 0 เนื่องจากเป็น "ฝุ่น" ที่แยกจากกันโดยสิ้นเชิง

การกระจายมวล: ความสม่ำเสมอของเศษส่วน

ขั้นตอนจากเรขาคณิตสู่การกระจายมวลดูเหมือนชัดเจนที่สุดสำหรับฉัน หากมวลรวมของดาวฤกษ์ที่ไม่มีลำดับศูนย์แต่ละก้อนมีมวลเป็นหน่วย มวลภายในลูกบอลแห่งรัศมีจะเท่ากับค่าของ ดังนั้น ดังนั้น . นอกจากนี้ เพื่อให้ได้มวลรวมของลำดับ -1 จากผลรวมของลำดับศูนย์ จำเป็นต้องแยกลูกบอลที่เราพิจารณาว่าเป็นเนื้อเดียวกันและพบว่าประกอบด้วยลูกบอลที่เล็กกว่าเจ็ดลูก ในขั้นตอนนี้ กฎยังใช้กับรัศมีที่น้อยกว่าหนึ่งด้วย

เมื่อพิจารณาจากการกระจายมวลที่เกิดขึ้นทั่วทั้ง 3 สเปซ เราจะเห็นว่ามันไม่เป็นเนื้อเดียวกันอย่างมาก แม้ว่ามันจะไม่เท่ากันในความเป็นเนื้อเดียวกันในเศษส่วน Fournier (จำรูปที่ 120) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สองส่วนที่เหมือนกันทางเรขาคณิตของจักรวาล Fournier มีมวลเท่ากัน ฉันเสนอให้เรียกการกระจายมวลดังกล่าวว่าเป็นเศษส่วนที่เป็นเนื้อเดียวกัน

< Предыдущее определение сформулировано в терминах масштабно-инвариантных фракталов, но концепция фрактальной гомогенности в общем случае гораздо шире. Она применима к любому фракталу, для которого положительна и конечна хаусдорфова мера в размерности . Фрактальная гомогенность требует, чтобы масса, содержащаяся в множестве, была пропорциональна хаусдорфовой мере этого множества.

จักรวาลที่สี่ในฐานะแคนเตอร์ดัสต์ ส่วนขยาย D0

ฉันหวังว่าผู้อ่านจะไม่สับสนกับการใช้คำศัพท์เศษส่วนอย่างไม่เป็นทางการในตอนต้นของบทนี้ เห็นได้ชัดว่า Fournier เดินไปตามเส้นทางที่ขนานกับ Kantor ร่วมสมัยของเขาโดยไม่รู้ตัว ความแตกต่างที่สำคัญคือโครงสร้างของ Fournier ฝังอยู่ในช่องว่างแทนที่จะเป็นช่วงบนเส้น เพื่อเพิ่มความคล้ายคลึงกัน ก็เพียงพอที่จะแทนที่มวลรวม Fournier ทรงกลมด้วยบล็อก (ลูกบาศก์ที่เติม) ผลรวมลำดับศูนย์แต่ละรายการจะกลายเป็นบล็อกที่มีความยาวด้านเท่ากับ 1 และรวมมวลรวมที่เล็กกว่า 7 รายการที่มีด้านเป็น 1/7: จุดศูนย์กลางของหนึ่งในนั้นตรงกับจุดศูนย์กลางของลูกบาศก์เดิม และอีกหกรายการที่เหลือแตะตรงกลาง สี่เหลี่ยมย่อยบนใบหน้าของคิวบ์ดั้งเดิม

ด้านล่างนี้เราจะพิจารณาว่า Fournier ได้ความหมายจากปรากฏการณ์ทางกายภาพพื้นฐานอย่างไร และ Hoyle มาถึงผลลัพธ์เดียวกันได้อย่างไร จากมุมมองทางเรขาคณิต ตัวเรือนเป็นแบบพิเศษ แม้ว่ารูปร่างของแปดด้านและค่าจะถูกติดตามตลอดการก่อสร้างทั้งหมด เนื่องจากลูกบอลไม่ทับซ้อนกัน ค่าสามารถรับค่าใด ๆ ในช่วงตั้งแต่ 3 ถึงอนันต์ อันเป็นผลมาจากการที่เราได้รับกฎหมาย ที่ ตลอดช่วงตั้งแต่ 0 ถึง .

โมเดลชาร์ลิเออร์และจักรวาลเศษส่วนอื่นๆ

โครงสร้างที่อธิบายข้างต้นไม่ได้หลีกเลี่ยงลักษณะข้อบกพร่องใดๆ ของแบบจำลองเศษส่วนรุ่นแรก สิ่งที่โดดเด่นที่สุดคือแบบจำลองของ Fournier เช่นแบบจำลอง Koch Curve ในบทที่ 6 และแบบจำลอง Cantor dust ในบทที่ 8 นั้นถูกต้องอย่างผิดปกติ เพื่อแก้ไขสถานการณ์ Charlier เสนอให้และความสามารถในการย้ายจากระดับลำดับชั้นหนึ่งไปอีกระดับหนึ่งโดยใช้ค่านิยมและ .

ชื่อเสียงของ Charlier ในแวดวงวิทยาศาสตร์นั้นสูงมากจนแม้เขาจะยกย่อง Fournier อย่างฟุ่มเฟือยในภาษาชั้นนำของวิทยาศาสตร์ในเวลานั้น แม้แต่แบบจำลองดั้งเดิมก็มาจากล่ามที่มีชื่อเสียงในไม่ช้า ไม่ใช่ผู้เขียนที่ไม่รู้จัก รูปแบบใหม่นี้ถูกกล่าวถึงอย่างกว้างขวางในขณะนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งใน . นอกจากนี้ เธอยังได้รับความสนใจจากเอมิล โบเรล ผู้มีอิทธิพลสูง ซึ่งความคิดเห็นที่เฉียบแหลมมาก หากค่อนข้างแห้งแล้ง อย่างไรก็ตาม ตั้งแต่นั้นมา นอกเหนือจากความพยายามที่จะดึงมันเข้าไปในแสงสว่างแล้ว แบบจำลองของชาร์ลีร์ก็ถูกลืมเลือนไป (ซึ่งไม่ใช่เหตุผลที่น่าเชื่อถือมากสำหรับการลืมเลือนดังกล่าว หน้า 20-22 และ 408-409) อย่างไรก็ตามเธอดื้อรั้นปฏิเสธที่จะตาย แนวคิดหลักจนถึงปัจจุบันได้ถูกค้นพบหลายครั้งโดยนักวิจัยที่แตกต่างกันโดยอิสระจากกัน ผมขอแนะนำให้ดูเป็นพิเศษ (และโปรดดูหัวข้อของ PAUL LEVY ในบทที่ 40 ด้วย) อย่างไรก็ตาม ที่สำคัญที่สุด ข้าพเจ้าพิจารณาถึงความจริงที่ว่า พื้นฐานเศษส่วนของจักรวาลของ Fournier นั้นแฝงอยู่ในการอภิปรายเรื่องความปั่นป่วนและกาแลคซีในที่ทำงาน (ดู บทที่ 10) และในแบบจำลองของกาแล็กซี กำเนิดที่เสนอโดย Hoyle ใน (เราจะพิจารณาในภายหลัง)

องค์ประกอบเศษส่วนหลักก็มีอยู่ในแบบจำลองของฉันด้วย (ดูบทที่ 32 ถึง 35)

ในแง่นี้ คำถามจึงเกิดขึ้น: แบบจำลองการกระจายดาราจักรสามารถไม่เป็นเศษส่วนที่มีธรณีประตูหนึ่งหรือสองธรณีได้หรือไม่ ฉันคิดว่าไม่ หากเราตกลงว่าการแจกแจงจะต้องไม่แปรผันตามมาตราส่วน (เหตุผลของความจำเป็นมีอธิบายไว้ในบทที่ 11) และเซตที่มีความเข้มข้นนั้นไม่ใช่เซตที่ปรับขนาดได้มาตรฐาน เราก็ไม่มีทางเลือกอื่นนอกจากต้องรับรู้ความแตกแยกของ ชุดนี้.

เมื่อพิจารณาถึงความสำคัญของค่าคงที่ของสเกล จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจว่าทำไมลักษณะทั่วไปของแบบจำลอง Fournier ที่ไม่สามารถปรับขนาดได้ของ Charlier จึงถึงวาระตั้งแต่เริ่มต้น< Оно, кстати, позволяет величине แตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับภายในสองขอบเขต และ . นี่เป็นอีกหัวข้อหนึ่งสำหรับการอภิปราย: มิติที่มีประสิทธิภาพไม่จำเป็นต้องมีค่าเดียว ค่านี้สามารถลอยอยู่ระหว่างขีดจำกัดบนและล่าง เราจะกลับมาที่หัวข้อนี้ในบทที่ 15

ทำไมโฟร์เนียร์คาดหวังดี= 1?

ให้เราพิจารณาข้อโต้แย้งที่น่าประทับใจมากซึ่งทำให้ Fournier ได้ข้อสรุปว่าเลขชี้กำลังควรเท่ากับ 1 (ดู หน้า 103) อาร์กิวเมนต์นี้เป็นข้อโต้แย้งที่หนักแน่นและไม่ลืมชื่อผู้แต่ง

พิจารณามวลรวมดาราจักรของลำดับตามอำเภอใจที่มีมวลและรัศมี ปฏิเสธข้อสงสัยไร้ผลและนำไปใช้กับกรณีนี้ สูตรสำหรับวัตถุที่มีความสมมาตรทรงกลม สมมติว่าศักย์โน้มถ่วงบนพื้นผิวของทรงกลมเท่ากับ ( - ค่าคงตัวโน้มถ่วง) ดาวฤกษ์ที่ตกลงสู่จักรวาลของเราชนกับพื้นผิวของมันด้วยความเร็ว .

จากข้อมูลของ Fournier ข้อสรุปที่สำคัญมากสามารถดึงออกมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าไม่มีดาวที่สังเกตได้เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเกิน 1/300 ของความเร็วแสง มวลที่บรรจุอยู่ภายในลูกบอลโลกเพิ่มขึ้นในสัดส่วนโดยตรงกับรัศมีของมัน ไม่ใช่ปริมาตร หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ความหนาแน่นของสสารภายในลูกบอลโลกนั้นแปรผกผันกับพื้นที่ผิวของมัน ... ให้เราอธิบายคำสั่งสุดท้าย - ศักยภาพบนพื้นผิวของทรงกลมจะเท่ากันเสมอ เนื่องจากเป็นสัดส่วนโดยตรงกับมวลของสสารภายในทรงกลมและเป็นสัดส่วนผกผันกับระยะห่างจากจุดศูนย์กลาง ด้วยเหตุนี้ ความเร็วของดาวที่ใกล้เคียงกับความเร็วของแสงจึงไม่ใช่เรื่องปกติในส่วนใดส่วนหนึ่งของจักรวาล

ฮอยล์เย็น; เกณฑ์กางเกงยีนส์

การกระจายแบบลำดับชั้นยังปรากฏในทฤษฎีของ Hoyle (ดู ) ตามที่ดาราจักรและดาวฤกษ์ก่อตัวขึ้นผ่านกระบวนการเรียงซ้อน และกระบวนการนี้เริ่มต้นด้วยก๊าซที่เป็นเนื้อเดียวกัน

พิจารณาเมฆก๊าซมวลที่ร้อนถึงอุณหภูมิและกระจายด้วยความหนาแน่นสม่ำเสมอภายในลูกบอลรัศมี ดังที่จีน่าแสดงให้เห็น สถานการณ์ "วิกฤต" เกิดขึ้น (นี่คือค่าคงที่โบลต์ซมันน์ a คือสัมประสิทธิ์เชิงตัวเลข) เมื่ออยู่ในสถานะวิกฤต เมฆก๊าซหลักจะไม่เสถียรและต้องหดตัวอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้

Hoyle สันนิษฐานว่า (a) ขนาดถึงค่าวิกฤต ณ ที่ใดที่หนึ่งตั้งแต่เริ่มต้น (b) การหดตัวจะหยุดลงเมื่อปริมาตรของ gas cloud ลดลงเหลือ 1/25 ของปริมาตรเดิม และ (c) แต่ละก้อนเมฆที่จุดนี้ เวทีแบ่งออกเป็นเมฆขนาดเล็กห้าก้อนที่มีขนาด มวลและรัศมีเท่ากัน นั่นคือ กระบวนการมาถึงที่เดียวกับที่มันเริ่มต้น: ผลลัพธ์ของมันคือสถานะไม่เสถียร ตามด้วยขั้นตอนที่สองของการบีบอัดและการแยก จากนั้น ขั้นตอนที่สาม และอื่น ๆ การม้วนงอจะหยุดเมื่อเมฆกลายเป็นทึบแสงเท่านั้น หน่วงเวลาผลลัพธ์เมื่อก๊าซถูกบีบอัด ความร้อนอยู่ภายใน

เช่นเดียวกับในพื้นที่อื่นๆ ที่มีกระบวนการเรียงซ้อนที่คล้ายกันเกิดขึ้น ฉันเสนอให้ใช้คำศัพท์ทั่วไปกับกรณีนี้ กล่าวคือ เราจะเรียกก้อนเมฆห้าก้อน และกระบวนการเรียงซ้อนนั้นเองทำให้กลายเป็นก้อน ดังที่ฉันได้กล่าวไว้เมื่อแนะนำเทอมที่แล้ว ฉันไม่สามารถต้านทานการพาดพิงถึงกาแลคซี่ได้

Fournier เพื่อความสะดวกในการแสดงภาพกราฟิกของโมเดลของเขา แนะนำ ในขณะที่ Hoyle โต้แย้งว่าค่านี้มีเหตุผลทางกายภาพ รายละเอียดของภาพประกอบทางเรขาคณิตของ Fournier นั้นเหนือกว่ากรอบงานใดๆ ที่สมเหตุสมผลหรือจำเป็น คำกล่าวของ Hoyle เกี่ยวกับโครงสร้างเชิงพื้นที่ของคอทเทจชีสนั้นค่อนข้างคลุมเครือ เราจะต้องรอจนถึงบทที่ 23 เพื่อใช้งานแบบจำลองของ Hoyle โดยละเอียด ซึ่งเราจะพิจารณาการสุ่มตัวอย่าง อย่างไรก็ตาม ความคลาดเคลื่อนดังกล่าวไม่ได้มีความสำคัญพื้นฐาน: สิ่งสำคัญคือความจริงที่ว่า นั่นคือ ตัวบ่งชี้จะต้องกลายเป็นส่วนสำคัญของการก่อสร้างของเรา หากเราต้องการให้การม้วนงอสิ้นสุดในสถานะเดียวกับที่มันเริ่มต้นขึ้น , - และกล่าวคือ ความไม่มั่นคงของยีนส์

นอกจากนี้ หากใช้ระยะเวลาของระยะแรกเป็น 1 ดังนั้นตามข้อมูลการเปลี่ยนแปลงของแก๊ส ระยะเวลาของระยะนั้นจะเป็น . ดังนั้น ระยะเวลาทั้งหมดของกระบวนการทั้งหมด ซึ่งประกอบด้วยขั้นตอนที่ไม่สิ้นสุด จะต้องไม่เกิน 1.2500

ความเท่าเทียมกันของแนวทาง Fournier และ HOYLE ต่อการสืบทอดดี= 1

ที่ขอบเขตของเมฆก๊าซที่ไม่เสถียรซึ่งเป็นไปตามเกณฑ์ของยีนส์ ความเร็วและอุณหภูมิสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์ เนื่องจากทั้ง (โฟร์เนียร์) และ (ยีน) มีค่าเท่ากัน ให้เราระลึกว่าในอุณหพลศาสตร์ทางสถิติ อุณหภูมิของก๊าซเป็นสัดส่วนโดยตรงกับความเร็วกำลังสองเฉลี่ยของโมเลกุล ดังนั้น จากการรวมกันของเกณฑ์ Fournier และ Jeans จึงสามารถสันนิษฐานได้ว่าที่ขอบเมฆความเร็วตกของวัตถุมหภาคจะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับความเร็วเฉลี่ยของโมเลกุลของมัน การวิเคราะห์อย่างถี่ถ้วนเกี่ยวกับบทบาทของอุณหภูมิในเกณฑ์ยีนส์จะแสดงให้เห็นอย่างแน่นอนว่าเกณฑ์ทั้งสองนั้นเทียบเท่ากัน< Вероятнее всего, аналогия распространяется и на справедливость отношения внутри галактик, о чем сообщает Валленквист в .

ทำไมดี= 1, 23, ไม่ใช่ด= 1?

ความคลาดเคลื่อนระหว่างความหมายเชิงประจักษ์และความหมายเชิงทฤษฎีของ Fournier และ Hoyle ทำให้เกิดประเด็นสำคัญ P.J.E. Peebles พิจารณาในปี 1974 จากมุมมองของทฤษฎีสัมพัทธภาพ ในงานของเขา แง่มุมทางกายภาพและทางสถิติ (แต่ไม่ใช่เรขาคณิต) ของปัญหาดังกล่าวได้รับการกล่าวถึงอย่างละเอียดถี่ถ้วน

มิติเศษส่วนของท้องฟ้า

ท้องฟ้าเป็นภาพฉายของจักรวาล เพื่อให้ได้การฉายภาพนี้ จุดแรกแต่ละจุดของจักรวาลจะถูกอธิบายด้วยพิกัดทรงกลม และ จากนั้นพิกัดจะถูกแทนที่ด้วย 1 หากจักรวาลเป็นเศษส่วนที่มีมิติ และที่มาของระบบอ้างอิงเป็นของจักรวาลนี้ ( ดูบทที่ 22) จากนั้นโครงสร้างการฉายภาพตามกฎ ถูกกำหนดโดยทางเลือกต่อไปนี้: หมายความว่าการฉายภาพครอบคลุมพื้นที่ที่ไม่ใช่ศูนย์ของท้องฟ้าในขณะที่หมายความว่าการฉายภาพนั้นมีมิติเศษส่วน .< Как показано на рис. 141 и 143, «правило» не лишено исключений, обусловленных структурой фрактала и/или/ выбором точки отсчета. О таких правилах часто говорят «истинно с вероятностью 1».

หมายเหตุเกี่ยวกับผลกระทบของท้องฟ้าที่กำลังลุกไหม้ (เรียกว่า OLBERS PARADOX อย่างไม่ถูกต้อง)

กฎจากส่วนก่อนหน้านี้เกี่ยวข้องโดยตรงกับแรงจูงใจที่กระตุ้นให้นักวิจัยหลายคน (รวมถึง Fournier) ค้นพบจักรวาลแฟร็กทัลเวอร์ชันของตนเอง พวกเขาเข้าใจว่าจักรวาลดังกล่าว "ยกเลิก" ทางเรขาคณิตของเอฟเฟกต์ท้องฟ้าที่ลุกโชติช่วง ซึ่งมักจะ (แต่ไม่ถูกต้อง) เรียกว่าความขัดแย้งของ Olbers หากเราคิดว่าการกระจายของเทห์ฟากฟ้ามีความสม่ำเสมอ (เช่น ในทุกระดับ) ท้องฟ้าเหนือเราควรจะส่องสว่างเกือบเท่ากันทั้งในเวลากลางคืนและระหว่างวัน และความสว่างของการส่องสว่างนี้ควรเทียบได้กับดวงอาทิตย์

ความขัดแย้งนี้ไม่เป็นที่สนใจของนักฟิสิกส์อีกต่อไป โดยถูกลดทอนจนเหลือเพียงทฤษฎีสัมพัทธภาพ ทฤษฎีของจักรวาลที่กำลังขยายตัว และข้อพิจารณาอื่นๆ อย่างไรก็ตาม การตายของเขามีผลข้างเคียงที่น่าสงสัย: นักวิจารณ์หลายคนเริ่มอ้างคำอธิบายที่พวกเขาชื่นชอบสำหรับเอฟเฟกต์ท้องฟ้าที่ลุกโชติช่วง - บางคนหวังว่าจะแก้ตัวสำหรับทัศนคติที่ไม่ใส่ใจต่อการจัดกลุ่ม ในขณะที่คนอื่นๆ กลับปฏิเสธความเป็นจริงโดยสิ้นเชิง มุมมองที่แปลกมากต้องบอกว่า แม้ว่าเราคิดว่าการรวมกลุ่มของดาราจักรไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับการไม่มีเอฟเฟกต์เปลวไฟบนท้องฟ้า แต่ก็ยังมีอยู่ - และต้องมีการศึกษาอย่างเหมาะสม นอกจากนี้ ดังที่เราจะเห็นในบทที่ 32 แนวคิดของจักรวาลที่กำลังขยายตัวนั้นเข้ากันได้ไม่เพียงกับมาตรฐานเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความเป็นเนื้อเดียวกันของเศษส่วนด้วย

อธิบายเอฟเฟกต์ท้องฟ้าเพลิงได้ง่ายมาก เนื่องจากปริมาณแสงที่ดาวเปล่งออกมานั้นเป็นสัดส่วนโดยตรงกับพื้นที่ผิวของมัน ดังนั้น ปริมาณแสงที่ไปถึงผู้สังเกตที่ระยะห่างจากดาวฤกษ์จึงต้องเป็น แต่พื้นที่ของพื้นผิวที่มองเห็นได้ของดาวก็เช่นกัน . ดังนั้น อัตราส่วนของปริมาณแสงต่อมุมทรงกลมที่ปรากฏจึงไม่ขึ้นอยู่กับ นอกจากนี้ หากการกระจายตัวของดาวในจักรวาลมีความสม่ำเสมอ การมองเกือบทุกทิศทางก็จะพบดาวบางดวงไม่ช้าก็เร็ว ดังนั้น ท้องฟ้าจึงส่องสว่างด้วยแสงดาวอย่างสม่ำเสมอและดูเป็นประกาย (ดิสก์ดวงจันทร์ในกรณีนี้ก่อให้เกิดพื้นที่มืดเป็นพิเศษ - อย่างน้อยก็ในกรณีที่ไม่มีการแพร่กระจายของชั้นบรรยากาศ)

หากเราคิดว่าจักรวาลเป็นเศษส่วนและมิติของมันคือ ความขัดแย้งจะแก้ไขเอง ในกรณีนี้ การฉายภาพของจักรวาลบนนภาเป็นเซตเศษส่วนที่มีมิติเท่ากัน นั่นคือ ชุดของพื้นที่ศูนย์ แม้ว่าดวงดาวจะมีรัศมีที่ไม่เป็นศูนย์ แต่ทิศทางส่วนใหญ่จะไปถึงอนันต์โดยที่ไม่พบดาวดวงเดียวในเส้นทางของพวกมัน หากมองไปตามทิศทางเหล่านี้ เราจะเห็นเพียงความมืดมิดของท้องฟ้ายามค่ำคืน หากช่วงเวลาที่ตามด้วยช่วงเวลาที่ตามด้วย พื้นหลังท้องฟ้าจะไม่เป็นสีดำสนิท แต่มีแสงสลัวมาก

เคปเลอร์สังเกตเห็นผลกระทบของท้องฟ้าที่ลุกโชติช่วงไม่นานหลังจากที่กาลิเลโอใน "Star Message" ของเขาพูดถึงแนวคิดเรื่องจักรวาลที่ไม่มีที่สิ้นสุด ในการสนทนากับ Starry Messenger (1610) Kepler ได้คัดค้านดังต่อไปนี้: “โดยไม่ลังเลใด ๆ คุณประกาศว่ามีดาวมากกว่า 10,000 ดวงที่มองเห็นได้ ... ถ้าเป็นเช่นนั้นและถ้า [ดวงดาว] เป็นของ ลักษณะเดียวกับดวงอาทิตย์ของเรา แล้วทำไมดวงอาทิตย์ทั้งหมดเหล่านี้จึงไม่สว่างเกินดวงอาทิตย์ของเราเลย... บางทีพวกมันอาจถูกแสงอีเธอร์บดบัง? ไม่แม้แต่น้อย... ค่อนข้างชัดเจนว่าโลกของเราไม่มีทางเป็นของโลกอื่นนับไม่ถ้วนที่วุ่นวาย” (ดูหน้า 34-35)

ข้อสรุปค่อนข้างขัดแย้งแต่ไม่ลืมข้อโต้แย้ง - หลักฐานนี้เป็นคำพูดของ Edmund Halley (เขาทำในปี 1720): “ฉันได้ยินเกี่ยวกับการคัดค้านอื่นซึ่งบอกว่าถ้าจำนวนดาวคงที่มีมากกว่า จำกัด จากนั้นห้องนิรภัยทั้งหมดของทรงกลมที่มองเห็นได้ก็จะสว่างไสวอย่างสมบูรณ์ ต่อมา De Chezo และ J. G. Lambert โต้แย้งข้อโต้แย้งนี้ แต่การประพันธ์นั้นมาจากเพื่อนที่ยิ่งใหญ่ของ Gauss คือ Olbers นักดาราศาสตร์ชาวเยอรมัน คำว่า "ความขัดแย้งของ Olbers" ซึ่งนับแต่นั้นเป็นต้นมาเรียกว่าความขัดแย้งนี้ เป็นเรื่องอื้อฉาวแต่แสดงอาการ ผลการสังเกตที่จัดอยู่ในหมวดหมู่ "ไม่อยู่ภายใต้การจำแนกประเภท" (ดูหน้า 51) มักถูกนำมาประกอบกับตัวแทนคนแรกของเสียงข้างมากที่เป็นทางการ ซึ่งจะประดับประดาด้วยกระดาษห่อหุ้มที่จำแนกได้อย่างสมบูรณ์ แม้ว่าจะเป็นเพียงชั่วคราวก็ตาม อภิปรายหัวข้อในมุมมองทางประวัติศาสตร์ได้ใน

หมายเหตุเกี่ยวกับแรงโน้มถ่วงของนิวโทเนียน

สาธุคุณเบนท์ลีย์ยังคงรบกวนนิวตันด้วยการสังเกตอย่างหนึ่งที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับผลกระทบของท้องฟ้าที่ลุกโชติช่วง: หากการกระจายของดาวสม่ำเสมอ แรงที่พวกมันกระทำต่อกันและกันนั้นไม่มีที่สิ้นสุด สามารถเพิ่มได้ว่าศักย์โน้มถ่วงของพวกมันนั้นไม่มีที่สิ้นสุดเช่นกัน และการแจกแจงใด ๆ ที่จะให้ศักยภาพมหาศาลในทุกกรณียกเว้น ทฤษฎีศักย์ไฟฟ้าสมัยใหม่ (ทฤษฎีของ Frostman) ยืนยันความจริงที่ว่ามีความสัมพันธ์พิเศษบางอย่างระหว่างความโน้มถ่วงและค่าของนิวตัน ตัวบ่งชี้ที่ได้รับจาก Fournier และ Hoyle ควรนำมาประกอบกับอาการของการเชื่อมต่อนี้< Положение Фурнье о том, что «гравитационный потенциал на поверхности сферы всегда одинаков», является центральным в современной теории потенциала. ». Квадрат отношения скоростей, постулированный Фурнье, равен - как раз в середине упомянутого интервала.

จักรวาลเศษส่วนรวม?

นักวิจัยหลายคนเชื่อว่าเป็นไปได้ที่จะอธิบายการก่อตัวของดาวฤกษ์และวัตถุท้องฟ้าอื่น ๆ โดยการเรียงซ้อนขึ้นไป (กล่าวคือ การรวมตัวกันของอนุภาคฝุ่นที่กระจัดกระจายอย่างค่อยเป็นค่อยไปเป็นชิ้นที่ใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ) โดยไม่ต้องการได้ยินอะไรเกี่ยวกับน้ำตกที่อยู่ด้านล่าง la Hoyle (เช่น การกระจัดกระจายของมวลที่ใหญ่มากและกระจัดกระจายเป็นชิ้นเล็กๆ ทีละน้อย)

ทางเลือกที่คล้ายคลึงกันเกิดขึ้นเกี่ยวกับน้ำตกที่เกิดจากทฤษฎีความปั่นป่วน (ดูบทที่ 10) น้ำตก Richardson ไหลลงสู่ด้านล่างสู่กระแสน้ำที่เล็กกว่าและเล็กกว่า แต่การเรียงซ้อนจากน้อยไปมากก็สามารถมีส่วนร่วมได้ (ดูบทที่ 40 ส่วน LEWIS FRY RICHARDSON) ดังนั้นจึงมีความหวังว่าความสัมพันธ์ระหว่างน้ำตกจากมากไปน้อยและจากน้อยไปมากจะได้รับการอธิบายอย่างเหมาะสมในไม่ช้า

อาร์เรย์แฟร็กทัลของกล้องโทรทรรศน์

แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะพบสัมผัสการตกแต่งที่เหมาะสมกับการอภิปรายนี้มากไปกว่าคำกล่าวเกี่ยวกับเครื่องมือที่ใช้ในการสังเกตการณ์ดาราจักร ไดสันเสนอให้ปรับปรุงคุณภาพการสังเกตการณ์โดยแทนที่กล้องโทรทรรศน์เดี่ยวขนาดใหญ่ด้วยอาร์เรย์ของกล้องโทรทรรศน์ขนาดเล็ก เส้นผ่านศูนย์กลางของกล้องโทรทรรศน์ขนาดเล็กแต่ละอันควรอยู่ที่ประมาณ 0.1 ม. (ขนาดของการรบกวนบรรยากาศที่มีนัยสำคัญทางแสงที่เล็กที่สุด) ศูนย์ของพวกมันควรสร้างโครงร่างลำดับชั้นเศษส่วนและการเชื่อมต่อระหว่างกล้องโทรทรรศน์จะได้รับจากเคอร์รี่อินเตอร์เฟอโรมิเตอร์ การวิเคราะห์อย่างคร่าว ๆ นำไปสู่ข้อสรุปว่าควรใช้ 2/3 เป็นค่าที่เหมาะสมสำหรับมิติข้อมูล นี่คือบทสรุปของไดสันเอง: “กล้องโทรทรรศน์ 1024 ขนาด 1024 อาร์เรย์ความยาวสามกิโลเมตรที่เชื่อมต่อกันด้วยอินเทอร์เฟอโรมิเตอร์ 1,023 ตัวไม่ใช่ข้อเสนอที่ใช้งานได้จริงที่สุดในปัจจุบัน [ฉันนำเสนอ] เป็นแนวคิดเชิงทฤษฎีเพื่อแสดงให้เห็นว่าโดยหลักการแล้วสามารถทำอะไรได้บ้างที่นี่”

การตรวจสอบแบบจำลองเศษส่วนแบบสุ่มของคลัสเตอร์กาแล็กซี่

หากเราเชื่อว่าสามารถอธิบายการกระจายตัวของกาแลคซีได้อย่างมีประสิทธิภาพด้วยความช่วยเหลือของแบบจำลองเศษส่วนที่ถูกค้นพบโดยไม่ได้ตั้งใจ ซึ่งไม่ซับซ้อนและไม่ซับซ้อน ก็ไม่น่าแปลกใจที่แบบจำลองสุ่มเศษส่วนโดยเจตนาสามารถให้คำอธิบายที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นแก่เรา ในการเริ่มต้น เราสามารถเข้าใจการสั่นของ Hoyle ได้ดีขึ้นมากโดยพิจารณาในสภาพแวดล้อมที่เหมาะสม เช่น ท่ามกลางเศษส่วนแบบสุ่ม (ดูบทที่ 23) ในความคิดของฉันที่มีนัยสำคัญยิ่งกว่านั้นคือแบบจำลองแบบสุ่มที่ฉันพัฒนาขึ้น ซึ่งเราจะพูดถึงในบทที่ 32 ถึง 35 หนึ่งในข้อโต้แย้งสำหรับการพิจารณาแบบจำลองหลายแบบคือคำอธิบายที่ดีกว่านั้นต้องแลกมาด้วยความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้น อาร์กิวเมนต์ที่สองคือแต่ละโมเดลสร้างขึ้นจากฝุ่นเศษส่วนพิเศษ ซึ่งแต่ละรุ่นสมควรได้รับการพิจารณาแยกกัน ลองดูแบบจำลองเหล่านี้ในลำดับเชิงตรรกะ

ราวๆ ปี 1965 ฉันตั้งใจจะสร้างความสัมพันธ์ด้วยแบบจำลองที่เหมาะสม โดยที่ "ศูนย์กลางของจักรวาล" จะไม่ปรากฏเป็นแนวคิด ครั้งแรกที่ฉันบรรลุเป้าหมายนี้ด้วยแบบจำลองการเดินสุ่มที่อธิบายไว้ในบทที่ 32 จากนั้น ฉันก็พัฒนาแบบจำลองสามแบบ อีกทางเลือกหนึ่ง สาระสำคัญคือชุดรัศมีสุ่มสามชุดที่แยกจากกันและวางแบบสุ่มบางชุดถูกตัดออก ของพื้นที่ และขอบเขตบนของรัศมีสามารถไปถึงธรณีประตูบน ซึ่งอาจจำกัดหรืออนันต์

เนื่องจากทั้งสองรุ่นได้รับเลือกด้วยเหตุผลของความเรียบง่ายที่เป็นทางการเท่านั้น ฉันจึงรู้สึกประหลาดใจกับค่าที่คาดการณ์ได้ ฟังก์ชันสหสัมพันธ์เชิงทฤษฎีของฉันกลายเป็นข้อตกลงที่ดีกับฟังก์ชันที่ติดตั้งโดย Peebles (ดูหน้า 243-249)< Точнее, два моих приближения совпали на двухточечной корреляции, случайные блуждания дали хорошую трех- и плохую четырехточечную корреляции, а сферические тремы оказались на высоте во всех известных корреляциях.

น่าเสียดาย ตัวอย่างที่สร้างโดยโมเดลเหล่านี้ดูไม่สมจริงเลย การใช้แนวคิดที่ฉันพัฒนาขึ้นเพื่อจุดประสงค์นี้โดยเฉพาะ และจะกล่าวถึงในบทที่ 35 โมเดลแรกๆ ของฉันแสดงคุณสมบัติที่ไม่ชัดเจนที่ยอมรับไม่ได้ ในกรณีของแบบจำลองการสั่นสะเทือน จุดบกพร่องนี้สามารถแก้ไขได้โดยการแนะนำรูปแบบการสั่นที่ซับซ้อนมากขึ้น สำหรับแบบจำลองการเดินสุ่ม ฉันใช้ "ผู้ใต้บังคับบัญชา" ที่พูดน้อย

ดังนั้น การศึกษากระจุกดาราจักรได้กระตุ้นการพัฒนาเรขาคณิตเศษส่วนอย่างมีนัยสำคัญ ในปัจจุบัน ช่วงของการประยุกต์ใช้เรขาคณิตเศษส่วนในการศึกษากระจุกดาราจักรได้ขยายออกไปอย่างมาก ไปไกลกว่าการทำความสะอาดและการดีบักทั่วไปที่เราได้ดำเนินการในบทนี้

ตัดเพชรเหมือนดวงดาว

การกระจายตัวของเพชรที่สะสมอยู่ในเปลือกโลกนั้นคล้ายกับการกระจายตัวของดาวและกาแล็กซีบนท้องฟ้า ลองนึกภาพแผนที่ขนาดใหญ่ของโลก ที่เหมืองเพชรทุกแห่ง ทุก ๆ เงินฝากที่ร่ำรวย - กำลังพัฒนาหรือถูกทิ้งร้าง - ถูกทำเครื่องหมายด้วยหมุด เมื่อดูแผนที่จากระยะทางที่ไกลพอสมควร เราจะพบว่าความหนาแน่นของการกระจายหมุดไม่เท่ากันอย่างมาก หมุดแต่ละอันบางอันกระจัดกระจายอยู่ที่นี่และที่นั่น แต่ส่วนใหญ่กระจุกตัวอยู่ในพื้นที่ที่ได้รับพร (หรือต้องสาป) ไม่กี่แห่ง ในทางกลับกัน พื้นผิวของโลกภายในภูมิภาคเหล่านี้ไม่ได้ปูด้วยเพชรอย่างเท่าเทียมกัน เมื่อมองดูแต่ละแห่งอย่างใกล้ชิด เราจะเห็นอีกครั้งว่าพื้นที่ส่วนใหญ่ยังคงว่างเปล่า ในขณะที่ภูมิภาคย่อยที่กระจัดกระจายอยู่สองสามแห่งแสดงความเข้มข้นของเพชรที่เพิ่มขึ้นอย่างมีนัยสำคัญ กระบวนการนี้สามารถดำเนินต่อไปได้หลายระดับ

คุณมีความปรารถนาอย่างแรงกล้าที่จะนำแนวคิดเรื่องการทำให้เป็นก้อนในบริบทนี้ไปใช้หรือไม่? ในส่วนของฉัน ฉันจะบอกว่าแบบจำลองดังกล่าวมีอยู่จริง ซึ่งเสนอโดย de Wies และเราจะพิจารณาในบทที่ 39 ในส่วนเศษส่วนที่ไม่ใช่ LACUNARY

ในหนังสือของ Fournier มีคำอธิบายต่อไปนี้สำหรับภาพประกอบนี้: “ลิขสิทธิ์ที่สร้างขึ้นบนหลักการของไม้กางเขนหรือรูปแปดด้านไม่ใช่แผนของโลกของเรา แต่ช่วยแสดงความเป็นไปได้ของการมีอยู่ของจำนวนอนันต์ของ จักรวาลที่ต่อเนื่องกันเช่นนี้โดยไม่มีปรากฏการณ์ "ท้องฟ้าเพลิง" ปริมาณของสสารในแต่ละทรงกลมของโลกนั้นแปรผันตรงกับรัศมีของมัน เงื่อนไขนี้จำเป็นสำหรับการปฏิบัติตามกฎแรงโน้มถ่วงและการแผ่รังสี ในบางทิศทาง ท้องฟ้าดูมืดสนิท แม้ว่าจำนวนจักรวาลจะไม่มีที่สิ้นสุดก็ตาม "จำนวนโลก" ในกรณีนี้ ไม่ใช่ เหมือนกับในโลกแห่งความเป็นจริง" แทน . การก่อสร้างยังคงดำเนินต่อไปอีกขั้นหนึ่งมากกว่าที่เป็นไปได้ในรูปที่ 141.

แนวความคิดของเรขาคณิตเศษส่วนและเศษส่วนซึ่งปรากฏในช่วงปลายทศวรรษที่ 70 ได้รับการจัดตั้งขึ้นอย่างมั่นคงในชีวิตประจำวันของนักคณิตศาสตร์และโปรแกรมเมอร์ตั้งแต่กลางทศวรรษที่ 80 คำว่าเศษส่วนมาจากภาษาละติน fractus และในการแปลหมายถึงประกอบด้วยชิ้นส่วน Benoit Mandelbrot เสนอในปี 1975 เพื่ออ้างถึงโครงสร้างที่ผิดปกติแต่มีความคล้ายคลึงในตัวเองที่เขาศึกษา การเกิดของเรขาคณิตเศษส่วนมักเกี่ยวข้องกับการตีพิมพ์หนังสือของ Mandelbrot 'The Fractal Geometry of Nature' ในปี 1977 ผลงานของเขาใช้ผลงานทางวิทยาศาสตร์ของนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ที่ทำงานในช่วงปี 1875-1925 ในสาขาเดียวกัน (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff แต่ในสมัยของเราเท่านั้นที่สามารถรวมงานของพวกเขาไว้ในระบบเดียว
บทบาทของเศษส่วนในกราฟิกคอมพิวเตอร์ในปัจจุบันค่อนข้างใหญ่ พวกเขามาช่วย ตัวอย่างเช่น เมื่อจำเป็น ด้วยความช่วยเหลือของสัมประสิทธิ์หลายตัว เพื่อกำหนดเส้นและพื้นผิวของรูปร่างที่ซับซ้อนมาก จากมุมมองของคอมพิวเตอร์กราฟิก เรขาคณิตเศษส่วนเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้สำหรับการสร้างเมฆเทียม ภูเขา และพื้นผิวของทะเล อันที่จริง มีการค้นพบวิธีที่จะแสดงวัตถุที่ซับซ้อนที่ไม่ใช่แบบยุคลิดได้อย่างง่ายดาย ซึ่งภาพที่คล้ายกับวัตถุธรรมชาติมาก
หนึ่งในคุณสมบัติหลักของแฟร็กทัลคือความคล้ายคลึงในตัวเอง ในกรณีที่ง่ายที่สุด ส่วนเล็ก ๆ ของเศษส่วนจะมีข้อมูลเกี่ยวกับเศษส่วนทั้งหมด คำจำกัดความของแฟร็กทัลที่กำหนดโดยแมนเดลบรอตมีดังนี้: "เศษส่วนคือโครงสร้างที่ประกอบด้วยส่วนต่างๆ ที่มีความหมายคล้ายกับส่วนทั้งหมด"

มีวัตถุทางคณิตศาสตร์จำนวนมากที่เรียกว่าเศษส่วน (สามเหลี่ยม Sierpinski, เกล็ดหิมะ Koch, เส้นโค้ง Peano, ชุด Mandelbrot และตัวดึงดูด Lorentz) Fractals อธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพและการก่อตัวของโลกแห่งความเป็นจริงอย่างแม่นยำ: ภูเขา, เมฆ, กระแสน้ำวน (กระแสน้ำวน) ที่ปั่นป่วน, ราก, กิ่งก้านและใบของต้นไม้, หลอดเลือดซึ่งอยู่ไกลจากรูปทรงเรขาคณิตที่เรียบง่าย เป็นครั้งแรกที่ Benoit Mandelbrot พูดถึงธรรมชาติเศษส่วนของโลกของเราในผลงาน "The Fractal Geometry of Nature"
คำว่า fractal ถูกนำมาใช้โดย Benoit Mandelbrot ในปี 1977 ในงานพื้นฐานของเขา "Fractals, Form, Chaos and Dimension" ตามคำกล่าวของ Mandelbrot คำว่า fractal นั้นมาจากคำภาษาละติน fractus - Fractal และ frangere - to break ซึ่งสะท้อนถึงแก่นแท้ของเศษส่วนว่าเป็นชุดที่ "แตก" และไม่สม่ำเสมอ

การจำแนกประเภทของแฟร็กทัล

เพื่อแสดงถึงความหลากหลายของแฟร็กทัล เป็นการสะดวกที่จะใช้การจำแนกประเภทที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป แฟร็กทัลมีสามประเภท

1. เศษส่วนทางเรขาคณิต

Fractals ของคลาสนี้ชัดเจนที่สุด ในกรณีสองมิติ พวกมันได้มาจากโพลิไลน์ (หรือพื้นผิวในกรณีสามมิติ) ที่เรียกว่าตัวสร้าง ในขั้นตอนเดียวของอัลกอริทึม แต่ละเซ็กเมนต์ที่ประกอบเป็นเส้นที่ขาดจะถูกแทนที่ด้วยตัวสร้างเส้นที่ขาดในมาตราส่วนที่เหมาะสม อันเป็นผลมาจากการทำซ้ำอย่างไม่สิ้นสุดของขั้นตอนนี้ทำให้ได้เศษส่วนทางเรขาคณิต

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาหนึ่งในวัตถุเศษส่วนดังกล่าว - เส้นโค้ง Koch triadic

การสร้างเส้นโค้งไตรเอดิกโคช์

ใช้ส่วนของเส้นตรงที่มีความยาว 1 เรียกมันว่า เมล็ดพันธุ์. ให้เราแบ่งเมล็ดออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กันของความยาว 1/3 ทิ้งส่วนตรงกลางแล้วแทนที่ด้วยเส้นที่ขาดสองลิงค์ที่มีความยาว 1/3

เราได้เส้นขาดซึ่งประกอบด้วย 4 ลิงก์ที่มีความยาวรวม 4/3 - สิ่งที่เรียกว่า รุ่นแรก.

เพื่อก้าวไปสู่ยุคต่อไปของเส้นโค้ง Koch จำเป็นต้องทิ้งและเปลี่ยนส่วนตรงกลางของแต่ละลิงก์ ดังนั้นความยาวของรุ่นที่สองจะเป็น 16/9 ส่วนที่สาม - 64/27 หากคุณทำขั้นตอนนี้ต่อไปจนถึงอนันต์ ผลลัพธ์จะเป็นเส้นโค้ง Koch แบบสามส่วน

ตอนนี้ให้เราพิจารณาเส้นโค้ง Koch triadic ศักดิ์สิทธิ์และหาสาเหตุที่เศษส่วนถูกเรียกว่า "สัตว์ประหลาด"

ประการแรก เส้นโค้งนี้ไม่มีความยาว ดังที่เราได้เห็น ด้วยจำนวนรุ่น ความยาวของเส้นโค้งนั้นมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด

ประการที่สอง มันเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างแทนเจนต์ให้กับเส้นโค้งนี้ - แต่ละจุดของมันคือจุดเปลี่ยนเว้าที่ไม่มีอนุพันธ์ - เส้นโค้งนี้ไม่เรียบ

ความยาวและความเรียบเป็นคุณสมบัติพื้นฐานของเส้นโค้ง ซึ่งศึกษาทั้งทางเรขาคณิตแบบยุคลิดและโดยเรขาคณิตของโลบาชอฟสกีและรีมันน์ วิธีดั้งเดิมของการวิเคราะห์ทางเรขาคณิตกลับกลายเป็นว่าใช้ไม่ได้กับเส้นโค้ง Koch แบบสามส่วน ดังนั้นเส้นโค้ง Koch จึงกลายเป็นสัตว์ประหลาด - "สัตว์ประหลาด" ท่ามกลางผู้อยู่อาศัยที่ราบรื่นของรูปทรงเรขาคณิตแบบดั้งเดิม

การก่อสร้าง "มังกร" Harter-Hateway

ในการรับวัตถุเศษส่วนอื่น คุณต้องเปลี่ยนกฎการก่อสร้าง ให้องค์ประกอบกำเนิดเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันที่เชื่อมต่อกันที่มุมฉาก ในการสร้างศูนย์ เราแทนที่ส่วนของหน่วยด้วยองค์ประกอบการสร้างนี้เพื่อให้มุมอยู่ด้านบน เราสามารถพูดได้ว่าด้วยการแทนที่ดังกล่าวจะเกิดการเปลี่ยนแปลงตรงกลางลิงก์ เมื่อสร้างคนรุ่นต่อไป กฎจะสำเร็จ: ลิงก์แรกสุดทางด้านซ้ายจะถูกแทนที่ด้วยองค์ประกอบการสร้างเพื่อให้ตรงกลางของลิงก์ถูกเลื่อนไปทางซ้ายของทิศทางของการเคลื่อนไหว และเมื่อแทนที่ลิงก์ถัดไป ทิศทางการเคลื่อนที่ของจุดกึ่งกลางของส่วนจะต้องสลับกัน รูปแสดงเส้นโค้งสองสามรุ่นแรกและรุ่นที่ 11 ของเส้นโค้งที่สร้างขึ้นตามหลักการที่อธิบายไว้ข้างต้น เส้นโค้งที่มี n พุ่งเข้าหาอนันต์เรียกว่ามังกร Harter-Hateway
ในคอมพิวเตอร์กราฟิก การใช้เศษส่วนเรขาคณิตเป็นสิ่งจำเป็นเมื่อได้ภาพต้นไม้และพุ่มไม้ เศษส่วนเรขาคณิตสองมิติใช้เพื่อสร้างพื้นผิวสามมิติ (รูปแบบบนพื้นผิวของวัตถุ)

2. เศษส่วนพีชคณิต

นี่คือกลุ่มแฟร็กทัลที่ใหญ่ที่สุด ได้มาโดยใช้กระบวนการที่ไม่เป็นเชิงเส้นในช่องว่าง n- มิติ กระบวนการสองมิติมีการศึกษามากที่สุด การตีความกระบวนการวนซ้ำแบบไม่เชิงเส้นเป็นระบบไดนามิกที่ไม่ต่อเนื่อง เราสามารถใช้คำศัพท์ของทฤษฎีของระบบเหล่านี้: ภาพเหมือนเฟส กระบวนการในสถานะคงตัว ตัวดึงดูด ฯลฯ
เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าระบบไดนามิกไม่เชิงเส้นมีสถานะเสถียรหลายสถานะ สถานะที่ระบบไดนามิกพบตัวเองหลังจากการวนซ้ำจำนวนหนึ่งขึ้นอยู่กับสถานะเริ่มต้น ดังนั้นแต่ละสถานะที่มั่นคง (หรืออย่างที่พวกเขาพูดกันว่าเป็นผู้ดึงดูด) มีพื้นที่บางอย่างของสถานะเริ่มต้นซึ่งระบบจะต้องตกอยู่ในสถานะสุดท้ายที่พิจารณา ดังนั้นเฟสสเปซของระบบจึงแบ่งออกเป็นพื้นที่ดึงดูดของตัวดึงดูด หากพื้นที่เฟสเป็นแบบสองมิติ โดยการระบายสีบริเวณสถานที่ท่องเที่ยวด้วยสีที่ต่างกัน เราจะได้รับภาพเฟสสีของระบบนี้ (กระบวนการวนซ้ำ) ด้วยการเปลี่ยนอัลกอริธึมการเลือกสี คุณจะได้รูปแบบเศษส่วนที่ซับซ้อนด้วยรูปแบบหลากสีที่สวยงาม สิ่งที่น่าประหลาดใจสำหรับนักคณิตศาสตร์คือความสามารถในการสร้างโครงสร้างที่ไม่ซับซ้อนมากโดยใช้อัลกอริธึมดั้งเดิม

ชุด Mandelbrot

ตัวอย่างเช่น พิจารณาชุด Mandelbrot อัลกอริธึมสำหรับการสร้างนั้นค่อนข้างง่ายและขึ้นอยู่กับนิพจน์การวนซ้ำอย่างง่าย: Z = Z[i] * Z[i] + C, ที่ไหน Ziและ คเป็นตัวแปรที่ซับซ้อน มีการทำซ้ำสำหรับแต่ละจุดเริ่มต้นจากพื้นที่สี่เหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยม - เซตย่อยของระนาบเชิงซ้อน กระบวนการวนซ้ำจะดำเนินต่อไปจนถึง ซี[i]จะไม่เกินวงกลมรัศมี 2 ซึ่งจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0) (หมายความว่าตัวดึงดูดของระบบไดนามิกอยู่ที่อนันต์) หรือหลังจากการวนซ้ำจำนวนมากพอสมควร (เช่น , 200-500) ซี[i]มาบรรจบกันที่จุดใดจุดหนึ่งในวงกลม ขึ้นอยู่กับจำนวนการวนซ้ำระหว่างนั้น ซี[i]ยังคงอยู่ในวงกลม คุณสามารถกำหนดสีของจุด ค(ถ้า ซี[i]ยังคงอยู่ในวงกลมสำหรับการวนซ้ำจำนวนมากเพียงพอ กระบวนการวนซ้ำจะหยุดลง และจุดแรสเตอร์นี้เป็นสีดำ)

3. แฟร็กทัลสุ่ม

แฟร็กทัลอีกกลุ่มหนึ่งที่รู้จักกันดีคือ stochastic fractals ซึ่งได้มาหากพารามิเตอร์ใด ๆ ของมันถูกสุ่มเปลี่ยนในกระบวนการวนซ้ำ ส่งผลให้วัตถุคล้ายกับวัตถุธรรมชาติมาก เช่น ต้นไม้ไม่สมมาตร แนวชายฝั่งเยื้อง ฯลฯ แฟร็กทัลสุ่มสองมิติใช้ในการสร้างแบบจำลองภูมิประเทศและพื้นผิวทะเล
มีการจำแนกประเภทอื่น ๆ ของแฟร็กทัล ตัวอย่างเช่น การแบ่งแฟร็กทัลเป็นดีเทอร์มีนิสติก (เชิงพีชคณิตและเรขาคณิต) และไม่ใช่ดีเทอร์มินิสติก (สุ่ม)

เกี่ยวกับการใช้แฟร็กทัล

ประการแรก เศษส่วนเป็นพื้นที่ของศิลปะทางคณิตศาสตร์ที่น่าอัศจรรย์เมื่อได้รับความช่วยเหลือของสูตรและอัลกอริธึมที่ง่ายที่สุดรูปภาพของความงามที่ไม่ธรรมดาและความซับซ้อนจะได้รับ! ในรูปทรงของภาพที่สร้างขึ้น มักจะคาดเดาใบไม้ ต้นไม้ และดอกไม้

แอปพลิเคชั่นเศษส่วนที่ทรงพลังที่สุดตัวหนึ่งอยู่ในคอมพิวเตอร์กราฟิก ประการแรก เป็นการบีบอัดภาพเศษส่วน และประการที่สอง การสร้างภูมิทัศน์ ต้นไม้ พืช และการสร้างพื้นผิวเศษส่วน ฟิสิกส์และกลศาสตร์สมัยใหม่เพิ่งเริ่มศึกษาพฤติกรรมของวัตถุเศษส่วน และแน่นอนว่าเศษส่วนถูกนำไปใช้โดยตรงในวิชาคณิตศาสตร์
ข้อดีของอัลกอริธึมการบีบอัดภาพเศษส่วนคือไฟล์ที่แพ็กมีขนาดเล็กมาก และใช้เวลาในการกู้คืนภาพสั้น ภาพที่บรรจุเศษส่วนสามารถปรับขนาดได้โดยไม่มีการปรากฏของพิกเซล แต่กระบวนการบีบอัดใช้เวลานานและบางครั้งก็นานหลายชั่วโมง อัลกอริธึมการบีบอัดเศษส่วนแบบสูญเสียช่วยให้คุณกำหนดระดับการบีบอัดได้เช่นเดียวกับรูปแบบ jpeg อัลกอริทึมนี้ใช้การค้นหารูปภาพขนาดใหญ่ที่คล้ายกับชิ้นเล็กๆ และเฉพาะชิ้นที่คล้ายกับที่เขียนไปยังไฟล์ที่ส่งออก เมื่อบีบอัดมักจะใช้ตารางสี่เหลี่ยม (ชิ้นเป็นสี่เหลี่ยม) ซึ่งนำไปสู่มุมเล็กน้อยเมื่อกู้คืนรูปภาพ ตารางหกเหลี่ยมปราศจากข้อเสียดังกล่าว
Iterated ได้พัฒนารูปแบบภาพใหม่ "Sting" ซึ่งรวมการบีบอัดเศษส่วนและ "คลื่น" (เช่น jpeg) แบบไม่สูญเสียข้อมูล รูปแบบใหม่ช่วยให้คุณสร้างภาพที่มีความเป็นไปได้ของการปรับขนาดคุณภาพสูงในภายหลัง และปริมาณของไฟล์กราฟิกคือ 15-20% ของปริมาณของภาพที่ไม่มีการบีบอัด
แนวโน้มของเศษส่วนที่จะดูเหมือนภูเขา ดอกไม้ และต้นไม้ ถูกใช้โดยนักตัดต่อกราฟิกบางคน เช่น เมฆเศษส่วนจาก 3D Studio MAX ภูเขาเศษส่วนใน World Builder ต้นไม้เศษส่วน ภูเขา และภูมิประเทศทั้งหมดถูกกำหนดโดยสูตรง่ายๆ ตั้งโปรแกรมได้ง่าย และไม่แตกออกเป็นสามเหลี่ยมและลูกบาศก์ที่แยกจากกันเมื่อเข้าใกล้
คุณไม่สามารถละเลยการใช้เศษส่วนในวิชาคณิตศาสตร์ได้ ในทฤษฎีเซต เซต Cantor พิสูจน์การมีอยู่ของเซตหนาแน่นที่ไม่มีที่ไหนเลย ในทฤษฎีการวัด ฟังก์ชัน "Cantor Ladder" ที่เชื่อมโยงตัวเองเป็นตัวอย่างที่ดีของฟังก์ชันการกระจายการวัดแบบเอกพจน์
ในกลศาสตร์และฟิสิกส์ แฟร็กทัลถูกใช้เนื่องจากคุณสมบัติเฉพาะของมันในการทำซ้ำโครงร่างของวัตถุธรรมชาติจำนวนมาก Fractals ช่วยให้คุณสามารถประมาณต้นไม้ พื้นผิวภูเขา และรอยแยกได้อย่างแม่นยำมากกว่าการประมาณด้วยส่วนของเส้นตรงหรือรูปหลายเหลี่ยม (ด้วยปริมาณข้อมูลที่เก็บไว้เท่ากัน) แบบจำลองเศษส่วนเช่นวัตถุธรรมชาติมี "ความหยาบ" และคุณสมบัตินี้ได้รับการเก็บรักษาไว้ด้วยการเพิ่มขึ้นอย่างมากในแบบจำลองโดยพลการ การมีอยู่ของการวัดแบบสม่ำเสมอบนเศษส่วนทำให้สามารถใช้การบูรณาการ ทฤษฎีศักยภาพ เพื่อใช้แทนวัตถุมาตรฐานในสมการที่ศึกษาไปแล้ว
ด้วยวิธีเศษส่วน ความโกลาหลหยุดเป็นความผิดปกติสีน้ำเงินและได้รับโครงสร้างที่ดี วิทยาศาสตร์เศษส่วนยังเด็กมากและมีอนาคตที่ดีรออยู่ข้างหน้า ความงามของเศษส่วนนั้นยังห่างไกลจากความอ่อนล้าและยังคงให้ผลงานชิ้นเอกมากมายแก่เรา ทั้งชิ้นที่สร้างความพึงพอใจให้กับดวงตา และสิ่งที่นำความสุขที่แท้จริงมาสู่จิตใจ

เกี่ยวกับการสร้างแฟร็กทัล

วิธีการประมาณแบบต่อเนื่อง

เมื่อดูภาพนี้แล้ว ก็ไม่ยากที่จะเข้าใจว่าเศษส่วนที่คล้ายกันในตัวเอง (ในกรณีนี้คือปิรามิด Sierpinski) สร้างขึ้นได้อย่างไร เราจำเป็นต้องใช้ปิรามิดธรรมดา (จัตุรมุข) แล้วตัดตรงกลางออก (แปดด้าน) อันเป็นผลมาจากการที่เราได้ปิรามิดขนาดเล็กสี่อัน กับพวกเขาแต่ละคนเราดำเนินการเดียวกันและอื่น ๆ นี่เป็นคำอธิบายที่ค่อนข้างไร้เดียงสา แต่มีภาพประกอบ

ให้เราพิจารณาสาระสำคัญของวิธีการให้เข้มงวดยิ่งขึ้น ปล่อยให้มีระบบไอเอฟเอสเช่น ระบบการทำแผนที่หดตัว ส=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (เช่น สำหรับพีระมิดของเรา การแมปดูเหมือน S i (x)=1/2*x+o i , โดยที่ o i อยู่ จุดยอดของจัตุรมุข i=1,..,4) จากนั้นเราเลือกชุดกะทัดรัด A 1 ใน R n (ในกรณีของเราเราเลือกจัตุรมุข) และเรากำหนดโดยการเหนี่ยวนำลำดับของเซต A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k) เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเซต A k โดยการเพิ่ม k นั้นใกล้เคียงกับตัวดึงดูดที่ต้องการของระบบ ส.

โปรดทราบว่าการทำซ้ำแต่ละครั้งเป็นตัวดึงดูด ระบบกำเริบของฟังก์ชั่นการวนซ้ำ(ศัพท์ภาษาอังกฤษ DigraphIFS, RIFSและนอกจากนี้ยังมี กราฟกำกับIFS) ดังนั้นจึงง่ายต่อการสร้างด้วยโปรแกรมของเรา

ก่อสร้างด้วยคะแนนหรือวิธีความน่าจะเป็น

นี่เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการติดตั้งบนคอมพิวเตอร์ เพื่อความง่าย ให้พิจารณากรณีของชุดการติดด้วยตนเองแบบเรียบ จึงขอ

) เป็นระบบการหดตัวของ affine การทำแผนที่ S

แสดงเป็น: S

เมทริกซ์คงที่ขนาด 2x2 และ o

คอลัมน์เวกเตอร์สองมิติ

• ลองใช้จุดคงที่ของการทำแผนที่แรก S 1 เป็นจุดเริ่มต้น:
  x:=o1;
  ที่นี่เราใช้ความจริงที่ว่าจุดหดตัวคงที่ทั้งหมด S 1 ,..,S m เป็นของเศษส่วน คุณสามารถเลือกจุดใดก็ได้เป็นจุดเริ่มต้น และลำดับของจุดที่สร้างขึ้นโดยจุดนั้นจะลดลงเหลือเศษส่วน แต่จากนั้นจุดพิเศษสองสามจุดจะปรากฏขึ้นบนหน้าจอ
• สังเกตจุดปัจจุบัน x=(x 1 ,x 2) บนหน้าจอ:
  พัตพิกเซล(x 1 ,x 2 ,15);
• เราสุ่มเลือกตัวเลข j จาก 1 ถึง m และคำนวณพิกัดของจุด x ใหม่:
  เจ:=สุ่ม(ม.)+1;
  x:=S j (x);
• เราไปที่ขั้นตอนที่ 2 หรือถ้าเราทำซ้ำเป็นจำนวนมากเพียงพอ เราก็จะหยุด

บันทึก.หากค่าสัมประสิทธิ์การบีบอัดของการแมป S i ต่างกัน เศษส่วนจะเต็มไปด้วยจุดไม่สม่ำเสมอ หากการแมป S i มีความคล้ายคลึงกัน สามารถหลีกเลี่ยงได้โดยการทำให้อัลกอริทึมซับซ้อนเล็กน้อย ในการทำเช่นนี้ในขั้นตอนที่ 3 ของอัลกอริทึม ต้องเลือกหมายเลข j ตั้งแต่ 1 ถึง m ด้วยความน่าจะเป็น p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s โดยที่ r ฉัน แสดงถึงสัมประสิทธิ์การหดตัวของการจับคู่ S i และจำนวน s (เรียกว่ามิติความคล้ายคลึงกัน) หาได้จากสมการ r 1 s +...+r m s =1 หาคำตอบของสมการนี้ได้ เช่น โดยวิธีของนิวตัน

เกี่ยวกับเศษส่วนและอัลกอริทึมของพวกมัน

เศษส่วนมาจากคำคุณศัพท์ภาษาละติน "fractus" และในการแปลหมายถึงประกอบด้วยชิ้นส่วนและกริยาภาษาละตินที่สอดคล้องกัน "frangere" หมายถึงการแตกซึ่งก็คือการสร้างชิ้นส่วนที่ไม่สม่ำเสมอ แนวความคิดของเรขาคณิตเศษส่วนและเศษส่วนซึ่งปรากฏในช่วงปลายทศวรรษที่ 70 ได้รับการจัดตั้งขึ้นอย่างมั่นคงในชีวิตประจำวันของนักคณิตศาสตร์และโปรแกรมเมอร์ตั้งแต่กลางทศวรรษที่ 80 คำนี้เสนอโดยเบอนัวต์ มานเดลบรอตในปี 1975 เพื่ออ้างถึงโครงสร้างที่ผิดปกติแต่มีความคล้ายคลึงในตัวเองที่เขาศึกษา การเกิดของเรขาคณิตเศษส่วนมักเกี่ยวข้องกับการตีพิมพ์หนังสือของ Mandelbrot ในปี 1977 เรื่อง "The Fractal Geometry of Nature" - "The Fractal Geometry of Nature" ผลงานของเขาใช้ผลงานทางวิทยาศาสตร์ของนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ที่ทำงานในช่วงปี พ.ศ. 2418-2468 ในสาขาเดียวกัน (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff)

การปรับเปลี่ยน

ให้ฉันทำการปรับเปลี่ยนอัลกอริทึมที่เสนอในหนังสือโดย H.-O. Paytgen และ P.H. Richter "The Beauty of Fractals" M. 1993 เพื่อขจัดการพิมพ์ผิดอย่างหมดจดและทำให้เข้าใจกระบวนการได้ง่ายขึ้นเนื่องจากหลังจากศึกษาสิ่งเหล่านี้แล้วยังคงเป็นปริศนาสำหรับฉัน น่าเสียดายที่อัลกอริธึมที่ "เข้าใจได้" และ "เรียบง่าย" เหล่านี้นำไปสู่วิถีชีวิตที่โยกเยก

การสร้างเศษส่วนขึ้นอยู่กับฟังก์ชันไม่เชิงเส้นบางอย่างของกระบวนการที่ซับซ้อนพร้อมข้อเสนอแนะ z \u003d z 2 + c เนื่องจาก z และ c เป็นจำนวนเชิงซ้อน จากนั้น z \u003d x + iy, c \u003d p + iq จึงจำเป็น เพื่อแยกออกเป็น x และ y เพื่อให้เป็นจริงมากขึ้นสำหรับระนาบคนทั่วไป:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q

ระนาบที่ประกอบด้วยคู่ทั้งหมด (x, y) ถือได้ว่าเป็นค่าคงที่ p และ qเช่นเดียวกับไดนามิก ในกรณีแรก ให้เรียงลำดับจุดทั้งหมด (x, y) ของระนาบตามกฎหมายและระบายสีตามจำนวนการทำซ้ำของฟังก์ชันที่จำเป็นในการออกจากกระบวนการวนซ้ำหรือไม่ระบายสี (สีดำ) เมื่อค่าสูงสุดที่อนุญาต ของการทำซ้ำเพิ่มขึ้นเราได้รับการแสดงชุดจูเลีย ในทางกลับกัน หากเรากำหนดคู่เริ่มต้นของค่า (x, y) และติดตามชะตากรรมของสีด้วยค่าพารามิเตอร์ p และ q ที่เปลี่ยนแปลงแบบไดนามิก เราจะได้ภาพที่เรียกว่าชุด Mandelbrot

เกี่ยวกับอัลกอริธึมการระบายสีเศษส่วน

โดยปกติ เนื้อหาของชุดจะแสดงเป็นสนามสีดำ แม้ว่าจะเห็นได้ชัดว่าสีดำสามารถถูกแทนที่ด้วยสีอื่นๆ ได้ แต่นี่ก็เป็นผลที่ไม่น่าสนใจเช่นกัน เพื่อให้ได้ภาพชุดที่ทาสีทุกสีเป็นงานที่ไม่สามารถแก้ไขได้โดยใช้การดำเนินการแบบวนรอบเนื่องจาก จำนวนการวนซ้ำที่สร้างเนื้อหาของชุดจะเท่ากับจำนวนสูงสุดที่เป็นไปได้และจะเท่ากันเสมอ เป็นไปได้ที่จะกำหนดสีชุดในสีต่างๆ โดยใช้ผลการตรวจสอบเงื่อนไขการออกจากลูป (z_magnitude) เป็นหมายเลขสีหรือคล้ายกัน แต่ด้วยการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อื่นๆ

การประยุกต์ใช้ "กล้องจุลทรรศน์เศษส่วน"

เพื่อแสดงปรากฏการณ์ชายแดน

ดึงดูดเป็นศูนย์กลางที่นำการต่อสู้เพื่อครอบงำบนเครื่องบิน ระหว่างตัวดึงดูดมีเส้นขอบที่แสดงถึงรูปแบบการหมุนวน โดยการเพิ่มขนาดของการพิจารณาภายในขอบเขตของฉาก เราสามารถรับรูปแบบที่ไม่เล็กน้อยซึ่งสะท้อนถึงสถานะของความโกลาหลที่กำหนดขึ้นได้ ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ทั่วไปในโลกธรรมชาติ

วัตถุที่นักภูมิศาสตร์ศึกษาสร้างระบบที่มีขอบเขตที่มีการจัดระเบียบที่ซับซ้อนมาก ซึ่งเกี่ยวข้องกับการนำไปใช้งานกลายเป็นงานที่ยากในทางปฏิบัติ คอมเพล็กซ์ตามธรรมชาติมีแกนของลักษณะทั่วไปที่ทำหน้าที่เป็นตัวดึงดูดที่สูญเสียพลังแห่งอิทธิพลในอาณาเขตขณะที่มันเคลื่อนตัวออกไป

การใช้กล้องจุลทรรศน์เศษส่วนสำหรับชุด Mandelbrot และ Julia สามารถสร้างแนวคิดเกี่ยวกับกระบวนการและปรากฏการณ์ของขอบเขตที่ซับซ้อนเท่าเทียมกันโดยไม่คำนึงถึงขนาดของการพิจารณาและเตรียมการรับรู้ของผู้เชี่ยวชาญสำหรับการประชุมที่มีพลวัตและดูเหมือนวุ่นวาย ในวัตถุธรรมชาติในอวกาศและเวลา เพื่อทำความเข้าใจธรรมชาติเรขาคณิตเศษส่วน สีหลากสีและดนตรีแฟร็กทัลจะทิ้งร่องรอยลึกในใจของนักเรียนไว้อย่างแน่นอน

สิ่งพิมพ์นับพันและแหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ตจำนวนมากทุ่มเทให้กับเศษส่วน อย่างไรก็ตาม สำหรับผู้เชี่ยวชาญหลายคนที่อยู่ห่างไกลจากวิทยาการคอมพิวเตอร์ คำนี้ดูเหมือนใหม่โดยสิ้นเชิง Fractals เป็นวัตถุที่น่าสนใจสำหรับผู้เชี่ยวชาญในสาขาความรู้ต่างๆ ควรได้รับตำแหน่งที่เหมาะสมในหลักสูตรวิทยาการคอมพิวเตอร์

ตัวอย่าง

เซียร์พินสกี้ กริด

นี่เป็นหนึ่งในแฟร็กทัลที่ Mandelbrot ทดลองด้วยเมื่อพัฒนาแนวคิดของมิติเศษส่วนและการวนซ้ำ สามเหลี่ยมที่เกิดจากการรวมจุดกึ่งกลางของสามเหลี่ยมที่ใหญ่กว่านั้นถูกตัดจากสามเหลี่ยมหลักเพื่อสร้างรูปสามเหลี่ยมโดยมีรูมากขึ้น ในกรณีนี้ ผู้ริเริ่มเป็นรูปสามเหลี่ยมขนาดใหญ่ และแม่แบบคือการดำเนินการเพื่อตัดสามเหลี่ยมที่คล้ายกับรูปสามเหลี่ยมที่ใหญ่กว่า คุณยังสามารถรับรุ่น 3 มิติของรูปสามเหลี่ยมโดยใช้จัตุรมุขธรรมดาและตัดสี่เหลี่ยมจตุรัสที่เล็กกว่าออก ขนาดของเศษส่วนดังกล่าวคือ ln3/ln2 = 1.584962501 ที่จะได้รับ พรมเซียร์พินสกี้นำสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบ่งออกเป็นเก้าช่องแล้วตัดช่องตรงกลางออก เราจะทำเช่นเดียวกันกับส่วนที่เหลือ สี่เหลี่ยมที่เล็กกว่า ในท้ายที่สุดจะเกิดกริดแฟร็กทัลแบบแบนซึ่งไม่มีพื้นที่ แต่มีการเชื่อมต่อที่ไม่มีที่สิ้นสุด ในรูปแบบเชิงพื้นที่ ฟองน้ำ Sierpinski ถูกแปลงเป็นระบบของรูปแบบที่ผ่านแต่ละองค์ประกอบจะถูกแทนที่ด้วยชนิดของตัวเองอย่างต่อเนื่อง โครงสร้างนี้คล้ายกับส่วนของเนื้อเยื่อกระดูกมาก สักวันโครงสร้างที่ทำซ้ำๆ เช่นนี้จะกลายเป็นองค์ประกอบของโครงสร้างอาคาร สถิตยศาสตร์และพลวัตของพวกเขา Mandelbrot เชื่อว่าสมควรได้รับการศึกษาอย่างใกล้ชิด

KOCH CURVE

เส้นโค้ง Koch เป็นหนึ่งในแฟร็กทัลที่กำหนดขึ้นโดยทั่วไปมากที่สุด มันถูกประดิษฐ์ขึ้นในศตวรรษที่สิบเก้าโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ Helge von Koch ซึ่งขณะศึกษางานของ Georg Kontor และ Karl Weierstraße ได้พบคำอธิบายของเส้นโค้งแปลก ๆ ที่มีพฤติกรรมผิดปกติ ผู้ริเริ่ม - สายตรง เครื่องกำเนิดไฟฟ้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า โดยด้านที่มีความยาวเท่ากับหนึ่งในสามของความยาวของส่วนที่ใหญ่กว่า สามเหลี่ยมเหล่านี้ถูกเพิ่มเข้าไปตรงกลางของแต่ละส่วนซ้ำแล้วซ้ำอีก ในการวิจัยของเขา Mandelbrot ได้ทดลองกับเส้นโค้ง Koch เป็นจำนวนมาก และได้รับตัวเลขเช่น Koch Islands, Koch Crosses, Koch Snowflakes และแม้แต่การแสดงสามมิติของเส้นโค้ง Koch โดยใช้จัตุรมุขและเพิ่มสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็กลงบนใบหน้าแต่ละส่วน เส้นโค้ง Koch มีขนาด ln4/ln3 = 1.261859507

Fractal Mandelbrot

นี่ไม่ใช่ฉาก Mandelbrot ที่คุณเห็นค่อนข้างบ่อย ชุด Mandelbrot ใช้สมการไม่เชิงเส้นและเป็นเศษส่วนที่ซับซ้อน นี่เป็นความแตกต่างของเส้นโค้ง Koch แม้ว่าวัตถุนี้จะดูไม่เหมือนก็ตาม ผู้ริเริ่มและตัวสร้างยังแตกต่างจากที่ใช้ในการสร้างเศษส่วนตามหลักการของเส้นโค้ง Koch แต่แนวคิดยังคงเหมือนเดิม แทนที่จะแนบรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ากับส่วนของเส้นโค้ง สี่เหลี่ยมจะแนบกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าแฟร็กทัลนี้ใช้พื้นที่ครึ่งหนึ่งที่จัดสรรไว้ในการวนซ้ำแต่ละครั้ง มันจึงมีมิติแฟร็กทัลอย่างง่าย 3/2 = 1.5

DARER'S เพนตากอน

เศษส่วนดูเหมือนรูปห้าเหลี่ยมมัดรวมกัน อันที่จริงมันถูกสร้างขึ้นโดยใช้ห้าเหลี่ยมเป็นตัวเริ่มต้นและสามเหลี่ยมหน้าจั่วซึ่งเป็นอัตราส่วนของด้านที่ใหญ่ที่สุดกับด้านที่เล็กที่สุดซึ่งเท่ากับอัตราส่วนทองคำที่เรียกว่า (1.618033989 หรือ 1/(2cos72)) เป็นเครื่องกำเนิด . สามเหลี่ยมเหล่านี้ถูกตัดจากตรงกลางของรูปห้าเหลี่ยมแต่ละรูปห้าเหลี่ยม ทำให้ได้รูปห้าเหลี่ยมขนาดเล็ก 5 รูปติดกาวกับรูปห้าเหลี่ยมขนาดใหญ่รูปหนึ่ง ตัวแปรของเศษส่วนนี้สามารถหาได้โดยใช้รูปหกเหลี่ยมเป็นตัวเริ่มต้น เศษส่วนนี้เรียกว่า Star of David และค่อนข้างคล้ายกับ Snowflake ของ Koch รุ่นหกเหลี่ยม มิติเศษส่วนของรูปห้าเหลี่ยม Darer คือ ln6/ln(1+g) โดยที่ g คืออัตราส่วนของความยาวของด้านที่ใหญ่กว่าของสามเหลี่ยมกับความยาวของด้านที่เล็กกว่า ในกรณีนี้ g คืออัตราส่วนทองคำ ดังนั้นมิติเศษส่วนจะอยู่ที่ประมาณ 1.86171596 มิติเศษส่วนของดาวแห่งเดวิดคือ ln6/ln3 หรือ 1.630929754

เศษส่วนที่ซับซ้อน

ที่จริงแล้ว หากคุณซูมเข้าในพื้นที่เล็กๆ ของเศษส่วนที่ซับซ้อนใดๆ แล้วทำเช่นเดียวกันกับพื้นที่เล็กๆ ของพื้นที่นั้น กำลังขยายทั้งสองจะแตกต่างกันอย่างมาก ภาพทั้งสองจะมีรายละเอียดคล้ายกันมาก แต่จะไม่เหมือนกันทั้งหมด

รูปที่ 1 การประมาณค่าชุด Mandelbrot

ตัวอย่างเช่น เปรียบเทียบรูปภาพของชุด Mandelbrot ที่แสดงที่นี่ หนึ่งในนั้นได้มาจากการเพิ่มพื้นที่ของอีกส่วนหนึ่ง อย่างที่คุณเห็นพวกมันไม่เหมือนกันเลยแม้ว่าเราจะเห็นวงกลมสีดำทั้งคู่ซึ่งหนวดที่ลุกเป็นไฟไปในทิศทางที่ต่างกัน องค์ประกอบเหล่านี้ทำซ้ำไปเรื่อย ๆ ในชุด Mandelbrot ในสัดส่วนที่ลดลง

แฟร็กทัลที่กำหนดได้เป็นแบบเชิงเส้น ในขณะที่แฟร็กทัลเชิงซ้อนไม่ใช่ เนื่องจากไม่เป็นเชิงเส้น เศษส่วนเหล่านี้จึงถูกสร้างขึ้นโดยสิ่งที่ Mandelbrot เรียกว่าสมการพีชคณิตที่ไม่เป็นเชิงเส้น ตัวอย่างที่ดีคือกระบวนการ Zn+1=ZnІ + C ซึ่งเป็นสมการที่ใช้สร้างเซต Mandelbrot และ Julia ของดีกรีที่สอง การแก้สมการทางคณิตศาสตร์เหล่านี้เกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อนและจำนวนจินตภาพ เมื่อสมการถูกตีความแบบกราฟิกในระนาบเชิงซ้อน ผลลัพธ์ที่ได้คือรูปทรงแปลก ๆ ที่เส้นตรงเปลี่ยนเป็นเส้นโค้ง เอฟเฟกต์ความคล้ายคลึงในตัวเองจะปรากฏที่ระดับต่างๆ แม้ว่าจะไม่มีการเสียรูปก็ตาม ในขณะเดียวกัน ภาพโดยรวมก็คาดเดาไม่ได้และโกลาหลมาก

ดังที่คุณเห็นจากการดูภาพ แฟร็กทัลที่ซับซ้อนนั้นซับซ้อนมากและเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างได้โดยไม่ต้องใช้คอมพิวเตอร์ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่มีสีสัน คอมพิวเตอร์เครื่องนี้ต้องมีตัวประมวลผลร่วมทางคณิตศาสตร์ที่ทรงพลังและจอภาพความละเอียดสูง แฟร็กทัลเชิงซ้อนไม่คำนวณในการวนซ้ำ 5-10 ครั้ง ต่างจากแฟร็กทัลที่กำหนดขึ้นได้ แทบทุกจุดบนหน้าจอคอมพิวเตอร์เปรียบเสมือนแฟร็กทัลที่แยกจากกัน ในระหว่างการประมวลผลทางคณิตศาสตร์ แต่ละจุดจะถือเป็นรูปแบบที่แยกจากกัน แต่ละจุดสอดคล้องกับค่าที่แน่นอน สมการถูกสร้างขึ้นในแต่ละจุดและดำเนินการ เช่น การวนซ้ำ 1,000 ครั้ง เพื่อให้ได้ภาพที่ไม่ถูกบิดเบือนในช่วงเวลาที่คอมพิวเตอร์บ้านยอมรับได้ สามารถทำได้ 250 ครั้งต่อหนึ่งจุด

แฟร็กทัลส่วนใหญ่ที่เราเห็นในปัจจุบันมีสีสันสวยงาม บางทีภาพเศษส่วนอาจได้รับคุณค่าด้านสุนทรียภาพอันยอดเยี่ยมเช่นนี้ได้อย่างแม่นยำเนื่องจากโทนสีของภาพ หลังจากคำนวณสมการแล้ว คอมพิวเตอร์จะวิเคราะห์ผลลัพธ์ หากผลลัพธ์คงที่หรือผันผวนรอบค่าหนึ่ง จุดมักจะเปลี่ยนเป็นสีดำ หากค่าในขั้นตอนใดขั้นตอนหนึ่งมีแนวโน้มเป็นอนันต์ จุดนั้นจะถูกทาสีด้วยสีอื่น อาจเป็นสีน้ำเงินหรือสีแดง ในระหว่างกระบวนการนี้ คอมพิวเตอร์จะกำหนดสีให้กับความเร็วในการเคลื่อนที่ทั้งหมด

โดยปกติ จุดเคลื่อนที่เร็วจะถูกทาสีแดง ในขณะที่จุดที่ช้ากว่าจะเป็นสีเหลือง และอื่นๆ จุดมืดน่าจะเสถียรที่สุด

แฟร็กทัลเชิงซ้อนแตกต่างจากแฟร็กทัลที่กำหนดได้ตรงที่พวกมันซับซ้อนอนันต์ แต่สามารถสร้างขึ้นได้ด้วยสูตรง่ายๆ แฟร็กทัลที่กำหนดได้ไม่ต้องการสูตรหรือสมการ เพียงแค่ใช้กระดาษวาดรูปแล้วคุณสามารถสร้างตะแกรง Sierpinski ได้ถึง 3 หรือ 4 ครั้งโดยไม่มีปัญหาใด ๆ ลองทำกับจูเลียเยอะๆสิ! ไปวัดความยาวของชายฝั่งอังกฤษง่ายกว่า!

แมนเดอร์บรอต เซ็ต

รูปที่ 2 ชุด Mandelbrot

เซต Mandelbrot และ Julia น่าจะเป็นสองชุดที่พบได้บ่อยที่สุดในบรรดาเศษส่วนที่ซับซ้อน สามารถพบได้ในวารสารทางวิทยาศาสตร์ ปกหนังสือ ไปรษณียบัตร และโปรแกรมรักษาหน้าจอคอมพิวเตอร์ ชุด Mandelbrot ซึ่งสร้างโดย Benoit Mandelbrot น่าจะเป็นความสัมพันธ์แรกที่ผู้คนมีเมื่อได้ยินคำว่าเศษส่วน เศษส่วนนี้คล้ายกับการ์ดที่มีต้นไม้เรืองแสงและพื้นที่วงกลมติดอยู่ สร้างขึ้นโดยสูตรง่ายๆ Zn+1=Zna+C โดยที่ Z และ C เป็นจำนวนเชิงซ้อนและ a เป็นจำนวนบวก

ชุด Mandelbrot ที่เห็นบ่อยที่สุดคือชุด Mandelbrot ระดับ 2 นั่นคือ a=2 ความจริงที่ว่าชุด Mandelbrot ไม่ได้เป็นเพียง Zn+1=ZnІ+C เท่านั้น แต่ยังเป็นเศษส่วนที่มีเลขชี้กำลังในสูตรที่สามารถเป็นจำนวนบวกที่ทำให้คนจำนวนมากเข้าใจผิด ในหน้านี้ คุณจะเห็นตัวอย่างของชุด Mandelbrot สำหรับค่าต่างๆ ของเลขชี้กำลัง a
รูปที่ 3 ลักษณะของฟองอากาศที่ a=3.5

กระบวนการ Z=Z*tg(Z+C) ก็เป็นที่นิยมเช่นกัน ด้วยการรวมฟังก์ชันแทนเจนต์เข้าด้วยกัน ทำให้ได้ชุด Mandelbrot ซึ่งล้อมรอบด้วยพื้นที่ที่คล้ายกับแอปเปิ้ล เมื่อใช้ฟังก์ชันโคไซน์ จะได้เอฟเฟกต์ฟองอากาศ กล่าวโดยย่อ มีหลายวิธีในการปรับแต่งชุด Mandelbrot เพื่อสร้างภาพที่สวยงามต่างๆ

จูเลียหลายตัว

น่าแปลกที่ชุด Julia ถูกสร้างขึ้นตามสูตรเดียวกับชุด Mandelbrot ชุด Julia ถูกคิดค้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Gaston Julia หลังจากที่ได้ตั้งชื่อชุดนั้น คำถามแรกที่เกิดขึ้นหลังจากรู้จักกับชุด Mandelbrot และ Julia ทางสายตาคือ "ถ้าเศษส่วนทั้งสองถูกสร้างขึ้นด้วยสูตรเดียวกัน ทำไมจึงต่างกันมาก" ดูภาพชุดจูเลียก่อน น่าแปลกที่ชุดของจูเลียมีหลายประเภท เมื่อวาดเศษส่วนโดยใช้จุดเริ่มต้นที่แตกต่างกัน (เพื่อเริ่มกระบวนการวนซ้ำ) ภาพที่แตกต่างกันจะถูกสร้างขึ้น สิ่งนี้ใช้ได้กับชุด Julia เท่านั้น

รูปที่ 4 Julia set

แม้ว่าจะไม่สามารถมองเห็นได้ในภาพ แต่จริงๆ แล้ว Mandelbrot fractal เป็นกลุ่มของ Julia fractals ที่เชื่อมต่อเข้าด้วยกัน แต่ละจุด (หรือพิกัด) ของชุด Mandelbrot สอดคล้องกับเศษส่วน Julia สามารถสร้างชุด Julia โดยใช้จุดเหล่านี้เป็นค่าเริ่มต้นในสมการ Z=ZI+C แต่นี่ไม่ได้หมายความว่าหากคุณเลือกจุดบนเศษส่วน Mandelbrot และเพิ่มจุดนั้น คุณจะได้ Julia fractal สองประเด็นนี้เหมือนกัน แต่ในแง่คณิตศาสตร์เท่านั้น ถ้าเราเอาจุดนี้มาคำนวณตามสูตรนี้ เราจะได้ Julia fractal ที่ตรงกับจุดหนึ่งของ Mandelbrot fractal

แน่นอน ผีเสื้อไม่รู้อะไรเกี่ยวกับงูเลย แต่นกที่ล่าผีเสื้อรู้เรื่องนี้ นกที่ไม่รู้จักงูมักจะ...

หาก octo เป็นภาษาละตินสำหรับ "eight" ทำไมอ็อกเทฟจึงมีโน้ตเจ็ดตัว

อ็อกเทฟเป็นช่วงเวลาระหว่างเสียงที่ใกล้เคียงที่สุดสองเสียงในชื่อเดียวกัน: do and do, re และ re ฯลฯ จากมุมมองของฟิสิกส์ "เครือญาติ" ของเหล่านี้ ...

ทำไมคนสำคัญถึงเรียกว่าสิงหาคม?

ใน 27 ปีก่อนคริสตกาล อี จักรพรรดิโรมันออคตาเวียนได้รับตำแหน่งออกุสตุสซึ่งในภาษาละตินแปลว่า "ศักดิ์สิทธิ์" (เพื่อเป็นเกียรติแก่ร่างเดียวกัน ...

สิ่งที่เขียนในอวกาศ

เรื่องตลกที่โด่งดังไป: "นาซ่าใช้เงินหลายล้านดอลลาร์เพื่อพัฒนาปากกาพิเศษที่สามารถเขียนในอวกาศได้....

เหตุใดคาร์บอนจึงเป็นพื้นฐานของชีวิต

ประมาณ 10 ล้านอินทรีย์ (นั่นคือขึ้นอยู่กับคาร์บอน) และมีเพียงประมาณ 100,000 โมเลกุลอนินทรีย์เท่านั้นที่รู้จัก นอกจากนี้...

ทำไมโคมไฟควอทซ์ถึงเป็นสีฟ้า?

แก้วควอทซ์ส่งผ่านแสงอัลตราไวโอเลตต่างจากแก้วทั่วไป ในหลอดควอทซ์ แหล่งที่มาของรังสีอัลตราไวโอเลตคือการปล่อยก๊าซในไอปรอท เขา...

ทำไมฝนตกบางครั้งและบางครั้งฝนตกปรอยๆ?

ด้วยอุณหภูมิที่แตกต่างกันมากภายในคลาวด์ กระแสลมที่ทรงพลังจึงเกิดขึ้น ขอบคุณพวกเขาหยดสามารถอยู่ในอากาศเป็นเวลานานและ ...

ฉันค้นพบเศษส่วนนี้เมื่อฉันกำลังดูการรบกวนของคลื่นบนพื้นผิวของแม่น้ำ คลื่นเคลื่อนเข้าหาฝั่ง สะท้อนและซ้อนทับบนตัวมันเอง มีระเบียบในรูปแบบที่คลื่นสร้างขึ้นหรือไม่? ลองหากันดูนะครับ ไม่ใช่ทั้งคลื่น แต่พิจารณาเฉพาะเวกเตอร์ของการเคลื่อนที่เท่านั้น เราจะทำให้ "ชายฝั่ง" ราบรื่นเพื่อความเรียบง่ายของการทดลอง

การทดลองสามารถทำได้บนกระดาษธรรมดาในกล่องจากสมุดบันทึกของโรงเรียน

หรือใช้ JavaScript ของอัลกอริทึม

หาสี่เหลี่ยมที่มีด้าน q และ p ลองส่งรังสี (เวกเตอร์) จากมุมหนึ่งไปอีกมุมหนึ่ง ลำแสงจะเคลื่อนที่ไปทางด้านใดด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมผืนผ้า สะท้อนและเคลื่อนไปข้างหน้าต่อไป สิ่งนี้จะดำเนินต่อไปจนกว่าลำแสงจะกระทบกับมุมที่เหลือ หากขนาดของด้าน q และ p เป็นจำนวน coprime ก็จะได้รูปแบบ (ดังที่เราจะเห็นในภายหลัง - เศษส่วน)

ในภาพ เราจะเห็นได้ชัดเจนว่าอัลกอริธึมนี้ทำงานอย่างไร

ภาพเคลื่อนไหว Gif:

สิ่งที่น่าทึ่งที่สุดคือด้วยด้านต่างๆ ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า - เราได้รูปแบบที่แตกต่างกัน

เหตุใดฉันจึงเรียกรูปแบบเหล่านี้ว่าแฟร็กทัล อย่างที่คุณทราบ "แฟร็กทัล" เป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มีคุณสมบัติคล้ายคลึงกันในตัวเอง บางส่วนของภาพซ้ำทั้งภาพโดยรวม หากเราเพิ่มขนาดของด้าน Q และ P อย่างมีนัยสำคัญ จะเห็นได้ชัดว่ารูปแบบเหล่านี้มีคุณสมบัติคล้ายคลึงกันในตัวเอง

มาลองเพิ่มกัน เราจะเพิ่มขึ้นในทางที่ยุ่งยาก ยกตัวอย่าง รูปแบบ 17x29 รูปแบบต่อไปนี้จะเป็น: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75)…
ด้านหนึ่ง: F(n);
ด้านที่สอง: F(n+1)=F(n)+F(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
เช่นเดียวกับตัวเลขฟีโบนักชี เฉพาะสมาชิกที่หนึ่งและที่สองของลำดับต่างกันเท่านั้น: F(0)=17, F(1)=29

หากด้านที่ใหญ่กว่าเท่ากัน ลวดลายจะเป็นดังนี้:

หากด้านที่เล็กกว่านั้นเท่ากัน:

หากทั้งสองด้านเป็นเลขคี่ เราจะได้รูปแบบสมมาตร:

ขึ้นอยู่กับว่าลำแสงเริ่มต้นอย่างไร:

หรือ

ฉันจะพยายามอธิบายว่าเกิดอะไรขึ้นในสี่เหลี่ยมเหล่านี้

ลองแยกสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกจากสี่เหลี่ยมแล้วดูว่าเกิดอะไรขึ้นบนเส้นขอบ

ลำแสงออกจากจุดเดียวกับที่มันเข้ามา

ในกรณีนี้ จำนวนช่องสี่เหลี่ยมที่ลำแสงผ่านจะเป็นเลขคู่เสมอ

ดังนั้น หากสี่เหลี่ยมจัตุรัสถูกตัดออกจากสี่เหลี่ยมผืนผ้า ส่วนที่ยังไม่ได้แก้ไขของเศษส่วนจะยังคงอยู่

หากคุณแยกสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกจากเศษส่วนให้ได้มากที่สุด คุณก็จะไปถึง "จุดเริ่มต้น" ของเศษส่วนได้

ดูเหมือนเกลียวฟีโบนักชีหรือไม่?

เศษส่วนสามารถรับได้จากตัวเลขฟีโบนักชี

ในวิชาคณิตศาสตร์ ตัวเลขฟีโบนักชี (อนุกรมฟีโบนักชี ลำดับฟีโบนักชี) เรียกว่าตัวเลข:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
ตามคำจำกัดความ ตัวเลขสองหลักแรกในลำดับฟีโบนักชีคือ 0 และ 1 และตัวเลขที่ตามมาแต่ละหมายเลขจะเท่ากับผลรวมของตัวเลขสองตัวก่อนหน้า
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1

ไป:

ดังที่เราเห็น ยิ่งอัตราส่วนภาพเข้าใกล้อัตราส่วนทองคำมากเท่าใด เศษส่วนก็จะยิ่งมีรายละเอียดมากขึ้นเท่านั้น

ในกรณีนี้ เศษส่วนซ้ำส่วนหนึ่งของเศษส่วน เพิ่มขึ้นโดย .

แทนที่จะใช้ตัวเลขฟีโบนักชี คุณสามารถใช้ขนาดด้านอตรรกยะได้:

เราได้เศษส่วนเหมือนกัน

แฟร็กทัลเดียวกันสามารถรับได้ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหากลำแสงถูกยิงในมุมที่ต่างกัน:

สิ่งที่สามารถพูดได้ในบทสรุป?
ความโกลาหลก็เป็นระเบียบเช่นกัน ด้วยกฎเกณฑ์ของตน คำสั่งนี้ไม่ได้ศึกษา แต่ค่อนข้างคล้อยตามการศึกษา และความทะเยอทะยานทั้งหมดของวิทยาศาสตร์คือการค้นพบความสม่ำเสมอเหล่านี้ และสุดท้ายเชื่อมต่อชิ้นส่วนของตัวต่อเพื่อดูภาพรวม
มาดูผิวน้ำกัน ถ้าคุณขว้างก้อนหินใส่ คลื่นก็จะพุ่งออกไป วงกลมค่อนข้างคล้อยตามการศึกษา ความเร็ว ระยะเวลา ความยาวคลื่น - ทั้งหมดนี้สามารถคำนวณได้ แต่กว่าคลื่นจะถึงฝั่งก็จะไม่สะท้อนและไม่เริ่มทับซ้อนกับตัวมันเอง เราได้รับความสับสนวุ่นวาย (รบกวน) ซึ่งยากต่อการศึกษาแล้ว
ถ้าเราถอยหลังจะเป็นยังไง? ลดความซับซ้อนของพฤติกรรมของคลื่นให้มากที่สุด ลดความซับซ้อน ค้นหารูปแบบ แล้วพยายามอธิบายภาพรวมของสิ่งที่เกิดขึ้น
อะไรทำให้ง่ายขึ้น? แน่นอนว่าต้องทำให้พื้นผิวสะท้อนแสงเป็นแนวตรงโดยไม่มีการโค้งงอ นอกจากนี้ แทนที่จะใช้ตัวคลื่นเอง ให้ใช้เฉพาะเวกเตอร์การเคลื่อนที่ของคลื่นเท่านั้น โดยหลักการแล้ว การสร้างอัลกอริธึมง่ายๆ และจำลองกระบวนการบนคอมพิวเตอร์ก็เพียงพอแล้ว และค่อนข้างเพียงพอที่จะสร้าง "แบบจำลอง" ของพฤติกรรมของคลื่นบนกระดาษธรรมดาในกล่อง
เราจะได้อะไรเป็นผล? เป็นผลให้เราเห็นว่าในกระบวนการของคลื่น (ระลอกเดียวกันบนพื้นผิวของแม่น้ำ) เราไม่มีความโกลาหล แต่มีการกำหนดเศษส่วน (โครงสร้างคล้ายตัวเอง) ที่ด้านบนของกันและกัน

ลองพิจารณาคลื่นชนิดอื่น ดังที่คุณทราบ คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าประกอบด้วยเวกเตอร์สามตัว - เวกเตอร์คลื่นและเวกเตอร์ของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก อย่างที่คุณเห็น ถ้าเรา "จับ" คลื่นดังกล่าวในพื้นที่ปิด - โดยที่เวกเตอร์เหล่านี้ตัดกัน เราจะได้โครงสร้างปิดที่ค่อนข้างชัดเจน บางทีอนุภาคมูลฐานอาจเป็นเศษส่วนเหมือนกัน?

เศษส่วนทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าตั้งแต่ 1 ถึง 80 (6723x6723 px):

พื้นที่ปิดในเศษส่วน (6723x6723 px):

แค่เศษส่วนที่สวยงาม (4078x2518 px):